PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE

ESCUELA DE INGENIERIA

SIMULACION DE TRANSITORIOS

ELECTROMECANICOS

EN SISTEMAS ELECTRICOS DE POTENCIA

MEDIANTE PROCESAMIENTO PARALELO

FELIPE ALFONSO MORALES SILVA

Tesis para optar al Grado de

Magister en Ciencias de la Ingenier��a.

Supervisores:

HUGH RUDNICK V. D. W.

ALDO CIPRIANO Z.

Santiago de Chile, 1999

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE

ESCUELA DE INGENIERIA

Departamento de Ingenier��a El�ectrica

SIMULACION DE TRANSITORIOS

ELECTROMECANICOS

EN SISTEMAS ELECTRICOS DE POTENCIA

MEDIANTE PROCESAMIENTO PARALELO

FELIPE ALFONSO MORALES SILVA

Tesis presentada a la Comisi�on integrada por los profesores:

HUGH RUDNICK V. D. W.

ALDO CIPRIANO Z.

HECTOR PE~NA M.

CELSO GONZALEZ G.

PATRICIO DEL SOL G.

para completar las exigencias del grado de

Magister en Ciencias de la Ingenier��a.

Santiago de Chile, 1999

A mi familia

ii

AGRADECIMIENTOS

Quiero agradecer a mis padres por su apoyo y comprensi�on, y destacar el

sacri�cio que han realizado para costear mi educaci�on.

Tambi�en quiero agradecer, de manera especial y muy sinceramente, la

con�anza y el apoyo recibido de mi tutor el Pr. Dr. Hugh Rudnick y del Pr. Dr.

Aldo Cipriano, quienes me guiaron en mi formaci�on profesional y humana durante

mi estad��a en el Programa de Magister.

A los Prs. Dr. Joaqu��n Astorga y Dr. Hector Pe~na, de la Universidad

Cat�olica de Valpara��so, quienes recomendaron mi ingreso al programa y continuaron

orient�andome.

A los Prs. Dr. Luis Rouco del Instituto de Investigaci�on Tecnol�ogica

de Madrid, Dr. Leonardo P�aucar en la Universidad de Campinas, Dr. Djalma

Falc~ao de la Universidad Federal de Rio de Janeiro y Dr. Jo~ao Tom�e Saraiva del

Instituto de Engenharia de Sistemas e Computadores de Oporto, por su atenci�on

durante las estad��as de investigaci�on �nanciadas a trav�es del Proyecto CYTED VII.7,

\Tecnolog��as Emergentes en Sistemas El�ectricos".

A la Comunidad Europea, a trav�es del Proyecto \Parallel Computing and

Dynamic Optimization", que �nanci�o la adquisici�on del computador paralelo.

A Fondecyt y a la Unidad de Investigaci�on y Desarrollo de ENDESA en

la Universidad Cat�olica de Chile.

A Tamara Reyes, Doris S�aez, Ren�e Vidal y Juan Zolezzi, de quienes he

recibido mucha amistad y ayuda.

Felipe A. Morales S.

Santiago, Marzo de 1999

iii

INDICE GENERAL

P�ag.

DEDICATORIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii

AGRADECIMIENTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

INDICE GENERAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

INDICE DE TABLAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

INDICE DE FIGURAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii

RESUMEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi

ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xii

I. INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 Simulaci�on de Fen�omenos Transitorios . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Motivaci�on, Objetivos y Alcances del Trabajo . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Organizaci�on de la Tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

II. NOCIONES DE PROCESAMIENTO PARALELO Y APLICACIONES

EN SISTEMAS ELECTRICOS DE POTENCIA . . . . . . . . . . . . . 10

2.1 Nociones de Procesamiento Paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.1 Caracter��sticas de las arquitecturas para procesamiento pa-

ralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.2 Arquitecturas para procesamiento paralelo . . . . . . . . . 14

2.1.3 Modelos e ��ndices de desempe~no . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 Aplicaciones del Procesamiento Paralelo en Sistemas El�ectricos de

Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2.1 Aplicaciones en el an�alisis de sistemas el�ectricos de potencia 21

2.2.2 Aplicaciones potenciales del procesamiento paralelo . . . . . 37

2.2.3 Implementaciones en la industria el�ectrica . . . . . . . . . . 43

III. REPRESENTACION DEL SISTEMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

iv

3.1 Introducci�on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2 Modelaci�on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.2.1 Modelo del generador s��ncrono . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2.2 Modelo del sistema de excitaci�on . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.2.3 Modelo del estabilizador del sistema de potencia . . . . . . 54

3.2.4 Modelo de la turbina y el regulador de velocidad . . . . . . 55

3.2.5 Modelo de las unidades generadoras . . . . . . . . . . . . . 56

3.2.6 Modelo del sistema de transmisi�on y los consumos . . . . . 60

3.2.7 Modelo multim�aquinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

IV. SIMULACION DE TRANSITORIOS ELECTROMECANICOS Y FOR-

MULACION DE UNA SOLUCION PARALELA . . . . . . . . . . . . . 70

4.1 Introducci�on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.2 Procesamiento Paralelo en la Simulaci�on de Transitorios Electro-

mec�anicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.2.1 Alternativas para formular el problema de la simulaci�on de

transitorios electromec�anicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.2.2 Aplicaciones del procesamiento paralelo en la simulaci�on de

transitorios electromec�anicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.3 Formulaci�on y Desarrollo de la Estrategia de Paralelizaci�on . . . . 102

4.3.1 Estrategia de paralelizaci�on . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.3.2 M�etodos utilizados en el desarrollo de la estrategia . . . . . 107

4.3.3 Realizaci�on del m�etodo en un multicomputador . . . . . . . 114

V. ESTUDIOS DE SIMULACION Y CONCLUSIONES . . . . . . . . . . . 117

5.1 Estudios de Simulaci�on Paralela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.1.1 Evaluaci�on de la simulaci�on basada en el concepto de para-

lelizaci�on temporal acoplada . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.1.2 Evaluaci�on de los m�etodos utilizados para el desarrollo de

la estrategia de paralelizaci�on . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

5.1.3 Evaluaci�on del m�etodo de Newton Maclaurin en simulacio-

nes paso a paso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

5.1.4 Evaluaci�on del m�etodo de Newton Maclaurin en problemas

de dimensi�on elevada: simulaciones del SIC basadas en el

concepto de paralelizaci�on temporal acoplada . . . . . . . . 134

v

5.2 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

BIBLIOGRAFIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

ANEXOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

ANEXO A: Nociones Acerca de la Teor��a de Grafos . . . . . . . . . . . . . . . 155

A.1 Notaci�on y De�niciones Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

A.2 Aplicaci�on en la Obtenci�on de una Descomposici�on � Balanceada . 156

ANEXO B: Descripci�on y Utilizaci�on del Multicomputador . . . . . . . . . . . 159

B.1 Descripci�on del Multicomputador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

B.2 Ejecuci�on de Programas y Partici�on del Multicomputador . . . . . 160

ANEXO C: Construcci�on del Programa de Simulaci�on en Lenguaje C . . . . . 162

C.1 T�ecnicas de Programaci�on Basadas en Lenguaje C . . . . . . . . . 162

C.1.1 Programaci�on estructurada basada en subrutinas y directi-

vas #include . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

C.1.2 Utilizaci�on de punteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

C.1.3 Asignaci�on de memoria din�amica . . . . . . . . . . . . . . . 164

C.1.4 Utilizaci�on de estructuras de datos . . . . . . . . . . . . . . 164

C.2 Intercomunicaci�on de Procesadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

ANEXO D: Datos del Sistema de Prueba IEEE300 . . . . . . . . . . . . . . . 168

vi

INDICE DE TABLAS

P�ag.

5.1 Caracter��sticas de la representaci�on utilizada para el SIC (A~no 1992) . . 119

5.2 Niveles de tensi�on considerados en la representaci�on SIC . . . . . . . . . 120

5.3 Caracter��sticas de operaci�on de las unidades generadoras representadas

din�amicamente en el modelo del SIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.4 Normas para evaluar la convergencia del m�etodo de Newton-Maclaurin . 123

5.5 Dispositivos eliminados para obtener una descomposici�on en dos bloques

(el n�umero entre par�entesis es el n�umero de dispositivos en paralelo) . . 126

5.6 Balance de los bloques y tiempos requeridos para una etapa de inversi�on

bifactorizada t��pica sobre cuatro procesadores (no incluye substituci�on) . 127

5.7 Caracter��sticas generales del sistema de prueba IEEE300 . . . . . . . . . 132

5.8 Iteraciones requeridas para convergencia de la simulaci�on paso a paso en

funci�on del n�umero de procesadores. Estudio de simulaci�on del sistema

de prueba IEEE300 mediante un multicomputador . . . . . . . . . . . . 134

5.9 Resumen con las caracter��sticas del estudio de simulaci�on basado en el

concepto de paralelizaci�on temporal acoplada . . . . . . . . . . . . . . . 135

B.1 Caracter��sticas t�ecnicas del multicomputador Parsytec PowerXplorer . . 160

B.2 Particiones actuales del multicomputador Parsytec PowerXplorer . . . . 161

D.1 Par�ametros din�amicos utilizados en las simulaciones del sistema de prue-

ba IEEE300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

D.1 Par�ametros din�amicos utilizados en las simulaciones del sistema de prue-

ba IEEE300 (Continuaci�on) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

vii

INDICE DE FIGURAS

P�ag.

1.1 Clasi�caci�on de los tipos de estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Sistemas y lazos de control en un sistema el�ectrico de potencia . . . . . 4

1.3 Ventana temporal y banda de frecuencia de los fen�omenos din�amicos en

un sistema el�ectrico de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Contenido de la Tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1 Sistema de intercomunicaci�on de procesadores basado en interruptores . 13

2.2 Red de interconexi�on para procesadores dotados de su propia memoria

local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3 Arquitecturas de computaci�on paralela basadas en dise~nos h��bridos . . . 14

2.4 Modelo DAG para la operaci�on 2

p�x exp(x) . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.5 Alternativas para la soluci�on paralela del problema algebraico lineal . . 23

2.6 Matrices especialmente reestructuradas para procesamiento paralelo . . 25

2.7 Modelo utilizado para representar una l��nea de transmisi�on en estudios

de simulaci�on de transtorios electromagn�eticos . . . . . . . . . . . . . . 28

2.8 Diagrama de ujo para la simulaci�on paralela de transitorios electro-

magn�eticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.9 Diagrama de ujo del m�etodo de la TEF para evaluaci�on de la seguridad

din�amica mediante computadores paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.10 Diagrama de ujo de la versi�on paralela del m�odulo para an�alisis de la

estabilidad de tensi�on EVARISTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.11 Diagrama de ujo de la versi�on paralela del m�odulo de plani�caci�on

MEXICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.12 Con�guraci�on de un sistema de procesamiento descentralizado para un

centro de control local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.13 Herramienta computacional de sistemas el�ectricos de potencia para el

futuro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.14 Simulador digital en tiempo real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.15 Prueba en lazo cerrado de un rel�e f��sico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.1 Estructura del modelo utilizado para an�alisis de transitorios electro-

mec�anicos en sistemas el�ectricos de potencia . . . . . . . . . . . . . . . 47

viii

3.2 Representaci�on gr�a�ca de los circuitos en el estator y rotor de una m�aqui-

na s��ncrona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.3 Marcos de referencia utilizados en la de�nici�on de variables del sistema . 50

3.4 Diagrama de bloques del sistema de excitaci�on y el transductor de tensi�on 53

3.5 Diagrama de bloques del estabilizador del sistema de potencia . . . . . . 54

3.6 Diagrama de bloques de la unidad hidr�aulica . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.7 Circuito � equivalente de una l��nea de transmisi�on . . . . . . . . . . . . 61

3.8 Representaci�on de un transformador desfasador . . . . . . . . . . . . . . 61

3.9 Representaci�on de los consumos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.1 Representaci�on pict�orica de un sistema el�ectrico de potencia . . . . . . . 74

4.2 Alternativas para formular el problema de simulaci�on de transitorios

electromec�anicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.3 Diagrama en bloques para el sistema no lineal representado por la ecua-

ci�on de oscilaci�on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.4 Diagrama de ujo del algoritmo de relajaci�on funcional para simulaci�on

mediante computadores paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.5 Representaci�on de la simulaci�on paralela utilizando el concepto de para-

lelizaci�on temporal en su forma desacoplada . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.6 Secuencia de operaciones paralelas para los esquemas basados en la re-

lajaci�on del m�etodo de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.7 Una topolog��a toroidal t��picamente utilizada para la simulaci�on basada

en el paralelismo temporal y espacial (16 nodos: 4 en el espacio y 4 en

el tiempo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.8 Recursos utilizados para la simulaci�on basada en el m�etodo de Picard

Desplazado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.9 Diagrama de ujo para la simulaci�on de transitorios electromec�anicos

mediante el multicomputador Parsytec PowerXplorer . . . . . . . . . . . 115

5.1 Tiempo CPU por etapa de la simulaci�on v=s n�umero de pasos integrados

simult�aneamente. Estudio de simulaci�on del SIC mediante un multicom-

putador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

5.2 Descomposiciones del Jacobiano para procesamiento paralelo. Estudio

de simulaci�on del SIC mediante un multicomputador . . . . . . . . . . . 124

ix

5.3 Grupos de unidades generadoras obtenidos mediante la Descomposici�on �

Balanceada. Estudio de simulaci�on del SIC mediante un multicomputador125

5.4 Ganancia de velocidad como una funci�on de los t�erminos de la serie de

Maclaurin. Estudio de simulaci�on del SIC mediante un multicomputador 128

5.5 Indices de desempe~no para la simulaci�on paso a paso como una funci�on

del n�umero de procesadores. Estudio de simulaci�on del SIC mediante un

multicomputador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

5.6 N�umero de iteraciones requeridas para la convergencia como una funci�on

de los t�erminos de la serie de Maclaurin. Estudio de simulaci�on del SIC

mediante un multicomputador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5.7 Indices de desempe~no para la simulaci�on paso a paso como una funci�on

del n�umero de procesadores. Estudio de simulaci�on del sistema de prueba

IEEE300 mediante un multicomputador . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

5.8 Indices de desempe~no para la simulaci�on basada en el concepto de pa-

ralelizaci�on temporal acoplada. Estudio de simulaci�on del SIC mediante

un multicomputador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

A.1 Matrices utilizadas para representar la aplicaci�on de la teor��a de grafos

en la obtenci�on de una Descomposici�on � . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

A.2 Grafos correspondientes a las matrices J1, J2 y J3 . . . . . . . . . . . . 157

A.3 Representaci�on de la inversi�on de la matriz J3 mediante el modelo DAG 158

B.1 Representaci�on gr�a�ca del multicomputador Parsytec PowerXplorer . . 159

x

RESUMEN

En esta Tesis se considera la b�usqueda, desarrollo y prueba de un algorit-

mo adecuado para simular r�apida y e�cientemente transitorios electromec�anicos en

sistemas el�ectricos de potencia mediante un computador paralelo (multicomputador).

El m�etodo de integraci�on seleccionado es la regla trapezoidal. Este, en

conjunto con la soluci�on basada en un m�etodo de Newton modi�cado, con iteracio-

nes caracterizadas por la soluci�on bifactorizada o LU de un conjunto de ecuaciones

lineales cuasivac��o, ha liderado los esquemas de simulaci�on desarrollados para com-

putadores seriales (monoprocesador).

La simulaci�on se formula como un problema algebraico nolineal utilizando

el concepto de paralelizaci�on temporal. La soluci�on concurrente se obtiene descom-

poniendo la matriz Jacobiana como la suma de una matriz bloque diagonal, JD, y una

matriz con los elementos fuera de los bloques diagonales, JO. Entonces, la inversa

del Jacobiano se reescribe como (I+J�1D J0)�1J�1D y, asumiendo que jjJ�1D JOjj < 1, el

t�ermino (I+J�1D J0)�1 se aproxima por su serie de Maclaurin. Los resultados indican

que la propiedad anterior, la cual es una condici�on su�ciente para la convergencia de

la etapa de inversi�on, permite dirigir la b�usqueda de la descomposici�on.

La Descomposici�on � se utiliza para particionar el Jacobiano mientras se

reduce jjJOjj y el M�etodo del Camino m�as Largo para equilibrar la dimensi�on de

los bloques en JD. Ambos permiten adecuar e�cientemente la estrategia de para-

lelizaci�on propuesta, particularmente en computadores cuya raz�on de velocidad de

procesamiento a comunicaci�on es elevada. El algoritmo se desarrolla casi en su to-

talidad mediante esquemas para tratar matrices cuasivac��as, permitiendo mejorar su

desempe~no y hacer viable la simulaci�on de sistemas de gran escala.

La simulaci�on se incorpor�o en lenguaje C a un computador Parsytec Po-

werXplorer que consta de 8 procesadores PowerPC 601. Se realizan estudios de simu-

laci�on del Sistema Interconectado Central chileno y del sistema de prueba IEEE300

para evaluar las ventajas y desventajas de utilizar el algoritmo paralelo; particular-

mente, en lo que concierne a la reducci�on del tiempo de simulaci�on.

xi

ABSTRACT

This Thesis proposes the search, development and test of a suitable al-

gorithm to simulate fast and e�ciently the electromechanical transients of power

systems on a parallel computer.

The integration method chosen is the trapezoidal rule. This one, together

with the solution based on a modi�ed Newton type method, with iterations charac-

terized by the bifactorized or LU solution of a sparse linear equation set, has been

mostly adopted for serial computer applications.

The simulation is formulated as the nonlinear algebraic problem by using

the time parallelization concept. The concurrent solution is obtained by decomposing

the Jacobian matrix as the addition of a block diagonal matrix, JD, and a matrix

with o� blocks diagonal elements, JO. The Jacobian inverse is re-written as (I +

J�1D J0)�1J�1D and assuming that jjJ�1D JOjj < 1 the term (I+J�1D J0)

�1 is approximated

by means of its Maclaurin series. The results show that the above property, which is

a su�ciency condition for the convergence of the inversion stage, orients the search

for the decomposition.

The � Decomposition is used to partition the Jacobian while jjJOjj is

decreased and the Longest Path Scheduling Method to balance the size of the blocks

in JD. These permit to adapt the strategy in an e�cient way, particularly, when it is

incorporated on a coarse grain computer. The algorithm was developed mainly with

sparse matrix schemes, so as to not only improve the performance of the program

but in also making feasible the simulation of large scale systems.

The parallel simulation written in C language was implemented on a

Parsytec computer consisting of eight PowerPC 601 processors. Studies of the Chi-

lean Central Interconnected System (SIC) and the IEEE300 test system are conside-

red to evaluate the advantages and drawbacks in the parallel method, in particular

in relation to the reduction of the simulation time.

xii

1

I. INTRODUCCION

Con el advenimiento de los computadores digitales y el uso de tecnolog��as

cada vez m�as e�cientes, una gran cantidad de los an�alisis realizados por la indus-

tria el�ectrica y los grupos acad�emicos asociados han sido continuamente adaptados

para incluir estudios m�as precisos, con�ables y vers�atiles. Los recursos dirigidos al

desarrollo de herramientas de an�alisis con este tipo de caracter��sticas son enormes

[AF94, Fa96, Rep92, Rud77, Sto79]. Esto no s�olo ha permitido extender la operaci�on

del sistema hacia niveles tecnol�ogicos considerablemente m�as complejos, como lo es

aquella basada en la evaluaci�on de la seguridad y el control en tiempo real, sino que

adem�as ha sido determinante en la evoluci�on hacia un sistema en el cual el bien social

se integra a trav�es del concepto de adaptaci�on econ�omica.

Visto el desarrollo que est�an experimentado los sistemas el�ectricos de po-

tencia, considerando sus nuevas estrategias de regulaci�on y mercado [Rud94], y el

desaf��o que conlleva la operaci�on en condiciones cada vez m�as cercanas a los l��mites

de la estabilidad [Kun94, FV92], el an�alisis de �estos viene a ser considerablemente

m�as dif��cil, requiriendo modelos matem�aticos de elevada complejidad. Esto, sumado

al soporte necesario para implementar algoritmos donde las herramientas de compu-

taci�on convencionales no parecen ser adecuadas, incrementan los requerimientos de

computadores que alcancen un mejor desempe~no.

El procesamiento paralelo, en conjunto con el procesamiento vectorial, el

desarrollo de algoritmos, compiladores, interfaces gr�a�cas y tecnolog��a, entre otros

recursos, constituyen la base de un ambiente computacional e�ciente (HPC: High

Performance Computing). Este tipo de plataforma computacional integrada, cuyo

nivel de desarrollo permite su utilizaci�on con costos relativamente moderados, viene

a ser una de las m�as promisorias en aplicaciones asociadas a los sistemas el�ectricos

modernos [Fa96, Rep92, DFaK96].

1.1 Simulaci�on de Fen�omenos Transitorios

El principal estudio que realiza la industria el�ectrica considerando como

herramienta la simulaci�on de los transitorios electromec�anicos eval�ua la estabilidad

2

angular del sistema frente a perturbaciones de gran magnitud [Sto79]. Tal estudio

presenta un inter�es particular para el �area de la computaci�on e�ciente, dada la poten-

cialidad que �esta presenta para evaluar la seguridad din�amica del sistema en tiempo

real [Fa96]. En un par de aplicaciones se destaca que la utilizaci�on de plataformas

de procesamiento paralelo han permitido alcanzar tal objetivo [TIN+92, CZBT91].

Cuando la simulaci�on est�a dirigida a determinar la seguridad din�amica

del sistema en tiempo real, se hace necesario exponer algunos conceptos que permiten

clari�car las caracter��sticas del problema en cuesti�on. La estabilidad del sistema es

un problema �unico, pero su estudio como tal a�un no es viable; �esto sugiere clasi�car

el problema de acuerdo a consideraciones tales como [Kun94]:

� La naturaleza f��sica de la inestabilidad en cuesti�on;

� la magnitud de la perturbaci�on considerada;

� los dispositivos, procesos y el tiempo que deben ser considerados para evaluar

la estabilidad;

� y el m�etodo seleccionado para determinar y predecir la estabilidad.

En base a un an�alisis como el descrito, y considerando como objetivo el presentar

un medio apropiado y e�ciente para abordar el problema de la estabilidad del siste-

ma, �esta puede ser disgregada en categor��as como las observadas en la Figura 1.1.

En ella, las l��neas segmentadas indican la inexistencia de una clara diferenciaci�on

de los l��mites que caracterizan a uno u otro tipo de estabilidad. Este efecto de su-

perposici�on de problemas viene a ser m�as notorio en la medida que el desarrollo de

algoritmos y plataformas de an�alisis permiten un estudio integrado de estos fen�ome-

nos. Claramente entonces, esta clasi�caci�on surge de la necesidad de acomodar los

estudios del sistema a las herramientas de an�alisis disponibles y en consecuencia,

cuando uno de estos fen�omenos est�a en an�alisis, se debe guardar especial atenci�on a

los efectos que se puedan presentar producto de tal superposici�on.

Habiendo identi�cado algunos de los problemas que se presentan en el

sistema es posible de�nir los alcances del estudio que se desea realizar, y a partir

3

Estabilidad de Tensión

no OscilatoriaInestabilidad

OscilatoriaInestabilidad

ModosLocales Interárea

Modos Modosde Control Torsionales

Modos

Estabilidad de Sistemas Eléctricos de Potencia

Estabilidad de Tensióna Perturbaciones GrandesTransitoria

Estabilidaden Períodos Largos

EstabilidadEstabilidaden Períodos Medios

a Perturbaciones PequeñasEstabilidad

a Perturbación Pequeña

Estabilidad Angular

Estabilidad de Tensión

Figura 1.1: Clasi�caci�on de los tipos de estabilidad

de estos alcances de�nir las limitaciones en la representaci�on del fen�omeno. En con-

secuencia, la utilizaci�on e�ciente de la simulaci�on, u otra herramienta de an�alisis,

requiere de�nir restricciones en lo que respecta a los modelos seleccionados para re-

presentar al sistema, las cuales var��an dependiendo del objetivo del an�alisis y del

tipo de decisi�on requerida. Esto puede lograrse a trav�es de la de�nici�on de subsiste-

mas que agrupen dispositivos y concentran sus efectos sobre el comportamiento del

sistema. La Figura 1.2 muestra un esquema de un sistema el�ectrico de potencia en

el cual se han identi�cado subsistemas y el tipo de control asociado a cada uno de

ellos [AAVN90].

En particular, al considerar la simulaci�on de los transitorios electromec�ani-

cos, el inter�es se concentra en la din�amica de las unidades generadoras y la turbina,

con sus respectivos controles de tensi�on y velocidad. Junto a �estos, la representaci�on

del sistema de transmisi�on y de los consumos es fundamental; la primera para incluir

la interacci�on de las unidades y la segunda para de�nir las condiciones de operaci�on,

4

Generador

Controlde Tensión

Frecuencia

del Sistema

Controlde Velocidad

GeneradaPotencia

en las LíneasFlujos

de Referenciapara el Sistema

Frecuencia

OtrosSistemas

GeneradorasUnidades

Otras

Fuentede Energía

Controlde la Fuentede Energía

Señales de control

de Transmisión

Sistema

Consumos

Centro de Control del Sistema

ωV

para la Generación Deseada

de FlujosAsignación

en las Líneas

Figura 1.2: Sistemas y lazos de control en un sistema el�ectrico de potencia

as�� como para incorporar otras din�amicas de importancia. Sin embargo, la impo-

sibilidad o el exceso de trabajo computacional requerido para obtener simulaciones

que integren otro tipo de transitorios en el sistema, sugiere que la din�amica asociada

a fen�omenos r�apidos, como los electromagn�eticos por ejemplo, no sea incluida. De

igual manera, no se consideran las fuentes de energ��a tales como calderas o reactores

nucleares y las acciones en los centros de control asociadas a fen�omenos temporales

lentos o en baja frecuencia [Kun94, AF94].

A partir del tipo de ecuaciones que representan al problema, principal-

mente en consideraci�on a los par�ametros que generalmente las caracterizan, los tran-

sitorios electromec�anicos, as�� como otros presentes en el sistema el�ectrico de potencia,

pueden caracterizarse por la banda de frecuencia en la que sus efectos son predomi-

nantes. Esta se muestra en la Figura 1.3, de la cual es posible observar que para el

problema electromec�anico el rango de frecuencias de mayor inter�es se concentra en

la banda de frecuencias comprendida entre 0,5 y 10 Hz.

5

seg. 1 hora1 minuto 1 día1 1 mseg. 1 ciclo 1 seg.µ

Sobretensiones debidas a rayos

Balance de carga diario

Tensiones por apertura (cierre) de líneas

Regulacion de flujos en líneas

Dinámicas de períodos largos

10 10 1 10 1010 10 1010 10 10 10

10 10 1 100.1 10 1010 10654310 10 10-6 -5 -4 -3 -2 10210-7

6 5 4 3 2 10 0.1 -2 -3 -4 -5 -6 -7Frecuencia, Hz.

Tiempo, seg.

Estabilidad electromecánica

Resonancia subsíncrona

Figura 1.3: Ventana temporal y banda de frecuencia de los fen�omenos din�amicos en

un sistema el�ectrico de potencia

De�nici�on del problema

La simulaci�on de los transitorios electromec�anicos mediante un computa-

dor paralelo consiste en la soluci�on num�erica de un problema diferencial-algebraico

de valor inicial, en el cual la colaboraci�on y comunicaci�on de los elementos de pro-

cesamiento tiene como �n incrementar la velocidad de dicha soluci�on relativa a la

de su obtenci�on serial (monoprocesador). Esta permite conocer la evoluci�on tem-

poral de un conjunto de variables, previamente de�nido, que resulta de representar

un fen�omeno predeterminado afectando los modos electromec�anicos de las m�aquinas

s��ncronas.

Matem�aticamente, el problema se formula de la siguiente manera:

Considere el conjunto de ecuaciones diferenciales y algebraicas necesario para des-

cribir los transitorios electromec�anicos de un sistema el�ectrico de potencia:

_z = G(z; y)

0 = H(z; y)(1.1)

y las condiciones iniciales z(0) = z0 e y(0) = y0 conocidas. G, el vector de funciones

6

diferenciales, y z, el vector de estado, 2 Rm ; a su vez, H, el vector de funciones

algebraicas, e y, el vector de variables algebraicas, 2 Rn . El objetivo consiste en

conocer la evoluci�on temporal de las variables de inter�es mediante una aproximaci�on

num�erica de la soluci�on de las ecuaciones descritas en 1.1; dicha a ser:

~z�th = ~z(h�t) e ~y�th = ~y(h�t); h = 1; :::; h y h�t = tf ; (1.2)

donde ~z(h�t) e ~y(h�t), para h = 1; : : : ; h, son las aproximaciones discretas respecti-

vas para z(t) e y(t) en el intervalo de tiempo ] 0; tf ]; �t es el paso de integraci�on, el

cual se asume como constante durante el intervalo de simulaci�on, y h es el n�umero de

pasos de integraci�on. Considerando que tal objetivo puede ser alcanzado por un con-

junto de hasta p procesadores de un computador paralelo, el siguiente requerimiento

sobre los tiempos de procesamiento deber��a ser considerado:

Tp < T1; 1 < p � p (1.3)

donde T1 y Tp son, respectivamente, los tiempos requeridos para la soluci�on utilizando

1 y p procesadores de un computador digital. Note que tal requerimiento no es m�as

que una manera formal de representar el deseo de tomar ventaja de una arquitectura

de procesamiento paralelo.

1.2 Motivaci�on, Objetivos y Alcances del Trabajo

El grupo de Autom�atica del Departamento de Ingenier��a El�ectrica de la

Ponti�cia Universidad Cat�olica de Chile cuenta con un computador paralelo Parsytec

PowerXplorer con 8 procesadores y la capacidad de ser escalado. Considerando la

gran cantidad de recursos de investigaci�on dirigidos a la utilizaci�on del procesamiento

paralelo en el an�alisis de los sistemas el�ectricos de potencia, y los bene�cios que �este

puede acarrear, el desarrollo de un trabajo en �el se presenta como una oportunidad

de gran valor. Esto motiv�o la realizaci�on de la Tesis en este campo.

Considerando tal motivaci�on, los objetivos fundamentales del trabajo de-

sarrollado fueron:

7

a) Investigar los m�etodos de simulaci�on paralela propuestos en la literatura; prin-

cipalmente, aquellos planteados para simular los transitorios electromec�anicos

en sistemas el�ectricos de potencia.

b) De�nir una estrategia que permitiese acomodar de manera e�ciente el problema

de la simulaci�on al computador paralelo disponible.

c) Desarrollar la estrategia a trav�es de un programa basado en uno de los lenguajes

disponibles para tal computador.

d) Evaluar el desempe~no de la estrategia propuesta.

e) Dilucidar las ventajas y desventajas tanto en la estrategia como en la aplicaci�on

del procesamiento paralelo al problema de la simulaci�on de los transitorios

electromec�anicos en sistemas el�ectricos de potencia.

A su vez, las restricciones que permitieron acotar los objetivos planteados se concen-

tran principalmente en el desarrollo del programa:

a) La estrategia de paralelizaci�on se plante�o en la etapa de soluci�on de las ecua-

ciones. Como se ver�a posteriormente, esta suposici�on consider�o paralelizar la

etapa m�as compleja y cr��tica de la simulaci�on.

b) La representaci�on del sistema el�ectrico de potencia debi�o realizarse con mo-

delos adecuados para el estudio de los transitorios electromec�anicos. Para tal

efecto, se incluyeron los modelos din�amicos com�unmente m�as utilizados para

representar a los generadores s��ncronos, sistemas de excitaci�on, estabilizadores

del sistema de potencia, turbinas y reguladores de velocidad.

c) El programa se desarroll�o con objetivos acad�emicos; sin embargo, debi�o pre-

sentar caracter��sticas como:

i) Disponibilidad para estudiar sistemas en gran escala, con restricciones

asociadas a la capacidad de memoria (RAM) disponible en el computador.

ii) Escalabilidad, lo que permite la utilizaci�on de tantos procesadores como

de�na el usuario.

8

1.3 Organizaci�on de la Tesis

Habiendo de�nido el problema de simular los transitorios electromec�ani-

cos de un sistema el�ectrico de potencia, y los objetivos y alcances de esta Tesis, el

desarrollo del trabajo se estructur�o seg�un el diagrama presentado en la Figura 1.4

Representación

Esquemas para Solución

de las Ecuacionesde Integración

Métodos

de SimulaciónEstudios

en Sistemas Eléctricos de Potenciapara Procesamiento Paralelo

Plataformas y Modelos

εDescomposición

del Sistema

Electromecánicos

de Sistemas Eléctricos de Potencia

Estado Actual

Newton-MaclaurinMétodo de

Estrategia de paralelización:

de las Aplicaciones en el Area

Conclusiones

Basado en el MétodoAlgoritmo de Balance

del Camino Más Largo

Simulaciónde Transitorios

Figura 1.4: Contenido de la Tesis

En el Cap��tulo II se describen algunas plataformas y un modelo com-

putacional utilizados para realizar procesamiento paralelo en sistemas el�ectricos de

potencia. Posteriormente, se revisa el estado actual de las investigaciones asociadas

a la utilizaci�on del procesamiento paralelo en la soluci�on de problemas que son de

inter�es para la industria el�ectrica.

En el Cap��tulo III se considera la representaci�on del sistema el�ectrico

de potencia. La construcci�on del modelo guarda una relaci�on estrecha con aquella

utilizada por el programa de simulaci�on. Todos los subsistemas se representan en

el espacio estado. El modelo multim�aquinas se obtiene acoplando los submodelos

por unidad generadora e incorporando el modelo del sistema de transmisi�on para

as�� acoplar los modelos de las unidades generadoras.

9

El Cap��tulo IV se disgreg�o en dos secciones. En la primera de �estas se

trata el problema de simular los transitorios electromec�anicos; y en particular, la

obtenci�on de �esta mediante un computador paralelo. Se presentan los esquemas

utilizados para abordar la soluci�on de las ecuaciones y algunos de los m�etodos de in-

tegraci�on sugeridos en la literatura. Posteriormente, en la segunda secci�on, se plantea

la estrategia de paralelizaci�on basada en el m�etodo de Newton-Maclaurin. Se pre-

sentan los fundamentos te�oricos y pr�acticos que determinaron su selecci�on. Adem�as,

se incluye una rese~na con los conceptos fundamentales en torno a la Descomposici�on

� y al algoritmo de balance de carga basado en el M�etodo del Camino m�as Largo,

ambos seleccionados como apropiados para llevar a cabo el desarrollo pr�actico de la

estrategia propuesta.

En el Cap��tulo �nal se presentan los resultados obtenidos de los estudios

de simulaci�on en un modelo simpli�cado del Sistema Interconectado Central chileno

(SIC) y en el sistema de prueba IEEE300. Estos consideran diversidad en el n�umero

de procesadores utilizados para la simulaci�on y en los par�ametros que la de�nen. Este

Cap��tulo se complementa adem�as con comentarios en relaci�on al desempe~no obtenido

con el algoritmo paralelo. Finalmente, se incluyen las conclusiones del trabajo y se

proponen algunos caminos de investigaci�on futura en torno a la utilizaci�on de la

estrategia de paralelizaci�on en otros problemas de inter�es para la industria el�ectrica.

La Tesis incluye una extensa bibliograf��a y diversos anexos que comple-

mentan los t�opicos presentados en la Tesis. Estos incluyen una revisi�on de la teor��a

de grafos, con �enfasis en los conceptos utilizados en el desarrollo de la Tesis, la des-

cripci�on y utilizaci�on del multicomputador Parsytec PowerXplorer, la programaci�on

en Lenguaje C bajo ambiente Parix y los datos utilizados en el estudio del sistema

de prueba IEEE300.

10

II. NOCIONES DE PROCESAMIENTO PARALELO Y APLICA-

CIONES EN SISTEMAS ELECTRICOS DE POTENCIA

La plani�caci�on, el an�alisis de la operaci�on y el dise~no de un sistema

el�ectrico de potencia, entre otras tareas, poseen una complejidad tal que dif��cilmente

podr��an ser realizadas sin la ayuda de computadores. Tanto la viabilidad de estas

tareas como su e�ciencia dependen considerablemente de los recursos computacio-

nales disponibles; por tal motivo, los desarrollos en la tecnolog��a de procesamiento y

los algoritmos de an�alisis juegan un papel preponderante en t�erminos de la calidad

alcanzada en el desempe~no del sistema.

La utilizaci�on de computadores y el dise~no de algoritmos en sistemas

el�ectricos de potencia tiene una larga historia; concretada a trav�es de un sinn�umero de

investigaciones, desarrollos y aplicaciones que han permitido consolidar las bases de

la forma en que actualmente se opera al sistema. La demanda de nuevas tecnolog��as

de procesamiento, como las basadas en las arquitecturas para computaci�on paralela,

y la adecuaci�on de los algoritmos computacionales a estas tecnolog��as, responden

a desaf��os incipientes producto de la complejidad presente hoy en el sistema y a la

imposibilidad de hacer frente a �estos con las herramientas convencionales disponibles.

Los centros de computaci�on e�ciente, las plataformas para la computaci�on paralela o

distribuida, las redes para comunicaci�on local o externa, los sistemas para adquisici�on

de datos y control, las capacidades de procesamiento h��brido basado en tecnolog��as

digitales y an�alogas, las interfaces gr�a�cas y los algoritmos de an�alisis y dise~no son

algunos de los recursos que actualmente concentran la atenci�on por su aplicaci�on

pr�actica en la industria el�ectrica. Por ende, el conocimiento acerca de �estos, as�� como

de su aplicaci�on en las tareas asociadas a un sistema el�ectrico de potencia, es un

aspecto importante que vale la pena tener en consideraci�on.

Este Cap��tulo consta de dos secciones principales, en la primera se tratan

algunos de los conceptos b�asicos asociados al procesamiento paralelo, incluyendo

caracter��sticas, arquitecturas, modelos e ��ndices de desempe~no; posteriormente, en la

secci�on dos, se describen algunas de sus aplicaciones en la soluci�on de los problemas

presentes en un sistema el�ectrico de potencia.

11

2.1 Nociones de Procesamiento Paralelo

Los sistemas de computaci�on paralela y distribuida ofrecen la esperan-

za de dar un salto cuantitativo en la potencialidad computacional, tal que permita

abordar o incrementar la e�ciencia en el estudio de una gran cantidad de proble-

mas. El que tal promesa pueda ser cumplida puede ser objeto de especulaci�on; sin

embargo, la experiencia alcanzada con este tipo de sistemas ha despejado una gran

cantidad de potencialidades y limitaciones cuyo conocimiento puede ser de gran in-

ter�es. El objetivo de est�a secci�on se concentra en proveer las nociones b�asicas acerca

del procesamiento paralelo; se describen par�ametros que permiten caracterizar a una

diversidad de arquitecturas disponibles para procesamiento paralelo, as�� como tam-

bi�en se mencionan algunas de �estas. Adem�as se introducen conceptos b�asicos acerca

de los modelos utilizados para el desarrollo de algoritmos paralelos, y de igual forma

se describen algunos de los ��ndices utilizados para evaluar el desempe~no logrado al

transportar una aplicaci�on a un computador paralelo.

2.1.1 Caracter��sticas de las arquitecturas para procesamiento paralelo

Existe una gran diversidad de arquitecturas que permiten realizar proce-

samiento paralelo. Por lo general, las caracter��sticas entre alg�un par espec���co de

arquitecturas llega a ser tan dis��mil entre s�� que la portabilidad de programas entre

m�aquinas es casi imposible. Sin embargo, la heterogeneidad de arquitecturas ha ju-

gado un papel relevante al momento de buscar un lugar que permita acomodar a la

igualmente diversa gama de problemas presentes en nuestros quehaceres; m�as a�un,

no es dif��cil prever que el �exito en el desempe~no de un algoritmo paralelo depende

de cuan bien se acomoden ambos, arquitectura y algoritmo, al problema. Algunos

par�ametros que podr��an ser de utilidad para reconocer la diversidad de caracter��sticas

presentes en las arquitecturas para procesamiento paralelo son [BT89]:

a) Tipo y n�umero de procesadores. Los sistemas con cientos o miles de pro-

cesadores se denominan \masivamente paralelos". Por el contrario, aquellos

sistemas cuya cantidad de procesadores es relativamente peque~na, pero cada

uno posee una gran capacidad de procesamiento, se denominan \m�aquinas de

12

granularidad gruesa"1. Estas �ultimas caracterizan a los multicomputadores y

multiprocesadores.

b) Presencia o ausencia de un mecanismo de control global. El nivel de con-

trol que tienen los procesadores se caracteriza, por lo general, a trav�es de la

capacidad que �estos tienen o no para ejecutar simult�aneamente operaciones

diferentes. As��, para un instante de tiempo dado, m�aquinas SIMD (Single

Instruction Multiple Data) permiten operar sobre diferentes datos mediante

la misma instrucci�on y m�aquinas MIMD (Multiple Instruction Multiple Data)

permiten operar sobre diferentes datos con diferentes instrucciones.

c) Operaci�on s��ncrona �o as��ncrona. Tal caracter��stica apunta a la presencia o

ausencia de un reloj global com�un utilizado para sincronizar la operaci�on y/o

intercomunicaci�on de los procesadores. Las m�aquinas SIMD son s��ncronas por

de�nici�on. Tal caracter��stica es deseable pese al excesivo trabajo que pueda

requerir tal sincronizaci�on, tanto por las facilidades para el control de los pro-

cesadores como para el dise~no de los algoritmos. Una caracter��stica importante

es que las m�aquinas que operan as��ncronamente tienen la exibilidad de simular

una operaci�on s��ncrona.

d) Interconexi�on de procesadores. En t�erminos del mecanismo por el cual se in-

tercambia la informaci�on entre procesadores, por lo general, suele distinguirse

entre dos alternativas extremas. Estas se conocen como arquitecturas de me-

moria compartida (shared memory) y de intercambio de mensajes (message

passing); adicionalmente, existen dise~nos h��bridos que combinan ambas alter-

nativas.

La primera de estas alternativas utiliza una memoria global compartida accesi-

ble a todos los procesadores. As��, un procesador puede escribir en la memoria

global para que luego otro lea a partir de la misma direcci�on de memoria. El

problema de intercomunicaci�on resuelto de esta manera introduce otro proble-

ma: el acceso simult�aneo de diferentes procesadores a diferentes localizaciones

1Como se sugiere en [Rep92], la granularidad de una arquitectura de procesamiento est�a ca-

racterizada por la raz�on entre una medida de la velocidad de ejecuci�on de instrucciones en cada

procesador (por ejemplo, MIPS: Mega Integers Per Second) y una medida de la velocidad de inter-

comunicaci�on (por ejemplo, baud rate)

13

de memoria. Un sistema basado en interruptores, como el que se muestra a

trav�es de la Figura 2.1, permite resolver tal problema. Naturalmente, la com-

plejidad de tal sistema incrementa con el n�umero de procesadores; situaci�on

que adem�as acarrea tiempos de acceso considerables. Sin embargo, puesto que

el sistema aparece como si todos los procesadores estuviesen directamente co-

nectados entre s��, el dise~no de algoritmos se simpli�ca considerablemente.

