pontificia universidad catÓlica de …lep.eie.pucv.cl/tesisantoniocastillo.pdf · pontificia...

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE VALPARAÍSO - CHILE

ESCUELA INGENIERÍA ELÉCTRICA

ESTUDIO DEL CONTROL DE VELOCIDAD Y TORQUE DE UN MOTOR DE

INDUCCIÓN TRIFÁSICO APLICANDO LA TÉCNICA DE CONTROL

VECTORIAL INDIRECTO EN TENSIÓN CON Y SIN SENSOR DE

POSICIONAMIENTO

ANTONIO ALEJANDRO CASTILLO PIÑONES

INFORME FINAL DE PROYECTOPRESENTADO EN CUMPLIMIENTODE LOS REQUISITOS PARA OPTARAL TÍTULO PROFESIONAL DEINGENIERO CIVIL ELECTRÓNICO.

DICIEMBRE 2011

2

ESTUDIO DEL CONTROL DE VELOCIDAD Y TORQUE DE UN MOTOR DEINDUCCIÓN TRIFÁSICO APLICANDO LA TÉCNICA DE CONTROLVECTORIAL INDIRECTO EN TENSIÓN CON Y SIN SENSOR DEPOSICIONAMIENTO

INFORME FINAL

Presentado en cumplimiento de los requisitos

para optar al título profesional de

Ingeniero Civil Electrónico

otorgado por la

Escuela de Ingeniería Eléctrica

de la

Pontificia Universidad Católica de Valparaíso

Antonio Alejandro Castillo Piñones

Profesor Guía: Sr. Domingo Ruiz Caballero.Profesor Correferente 1: Sr. René Sanhueza Robles.Profesor Correferente 2: Sr. Miguel López González.

DICIEMBRE 2011

3

ACTA DE APROBACIÓN

La Comisión Calificadora designada por la Escuela de Ingeniería Eléctrica ha

aprobado el texto del Informe Final del Proyecto de Titulación, desarrollado entre

el segundo semestre del 2009 y el segundo semestre del 2010, y denominado.


Presentado por el Señor


Domingo Ruiz Caballero

Profesor Guía

Rene Sanhueza Robles

Segundo Revisor

Héctor Peña Mcleod

Secretario Académico

Valparaíso, Diciembre 2011

4



Profesor Guía Sr. Domingo Ruiz Caballero

RESUMEN

Hasta hace algunos años el principal motor utilizado en procesos de

velocidad variable era el motor de corriente continua por su facilidad en la forma

de controlar la posición y la velocidad. Por otra parte el motor de inducción es el

más utilizado en procesos de velocidad constante, por su construcción simple y

robusta. Sin embargo, el modelo eléctrico que caracteriza su comportamiento

dinámico es fuertemente no lineal, multivariable y altamente acoplado lo que

naturalmente torna complejo el control de velocidad.

Con la llegada de la electrónica de potencia se abre una ventana para

entregar una solución a esta desventaja. Además integrando la aplicación de la

técnica de control vectorial se ha logrado extrapolar la técnica de control de los

motores de corriente continua al ámbito de los motores de inducción.

En el siguiente estudio, mediante el programa de simulación MATLAB-

SIMULINK, se realizarán simulaciones del control vectorial aplicado a un motor

de inducción trifásico de baja tensión mediante un inversor multinivel hibrido

simétrico alimentado en tensión, realizando un estudio en donde se desarrollarán

aplicaciones de modulación PWM sinusoidal, PWM vectorial, muestreando la

velocidad del rotor y estimando, en base a los valores de tensión y corriente en

el estator, la velocidad del rotor.

5

ÍNDICE

PaginaINTRODUCCIÓN 1

CAPÍTULO 1 2LAS TRANSFORMADAS DE CLARK Y PARK 21.1 TRANSFORMACIÓN DE CLARK 21.2 TRANSFORMACIÓN DE PARK 6

CAPÍTULO 2 9MODELO MATEMÁTICO MOTOR INDUCCIÓN JAULA DEARDILLA

9

2.1 MODELO DE LA MÁQUINA EN MARCO DE REFERENCIAARBITRARIO

9

2.2 PARÁMETROS DEL MOTOR DE INDUCCIÓN 162.3 ANÁLISIS MATEMÁTICO 172.4 SIMULACIONES EN MATLAB SIMULINK. 19

CAPÍTULO 3 31EL CONTROL VECTORIAL 313.1 INTRODUCCIÓN AL CONTROL VECTORIAL 313.2 CONTROL DE CAMPO ORIENTADO 313.3 MODELO DE CONTROL A UTILIZAR 353.4 DEFINICIÓN DE LAS PLANTAS PARA LAZOS DE CONTROL 353.4.1 Plantas de corriente 363.4.2 Planta de velocidad 373.4.3 Planta de flujo 383.5 DISEÑO DE LOS CONTROLADORES APLICADOS 383.5.1 Controlador PI de corriente 383.5.2 Controlador PI de flujo 393.5.3 Controlador PI de velocidad 393.5.4 Controlador PI mas antiarrollamiento (Antiwindup) 403.6 SIMULACIÓN CONTROL VECTORIAL EN MATLAB-SIMULINK 413.6.1 Simulación a torque constante 413.6.2 Simulación del sistema a velocidad y torque variable 423.7 CONTROL VECTORIAL SIN SENSOR DE POSICIONAMIENTO 43

CAPÍTULO 4 56EL ALGORITMO DE MODULACIÓN VECTORIAL 564.1 MODULACIÓN VECTORIAL 564.2 ALGORITMO DE MODULACIÓN VECTORIAL APLICADA A UN

INVERSOR DE DOS NIVELES56

4.3 ALGORITMO IMPLEMENTADO EN MATLAB – SIMULINK 59

6

4.4 ALGORITMO DE MODULACIÓN VECTORIAL PARA UNINVERSOR NPC DE TRES NIVELES DE TENSIÓN

61

4.5 ALGORITMO IMPLEMENTADO EN MATLAB SIMULINK PARAUN INVERSOR NPC ALIMENTADO EN TENSIÓN

63

4.6 NUEVOS ALGORITMOS DE MODULACIÓN VECTORIALPARA INVERSORES MULTINIVEL

63

4.6.1 Algoritmo de modulación vectorial CSV-PWM 644.6.2 Obtención de las señales de referencia mediante

programación matemática65

4.7 APLICACIÓN DE LA CSV-PWM EN UN INVERSORMULTINIVEL

68

4.7.1 Inversor multinivel hibrido simétrico 684.7.2 Implementación en simulink de la CSV-PWM 694.7.3 Aplicación del control vectorial mas modulación CSV-PWM

con un inversor multinivel hibrido simétrico69

4.7.4 Comparación de las corrientes en el estator con diferentesmodulaciones e inversores

69

CONCLUSIÓN 80

BIBLIOGRAFÍA 81

APÉNDICE A A-1TIEMPOS DE CONMUTACIÓN A-1

7

GLOSARIO DE TÉRMINOS

T : Torque electromotriz. [N-m]PK : Constante de proporcionalidad. [-]M : Flujo magnético. [Wb]

iI : Corriente continúa en el inducido. [A]eI : Corriente continúa en el campo. [A]aE : Tensión inducida. [V]vK : Constante de proporcionalidad. [-]r : Velocidad mecánica rotor. [Rad/s]

sN : Espiras por polo por fase.

wk : Factor de devanado. [-]

ai : Corriente sinusoidal fase a. [A]

bi : Corriente sinusoidal fase b. [A]

ci : Corriente sinusoidal fase c. [A]

AI : Amplitud de la corriente ai . [A]

BI : Amplitud de la corriente bi . [A]

CI : Amplitud de la corriente ci . [A]

MagnetomotrizFm : Distribución sinusoidal magnetomotriz. [N-m]mF : Amplitud de la fuerza magnetomotriz. [N-m]

F : Amplitud de la fuerza magnetomotriz en el eje alfa. [N-m]F : Amplitud de la fuerza magnetomotriz en el eje beta. [N-m]i

: Corriente en el eje alfa. [A]i

: Corriente en el eje beta. [A]0i: Corriente de secuencia cero. [A]

0T : Transformada a ejes estacionarios.1

0T : Transformada inversa de ejes estacionarios.qi : Corriente en el eje de cuadratura. [A]di : Corriente en el eje directo. [A]

0dqT : Transformada en eje directo y cuadratura.

8

10dqT : Transformada inversa en eje directo y cuadratura.

sN : Número de vueltas efectivas del estator

rN : Número de vueltas efectivas del rotor.: Velocidad angular. [Rad/s]

e : Velocidad angular sincrónica. [Rad/s]qr

: Enlaces de flujo en el rotor en eje de cuadratura referido al estator. [Wb]qr

: Enlaces de flujo en el rotor en eje de cuadratura. [Wb]dr

: Enlaces de flujo en el rotor en eje directo referido al estator. [Wb]dr

: Enlaces de flujo en el rotor en eje directo. [Wb]qri

: Corriente en el rotor en el eje de cuadratura referido al estator. [A]qri

: Corriente en el rotor en eje de cuadratura. [A]dri

: Corriente en el rotor en eje directo referido al estator. [A]dri : Corriente en el rotor en eje directo [A]

lrL : Inductancia de dispersión del rotor referida al estator [H].lrL : Inductancia de magnetización del rotor [H].

rR : Resistencia del rotor referida al estator [H].rR : Resistencia del Rotor [Ohm]

qsv: Tensión en el estator en eje de cuadratura. [V]

sR: Resistencia en el estator.

qsi: Corriente en el estator en eje de cuadratura. [A]

qs: Enlaces de flujo en el estator en eje de cuadratura. [Wb]

ds: Enlaces de flujo en el estator en eje directo. [Wb]

dsv: Tensión en el estator en eje directo. [V]

dsi: Corriente en el estator en eje directo. [A]

ds: Flujo enlazado en el estator en eje directo. [Wb]

9

qs: Flujo enlazado en el estator en eje de cuadratura. [Wb]

0sv: Tensión de secuencia cero. [V]

0si : Corriente de secuencia cero. [A]0s : Flujo enlazado de secuencia cero. [Wb]qrv

: Tensión en el rotor referida al estator en eje de cuadratura. [V]r: Velocidad angular eléctrica en el rotor. [Rad/s]

drv: Tensión en el rotor referida al estator en eje directo. [V]

0rv: Tensión de secuencia cero en el rotor referido al estator. [V]

0ri: Corriente de secuencia cero el rotor referido al estator. [A]

0r: Flujo enlazado de secuencia cero referido al estator. [Wb]

lsL: Inductancia de magnetizante del estator. [H]

mL: Inductancia mutua. [H]

lrL : Inductancia magnetizante del rotor. [H]sL : Inductancia en el estator. [H]rL : Inductancia en el rotor. [H]inP : Potencia de entrada. [W]asv : Tensión instantánea fase a. [V]

asi : Corriente instantánea fase b. [A]bsv : Tensión instantánea fase b. [V]

csi : Corriente instantánea fase c. [A]arv : Tensión instantánea fase a en el rotor referida al estator. [V]

ari : Corriente instantánea fase a en el rotor referida al estator. [A]brv : Tensión instantánea fase b en el rotor referida al estator. [V]

bri : Corriente instantánea fase b en el rotor referida al estator. [A]crv : Tensión instantánea fase c en el rotor referida al estator. [V]cri : Corriente instantánea fase c en el rotor referida al estator. [A]

emT : Torque electromagnético. [N-m]

10

P : Pares de polos.qs : Enlaces de flujo por vuelta en el estator en eje de cuadratura. [Wb*Rad/s]b : Velocidad angular base. [Rad/s]qs : Flujo enlazado en el estator en eje de cuadratura. [Wb]ds : Flujo por vuelta o espira en el estator en eje directo. [Wb*Rad/s]ds : Enlace de flujo en el estator en eje directo. [Wb]0s : Flujo por vuelta de secuencia cero. [Wb*Rad/s]0s : Enlaces de flujo de secuencia cero. [Wb]

qr : Flujo por vuelta en el rotor en eje de cuadratura referido al estator.[Wb*Rad/s]

qr : Enlaces de flujo en el rotor en eje de cuadratura referido al estator. [Wb]dr : Flujo por vuelta en el rotor en eje directo referido al estator.

[Wb*Rad/s]dr : Enlaces de flujo en el rotor en eje directo referido al estator. [Wb]0 r : Flujo por vuelta de secuencia cero en el rotor referido al estator.

