pontifÍcia universidade catÓlica de minas gerais · resumo as equações diferenciais são...
TRANSCRIPT
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS
Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática
César de Oliveira Almeida
UM AMBIENTE DE APRENDIZAGEM PARA ABORDAGEM INTRODUTÓRIA DE
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Belo Horizonte
2015
César de Oliveira Almeida
UM AMBIENTE DE APRENDIZAGEM PARA ABORDAGEM INTRODUTÓRIA DE
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-
graduação em Ensino de Ciências e Matemática da
Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais,
como requisito parcial para a obtenção do título de
Mestre em Ensino de Ciências e Matemática.
Orientador: Prof. Dr. Dimas Felipe de Miranda
Área de Concentração: Matemática
Belo Horizonte
2015
FICHA CATALOGRÁFICA
Elaborada pela Biblioteca da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais
Almeida, César de Oliveira
A447a Um ambiente de aprendizagem para abordagem introdutória de equações
diferenciais / César de Oliveira Almeida. Belo Horizonte, 2015.
137 f.: il.
Orientador: Dimas Felipe de Miranda
Dissertação (Mestrado) – Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais.
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática.
1. Matemática - Estudo e ensino. 2. Formação de professores. 3. Material
didático. 4. Aprendizagem por atividades. 5. Ensino auxiliado por computador. I.
Miranda, Dimas Felipe de. II. Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais.
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática. III. Título.
CDU: 51:37.02
César de Oliveira Almeida
UM AMBIENTE DE APRENDIZAGEM PARA ABORDAGEM INTRODUTÓRIA DE
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-
Graduação em Ensino de Ciências e Matemática da
Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais,
como requisito parcial para obtenção do título de
Mestre em Ensino de Ciências e Matemática.
_____________________________________________________________
Prof. Dr. Dimas Felipe de Miranda - PUC Minas (Orientador)
_____________________________________________________________
Prof. Dr. João Bosco Laudares – PUC Minas (Examinador)
_____________________________________________________________
Prof. Dr. Niltom Vieira Junior – IFMG – Campus Formiga (Examinador)
Belo Horizonte, 11 de dezembro de 2015.
“Em um lugar escuro nos encontramos e um
pouco mais de conhecimento ilumina o nosso
caminho”
Mestre Yoda
AGRADECIMENTOS
Agradeço aos meus pais pela dedicação em me ensinar o melhor caminho a seguir
minha vida em busca da minha felicidade. Em especial à minha mãe, Creudes, pela sua
presença constante e por seus conselhos e avisos que sempre estarão presentes em mim. Em
especial ao meu pai, Luiz, pelas suas brincadeiras e formas de deixar qualquer ambiente mais
alegre.
À minha querida esposa, Marcela (Moe), pela presença, apoio e ombro amigo nas horas
em que mais precisei e nas muitas ainda das quais ainda vou precisar.
Aos meus amigos e à minha irmã, os quais me fazem muito feliz pela grande amizade e
que também desejo que sempre estejamos juntos.
Ao Professor Dimas, que como dizem “é quase um pai”. Pela sua enorme paciência,
dedicação e confiança depositada em mim!
A todos os professores doutores do Mestrado, por todo o conhecimento e todos os
ensinamentos partilhados. Em especial, ao Professor João Bosco que me acompanhou e
depositou confiança em mim.
Aos estudantes da turma 10 do curso de Pós-graduação, que me auxiliaram na
conquista dessa pesquisa.
Aos muitos professores que contribuíram para que eu chegasse onde cheguei, em
especial, ao Professor Fischer Stefan, o qual foi meu professor de Matemática no Ensino Médio
e aos Professores Alberto Sarmiento e Jorge Sabatucci, os quais foram meus professores na
graduação.
Aos amigos do Mestrado, entre tantos outros, presentes, durante a trajetória desta
pesquisa, pela amizade e torcida!
À FAPEMIG que, junto ao Projeto vinculado aos grupos de estudo GRUPIMEM e
PINEM, possibilitou que tal pesquisa se concretizasse.
RESUMO
As Equações Diferenciais são recursos que permeiam muitos fenômenos físicos, químicos e
biológicos, naturais ou não. Por esse motivo, elas permitem que essas áreas do conhecimento
façam uso de conteúdos matemáticos para que esses fenômenos possam ser explicados por outra
perspectiva. Pensando dessa maneira, essa pesquisa tem o intuito de apresentar a importância
das Equações Diferenciais em fenômenos físicos com um enfoque na formação de professores.
Para tanto, um ambiente de aprendizagem foi construído com base nos conceitos assumidos
pelos grupos de estudo e pesquisa GRUPIMEM e PINEM em que atividades foram aplicadas a
um grupo de dez professores em formação continuada, participantes de um curso de Pós-
graduação com enfoque em Educação Matemática. Como produto dessa pesquisa, foram
criados um caderno de atividades e um Objeto de Aprendizagem que buscam auxiliar na
construção de conceitos e conteúdos básicos de Equações Diferenciais.
Palavras-chave: Equações Diferenciais. Formação de professores. Ambiente de aprendizagem.
Recurso Didático Informatizado.
ABSTRACT
Differential equations are resources that cut across many physical phenomena, chemical and
biological, natural or otherwise. For this reason, they let these areas of knowledge makes use
of mathematical content that these phenomena can be explained from another perspective.
Therefore, this research aims to present the importance of differential equations in physical
phenomena with a focus on teacher training. Thus, a learning environment was built based on
concepts assumed by the study groups and research GRUPIMEM and PINEM where activities
were applied to a group of ten teachers in continuing education, participants of a course Post-
graduate on Mathematics Education. As this research product, it were created a notebook of
activities and a learning object that assist in building concepts and basic contents of differential
equations.
Keywords: Differential equations. Teacher training. Learning environment. Couseware
resource.
LISTAS DE FIGURAS
FIGURA 1 - Taxa de variação média em uma função ........................................................... 30
FIGURA 2 - Gráfico da família de curvas de 𝒚 = 𝒆𝟑𝒙 + 𝑪𝒆−𝒙 para alguns valores de 𝑪 ...... 33
FIGURA 3 - A proximidade das duplas propiciou uma maior discussão entre elas ............... 57
FIGURA 4 - Tela inicial do software EDOCA ..................................................................... 83
FIGURA 5 - Navegação no software EDOCA ...................................................................... 84
FIGURA 6 - Atividade informatizada 1 – Questão 1 ............................................................ 85
FIGURA 7 - Atividade informatizada 1 – Questão 2 ............................................................ 86
FIGURA 8 - Atividade informatizada 1 – Questão 3 ............................................................ 87
FIGURA 9 - Atividade informatizada 1 – Questão 4 ............................................................ 88
FIGURA 10 - Atividade informatizada 1 – Questão 5 (letras a e b) ...................................... 89
FIGURA 11 - Atividade 1 – Questão 5 (letras c e d)............................................................. 89
FIGURA 12 - Atividade informatizada 1 – Questão 6 .......................................................... 90
FIGURA 13 - Atividade informatizada 1 – Questão 7 .......................................................... 91
FIGURA 14 - Atividade informatizada 1 – Questão 8 .......................................................... 92
FIGURA 15 - Atividade informatizada 1 – Questão 9 .......................................................... 92
FIGURA 16 - Atividade informatizada 2 – Questão 1 .......................................................... 93
FIGURA 17 - Atividade informatizada 2 – Questão 2 .......................................................... 94
FIGURA 18 - Atividade informatizada 2 – Questão 3 .......................................................... 95
FIGURA 19 - Atividade informatizada 2 – Questão 4 .......................................................... 95
FIGURA 20 - Atividade informatizada 3 – Questão 1 .......................................................... 97
FIGURA 21 - Atividade informatizada 3 – Questão 2 .......................................................... 98
FIGURA 22 - Atividade informatizada 3 – Questão 3 .......................................................... 99
FIGURA 23 - Atividade informatizada 3 – Questão 4 ........................................................ 100
FIGURA 24 - Atividade informatizada 3 – Questão 5 ........................................................ 101
LISTAS DE QUADROS
QUADRO 1 – Elementos estruturantes das atividades impressas.......................................... 46
QUADRO 2 – Elementos estruturantes das atividades informatizadas .................................. 47
QUADRO 3 – Saberes e dificuldades observados nas questões da atividade 1 ...................... 67
QUADRO 4 – Saberes e dificuldades observadas nas questões da atividade 2 ...................... 74
QUADRO 5 – Saberes e dificuldades observadas nas questões da atividade 3 ...................... 81
LISTAS DE PROTOCOLOS
PROTOCOLO 1 – Atividade 1 – Questão 1 – Resposta do professor/estudante D ................ 58
PROTOCOLO 2 – Atividade 1 – questão 3 – Resposta do professor/estudante F ................. 59
PROTOCOLO 3 – Explicação sobre tendência de uma variável: professor/estudante I ......... 60
PROTOCOLO 4 – Atividade 1 – questão 9d – resposta do professor/estudante J ................. 60
PROTOCOLO 5 – Atividade 1 – Questão 10a – resposta do professor/estudante B .............. 61
PROTOCOLO 6 – Atividade 1 – Questão 11a – solução inicialmente proposta pelo
professor/estudante I ............................................................................................................ 62
PROTOCOLO 7 – Atividade 1 – Questão 11b – resposta do professor/estudante F .............. 63
PROTOCOLO 8 – Atividade 1 – Questão 11c,d – resposta do professor/estudante F ........... 64
PROTOCOLO 9 – Atividade 1 – Questão proposta 4b – solução do professor/estudante B .. 65
PROTOCOLO 10 – Atividade 1 – Questão proposta 4b – solução do professor/estudante E. 65
PROTOCOLO 11 – Atividade 2 – Questão 1 – rascunho utilizado pelo grupo A .................. 71
PROTOCOLO 12 – Atividade 2 – Questão 1 – resolução do grupo A .................................. 72
PROTOCOLO 13 - Atividade 2 – Questão 1 – continuação e finalização ............................. 73
PROTOCOLO 14 - Atividade 3 – Questão 4 – resolução feita pelo grupo B ........................ 79
PROTOCOLO 15 - Atividade 3 – Questão 7 – Resolução feita pelo grupo B ....................... 80
LISTAS DE ABREVIATURAS E SIGLAS
ED Equações Diferenciais
EDO Equações Diferenciais Ordinárias
EDOCA Equações Diferenciais Ordinárias com Cálculo
GRUPIMEM Grupo de Pesquisa em Informática e Metodologia para o Ensino de Matemática
MEC Ministério da Educação e da Cultura
AO Objeto de Aprendizagem
PINEM Grupo de Pesquisas Investigativas em Ensino de Matemática
PUC Minas Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................... 12 1.1 Objetivos da pesquisa ................................................................................................................13 1.1.1 Objetivo Geral .........................................................................................................................14 1.1.2 Objetivos Específicos ...............................................................................................................14 1.2 Organização e estrutura do texto ..............................................................................................14
2 AMBIENTES DE APRENDIZAGEM E TEORIAS DE SUPORTE DA PESQUISA . 16 2.1 Ambientes de Aprendizagem no Projeto do GRUPIMEM/PINEM ........................................16 2.2 Docentes/discentes lidando com a Matemática .........................................................................17 2.3 A formação continuada de docentes .........................................................................................19 2.4 Documentos oficiais e aquisição do conhecimento ...................................................................21 2.5 Informática Educacional ...........................................................................................................22 2.6 Resolução de Problemas ............................................................................................................26
3 CONCEITOS BÁSICOS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ....................................... 28 3.1 Variáveis dependente e independente .......................................................................................29 3.2 Taxas de variação média e instantânea ....................................................................................29 3.3 Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) .................................................................................31 3.4 Solução de uma Equação Diferencial .......................................................................................32 3.5 Problemas de valor inicial .........................................................................................................33 3.6 Equação Diferencial Ordinária Separável................................................................................34
4 TEORIAS DIDÁTICAS E ELEMENTOS DA PESQUISA .......................................... 36 4.1 Conteúdos de Aprendizagem ....................................................................................................36 4.2 Caracterização do Universo e Procedimentos ..........................................................................40 4.3 Dificuldades apresentadas.........................................................................................................42
5 AS ATIVIDADES E RESULTADOS DA PESQUISA .................................................. 45 5.1 ATIVIDADE 1 – Elementos introdutórios ao estudo de Equação Diferencial ........................47 5.1.1 Apresentação e descrição da atividade 1 ..................................................................................48 5.1.2 Análise da atividade 1 ..............................................................................................................56 5.2 ATIVIDADE 2 – Explorando o Modelo Logístico....................................................................67 5.2.1 Apresentação e descrição da atividade 2 ..................................................................................68 5.2.2 Análise da atividade 2 ..............................................................................................................70 5.3 ATIVIDADE 3 – Explorando a Lei de Resfriamento/Aquecimento de Newton ......................74 5.3.1 Apresentação e descrição da atividade 3 ..................................................................................75 5.3.2 Análise da atividade 3 ..............................................................................................................78 5.4 AS ATIVIDADES INFORMATIZADAS .................................................................................81 5.4.1 Atividade Informatizada 1 .......................................................................................................84 5.4.2 Atividade Informatizada 2 .......................................................................................................93 5.4.3 Atividade Informatizada 3 .......................................................................................................96 5.4.4 Considerações sobre as atividades informatizadas................................................................. 102
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS ........................................................................................ 103
REFERÊNCIAS ............................................................................................................... 106
APÊNDICE – PRODUTO DA PESQUISA .................................................................... 109
12
1 INTRODUÇÃO
Iniciei o curso de Licenciatura em Matemática em 2007 em uma Universidade Federal
brasileira, começando precocemente minha carreira docente no ano de 2008. Naquele ano,
trabalhei como monitor de Matemática para os Ensinos Fundamental e Médio em um colégio
da rede privada de Belo Horizonte. Logo, em 2009, trabalhei como monitor na universidade e,
posteriormente, como professor de Matemática em um Pré-vestibular.
O modelo tradicional de ensino, que se estabelece nesse último tipo de instituição, tem
grande enfoque na memorização e vários professores chegam até mesmo a criar canções e
métodos que auxiliem os alunos a memorizar alguns conteúdos. O problema disso é que o
estudante não aprende, ele simplesmente decora aquilo que o professor diz que é importante
para aquele determinado momento. Logo, a probabilidade de esquecer o assunto é grande, seja
antes ou após o acontecimento.
Graduei-me, em 2010, e, desde 2012, já formado, leciono Matemática e Desenho
Geométrico para o Ensino Fundamental em um colégio da rede privada de Belo Horizonte.
Porém, devido à minha preocupação em relação à didática e ao trabalho docente, decidi
procurar caminhos e respostas no Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática da PUC
Minas, em 2013.