ProcesadorProcesador

Procesador

MemoriaMemoria

MemoriaMemoria

Procesador

Interruptor

Figura 2.1: Sistema de intercomunicaci�on de procesadores basado en interruptores

En la segunda alternativa cada procesador cuenta con una memoria local pro-

pia. Tal como se ilustra en la Figura 2.2, el proceso de comunicaci�on se realiza

a trav�es de una red interconectada que consiste en enlaces de comunicaci�on di-

recta entre pares de procesadores. La selecci�on de los procesadores a conectar

es muy importante; la mejor alternativa se presenta si cada procesador pudiese

ser conectado directamente a todos los restantes, pero tal interconexi�on no es

factible. As��, un n�umero excesivo de enlaces incrementa el costo del sistema y

una comunicaci�on mediante un bus compartido presenta un considerable retar-

do cuando el n�umero de procesadores es grande; �esto debido a la necesidad de

contener los mensajes.

Procesador

Procesador

Procesador

Procesador

Memoria

Memoria

Memoria

Memoria

Figura 2.2: Red de interconexi�on para procesadores dotados de su propia memoria

local

14

Procesador

Procesador

Procesador

Procesador

Memoria

(a) Coexistencia de una red punto a punto

con memoria compartida

Procesador ProcesadorProcesadorMemoria Memoria Memoria

Procesador ProcesadorProcesadorMemoria Memoria Memoria

Procesador ProcesadorProcesadorMemoria Memoria Memoria

(b) Grupos de procesadores conectados me-

diante redes intra e intergrupo

Figura 2.3: Arquitecturas de computaci�on paralela basadas en dise~nos h��bridos

Existe un gran n�umero de sistemas que utilizan arquitecturas h��bridas, que

combinan caracter��sticas particulares de cada una de las alternativas anterior-

mente descritas. La Figura 2.3 muestra un par de ejemplos de entre las muchas

combinaciones posibles. A su izquierda se observa una red de conexi�on nodo

a nodo que consta de una memoria compartida; a su vez, a la derecha de la

misma se observan grupos de procesadores donde un bus de comunicaci�on de

alta velocidad sirve de enlace dentro de cada grupo y una red de comunicaci�on

se utiliza para la comunicaci�on entre grupos.

Finalmente, es importante resaltar una diferencia fundamental entre la topo-

log��a de interconexi�on disponible para un sistema de computaci�on paralela y

uno de computaci�on distribuida. Mientras en el primero la red de interconexi�on

est�a bajo control del dise~nador, y por ende es muy regular, en el segundo esta

red est�a predeterminada y usualmente es irregular, como es el caso de las redes

de comunicaci�on de datos habitualmente utilizadas en sistemas de computaci�on

distribuida.

2.1.2 Arquitecturas para procesamiento paralelo

Las capacidades de procesamiento de un monoprocesador, sin desmedro

del incremento substancial alcanzado en los �ultimos a~nos, no son lo su�cientemente

adecuadas para cubrir las demandas que est�an apareciendo en diversos campos de

la ciencia y la ingenier��a. Por tal motivo, la industria computacional ha estado

continuamente desarrollando sistemas que puedan ejecutar las tareas concurrentes de

un programa por medio de computadores paralelos con multiplicidad de tecnolog��as.

15

Habiendo introducido algunos par�ametros generales en torno a la arquitecturas de

procesamiento paralelo, ahora resulta interesante referirse a c�omo se han combinado

estos par�ametros en las arquitecturas disponibles actualmente. Como fue sugerido

en [Fa96], algunas de �estas son:

a) Procesadores superescalares. Son monoprocesadores que permiten la ejecuci�on

simult�anea de m�as de una instrucci�on por ciclo de reloj. Su e�ciencia depende

de la habilidad que tiene el compilador para detectar instrucciones que pue-

den ser ejecutadas en paralelo. Estos procesadores se utilizan en estaciones de

trabajo de desempe~no elevado y en algunos sistemas multiprocesadores. Algu-

nos ejemplos de procesadores escalares son el IBM Power2, DEC Alpha, MIPS

R10000, Intel 80960Hx, etc.

b) Procesadores vectoriales. Son procesadores dise~nados para optimizar la ejecu-

ci�on de las operaciones aritm�eticas en vectores de dimensi�on elevada. Estos

se basan principalmente en arquitecturas que emulan una l��nea de trabajo en

la cual dos o m�as etapas operan en forma simult�anea (pipeline). Muchos de

los tambi�en denominados supercomputadores, como los manufacturados por la

Cray, Fujitsu, IBM, NEC, etc., se basan en procesadores vectoriales poderosos.

c) Multiprocesadores con memoria compartida. Son m�aquinas compuestas de

varios procesadores que se comunican entre s�� a trav�es de una memoria global

compartida por todos los procesadores. Algunas de estas m�aquinas tienen unos

cuantos (2-16) procesadores vectoriales poderosos cuyo acceso a la memoria

se realiza a gran velocidad. Algunos ejemplos de tales arquitecturas son las

familias Cray T90 y J90. Otras, como el SGI Power Challenge, puede tener un

gran n�umero (hasta 32) de procesadores superescalares de menor potencialidad.

d) M�aquinas SIMD masivamente paralelas. Estas m�aquinas est�an compuestas de

cientos o miles de procesadores relativamente simples. Bajo el comando de

una unidad de control central permiten ejecutar, en sincronismo, la misma

instrucci�on sobre conjuntos de datos diferentes (paralelismo a nivel de datos).

e) Multicomputadores con memoria distribuida. Son m�aquinas compuestas por

un conjunto de pares procesador-memoria conectados mediante una red de

comunicaci�on de datos de alta velocidad y cuyo traspaso de informaci�on se

16

realiza mediante intercambio de mensajes. Los procesadores cuentan con una

capacidad de procesamiento relativamente elevada y el n�umero de procesadores

puede llegar a ser grande (2-1024). Debido a la posibilidad de contar con

un n�umero elevado de procesadores, a este tipo de arquitectura tambi�en se

le denomina \masivamente paralelo". Ejemplos de multicomputadores son el

IBM SP-2, Cray T3D/3E, Intel Paragon, Parsytec PowerXplorer, etc.

f) Red heterog�enea de estaciones de trabajo. Esta puede ser utilizada como una

m�aquina paralela virtual que permite resolver problemas concurrentes median-

te el uso de programas, tales como el PVS (Parallel Virtual Machine) y el MPI

(Message Passing Interface), especialmente desarrollados para los efectos de co-

municaci�on y coordinaci�on. En lo que concierne al desarrollo de las aplicacio-

nes, �este sistema computacional es similar a los multicomputadores de memoria

distribuida pero su e�ciencia y con�abilidad es usualmente inferior. Por otro

lado, la oportunidad de utilizar estaciones de trabajos desocupadas como una

m�aquina paralela virtual es atractivo desde el punto de vista econ�omico.

Los desarrollos de aplicaciones sobre las arquitecturas descritas anterior-

mente pueden tener diferentes paradigmas y procedimientos de programaci�on. El

paralelismo puede ser explotado para uno o m�as niveles de granularidad, los cua-

les van desde el nivel de instrucci�on (paralelismo de granularidad �na: �ne grain

parallelism) al nivel de subprograma (paralelismo de granularidad gruesa: coarse

grain parallelism). Los procesadores superescalares y vectoriales, como tambi�en las

m�aquinas SIMD, son m�as adecuados para el paralelismo a nivel de instrucci�on; por

el contrario, las arquitecturas de multiprocesadores y multicomputadores se adaptan

mejor al paralelismo a nivel de subprograma. Este tipo de paralelismo de granula-

ridad gruesa se obtiene al utilizar ya sea la arquitectura de multiprocesadores con

memoria compartida o el paradigma de intercambio de mensajes empleado en multi-

computadores y redes de estaciones de trabajo. El primer modelo se adecua mejor a

programas f�aciles de desarrollar y mantener pero los multiprocesadores de memoria

compartida son generalmente m�as caros y menos escalables que los multicomputa-

dores. Por esta raz�on, los fabricantes de sistemas de computaci�on est�an intentando

desarrollar sistemas operativos inteligentes que permitan emular un ambiente de me-

moria compartida sobre un sistema de memoria f��sicamente distribuida. La detecci�on

17

de paralelismo en el c�odigo se desarrolla principalmente por el programador de la

aplicaci�on; la detecci�on autom�atica de paralelismo a�un es un desaf��o para la compu-

taci�on paralela, excepto en el caso de procesadores superescalares y vectoriales.

2.1.3 Modelos e ��ndices de desempe~no

En muchas �areas de la ciencia se utilizan modelos como un medio de abs-

tracci�on de un sistema particular; igualmente importante resulta ser la de�nici�on de

��ndices que permitan evaluar el desempe~no de tal sistema. El procesamiento paralelo

no es una excepci�on a tales necesidades; aqu�� es posible encontrar una variedad de

modelos para la computaci�on paralela y distribuida, que incorporan diferentes supo-

siciones acerca de la potencialidad individual de cada procesador y del mecanismo

por el cual se trans�ere la informaci�on entre �estos. Considerando que la realizaci�on

pr�actica de la simulaci�on requiere de un modelo para el algoritmo paralelo, al menos

para alguna de las etapas de �esta, a continuaci�on se describen algunos conceptos

b�asicos que permiten caracterizar uno muy simple utilizado para computaci�on para-

lela s��ncrona. De igual manera, se describen los conceptos asociados a los ��ndices de

desempe~no en aplicaciones de tal ��ndole [BT89].

Representaci�on de un algoritmo paralelo mediante un modelo DAG

Las siguientes suposiciones conciernen al modelo en consideraci�on. En lo

que respecta a la funcionalidad de cada procesador, se asume que �estos son capa-

ces de ejecutar ciertas instrucciones elementales, tales como operaciones aritm�eticas

b�asicas, comparaciones, instrucciones anidadas del tipo \if : : : entonces : : : ", etc.; y

que adem�as cuentan con un mecanismo mediante el cual pueden intercambiar infor-

maci�on. En lo que concierne a la potencialidad computacional de cada procesador,

se asume que cada instrucci�on b�asica consume una unidad de tiempo. Finalmente,

en lo que respecta al intercambio de informaci�on, se asume que �esta se trans�ere

instant�aneamente y libre de costo. Bajo tales asunciones, un algoritmo paralelo

puede ser representado mediante un grafo ac��clico dirigido2 (DAG: Directed Acyclic

2Un DAG es un grafo dirigido que no tiene ciclos positivos; es decir, no tiene ciclos que consisten

exclusivamente de arcos hacia adelante.

18

Graph) seg�un se indica a continuaci�on. Los conceptos asociados a la teor��a de grafos,

as�� como la nomenclatura utilizada, se describen en el Anexo A.

Sea G = (N ;A) un DAG, donde N = fn1; : : : ; njNjg es el conjunto

de nodos y A es el conjunto de arcos dirigidos. Cada nodo representa una de las

operaciones realizadas por el algoritmo y los arcos son utilizados para representar la

dependencia de los datos. En particular, un arco (ni; nj) 2 A indica que la operaci�on

correspondiente al nodo nj utiliza el resultado de la operaci�on correspondiente al

nodo ni. Una operaci�on podr��a ser elemental, por ejemplo una operaci�on aritm�etica,

o podr��a ser una operaci�on de alto nivel tal como la ejecuci�on de una subrutina. A

modo de ejemplo, en la Figura 2.4 se muestra el modelo DAG para la operaci�on

matem�atica 2

p�x exp(x)

exp( )( ).-

x

( ).

.

2

*

Figura 2.4: Modelo DAG para la operaci�on 2

p�x exp(x)

Si xi denota el resultado correspondiente a la operaci�on en el i-�esimo

nodo del DAG, entonces �este puede considerarse como una representaci�on de la

dependencia entre funciones de la forma: xi = fi(f xj = j es un predecesor de i g).

Aqu�� fi es una funci�on que describe la operaci�on correspondiente al nodo ni. Si ni

corresponde a un nodo de entrada, entonces xi no depende de otras variables y es

vista como una variable de entrada externa. As��, la operaci�on correspondiente al

nodo de entrada ni equivale esencialmente a leer la variable de entrada xi y por ende

se asume a consumir un tiempo insigni�cante. S�� N0 denota al conjunto de nodos

que no es de entrada, para alg�un nodo ni 2 N0 se asume que la correspondiente

operaci�on; es decir, la evaluaci�on de la funci�on fi, toma una unidad de tiempo.

19

Tal suposici�on es razonable si cada nodo representa una operaci�on aritm�etica; sin

embargo, en algoritmos m�as complejos los tiempos de ejecuci�on en diferentes nodos

pueden diferir considerablemente.

El DAG es una representaci�on parcial de un algoritmo. Este especi�ca

que operaciones se ejecutar�an, sobre qu�e operandos, e impone ciertas restricciones de

precedencia sobre el orden en que estas operaciones ser�an realizadas. Para describir

completamente un algoritmo paralelo se debe especi�car las operaciones que reali-

zar�a cada procesador y el tiempo en el cual las har�a. Supongamos que se dispone

de un conjunto de p procesadores y que cada procesador es capaz de realizar alguna

de las operaciones deseadas. Para alg�un nodo ni 2 N0, asigne al procesador Pi la

responsabilidad de realizar la tarea correspondiente. Tambi�en, para ni 2 N0, sea ti

una variable entera positiva especi�cando el tiempo para el cual la operaci�on corres-

pondiente al nodo ni se ha completado. No hay procesadores asignados a nodos de

entrada, y por ende ti = 0 para cada nodo de entrada ni. Entonces, se imponen las

siguientes restricciones:

a) Un procesador puede realizar a lo m�as una operaci�on para un tiempo espec���co.

As��, si ni; nj 2 N0, i 6= j, y ti = tj, entonces Pi 6= Pj

b) Si (ni; nj) 2 A, entonces tj � ti +1. Este requerimiento re eja el hecho de que

la operaci�on correspondiente al nodo nj puede comenzar solamente despu�es que

la operaci�on correspondiente al nodo ni ha sido completada.

Una vez que Pi y ti han sido �jados, sujetos a las restricciones anterio-

res, se dice que el DAG ha sido asignado (scheduled) y se denomina al conjunto

f(ni; Pi; ti)jni 2 N0g una asignaci�on (schedule).

Indices de desempe~no

Los siguientes conceptos son �utiles para evaluar el desempe~no que se ob-

tiene al trasladar una aplicaci�on a un computador paralelo [BT89]. En primer lugar

se supone que se ha seleccionado un modelo particular de computaci�on paralela, �este

podr��a ser el DAG previamente considerado u otro modelo. Adem�as, se considera que

20

el problema computacional en cuesti�on puede ser parametrizado por una variable d

que representa el tama~no del problema; por ejemplo, en el modelo DAG, problemas

de diferentes tama~nos corresponden a diferentes n�umeros de variables de entrada.

Supongamos que un algoritmo paralelo utiliza p procesadores (p puede

depender de d, el tama~no del problema) y termina en un tiempo Tp(d). Si T �(d)

denota al tiempo serial �optimo para resolver el mismo problema, es decir, el tiempo

requerido por el mejor posible algoritmo serial (monoprocesador) para este problema,

la raz�on

Sp(d) =T �(d)

Tp(d)(2.1)

se denomina la ganancia de velocidad (speedup) del algoritmo y describe la ventaja

del algoritmo paralelo comparado con el mejor algoritmo serial posible. A su vez, la

raz�on

Ep(d) =Sp(d)

p=

T �(d)

pTp(d)(2.2)

se denomina la e�ciencia del algoritmo y esencialmente mide la fracci�on de tiempo

que un procesador se emplea en forma �util. Idealmente, Sp(d) = p y Ep(d) = 1; en

tal caso, la disponibilidad de p procesadores permite incrementar la velocidad en un

factor igual a p. Para que esta situaci�on se de, el algoritmo paralelo deber��a ser tal

que ning�un procesador se encuentre desocupado o realice trabajos innecesarios, lo

cual es pr�acticamente imposible. Un objetivo m�as realista es aspirar a una e�ciencia

que se mantenga acotada lejos de cero cuando d y p se incrementan.

Las de�niciones anteriores presentan la di�cultad de que el tiempo serial

�optimo T �(d) no es conocido. Por esta raz�on, generalmente T �(d) se de�ne de manera

diferente; algunas de las alternativas son:

a) T �(d) es el tiempo requerido por el mejor algoritmo serial disponible.

b) T �(d) es el tiempo requerido por alg�un algoritmo serial competitivo.

21

c) T �(d) es el tiempo requerido para ejecutar el algoritmo paralelo en cuesti�on en

un procesador. Tal elecci�on de T �(d) permite evaluar e�cientemente cuan bien

se ha paralelizado un algoritmo paralelo particular, pero no provee informa-

ci�on acerca de los m�eritos absolutos del algoritmo, en contraste con la primera

de�nici�on de T �(d).

Puede observarse que si T �(d) se de�ne como en c), y si los algoritmos se

especi�can mediante el modelo DAG, entonces T �(d) coincide con T1(d).

En los inicios de las aplicaciones de la computaci�on paralela, ambos ��ndi-

ces, ganancia de velocidad y e�ciencia, fueron los �unicos utilizados para determinar

la calidad de los algoritmos paralelos. Al aumentar la disponibilidad de m�aquinas

paralelas, y comenzar a desarrollarse las aplicaciones pr�acticas, surgieron otros as-

pectos asociados al problema, como por ejemplo, la raz�on de desempe~no a costo

(M ops/$)3 [Fa96].

2.2 Aplicaciones del Procesamiento Paralelo en Sistemas El�ectricos

de Potencia

El primer objetivo de esta secci�on consiste en describir, en base a una

revisi�on bibliogr�a�ca, algunas de las aplicaciones del procesamiento paralelo en el

an�alisis de los sistemas el�ectricos de potencia. Posteriormente, basado en el trabajo

presentado en [Fa96], se realizar�a una breve rese~na acerca de los problemas en los

que el procesamiento paralelo presenta las mejores perspectivas de utilizaci�on. Fi-

nalmente, con referencia al mismo trabajo, se describen algunos desarrollos llevados

a la industria.

2.2.1 Aplicaciones en el an�alisis de sistemas el�ectricos de potencia

Existe una gran diversidad de aplicaciones concernientes a la utilizaci�on

del procesamiento paralelo en el an�alisis de sistemas el�ectricos de potencia. Las

3Un M ops (Mega oating operations per second) son 106 operaciones en punto otante por

segundo.

22

aplicaciones, por lo general, se motivan m�as por el deseo de incrementar la veloci-

dad de procesamiento que por causas asociadas a la estructura de los problemas.

A excepci�on de los casos en que el estudio implica la obtenci�on de soluciones repe-

tidas, como es el caso del an�alisis de contingencias, no existe un paralelismo obvio

inherente a la estructura matem�atica de los problemas. As��, el recurso usual para

abordarlos requiere de la formulaci�on de un algoritmo en paralelo, cuya e�ciencia

es fuertemente dependiente de cuan bi�en se acomode el algoritmo a la arquitectura

paralela disponible [Rep92].

A continuaci�on se describen algunos de las aplicaciones del procesamiento

paralelo en el an�alisis de sistemas el�ectricos de potencia. El objetivo es dar a conocer

un resumen con los detalles m�as relevantes de estas aplicaciones, principalmente,

en lo que dice relaci�on al objetivo de la aplicaci�on, la estrategia de paralelizaci�on

propuesta y los resultados m�as signi�cativos. El lector que desee profundizar en

�estos y otros detalles, as�� como en otras aplicaciones, puede encontrar referencias a

trabajos de inter�es en la bibliograf��a proporcionada al �nal de esta Tesis.

Soluci�on de ecuaciones algebraicas lineales, cuasivac��as y de gran dimen-

si�on

La soluci�on de ecuaciones algebraicas lineales es un t�opico de inter�es ge-

neral en diversas �areas de la ciencia [GVL89]. En lo que concierne al an�alisis de los

sistemas el�ectricos de potencia, en muchos casos este problema toma caracter��sticas

particulares; siendo la dimensi�on, relativamente elevada, y la representaci�on median-

te matrices cuasivac��as las m�as relevantes.

Considerando que tanto el problema del ujo de potencia como el de

la simulaci�on din�amica, dos de los estudios m�as frecuentemente realizados por la

industria el�ectrica, se formulan generalmente a trav�es de un conjunto de ecuaciones

algebraicas nolineales, y que para su soluci�on el m�etodo com�unmente m�as adoptado

requiere de la soluci�on, entre iteraciones, del problema algebraico lineal4; muchas de

4En el m�etodo de Newton-Raphson, mediante la correcci�on �xk = �(J jxk)�1F (xk), se estima

una soluci�on xk+1 = xk + �xk tal que F (xk+1) t 0. J jxk corresponde a la matriz Jacobiana

evaluada en la soluci�on xk que se conoce a partir de la iteraci�on previa.

23

las investigaciones se concentran en resolver este problema independientemente de

su naturaleza [Com78].

Teniendo en mente las caracter��sticas de dimensi�on elevada y estructura

cuasivac��a mencionadas anteriormente, los esquemas paralelos m�as utilizados para

resolver el problema algebraico lineal, tal como se indica en la Figura 2.5, pueden

dividirse en tres categor��as principales. Adem�as de los m�etodos directos e indirectos,

tambi�en se destacan aquellos que requieren de una etapa previa que reordena y

particiona las matrices envueltas en la soluci�on con el �n de obtener una estructura

especialmente adecuada para su tratamiento en plataformas de computaci�on paralela.

Posterior a esta etapa, se utiliza un m�etodo directo, indirecto o una combinaci�on de

ambos para resolver el problema.

ecuaciones algebraicas linealesAlternativas para la solución paralela de

Gradiente Conjugado

Método de la matriz W

Factorizacionesmultiples

Factorizaciones ysubstitucionesindependientes

Métodos directos

en el borde y la diagonal

en el borde y la diagonal

bloque diagonalAproximadamente

Tipo banda

Con bloques anidados

Con bloques

reordenamiento y particiónMétodos basados en

Métodos indirectos

Gauss Jacobi

Gauss Seidel

Figura 2.5: Alternativas para la soluci�on paralela del problema algebraico lineal

Los m�etodos indirectos de Gauss Seidel y Gauss Jacobi son extreme-

damente paralelizables pero adolecen de problemas de convergencia. Este motivo,

sumado a requerimientos de comunicaci�on extremadamente elevados, los ha mante-

nido pr�acticamente fuera de las perspectivas de aplicaci�on. Como una alternativa

superior, el m�etodo indirecto del Gradiente Conjugado, en combinaci�on con una eta-

pa de pre-condicionamiento de las ecuaciones, presenta caracter��sticas de robustez,

precisi�on y velocidad de computaci�on muy atractivas [GJM94]. Por otro lado, los

24

m�etodos directos, tales como la factorizaci�on LDU5 o la bifactorizaci�on, son apa-

rentemente secuenciales y no sufren de problemas de convergencia. La estrategia

de paralelizaci�on de tales m�etodos no es obvia, siendo los m�etodos de la matriz W

[PM92, WB96, MAK94, LVN94, LC93, HL94] y de las factorizaciones y substitucio-

nes independientes [MGVC96, VGM96, WB95] los m�as utilizados. Adicionalmente,

un gran n�umero de esquemas se ha propuesto para la soluci�on e�ciente de ecuaciones

algebraicas lineales mediante computadores vectoriales; sin embargo, en la mayor��a

de los casos ha sido vectorizada s�olo la etapa de substituci�on de los m�etodos directos.

Los m�etodos basados en el reordenamiento y la partici�on de las matrices

envueltas en el problema algebraico lineal tambi�en han sido utilizados exitosamente;

en �estos destaca la utilizaci�on de una combinaci�on de m�etodos directos e indirectos.

Por ejemplo, un m�etodo h��brido que combina tanto los m�etodos directo LU como

indirecto del Gradiente Conjugado se utiliza en [DFaK96]. A partir de la matriz

BBDF (Block Bordered Diagonal Form), la cual es producto de un reordenamiento

y partici�on que genera una matriz con bloques en la diagonal y en el borde de �esta,

se utiliza el m�etodo del Gradiente Conjugado para resolver la interconecci�on de las

ecuaciones y, posteriormente, la descomposici�on LU para resolver el conjunto de

ecuaciones independientes asociado a cada bloque diagonal de la matriz BBDF. La

Figura 2.6 muestra la estructura particular de �esta y otras matrices, como lo son la

con bloques anidados en la diagonal y en el borde (NBBDF: Nested Block Bordered

Diagonal Form) [Com78], la aproximadamente bloque diagonal (NBDF: Near Block

Diagonal Form) y la tipo banda [OKS90].

Como puede observarse, el n�umero de investigaciones asociadas a la solu-

ci�on de ecuaciones algebraicas lineales mediante computadores paralelos o vectoriales

es considerable. Desde el punto de vista pr�actico, un m�etodo generalizado para la

soluci�on del problema algebraico lineal, sin consideraci�on de la naturaleza de �este,

permitir��a reducir en gran medida el costo de dise~no de alguna estrategia paralela

particular a cada tipo de estudio. Frente a tal bene�cio, la principal desventaja se

concentra en la imposibilidad de incluir en el m�etodo generalizado ciertas poten-

5La factorizaci�on LDU se utiliza como m�etodo de inversi�on de matrices sim�etricas y la factori-

zaci�on LU para matrices asim�etricas.

25

(a) BBDF (b) NBBDF

x

x

x

x

x

x

x

x

(c) NBDF (d) Tipo banda

Figura 2.6: Matrices especialmente reestructuradas para procesamiento paralelo

cialidades que aborden las caracter��sticas particulares a uno u otro problema. Este

aspecto se discute a trav�es de la aplicaci�on considerada a continuaci�on.

Flujo de potencia

El ujo de potencia es una de las herramientas fundamentales para el

an�alisis de un sistema el�ectrico de potencia, siendo lejos el programa m�as utilizado

en tareas como la evaluaci�on de la seguridad del sistema y el an�alisis de la con�-

guraci�on m�as apropiada para �este. Adem�as, puesto que entre otras cosas permite

determinar las condiciones del sistema para una operaci�on en estado estacionario,

sirve como punto de partida para programas tales como el an�alisis de cortocircuitos

y la simulaci�on de transitorios. As��, la e�ciencia en la soluci�on del ujo de potencia

es un requerimiento fundamental para la e�ciencia global de un an�alisis integrado de

problemas.

En lo que respecta a la utilizaci�on del procesamiento paralelo en aplica-

26

ciones de sistemas el�ectricos de potencia, el estudio del ujo de potencia como tal no

ha concentrado un n�umero considerable de investigaciones. Algunas de las razones

son las siguientes [Fa96]:

� La di�cultad en el desarrollo de una estrategia de paralelizaci�on, respecto de

problemas similares, debido a las restricciones que se adhieren a las ecuaciones

algebraicas nolineales b�asicas del problema.

� La disponibilidad de algoritmos e�cientes, que permiten resolver los problemas

de ujo de potencia de sistemas de gran tama~no, con requerimientos computa-

cionales de bajo costo y tiempos de soluci�on muy reducidos.

Sin embargo, tal como se mencion�o anteriormente, el problema del ujo de

potencia, al igual que el de la simulaci�on de los transitorios electromec�anicos, puede

ser visto desde la perspectiva de un problema de soluci�on de ecuaciones algebraicas

lineales, para el cual las investigaciones relativas a la aplicaci�on del procesamiento

paralelo abundan. Dado que la naturaleza de ambos problemas no es la misma, �estos

presentan caracter��sticas particulares que desde el punto de vista de la soluci�on de

ecuaciones algebraicas lineales no necesariamente se consideran; una caracter��stica

relevante y particular al problema del ujo de potencia es que el Jacobiano no posee

elementos constantes. En contraste a �esto, la formulaci�on del problema de simulaci�on

puede resultar en un Jacobiano cuyos coe�cientes en su mayor��a son constantes entre

iteraciones. Con una caracter��stica como �esta, sut��lmente diferente, los esquemas de

soluci�on generalizados no siempre llevan a soluciones e�cientes.

En [Ac96] se plantea un m�etodo de paralelizaci�on del ujo de potencia

basado en la Descomposici�on �; �esta permite aproximar el Jacobiano por una ma-

triz bloque diagonal cuyos bloques se procesan independiente y simult�aneamente en

cada procesador. Tal aproximaci�on resulta en un incremento considerable de las ite-

raciones necesarias para la convergencia del ujo, de�ciencia que se intenta subsanar

mediante un m�etodo de aceleraci�on heur��stico. En lo que respecta a los resultados,

utilizando una m�aquina Intel iPSC/860 con topolog��a hipercubo y 8 procesadores, se

obtuvo una ganancia de velocidad igual a 10,39 en el estudio del sistema de prueba

IEEE 888. El m�etodo tambi�en fue sugerido para la evaluaci�on de contingencias. Por

27

su parte, en [WB95] la estrategia de paralelizaci�on para el ujo de potencia se basa

en el estudio de las tareas independientes que pueden ser encontradas en las etapas

de fatorizaci�on y substituci�on presentes en la soluci�on de ecuaciones algebraicas line-

ales, cuasivac��as y de gran dimensi�on. El desarrollo se llev�o a cabo en un computador

Symetry 81; considerando el estudio de un sistema de 970 barras y 3536 ramas, la

ganancia de velocidad obtenida al utilizar 20 procesadores con memoria compartida

fue 13. Otra alternativa de paralelizaci�on, sugerida en [HO94], considera la soluci�on

del ujo de potencia mediante el m�etodo de Gauss-Seidel; los desarrollos se llevaron a

cabo en dos m�aquinas, una Sequent Balance con memoria distribuida y un nCUBE2

de memoria distribuida.

Otras aplicaciones asociadas al ujo de potencia y su implementaci�on so-

bre computadores paralelos, vistas con mayor inter�es, consideran la paralelizaci�on

de una multiplicidad de problemas de ujo de potencia. Tal es el caso de la eva-

luaci�on de contingencias y los desarrollos basados en arquitecturas con procesadores

superescalares o vectoriales [BCFa96, GMPM92, GMPM93].

Simulaci�on de transitorios electromec�anicos

La simulaci�on de transitorios electromec�anicos concentra un sinn�umero de

investigaciones. Considerando que el trabajo planteado aqu�� se orienta a la aplicaci�on

del procesamiento paralelo en este tipo de estudio, las investigaciones relativas, en

conjunto a otros detalles del problema de simulaci�on, se describir�an en el Cap��tulo

IV de esta Tesis.

Simulaci�on de transitorios electromagn�eticos

El estudio de transitorios en rangos de frecuencia elevada, como los cau-

sados por la operaci�on de interruptores, fallas o descargas atmosf�ericas, es una de

las etapas importantes en la plani�caci�on de un sistema el�ectrico, particularmente,

en lo que dice relaci�on al dise~no de dispositivos aisladores y a la coordinaci�on de

esquemas de protecci�on. Cuando las dimensiones de una l��nea de transmisi�on son

comparables a la longitud de onda de los transitorios de frecuencia elevada, el estudio

debe considerar la din�amica asociada a la propagaci�on de las ondas electromagn�eticas

28

por las l��neas; este fen�omeno se conoce com�unmente con el nombre de transitorios

electromagn�eticos.

En el modelo generalmente utilizado para analizar los transitorios elec-

tromagn�eticos todos los componentes del sistema, excepto las l��neas de transmisi�on,

se modelan mediante circuitos equivalentes con par�ametros concentrados. Estos ele-

mentos se describen mediante ecuaciones diferenciales ordinarias y su soluci�on se

obtiene mediante integraci�on num�erica paso a paso. Por el contrario, las l��neas de

transmisi�on se modelan mediante elementos con par�ametros distribuidos descritos

matem�aticamente por ecuaciones diferenciales parciales (ecuaci�on de onda). En el

caso de considerar p�erdidas en la l��nea, la ecuaci�on de onda no tiene una soluci�on

anal��tica en el dominio del tiempo; sin embargo, tal como se observa en la Figura

2.7, �esta suele representarse adecuadamente por medio de un modelo de onda via-

jera que consiste de dos circuitos equivalentes disgregados, cada uno de los cuales

contiene una fuente de corriente en paralelo con una impedancia ubicada al �n de

ambos extremos de la l��nea.

HA BIA IH

B

A B

Figura 2.7: Modelo utilizado para representar una l��nea de transmisi�on en estudios

de simulaci�on de transtorios electromagn�eticos

En [FaKA93], considerando como base los m�etodos num�ericos utilizados

en el Electromagnetic Transients Program (EMTP) [ML94], se propone un algoritmo

paralelo para la simulaci�on de los transitorios electromagn�eticos en redes de gran ta-

ma~no. Tal como puede observarse en el diagrama de ujo de la Figura 2.8, el recurso

principal utilizado para la simulaci�on paralela consiste en explotar el desacoplamien-

to natural introducido por el modelo de onda viajera en las ecuaciones de nodo de

la red.

29

Lea los datos

Determine las condiciones iniciales

optimizando el balance de carga en éstosAsigne subredes a los procesadores

t=h

i=1

en la i-ésima subred asignadaEvalúe las fuentes de corriente

Resuelva las ecuaciones de nodode la i-ésima subred asignada

i=i+1

t=h

i=1

en la i-ésima subred asignadaEvalúe las fuentes de corriente

Resuelva las ecuaciones de nodode la i-ésima subred asignada

i=i+1

Es la últimasubred asignadaal procesador

t=t+h

Envíe las funciones previamente evaluadas

Evalúe la ecuación de onda

Es la últimasubred asignadaal procesador

t=t+h

Envíe las funciones previamente evaluadas

Evalúe la ecuación de onda

integraciónpaso de

Es el último

?integraciónpaso de

Es el último

?SI Procesador B

Escriba la información requerida

Procesador A

Descomponga la red en subredes

que están asociadas a las variables en los extremosEvalúe las funciones de la ecuación de onda

de las líneas que llegan a las subredes asignadasque están asociadas a las variables en los extremos

Evalúe las funciones de la ecuación de onda

de las líneas que llegan a las subredes asignadas

que están asociadas a las variables en los extremosReciba las funciones de la ecuación de onda

opuestos de las líneas que llegan a las subredes asignadasque están asociadas a las variables en los extremos

Reciba las funciones de la ecuación de onda

opuestos de las líneas que llegan a las subredes asignadas

NO

SI

SI

NO

SI

NO

NO

Figura 2.8: Diagrama de ujo para la simulaci�on paralela de transitorios electro-

magn�eticos

El desarrollo de la simulaci�on se realiz�o en Lenguaje C. La plataforma

utilizada para efectos de an�alisis es un multiprocesador prototipo desarrollado pa-

ra la Universidad Federal de Rio de Janeiro. El computador paralelo consta de 8

unidades de procesamiento conectadas a trav�es de una topolog��a hipercubo; cada

unidad de procesamiento posee su propia memoria local y est�a provista de puertas

de comunicaci�on bidireccionales de gran velocidad.

Los resultados obtenidos indican una ganancia de velocidad elevada. Por

ejemplo, en un estudio basado en la simulaci�on del sistema brasile~no, cuya represen-

30

taci�on consisti�o de 1026 nodos, 2457 ramas y 146 l��neas, la ganancia de velocidad

alcanz�o a 6,92. Este resultado, as�� como otros expuestos en la referencia, ponen en

evidencia los bene�cios de utilizar el procesamiento paralelo en la simulaci�on de los

transitorios electromagn�eticos, en especial, si alguna caracter��stica propia, como lo

es el paralelismo natural del problema, puede ser explotado exitosamente mediante

una estrategia de paralelizaci�on adecuada.

Estabilidad transitoria mediante funciones de energ��a

El m�etodo utilizado m�as frecuentemente para evaluar tanto la estabilidad

transitoria como la seguridad din�amica de un sistema el�ectrico de potencia correspon-

de a la simulaci�on din�amica, principalmente la de los transitorios electromec�anicos.

A pesar de su utilidad, y de la gran cantidad de a~nos que respaldan su uso, los

m�etodos directos, tales como el de Lyapunov o de la funci�on de energ��a transitoria,

han despertado un gran inter�es por su aplicaci�on en la industria [MVY+95]. Diver-

sas ventajas, dentro de las cuales es posible mencionar la velocidad computacional,

la exibilidad para estudiar escenarios diferentes y la disponibilidad para generar

��ndices cualitativos acerca del comportamiento del sistema, hacen de estos m�etodos

candidatos potenciales para evaluar la estabilidad transitoria [Pai89, FV92]. Aunque

los m�etodos directos reducen signi�cativamente el tiempo de computaci�on respecto

de la simulaci�on paso a paso, �estos a�un pueden mejorarse mediante la utilizaci�on de

las capacidades computacionales disponibles actualmente.

El m�etodo de la funci�on de energ��a transitoria (TEF: Transient Energy

Function) fue derivado de la teor��a de la estabilidad descrita en el segundo m�etodo

de Lyapunov. De entre los m�etodos basados en la TEF, el de mayor �exito, desarro-

llado anal��ticamente en el marco de la teor��a matem�atica de los sistemas din�amicos

bajo los conceptos de super�cie l��mite de energ��a potencial (PEBS: Potential Energy

Boundary Surface) y punto relevante de equilibrio inestable (UEP: controlling Uns-

table Equilibrium Point), es el denominado BCU (Boundary of stability region based

Controlling Unstable equilibrium point) [LDLRLM+95, PM97].

La versi�on paralela para evaluar la estabilidad transitoria de un sistema

el�ectrico de potencia mediante el m�etodo de la funci�on de energ��a transitoria BCU

31

fue sugerido en [VPL91]. La estrategia de paralelizaci�on se describe, de manera re-

sumida, mediante el diagrama de ujo de la Figura 2.9. Esta consiste en realizar una

secuencia de estudios simult�aneos de estabilidad considerando fallas diferentes. Las

l��neas segmentadas de�nen la posibilidad de una estrategia de paralelizaci�on diferen-

te basada en el procesamiento simult�aneo de algunas de las tareas independientes

en el estudio de un caso simple. Sin embargo, puesto que la estrategia basada en

el estudio simult�aneo de las fallas se apoya en el paralelismo natural presente en la

tarea de evaluar la seguridad din�amica, con sus consecuentes ventajas, la estrategia

alternativa no es la m�as apropiada.

Entrada de datos de falla y postfalla Entrada de datos de falla y postfalla

Cálculo del punto de equilibrio estable (postfalla)Cálculo del punto de equilibrio estable (postfalla)

P1

Entrada del número de corridas

Construcción de la matriz de admitancia

Entrada de datos

para el sistema en estado de postfallaConstrucción de la matriz reducida

para el sistema en estado de fallaConstrucción de la matriz reducida

para el sistema en estado de postfallaConstrucción de la matriz reducida

para el sistema en estado de fallaConstrucción de la matriz reducida

Cálculo del modo de perturbacióny el punto de equilibrio inestable #N

y el punto de equilibrio inestable #1Cálculo del modo de perturbación

Cálculo del modo de perturbacióny el punto de equilibrio inestable #N

y el punto de equilibrio inestable #1Cálculo del modo de perturbación

Despliegue de resultados

...

si

no

Pp

Originar tareas para p procesadores en paralelo

Cálculo del margen de energía Cálculo del margen de energía

Término de las p tareas

Fin de las corridas ?

Figura 2.9: Diagrama de ujo del m�etodo de la TEF para evaluaci�on de la seguridad

din�amica mediante computadores paralelos

El desarrollo de la versi�on paralela del m�etodo de la funci�on de energ��a

descrito se realiz�o en un supercomputador IBM 3090-600E del Center for Theory

and Simulations in Science and Engineering (Cornell Theory Center). Este cuenta

con seis procesadores para efectos de paralelizaci�on y tambi�en posee capacidades de

32

vectorizaci�on. Para un estudio basado en un modelo de 50 generadores, 145 barras

y 649 l��neas del sistema de la Ontario Hydro, la ganancia de velocidad en el estudio

de la estabilidad transitoria de 50 escenarios fue de 5,36.

Estabilidad a perturbaci�on peque~na

La estabilidad a perturbaci�on peque~na dice relaci�on con el an�alisis de

los problemas de oscilaci�on electromec�anica que a menudo aquejan a los sistemas

geogr�a�camente extendidos, y en los cuales los niveles de generaci�on elevados, trans-

feridos por medio de l��neas de transmisi�on considerablemente largas, di�cultan la

operaci�on en tales condiciones. Generalmente, para reestablecer el nivel de amorti-

guamiento se utiliza un dispositivo estabilizador que se dise~na por medio de t�ecnicas

de control basadas en modelos lineales; dependiendo del sistema en estudio, la di-

mensi�on del modelo din�amico puede ir desde los 100 hasta cerca de los 3000 estados

[RPA93]. Considerando tal caracter��stica, las t�ecnicas de dise~no basadas en la re-

presentaci�on de estado y el an�alisis de la estabilidad y el comportamiento mediante

valores y vectores propios son los m�as utilizados [Pn92, Mor95, Fre94]. Por otro

lado, puesto que la topolog��a del sistema suele cambiar con relativa frecuencia y las

condiciones de operaci�on del sistema son aleatorias, el evaluar y corregir en tiempo

real los problemas de estabilidad, frente a perturbaciones para las cuales el an�alisis

basado en el modelo linealizado es v�alido, constituye un desaf��o computacional de

gran inter�es [RPAL+95].

Para efectos del an�alisis de la estabilidad a perturbaci�on peque~na el c�alcu-

lo de valores y vectores propios es una de las tareas fundamentales [Rud82]. En la

pr�actica, la autoestructura6 de inter�es en un sistema el�ectrico de potencia se con-

centra en los modos electromec�anicos. As��, las t�ecnicas utilizadas para la soluci�on

e�ciente de este problema, con aplicaci�on a sistemas de gran tama~no, consideran la

b�usqueda de una autoestructura parcial del modelo del sistema.

El paralelismo natural presente en algunos de los algoritmos num�ericos

6Se denomina autoestructura al par autovalor y autovector, los cuales tambi�en se denominan

valor propio y vector propio.

33

disponibles para el c�alculo de una autoestructura parcial hace atractiva la evaluaci�on

de la estabilidad a perturbaci�on peque~na mediante computadores paralelos. Los

algoritmos sugeridos para plataformas paralelas requieren de la soluci�on repetida de

conjuntos de ecuaciones lineales de la forma:

"J1 � qU J2

J3 J4

#"w

v

#(k)=

"r

0

#(k)

donde J1; J2; J3 y J4 son las matrices del Jacobiano evaluado en el punto de

operaci�on en estudio, w y v son vectores desconocidos, q es un desplazamiento en el

plano complejo que permite que los autovalores cercanos a q sean dominantes, U es la

matriz identidad, r es un vector complejo y k denota la iteraci�on en juego. Puesto que

estos conjuntos son independientes, su soluci�on puede obtenerse concurrentemente

sobre procesadores distintos.

Basados en la formulaci�on descrita anteriormente, a continuaci�on se enu-

meran algunos de los algoritmos paralelos sugeridos para evaluar la estabilidad a

perturbaci�on peque~na en sistemas de gran tama~no:

� Las iteraciones simult�aneas desbalanceadas (LSSI: Lop-Sided Simultaneous Ite-

rations), sugerido en [CMP+94].

� La bi-iteraci�on (BI: Bi-iteration), sugerida en [CMFa95].

� Un m�etodo h��brido que combina los algoritmos BI y de las iteraciones inversas,

tambi�en sugerida en [CMFa95].