[Wb*Rad/s]0r : Enlaces de flujo de secuencia. [Wb]

qm : Flujo magnetizante por vuelta en eje de cuadratura. [Wb*Rad/s]qm : Enlace de flujo magnetizante en eje de cuadratura. [Wb]dm : Flujo magnetizante por espira en eje directo. [Wb*Rad/s]

dm : Enlace de flujo magnetizante en eje directo. [Wb]lsX : Reactancia de dispersión del estator. [Ohm]

lrX : Reactancia de dispersión del rotor referida al estator. [Ohm]mX : Reactancia de magnetización. [Ohm]sX : Reactancia del estator. [Ohm]

rX : Reactancia del rotor referida al estator. [Ohm]qm

: Flujo por espira magnetizante en eje de cuadratura [Wb*Rad/s]

sQV : Tensión en el estator en eje de cuadratura en marco de referenciaestacionario. [V]

sDV : Tensión en el estator en eje directo en marco de referencia estacionario. [V]

rmech : Velocidad mecánica del rotor. [Rad/s]

11

s : Velocidad sincrónica del motor. [Rad/s]

ak : Coeficiente de proporcionalidad [-]aI : Corriente de armadura. [A]fI : Corriente de campo. [A]( )fI : Flujo de campo. [Wb]aov : Tensión fase neutro inversor. [V]

bov : Tensión fase neutro inversor. [V]

cov : Tensión fase neutro inversor. [V]

anv : Tensión fase neutro carga. [V]

bnv : Tensión fase neutro carga. [V]

cnv : Tensión fase neutro carga. [V]E: Tensión en el puente de continua. [V]

1V : Vector activo de tensión 1. [V]1T : Tiempo de ciclo útil de vector 1V . [S]

2V : Vector activo de tensión 2. [V]2T : Tiempo de ciclo útil de vector 2V . [S]

sV : Vector espacial de referencia. [V]sT : Periodo. [s]

0T : Tiempo de ciclo útil vector nulo. [S]

1S : Interruptor 1.

2S : Interruptor 2.

3S : Interruptor 3.

12

LISTADO DE FIGURAS

1-1 Devanado concentrado de paso diametral1-2 Proyección sobre los ejes “ ”y “ ”.1-3 Ejes d y q.2-1 Marco de referencia arbitrario que gira a una velocidad ,2-2 Circuito equivalente en ejes qd0.2-3 Ecuación para flujo qs

2-4 Ecuación para flujo ds

2-5 Ecuación para flujo qr

2-6 Ecuación para flujo dr

2-7 Ecuación para flujo mq

2-8 Ecuación para flujo md

2-9 Ecuación para la corriente sqi2-10 Ecuación para la corriente sdi2-11 Ecuación para la corriente rqi2-12 Ecuación para la corriente rdi2-13 Ecuación para el torque eT2-14 Ecuación para la velocidad r2-15 Modelo completo motor de inducción.2-16 Ecuación de la transformada de CLARK.2-17 Ecuación de la transformada de PARK2-18 Sistema completo motor de inducción2-19 Tensión ,ds qsV V .2-20 Tensiones sinusoidales en el estator.2-21Corrientes sinusoidales del estator.2-22 Velocidad sincrónica y velocidad mecánica en el rotor.2-23 Corriente sqi .

2-24 Corriente sdi .2-25 Corriente rqi2-26 Corriente rdi2-27 Enlace de flujo qs

2-28 Enlace de flujo ds

2-29 Enlace de flujo qr

13

2-30 Enlace de flujo dr

3-1 Maquina de corriente continua de excitación independiente.3-2 Marco de referencia sincrónico alineado con el campo del rotor.3-3 Método de control indirecto por fuente de tensión3-4 Respuesta al escalón unitario planta de corriente3-5 Respuesta al escalón unitario planta de flujo3-6 Respuesta al escalón unitario planta de velocidad3-7 Controlador proporcional e integral3-8 Respuesta del controlador proporcional e integral3-9 Controlador proporcional e integral + Anti arrollamiento3-10 Respuesta del controlador proporcional e integral + Anti arrollamiento3-11 Modelo general control vectorial aplicado al motor de inducción3-12 Respuesta del motor de inducción a la referencia de velocidad3-13 Tensión de fase neutro a inversor de dos niveles.3-14 Tensión de línea de tres niveles3-15 Torque electromagnético del motor3-16 Corriente en el eje de cuadratura del estator3-17 Flujo en el eje directo del rotor3-18 Corriente trifásica en el estator en referencia a la velocidad del motor3-19 Corriente trifásica en el estator3-20 Corriente en el eje directo del estator3-21 Velocidad angular del campo en el estator3-22 Variación de torque en la carga y de velocidad3-23 Torque electromecánico3-24 Variación de la corriente en el estator en función de la carga3-25 Corrientes trifásicas en el estator.3-26 Corriente en el eje de cuadratura del estator3-27 Corriente en el eje directo del estator3-28 Velocidad angular del campo3-29 Flujo en el eje directo del rotor3-30 Diagrama en bloques para estimación de velocidad en el rotor3-31 Referencia de velocidad versus velocidad real rotor3-32 Velocidad estimada3-33 Numerador ecuación 3-503-34 Denominador ecuación 3-504-1Inversor alimentado en tensión de dos niveles4-2 Ocho vectores en el plano complejo4-3 Sector 1 hexágono inversor de 24-4 Patrón de conmutación para sector 1.4-5 Algoritmo de modulación vectorial implementado en SIMULINK4-6 Generación del vector de referencia4-7 Cálculo del sector en que se encuentra el vector de referencia4-8 Angulo del vector de referencia4-9 Sector en que se encuentra el vector de referencia4-10 Factor en común para los tiempos activos

14

4-11 Tiempos de activación 1 2,T T generales

4-12 Tiempos de conmutación para 1 2 3, ,S S S .4-13 Tensión fase neutro inversor de dos niveles4-14 Tensiones de línea del inversor4-15 Análisis de Fourier para la tensión de fase neutro inversor4-16 Análisis de Fourier tensión de fase con PWM sinusoidal4-17 Inversor de tres niveles NPC4-18 Niveles de Tensión4-19 Vectores del inversor NPC en el plano complejo.4-20 Sector uno hexágono pequeño4-21 Sector uno hexágono mediano4-22 Sector uno hexágono grande4-23 Distribución estados de conmutación sector uno hexágono pequeño4-24 Cálculo de los sectores4-25 Tiempos 1 2 0, ,T T T4-26 Tensión de referencia a la salida de un brazo del inversor4-27 Tensión fase neutro del inversor NPC.4-28 Tensión de línea para el inversor NPC4-29 Serie de Fourier para triangular4-30 Triangular en Mathcad.4-31. Sinusoidales bases para moduladoras en Mathcad4-32 Sinusoidales mas componentes en Mathcad

4-33 Moduladoras en Mathcad

4-34 Moduladora mas triangulares en Mathcad

4-35 Célula Monofásica

4-36 Modulación SVPWM en Bloques

4-37 Moduladoras en Simulink

4-38 Tensión a la salida célula monofásica

4-39 Implementación general en Simulink

4-40 Referencia de velocidad versus real

4-41 Corriente estator usando CSVPWM

4-42 Corriente estator usando SPWM

4-43 Corriente estator usando SVPWM

4-44 Corriente estator usando CSVPWM

INTRODUCCIÓN

El Control vectorial o también conocido como control por orientación de

campo FOC (Field Oriented Control) es uno de los métodos usados para realizar

el control de la magnitud como la fase del flujo magnético del motor asíncrono

para conseguir un funcionamiento análogo al del motor de corriente continua que

hasta hace algunos años era el motor más usado para los accionamientos de

velocidad variable [1].

Actualmente, como consecuencia de los importantes progresos en

electrónica de potencia y micro controladores, el control de una máquina de

inducción han tenido un gran desarrollo. El motor de inducción es conocido por

su robustez, bajo costo, fiabilidad, por lo que ha sido sujeto de varias

investigaciones. Sin embargo, ha sido por largo tiempo usado en aplicaciones

industriales que no requieren de un alto rendimiento. En cambio el motor de

corriente continua ha sido largamente usado en aplicaciones de velocidad

variable, donde el torque y el flujo están naturalmente desacoplados y que

puede ser controlado independientemente, mediante sus corrientes de campo y

de armadura en el caso de una máquina de excitación independiente

Desde que Blashke y Hasse desarrollaron la nueva técnica de control

denominada control vectorial, el uso de la máquina de inducción se ha vuelto

más frecuente en operaciones que requieren un gran desempeño. Esta

estrategia de control entrega el mismo rendimiento que para un motor de

corriente continua de excitación independiente [2].

En este proyecto de titulo se comienza con un análisis de la aplicación de

las transformadas de Clark y Park para lograr una simplificación del análisis del

motor de inducción y su posterior aplicación en conjunto con el control vectorial.

Al finalizar todo el análisis teórico se procederá a simular en Matlab

Simulink el sistema estudiado, en donde se realizarán pruebas de carga,

variaciones en la referencia de velocidad, cambios de modulaciones para

obtener una visión general del comportamiento del motor de inducción.

2

CAPÍTULO 1

LAS TRANSFORMADAS DE CLARK Y PARK

1.1 TRANSFORMACIÓN DE CLARK

Esta transformación permite cambiar las variables de tensión, corriente y

flujo magnético, desde un sistema de referencia trifásico en movimiento a uno

bifásico estático. En general consiste en reemplazar el efecto del devanado

trifásico por otro bifásico formado por dos devanados “ ”y “ ” desfasados en

el espacio por 90 grados con el mismo factor de devanado, el número de espiras

del devanado bifásico debe ser equivalente al devanado trifásico.

Si consideramos una máquina asíncrona trifásica con tres devanados en

el estator “a”, “b”, “c” desfasados en el espacio 120 grados eléctricos con sN

espiras por polo por fase y factor de devanado “ wk ” que llevan respectivamente

las corrientes:

cos( )a Ai I t (1-1)

cos( 120 )b Ai I t (1-2)

cos( 120 )c Ai I t (1-3)

Si consideramos que la distribución de la fuerza magnetomotriz es

senodal, para el caso producido por un devanado concentrado de paso

diametral, que se puede ver en la figura (1-1):

mF

Figura 1-1 Devanado concentrado de paso diametral

3

Podemos ver en la figura, que las flechas negras muestran la distribución

sinusoidal de la fuerza magnetomotriz la cual será completamente definida si se

conoce su amplitud y la posición espacial del máximo positivo de la onda, este

segmento orientado en rojo representa el fasor espacial de la fuerza

magnetomotriz cuya distribución espacial por la periferia del entrehierro la

describe la función cos( ) .

Por lo tanto la distribución de la fuerza magnetomotriz sinusoidal se puede

escribir:

( ) cos( )Magnetomotriz mFFm (1-7)

Donde:

4* **2mN iF (1-8)

Si la corriente que circula por el devanado concentrado de paso diametral

es:

cos( )Ai I t (1-9)

Finalmente la fuerza magnetomotriz producida es:

( , ) [ cos( )]cos( )mt F tF (1-10)

En nuestro caso la fuerza magnetomotriz generada por el devanado

trifásico debe ser proyectada sobre los ejes “ ”y “ ” como se observa en la

figura 1-2.

a

b

c

ai

bi

ci

i

i

32

sN

32

sN

a

a

c b

b c

Figura 1-2 Proyección sobre los ejes “ ”y “ ”.

4

De esta manera tenemos:

4 [ ( ) ( 120 ) ( 120 )]s w a b cN k i sen i sen i senF (1-11)

4 [ cos( ) cos( 120 ) cos( 120 )]s w a b cN k i i iF (1-12)

En el devanado bifásico tiene 32

sN espiras por polo y por fase y produce

en los ejes “ ”y “ ” las fuerzas magnetomotriz siguiente:

342

sw

N k iF (1-13)

342

sw

N k iF (1-14)

Al igualar las fuerzas magnetomotrices se obtiene:

2 [ ( ) ( 120 ) ( 120 )]3 a b ci i sen i sen i sen (1-15)

2 [ cos( ) cos( 120 ) cos( 120 )]3 a b ci i i i (1-16)

Estas ecuaciones representan los valores de las corrientes que deben

circular por el devanado bifásico para que produzcan las mismas fuerzas

magnetomotrices que el sistema trifásico.

Debemos agregar una tercera variable que no contribuya a la creación de

fuerzas magnetomotrices en el entrehierro, la tercera variable debe ser una

corriente homopolar o de secuencia cero 0i :

01 ( )3 a b ci i i i (1-17)

Además:

0a b ci i i (1-18)

Por lo tanto:

0 0[ ]i A (1-19)

5

En forma matricial tenemos:

0

( ) ( 120 ) ( 120 )2 cos( ) cos( 120 ) cos( 120 ) *3

1 1 12 2 2

a

b

c

i sen sen sen ii ii i

(1-20)

Donde la matriz de transformación es:

0

( ) ( 120 ) ( 120 )2 cos( ) cos( 120 ) cos( 120 )3

1 1 12 2 2

sen sen senT (1-21)

Esta es la matriz de Clarke la cual no solamente se aplica a las corrientes

del estator, también se aplica a los flujos y a las tensiones de estos devanados:

10

cos( 120 ) ( 120 ) 1cos( ) ( ) 1

cos( 120 ) ( 120 ) 1

senT sen

sen (1-22)

En el caso de que coincida el eje “ a ” del sistema trifásico con el eje “ ”

del bifásico, 0 por lo tanto las matrices de transformación anterior se

transforman en:

0

3 302 2

2 1 113 2 2

1 1 12 2 2

T (1-23)

La transformada inversa queda expresada por:

10

1 3 12 2

1 0 1

1 3 12 2

T (1-24)

6

1.2 TRANSFORMACIÓN DE PARK

Tenemos dos devanados fijos “ ”y “ ”, desfasados en el espacio por

90°, por los cuales circulan corrientes ,i i respectivamente, se quiere sustituir

el efecto de estos devanados estáticos por otro conjunto de dos devanados “d” y

“q” situados entre sí a 90° pero que se muevan a velocidad respecto del

primero. Ambos conjuntos deben producir la misma fuerza magnetomotriz en el

entrehierro de la máquina, considerando las corrientes anteriormente obtenidas:

1* ( )Ai I sen t (1-25)

1*cos( )Ai I t (1-26)

Igualando las fuerzas magnetomotrices que producen ambos conjuntos de

devanados sobre los ejes “d” y “q” tal como se observa en la figura 1-3.

