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Pontifícia Universidade Católica de Goiás – PUC-GO Curso: Engenharia Civil Componente Curricular:

Topografia e Geodésia I

Notas de Aula

Docente: Eng. Agrimensor - Francisco Edison Sampaio

Goiânia, setembro de 2015.

Engenharia Civil - Topografia e Geodesia I ________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________ Topografia e Geodésia I: – Docente: Francisco Edison Sampaio – Eng. Agrimensor

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TOPOGRAFIA

1. Conceito:

O termo topografia deriva do grego topos (lugar) e graphein (descrever), portanto, topografia é a ciência aplicada, baseada na geometria e trigonometria plana, cujo objetivo é a representação gráfica de uma porção limitada de terreno, em projeção ortogonal, sobre um plano de referência, sem levar em consideração a curvatura da terra.

2. Diferença entre Topografia e Geodésia São ciências que têm o mesmo objetivo, o da representação de porções da superfície terrestre. A diferença entre elas reside principalmente no fato da Geodésia cuidar do estudo e representação de grandes extensões da terra e considerar, neste caso, a curvatura resultante da esfericidade da terra.

3. Aplicação:

A topografia é uma ciência de aplicação vasta no campo de praticamente todas engenharias, além da arquitetura. Tal aplicação decorre da necessidade do uso de plantas e mapas no desenvolvimento de projetos diversos. Exemplos dessa situação: construção de rodovias, ferrovias, edificações, redes elétricas, projetos de loteamentos, obras de saneamento, telecomunicações, etc. Além, das plantas topográficas, necessárias aos projetos, a topografia também é utilizada na implantação de todos esses projetos.

4. Divisão da topografia

A divisão clássica da topografia compreende: 4.1. Topometria: parte da topografia responsável pelas medidas angulares e lineares nos planos

horizontal e vertical e se subdivide em: Planimetria – que cuida das medidas de grandezas lineares e angulares, no plano

horizontal, necessárias à representação gráfica de determinado trecho de um terreno; Altimetria – responsável por medidas das alturas dos pontos topográficos em relação a um

plano horizontal de referência, através de medidas executadas no plano vertical 4.2. Topologia: parte da topografia encarregada do estudo das formas do relevo terrestre e das

leis de sua formação. A representação gráfica do terreno corre por meio da s curvas de nível ou mais recentemente pela Modelagem Digital do Terreno – MDT, onde se pode visualizar o terreno em três dimensões (3D).

5. Forma da terra:

A terra possui forma arredondada, ligeiramente achatada nos pólos. Sua superfície é irregular, formada por depressões e elevações, as quais não chegam a atingir 10Km, dessa forma, quando comparadas ao raio médio da terra, que é de 6.370Km, tornam-se desprezíveis para efeito da representação topográfica. A rigor, para efeitos dos estudos de representação da terra, costuma-se considerar o formato da terra em três situações: Geóide, Elipsóide de Revolução e o Plano topográfico (fig. 1, 2 e 3) 5.1. Geóide: superfície terrestre correspondente ao prolongamento do nível médio dos mares

sob os continentes e normal em todos os seus pontos à direção da gravidade; 5.2. Elipsóide de revolução: sólido adotado como forma mais próxima da forma real da terra e

que permite a execução de cálculos por ser um modelo matemático com parâmetros conhecidos. A reta que passa por um ponto do elipsóide com direção ao seu centro é dita normal à sua superfície no ponto considerado.



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figura 01 figura 02

Ps

a

PnContinente

aA

b

o

b

Geóide

Elipsóide

B

5.3. Plano topográfico: corresponde a superfície física da terra considerada plana para

execução das medidas topográficas, tendo em vista não ser necessário se levar em conta a esfericidade da terra, nos levantamentos topográficos. A extensão do plano topográfico depende da escala adotada. Por exemplo, para a E = 1/1.000, a extensão do plano topográfico seria de aproximadamente 23 Km

Em função do âgulo central (ac) o erro de esfericidade, nas distâncias,

pode ser obtido pelas relações a seguir: d'=R.tg(ac) e d=(ac).R. Efetuando

os cálculos para (ac) = 5', 10', 15', 20' e 30', obtem-se os valores inscritos

na tabela abaixo (para R=6.370 Km)ac

figura 03

R

a

A

d

p'S.F

B

b PT

R

d'

p

(ac) d' = R.tg(ac) (m) d = ac(rad).R (m) Erro absoluto (-) Erro relativo (-) 05’ 9.264,796 9.264,789 0,007 1:1.300.000 10’ 18.529,631 18.529,579 0,052 1: 360.000 15’ 27.794,545 27.794,368 0,177 1: 160.000 20’ 37.059,576 37.059,158 0,418 1: 90.000 25’ 46.324,764 46.323,950 0,814 1: 60.000 30’ 55.590,148 55.588,737 1,410 1: 40.000



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6. Escala Escala de um desenho é a relação constante entre as dimensões reais do objeto a se representar e as respectivas medidas desse objeto no desenho, podem ser representadas pela fórmula: E = d/D ou E = d : D, onde d = medida no desenho e D = tamanho real do objeto.