La e�ciencia obtenida en el estudio de un modelo de 1202 estados del

sistema interconectado brasile~no, utilizando un computador paralelo Intel iPSC/860

con 4 nodos, es de aproximadamente un 50 % para el algoritmo LSSI. Por su parte,

la e�ciencia alcanzada por el m�etodo h��brido es fuertemente dependiente del valor

seleccionado para q; alcanzando valores de hasta aproximadamente un 350 % en

los casos en que q no es equidistante a alg�un par de autovalores del sistema, y de

aproximadamente un 60 % en casos contrarios. La elevada e�ciencia del algoritmo

34

h��brido se asocia a la velocidad con la cual el algoritmo BI estima los valores propios

y a la rapidez con la cual el algoritmo de la iteraci�on inversa, el cual posee un perfecto

paralelismo, converge al vector propio.

Estabilidad de tensi�on

La estabilidad de tensi�on dice relaci�on con la habilidad que tiene un siste-

ma el�ectrico de potencia para mantener la tensi�on en todas sus barras en condiciones

normales luego de haber sido sometido a una perturbaci�on. As��, un estado de ines-

tabilidad de tensi�on se caracteriza por que luego de una perturbaci�on, incremento

de carga �o cambio en la topolog��a y/o condici�on de operaci�on del sistema, se produ-

ce una reducci�on progresiva e incontrolable de la tensi�on; siendo la principal causa

de este fen�omeno la inhabilidad del sistema para satisfacer la demanda de potencia

reactiva [Kun94, Cn95].

El problema de evaluar la inestabilidad y/o los colapsos de tensi�on re-

quiere de esfuerzos computacionales considerables, no s�olo por la complejidad de

los modelos en consideraci�on, sino tambi�en por la enorme cantidad de casos que se

deben analizar y la velocidad de respuesta requerida. En [LT96] se investiga la pa-

ralelizaci�on del m�odulo de programa EVARISTE, el cual eval�ua en tiempo real la

proximidad al colapso de tensi�on de una serie de situaciones que el usuario de�ne

para el sistema el�ectrico de potencia. Para lograr tal objetivo, el programa simula el

comportamiento del sistema frente a incrementos de carga hasta el punto en el cual

se detectan los problemas de estabilidad de tensi�on. Cada vez que se ejecuta el pro-

grama, �este simula la operaci�on actual (caso base) m�as un n�umero de contingencias

correspondiente a la salida de uno o varios dispositivos (l��nea, unidad generadora o

barra). Las tareas envueltas en cada uno de estos casos son:

� Determinar un per�l de tensi�on inicial, tarea que requiere resolver un ujo de

carga mediante el m�etodo de Newton-Raphson.

� Simular la transici�on hasta el estado en cual se detecta la inestabilidad de ten-

si�on, tarea que requiere evaluar la inestabilidad en una secuencia de estados de

transici�on entre el inicial y el inestable. A su vez, ambas operaciones envuelven

35

la soluci�on de un problema algebraico lineal, despu�es de factorizar la matriz

Jacobiana en la forma LU.

Dada la caracter��stica de independencia entre los casos a simular, la utili-

zaci�on del procesamiento paralelo es ideal para tomar ventaja del paralelismo natural

presente en este problema. La estrategia de paralelizaci�on del m�odulo EVARISTE

se desarroll�o para un computador MIMD de memoria distribuida, el cual consiste

de procesadores Intel i860 intercomunicados mediante una red de procesadores de

comunicaci�on dedicados Inmos T800 (transputers). La topolog��a de procesamiento

seleccionada corresponde a la de un �arbol estructurado. Las porciones de c�odigo no

paralelizables se ejecutan en un procesador maestro. Por el contrario, la porci�on de

c�odigo paralelizable se ejecuta en un n�umero variable de procesadores esclavos que

ejecutan la misma tarea sobre datos diferentes. La Figura 2.10 muestra la asignaci�on

de tareas en los procesadores.

los procesadores esclavos

los procesadores esclavosRecepción de datos desde

Recepción de datos desdeel procesador maestro

estado inicialCómputo del

caso asignadoSimulación del

al procesador maestroTransferencia de datos

Recepción de datos desdeel procesador maestro

estado inicialCómputo del

caso asignadoSimulación del

al procesador maestroTransferencia de datos

P2

P

Transferencia de datos a

1

p

P1

...

si

no

Lectura de Datos

Ultimo caso ?

Impresión de resultados

P

Figura 2.10: Diagrama de ujo de la versi�on paralela del m�odulo para an�alisis de la

estabilidad de tensi�on EVARISTE

En lo que respecta a los resultados de la paralelizaci�on, la e�ciencia ob-

36

tenida al analizar un sistema el�ectrico de potencia de 2000 barras, considerando el

c�alculo de 17 factorizaciones y el an�alisis de 1700 casos, utilizando 32 procesadores,

fue de 0,98.

Plani�caci�on de sistemas el�ectricos de potencia

La plani�caci�on de un sistema el�ectrico dice relaci�on con la estrategia de

operaci�on y expansi�on que debe seguir el sistema durante un per��odo predeterminado.

Por lo general, en la soluci�on del problema se de�ne el estado que se debe alcanzar,

en cada intervalo de tiempo dentro del per��odo de inter�es, con el �n de minimizar el

costo total de inversi�on m�as operaci�on. Por su parte, en la secuencia de estados se

de�ne tanto la topolog��a como la condici�on de operaci�on del sistema, considerando

tambi�en aquellas que requieran invertir en un nuevo equipo.

Una aplicaci�on del procesamiento paralelo al problema de la plani�caci�on

de sistemas el�ectricos se encuentra en [LT96]. En �esta se describe la estrategia y

los resultados obtenidos al paralelizar el m�odulo de an�alisis MEXICO. Este m�odulo

determina la con�abilidad de un sistema el�ectrico de potencia simulando un gran

n�umero de estados de�nidos por la disponibilidad de los equipos de generaci�on y

transmisi�on. Los modos de operaci�on del m�odulo pueden ser instant�aneo o anual.

Los estados se construyen aleatoriamente mediante simulaci�on de Monte Carlo. El

modelo determina un per�l de generaci�on �optimo que minimiza una funci�on de costo

total sujeto a restricciones en el balance de carga y generaci�on, y en los l��mites per-

misibles para el ujo por las l��neas bajo condiciones normales e incidentales (criterio

n-1).

El modelo utiliza programaci�on lineal con relajaci�on de restricciones, y

determina la energ��a no suministrada, su costo y el costo que podr��a reducirse al

incrementar la capacidad de transmisi�on. Dado el tama~no de los sistemas estudiados

y el n�umero de casos usualmente analizados, se utiliza un modelo DC aproximado

para el c�alculo de ujos como alternativa al modelo AC.

La estrategia de paralelizaci�on propuesta para el m�odulo MEXICO apro-

vecha el paralelismo natural que existe en el modelo, derivado del hecho que cada

37

disponibilidad de los equiposSorteo aleatorio de la

de los casos peoresAlmacenamiento

valores relevantesDetermine

los casos peoresAnálisis de

P1

Construcción de un estado

de generación óptimaCálculo del perfil

Construcción de un estado

de generación óptimaCálculo del perfil

Datos de generacióny transmisión disponible

Despliegue resultados

Cálculo de la

si

no

...

sino

sino

Rechazo del estado?

Pp

Rechazo del estado?

Fin de los casos ?

energía no suministrada

Figura 2.11: Diagrama de ujo de la versi�on paralela del m�odulo de plani�caci�on

MEXICO

estado puede ser considerado independientemente de los otros. La estrategia paralela

se describe mediante el diagrama de ujo mostrado en la Figura 2.11.

Las modi�caciones realizadas para obtener la versi�on paralela del m�odulo

MEXICO se desarrollaron en un computador Cray YMP 4128. De entre todos los

estudios realizados, la mejor ganancia de velocidad fue de 3,89 y se obtuvo al utilizar

4 procesadores. El sistema considerado consiste de 5 regiones, 329 l��neas y 150

generadores. La proyecci�on del estudio fue anual y el sorteo aleatorio de los equipos

1000.

2.2.2 Aplicaciones potenciales del procesamiento paralelo

La aplicaci�on del procesamiento paralelo en los sistemas el�ectricos de po-

tencia podr��a alcanzar un impacto mayor en aquellas �areas donde el uso de compu-

38

tadores convencionales ha fallado o no ofrece un desempe~no satisfactorio, y tambi�en

en �areas en las cuales el uso de modelos relativamente m�as complejos demandar��a re-

querimientos computacionales extras. Otra posibilidad se encuentra en el desarrollo

de nuevas herramientas para el an�alisis y dise~no, tales como los sistemas inteligentes,

la visualizaci�on, las bases de datos distribuidas, etc.; las cuales explotan las poten-

cialidades ofrecidas por la tecnolog��a computacional moderna. A continuaci�on se

describen algunas de estas �areas [Fa96].

Control en tiempo real

Actualmente, en muchos pa��ses la operaci�on de un sistema el�ectrico de

potencia se administra con criterios que optimizan los recursos energ�eticos presentes.

Ciertamente, la operaci�on �optima est�a limitada por restricciones de calidad y segu-

ridad que se ven continuamente comprometidas por la complejidad presente en la

operaci�on del sistema. La diferencia de intereses entre las compa~n��as que participan

del sistema y la descentralizaci�on de los centros de control, debida a las distancias

entre los centros generadores del sistema, incrementan la di�cultad asociada a la

tarea de evaluar la seguridad. As��, muchas de las herramientas utilizadas por la

industria limitan tal funci�on a consideraciones basadas ya sea en el comportamiento

est�atico del sistema o en el comportamiento din�amico de un grupo de dispositivos

geogr�a�camente descentralizados. Estas de�ciencias limitan severamente la habili-

dad de detectar situaciones potencialmente peligrosas en la operaci�on del sistema.

La utilizaci�on de modelos din�amicos para control en tiempo real, asociados con el

an�alisis de los fen�omenos de estabilidad angular y de tensi�on del sistema, requiere de

un esfuerzo computacional a�un no disponible en los centros de control computarizado

y para la cual la legislaci�on pertinente a�un no se ha estructurado [RVH97].

Teniendo en consideraci�on la importancia de evaluar la seguridad din�ami-

ca del sistema, la tendencia natural de descentralizaci�on de los centros de control y

el uso de sistemas de computaci�on distribuida en ellos, la inclusi�on de computadores

paralelos podr��a ofrecer la posibilidad de atender los requerimientos de computaci�on

m�as elevados, tanto en t�erminos de complejidad de an�alisis como de velocidad de res-

puesta. De igual manera, la tecnolog��a disponible en el �area de telecomunicaciones

podr��a llegar a ser de potencial ayuda para el procesamiento geogr�a�camente des-

39

centralizado. La Figura 2.12 muestra un ejemplo de plataforma computacional que

utiliza esta perspectiva. En �esta se puede distinguir una red de comunicaci�on local,

un sistema SCADA (Supervisory, Control And Data Acquisition) como soporte para

procesamiento descentralizado, un ambiente distribuido para el an�alisis integrado de

los problemas naturalmente paralelizables en el sistema y un computador paralelo

de desempe~no elevado para el an�alisis y la evaluaci�on de la seguridad din�amica.

P

TOperador

D UP

CP CP CP

P

TOperador

D UP

UP

D

SCADA

: Computador paralelo

UP

D

Generación

UP

D

Transmisión

UP

D

Estabilidad

UP

D

Base de datos

RAL

RALCP

TPD

: Teclado: Pantalla: Disco para almacenamiento

: Red de área local

UP : Unidad de procesamiento

Figura 2.12: Con�guraci�on de un sistema de procesamiento descentralizado para un

centro de control local

Simulaci�on en tiempo real

Una de las razones por las cuales la estabilidad de un sistema el�ectrico de

potencia ha sido disgregada en diversos tipos se encuentra en la limitaci�on presente en

el desempe~no de algoritmos y en la velocidad de computaci�on. Las capacidades para

simular el comportamiento asociado tanto al estudio de la estabilidad angular como

de tensi�on se encuentran disponibles actualmente en programas computacionales que

operan sobre monoprocesadores; tal concepto se denomina estabilidad generalizada y

consiste en extender la franja temporal de la simulaci�on hasta observar un completo

retorno al punto de equilibrio, considerando la posibilidad de estudiar la presencia

de un extenso tipo de perturbaciones. Para tal efecto, el sistema debe ser modelado

de manera tal que cualquier bifurcaci�on, oscilaci�on subamortiguada u otro fen�omeno

sea representado cuasi inequ��vocamente.

40

La posibilidad de realizar simulaciones en tiempo real, que representen el

comportamiento del sistema en una escala de transitorios m�as amplia, se constituye

como un excelente desaf��o para la computaci�on paralela. La importancia de lograr

tal objetivo radica en los bene�cios obtenidos en el dise~no y prueba de dispositivos

nuevos [ML94], la coordinaci�on de esquemas de protecci�on y control, el an�alisis de

perturbaciones, el entrenamiento de operadores y la educaci�on.

Para efectos de obtener una simulaci�on en tiempo real se pueden utilizar

diferentes tecnolog��as: an�aloga, basada en modelos a escala o dispositivos electr�oni-

cos, digital o h��brida; siendo �esta �ultima la que combina las tecnolog��as an�aloga

y digital. Actualmente, los sistemas basados en la tecnolog��a digital son el medio

m�as utilizado para realizar simulaciones; sus principales ventajas son la facilidad

para manipular y desplegar resultados utilizando interfaces gr�a�cas so�sticadas, su

dimensi�on f��sica peque~na y su exibilidad.

Por mucho tiempo las simulaciones an�alogas fueron el �unico medio apto

para obtener simulaciones en tiempo real. Hoy en d��a la tecnolog��a digital ofrece

alternativas como los sistemas de procesamiento masivamente paralelo; �estos poseen

la potencialidad computacional necesaria para dirigir un simulador en tiempo real de

un sistema el�ectrico de potencia, ya sea en su versi�on totalmente digital o h��brida. En

aquellas aplicaciones en que se requiere la prueba de equipos, tal como un esquema

de protecci�on, la utilizaci�on del sistema de procesamiento paralelo debe ser dedicada

s�olo a la tarea que le conlleva la interfaz f��sica con el equipo en prueba.

Optimizaci�on

Tal como se mencion�o anteriormente, la operaci�on de un sistema el�ectrico

de potencia se de�ne en base a criterios que optimizan los recursos presentes en �el.

De manera similar a lo que ocurre con los estudios de estabilidad, la complejidad

de los m�etodos envueltos en la optimizaci�on requiere disgregarla en subproblemas

abarcando diversas franjas temporales, quedando cada una de estas franjas de�nida

por el o los recursos considerados de importancia para el proceso de optimizaci�on.

La diversidad de modelos utilizados para la optimizaci�on abarca desde

41

aquellos de�nidos para el despacho econ�omico cl�asico, donde un problema de progra-

maci�on nolineal se resuelve mediante t�ecnicas como el gradiente, a los utilizados para

representar un problema de optimizaci�on multiembalse formulado mediante progra-

maci�on din�amica estoc�astica. La plani�caci�on de la expansi�on de los sistemas de

transmisi�on y distribuci�on y el ujo de potencia �optimo con restricciones de segu-

ridad son problemas igualmente complejos e interesantes [RSM94]. En muchos de

�estos una formulaci�on realista lleva a modelos matem�aticos cuyas relaciones son al-

tamente nolineales, con funciones noconvexas, variables de tipo entero y discreto, y

un sinn�umero de caracter��sticas denominadas \de mal comportamiento". Algunos

de estos problemas corresponden a problemas de optimizaci�on combinatorial cuya

demanda de requerimientos computacionales es exponencial. Otra di�cultad, gene-

ralmente presente, es la elevada dimensi�on de los problemas. Siendo las t�ecnicas

de descomposici�on una alternativa adecuada para su tratamiento, el procesamiento

paralelo puede ser utilizado e�cientemente para la soluci�on de tales problemas. De

manera similar, algunas t�ecnicas, como lo son la solidi�caci�on emulada, los algorit-

mos gen�eticos, la computaci�on evolutiva, etc., tambi�en pueden ser implementadas en

forma e�ciente sobre plataformas de computaci�on paralela. La utilizaci�on de estas

t�ecnicas ofrecen una gran potencialidad para la soluci�on heur��stica de los problemas

de optimizaci�on en sistemas el�ectricos de potencia.

Evaluaci�on probabil��stica

El dise~no de sistemas el�ectricos de potencia ha despertado un fuerte in-

ter�es por la b�usqueda de m�etodos e�cientes, que permitan reducir los costos del

sistema sin sacri�car su con�abilidad. Una alternativa atractiva a los m�etodos de-

termin��sticos son los m�etodos probabil��sticos. Estos m�etodos pueden proveer una

mejor estimaci�on cuantitativa de la seguridad del sistema, la cual puede ser even-

tualmente utilizada para el dise~no m�as econ�omico del sistema [Kri86].

A�un cuando algunos de los estudios basados en modelos probabil��sticos,

tal como la evaluaci�on de la con�abilidad conjunta de los sistemas de transmisi�on y

distribuci�on, se simpli�can considerablemente al utilizar modelos basados en repre-

sentaciones est�aticas o linealizadas, los esfuerzos computacionales requeridos para

el an�alisis de sistemas el�ectricos de potencia de gran tama~no contin�uan siendo ex-

42

cesivos. As��, la inclusi�on de modelos m�as realistas en este tipo de estudio, sobre

plataformas computacionales convencionales, podr��a convertir el problema en intra-

table. Por otro lado, considerando el paralelismo natural presente en algunos de los

m�etodos utilizados para este tipo de c�alculos, tales como la simulaci�on de Monte

Carlo y las t�ecnicas de enumeraci�on, la utilizaci�on de computadores masivamente

paralelos en esta �area ofrece grandes expectativas.

Herramientas inteligentes para an�alisis y dise~no

La operaci�on y plani�caci�on de un sistema el�ectrico requiere de un enorme

trabajo, con tediosos ciclos de preparaci�on de datos, simulaci�on, an�alisis de resulta-

dos y decisiones acerca del estudio de otros escenarios. Algunos de estos estudios

envuelven la utilizaci�on de diversos programas, los cuales usualmente no est�an bien

integrados ( ujo de potencia, c�alculo de cortocircuitos, estabilidad angular y de ten-

si�on, transitorios electromagn�eticos, etc.). Por otra parte, las facilidades provistas

por el uso de interfaces gr�a�cas so�sticadas y bases de datos integradas no siem-

pre hacen uso de los bene�cios que ofrece la tecnolog��a presente actualmente en la

industria computacional.

Bajo tales consideraciones, algunas de las caracter��sticas sugeridas para

las herramientas computacionales del futuro son:

� Robustez, para lidiar con el an�alisis de sistemas operacionalmente cargados.

� Amigabilidad, para aliviar el trabajo rutinario de los ingenieros.

� Integraci�on, para expandir la habilidad de an�alisis de los ingenieros.

� Capacidad de aprendizaje, para acumular autom�aticamente experiencia.

� Velocidad de procesamiento, para reducir el tiempo que requiere el an�alisis y

la toma de decisiones.

La robustez puede lograrse proporcionando una mejor disponibilidad de

modelos, as�� como tambi�en algoritmos que permitan el estudio en condiciones de

operaci�on extremas. Por cierto, la utilizaci�on de las herramientas de visualizaci�on

43

disponibles podr��a incitar a los ingenieros a sintetizar los resultados mediante desplie-

gues gr�a�cos m�as atractivos, aumentando as�� la amigabilidad del an�alisis. La capaci-

dad de aprendizaje puede ser provista por t�ecnicas como las basadas en inteligencia

arti�cial (Sistemas Expertos, L�ogica Difusa, Redes Neuronales, etc.). Finalmente,

la integraci�on de algoritmos y de las capacidades sugeridas para computaci�on en

sistemas de potencia podr��a hacer uso de las arquitecturas de computaci�on paralela

disponibles, permitiendo as�� tomar ventaja de la velocidad de c�alculo que ofrecen.

La Figura 2.13 muestra un ambiente de computaci�on como el sugerido [Fa96].

inteligentes de visualizaciónHerramientas

Algoritmos

Sistemas

robustos

Ambiente de computación eficiente

Figura 2.13: Herramienta computacional de sistemas el�ectricos de potencia para el

futuro

2.2.3 Implementaciones en la industria el�ectrica

Dentro de las �areas potenciales para la utilizaci�on del procesamiento pa-

ralelo en sistemas el�ectricos de potencia, el desarrollo de simuladores en tiempo real

concentra la mayor��a de las aplicaciones llevadas a la industria. A continuaci�on se

describen algunos de estos desarrollos.

Simulador en tiempo real para TEPCO

La Mitsubishi Electric Corporation desarroll�o un simulador digital en

tiempo real (RTDS: Real Time Digital Simulator) para la Tokyo Electric Power

Company. Este simulador est�a basado en un multicomputador NCube2 y cuenta con

512 nodos, con la capacidad de ser ampliados a 8192, dispuestos en una topolog��a

hipercubo [TIN+92]. El per�l del RTDS desarrollado se observa en la Figura 2.14;

adem�as del multicomputador, el simulador cuenta con una estaci�on de trabajo que

44

sirve para la entrada de datos y recepci�on de resultados desde el multicomputador.

Posee facilidades gr�a�cas, dispositivos convertidores an�alogo/digital (A/D) y digi-

tal/an�alogo (D/A) e interfaces de entrada digital y salida digital (E/S-D) que sirven

como medio de comunicaci�on hacia otros aparatos electr�onicos.

E/S - D

para interfazhombre-máquina

Estación de trabajo

digitalEntrada y salidadigital-análogo

análogo-digital yConvertidores

hipercubopara simulación

Computador

: Barra del sistema

Equipoen prueba

A/D D/A

Figura 2.14: Simulador digital en tiempo real

Este simulador permite simular en tiempo real los transitorios electro-

mec�anicos de un sistema con 491 barras. El algoritmo paralelo que se utiliza localiza

cada barra del sistema en un procesador; as��, las ecuaciones diferenciales que re-

presentan el comportamiento din�amico de los componentes conectados a una barra

del sistema se resuelven en su correspondiente procesador. De igual modo, cada

una de las ecuaciones algebraicas asociadas al modelo del sistema de transmisi�on se

asignan a un procesador. El m�etodo seleccionado para su soluci�on se basa en un

procedimiento tipo Gauss-Seidel. Debido a la gran cantidad de tiempo que consume

la comunicaci�on entre los procesadores, la e�ciencia alcanzada es muy pobre; sin

embargo, dado el gran n�umero de procesadores disponibles, es posible realizar la

simulaci�on en tiempo real de un sistema el�ectrico de potencia de tama~no pr�actico.

RTDS del Manitoba HVDC Research Centre

Este simulador en tiempo real, desarrollado por el Manitoba HVDC Re-

search Centre, fue dotado con las capacidades para representar un sistema el�ectrico

45

de potencia con el detalle necesario para la realizaci�on de pruebas en rel�es. Para

tal efecto, el simulador utiliza una arquitectura paralela basada en el estado del arte

en procesadores digitales de se~nales (DSPs: Digital Signal Processors). Tales dis-

positivos est�an especialmente dise~nados para procesamiento de se~nales, permitiendo

simular los transitorios del sistema con pasos de integraci�on en el orden de los 50

a los 100�s. Esto permite la simulaci�on en tiempo real de transitorios en rangos

de frecuencia elevada, los que son casi imposibles de simular m�aquinas paralelas de

prop�osito general que utilizan procesadores convencionales.

En la Figura 2.15 se observa la disposici�on de los equipos utilizados para

la prueba en lazo cerrado de un rel�e f��sico [MKW+92]. La interfaz con el usuario se

Interfaz del usuario

Fault

tensión y corrienteAmplificador de

Relé en prueba

Simulador

Señal de disparo

Figura 2.15: Prueba en lazo cerrado de un rel�e f��sico

realiza mediante una rutina de entrada gr�a�ca denominada DRAFT que permite la

construcci�on de los diagramas unilineales mediante iconos. El RTDS tiene la ventaja

de ser bastante peque~no. Adem�as, puede ser conectado a alg�un simulador an�alogo ya

existente, como el de un enlace en corriente continua (HVDC: High Voltage Direct

Current), permitiendo as�� incrementar sus capacidades de prueba.

Supercomputador para Hydro Quebec

En 1991, el Centre d`Analyse Numerique de Reseaux (CANR) de Hydro

Quebec adquiri�o un supercomputador estrictamente dedicado a las actividades de

an�alisis de sistemas el�ectricos de potencia (PSA: Power System Analysis). Adem�as

del supercomputador, un Cray X-MP/216, el centro de computaci�on cuenta con siete

servidores Sun, m�as de 80 estaciones de trabajo y una red Ethernet. El supercom-

putador se utiliza para el procesamiento num�erico de tareas largas y cuyo tiempo

46

de soluci�on es cr��tico; ha sido empleado para estudios de estabilidad transitoria ba-

sados en los paquetes PSS/E (Power Technologies Inc.) y ST600 (Hydro Quebec),

y de transitorios electromagn�eticos basados en el programa EMTP. Los estudios de

estabilidad transitoria realizados para el sistema interconectado del Northeast Po-

wer Coordinating Council (NPCC), cuya representaci�on en detalle consiste de hasta

12000 barras y requiere de hasta 45 horas de tiempo CPU para una simulaci�on en

una estaci�on de trabajo, pueden ser realizados en el supercomputador en menos de

dos horas. A su vez, en los estudios de contingencias extremas, considerando mo-

delos reducidos de aproximadamente 1000 barras, el procesamiento de un n�umero

elevado de contingencias consum��a entre 4 y 5 horas; utilizando el supercomputador,

el tiempo de respuesta se redujo a un rango entre 10 y 15 minutos [VCB92].

47

III. REPRESENTACION DEL SISTEMA

3.1 Introducci�on

De manera muy general un sistema el�ectrico de potencia puede ser visto

como la interconexi�on de tres grandes subsistemas: el sistema de generaci�on, el

sistema de transmisi�on y los consumos. La formulaci�on de un modelo din�amico que

representa la interconexi�on de estos tres subsistemas es un problema complejo, ya sea

por el n�umero de dispositivos incorporados, la diversidad de tecnolog��as presentes,

el tipo de perturbaciones afectando al sistema, o la dimensi�on f��sica de �este.

En la Secci�on 1.1 se observ�o que para hacer viable el estudio de los pro-

blemas presentes en el sistema �estos suelen disgregarse. Tal es el caso de los tran-

sitorios electromec�anicos, en que un modelo caracterizado por constantes de tiempo

particulares permite concentrar el an�alisis en una serie de elementos que afectan el

movimiento mec�anico de los rotores de las m�aquinas. El diagrama mostrado en la

Figura 3.1 muestra la estructura general y las caracter��sticas matem�aticas del mode-

’’q,d

Efd

de la turbina

de velocidad

Ecuaciones

y el regulador

Ecuacionesdel sistema

de excitaciónde los circuitos

Ecuaciones

en el rotor

Pm

Sistema de

transmisión

y

Consumos

girando a la velocidad del rotorMarco de referencia individual d,q

Transformación

de Park

X ’’d,qRai d,q

Pe

V d,q

E

I

Ecuación de lamasa rotatoria

Vt| |

Generadorsíncrono

ω δ

Otras unidades generadoras

Ecuaciones algebraicasEcuaciones diferenciales

girando a la velocidad síncronaMarco de referencia común Re,Im

Re,Im

Figura 3.1: Estructura del modelo utilizado para an�alisis de transitorios electro-

mec�anicos en sistemas el�ectricos de potencia

lo utilizado para representar los transitorios electromec�anicos del sistema. Como se

ver�a posteriormente, este modelo consta de un conjunto de ecuaciones de dimensi�on

elevada que agrupa tanto a ecuaciones diferenciales ordinarias nolineales como ecua-

48

ciones algebraicas de estructura cuasivac��a y grandes dimensiones. As��, el an�alisis

de los transitorios electromec�anicos es un problema diferencial-algebraico de valor

inicial [Sto79].

Si bien la complejidad del modelo a utilizar en un determinado estudio

depende de los alcances de �este, particularmente en consideraci�on al tipo, magnitud

y localizaci�on de la perturbaci�on en an�alisis, por lo general, debe incluir los com-

ponentes con efectos m�as relevantes sobre los torques el�ectrico y mec�anico. Estos

componentes son [AF94]:

a) La red de transmisi�on antes, durante y despu�es del transitorio.

b) Las cargas y sus caracter��sticas.

c) Los par�ametros de las m�aquinas s��ncronas.

d) El sistema de excitaci�on de las m�aquinas.

e) La turbina y el regulador de velocidad.

f) Otros componentes relevantes que afectan el torque mec�anico.

g) Otros controles suplementarios considerados como necesarios para describir al

sistema.

3.2 Modelaci�on

En vista de los alcances de este trabajo el sistema el�ectrico de potencia se

model�o en una forma simpli�cada, pero adecuada para simular los transitorios elec-

tromec�anicos. As��, la representaci�on en detalle de las unidades generadoras permite

incorporar modelos para el generador s��ncrono, la turbina y el regulador de velocidad,

el sistema de excitaci�on y el estabilizador del sistema de potencia. La representaci�on

de las unidades generadoras incluye tanto ecuaciones diferenciales como algebraicas

y el sistema de transmisi�on y los consumos se representan a trav�es de relaciones alge-

braicas [Rud82]. Los modelos incorporados tienen como objetivo proporcionar una

herramienta adecuada para evaluar el desempe~no logrado al utilizar computadores

paralelos en la soluci�on al problema de simulaci�on.

49

3.2.1 Modelo del generador s��ncrono

La representaci�on de las m�aquinas s��ncronas es fundamental para el es-

tudio de la estabilidad y el an�alisis de la respuesta electromec�anica del sistema. El

modelo m�as simple utilizado para estudiar este fen�omeno se basa en la ecuaci�on de

movimiento angular en los rotores de las m�aquinas. En la medida que la e�ciencia

en el an�alisis de este problema ha superado las limitaciones y di�cultades inheren-

tes al estudio de un gran n�umero de ecuaciones, caracterizadas por nolinealidades,

saturaciones y constantes de tiempo con magnitudes muy diversas, ha sido posible in-

corporar tambi�en la representaci�on de los circuitos el�ectricos que modelan al rotor de

las m�aquinas. Esta representaci�on permite integrar los modelos disponibles para des-

cribir al sistema de excitaci�on y los controles asociados a �este [SH94, AF94, Kun94].

La transformaci�on de Park

En la Fig. 3.2 se observan los circuitos considerados en el an�alisis de

la m�aquina s��ncrona. En el estator hay tres circuitos por los cuales uye corriente

de rotacióndirección

ω

i c

iQ

eje qeje d

θ

i a

i b

i

i

D

F

eje ceje b

eje a

Figura 3.2: Representaci�on gr�a�ca de los circuitos en el estator y rotor de una

m�aquina s��ncrona

alterna, �estos corresponden a los devanados trif�asicos de armadura. A su vez, el rotor,

que gira a una velocidad angular !, consta de un devanado de campo alimentado

mediante tensi�on continua y dos devanados amortiguadores. Para prop�ositos de

an�alisis, estos �ultimos pueden asumirse en cortocircuito y orientados en dos ejes, uno

a lo largo del devanado de campo (eje d) y otro en cuadratura con este (eje q).

50

La representaci�on de la m�aquina s��ncrona, considerando ecuaciones de

tensi�on que utilizan como variables las corrientes en los circuitos del estator y rotor,

incluye inductancias dependientes de la posici�on relativa del rotor, �. Esto intro-

duce algunas di�cultades en la soluci�on de los problemas del sistema; sin embargo,

tal descripci�on puede ser simpli�cada considerablemente mediante la utilizaci�on de

una transformaci�on apropiada en las variables del estator. Esta se conoce como la

transformaci�on de Park y se basa en la teor��a de las dos reacciones originalmente

desarrollada por Blondel [Kun94].

Suponiendo una condici�on de balance en las corrientes del estator, la

transformaci�on proyecta las coordenadas de un marco de referencia com�un, Re�Im,

en los ejes d�q de la m�aquina. En la Figura 3.3 se de�nen los ejes para cada marco de

referencia as�� como su posici�on relativa. En el marco de referencia com�un se de�nen

las variables de la red, incluyendo aquellas de�nidas en el estator de las m�aquinas.

Este gira a la velocidad s��ncrona a diferencia del marco de�nido por los ejes d�q que

0ω

ωIm

Re

δ

d

q

Figura 3.3: Marcos de referencia utilizados en la de�nici�on de variables del sistema

gira a la velocidad del rotor. A partir de la Figura 3.3 tambi�en se puede observar

que la transformaci�on satisface:

"I(V )Re

I(V )Im

#=

"sin � cos �

� cos � sin �

#"I(V )d

I(V )q

#(3.1)

donde I(V ) denota la variable corriente (o tensi�on) y � es el �angulo del rotor.

51

Ecuaciones electromec�anicas de la m�aquina

Considerando la ecuaci�on que describe el movimiento mec�anico en el rotor

de la m�aquina (ecuaci�on de oscilaci�on), la suposici�on de que la velocidad del rotor es

igual a 1 en por unidad (pu) en las ecuaciones de tensi�on en el estator y utilizando

variables referidas a las coordenadas d� q para describir el comportamiento electro-

din�amico en los circuitos del rotor, los transitorios electromec�anicos en la m�aquina

quedan representados por el siguiente conjunto de ecuaciones:

26666666664

_E0

q

_E00

q

_E00

d

_!_�

!

37777777775=

266666666664

� 1

T0

do

0 0 0 0

1

T00

do

� 1

T00

do

0 0 0

0 0 � 1T00

qo

0 0

0 0 0 � D2H

0

0 0 0 !0 0

0 0 0 1 0

377777777775

26666664

E0

q

E00

q

E00

d

!

�

37777775+

26666666666664

x0

d�xd

T0

do

0 1

T0

do

0

x00

d�x

0

d

T00

do

0 0 0

0xq�x

00

q

T00

qo

0 0

�E00

d+x

00

q Iq

2H�

E00

q �x00

dId

2H0 1

2H

0 0 0 0

0 0 0 0

37777777777775

266664

Id

Iq

Efd

Pm

377775

(3.2)

donde, por simplicidad, s�olo la velocidad angular del rotor se indica como salida

disponible para efectos de realimentaci�on. El s��mbolo (�) corresponde a la deriva-

da temporal ddt. E

0

q y E00

q son, respectivamente, las tensiones internas transitoria

y subtransitoria del eje de cuadratura. E00

d es la tensi�on interna subtransitoria del

eje directo. T0

do y T00

do son, respectivamente, las constantes de tiempo transitoria

y subtransitoria en circuito abierto del eje directo. T00

qo es la constante de tiempo

subtransitoria en circuito abierto del eje en cuadratura. xd, x0

d y x00

d son, respectiva-

mente, las reactancias s��ncrona, transitoria y subtransitoria del eje directo. xq y x00

q

son, respectivamente, las reactancias s��ncrona y subtransitoria del eje en cuadratura.

52

H es la constante de inercia y D el factor de amortiguamiento de la unidad genera-

dora. !0 es la velocidad s��ncrona y es igual a 2�f , donde f es la frecuencia base del

sistema. Finalmente, Efd es la tensi�on de excitaci�on y Pm la potencia mec�anica de

salida de la turbina. Todas las constantes de tiempo est�an en seg., D y todas las

reactancias est�an en pu y, a excepci�on de � que est�a en rad. y f en hz., todas las

dem�as variables est�an en pu.

Relaciones algebraicas para los circuitos del estator

Una suposici�on esencial para el desarrollo de un modelo pr�actico de la

m�aquina s��ncrona, que permita el an�alisis de fen�omenos transitorios incorporando la

interacci�on de las m�aquinas del sistema, es la representaci�on de los circuitos del esta-

tor mediante relaciones algebraicas. As��, en ausencia de los t�erminos que incorporan

las tensiones de transformaci�on y considerando que los efectos de las variaciones

de velocidad son despreciables en las tensiones del estator, es posible formular las

siguientes relaciones:

"E

00

q

E00

d

#�

"x00

d ra

ra �x0 0

q

#"Id

Iq

#�

"Vq

Vd

#=

"0

0

#(3.3)

donde ra, en pu, es la resistencia del devanado de armadura. Para evitar problemas

en el proceso de obtenci�on de la simulaci�on, debido a que generalmente tal resistencia

se asume igual a cero, se ubican las reactancias en la posici�on diagonal de la matriz

de impedancias de la ecuaci�on (3.3).

3.2.2 Modelo del sistema de excitaci�on

La funci�on b�asica de un sistema de excitaci�on es proveer de corriente

continua al devanado de campo de la m�aquina s��ncrona. Adem�as de esta funci�on,

este sistema desempe~na funciones de protecci�on y control esenciales para asegurar

el comportamiento satisfactorio del sistema el�ectrico de potencia. As��, mediante

el control de la tensi�on de campo no s�olo se controla la tensi�on de terminales del

generador sino tambi�en el factor de potencia y la magnitud de la corriente en la

m�aquina [AF94].

53

En la Figura 3.4 se muestra el diagrama en bloques del sistema de excita-

ci�on incorporado en el modelo. Las l��neas segmentadas identi�can dispositivos como

el transductor de tensi�on (recti�cador), el regulador autom�atico de tensi�on (RAT),

la excitatriz y el circuito de estabilizaci�on del sistema de excitaci�on (compensaci�on).

Tal circuito es el medio usual para estabilizar y mejorar la respuesta de generadores

que operan en condiciones de vac��o e incorporan sistemas de excitaci�on caracterizados

por retardos considerables [Rep81].

t

Vref

Vso

1+sTa

aK Va

K

TF

F

KR

1+sTR

EfdVRV

RAT

Vpss

+

+

+

-

-

+-

+

- V2

FT (1+sT )F

sT

1

e

K F

K ERECTIFICADOR

COMPENSACION

EXCITATRIZ

Figura 3.4: Diagrama de bloques del sistema de excitaci�on y el transductor de tensi�on

A partir del diagrama en bloques de la Figura 3.4, y de�niendo variables

de estado a la salida de cada bloque de primer orden, el modelo de estado puede ser

planteado como:

26666664

_Va_Efd

_V2_VR

Efd

37777775=

266666664

� 1Ta

�KaKF

TaTF

Ka

Ta�Ka

Ta1TE

�KE

TE0 0

0 KF

T 2F

� 1TF

0

0 0 0 � 1TR

0 1 0 0

377777775

266664

Va

Efd

V2

VR

377775+

26666664

Ka

Ta0 0 Ka

Ta

0 0 0 0

0 0 0 0

0 KRVdTRVt

KRVqTRVt

0

0 0 0 0

37777775

266664Vref

Vd

Vq

Vpss

377775

(3.4)

54

donde Vref es la tensi�on de referencia en los terminales del generador y Vpss la se~nal

de salida del estabilizador del sistema de potencia. Las dem�as variables se de�nen

en el diagrama de bloques de la Figura 3.4. Todas las se~nales y ganancias est�an en

pu y todas las constantes de tiempo en segundos.

3.2.3 Modelo del estabilizador del sistema de potencia

El estabilizador del sistema de potencia (Power System Stabilizer: PSS)

permite estabilizar y mejorar la respuesta din�amica del sistema. La industria los

utiliza en sistemas caracterizados por la presencia de l��neas de transmisi�on largas y

condiciones de generaci�on elevada, y cuya inestabilidad y/o amortiguamiento d�ebil en

los modos electromec�anicos no permite la operaci�on en tales condiciones. Su repre-

sentaci�on en simulaciones nolineales es muy com�un, puesto que permite observar las

bondades que puede brindar uno u otro m�etodo de sintonizaci�on de sus par�ametros.

El estabilizador se incorpora en el sistema de excitaci�on. Las se~nales

medidas normalmente son la velocidad angular o la potencia el�ectrica; �estas se re-

alimentan permitiendo modular el error entre la tensi�on de referencia y la tensi�on

de terminales del generador [Mor95]. El dispositivo, por lo general, consta de una

ganancia y dos etapas de compensaci�on, e incorpora un �ltro (wash-out) que anula

el efecto del estabilizador luego de un retardo de tiempo TQ; �esto evita que variacio-

nes cuasiestacionarias en la velocidad del rotor modi�quen la tensi�on de terminales

[AF94, Kun94].

3

Y1

pssV

Y2

(P )e Y∆ω

2

4

2KC

KC1

KA

(1+sT )+

(1+sT )

+

T T42

(1+sT )1

Q

1

-

+

ESTABILIZADOR

FILTRO

+

Figura 3.5: Diagrama de bloques del estabilizador del sistema de potencia

A partir del diagrama en bloques de la Fig. 3.5, y seleccionando como

55

variables de estado la salida de cada bloque de primer orden, se obtiene la siguiente

representaci�on de estado:

266664

_Y1_Y2_Y3

Vpss

377775 =

266664� 1

TQ0 0 1

TQ

�KC1T2

� 1T2

0 KC1T2

�KC2T4

0 � 1T4

KC2T4

� KAT2T4

1 1 KAT2T4

377775

266664

Y1

Y2

Y3

�!(Pe)

377775 (3.5)

donde las variables de entrada al estabilizador, �!(Pe), corresponden a las desviacio-

nes en la velocidad angular (o la potencia el�ectrica). Las constantes C1 y C2 vienen

dadas por:

C1 =B�T2�

AT2

T4�T2; C2 =

T4+AT4�B

T4�T2(3.6)

y K, A, B, T2 y T4 corresponden a los par�ametros de sintonizaci�on del estabilizador.

Este, tal como se observa en la funci�on de transferencia equivalente de la ecuaci�on

(3.7), permite incorporar ra��ces complejas conjugadas en el numerador.

PSS(s) = Vpss�!(Pe)

= K(As2+Bs+1)(s+T2)(s+T4)

(3.7)

3.2.4 Modelo de la turbina y el regulador de velocidad

Las m�aquinas motrices convierten la fuente de energ��a primaria, como lo

es la energ��a cin�etica del agua y la energ��a t�ermica proveniente de los combustibles

f�osiles y la �si�on nuclear, en energ��a mec�anica; a su vez, �esta se transforma en energ��a

el�ectrica por medio de los generadores s��ncronos. Las m�aquinas motrices incorporan

sistemas de regulaci�on cuya funci�on original es mantener la velocidad constante.

Tal funci�on se ha extendido para proveer un medio de control de la potencia y la

frecuencia, el cual com�unmente se conoce como control de carga-frecuencia o control

autom�atico de la generaci�on (AGC: Automatic Generation Control).

56

El modelo del conjunto turbina y regulador de velocidad se muestra en el

diagrama de bloques de la Fig. 3.6. Este incorpora funciones de transferencia que

permiten representar el efecto din�amico del agua en el canal de aducci�on (bloque de

la turbina) y la din�amica asociada al servomotor que regula los alabes de la turbi-

na. El modelo tambi�en permite representar el amortiguador hidr�aulico (\dashpot")

utilizado como dispositivo de compensaci�on en turbinas hidr�aulicas [Yu83, AF94].

m

Pref

R P

1

1+s0.5TW

3

2Q

HIDRAULICOAMORTIGUADOR

P

REGULADOR DE VELOCIDAD

+

+

+

+∆ω

R /R TP

1+sT R /RT PD

TP1-R /R

1

2

+

-1

1+sTG

Q Q3

TURBINA

Figura 3.6: Diagrama de bloques de la unidad hidr�aulica

Considerando el diagrama de bloques mostrado en la Fig. 3.6, y selec-

cionando como variables de estado la salida de cada bloque de primer orden, las

ecuaciones que describen a la turbina y el regulador de velocidad se formulan como:

266664

_Q3

_Q2

_Q1

Pm

377775 =

266664� 2

TW

6TW

0 0 0

0 � 1TG

1TG

1TG

� 1TGRT

0 0 � RPRT TR

0 �RT�RPR2TTR

1 �2 0 0 0

377775

26666664

Q3

Q2

Q1

Pref

�!