Por consiguiente la fuerza magnetomotriz generada por el devanado

bifásico proyectada sobre los ejes “d” y “q”:

( cos( ) cos( ))q sN i iF (1-27)

( ( ) cos( ))d sN i sen iF (1-28)

En el devanado bifásico estático tiene sN espiras por polo y por fase y

produce en los ejes “d” y “q” las fuerzas magneto motriz siguiente:

*q s qN iF (1-29)

*d s dN iF (1-30)

i

idi

qi

0

sN

sN

sNsN

Figura 1-3 Ejes d y q.

7

Igualando las fuerzas magnetomotrices obtenemos:

cos( ) ( )qi i i sen (1-31)

( ) cos( )di i sen i (1-32)

En forma matricial:

( ) cos( )*

cos( ) ( )q

d

ii senii sen

(1-33)

La matriz de transformación sería:

0

( ) cos( )cos( ) ( )sen

Tsen

(1-34)

La matriz de transformación inversa sería

10

( ) cos( )cos( ) ( )sen

Tsen (1-35)

Podemos concluir que las corrientes en el sistema bifásico fijo varían con

respecto al tiempo, mientras que en el sistema móvil las corrientes son

constantes, como si fueran continuas, que dependen del ángulo inicial de giro, y

si consideráramos un desfase de la corriente inicial, también esta estaría

presente.

Si agregamos una tercera variable, debe ser una corriente homopolar o de

secuencia cero 0i , la que será idéntica en los sistemas de referencia “ ”y “ ” y

“d” y “q”:

0 0

( ) cos( ) 0cos( ) ( ) 0 *

0 0 1

q

d

i sen ii sen ii i

(1-36)

Si tenemos en cuenta la transformación de Clarke, se puede conseguir

una transformación que transforme un conjunto trifásico de devanados fijos a, b,

c situados en el estator, por un sistema bifásico móvil “d” y “q” que se mueve a

velocidad angular respecto a una referencia fija.

8

Utilizando la transformada de Clark:

0

3 303 3

2 1 1 *3 3 31 1 13 3 3

a

b

c

i ii ii i

(1-37)

Si reemplazamos la expresión (1-37) en (1-36), se obtiene la siguiente

matriz:

0

cos( ) cos( 120 ) cos( 120 )2 ( ) ( 120 ) ( 120 ) *3

1 1 12 2 2

q a

d b

c

i ii sen sen sen ii i

(1-38)La transformación correspondiente se denomina transformación de park,

donde 1 0t :

0

cos( ) cos( 120 ) cos( 120 )2 ( ) ( 120 ) ( 120 )3

1 1 12 2 2

qdT sen sen sen (1-39)

Estas transformadas se usan para representar las variables sinusoidales

del sistema de coordenado trifásico en valores constantes, trayendo consigo

mayor estabilidad numérica al solucionar el sistema de ecuaciones diferenciales

no lineales, propias del modelo del motor de inducción.

9

CAPÍTULO 2

MODELO MATEMÁTICO MOTOR INDUCCIÓN JAULA DE ARDILLA

2.1 MODELO DE LA MÁQUINA EN MARCO DE REFERENCIA ARBITRARIO

El marco de referencia arbitrario está rotando a una velocidad en

dirección a la rotación del rotor, la idea es llevar los ejes trifásicos del estator y

rotor a un marco de referencia arbitrario que gira a una velocidad , tal como se

muestra en la figura 2-1.

Como observación podemos agregar que al utilizar el modelo de la

máquina en un marco de referencia arbitrario podemos obtener los marcos de

referencia estacionario y el marco de rotación sincrónica de la manera siguiente:

Marco de referencia estacionario: 0

Marco de referencia de rotación sincrónica: e

La ecuación de transformación de los ejes a, b, c, a los ejes q, d, 0 está dada

por:

0

0

( ) *q a

d qd b

c

f ff T ff f (2-1)

Donde la variable f puede ser: voltajes de fase, corrientes o enlaces de

flujo de la máquina.

r

Figura 2-1 Marco de referencia arbitrario que gira a una velocidad ,.

10

Si se considera que el rotor está referido al estator y además sabemos que:

Número de vueltas efectivas del estator: sN

Número de vueltas efectivas del rotor: rN

Se tiene que:

sqr qr

r

NN

(2-2)

sdr dr

r

NN

(2-3)

sqr qr

r

Ni iN

(2-4)

sdr dr

r

Ni iN

(2-5)

slr lr

r

NL LN

(2-6)

sr r

r

NR RN

(2-7)

Ecuaciones de voltaje del estator en ejes qd0:

* *qs s qs qs dsdv R idt

(2-8)

* *ds s ds ds qsdv R idt

(2-9)

0 0 0*s s s sdv R idt

(2-10)

Ecuaciones de voltaje del rotor en ejes qd0:

* ( )*qr r qr qr r drdv R idt

(2-11)

* ( )*dr r dr dr r qrdv R idt

(2-12)

0 0 0*r r r rdv R idt

(2-13)

11

Ecuaciones de enlace de flujo para estator en ejes qd0:

( )* *qs ls m qs m qrL L i L i (2-14)

( )* *ds ls m ds m drL L i L i (2-15)

0 0*s ls sL i (2-16)

ls s mSi L L L (2-17)

* *qs s qs m qrL i L i (2-18)

* *ds s ds m drL i L i (2-19)

0 0( )*s s m sL L i (2-20)

Ecuaciones de enlace de flujo para rotor en ejes qd0:

* ( )*qr m qs lr m qrL i L L i (2-21)

* ( ) *dr m ds lr m drL i L L i (2-22)

0 0*r lr rL i (2-23)

lr r mSi L L L (2-24)

* *qr m qs r qrL i L i (2-25)

* *dr m ds r drL i L i (2-26)

0 0( ) *r r m rL L i (2-27)

Ecuación para el torque en ejes qd0:

La suma de las potencias instantáneas de entrada de los 6 devanados

que conforman al rotor y estator está dado por:

* * * * * *in as as bs bs cs cs as as bs bs cs csP v i v i v i v i v i v i (2-28)

En términos de los ejes qd0:

0 0 0 03 * * 2* * * * 2* *2in qs qs ds ds s s qr qr dr dr r rP v i v i v i v i v i v i (2-29)

Si se sustituye en la expresión anterior las ecuaciones de voltaje de rotor y

estator en los ejes qd0, donde finalmente luego de agrupar los términos se

obtiene:

12

2 2 2 2 2 20 0

0 0 0 0

* * 2* * * * 2* *

3 * * * * * *2

* * * * ( )* * ( )* *

s qs s ds s s r qr r dr r r

in qs qs ds ds s s qr qr dr qr r r

ds qs qs ds r dr qr r qr dr

R i R i R i R i R i R i

d d d d d dP i i i i i idt dt dt dt dt dt

i i i i

(2-30)

Finalmente el torque electromecánico desarrollado por la maquina está

dado por la suma de las componentes que representan la cantidad de energía

convertida en trabajo mecánico dividida por la velocidad mecánica:

3 * * * ( ) * *2 2*em ds qs qs ds r dr qr qr dr

r

PT i i i i (2-31)

Usando las relaciones de enlace de flujo siguientes:

* * * * * *ds qs qs ds dr qr qr dr m dr qs qr dsi i i i L i i (2-32)

Obteniéndose finalmente el torque electromecánico en diferentes

expresiones equivalentes:

3 * * *2 2em qr dr dr qr

PT i i (2-33)

3 * * *2 2em ds qs qs ds

PT i i (2-33)

3 * * * *2 2em m dr qs qr ds

PT L i i i i (2-34)

3 * * * *2 2

mem dr qs qr ds

r

LPT i iL (2-35)

A menudo las ecuaciones de la máquina son expresadas en términos de

los enlaces de flujo por segundo y reactancias en vez de los enlaces de flujos e

inductancias. Estos están relacionados solamente por la base o el valor nominal

de la frecuencia angular b , entonces tenemos:

13

*qs b qs (2-36)

*ds b ds (2-37)

0 0*s b s (2-38)

*qr b qr (2-39)

*dr b dr (2-40)

0 0*r b r (2-41)

*qm b qm (2-42)

*dm b dm (2-43)

Con b como la frecuencia base en [Rad/s], además

*ls b lsX L (2-44)

*lr b lrX L (2-45)

*m b mX L (2-46)

Las tensiones quedan definidas de la siguiente manera:

1*qs s qs qs dsb b

dv R idt

(2-47)

1*ds s ds ds qsb b

dv R idt

(2-48)

0 0 01*s r s s

b

dv R idt

(2-49)

( )1* rqr r qr qr dr

b b

dv R idt

(2-50)

( )1* rdr r dr dr qr

b b

dv R idt

(2-51)

0 0 01*r r r r

b

dv R idt

52)

14

Circuito equivalente en ejes qd0, se observa en la figura 2-2:

* dsb

( ) *rdr

b

qrqs

rR

qrv

qrilrXlsX

mX

Eje Q

* qsb

( ) *rqr

b

dsdr

rR

drv

drilrXlsX

mX

Eje D

Figura 2-2 Circuito equivalente en ejes qd0.

Las expresiones de flujo quedan expresadas como:

* *qs s qs m qrX i X i (2-53)

* *ds s ds m drX i X i (2-54)

0 0*s ls sX i (2-55)

* *qr r qr m qsX i X i (2-56)

* *dr r dr m dsX i X i (2-57)

0 0*r lr rX i (2-58)

( )qm m qs qrX i i (2-59)

( )dm m ds drX i i (2-60)

Las corrientes pueden ser expresadas en términos de los flujos:

15

qs qmqs

ls

iX

(2-61)

qr qmqr

lr

iX

(2-62)

ds dmds

ls

iX

(2-63)

dr dmdr

lr

iX

(2-64)

Donde:

qs qrqm ml

ls lr

XX X

(2-65)

ds drdm ml

ls lr

XX X

(2-66)

Con:

11 1 1ml

m ls lr

X

X X X

(2-67)

Podemos volver a escribir las ecuaciones de tensión, reemplazando las

componentes de corrientes por los flujos obtenidos:

1*( )sqs qs qm qs ds

ls b b

R dvX dt

(2-68)

1*( )sds ds dm ds qs

ls b b

R dvX dt

(2-69)

( )1*( )r rqr qr qm qr dr

lr b b

R dvX dt

(2-70)

( )1*( )r rdr dr dm dr qr

lr b b

R dvX dt

(2-71)

Obtendremos las ecuaciones siguientes:

16

1qs ml qrs mlb qs ds qs

b ls ls lr

d Xr Xvdt X X X

(2-72)

1ds s ml ml drb ds qs ds

b ls ls lr

d r X Xvdt X X X

(2-73)

1qr ml qs mlr rb qr dr qr

b lr ls lr

d X Xrvdt X X X

(2-74)

1dr ml ds mlr rb dr qr dr

b lr ls lr

d X Xrvdt X X X

(2-75)

Finalmente el torque electromagnético lo podemos escribir de la siguiente

manera:

3 1* * * * *2 2

mem dr qs qr ds

r b

XPT i iX

(2-76)

2.2 PARÁMETROS DEL MOTOR DE INDUCCIÓN

Se decidió ocupar un motor trifásico de inducción conectado en estrella

con los siguientes parámetros referidos al estator:

Tabla 2-1

Especificaciones Parámetros

Potencia Nominal 3000[W] Rs 0.19[Ohm]

Voltaje Nominal 220[V] Rr 0.39[Ohm]

Corriente Nominal 6.6[A] Lls 0.21[mH]

Frecuencia Nominal 50[Hz] Llr 0.6[mH]

Numero de Polos 4 Lm 4[mH]

Velocidad nominal 1430[RPM] J 0.0226[Kgm^2]

Torque Nominal 20[N-m] B 0.002[Nms/rad]

17

2.3 ANÁLISIS MATEMÁTICO

Las tensiones trifásicas en ejes de cuadratura y directo en un marco

sincrónico son las siguientes:

Utilizando la transformación de Clark obtenemos lo siguiente:

2 1 13 3 3 *

1 103 3

asQ

bsD

c

VV

VV

V(2-77)

Además sabemos que 0a b cV V V porque el sistema es balanceado.

