«MATEMÁTICAS, ARTE Y DISEÑO»

Estructuras Lógicas en las Artes Plásticas

MARIA CUEVAS d.cuevasr@recol.es

MADRID 9 SEPTIEMBRE 2009

INDICE

1. Algoritmos y programas

2. Orden

3. Estructuras: definición y tipologías

4. Estructuras planas estáticas

5. Estructuras dinámicas

6. Operaciones geométricas con cuadrados

7. Poliominós

8. Módulos: estructuras continuas o de repetición

9. Contadores

10. Series basadas en patrones geométricos

11. Series numéricas

12. Combinatoria

1. ALGORITMOS Y PROGRAMAS CONCEPTO DE ALGORITMO

Un algoritmo es un conjunto ordenado y finito de operaciones o instrucciones que permite la solución de un problema. La solución de un problema exige el diseño de un algoritmo. Estas instrucciones deben ser lo bastante claras para comprender el razonamiento empleado para solucionar el problema.

algoritmo Cruzar paso de peatones inicio Mirar a la derecha y a la izquierda mientras pasen coches esperar mirar a la derecha y a la izquierda fin_mientras Cruzar la calle fin

CONCEPTO DE PROGRAMA

Un programa, como un algoritmo, es una secuencia de instrucciones, sentencias o proposiciones necesarias para solucionar un problema. Se utiliza para pasar del esbozo informal de un algoritmo a un modelo formal de instrucciones detallado que se realiza en un lenguaje de programación. Para elaborar un programa es necesario conocer todo el repertorio de palabras reservadas, instrucciones y reglas gramaticales del lenguaje de programación que se va a utilizar.

El siguiente programa en C++, imprime los números del 1 al 10: #include <stdio.h> #include <stdlib.h> int main() { int i; for (i = 1; i <= 10; i++) { printf ("%d",i); } printf ("\n"); system ("pause"); }

CARACTERÍSTICAS DE LAS OBRAS GENERADAS POR ORDENADOR Las obras generadas por ordenador están definidas por las siguientes características: 1. Reflejan una idea precisa de un problema estético. 2. Utilizan ideas capaces de ser codificadas por un algoritmo. 3. Conceptualizar la idea fragmentándola en módulos o subprogramas capaces de unirse para,

juntos, formar un programa que refleje un objetivo estético. 4. Exigen que el artista tenga un control de todas y cada una de las máquinas: ordenadores, plotter,

impresoras,…, que se utilizan para generar la obra, con el único objetivo de aprovechar todas las ventajas que le puedan aportar a su proceso creativo.

5. Obligan a conocer la lógica y metodología de la programación para poder hacer perceptibles

todas aquellas características expresivas importantes para generar su trabajo. 6. Utilizan lo aleatorio como generador de elementos de la obra que luego el artista selecciona

según sus objetivos y criterios estéticos. 7. Favorecen un tipo de trabajo basado en un sistema generativo que produce series de obras que

dan sentido al programa que las genera.

Se necesita la totalidad del trabajo realizado para comprender el objetivo estético del proyecto.

MANFRED MOHR, P–21, Programa 21 – Estructuras en bandas, 1969

2. ORDEN La noción de orden se experimenta en situaciones y contextos muy diferentes. Cualquier cosa que se realiza presupone algún tipo de orden. Se puede hablar, por ejemplo, del orden de los números, el orden de los elementos de una figura geométrica, el orden de los objetos en el espacio y el orden de las actividades en el tiempo. Existe también orden en el lenguaje, el pensamiento, la música y el arte en general. Según la RAE:

- Colocación de las cosas en el lugar que les corresponde. - Concierto, buena disposición de las cosas entre sí. - Regla o modo que se observa para hacer las cosas. - Serie o sucesión de las cosas. - Relación o respecto de una cosa a otra. - Cierta disposición y proporción de los cuerpos principales que componen un edificio.

Lo que aquí se propone es que cualquier cosa que ocurra ha de tener lugar con un cierto orden, de modo que la idea de «desorden» no tiene realmente sentido.