37777775

(3.8)

donde Pref corresponde a la potencia de referencia, y todas las se~nales y constantes,

excepto las constantes de tiempo que est�an en seg., vienen dadas en pu.

3.2.5 Modelo de las unidades generadoras

El modelo de una unidad generadora depende del detalle con el cual se

desea representarla. Este es independiente de la representaci�on del resto de las unida-

des y se obtiene acoplando al modelo del generador s��ncrono los modelos disponibles

57

para los dem�as subsistemas. As��, para un determinado estudio, es factible incluir

o no la representaci�on del sistema de excitaci�on, del estabilizador del sistema de

potencia, de la turbina y del regulador de velocidad. Esto permite una mayor exi-

bilidad en el estudio de sistemas de gran escala, principalmente cuando algunos de

los datos requeridos para una representaci�on en detalle no est�an disponibles o, como

es usual, para representar las unidades generadoras lejanas al punto geogr�a�co de

la perturbaci�on con modelos m�as simpli�cados que los que se utilizan en unidades

fuertemente perturbadas debido a su cercan��a al punto de falla.

Dos relaciones b�asicas permiten acoplar los subsistemas de una unidad

generadora, �estas se describen a continuaci�on utilizando los siguientes super��ndices

para denotar a cada uno de los subsistemas: g para el generador s��ncrono, e para

el sistema de excitaci�on, f para el estabilizador del sistema de potencia, v para la

turbina y regulador de velocidad, u para la unidad generadora y s para el sistema

multim�aquinas. El acoplamiento de dos o m�as subsistemas se describe por dos o

m�as letras contiguas, por ejemplo, Age denota a la matriz de planta para el sistema

generador-excitaci�on acoplado.

Conexi�on serie

Consid�erese la representaci�on del generador s��ncrono, formulada en forma

compacta de la siguiente manera:

_z = Agz + BgIdqIdq +Bg

EfdEfd +Bg

PmPm

! = Cgz(3.9)

A su vez, la representaci�on del sistema de excitaci�on tambi�en puede ser planteada

en forma compacta como:

_z = Aez + BeVref

Vref +BeVdqVdq +Be

VpssVpss

Efd = Cez(3.10)

Observando que la salida del sistema de excitaci�on corresponde a una de las entradas

del generador s��ncrono, es posible obtener una representaci�on de estado aumentada

58

que incluye los estados de ambos subsistemas, �esto es:

_z = Agez + Bge

264

Idq

Vdq

Vref

375 + Bge

VpssVpss +Bge

PmPm

! = Cgez

(3.11)

donde el super��ndice ge denota al sistema que resulta de acoplar al generador s��ncrono

con el sistema de excitaci�on, y las matrices de planta, control y salida del sistema

aumentado vienen dadas, respectivamente, por:

Age =

"Ag Bg

EfdCe

0 Ae

#

Bge =

"BgIdq

0 0

0 BeVdq

BeVref

#

BgeVpss

=

"0

BeVpss

#; Bge

Pm=

"BgPm

0

#

Cge =hCg 0

i

(3.12)

Conexi�on en realimentaci�on

Tanto el grupo turbina y regulador de velocidad1 como el estabilizador del

sistema de potencia se conectan v��a realimentaci�on. Considerando en primer lugar

al estabilizador, cuya representaci�on est�a dada en forma compacta por:

_z = Afz + Bf�!

Vpss = Cfz + Df�!(3.13)

1En rigor la turbina se conecta en serie con el generador s��ncrono, y la velocidad de �este se

realimenta a la turbina mediante el regulador de velocidad.

59

y suponiendo que la se~nal realimentada corresponde a la velocidad del rotor; es

posible plantear el modelo de estado aumentado que representa al generador, al

sistema de excitaci�on y al estabilizador como:

_z = Agefz + Bgef

264

Idq

Vdq

Vref

375 + Bgef

PmPm

! = Cgefz

(3.14)

donde el super��ndice gef denota la interconexi�on de �estos tres subsistemas. En este

caso, las matrices de la representaci�on de estado vienen dadas por:

Agef =

"Age +Bge

VpssDfCge Bge

VpssCf

BfCge Af

#

Bgef =

"Bge

0

#; Bgef

Pm=

"BgePm

0

#

Cgef =hCge 0

i(3.15)

Finalmente, al acoplar el modelo de la turbina y el regulador de velocidad, cuya

representaci�on compacta est�a dada por:

_z = Avz + Bv�!�! +Bv

PrefPref

Pm = Cvz(3.16)

se obtiene la siguiente representaci�on de estado para el sistema aumentado:

_z = Auz + Bu

266664

Idq

Vdq

Vref

Pref

377775 ; (3.17)

60

la cual corresponde a una representaci�on en detalle de la unidad generadora. Las

matrices de planta y control para esta representaci�on en detalle vienen dadas por:

Au = Agefv =

"Agef Bgef

PmCv

Bv�!C

gef Av

#

Bu = Bgefv =

"Bgef 0

0 BvPref

# (3.18)

Una gran cantidad de representaciones se puede obtener utilizando mo-

delos diferentes o simplemente excluyendo alguno de los subsistemas en cuesti�on. La

interconexi�on de los subsistemas presentada permite visualizar el m�etodo por el cual

se construye el modelo por unidad generadora.

3.2.6 Modelo del sistema de transmisi�on y los consumos

Los transitorios asociados a la red de transmisi�on decaen muy r�apida-

mente. Esto sugiere que la red se considere, durante el transitorio electromec�anico,

como si estuviese pasando directamente de un estado estacionario a otro. As��, para

efectos de la simulaci�on, s�olo se consideran la amplitud de las se~nales de corriente

y tensi�on, lo cual permite una descripci�on fasorial con relaciones algebraicas similar

a la utilizada en el ujo de potencia. En rigor la red debe describirse por ecuacio-

nes diferenciales, pero para sistemas de gran tama~no tal representaci�on no es viable

[Kun94].

Modelo de las l��neas de transmisi�on

Para prop�ositos de analizar sistemas que envuelven la interconexi�on de

diversos elementos, las l��neas de transmisi�on se representan a trav�es de circuitos

equivalentes, con par�ametros concentrados, que describen su comportamiento visto

desde sus terminales. En la Figura 3.7 se observa el circuito � equivalente de una

l��nea de transmisi�on; como se indicar�a posteriormente, mediante este circuito las

relaciones asociadas a la representaci�on de las l��neas pueden ser f�acilmente incluidas

61

en la matriz de admitancia nodal. Los par�ametros RL, XL y BL vienen dados en

pu y corresponden, respectivamente, a la resistencia, reactancia y susceptancia en

derivaci�on de la l��nea de transmisi�on.

B /2LB /2

LX

L

R L

Figura 3.7: Circuito � equivalente de una l��nea de transmisi�on

Modelo de los transformadores

La generaci�on y el consumo de potencia a niveles de tensi�on elevados,

como los utilizados para una transferencia de potencia e�ciente a trav�es del sistema,

no es factible en la pr�actica. Para lograr la operaci�on a diferentes niveles de tensi�on

se utilizan transformadores; �estos, en adici�on, permiten controlar el ujo de potencia

activa y reactiva en el sistema. Pr�acticamente todos los transformadores utilizados

hoy en d��a, tanto a nivel de transmisi�on como distribuci�on, cuentan con taps que

permiten cambiar la relaci�on de transformaci�on y as�� compensar las variaciones de

la tensi�on en el sistema; este tipo de cambio puede ser fuera de carga (o�-load

tap-changing) o bajo carga (ULTC: under-load tap changing). Por otra parte, en

sistemas interconectados que cuentan con l��neas en paralelo o circuitos formando

lazos, a menudo se requiere controlar el ujo de potencia activa por una l��nea para

evitar su sobrecarga; �esto puede lograrse utilizando un transformador desfasador.

Tal como se ilustra en la Figura 3.8, el modelo disponible para los trans-

formadores incluye la representaci�on de los cambiadores de taps y fase.

T XT VSVP

ISIP

Rαn :1

Figura 3.8: Representaci�on de un transformador desfasador

62

De manera similar a como ocurre con las l��neas de transmisi�on, las relacio-

nes utilizadas para describir el transformador son del tipo algebraicas y se incorporan

a las ecuaciones del sistema mediante la matriz de admitancia nodal. Para tal efec-

to se utiliza una red de dos puertas, correspondiente a la matriz de admitancia del

transformador:

"IP

IS

#=

"YT

a2T+b2

T

� YTaT�jbT

� YTaT+jbT

YT

#"VP

VS

#(3.19)

Por de�nici�on �n\� = aT + jbT donde �n es la relaci�on de vueltas fuera del valor

nominal y � es el desfase; adem�as, YT = (RT + jXT )�1 donde RT y XT son, respec-

tivamente, la resistencia y la reactancia del transformador. Como puede observarse

la matriz en la ecuaci�on (3.19) no es sim�etrica y por ende, en el caso particular de

un transformador que incorpora el cambiador de fase, no es posible la representaci�on

mediante un circuito �.

Modelo de los consumos

La habilidad para equilibrar la potencia de salida de las unidades gene-

radoras al consumo es un factor determinante para mantener la operaci�on estable

del sistema; consecuentemente, las caracter��sticas de los consumos tienen un impacto

importante en la estabilidad del sistema. Debido a que una barra puede incorporar

una gran cantidad de dispositivos con caracter��sticas diferentes, y cuya proporci�on

es dif��cil de estimar, la modelaci�on de los consumos es complicada [Kun94].

Para efectos de la simulaci�on se incorpor�o un modelo est�atico de los con-

sumos basado en una representaci�on mediante impedancias constantes; pese a que tal

representaci�on es bastante simpli�cada, permite un tratamiento muy simple y es la

que generalmente se utiliza para estudios de estabilidad [oLRfDP95, Kat95, LSP95].

Si la potencia activa y reactiva que consume la carga son conocidas y se mantienen

constantes, la impedancia que representa la carga se obtiene mediante las f�ormulas

que se indican en la Figura 3.9. En �esta, PC y QC son, respectivamente, la potencia

activa y reactiva que consume la carga y VC es la tensi�on en la barra determinada

mediante un estudio de ujo de potencia previo.

63

CG =P /V2 2B =-Q /V

C CC C

VC

C

Figura 3.9: Representaci�on de los consumos

Para representar a los compensadores est�aticos de reactivo se puede utili-

zar una representaci�on similar a la de los consumos; la diferencia fundamental radica

en que la impedancia del compensador viene dada mientras que la del consumo es

funci�on de la tensi�on estacionaria en la barra y por ende se requiere determinarla.

Representaci�on a trav�es de la matriz de admitancia nodal

En las secciones previas se observ�o que tanto las l��neas de transmisi�on

como los transformadores y los consumos se representan mediante relaciones alge-

braicas. As��, la red de transmisi�on puede ser considerada como la interconexi�on de

elementos pasivos cuyos circuitos equivalentes se representan mediante redes de dos

puertas.

Las relaciones entre las tensiones y corrientes en las barras (nodos) de

la red de transmisi�on pueden representarse por ecuaciones de malla o ecuaciones de

nodo. Debido a que el n�umero de ecuaciones independientes de nodo es menor que el

n�umero de ecuaciones independientes de malla, com�unmente se pre�ere utilizar una

representaci�on basada en la matriz de admitancia nodal para efectos del an�alisis del

sistema. Cuando �esta se expande en t�erminos de sus componentes real e imaginaria

se obtiene:

�

266664

IImRe1

IImRe2

...

IImReN

377775 +

266664

Y11 Y12 : : : Y1N

Y21 Y22 : : : Y2N...

.... . .

...

YN1 YN2 : : : YNN

377775

266664

VReIm1

VReIm2

...

VReImN

377775 =

2666640

0...

0

377775 (3.20)

64

donde

VReImi=

"VReiVImi

#e IImRei =

"IImi

IRei

#; i = 1; 2; : : :N: (3.21)

Cada elemento de la matriz de admitancia queda de�nido por:

Yij =

"Bij Gij

Gij �Bij

#; i; j = 1; 2; : : :N: (3.22)

N representa al n�umero total de nodos; Gii y Bii son, respectivamente, la conduc-

tancia y susceptancia propia del nodo i, y son iguales a la suma respectiva de todas

las conductancias y susceptancias que alcanzan al nodo i; Gij y Bij son, respectiva-

mente, la conductancia y susceptancia mutua entre los nodos i y j, y son iguales a la

suma negativa respectiva de todas las conductancias y susceptancias entre los nodos

i y j. VRei y VImison, respectivamente, las componentes real e imaginaria de la

tensi�on a tierra en el nodo i, e IRei e IImison, respectivamente, las componentes real

e imaginaria de la corriente que uye hacia la red en el nodo i. Todas las variables

y par�ametros en las ecuaciones (3.20) y (3.22) vienen dados en pu.

3.2.7 Modelo multim�aquinas

En las subsecciones previas se consider�o la representaci�on simpli�cada

de algunos de los sistemas y dispositivos que forman parte de un sistema el�ectrico

de potencia. La siguiente etapa consiste en generar, a partir de estos modelos, la

representaci�on de un sistema multim�aquinas; �este puede obtenerse seg�un se describe

a continuaci�on [Rud82].

El modelo que incluye la din�amica de todas unidades generadores del

sistema se expresa mediante un conjunto de ecuaciones diferenciales nolineales del

tipo:

_z = Asz +BsIdqIsdq +Bs

VdqV sdq (3.23)

65

donde z 2 Rm es el vector de estado del sistema multim�aquinas, de�nido como:

zt = [ z1 z2 ::: zi : : : zM ]; (3.24)

M corresponde al n�umero de unidades generadoras que incorporan un modelo din�ami-

co y el super��ndice s se utiliza para denotar un conjunto que agrupa, seg�un corres-

ponda, a las variables o modelos de las M m�aquinas del sistema. El sub��ndice i,

i = 1; 2; : : :M , se utiliza para denotar las variables incluidas en la i-�esima unidad.

As��, para una representaci�on en detalle en la i-�esima unidad generadora, zi 2 R15 se

de�ne como:

zti = [ E0

qi E00

qiE

00

di!i �i Vai Efdi : : :

V2i Vri Y1i Y2i Y3i Q3i Q2i Q1i ]:(3.25)

V sdq 2 R

2M e Isdq 2 R2M son vectores de variables algebraicas y corresponden, res-

pectivamente, al vector de tensiones y corrientes en los terminales de las unidades

generadoras. Estos se de�nen como:

V sdq = [ Vd1 Vq1 Vd2 Vq2 : : : VdM VqM ]t (3.26)

e

Isdq = [ Id1 Iq1 Id2 Iq2 : : : IdM IqM ]t (3.27)

donde los sub��ndices d y q denotan que las variables est�an proyectadas en el marco

de referencia d � q de cada generador s��ncrono. As es una matriz constante que

representa los t�erminos lineales en el modelo de estado; BsVdq

y BsIdq

son funciones

que relacionan, respectivamente, las variables algebraicas de tensi�on y corriente con

la derivada temporal del estado, y permiten incluir los t�erminos no lineales en el

66

modelo. Todas estas matrices tienen una estructura bloque diagonal, indicando la

ausencia de interacci�on entre las unidades, y est�an de�nidas por:

As =

266664Au1 0 : : : 0

0 Au2 : : : 0

......

. . ....

0 0 : : : AuM

377775

BsIdq

=

266664BuIdq1

0 : : : 0

0 BuIdq2

: : : 0...

.... . .

...

0 0 : : : BuIdqM

377775

BsVdq

=

266664BuVdq1

0 : : : 0

0 BuVdq2

: : : 0...

.... . .

...

0 0 : : : BuVdqM

377775

(3.28)

En adici�on a las ecuaciones diferenciales consideradas para la representa-

ci�on del sistema multim�aquinas, debe agregarse un conjunto de ecuaciones algebrai-

cas para representar los circuitos en el estator de las m�aquinas, la red de transmisi�on,

los consumos y la transformaci�on de variables de corriente y tensi�on entre los marcos

de referencia com�un y de cada m�aquina. As��, incorporando las relaciones diferencia-

les y algebraicas en una ecuaci�on matricial compacta, es posible formular el siguiente

modelo multim�aquinas para el sistema el�ectrico de potencia:

26666666664

_z

0

0

0

0

0

37777777775=

26666666664

As BsIdq

BsVdq

0 0 0

U s

E00

qd

�ZsS �UP 0 0 0

0 0 T s 0 �U 0

0 T s 0 �U 0 0

0 0 0 �UP Y ss Y sb

0 0 0 0 Y bs Ybb

37777777775

26666666664

z

IsdqV sdq

IsReImV sReIm

V bReIm

37777777775

(3.29)

67

el cual corresponde al descrito por la ecuaci�on (1.1). Las matrices U s

E00

qd

y ZsS, obteni-

das al agregar la ecuaci�on (3.3) para cada una de las m�aquinas en el sistema, est�an

dadas, respectivamente, por:

U s

E00

qd

=

26666666666664

0 1 0 0 0 0 : : : 0 0 0

0 0 1 0 0 0 : : : 0 0 0

0 0 0 0 1 0 : : : 0 0 0

0 0 0 0 0 1 : : : 0 0 0...

......

......

.... . .

......

...

0 0 0 0 0 0 : : : 0 1 0

0 0 0 0 0 0 : : : 0 0 1

37777777777775

ZsS =

266664ZS1 0 : : : 0

0 ZS2 : : : 0...

.... . .

...

0 0 : : : ZSM

377775

(3.30)

A su vez, ZSi, i = 1; 2; : : :M , en la ecuaci�on (3.30) se de�ne como:

ZSi =

"x00

dirai

rai �x00

qi

#(3.31)

De manera similar, la matriz T s se obtiene incorporando la transformaci�on

de Park en cada una de las barras asociadas a un generador s��ncrono, �esto es:

T s =

266664T1 0 : : : 0

0 T2 : : : 0...

.... . .

...

0 0 : : : TM

377775 (3.32)

68

Ti, i = 1; 2; : : :M , se de�ne a partir de la ecuaci�on (3.1) como:

Ti =

"sin �i cos �i

� cos �i sin �i

#: (3.33)

Por otro lado, las matrices U y UP , corresponden, respectivamente, a la

matriz identidad y la matriz identidad permutada, esta �ultima de�nida como:

UP =

26666666666664

0 1 0 0 : : : 0 0

1 0 0 0 : : : 0 0

0 0 0 1 : : : 0 0

0 0 1 0 : : : 0 0...

......

.... . .

......

0 0 0 0 : : : 0 1

0 0 0 0 : : : 1 0

37777777777775

(3.34)

Adem�as, la matriz de admitancia nodal se permuta de modo tal que las

relaciones entre tensi�on y corriente correspondientes a las M barras que incorporan

una m�aquina s��ncrona representada din�amicamente aparezcan en primer lugar, es

decir:

Y ss =

2664

Y11 : : : Y1M...

. . ....

YM1 : : : YMM

3775 (3.35)

De igual manera, el orden y la partici�on de Y sb, Y bs e Y bb se obtiene a partir de la

de�nici�on dada para Y ss. El super��ndice bb se utiliza entonces para denotar un con-

junto que agrega, seg�un corresponda, las variables y/o admitancias correspondientes

a las barras que no poseen unidades generadoras. Similarmente, los super��ndices sb y

69

bs denotan, respectivamente, el conjunto de admitancias de interfaz entre las barras

generadoras y no generadoras, y viceversa.

Finalmente, para una representaci�on como la descrita en la ecuaci�on 3.29,

el vector de variables algebraicas de�nido en la ecuaci�on 1.1 corresponde a:

yt = [ Isdq V sdq IsReIm V s

ReIm V bReIm ]: (3.36)

As��, y 2 R6M+2N y por ende n = 6M + 2N . Por otro lado, si todas las unidades

generadoras se representan mediante un modelo detallado, es decir, si xi 2 R15 para

i = 1; : : : ;M , entonces m = 15M .

70

IV. SIMULACION DE TRANSITORIOS ELECTROMECANICOS

Y FORMULACION DE UNA SOLUCION PARALELA

4.1 Introducci�on

La simulaci�on de transitorios electromec�anicos esta ��ntimamente ligada al

estudio de la estabilidad angular del sistema. Debido a la importancia que presenta

este tipo de estudio en el an�alisis de la seguridad din�amica, y a las limitaciones de

operaci�on inherentes a una condici�on de inestabilidad, la industria el�ectrica ha inver-

tido una gran cantidad de recursos para el desarrollo de herramientas de simulaci�on.

En comparaci�on a otros medios que permiten evaluar la estabilidad sin necesidad

de obtener la soluci�on num�erica de las ecuaciones, la simulaci�on din�amica todav��a

ocupa una posici�on de privilegio en la industria. M�etodos alternativos como el cri-

terio extendido de igualdad de �areas y el an�alisis mediante funciones de energ��a se

consideran muy prometedores, pero a�un se encuentran en etapa de investigaci�on y

su uso industrial no es masivo.

Un estudio convencional de estabilidad transitoria determina la respuesta

del sistema a una secuencia de perturbaciones, usualmente fallas tipo cortocircuito

en la red de transmisi�on, que dan origen a la salida y/o reconexi�on de algunos de los

dispositivos en el sistema. La simulaci�on de transitorios electromec�anicos permite

observar la respuesta angular en los rotores de las m�aquinas y as�� evaluar la posible

p�erdida de sincronismo en el sistema. La informaci�on obtenida puede ser entonces

utilizada para plani�car y coordinar esquemas de protecci�on que permitan prevenir

alguna condici�on de inestabilidad.

Su aplicaci�on pr�actica requiere, frecuentemente, el c�alculo de muchas res-

puestas considerando cada una un escenario particular. Este escenario puede carac-

terizarse por una falla prede�nida, por ejemplo, un cortocircuito trif�asico, bif�asico o

monof�asico, l��nea a l��nea o l��nea a tierra. El tiempo durante el cual est�a presente la

falla y la localizaci�on de �esta tambi�en es importante. As��, en consideraci�on al elevado

tiempo requerido para evaluar cada uno de los escenarios de inter�es, el desarrollo de

mejores herramientas de simulaci�on es un �area que ofrece grandes atractivos para

diversas ramas de la ciencia [Sto79].

71

Previo al advenimiento de los computadores digitales las simulaciones

an�alogas en un analizador de redes alterno eran el �unico medio de evaluar la respuesta

din�amica del sistema; sin embargo, la necesidad de estudiar sistemas cuyos modelos

son m�as complejos y de mayor dimensi�on, con herramientas m�as exibles y amigables,

ha incrementado el uso de computadores digitales. Actualmente, �estos son el medio

est�andar utilizado para estudiar la estabilidad transitoria [Fa96].

Este Cap��tulo considera la simulaci�on digital de transitorios electromec�ani-

cos en sistemas el�ectricos de potencia. El problema se discute en dos secciones. En

la primera se describen las alternativas disponibles para formular el problema de

simulaci�on y los m�etodos de paralelizaci�on propuestos en la literatura. A su vez, en

la segunda secci�on se selecciona un m�etodo de simulaci�on, se describe la estrategia

de paralelizaci�on y los m�etodos utilizados para su desarrollo en el multicomputador

Parsytec PowerXplorer.

4.2 Procesamiento Paralelo en la Simulaci�on de Transitorios Elec-

tromec�anicos

En los cap��tulos previos se han descrito algunas caracter��sticas relevan-

tes en relaci�on a los fen�omenos din�amicos de un sistema el�ectrico de potencia. Una

de las primeras observaciones hechas dice relaci�on con la necesidad de de�nir una

diversidad de tipos de estabilidad, lo que entre otros motivos, tiene como �n el aco-

modar el estudio din�amico a las capacidades computacionales disponibles. Tambi�en

se observ�o que un estudio particular, como lo es el de la simulaci�on de transito-

rios electromec�anicos, dice relaci�on con perturbaciones de gran magnitud y su efecto

en la estabilidad angular del sistema, y que para obtener conclusiones signi�cativas

una aplicaci�on pr�actica requiere del estudio de un sinn�umero de casos. M�as a�un,

no es dif��cil prever que con modelos relativamente simples, como los descritos en

la secci�on previa, y dada la escala de un sistema el�ectrico de potencia pr�actico, la

complejidad del an�alisis aumenta considerablemente y por ende los requerimientos

computacionales tambi�en.

En el Cap��tulo II el �enfasis se dirigi�o a estudiar la capacidad computacio-

nal disponible en las plataformas de computaci�on paralela. Por otro lado, se pudo

72

observar que muchos de los problemas presentes en los sistemas el�ectricos de potencia

incorporan un paralelismo natural que favorece la utilizaci�on del procesamiento pa-

ralelo, o que en algunas de las aplicaciones la utilizaci�on de computadores paralelos

es el �unico medio para alcanzar la velocidad de c�alculo requerido.

Consideraciones como las mencionadas re ejan el porqu�e la simulaci�on

de transitorios electromec�anicos ha sido una de las �areas de sistemas el�ectricos de

potencia en que la aplicaci�on del procesamiento paralelo ha concentrado m�as estu-

dios. Tal inter�es abre la posibilidad al desarrollo de simuladores en tiempo real y a

la evaluaci�on de la seguridad din�amica en tiempo real; as�� como tambi�en, de propor-

cionar una herramienta m�as e�ciente que alivie la complejidad y reduzca los costos

asociados a los estudios de estabilidad en tareas como la plani�caci�on y operaci�on

del sistema [Fa96].

En lo que resta de esta secci�on se introducir�an los conceptos b�asicos aso-

ciados a la simulaci�on de los transitorios electromec�anicos mediante computadores

paralelos, concentr�andose b�asicamente en la diversidad de alternativas existentes. En

primer lugar se exponen las alternativas utilizadas para formular matem�aticamente

el problema de la simulaci�on, ya sea considerando el dominio en el cual se plantea el

problema, el esquema de tratamiento de las ecuaciones o las caracter��sticas del m�eto-

do de soluci�on. Finalmente, bas�andose en una revisi�on de la literatura relativa al

tema, se describen algunas de las estrategias propuestas para la simulaci�on mediante

computadores paralelos, destac�andose la estrategia y los resultados m�as relevantes.

4.2.1 Alternativas para formular el problema de la simulaci�on de tran-

sitorios electromec�anicos

En el Cap��tulo previo se formul�o un modelo din�amico que permite el estu-

dio de transitorios electromec�anicos en sistemas el�ectricos de potencia. Como pudo

observarse, los modelos disponibles para los subsistemas est�an representados ya sea

en el dominio del tiempo, como es el caso del generador s��ncrono, los transformado-

res, la red de transmisi�on y los consumos; o en el dominio de la frecuencia, como es

el caso del sistema de excitaci�on, el estabilizador del sistema de potencia, la turbina

y el regulador de velocidad. Para representar el modelo del sistema en una forma

73

adecuada, que permita tomar ventaja de un algoritmo de simulaci�on particular y del

computador paralelo disponible, es necesario reemplazar los modelos disponibles en

el dominio de la frecuencia por modelos en el dominio del tiempo. Una vez efec-

tuado �esto, el modelo se construye interconectando los subsistemas de cada unidad

generadora para �nalmente interconectar las unidades del sistema, la representaci�on

as�� obtenida corresponde a una en el dominio del tiempo y es la m�as adoptada para

efectos de simular la din�amica del sistema. Alternativamente, el sistema pudo haber

sido representado en el dominio de la frecuencia o en una forma h��brida, �esta �ultima

considerando los modelos originales disponibles para cada subsistema. La selecci�on

de una u otra alternativa depende, entre otras cosas, del prop�osito con el cual se

utiliza el modelo y del algoritmo de simulaci�on seleccionado para tal prop�osito.

La caracter��stica principal de una representaci�on en el dominio del tiempo

es la presencia de un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias y un conjunto

de ecuaciones algebraicas [AF94, Kun94, Rud77]. Esta representaci�on se conoce

com�unmente como representaci�on en el espacio de estados, en su forma compacta se

denota como en la ecuaci�on 1.1 y salvo algunas diferencias menores la representaci�on

generalmente adoptada es muy similar a la descrita por la ecuaci�on 3.29. Desde un

punto de vista muy general, las ecuaciones diferenciales se asocian a las unidades

generadoras y las ecuaciones algebraicas al sistema de transmisi�on. Las primeras

poseen una estructura del tipo bloque diagonal, en la cual cada bloque est�a asociado

a una unidad generadora y no presenta interacciones con el resto de los bloques sino

a trav�es de las ecuaciones que representan al sistema de transmisi�on. En la Figura

4.1 se muestra una representaci�on pict�orica de la estructura de un sistema el�ectrico

de potencia: l��neas de transmisi�on locales y redes de subtransmisi�on interconectan

unidades generadoras formando grupos que a su vez se conectan entre s�� y a los

centros de carga mediante l��neas de transmisi�on [Com78].

Considerando como objetivo la simulaci�on de los transitorios electro-

mec�anicos de un sistema el�ectrico de potencia, y dada una representaci�on adecuada

para tal prop�osito, es posible transformar la estructura matem�atica del problema

original a una estructura diferente pero equivalente en t�erminos del objetivo que sea

desea lograr. Tal exibilidad permite adecuar la estructura matem�atica del problema

de manera tal que su soluci�on pueda obtenerse utilizando un algoritmo considerado

74

A

GG

G

...B

GG

G

...

C

GG

G.. .

Figura 4.1: Representaci�on pict�orica de un sistema el�ectrico de potencia

como m�as e�ciente, o simplemente acomodando alg�un algoritmo particular a la ar-

quitectura computacional disponible. Ciertamente, la selecci�on de un algoritmo y la

ubicaci�on de �este en una plataforma de computaci�on paralela adecuada es una de las

inc�ognitas m�as relevantes al momento de optar por el procesamiento paralelo.

Si la soluci�on del problema se busca en el dominio del tiempo, la primera

alternativa para reestructurar el problema diferencial algebraico consiste en optar

por un esquema de soluci�on alternado (AS: Alternating Scheme) o uno impl��cito si-

mult�aneo (SIS: Simultaneous Implicit Scheme). En el primer esquema las ecuaciones

diferenciales y las algebraicas se resuelven alternadamente: una primero, luego la

otra y as�� sucesivamente. El m�etodo utilizado para resolver las ecuaciones diferen-

ciales puede ser uno impl��cito o uno expl��cito. Si se elige un m�etodo expl��cito las

ecuaciones deben ser integradas paso a paso. Por el contrario, si elige un m�etodo

impl��cito las ecuaciones diferenciales son transformadas en ecuaciones algebraicas y

cabe la posibilidad de resolverlas paso a paso o recurriendo al concepto de paraleli-

zaci�on temporal; en este �ultimo caso las ecuaciones diferenciales son discretizadas y

pueden ser agrupadas para pasos de integraci�on consecutivos [Kun94, Sto79].

Volviendo al punto de partida, en el esquema impl��cito simult�aneo las

ecuaciones diferenciales se transforman en ecuaciones algebraicas por medio de un

m�etodo de integraci�on impl��cito; �esto permite reagruparlas con el resto de ecuacio-

nes algebraicas. El conjunto global de ecuaciones se resuelve ya sea paso a paso o

utilizando paralelizaci�on temporal, caso en el cual el problema algebraico toma una

75

dimensi�on extremadamente grande [Alv79]. La Figura 4.2 muestra un organigra-

ma con las opciones m�as utilizadas para abordar el problema de la simulaci�on de

transitorios electromec�anicos.

Solución numérica en el

simultáneoEsquema implícito

Integraciónpaso a paso

Esquema alternado

Integraciónpaso a paso

Método implícito Método explícito

dominio de la frecuenciadominio del tiempoSolución numérica en el

Paralelización temporal

Simulación de transitorios electromecánicosen sistemas eléctricos de potencia

Paralelización temporal(método implícito)

Figura 4.2: Alternativas para formular el problema de simulaci�on de transitorios

electromec�anicos

Las aplicaciones basadas en procesamiento paralelo se concentran prin-

cipalmente en la soluci�on al problema de�nido en el dominio del tiempo. Los re-

cursos m�as utilizados para explotar el paralelismo consisten en tomar ventaja de la

estructura bloque diagonal presente en las ecuaciones diferenciales, la posibilidad

de descomponer el problema considerando subsistemas desacoplados entre s�� o el

procesamiento concurrente de ventanas de integraci�on diferentes [DFaK96]. A con-

tinuaci�on se discute cada una de estas t�ecnicas a trav�es de aplicaciones espec���cas.

4.2.2 Aplicaciones del procesamiento paralelo en la simulaci�on de tran-

sitorios electromec�anicos

La diversidad de arquitecturas disponibles para realizar procesamiento

paralelo ha permitido explorar las bondades de la versi�on paralela de una serie de

los algoritmos com�unmente utilizados para simular transitorios electromec�anicos en

sistemas el�ectricos de potencia. En un comienzo, las aplicaciones se concentraron

principalmente en la paralelizaci�on de los algoritmos basados en integraci�on impl��cita,

76

con soluciones obtenidas mediante un m�etodo tipo Newton. El inter�es surgi�o del

hecho que la versi�on serial de estos algoritmos es conocida como la m�as e�ciente

para computadores monoprocesador. En la versi�on paralela de tales algoritmos no se

ha logrado una ganancia de velocidad tan signi�cativa como para reconocer un nivel

de e�ciencia superior; �esto ha llevado a readecuar tales algoritmos o simplemente a

optar por alternativas diferentes.

Actualmente la aplicaci�on del procesamiento paralelo al problema de si-

mulaci�on de transitorios electromec�anicos se encuentra en un estado de exploraci�on,

caracterizado principalmente por la heterogeneidad de arquitecturas paralelas pro-

puestas para adecuar el problema y la diversidad de algoritmos sometidos a prueba.

Por ello, a�un no es posible asegurar que exista un par arquitectura-algoritmo abso-

lutamente superior en e�ciencia; sin embargo, s�� es posible destacar los bene�cios

del procesamiento paralelo. En lo que resta de este Cap��tulo se describen algunas de

las aplicaciones del procesamiento paralelo en la simulaci�on de transitorios electro-

mec�anicos.

Simulaci�on paralela en el dominio de la frecuencia

Esta alternativa de simulaci�on di�ere considerablemente del resto de los

m�etodos com�unmente utilizados. Desde un punto de vista muy general, el algoritmo

corresponde a un procedimiento particularmente simple de relajaci�on de un m�etodo

de soluci�on transformado desde el dominio del tiempo al dominio de la frecuencia. Las

caracter��sticas de tal formulaci�on llevan a soluciones ricas en operaciones vectoriales y

matriciales, las cuales son muy atractivas al momento de considerar su manipulaci�on

a trav�es de computadores paralelos y/o vectoriales.

El algoritmo de simulaci�on en el dominio de la frecuencia se aplic�o en

[CBT91] a un modelo multim�aquinas en el cual las unidades generadoras se repre-

sentan a trav�es de la ecuaci�on de oscilaci�on:

2Hi

w0

��i +Di

w0

_�i = Pmi� (VRei sin �i + VImi

cos �i)Ei

xi(4.1)

77

Cada ecuaci�on de oscilaci�on se representa a su vez por un modelo nolineal realimen-

tado como el descrito en el diagrama en bloques de la Figura 4.3.

m

ω0 ω0

2

12H s +D s

Γ(s) =P

δ

+-

δ

(δ)=Θ Re(V sin -V cos )E/XImδ

Figura 4.3: Diagrama en bloques para el sistema no lineal representado por la ecua-

ci�on de oscilaci�on

Los generadores se acoplan al sistema de transmisi�on mediante las rela-

ciones entre tensi�on y corriente en las barras de �este, siendo la ecuaci�on resultante

algo diferente a la descrita por la ecuaci�on 3.20 por cuanto las reactancias de los ge-

neradores se incluyen en la matriz de admitancia y por ende la ecuaci�on tiene como

referencia los nodos internos de cada generador. De esta manera, las corrientes en

las barras generadoras se obtienen a partir de:

Ii = �jEi

Xi

(cos �i + j sin �i) (4.2)

Con una representaci�on del sistema el�ectrico de potencia como la indicada,

el procedimiento de simulaci�on consiste en asumir una trayectoria de tensi�on inicial

para todas las barras del sistema. Luego, a partir de la ecuaci�on 4.1, se determina la

respuesta transitoria �i para cada generador y se reeval�uan las corrientes mediante la

ecuaci�on 4.2. Por �ultimo, se factoriza la matriz de admitancia mediante un esquema

que toma ventaja de su estructura cuasivac��a, permitiendo as�� resolver el conjunto

de ecuaciones lineales para la tensi�on en las barras del sistema. Este procedimiento

se itera hasta lograr la convergencia esperada.

78

La soluci�on al problema de simulaci�on as�� planteada no di�ere de la ob-

tenida a trav�es de m�etodos en el dominio del tiempo sino por el hecho de considerar

una trayectoria de tensi�on. Para aprovechar las capacidades de simulaci�on en el do-

minio de la frecuencia �i(t) e Ii(t) se expresan a trav�es de su expansi�on en serie de

Fourier, por ejemplo:

�(t) =

�X�=��

���ej�$t2 ; t 2 [0; 2tf ] (4.3)

donde $ = 2�2tf

y los coe�cientes de Fourier se obtienen como:

��� =1

2tf

Z 2tf

0

�(t)e�j�$tdt (4.4)

A su vez, las nolinealidades se aproximan por polinomios en el dominio de la fre-

cuencia y su efecto se simula por medio de la convoluci�on en el mismo dominio.

Finalmente, los resultados se obtienen resolviendo iterativamente el problema de�-

nido por:

�k+1� = ��(Pm� ���(�k� )) + z� (4.5)

donde �k+1� 2 R2�+1 es un vector con las (�+1) primeras componentes de la serie de

Fourier de �(t), �� es una aproximaci�on dimensionalmente �nita de la representaci�on

matricial del sistema lineal �, �� es una representaci�on dimensionalmente �nita del

efecto de la nolinealidad �, ambas en el dominio de la frecuencia, y z� es una funci�on

que toma en cuenta las condiciones iniciales del problema.

La utilizaci�on de una t�ecnica basada en el dominio de la frecuencia origina

un n�umero �nito, pero considerable, de operaciones sobre los arm�onicos de la serie

Fourier. Estas operaciones pueden ser realizadas e�cientemente en arquitecturas del

tipo paralela y/o vectoriales. Los resultados obtenidos en el estudio del sistema

de prueba IEEE 118, con 19 unidades generadoras modeladas seg�un la ecuaci�on 4.1,

79

permitieron comparar tres algoritmos de simulaci�on: uno el dominio de la frecuencia,

otro en el dominio del tiempo y uno h��brido en el cual las nolinealidades se eval�uan en

el dominio del tiempo previo a la obtenci�on de una transformada de Fourier inversa

r�apida (FFT: Fast Fourier Transform) de la se~nal involucrada, con la correspondien-

te transformaci�on de la se~nal resultante al dominio de la frecuencia. Todos estos

algoritmos se ejecutan en un supercomputador vectorial Cray X-MP/14E. Sin capa-

cidades de vectorizaci�on, y considerando 8 componentes de Fourier por ventana de

integraci�on, el algoritmo h��brido es comparable al basado en el dominio del tiempo;

siendo el primero levemente m�as r�apido: 2,48 seg. respecto de 3,129 seg. El algo-

ritmo basado en el dominio de la frecuencia result�o ser algo m�as lento que ambos:

3,687 seg. Para una n�umero de componentes por ventana igual a 32, el algoritmo

basado en el dominio de la frecuencia es hasta 3 veces m�as lento que aquel basado en

el dominio del tiempo. Por el contrario, incluyendo las capacidades de vectorizaci�on

del supercomputador, y considerando todos los casos estudiados al respecto de las

componentes de Fourier a incorporar por ventana (orden con el cual se trunc�o la

serie de Fourier), los algoritmos basados en el dominio de la frecuencia presentaron

mejores resultados que aquel basado en el dominio del tiempo.

Relajaci�on funcional

La relajaci�on funcional, originalmente desarrollada para aplicaciones de

simulaci�on de circuitos integrados de gran escala (VLSI: Very Large Scale Integrated

circuits), es un algoritmo inherentemente paralelo. B�asicamente, �esta consiste en

resolver el problema de simulaci�on descomponiendo el modelo del sistema en r sub-

modelos tal que las variables de cada uno permanecen fuertemente acopladas entre

s��. La actualizaci�on de las variables de cada submodelo se realiza de manera inde-

pendiente en cada iteraci�on, bajo la consideraci�on que las variables de los restantes

submodelos son constantes e igual al valor obtenido en la iteraci�on previa. Tal es-

quema de soluci�on corresponde a una iteraci�on t��pica del m�etodo de Gauss-Jacobi,

el cual ha sido adaptado para realizar las simulaciones basadas en el algoritmo de

relajaci�on funcional.

Matem�aticamente, el modelo utilizado para la simulaci�on (ecuaci�on 1.1) se

descompone en r submodelos, cada uno de los cuales corresponde a un subproblema

80

diferencial-algebraico de valor inicial de�nido por:

_zi = Gi(z1; : : : ; zi; : : : zr; y1; : : : ; yi; : : : yr); zi0 = zi(0)

0 = Hi(z1; : : : ; zi; : : : ; zi; y1; : : : ; yi; : : : ; yr); yi0 = yi(0)(4.6)

donde zi 2 Rmi , yi 2 R

ni , Gi : Rm+n ! R

mi , y Hi : Rm+n ! R

ni ,Pr

i=1mi = m,Pr

i=1 ni = n. Suponiendo un esquema de soluci�on basado en el m�etodo de Gauss-

Jacobi, el algoritmo de relajaci�on funcional se resume mediante el diagrama de ujo

paralelo mostrado en la Figura 4.4.

1

Resuelva el problema diferencial-algebraico

de valor inicial asignado

con los valores obtenidos de las condiciones iniciales

Inicie variables diferenciales y algebraicas asignadas

con los valores obtenidos de las condiciones iniciales

Inicie variables diferenciales y algebraicas asignadas

Resuelva el problema diferencial-algebraico

de valor inicial asignado

P p

diferencial-algebraico de valor inicial

Para i=1, ..., r ;

SI SI

NO NO

Incremente el contador de iteraciones

Imprima variables diferenciales y algebraicas Imprima variables diferenciales y algebraicas

Incremente el contador de iteraciones

Errorpara las variables diferenciales y algebraicas

dentro de límites acceptables ?

Errorpara las variables diferenciales y algebraicas

dentro de límites acceptables ?

Reciba variables diferenciales y algebraicas no asignadas Reciba variables diferenciales y algebraicas no asignadas

Envíe variables diferenciales y algebraicas Envíe variables diferenciales y algebraicas

asigne al i-ésimo procesador el i-ésimo problema

al resto de los procesadores al resto de los procesadores

provenientes del resto de los procesadores provenientes del resto de los procesadores

P

Figura 4.4: Diagrama de ujo del algoritmo de relajaci�on funcional para simulaci�on

mediante computadores paralelos

La estrategia de paralelizaci�on es obvia: puesto que cada subproblema

puede ser resuelto independientemente del resto, el algoritmo puede proceder en

paralelo. Ciertamente, la elecci�on m�as apropiada para r, el n�umero de submodelos,

corresponde al n�umero de procesadores disponibles; de esta manera, cada procesador

itera simult�aneamente utilizando el submodelo asignado.