Luego se realiza una transformada de Park para llevar el sistema a un eje

de coordenadas sincrónico:

Tensión del estator en el eje de cuadratura:

220 0 [ ]3sQV V (2-78)

Tensión del estator en el eje directo:

220 90 [ ]3sDV V (2-79)

Como último paso se aplica la transformación de Park:

cos( ) ( )*

( ) cos( )sq sQ

sd sD

V VsenV Vsen

(2-80)

Tensión del estator en el eje de cuadratura en marco sincrónico:

0[ ]sqV V (2-81)

Tensión del estator en el eje directo en marco sincrónico:

220* 2 [ ]3sdV V (2-82)

Ordenando las ecuaciones que relacionan tensión y corriente en ejes d - q

en un marco sincrónico para el motor de inducción se obtiene la siguiente

expresión matricial:

18

*( ) ( )

( ) ( )

s s s s m e m

sq sqe s s s e m m

sd sd

rq rqm e r m r r e r r

rd rd

e r m m e r r r r

d dR L L L Ldt dt

V id dL R L L LV idt dtV id dL L R L L

dt dtV id dL L L R Ldt dt

(2-83)

En base a los resultados obtenidos en (2-81)-(2-82) procedemos a

calcular las corrientes, los enlaces de flujo, en ejes d - q para el estator y el rotor

en base a su funcionamiento a parámetros nominales

Las tensiones en eje de cuadratura y directo son valores constantes, por

lo tanto:

0sq sd rq rdd d d di i i idt dt dt dt (2-84)

La expresión (2-83) queda reducida a:

00

*0 ( ) ( )

( ) 0 ( )

sq s e s e m sq

sd e s s e m sd

rq e r m r e r r rq

rd e r m e r r r rd

V R L L iV L R L iV L R L iV L L R i

(2-85)

Corrientes en el estator y rotor:

133.32[ ]19.38[ ]0.027[ ]0.19[ ]

sq

sd

rq

rd

i Ai Ai Ai A

(2-86)

Flujos en el estator:

0.56[ ]qsqs

b

Wb (2-87)

0.08[ ]dsds

b

Wb (2-88)

19

Flujos en el rotor:

0.53[ ]qrqr

b

Wb (2-89)

0.076[ ]drdr

b

Wb (2-90)

Torque electromagnético:

3 * * * * 0[ ]2 2

mem dr qs qr ds

r

LPT i i N mL

(2-91)

2.4 SIMULACIONES EN MATLAB SIMULINK.

Las ecuaciones que representan el comportamiento dinámico del motor de

inducción son implementadas en bloques utilizando la herramienta de MATLAB –

SIMULINK.

En la figura 2-3 se aprecia el desarrollo en bloques de la ecuación (2-72).

En la Figura 2-4 se aprecia el desarrollo en bloques de la ecuación (2-73).




En la figura 2-8 se aprecia el desarrollo en bloques de la ecuación (2-66).


En la Figura 2-10 se aprecia el desarrollo en bloques de la ecuación (2-

63).


62).


64).


76).


20).

20

En la Figura 2-15 se aprecian todos los bloques anteriormente

desarrollados unidos entre si para formar el modelo matemático completo del

motor de inducción.

En la Figura 2-16 se aprecia la transformada de Clark desarrollada en

bloques.

En la Figura 2-17 se aprecia la transformada de Park desarrollada en

bloques.

En la Figura 2-18 se aprecia el sistema completo desarrollado en bloques.

Se debe recordar que en este punto no se utiliza inversor, dado que las

tensiones de alimentación para el motor de inducción son sinusoidales puras a

50Hz.

A continuación se procede a simular el motor de inducción en condiciones

nominales de operación.

En la Figura 2-19 se aprecia la tensión ,sd sqv v a la salida de la

transformada de Park.

Se obtienen en estado estacionario los siguientes resultados:

0[ ]sqV V (2-92)

179.6[ ]sdV V (2-93)

En la Figura 2-20 se aprecian las tensiones sinusoidales en el estator.

En la Figura 2-21 se aprecian las corrientes sinusoidales del estator.

En la Figura 2-22 se aprecia la velocidad sincrónica en verde que

corresponde a 1500[RPM] y en azul a la variación en la velocidad mecánica del

rotor.

Se obtienen en estado estacionario los siguientes resultados:

1499.32[ ]rmech RPM (2-94)

1500[ ]s RPM (2-95)

En la Figura 2-23 se aprecia la corriente sqi .

Se obtienen en estado estacionario el siguiente resultado:

21

133[ ]sqi A (2-96)

En la Figura 2-24 se aprecia la corriente sdi .


19.29[ ]sdi A (2-97)

En la Figura 2-25 se aprecia la corriente rqi .


0.027[ ]rqi A (2-98)

En la Figura 2-26 se aprecia la corriente rdi .


0.1928[ ]rdi A (2-99)

En la Figura 2-27 se aprecia el enlace de flujo qs .


0.56[ ]qs Wb (2-100)

En la Figura 2-28 se aprecia el flujo enlazado ds .


0.08[ ]ds Wb (2-101)

En la Figura 2-29 se aprecia el flujo enlazado qr .


0.5322[ ]qr Wb (2-102)

En la Figura 2-30 se aprecia el enlace de flujo dr .


0.076[ ]dr Wb (2-103)

22

Figura 2-3 Ecuación para flujo qs

Figura 2-4 Ecuación para flujo ds

Figura 2-5 Ecuación para flujo qr

23

Figura 2-6 Ecuación para flujo dr

Figura 2-7 Ecuación para flujo mq

Figura 2-8 Ecuación para flujo md

Figura 2-9 Ecuación para la corriente sqi

24

Figura 2-10 Ecuación para la corriente sdi

Figura 2-11 Ecuación para la corriente rqi

Figura 2-12 Ecuación para la corriente rdi

Figura 2-13 Ecuación para el torque eT

25

Figura 2-14 Ecuación para la velocidad r

Figura 2-15 Modelo completo motor de inducción.

Figura 2-16 Ecuación de la transformada de Clark.

26

Figura 2-17 Ecuación de la transformada de Park

Figura 2-18 Sistema completo motor de inducción.

Figura 2-19 Tensión ,sd sqv v .

27

Figura 2-20 Tensiones sinusoidales en el estator.

Figura 2-21Corrientes sinusoidales del estator.

Figura 2-22 Velocidad sincrónica y velocidad mecánica en el rotor.

28

Figura 2-23 Corriente sqi .

Figura 2-24 Corriente sdi .

Figura 2-25 Corriente rqi

29

Figura 2-26 Corriente rdi

Figura 2-27 Flujo enlazado estator eje q qs

Figura 2-28 Flujo enlazado estator eje d ds

30

Figura 2-29 Flujo enlazado rotor eje q qr

Figura 2-30 Flujo enlazado rotor eje d dr

31

CAPÍTULO 3

EL CONTROL VECTORIAL

3.1 INTRODUCCIÓN AL CONTROL VECTORIAL

En el control vectorial, la máquina de inducción se controla igual que una

máquina de corriente continua de excitación independiente, en las figura 3-1 se

aprecia el esquema de control de una máquina de corriente continua

El flujo es controlado por la corriente de campo, en donde la corriente de

campo es habitualmente constante, el torque es controlado por la corriente de

armadura.

La idea principal del control vectorial es controlar una máquina de

corriente alterna de igual forma que una máquina de corriente continua, lo que

significa controlar separadamente el flujo y el torque del motor.

3.2 CONTROL DE CAMPO ORIENTADO

En una máquina de corriente continua los ejes de la armadura y el

bobinado de campo son ortogonales, la fuerza magnetomotriz establecida por

las corrientes en estos devanados son también ortogonales y la saturación del

hierro es ignorada:

Figura 3-1 Máquina de corriente continua de excitación independiente.

32

El torque desarrollado queda definido por:

( )em a f aT k I I (3-1)

ak : Coeficiente de proporcionalidad. Convino

aI : Corriente de armadura.

fI : Corriente de campo.

( )fI : Flujo de campo.

El flujo puede ser controlado ajustando la corriente de campo y el torque

puede ser controlado independientemente del flujo ajustando la corriente de

armadura.

El control vectorial de un motor de inducción permite mejorar su respuesta

dinámica, aproximándola a la del motor de corriente continua, esta técnica de

control exige disponer de un buen modelo del motor a controlar, el control

vectorial desacopla las variables del motor de inducción, por lo tanto se consigue

un control independiente de velocidad y torque, equiparables a la sencillez en el

control de una máquina CC.

Marco de referencia de rotación sincrónica: ( e )

Si nosotros tenemos una excitación sinusoidal, el campo del rotor gira a

velocidad sincrónica, si elegimos un marco qd0 que gire a velocidad sincrónica

donde el eje d es alineado con el campo del rotor, la componente de campo del

rotore

qr será cero:

* * 0e e eqr m qs r qrL i L i (3-2)

e emqr qs

r

Li iL

(3-3)

Si 0eqr el torque electromagnético se reduce a:

3 * *2 2

e eem dr qr

PT i (3-4)

Si sustituimose

qri en la ecuación de torque electromagnético:

33

3 * * *2 2

e emem dr qs

r

LPT iL (3-5)

Lo que muestra que si mantenemos constantee

dr el torque puede ser

independientemente controlado ajustando la componentee

qsi del eje q.

Sie

qr se mantiene en cero, la variacióne

qrddt es igual a cero tenemos

que la ecuación en el eje q de la tensión en el bobinado del rotor, sin tensión

aplicada al rotor se reduce a:

* ( )*e e e eqr r qr qr e r dr

dv R idt

(3-6)

0 * ( )*e er qr e r drR i (3-7)

En otras palabras la velocidad de deslizamiento debe satisfacer:

*( )

er qr

e r edr

R i

(3-8)

También si consideramos quee

dr no varía en el tiempo (se mantiene

constante),e

drddt es cero, considerando la condición anterior y que 0e

qr en

la ecuación de voltaje en el eje d, obtendremos:

* ( )*e e e edr r dr dr e r qr

dv R idt

(3-9)

* 0er drR i (3-10)

La componente 0edri , entonces:

* *e e edr m ds r drL i L i (3-11)

*e edr m dsL i (3-12)

Sustituyendo en la expresión para la velocidad de deslizamiento:

*( )

er qr

e r edr

R i (3-13)

34

*e edr m dsL i (3-14)

e emqr qs

r

Li iL

(3-15)

Finalmente obtenemos la siguiente relación entre la velocidad de

deslizamiento y la razón entre las componentes de corriente del estator en ejes

“d” y “q” para que el eje “d” del marco de referencia sincrónico quede alineado

con el campo del rotor, como se observa en la figura 3-2.

*( )

*

er qs

e r er ds

R iL i (3-16)

En la figura 3-2 podemos ver que las corrientes del estator se

descomponen en una componente proporcional al flujo sdi y otra proporcional al

torque sqi , que corresponden a las componentes de corrientes en un sistema de

coordenadas rotatorio, las cuales son ortogonales entre si, lo que permite un

control independiente de ambas componentes de corriente, lo más importante es

identificar la posición del flujo para poder expresar al vector de corriente con

respecto al eje “d” rotatorio orientado en la dirección del flujo, por esta razón

también recibe el nombre de método de control de flujo orientado al rotor.

Con sqi controlamos el torque y con sdi controlamos el flujo, el cual debe

ser mantenido constante.

Donde es el Angulo de flujo de rotor, el cual es calculado directamente

desde el motor en base a la velocidad de deslizamiento y la velocidad del rotor.

r

e

slip

r

rd

sdi

sqi

si

Figura 3-2 Marco de referencia sincrónico alineado con el campo del rotor.

35

3.3 MODELO DE CONTROL A UTILIZAR

El método de control es el indirecto por fuente de tensión, en el cual se

realimentan las corrientes en el estator y la referencia entregada es la velocidad

requerida para el rotor, en la figura 3-3 podemos ver el esquema general para

realizar el control indirecto por fuente de tensión.

3.4 DEFINICIÓN DE LAS PLANTAS PARA LAZOS DE CONTROL

Para definir los lazos de control primero se deben determinar las

respectivas ecuaciones de plantas de cada una de las variables a controlar,

luego se definirá el tipo de controlador más apropiado, que debe ser utilizado

para controlar cada variable en particular, según los requerimientos que de ellas

se deseen obtener.