As escalas podem ser do tipo: Redução – quando a representação gráfica implica a redução do tamanho real do objeto

representado; Ampliação – quando as dimensões reais são ampliadas no desenho; Natural – quando as dimensões reais são representadas graficamente em verdadeira

grandeza Quanto à sua forma de representação as escalas podem ser numéricas ou gráficas. Escala Numérica – indicada na forma de fração, 1/M ou 1 : M , quando de redução ou

ainda M/1 e M : 1, quando de ampliação e ainda 1/1 para escalas naturais. Em topografia, as escalas utilizadas são normalmente de ampliação e as mais comuns sãos aquelas cujo denominador são múltiplos de 10, 20 e 50, tais como: 1/100, 1/1.000, 1/200, 1/2000, 1/500 e 1/5000. Numa escala numérica, o numerador será sempre igual a unidade e o denominador igual ao módulo (M) da escala que expressa a quantidade de vezes que a medida ou objeto real foi reduzido. Por exemplo, um alinhamento representado no papel na escala de 1/2000, significa dizer que tal medida foi reduzida no desenho duas mil vezes. A definição da escala mais apropriada para um determinado desenho é função de dois aspectos, o nível de detalhe que se pretende e o papel a ser utilizado, sendo o primeiro aspectos de maior relevância. Aplicação: seja uma poligonal cujas coordenadas máximas e mínimas no sentido dos eixos de X e Y equivalentes a: Xmax = 1537,250m e Xmin = 723,038m e Ymax = 1468,987m e Ymin = 568,254m. Definir a escala para o desenho, sabendo-se que o papel disponível para a representação gráfica é do formato A2 (a x b) sendo a = 420 mm e b = 594 mm. Resposta: Xmax – Xmin = 1537,250 – 723,038 = 814,212 m Ymax – Ymin = 1468,987 – 568,254 = 900,733 m Ex = a / ΔX = 0,420 m / 814,212 m, logo a escala mais apropriada na direção X é : 1 / 1939 Ey = b / ΔY = 0,594 m / 900,733 m, logo a escala mais apropriada na direção Y é : 1 / 1516 A escala adotada seria, neste caso, E = 1 / 2000, por satisfazer ambas as situações (medidas nas direções X e Y). Escala Gráfica – a escala gráfica pode ser linear ou ordinária e transversal. A escala gráfica

é dada por um segmento convenientemente graduada e obedece a relação entre a medida representada e sua real grandeza. É em resumo a representação gráfica de uma escala numérica. Exemplo: supondo que a escala de uma planta seja 1:100 e que o intervalo de representação seja de 1m, a escala gráfica correspondente terá o seguinte aspecto:



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7. Unidades de Medidas Em topografia faz-se uso de três tipos de grandezas, a saber: lineares, superficiais e angulares. Essas grandezas estão presentes em praticamente todas as plantas topográficas.

7.1. Sistema métrico decimal Medidas Lineares: A unidade padrão para medidas lineares é o metro, determinada pelo sistema métrico decimal, correspondente à décima milionésima parte do meridiano terrestre. Além do metro são usados seus múltiplos e submúltiplos. A relação entre eles para efeito de conversão está expressa na tabela abaixo. A relação é feita através de regra de três simples (proporção).

km hm dam m dm cm mm

1km 1 10 100 1000 10000 100000 1000000

1hm 0,1 1 10 100 1000 10000 100000

1dam 0,01 0,1 1 10 100 1000 10000

1m 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000

1dm 0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100

1cm 0,00001 0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10

1mm 0,000001 0,00001 0,0001 0,001 0,01 0,1 1

Medidas de Superfície: A unidade de medida adotada para as superfícies, baseada no sistema métrico decimal, é o metro quadrado, correspondente a um quadrado de 1,00 m de lado, denominado de are, tendo como múltiplos e submúltiplos:

Múltiplos do m2 Submúltiplos do m2

1 are 1,00 m² 1 dm² 0,01 m²

1 centiare 100,00 m² 1 cm² 0,0001 m²

1 hectare 10.000,00 m² 1 mm² 0,000001 m²

7.2. Sistema antigo de medidas lineares e de superfície Apesar do sistema métrico decimal ser oficial, ainda é comum em certas regiões o uso de medidas antigas. Medidas lineares: Sistema Antigo X Sistema Métrico Decimal

Sistema antigo Sistema antigo Sistema métrico 1 metro corresponde

Ponto Linha Polegada Palmo Vara Braça Corda Quadra Polegada inglesa Pé inglês Jarda

- 12 pontos 12 linhas 8 polegadas 5 palmos 2 varas 15 braças 4 cordas - 12 pol. Inglesas 3 pés ingleses

0,00019 m 0,00229 m 0,0275 m 0,220 m 1,10 m 2,20 m 33,00 m 132,00 m 0,0254 m 0,30479 m 0,91438 m

5,263 pontos 436,363 linhas 36,3636 polegadas 4,545 palmos 0,9090 varas 0,4545 varas 0,0303 braças 0,007575 quadra 39,3732 pol. Inglesa 3,2811 pés ingleses 1,0937 jardas



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Medidas de superfície: Sistema Antigo X Sistema Métrico Decimal

Sistema antigo Sistema antigo Sistema métrico

m² ha

Alqueire de 50 x 100 br (paul.) Alqueire de 75 x 75 br Alqueire de 80 x 80 br Alqueire de 75 x 100 br Alqueire de 100 x 100 br (Min.) Alqueire de 100 x 200 br Alqueire de 200 x 200 br Quadra de sesmaria Litro