81

La principal di�cultad encontrada al momento de paralelizar este algo-

ritmo radica en la b�usqueda de una descomposici�on apropiada; este problema se

considera en [CI90], donde se observa que los sistemas el�ectricos de potencia exhiben

algunas propiedades que pueden hacer muy ventajosa la utilizaci�on del algoritmo de

relajaci�on funcional. Las t�ecnicas utilizadas para aprovechar tales propiedades se

conocen como:

� Descomposici�on: dice relaci�on con que los submodelos pueden agruparse consi-

derando aquellos generadores que presentan una repuesta similar entre s��. Tal

propiedad puede ser explotada con un m�etodo de identi�caci�on de grupos de

oscilaci�on coherente o una descomposici�on tipo �, los cuales permiten agru-

par generadores fuertemente acoplados entre s�� pero d�ebilmente acoplados con

respecto al resto de los generadores,

� Pasos de integraci�on de diferente tama~no: esta t�ecnica permite aprovechar que

la respuesta a una perturbaci�on se puede caracterizar por medio de respues-

tas localizadas, las cuales se asocian a subsistemas que incorporan din�amicas

lentas o r�apidas. Puesto que en el algoritmo de relajaci�on funcional cada sub-

modelo lleva a un subproblema cuya soluci�on num�erica es independiente entre

iteraciones, la selecci�on del tama~no del paso para cada subproblema tambi�en

es independiente (multirate integration) [CC94],

� Integraci�on por ventanas: basada en la consideraci�on de que el algoritmo de la

relajaci�on funcional podr��a converger uniformemente en un intervalo de tiempo

particular. La soluci�on se busca entonces dividiendo el per��odo de integraci�on

total en ventanas de integraci�on en las cuales se supone que el algoritmo conver-

ge. La selecci�on de los subintervalos de integraci�on es un problema complejo;

sin embargo, la caracter��stica de cuasidominancia diagonal, la cual est�a general-

mente presente en los sistemas el�ectricos de potencia, asegura la convergencia

uniforme sobre un intervalo �nito.

Re�ri�endose a los resultados presentados en [HB97], la ganancia de velo-

cidad global obtenida en el estudio de un sistema de 2583 barras y 487 generadores,

representado a trav�es de 2040 variables de estado y 5166 variables algebraicas, fue

de 27,6 al utilizar 20 procesadores de un computador Sequent Symmetry S81.

82

Paralelizaci�on espacial

Muchos de los algoritmos propuestos para simular transitorios electro-

mec�anicos mediante computadores paralelos aprovechan las caracter��sticas presentes

en las ecuaciones del sistema. Como se observ�o previamente, una caracter��stica fun-

damental en el esquema de soluci�on alternado es el desacoplamiento natural de las

ecuaciones asociadas a las unidades generadoras. Si estas ecuaciones no se agregan a

las del sistema de transmisi�on, la principal di�cultad radica en paralelizar la soluci�on

de estas �ultimas. Una alternativa de soluci�on consiste en aprovechar las propiedades

geogr�a�cas y topol�ogicas de la red de transmisi�on. Tal esquema de soluci�on corres-

ponde a uno alternado y la consideraci�on de alguna de estas propiedades com�unmente

se denomina paralelizaci�on espacial.

Previo a la selecci�on de una estrategia paralela particular se de�ne el

algoritmo de integraci�on de las ecuaciones diferenciales. El camino com�unmente

adoptado consiste en discretizar dichas ecuaciones mediante un m�etodo de integra-

ci�on impl��cito, siendo la regla trapezoidal el m�etodo preferentemente seleccionado.

El problema diferencial-algebraico de valor inicial se transforma entonces en uno

algebraico [CB93] de�nido por:

� = z�th � z�th�1 ��t2[G(z�th ; y�th) +G(z�th�1 ; y�th�1)] = 0

= H(z�th; y�th) = 0(4.7)

cuya soluci�on se obtiene a trav�es de alguna de las versiones modi�cadas del m�etodo

de Newton-Raphson. Este eval�ua iterativamente las correcciones al conjunto de

variables de estado y algebraicas mediante la soluci�on al conjunto de ecuaciones

algebraicas lineales de�nido por:

"�

#= �

"rz� ry�

rz ry

#"�z

�y

#= �J

"�z

�y

#(4.8)

donde el s��mbolo r corresponde al operador gradiente y J es la matriz Jacobiana

para el problema de�nido en la ecuaci�on 4.7. Resulta importante mencionar que el

83

vector de variables algebraicas propuesto en la literatura consta de las componentes

real e imaginaria de la tensi�on en las barras del sistema y por ende dista del propuesto

en esta Tesis. Una consecuencia de tal elecci�on es que el Jacobiano ry corresponde

a la matriz de admitancia nodal de�nida en la ecuaci�on 3.20.

Finalmente, dada la estructura bloque diagonal de la matriz rz�, el vec-

tor de correcciones a las variables de estado se obtiene previa eliminaci�on Gaussiana,

es decir:

= �rz(rz�)�1�

ry = ry�rz(rz�)�1ry�

�ry�y =

(4.9)

Entonces, mediante substituci�on hacia atr�as en cada bloque se obtiene:

�z = �(rz�)�1(� +ry��y) (4.10)

Basados en tal formulaci�on, se han propuesto diversos algoritmos de simulaci�on me-

diante computadores paralelos:

M�etodo de Newton deshonesto. Este m�etodo se basa en un esquema de relajaci�on

de�nido por:

�yk+1�th= �(ryj0)�1(zk�th ; z

k�th�1

; yk�th; yk�th�1

) (4.11)

�zk+1�th= �(rz�jk�th)

�1(�k�th

+ry�jk�th�yk+1�th

) (4.12)

El Jacobiano ry se reeval�ua s�olo en presencia de alg�un cambio topol�ogico en la

red de transmisi�on o en el caso que el proceso de convergencia exceda un n�umero

84

predeterminado de iteraciones; �esto lleva a denominar al m�etodo como Newton des-

honesto. Dada la estructura en bloques de los t�erminos utilizados para evaluar las

correcciones en las variables de estado, ecuaci�on 4.12, esta tarea puede ser realizada

en paralelo. Por otro lado, la evaluaci�on de las variables algebraicas requiere factori-

zar el jacobianory s�olo en algunos casos. Esta tarea, al igual que las substituciones

hacia adelante y atr�as, se realiza secuencialmente.

M�etodo de Newton y la matriz W. Una manera de obviar la secuencialidad del m�etodo

de Newton deshonesto consiste en resolver la ecuaci�on lineal 4.11 mediante el m�etodo

paralelo de la matriz W . Como en [PM92] se de�ne:

W = L�1 = (L1 : : : Ln)�1 = L�1n : : : L�11 =Wn : : :W1 (4.13)

donde L es la matriz triangular inferior obtenida de la descomposici�on LDU1 y

Li, fi = 1; : : : ; ng, son matrices identidad excepto para la i-�esima columna la cual

contiene la i-�esima columna de L. Entonces, la ecuaci�on 4.11 se reformula como:

�y = �(ry)�1 = �(LDLt)�1 = �W tD�1W (4.14)

Al disponer de un computador paralelo con p procesadores los t�erminos de la matriz

W se agrupan en p-subgrupos para obtener:

�y = �W taW

tb : : :W

tpD

�1Wp : : :WbWa (4.15)

La evaluaci�on de cada subgrupo se realiza concurrentemente. Por su parte, las

correcciones en la ecuaci�on 4.15 se realizan de derecha a izquierda en 2p + 1 pasos

seriales.

M�etodo de Newton-Maclaurin relajado. La naturaleza secuencial de la factorizaci�on

LDU causa una r�apida saturaci�on en la capacidad de paralelizaci�on del m�etodo de

1Para matrices sim�etricas U , la matriz triangular superior, es igual a Lt.

85

Newton deshonesto. A su vez, el esquema basado en el m�etodo de la matriz W crea

elementos no nulos redundantes (�ll-in) y un exceso de c�alculos. Estas de�ciencias

pueden ser superadas utilizando una inversa aproximada del Jacobiano, tal que la

evaluaci�on de las variables algebraicas pueda realizarse concurrentemente. Dado que

en ausencia de cambios topol�ogicos el Jacobiano ry tiene elementos constantes

fuera de la diagonal, solamente los bloques diagonales de dimensi�on 2 � 2 est�an

sujetos a reevaluaci�on en el proceso iterativo. Utilizando la serie de Maclaurin para

efectos de aproximaci�on, el algoritmo de Newton-Maclaurin se plantea como:

�yk+1�th� �!y[U � (ryD

jk)�1ryOj0](ryD

jk)�1k

�zk+1�th� �!z(rz�jk)�1(�

k

�th+ry�jk�y

k+1�th

)

(4.16)

donde !z y !y son factores de aceleraci�on y ryDy ryO

son, respectivamente, las

matrices diagonal y fuera de la diagonal del Jacobiano ry. N�otese que ahora la

evaluaci�on de las correcciones en las variables algebraicas puede realizarse en forma

paralela.

Estos tres esquemas de simulaci�on paralela fueron evaluados en [CB93].

Los resultados muestran alguna superioridad del m�etodo de Newton-Maclaurin. Por

ejemplo, las pruebas realizadas en 26 nodos de un computador de memoria compar-

tida Sequent/Symmetry para los m�etodos de Newton deshonesto y de la matriz W

re ejan que la ganancia de velocidad de este �ultimo es sutilmente mejor, 4,65 con

respecto a 4,7 respectivamente, cuando ambos m�etodos se comparan en relaci�on a su

ejecuci�on serial. Sin embargo, una comparaci�on m�as detallada indica que el m�etodo

basado en la matriz W no es superior al m�etodo de Newton deshonesto; la ganan-

cia de velocidad del m�etodo de Newton y la matriz W comparado con la ejecuci�on

monoprocesador del m�etodo de Newton deshonesto, utilizando 1 y 26 nodos, es de

0,81 y 3,81 respectivamente. Esto se explica por el exceso de c�alculo del m�etodo

basado en la matriz W y la di�cultad de realizar un balance de carga efectivo. Por

otro lado, los tiempos de computaci�on serial de los m�etodos de Newton Maclaurin y

de Newton deshonesto son muy similares entre s��, pero la ganancia de velocidad del

primero es considerablemente superior. En el estudio de un modelo de 662 barras del

86

sistema US Midwestern la ganancia de velocidad obtenida al utilizar los 26 nodos del

computador Sequent/Symmetry fue de 11,8; la cual es considerablemente superior

al valor de aproximadamente 5 obtenido en las pruebas descritas anteriormente.

Un par de m�etodos extra fueron comparados en el mismo trabajo [CB93];

�estos se basan en el esquema iterativo de Gauss-Jacobi, el cual es naturalmente

paralelo, y en una versi�on paralela obtenida mediante la sobrerelajaci�on sucesiva

de un paso del m�etodo de Newton (one step SOR Newton). Esta �ultima consiste

en aproximar el Jacobiano J por uno diagonal reevaluado en cada iteraci�on. Los

resultados obtenidos en las pruebas de ambos algoritmos re ejan una inferioridad

respecto del m�etodo de Newton deshonesto. Esto ha llevado a la utilizaci�on preferente

de estrategias como las descritas anteriormente con mayor detalle.

Simulador digital paralelo en tiempo real. La estrategia de paralelizaci�on utiliza-

da para este simulador fue descrita en la secci�on 2.2.3, donde se consideraron los

desarrollos llevados a la industria el�ectrica. En lo que concierne a los resultados,

la e�ciencia y la ganancia de velocidad alcanzados por este simulador fueron rela-

tivamente pobres; sin embargo, considerando que tales resultados demostraron la

utilidad del procesamiento paralelo en la soluci�on de los problemas que ata~nen al

mundo real, el desarrollo de este simulador tuvo un impacto considerable para la

comunidad asociada a los sistemas el�ectricos potencia.

Paralelizaci�on de los programas ASU y ST600. Esta aplicaci�on concierne a la para-

lelizaci�on de dos programas utilizados para el an�alisis de la estabilidad transitoria

(TSA: Transient Stability Analysis) mediante el m�etodo de simulaci�on: el programa

para prop�ositos de investigaci�on de la Arizona State University (ASU) y el programa

a nivel industrial TS600 de la Hydro Quebec. En ambos programas la estrategia

de paralelizaci�on fue la misma. La soluci�on paralela de las ecuaciones diferenciales

aprovecha el desacoplamiento natural de �estas (paralelizaci�on espacial) y la soluci�on

de las ecuaciones algebraicas (asociadas al sistema de transmisi�on) se obtiene en for-

ma paralela a trav�es de un m�etodo de factorizaci�on simb�olico que permite de�nir las

tareas que pueden ser llevadas a cabo independientemente. Las tareas se agrupan

para ser asignadas entre los procesadores y las etapas de factorizaci�on y substituci�on

se realizan concurrentemente de acuerdo a la estrategia descrita previamente. La

87

paralelizaci�on de los programas fue probada en un computador de memoria compar-

tida Symmetry S81. Para el programa de la ASU la mejor ganancia de velocidad se

obtuvo en el an�alisis de un sistema de 2583 barras, 6846 elementos serie y 487 uni-

dades generadoras, alcanzando a 9 cuando se utilizaron 20 procesadores. A su vez,

con la versi�on paralela del programa de la Hydro Quebec se alcanz�o una ganancia

de velocidad levemente superior a 7 al analizar con 20 procesadores un modelo de

414 barras, 588 elementos serie y 76 unidades generadoras del sistema de la Hydro

Quebec [WBH+95].

M�etodo de Runge-Kutta y eliminaci�on Gaussiana. La estrategia fue propuesta en

[LCLK91] y se basa en un esquema de soluci�on alternado expl��cito. Para este esque-

ma se observa que las principales tareas asociadas a la simulaci�on corresponden a

la reducci�on de la matriz de admitancia2 y a la soluci�on num�erica de las ecuaciones

diferenciales. Las unidades generadoras se representan mediante la ecuaci�on de os-

cilaci�on y su soluci�on num�erica se obtiene mediante la versi�on de segundo orden del

m�etodo de Runge-Kutta. Puesto que las ecuaciones se resuelven alternadamente, la

paralelizaci�on del problema diferencial se obtiene f�acilmente al considerar el concepto

de paralelizaci�on espacial. Para efectos de balancear la carga a cada procesador se

le asigna un n�umero aproximadamente igual de variables angulares. Por otro lado,

el proceso de reducci�on de la matriz de admitancia se realiza mediante eliminaci�on

Gaussiana. La estrategia de paralelizaci�on consiste en asignar las �las de la matriz

de admitancia, una a la vez, entre los procesadores disponibles. En el proceso de

eliminaci�on, la �la pivote se comunica al resto de los procesadores (todos menos al

que fue asignada) y cada procesador realiza la eliminaci�on Gaussiana sobre las �las

asignadas. El algoritmo paralelo ejecutado en 30 procesadores de un computador

Hipercubo iPSC/2 permiti�o obtener una ganancia de velocidad igual 9 en el estudio

un sistema de 128 barras y 32 generadores.

M�etodos del Gradiente Conjugado. El Gradiente Conjugado es un m�etodo iterativo,

y por ende indirecto, muy utilizado en la soluci�on de ecuaciones algebraicas lineales.

2Una alternativa muy utilizada para representar el sistema de transmisi�on es aquella en la cual

la matriz de admitancia incorpora s�olo los nodos asociados a unidades generadoras o subsistemas

representados din�amicamente. Para la partici�on sugerida en la ecuaci�on 3.29, una manera de obtener

la matriz reducida consiste en realizar la operaci�on: Yred = Y ss � Y sb(Y bb)�1Y bs.

88

La versi�on paralela de este m�etodo ha sido aplicada a problemas en diversos cam-

pos de la ciencia, y la e�ciencia alcanzada ha permitido su consideraci�on como una

alternativa efectiva a la soluci�on basada en m�etodos directos. En [DFaK96] se inves-

tigan las capacidades de este m�etodo en aplicaciones al problema de simulaci�on de

transitorios electromec�anicos. En el contexto de un esquema de soluci�on alternado

impl��cito, el m�etodo del Gradiente Conjugado se utiliz�o para resolver las ecuaciones

que representan la red de transmisi�on considerando dos estrategias de paralelizaci�on

diferentes. Ambas aprovechan las propiedades geogr�a�cas y topol�ogicas presentes en

la red de transmisi�on.

a) M�etodo del Gradiente Conjugado y la factorizaci�on LU. En este m�etodo las

ecuaciones de la red de transmisi�on se reordenan de manera tal que la matriz

de admitancia aparece en una BBDF; es decir:266666664

~I1~I2...~Iq~Ir

377777775=

266666664

~Y11 0 : : : 0 ~Y1r

0 ~Y22 : : : 0 ~Y2r...

.... . .

......

0 0 : : : ~Yqq ~Yqr~Y t1r

~Y t2r : : : ~Y t

qr~Yrr

377777775

266666664

~V1~V2...~Vq~Vr

377777775

(4.17)

~Yij, i; j = 1; : : : ; r; son submatrices agrupando admitancias complejas; a su

vez, ~Ii y ~Vi, i = 1; : : : ; r; son, respectivamente, los subconjuntos de corrientes

y tensiones fasoriales en las barras de la red de transmisi�on, todas referidas a

las coordenadas Re � Im. La BBDF se obtiene al reordenar los nodos de la

red en q + 1 conjuntos, de los cuales los q primeros corresponden a subredes

conectadas al resto por barras l��mite en el (q + 1)-�esimo conjunto. Utilizando

eliminaci�on Gaussiana, la ecuaci�on 4.17 se resuelve en dos fases:

Fase 1: Resuelva

~Y �rr~Vr = ~I�r (4.18)

donde

~Y �rr = ~Yrr �

Pq

i=1~Y tir~Y �1ii

~Yir~I�r = ~Ir �

Pq

i=1~Y tir~Y �1ii

~Ii(4.19)

Fase 2: Para i = 1; 2; : : : ; q; resuelva:

~Yii~Vi = ~Ii � ~YirVr (4.20)

89

Las ecuaciones anteriores se resuelven mediante un esquema paralelo que com-

bina los m�etodos del Gradiente Conjugado y de la factorizaci�on LU. El primero

se utiliza en la soluci�on de la ecuaci�on 4.18, mientras que el segundo se utiliza

en la soluci�on de los q conjuntos de ecuaciones independientes de�nidos por la

ecuaci�on 4.20. La principal desventaja de este esquema consiste en aplicar el

m�etodo del Gradiente Conjugado a la soluci�on de un problema de dimensi�on

relativamente peque~na y la necesidad de una BBDF optimizada.

b) M�etodo del Gradiente Conjugado completo. Este m�etodo es un intento para

enfrentar las desventajas presentes en el m�etodo a). El m�etodo del Gradien-

te Conjugado se utiliza para resolver las ecuaciones de la red como un todo

mediante una versi�on paralela del m�etodo del Gradiente Conjugado Precon-

dicionado3. La red de transmisi�on se descompone de una manera tal que los

bloques diagonales de la matriz de admitancia aparecen d�ebilmente acoplados

entre s��, es decir, en una NBDF como:266664~I1~I2...~Ir

377775

k

=

266664

~Y11 ~Y12 : : : ~Y1r~Y21 ~Y22 : : : ~Y2r...

.... . .

...~Yr1 ~Yr2 : : : ~Yrr

377775

266664

~V1~V2...~Vr

377775

k+1

(4.21)

que se obtiene al descomponer la red en subredes d�ebilmente acopladas. Para

optimizar el desempe~no del algoritmo la NBDF debe presentar las siguientes

caracter��sticas:

� El n�umero de subredes es �jo e igual al n�umero de procesadores a utilizar.

� El n�umero de conexiones entre las subredes debe ser minimizado para

reducir los requerimientos de comunicaci�on.

� La dimensi�on y complejidad de las subredes debe ser aproximadamente

igual.

Para obtener una NBDF con tales caracter��sticas se utilizan dos m�etodos: uno

basado en prueba y error, y una metodolog��a semiautom�atica. Por otro lado,

3En los m�etodos basados en el Gradiente Conjugado el mayor esfuerzo computacional se con-

centra en la evaluaci�on de productos punto y multiplicaciones entre matrices y vectores, las cuales

puede ser e�cientemente realizadas en computadores paralelos y vectoriales.

90

el precondicionador se obtiene directamente de la matriz NBDF al despreciar

los bloques fuera de la diagonal.

Ambos esquemas de soluci�on fueron llevados a un computador paralelo

Intel iPSC/860 con 8 nodos conectados en topolog��a hipercubo. Las pruebas reali-

zadas consideran el an�alisis del sistema ubicado en la regi�on Sur-Sureste de Brasil,

el cual se representa mediante 88 generadores, 616 barras y 995 elementos serie. La

ganancia de velocidad en el m�etodo combinado del Gradiente Conjugado y la fac-

torizaci�on LU alcanz�o a 2,6 cuando el algoritmo basado en la factorizaci�on LU se

utiliz�o como el algoritmo serial de referencia, y a 3,18 cuando la comparaci�on se hizo

sobre la base del algoritmo combinado. Similarmente, para el m�etodo del Gradiente

Conjugado completo la ganancia de velocidad alcanz�o a 2,65 en comparaci�on con la

factorizaci�on LU y a 3,44 en comparaci�on con el algoritmo propio.

Paralelizaci�on temporal

La simulaci�on basada en el concepto de paralelizaci�on temporal permite

una forma adicional de realizar procesamiento paralelo; �esta fue sugerida en [Alv79]

para la soluci�on de problemas transitorios mediante integraci�on trapezoidal y b�asi-

camente consiste en resolver, en forma simult�anea, subproblemas de simulaci�on de-

�nidos para pasos de integraci�on consecutivos. Desde un punto de vista general, en

esta Tesis se observa que existen dos formas de aprovechar el paralelismo temporal:

una acoplada y otra desacoplada.

La paralelizaci�on temporal en su forma acoplada corresponde al concepto

propuesto en [Alv79]. B�asicamente, �esta consiste en formular un problema matem�ati-

co que agrega subproblemas algebraicos, similares al descrito en la ecuaci�on 4.7, pero

de�nidos para pasos de integraci�on consecutivos. La simulaci�on consiste entonces en

buscar una soluci�on al problema algebraico:

F (x) = 0; (4.22)

para el cual, si la regla trapezoidal se elige como m�etodo de discretizaci�on de las

91

ecuaciones diferenciales y adem�as se consideran pasos de integraci�on iguales a lo

largo del per��odo de integraci�on total, F (x) viene dado por:

F (x) =

26666666666664

�z�t1 + z�t0 +�t2[G(z�t1 ; y�t1) +G(z�t0 ; y�t0)]

H(z�t1; y�t1)

�z�t2 + z�t1 +�t2[G(z�t2 ; y�t2) +G(z�t1 ; y�t1)]

H(z�t2; y�t2)...

�z�th+ z�t

h�1+ �t

2[G(z�t

h; y�t

h) +G(z�t

h�1; y�t

h�1)]

H(z�th; y�t

h)

37777777777775(4.23)

El problema de�nido en la ecuaci�on 4.22 es algebraico nolineal; F 2 Rh(n+m) es el

vector de funciones algebraicas y x 2 Rh(n+m), de�nido como:

xt = [ z�t1 y�t1 z�t2 y�t2 : : : z�th

y�th]; (4.24)

el vector de variables algebraicas. Para el modelo descrito en la ecuaci�on 1.1, si

todas las unidades generadores se representan mediante el vector de estado descrito

en la ecuaci�on 3.25 F y x 2 Rh(15M+6M+2N). N�otese que la discretizaci�on de las

ecuaciones diferenciales es un requisito b�asico para su reformulaci�on como ecuacio-

nes algebraicas, y por ende el m�etodo de integraci�on num�erica a seleccionar debe

ser del tipo impl��cito. Por �ultimo, obs�ervese que para un sistema relativamente pe-

que~no la formulaci�on matem�atica basada en el concepto de paralelizaci�on temporal

podr��a resultar en un problema algebraico de dimensi�on extremadamente elevada.

La paralelizaci�on del problema de�nido en la ecuaci�on 4.22 no es trivial. Sin em-

bargo, dado que la soluci�on a este problema se obtiene mediante un m�etodo tipo

Newton-Raphson4, caracterizado por la iteraci�on:

xk+1 = xk +�xk; (4.25)

4Una ventaja del m�etodo de Newton-Raphson es que su convergencia es casi independiente de

la dimensi�on del problema en cuesti�on.

92

donde xk es la k-�esima aproximaci�on a la soluci�on de la ecuaci�on 4.22 y �xk, obtenida

a partir de:

�J jxk�kx = �rxF (x)jxk�

kx = F (xk) (4.26)

su correcci�on; el m�etodo com�unmente adoptado para efectos de paralelizaci�on con-

siste en utilizar alguna de las tantas t�ecnicas propuestas para la soluci�on paralela del

problema lineal de�nido en la ecuaci�on 4.26. En �esta, F (xk) y J jxk corresponden,

respectivamente, al vector de funciones F y a la matriz Jacobiana J ambos evalua-

dos en xk. De�niendo la siguiente notaci�on para las submatrices que conforman el

Jacobiano:

JhzG�(+)z;y = �(+)U + �t

2rz�th

G(z�th ; y�th)

JhyGz;y = �t2ry�th

G(z�th ; y�th)

JhzHz;y = rz�thH(z�th; y�th)

JhyHz;y = ry�thH(z�th; y�th)

(4.27)

se obtiene la siguiente expresi�on para J :

J =

26666666666664

J1zG

�z;y J1

yGz;y 0 0 : : : 0 0

J1zHz;y J1

yHz;y 0 0 : : : 0 0

J1zG

+z;y J1

yGz;y J2zG

�z;y J2

yGz;y : : : 0 0

0 0 J2zHz;y J2

yHz;y : : : 0 0...

......

.... . .

......

0 0 0 0 : : : J hzG�z;y J hyGz;y

0 0 0 0 : : : J hzHz;y J hyHz;y

37777777777775

(4.28)

Por otro lado, la paralelizaci�on temporal en su forma desacoplada consiste

en relajar el problema descrito en la ecuaci�on 4.22 a trav�es de la formulaci�on de

subproblemas de integraci�on desacoplados, cada uno como el descrito en la ecuaci�on

4.7 y asociado a s�olo uno de los pasos tomados consecutivamente. Entonces, si la

93

soluci�on se busca para los h pasos que de�nen el per��odo de integraci�on total, el

problema puede formularse como:

Fh(x�th ; x�th�1) =

"�h(x�th ; x�th�1)

h(x�th)

#= 0 h = 1; : : : ; h (4.29)

donde x�th = [z�th y�th]t, h = 1; : : : ; h. Los subproblemas se resuelven en una forma

iterativa independiente considerando que la soluci�on a cada uno s�olo requiere conocer

las condiciones iniciales del mismo. As��, para el subproblema de�nido en el h-�esimo

paso de integraci�on el valor de la condici�on inicial es la soluci�on a las variables de

estado y algebraicas en el (h�1)-�esimo subproblema, soluci�on que puede ser estima-

da e intercomunicada luego de cada iteraci�on. El proceso de c�alculo se representa a

trav�es de la Figura 4.5. N�otese que esta formulaci�on del problema (soluci�on concu-

rrente de los pasos) requiere de un computador paralelo para una soluci�on e�ciente.

Esto se debe a que la soluci�on mediante un computador monoprocesador es similar

a una integraci�on paso a paso en la cual no necesariamente se debe esperar a que

la soluci�on converja en un determinado paso para buscar la soluci�on en el siguiente.

Finalmente, tambi�en obs�ervese que la convergencia debe ser evaluada a nivel del

subproblema asignado y a nivel de los subproblemas previos.

hPh-1

desde

Ph-2

P

a

h+1

las condiciones iniciales del subproblemaReciba

las variables de estado y algebraicasComunique

Estime las variables de estado y algebraicasresolviendo el subproblema definido

para el (h-1)-ésimo paso de integración

las condiciones iniciales del subproblemaReciba

las variables de estado y algebraicasComunique

P

la solución al subproblema?NO

NO

SI

SI

Imprima resultados

y formule subproblemaPrepare datos de entrada

NO

NO

SI

SI

Imprima resultados

y formule subproblemaPrepare datos de entrada

Estime las variables de estado y algebraicasresolviendo el subproblema definidopara el h-ésimo paso de integración

previos ? previos ?

Convergióla solución a los subproblemas la solución a los subproblemas

Convergió

Convergió Convergióla solución al subproblema?

Figura 4.5: Representaci�on de la simulaci�on paralela utilizando el concepto de para-

lelizaci�on temporal en su forma desacoplada

94

Habiendo introducido algunos conceptos b�asicos en torno a las maneras

en que se formula el problema paralelo en el tiempo, a continuaci�on se describen las

aplicaciones basadas en este tipo de paralelismo.

M�etodo del Gradiente Conjugado. La utilizaci�on de este m�etodo fue propuesta en

el contexto del problema de�nido en la ecuaci�on 4.22. La estrategia de paraleliza-

ci�on fue sugerida en [DFaK96] y considera una serie de los aspectos involucrados

en la simulaci�on obtenida bajo el concepto de paralelizaci�on temporal. En primer

lugar, tras localizar las ecuaciones asociadas a cada paso de integraci�on en proce-

sadores diferentes, las evaluaciones de la funci�on F (x), de la matriz Jacobiana y

de las correcciones al vector de inc�ognitas se realizan con perfecto paralelismo. En

lo que respecta al problema algebraico lineal que caracteriza a las iteraciones del

m�etodo de Newton, �este se resuelve, tras una descomposici�on de la matriz Jacobiana

en acuerdo a cada paso de integraci�on, como un todo mediante un m�etodo paralelo

del Gradiente Conjugado. Se utilizan dos versiones de este m�etodo: el Bi-Gradiente

Conjugado, en el cual se generan dos secuencias de residuos mutuamente ortogonales

de manera similar al �unico generado en el m�etodo original, y el Bi-Gradiente Con-

jugado Estable, el cual es una variante m�as e�ciente y robusta a la anteriormente

descrita. En ambos casos se emplea un precondicionador bloque diagonal obtenido

al despreciar los elementos fuera de los bloques diagonales de la matriz Jacobiana.

De manera similar al m�etodo utilizado en la paralelizaci�on espacial, el paralelismo

de estas versiones del Gradiente Conjugado se deduce f�acilmente al descomponer

las operaciones matriciales y vectoriales involucradas en el algoritmo de soluci�on.

Los resultados del Gradiente Conjugado para la simulaci�on basada en el concepto

de paralelizaci�on temporal, considerando el mismo computador y sistema de estudio

descritos en la aplicaci�on de los m�etodos del Gradiente Conjugado explotando el con-

cepto de paralelizaci�on espacial, muestran que la versi�on monoprocesador presenta

una considerable disminuci�on de la velocidad de c�alculo con el incremento en los

pasos tomados concurrentemente. Sin embargo, al comparar la versiones paralela y

serial para el problema basado en la paralelizaci�on temporal, la ganancia de velocidad

aumenta con el n�umero de pasos integrados concurrentemente, alcanzando a 5,48 en

el caso de 8 pasos de integraci�on resueltos simult�aneamente. En la mayor��a de los

casos estudiados los mejores resultados se obtuvieron con el m�etodo Bi-Gradiente

Conjugado Estable.

95

12

x11

x13

x14 x4

2 x43 x4

4

x34

x24

x14x1

3

x23

x33x3

2

x22

x12

x

P

Unidades temporales de trabajo

4

P3

P2

P1

3 421

Procesadores

(a) M�etodo de Gauss-Jacobi

4

P3

P2

P1

1 2 3 4 5 6 7

x11 x1

2 x13 x1

4

x12

x13

x14

x22

x23

x24

Px

Procesadores

34 x4

4

x42

x33

x32

x43

Unidades temporales de trabajo

(b) M�etodo de Gauss-Seidel

Figura 4.6: Secuencia de operaciones paralelas para los esquemas basados en la

relajaci�on del m�etodo de Newton

Esquemas basados en la relajaci�on del m�etodo de Newton. Estos algoritmos emplean

la versi�on desacoplada del paralelismo temporal. Se utiliza un esquema de relajaci�on

para generar los h problemas algebraicos nolineales de�nidos en la ecuaci�on 4.29 y su

soluci�on se obtiene aplicando el m�etodo de Newton a cada uno de estos problemas.

As��, las inc�ognitas asociadas a cada paso de integraci�on se reeval�uan en cada una

de las iteraciones de este m�etodo. Una caracter��stica de inter�es en los esquemas

obtenidos por relajaci�on es la factibilidad de aprovechar tanto el paralelismo temporal

como el espacial. Para visualizarlo, consid�erese los esquemas de soluci�on basados en

el m�etodo de Gauss-Jacobi Newton:

�rx�thFh(x�th ; x�th�1)jxk�1

�th;xk�1�th�1

�kx�th

= Fh(xk�1�th

; xk�1�th�1)

h = 1; : : : ; h(4.30)

y en el m�etodo de Gauss-Seidel Newton:

�rx�thFh(x�th ; x�th�1)jxk�1

�th;xk�th�1

�kx�th

= Fh(xk�1�th

; xk�th�1)

h = 1; : : : ; h(4.31)

cuya paralelizaci�on, en el caso de contar con 4 procesadores, puede llevarse a cabo,

respectivamente, en la forma ilustrada a trav�es de las Figuras 4.6(a) y 4.6(b).

96

La soluci�on del problema de�nido en la ecuaci�on 4.29 exhibe un patr�on de conver-

gencia direccional, en el cual la convergencia de los pasos iniciales siempre precede a

los subsecuentes5 . Una manera de mejorar la e�ciencia en presencia de este proble-

ma consiste en utilizar el recurso denominado ventana viajera (travelling window).

Considerando p procesadores asignados a la soluci�on simult�anea de p pasos de in-

tegraci�on, el m�etodo de la ventana viajera consiste en asignar a un procesador que

ya alcanz�o la convergencia el problema de�nido para el (p + 1)-�esimo paso de in-

tegraci�on. Por otro lado, en lo que respecta a la manera en que se aprovecha el

paralelismo espacial, �este se explota en cada paso de integraci�on mediante alguna de

las siguientes alternativas:

a) Procesamiento vectorial. En esta alternativa cada procesador debe contar con

la capacidad de vectorizar las operaciones sobre matrices y vectores. El c�alculo

de las variables de estado y algebraicas para cada paso de integraci�on incluye:

� c�alculo e inversi�on de la matriz bloque diagonal rz�,

� c�alculo del vector de residuales correspondientes a las ecuaciones de la

red,

� c�alculo del vector de correcciones sobre las variables de tensi�on �y.

Los detalles acerca de la forma en que se utiliza la vectorizaci�on se encuentran

en [GMLST94].

b) Procesamiento paralelo. En esta alternativa el conjunto total de procesadores se

divide en subconjuntos, cada uno dedicado a la soluci�on del problema de�nido

para un s�olo paso de integraci�on. Los procesadores en cada subconjunto se

organizan para buscar la soluci�on basada en el paralelismo espacial del paso de

integraci�on asignado. La estrategia de paralelizaci�on se selecciona a trav�es de

aquellas descritas previamente (Ver Paralelizaci�on espacial); no obstante, solo

un par de �estas han sido evaluadas en computadores paralelos: el m�etodo de

Newton deshonesto y el m�etodo de Newton Maclaurin [CB93].

5Este efecto se explica por el hecho de que la condici�on inicial para el problema de�nido en el

primer paso es conocida, y s�olo tras la convergencia a la soluci�on de este problema ser�a conocida

la condici�on inicial para el siguiente problema.

97

Para ilustrar la manera en que ambos tipos de paralelismo, el espacial y el tempo-

ral, pueden ser llevados a un computador paralelo consid�erese la Figura 4.7. Esta

representa una topolog��a toroidal en la cual 4 subgrupos, cada uno de 4 procesado-

res, se dedican a la soluci�on simult�anea de 4 pasos de integraci�on consecutivos. En

la soluci�on de cada paso los procesadores en cada subgrupo realizan el paralelismo

espacial en el paso asignado. Para mejorar la e�ciencia, una vez que el procesador

dedicado al paso de integraci�on 1 converge a la soluci�on se le asigna el paso 5; �esto

implica mover la ventana de integraci�on un paso en la direcci�on de incremento de

los pasos. En lo que respecta a los resultados obtenidos con este tipo de m�etodos,

1

Paso3

4Paso

Paso2

Dirección de incrementode los pasos

al siguiente pasoEnvía mensaje

Paso

Una vez que converge envía señales a

Envía mensaje al siguiente paso

Envía mensaje

que éste converge ytoma el paso 5

Envía mensaje al siguiente paso

al paso 1 una vez

: Nodoambos pasos, el anterior y el posterior

Figura 4.7: Una topolog��a toroidal t��picamente utilizada para la simulaci�on basada

en el paralelismo temporal y espacial (16 nodos: 4 en el espacio y 4 en el tiempo)

la ganancia de velocidad alcanzada con el esquema de Gauss-Seidel Newton, apro-

vechando los recursos de vectorizaci�on (paralelismo espacial) y de la ventana viajera

(paralelismo temporal), fue de 22,5 al utilizar 4 procesadores de un computador Cray

Y-MP8/464. El algoritmo se compar�o con la versi�on monoprocesador del m�etodo de

Newton deshonesto no vectorizado en el estudio de una red de los Estados Unidos

representada con 904 barras y 138 generadores. Bajo estas mismas condiciones la

ganancia de velocidad del m�etodo de Gauss-Jacobi Newton es levemente inferior. A

su vez, [CB93] reporta una ganancia de velocidad cercana a 10 al utilizar una versi�on

toroidal con 4 procesadores en el tiempo y 8 en el espacio del m�etodo de Newton

Maclaurin. El estudio corresponde a un modelo de 662 barras y 87 generadores del

sistema US Midwestern, se utiliza un computador iPSC-2 con 32 procesadores y el

algoritmo de referencia es la versi�on monoprocesador del mismo m�etodo.

98

M�etodo de Picard Desplazado

Este m�etodo de simulaci�on puede ser considerado como uno en el cual el

paralelismo temporal se explota a trav�es de su formulaci�on desacoplada. Si bien este

tipo de paralelizaci�on se plantea desde un punto de vista diferente al descrito ante-

riormente, en t�erminos generales, ambas formulaciones coinciden en la b�usqueda de

una soluci�on a lo largo de un per��odo de simulaci�on que incluye pasos de integraci�on

consecutivos. Por su parte, la principal diferencia se establece en que las ecuacio-

nes diferenciales no se discretizan para formular un problema algebraico aumentado.

El recurso aqu�� utilizado consiste en linealizar el problema diferencial algebraico,

ecuaci�on 1.1, en torno a una trayectoria inicial para cada una de las variables de

estado y algebraicas. Al resolver el problema diferencial algebraico derivado de la

linealizaci�on se obtienen las nuevas trayectorias, las cuales sirven para relinealizar el

problema nolineal original. Este tipo de procedimiento se repite hasta alcanzar la

convergencia esperada.

Las capacidades de paralelizaci�on de este m�etodo pueden ser analizadas

considerando su formulaci�on matem�atica [LSSS94]. Un primer paso consiste en line-

alizar la ecuaci�on 1.1 en torno a las trayectorias gen�ericas iniciales zk(t) e yk(t); �esto

permite obtener el siguiente proceso iterativo6:

_zk = G(zk�1; yk�1) + ~Ak�1(zk � zk�1) + ~Bk�1H(zk�1; yk�1) (4.32)

yk = yk�1 + ~Ck�1(zk � zk�1) + ~Dk�1H(zk�1; yk�1) (4.33)

donde:

~Ak�1 = rzGjxk�1 �ryGjxk�1(ryHjxk�1)�1rzHjxk�1

~Bk�1 = �ryGjxk�1(ryHjxk�1)�1

~Ck�1 = (ryHjxk�1)�1rzHjxk�1

~Dk�1 = (ryHjxk�1)�1

(4.34)

6La variable t se deja impl��cita para facilitar la notaci�on.

99

La soluci�on a la ecuaci�on 4.32 se obtiene utilizando el m�etodo basado en

la integral de convoluci�on. Para simpli�car este procedimiento se asume que ~A es

invariante en el tiempo, evaluada en t = t0� y mantenida constante durante el pro-

ceso iterativo. ~B, ~C y ~D, todas invariantes en el tiempo, se reeval�uan s�olo en el caso

de haber cambios topol�ogicos en el sistema. Para reducir los requerimientos com-

putacionales asociados a la manipulaci�on de las matrices ~A, ~B y ~C, de dimensiones

considerablemente grandes, se considera adecuado realizar las siguientes suposiciones

adicionales:

a) La matriz ~A se obtiene a partir de:

~A =

266664

~A1 0 : : : 0

0 ~A2 : : : 0...

.... . .

...

0 0 0 ~AM

377775 (4.35)

donde

~Ai = rziGi �ryGi(ryH)�1rziH i = 1; : : : ;M (4.36)

y Gi, i = 1; : : : ;M ; son las ecuaciones diferenciales asociadas a i-�esima unidad

generadora. Esta suposici�on se basa en la consideraci�on que ~A corresponde a

la matriz de estado del sistema para t0� y que, usualmente, est�a caracterizada

por la dominancia diagonal de los bloques asociados a cada generador.

b) La matriz bloqueada ~B, 2 Rm�2N , se obtiene a partir de:

�rHjGi = �ryGi(ryH)�1j i = 1; : : : ;M ; j = 1; : : : ; N (4.37)

donde el sub��ndice j fuera del par�entesis indica que solamente la j-�esima colum-

na de (ryH)�1 ha sido considerada en las multiplicaciones. Adicionalmente,

las submatrices �rHjGi se desprecian si el j-�esimo nodo no conecta unida-

des generadoras. Esta suposici�on se justi�ca en base a resultados pr�acticos

obtenidos de estudios realizados en modelos de sistemas reales.

c) Despreciar ~C, en consideraci�on a que su presencia no contribuye a reducir

signi�cativamente el n�umero de iteraciones.

Los autores indican que estas suposiciones no afectan la precisi�on de la soluci�on al

problema, pero s�� la raz�on de convergencia del algoritmo a la misma.

100

Bajo las consideraciones expuestas, la soluci�on a 4.32 se obtiene como:

zk = e(t�t0)~Az0 +

Z t

t0

e(t��)~A�(t)k�1d� (4.38)

donde �k�1 = [G(zk�1; yk�1) + ~B(�)H(zk�1; yk�1)� ~Azk�1].

Para obtener una soluci�on mediante computadores digitales, el intervalo

de simulaci�on se discretiza y la soluci�on se busca para los puntos de�nidos por h�t,

con h = 1; : : : ; h. La soluci�on a la ecuaci�on 4.38 se obtiene forzando el t�ermino

�(�) a ser constante durante el intervalo de tiempo [h�t� (h� 1)�t]. Entonces, si

�h�1 = �(th�1), la ecuaci�on 4.38 puede ser reescrita como:

zkh = e(th�t0)~Az0 +

hXj=1

Z tj

tj�1

e(th��)~Auk�1j�1d� h = 1; : : : ; h (4.39)

Finalmente, al resolver las integrales en �esta se obtiene:

zkh = e~Ath(e�

~At0z0 +hX

j=1

�k�1j ) h = 1; : : : ; h (4.40)

donde �k�1j = [e�~Atj�1 � e�

~Atj ] ~A�1�k�1j�1 .