O desejo de trabalhar com o tema dessa dissertação, Equações Diferenciais, remete-me
ao tempo quando eu ainda era estudante e monitor dessa disciplina, em 2009, em um curso de
Especialização em Matemática voltado para a formação de professores. Preocupavam-me as
dificuldades de aprendizagem apresentadas pelos alunos, tanto da graduação como da pós-
graduação.
Além disso, naqueles momentos, eu rememorava e relacionava esse fato ao tipo de aulas
carregadas de tradicionalismo, da mesma forma que tive em minha graduação, em especial, na
disciplina de Equações Diferenciais. Nelas, era muito comum encontrar exercícios e problemas
que trabalhavam mais a repetição e memorização de fórmulas do que um entendimento sobre
conteúdo da disciplina. E esse entendimento era ainda menor quando se tratava de interpretar
problemas que envolviam a Física, Química, Biologia, ou outra área que demandasse um
trabalho mútuo com a Matemática.
Assim, a concretização do desejo de trabalhar com Equações Diferenciais tornou-se
viável ao cursar o Mestrado, momento vislumbrado para tentar contribuir com minha reflexão,
produção e disponibilização de algum material didático.
13
Nessa linha, a presente pesquisa foi proposta a fim de implementar e disponibilizar um
ambiente didático, que pudesse contribuir para a melhoria e eficácia do ensino e da
aprendizagem de Equações Diferenciais.
Com o objetivo de que tal ambiente fosse criado, um material didático, composto por
um conjunto de atividades e um recurso informático foram desenvolvidos pelo pesquisador,
visando o entendimento conceitual, e, em especial, aplicados a problemas físicos, cujos modelos
de solução envolvem Equações Diferenciais Ordinárias, podendo ser utilizado em cursos
diversos de graduação, ou em cursos em que as noções introdutórias de Equações Diferenciais
se fazem necessárias.
O produto dessa pesquisa, para tanto, será constituído do ambiente didático idealizado,
composto de uma cartilha impressa, com textos, questões e situações-problema propostos nas
atividades didáticas e do recurso informático, que é um aplicativo disponibilizado para um
estudo individual e introdutório de Equações Diferenciais complementar à cartilha.
A resolução de questões, problemas e tarefas das atividades propostas nesse ambiente
didático de pesquisa foi realizada por um grupo de 10 pessoas, todos professores em formação,
realizando estudos de pós-graduação na área de ensino de Matemática. Além disso, um
estudante de graduação em engenharia participou do desenvolvimento do recurso informático
da pesquisa por meio de um trabalho cooperativo.
Essas 11 pessoas, portanto, sujeitos da presente pesquisa, tinham em comum o fato de
participarem, direta ou indiretamente, de dois grupos maiores de pesquisa da PUC Minas,
denominados GRUPIMEM (Grupo de Pesquisa em Informática e Metodologias para o Ensino
de Matemática) e PINEM (Grupo de Pesquisa em Práticas Investigativas em Ensino de
Matemática). Essa dissertação, inclusive, se apoia em objetivos e princípios de um Projeto
desses grupos, financiado pela FAPEMIG e, ao longo dessa dissertação será denominado de
Projeto do GRUPIMEM/PINEM.
A pesquisa configurou-se, assim, como uma Pesquisa-Ação para colher dados pela
observação de “em que medida um ambiente destinado ao estudo introdutório de Equações
Diferenciais, organizado e explorado didaticamente, oportuniza a um grupo de professores em
formação elaborar e expressar saberes, conhecimentos e atitudes?”
1.1 Objetivos da pesquisa
Os objetivos da pesquisa foram separados em duas categorias: objetivo geral e os
objetivos específicos.
14
1.1.1 Objetivo Geral
Organizar um ambiente didático, que pudesse ser usado por alunos e professores,
auxiliando-os no processo de ensino e aprendizagem, ao lidar com os elementos e conceitos
introdutórios de Equações Diferenciais.
1.1.2 Objetivos Específicos
a) preparar o referido ambiente com atividades didáticas e recurso informático, com foco
nos conceitos, significados e situações-problemas;
b) verificar as formas possíveis de exploração do ambiente criado e as contribuições dos
sujeitos da pesquisa: professores em formação e aluno de graduação;
c) analisar, a partir do acompanhamento e da observação, a participação dos sujeitos da
pesquisa no ambiente didático proposto.
1.2 Organização e estrutura do texto
Assim, o presente trabalho de pesquisa está organizado em seis capítulos.
Neste primeiro capítulo foi feita a introdução sobre o tema, composta pela apresentação
do pesquisador e pelos elementos orientadores da pesquisa.
No segundo capítulo é debatido o ambiente didático de aprendizagem, além de
detalhamento sobre formação continuada de professores, visto que a pesquisa teve como
sujeitos professores de Matemática em formação, embasando, também, em diretrizes de
documentos oficiais do governo. Ainda no mesmo capítulo teórico, como suportes para a
pesquisa, também são apresentadas a Informática Educacional e a Resolução de Problemas. O
primeiro serve como uma das bases para a construção do software produzido com a pesquisa.
O segundo trata-se da construção das atividades que foram baseadas em problemas físicos que
possam ser resolvidos por meio de Equações Diferenciais.
O terceiro capítulo retrata o estudo de Equações Diferenciais. Nele, encontra-se a teoria
necessária para a construção das atividades realizadas abrangendo desde a identificação e
classificação dos tipos de varáveis até a resolução de Equações Diferenciais Ordinárias
separáveis.
Já o capítulo quatro explana sobre os aspectos metodológicos que direcionaram a
15
pesquisa, tendo, como norteador a sequência didática de Zabala (1998) para os conteúdos de
aprendizagem, além de descrever as atividades informatizadas que deram origem ao software
EDOCA, mostrando os passos, assim como as dificuldades encontradas no caminho.
O capítulo cinco, por sua vez, apresenta as atividades, assim como os resultados e as
análises de sua aplicação.
Finalizando, o capítulo seis apresenta as considerações finais, seguido das referências
utilizadas e do apêndice, onde é encontrado o produto dessa pesquisa com todas as atividades
na íntegra, assim como uma pequena introdução e explicação sobre o funcionamento do
software educacional construído. Ao final do produto, há, também, as soluções de cada questão
das atividades para que possam servir de consulta para aqueles que desejem utilizar o material.
16
2 AMBIENTES DE APRENDIZAGEM E TEORIAS DE SUPORTE DA PESQUISA
O ambiente didático preparado para essa pesquisa foi vivenciado por 11 pessoas que
tinham um espaço comum, já que participavam de um mesmo Projeto desenvolvido pelo
GRUPIMEM/PINEM, cujos objetivos eram elaborar e experimentar trabalhos envolvendo
estratégias de ensino e aprendizagem de Matemática e/ou estatísticas na Educação Superior, e
de repensar ambientes de aprendizagem. Foi nesse espaço comum do Projeto, do qual o
pesquisador também participou, que aflorou o tema dessa pesquisa: preparação de um ambiente
para o estudo de Equações Diferenciais, bem como foram assumidas as teorias de suporte dessa
pesquisa.
2.1 Ambientes de Aprendizagem no Projeto do GRUPIMEM/PINEM
A pesquisa em ambientes de aprendizagem tem sido o foco de muitos trabalhos em
educação, e também em Educação Matemática, segundo Frota e Nasser (2009). As autoras,
entre seus levantamentos, citam a editora Kluwer que tem publicações na área, como, por
exemplo, um periódico de nome “Learning Environments Research”, dedicado à investigação
sobre ambientes de aprendizagem de áreas distintas, e, mais especificamente, o periódico,
“Educational Studies in Mathematics”, enfocando ambientes de aprendizagem matemática.
No Projeto do GRUPIMEM/PINEM, ambientes de aprendizagem são considerados na
sua multiplicidade, como ambientes de aprendizagem informatizados ou não. A proposta é que
ambientes de aprendizagem de Matemática sejam repensados como espaços e possibilidades de
desenvolvimento de estratégias de aprendizagem, que possam ter diferentes orientações
(prática, teórica e investigativa), objetivando a autonomia e autorregulação da aprendizagem
(FROTA, 2009).
Intenciona-se, portanto, no referido Projeto, organizar e investigar diferentes ambientes
de aprendizagem do Ensino Superior, no sentido de verificar como tais ambientes se
conformam, ou não, enquanto espaços de construção do conhecimento matemático. Além disso,
novas estratégias de ação são propostas para incentivar a investigação e a autonomia de estudos
de alunos universitários.
Então, o Projeto tem como questões norteadoras para o ensino de Matemática:
a) quais os tipos de estratégias e de ambientes de ensino-aprendizagem que podem ser
projetados na construção do próprio conhecimento matemático do aluno com o intuito
17
de favorecer o desenvolvimento de uma postura investigativa?
b) quais os tipos de estratégias que os vários ambientes de ensino-aprendizagem do Ensino
Superior têm favorecido e que tipo de conhecimento matemático tais ambientes têm
desenvolvido?
Para tanto, os levantamentos feitos pelo Projeto GRUPIMEM/PINEM indicam que a
pesquisa em Educação Matemática, bem como as diretrizes curriculares dos vários cursos de
graduação, começam impactar na sala de aula de Matemática, ainda que por vezes lentamente,
de forma a transformá-la em um ambiente de aprendizagem, onde se incentiva a especulação, a
troca de ideias e experiências entre alunos, sob orientação do professor. Assim, um novo
conhecimento matemático precisa de se processar na interação em sala de aula (STEINBRIG,
2005), embora resultados de pesquisas evidenciem certa “ausência” do professor como aquele
que incentiva o desenvolvimento de métodos de estudo e aprendizagem (FROTA, 2009).
Também, não obstante toda a revolução tecnológica, constata-se que as mídias, entres
elas o computador, ainda não foram totalmente incorporadas à rotina do fazer matemático
docente e do fazer matemático do aluno, de forma que ocorra uma “reorganização do
pensamento humano”, interagindo e atuando no processo de conhecer, na perspectiva de Borba
(2010).
Na linha do Projeto do GRUPIMEM/PINEM, a pesquisa que deu origem a essa
dissertação abordou ambientes de ensino-aprendizagem, buscando construir um espaço para
um estudo inicial de Equações Diferenciais, com estratégias de ensino que buscassem favorecer
o aprendizado.
2.2 Docentes/discentes lidando com a Matemática
Os sujeitos da presente pesquisa, que realizaram as atividades e tarefas didáticas,
pertenciam a uma turma de um curso de formação continuada para professores de Matemática,
de nível de pós-graduação. O pesquisador não lecionava para esses sujeitos.
Optou-se por essa turma, por trabalharem juntos no Projeto do GRUPIMEM/PINEM e
pelo fato de que algumas aulas da turma foram cedidas pelo professor regente para a realização
da pesquisa. Eles eram professores de Matemática com experiência docente.
Tanto para docentes, como para discentes, a Matemática, em geral, é vista como de
difícil acesso por apresentar um nível de dificuldade e abstração superiores. Por outro lado, é
também comum pesquisadores procurarem reverter tal pensamento, mostrando que a
18
Matemática é uma grande aliada se utilizada da maneira certa.
Em se tratando do Ensino Superior na área de Exatas, na maioria das vezes, o primeiro
e mais importante contato que o estudante tem é com a disciplina de Cálculo Integral e
Diferencial, muitas vezes chamado de Cálculo I. Porém, pesquisas mostram que o tratamento
que é dado a essa disciplina não converge para a importância que ela apresenta, como mostra
Melo (2002):
Os conceitos de Cálculo Diferencial e Integral, na maioria das vezes, têm sido
ensinados e aprendidos por meio de aulas que valorizam a memorização e a aplicação
de técnicas, regras e algoritmos. Dessa forma, os professores têm a convicção de que
o conteúdo foi ‘ensinado’ e os alunos têm a convicção que o conteúdo foi ‘aprendido’.
No entanto, observa-se, no Ensino Superior, que o curso de Cálculo Diferencial e
Integral I, considerado básico nos cursos da área de ciências exatas, apresenta um
índice muito alto de abandono e repetência. Esta questão foi constatada em 1992 por um estudo realizado por Masetto (1992), que apontou que cerca de 80% a 85% dos
alunos foram reprovados. Barbosa e Neto (1992), realizaram um estudo no segundo
semestre de 1992 em relação ao rendimento dos alunos na mesma disciplina, e
constataram que apenas 27,9% dos alunos obtiveram aprovação. (MELO, 2002, p.1)
Porém, apesar de os estudos de Masetto e Barbosa e Neto citados por Melo (2002) terem
acontecido há mais de vinte anos, no Brasil eles se mostram ainda atuais, justificando os estudos
que visam mudar essa realidade.
Outra pesquisa foi a de Guimarais (2010), em cuja dissertação é apontado que 94% dos
alunos que cursam a disciplina de Cálculo Integral e Diferencial
[...] não cumprem todas as tarefas extraclasses. No entanto, os professores também
não estão isentos de sua parcela de culpa por esse fracasso. Na maioria das vezes, não
fazem da sala de aula um ambiente de construção, explicitando para os educandos que
aquele é um momento de aprendizado conjunto. (GUIMARAIS, 2010, p.16).
Isso mostra que apesar de estudantes, com frequência, encontrarem dificuldades em
disciplinas que fazem uso constante da Matemática, é necessário que os professores também se
atualizem e procurem melhorar seus métodos didáticos no sentido de serem mais atrativos e
interessantes. Afinal, tanto o estudante como o professor estão em processo de aprendizagem,
mesmo que seja cada um em sua devida instância. Não se trata, portanto, de preparar novas e
cada vez maiores listas de exercícios e sim de repensar e refletir sobre o ensino de Matemática
e como agir para que ele possa tomar novas e melhores dimensões.
Porém, não se deve pensar, por parte dos professores, que essa atitude de criar
instrumentos que espelhem o ensino tradicionalista seja um ato de acomodação. Esse tipo de
comportamento, nos dizeres de Alves (2008),
19
[...] não decorre unicamente do despreparo dos professores, nem das limitações
impostas pelas condições escolares deficientes. Expressa, ao contrário, uma deformação estrutural, que veio sendo gradualmente introjetada pelos participantes do
sistema escolar e que passou a ser formada como coisa natural. (ALVES, 2008, p. 43).
Não é incomum encontrar professores que entendem que o tipo de ensino tradicionalista
deve ser mudado de dentro do próprio profissional para fora na sala de aula. Mas algumas vezes,
a inércia do dia-a-dia impede que reflexões construtivas sejam feitas nesse ponto.
2.3 A formação continuada de docentes
Muitos dizem que pessoas tornam-se professores por nascerem professores, porém, a
profissão de educador é muito mais uma recorrência e retomada de valores e conceitos
agregados à sua experiência do que algo instantâneo e perfeito.