TIPOS DE ORDEN:

1. Orden constitutivo - Orden implicado: Piensa las cosas por todo un entramado teórico que estructura cada pensamiento individual y que está formado por todos aquellos modos de pensar las cosas: el espacio, el tiempo, los objetos, las relaciones,… que son capaces de establecer órdenes coherentes y con sentido, entre las cosas o elementos observados.

Hay que tener en cuenta, también, que este conjunto de teorías, particular de cada ser humano, está continuamente en cambio porque están en continua retroalimentación con la realidad. Concepto que motiva la realización del dibujo; dominio de las ideas.

2. Orden descriptivo - Orden explicado: Piensa las cosas por el conocimiento físico que se tiene de ellas. Sistema de cotas y medidas aportadas en la descripción del dibujo; fase de realización.

3. Orden fortuito: caos, azar y juego: no se puede predecir su comportamiento; depende de

variables específicas y definibles.

4. Orden fractal: orden en el que la generación de la imagen se consigue por la aplicación reiterada de una forma similar, pero en escala decreciente.

5. Orden generativo: conjunto de instrucciones que posibilitan la generación de la obra por un

proceso de transformaciones sucesivas.

ORDEN ALEATORIO En las siguientes obras de MORELLET, lo aleatorio se obtiene a partir de la elección de un número determinado de cifras del número pi. Las primeras 500 cifras de la serie infinita de los decimales del número pi son:

3,

1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510

5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679

8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128

4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196

4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091

4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273

7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436

7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094

3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548

0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912

FRANÇOIS MORELLET, 6 Reparticiones aleatorias de 4 cuadrados negros y blancos según las cifras pares e impares del número pi,1958

Las 24 cifras de la secuencia del número pi están agrupadas de 4 en 4, formando 6 grupos de 4 elementos cada uno (3141, 5926, 5358, 9793, 2384, 6264). Cada grupo de 4 números se representa en un cuadrado siguiendo el orden de lectura antes indicado.

3141 5926 5358 9793 2384 6264

La distribución de los números en cada uno de los cuadros se realiza según el siguiente orden:

Orden de aplicación números

1º 2º

3º 4º

Su aplicación en cada uno de los cuadrados de la obra está representada por la siguiente secuencia:

1 2 3 4 5 6

3 1 5 9 5 3 9 7 2 3 6 2

4 1 2 6 5 8 9 3 8 4 6 4

Para realizar la obra se tiene en cuenta la siguiente condición: las cifras pares del número pi seleccionado se representan con el color negro y las cifras impares con el color blanco.

Representación números

= 13579

= 02469

La representación de la obra terminada responde al siguiente esquema:

3. ESTRUCTURAS 1.- Definición y tipos de estructuras

1.- Estructura formal 1.1.- Estructuras de repetición 1.2.- Estructuras de gradación 1.3.- Estructuras de radiación

2.- Estructura inactiva 3.- Estructura activa 4.- Estructura visible 5.- Estructura invisible

2.- Representación y operaciones con estructuras 1.- DEFINICIÓN Y TIPOS DE ESTRUCTURAS En la práctica del lenguaje plástico, una estructura es un conjunto de líneas significativas relacionadas entre sí que dividen el espacio según un criterio lógico y como resultado de esta división surgen dos elementos significativos: los módulos (espacios entre las líneas estructurales) y los puntos de intersección o nodos (puntos de intersección de dos o más líneas estructurales). Los puntos de intersección, se utilizan como puntos significativos capaces de ser punto de partida de nuevas líneas estructurales o simplemente ser focos de atención o de sentido dentro de un soporte.

Los módulos son lugares contenedores de cualquier elemento morfológico de representación: colores, imágenes, texturas,…

Estructura

Módulos

Líneas estructurales

Nodos

RICHARD PAUL LOHSE, Dos gradaciones hacia el violeta, 1955 / 1975

Formal Activa Inactiva Visible Invisible

Repetición x

Op. sobre líneas estructurales x x

Operaciones sobe módulos x

En los módulos hay dos progresiones cromáticas del amarillo al azul-violeta: una siguiendo el camino a través de la gama de los colores cálidos: amarillo, naranja, rojo, magenta y azul violeta; y otra a través de la gama de los colores fríos: amarillo, verde amarillento, verde, azul y azul-violeta:

