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ArGEnCo – MS²F - Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH)

Pompes et turbines Eléments de théorie

Cours de « Compléments d’Hydraulique » 3ème Bac Architectes & Constructions


La pompe (ou turbine) et la puissance hydraulique…


• Amener de l’eau d’un niveau donné à un niveau supérieur…

• … « Produire de l’énergie » en mobilisant l’écoulement

=> Egyptiens, romains, …

Turbomachines (résistance à l’avancement mobilisée sans considérations physiques…)

=> Mécanique des Fluides « absente »…

Historique de l’étude des pompes (turbines)


• Euler (1754) Mécanisme de transfert d’énergie entre fluide et

machine (parallélisme lois de Newton, conservation du moment angulaire)

• Smeaton (1752) Etude de modèles réduits

=> Début d’une approche scientifique dans la conception des turbomachines

Historique de l’étude des pompes (turbines)


• Vis d’Archimède

Pompes (ou turbines) « célèbres »


• Pompes à eau potable



• Turbine Pelton



• Turbine Kaplan



• Turbine Francis



Etude qualitative des pompes Accroissement d’énergie; origine & bilan


• Pompe, moteur, réservoir et tuyauterie…

La pompe: fonctionnement qualitatif…


Accroissement d’énergie mécanique par unité de poids du fluide entre les sections d’entrée et de sortie de la pompe

La pompe: fonctionnement qualitatif…


• Entre A et B… Utilisation de l’équation de Bernoulli (valide…)

• Entre A et E

• Entre S et B

• Entre A et B… => Σ

Origine de l’accroissement d’énergie…

A E AEH H h= + ∆∑

S B SBH H h= + ∆∑

A S E B AE SBH H H H h h+ = + + ∆ + ∆∑ ∑

2

2Upavec H z

g gρ= + +

( ) ( )Hydrt tuyau

S E B A AE SB

HH h

H H H H h h∆

− = − + ∆ + ∆∑ ∑


• Entre A et B… Utilisation de l’équation de Bernoulli (valide…) Hauteur manométrique Hauteur hydraulique


0

0A

B

E S

E S

U

U

U U

z z

≈

≈

≈

≈

S Et

p pH

gρ−

≈

Hydr t réseauH H h= − ∆∑


Etapes… – (1) Fourniture d’énergie par le moteur – (2) accroissement dans la roue – (3) accroissement conséquent entre l’entrée (E) et la sortie (S) – (4) accroissement conséquent entre A et B

Hypothèses: – Machine en régime – Ecoulement permanent



Illustration sur une pompe centrifuge…

• (1) distributeur (aubes ou pas) • (2) roue mobile (aubes) • (3) diffuseur (aubes ou pas) • (4) canal en volute

Aubes: guidage du fluide => imposent les trajectoires



• Entre l’entrée (E) et la sortie (S) de la pompe… (→Hauteur manométrique)

• Hauteur indiquée Hi


= − ∆∑t i ESH H hFuites, chocs, frottements, recirculation,…


Pe

Pi Pt

Phyd

Origine de l’accroissement d’énergie… Synthèse

Pe, Puissance effective Puissance fournie par le moteur

Pi (Hi), Puissance (Hauteur) indiquée Puissance fournie au fluide par la roue mobile

Pt (Ht), Puissance (Hauteur) manométrique Puissance fournie au fluide entre l’entrée et la sortie de la pompe

Phyd (Hhyd), Puissance (Hauteur) hydraulique Puissance reçue effectivement par le fluide


Pe

Pi

Pt

Phyd

Origine de l’accroissement d’énergie… Bilan énergétique

Rendement mécanique

Rendement indiqué

ti

i

PP

η =

im

e

PP

η =t

ee

PP

η =

hydtuy

t

PP

η =

Rendement effectif

Rendement tuyauterie

hydhyd

e

gQHP

ρη =

Rendement hydraulique de

l’installation

hyd tuy eη η η=

hyd tuy i mη η ηη=


Sortie du distributeur(en 1) – Entrée dans la roue Sortie de la roue (en 2) ⇒Théorie nécessaire: • Principe du « triangle de vitesses » • Loi d’Euler



Sortie du distributeur(en 1) – Entrée dans la roue Sortie de la roue (en 2)



Principe du triangle des vitesses

On peut définir dans toute section de passage une vitesse moyenne du fluide

• V dans le mouvement absolu

• W dans le mouvement relatif

…avec U la vitesse d’entrainement

Direction absolue (« réelle ») du fluide

Direction relative du

fluide (imposée par les aubages)

Vitesse « débitante »