A continuidade da formação de um professor agrega conhecimento e valor à experiência
que aquele já tem e, algumas vezes, a necessidade dessa continuidade deve-se ao fato de o
docente querer responder a perguntas que ele, sozinho, com sua carga conceitual presente
naquele momento, está impossibilitado de alcançar tais respostas. Outras vezes, o docente
encontra-se em situações nas quais o atual conhecimento que ele carrega não é suficiente para
manter os desejos próprios de apresentar uma aula com um alto nível matemático. Assim, o
professor recorre a um curso de atualização, a um curso de verão, a uma especialização ou
Mestrado, a fim de sanar a sua inquietação, seja ela qual for, e contribuir positivamente para a
sua formação. Dessa forma, segundo Ribas; Carvalho e Alonso (1999, p.47-48), “[...] o sujeito
terá a consciência de tomar em suas mãos a responsabilidade de sua formação, isto é, além
daqueles subsídios propiciados pelas instituições formadoras, deve buscar conhecimentos por
sua própria conta e partir de seus interesses específicos.”
Além disso, é comum que um profissional encontre dificuldades em seu ambiente
profissional, independentemente da função e do local de trabalho, esbarrando em situações
difíceis. A diferença é que, no caso do professor, o ambiente de trabalho, na maioria das vezes,
é a sala de aula, podendo ocorrer em qualquer nível de ensino.
Tomando a Matemática como exemplo e considerando o patamar do Ensino Superior,
as instituições, às vezes, assumem ser necessário que o profissional/professor apenas apresente
muito conhecimento sobre o conteúdo da disciplina para que ele possa lecioná-la. Porém, é
nesse estágio que as dificuldades metodológicas e didáticas, em geral, são menos discutidas.
Dessa forma, com o intuito de minimizar essas dificuldades, é interessante que aconteçam
20
intervenções, formação continuada e contribuições didáticas que favoreçam o profissional.
Onuchic e Allevato (2009) expõem os dez importantes princípios que podem ser
tomados como base para planejar e elaborar programas, cursos, intervenções ou atividades para
o desenvolvimento de docentes, que serviram de base para um resumo, elaborado por Miranda
(2013), ao ministrar a disciplina Tópicos de Ensino de Cálculo na PUC Minas, quer sejam:
a) levantar questões sobre preocupações e interesses da coletividade docente;
b) envolver grupos de professores em estudos e atividades, se possível de escolas variadas,
buscando apoio da direção, de outras instâncias superiores e da comunidade;
c) reconhecer e discutir os obstáculos e dificuldades em todos os níveis;
d) usar professores como participantes, junto com estudantes, em atividades de sala de aula
e extra sala, trabalhando com situações reais e projetos;
e) suscitar o interesse e o compromisso consciente dos professores a participar das tarefas
e eventos estabelecidos;
f) reconhecer que mudanças nas crenças didáticas, ideológicas e metodológicas dos
professores são derivadas da prática da sala de aula. Sobre essa prática devem recair as
observações, análises, críticas, discussões, reflexões, validações, intervenções e, em
suma, todas as atenções;
g) dar tempo e oportunidade, diante de qualquer tarefa, para organizar, planejar, realizar,
realimentar e discutir os sucessos e fracassos, compartilhando o conhecimento e os
elementos com potencial de inovação e contribuição;
h) capacitar os professores a ganhar autonomia no seu desenvolvimento profissional e se
tornarem parceiros no processo de inovação e mudança no ambiente escolar;
i) reconhecer que mudança se processa de forma gradual, com dificuldades, críticas e até
sofrimentos. Ao longo desse processo, a clareza de objetivos, a convicção e o apoio
junto aos pares são essenciais;
j) encorajar os participantes a viverem em um processo de busca contínua de mudanças e
de inovações, mas com sustentação e objetivos estabelecidos.
Assim, diante do exposto, como educadoras, Onuchic e Allevato (2009, p. 171) afirmam
que “o elemento mais importante para se trabalhar a Matemática é o professor de Matemática”,
pois ele, para as autoras, é o guia e deve possuir conhecimento e fazer conexões entre os
diversos ramos da disciplina, contemplando, também, problemas e situações da realidade. Para
21
tanto, torna-se necessário dominar os conceitos, formatar as atividades de maneiras inovadoras
e criativas, estabelecer a dinâmica dos trabalhos, ser suporte, observar, incentivar a recuperação
de conhecimentos prévios, definir quais resoluções estão certas, erradas ou por caminhos
diferentes, sanar dúvidas e buscar consenso e, sobretudo, ser responsável pela formalização do
conteúdo. Já os alunos, esses são coconstrutores desse conhecimento, devendo ser levados a
investigar, relacionar ideias, modelar a realidade, resolver problemas, descobrir caminhos,
tomar decisões, questionar, descobrir padrões e regularidades e trabalhar colaborativamente.
As formações, tanto inicial como continuada de professores, diante do exposto, são
primordiais para que se consiga a eficácia do processo ensino/aprendizagem. Nesse sentido,
Onuchic e Allevato (2009) se mostram preocupadas com os questionamentos levantados por
elas em teses, dissertações e artigos, sobre sua qualidade, sua responsabilidade, o papel do
professor e seu conhecimento matemático, com reflexos no desenvolvimento matemático do
aluno.
2.4 Documentos oficiais e aquisição do conhecimento
Quando se trata da formação continuada de um professor, não se pode deixar de pensar
em sua formação inicial também, pois, para uma continuidade, torna-se necessário acontecer
um início. Pensando dessa maneira, há algumas leis e diretrizes que tentam padronizar o
aprendizado em cursos do Ensino Superior, e apesar de não influenciarem diretamente na
ementa de nenhuma disciplina, observa-se um objetivo de formar profissionais competentes e
críticos.
Um desses documentos, é o parecer CNE/CES nº 1.302, de 6 de novembro de 2001. De
acordo com ele, desejam-se as seguintes características para o Licenciado em Matemática:
visão de seu papel social de educador e capacidade de se inserir em diversas
realidades com sensibilidade para interpretar as ações dos educandos;
visão da contribuição que a aprendizagem da Matemática pode oferecer à
formação dos indivíduos para o exercício de sua cidadania;
visão de que o conhecimento matemático pode e deve ser acessível a todos, e
consciência de seu papel na superação dos preconceitos, traduzidos pela angústia,
inércia ou rejeição, que muitas vezes ainda estão presentes no ensino-aprendizagem
da disciplina. (BRASIL, 2001, p.3).
Nessa mesma resolução é ainda apresentada uma série de 11 competências e habilidades
que devem ser desenvolvidas em um curso de bacharelado ou licenciaturas em Matemática.
Dessas, destacam-se algumas devido à sua importância em relação à vigente pesquisa, sendo
22
essas:
a) capacidade de aprendizagem continuada, sendo sua prática profissional também fonte
de produção de conhecimento;
b) habilidade de identificar, formular e resolver problemas na sua área de aplicação,
utilizando rigor lógico-científico na análise da situação-problema;
c) participar de programas de formação continuada. (BRASIL, 2001).
Observa-se, portanto, o quão é importante que o professor procure atualizar-se tanto em
relação ao conhecimento matemático quanto às práticas pedagógicas. Nesse sentido, para
Zabala (1998):
Se entendemos que a melhora de qualquer das atuações humanas passa pelo
conhecimento e pelo controle das variáveis que intervêm nelas, o fato de que os
processos de ensino/aprendizagem sejam extremamente complexos não impede, mas
sim torna necessário, que nós, professores, disponhamos e utilizemos referenciais que
nos ajudem a interpretar o que acontece em aula. Se dispomos de conhecimentos deste
tipo, nós os utilizaremos previamente ao planejar, no próprio processo educativo, e,
posteriormente, ao realizar uma avaliação do que aconteceu. (ZABALA, 1998, p. 15).
Dessa forma, entende-se que, para que um professor lecione uma disciplina de forma
eficaz, é necessário ter bastante conhecimento sobre ela, assim como ter postura, interesse pela
didática e fazer bom uso dos recursos tangíveis à mesma, desenvolvendo “estratégias de ensino
que favoreçam a criatividade, a autonomia e a flexibilidade do pensamento matemático dos
educandos, buscando trabalhar com mais ênfase nos conceitos do que nas técnicas, fórmulas e
algoritmos” (BRASIL, 2001, p.4).
2.5 Informática Educacional
Um recurso informático ou recurso computacional foi desenvolvido durante a presente
pesquisa, contando com o trabalho cooperativo de um estudante de engenharia, que participava,
junto com os demais sujeitos, do Projeto do GRUPIMEM/PINEM, cuja proposta era trabalhar
com ambientes de aprendizagem, nos quais é frequente o uso de computadores e instrumentos
da informática. Conforme Fiorentini e Lorenzato (2012, p.115): “na cooperação, alguns ajudam
os outros (co-operam), executando tarefas cujas finalidades geralmente não resultam de
negociação conjunta do grupo, podendo haver subserviência de alguns em relação a outros e/ou
relações desiguais e hierárquicas”.
23
Nas duas últimas décadas, o uso dos computadores vem crescendo por todo o mundo,
sendo aliados para aqueles que fazem uso dele no trabalho ou nos estudos. E esse crescimento
tende a ser ainda maior quando se trata de crianças, jovens e jovens adultos.
Tendo em mente tal fato, seria imprudente negligenciar um estudo que tivesse como
fator auxiliador algum recurso computacional, principalmente quando se trata de Educação
Matemática, uma vez que Borba e Penteado (2010, p.15) afirmam que a “possibilidade de
trabalhar com os computadores abre novas perspectivas para a profissão docente”. Dessa
maneira, foi criada, nessa pesquisa, um espaço para uma discussão sobre Informática
Educacional, que tinha como objetivo mostrar caminhos que redescobrissem a utilização dos
computadores.
De acordo com Boyce e Diprima (2006, p.IX): “O fato de tantos alunos terem, agora,
essas capacidades ...”, isto é, acesso a computadores de alguma espécie, “... permite aos
professores, se desejarem, modificarem, substancialmente, a apresentação do assunto e suas
expectativas do resultado dos alunos.”
Além disso, ressalta-se que os recursos que existem dentro da área de informática e que
estão ligados à Matemática são dos mais variados e que podem ser de utilidade para o ensino e
aprendizado para algum conteúdo. Assim, quando se pensa que se deve criar uma “Matemática
para todos”, é importante pensar na utilização dos computadores, já que “crianças já nascem
em contato com computadores” (BORBA; PENTEADO, 2010, orelha).
Em seu livro “Informática e Educação Matemática”, Borba e Penteado (2010, p.45)
discutem a ideia de que a Matemática e a Informática não devem seguir um caminho
dicotômico, mas, ao contrário, devem se unir para conseguir transformar. Uma mudança que
seja na “própria prática educativa”. Ainda para eles, “Uma nova mídia, como a informática,
abre possibilidades de mudanças dentro do próprio conhecimento e que é possível haver uma
ressonância entre uma dada pedagogia, uma mídia e uma visão de conhecimento.”
Porém, apesar de os computadores poderem ser usados como grandes aliados do ensino,
não somente na Matemática, a mídia lápis e o suporte papel continuam com seu valor, pois cada
um desses dois recursos tem as suas especificidades e importâncias inquestionáveis para o
ensino. O lápis e o papel, portanto, são recursos que perpassam as décadas e os séculos
auxiliando no ensino-aprendizagem em muitas áreas e situações e não seria pelo uso de
computadores que eles deixariam de ser utilizados, já que não significa que um recurso, por
existir por mais tempo que outro, deva ser suprimido, sobreposto ou substituído.
Os recursos computacionais devem ser integrados a outras mídias para que o ensino se
24
torne mais efetivo e motivador, sendo. “[...] preciso que a chegada de uma mídia
qualitativamente diferente, como a informática, contribua para modificar as práticas do ensino
tradicional vigente” (BORBA; PENTEADO, 2010, p.54).
Dessa maneira, mesmo que um software, sozinho, possa ser visto como um Objeto de
Aprendizagem, entende-se que ao uso de um software matemático direcionado e integrado a
um OA com um devido planejamento pedagógico deve-se dar maior valor ao ensino do que à
utilização isolada desse software.
Na Matemática, o estudo com expressões algébricas, gráficos e tabelas de acordo com
Borba e Penteado (2010, p.32), “ganham força com ambientes computacionais”. Além disso,
também afirmam que existem duas formas em que a informática na educação deve ser
justificada: alfabetização tecnológica e direito ao acesso.
Assim, devido à proximidade do homem com o computador, o seu acesso por parte dos
estudantes é uma ação que pode desencadear uma melhoria no desempenho de uma aula. Porém,
algumas vezes o acesso é apenas um dos problemas a serem enfrentados. Em outros casos, há
a falta de capacitação dos próprios professores perante os recursos computacionais que lhe são
disponibilizados, o que fez com que vários grupos de estudos fossem criados por universidades
e centros universitários por todo o Brasil, visando à preparação de professores voltada para a
área de informática.
Muitas instituições brasileiras pesquisam e produzem recursos didáticos, e, em muitos
casos, são classificados por seus autores na categoria de Objetos de Aprendizagem (OA),
passando, então, a desenvolver e a sistematizar uma teoria própria.
Na PUC Minas, por exemplo, os membros do GRUPIMEM/PINEM realizam frequentes
seminários com palestras, apresentações, estudos teóricos e oficinas sobre OA e se propõem a
produzi-los, utilizá-los e desenvolver atividades didáticas para eles. Dessa forma, o recurso
computacional desenvolvido para o estudo introdutório de equações diferencias, e constante
nessa dissertação, procura aproximar-se do conceito de um OA, sendo, portanto, um produto
vinculado a objetivos e propostas do GRUPIMEM/PINEM.
A definição de OA não é única entre os autores. Porém, “é recorrente o uso das palavras:
ensino, conhecimento e reutilizável” (LIMA et al, 2007, p.40), sendo que, para o presente
trabalho, adotou-se a definição apresentada por Willey (2000, p.3), segundo o qual um OA é
“qualquer recurso digital que possa ser reutilizado para o suporte ao ensino”. Entretanto, como
a expressão “qualquer recurso digital” deixa ampla essa definição, procurou-se delimitá-la por
meio de Nunes (2004, p.1), que afirma que “a gama de objetos passa a não ser todo e qualquer
25
recurso digital e sim aqueles com enfoque educacional”. Deste modo, um OA se volta, aqui,
para fins dessa pesquisa, exclusivamente para ensino/aprendizagem.