Tal como una estrategia basada en el paralelismo temporal, este m�etodo

consiste en resolver concurrentemente pasos de integraci�on consecutivos. Durante el

proceso de simulaci�on, el paralelismo se obtiene en cada una de las siguientes etapas:

a) La evaluaci�on de las matrices ~A y ~B puede ser f�acilmente paralelizada si se

considera la estructura particular de �estas. La factorizaci�on LU tambi�en podr��a

ser paralelizada a trav�es de un m�etodo como el de la matriz W , permitiendo

as�� obviar el c�alculo directo de ~D.

101

1

2

3

4

ζ 1 ζ 2 ζ 3 ζ 4 ζ 5 ζ 6 ζ 7 ζ 8

P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8

ζ jj=1

2Σ ζ jΣj=3

4ζ jΣ

j=5

6ζ j

Secuencias de computación

Σj=7

8

ζ jΣ8

j=5ζ jΣ

j=5

7ζ jΣ

4ζ j

j=1Σ3

j=1

ζ jj=1Σ5 ζ j

j=1Σ6 ζ j

j=1Σ7 ζ j

j=1Σ8

Procesadores

(a) Procedimiento para evaluarPh

j=1 �j ,

h = 1; : : : ; 8; en 4 etapas secuenciales

1 P2 P3 PpP . . .

(b) Topolog��a utilizada para la inter-

comunicaci�on de los procesadores

Figura 4.8: Recursos utilizados para la simulaci�on basada en el m�etodo de Picard

Desplazado

b) El m�etodo propuesto para evaluar la matriz de transici�on requiere evaluar pre-

viamente la autoestructura total de la matriz ~A. Este c�alculo es trivialmente pa-

ralelizable dada la estructura bloque diagonal de esta matriz y de su correspon-

diente matriz de autovectores. Las evaluaciones de e~Atj y [e�

~Atj�1 � e�~Atj ] ~A�1

se paralelizan de manera similar.

c) Habiendo realizado cada una de las operaciones mencionadas, los resultados de

simulaci�on se obtienen iterando a trav�es de las siguientes etapas:

Etapa i) Para h = 1; : : : ; h; eval�ue:

�k�1h = [Gh(zk�1; yk�1) + ~BhHh(z

k�1; yk�1)� ~Ahzk�1]

ykh = yk�1h + ~DhHh(zk�1; yk�1)

(4.41)

Etapa ii) Eval�ue los variables de estado mediante la ecuaci�on 4.40.

En ambas etapas la estrategia de paralelizaci�on se obtiene asignando un proce-

sador a cada paso de integraci�on h, h = 1; : : : ; h. En la Etapa ii), para evaluar

el estado en el h-�esimo paso de integraci�on, el h-�esimo procesador requiere co-

nocer el t�erminoPh

j=1 �k�1j . Este se obtiene en lg2(h) + 1 etapas secuenciales

seg�un se ilustra en el diagrama temporal de tareas de la Figura 4.8(a).

El m�etodo de Picard Desplazado se program�o en un computador paralelo

con la topolog��a de un anillo unidireccional mostrada en la Figura 4.8(b). Los re-

sultados obtenidos indican que claramente la di�cultad de convergencia se propaga

102

a trav�es del tiempo de simulaci�on. Por otro lado, el m�etodo muestra la virtud de

converger r�apidamente, 4 a 5 iteraciones cuando la simulaci�on se realiza paso a paso.

En t�erminos de la ganancia de velocidad relativa a la versi�on monoprocesador del

m�etodo, el estudio del sistema de prueba IEEE118 mediante un computador basado

en el Inmos Transputer T800/20 revela que se alcanzan valores de hasta 25 al utili-

zar 32 procesadores. Si para efectos de comparaci�on se elige el m�etodo de Newton

deshonesto la ganancia de velocidad alcanza un valor cercano a 7.

4.3 Formulaci�on y Desarrollo de la Estrategia de Paralelizaci�on

La selecci�on de un m�etodo que permita simular los transitorios electro-

mec�anicos de un sistema el�ectrico de potencia mediante un computador paralelo no

es f�acil de efectuar. Si bien las ventajas de uno u otro m�etodo pueden ser m�as claras

cuando se utiliza procesamiento serial, dada la experiencia obtenida a trav�es de este

tipo de simulaciones, el procesamiento paralelo trae consigo nuevas inc�ognitas que

di�cultan esta selecci�on. La revisi�on bibliogr�a�ca presentada en el Cap��tulo previo

permite observar que existe una gran variedad de m�etodos de simulaci�on factibles de

ser considerados, cuya e�ciencia depende en gran medida, dentro de otras cosas, de

la arquitectura del computador paralelo utilizado, el tama~no del sistema en an�alisis,

el tipo de estudio realizado y los par�ametros de simulaci�on seleccionados. En t�ermi-

nos m�as generales, la principal incertidumbre al momento de plantear el problema

de simulaci�on mediante un computador paralelo surge como resultado de la falta de

un conocimiento m�as profundo acerca de la e�ciencia de operaci�on de un algoritmo

determinado en una plataforma paralela espec���ca y, claramente, se aumenta al con-

siderar el gran n�umero de opciones de arquitecturas de procesamiento y de m�etodos

de simulaci�on.

En el caso particular del trabajo desarrollado en esta Tesis se considera la

utilizaci�on de un computador espec���co con la arquitectura de un multicomputador

escalable, el Parsytec PowerXplorer descrito en el Anexo B. En estas condiciones, el

primer problema a enfrentar consiste en de�nir el algoritmo de simulaci�on a utilizar.

Sin evidencia de que un algoritmo particular presente cualidades superiores respecto

de otros utilizados en este tipo de arquitecturas, la selecci�on del m�etodo de simulaci�on

considera las caracter��sticas particulares del m�etodo y no de forma. Similar, tanto la

103

estrategia de paralelizaci�on como los m�etodos utilizados para su realizaci�on pr�actica

se seleccionaron en base a las propiedades presentes en cada uno.

En este Cap��tulo se describe cada una de las actividades efectuadas para

de�nir el m�etodo de simulaci�on y la estrategia de paralelizaci�on a utilizar, obtener su

realizaci�on pr�actica y, ya sea en base a fundamentos te�oricos y/o resultados basados

en el an�alisis num�erico, dilucidar las ventajas y desventajas de dicha simulaci�on para-

lela. Para tal efecto, el Cap��tulo se estructur�o de la siguiente manera. Primeramente

se describen las consideraciones que llevaron a la selecci�on del m�etodo de simula-

ci�on basado en el concepto de paralelizaci�on temporal acoplada. De igual manera,

se justi�ca brevemente la utilizaci�on del m�etodo de Newton-Raphson en la soluci�on

del problema algebraico resultante. Entonces, ya que el problema se concentra en

de�nir una estrategia de paralelizaci�on apropiada para este m�etodo, cuya realizaci�on

pr�actica debe tomar en cuenta la arquitectura del computador paralelo disponible,

se plantea una soluci�on paralela basada en el m�etodo de Newton Maclaurin, cuyo

trasfondo te�orico sirve como fundamento a su utilizaci�on. Con la estrategia de pa-

ralelizaci�on ya de�nida se procede a describir los m�etodos utilizados para llevar a

cabo una realizaci�on pr�actica y e�ciente de �esta. Entonces, se describen brevemente

algunos m�etodos de descomposici�on, enfatiz�andose la Descomposici�on � y sus pro-

piedades. El concepto de balance de carga se considera de una manera muy somera,

imbuyendo s�olo en su importancia y en las propiedades del M�etodo de Asignaci�on

del Camino m�as Largo. Posteriormente, despu�es de describir las caracter��sticas de

formulaci�on y realizaci�on pr�actica, se presentan algunos detalles acerca del desarrollo

del algoritmo en el multicomputador y de su programaci�on.

4.3.1 Estrategia de paralelizaci�on

La simulaci�on din�amica realizada mediante el m�etodo de la integraci�on

trapezoidal es muy atractiva [DFaK96, Alv79], llegando a ser �esta una de las m�as

com�unmente adoptadas para resolver el problema de simulaci�on de transitorios elec-

tromec�anicos. Sus propiedades de estabilidad num�erica son particularmente apro-

piadas para simular problemas asociados a ecuaciones diferenciales que presentan

constantes de tiempo muy dis��miles entre s�� (sti� di�erential equations), tal como

es el caso presente en los sistemas el�ectricos de potencia. Los m�etodos expl��citos,

104

como el de Runge-Kutta [LCLK91] por ejemplo, tambi�en se utilizan en la simulaci�on

de transitorios electromec�anicos, siendo su principal desventaja la necesidad de se-

leccionar pasos de integraci�on peque~nos para evitar la inestabilidad num�erica en la

soluci�on. Esto lleva a tiempos de c�alculo muy poco atractivos en comparaci�on al uso

de los m�etodos impl��citos. Entonces, dada la experiencia obtenida con la integraci�on

trapezoidal, sumada a sus caracter��sticas particulares, la utilizaci�on de este m�etodo

surge como apropiada para solucionar el problema planteado.

Por otro lado, habi�endose seleccionado el m�etodo de la integraci�on tra-

pezoidal, la simulaci�on debe considerar alternativas como las basadas en esquemas

de soluci�on alternada o simult�anea y, posterior a dicha selecci�on, la posibilidad de

una formulaci�on paso a paso o bajo el concepto de paralelizaci�on temporal. Las

ventajas entre un esquema alternado y uno simult�aneo no son claras, ni siquiera

bajo la consideraci�on del procesamiento serial. Lo mismo ocurre respecto a una

formulaci�on paso a paso o a una paralela en el tiempo; sin embargo, vale la pena

realizar un par de acotaciones en consideraci�on a los estudios presentados en la li-

teratura. La paralelizaci�on temporal presenta el atractivo de que si el m�etodo de

Newton-Raphson se utiliza para efectos soluci�on, la convergencia de �este, en t�ermi-

nos del n�umero de iteraciones, pr�acticamente no se ve afectada por la dimensi�on del

problema [Alv79]. Por su parte, la principal desventaja podr��a surgir del hecho que

un m�etodo de soluci�on directo del problema lineal asociado, basado en t�ecnicas para

el tratamiento de matrices cuasivac��as, pierda e�ciencia al crecer la dimensi�on del

problema. Esto se justi�car��a por el hecho que un m�etodo de orden y simulaci�on

(inversi�on factorizada), que por simplicidad y e�ciencia no se orienta a la b�usqueda

de una eliminaci�on �optima en t�erminos de reducir la presencia de elementos distintos

de cero luego de la factorizaci�on, determine una estrategia de eliminaci�on poco apro-

piada con la consecuente p�erdida de e�ciencia en el resto de las etapas de la inversi�on

factorizada [BAH76]. En relaci�on a �esto, [Alv79] observa que cuando la simulaci�on

se obtiene mediante el concepto de paralelizaci�on temporal acoplada, tras factorizar

la correspondiente matriz Jacobiana la caracter��stica de matriz cuasivac��a se pierde;

sin embargo, tambi�en sugiere que este problema tiene soluci�on. Por otro lado, los re-

sultados obtenidos en [DFaK96] indican que el tiempo de soluci�on serial se deteriora

con el incremento de los pasos integrados simult�aneamente, pero �esto se asoci�o direc-

tamente al precondicionamiento utilizado en el m�etodo del Gradiente Conjugado (el

105

cual se utiliz�o para resolver el problema algebraico lineal asociado). Considerando

que las caracter��sticas de la paralelizaci�on temporal acoplada no han sido estudiadas

con detalle, s�olo se conoce la referencia previamente citada respecto de su utilizaci�on

en computadores paralelos, y que tal formulaci�on lleva a problemas que por dimen-

si�on son m�as apropiados para ser tratados mediante computadores paralelos, resulta

interesante plantear el problema de la simulaci�on bajo este concepto.

Debido a las consideraciones previas, el m�etodo de simulaci�on de transito-

rios electromec�anicos aqu�� utilizado se basa en el concepto de paralelizaci�on temporal

acoplada, seg�un la cual las ecuaciones diferenciales se discretizan mediante la regla

trapezoidal y se agrupan con las algebraicas en una formulaci�on extendida a trav�es

de los pasos que de�nen el per��odo de integraci�on total. Consecuentemente, la pri-

mera etapa de la simulaci�on requiere transformar el problema diferencial-algebraico

de�nido en la ecuaci�on 1.1 en uno algebraico como el de�nido en la ecuaci�on 4.22.

A su vez, habiendo considerado que el m�etodo de Newton-Raphson es un medio

apropiado para solucionar dicha ecuaci�on, el problema a enfrentar consiste en de�nir

una estrategia adecuada para llevar este m�etodo a la plataforma de computaci�on

paralela disponible. Siendo este un multicomputador, la estrategia de paralelizaci�on

propuesta es la descrita a continuaci�on.

M�etodo de Newton Maclaurin

Consid�erese el problema descrito en la ecuaci�on 4.22 y la soluci�on basada

el m�etodo de Newton-Raphson, en el cual una soluci�on estimada se reeval�ua iterati-

vamente mediante las correcciones de�nidas en el conjunto de ecuaciones algebraicas

lineales 4.26. As�umase que la matriz Jacobiana J jxk de�nida en esta ecuaci�on resulta

en una matriz permutada ~J j~xk que puede ser descompuesta como:

~J j~xk = EJ jxkEt = ~JDj~xk + ~JOj~xk (4.42)

donde E es una matriz de transformaci�on que permuta el vector de inc�ognitas alge-

braicas x en ~x = Ex ; ~JDj~xk es una matriz bloque diagonal, con tantos bloques como

n�umero de procesadores se utilicen en la simulaci�on, y los elementos de la matriz

106

~JOj~xk son los elementos en ~J j~xk fuera de los bloques diagonales de�nidos en ~JDj~xk .

Esta descomposici�on sugiere reescribir la iteraci�on descrita en la ecuaci�on 4.25 como:

~xk+1 = ~xk � fU + ( ~JDj~xk)�1 ~JOj~xkg

�1(JDj~xk)�1 ~F (~xk) (4.43)

donde ~F (~xk) = EF (xk) es el conjunto de ecuaciones permutadas. Entonces, asu-

miendo que las matrices que resultan de la descomposici�on satisfacen la propiedad:

jj( ~JDj~xk)�1 ~JOj~xk jj < 1 (4.44)

la primera inversa en la correcci�on de la ecuaci�on 4.43 puede aproximarse por su serie

de Maclaurin para obtener la iteraci�on:

~xk+1 = ~xk �

�Xi=0

�~xki (4.45)

donde � es el n�umero de t�erminos a evaluar en la serie de Maclaurin y las correcciones

por t�ermino de la serie son:

�~xki = [�( ~JDj~xk)�1JOj~xk ]

i( ~JDj~xk)�1F (~xk); i = 1; : : : ; �: (4.46)

La ecuaci�on 4.45 puede ser programada en un multicomputador con un

nivel de paralelizaci�on substancial. La inversa de ~JDj~xk se obtiene en paralelo asig-

nando un bloque a cada procesador; similarmente, las multiplicaciones de esta inversa

por la matriz de error JOj~xk son naturalmente paralelizables en acuerdo a los blo-

ques de�nidos por la partici�on dada en ~JDj~xk . La sumatoria sobre los t�erminos de

orden superior en la serie de Maclaurin, con un efecto similar al de un m�etodo de

aceleraci�on, permite mejorar la aproximaci�on a la correcci�on original del m�etodo de

Newton-Raphson (t�ermino obtenido al invertir el Jacobiano en la ecuaci�on 4.26) en

la medida que � !1.

107

Es claro que en una simulaci�on nolineal, como lo es la de los transitorios

electromec�anicos de un sistema el�ectrico de potencia, la matriz Jacobiana var��a en

iteraciones sucesivas del m�etodo de Newton-Raphson. Entonces, debe observarse

que, formalmente, el m�etodo propuesto requiere la b�usqueda de una descomposici�on

que satisfaga la propiedad descrita en la ecuaci�on 4.44 cada vez que se modi�que

la matriz Jacobiana J ; esto es, para cada J jxk tal que J jxk 6= J jxk�1 . En ausencia

de un algoritmo lo su�cientemente veloz para que la b�usqueda sucesiva de las des-

composiciones no deteriore la e�ciencia del m�etodo propuesto, esta etapa deber��a

obviarse con el �n de reducir el esfuerzo computacional. As��, parece razonable uti-

lizar la partici�on de la primera matriz Jacobiana para todas las iteraciones, aunque

�esto deteriore la convergencia del algoritmo. Tal simpli�caci�on no debe considerar-

se como extrema, puesto que una manera muy utilizada para reducir el esfuerzo

computacional del m�etodo de Newton-Raphson consiste en evaluar y factorizar la

matriz Jacobiana s�olo en presencia de cambios topol�ogicos o luego que se excede un

n�umero predeterminado de iteraciones. Este es el caso del bien conocido m�etodo

de Newton Deshonesto (VDHN: Very Dishonest Newton), en el cual J jxk = J jx0 8k

exceptuando los casos previamente mencionados. Una larga experiencia con m�etodos

de tipo Newton demuestra que el m�etodo deshonesto es el algoritmo de simulaci�on

m�as r�apido para computadores secuenciales, y por lo tanto usualmente se utiliza pa-

ra efectos de comparar el desempe~no de algoritmos paralelos. Considerando que la

versi�on del m�etodo de Newton-Maclaurin deshonesto es una versi�on simpli�cada del

m�etodo de Newton-Maclaurin, y que su utilizaci�on sobre computadores secuenciales

corresponde al m�etodo de Newton Deshonesto, el trabajo desarrollado en esta Tesis,

salvo casos especiales expl��citamente mencionados, se basa en este m�etodo.

4.3.2 M�etodos utilizados en el desarrollo de la estrategia

El algoritmo de paralelizaci�on propuesto requiere determinar, al menos

una vez en el caso del m�etodo de Newton-Maclaurin Deshonesto, una descomposici�on

para la matriz Jacobiana. Es claro que la b�usqueda de �esta debe considerar el hecho

de que si la propiedad descrita en la ecuaci�on 4.44 se satisface para una determinada

iteraci�on, entonces, cuando � !1, el vector de correcciones converge a la soluci�on

del m�etodo de Newton-Raphson para la misma iteraci�on. Esto lleva a considerar el

problema de la b�usqueda de una descomposici�on como uno de optimizaci�on, en el

108

cual la funci�on objetivo es aquella de�nida por la propiedad descrita en la ecuaci�on

4.44. Si se plantean algunos requerimientos en t�erminos del tama~no de los bloques

en ~JDj~xk , �estos corresponder��an a las restricciones del problema.

La b�usqueda de m�etodos de descomposici�on e�cientes es un t�opico de

mucho inter�es en las investigaciones relativas a sistemas el�ectricos de potencia. Esta

b�usqueda responde tanto a la necesidad de formular m�etodos apropiados para tratar

los problemas de dimensi�on presentes en algunos de los an�alisis del sistema, como

al deseo de proveer medios que permitan la utilizaci�on e�ciente y cada vez m�as

frecuente de arquitecturas basadas en procesamiento paralelo. As�� por ejemplo, es

posible hacer presente su uso a trav�es de dos grandes l��neas de aplicaci�on: el dise~no

de algoritmos num�ericos y el an�alisis y dise~no de sistemas. A continuaci�on se realiza

una breve descripci�on acerca de la utilizaci�on de descomposiciones en ambas l��neas

de aplicaci�on.

� La utilizaci�on de matrices en las formas BBDF, NBBDF, NBDF o tipo banda

fueron consideradas muy tempranamente como una necesidad para el desarrollo

de algoritmos num�ericos en aplicaciones del tipo paralelo y/o vectorial. En

[Com78] se considera que la b�usqueda de una BBDF es un recurso necesario

para la soluci�on e�ciente de los problemas algebraicos lineales encontrados en

el ujo de potencia y la simulaci�on de transitorios electromec�anicos, ambos

con soluciones obtenidas mediante el m�etodo de Newton-Raphson. Este mismo

recurso, as�� como la utilizaci�on de matrices tipo NBDF, se emplea en [DFaK96]

para resolver el �ultimo de estos problemas. Debe observarse, por ejemplo, que

el problema de obtener una BBDF con borde m��nimo dado el tama~no m�aximo

para los bloques diagonales es un problema dif��cil, con caracter��sticas similares

al problema del vendedor viajero, y para el cual no se conoce un algoritmo

de soluci�on �optima; �esto ha llevado a la b�usqueda de la BBDF a trav�es de

algoritmos heur��sticos.

� En [Ac96] se propone el uso de la Descomposici�on � para el estudio del ujo

de potencia mediante computadores paralelos. Esta aplicaci�on sirvi�o de funda-

mento para formular el algoritmo de paralelizaci�on aqu�� propuesto para simular

transitorios electromec�anicos en sistemas el�ectricos de potencia. En [Sc86] se

109

encuentra una interesante referencia respecto a la utilizaci�on de la Descompo-

sici�on �, con aplicaciones al dise~no de sistemas de control descentralizado, el

estudio de estabilidad no lineal y la coherencia entre grupos generadores. Por

otro lado, en [GS93] se considera la aplicaci�on de este tipo de descomposici�on a

la formulaci�on de algoritmos paralelos para la teor��a de control �optimo. Dado

que esta descomposici�on corresponde a uno de los m�etodos sugeridos para la

realizaci�on pr�actica de la estrategia de paralelizaci�on propuesta, posteriormente

se discutir�an sus aspectos m�as relevantes.

� En [MQ92] se considera otra alternativa de descomposici�on. Bajo una pers-

pectiva de aplicaciones, los autores sugieren la descomposici�on del sistema de

transmisi�on en subsistemas fuertemente acoplados entre s��. Esto permitir��a

que en determinados estudios la representaci�on del sistema se simpli�que tras

utilizar, seg�un corresponda, los subsistemas representados como tales o como

equivalentes. En t�erminos generales, el algoritmo consiste en asignar las barras

del sistema a un espacio de dimensi�on igual al n�umero de subsistemas buscados

(etapa denominada ubicaci�on); entonces las barras el�ectricamente distantes se

asignan a diferentes subsistemas (etapa denominada partici�on), para �nalmente

identi�car particiones inapropiadas, tales como generadores en isla, desacopla-

miento de las barras de transformadores, etc., y transformar los subsistemas en

unos m�as pr�acticos (etapa denominada transformaci�on).

� Una manera diferente de descomponer el sistema considera la agrupaci�on de

unidades generadoras a trav�es del concepto de coherencia en la respuesta tem-

poral de �estas [Rud94, Cho82]. Esta estrategia de descomposici�on ha sido muy

utilizada para el an�alisis de estabilidad, el dise~no de estabilizadores para mi-

tigar el problema de la estabilidad a perturbaci�on peque~na y la reducci�on de

modelos din�amicos para prop�ositos generales. Su aplicaci�on en la simulaci�on

paralela de transitorios electromec�anicos se sugiri�o para incrementar la e�cien-

cia en m�etodos como la relajaci�on funcional [CI90, HB97] y los tipo Newton

[ZB92].

� Finalmente, las descomposiciones son frecuentemente consideradas para el di-

se~no de sistemas de control descentralizado, el cual, en el caso de los sistemas

el�ectricos de potencia, presenta la caracter��stica de ser m�as viable que el cen-

tralizado. En [MT94] se considera la descomposici�on del sistema el�ectrico de

110

potencia para reducir el esfuerzo computacional requerido en el dise~no de es-

trategias de control de tensi�on. La b�usqueda de subsistemas se plantea como

un problema de optimizaci�on cuya soluci�on se obtiene a partir de un algoritmo

heur��stico basado en una versi�on paralela de la solidi�caci�on emulada.

Descomposici�on �

El objetivo de la descomposici�on, en el contexto del problema aqu�� plan-

teado, puede ser visto como la b�usqueda de subsistemas que agrupen variables fuer-

temente acopladas entre s�� pero d�ebilmente acopladas con las variables del resto de

los subsistemas. De entre la diversidad de m�etodos de descomposici�on presentes en

la literatura se ha seleccionado la Descomposici�on � por las siguientes tres razones:

a) Esta descomposici�on puede ser considerada de extrema simplicidad.

b) Provee un medio de descomposici�on con fundamentos en la teor��a de grafos.

c) Los resultados obtenidos con esta descomposici�on presentan una conexi�on ca-

si inmediata con los objetivos requeridos por la estrategia de paralelizaci�on

propuesta.

Estas caracter��sticas pueden ser mejor comprendidas a partir de las si-

guientes consideraciones. La complejidad asociada al proceso de descomposici�on se

puede estimar se~nalando que una manera muy simple de descomponer J7 consiste

en llevar a cabo la operaci�on EJEt, y entonces rescatar los elementos que quedan

dentro de los bloques diagonales buscados. Ciertamente que este m�etodo de descom-

posici�on no asegura que los elementos fuera de los bloques diagonales de�nidos en~JD sean peque~nos en magnitud, ni tampoco que aquellos que permanecen en �esta

sean grandes en magnitud. Entonces, el n�umero de matrices de permutaci�on que

deben ser consideradas para la b�usqueda de una descomposici�on que cuasi minimice

jj( ~JD)�1 ~JOjj podr��a llevar a esfuerzos computacionales inaceptables.

7A menos que se indique lo contrario, J denota a J jxk y, similarmente, ~JD denotar�a a ~JDj~xk y~JO a ~JO j~xk .

111

En t�erminos de un grafo, encontrar una matriz de permutaci�on E tal que~J j~xk = EJ jxkE

t pueda ser particionada en R � R bloques y descompuesta como~JDj~xk + ~JOj~xk , equivale a descomponer el digrafo Gk correspondiente a J jxk en R

subgrafos Gkr , r 2 R = f1; 2; : : : ; Rg, de modo tal que las ramas que interconec-

tan los subgrafos son los elementos de J jxk con magnitud menor o igual a �. Tal

descomposici�on, D�Gk

de Gk, se denomina una Descomposici�on � [Sc86].

Finalmente, la consideraci�on acerca del nexo con los objetivos requeridos

por el algoritmo de Newton Maclaurin se puede formalizar a trav�es de las siguientes

de�niciones y propiedades; las cuales, sin p�erdida de generalidad, hacen referencia a

la matriz Jacobiana del problema de la simulaci�on aqu�� considerado:

De�nici�on 1. Sea J 2 Rh(m+n)�h(m+n) una matriz constante y E una matriz de

permutaci�on tal que ~J = EJEt es la matriz J permutada en sus �las y columnas.

La matrices involucradas en la Descomposici�on � de ~J como ~JD + ~JO satisfacen las

siguientes propiedades:

� Propiedad 1. Todos los elementos de ~JO tienen magnitud igual o menor a �.

� Propiedad 2. Si � es el m�aximo del conjunto de n�umeros de elementos distintos

de cero en las h(m+n) �las de la matriz ~JO, una cota superior para jj ~JOjj1 es:

jj ~J � ~JDjj1 = jj ~JOjj1 � ��: (4.47)

Estas propiedades tienen una importancia especial si se considera que

la convergencia del m�etodo utilizado para evaluar la k-�esima correcci�on puede ga-

rantizarse en la medida que la descomposici�on satisfaga la propiedad descrita en la

ecuaci�on 4.44.

Por otro lado, respecto de este mismo m�etodo, es posible asumir que D�G0

pertenece a un conjunto especial SD que satisface la propiedad:

� Propiedad 3.

SD = f DGk = jj(~JDj~xk)

�1 ~JOj~xk jj < 1 g 8k; (4.48)

112

y entonces, bajo tal supuesto, la b�usqueda de la descomposici�on se requiere s�olo

al comienzo del m�etodo propuesto. Sin duda que si la propiedad descrita en la

ecuaci�on 4.48 se satisface, la b�usqueda de una sola descomposici�on acarrea bene�cios

considerables respecto del tiempo de procesamiento. Por el contrario, de no ser as��,

el uso de una sola descomposici�on podr��a deteriorar la convergencia con el respectivo

incremento en el tiempo de c�omputo. Al respecto, el siguiente comentario resulta de

inter�es:

� En t�erminos del modelo del sistema el�ectrico de potencia aqu�� utilizado, y en

ausencia de cambios topol�ogicos, s�olo los t�erminos no lineales que relacionan las

tensiones y corrientes en coordenadas d� q al estado, BsIdq

y BsVdq

, y la matriz

de transformaci�on de Park, T s, son sujetas a cambios entre iteraciones. En el

caso particular en que no existan cambios topol�ogicos en la red, la descompo-

sici�on que resulta de agrupar unidades generadoras tras la descomposici�on del

sistema de transmisi�on lleva a una matriz ~JOj~xk constante 8k, y los t�erminos no-

lineales quedan repartidos entre los bloques diagonales de la matriz ~JDj~xk 8k.

Entonces, puede observarse que D�Gk

= D�G0 si cada uno de los elementos en

los t�erminos nolineales supera en magnitud al mismo elemento evaluado en la

primera iteraci�on; es decir,

D�Gk

= D�G0 8k > 0 =

jbsIdq jk j > jbsIdq j0j 8 bsIdqjbsVdqjk j > jbsVdq j0 j 8 bsVdqjtsjk j > jtsj0j 8 ts

(4.49)

donde bsI;Vdq y ts designan los elementos de Bs

I;Vdqy T s, respectivamente.

Balance

La e�ciencia con la cual el m�etodo de paralelizaci�on propuesto aproxima

la soluci�on dada por el m�etodo de Newton-Raphson depende de las propiedades

intr��nsecas del sistema, principalmente en lo que respecta al grado de acoplamiento

presente en �este, y de la habilidad que tenga la Descomposici�on � para identi�car tales

propiedades. Cuando la aplicaci�on se concentra en tomar ventaja de las capacidades

disponibles en las arquitecturas de procesamiento paralelo surge la necesidad de

considerar un aspecto como lo es el balance de carga entre los procesadores. Dicho

balance es de gran importancia y ha sido tempranamente considerado, tanto en el

113

desarrollo de las primeras aplicaciones de procesamiento paralelo como tambi�en en

aquellas m�as actuales orientadas al an�alisis de sistemas el�ectricos de potencia.

No todos los algoritmos de descomposici�on encontrados a trav�es de la lite-

ratura consideran el balance de carga, ya sea por que tal balance no se requiere para

los objetivos planteados o simplemente por el hecho de ser considerado de relativa

di�cultad. As�� por ejemplo, el algoritmo de la Descomposici�on � utilizado en [Ac96]

no asegura que los bloques obtenidos de dicha descomposici�on presenten un balance

en t�erminos de la cantidad de nodos incluidos en cada uno. Tras el proceso de des-

composici�on de un sistema de transmisi�on usualmente se obtienen subsistemas que

incorporan un s�olo nodo, situaci�on que desde el punto de vista del procesamiento pa-

ralelo no es atractiva. La necesidad de contar con un m�etodo que permita balancear

autom�aticamente la dimensi�on de los bloques obtenidos del proceso de descomposi-

ci�on, y por ende la carga entre los procesadores, es m�as evidente cuando se requiere

del an�alisis en l��nea de un sistema el�ectrico de potencia.

Con estas consideraciones, y desde un punto de vista general, es posible

argumentar que la e�ciencia de la estrategia paralela aqu�� utilizada se asocia al

error de proximidad entre las matrices original ( ~J) y bloque diagonal ( ~JD), y al

balance de los bloques en �esta �ultima. Para este punto se hace necesario mencionar

que si la t�ecnica utilizada para manipular las matrices involucradas en el problema,

principalmente en lo que respecta a la inversi�on de la matriz ~JD, es una basada en

aprovechar su caracter��stica cuasivac��a, el equilibrio en la dimensi�on de sus bloques

no asegura el balance de carga en el proceso de inversi�on factorizada. Esto se debe a

que en este tipo de t�ecnicas existe una diversidad de otros factores involucrados en el

tiempo requerido para la soluci�on, entre los que es posible mencionar el n�umero de

elementos distintos de cero, previo al proceso de factorizaci�on y luego de �este, y la

di�cultad asociada al proceso de eliminaci�on Gaussiana (n�umero de conexiones entre

pares de nodos y relaci�on entre las conexiones). Ciertamente que el tomar en cuenta

todos los factores involucrados en un proceso de inversi�on de este tipo incrementa

la complejidad de un algoritmo de balance, consid�erese al menos que el n�umero

de elementos distintos de cero luego de la factorizaci�on s�olo puede de�nirse tras

simular el proceso de eliminaci�on. As��, para lograr un equilibrio entre la simplicidad

del algoritmo de balance y su precisi�on se considera como apropiado el obtenerlo a

114

partir de la dimensi�on de los bloques en la matriz ~JD.

El algoritmo de balance aqu�� utilizado se basa en el M�etodo del Camino

m�as Largo, el cual pudo ser incorporado con relativa facilidad al programa desa-

rrollado y permitir as�� su autonom��a total. Bajo la consideraci�on de que el tiempo

necesario para procesar un bloque depende s�olo y de manera directamente proporcio-

nal a la dimensi�on de �este, el M�etodo del Camino m�as Largo posee la propiedad de

que el balance de carga resultante lleva a una estrategia de asignaci�on cuasi�optima en

t�erminos del tiempo total requerido para la soluci�on paralela [Kau74, RCG72]. Para

su utilizaci�on se debe considerar que las tareas a asignar deben ser representadas por

un modelo similar al DAG descrito en el Cap��tulo II. Claramente, previo a la etapa

de balance se debe obtener una Descomposici�on � de J que genere las tareas a asig-

nar; y cabe destacar que dicha etapa de descomposici�on no deber��a culminar hasta

que la dimensi�on de los bloques independientes en ~JD sea menor o igual a , el ��ndi-

ce de balance deseado. Para una aplicaci�on e�ciente en t�erminos de procesamiento

paralelo se considera como apropiado seleccionar:

=h(m+ n)

p: (4.50)

N�otese que h(m + n) es la dimensi�on de la matriz Jacobiana requerida para la si-

mulaci�on y p el n�umero de procesadores disponibles. En el caso del equilibrio de

la dimensi�on de los bloques en ~JD, el M�etodo del Camino m�as Largo simplemente

asigna los p mayores bloques como carga inicial; entonces, hasta agotar el resto de

los bloques, el mayor de �estos se asigna al procesador con menos carga.

4.3.3 Realizaci�on del m�etodo en un multicomputador

Tras la de�nici�on y descripci�on de los m�etodos utilizados para la simu-

laci�on se describir�a la forma en que �estos fueron llevados al multicomputador. En

el Figura 4.9 se muestra un diagrama que representa la operaci�on de un procesador

y la interacci�on con el resto de los procesadores del multicomputador, e incluye el

diagrama de ujo con las etapas de la simulaci�on. Aquellas etapas que consisten de la

lectura de datos y presentaci�on de resultados son ejecutadas por un s�olo procesador,

115

Otrosprocesadores

P1

Ultimo término de la serie

?

Evaluación del siguiente términode la serie de Maclaurin

Recibo de correcciones desdeel resto de los procesadores

Envío de correccionesal resto de los procesadores

NO

Despliegue de la simulación

ε

al resto de los procesadoresEnvío de datos

y las funciones de errorFomulación del Jacobiano

en el correspondiente subproblemaBifactorización y substitución

Evaluación del Jacobiano

y las funciones de error

Evaluación de los términosde la serie de Maclaurin

con orden mayor o igual a 1

del sistema y la descomposiciónEntrada de datos

NO

?Convergió a la solución

SISI

Obtención del subproblema en basea la partición dada por la

Descomposición Balanceada

Figura 4.9: Diagrama de ujo para la simulaci�on de transitorios electromec�anicos

mediante el multicomputador Parsytec PowerXplorer

el resto las ejecutan todos. Entonces, s�olo un procesador lee los datos desde el disco

del servidor y luego de almacenarlos en su memoria local los transmite al resto de

los procesadores. Una vez que estos procesadores reciben la informaci�on comienza a

ejecutarse, simult�aneamente en todos los procesadores, la misma tarea de formula-

ci�on del problema de simulaci�on. Los subproblemas en cada procesador se obtienen,

tambi�en en forma simult�anea, en acuerdo a la Descomposici�on �. La paralelizaci�on

efectiva se obtiene procesando s�olo el subproblema asignado; as��, cada procesador bi-

factoriza s�olo uno de los p bloques en ~JDj~x0. La soluci�on obtenida del proceso de subs-

tituci�on, la cual equivale a evaluar la correcci�on asociada al primer t�ermino (matriz

identidad) de la serie de Maclaurin, �~x0 = ��~x00, donde �~x00 = U( ~JDj~x0)�1 ~F (~x0),

tambi�en se realiza en una forma simult�anea e independiente; n�otese que en ese mo-

mento cada procesador contiene solo una de las p-correcciones, la correcci�on propia.

Para evaluar una nueva correcci�on, �~x0 = �~x0 � �~x01, mejorada con el siguiente

116

t�ermino de la serie, �~x01 = �( ~JDj~x0)�1 ~JOj~xk�~x00, los procesadores requieren conocer

el estimado para el t�ermino reci�en procesado. Esto implica que, secuencialmente, ca-

da procesador deber�a transferir la correcci�on propia al resto de los procesadores. Esta

tarea se repite para evaluar �~x0 = �~x0 ��~x02, donde �~x02 = �( ~JDj~x0)�1 ~JOj~xk�~x01,

y as�� hasta que se eval�uan todos los t�erminos de la serie. Despu�es de evaluar la

correcci�on para ~x0, cada procesador obtiene el mismo nuevo estimado ~x1, reeval�ua la

funci�on de error ~F (~x1) y veri�ca la convergencia; entonces, si es necesario, prepara

el Jacobiano ~J y reeval�ua sus bloques seg�un la partici�on (Descomposici�on � Balance-

ada) elegida inicialmente. Para esta etapa el procesador ha renovado la informaci�on

asociada a su subproblema, puede comenzar una nueva iteraci�on, similar a la descrita

previamente, y repetirla hasta lograr la convergencia. Cuando �esta se alcanza, un

procesador se encarga de enviar los resultados al servidor de tal manera que �este los

presente en la pantalla.

La programaci�on de la simulaci�on se realiz�o en lenguaje C bajo ambiente

Parix, un sistema operativo tipo UNIX provisto para el multicomputador Parsytec

PowerXplorer. Excepto por el uso de subrutinas para reconocimiento del hardwa-

re del multicomputador e intercomunicaci�on de sus procesadores, el resto del c�odigo

programado utiliza las sentencias disponibles en el ANSI C. Dentro de las caracter��sti-

cas m�as relevantes del programa se destaca el uso de subrutinas y su agrupaci�on en

archivos de texto independientes compilables mediante la inclusi�on de c�odigos con

directivas #include, el uso de punteros para un traspaso e�ciente de la informaci�on

entre subrutinas, de estructuras de datos para una manipulaci�on ordenada de la in-

formaci�on y de asignaci�on de memoria din�amica para una mejor utilizaci�on de los

recursos del computador y para proveer de la exibilidad necesaria para el estudio

de sistemas de gran tama~no. Estas caracter��sticas se describen en el Anexo C.

117

V. ESTUDIOS DE SIMULACION Y CONCLUSIONES

5.1 Estudios de Simulaci�on Paralela

Los resultados presentados a continuaci�on se obtienen de la simulaci�on de

transitorios electromec�anicos en sistemas el�ectricos de potencia, e ilustran algunas

caracter��sticas del algoritmo de simulaci�on propuesto bajo las consideraciones del

programa desarrollado y de su ejecuci�on en el multicomputador Parsytec PowerX-

plorer. Las pruebas seleccionadas tienen como objetivo identi�car las ventajas y

desventajas en diversas etapas de la simulaci�on basada en el concepto de paraleli-

zaci�on temporal, en la estrategia de paralelizaci�on, los m�etodos empleados para su

realizaci�on y el uso del multicomputador en los estudios de simulaci�on. La siguiente

enumeraci�on describe las caracter��sticas y la motivaci�on de los estudios.

a) En primer lugar se eval�ua la simulaci�on basada en el concepto de paralelizaci�on

temporal. Este estudio se realiza en un s�olo procesador y permite determinar el

tiempo de c�alculo que se requiere en las principales etapas de simulaci�on como

una funci�on del n�umero de pasos integrados simult�aneamente. Entonces, dado

que la simulaci�on basada en el m�etodo de Newton Deshonesto se conoce como el

mejor algoritmo serial, y que �esta es un caso particular de la simulaci�on basada

en el concepto de paralelizaci�on temporal, este resultado permite determinar el

valor de T �(d) en las ecuaciones 2.1 y 2.2. Aqu�� d es un valor que dice relaci�on

con la dimensi�on del sistema en estudio, pero no est�a expl��citamente de�nido1.

b) A continuaci�on se eval�uan los m�etodos utilizados para formular la soluci�on

basada en el m�etodo de Newton-Maclaurin. El estudio comienza con el an�alisis

de la Descomposici�on �. Para una simulaci�on t��pica se calcula la norma de las

matrices involucradas en la descomposici�on de ~J como ~JD + ~JO. El inter�es se

concentra en explorar si la descomposici�on satisface la condici�on su�ciente para

la convergencia del m�etodo. Posteriormente se estudia la capacidad de balance

del M�etodo del Camino m�as Largo. Esta se analiza en t�erminos de la dimensi�on

1Es claro que la dimensi�on de un sistema el�ectrico de potencia no puede de�nirse en t�erminos

generales de manera simple, pues depende de factores como el n�umero de unidades generadoras,

variables de estado por unidad, barras, l��neas, etc.

118

de los bloques en ~JD. Tambi�en se eval�uan los tiempos de procesamiento de la

inversi�on bifactorizada en cada procesador, permitiendo observar si el balance

simpli�cado puede ser utilizado en el caso que las matrices se traten mediante

esquemas que aprovechen de su estructura cuasivac��a [BAH76].

c) La utilizaci�on del procesamiento paralelo se eval�ua mediante el c�alculo de los

��ndices de desempe~no. Los estudios se basan en la simulaci�on paso a paso, la

cual result�o ser m�as efectiva que la simulaci�on basada en el concepto de parale-

lizaci�on temporal. Se consideran estudios en diferentes procesadores y en cada

caso se eval�uan diferentes n�umeros de t�erminos de la serie de Maclaurin hasta

alcanzar la convergencia en el mismo n�umero de iteraciones que el m�etodo de

Newton Deshonesto. Adicionalmente, estos resultados se utilizan para deter-

minar el n�umero de t�erminos que debe evaluarse para obtener resultados m�as

e�cientes. Se estudian dos casos de simulaci�on obtenidos a partir de sistemas

diferentes y cuya dimensi�on dista considerablemente, permitiendo as�� concluir

acerca de la utilizaci�on apropiada del procesamiento paralelo.

d) En la �ultima prueba se eval�ua la estrategia de paralelizaci�on en el an�alisis de

problemas de dimensi�on elevada que, por falta de sistemas adecuados para su

formulaci�on a partir de simulaciones paso a paso, se obtienen de la simulaci�on

basada en el concepto de paralelizaci�on temporal. El objetivo de este estudio

consiste en extrapolar, con el debido cuidado, las ventajas de la estrategia

paralela en simulaciones paso a paso de sistemas de mayor dimensi�on. Los

problemas se obtienen al resolver concurrentemente un n�umero apropiado de

pasos consecutivos. Los problemas resultantes son equivalentes en t�erminos

de tipo y dimensi�on a aquellos que resultan de la simulaci�on paso a paso de

sistemas de gran porte. A su vez, la principal diferencia se concentra en que

los coe�cientes de las matrices asociadas se obtienen de problemas diferentes.