4. ESTRUCTURAS PLANAS ESTÁTICAS

1.- Concepto y tipos de estructuras planas estáticas en los soportes tradicionales: cuadrado, triángulo, círculo

1.1.- Portadora 1.2.- Modular 1.3.- Proyección interna

ORT 079 ORT 093ORT 080ORT 078

ORTogonalORTogonal

JULIÁN GIL, Serie ORTogonal

3

4

6

1 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

1235678910111213141516

1

2

3

4

5

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

1º

2º

3º

3, 6, 4

ORT 078

1, 10, 116, 3, 15, 4, 23, 6, 4

ORT 079 ORT 093ORT 080ORT 078

5. ESTRUCTURAS DINÁMICAS Estas estructuras se denominan dinámicas porque no crecen al añadir un módulo constante a un cuadrado base, sino que la ley de crecimiento que las define hace que la forma geométrica sobre la que se aplica, crezca o decrezca de forma diferente a medida que evoluciona la estructura y su programa correspondiente. Una estructura dinámica es una colección de operaciones, que se enlazan sucesivamente, de subdivisión dinámica de una figura geométrica. Tienen un punto débil: al ser estructuras secuenciales se generan de tal modo que es necesario moverse a través de ellas una generación cada vez (cada resultado obtenido tiene un siguiente resultado y uno anterior). Lo que es interesante es que cada rectángulo obtenido puede tener, a su vez, diferentes siguientes rectángulos dinámicos que introducen el concepto de subdivisiones sucesivas: una estructura dinámica se puede ampliar o reducir a medida que se requiera utilizando la variable dinámica correspondiente: raíz de dos, número de oro, raíz de tres,...

1.- Rectángulos raíz de

1√2

√3√4

√5

1.41421.732

2.2362

1A

B

C

D

E

F

G

H

I

JK

B

D

FH

J

A

C

EG

IK

L M

2.- Rectángulos áureos

BD F

C EA1

1.618

A

B

C

D

E FG

H

F

I

PROPIEDADES DE LOS RECTÁNGULOS DINÁMICOS Todos los rectángulos dinámicos, bien sean raíz de o áureos, tienen las siguientes propiedades: 1. Aplicación de un cuadrado a un rectángulo dinámico dado:

1. Rectángulo raíz de Si se aplica un cuadrado AC, a un rectángulo raíz de dos AB, en uno de sus extremos, se obtiene un rectángulo FB que a su vez puede dividirse, por el mismo procedimiento, en un cuadrado CE y un rectángulo raíz de dos FE.

C

A

B

D

E

F

JA

BCD

E

FG H

I

2. Rectángulo áureo

Si a un rectángulo áureo (1.618) se le añade un cuadrado (1) en el extremo de uno de sus lados, se halla, en el otro extremo, un único rectángulo áureo (0.618) múltiplo del anterior.

11.618

0.618

Dado un rectángulo áureo AB, se traza un cuadrado AC en uno de sus extremos, de lado igual a la altura del rectángulo. Se traza la diagonal del rectángulo áureo, GH. Esta diagonal corta el lado del cuadrado AC en D. Se traza un línea EF paralela al lado GB del rectángulo que pase por D. El área obtenida EB está compuesta por un cuadrado CF, un rectángulo áureo GD y el área restante AF está compuesta a su vez por un cuadrado y dos rectángulos áureos ID y DH.

B

F

H

E

G

I

D

C

A

2. Obtención de rectángulos recíprocos El rectángulo recíproco de un rectángulo dado, es un rectángulo de igual forma que el anterior pero de tamaño inferior y orientación. Dos rectángulos son recíprocos entre sí, cuando la diagonal del recíproco corta en perpendicular a la diagonal del rectángulo mayor.

1. Rectángulo raíz de dos

90º

A

B

C

D

E

2. Rectángulo áureo

A

90º

B

D

C

E

F

G

3. Trazado de diagonales: El elemento más importante de un rectángulo es su diagonal: principal y secundaria. OPERACIONES CON RECTÁNGULOS DINÁMICOS

A B

En las obras de la serie “La fuerza del silencio”, Ulrich Otto utiliza un cuadrado dividido en tres partes según las relaciones áureas.