Portanto, entende-se que os Objetos de Aprendizagem são recursos que vêm sendo
utilizados como objetos de estudo para auxiliarem no aprendizado de um ponto específico de
uma área de conhecimento e de acordo com o Ministério da Educação e Cultura (BRASIL,
2014),
Um Objeto de Aprendizagem é qualquer recurso que possa ser reutilizado para dar
suporte ao aprendizado. Sua principal ideia é "quebrar" o conteúdo educacional
disciplinar em pequenos trechos que podem ser reutilizados em vários ambientes de
aprendizagem. Qualquer material eletrônico que provém informações para a
construção de conhecimento pode ser considerado um Objeto de Aprendizagem, seja
essa informação em forma de uma imagem, uma página HTM, uma animação ou
simulação. (BRASIL, 2014).
Assim, esses são recursos didáticos digitais que procuram dar suporte à compreensão
conceitual com inúmeras possibilidades de representação, interpretação e análise, cujo estudo
vem crescendo de maneira significativa na área de educação em geral.
Porém, não é somente pelo OA exigir tecnologia da informação que se terá a eficácia
da aprendizagem, pois, “a utilização da tecnologia não significa, necessariamente, por si só,
uma melhora no ensino-aprendizado” (RODRIGUES; SOUZA JÚNIOR; LOPES, 2007, p.
101). Entende-se, portanto, que o OA é um recurso para potencializar o aprendizado, podendo
os professores e estudantes ganharem com a sua utilização, tanto pela possibilidade de
promoção de aulas mais dinâmicas quanto para a construção de conceitos e conteúdos por meio
de métodos de estudos diferenciados, pois o “intuito com os Objetos de Aprendizagem não é
somente transmitir informação ou conceitos prontos, mas provocar novas maneiras de pensar”
(SILVA; FERNANDES; LOPES; SOUZA JÚNIOR, 2007, p. 140).
É importante salientar, também, que os OA, para receber tal nomeação, ainda devem,
principalmente, ser de fácil acesso, sendo disponibilizado em um repositório online. Um
conhecido repositório de OA brasileiro é o RIVED – Rede Interativa Virtual de Educação, onde
podem ser encontrados vários OA nas áreas de Arte, Biologia, Ciências, Engenharia, Filosofia,
Física, Geografia, História, Matemática, Português e Química.
Além disso, por meio da busca, é possível selecionar OA que pertençam apenas a um
nível de educação: Fundamental, Médio, Profissionalizante ou Superior, porém, entendendo
que cada Objeto de Aprendizagem nesse repositório tem como objetivo o ensino/aprendizagem
de um determinado conteúdo.
Existe também um repositório, denominado CESTA– Coletânea de Entidades de
26
Suporte ao uso de Tecnologia na Aprendizagem, construído a partir de um projeto da
Universidade Federal do Rio Grande do Sul, que disponibiliza e capta tanto Objetos de
Aprendizagem como outros repositórios nacionais e internacionais.
2.6 Resolução de Problemas
O conjunto de atividades didáticas desta pesquisa foi desenvolvido visando trabalhar
conteúdos e, em especial, aplicações a problemas físicos, cujos modelos de soluções envolvem
Equações Diferenciais Ordinárias.
Assim, a teoria de resolução de problemas também fundamentou esta pesquisa, sendo
esta uma área consolidada e estruturada pelos matemáticos e educadores.
De acordo com Polya (1995), é denominada Heurística a arte de solucionar problemas
em alguma situação. Esse estudo apresentado, portanto, tem a sua importância fundada no
conhecimento que um aluno adquire quando tem sucesso ao resolver um problema, ressaltando
que os problemas não são parte apenas da Matemática, acontecendo nas várias ciências e
tecnologias.
Ao dar início aos estudos com resolução de problemas, é importante que o professor
instigue seus alunos a pensar e raciocinar. É a partir do sucesso com pequenos problemas que
o aluno terá energia suficiente para seguir em frente com outros e, assim, participar na
construção de um raciocínio independente. Nesse sentido, para Polya (1995, p.VI), “o problema
pode ser modesto, mas se ele desafiar a curiosidade e puser em jogo as faculdades inventivas,
quem o resolver com os seus próprios meios, experimentará a tensão e gozará o triunfo da
descoberta”.
Ainda para Polya (1995, p.4), a resolução de problemas consiste em quatro momentos:
i) compreensão do problema, ii) estabelecimento de um plano, que pode ser desde a
identificação das incógnitas do problema até o caminho que deverá ser percorrido para a sua
solução, iii) execução do plano e iv) retrospecto, examinando a solução obtida, procurando
sentido na sua obtenção.
O primeiro momento, porém, tem uma relevância maior entre os quatro acima, sendo a
compreensão do problema fundamental para que se alcance a sua solução, já que, muitas vezes,
uma má interpretação do enunciado de uma questão é suficiente para que o raciocínio não seja
compreendido. De acordo com César Camacho (2015), diretor geral do IMPA – Instituto de
Matemática Pura e Aplicada, em uma de suas palestras sobre o desenvolvimento da Matemática
pelo país, o maior motivo que impede que estudantes compreendam os objetivos de uma
27
questão é certamente a falta de interpretação dos seus dados, seja na forma textual ou numérica.
É interessante, então, que o professor questione e responda às perguntas de seus alunos
com mais indagações, direcionando-os à solução, pois o professor é um mediador entre os
questionamentos e a solução, promovendo conjecturas e testes. “O professor que deseja
desenvolver nos estudantes a capacidade de resolver problemas deve incutir em suas mentes
algum interesse por problemas e proporcionar-lhes muitas oportunidades de imitar e praticar.”
(POLYA, 1995, p.3).
A resolução de problemas também parte do princípio da imitação, já que quando se
resolve algum, se está apenas repetindo o modo como outra pessoa resolveu. Quanto à prática,
torna-se claro entender que não há bom rendimento em qualquer área se ela não existir. Da
mesma maneira que um atleta precisa praticar seu físico e suas habilidades corporais em uma
modalidade, na Matemática o cérebro deve também ser praticado e estimulado a criar
estratégias para diversas situações.
Assim, se um aluno não tiver interiorizado os conceitos da resolução de problemas,
dificilmente ele os alcançará por conta própria, da mesma forma que alunos que não obtiveram
conhecimento sobre tal assunto no Ensino Fundamental e Médio alcançarão o Ensino Superior
com o mesmo déficit, implicando, muitas vezes, na falta de compreensão de alguns assuntos
das disciplinas universitárias, o que significa que o processo se repetirá. Tomando uma escala
maior e em contrapartida, um profissional que recebeu estudos voltados para a resolução de
problemas terá, possivelmente, maior sucesso diante dos desafios da profissão e da vida.
28
3 CONCEITOS BÁSICOS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
As palavras Equações Diferenciais remetem a equações que estão relacionadas com o
estudo de derivadas e, talvez, por consequência, de integrais, o que, por sua vez, faz lembrar
incógnitas, variáveis, soluções, gráficos.
As Equações Diferenciais (ED) nasceram com o intuito de solucionar problemas que
não poderiam ser solucionados pelos mesmos métodos das equações simples. Essas equações
giram em torno de problemas reais, os quais necessitam de informações para poder predizer um
comportamento no futuro com base na variação dos valores ali presentes, pois, “os fenômenos
mais interessantes envolvem mudanças, e são melhores descritos por equações que relacionam
quantidades variáveis” (EDWARDS JR; PENEY, 1995, p.2).
O estudo de ED tem sua importância prevista em áreas que trabalham com problemas
fenomenológicos. De acordo com Boyce e Diprima (2006, p.15-16), historicamente, as ED
apareceram com o estudo de Cálculo durante o século XVII por Isaac Newton (1642-1727) e
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Além desses nomes, houve também um matemático,
Leonard Euler, que, no século XVIII, elucidou problemas de princípios básicos de mecânica
aplicados com ED.
Por sua vez, tanto os irmãos Bernoulli quanto Joseph-Louis Lagrange foram nomes
presentes nas publicações envolvendo Cálculo e ED nos séculos XVII e XVIII, assim como
Laplace, outro nome importante na história devido aos seus estudos em mecânica celeste e suas
transformadas, ensinadas hoje em cursos superiores.
A partir do século XIX, iniciam-se os estudos referentes às Equações Diferenciais
Parciais. No final do século XX, com a chegada dos computadores, evoluem as pesquisas no
campo de ED, principalmente aquelas quanto aos métodos geométricos e numéricos.
Devido à importância em enfrentar problemas fenomenológicos, em especial os físicos,
esta pesquisa apresentada busca auxiliar o estudante a conectar-se a esse movimento, já que
“Por séculos, as Equações Diferenciais têm em geral se originado dos esforços de um cientista
ou engenheiro para descrever algum fenômeno físico ou para traduzir uma lei empírica ou
experimental em termos matemáticos.” (ZILL, 2011, p.26). Ainda para o autor, uma ED é “[...]
uma equação que contém as derivadas (ou diferenciais) de uma ou mais variáveis dependentes
em relação a uma ou mais variáveis independentes”. (ZILL, 2011, p.2).
29
3.1 Variáveis dependente e independente
Uma função pode apresentar uma ou mais variáveis dependendo do seu comportamento,
que podem ser classificadas em independentes ou dependentes.
No primeiro caso, as variáveis independentes (ou livres) são definidas como as que
exercem influência sobre outra variável, determinando ou afetando o resultado observado na
segunda, com precisão e regularidade. Nas equações, é muito comum encontrar o tempo como
uma variável independente.
Por outro lado, as variáveis dependentes são aquelas que, como a própria classificação
indica, dependem de outras variáveis, podendo ser independentes ou não. Isto é, elas mudam
de valor de acordo com a variação de alguma variável naquela função.
Apesar do jogo de palavras, o conceito de variáveis dependente e independente está
muito bem definido para as equações. Porém, nem por isso, esses conceitos estão claros para
todos os estudantes.
Um dos pontos de atenção apresentados nessa pesquisa, como poderá ser verificado
quando da apresentação dos resultados, foi a dificuldade dos sujeitos da pesquisa em diferenciar
uma variável da outra, em especial quando se tratava da transição de uma sentença na linguagem
literal para a Matemática.
3.2 Taxas de variação média e instantânea
Os conceitos de taxa de variação média e taxa de variação instantânea estão mais ligados
ao Cálculo Diferencial e Integral do que à própria disciplina de Equações Diferenciais. Apesar
disso, essa faz uso constante de conceitos apresentados naquela, exigindo, algumas vezes, uma
pequena revisão das partes mais importantes como, por exemplo, as taxas de variação.
Quando se fala sobre taxa de variação, quem está variando é uma ou mais variáveis e
apesar de causar alguma confusão entre estudantes, as taxas de variação média e instantânea
são distintas apesar de manterem certa proximidade. Para explicar essa distinção, porém, é
necessário entender o sentido algébrico e geométrico de ambas:
A taxa de variação média é obtida tomando-se dois pontos quaisquer, denotados por A
e B, como apresentado na figura 1, em uma função contínua, interligados por uma reta.
30
FIGURA 1 - Taxa de variação média em uma função
Fonte: Elaborada pelo autor
De acordo com a figura 1, pode-se notar que a taxa média (𝑇𝑚) é calculada pela razão
entre a variação das ordenadas pela variação das abscissas dos dois pontos. Outra maneira para
descrever a taxa média é pela razão entre os incrementos de duas variáveis, quer seja:
𝑇𝑚 =∆𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠
∆𝑎𝑏𝑐𝑖𝑠𝑠𝑎𝑠=
∆𝑦
∆𝑥=
𝑓(𝑥𝐴)−𝑓(𝑥𝐵)
𝑥𝐴−𝑥𝐵 (1)
Considerando a variação 𝑥𝐴 − 𝑥𝐵 = ∆𝑥, tem-se que 𝑥𝐴 = ∆𝑥 + 𝑥𝐵. Dessa maneira, a
taxa média pode ser reescrita como:
𝑇𝑚 =𝑓(∆𝑥+𝑥𝐵)−𝑓(𝑥𝐵)
∆𝑥. (2)
Enquanto essa forma de escrever a taxa média depende de, no mínimo, dois pontos, a
taxa de variação instantânea depende de apenas um. Para que os dois pontos A e B se tornem
apenas um, basta que um se aproxime do outro por meio de uma função. Em outras palavras, é
necessário que a diferença entre as abscissas e ordenadas desses pontos tenda a zero (∆𝑥 → 0).
É importante salientar que quando uma variável tende a algum valor, essa variável não passa a
ser igual a ele.
Além disso, em meio ao processo da pesquisa, também foi observada uma dificuldade
dos pesquisados em compreender o conceito de tendência de uma variável, pois a maioria deles
tinha em mente que, quando uma variável tendia a algum valor, significava que ela se tornava
igual a ele. Esse é um erro comum de estudantes e que, na maioria das vezes, provém da falta
de entendimento sobre o conceito de tendência.
31
Souza (2011), na aplicação das atividades em sua dissertação, também registrou essa
dificuldade, afirmando que: “[...] os alunos, de modo geral, perceberam a tendência de variação
crescente da função e não apresentaram nenhuma dificuldade em argumentar sobre isso.
Entretanto, explicar e explicitar os seus registros usando a linguagem matemática formal foi
uma dificuldade quase geral [...]” (SOUZA, 2011, p. 67).
Como dito anteriormente, as taxas média (𝑇𝑀) e instantânea (𝑇𝑖) têm uma ligação dada
pelo limite da taxa média quando a variação das abscissas dos pontos tende a zero.
𝑇𝑖 = lim∆𝑥→0
𝑇𝑀 = lim∆𝑥→0
𝑓(∆𝑥+𝑥𝐵)−𝑓(𝑥𝐵)
∆𝑥 (3)
Assim, a partir da definição acima apresentada, a taxa de variação instantânea passa a
ser chamada também por outro nome: derivada.
3.3 Equações Diferenciais Ordinárias (EDO)
As Equações Diferenciais têm uma série de classificações: quanto ao número de
variáveis independentes, quanto à ordem, quanto à sua linearidade. Como esta pesquisa tem
como participação as EDO, serão dadas explicações referentes somente a elas.
Para se conhecer uma EDO, é preciso compreender o que é uma variável independente,
pois é sabido que uma Equação Diferencia Ordinária é aquela que apresenta apenas uma única
variável independente. Alguns exemplos de EDO são:
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑦 − 2, (4)
𝑑𝑥
𝑑𝑡−
𝑑𝑦
𝑑𝑡= 2𝑥 + 𝑦, (5)
𝐴′′ + 𝐴′ − 6 = 0. (6)
Na primeira equação, a variável independente é o x; na segunda, o t; e na terceira
equação a variável independente é omitida.
Muitas vezes, essa omissão facilita a escrita, mas somente pode ser utilizada quando há
apenas uma variável independente ou quando ela está clara para aquele que a manipula. Já
quando uma equação utiliza duas ou mais variáveis independentes, ela é chamada de Equação
Diferencial Parcial.