De las ecuaciones que describen la dinámica del motor tenemos las

siguientes ecuaciones en un marco de referencia sincrónico:

*1 1** * * * * * * * *

sd s m m rsd e sq rd rq sd

s r s r r s r r s

di R L Li i vdt L L L L L L

(3-17)

1rd msd rd e r rq

r r

d L idt (3-18)

r

*r

r

*dr

*eT *

sqi

s qi

sdi

*sdi

qqV

ddV

*qV

*dV

e

Figura 3-3 Método de control indirecto por fuente de tensión

36

1rq msq e r rd rq

r r

d L idt (3-19)

2

2

3* *2*2 * * 2*

mrsq rd sd rq r L

r

p Ld B pi i Tdt J L J J (3-20)

2

1*m

s r

LL L (3-21)

rr

r

LR (3-22)

Pero al estar en el marco de referencia de campo orientado las

ecuaciones anteriores se transforman en:

1 1** * * * * *

sd s msd e sq rd sd

s r s r r s

di R Li i Vdt L L L L (3-23)

*1 1** * * * *

sd s m rsq e sd rd sq

s r s r s

di R Li i Vdt L L L L (3-24)

1rd msd rd

r r

d L idt (3-25)

2

2

3* *2*2 * * 2*

mrsq rd r L

r

p Ld B pi Tdt J L J J (3-26)

En base a estas ecuaciones diferenciales podemos modelar nuestras

plantas en un marco de referencia de campo orientado, por lo tanto

obtendremos cuatro plantas, dos de corriente, una para el flujo y una para la

velocidad:

3.4.1 Plantas de corriente

Desarrollando las ecuaciones (3-23) y (3-24) de corriente, obtendremos:

37

* qs e ms qs s sq s e ds dr

r

di LR i L V L idt L (3-27)

* ds e ms ds s sd s e qs qr

r

di LR i L V L idt L (3-28)

e msq s e ds dr

r

LVqq V L iL (3-29)

e msd s e qs qr

r

LVdd V L iL (3-30)

Dos plantas para las corrientes del estator en ejes de cuadratura y directo,

las cuales serán idénticas y estarán dadas por:

1qsds

s s

iiVdd Vqq L S R (3-31)

En donde finalmente se le deben sumar las siguientes componentes para

lograr el desacople de tensión:

e msq s e ds dr

r

sd s e qs

LV Vqq L iL

V Vdd L i (3-33)

3.4.2 Planta de velocidad

Desarrollando la ecuación (3-26) de velocidad, obtendremos:2

2

3* *2*2 * * 2*

mrsq rd r L

r

p Ld B pi Tdt J L J J (3-34)

2

3* *2* 2*2 *

mrsq rd r L

r

p LdJ Bi Tp dt L p (3-35)

2* 2*rr res

dJ B Tp dt p (3-36)

38

2* 2*r res

J BS Tp p (3-37)

Finalmente obtenemos la ecuación de planta para el control de velocidad:

2r

res

p

T JS B (3-38)

3.4.3 Planta de flujo

Desarrollando la ecuación (3-25) de flujo, obtendremos:

1rd msd rd

r r

d L idt (3-39)

1rd mrd sd

r r

d L idt (3-40)

1 mrd sd

r r

LS i (3-41)

Finalmente obtenemos la ecuación de planta para el control de velocidad:

1

m

rd r

sd

r

L

i S (3-42)

3.5 DISEÑO DE LOS CONTROLADORES APLICADOS

3.5.1 Controlador PI de corriente

El método utilizado para sintonizar los cuatro controladores PI es el de

asignación de polos y ceros, en donde se asigna un polo en el origen y un cero

en -500 para cada uno de los controladores. Estos fueron simulados con la

39

herramienta RLTOOL la cual permite una sintonización manual y en tiempo real

de la ganancia integral y proporcional.

En base a esta planta se diseñara un controlador proporcional integral con

las siguientes características:

Tiempo de asentamiento: 0.00632[s]

Tiempo de subida:0.000137[s]

Sobrepaso: 6.49% (1.06)

El controlador es el siguiente:

0.84933( 500)controlador

SCorrienteS

(3-43)

La respuesta al escalón unitario en lazo cerrado en la figura 3-4.

3.5.2 Controlador PI de flujo





Sobrepaso: 12.7% (1.13)



SFlujoS

(3-44)

La respuesta al escalón unitario en lazo cerrado en figura 3-5.

3.5.3 Controlador PI de velocidad





40

Sobrepaso: 14.2% (1.42)



SVelocidadS

(3-45)

La respuesta al escalón unitario en lazo cerrado en la figura 3-6.

3.5.4 Controlador PI mas antiarrollamiento (Antiwindup)

Todo sistema a controlar tiene límites de saturación, en los casos en

donde la referencia entregada supera la saturación, la componente integral de la

saturación sigue sumando el error generado del sistema al querer superar la

saturación. Si al cabo de un tiempo la referencia se sitúa bajo esta saturación el

sistema tendrá una demora en volver a seguir la referencia, porque deberá

contrarrestar la suma generada anteriormente al superar la saturación.

Por lo tanto para evitar este problema se agrega a los controladores PI el

sistema de antiarrollamiento, este en el momento que la saturación es superada

por la referencia, el antiarrollamiento elimina la parte integral del controlador,

evitando la suma del error generado.

En la figura 3-7 podemos ver un sistema controlador PI, saturación y

función de transferencia de planta, en donde no se ocupa el sistema con

antiarrollamiento:

En la figura 3-8 tenemos la respuesta en verde, se aprecia que hay un

atraso n seguir la referencia en azul.

En cambio en la figura 3-9 podemos ver el controlador PI más anti

arrollamiento:

Podemos ver en la figura 3-10 que la respuesta en verde se acopla

inmediatamente a la referencia proporcionada cuando se disminuye del valor de

saturación:

41

3.6 SIMULACIÓN CONTROL VECTORIAL EN MATLAB-SIMULINK

En primera instancia se realizara la simulación del modelo propuesto en

condición de vacío del motor de inducción, en la figura 3-11 podemos ver el

modelo a simular en forma general:

3.6.1 Simulación a torque constante

En primer lugar veremos la respuesta del motor de inducción a la

referencia de velocidad en la figura 3-12, aquí se aprecia en verde la respuesta

en rad/s del motor frente a la referencia que queda sobrepuesta por la respuesta

del motor, las variaciones de velocidad contemplan desde 0rad/s hasta 950rad/s

que corresponde a 3 veces la velocidad sincrónica del motor de inducción en

vacío.

En la figura 3-13 se aprecia la tensión de fase en el estator del motor de

inducción trifásico, se notan claramente los 2 niveles de tensión que proporciona

el inversor trifásico puente completo.

En la figura 3-14 se aprecia la tensión línea a línea en el estator del motor

de inducción trifásico, se notan claramente los 3 niveles de tensión que

proporciona el inversor trifásico puente completo.

En la figura 3-15 se aprecia el torque electromagnético del motor, se

aprecian ciertas variaciones que corresponden a los cambios de velocidad dados

en la referencia, notándose con especial detalle el torque negativo en la

pendiente de desaceleración que ocurre entre los 6 y los 6.5 segundos de

simulación:

En la figura 3-16 se aprecia la corriente en el eje de cuadratura del

estator, entre los segundos 6 y 6.5:

En la figura 3-17 se tiene el flujo en el eje directo del rotor, apenas la

velocidad del motor supera la velocidad sincrónica, el flujo se va debilitando de

forma inversamente proporcional a la velocidad del rotor en cambio, cuando la

42

velocidad del motor es inferior a la sincrónica el flujo es constante e igual al flujo

nominal del motor.

En la figura 3-18 se ve la corriente trifásica en el estator en referencia a la

velocidad del motor, para apreciar sus cambios de amplitud y frecuencia.

En la figura 3-19 se aprecia la corriente trifásica en el estator realizando

un zoom, para poder apreciar su forma sinusoidal.

En la figura 3-20 se ve la corriente en el eje directo del estator, esta es

responsable del flujo en el eje directo del rotor en marco de referencia de campo

orientado, en el tiempo 6 a 6.5 segundo podemos ver que esta aumenta,

produciendo un aumento en el flujo del rotor, lo que produce una disminución en

la velocidad que es inversamente proporcional al torque.

Finalmente en la figura 3-21 se aprecia el comportamiento en verde de la

velocidad angular del campo en el motor en rad/s y en azul la velocidad en rad/s

del motor de inducción, se aprecia como la velocidad del campo supera la

velocidad del motor, esto se produce gracias a cómo va variando la frecuencia

de la tensión que impone el inversor en el motor de inducción.

3.6.2 Simulación del sistema a velocidad y torque variable

En segunda instancia se realizara la simulación del modelo propuesto

variando el torque en la carga y la velocidad, en la figura 3-22 se puede ver en

rojo el torque en la carga y en verde la velocidad de referencia y sobre ella la

respuesta de velocidad del motor, se aprecia una correcta respuesta del motor

frente a los cambios dinámicos de velocidad y torque.

En la figura 3-23 se aprecia el torque electromecánico que responde

perfectamente a la carga impuesta en el motor de inducción.

En la figura 3-24 se aprecia como la corriente trifásica en el estator va

ajustándose a los requerimientos de carga del motor, esta variación en su

amplitud es proporcional al torque demandado.

43

En la figura 3-25 se realizó un zoom a las corrientes trifásicas para ver su

comportamiento sinusoidal.

En la figura 3-26 se aprecia la corriente en el eje de cuadratura que influye

directamente en el toque electromagnético del motor, torque es proporcional a la

corriente en el eje de cuadratura del estator.

En la figura 3-27 la corriente en el eje directo del estator que se mantiene

constante porque en todo momento se trabajó bajo la velocidad sincrónica,

entonces el flujo en el eje directo del rotor es constante.

En la figura 3-28 se tiene la velocidad angular del campo en el estator en

verde y la velocidad angular del rotor en azul ambas en rad/s, se aprecia que en

todo momento la velocidad angular del campo en el estator es mayor que la del

rotor.

En la figura 3-29 se puede ver el flujo en el eje directo del rotor, el cual es

constante por estar trabajando en el intervalo sub sincrónico.

3.7 CONTROL VECTORIAL SIN SENSOR DE POSICIONAMIENTO

Actualmente se están desarrollando aplicaciones de control vectorial sin la

necesidad de estar continuamente muestreando la posición del rotor, mediante

diferentes algoritmos podemos obtener de manera aproximada la velocidad

mecánica del rotor, a continuación se realizaran simulaciones del sistema en

lazo abierto para determinar la velocidad estimada del rotor, se desprecian los

efectos de la saturación, temperatura y efectos al operar en bajas frecuencias.

En base a las ecuaciones de la dinámica del motor de inducción en un

marco de referencia arbitrario, llevándolas a un marco de referencia estacionario

( 0 ), inicialmente se deben obtener las componentes en eje directo y de

cuadratura del flujo en el estator en un marco de referencia con respecto al

estator, por lo tanto se obtiene:

sD sD s sDv R i dt (3-46)

44

sQ sQ s sQv R i dt (3-47)

Relacionando las ecuaciones (2-18), (2-19), (2-25) y (2-26) se obtiene:

rrd sD s sD

m

L L iL

(3-48)

rrq sQ s sQ

m

L L iL

(3-49)

Relacionando (2-12) con (2-26), se obtiene:

dr m ds dr

r rr

qr

L i dt t dt (3-50)

Por lo tanto se puede proceder desarrollar las ecuaciones anteriores en

base al programa de simulación obteniéndose (Figura 3-30):

De esta manera, incorporando esta técnica para estimar la velocidad del

rotor al sistema de control vectorial en la lazo cerrado obtenemos las siguientes

respuestas:

En la Figura 3-40 se puede ver en verde la referencia de velocidad

mecánica en RPM y en azul la respuesta del motor:

En la figura 3-41 se puede ver la velocidad eléctrica estimada del rotor en

radianes segundo que corresponde a la ecuación 3-50

En la figura 3-41 se puede ver diferentes impulsos que no afectan la

respuesta del sistema, tal cual como se puede ver en la figura 3-40.

Esto ocurre porque el nominador y denominador de la ecuación son

señales sinusoidales sin offset en torno a cero, por lo tanto en cada uno de los

momentos que el denominador se aproxima a cero la velocidad eléctrica

estimada del rotor tiende a ser infinita, sin embargo estar perturbaciones no

afectan al sistema de control vectorial.

En la figura 3-42 se tiene la forma de onda correspondiente a como varia

numerador y la figura 3-43 la del denominador de la ecuación 3-50.

45

Figura 3-4 Respuesta al escalón unitario planta de corriente

Figura 3-5 Respuesta al escalón unitario planta de flujo

46

Figura 3-6 Respuesta al escalón unitario planta de velocidad

Figura 3-7 Controlador PI

Figura 3-8 Respuesta del controlador PI

47

Figura 3-9 Controlador PI con Antiarrollamiento

Figura 3-10 Respuesta del controlador PI con Antiarrollamiento

Figura 3-11 Modelo general control vectorial aplicado al motor de inducción

48

Figura 3-12 Respuesta del motor de inducción a la referencia de velocidad

Figura 3-13 Tensión de fase neutro inversor de dos niveles.