( )m m mQ V S V dbkρ ρ π= =

Fonction uniquement de la vitesse de rotation…

U W V+ =

d : diamètre b : épaisseur du tube de courant k : coefficient d’obstruction lié à la présence des aubes


Loi d’Euler

( ) extd mV Fdt

=

( ) extd mr V Cdt

× =

(Loi d’Euler)

(Loi de Newton)

( )( ) ( ) ( )0ext

extext

F

d mVd drr mV r mV r F Cdt dt dt

× = × + × = × =

m r

V

Second principe : conservation de la quantité de mouvement

Corolaire : conservation du moment angulaire :

Par multiplication vectorielle par le vecteur position (O point fixe)


Application à la veine fluide dans la roue…

Loi d’Euler

Pour =L r Vdm

syst isoleechanges bords

LdL Flux Ldt t

∂= +

∂

( )

( )( )

syst isole

0

echanges bords

0V

stationnaire

S

Lr V dV

t t

Flux L r V V n dS

ρ

ρ

=

∂ ∂= × =

∂ ∂

= ×

∫

∫

( )( )→ = ×∫

S

dL r V V n dSdt

ρ

V

i iS

ddV V n dS

dt t

Rappel : Théorème de transport de Reynolds

Hypothèses

Machine en régime Ecoulement permanent


Loi d’Euler

( ) ( )( )( ) ( )( )( )

ar

r out in

r out in

ar

r

dLPdt

Q rV rV

Q UV UV

PUV

Q

θ θ

θ θ

θ

ω

ω

=

= −

= −

= ∆

( )r roueQ Q=( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

, ,

r out r inout inS

r out in

r V V n d S Q r V Q r V

Q rV rVθ θ

ρ × = × − ×

= −

∫

Application à l’arbre de la pompe…

Puissance à l’arbre de la pompe…

Travail échangé par kilo de fluide

U la vitesse d’entrainement VθComposante tangentielle de la vitesse absolue



Entrée dans la roue Entrée impose direction absolue… Composantes du triangle…

1

1 1 1 1, , ,d r b kα

( )

1 1

11 1 1

1 1 1 1

1 1 1

, ,

mm

m

U rQ

Vd b k

V V f VW V U

θ

θ θ

ω

ρπα

=

=

=

= −

11

1Atan

m

WVθβ

⇒ =

Sortie de la roue Aubes imposent direction

relative…

Composantes du triangle…

2

2 2 2 2, , ,d r b kβ

( )

2 2

22 2 2

2 2 2 2

2 2 2

, ,

mm

m

U rQ

Vd b k

W W f VV W U

θ

θ θ

ω

ρπβ

=

=

=

= +

22

2Atan

m

VVθα

⇒ =



Entrée dans la roue

Sortie de la roue

Puissance indiquée Puissance fournie au fluide par la roue mobile

Hauteur indiquée

( )2 2 1 1i rP Q U V U Vθ θρ= −

( )2 2 1 11i

ir

PH U V U V

gQ g θ θρ= = −

2 2 2 2 2 22 1 2 1 2 1

2 2 2− − −

= − +iV V W W U UH

g g g

Utilisation Δ

2 2 21 1 1 1 12 2 2

2 2 2 2 2

2

2

W V U U V

W V U U Vθ

θ

= + −

= + −


• Au final, dans la roue…


2 2 2 22 1 2 1 2 1

2 1 12 2 2− − −

⇒ + − + ∆ = −∑p p U U W Wz z hg g gρ

Forces de Coriolis Effet du

ralentissement du fluide dans son

mouvement relatif

2 22 1 2 1

2 1 122ip p V VH z z h

g gρ− −

= + + − + ∆∑ (Bernoulli)


Etude analytique des pompes Courbes de fonctionnement


Courbes caractéristiques de fonctionnement d’une pompe

Intérêt de l’utilisateur: – Grandeurs hydrauliques (Q, Ht) – Grandeurs mécaniques (Pe, ω)

… pour calculer – Couple à l’arbre – Puissance énergétique totale – Rendement effectif

ee

PC ω=

t tP Q gHρ=t

ee

PPη =



Principes de conservations…

… représentent des surfaces … … qui, à vitesse de rotation constante, sont

appelées « courbes caractéristiques » de la pompe

( )( )

, , 0, , 0

t

e

F Q HG Q P

ωω

==

( )( )

,,

e e

t t

P P QH H Q

ωω

==

( )( )

e e

t t

P P QH H Q

==



Obtention des courbes caractéristiques? – Loi d’Euler => modélisation du fonctionnement de

la pompe – Mesures expérimentales des performances sur

une pompe en fonctionnement

Illustration 1: Modélisation des courbes caractéristiques pour une pompe centrifuge