32
3.4 Solução de uma Equação Diferencial
Existem alguns métodos para solucionar uma ED. Porém, as ED não funcionam da
mesma maneira que uma equação simples, já que algumas não apresentam solução, mesmo que
sejam semelhantes a uma outra que tenha solução, pois isso não significa que ela será resolvida
da mesma maneira. Quanto a isso, Stewart (2006, p.583) diz que “embora seja frequentemente
impossível encontrar uma fórmula explícita para a solução de uma Equação Diferencial,
veremos que as aproximações gráficas e numéricas fornecem a informação necessária”.
De acordo com Zill (2011, p.4), “uma solução de uma Equação Diferencial Ordinária
de ordem n é uma função ∅ que tem, pelo menos, n derivadas e para a qual
𝐹 (𝑥, ∅(𝑥), ∅′(𝑥), … , ∅(𝑛)(𝑥)) = 0 para todo 𝑥 em um intervalo 𝐼”.
Assim, a função 𝑦 = 𝑒3𝑥 é solução da equação:
𝑦′ + 𝑦 = 4𝑒3𝑥 . (7)
Pois, 𝑦′ = 3𝑒3𝑥.
Logo, substituindo 𝑦 e 𝑦′ em (1), tem-se que:
𝑦′ + 𝑦 = 4𝑒3𝑥 → 3𝑒3𝑥 + 𝑒3𝑥 = 4𝑒3𝑥 . (8)
No caso acima, toma-se o intervalo 𝐼 = (−∞, ∞). Além disso, x é a variável
independente enquanto que y é a dependente. Portanto, (7) é uma Equação Diferencial
Ordinária.
Porém, essa não é a única solução dessa Equação Diferencial. Ela é apenas uma solução
particular. A função 𝑦 = 𝑒3𝑥 + 𝐶𝑒−𝑥 também tem esse papel, de maneira que 𝐶 é uma
constante real. Observa-se, então, que:
𝑦′ = 3𝑒3𝑥 − 𝐶𝑒−𝑥 . (9)
Então, substituindo em (7) da mesma maneira como feito anteriormente, tem-se que:
𝑦′ + 𝑦 = 3𝑒3𝑥 − 𝐶𝑒−𝑥 + 𝑒3𝑥 + 𝐶𝑒−𝑥 = 4𝑒3𝑥 . (10)
Como 𝐶 é um número real arbitrário, observa-se que a quantidade de soluções
particulares que uma EDO apresenta pode ser infinita, pois para cada valor de 𝐶 escolhido tem-
33
se uma solução diferente para a mesma equação. Dessa maneira, a equação 𝑦′ = 3𝑒3𝑥 − 𝐶𝑒−𝑥
é dita a solução geral da Equação Diferencial.
Denomina-se família de soluções ou família de curvas o conjunto de todas as soluções
de uma EDO. Essa família pode ser representada geometricamente também. Para o exemplo
em questão, a figura 2 ilustra uma parcela da família de curvas, soluções da Equação Diferencial
𝑦′ + 𝑦 = 4𝑒3𝑥.
FIGURA 2 - Gráfico da família de curvas de 𝒚 = 𝒆𝟑𝒙 + 𝑪𝒆−𝒙 para alguns valores de 𝑪
Fonte: Elaborada pelo autor.
Pode-se notar, portanto, na figura 2, que cada uma das curvas foi obtida a partir de
valores diferentes para o parâmetro C.
3.5 Problemas de valor inicial
Frequentemente, há necessidade de resolver um problema que apresente condições de
contorno, isto é, informações que caracterizam a situação imposta no problema para que ele
seja solucionado. Em se tratando de problemas que envolvam Equações Diferenciais, essas
condições são impostas às variáveis do problema, assim como às suas derivadas.
Essas condições são necessárias para determinar as constantes presentes na solução
geral de uma ED, alcançando, assim, uma solução particular. Geometricamente, essa condição
significa que a curva que representa a solução do problema passa por um ponto que tem, como
coordenadas, os valores que foram disponibilizados. Por exemplo, se a condição 𝑦(𝑥0) = 𝑦0 é
dada em um problema, isso significa que a curva da solução passa pelo ponto (𝑥0, 𝑦0) no plano
34
𝑥𝑦.
Basicamente, um problema de valor inicial (PVI) é uma Equação Diferencial Ordinária
em conjunto com as condições de contorno que lhe são impostas.
3.6 Equação Diferencial Ordinária Separável
Uma EDO separável é aquela em que é possível, como o próprio nome sugere, separar
as variáveis de mesmo tipo em membros diferentes da equação. Isso é necessário para que cada
variável possa ser trabalhada com o seu fator de derivação (ou integração) separadamente.
Matematicamente, uma EDO separável é aquela que pode ser escrita na forma:
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝐻(𝑥, 𝑦). (11)
Em que 𝐻(𝑥, 𝑦) pode ser escrito como um produto de uma função de 𝑥 por uma de 𝑦.
Assim, se 𝐻(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑦), então,
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑓(𝑥)𝑔(𝑦) →
1
𝑔(𝑦)𝑑𝑦 = 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 → (12)
→ ℎ(𝑦)𝑑𝑦 = 𝑓(𝑥)𝑑𝑥.
Dessa maneira, observa-se que no primeiro membro da equação (12) tem-se apenas a
variável 𝑦 em que 1
𝑔(𝑦)= ℎ(𝑦), enquanto que no segundo membro somente 𝑥, caracterizando
uma separação de variáveis. Assim é possível integrar em ambos os membros para determinar
a solução da equação (12), como:
∫ ℎ(𝑦)𝑑𝑦 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 (13)
Um exemplo de Equação Diferencial separável é:
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑦2𝑥𝑒3𝑥+4𝑦 . (14)
Inicialmente, tem-se mais de um produto entre funções, porém, é possível transformar
essa igualdade na forma apresentada na equação (12).
35
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑦2𝑥𝑒3𝑥𝑒4𝑦 = (𝑥𝑒3𝑥)(𝑦2𝑒4𝑦) → (𝑦−2𝑒−4𝑦)𝑑𝑦 = (𝑥𝑒3𝑥)𝑑𝑥 (15)
Nesse caso, 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑒3𝑥 e 𝑔(𝑦) = 𝑦2𝑒4𝑦.
Observa-se, portanto, diante do exposto, a importância que a manipulação algébrica tem
para o entendimento das Equações Diferenciais. Assim, para que um estudante, então, procure
compreender esses conhecimentos, necessita-se que o aprendizado de conceitos e teorias
apresentados nas disciplinas de Cálculo Integral e Diferencial aconteça da melhor forma
possível.
36
4 TEORIAS DIDÁTICAS E ELEMENTOS DA PESQUISA
Esse capítulo explicita, como teorias didáticas, os conteúdos de aprendizagem, assim
como conceitos referentes aos mesmos, construídos e apresentados por Zabala (1998), além de
serem explicitados elementos estruturantes à pesquisa, considerando desde o desenvolvimento
das atividades, passando pela atuação dos sujeitos da pesquisa até a produção do recurso
informático.
4.1 Conteúdos de Aprendizagem
A aprendizagem, segundo Zabala (1998, p.63), é, de forma sintética, uma construção
pessoal que cada aluno realiza graças à ajuda que recebe de outras pessoas.
Essa construção, que leva e auxilia o aluno a atribuir significado a um determinado
conteúdo de ensino, implica a contribuição, por parte do aluno que aprende, de seu interesse e
disponibilidade, de seus conhecimentos prévios e de sua experiência.
Em tudo isso desempenha um papel essencial a pessoa especializada (professor), que
ajuda a detectar um conflito inicial entre o que já se conhece e o que se deve saber; que contribui
para que o aluno se sinta capaz e com vontade de resolvê-lo; que propõe o novo conteúdo como
um desafio interessante, cuja resolução terá alguma utilidade; que intervém de forma adequada
nos progressos e nas dificuldades que o aluno manifesta, apoiando-o e prevendo, ao mesmo
tempo, a atuação autônoma do aluno.
Esse é um processo que não só contribui para que o aluno aprenda certo o conteúdo,
mas também faz com que aprenda a aprender e que perceba que é capaz de aprender.
Ainda para Zabala (1998, p.30), o termo conteúdo vai além do simples caráter cognitivo,
ampliando o termo para “Conteúdo de Aprendizagem”, entendido como “tudo quanto se tem
que aprender para alcançar determinados objetivos que não apenas abrangem as capacidades
cognitivas, como também incluem as demais capacidades”.
Ele cita, como exemplo, capacidades motoras, de organização, de generalização, de
crítica, de reflexão, de relação interpessoal e de inserção social, entre outras, que fazem parte
do “currículo oculto”, conforme pontua o autor, já que não aparecem, em geral, no plano de
ensino da disciplina.
As atividades didáticas e o recurso informático da presente pesquisa, inspiradas no
conceito de Conteúdo de Aprendizagem, constituem-se, assim, em uma Sequência Didática,
pois é entendida por Zabala (1998), como um conjunto de atividades ou tarefas, ordenadas,
37
estruturadas e articuladas, visando à realização de objetos educacionais estabelecidos, podendo
contribuir com os trabalhos envolvidos no processo de ensino-aprendizagem. Apesar disso, não
é uma tarefa fácil planejar atividades que sigam uma sequência com objetivos e procedimentos
didáticos.
Dessa forma, alguns passos foram utilizados na sequência que deu origem às atividades
e ao aplicativo dessa pesquisa.
a) revisar as bibliografias utilizadas em cursos de Equações Diferenciais em cursos
superiores, especialmente da área de exatas;
b) elaborar atividades voltadas para o campo de formação de professores que facilitem o
entendimento de problemas interdisciplinares Físicos que atendam a metodologia de
Resolução de Problemas;
c) selecionar softwares ou recursos computacionais que auxiliem nas atividades
(NetBeans; Maxima; GeoGebra);
d) aplicar as atividades;
e) analisar os resultados obtidos com a aplicação das atividades;
f) criar um aplicativo que se aproxime de um Objeto de Aprendizagem;
g) avaliar os desafios oferecidos na construção do aplicativo.
O conjunto de atividades foi elaborado e aplicado, conforme os quatro tipos ou
categorias de conteúdos de aprendizagem, presentes em Zabala (1998), sendo eles factuais,
conceituais, procedimentais e atitudinais, a saber:
Os conteúdos factuais (saber citar fatos e dados) e conceituais (saber interpretar,
relacionar, compreender fatos e dados) estão na linha do: o que saber.
Os conteúdos procedimentais (saber realizar ações, estratégias e usar habilidades frente
aos fatos) estão na linha do: como saber fazer.
Os conteúdos atitudinais (saber exercer uma conduta conforme valores e normas da
coletividade) estão na linha do: saber ser.
Zabala (1998) defende que é comum as escolas, em um nível coletivo, e ao professor,
no nível pessoal, darem um enfoque maior a um determinado tipo de conteúdo. Por outro lado,
reconhece que dificilmente esses conteúdos se apresentam ou são abordados de forma
completamente isolada.
Para o autor, o professor, ao elaborar, aplicar e/ou realizar atividades escolares, contribui
38
para o aprendizado do aluno quando explora esses conteúdos de aprendizagem, o que leva o
aluno a adquirir uma formação mais global.
Mesmo em um modelo de ensino tradicional (aula expositiva, estudo individual ao
aluno, revisão do conteúdo, prova, avaliação final), em que o conteúdo conceitual é muito forte,
o professor pode ter oportunidade de explorar um pouco dos demais conteúdos.
Já em um modelo de ensino não tradicional, em que, por exemplo, se trabalha com
projetos (situação problemática, formulação de questões, respostas intuitivas ou suposições,
fontes de informação, busca de informação, elaboração de solução, conclusões, generalizações,
fixação ou memorização, prova ou exame, avaliação do processo), todos os tipos de conteúdos
de aprendizagem podem ser devidamente explorados, contribuindo para uma formação mais
completa e cidadã do estudante.
Assim, buscando ser coerente com a teoria de Zabala (1998, p.63), para a sequência
didática da presente pesquisa foram elaboradas e aplicadas atividades que:
a) levassem em conta os conhecimentos prévios que cada aluno possa ter;
b) seus conteúdos fossem propostos de forma que fossem significativos e funcionais;
c) permitissem inferir se são adequadas ao nível de desenvolvimento de cada aluno;
d) representassem um desafio alcançável para o aluno, com acesso à orientação;
e) provocassem um conflito cognitivo e promovessem a atividade mental do aluno;
f) promovessem uma atitude favorável, ou seja, que fossem motivadoras e educassem;
g) estimulassem a autoestima e o autocontrole em relação às aprendizagens;
h) ajudassem o aluno a adquirir habilidades relacionadas com o aprender a aprender;
i) permitissem o aluno ser cada vez mais autônomo em suas aprendizagens.
Ressalta-se que as atividades criadas buscavam ter interdisciplinaridade entre as áreas
de Matemática e de Física, utilizando Equações Diferenciais Ordinárias, sendo planejadas
conforme esses princípios gerais da teoria de Zabala (1998). Mas, em cada atividade, ao ser
operacionalizada, deu-se ênfase às importantes orientações de Stewart (2006), incentivando
explorar as habilidades dos discentes quanto a:
a) análise algébrica (equações, expressões);
b) análise gráfica (visualização geométrica, padrões).
c) análise numérica (quantificação, escala, comparação, tendência).
39
d) análise verbal (linguagem, recepção e produção de texto).
Para Stewart (2006), o conceito de um conteúdo, equivalente ao conteúdo conceitual
(saber interpretar, relacionar, compreender fatos e dados) de Zabala (1998), é a meta principal
do ensino de Matemática. Ainda segundo Stewart (2006), ao se optar por dar ênfase na
compreensão dos conceitos, as análises algébrica, gráfica, numérica e verbal são formas
eficazes de se trabalhar conteúdos matemáticos, especialmente em se tratando da disciplina de
Cálculo Diferencial e Integral. Portanto, essas recomendações foram assumidas na presente
pesquisa.
A metodologia para resolução de problemas esteve conforme a teoria de Polya (1995),
o que de forma mais resumida encontra-se na abordagem feita por Laudares e Miranda (2012,
p.13). Para esses autores, existem alguns passos a serem desenvolvidos para resolver problemas
de fenômenos naturais ou artificiais que envolvam Equações Diferenciais Ordinárias (EDO), e
que estão no “Caderno de Atividades de Equações Diferenciais”, produto dessa pesquisa, sendo
apresentados a seguir:
1º PASSO: Para alguns problemas, o entendimento do fenômeno físico é auxiliado com o
traçado de um diagrama ou esboço de um gráfico que ilustra a situação-problema.