La mayor��a de los resultados se obtienen de estudios de simulaci�on con

un modelo simpli�cado del Sistema Interconectado Central chileno (SIC). Esto se

motiv�o por el hecho de que el SIC corresponde a un sistema real, cuyos datos pro-

vienen de estudios din�amicos previamente realizados por el Grupo de Potencia de la

Universidad Cat�olica de Chile, lo que permite que los resultados re ejen este hecho.

En el caso particular del estudio mencionado en el ��tem 5.1.3 se consider�o necesario

119

Tabla 5.1: Caracter��sticas de la representaci�on utilizada para el SIC (A~no 1992)

Demanda total (MW) 2312,8

Suministro total (MW) 2454,9

Unidades generadoras (M) 14

Consumos 24

Barras (N) 94

L��neas de transmisi�on 66

Transformadores 53

Dispositivos en derivaci�on 13

obtener resultados en base al sistema de prueba IEEE300. A diferencia de la repre-

sentaci�on utilizada para el SIC, los datos din�amicos del sistema de prueba IEEE300

fueron obtenidos de la literatura en base a los valores de potencia nominal estimados

para sus m�aquinas. Su utilizaci�on en los estudios de simulaci�on paralela se debe al

hecho de que la dimensi�on de este sistema es considerablemente mayor a la del SIC,

lo cual permite evaluar virtudes del procesamiento paralelo que no pueden observarse

dada la dimensi�on relativamente peque~na del modelo disponible del SIC.

Sistema Interconectado Central Chileno

El SIC posee una estructura longitudinal que se extiende desde la comuna

de TalTal, ubicada en la II regi�on, hasta la provincia de Chilo�e. La representaci�on

del SIC aqu�� utilizada corresponde a un modelo simpli�cado que se emple�o en el

estudio de la operaci�on del a~no 1992 y cuyas caracter��sticas generales se describen

en la Tabla 5.1.

Los niveles de tensi�on considerados en la representaci�on del SIC se resu-

men en la Tabla 5.2. Las 14 unidades generadoras2 representadas din�amicamente

se enumeran en la Tabla 5.3. Cada generador s��ncrono se describe por un modelo

de tercer orden que representa las din�amicas en el rotor y en el circuito de campo.

2La unidad Concepci�on opera como condensador s��ncrono.

120

Tabla 5.2: Niveles de tensi�on considerados en la representaci�on SIC

Nivel Tensi�on (kV)

Transmisi�on 154; 220 y 500

Subtransmisi�on 66; 69; 110 y 115

Distribuci�on 12; 13,2 y 13,8

Tabla 5.3: Caracter��sticas de operaci�on de las unidades generadoras representadas

din�amicamente en el modelo del SIC

Unidad Generaci�on (MVA) Factor de potencia Tensi�on nominal (kV)

Rapel 333,1 0,961 13,8

Sauzal 49,11 0,977 13,2

Sauzalito 7,07 0,990 13,8

Cipreces 103,1 0,969 13,2

Isla 68,1 0,969 13,8

Pehuenche 469,58 0,958 13,8

Colb�un 465.91 0,944 13,8

Machicura 100,18 0,948 13,8

Toro 341,48 0,937 13,8

Antuco 314,56 0,954 13,8

Abanico 43,74 0,983 13,8

Concepci�on 7,60 0 13,8

Canutillar 130 0,969 13,8

Alfalfal 157,34 0,890 12

Todos estos generadores incluyen un sistema de excitaci�on cuyo modelo simpli�cado

representa la din�amica del regulador autom�atico de tensi�on. Las cargas se represen-

tan por medio de impedancias constantes y se agregan a la matriz de admitancia

nodal. En todos los estudios presentados se consider�o como perturbaci�on la salida

del circuito 2 entre las barras de 500 kV en Colb�un y Alto-Jahuel.

121

5.1.1 Evaluaci�on de la simulaci�on basada en el concepto de paraleli-

zaci�on temporal acoplada

La primera prueba eval�ua el m�etodo de simulaci�on basado en el concepto

de paralelizaci�on temporal acoplada. Para tal efecto se formulan simulaciones con

diferentes n�umeros de pasos de integraci�on y en cada una dichos pasos se integran

concurrentemente. En todos los estudios considerados en el Cap��tulo se iter�o hasta

lograr un error menor o igual a 0,001 unidades en cada una de las funciones in-

corporadas en ~F (~xk). El Jacobiano se mantiene constante al iterar y por ende la

descomposici�on tambi�en. El paso de integraci�on y el per��odo de simulaci�on var��an y

se especi�can para cada caso. En el estudio en cuesti�on se seleccion�o un paso cons-

tante e igual a �t = 0; 02 seg. y s�olo se utiliz�o un procesador del multicomputador.

En la Figura 5.1 se presentan los tiempos requeridos por las diferentes

etapas de la simulaci�on como una funci�on del n�umero de pasos integrados concurren-

temente. Como puede observarse, el tiempo de procesamiento aumenta de manera

proporcional al incrementar el n�umero de pasos integrados concurrentemente, ex-

cepto para cada una de las etapas involucradas en la inversi�on bifactorizada, cuyo

tiempo de procesamiento crece de manera exponencial, por as�� decirlo, llegando a

tomar valores inaceptables. Otra excepci�on es la preparaci�on de datos, la cual inclu-

ye la construcci�on del modelo multim�aquinas, la matriz Jacobiana y las funciones de

error, pero no la evaluaci�on de los elementos dependientes de la soluci�on actual xk.

El tiempo requerido por esta etapa crece de manera insigni�cante al incrementar los

pasos integrados simult�aneamente. Tambi�en debe destacarse que las etapas de la in-

versi�on bifactorizada toman un gran porcentaje de la simulaci�on. Esta caracter��stica

es evidente en lo que respecta a la simulaci�on basada en el concepto de paralelizaci�on

temporal; para el caso de la simulaci�on paso a paso, �esto puede ser inferido a partir

de los tiempos asociados a reevaluar el Jacobiano y a la inversi�on como tal.

Los resultados obtenidos permiten concluir que este tipo de simulaci�on no

es efectivo, al menos bajo la consideraci�on de una soluci�on directa que aproveche la

estructura cuasivac��a del Jacobiano, porque el tiempo de procesamiento incrementa

en un factor mayor o igual al n�umero de pasos integrados concurrentemente; n�otese

que los resultados s�olo re ejan las cualidades del m�etodo de simulaci�on seleccionado.

122

0 5 10 15 200

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45Evaluación de la paralelización temporal acoplada

Número de pasos integrados concurrentemente

Tie

mpo

de

proc

esam

ient

o [s

eg.]

(a) Preparaci�on de datos: J jx0 , F (x0)

y x0 (�) y subproblemas (�)

0 5 10 15 200

20

40

60

80

100

120

140

160

180Evaluación de la paralelización temporal acoplada

Número de pasos integrados concurrentemente

Tie

mpo

de

proc

esam

ient

o [s

eg.]

(b) Inversi�on: orden y simulaci�on (�),

bifactorizaci�on (�) y substituci�on (�)

0 5 10 15 200

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06Evaluación de la paralelización temporal acoplada

Número de pasos integrados concurrentemente

Tie

mpo

de

proc

esam

ient

o [s

eg.]

(c) Correcci�on (�) y evaluaciones de

F (xk) (�) y de la convergencia (�)

0 5 10 15 200

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05Evaluación de la paralelización temporal acoplada

Número de pasos integrados concurrentemente

Tie

mpo

de

proc

esam

ient

o [s

eg.]

(d) Evaluaci�on de J jx1 (�) y de los

bloques en el subproblema (�)

Figura 5.1: Tiempo CPU por etapa de la simulaci�on v=s n�umero de pasos integrados

simult�aneamente. Estudio de simulaci�on del SIC mediante un multicomputador

5.1.2 Evaluaci�on de los m�etodos utilizados para el desarrollo de la

estrategia de paralelizaci�on

Previo a evaluar las ventajas y desventajas de la estrategia de paraleliza-

ci�on propuesta se evaluar�an los m�etodos utilizados para su desarrollo.

123

Tabla 5.4: Normas para evaluar la convergencia del m�etodo de Newton-Maclaurin

No Procs. jjJ jj1 jjJDjj1 jjfJDg�1jj1 jjJOjj1 jjfJDg�1JOjj1

1 3042; 7 - - - -

2 - 3042; 7 184:3490 28:1405 33:1937

8 - 3042; 7 184:3490 130:6525 35:3511

Evaluaci�on de la Descomposici�on �

La siguiente prueba eval�ua si la Descomposici�on � satisface la condici�on

de su�ciencia para convergencia en la etapa de inversi�on de un estudio particular. El

proceso de descomposici�on del Jacobiano incluye la etapa de balance basada en el

M�etodo del Camino m�as Largo con el �n de obtener un resultado realista en t�erminos

de los requerimientos asociados a la descomposici�on. Para el caso en estudio el paso

de integraci�on seleccionado es igual a �t = 0; 02 seg. y la ventana de integraci�on, o

tiempo de integraci�on simult�anea, es tf = 0; 04 seg. En esta prueba as�� como en otras

que requieren de la descomposici�on se considera su obtenci�on a partir del Jacobiano

J jx0 previamente escalado por los elementos en su diagonal. De esta forma es posible

superar los inconvenientes asociados a la descomposici�on del Jacobiano en su forma

natural, la cual por lo general no resulta en una aplicaci�on apropiada [GZc98]. Los

resultados obtenidos de la Descomposici�on � se eval�uan en t�erminos de la norma

in�nita (jj � jj1) y se incluyen en la Tabla 5.4. Se considera que la descomposici�on se

obtiene para una simulaci�on a ejecutar sobre 2 y 8 procesadores.

De la Tabla 5.4 se observa que la condici�on su�ciente para la convergencia

en la etapa de inversi�on no es alcanzada. Sin embargo, puesto que dicha condici�on es

del tipo su�ciente y no necesaria, tal resultado no implica que la serie de Maclaurin

diverja. Esto se debe a que la norma es s�olo una cota superior utilizada para re ejar

las propiedades de las matrices descompuestas.

Las matrices ilustradas en la Figura 5.2, obtenidas del estudio en an�alisis,

son de inter�es general. En la Figura 5.2(a) se observa el Jacobiano requerido para la

simulaci�on. En las Figuras 5.2(b) y 5.2(c) se muestra, respectivamente, el Jacobiano

124

0 100 200 300 400 500 600

0

100

200

300

400

500

600

nz = 3120

(a) Matriz Jacobiana J

0 100 200 300 400 500 600

0

100

200

300

400

500

600

nz = 3032

(b) ~JD (2 procesadores)

0 100 200 300 400 500 600

0

100

200

300

400

500

600

nz = 88

(c) ~J0 (2 procesadores)

0 100 200 300 400 500 600

0

100

200

300

400

500

600

nz = 2744

(d) ~JD (8 procesadores)

0 100 200 300 400 500 600

0

100

200

300

400

500

600

nz = 376

(e) ~J0 (8 procesadores)

Figura 5.2: Descomposiciones del Jacobiano para procesamiento paralelo. Estudio

de simulaci�on del SIC mediante un multicomputador

125

Concepción

Sauzal

Cipreses

Isla

Colbún

El Toro

Abanico

Canutillar

Antuco

Sauzalito

Pehuenche

Machicura

Rapel

Alfalfal

(a) 2 procesadores

X Región

Región Metropolitana

VI Región

VII Región

VIII Región

IX Región

Concepción

Sauzal

Cipreses

Isla

Colbún

El Toro

Abanico

Canutillar

Antuco

Sauzalito

Pehuenche

Machicura

Rapel

Alfalfal

(b) 8 procesadores

Figura 5.3: Grupos de unidades generadoras obtenidos mediante la Descomposici�on

� Balanceada. Estudio de simulaci�on del SIC mediante un multicomputador

permutado y descompuesto en las matrices bloque diagonal y aquella con los ele-

mentos fuera de los bloques diagonales. La descomposici�on se realiz�o considerando

la utilizaci�on de 2 elementos de procesamiento. Por su parte, en las Figuras 5.2(d)

y 5.2(e) se observan las matrices obtenidas de la descomposici�on considerando la

utilizaci�on de 8 procesadores. Puede notarse que las matrices obtenidas de la des-

composici�on guardan alguna simetr��a; �esto sugiri�o analizar las descomposiciones para

saber cuales son las agrupaciones resultantes. La Descomposici�on � distribuy�o los

nodos de una manera tal que los bloques agrupan las variables por unidad generadora

y por trayectoria (las variables que de�nen una trayectoria se mantienen en el mismo

bloque), situaci�on que equivale a obtener la descomposici�on formando subredes que

agrupan unidades generadoras.

La Figura 5.3 muestra la ubicaci�on geogr�a�ca aproximada de las unidades

generadoras del SIC, la cual se utiliza para representar gr�a�camente las descompo-

126

Tabla 5.5: Dispositivos eliminados para obtener una descomposici�on en dos bloques

(el n�umero entre par�entesis es el n�umero de dispositivos en paralelo)

Barras del enlace Nombres de las barras Dispositivo

20 - 23 RAPEPMMA - RAPEPM1A Transformador

22 - 25 RAPEPMMB - RAPEPM3B Transformador

20 - 24 RAPEPMMA - RAPEPM2A Transformador

22 - 26 RAPEPMMB - RAPEPM4B Transformador

28 - 34 JAHUE220 - AJAPM110 Transformador

38 - 40 SAUZA110 - SAUZ132S Transformador

58 - 64 COLBU220 - CHARR220 L��nea (2 circuitos)

75 - 79 CONCE154 - CON1PM66 Transformador (3)

siciones obtenidas. As��, en las Figuras 5.3(a) y 5.3(b) se muestran, respectivamente,

los grupos de unidades generadoras correspondientes a las descomposiciones en dos

y ocho bloques. Adicionalmente, en la Tabla 5.5 se indican los dispositivos, l��neas

o transformadores, que debieron ser eliminados para obtener la descomposici�on en

dos bloques. Resulta interesante observar que la forma en que la Descomposici�on

� agrup�o las variables es similar, en el sentido de agrupar unidades generadoras, al

que se obtiene utilizando m�etodos basados en la coherencia de la respuesta temporal

[RPnB81, CI90, Cho82].

Evaluaci�on del balance basado en el M�etodo del Camino m�as Largo

Para evaluar el desempe~no del algoritmo de balance basado en el M�etodo

del Camino m�as Largo se determin�o el tiempo de procesamiento consumido en una

inversi�on bifactorizada t��pica. El paso de integraci�on seleccionado fue �t = 0; 015

seg. y el per��odo de integraci�on tf = 0; 6 seg. Los resultados presentados en la Tabla

5.6 muestran el consumo de tiempo en las etapas de orden y simulaci�on, bifactori-

zaci�on e inversi�on (sin substituci�on) para una operaci�on de inversi�on bifactorizada

sobre cuatro procesadores; adicionalmente, se incluye la dimensi�on de los bloques en

la matriz ~JD, la desviaci�on porcentual respecto del ��ndice de balance deseado � y

la desviaci�on porcentual respecto del tiempo de inversi�on promedio ��tI .

127

Tabla 5.6: Balance de los bloques y tiempos requeridos para una etapa de inversi�on

bifactorizada t��pica sobre cuatro procesadores (no incluye substituci�on)

Procesador 1 2 3 4

Dimensi�on 3280 3240 3280 3320

� (%) 0 -1.22 0 +1.22

Orden y simulaci�on (seg.) 45.104 45.952 39.133 37.122

Bifactorizaci�on (seg.) 3.437 3.549 3.758 3.217

Inversi�on (seg.) 48.541 49.501 42.891 40.339

��tI(%) 7.11 9.23 -5.36 -10.99

Los resultados presentados en la Tabla 5.6 permiten comparar el balance

de carga cuando un m�etodo de inversi�on aprovecha la caracter��stica de estructura

cuasivac��a presente en la matriz Jacobiana. Anteriormente se hizo notar que el

m�etodo de balance se utiliza para equilibrar la dimensi�on de los bloques en la matriz~JD. En las t�ecnicas utilizadas para tratar matrices cuasivac��as el n�umero de ramas

interconectando los nodos de un subgrafo y el n�umero de matrices de factorizaci�on

que representa el proceso de eliminaci�on Gaussiana en �este afecta signi�cativamente

el balance de carga; sin embargo, un m�etodo que considere tales caracter��sticas podr��a

resultar demasiado complejo. As�� entonces, el M�etodo de Asignaci�on del Camino

m�as Largo proporciona resultados apropiados, en tiempos de procesamiento muy

reducidos y sin mayores complejidades de programaci�on.

5.1.3 Evaluaci�on del m�etodo de Newton Maclaurin en simulaciones

paso a paso

Estudio del Sistema Interconectado Central chileno

La ventaja del procesamiento paralelo en los estudios de simulaci�on del

SIC debe evaluarse considerando el hecho de que la simulaci�on paso a paso pre-

senta una e�ciencia considerablemente superior a aquella basada en el concepto de

paralelizaci�on temporal. Por lo tanto, el siguiente estudio eval�ua la utilizaci�on del

multicomputador en la simulaci�on de un s�olo paso de integraci�on; para tal efecto

128

0 5 10 150.44

0.46

0.48

0.5

0.52

0.54

0.56

0.58

0.6

0.62Evaluación del método de Newton Maclaurin

Número de términos evaluados

Gan

anci

a de

vel

ocid

ad [p

u]

(a) 2 procesadores

0 10 20 30 40 50 60 700.13

0.14

0.15

0.16

0.17

0.18

0.19

0.2Evaluación del método de Newton Maclaurin

Número de términos evaluados

Gan

anci

a de

vel

ocid

ad [p

u]

(b) 4 procesadores

0 10 20 30 40 50 60 70 800.08

0.085

0.09

0.095

0.1

0.105

0.11

0.115

0.12

0.125

0.13Evaluación del método de Newton Maclaurin

Número de términos evaluados

Gan

anci

a de

vel

ocid

ad [p

u]

(c) 6 procesadores

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900.045

0.05

0.055

0.06

0.065

0.07

0.075

0.08Evaluación del método de Newton Maclaurin

Número de términos evaluados

Gan

anci

a de

vel

ocid

ad [p

u]

(d) 8 procesadores

Figura 5.4: Ganancia de velocidad como una funci�on de los t�erminos de la serie de

Maclaurin. Estudio de simulaci�on del SIC mediante un multicomputador

se eligi�o �t = 0; 02 seg. y tf = 0; 02 seg. Este estudio tambi�en permiti�o determi-

nar el n�umero de t�erminos a evaluar en la serie de Maclaurin de manera de obtener

simulaciones e�cientes con el m�etodo paralelo propuesto.

En la Figura 5.4 se muestran los resultados de la simulaci�on paralela con-

siderando, respectivamente, 2, 4, 6 y 8 procesadores. En cada caso se obtuvo la

ganancia de velocidad, respecto del tiempo requerido por la simulaci�on en un s�olo

procesador, como una funci�on de los t�erminos de la serie de Maclaurin. Los resulta-

dos mostrados no dan indicio de que la utilizaci�on de m�as de un procesador permita

reducir el tiempo de procesamiento serial. Es m�as, a partir de las Figuras 5.5(a) y

129

2 3 4 5 6 7 80

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7Evaluación del método de Newton Maclaurin

Número de procesadores

Gan

anci

a de

vel

ocid

ad [p

u]

(a) Ganancia de velocidad

2 3 4 5 6 7 80

5

10

15

20

25

30

35Evaluación del método de Newton Maclaurin

Número de procesadores

Efic

ienc

ia [%

]

(b) E�ciencia

Figura 5.5: Indices de desempe~no para la simulaci�on paso a paso como una funci�on

del n�umero de procesadores. Estudio de simulaci�on del SIC mediante un multicom-

putador

5.5(b) se puede observar que en la medida que se incrementa el n�umero de proce-

sadores la ganancia de velocidad y la e�ciencia (ganancia de velocidad/n�umero de

procesadores) se deterioran m�as3. Respecto de los resultados obtenidos, es posible

argumentar que en problemas de dimensi�on peque~na la ganancia de velocidad alcan-

zada en la etapa de substituci�on determina en gran medida la ganancia de velocidad

del proceso de inversi�on total. Por lo general, el tiempo que consume dicha etapa es

mayor en la medida que se utilizan m�as procesadores; �esto ya sea por el hecho de

evaluar t�erminos de la serie de Maclaurin, el eventual incremento en el n�umero de

iteraciones o el correspondiente proceso de intercomunicaci�on de procesadores reque-

rido en uno u otro caso. Como podr�a inferirse a partir de estudios posteriores, en

problemas de mayor dimensi�on la ganancia de velocidad que se alcanza en las etapas

de orden, simulaci�on y factorizaci�on es m�as signi�cativa, permitiendo contrarrestar

el mal desempe~no alcanzado en el proceso de substituci�on paralelo.

Por su parte, en la Figura 5.6 se muestra el n�umero de iteraciones reque-

ridas para la convergencia en cada uno de los casos estudiados, tambi�en como una

funci�on de los t�erminos de la serie de Maclaurin. Como puede observarse, la evalua-

3Para un determinado n�umero de procesadores, la ganancia de velocidad seleccionada corres-

ponde al m�aximo de entre los valores obtenidos para los distintos t�erminos de la serie de Maclaurin.

130

0 5 10 150

5

10

15

20

25

30Evaluación del método de Newton Maclaurin

Número de términos evaluados

Itera

cion

es n

eces

aria

s pa

ra la

con

verg

enci

a

(a) 2 procesadores

0 10 20 30 40 50 60 700

20

40

60

80

100

120

140Evaluación del método de Newton Maclaurin

Número de términos evaluados

Itera

cion

es n

eces

aria

s pa

ra la

con

verg

enci

a

(b) 4 procesadores

0 10 20 30 40 50 60 70 800

50

100

150Evaluación del método de Newton Maclaurin

Número de términos evaluados

Itera

cion

es n

eces

aria

s pa

ra la

con

verg

enci

a

(c) 6 procesadores

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900

20

40

60

80

100

120

140

160Evaluación del método de Newton Maclaurin

Número de términos evaluados

Itera

cion

es n

eces

aria

s pa

ra la

con

verg

enci

a

(d) 8 procesadores

Figura 5.6: N�umero de iteraciones requeridas para la convergencia como una funci�on

de los t�erminos de la serie de Maclaurin. Estudio de simulaci�on del SIC mediante un

multicomputador

ci�on de los t�erminos de orden superior en la serie de Maclaurin reduce el n�umero de

iteraciones hasta un punto en el que el m�etodo converge en las mismas 2 iteraciones

requeridas por el m�etodo de Newton deshonesto. Sin embargo, debe considerarse que

evaluar t�erminos de orden muy elevado trae consigo el problema que la convergen-

cia resulta ser demasiado insensible al n�umero de t�erminos evaluados. Esto puede

observarse claramente en la Figura 5.4, en la cual el efecto \diente de sierra" se de-

be a que un cierto n�umero de t�erminos consecutivos de la serie, que por lo general

son los de orden muy elevado y llevan a un n�umero de iteraciones muy cerrado al

obtenido por el m�etodo de Newton deshonesto, pueden presentar una convergencia

131

en el mismo n�umero de iteraciones (ver tambi�en la Figura 5.6). Claramente, si un

t�ermino predeterminado de la serie es el primero en llevar a una convergencia en 3

iteraciones, por ejemplo, todos los t�erminos siguientes que se eval�uen hasta antes del

t�ermino que lleve a una convergencia en 2 iteraciones consumen un tiempo de c�alculo

innecesario que no aporta a la convergencia.

Estudio del sistema de prueba IEEE300

Con los resultados obtenidos del estudio de una simulaci�on paso a paso,

y en consideraci�on al algoritmo propuesto para la paralelizaci�on, a la utilizaci�on del

multicomputador Parsytec PowerXplorer y al an�alisis del modelo del SIC, es claro

que la utilizaci�on del procesamiento paralelo no es efectiva. Puesto que esta serie

de consideraciones afecta en conjunto el desempe~no del algoritmo de paralelizaci�on

propuesto, resulta interesante presentar resultados que permitan despejar dudas. Al

respecto, es obvio pensar que uno de los factores con mayor in uencia en la calidad

de los resultados obtenidos es la dimensi�on del problema en an�alisis (modelo del

SIC), la cual es demasiado peque~na si se compara con la dimensi�on de los estudios

de simulaci�on presentados en la literatura y discutidos en el Cap��tulo previo.

Con el �n de analizar el desempe~no del algoritmo de paralelizaci�on en el

estudio de un sistema de mayor dimensi�on que la del modelo del SIC se efectuaron

simulaciones en el sistema de prueba IEEE300. Los datos utilizados para los estu-

dios est�aticos se obtuvieron desde la p�agina Web del Profesor de la Universidad de

Waterloo, Dr. Claudio Ca~nizares, a la cual se puede acceder a trav�es de la direcci�on

http : ==iliniza:uwaterloo:ca. Los datos utilizados para representar las unidades

generadoras en los estudios de simulaci�on se estimaron a partir de datos de unidades

t��picas provistos en [AF94] y se detallan en el Anexo D. Las caracter��sticas generales

del sistema IEEE300 se describen en la Tabla 5.7.

La perturbaci�on analizada en el estudio de simulaci�on es un cortocircuito

trif�asico de l��nea a tierra a trav�es de una reactancia igual a j0,001 pu. La localizaci�on

el�ectrica de la falla es la barra 169 del sistema, el tiempo de despeje de �esta es

tcl = 0; 06 seg. y el elemento perturbado continua en operaci�on durante y despu�es

de ocurrida la falla. A su vez, el paso de integraci�on seleccionado es �t = 0; 02 seg.

132

Tabla 5.7: Caracter��sticas generales del sistema de prueba IEEE300

Demanda total (MW) 23.246,86

Suministro total (MW) 23.656,72

Unidades generadoras (M) 69

Consumos 198

Barras (N) 300

L��neas de transmisi�on 304

Transformadores 107

Dispositivos en derivaci�on 29

y el tiempo �nal de simulaci�on es tf = 0; 08 seg. Si la simulaci�on se reinicia a partir

del tiempo de despeje de la falla el per��odo de integraci�on corresponde a 0; 02 seg.,

�esto permite obtener resultados comparables a los de una simulaci�on paso a paso.

N�otese que los par�ametros de simulaci�on son iguales a los utilizados en el estudio del

SIC, pero obviamente la perturbaci�on es diferente.

En la Figura 5.7 se gra�can los��ndices de desempe~no obtenidos del estudio

de simulaci�on paralela del sistema de prueba IEEE300. El n�umero de t�erminos

evaluados en la serie de Maclaurin corresponde a 2, lo que permite evitar el efecto

\diente de sierra" previamente observado en los estudios de simulaci�on del SIC. Este

efecto tambi�en se present�o en las gr�a�cas de ganancia de velocidad para el estudio

de simulaci�on del sistema de prueba IEEE300, pero no se incluyen por considerar

que no aportan datos relevantes. Espec���camente, en la Figura 5.7(a) se muestra la

ganancia de velocidad y en la Figura 5.7(b) la e�ciencia, ambas como una funci�on del

n�umero de procesadores utilizados en la simulaci�on. Adicionalmente, en las Figuras

5.7(c) y 5.7(d) se muestran, respectivamente, los mismos ��ndices de desempe~no pero

considerando la reevaluaci�on de la matriz Jacobiana en cada iteraci�on.

Como pudo notarse, ambos ��ndices de desempe~no, ganancia de velocidad

y e�ciencia, son superiores a los obtenidos del estudio de simulaci�on paso a paso

del SIC. El m�etodo de Newton Maclaurin, en sus dos versiones, con y sin reevaluar

el Jacobiano, presenta resultados que pueden considerarse como satisfactorios en

133

2 3 4 5 6 7 81

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8Evaluación del método de Newton Maclaurin

Número de procesadores

Gan

anci

a de

vel

ocid

ad [p

u]

(a) Ganancia de velocidad: ~J j~xk = ~J j~x0

2 3 4 5 6 7 810

20

30

40

50

60

70

80Evaluación del método de Newton Maclaurin

Número de procesadores

Efic

ienc

ia [%

]

(b) E�ciencia: ~J j~xk = ~J j~x0

2 3 4 5 6 7 81.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8Evaluación del método de Newton Maclaurin

Número de procesadores

Gan

anci

a de

vel

ocid

ad [p

u]

(c) Ganancia de velocidad: ~J j~xk = ~J j~xk

2 3 4 5 6 7 810

20

30

40

50

60

70

80Evaluación del método de Newton Maclaurin

Número de procesadores

Efic

ienc

ia [%

]

(d) E�ciencia: ~J j~xk = ~J j~xk

Figura 5.7: Indices de desempe~no para la simulaci�on paso a paso como una funci�on

del n�umero de procesadores. Estudio de simulaci�on del sistema de prueba IEEE300

mediante un multicomputador

el caso de la utilizaci�on de 2 y 4 procesadores del multicomputador. A su vez, al

igual que en el caso del estudio del SIC, la ca��da en la ganancia de velocidad al

utilizar 6 y 8 procesadores tambi�en se debe a la imposibilidad de superar el mal

desempe~no alcanzado en las respectivas etapas de substituci�on. Pese a �esto, los

resultados permiten inferir que claramente las ventajas del m�etodo propuesto se

presentan en el estudio de sistemas cuya dimensi�on es relativamente grande.

134

Tabla 5.8: Iteraciones requeridas para convergencia de la simulaci�on paso a paso en

funci�on del n�umero de procesadores. Estudio de simulaci�on del sistema de prueba

IEEE300 mediante un multicomputador

Procesadores Iteraciones ( ~J j~xk = ~J j~x0) Iteraciones ( ~J j~xk = ~J j~xk)

1 2 2

2 5 5

4 7 7

6 15 15

8 12 12

Por otro lado se observa que las dos versiones del m�etodo de Newton

Maclaurin no presentan diferencias notorias en t�erminos de la ganancia de velocidad

y, tal como se indica en la Tabla 5.8, ambos m�etodos convergen en el mismo n�umero

de iteraciones en todos los casos estudiados respecto del n�umero de procesadores

utilizados en la simulaci�on. Esto puede justi�carse por el hecho de que la soluci�on

inicial es tan pr�oxima a la buscada tal que la matriz Jacobiana reevaluada no di�ere

considerablemente entre iteraciones y por ende es muy similar a la �unica matriz

utilizada en el m�etodo deshonesto, o por que la descomposici�on provoca una p�erdida

de sensibilidad de la convergencia (n�umero de iteraciones) a los coe�cientes de la

matriz Jacobiana (respecto de aquellos que se modi�can entre iteraciones).

5.1.4 Evaluaci�on del m�etodo de Newton Maclaurin en problemas de

dimensi�on elevada: simulaciones del SIC basadas en el concepto

de paralelizaci�on temporal acoplada

Los resultados obtenidos de la simulaci�on paso a paso del sistema de

prueba IEEE300 re ejan que el procesamiento paralelo si presenta bene�cios en el

an�alisis de sistemas de gran tama~no, pero no es claro de�nir la dimensi�on apropiada

para preferir la utilizaci�on de este tipo de arquitectura. Una manera de profundizar

en este hecho podr��a considerar la evaluaci�on de la estrategia de paralelizaci�on y la

utilizaci�on del multicomputador en problemas de mayor dimensi�on que el obtenido

a partir de la simulaci�on paso a paso del sistema de prueba IEEE300. Puesto que

135

Tabla 5.9: Resumen con las caracter��sticas del estudio de simulaci�on basado en el

concepto de paralelizaci�on temporal acoplada

Caso �t(seg:) tf (seg:) h h(m+ n)

1 0,02 0,4 20 6560

2 0,01 0.4 40 13120

en este sentido no se cuenta con los datos asociados a sistemas de mayor tama~no,

los cuales llevan a problemas que en el caso de la simulaci�on paso a paso ser��an de

mayor dimensi�on, se procedi�o a estudiar las ventajas del procesamiento paralelo y

de la estrategia de paralelizaci�on propuesta en la simulaci�on basada en el concepto

de paralelizaci�on temporal acoplada. Entonces, para efectos de evaluaci�on, se in-

crement�o el n�umero de pasos integrados simult�aneamente con el �n de obtener un

problema de dimensi�on elevada.

La Figura 5.8 muestra los resultados obtenidos de 2 casos de simula-

ci�on basados en el concepto de paralelizaci�on temporal acoplada; en ambos casos se

utilizaron 2, 4, 6 y 8 de los procesadores disponibles en el multicomputador. Las

caracter��sticas de estos estudios se resumen en la Tabla 5.9. Las Figuras 5.8(a) y

5.8(b) corresponden al estudio del caso 1 y presentan, respectivamente, los resulta-

dos obtenidos en t�erminos de la ganancia de velocidad y e�ciencia, ambos como una

funci�on del n�umero de procesadores considerados para la simulaci�on. Similarmente,

las Figuras 5.8(c) y 5.8(d) corresponden a los mismos estudios pero para el caso 2.

Las Figuras 5.8(a) y 5.8(c) presentan una ganancia de velocidad muy

satisfactoria, que por cierto en el estudio del caso 2 es mucho mejor que la obtenida del

caso 1, y que, a pesar de ser problemas con caracter��sticas matriciales distintas pero

de tipo similar, son bastante mejores que las obtenidas del estudio de simulaci�on paso

a paso del sistema de prueba IEEE300. N�otese que la utilizaci�on de 8 procesadores

en el caso 2 permite reducir el tiempo de procesamiento hasta un factor cercano

a 4, que la ganancia de velocidad no sufre una saturaci�on fuerte y que si bien la

e�ciencia decrece las ganancias de velocidad son bastante buenas en los dos casos

estudiados. Recu�erdese que la e�ciencia es igual a la ganancia de velocidad dividida

136

2 3 4 5 6 7 81.6

1.7

1.8

1.9

2

2.1

2.2

2.3

2.4Evaluación del método de Newton Maclaurin en problemas de mayor dimensión

Número de procesadores

Gan

anci

a de

vel

ocid

ad [p

u]

(a) Ganancia de velocidad: caso 1

2 3 4 5 6 7 820

30

40

50

60

70

80

90Evaluación del método de Newton Maclaurin en problemas de mayor dimensión

Número de procesadores

Efic

ienc

ia [%

]

(b) E�ciencia: caso 1

2 3 4 5 6 7 82

2.2

2.4

2.6

2.8

3

3.2

3.4

3.6

3.8

4Evaluación del método de Newton Maclaurin en problemas de mayor dimensión

Número de procesadores

Gan

anci

a de

vel

ocid

ad [p

u]

(c) Ganancia de velocidad: caso 2

2 3 4 5 6 7 840

50

60

70

80

90

100

110Evaluación del método de Newton Maclaurin en problemas de mayor dimensión

Número de procesadores

Efic

ienc

ia [%

]

(d) E�ciencia: caso 2

Figura 5.8: Indices de desempe~no para la simulaci�on basada en el concepto de para-

lelizaci�on temporal acoplada. Estudio de simulaci�on del SIC mediante un multicom-

putador

por el n�umero de procesadores utilizados, y que �esta es una medida que representa

la fracci�on de tiempo que un procesador t��pico se emplea en forma �util.

Un aspecto relevante es el hecho que el an�alisis de problemas de mayor di-

mensi�on que los considerados no pudo ser realizado en un s�olo procesador, limitando

la evaluaci�on de los ��ndices de desempe~no a los casos previamente expuestos. Esto se

debi�o a que la memoria RAM disponible en el multicomputador no fue su�ciente para

137

permitir la entrada de elementos no nulos nuevos en el proceso de inversi�on bifac-

torizada, agot�andose antes de �nalizar el proceso de orden y simulaci�on. De alguna

manera, este hecho con�rma las sospechas acerca de que la inversi�on bifactorizada

parece no ser e�ciente en la soluci�on de problemas de dimensi�on demasiado grandes,

al menos si es que no se cuenta con un algoritmo de ordenamiento considerablemente

m�as efectivo o con un computador paralelo que ofrezca alternativas para reacomodar

este tipo de algoritmos.

Debe notarse que la ganancia de velocidad obtenida con 2 procesadores

en el estudio del caso 2 es levemente mayor que el n�umero de procesadores utilizados,

2; 017. Este resultado puede parecer inexplicable, pero simplemente se debe a que

la estrategia de paralelizaci�on no consiste en realizar concurrentemente las mismas

tareas que se realizan cuando se utiliza un s�olo procesador. Esto es obvio si se observa

que en el m�etodo de paralelizaci�on propuesto la utilizaci�on de m�as de un procesador

involucra la aproximaci�on basada en la serie de Maclaurin, la que en el caso de un

monoprocesador no se requiere.

Los resultados expuestos permiten a�rmar que la utilizaci�on del procesa-

miento paralelo ofrece grandes bene�cios para la simulaci�on basada en el concepto

de paralelizaci�on temporal acoplada, los cuales son m�as apreciables en la medida que

la dimensi�on del problema asociado crece. Esta ventaja sugiere extrapolar, con el

cuidado pertinente, los resultados a una simulaci�on del tipo paso a paso. En esta, la

utilizaci�on del m�etodo de Newton deshonesto se reconoce como el m�etodo de soluci�on

serial m�as efectivo. Bajo la consideraci�on de que en el an�alisis de sistemas de gran

escala el problema algebraico nolineal resultante es de gran dimensi�on, pudiendo

ser comparable al caso estudiado al menos en t�erminos de dimensi�on, entonces los

resultados obtenidos de utilizar una estrategia de paralelizaci�on como la propuesta

podr��an alcanzar bene�cios similares. Finalmente, debe recalcarse el hecho de que el

procesamiento paralelo presenta bene�cios en la simulaci�on paso a paso de sistemas

de gran tama~no, los cuales no son factibles de observar en el an�alisis de sistemas

peque~nos debido a que los tiempos de intercomunicaci�on de procesadores suelen ser

comparables a los requeridos por el procesamiento de las tareas, y que en ciertos

casos esta herramienta es una de las pocas alternativas que permite el an�alisis de

problemas cuya soluci�on en un computador monoprocesador es casi inviable.

138

5.2 Conclusiones

En esta Tesis se consider�o el dise~no, desarrollo y evaluaci�on de un algorit-

mo apropiado para simular los transitorios electromec�anicos de un sistema el�ectrico

de potencia en un multicomputador. Para lograr tal objetivo se realiz�o un trabajo

cuya estructura general, descripci�on y evaluaci�on permitieron llegar a las siguientes

conclusiones.

Los estudios de simulaci�on, como en el caso de los transitorios electro-

mec�anicos, tienen una importancia relevante en las etapas de control, operaci�on y

plani�caci�on de un sistema el�ectrico de potencia, as�� como tambi�en en la investiga-

ci�on acad�emica asociada. La complejidad de un estudio integrado de los fen�omenos

transitorios requiere disgregarlos en subproblemas, siendo la experiencia en el an�alisis

de la interdependencia de estos fen�omenos clave para de�nir el nivel de representa-

ci�on de �estos. Tal disgregaci�on permite aliviar tareas como la modelaci�on y el dise~no

de programas, al igual que la complejidad de los elementos de procesamiento. Sin

embargo, esta forma de estudio no siempre resulta en un problema lo su�cientemente

simpli�cado y, en ciertos casos, los resultados provenientes de un problema excesi-

vamente simpli�cado no alcanzan la precisi�on apropiada y por ende las decisiones

tomadas a partir de tales resultados carecen de sentido. Ambas consideraciones lle-

van a la necesidad de generar alternativas que permitan enfrentar la complejidad de

este tipo de estudios, ya sea en su forma disgregada o en una m�as ��ntegra.

El procesamiento concurrente es un medio muy atractivo para enfrentar

la demanda de tecnolog��as de procesamiento superior. Este, en la diversidad de for-

mas que puede ser llevado a cabo ofrece gran exibilidad, permitiendo acomodar

de manera apropiada una gran cantidad de algoritmos de diferente ��ndole y utiliza-

dos para diversos �nes. Aquellos orientados al estudio de un mismo problema, pero

considerando diferentes casos, son naturalmente paralelizables y por ende alcanzan

niveles de e�ciencia elevados con costos de reprogramaci�on muy insigni�cantes. Por

el contrario, la paralelizaci�on de un problema como tal requiere del dise~no de estra-

tegias complejas, generalmente producto de una reformulaci�on de los algoritmos ya

existentes.

139

La simulaci�on de transitorios electromec�anicos es un problema cuya pa-

ralelizaci�on no es trivial. Pese a los esfuerzos requeridos para su programaci�on en

un computador paralelo, el n�umero de algoritmos propuestos, y actualmente lleva-

dos a una arquitectura paralela particular, es notable. Los motivos por los cuales

se considera la paralelizaci�on de este problema son muchos, entre ellos la posibili-

dad de obtener simulaciones en tiempo real, mejorar la evaluaci�on de la seguridad

din�amica, permitir el control en tiempo real, incrementar la precisi�on de los estudios

(incorporando modelos mas �dedignos por ejemplo), extender el estudio hacia el res-

to de los fen�omenos transitorios o simplemente mejorar la e�ciencia de un algoritmo

particular.

Dada la importancia de un problema como el de la simulaci�on de tran-

sitorios electromec�anicos, y considerando que �este puede llegar a alcanzar una com-

plejidad tal que justi�que la utilizaci�on de una arquitectura so�sticada como la de

un computador paralelo, el trabajo de Tesis se concentr�o en plantear una estrategia

de paralelizaci�on para dicho problema y, posteriormente, desarrollar un programa

pr�actico. Disgreg�andolo del resto de problemas transitorios presentes en un sistema

el�ectrico de potencia, se procedi�o a formular un modelo matem�atico que representase

de una manera simpli�cada las din�amicas m�as relevantes al problema. Esto llev�o a

un modelo multim�aquinas que incluye la representaci�on de componentes como la

m�aquina s��ncrona, el sistema de excitaci�on, el estabilizador del sistema de potencia,

la turbina y el regulador de velocidad. Pese a que en la representaci�on utilizada el

modelo de una unidad generadora puede llegar a tener una dimensi�on relativamente

elevada, este modelo fue considerablemente simpli�cado al no incluir saturaciones y

otros dispositivos de control y protecci�on.

Una vez formulado el modelo multim�aquinas, el trabajo se concentr�o en

de�nir un m�etodo de soluci�on al problema de la simulaci�on. Se analiz�o con relativo

detalle un amplio espectro de algoritmos, requiriendo �estos, en general, una gran

complejidad para llevarlos a un computador paralelo. Teniendo en consideraci�on

las caracter��sticas del multicomputador Parsytec PowerXplorer, r�apidamente se se-

leccion�o un m�etodo de simulaci�on formulado en la literatura. Este se basa en el

concepto de paralelizaci�on temporal acoplada y fue seleccionado por dar origen a

problemas de dimensi�on extremadamente elevada que, seg�un se reporta en la lite-

140

ratura, pueden ser resueltos sin mayores di�cultades respecto de la convergencia a

la soluci�on buscada. Adem�as, result�o interesante el hecho que una soluci�on directa

bifactorizada del problema lineal asociado, o una similar que aproveche la estructu-

ra cuasivac��a del Jacobiano, no haya sido encontrada en la literatura relativa a la

aplicaci�on del procesamiento paralelo. Puesto que en el problema de simulaci�on la

soluci�on bifactorizada toma un gran porcentaje del tiempo requerido para obtenerla,

la estrategia de paralelizaci�on se concentr�o en la soluci�on del problema algebraico

lineal.