5.000 br2

5.525 br2

6.400 br2

7.500 br2

10.000 br2

20.000 br2

40.000 br2

60 x 3.000 br 125 br2

24.200 27.225 30.796 36.300 48.400 96.800 193.600 871.200

605

2,4200 2,7225 3,0796 3,6300 4,8400 9,6800 19,3600 87,1200 0,0605

7.3. Unidades de medidas angulares As unidades de medidas dos ângulos e arcos são: o grau ou unidade sexagesimal, o grado ou unidade centesimal e o radiano, todas elas referidas ao desenvolvimento da circunferência. Grau – essa unidade corresponde a 1/360 da circunferência, isto é, uma das partes da circunferência equivalente a 360º. Os submúltiplos do grau são: o minuto e o segundo. A relação entre elas é: 1º = 60’ e 1’ = 60”. Grado – essa unidade corresponde a 1/400 da circunferência, ou seja, dividida a circunferência em 400 partes iguais, o grado corresponde a uma parte. Nesse caso, a circunferência corresponde a 400g. Os submúltiplos do grado são o minuto ou centígrado igual a 1/100 do grado e o segundo, igual 1/100 de centígrado. Radiando – é o arco retificado da circunferência igual ao seu raio. Assim, sendo 2πrad = 360º e considerando a circunferência de raio igual a unidade, tem-se que: 2π = 360º e 1ρ= 360º / 2π , o grau, grado e radiano podem ser relacionados pelas expressões:

1º = 1/360 / 1/400 = 10/9 grado e 1g = 9/10 grau 1ρ = 360º / 2π = 57º 17’ 44,8” e 1ρ = 400 / 2π = 63g,661977 1º = 0,0174532 ρ e 1g = 0,0157079 ρ

Aplicação: exercícios de conversão de unidades, operações matemáticas de soma e subtração entre valores de mesma unidade, de forma manual e com o uso da calculadora científica.

Exercício

1. Transformar as medidas angulares abaixo de grau para grado e radiando e vice-versa a) 14º 38’ 27” b) 322º 16’ 58” c) 274º 25’ 43” d) 02º 08’ 35”

e) 3/4πrad f) 0,58 πrad g) 5/8 πrad h) 1,5 πrad



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8. Planimetria Corresponde á parte da topografia na qual se realizam operações de medições de ângulos e distâncias, cálculos e finalmente desenho de determinado trecho de terreno, incluindo todos os detalhes naturais e artificiais, no plano horizontal, figura 4.

Figura 4 – Projeção horizontal de um terreno no plano topográfico, Lélis Espartel, 1980

8.1. Medições lineares 8.1.1. Processo Direto: Diz-se que uma medida é obtida diretamente quando comparamos a grandeza

em questão com a grandeza padrão. Exemplo: medidas feitas com uso de trenas e fitas de invar. Os instrumentos utilizados para obtenção direta de medidas são genericamente chamados de diastímetros e basímetros.

Principais erros cometidos nas medidas diretas a) Erro de dilatação ou contração: ocorre devido a temperatura ambiente que normalmente se

trabalha ser diferente da temperatura de fabricação dos instrumentos. Pode ser calculada pela formula: δe = lo x φ(tf – to), sendo: δe = Erro de dilatação ou contração; lo = comprimento inicial da trena; φ = coeficiente de dilatação; tf = temperatura final e to = temperatura inicial.

b) Erro devido ao desvio de alinhamento: decorrente da imperfeição no alinhamento da trena em relação a linha de visada.

figura 04

BB’ = e = afastamento B’C = x = erro l² = b² + e² , como l² = (b + x)², vem: (b + x)² = b² + e², então: b² + 2bx + x² = b² + e²

despreza-se x² e obtém-se x = e² / 2b



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c) Erro de desvio da horizontalidade da trena: a trena ao ser estendida entre dois pontos não se mantem na posição horizontal

figura 05

d) Erro de catenária: erro provocado pela parábola que a trena descreve abaixo da linha horizontal,

ao ser estendida entre dois pontos de um vão.

figura 06

e) Erro de elasticidade: os diastimetros ao serem fabricados são submetidos a determinada tensão

(To), se numa medição aplica-se uma tensão (T) maior ocorrerá um certo erro de comprimento. Este erro pode ser calculado pela fórmula abaixo:

e = (T – To) / S x E, onde: T = Tensão de medição final To = Tensão de fabricação S = Seção transversal da fita E = Módulo de elasticidade do material

f) Erro de inclinação da baliza (desvio da vertical): erro provocado pela falta de verticalidade da

baliza. Pode implicar em um erro para mais ou para menos, conforme seja o desvio de verticalidade do instrumento.

o erro “x” é calculado de forma análoga ao erro devido ao desvio de alinhamento (alínea b), só que em um

plano vertical



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figura 07

g) Erro de aproximação de leitura: ocorre ao se realizar aproximações nas leituras de distanciais

sobre a fita métrica, devido a não coincidência entre as distâncias medidas com valores exatos dos diastímetros.

h) Erro grosseiro: trata-se de erros nas medidas provocados por comportamento desatendo ou

relaxado, principalmente erros de anotação, observação ou mesmo negligência na execução de procedimentos básicos.