2º PASSO: Identifique as LEIS FÍSICAS envolvidas e as expresse matematicamente, o que
resulta numa Equação Diferencial.
3º PASSO: Identifique os dados, os parâmetros e as CONDIÇÕES INCIAIS ou de
CONTORNO.
4º PASSO: Explique o QUE SE PEDE: se a determinação de uma expressão (fórmula) ou
se valores numéricos, e expresse matematicamente o pedido do problema.
5º PASSO: Resolva a Equação Diferencial originada da expressão matemática
correspondente à lei física, aplicando as condições dadas para determinação das constantes
e parâmetros cujos valores não são conhecidos.
Portanto, os sujeitos da pesquisa foram sempre incentivados a adotar tais
recomendações ao lidarem com os Problemas de Valor Inicial ou de Contorno existentes nas
Atividades.
Diante do exposto, a proposta de trabalho aplicada a esses sujeitos procura estimulá-los
e direcioná-los para que se tornem agentes da construção do próprio conhecimento e de sua
40
cidadania.
4.2 Caracterização do Universo e Procedimentos
O ambiente da pesquisa teve como sujeitos de estudo dez professores matriculados em
um curso de pós-graduação, destinado à formação de professores, em uma Escola de nível
Superior, complementado pelo trabalho computacional e cooperativo de um estudante de
graduação em engenharia.
Como os professores eram agentes que estavam à procura do aperfeiçoamento de sua
formação, passam a ser também estudantes, construindo novos conhecimentos e aprimorando
aqueles já presentes. Por esse motivo, a partir desse momento, esses sujeitos da pesquisa serão
apontados como professores/estudantes. Da mesma maneira, o estudante de engenharia que
auxiliou na construção do aplicativo educacional, também sujeito da pesquisa em determinados
momentos no decorrer do processo, Bernardo Cunha, como também fazia parte do Projeto do
GRUPIMEM/PINEM como bolsista, será apontado, a partir desse momento, como bolsista.
Os professores/estudantes em formação cursavam a disciplina de Tópicos de Cálculo na
qual uma das unidades de estudo versava sobre Equações Diferenciais. Assim, o professor
ministrante ou regente da disciplina cedeu 8 horas/aula para que as atividades dessa pesquisa
fossem aplicadas.
O professor regente não havia feito nenhuma introdução ao conteúdo de Equações
Diferenciais, permitindo que o pesquisador pudesse absorver o máximo de informações sobre
o conhecimento prévio dos professores/estudantes.
O professor regente acompanhou todo o processo, inclusive articulando para que o livro
texto da disciplina, de Stewart (2010), portado por todos os alunos, ou mesmo outros livros
pudessem ser utilizados durante o desenvolvimento das atividades. Procurava-se, portanto,
trabalhar a autonomia, deslocando o foco da informação da pessoa do professor para uma fonte
de consulta.
Os professores/estudantes eram licenciados em Matemática e lecionavam em
instituições públicas e privadas. A maioria atuava como professores nos Ensinos Fundamental
e Médio e dois lecionavam para o Ensino Superior, o que indica que o pesquisador teve contato
com um grupo no qual os interesses de seus membros eram bem diversificados, como sugerem
Onuchic e Allevato (2009), quando dizem que é interessante envolver grupos de professores
em estudos e atividades, se possível, de escolas variadas.
O conteúdo de Equações Diferenciais não era objeto de trabalho de nenhum dos
41
professores/estudantes, mas todos buscavam um aprimoramento de conhecimentos e alguns
intencionavam se preparar para, no futuro, lecionarem no Ensino Superior.
Dessa maneira, entende-se que a pesquisa-ação, ou a “Action Research Participativa”,
nas palavras de Barbier (2002) foi o mais adequado instrumento metodológico a se usar nesta
pesquisa, que tem caráter qualitativo, e que perpassa seis fases, a saber:
a) exploração e análise da própria experiência, a fim de preparar o pesquisador, o que
poderia ser entendido como a fase do decorrer do curso de Mestrado, quando se percebe
o tema a ser pesquisado;
b) a construção/elaboração do enunciado do problema da pesquisa;
c) o planejamento do projeto de pesquisa, com o direcionamento do delineamento
metodológico e recorte;
d) a realização do projeto e a experimentação do que fora planejado;
e) a apresentação e a análise dos resultados;
f) a interpretação, conclusão e tomada de decisão, que tem ligação direta com o projeto de
intervenção. (BARBIER, 2002, p.38-39).
Apesar da diversidade dos tipos de pesquisa-ação discorrida pelo autor, entende-se a
ação-pesquisa como a mais adequada para esse estudo, visto que:
Esse tipo representa pesquisas utilizadas e concebidas como meio de favorecer
mudanças intencionais decididas pelo pesquisador. O pesquisador intervém [...] no
processo, em função de uma mudança cujos fins ele define como estratégia. Mas a
mudança visada não é imposta de fora pelos pesquisadores. Resulta de uma atividade
de pesquisa na qual os atores se debruçam sobre eles mesmos. Se o processo é induzido pelos pesquisadores em função de modalidades que eles propõem, a pesquisa
é efetuada pelos atores em situação e sobre a situação destes. A ação parece prioritária
nesse tipo de pesquisa, mas as consequências da ação permitem aos pesquisadores
explorá-las com fins de pesquisa mais acadêmica. (BARBIER, 2002, p.42-43).
Assim, entende-se a importância desse tipo de pesquisa, entendendo-a como a mais
adequada, visto que a ideia era de que houvesse a aplicação da sequência didática aos sujeitos
dessa pesquisa e por meio dela pudessem ser verificados os problemas, erros e acertos para o
aprimoramento do produto final de modo a buscar auxiliar os próprios professores/estudantes
na busca pelo conhecimento.
Para tanto, a coleta de dados se deu por meio de registros (protocolos) manuscritos dos
sujeitos, anotações e observações do pesquisador durante as aplicações das atividades em sala
de aula e, também, no decorrer da confecção do recurso informático, considerados esses como
42
os dois momentos da pesquisa.
As atividades didáticas, elaboradas e reunidas em uma cartilha impressa, foram, no
primeiro momento, aplicadas e desenvolvidas pelos sujeitos (professores em formação),
utilizando a mídia lápis e o suporte papel e são descritas no próximo capítulo, assim como as
informações sobre suas aplicações e análises.
A partir dessa experiência e das observações daí extraídas, iniciou-se, em um segundo
momento, com a cooperação do bolsista, entendido aqui como sujeito da pesquisa nesse
momento, o trabalho de reelaboração, adequação e formatação dos conteúdos e textos dessas
atividades, visando a implementação computacional delas em forma de um aplicativo ou
software educacional. Nesse momento, foram retomados estudos e investigadas e analisadas as
formas de utilização de conceitos de Objeto de Aprendizagem, tais como modularidade
(capacidade da informação ser subdividida em grupos menores), portabilidade (utilização em
diversos sistemas operacionais) e capacidade reutilização.
Esse aplicativo, que procura se aproximar dos conceitos de um Objeto de Aprendizagem
(OA), como um recurso didático informatizado, foi cognominado de EDOCA – Equações
Diferenciais Ordinárias com Cálculo.
A escolha para o desenvolvimento desse recurso pela linguagem JAVA vem da sua
grande utilização há décadas, além da existência de um vasto material de consulta sobre essa
linguagem, como livros e fóruns, dando um suporte maior ao programador, agregando valor
maior para o conhecimento de sintaxe que ele já possuía.
Além disso, essa é uma linguagem orientada a objetos, paradigma de programação que
deu origem à teoria de Objetos de Aprendizagem. Conceitos como polimorfismo, classe, objeto
e herança podem ser vistos e utilizados na linguagem de programação escolhida e estão
estreitamente ligadas aos OA.
O Ambiente de Desenvolvimento de Interface (IDE- Interface Development
Environment) escolhido foi o NetBeans, pelo fato de ser amplamente utilizado e pela facilidade
de manuseio de suas ferramentas.
Como foi desenvolvido com as configurações de uma máquina virtual Java versão 8
(JVM 8), é importante, para que o EDOCA funcione eficazmente, atualizar o JVM para que
não aconteça um funcionamento parcial ou até mesmo o seu não funcionamento.
4.3 Dificuldades apresentadas
Faz-se mister afirmar sobre algumas dificuldades na construção desse aplicativo, sendo
43
uma delas a implementação de gráficos estáticos como participação das questões das atividades.
Graficamente, na linguagem Java existe um comando para criar um rótulo (do inglês label)
chamado jLabel. Esse rótulo, que poderia ser um texto ou algo do tipo, permite um ícone
atrelado a ele. Para inserir uma imagem no projeto, foi criado um jLabel, configurando a
imagem de ícone como o gráfico estático desejado e apagando o texto original do rótulo. Assim
a imagem foi inserida e posicionada no projeto.
Quanto à adição de gráficos dinâmicos, houve problemas com algumas classes para
realizar essa tarefa, como a classe HyperlinkLabel. Portanto, com o objetivo de simplificar a
situação sem deixar de atender a demanda, foram adicionados apenas os endereços do aplicativo
suporte (o link sem ser hyperlink, ou seja, sem ligação externa). No caso, esse aplicativo suporte
foi o GeoGebra.
As questões das atividades foram de múltiplas escolhas, sendo algumas com mais de
uma resposta. Assim, para a configuração dessas opções foi utilizada uma LOO (linguagem
Orientada a Objetos), já que ela possui o artifício de reconhecimento de características
(atributos) de um objeto em uma classe. Dessa maneira, é possível checar o estado da caixa de
seleção por meio do comando Jcheckbox.isSelected, o qual é um método que retorna se a caixa
de seleção foi selecionada ou não. Esta informação apenas é lida se o botão “confirmar” for
pressionado.
A linguagem Java possui um comando que oferece a vantagem de criar combo boxes,
ou seja, caixas com várias opções selecionáveis. Para alterar as opções, ou seja, o texto de cada
alternativa, basta alterar as propriedades do objeto (combo box). Com esse comando, se torna
fácil a utilização e o controle em questões que necessitem de um diagrama em que são aceitas
mais de uma opção de resposta.
Além disso, se o usuário marcar uma resposta (em uma caixa de seleção ou caixa de
múltipla escolha), e perceber que está enganado e quiser marcar outra alternativa, ele poderá
fazer sem problema algum. Quando ele estiver certo de suas respostas, deverá clicar em
“Confirmar’’ para verificar se conseguiu realizar a tarefa com êxito e prosseguir para a próxima
atividade.
A solução utilizada para reconhecer as respostas de cada questão foi criar variáveis para
conferir se cada questão da atividade está correta. No caso, se a opção (ou letra) errada for
selecionada, a variável auxiliar que indicará o sucesso na atividade é zerada (variável → 0). Se
a opção for a correta, a variável é incrementada (variável → variável + 1). Assim, se a variável
apresentar, como valor, o número de questões na atividade, o usuário poderá prosseguir para a
44
próxima atividade.
Outra dificuldade encontrada foi que a interface criada na IDE Netbeans teria de ser
executável em qualquer plataforma (Windows, Linux...). Então, foi utilizada uma ferramenta
disponível na própria IDE para gerar um arquivo JAR (Java Archive) que adiciona o projeto a
um pacote executável, onde existem vários arquivos relacionados ao programa, como os
códigos-fonte, as configurações e um arquivo de texto chamado Manifest. Este é um arquivo
de metadados específico do JAR, e é usado para definir os dados do pacote. Nele estão escritas
também algumas informações como a versão do Manifest e são da forma nome: valor,
registrando informações muito importantes sobre o projeto.
No projeto EDOCA, o JAR precisa ser um executável. Dentro desse arquivo é
necessário conter um apontador da classe principal do projeto, que será a primeira a aparecer
na tela inicial do aplicativo. Desta maneira, o software funcionou em computadores com
sistema operacional Linux (Ubuntu) e Windows (7 e 8), com o JVM (Java Virtual Machine)
atualizado.
Finalmente, objetivando uma abrangência maior, o arquivo foi transformado do formato
JAR para o EXE, o que tornaria o software mais funcional em um maior número de máquinas
com o sistema operacional Windows.
45
5 AS ATIVIDADES E RESULTADOS DA PESQUISA
Na pesquisa trabalhou-se, num primeiro momento, com um conjunto de 3 atividades
impressas, as quais foram aplicadas ao grupo de 10 professores em formação continuada, e,
num segundo momento, a partir da readequação das 3 atividades, implementou-se um recurso
computacional, com atividades informatizadas para um estudo introdutório de Equações
Diferenciais. Todo esse material encontra-se reunido em um Caderno de Atividades, assumido
como produto desta dissertação, podendo ser visto no Apêndice A deste trabalho.
A primeira atividade impressa foi construída visando à retomada de alguns conceitos
prévios de Cálculo Diferencial e Integral. Após esse regaste, foram introduzidos, nas demais
atividades, os elementos e definições básicas de Equações Diferenciais, assim como a resolução
de algumas delas, por processo trivial, objetivando explorar a interpretação e o entendimento
de modelos que envolvessem fenômenos físicos. O Quadro 1 apresenta os elementos
estruturantes das três atividades desenvolvidas para o Caderno de Atividades:
46
QUADRO 1 – Elementos estruturantes das atividades impressas
Atividade Duração Objetivos Específicos Metodologias Sujeitos
Atividade 1 –
Elementos
introdutórios
ao estudo de
Equações
Diferenciais
240
minutos
Fazer resgate a conceitos e
notações do Cálculo
Diferencial e Integral.
Fazer introdução à resolução
de Equações Diferenciais
Ordinárias Separáveis.
Fazer análise gráfica de
situações envolvidas em
processos que façam uso de
Equações Diferenciais.
Apresentar conceitos de
solução geral e soluções
particulares de uma Equação
Diferencial.
Estudo do caderno
de atividades,
seguindo as questões
na ordem em que são
apresentadas.
Resolução de
algumas Equações
Diferenciais,
retiradas do livro
texto, como testes de
conhecimentos.
10
professores
em
formação
continuada
Atividade 2 –
Explorando o
modelo
logístico
60
minutos
Estudar o modelo logístico de
comportamento de uma
população, segundo a teoria
de Vehulst, com base em
Equações Diferenciais
Ordinárias separáveis.
Estudo do caderno
de atividades,
seguindo as questões
na ordem em que são
apresentadas.
10
professores
em
formação
continuada
Atividade 3 –
Explorando a
Lei de
Resfriamento/
Aquecimento
de Newton
60
minutos
Estudar a lei de resfriamento /
aquecimento de Newton, com
base em Equações
Diferenciais Ordinárias
separáveis.
Estudo do caderno
de atividades,
seguindo as questões
na ordem em que são
apresentadas.