El m�etodo de Newton Maclaurin fue propuesto para aproximar la solu-

ci�on basada en el m�etodo de Newton-Raphson. Este m�etodo requiere descomponer

la matriz Jacobiana como la suma de una matriz bloque diagonal, con un n�umero

de bloques igual al n�umero de procesadores que se utilicen para simular, y una ma-

triz con elementos fuera de los bloques diagonales. Esta descomposici�on permite su

programaci�on en el multicomputador con un grado de paralelismo total. Para una

utilizaci�on apropiada del m�etodo se explor�o una condici�on de su�ciencia que asegura

su convergencia, tal condici�on depende de las caracter��sticas de las matrices involu-

cradas en la descomposici�on, las que a su vez dependen de las propiedades intr��nsecas

del sistema en estudio. El �enfasis puesto en la importancia de dicha condici�on es un

aporte interesante de esta Tesis, puesto que abri�o la posibilidad al desarrollo de

un algoritmo robusto capaz de abordar problemas en los que ciertas caracter��sticas

de operaci�on y topolog��a presentes en los sistemas el�ectricos de potencia deterioran

el desempe~no de los algoritmos. La posibilidad de que un m�etodo descomposici�on

satisfaga la condici�on de su�ciencia, si es factible, depende de las capacidades del

mismo. La Descomposici�on � se utiliz�o para este efecto, debido a que est�a basada

en la teor��a de grafos, es simple de programar y permite aproximar apropiadamen-

te el objetivo buscado. Debe notarse que en todos los casos estudiados el m�etodo

de Newton-Maclaurin, incluyendo la versi�on deshonesta, convergieron a la soluci�on,

dando cuenta de la robustez del m�etodo propuesto y de las virtudes de la Descom-

posici�on �. Para evitar el desbalance de carga entre los procesadores se utiliz�o el

algoritmo basado en el M�etodo Asignaci�on del Camino m�as Largo. La inclusi�on del

m�etodo es simple y dio una autonom��a total al programa de simulaci�on, cualidad de-

seable para el desarrollo de simulaciones y control en tiempo real; adem�as, tiene un

costo de tiempo computacional insigni�cante y sus propiedades de suboptimalidad

141

aseguran que dicho balance, aunque simpli�cado, es lo su�cientemente apropiado

para el objetivo buscado.

La estrategia de paralelizaci�on y todos los m�etodos necesarios para su

realizaci�on pr�actica en el multicomputador fueron programados en lenguaje C ba-

jo ambiente Parix. La informaci�on se maneja mediante estructuras de datos que

permiten su manipulaci�on ordenadamente. El programa se estructur�o mediante su-

brutinas asociadas a las etapas m�as relevantes de la simulaci�on, se utiliz�o asignaci�on

de memoria din�amica para proveer exibilidad en el estudio de problemas de dimen-

si�on elevada y punteros para incrementar la e�ciencia en la transferencia de datos

entre procesadores y a trav�es de subrutinas. Para ser consistente con los m�etodos

de formulaci�on y soluci�on empleados actualmente, la mayor parte del programa se

desarroll�o mediante listas apropiadas para el almacenamiento y procesamiento de los

elementos no nulos de las matrices asociadas. Esto permiti�o generar un programa

con caracter��sticas similares, al menos en t�erminos generales, a aquellos utilizados

para el mismo prop�osito.

Los resultados obtenidos de los estudios de simulaci�on paralela son consis-

tentes con los obtenidos de otros programas utilizados para efectos de validaci�on. En

el caso del estudio de Sistema Interconectado Central chileno, la simulaci�on basada en

el concepto de paralelizaci�on temporal, en su versi�on paralela y serial, result�o ser ex-

tremadamente lenta en comparaci�on a aquella obtenida por integraci�on paso a paso.

La etapa cr��tica corresponde a la evaluaci�on de correcciones mediante el m�etodo de

bifactorizaci�on, la cual deteriora la velocidad de c�omputo en montos pr�acticamente

inaceptables a medida que se incrementa el n�umero de pasos integrados simult�ane-

amente. Esto lleva a la primera conclusi�on efectiva de que la simulaci�on basada en

el concepto de paralelizaci�on temporal acoplada no parece ser apropiada, al menos

si se considera una soluci�on directa bifactorizada, o similar, del problema algebraico

lineal asociado. Esto debido a que la cantidad de elementos no nulos despu�es de la

etapa de bifactorizaci�on incrementa considerablemente, deteriorando el desempe~no

del proceso de inversi�on total.

Previo a evaluar las ventajas del m�etodo paralelo en la obtenci�on de si-

mulaciones paso a paso se evalu�o los m�etodos utilizados para el desarrollo de la

142

estrategia. As��, en el caso de la Descomposici�on � se determin�o la norma in�nita pa-

ra veri�car si la condici�on de su�ciencia para convergencia de la serie de Maclaurin

fue satisfecha. Si bien esta condici�on de su�ciencia no se logr�o satisfacer, la nor-

ma de la funci�on objetivo jj ~J�1D~JOjj1 se redujo considerablemente y fue su�ciente

para lograr la convergencia del m�etodo. Por su parte, el algoritmo de balance se

evalu�o satisfactoriamente puesto que proporcion�o resultados apropiados, en tiempos

de procesamiento muy reducidos y sin mayores complejidades de programaci�on. En

general, ambos m�etodos son adecuados para los objetivos planteados.

Puesto que la simulaci�on paso a paso aparece como superior a la simu-

laci�on basada en el concepto de paralelizaci�on temporal, el siguiente objetivo de las

pruebas consisti�o en evaluar la estrategia de paralelizaci�on y el uso del multicompu-

tador en este tipo de simulaci�on. Los resultados presentados consideran el estudio

de transitorios electromec�anicos en dos sistemas el�ectricos de potencia: el SIC y el

Sistema de prueba IEEE300. El estudio del primer sistema muestra que la utiliza-

ci�on del multicomputador deteriora la velocidad de c�omputo en la medida que se

incrementa el n�umero de procesadores. Por otro lado, la evaluaci�on de los t�erminos

de orden superior en la serie de Maclaurin disminuye el n�umero de iteraciones reque-

ridas para la convergencia tal que para un n�umero particular de t�erminos esta serie

converge de manera similar al m�etodo de Newton deshonesto. Sin embargo, para

este sistema, cuya representaci�on en an�alisis no justi�ca el uso del procesamiento

paralelo, no se obtuvieron resultados positivos. En el caso del estudio del sistema

de prueba IEEE300, cuya dimensi�on es considerablemente mayor a la del SIC, los

resultados fueron satisfactorios. La mejor ganancia de velocidad se obtuvo con el uso

de 4 procesadores y alcanz�o un valor cercano a 2; 8; a su vez, la mejor e�ciencia se

obtuvo utilizando 2 procesadores y su valor fue de aproximadamente un 75%. Esto

permite concluir que, al contrario de como ocurre con los sistemas de dimensi�on pe-

que~na, la estrategia de paralelizaci�on y el procesamiento concurrente si son e�cientes

en el estudio de sistemas de gran escala.

Habiendo evaluado de manera positiva el m�etodo de paralelizaci�on pro-

puesto y la utilizaci�on del procesamiento paralelo en la simulaci�on paso a paso del

sistema de prueba IEEE300, se procedi�o a profundizar en el m�etodo de paralelizaci�on.

Considerando que la paralelizaci�on temporal acoplada permite formular problemas

143

que por dimensi�on son m�as apropiados para ser tratados en arquitecturas paralelas,

cuyas caracter��sticas de tipo son similares a las de un problema de simulaci�on pa-

so a paso resuelto mediante el m�etodo de Newton deshonesto, y que pese al hecho

de que �esta no fue evaluada como e�ciente en comparaci�on a dicha simulaci�on, se

evalu�o las caracter��sticas del m�etodo de Newton Maclaurin en problemas que consi-

deran la simulaci�on concurrente de pasos de integraci�on consecutivos. En problemas

cuya dimensi�on es grande, comparada con la del problema formulado en la simula-

ci�on paso a paso del SIC, se observa un ganancia de velocidad y una e�ciencia muy

satisfactoria.

Como era de esperarse, los resultados mejoraron en la medida que el

problema creci�o en dimensi�on. La ganancia de velocidad alcanz�o un valor cercano

a 4 con el uso de 8 procesadores y la e�ciencia un valor superior al 100% con el

uso de 2 procesadores. Esto permiti�o concluir que la estrategia de paralelizaci�on,

muy satisfactoria en el estudio del caso 2 expuesto en la secci�on previa, es apropiada

para resolver problemas de dimensi�on elevada. Este resultado no es desconocido,

pues continuamente se ha insistido en que los bene�cios del procesamiento paralelo

se presentan en problemas caracterizados por una dimensi�on relativamente grande,

al menos en lo que respecta a la simulaci�on de los transitorios electromec�anicos de

un sistema el�ectrico de potencia.

Finalmente, se observ�o que el estudio de problemas de dimensi�on extre-

madamente grande puede ser inviable en computadores monoprocesador, y por ende,

el procesamiento paralelo adquiere una importancia vital al proveer las capacidades

apropiadas para enfrentar este tipo particular de problemas.

Trabajos Futuros

A partir del trabajo desarrollado en esta Tesis se sugieren algunas modi-

�caciones, as�� como trabajos en esta l��nea de investigaci�on y otras similares:

a) En lo que respecta al programa de simulaci�on de transitorios electromec�anicos,

se sugiere que �este se complemente con otros modelos disponibles para los

dispositivos ya representados, as�� como tambi�en que se incluya la representaci�on

144

de otros no considerados. Una primera opci�on en este sentido es mejorar la

representaci�on de las cargas, problema de gran consideraci�on actual.

b) La evaluaci�on de la estrategia de paralelizaci�on en sistemas de mayor tama~no

deber��a ser indudablemente considerada, puesto que los costos asociados pare-

cen ser insigni�cantes.

c) El desarrollo de otros esquemas de simulaci�on, fuertemente ligados al ya re-

alizado, tambi�en es una buena sugerencia. Aqu�� ser��a factible considerar los

esquemas de soluci�on alternada paso a paso y bajo el concepto de paraleliza-

ci�on temporal, y tambi�en el esquema simult�aneo paso a paso. En t�erminos

generales, las modi�caciones al programa realizado no deber��an ser de gran

complejidad.

d) La simulaci�on desarrollada requiere construir la matriz Jacobiana, �esta se utiliza

para obtener el modelo de estado del sistema el�ectrico de potencia y as�� per-

mitir el an�alisis y dise~no basado en la teor��a de control lineal. Tales estudios

son de gran inter�es para la comunidad asociada a los sistemas el�ectricos de po-

tencia. La reformulaci�on de algoritmos para an�alisis y dise~no en arquitecturas

de procesamiento paralelo es una l��nea de investigaci�on emergente y por ende

tambi�en se sugiere continuar trabajando en esta l��nea.

e) La idea de utilizar simulaci�on en otros problemas que no sea la de los transi-

torios electromec�anicos tambi�en es atractiva. Dichos problemas pueden estar

asociados al an�alisis de un sistema el�ectrico de potencia u otro sistema particu-

lar. Este tipo de estudio es de vital importancia para identi�car sistemas m�as

apropiados para ser simulados mediante el algoritmo propuesto.

f) Finalmente, las subrutinas desarrolladas en este trabajo pueden ser utilizadas

en otras aplicaciones. Ya se indic�o que la Descomposici�on � se utiliza en diversos

tipos de estudios. Similarmente, la inversi�on bifactorizada es una soluci�on a

un problema presente en gran cantidad de estudios; en este sentido, tambi�en

resulta interesante identi�car problemas algebraicos lineales y nolineales que

podr��an ser resueltos m�as e�cientemente con el m�etodo paralelo.

145

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154

ANEXOS

155

ANEXO A: Nociones Acerca de la Teor��a de Grafos

Este Anexo contiene de�niciones y conceptos asociados a la teor��a de

grafos y utilizados para el desarrollo de esta Tesis. En particular, adem�as de describir

la notaci�on utilizada e incluir de�niciones generales, se analiza un ejemplo simple que

permite ilustrar la utilizaci�on de esta teor��a en la obtenci�on de una Descomposici�on

� Balanceada.

A.1 Notaci�on y De�niciones Generales

Las siguientes de�niciones dicen relaci�on con los conceptos utilizados en el

desarrollo de la Tesis [Sc86]. Un grafo dirigido es un par orientado G = (N ;A), donde

N = fn1; n2; : : : ; njN jg es un conjunto de nodos (v�ertices), y A es un conjunto de

arcos (l��neas) denotados como (ni; nk) y dirigidos desde el v�ertice ni al v�ertice nk. Si

(ni; nk) 2 A, entonces ni se dice a ser adyacente a nk. La relaci�on de adyacencia puede

ser descrita por una matriz binaria de dimensi�on jN j � jN j, �J = (�jik), denominada

matriz de adyacencia (interconexi�on), y donde �jik = 1 s�� y s�olo s�� (ni; nk) 2 A. Otra

relaci�on sobre N es la conectividad, la cual puede ser de�nida recursivamente como:

Los v�ertices adyacentes est�an conectados, sin consideraci�on de la direcci�on del arco

que los conecta, y dos v�ertices cualquiera que est�an conectados a un tercero est�an

conectados entre s��. Obviamente, la conectividad es una relaci�on de equivalencia

sobre N . Una secuencia de arcos (n1; n2), (n2; n3), : : : , (nj�1; nj), donde todos los

v�ertices son distintos, es un camino desde n1 a nj. En este caso se dice que n1 alcanza

a nj. Dos nodos que se alcanzan mutuamente se dicen fuertemente conectados.

Conectividad fuerte tambi�en es una relaci�on de equivalencia sobre N .

Un subgrafo Gp = (Np;Ap) de G es un grafo dirigido tal que Np � N

y Ap � A. Si Ap incluye todos los arcos en A que conectan los v�ertices en Np,

entonces Gp se dice a estar formado por Np. Si Np son clases equivalentes de�nidas

por conectividad (conectividad fuerte), entonces a Gp formado por Np se le denomina

las componentes conectadas de G.

Una partici�on (descomposici�on) P de N es un colecci�on fN1;N2; : : :NMg

de M subconjuntos disjuntos Ni tal que [M

p=1Np = N . Si Gp es el subgrafo formado

156

por Np, p 2 M = f1; 2; : : : ;Mg, entonces la colecci�on P = fG1;G2; : : : ;GMg es

una partici�on de G. La condensaci�on de G con respecto a una partici�on P es un

grafo dirigido G = fW;Fg, donde W = fw1; w2; : : : ; wMg, con wp representando

el subconjunto Np, y (wq; wp) 2 F si y s�olo si q 6= p y al menos un v�ertice en el

subconjunto Nq alcanza un v�ertice en el subconjunto Np. Si P es una descomposici�on

de un grafo no dirigido (dirigido) G en sus componentes conectadas (fuertemente

conectadas), entonces un reordenamiento apropiado de los v�ertices de G lleva su

matriz de adyacencia �J a una forma bloque diagonal; �esto es, existe una matriz de

permutaci�on E completamente de�nida por P tal que la matriz ~�J = E �JEt es bloque

diagonal.

A.2 Aplicaci�on en la Obtenci�on de una Descomposici�on � Balanceada

En esta secci�on se analiza un ejemplo simple en el cual se utiliza la teor��a

de grafos para obtener una Descomposici�on � Balanceada. En el ejemplo se utiliza

una matriz de dimensi�on peque~na especialmente adecuada para representar e ilustrar

aspectos de inter�es observados en la aplicaci�on a matrices de gran dimensi�on.

Consid�erese la matriz J1 mostrada en la Figura A.1(a), y las matrices J2 y

J3 mostradas en las Figuras A.1(b) y A.1(c), las cuales contienen, respectivamente,

los elementos en J1 mayores a �2 = 0; 3 y �3 = 0; 4. La di�cultad en identi�car

una Descomposici�on � a partir de la matriz puede ser claramente visualizada si se

intenta descubrir el n�umero de bloques diagonales en las matrices J2 y J3. Las

Figuras A.2(a), A.2(b) y A.2(c) muestran, respectivamente, los grafos G1, G2 y G3

correspondientes a las matrices J1, J2 y J3; al observarlos resulta obvio identi�car el

n�umero de conjuntos de nodos aislados en cada grafo, el cual es igual al n�umero de

bloques diagonales en las respectivas matrices.

Un aspecto relevante al utilizar la Descomposici�on � es que su aplicaci�on

no siempre genera bloques diagonales de dimensi�on similar entre s��. Este hecho se ha

ilustrado en el ejemplo a trav�es de la primera descomposici�on (Figura A.2(b)). Con-

siderando que la inversi�on de un bloque en cada procesador demandar��a un esfuerzo

estimado de el doble para un procesador respecto del otro, es evidente la necesidad

de alcanzar un mejor equilibrio de carga. Entonces, si se utilizan s�olo 2 procesadores,

157

1

1

1

1

1

1

0

000

0

0 0

0

0

0

00

0,20

0

0,40,8

0,2 00,7

0 0,2 0

0 0,3

00,9

0 0,3 0,3

(a) J1

1

1

1

1

1

1

0

000

0

0 0

0

0

0

00

0

0

0

0,40,8

00,7

0 0

0

00,9

0

0

0

00

0

(b) J2

1

1

1

1

1

1

0

000

0

0 0

0

0

0

00

0

0

0

0,8

00,7

0 0

0

00,9

0

0

0

00

0 0

(c) J3

Figura A.1: Matrices utilizadas para representar la aplicaci�on de la teor��a de grafos

en la obtenci�on de una Descomposici�on �

1

3

2

4

65

0,4

0,7

0,3

0,3

0,3

0,3

0,8

0,2

0,2

0,9

(a) G1

1

3

2

4

6

0,4

5

0,7

0,8

0,9

(b) G2

1

3

2

4

6

0,9

5

0,7

0,8

(c) G3

Figura A.2: Grafos correspondientes a las matrices J1, J2 y J3

el grafo G2 deber��a ser descompuesto hasta lograr que el n�umero de nodos en cada

subgrafo no supere el ��ndice de balance �optimo ( = 3). Esta situaci�on re eja que el

��ndice �, el cual representa una medida num�erica de la aproximaci�on a la matriz ori-

ginal, debi�o ser sacri�cado para mejorar el ��ndice de equilibrio de carga; situaci�on

que se observ�o con frecuencia en la aplicaci�on a problemas reales.

Previo a discutir un aspecto relacionado con la utilizaci�on del modelo

DAG para equilibrar la carga entre los procesadores del multicomputador, la cual

se realiza asignando tareas mediante el M�etodo del Camino m�as Largo (Ver secci�on

2.1.3 del Cap��tulo II y secci�on 4.3.2 del Cap��tulo IV), resulta conveniente volver

158

a mencionar que el balance de carga asociado a un proceso de bifactorizaci�on de

matrices cuasivac��as presenta una gran complejidad1 Por tal motivo, en el modelo

DAG aqu�� utilizado el proceso de inversi�on se represent�o por un n�umero de tareas

secuenciales igual a la dimensi�on de la matriz en cuesti�on. As�� por ejemplo, en la

Figura A.3 se muestra el modelo DAG que representa la inversi�on de la matriz J3.

En �esta se utiliza el s��mbolo TSi para denotar una tarea que consume una unidad de

tiempo, la cual podr��a representar el proceso de eliminaci�on de una �la (columna)

de la matriz, y el sub��ndice i para denotar el nodo asignado al subgrafo.

1

TS

TSTS TS

Procesador 2

2

4

6

TS

TS 5

3

Procesador 1 Procesador 2

Figura A.3: Representaci�on de la inversi�on de la matriz J3 mediante el modelo DAG

Finalmente, utilizando el M�etodo del Camino M�as Largo, el equilibrio de

carga asociado con la tarea de inversi�on de la matriz J3 en 2 procesadores se logra

asignando al procesador P1 la inversi�on del bloque de mayor dimensi�on (jN j = 3) y

al procesador P2 la inversi�on del siguiente bloque en el orden de dimensi�on mayor

a menor (jN j = 2). El �ultimo bloque en el mismo orden de dimensi�on (jN j = 1)

est�a libre y entonces se asigna al procesador con menos carga (P2). La asignaci�on de

carga �nal en los procesadores tambi�en se ilustra en la Figura A.3

1Esto queda en evidencia si se considera, por ejemplo, la di�cultad en de�nir el n�umero de

operaciones b�asicas que representa la eliminaci�on Gaussiana de los elementos distintos de cero en

una matriz (Recu�erdese que la eliminaci�on de un elemento puede afectar la eliminaci�on de los

siguientes elementos).

159

ANEXO B: Descripci�on y Utilizaci�on del Multicomputador

B.1 Descripci�on del Multicomputador

El multicomputador Parsytec PowerXplorer, comercializado por la em-

presa alemana Parsytec GmbH, corresponde a una arquitectura MIMD, escalable,

capaz de operar as��ncronamente y cuya intercomunicaci�on de procesadores se rea-

liza mediante intercambio de mensajes. Su raz�on de velocidad de procesamiento

a comunicaci�on elevada y su capacidad de procesar instrucciones a nivel de subru-

tinas lo caracterizan entre las m�aquinas de grano grueso. Actualmente incorpora

2 unidades PowerXplorer, cada una con 4 pares procesador-memoria, pero puede

ser escalado con m�as unidades. El multicomputador se activa mediante un servidor

SUN SPARCstation 5 conectado a las unidades PowerXplorer mediante un controla-

dor SCSI. En la Figura B.1 se ilustra una representaci�on gr�a�ca del multicomputador

mientras que en la Tabla B.1 se enumeran caracter��sticas t�ecnicas.

0

Nodo Nodo

NodoNodo

2 3

1

32 MB RAMCompartida

4 MB MemoriaLocal

PowerXplorer PowerXplorerDisqueteraMagnética

Bus de Interfaz

RatónTeclado

Servidor

SCSI

Procesador RISCPowerPC 601

Procesador deComunicacionesInmos T805

32 Bits

64 Bits

Figura B.1: Representaci�on gr�a�ca del multicomputador Parsytec PowerXplorer

160

Tabla B.1: Caracter��sticas t�ecnicas del multicomputador Parsytec PowerXplorer

N�umero total de nodos 8

Procesador num�erico PowerPC 601

Velocidad de procesamiento (64-bit IEEE) 80 MFLOPS

Procesador de comunicaci�on Inmos T805

Comunicaci�on (Ancho de banda bidireccional) 8.8 MBytes/s

Memoria compartida 32 MBytes

Memoria local (T805) 4 MBytes

El intercambio de mensajes se realiza por medio de procesadores de co-

municaci�on (transputers), cada uno de los cuales puede ser enlazado con cuatro pares

similares para as�� formar un arreglo bidimensional de nodos. Un proceso de comu-

nicaci�on simple, en el cual un nodo (A) env��a informaci�on a otro nodo (B), se inicia

con la interrupci�on del procesador num�erico A y la habilitaci�on del procesador de

comunicaci�on A para acceder a la informaci�on situada en la memoria compartida A.

La informaci�on obtenida puede ser eventualmente almacenada en la memoria local A,

o transmitida en forma directa al procesador de comunicaci�on B. De manera similar,

la informaci�on recibida por este procesador podr��a ser almacenada en la memoria

local B o, luego de interrumpir el procesador num�erico B, cargada directamente en

la memoria compartida del nodo B para as�� �nalizar el proceso de comunicaci�on.

B.2 Ejecuci�on de Programas y Partici�on del Multicomputador

La ejecuci�on de un programa en el microcomputador se realiza ejecutando

el siguiente c�odigo:

ppx run -fcanal coordx coordy nombre prog.px

Las palabras en letras cursivas indican argumentos de�nidos por el usuario. El

argumento canal corresponde al canal de comunicaci�on entre el servidor y el multi-

computador, el cual puede tomar los valores enteros 0 �o 1. Los argumentos coordx

y coordy de�nen la partici�on a utilizar, �esta hace referencia al subconjunto de nodos

161

Tabla B.2: Particiones actuales del multicomputador Parsytec PowerXplorer

coordx coordy N�umero de nodos

1 1 1

1 2 2

2 2 4

2 3 6

2 4 8

que, dispuestos f��sicamente en una estructura similar a una matriz bidimensional de

coordenadas coordx y coordy, ejecutan el programa (de extensi�on px) designado por

el argumento nombre prog. Las particiones de�nidas actualmente se enumeran en la

Tabla B.2. As�� por ejemplo, para ejecutar el programa de simulaci�on, en una red de

4 nodos activada a trav�es del canal 0, debe ejecutarse el siguiente c�odigo:

ppx run -f0 2 2 sxm.px

Cuando se ejecuta un programa en el multicomputador todos los nodos

asignados a la partici�on seleccionada ejecutan el mismo programa. El procesamiento

paralelo se obtiene mediante el control l�ogico de las sentencias de c�odigo de�nidas

en el programa. A modo de ejemplo, un pseudo c�odigo para un programa en el cual

simult�aneamente el nodo 0 suma dos n�umeros y el nodo 1 los resta es:

int suma_resta(int a, int b)

{

/* SUMA Y RESTA SIMULTANEA */

int MYP, c;

MYP: numero del procesador; /* Identificador del Procesador */

if (MYP==0)

c=a+b; /* Suma en el Procesador 0 */

else

c=a-b; /* Resta en el Procesador 1 */

return c;

}

162

ANEXO C: Construcci�on del Programa de Simulaci�on en Lenguaje C

C.1 T�ecnicas de Programaci�on Basadas en Lenguaje C

El c�odigo del programa de simulaci�on desarrollado es extenso y complejo,

�esto no s�olo por la complejidad intr��nseca del problema en an�alisis, sino tambi�en

por el hecho de que el Lenguaje C contiene capacidades de programaci�on que distan

de aquellas conocidas en otros lenguajes de programaci�on m�as convencionales. El

compilador de Lenguaje C provisto por Parix, el sistema operativo utilizado por el

multicomputador, corresponde a una extensi�on del ANSI C en la cual se incorporan

librer��as para reconocimiento del hardware del multicomputador y para facilidades

de comunicaci�on. En este Anexo se describen t�ecnicas de programaci�on basadas

en las opciones provistas por dicho compilador y utilizadas en la construcci�on del

programa de simulaci�on. La descripci�on es breve y s�olo se orienta a dar a conocer

una visi�on general de la estructura de programaci�on utilizada.

C.1.1 Programaci�on estructurada basada en subrutinas y directivas

#include

Ciertamente la programaci�on estructurada, en la cual la complejidad de

un c�odigo �unico, usualmente muy extenso, se obvia mediante la utilizaci�on de su-

brutinas, corresponde a una t�ecnica de programaci�on muy utilizada. Esta t�ecnica

tambi�en fue adoptada para la construcci�on del programa de simulaci�on; m�as aun,

estando muchas de estas subrutinas ligadas a otras por el problema al cual est�an

asociadas, tambi�en fueron agrupadas en archivos de texto independientes que pue-

den ser compilados a trav�es de la inclusi�on de c�odigos con directivas #include en

el programa principal. Las once directivas #include desarrolladas se describen muy

brevemente a continuaci�on:

� #include \matrix.h": agrupa subrutinas que realizan operaciones matriciales

b�asicas.

� #include \memsim.h": agrupa subrutinas que solicitan memoria din�amica.

� #include \model.h": agrupa subrutinas para formular las matrices del modelo

163

de estado del sistema (relaciones diferenciales).

� #include \cnd ini.h": agrupa subrutinas para evaluar las condiciones en estado

estacionario.

� #include \nolineal.h": agrupa subrutinas para evaluar las matrices asociadas

con los t�erminos nolineales del modelo del sistema.

� #include \lineal.h": agrupa subrutinas para evaluar las matrices asociadas con

los t�erminos obtenidos de la linealizaci�on del modelo del sistema.

� #include \stator.h": agrupa subrutinas para formular las matrices asociadas

con las relaciones algebraicas en el estator de los generadores s��ncronos.

� #include \obt fctn.h": agrupa subrutinas para formular las matrices asociadas

con el modelo nolineal del sistema y su Jacobiano.

� #include \tim par.h": agrupa subrutinas para formular las matrices asociadas

con la integraci�on basada en el concepto de paralelizaci�on temporal acoplada.

� #include \decomp.h": agrupa subrutinas para obtener la Descomposici�on �

Balanceada.

� #include \inv mat.h": agrupas subrutinas para inversi�on bifactorizada.

C.1.2 Utilizaci�on de punteros

El uso de punteros permite manipular datos a partir de la direcci�on de

RAM donde �estos se encuentran. Una ventaja de los punteros es que proveen una

manera e�ciente para el traspaso de datos entre subrutinas, pues evitan la copia

profunda de las variables de entrada y salida de la subrutina. Cuando la variable

est�a direccionada mediante un puntero los datos pueden ingresar a la subrutina sin

necesidad de copiar el valor de la variable externa a la subrutina en la variable local

de �esta, pues simplemente se puede copiar (en la variable local de la subrutina)

la direcci�on de memoria donde se almacena el dato externo. De manera similar,

la salida de una variable local a la subrutina puede corresponder a la direcci�on

donde se almacena y no al valor propiamente tal. Claramente el uso de punteros se

164

justi�ca cuando se considera que la informaci�on que trans�ere una subrutina puede

corresponder a un arreglo t��pico de 20:000 n�umeros representados con precisi�on doble.

Por otro lado, los punteros tambi�en se utilizan para soportar la comu-

nicaci�on entre procesadores y para asignar memoria din�amica. Ambas tareas son

frecuentemente realizadas por el programa de simulaci�on realizado y se describen en

lo que resta de este Anexo.

C.1.3 Asignaci�on de memoria din�amica

El Lenguaje C permite de�nir el tama~no de arreglos en tiempo de ejecu-

ci�on, lo cual implica que dicho tama~no no necesariamente debe de�nirse de manera

previa a la compilaci�on del c�odigo fuente. Esta capacidad se denomina asignaci�on de

memoria din�amica, permite el ahorro de RAM y puede utilizarse ventajosamente en

el dise~no de programas para an�alisis de sistemas el�ectricos de potencia. Por ejemplo,

consid�erese su utilizaci�on en el caso del an�alisis de un sistema el�ectrico peque~no para

el cual s�olo se requiere un porcentaje de la capacidad total de un arreglo dise~nado

para permitir el an�alisis de un sistema de gran tama~no, o en el que la capacidad del

arreglo no sea lo su�cientemente grande como para permitir el an�alisis de un sistema

mayor que el utilizado para efectos de dimensionamiento del arreglo.

El tama~no de la gran mayor��a de los arreglos utilizados en el programa de

simulaci�on se de�ne en tiempo de ejecuci�on, bajo la consideraci�on de las caracter��sti-

cas del sistema en an�alisis y de la cantidad de procesadores utilizados para simularlo;

�esto permite analizar e�cientemente sistemas de diferentes tama~nos, ahorrar RAM

y escalar la aplicaci�on.

C.1.4 Utilizaci�on de estructuras de datos

Una estructura de datos permite agrupar la informaci�on asociada a un

elemento anal��tico particular de manera de poder manipularlo e�ciente y ordenada-

mente. El programa de simulaci�on construido incorpora una serie de estructuras de

datos, algunas relativamente simples y otras m�as complejas. La descripci�on de cada

una de las estructuras de�nidas en el programa no ser�a considerada, puesto que po-

165

dr��a resultar en un trabajo muy extenso; sin embargo, mediante el siguiente ejemplo,

se har�a un alcance que permita re ejar la motivaci�on y el bene�cio de utilizarlas.

Consid�erese la informaci�on asociada a una representaci�on de estado est�an-

dar, en la cual un modelo lineal se de�ne a trav�es de cuatro matrices: la matriz de

planta, la matriz de control, la matriz de salidas medidas y la matriz de realimen-

taci�on directa. A su vez, la informaci�on de una matriz, representada mediante una

lista que almacena s�olo los elementos no nulos en ella, se puede de�nir a trav�es de

dichos elementos, de su posici�on en la matriz y de la dimensi�on de �esta. Entonces,

para de�nir una matriz descrita por una lista simple se requieren dos enteros para

almacenar la dimensi�on de la matriz, dos vectores de enteros para almacenar la posi-

ci�on de los elementos no nulos y un vector de \doubles" (o \ oats") para almacenar

el valor de dichos elementos. A modo de ejemplo, estos datos pueden ser agrupa-

dos en una estructura \matriz" y, a partir de esta estructura, de�nir la estructura

\repr estado" con las cuatro matrices requeridas. La de�nici�on de estas estructuras

permitir��a de�nir tantos modelos de estado como uno quiera, sin tener que de�nir

para cada modelo cada una de las variables necesarias para almacenar la informaci�on

asociada. Es m�as, para ingresar un modelo de estado a una subrutina particular s�olo

se requerir��a de un argumento de entrada, lo cual es considerablemente m�as ventajoso

que la entrada de los 20 argumentos necesarios para su de�nici�on.

El ejemplo anterior es �util para inferir la gran cantidad de estructuras de

datos que se utiliz�o para la construcci�on del programa; �estas consideran la repre-

sentaci�on de una matriz est�andar, de una matriz cuasivac��a, de la representaci�on de

estado, de la matriz de admitancia nodal, por s�olo dar unos pocos ejemplos.

C.2 Intercomunicaci�on de Procesadores

El compilador de Lenguaje C Parix soporta la comunicaci�on entre proce-

sadores mediante subrutinas compilables a trav�es de la inclusi�on del c�odigo con la

directiva #include < sys=rrouter:h >. Las subrutinas ofrecen gran exibilidad en el

proceso de comunicaci�on, el cual podr��a realizarse mediante el intercambio expl��cito

de mensajes entre nodos, o con la ayuda de la prede�nici�on de redes de comunicaci�on

optimizadas.

166

El mecanismo de comunicaci�on utilizado en la construcci�on del programa

consiste de la comunicaci�on entre nodos. Desde un punto de vista general la comu-

nicaci�on implica las tareas b�asicas de transmisi�on y recepci�on de datos en los nodos;

en t�erminos del programa construido, estas tareas se requieren para los siguientes

dos casos:

� Un nodo transmite informaci�on al resto

� Todos los nodos trans�eren su informaci�on al resto

Los c�odigos de programa presentados a continuaci�on corresponden a los

casos mencionados anteriormente. En ambos casos el proceso de comunicaci�on se

realiza a trav�es de las subrutinas SendNode y RecvNode. Los argumentos de entrada

a SendNode son: el nodo que recibe la informaci�on, el identi�cador del mensaje

(que se utiliza para que el destinatario distinga un mensaje particular cuando varios

emisores le env��an informaci�on), un puntero con la direcci�on de RAM donde se

encuentra el mensaje y el tama~no en bytes de �este. A su vez, los argumentos para

RecvNode son: el nodo desde donde proviene el mensaje, el identi�cador del mensaje,

el lugar de RAM donde se almacenar�a el mensaje y el tama~no en bytes del mensaje.

Ambos c�odigos fueron copiados del programa de simulaci�on realizado; en adici�on a

las variables descritas previamente se utilizan las variables MY P , NPP y NE, las

cuales corresponden, respectivamente, al identi�cador del procesador, al n�umero de

procesadores y al n�umero de datos que se transmitir�a.

/* Codigo 1: El nodo 0 envia informacion al resto de los nodos */

if (MYP==0)

{

for (i=1;i<NPP;i++)

{

SendNode(i,0,p[0],NE*sizeof(double));

}

}

if (MYP!=0)

{

RecvNode(0,0,p[MYP],NE*sizeof(double));

}

167

/* Codigo 2: Todos los Nodos transfieren su informacion al resto */

for (i=0;i<NPP;i++)

{

if(i!=MYP)

{

SendNode(i,MYP,mx[MYP],NE*sizeof(double));

}

else

{

for (j=0;j<NPP;j++)

{

if (j!=MYP)

{

RecvNode(j,j,mx[j],NE*sizeof(double));

}

}

}

}

168

ANEXO D: Datos del Sistema de Prueba IEEE300

Los par�ametros de los modelos din�amicos del generador s��ncrono y del

sistema de excitaci�on utilizados para simular el sistema de prueba IEEE300 se listan

en la Tabla D.1.

Tabla D.1: Par�ametros din�amicos utilizados en las simulaciones del sistema de prueba

IEEE300

Unidad H(seg:) xd(pu) x0

d(pu) xq(pu) T0

do(seg:) Ka(pu) Ta(seg:)

1 12.0495 1.0043 0.1595 0.9747 3.8000 200.0000 0.3950

2 0.2898 0.0364 0.0163 0.0232 4.2000 50.0000 0.1500

3 1.5094 0.0134 0.0041 0.0086 7.2000 65.0000 0.2000

4 1.1301 0.0720 0.0134 0.0703 4.7500 57.0000 0.0500

5 1.2535 0.0720 0.0134 0.0703 4.7500 57.0000 0.0500

6 1.7723 0.0357 0.0059 0.0349 6.6000 200.0000 0.0600

7 10.4293 0.0204 0.0037 0.0202 5.2100 300.0000 0.0200

8 5.1185 0.0084 0.0027 0.0046 5.2000 17.8000 0.2000

9 0.8913 0.0179 0.0029 0.0176 6.0000 300.0000 0.0500

10 4.8103 0.0095 0.0033 0.0064 8.4000 180.0000 0.5000

11 3.7252 0.0121 0.0035 0.0079 6.1700 54.0000 0.1050

12 74.5770 0.0058 0.0019 0.0043 8.0000 50.0000 0.0600

13 11.0798 0.0154 0.0023 0.0147 4.8000 30.0000 0.4000

14 8.2339 0.0204 0.0042 0.0201 5.1400 250.0000 0.0600

15 8.9590 0.0045 0.0007 0.0044 6.0000 300.0000 0.0500

16 8.6644 0.0045 0.0007 0.0044 6.0000 300.0000 0.0500

17 18.6548 0.0020 0.0004 0.0020 5.6900 300.0000 0.0200

18 2.8326 0.0036 0.0011 0.0028 6.5500 300.0000 0.0500

19 7.5580 0.0014 0.0005 0.0011 8.0000 50.0000 0.0600

20 5.5138 0.0027 0.0008 0.0016 8.6800 276.0000 0.0600

21 9.8385 0.0051 0.0009 0.0050 5.2100 300.0000 0.0200

22 7.3781 0.0014 0.0005 0.0011 8.0000 50.0000 0.0600

23 0.8444 0.0248 0.0077 0.0153 5.4000 65.2000 0.2000

24 7.9398 0.0058 0.0019 0.0043 8.0000 50.0000 0.0600

25 4.7474 0.0084 0.0027 0.0046 5.2000 17.8000 0.2000

26 9.5304 0.0204 0.0042 0.0201 5.1400 250.0000 0.0600

27 2.8326 0.0146 0.0045 0.0111 6.5500 300.0000 0.0500

28 6.8806 0.0014 0.0005 0.0011 8.0000 50.0000 0.0600

29 44.8031 0.0014 0.0003 0.0013 9.1000 50.0000 0.0200

30 45.1145 0.0014 0.0003 0.0013 9.1000 50.0000 0.0200

31 12.5774 0.0016 0.0003 0.0016 3.8000 200.0000 0.3950

32 73.2709 0.0015 0.0003 0.0014 6.5800 300.0000 0.0200

33 11.5738 0.0136 0.0022 0.0131 3.7000 50.0000 0.0600

34 11.3792 0.7493 0.1128 0.7140 4.8000 30.0000 0.4000

169

Tabla D.1: Par�ametros din�amicos utilizados en las simulaciones del sistema de prueba

IEEE300 (Continuaci�on)

Unidad H(seg:) xd(pu) x0

d(pu) xq(pu) T0

do(seg:) Ka(pu) Ta(seg:)

35 4.0625 0.0076 0.0022 0.0044 8.6800 276.0000 0.0600

36 12.3495 0.0100 0.0016 0.0097 3.8000 200.0000 0.3950

37 9.2656 0.5909 0.0961 0.5818 6.0000 300.0000 0.0500

38 15.1037 0.3405 0.0528 0.3367 5.4320 300.0000 0.0200

39 9.1120 0.6743 0.1215 0.6668 5.2100 300.0000 0.0200

40 9.8653 0.0543 0.0088 0.0534 6.0000 300.0000 0.0500

41 34.5526 0.0821 0.0274 0.0591 7.4000 200.0000 0.0200

42 8.9947 0.0124 0.0020 0.0122 6.0000 300.0000 0.0500

43 30.2221 0.0098 0.0014 0.0097 3.6500 30.0000 0.4000

44 29.6719 0.0821 0.0274 0.0591 7.4000 200.0000 0.0200

45 5.8724 0.0146 0.0021 0.0141 5.9000 25.0000 0.2000

46 3.0845 0.0443 0.0137 0.0336 6.5500 300.0000 0.0500

47 12.8252 1.0043 0.1595 0.9747 3.8000 200.0000 0.3950

48 32.4307 0.1725 0.0575 0.1241 7.4000 200.0000 0.0200

49 45.1250 0.5375 0.1179 0.5236 6.1200 300.0000 0.0200

50 15.3676 0.6771 0.1327 0.3865 9.2000 100.0000 0.0200

51 11.2219 0.9474 0.1503 0.9077 3.7000 50.0000 0.0600

52 12.6221 1.0043 0.1595 0.9747 3.8000 200.0000 0.3950

53 6.1125 1.4630 0.2056 1.4089 5.9000 25.0000 0.2000

54 11.2529 0.9474 0.1503 0.9077 3.7000 50.0000 0.0600

55 28.5230 0.4643 0.0673 0.4617 3.6500 30.0000 0.4000

56 1.4903 1.3680 0.3952 0.8208 5.5000 37.3000 0.1200

57 1.6022 2.0926 0.7037 1.2593 8.5000 25.0000 0.2000

58 6.2053 1.4630 0.2056 1.4089 5.9000 25.0000 0.2000

59 11.0981 0.9474 0.1503 0.9077 3.7000 50.0000 0.0600

60 11.3483 0.9474 0.1503 0.9077 3.7000 50.0000 0.0600

61 4.6903 0.7156 0.2343 0.4303 7.0700 300.0000 0.0500

62 46.7023 0.4146 0.0847 0.4007 6.5800 300.0000 0.0200

63 38.8697 0.1725 0.0575 0.1241 7.4000 200.0000 0.0200

64 29.3125 0.1725 0.0575 0.1241 7.4000 200.0000 0.0200

65 0.1217 11.0633 4.9548 7.0436 4.2000 50.0000 0.1500

66 1.0207 2.4750 0.7950 1.5375 5.3000 65.2000 0.2000

67 2.0864 2.8571 0.7429 1.7714 7.1000 45.0000 0.1000

68 1.7002 2.0926 0.7037 1.2593 8.5000 25.0000 0.2000

69 0.2345 2.5306 1.1333 1.6111 4.2000 50.0000 0.1500

El resto de los par�ametros utilizados en la simulaci�on, incluyendo datos de

l��neas, transformadores y elementos de compensaci�on, as�� como tambi�en los datos de

las condiciones de operaci�on, se encuentran disponibles en la p�aginaWeb referenciada

previamente en la secci�on 5.1.3.