Girando cuatro veces esta estructura, se obtiene una estructura dinámica que permite realizar trazas en relación áurea.

+ + + =

Para Ulrich Otto el elemento protagonista de esta estructura es la banda vertical central. Puede aparecer dividida en un cuadrado central y dos rectángulos áureos; con tres cuadrados centrales y dos restos; o con un rectángulo equivalente a la suma de tres cuadrados y dos restos. La paleta de colores utiliza por Otto para realizar su obra se basa en una gama monocroma de tres tonos próximos: gama de amarillos, de rojos, de azules o de grises.

ULRICH OTTO, “La fuerza del silencio”, 1995

6. OPERACIONES GEOMÉTRICAS CON CUADRADOS

27º

Los soportes sobre los que pasa la línea son un cuadrado girado a 45º, otro a 27º y el último en posición horizontal. La protagonista de esta obra es una línea horizontal que atraviesa los tres cuadrados, separados entres sí una determinada distancia, con diferentes estrategias. las líneas, se separan una cierta distancia.

FRANÇOIS MORELLET, Línea horizontal recorriendo 3 cuadrados, 1974

7. POLIOMINÓS

1.- Definiciones

2.- Tipos y construcciones

2.1.- Monominós 2.2.- Dominós 2.3.- Triminós 2.4.- Tetraminós 2.5.- Pentaminós 2.6.- Hexaminós 2.7.- Heptaminós

Los poliominós son polígonos construidos a base de adosar cuadrados unitarios a lo largo de los lados de un cuadrado. Desde un punto de vista formal, son un conjunto de cuadrados conectados entre sí por uno de sus lados de tal modo que no queden huecos en el interior de la estructura resultante. El nombre de poliominós se debe al matemático norteamericano Salomon W. Golomb quién generó la idea hacia 1954. Los poliominós son un tipo de juegos, un tipo de rompecabezas, que contienen una gran carga matemática y que son capaces de plantear una gran variedad de problemas. Entre todos los posibles, aquí se va a tratar de uno específico: el recubrimiento de superficies.

X 16

Para completar un cuadrado con un tetraminó en forma de L, el número de cuadrados por lado del cuadrado debe ser par y múltiplo de 8: 8 x = n2. La matriz utilizada en este caso es de 8 x 8 = 64 cuadrados. Para saber el número de tetraminós que se necesitan para completar el cuadrado, se divide 64 por el número de piezas que tiene un tetraminó, 4 y el resultado que se obtiene es de 64 : 4 = 16 piezas.

FRANCOIS MORELLET, Distribución de 16 formas iguales del nº1 al nº 6, 1957

8. MÓDULOS: ESTRUCTURAS CONTINUAS O DE REPETICIÓN Es un principio básico de organización; un sistema de repetición de formas para crear un diseño. Este tipo de estructuras se puede generar siguiendo dos modelos diferentes pero muy relacionados: 1.- Simetría

2.- Entrelazados de formas

DEFINICIONES 1. Celda básica o primaria La celda primaria es una figura geométrica simple, capaz de completar un espacio sin huecos, que contiene en su interior un motivo de diseño. Es la unidad mínima gráfica que se va a repetir un número determinado de veces para realizar un módulo.

Cuadrado Paralelogramo Rectángulo centradoRectángulo Hexágono 2. Módulo El módulo se obtiene cuando a una o más celdas básicas se les aplica una serie de operaciones de simetría: traslación, giro, reflexión y/o desplazamiento seguido de una reflexión. Es la porción más pequeña del patrón que se repite sin dejar huecos o realizar superposiciones. Está compuesto de una o más celdas primarias. 3. Patrón o modelo Es una organización de módulos repetidos.

OPERACIONES DE SIMETRÍA Hay cuatro métodos o modelos para crear simetrías bidimensionales. De la combinación de estas operaciones resultan los distintos grupos de simetría: 1. Traslación En la traslación, la celda primaria se mueve hacia la derecha o hacia la izquierda; hacia arriba o hacia abajo; o diagonalmente, pero manteniendo siempre la misma orientación.