8.1.2. Processo Indireto: A medida indireta de distâncias é baseada na resolução de triângulos isósceles (fig.08) ou retângulos (fig.09) de base “G”. Os instrumentos usados para obtenção dessas distâncias são os taqueômetros estadimétricos, também denominados taqueômetros normais, os quais nada mais são que os teodolitos com luneta portadora de retículos estadimétricos.

figura 08

DH B

z

i

G

A

z

figura 09

DH

i

B

G

Fórmula para obtenção indireta da distância horizontal a) situação em que a luneta do equipamento encontra-se na posição horizontal (z =

90º ou i = 180º), sendo G denominado de número gerador, igual a diferença entre os fios estadimétricos superior (S) e inferior (I)



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DH

o

b

r e

f

F

V

C

w

Os triângulos OFb e SFI são semelhantes, logo:

SI // Ob e: f/e = d/G ou d = G . f/e, por outro lado:

DH = C + d DH = C + G . f/e, fazendo-se:

m = f/e (coeficiente estadimétrico) e sendo

C - constante do aparelho, pode-se escrever a

fórmula, como segue: DH = C + m . G (1)

Sendo:

r - retículos,

f - distância focal,

F - foco posterior da objetiva,

C - distância entre o centro do aparelho e foco F,

- ângulo diastimométrico,

DH - distância horizontal

B

d

I

MG

w

S

M

A

figura 10

b) situação em que a luneta do equipamento encontra-se numa posição qualquer (z ≠ 90º ou i ≠ 180º), sendo G denominado de número gerador, igual a diferença entre os fios estadimétricos superior (S) e inferior (I)

I1

F io

A

rb

DH

B

cf

V '

V

d

w^

Dh

Ii

M

S1

i

S

M1 M

Fazendo-se: S1M + MI1 = G1, vem:

G1 = SM X Cosi + MI x Cosi, logo:

G1 = (SM + MI) x Cosi, logo: G1 = G x Cosi (3)

Substituindo o valor de G1 (eq.3) na eq. 2, vem:

Dh = C + m.G.Cosi, mas DH = Dh.Cosi, então: Dh = DH/Cosi

DH/Cosi = C + m.G.Cosi DH = C.Cosi + m.G.Cos²i

como C = 0 e m = 100, vem: DH = 100.G.Cos²i

b) G = S - I e c) G1 = S1 - I1

retângulos em S1 e I1, respectivamente, em vista

3 - Os triângulos MSS1 e MII1, serão considerados

2 - O ângulo de inclinação da luneta (i) é igural ao ângulo

1 - A Mira M1 é perpendicular ao eixo de colimação

a) Dh = C + m.G1, (2)

Da figura é possível extrair:

S1M = SM x Cosi e MI1 = MI x Cosi

do valor de w ser muito pequeno

entre as miras M1 e M.

^

Observação:

figura 11



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8.2. Medidas angulares 8.2.1. Ângulo: região compreendida entre dois segmentos de retas que se interceptam em um ponto

chamado de vértice (fig. 12). Em topografia, os ângulos considerados podem ser verticais ou horizontais.

Âng. verticalT

Âng. horizontal

P

figura 12

8.2.2. Métodos de medições angulares

a) Simples: obtenção do ângulo pela diferença de um par leituras (ré e vante). O processo consiste basicamente na realização das leituras com uso do equipamento (teodolito, por exemplo) a partir de um ponto (estação), convencionando-se a primeira leitura como ré e a segunda como vante, conforme figura 13.

L2

O

L1

L2 - L1=

B

A

figura 13

b) Ângulo duplo: o ângulo é obtido por meio da realização de dois pares de medidas, de tal forma

que a segunda série de medição inicie-se a partir da segunda leitura da primeira série.

L0

O

=1 L2 - L1=0 L1 - L0

L1 L2

= 0 +

2

1

B

L2 - L0=2

L1

figura 14

Os ângulos horizontais são medidos com uso de instrumentos topográficos, no caso: bússolas, teodolitos e estações totais. Na atualidade, as medidas de ângulos em levantamentos topográficos são realizadas com teodolito ou estação total. A bússola tornou-se um instrumento auxiliar de uso eventual



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8.3. Métodos gerais de levantamentos topográficos 8.3.1. Levantamento topográfico: Conjunto de operações de campo e escritório que objetiva a coleta

de informações (ângulos e distâncias, além de outras informações complementares) necessárias à representação gráfica de uma determinada porção de terreno. Um levantamento é planimétrico quando cuida da determinação das projeções horizontais dos pontos do terreno, como se todos estivessem em um mesmo plano horizontal e altimétrico quando define as alturas destes pontos em relação a um plano horizontal de referência. Quando, simultaneamente, os pontos são definidos em ambos os planos, diz-se que o levantamento é plani-altimétrico.

Etapas de um levantamento topográfico (atividades de campo)

a) Reconhecimento prévio da área a levantar: preferencialmente feito por meio de visita ao local,

onde se possa, ‘”in loco”, perceber e detectar todos os aspectos relevantes para execução do levantamento como, por exemplo, a topografia do terreno, a cobertura vegetal, atividades econômicas presentes, acessos e infra-estrutura de apoio. O reconhecimento deve ser complementado com a análise de documentos já existentes: plantas, fotos imagens e dados cartoriais;

b) Planejamento da execução do levantamento: consiste na definição da estratégia do trabalho,

incluindo a relação de materiais e equipamentos e equipe técnica que atuará na atividade. Normalmente os materiais e equipamentos básicos são: teodolito, mira, balizas, nível tubular para baliza, trenas, piquetes, estacas testemunha, marreta, caderneta de anotações, prancheta, lapiseira e borracha. No caso de utilizar estação total, a mira será substituída por um conjunto de prisma acoplado a um bastão, e, dependendo do equipamento, as informações serão armazenadas em um coletor de dados externos ou na memória interna do equipamento;