Figura 3-14 Tensión de línea de tres niveles

49

Figura 3-15 Torque electromagnético del motor

Figura 3-16 Corriente en el eje de cuadratura del estator

Figura 3-17 Flujo en el eje directo del rotor

50

Figura 3-18 Corriente trifásica en el estator en referencia a la velocidad del motor

Figura 3-19 Corriente trifásica en el estator

Figura 3-20 Corriente en el eje directo del estator

51

Figura 3-21 Velocidad angular del campo en el estator

Figura 3-22 Variación de torque en la carga y de velocidad

Figura 3-23 Torque electromecánico

52

Figura 3-24 Variación de la corriente en el estator en función de la carga

Figura 3-25 Corrientes trifásicas en el estator.

Figura 3-26 Corriente en el eje de cuadratura del estator

53

Figura 3-27 Corriente en el eje directo del estator

Figura 3-28 Velocidad angular del campo

Figura 3-29 Flujo en el eje directo del rotor

54

Figura 3-30 Diagrama en bloques para estimación de velocidad en el rotor

Figura 3-31 Referencia de velocidad versus velocidad real rotor

Figura 3-32 Velocidad estimada

Figura 3-33 Numerador ecuación 3-50

55

Figura 3-34 Denominador ecuación 3-50.

56

CAPÍTULO 4

EL ALGORITMO DE MODULACIÓN VECTORIAL

4.1 MODULACIÓN VECTORIAL.

La modulación PWM vectorial es una técnica avanzada de síntesis de

tensiones a la salida de un inversor, la cual consiste en generar un espacio

vectorial en un plano complejo, en donde cada uno de sus vectores representa

un estado de conmutación especifico del inversor utilizado, esta modulación

puede ser utilizada desde el inversor alimentado en tensión de dos niveles hasta

un inversor multinivel.

La modulación PWM vectorial en comparación con la modulación de PWM

sinusoidal permite un buen control del sistema, además permite establecer

estrategias de minimización de pérdidas, menor contenido armónico y la

atenuación de la tensión en modo común.

En esta tesis el objetivo es asimilar el algoritmo de modulación vectorial

para su futura aplicación en inversores multinivel, de esta manera se comenzará

el estudio por los inversores de dos y tres niveles para poder extrapolar la

técnica a un inversor de 5 niveles o más.

4.2 ALGORITMO DE MODULACIÓN VECTORIAL APLICADA A UNINVERSOR DE DOS NIVELES.

Si se utiliza un inversor alimentado en tensión de dos niveles, se puede

ver que este tiene 8 estados de conmutación, que está dado por su cantidad de

niveles y la cantidad de brazos que posee figura 4-1:

Cantidad de estados de conmutación permitidos:32 8 (4-1)

57

Figura 4-1Inversor trifásico alimentado en tensión de dos niveles

Para comenzar el análisis para la implementación de la modulación

vectorial se debe considerar lo siguiente:

Se consideran los tres interruptores superiores para cada brazo, dado que

los inferiores son el complemento de los superiores.

Para cada estado permitido de conmutación se realiza un análisis equivalente de

malla para determinar las tensiones fase neutro inversor y fase neutro carga.

Los resultados obtenidos para el análisis de malla para cada uno de los estados

de conmutación permitidos se aprecian en la tabla 1.

58

Tabla 4-1

V.N° S1 S3 S5 Vao Vbo Vco Van Vbn Vcn

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 1 0 0 E/2 -E/2 -E/2 2E/3 -E/3 -E/3

2 1 1 0 E/2 E/2 -E/2 2E/3 2E/3 -E/3

3 0 1 0 -E/2 E/2 -E/2 -E/3 2E/3 -E/3

4 0 1 1 -E/2 E/2 E/2 -E/3 2E/3 2E/3

5 0 0 1 -E/2 -E/2 E/2 -E/3 -E/3 2E/3

6 1 0 1 E/2 -E/2 E/2 2E/3 -E/3 2E/3

7 1 1 1 0 0 0 0 0 0

Mediante la transformada a un plano complejo (4-2) podemos representar

cada uno de los estados permitidos por un único vector, con magnitud y ángulo

fijos:2 43 32 ( ) ( ) ( )

3j j

as bs csV v t v t e v t e (4-2)

En la tabla 4-2 se aprecian los ocho estados de conmutación

representados de forma vectorial.

Finalmente cada uno de estos vectores son llevados al plano complejo

bidimensional que se muestra en la figura 4-2.

Cada vector de amplitud 23E forma un vértice del hexágono de la figura 4-

2, estos seis vectores se llamaran vectores activos y los dos restantes de

amplitud 0 se llamaran vectores nulos.

Cada región formada estará compuesta por la interacción de dos vectores

activos y los dos nulos, estas regiones estarán separadas por 60 grados cada

una.

59

Dado que las 6 regiones son idénticas se centrara todo el análisis en una

de las regiones, la región 1 de la figura 4-2.

Tabla 4-2V.N° Magnitud, Angulo[Rad]

0 Nulo1 2 / 3E ,02 2 / 3E , / 33 2 / 3E ,2 / 34 2 / 3E ,5 2 / 3E , 2 / 36 2 / 3E , / 37 Nulo

a

b

c

100

110010

011

001 101

111

000

60o

Figura 4-2 Ocho vectores en el plano complejo

En la figura 4-3 se aprecia el sector 1 aislado para realizar su análisis

matemático.

Como condición inicial siempre tendremos la magnitud y la posición del

vector de referencia y las magnitudes de los vectores activos pertenecientes al

sector:

Descomponiendo cada vector para visualizar el aporte a los ejes

" "," " obtenemos:

2 20 (60 ) ( )s sV sen T V T sen (4-3)

60

1 1 2 2cos(60 ) cos( )s sVT V T V T (4-4)

Despejando 1 2,T T se obtiene:

12(60 )3

s s

DC

T VT sen

V (4-5)

22( )3

s s

DC

T VT sen

V (4-6)

En donde 1 2,T T son los tiempos de activación de sus respectivos vectores

activos.

1V

2V

0VDCV

DCV

SV

7VFigura 4-3 Sector 1 hexágono inversor de 2 niveles

Por lo tanto el vector de referencia quedaría definido por:

01 21 2 0S

S S S

TT TV V V VT T T (4-7)

0 1 2ST T T T (4-8)

En la ecuación (4-7) se aprecia la importancia de los vectores nulos que

permiten variar la amplitud del vector de referencia.

Dado que los seis sectores son idénticos se procede a generalizar las

ecuaciones para calcular los 1 2,T T correspondientes a cada par de vectores

activos de cada sector:

61

1

3 * *sin cos cos sin

3 3S s

DC

T V n nTV

(4-9)

2

3 * * 1 1sin cos cos sin3 3

S s

DC

T V n nTV

(4-10)

En donde:0 60o .

Finalmente se debe entregar un patrón de conmutación tal que la cantidad

de conmutaciones en un periodo de conmutación sean mínimas, la forma de

lograr esto es fijando los vectores nulos en el centro y en los costados del

periodo de conmutación, a esto se le debe el nombre de modulación vectorial por

vectores espaciales centrados, el patrón para el sector uno se puede ver en la

figura 4-4.

Figura 4-4 Patrón de conmutación para sector 1.

En donde los tiempos de conmutación para los interruptores superiores

S1, S2 y S3 quedan definidos de la siguiente manera:

1 1 2 0 / 2S T T T (4-11)

2 2 0 / 2S T T (4-12)

3 0 / 2S T (4-13)

62

De esta misma manera se definen los tiempos de conmutación para cada

uno de los demás cinco sectores

En resumen la técnica de modulación vectorial queda determinada por:

Primer paso: Generar plano " "," " en base a los estados de

conmutación.

Segundo paso: Teniendo como dato inicial el vector de referencia y las

magnitudes de los vectores activos determinar 1 2 0, ,T T T .

Tercer paso: Ordenar los estados de conmutación para cada sector para

una mínima cantidad de conmutaciones y obtener los tiempos de conmutación

de cada interruptor.

4.3 ALGORITMO IMPLEMENTADO EN MATLAB – SIMULINK.

En la figura 4-5 se aprecia de forma general el algoritmo de modulación

vectorial implementado en MATLAB – SIMULINK.

Figura 4-5 Algoritmo de modulación vectorial implementado en SIMULINK

63

En la figura 4-6 se aprecian los bloques para la generación del vector de

referencia deseado, se fija la amplitud máxima de:

max1 * 146.64[ ]3s DCV V V (4-14)

Figura 4-6 Generación del vector de referencia

Figura 4-7 Calculo del sector en que se encuentra el vector de referencia

Rescatando el Angulo del vector de referencia se procede a calcular en

que sector del hexágono se encuentra, figura 4-7.

Mediante la división entera del ángulo y un ciclo entero obtenemos como

varía el ángulo entre 0 y 2 [rad] obteniéndose la gráfica de la figura 4-8.

Luego esta se divide por los 60 grados, se redondea al entero menor y se

suma uno a la forma de onda resultante, obteniéndose el sector en el que se

encuentra el vector de referencia, figura 4-9.

64

Figura 4-8 Angulo del vector de referencia

Figura 4-9 Sector en que se encuentra el vector de referencia

Para todos los tiempos activos tenemos un factor en común que queda

representado en bloques como se aprecia en la figura 4-10 y el factor común es

representado en la ecuación (4-15).

3 * *S s

DC

T VFactorComun

V (4-15)

En la figura 4-11 se encuentran las ecuaciones (4-9)-(4-10) que

representan los tiempos 1 2,T T de manera general para todos los sectores.

En la figura 4-12 quedan expresados los tiempos de activación para los

tres interruptores superiores del inversor de dos niveles dependiendo del sector

en que se encuentre.

65

Figura 4-10 Factor en común para los tiempos activos

Figura 4-11Tiempos de activación 1 2,T T generales

Figura 4-12 Tiempos de conmutación para 1 2 3, ,S S S .

En la figura 4-13 se aprecia la tensión fase a neutro de cada uno de los

brazos del inversor, las cuales son de dos niveles.

En la figura 4-14 se aprecian las tres tensiones de línea del inversor, se

aprecian los 3 niveles de tensión.

66

Figura 4-13 Tensión fase a neutro del inversor de dos niveles

Figura 4-14 Tensiones de línea del inversor

Figura 4-15 Análisis de Fourier para la tensión de fase a neutro del inversor

En la figura 4-15 se aprecia el análisis de Fourier para la tensión de fase

neutro inversor, la cual tiene una amplitud de la fundamental a 50Hz de 254[V]

con un THDv=52.24%.

67

Figura 4-16 Análisis de Fourier tensión de fase con PWM sinusoidal

Figura 4-17 Inversor de tres niveles NPC

En la figura 4-16 se aprecia el análisis de Fourier para la misma tensión

de fase neutro inversor pero aplicándose PWM sinusoidal, se aprecia que la

componente fundamental tiene una amplitud de 219.9[V] y un THDv de 68.46%

Al comprar ambas modulaciones se aprecia claramente que la Modulación

vectorial logra una mayor amplitud en la componente fundamental y una menor

distorsión armónica en la tensión de fase neutro inversor.

68

4.4 ALGORITMO DE MODULACIÓN VECTORIAL PARA UN INVERSORNPC DE TRES NIVELES DE TENSIÓN.

El inversor de tres niveles NPC (Neutral Point Clamped) figura 4-17 esta

compuesto de tres brazos en los cuales hay cuatro interruptores para ser

accionados en alta frecuencia, este inversor tiene 27 estados permitidos de

conmutación dados por la ecuación (4-16).33 2 7fa s e sN iv e le s (4-16)

Figura 4-18

La tensión de fase neutro inversor tiene la siguiente característica dada

por la figura 4-18, en donde se aprecian 3 niveles de tensión.

Al analizar cada uno de los estados de conmutación mediante un análisis

de malla para determinar las tensiones fase neutro inversor y fase neutro carga

se obtienen 24 vectores activos y 3 vectores nulos en donde tenemos 12

vectores de magnitud E/3 que se aprecian en la tabla 4-3.

En la tabla 4-4 se puede ver los siguientes vectores activos de amplitud

33

E y los vectores activos de amplitud 2E/3.

Mediante la transformación para llevar componentes trifásicas ec.(4-2)

obtenemos el siguiente plano complejo figura 4-19, de esta manera quedan

ubicados 3 vectores nulos y 24 vectores activos.

69

Figura 4-19 Vectores del inversor NPC en el plano complejo.

Figura 4-20 Sector uno hexágono pequeño

Por lo tanto tenemos tres Hexágonos los cuales tienen seis sectores cada

uno, por lo tanto debemos calcular cada uno de los T1 y T2 para cada uno de los

sectores de cada hexágono.