10
professores
em
formação
continuada
Fonte: Dados da pesquisa.
47
Com base em teorias fundamentadoras, nas questões do Caderno de Atividades, na
experiência da aplicação das mesmas para os sujeitos das pesquisas e nos retornos recebidos
pelos mesmos em relação à aplicação, foram produzidas atividades informatizadas que se
aproximassem dos conceitos e das construções promovidas pelo Caderno, a fim de otimizar o
processo de ensino-aprendizagem das Equações Diferenciais. O Quadro 2 apresenta os
elementos estruturantes que deram origem à essas atividades informatizadas.
QUADRO 2 – Elementos estruturantes das atividades informatizadas
Atividade Duração Objetivos Específicos Metodologias Participantes
Atividades
Informatizadas
120
horas
Produzir um recurso
computacional, com
atividades, para o
estudo introdutório de
Equações Diferenciais.
Construir questões, a
partir das atividades
impressas,
adaptando-as como
questões fechadas.
Pesquisador e
Bolsista
Fonte: Dados da pesquisa.
No início da aplicação das atividades, o professor regente (ministrante) da disciplina fez
a apresentação do pesquisador, o qual assumiu a turma, dando todas as orientações necessárias
ao andamento dos trabalhos. Ambos mantiveram-se em sala de aula, distribuídos de tal forma
que era possível observar as falas dos professores/estudantes sem pressioná-los a alguma ação,
mas prontos para ouvi-los em alguma dúvida, ou instigá-los a desenvolver algum raciocínio
importante.
Dessa maneira, as atividades foram aplicadas conforme orientam Fiorentini e Lorenzato
(2012, p. 54), isto é, “o pesquisador insere-se no ambiente educacional não só para compreendê-
lo, mas também para mudá-lo em direções que permitam aos participantes maior liberdade de
ação e aprendizagem”.
A seguir são apresentadas e comentadas as questões das atividades, sendo importante
destacar que suas respectivas soluções encontram-se no Apêndice A (Caderno de Atividades).
5.1 ATIVIDADE 1 – Elementos introdutórios ao estudo de Equação Diferencial
Os objetivos da atividade 1 foram:
a) explorar a função como dependência entre variáveis;
48
b) explorar conceitos básicos de função assim como a sua representação gráfica;
c) resgatar conceitos e notações do Cálculo Diferencial e Integral;
d) introduzir e apresentar a resolução de uma ED de variáveis separáveis;
e) apresentar o conceito de Solução Geral de uma ED e direcionar a representação gráfica
(família de curvas);
f) apresentar o conceito de Solução Particular de uma ED utilizando condições iniciais;
g) desafiar o aluno a resolver um problema populacional que obedece à Lei de Malthus,
identificando e registrando todos os procedimentos, conforme objetivado nos itens
anteriores.
5.1.1 Apresentação e descrição da atividade 1
Essa atividade é a maior entre as três, pois se propõe a resgatar ou consolidar conceitos.
Ela foi elaborada contemplando as recomendações didáticas de Zabala (1998) e Stewart
(2010), sendo inicialmente realizada uma introdução sobre a dependência de variáveis e sua
importância em uma função. Eis a questão:
Uma função 𝑦 = 𝑓(𝑥), segundo Stewart (2010), é uma expressão matemática que
descreve uma situação ou fenômeno natural ou não. Nessa expressão são vistos dois tipos
de variáveis: 𝑥 e 𝑦. Cada valor de 𝑦 depende diretamente ou não de cada valor de 𝑥. Dessa
maneira, a variável 𝑦 é chamada de dependente, enquanto que 𝑥 é a independente ou livre.
Porém, é importante ter em mente que em outras situações e funções as variáveis podem
ser escritas com outras letras por uma questão de melhor aproximação ou adaptação.
As variáveis estão presentes nos modelos equacionais em geral. Ela tem a característica
de possuir vários valores numéricos, uma quantidade que pode ser alterada em cada caso
ou unidade de estudo. A variável independente é definida como a que exerce influência
sobre outra variável, determinando ou afetando o resultado observado na segunda, com
precisão e regularidade. A variável dependente resume-se nos fenômenos ou fatores
explicados ou identificados, por serem influenciados ou determinados pela variável
independente.
Na questão 1, o objetivo foi identificar se o texto foi entendido com clareza quanto aos
conceitos de variáveis dependentes e independentes. Para tanto, um fenômeno foi apresentado
49
a fim de trabalhar com variáveis diferentes das usualmente trabalhadas em sala de aula pelos
professores: x e y.
1. Considere o seguinte fenômeno, em linguagem verbal.
a) Quais as variáveis independente e dependente no fenômeno enunciado?
Dependente: ____ Independente: ____
b) Transcreva a linguagem verbal do fenômeno acima para a linguagem matemática:
c) Considerando a forma geral (linguagem matemática) de uma função 𝑦 = 𝑓(𝑥), como
você a transcreveria em linguagem verbal?
Linguagem verbal:
.
Em seguida, as questões 2, 3 e 4 tiveram o objetivo de identificar conhecimentos básicos
sobre representação algébrica e gráfica em relação a funções. Um ponto forte e importante para
a pesquisa foi a identificação escrita e o significado de uma condição inicial em uma situação.
2. Frequentemente problemas que envolvem fenômenos requerem atenção especial em
relação aos seus valores iniciais e pontuais para determinadas situações, pois, é por
meio deles que uma equação em geral é manipulada. Por exemplo, considerando 𝑦 =
𝑓(𝑥), quando se escreve 𝑓(4) = 2 quer-se dizer que “quando 𝑥 = 4, o resultado ou
imagem encontrada será 𝑦 = 2”. Com esse pensamento, considerando o fenômeno
apresentado no início da questão 1, explique com suas palavras o significado de 𝑃(0) =
5600 e 𝑃(4) = 8000, considerando t em anos.
P(0) = 5600 _______________________________________________________
P(4) = 8000 _______________________________________________________
3. Considere o fenômeno do início da questão 1. A tendência é que a população varie de
uma forma crescente ao longo do tempo. Por exemplo, poderíamos ter: 𝑃(8) = 10400,
𝑃(12) = 12800, 𝑃(16) = 15200, ...
Em uma situação real seria possível manter essa tendência por um período de tempo
Uma população P sendo observada em função de um tempo t.
50
ilimitado? Justifique a sua resposta.
_________________________________________________________________
4. Esboce um modelo gráfico qualquer para o crescimento de uma população P qualquer
ao longo do tempo t, considerando sua resposta dada na questão 3. Explique o porquê
de você ter escolhido construir tal gráfico.
Na questão 5, o objetivo era apresentar o conceito de incremento ou variação de uma
variável. Por meio de um exemplo numérico, a sequência das questões 5, 6 e 7 tinha o objetivo
de levar a compreender o significado da taxa média simbolizada como a razão entre os
incrementos de duas variáveis.
5. O incremento ou variação de uma variável é a diferença entre o maior e o menor valor
numa determinada situação. Esse incremento é representado pela letra ∆ seguida da
letra que representa a variável. Por exemplo, na Física, ∆𝑣 pode representar a variação
de velocidade de um corpo.
Voltando ao fenômeno inicialmente apresentado na questão 1, para uma dada
população de um ambiente conhecem-se as seguintes informações: 𝑃(7) = 15000 e
𝑃(10) = 12400. Então, diz-se que: para um incremento de tempo ∆𝑡 = _____ tem-se
um incremento populacional ∆𝑃 = _________. (Complete os espaços em branco)
6. A taxa média é razão entre os incrementos de duas variáveis. Por exemplo, na Física,
entende-se velocidade média (ou taxa média) como a razão entre a variação da
distância percorrida e a variação do tempo passado. Considerando os elementos da
questão 5, qual a taxa média da população em relação ao intervalo dado? A taxa é
positiva ou negativa? Dê uma possível explicação para tal característica.
________________________________________________________________
7. Considere 𝑇𝑚 como símbolo de uma taxa média. Utilizando a notação apresentada na
questão 5, escreva em linguagem matemática uma expressão genérica para a taxa
média populacional.
A sequência que continha as questões 8 e 9, por sua vez, pretendia levar à transição da
taxa média à taxa instantânea por meio de representações gráficas e algébricas. Um ponto forte
a ser destacado foi a retomada da dependência de variáveis no item 9-c, assim como a escrita
51
da taxa instantânea como derivada em três notações diferentes.
8. Compare a expressão de taxa média que você escreveu na questão anterior com
𝑇𝑚 =𝑃(𝑡+∆𝑡)−𝑃(𝑡)
∆𝑡. As duas são equivalentes? Explique por quê.
_________________________________________________________________
9. a) Considere a variável em certo intervalo real e esboce um modelo gráfico genérico
para representar geometricamente a expressão matemática (taxa média) da questão 8.
b) Observe o seu modelo gráfico (taxa média) do item a anterior e imagine ∆𝑡
diminuindo, e diminuindo cada vez mais. Esse movimento faz ∆𝑡 tender para o valor
_____ (Complete), e diz-se que atingiu-se uma taxa instantânea T (chamada de
velocidade ou variação instantânea ou derivada no ponto t). Então, escreva
matematicamente a expressão da questão 8 incorporada com esse movimento do ∆𝑡.
c) Para uma tradicional função matemática 𝑦 = 𝑓(𝑥), são símbolos da primeira
derivada: 𝑦′; 𝑓′(𝑥); 𝑑𝑦
𝑑𝑥 , em que, nesse último símbolo, tem-se: no numerador a
variável _____________ e no denominador a variável ___________ (Complete).
d) Escreva, para 𝑦 = 𝑓(𝑥), os símbolos das derivadas segunda, terceira e quarta,
utilizando as três notações do item c.
e) Reescreva a resposta do item b) acima com esses símbolos de derivada.
Já a questão 10 faz uma introdução ao universo das Equações Diferenciais com alguns
exemplos, assim como o conceito de Soluções Geral e Particular. No início, apresenta Equações
de Variáveis Separáveis, mostrando, por meio de um exemplo, o caminho a ser utilizado para
resolvê-las e pedindo que o leitor complete a resolução revolvendo integrais e desenhando
curvas de famílias de soluções em um plano cartesiano e em um campo direção.
10. Existem equações que envolvem uma função desconhecida e uma ou mais de suas
derivadas. Essas equações são chamadas de Equações Diferenciais.
Exemplos:
52
2𝑥 − 𝑦′ = 0
3𝑦𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 4𝑦2 = 0
𝑑𝑃
𝑑𝑡= 2𝑃
𝑦′′ − 3𝑦′ = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
Um tipo dessas equações bastante simples de ser resolvido são as EQUAÇÕES DE
VARIÁVEIS SEPARÁVEIS. Um exemplo seria a equação:
𝑑𝑦
𝑑𝑥− 2𝑥 = 0
Para resolver esse tipo de equação, devemos fazer como a própria classificação diz:
separar as variáveis.
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 2𝑥 → 𝑑𝑦 = 2𝑥𝑑𝑥
Com os fatores de integração 𝑑𝑦 e 𝑑𝑥 separados, pode-se, então, integrar em ambos os
membros da equação para obter-se a solução.
∫ 𝑑𝑦 = ∫ 2𝑥𝑑𝑥
a) Escreva abaixo os resultados das integrações do primeiro membro e do segundo
membro. (OBS: lembre-se que são integrais não definidas, logo, há constante.)
Observe que basta adicionar uma única constante “C” no segundo membro. A solução
dependente da constante C, é chamada de SOLUÇÃO GERAL da
___________________. Toda Equação Diferencial, teoricamente, terá uma
___________________, que é o resultado da integral. A dificuldade no estudo de
Equações Diferenciais reside na separação das variáveis ou na solução da integral.
b) Na solução geral do item a), substitua C por -1, 0 e 1 para obter três curvas diferentes.
Desenhe essas curvas no plano cartesiano abaixo.
c) No item acima, cada curva representa uma situação diferente. E cada uma dessas curvas
53
é uma SOLUÇÃO PARTICULAR da Equação Diferencial dada anteriormente.
Acima, temos apenas uma pequena parcela de uma família de curvas, as quais são
soluções da equação.
Vê-se que a constante C pode assumir infinitos valores e teremos os pontos do plano
cartesiano pertencendo à alguma curva da família de uma dada Equação Diferencial.
Em cada ponto temos um vetor tangente, devido à derivada presente na Equação
Diferencial. Esse conjunto de vetores forma o chamado CAMPO DIREÇÃO,
permitindo visualizar “silhuetas” ou formato gráfico das curvas da família, conforme
o quadro a seguir.
d) No quadro anterior, esboce a curva para C = 0 e marque nela os pontos A (1, 1), B(2,
4), C(-1, 1) e D(-2, 4).
e) Nos pontos do item d), use a derivada para marcar os vetores do campo direção nesses
quatro pontos dados.
Quando se quer determinar uma curva especifica, são dados valores para as variáveis,
constituindo, assim, as chamadas CONDIÇÕES INICIAIS. O objetivo, nesse caso, é
determinar um valor para a constante e escrever a solução particular substituindo o
valor da constante encontrada. Para exemplificar essa ideia, determine a solução
particular para as condições impostas abaixo, usando a solução geral encontrada em
10-a.
i) Para x = 1 tem-se y = 2
ii) 𝑓(3) = 1.
Um dos objetivos dessa pesquisa foi o localização das Equações Diferenciais em meio
a fenômenos físicos. Até o momento, essa atividade não havia tratado disso formalmente. Na
questão 11, a seguir, a Lei de Malthus é apresentada, requisitando que o leitor faça uso de todos
54
os conceitos que foram retomados e/ou introduzidos nas questões anteriores. Ressalta-se que
essa lei foi tratada de maneira importante pelo pesquisador pois traz a
[...] hipótese de que a taxa segundo a qual a população de um país cresce em um determinado
instante é proporcional à população total do país naquele instante. Em outras palavras, quanto
mais pessoas houver em um instante 𝑡, mais pessoas existirão no futuro. Em termos
matemáticos, se 𝑃(𝑡) for a população total no instante 𝑡, então essa hipótese pode ser expressa
por 𝑑𝑃
𝑑𝑡∝ 𝑃 𝑜𝑢
𝑑𝑃
𝑑𝑡= 𝑘𝑃. (ZILL, 2011, p.21).
Outro objetivo dessa questão foi fazer uma introdução a um tipo de estudo mais simples
de crescimento populacional, em preparação para uma situação mais complexa na Atividade 2,
quando será retratado um modelo populacional mais realístico: o modelo logístico de Vehulst.
11. Voltando ao exemplo do crescimento populacional, tem-se que o crescimento de
uma população com o passar de um tempo obedece à Lei de Malthus (1803):
𝑑𝑃
𝑑𝑡= 𝑘𝑃, onde: P é a população, t, o tempo e K, a constante de proporcionalidade.