c) Execução do levantamento: traduz-se nas operações de medição de grandezas lineares e

angulares, além da coleta de outras informações necessárias à caracterização física do local, inclusive relativas à infra-estrutura e confrontantes. A execução do levantamento ocorre conforme estratégia definida, podendo ser realizada com aplicação de métodos diversos. Deve-se atentar para uma providência importante nessa fase: o croqui, necessário para a fase de desenho;

d) Determinação da orientação do levantamento (norte magnético ou geográfico): normalmente a

orientação do levantamento deve estar em função da direção norte geográfica ou verdadeira, uma vez que esta é definitiva1. Entretanto, em trabalhos de menor relevância é admitido orientar tais trabalhos a partir do norte magnético. Essa orientação pode ser obtida de formas diferenciadas, dependendo de ser verdadeira ou magnética;

e) Cálculo: corresponde à fase analítica do levantamento onde se processa vários cálculos

determinando-se ângulos horizontais e azimutes, projeções de pontos e distâncias nos eixos X (direção leste) e Y (direção norte) do sistema de e finalmente os pares de coordenadas de cada ponto;

f) Desenho: de posse dos pares de coordenadas de cada ponto levantado, croqui e demais

informações coletadas passa-se á fase final do trabalho, no caso, o desenho, isto é, a representação gráfica da área em estudo. Nessa etapa é importante atentar para alguns itens importantes como escala, legenda, convenções e orientação da planta.



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8.3.2. Métodos de levantamento planimétrico:

a) Métodos principais – Triangulação, Caminhamento e Interseção

b) Métodos secundários – Irradiação e Coordenadas retangulares

c) Métodos auxiliares – Alinhamentos e Decomposição em triângulos

Os métodos principais se encarregam do levantamento do conjunto, isto é, de pontos que definem o arcabouço de uma região em estudo, sem a preocupação de definição dos acidentes. Os métodos secundários, de menor precisão, cuidam do levantamento de pontos que caracterizam a área em questão, sempre baseados em um levantamento principal. Finalmente, os métodos auxiliares tratam da determinação de detalhes de menor importância, cuja representação dispensa um levantamento mais cuidadoso. Na prática, faz-se uso de mais de um método quando da realização de um levantamento topográfico. No caso, iremos nos deter principalmente ao estudo do levantamento por caminhamento e irradiação.

Caminhamento ou poligonal Consiste na definição de uma poligonal cujos ângulos e distâncias são medidos consecutivamente pelo operador que percorre todos as estações materializadas com um piquete sobre cada um dos vértices do polígono. Os ângulos medidos podem ser azimutais (medição de azimutes ou rumos) e goniométricos (medição de ângulos entre dois alinhamentos)

AZ

0

N

01

12

1

AZ

2AZ

N

N

23

3

figura 15

Classificação do método por caminhamento ou poligonal

a) Quanto a forma:

aberto – quando se desenvolve entre dois pontos quaisquer de posições anteriormente indeterminadas (figura 15)

fechado – quando há coincidência entre o ponto inicial e final do levantamento, (figura 16 -

poligonal 12345671)

apoiado – quando levantado entre dois pontos já conhecidos de levantamento anterior (figura 16 – poligonais 22a2b2c6, 33a3b5 e 72b3b)



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1

3a

3

2

2a

73b

2b

2c

4

5

figura 16

b) quanto ao sentido do caminhamento à direita – quando a poligonal vai ficando à esquerda do operador (figura 16 – caminhamento

12345671)

à esquerda – quando a poligonal vai ficando à direita do operador (figura 16 – caminhamento 17654321)

c) quanto à precisão

poligonal principal ou de 1ª ordem – como a poligonal 1234567 (figura 16) poligonal secundária ou de 2ª ordem – quando apoiada em vértices da poligonal principal

(figura 16 – poligonal 22a2b2c6 ou 33a3b5)

poligonal terciária ou de 3ª ordem – poligonais apoiadas em vértices de poligonais de 2ª ordem (figura 16 – 72b3b)

Essa classificação quanto à precisão segue tantas forem as poligonais não principais geradas no levantamento.

Método Irradiação Trata-se de um método secundário, porém largamente utilizado nos levantamentos topográficos como complementar aos métodos principais, para definição de detalhes e o próprio perímetro das áreas levantadas. A operação em campo consiste basicamente da realização de visadas (ou irradiações) aos pontos de interesse, a partir de vértices de poligonais já levantadas.



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d3

d2d5

d4

D

0

E

d1

A

B

C

figura 17

Em um levantamento topográfico planimétrico em que se faça uso dos dois métodos (caminhamento e irradiação) a seqüência de campo traduz-se essencialmente na seguinte rotina:

1. estacionamento e nivelamento do teodolito ou estação total;

2. visada à ré e vante para definição de distâncias e ângulo horizontal entre os alinhamentos;

3. visadas (irradiações) nos pontos necessários e importantes à configuração em planta do terreno a ser representado graficamente;

4. definição da orientação do levantamento (norte magnético ou geográfico)

9. Ângulos horizontais, Azimutes e Rumos 9.1. Ângulos horizontais É o ângulo entre dois alinhamentos, podendo ser interno (caminhamento à direita) ou externo (caminhamento á esquerda), variando de 0º 00’ 00” a 360º 00’ 00” (fig. 18) 9.2. Azimute É o ângulo formado entre um alinhamento qualquer e a direção Norte – Sul, contado a partir do Norte, no sentido horário, podendo variar de 0º 00’ 00” a 360º 00’ 00” (fig.19)