En primer lugar se analiza el hexágono interior:

Se obtiene las siguientes ecuaciones para los tiempos activos del sector

1:

16(60 )3

s sT VT sen

E (4-17)

26( )3

s sT VT sen

E (4-18)

70

Para el hexágono mediano se tiene el sector 1 en la figura 4-21, se

obtienen las siguientes ecuaciones para los tiempos activos en el sector 1 del

hexágono mediano:

12*3cos( )3 * 3

s sT VT

E (4-19)

22*3( 30 )3 * 3

s sT VT sen

E (4-20)

Figura 4-21 Sector uno hexágono mediano

Figura 4-22 Sector uno hexágono grande

Para el hexágono grande, el sector uno en la figura 4-22, se obtienen los

siguientes tiempos de activación para el sector uno del hexágono mayor:

13(60 )3

s sT VT sen

E (4-21)

71

23( )3

s sT VT sen

E (4-22)

En consecuencia se procede a calcular los tiempos de conmutación para

el par de interruptores superiores del hexágono uno menor, para este caso

tenemos las siguientes posibilidades de conmutación para el sector uno, en

donde se aprecian tres vectores nulos y dos pares de vectores redundantes:

Respetando que la cantidad de conmutaciones en un periodo de

conmutación debe ser la mínima se distribuyen los estados de conmutación de

tal manera que queden centrados los vectores nulos, para este caso el patrón de

conmutación es el que se aprecia en la figura 4-23.

Figura 4-23 Distribución estados de conmutación sector uno hexágono pequeño

Por lo tanto los tiempos de conmutación para el sector uno del hexágono

pequeño son:

1 5 7 0aS T T T (4-23)

2 4 6 0 5 7aS T T T T T (4-24)

1 7 0bS T T (4-25)

2 6 0 5 7 0bS T T T T T (4-26)

72

1 0cS T (4-27)

2 0 5 7 0cS T T T T (4-28)

Finalmente se realiza el mismo procedimiento para los sectores restantes

de cada hexágono y se procede a implementar el algoritmo en MATLAB-

SIMULINK, este procedimiento se aprecia en detalle en el anexo A.

4.5 ALGORITMO IMPLEMENTADO EN MATLAB SIMULINK PARA UNINVERSOR NPC ALIMENTADO EN TENSIÓN.

En la figura 4-24 se tiene la gráfica resultante del cálculo de los sectores,

se aprecian los 6 sectores desfasados en 60 grados cada uno.

Figura 4-24 Cálculo de los sectores

Figura 4-25 Tiempos 1 2 0, ,T T T .

73

Figura 4-26 Tensión de referencia a la salida de un brazo del inversor

En la figura 4-25 se tiene la gráfica de los tiempos de activación 1 2 0, ,T T T .

En la figura 4-26 se tiene en azul la tensión de referencia que deseamos a

la salida del inversor, se aprecia que posee las componentes de tercera

armónica, esta debe ser llevada a la frecuencia de conmutación restándole una

portadora triangular a la frecuencia de conmutación.

En la figura 4-27 se tiene la tensión fase a neutro del inversor de tres

niveles de tensión.

En la figura 4-28 se tiene la tensión de línea para el inversor, se aprecian

los 5 niveles de tensión.

Figura 4-27 Tensión fase a neutro del inversor NPC.

74

Figura 4-28 Tensión de línea para el inversor NPC.

4.6 NUEVOS ALGORITMOS DE MODULACIÓN VECTORIAL PARAINVERSORES MULTINIVEL

4.6.1 Algoritmo de modulación vectorial CSV-PWM

La modulación por ancho de pulso centrada por vectores espaciales

(CSV-PWM) [6] es una alternativa al algoritmo anteriormente planteado, esta

consiste en tener un arreglo de N-1 señales portadoras de igual magnitud, fase y

frecuencia, que ocupan en bandas contiguas todo el rango de modulación lineal,

donde N representa el número de niveles de tensión que posee el inversor, en

general es un arreglo se señales analógicas.

Las señales de referencia son superpuestas sobre el conjunto de señales

portadoras, y el punto de intersección de ambas señales, determina el nivel de

tensión en salida que deben tener los interruptores, para cada ciclo de transición

o estado de funcionamiento.

La modulación por disposición de fase puede ser extendida a CSV-PWM,

por la suma de un offset que contiene la componente de tercera armónica, y está

definida por:

' [m ax( , , ) m in( , , )] , , ,2

a b c a b ck k

V V V V V VV V k a b c (4-29)

75

Además de una función modulo que identifica cual de las señales de

referencia es la responsable para la primera y última transición del interruptor en

cada intervalo, y es dada por:

'' ' 2[ ] mod1

DCk k DC

VV V VN (4-30)

La ecuación antes presentada se utiliza porque en los inversores de

múltiples niveles, se necesita identificar cual señal de referencia es la

responsable del inicio en la secuencia de los vectores que están presentes en

cada medio periodo de la señal portadora.

Finalmente la señal de referencia que incorpora los offset, queda defina

por la siguiente ecuación:'' '' '' '' '' ''

'R _

[m ax( , , ) min( , , )]4 2D C a b c a b c

EF k kV V V V V V VV V

(4-31)

4.6.2 Obtención de las señales de referencia mediante programaciónmatemática

Mediante la utilización de las ecuaciones descritas anteriormente se

pretende obtener en forma empírica, las señales de referencia para cada fase.

Utilizando el programa de simulación matemática MATHCAD se obtiene la

portadora triangular, en términos de su amplitud y periodo (figura 4-29).

2T

2T

pV

1( )f t 2 ( )f t

Figura 4-29 Serie de Fourier para triangular.

El periodo es inversamente proporcional al índice de frecuencia deseado:

76

2

f

Tm

(4-32)

0 fm (4-33)

La triangular está formada por dos rectas, las cuales se dan a

continuación sus ecuaciones correspondientes:

,0 0, pf

Vm

(4-34)

0, ,0pf

Vm

(4-35)

2 11 1

2 1

( )y yy y x xx x

(4-36)

1( ) f pp

m V tf t V (4-37)

2 ( ) f pp

m V tf t V (4-38)

Luego la serie de Fourier está definida por:

00 0

1 1

( ) cos( ) ( )2 n n

n n

af t a n t b sen n t (4-39)

Donde los coeficientes de Fourier están definidos por:

20

2

2 ( )T

Ta f t dtT

(4-40)

20

2

2 ( ) cos( )T

Tna f t n t dtT

(4-41)

20

2

2 ( ) ( )T

Tnb f t sen n t dtT

(4-42)

Evaluando las integrales obtenemos los valores de cada uno de los

coeficientes:

02

0 02

2 ( ) f

f

Tf f p f pm

T p pm

m m V t m V ta f t dt V dt V dt

T (4-43)

77

0 pa V (4-44)

02

0 0 002

2 ( ) cos( ) cos( ) cos( )f

f

Tf f p f pm

Tn p pm

m m V t m V ta f t n t dt V n t dt V n t dt

T(4-45)

2 2

2 cos( ) 1pn

V na

n (4-46)

20

2

2 ( ) ( )T

Tnb f t sen n t dtT

(4-47)

0nb (4-48)

Finalmente la serie de Fourier de la triangular propuesta es:

2 21

2 cos( ) 1( ) cos( )

2p p

fn

V V nf t nm t

n (4-49)

La grafica de la ecuación 4-49 se aprecia en la Figura 4-30.

2 0 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

trig t( )

t

Figura 4-30 Triangular en Mathcad

Las señales de referencia para las moduladoras se aprecian en la Figura

4-31, las cuales son las ecuaciones 4-50, 4-51, 4-52.

( ) sin( )av t t (4-50)

2( ) sin( )3bv t t (4-51)

2( ) sin( )3cv t t (4-52)

78

Ahora procedemos a hacer la evaluación de todos los offset anteriormente

mencionados Figura 4-32:

1

max ( ), ( ), ( ) min ( ), ( ), ( )( ) ( )

2a b c a b c

a a

v t v t v t v t v t v tv t v t (4-53)

1

max ( ), ( ), ( ) min ( ), ( ), ( )( ) ( )

2a b c a b c

b b


1

max ( ), ( ), ( ) min ( ), ( ), ( )( ) ( )

2a b c a b c

c c


0 2 4 61

0

1

va t( )

vb t( )

vc t( )

t

Figura 4-31. Sinusoidales bases para moduladoras en Mathcad.

0 2 4 61

0.5

0

0.5

1

va1 t( )

vb1 t( )

vc1 t( )

t

Figura 4-32 Sinusoidales más componentes en Mathcad.

Finalmente obtenemos las moduladoras en la Figura 4-33:

2 2 2 2 2 21

max ( ), ( ), ( ) min ( ), ( ), ( ) 1( ) ( )2 4

a b c a b crefa a

v t v t v t v t v t v tv t v t

(4-56)

79

2 2 2 2 2 21

max ( ), ( ), ( ) min ( ), ( ), ( ) 1( ) ( )2 4

a b c a b crefb b


(4-57)

2 2 2 2 2 21

max ( ), ( ), ( ) min ( ), ( ), ( ) 1( ) ( )2 4

a b c a b crefc c


(4-58)

0 2 4 61

0.5

0

0.5

1

vrefa t( )

vrefb t( )

vrefc t( )

t

Figura 4-33 Moduladoras en Mathcad.

Para completar la modulación debemos comparar las señales anteriores con las

portadores triangulares (Figura 4-30) desfasadas por amplitud, si usamos un

índice de frecuencia de 36 y una amplitud 1:

200

2 21

2* *(cos( ) 1)( , ) cos( * * )

2 *p p

p p fn

V V nv V t n m t

n (4-59)

Además se superpone la señal moduladora y se obtiene la grafica de la

Figura 4-34.

2 2 2 2 2 21

max ( ), ( ), ( ) min ( ), ( ), ( ) 1( ) * ( )2 4

a b c a b crefa i a

v t v t v t v t v t v tv t m v t

(4-60)

80

0 2 4 61

0.5

0

0.5

1

vrefa t( )

vp 0.5 t( ) 0.5

vp 0.5 t( )

vp 0.5 t( ) 0.5

vp 0.5 t( ) 1

t

Figura 4-34 Moduladora mas triangulares en Mathcad.

4.7 APLICACIÓN DE LA CSV-PWM EN UN INVERSOR MULTINIVEL

4.7.1 Inversor multinivel hibrido simétrico

Se realiza una breve descripción del inversor multinivel hibrido simétrico

desarrollado en el laboratorio de electrónica de potencia, el cual será utilizado

para realizar el control vectorial del motor de inducción.

Se muestra la célula monofásica y su configuración trifásica, este inversor

se puede ver en más detalle en el trabajo de magister de Reynaldo Ramos [5],

en donde el muestra la “Familia de inversores multinivel híbridos para aplicación

en alta tensión y alta potencia”.

En la Figura 4-35 se muestra la topología de la célula monofásica.

Figura 4-35 Célula Monofasica.

81

Se aprecia que esta es alimentada por dos fuentes de tensión idénticas de

valor E, 1 2 3 4, , ,S S S S son interruptores rápidos bidireccionales en corriente, los

cuales pueden ser MOSFET o IGBT, estos soportan una tensión inversa máxima

de E y trabajan a una frecuencia desde aproximadamente 1Khz hacia arriba,

dado que estos interruptores pueden trabajar en altas frecuencias, estos

habitualmente soportan una menor tensión, estos interruptores son accionados

con PWM sinusoidal, 5 6 7 8, , ,S S S S son interruptores lentos bidireccionales en

corriente, los cuales pueden ser GTO o IGCT, estos soportan una tensión

inversa máxima de 2E y trabajan a una frecuencia menor que está dada por la

frecuencia de salida deseada (Habitualmente 50Hz), estos interruptores son

accionados por pulsos únicos.

Los interruptores lentos están distribuidos como puente H, los cuales

definen si la salida del inversor X – Y se encuentra en intervalo positivo o

negativo.

4.7.2 Implementación en simulink CSV-PWM

En la Figura 4-36 se tiene la modulación CSV-PWM desarrollada en

bloques en SIMULINK.

Figura 4-36 Modulación SVPWM en Bloques.

82

En la figura 4-37 se puede ver las moduladoras obtenidas idénticas a las

desarrolladas en el modelo matemático de la figura 4-34.

Figura 4-37 Moduladoras en Simulink.

En la figura 4-38 se puede ver la tensión fase neutro inversor de cinco

niveles de tensión.

Figura 4-38 Tensión a la salida célula monofásica.

4.7.3 Aplicación del control vectorial mas modulación CSV-PWM con uninversor multinivel hibrido simétrico

En la figura 4-39 se puede ver el sistema simulado en su totalidad en

SIMULINK.

83

Figura 4-39 Implementación general en Simulink.

Figura 4-40 Referencia de velocidad versus real.

En la figura 4-40 se puede ver como la velocidad del motor sigue en todo

momento a la referencia deseada.

En la figura 4-41 se puede ver las corrientes trifásicas en el estator.

84

Figura 4-41 Corriente estator usando CSVPWM

4.7.4 Comparación de las corrientes en el estator con diferentes modulacionese inversores.

En la figura 4-42 se tiene la corriente en el estator de un motor de

inducción alimentado con un inversor de dos niveles con modulación S-PWM.

Figura 4-42 Corriente estator usando SPWM


inducción alimentado con un inversor de dos niveles con modulación SV-PWM.


inducción alimentado con un inversor multinivel hibrido simétrico con modulación

CSV-PWM

85

Figura 4-43 Corriente estator usando SVPWM

Figura 4-44 Corriente estator usando CSVPWM

Se puede ver en la figura 4-44 como la corriente es completamente

sinusoidal y con una notable menor distorsión que en los casos en donde se

ocupa el inversor de dos niveles.