Illustration 2: Courbes caractéristiques expérimentales


Conservation Q

Utilisation Δ

• Hauteur indiquée Loi d’Euler

Courbes caractéristiques – Illustration 1

( )

( )

2 2 1 1

2 2 2 1 1 1

1

1 sin sin

ii

r

PH U V U V

gQ g

U V U Vg

θ θρ

α α

= = −

= −

2

2 2 2 2 2

connusin sinV U W

βα β= +

22 2 2 22 cos

rQWk r bπ β

=

11 1 1 1 1 1 1 12 cos 2 cos

rQ QVk r b k r bπ α π α

= ≈

( )22 2 2 2 1 1 1

1 sin siniH U U W U Vg

β α= + −

2 22 2 1

2 2 1 1

tan tan2 2i r

rH Qg g k b k b

ω β αωπ π

= + −


• Hauteur indiquée


2 22 2 1

2 2 1 1

tan tan2 2i r

rH Qg g k b k b

ω β αωπ π

= + −

i rH A BQ= +


• Hauteur manométrique


i t ESH H h= + ∆∑


• Hauteur manométrique Débit dans la roue… Débit « réel »


( ) ( )'t t rH Q H Q=


• Puissance indiquée


2 2 2 2 12

2 2 1 1

tan tan2 2i r i r rP Q gH r Q Q

k b k bβ α

ρ ρω ρωπ π

= = + −


• Courbes expérimentales



Fonctionnement d’une pompe sur une installation


• Pompe >< Installation... – Hauteur manométrique d’une pompe par rapport à

l’installation

– Fonctionnement de la pompe

Point de fonctionnement d’une pompe sur une installation

t hyd tuyH H h= + ∆∑

( )tH F Q= ( )tP G Q= ( )e H Qη =


• Pompe >< Installation... – Système…


( )2

t

t hyd tuy ii

H F QpH H h z k Qgρ

=

∆ = + ∆ = + ∆ +

∑ ∑

Point de fonctionnement P de la pompe sur l’installation


• Association de pompes


Pompes en série

Pompes en parallèle


La cavitation dans le cas particulier des pompes


• Pression varie en fonction de la vitesse (Bernoulli) U ↗ => p↘ - Valeur limite: tension de vapeur ⇒ apparition phase gazeuse ⇒ « bulles » de gaz emportées par l’écoulement

⇒ implosion des bulles lorsque la pression redevient acceptable

Description du phénomène

vp


– Concerne zone d’aspiration (p la plus faible) – Vitesse ↗ par l’entrainement du rotor

– Dégâts dans les zones d’implosion des bulles

Description du phénomène… Cas particulier des pompes


Baisse de pression… – Générale

• Haspiration ↗ • patm ↘ • paspiration ↘

– Locale

• Vfluide ↗ • Décollement ou contraction des filets fluides • Changement des directions des lignes de courant

Description du phénomène… Cas particulier des pompes


• « Rêve »: mesure sur l’extrados

• paspiration… Bernoulli entre E (entrée pompe) et 1 (entrée roue)

• Energie disponible

Contrôle/Mesure de la pression minimale

20 1

min 1 2E EUp p g hρ ρ= − ∆ −∑

0min Ep p≈

2

2v

dispp p Ueρ−

= +


• NPSE (Net Positive Suction Energy)

• NPSH (Net Positive Suction Head)

– [m] – f(machine, vitesse de rotation, débit) – Courbes du NPSH caractéristique


2

02

dispe

p UNPSEρ

= +

2

02

dispe

NPSE p UNPSHg g gρ

= = +


• Critère de début de cavitation


• Présence de bulles d’une certaine taille; • Niveau de bruit; • Perte d’énergie d’un certain pourcentage; • Perte de matière; • …

2

2vp p UNPSHA

g gρ−

= +


• Coefficient critique de Thoma


t

NPSHH

σ =

4 3cr sk nσ =


Rappel, Bernoulli

• Condition de non-cavitation


NPSHA NPSH≥

( )

2

2

2

2

E v E

A v AA E AE

p p UNPSHAg g

p p U z z hg g

NPSH

ρ

ρ

−⇒ = +

−= + + − − ∆

≥

∑

2 2

2 2A A E E

A E AEp U p Uz z h

g g g gρ ρ+ + = + + + ∆∑

min Ep p≈

• pa • hauteur géométrique • pertes de charge • température eau (→ pv)

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