Caminhamento 1234 (à direita) - âi

Caminhamento 4321 (à esquerda) - âe

N4

1

2âe

âiA

Az AB

3 NN

BC

Az

B

CB

Az

C

figura 18 figura 19

Cálculo de Azimutes – o azimute de um alinhamento é obtido em função do azimute do alinhamento anterior e o ângulo horizontal formado entre os dois alinhamentos. Desta forma os azimutes dos alinhamentos BC, CD, DE e EF (fig. 20), sendo os ângulos entre ABC = β, BCD = φ, CDE = Ψ, DEF = Θ, seria:



16/24

Az

A

N

Az N

DB

Az BC

C

CD

Az D

E

NAB

N

AzE

EF

NF

figura 20

AZBC = AZAB + β -180º, AZCD = AZBC + φ -180º, AZDE = AZCD + Ψ -180º e AZEF = AZDE + Θ + 80º

Logo: AZn+1 = AZn + β ± 180º, ou seja o azimute de um lado qualquer de uma poligonal é igual ao azimute do lado anterior, somado ao ângulo entre os dois lados, mais ou menos 180º, observando-se que deve ser somado 180º, se AZn + β < 180º, e subtraído 180º, se AZn + β > 180º.

9.3. Rumo Menor ângulo formado entre um alinhamento qualquer e a direção Norte – Sul, contado a partir do norte ou sul, variando de 0º 00’ 00” a 90º 00’ 00” . Como os rumos estão situados em quadrantes, há a necessidade de se indicar o quadrante em que está situado o alinhamento. De tal forma que a grandeza angular deve ser acompanhada das iniciais dos quadrantes: NE, SE, SW e NW (fig. 21).

RC

W)(S

OC

E)(SB

OBR

O

D R OD

W)(N

A

ROA

E)(N

E

S

W

figura 21



17/24

9.4. Conversão de azimutes em rumos e vice-versa – seja a figura abaixo:

(S

04

R

Az03

W)

(SE)2

02

0R

03

1

R 04

(NW) 01

(NE)Az =

E

Az 02

01R

3

W

Az

4

A conversão dos rumos em azimutes e vice-versa poderá ser realizada a partir das relações a seguir: a) AZ01 = R01 b) AZ02 = 180º - R02 c) AZ03 = 180º + R03 d) AZ04 = 360º - R04

Aplicação: conhecidos os rumos abaixo, observe a conversão destes em azimutes RAB = 38º 07’ 36” NW, RBC = 78º 01’ 52” SW, RCD = 04º 25’ 13” SE e RDE = 14º 27’ 16” NE

AZAB = 360º - RAB = 360º - 38º 07’ 36”

AZAB = 321º 52’ 24”

AZBC = 180º + RBC = 180º + 78º 01’ 52”

AZAB = 258º 01’ 52”

AZCD = 180º - RBC = 180º + 04º 25’ 13”

AZAB = 175º 34’ 47”

AZDE = RDE = 14º 27’ 16”

A conversão de azimutes em rumos é possível fazendo-se uso das mesmas equações, apenas isolando-se o termo referente ao rumo. Deve-se lembrar, entretanto, que neste caso, depois da conversão, deve ser acrescido ao rumo o quadrante respectivo.

10. Coordenadas Topográficas Locais – Retangulares Os vértices de uma poligonal e os demais pontos levantados são definidos pelo levantamento de suas coordenadas polares – distâncias e azimute ou rumo – o que permite sua representação em planta com relativa precisão. Entretanto, a transformação destas para coordenadas retangulares permite uma representação ainda mais precisa. Um sistema de coordenadas planas retangulares define-se pela existência de um sistema de eixos que se interceptam em um ponto (origem) formando um ângulo reto. No caso das plantas topográficas, o eixo na direção Y coincide com a direção Norte-Sul e o eixo na direção X com a direção Leste-Oeste.

figura 22



18/24

As coordenadas são:

a) Abscissas (X) – medida sobre o eixo X, a partir da origem até a projeção do ponto considerado sobre o eixo;

b) Ordenada (Y) – medida sobre o eixo Y, a partir da origem até a projeção do ponto sobre o eixo.

Origem do Sistema: Costuma-se adotar como origem do sistema de coordenadas topográficas locais valores bem altos para X e Y, 10.000 e 10.000, por exemplo, para se evitar coordenadas negativas, considerando que seus respectivos valores resultam da soma algébrica do valor inicial com a projeção do ponto sobres os eixos. A figura 23, abaixo ilustra um sistema de coordenadas planas retangulares.