86

Tabla 4-3 Doce vectores de magnitud E/3Sa1 Sa2 Sb1 Sb2 Sc1 Sc2 Vao Vbo Vco Van Vbn Vcn Vsxo

V1 0 0 0 0 0 0 -E/2 -E/2 -E/2 0 0 0 -------

V2 1 1 1 1 1 1 E/2 E/2 E/2 0 0 0 -------

V3 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 -------

V4 0 1 0 0 0 0 0 -E/2 -E/2 E/3 -E/6 -E/6 E/3 0

V5 1 1 0 1 0 1 E/2 0 0 E/3 -E/6 -E/6 E/3 0

V6 0 1 0 1 0 0 0 0 -E/2 E/6 E/6 -E/3 E/3 / 3

V7 1 1 1 1 0 1 E/2 E/2 0 E/6 E/6 -E/3 E/3 / 3

V8 0 0 0 1 0 0 -E/2 0 -E/2 -E/6 E/3 -E/6 E/3 2 / 3

V9 0 1 1 1 0 1 0 E/2 0 -E/6 E/3 -E/6 E/3 2 / 3

V10 0 0 0 1 0 1 -E/2 0 0 -E/3 E/6 E/6 E/3

V11 0 1 1 1 1 1 0 E/2 E/2 -E/3 E/6 E/6 E/3

V12 0 0 0 0 0 1 -E/2 -E/2 0 -E/6 -E/6 E/3 E/3 2 / 3

V13 0 1 0 1 1 1 0 0 E/2 E/6 -E/6 E/3 E/3 2 / 3

V14 0 1 0 0 0 1 0 -E/2 0 E/6 -E/3 E/6 E/3 / 3

V15 1 1 0 1 1 1 E/2 0 E/2 E/6 -E/3 E/6 E/3 / 3

87

Tabla 4-4 vectores de amplitud 33

E y de amplitud 2E/3

Sa1

Sa2

Sb1 Sb2 Sc1 Sc2 Vao Vbo Vco Van Vbn Vcn Vsxo

V16

1 1 0 1 0 0 E/2 0 - E/2 E/2 0 - E/2 33

E / 6

V17

0 1 1 1 0 0 0 -E/2 - E/2 0 E/2 - E/2 33

E / 2

V18

0 0 1 1 0 1 - E/2 E/2 0 - E/2 E/2 0 33

E 5 / 6

V19

0 0 0 1 1 1 - E/2 0 E/2 - E/2 0 E/2 33

E 5 / 6

V20

0 1 0 0 1 1 0 - E/2 E/2 0 - E/2 E/2 33

E / 2

V21

1 1 0 0 0 1 E/2 E/2 0 E/2 - E/2 0 33

E / 6

V22

1 1 0 0 0 0 E/2 -E/2 -E/2 2E/3 -E/3 -E/3 2E/3 0

V23

1 1 1 1 0 0 E/2 E/2 -E/2 E/3 E/3 -2E/3 2E/3 / 3

V24

0 0 1 1 0 0 -E/2 E/2 -E/2 -E/3 2E/3 -E/3 2E/3 2 / 3

V25

0 0 1 1 1 1 -E/2 E/2 E/2 -2E/3 E/3 E/3 2E/3

V26

0 0 0 0 1 1 -E/2 -E/2 E/2 -E/3 -E/3 2E/3 2E/3 2 / 3

V27

1 1 0 0 1 1 E/2 -E/2 E/2 E/3 -2E/3 E/3 2E/3 / 3

88

CONCLUSIONES

En primera instancia se logró simular el motor de inducción en base a las

ecuaciones dinámicas del mismo, ayudando a comprender mejor el

comportamiento del motor bajo condiciones de simulación en lazo abierto y

cerrado, además esto entrega una opción adicional al motor entregado por

MATLAB-SIMULINK.

En segunda instancia se pudo apreciar que en base al control vectorial se

puede controlar el motor de inducción a semejanza de un motor de corriente

continua de excitación independiente, logrando velocidades de por lo menos 3

veces la velocidad sincrónica en condiciones de vacío, abriendo las puertas de

aplicaciones de alta velocidad a bajo torque.

En tercera instancia se aprecia la estabilidad frente a cambios dinámicos

en la velocidad y torque en el motor de inducción, sin embargo debemos

recordar que al ser el torque inversamente proporcional a la velocidad, no

debemos sobre exigir el motor por sobre de sus límites de potencia, porque la

potencia en el motor de inducción es proporcional a la velocidad y el torque.

La modulación de inversores multinivel puede llevarse a cabo de dos

maneras, mediante PWM sinusoidal que es muy simple de implementar pero que

no entrega óptimos resultados, mientras que la modulación vectorial permite un

buen control del sistema, además los vectores redundantes permiten establecer

estrategias de minimización de perdidas, menor contenido armónico y la

atenuación de la tensión en modo común.

Se demuestra mediante un cambio de referencia en el marco de

referencia arbitrario como se puede diferenciar rápidamente las variables para

realizar un control sin sensor de posicionamiento, esto simplificaría notablemente

la implementación real de este sistema, manteniendo el mismo buen desempeño

que con el uso del sensor de posicionamiento.

89

BIBLIOGRAFÍA

[1] Peter Vas, Sensorless vector and direct torque control, Oxford University

Press, 1998.

[2] Chee Mung Ong, Dynamic Simulations of Electric Machinery, Prentice Hall,

1998.

[3] Krause, Wasynczuk, Sudhoff, Analysis of electric machinery and drive

systems, IEEE press, Second Edition, 2002.

[4] Karanayil, MF Rahman and C Grantham, “A complete dynamic model for

PWM VSI-fed rotor flux oriented vector controlled induction motor drive using

SIMULINK” School of electrical engineering and telecommunications, University

of New South Wales, Australia.

[5] Reynaldo Ramos A, Tesis de Magíster Familia de Inversores Multinivel

Híbridos para Aplicaciones en Alta Tensión y Alta Potencia, capitulo 5 Inversor

multinivel Híbrido trifásico basado en el IH1 FB-CT.

[6] B.P:McGrath, D.G.Holmes, and T. Meynard, “Reduce PWM Harmonic

Distortion for Multilevel Inverters Operating Over a Wide Modulation Range”,

IEEE Trans. Power. Electron.,Vol 21,NO. 4, July 2006.

[7] A. Laoufi, A. Hazzab, I. K. Bousserhane, M. Rahli, “Direct Field-Oriented

Control using Back stepping Technique for Induction Motor Speed Control”,

International Journal of Applied Engineering Research, ISSN 0973-4562 Vol.1

No.1 (2006) pp. 37-50.

90

APÉNDICE A

TIEMPOS DE CONMUTACIÓN PARA INVERSOR NPC EN EL CAPÍTULO 4

91

APÉNDICE A

TIEMPOS DE CONMUTACIÓN

Hexágono interior

Sector 1:

Se aprecia en la figura A-1 la distribución de los tiempos de conmutación para

los interruptores superiores del inversor NPC.

Sa1= T5 + T7 + T0/2

Sa2= T4 + T6 + T0+T0/2 + T5 + T7

Sb1= T7 +T0/2

Sb2= T6 + T0 + T5 + T7 + T0/2

Sc1= T0/2

Sc2= T0 + T5 + T7 + T0/2

Sector 2:

Se aprecia en la figura A-2 la distribución de los tiempos de conmutación.

De esta manera los tiempos de conmutación para cada interruptor quedan

expresados de la siguiente forma.

Sa1= T7 + T0/2

Sa2= T6 + T0 + T9 + T7 + T0/2

92

Sb1= T9 + T7 + T0

Sb2=T8 + T6 + T0 + T9 + T7 + T0/2

Sc1= T0/2

Sc2= T0 + T9 + T7 + T0/2

Sector 3:




Sa1= T0/2

Sa2= T0 + T9 + T11 + T0/2

Sb1= T9+ T11 + T0/2

Sb2= T8 + T10 + T0 + T9 + T11 + T0/2

Sc1= T11 + T0/2

Sc2= T10 + T0 + T9 + T11 + T0/2

Sector 4:




Sa1= T0/2

Sa2= T0 + T12 + T11 + T0/2

Sb1=T4 + T0/2

93

Sb2= T10 + T0 + T13 + T11 + T0/2

Sc1= T13 + T11 + T0/2

Sc2= T12 + T10 + T0 + T13 + T11 + T0/2

Sector 5:




Sa1= T15 + T0/2

Sa2= T14 + T0 + T13 + T15 + T0/2

Sb1= T0/2

Sb2= T0 + T13 + T15 + T0/2

Sc1= T13 + T15 + T0/2

Sc2= T12 + T14 + T0 + T13 + T15 + T0/2

Sector 6:




SA1= T5 + T15 + T0/2

SA2= T4 +T14 +T0 +T5 +T15 +T0/2

SB1= T0/2

SB2= T0 + T5 + T15 + T0/2

94

SC1= T15 + T0/2

SC2= T14 + T0 + T5 + T15 + T0/2

Hexagono mediano:

Sector 1:




Sa1= T16 + T0/2

Sa2= T17 + T0 + T16 + T0/2

Sb1= T17 + T0/2

Sb2= T17 + T0 + T16 + T0/2

Sc1= T0/2

Sc2= T0 + T0/2

Sector 2:




Sa1= T0/2

Sa2= T0 + T17 + T0/2

Sb1= T18 + T17 + T0/2

Sb2= T18 + T0 + T17 + T0/2

95

Sc1= T0/2

Sc2= T18 + T0 + T0/2

Sector3:




Sa1= T0/2

Sa2= T0 + T0/2

Sb1= T18 + T0/2

Sb2= T19 + T0 + T18 + T0/2

Sc1= T19 + T0/2

Sc2= T19 + T0 + T18 + T0/2

Sector 4:




Sa1= T0/2

Sa2= T20 + T0 + T0/2

Sb1= T0/2

Sb2= T0 + T19 + T0/2

Sc1= T20 + T19 + T0/2

96

Sc2= T20 + T0 + T19 + T0/2

Sector 5:




Sa1= T21 + T0/2

Sa2= T21 + T0 + T20 + T0/2

Sb1= T0/2

Sb2= T0 + T0/2

Sc1= T20 + T0/2

Sc2= T21 + T0 +T20 +T0/2

Sector 6:




Sa1= T16 + T21 + T0/2

Sa2= T16 + T0 + T21 + T0/2

Sb1= T0/2

Sb2= T16 + T0 + T0/2

Sc1= T0/2

Sc2= T0 + T21 + T0/2

97

Hexagono grande:

Sector 1:




Sa1= T22 + T23 + T0/2

Sa2= T22 + T0 + T23 + T0/2

Sb1= T23+T0/2

Sb2= T0 + T23 + T0/2

Sc1= T0/2

Sc2= T0+T0/2

Sector 2:




Sa1= T23+ T0/2

Sa2= T0 + T23+ T0/2

Sb1= T24+T23+T0/2

Sb2= T24 + T0 + T23+T0/2

Sc1= T0/2

Sc2= T0+T0/2

98

Sector 3:




Sa1= T16 + T21 + T0/2

Sa2= T16 + T0 + T21 + T0/2

Sb1= T0/2

Sb2= T16 + T0 + T0/2

Sc1= T0/2

Sc2= T0 + T21 + T0/2

Sector 4:




Sa1= T0/2

Sa2= T0+T0/2

Sb1= T0/2+T25

Sb2= T25 + T0 + T0/2

Sc1= T26+T25+T0/2

Sc2= T26+T0+T25+T0/2

99

Sector 5:




Sa1= T27+T0/2

Sa2= T0 + T27 + T0/2

Sb1= T0/2

Sb2=T0 + T0/2

Sc1= T26+T27+T0/2

Sc2= T26+T0+T27+T0/2

Sector 6:




Sa1= T22 + T27 + T0/2

Sa2= T22 + T0 + T27 + T0/2

Sb1= T0/2

Sb2= T0 + T0/2

Sc1= T0/2+T27

Sc2= T0 + T27 + T0/2

100

Figura A-1

Figura A-2

Figura A-3

101

Figura A-4

Figura A-5

Figura A-6

102

Figura A-7

Figura A-8

103

Figura A-9

v1 v20 v3 v19 v2 v19 v3 v20 v1

sa1

sa2

sb1

sb2

sc1

sc2

Figura A-10

104

Figura A-11

Figura A-12

Figura A-13

105

sa1

sa2

sb1

sb2

sc1

sc2

v1 v24 v3 v23 v2 v23 v3 v24 v1

Figura A-14

Figura A-15

106

sa1

sa2

sb1

sb2

sc1

sc2

v1 v26 v3 v25 v2 v25 v3 v26 v1

Figura A-16

Figura A-17

107

Figura A-18

pontificia universidad catÓlica de …lep.eie.pucv.cl/tesisantoniocastillo.pdf · pontificia...

Documents