2. Rotación En la rotación la celda primaria gira un cierto número de veces. El número de rotaciones depende de la forma de la celda primaria, y el ángulo sobre el que tiene lugar la rotación. El triángulo equilátero tiene que girar 6 veces alrededor de uno de sus vértices de 60º, para crear un módulo hexagonal. El cuadrado tiene que girar 4 veces alrededor de uno de sus vértices de 90º, para crear un módulo cuadrado.

R

6 giros de 60º

R

4 giros de 90º

RR

R

R

R

R

R

R

R

R

R

3 giros de120º

R

2 giros 180º

R

R R

R

R

3. Reflexión o simetría En la reflexión, la celda primaria se refleja, con respecto a un eje, como en un espejo. La reflexión se puede producir sobre uno o más lados de la celda primaria, y puede ser vertical, horizontal o diagonal. Se dice que una reflexión es vertical cuando el eje sobre el que se realiza la reflexión es un eje vertical. Se dice que una reflexión es horizontal, cuando el eje sobre el que se realiza la reflexión es horizontal. Y se dice que una reflexión es diagonal, cuando el eje sobre el que se realiza la reflexión es diagonal.

Reflexión horizontalReflexión vertical Reflexión diagonal Doble reflexión

4. Desplazamiento seguido de reflexión: Una reflexión con desplazamiento es una combinación de una traslación y una reflexión. La línea o eje de simetría se utiliza como línea de desplazamiento y como eje de simetría. La línea de desplazamiento puede ser horizontal, vertical o diagonal.

Desplazamiento diagonal

Reflexión horizontalReflexión vertical Reflexión diagonalDesplazamiento vertical Desplazamiento horizontal

A B

C D

A B

C D

151413124 5 6 7 1110981 2 3

151413124 5 6 7 1110981 2 3

AB C D

16

16A B

CD

RICHARD PAUL LOHSE, Rotaciones axiales, 1951

9. CONTADORES Los contadores son procesos repetitivos que se realizan un número de terminado de veces y que, en cada iteración, incrementan o decrementan el valor de una variable en una cantidad constante o variable. 1.- Conteo natural o simple: incrementar o decrementar la variable del contador con una

cantidad constante: +1, +2, +3, -1, -2,…

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11,..., 2.- Conteo acumulativo: “contar hasta”: primero se cuenta hasta el 1, luego hasta el 2,

después hasta el 3, y así sucesivamente.

1 12 123 1234 12345 123456 …

3.- Conteo repetitivo: “repite n veces el número n”: un uno; dos doses; tres treses;…

1 22 333 4444 55555 666666 …

4.- Conteo en palíndromo: número que se lee de la misma forma de derecha a izquierda que

de izquierda a derecha. 1 2 3 4 5 4 3 2 1

5.- Contando en círculos: Se pueden crear series numéricas contando alrededor de círculos. El procedimiento consiste en diseñar un círculo con unos números asociados a él y especificar unas instrucciones que permitan generar la serie numérica. Dado un círculo dividido en 5 partes iguales, si se numera con los 5 primeros números de la serie natural (1, 2, 3, 4, 5) colocados en el sentido de las agujas del reloj y situando en la parte superior del círculo el 1, se genera la siguiente estructura:

1

2

34

5

Se puede generar una serie de números teniendo en cuenta las siguientes instrucciones: Comenzar con el número 1 y tomar los cuatro números siguientes contando en el sentido de las agujas del reloj. Hacer lo mismo comenzando por el 2, por el 3, por el 4 y por el 5:

12345 23451 34512 45123 51234

6.- Contando varias cosas a la vez Se utiliza para contar varias secuencias numéricas simultáneamente. La idea es crear una estructura que permita contar una progresión de dos o más niveles al mismo tiempo. Para contar en tres niveles, cada vez que se complete un ciclo del primer nivel, se realiza un movimiento en el segundo nivel, y cada vez que se termine un ciclo del segundo nivel, se mueve un número en el tercer nivel.