YB

0

YC

YA

Y

B

AX XB

BA AX

CXB

Y

AY

B

CB

XCX

C

figura 23

10.1. Projeções Todos os alinhamentos ou pontos isolados são projetados sobres os eixos X e Y, ortogonalmente, visando a representação gráfica da área levantada e podem assumir valores positivos ou negativos, conforme estejam situados nos quadrantes NE, SE, SW e NW, conforme abaixo detalhado.

a) projeções situados no 1º quadrante (NE), azimute entre 0º e 90º: ΔY será positivo e ΔX positivo

b) projeções situadas no 2º quadrante (NW), azimute entre 270º e 360º: ΔY será positivo e ΔX negativo

c) projeções situadas no 3º quadrante (SW), azimute entre 180º e 270º: ΔY será negativo e ΔX negativo

d) projeções situadas no 4º quadrante (SE), azimute entre 90º e 180º: ΔY será negativo e ΔX negativo



19/24

+ YY

SW

- X

YY

NW

- X

+ X

0

SE

- YY

X+ NE

+ YY

W E

S 10.2. Cálculo de coordenadas Seja o sistema de eixos X / Y abaixo (fig.25) com um caminhamento representado, em que o eixo X tem a direção N / S e o eixo Y, a direção E / W. As coordenadas de cada ponto podem ser calculadas a partir de suas projeções nos respectivos eixos, em função do Rumo ou Azimute de cada alinhamento, como segue.

RAB

0

YD

YA

XA

A AB+ X

YC

BY

N

RAB

N

D

BX DX

+

XCE

RBC

DX- C

Y-

CD

AZ

BC

CY

B-

AB

Y

RBC

+B

X

B

N

C

AZ

BC

N

figura 25

figura 24



20/24

a) coordenadas relativas (projeções)

X AB = AB . Sen AzAB ou X AB = AB . Sen RAB

Y AB = AB . Cos AzAB ou Y AB = AB . Cos RAB

X BC = BC . Sen AzBC ou X AB = BC . Sen RBC

Y BC = BC . Cos AzAB ou Y BC = BC . Cos RBC

X CD = CD . Sen AzAB ou X CD = CD . Sen RCD

Y CD = CD . Cos AzAB ou Y CD = CD . Cos RCD

b) coordenadas absolutas

As coordenadas absolutas de cada ponto são obtidas adicionando-se algebricamente o valor da coordenada imediatamente anterior às projeções, lembrando-se que o cálculo deve começar a partir das coordenadas iniciais. Assim:

X B = XA + AB . Sen AzAB ou X A + AB . Sen RAB

Y B = YA + AB. Cos AzAB ou YA + AB . Cos RAB

X C = XB + BC. Sen AzBC ou XB + BC . Sen RBC

Y C = YB + BC . Cos AzAB ou YB + BC . Cos RBC

X D = XC + CD. Sen AzAB ou XC + CD . Sen RCD

Y D = YC + CD. CósAzAB ou YD + CD . Cos RCD

11. Erros de fechamento e compensação das poligonais – medidas angulares e lineares Ao se realizar um levantamento topográfico, isto é, levantar medidas de ângulos e distâncias, torna-se praticamente impossível, por diversos fatores, obter-se a grandeza real destas medidas, tendo em vista os erros acidentais inevitáveis cometidos. Em conseqüência destes erros parciais, resulta um erro total nas poligonais fechadas ou apoiadas, denominado de erro de fechamento, que pode ser apurado e deve ser objeto de compensação da poligonal.

11.1. Erro nas medidas angulares (ea)

a) poligonal fechada – no caso de um polígono fechado, o erro angular será obtido comparando-se o somatório dos ângulos (internos ou externos) lidos no campo com o somatório dos mesmos ângulos de uma poligonal com o mesmo número de vértices, assim:

ea = ∑ âng.internos lidos – 180 (n – 2), para ângulos internos ou

ea = ∑ âng.externos lidos – 180 (n +2), para ângulos externos,

Sendo: “n” o número de vértices ou lados da poligonal

180 (n – 2) a soma total dos ângulos internos de um polígono fechado 180 (n + 2) a soma total dos ângulos externos de um polígono fechado

b) poligonal apoiada – em se tratando de uma poligonal apoiada (poligonal de ordem inferior à principal) o erro angular será definido comparando-se o azimute final, calculado a partir desta poligonal e o azimute inicial, previamente conhecido, no caso o azimute da poligonal que serve de apoio.

ea = AZfinal - AZinicial



21/24

c) erro angular admissível (Ead) - o erro tolerável é função da precisão que se pretende atingir,

normalmente é definido em função da eficiência dos equipamentos nas medidas angulares pontuais e, se for o caso, de um coeficiente “k” de valor variável de 1 a 3, conforme seja a precisão desejada, assim, pode-se apresentar a fórmula do erro, com segue abaixo:

Ead = k. p. N , sendo p a precisão angular do equipamento por medida efetuada e N o número de

vértices da poligonal.

11.2. Compensação do erro angular (Ca) A compensação do erro angular cometido durante o levantamento topográfico só poderá ocorrer caso seja

satisfeita a seguinte condição: ea ≤ Ead. A compensação então deverá ser realizada distribuindo-se

eqüitativamente o erro por todos os vértices da poligonal, considerando que a possibilidade do erro é a mesma para toda poligonal, já que as medições são realizadas com o mesmo instrumental e nas mesmas condições ambientais de trabalho. Portanto, o valor angular a ser acrescido ou retirado de cada ângulo da poligonal é:

Ca = ea / n, sendo n o número de vértices da poligonal. O sinal da correção deve ser o oposto do sinal do

erro cometido. 11.3. Erros nas medidas lineares Ao se realizar um levantamento topográfico, os erros normalmente cometidos atingem não somente as grandezas angulares, mas também as medidas de distâncias. Desta forma, há a necessidade de se ajustar tais medidas aplicando-se as correções devidas. a) poligonal fechada – neste caso, o ET (Erro Total) pode ser calculado a partir de sua projeção nos

eixos X e Y, conforme figura abaixo. Δx e Δy são determinados quando do cálculo da poligonal e representam a soma algébrica das projeções em ambos os eixos.