1

2

3

4

Un procedimiento para crear una serie podría ser el siguiente: comenzando por el 1 y contando siempre en el sentido de las agujas del reloj en todos los círculos, contar en el círculo exterior 4 números. Cada vez que se cuente un número en el círculo exterior, en el círculo central se cuentan dos números y en el interior 3. La secuencia obtenida será:

1 1 2 1 2 3 2 3 4 4 1 2 3 1 2 3 4 1 4 3 4 2 3 4

7.- Contar en otras bases

7.1.- Sistema decimal 7.2.- Sistema binario 7.3.- Sistema octal 7.4.- Sistema hexadecimal

El sistema decimal de numeración es el que habitualmente utilizan las personas para contar todo tipo de cosas. Este sistema utiliza diez dígitos distintos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. No siempre se tienen que utilizar los valores numéricos del sistema decimal para crear las secuencias o series numéricas. Se pueden utilizar otros sistemas posicionales de representación numérica.

8.- Conteo con el ordenador

Considerar algunas secuencias numéricas en términos de un programa de ordenador puede revelar posibilidades que de otra forma pueden pasar desapercibidas.

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

1

En una matriz de 11 x 25 = 275 cuadrados, se representa la serie de los números naturales enteros del 1 al 23 en las 12 líneas verticales de la matriz.

FRANÇOIS MORELLET, Interferencias

10. SERIES BASADAS EN PATRONES GEOMÉTRICOS

Cualquier patrón geométrico ordenado y estructurado puede servir como modelo para sacar, atendiendo a sus características, información numérica serial.

La información se puede deber a la ubicación de los elementos dentro del sistema, la definición de movimientos y trayectos entre los elementos del sistema, la información sobre relaciones entre los elementos,…

1.- Series basadas en instrucciones geométricas .2.- Series basadas en figuras geométricas 3.- Series basadas en patrones de tejido 4.- Series basadas en las Torres de Brahma o Torres de Hanoi 5.- Series basadas en la curva de dragón 6.- Series basadas en el triángulo de Pascal 7.- Series basadas en cuadrados mágicos 8.- Series basadas en cuadrados latinos 9.- Series basadas en cuadrados eulerianos o greco-latinos 10.- Series basadas en el cuadrados naturales 11.-Series basadas en el cuadrado mágico de Durero

Jan Meyer-Rogge

11. SERIES NUMÉRICAS

Estudia una serie de secuencias de números conocidas por su aplicación directa con el mundo creativo: 1.- Secuencias de números poligonales

Secuencia de números triangulares Secuencia de números cuadrados Secuencia de números pentagonales Secuencia de números hexagonales

2.- Secuencias de números especiales Secuencia de números primos Número PI Número PHI Número raíz de dos Número raíz de tres

3.- Secuencias geométricas

Secuencia de cuadrados Suma de cuadrados Suma de potencias de cuatro

4.- Secuencia de productos numéricos: tablas de multiplicar 5.- Hexagramas

1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 11 12

13 14 15 16 17 18

19 20 21 22 23 24

25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36

Serie de los seis primeros números cuadrados. En una matriz de 6 x 6 = 36 cuadrados, en la que se ha representado la serie de los números enteros del 1 al 36, de una forma ordenada y progresiva, comenzando en la esquina superior izquierda y avanzando en la matriz de arriba abajo y de izquierda a derecha.

HARTMUT BÖHM, Relieve, 6 Puntos 1, 4, 9, 16, 25, 36, 1959

La obra representa los seis primeros términos de la serie de los números cuadrados (n2), en positivo y en negativo. En negativo, dejando vacías (blanco) las casillas de la matriz que corresponden a los números de la serie y marcando de color negro las otras. En positivo, realizando el proceso inverso: marcando en negro las casillas de la matriz que corresponden a los números de la serie de cuadrados especificada y dejando en blanco el resto de las casillas.

12. COMBINATORIA La combinatoria permite al artista generar un campo compositivo exploratorio de las posibilidades combinaciones de un repertorio de elementos dados. 1.- Variaciones 2.- Permutaciones

3.- Combinaciones

321 32 1 3 21 3 21 32 1 3 2 1

P3 = 3! = 6

321

1 2 3 2 1 3 3 1 2 1 3 2 2 3 1 3 2 1

KARL GERSTNER, Permutaciones cíclicas: 22 bocetos de la idea, 1956