TE

E

0

X

YA'

D

E

B

A

C

figura 26

ET = ΔX ² + Δ Y ²



22/24

b) Poligonal apoiada – o erro linear (ET), fruto das medições de campo, da mesma forma anterior é calculado a partir dos erros evidenciados nos eixos X e Y

figura 27

1c

1b

X

6'X

TY

E61a

1

Y

c) Cálculo do erro linear nos eixos X e Y – poligonal fechada - Os erros cometidos ao se realizar as

medidas de distâncias (poligonal fechada) serão evidenciados quando se projetar tais medidas no sistema de eixo. Se não existir erro, a somatória algébrica das projeções, em cada eixo, deve se anular. Quando isto não ocorre, é porque houve erro nas medidas lineares, devendo-se apurar o erro total, para as correções necessárias (fig. 28).

0 AX BX XD XCE

Y

D

YD

+Y

AY

A

+ X BA

- XAD

A

-

Y

YC

BA

Y+

B

B-

YC

N

CD

D

+ BX C

D- XC

B

C

Realizando-se o somatório das projeções dos lados nos eixos X e Y, estas deverão se anular.

∑X = ΔXAB + ΔXBC – ΔXCD – ΔXDA = ΔX = 0 ∑Y = ΔYAB + ΔYDA – ΔYBC – ΔYCD = ΔY = 0

Se ΔX ou ΔY ≠ 0, houve erro e este deve ser compensado.



23/24

d) Cálculo do erro linear nos eixos X e Y – poligonal apoiada – neste tipo de poligonal, os pontos inicial e final são conhecidos por meio de suas coordenadas absolutas. Assim, as somas das coordenadas do ponto inicial A (XA, YA) com as projeções dos lados da poligonal sobre os eixos devem ser iguais às coordenadas do ponto final. Porém, da mesma forma que o caso anterior pode-se cometer erros nas medidas dos lados e não se chegar exatamente no ponto de apoio da poligonal (fig. 27). Deve-se proceder à correção, aplicando-se a fórmula do Erro Total.

11.4. Compensação linear Para levantamento de pequenas extensões, a compensação linear pode ser feita determinando-se o erro por metro linear em ambos os eixos, para posteriormente aplicá-la proporcionalmente a cada um dos lados, como segue: emx = ΔX / L e emy = ΔY / L, sendo: emx e emy os erros por metro nos eixos X e Y, ΔX e ΔY os erros totais nos dois eixos e L o perímetro da poligonal. A correção a ser aplicada em cada projeção será: CX = emx • l e CY = emy • l, sendo l, cada um dos

lados da poligonal. A correção deverá ter sinal inverso ao sinal do erro encontrado em cada eixo, devendo-se levar em consideração o sinal das projeções, quando da soma destas com CX e CY.

A correção podem ser realizada também diretamente sobre as projeções, nesse caso:

CX= ΔX / ∑ |(E+)+(W-)| x Projeções no eixo X Cy= ΔX / ∑ |(N+)+(S-)| x Projeções no eixo y

A correção só poderá ser aplicada se o Erro Toral (ET) for menor ou igual ao Erro Admissível, normalmente definido por uma precisão a ser atingida, como por exemplo: 1/1000 e 1/2000, ou seja erro máximo de uma unidade para cada 1000 ou 2000 medidas. Exemplo de uma planilha de cálculo de uma poligonal de quatro vértices.



24/24

Exercícios

1. Dada a planilha abaixo, pede-se:

a) cálculo do erro angular;

b) compensação do erro angular;

c) cálculo dos azimutes

d) croqui esquemático da poligonal

Obs. o erro angular permitido é 10” n , sendo n o número de vértices da poligonal.

Est Vante Angulo

Horizontal Ca

Âng. Horizontal compensado

Azimute

1 2 95º 32’ 38”

2 3 140º 30’ 47”

3 4 120º 45’ 01”

4 5 92º 12’ 46”

5 6 141º 37’ 00”

6 1 129º 21’ 36”

2. Dados os azimutes dos lados de uma poligonal, pede-se:

AZ12 = 17º 25’ 16”

AZ23 = 298º 05’ 29”

AZ34 = 05º 11’ 43”

AZ45 = 86º 58’ 35”

AZ56 = 123º 17’ 06”

AZ67 = 192º 46’ 18”

AZ71 = 287º 39’ 54”

a) cálculo dos ângulos horizontais;

b) transformação dos azimutes em rumos;

c) croqui esquemático da poligonal

3. Transformar os rumos abaixo em azimutes

a) ROA = 48º 17’ 28” NW

b) ROB = 02º 13’ 35” SE

c) ROC = 15º 49’ 53” NE

d) ROD = 89º 16’ 45” SW

4. Conhecendo-se os pares de coordenadas dos vértices da poligonal abaixo, pede-se:

X1 = 335,9558 Y1 = 143,5536

X2 = 314,6782 Y2 = 226,5549

X3 = 235,3706 Y3 = 284,4627

X4 = 74,8210 Y4 = 215,9384

X5 = 100,0000 Y5 = 150,0000

X6 = 196,1388 Y6 = 92,8781

a) rumos e azimutes dos alinhamentos;

b) ângulos horizontais;

c) comprimento dos lados;

d) área do polígono.

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