Em linguagem verbal, essa equação significa um fenômeno em que: “a taxa de
variação (𝒅𝑷
𝒅𝒕) de uma população (P) com o passar de um tempo (t) é proporcional
(k vezes) ao tamanho daquela população”.
Para resolver uma Equação Diferencial, tenta-se separar as variáveis, havendo casos
em que isso não será possível, exigindo que se recorra a outros processos. Mas, no
caso:
𝑑𝑃
𝑃= 𝑘𝑑𝑡
a) Utilize o mesmo raciocínio da questão 10-a) para obter a solução geral dessa
Equação Diferencial.
b) Sabe-se que em um pote há inicialmente uma população de 10 000 bactérias. Após
uma hora a quantidade de bactérias dobrou. Determine a solução particular para essa
situação, usando o modelo populacional encontrado na questão 11-a).
c) Esboce o gráfico que representa a situação acima.
55
d) Esboce, no mesmo sistema cartesiano do item c), mais duas curvas para uma mesma
população inicial, admitindo valores para a quantidade de bactérias em tempos
diferentes.
e) Os gráficos do item d relatam o fenômeno de populações que crescem
exponencialmente e de forma ilimitada, ao longo do tempo (expressado
matematicamente pela Lei de Malthus). Mas, é possível manter, na vida real, essa
tendência por um tempo ilimitado? Explique.
OBS: o biólogo Verhulst (1838) modificou a Lei de Malthus, adaptando-a à
realidade, o que será abordado à frente.
Ao final da atividade 1 foram propostas algumas questões a título de avaliação e
sistematização dos conceitos abordados. As questões foram resolvidas pelos grupos e
posteriormente socializadas e discutidas as soluções. Para tanto, os professores/estudantes
poderiam consultar o livro texto da disciplina de Cálculo (STEWART, 2010). Todos portavam
esse livro em sala de aula e o professor regente da disciplina participou da escolha dessas
questões, visando revisitar a unidade de Integração, percorrendo intencionalmente o livro texto.
AGORA, ALGUMAS QUESTÕES PROPOSTAS
(Resolva-as em folha separada)
1) Inicialmente, vá em Stewart (2010, p.363), e copie o Teorema Fundamental do Cálculo.
2) Usando o conceito de antiderivada, mostre que:
a) ∫ 4𝑥3𝑑𝑥 = 𝑥4 + 𝑐 (se precisar, consulte Stewart (2010))
b) ∫1
𝑥𝑑𝑥 = ln(𝑥) + 𝑐
56
c) ∫ sec2(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑡𝑔(𝑥) + 𝑐
3) Use o Teorema Fundamental do Cálculo para resolver a integral ∫ (𝑥 − 1)𝑑𝑥3,0
0,0
Verifique, graficamente, se o resultado dessa integral pode ser interpretado como área.
Escreva, resumidamente, o que você sabe sobre o resultado numérico de uma integral
e o conceito de área. (Se precisar, consulte Stewart (2010))
4) Determine a solução geral (integral) de cada Equação Diferencial abaixo.
a) 𝑒5𝑥 − 𝑦′ = 0 (ver página 378, exemplo 4)
b) 𝑦′ − 𝑥3 cos(𝑥4 + 2) = 0 (ver página 377, exemplo 1)
c) (𝑥2 − 4)𝑑𝑦 − 𝑑𝑥 = 0 (ver página 449, exemplo 3)
5.1.2 Análise da atividade 1
Para facilitar e manter em sigilo a integridade de cada participante da pesquisa, os
professores/estudantes serão identificados por letras de A a J.
As análises das questões apresentadas nessa parte do texto referem-se àquelas que se
mostraram mais importantes e interessantes para a presente pesquisa. Além disso, as outras
questões têm o mesmo objetivo ou análises. Por esses motivos, nem todas as questões da
atividade apresentam protocolos ou descrições.
O tempo utilizado para aplicação dessa atividade foi de quatro horas com 20 minutos de
intervalo. A turma foi separada em cinco duplas com liberdade de escolha entre os alunos.
Apesar disso, os trabalhos foram entregues separadamente, permitindo soluções diferenciadas.
Inicialmente, o pesquisador ressaltou a importância de os alunos lerem cuidadosamente
as instruções, pois se tratava de um material de pesquisa.
Do início ao fim da atividade, uma das duplas ocupou um espaço mais distante das
outras, enquanto que as outras quatro posicionaram-se mais próximas umas das outras. O
motivo desse distanciamento foi justificado ao pesquisador por uma questão de privacidade e
que não gostariam que os outros colegas influenciassem seus pensamentos mesmo que
indiretamente. Esse fato é importante do que diz respeito às respostas dessa dupla isolada, pois
se mostraram muitas vezes diferenciadas em relação às outras duplas, as quais eram mais
homogêneas entre si.
Cada aluno teve liberdade para indicar e se pronunciar sobre pontos em que eles
57
achassem confusos durante a aplicação da atividade.
FIGURA 3 - A proximidade das duplas propiciou uma maior discussão entre elas
Fonte: Dados da pesquisa
Era visível o sentimento de comprometimento quando, nos exercícios, os alunos eram
desafiados a pensar. Esse foi o principal motivo da transformação do pesquisador em um
mediador, apenas auxiliando no processo de construção do conhecimento e não de um
transmissor, fazendo perguntas em cima dos questionamentos dos próprios alunos.
No início da atividade, na questão 1, houve dificuldade por parte dos
professores/estudantes em identificar a diferença entre variáveis dependentes e independentes,
apesar de a atividade trazer um texto inicial relatando sobre isso, sendo relativamente comum
a confusão com as variáveis apresentadas pelo texto em relação às variáveis mais usuais (𝑥 e
𝑦). Apesar de o protocolo 1 não destacar esse fato em especial, observa-se que há dificuldade
em trabalhar a transcrição da linguagem verbal para a matemática e vice-e-versa.
58
PROTOCOLO 1 – Atividade 1 – Questão 1 – Resposta do professor/estudante D
Fonte: Dados da pesquisa
Apesar disso, nesse mesmo protocolo, no item b, destaca-se a resposta dada para a
transcrição do fenômeno para a linguagem matemática. Quando o professor/estudante D
escreve 𝑃(𝑡) = 𝑡, matematicamente, entende-se que a população e o tempo têm o mesmo valor
em qualquer situação, revelando uma falha na interpretação e na concretização de um fato por
meio de uma linguagem, divergindo dos conteúdos conceituais de Zabala (1998).
A transcrição da linguagem matemática para a linguagem verbal também é mostrada de
maneira defasada no item c pelo mesmo professor/estudante, que expressa uma ideia que ainda
está ligada com o fenômeno apresentado no enunciado da questão ao invés de trabalhar com a
forma geral de um função 𝑦 = 𝑓(𝑥).
É comum a dificuldade de alunos, em um âmbito geral, apresentar dificuldades na
utilização das linguagens matemática e verbal, sendo observado que 40% dos participantes não
conseguiram totalmente ou parcialmente interpretar e representar transições entre as duas
linguagens. Isso acontece mais especialmente quando se trata de resolução de problemas, como
ressaltam Azevedo e Rowell (2007), já que
[...] tais dificuldades não estão situadas no âmbito dos algoritmos, das fórmulas ou
dos conceitos específicos dessas áreas [...], mas nas construções lingüístico-
discursivas dos enunciados dos problemas. São dificuldades de nível lexical, sintático,
semântico, textual e/ou discursivo que impedem os alunos de resolver adequadamente
os problemas por não poderem recuperar sua unidade de sentido. (AZEVEDO;
ROWELL, 2007, p. 13).
É interessante que um professor tenha domínio sobre a disciplina que leciona. No caso
do professor de Matemática há a necessidade do domínio da linguagem matemática, assim
59
como a forma de utilizá-la em modelos, como sugerem Onuchic e Allevato (2009).
A questão 3 apresenta uma população em três pontos diferentes e igualmente
distanciados seguidos de reticências. O professor/estudante F questionou, verbalmente, sobre a
utilização dessa palavra no enunciado: “Não se pode dizer sobre a tendência de uma população
sem conhecer a própria função”. O seu par concordou com esse pensamento. Esse tipo de
pensamento mostra um vício de raciocínio direcionado a funções contínuas expressadas
analiticamente. Ou seja, as informações não foram tratadas de forma discreta em nenhum
momento pelos professores/estudantes.
Infere-se, portanto, que mesmo em se tratando de alguns professores/estudantes
lecionarem em disciplinas no Ensino Superior, talvez o conceito de tendência não esteja muito
bem fixado, como é apresentado no protocolo 2.
PROTOCOLO 2 – Atividade 1 – questão 3 – Resposta do professor/estudante F
Fonte: Dados da pesquisa.
Souza (2011) verificou esse mesmo fato em uma de suas pesquisas, concluindo que em
relação ao conceito de tendência, para o estudante “explicar e explicitar os seus registros usando
a linguagem matemática formal foi uma dificuldade quase geral”.
Após algumas discussões sobre esse assunto, o professor/estudante I, como é
apresentado no protocolo 3, voluntariou-se a ir ao quadro da sala e explicar sobre o que ele
havia compreendido sobre o conceito de tendência. Essa atitude vai ao encontro das ideias de
Stewart (2006), o qual defende que aproximações gráficas e numéricas fornecem, muitas vezes,
informações necessárias para compreensões em situações de cunho algébrico.
Esse voluntário representou, então, o conceito de tendência na forma de uma função
contínua em que dois pontos, A e B, tendem a se encontrar quando a distância entre eles tendem
a zero. Porém, mais uma vez, houve apresentação de um vício analítico, mostrando que o
conhecimento sobre tendência derivava-se de uma situação cuja função contínua, diverge da
situação apresentada na questão, a qual apresentava informações discretas.
60
PROTOCOLO 3 – Explicação sobre tendência de uma variável: professor/estudante I
Fonte: Dados da pesquisa.
Na questão 9, item d, pede-se que o aluno represente a derivada em segundo, terceiro
e quarto graus por símbolos distintos. Nessa parte, 80% dos alunos mostraram que não
compreendiam corretamente o significado na linguagem matemática para derivadas múltiplas:
𝑑(𝑛)𝑦
𝑑𝑥𝑛 , principalmente quando se tratava de derivadas em graus superiores, ou seja, em graus
maiores do que 1 (um). O protocolo 4 apresenta essa dificuldade, em especial com o
professor/estudante J. Apesar disso, não houve problemas para as outras duas formas de
escrever. Esse último fato mostra que os conteúdos conceituais de Zabala (1998), discutidos
anteriormente, foram atingidos apenas parcialmente.
PROTOCOLO 4 – Atividade 1 – questão 9d – resposta do professor/estudante J
Fonte: Dados da pesquisa.
A questão 10, por sua vez, mostrava passo a passo como se resolver uma Equação
Diferencial Separável. No item a dessa questão cabia ao professor/estudante resolver as
integrais em ambos os membros. Porém, como as integrais eram indefinidas, foi necessário o
surgimento de uma constante. Nessa parte, 30% dos alunos, ao igualar os resultados das
61
integrais, questionaram a possibilidade de cancelar a constante “C” em ambos os membros da
equação, já que estavam utilizando a mesma letra. Por meio da mediação do pesquisador, todos
compreenderam que as constantes em ambos os membros da equação não poderiam receber o
mesmo símbolo por fazerem parte de integrações diferentes.
PROTOCOLO 5 – Atividade 1 – Questão 10a – resposta do professor/estudante B
Fonte: Dados da pesquisa.
Além disso, nesse mesmo item, 50% dos participantes sentiram necessidade de consultar
o livro texto (STEWART, 2010) ou pedir auxílio para os colegas ou para os mediadores para
resolver as integrais propostas. Isso se agravou ao fato de que mesmo com a sequência
apresentada no início da questão, 40% dos participantes não compreenderam o funcionamento
em separar as variáveis de uma ED.
62
PROTOCOLO 6 – Atividade 1 – Questão 11a – solução inicialmente proposta pelo
professor/estudante I
Fonte: Dados da pesquisa.
Após o pesquisador fazer algumas ponderações sobre a solução proposta, o
professor/estudante I sugere uma nova solução em que ∫𝑑𝑃
𝑃= ∫ 𝑃−1𝑑𝑃 = 𝑃0 + 𝐶 = 1 + 𝐶,
observando-se que houve confusão com a integral polinomial, mostrando que existe ainda um
hábito de resolver integrais que derivam do ensino/aprendizado focado em fórmulas e na
memorização.
O diálogo abaixo, registrado pelo pesquisador, apresenta, na integra, a conversa entre o
pesquisador e o aluno I sobre a resolução desse tipo de integral. O pesquisador tenta, sem
entregar as respostas, fazer com que o professor/estudante entenda a diferença entre o
apresentado por ele e a integral polinomial.
Pesquisador: O que aconteceu quando você integrou 𝑃−1?
Professor/estudante I: Somei 1 ao expoente. Como −1 + 1 = 0, então resultou em
𝑃0.
Pesquisador: E qual é a integral de 𝑥2? (Alguns segundos depois)>
Professor/estudante I: 𝑥3
3.
Pesquisador: Então, isso significa que o expoente passa a existir no denominador.
Correto?
Professor/estudante I: Sim!
Pesquisador: Qual é o denominador em 𝑃0? Professor/estudante I: ... 1.
Pesquisador: De acordo com o seu raciocínio não deveria ser zero? O número zero
pode ficar no denominador?
Professor/estudante I: É verdade. Isso não pode acontecer. Ah! É logaritmo.
Um dos objetivos da atividade 1, mais especificamente na questão 11, era a
compreensão dos conceitos das soluções geral e particular de uma Equação Diferencial, assim
como a diferença entre elas. Porém, apesar desse conceito ser tratado com uma certa frequência,
63
20% dos participantes demonstraram dificuldade em discernir uma da outra por realmente não
compreenderem os seus significados. Muitas vezes, o professor/estudante havia compreendido
o caminho para resolver a ED, mas a solução era algo meio vago, indicando o quanto o
tradicionalismo por parte da memorização está cravado na área de educação.
Pesquisador: Você encontrou a solução dessa Equação Diferencial. Essa é uma
solução o que? Solução... Professor/estudante H: Solução Geral.
Pesquisador: Qual a diferença dessa solução geral para uma solução particular?
Professor/estudante H: Faltou o C (constante) na minha solução.
Já na questão 11, item c, foi pedido que os participantes esboçassem um gráfico que
representasse a solução encontrada no item b da mesma questão, a qual tem sua forma geral
como 𝑦 = 𝐶 ∙ 𝑒𝑘𝑡, em que y é a variável dependente, t é a variável independente, C é uma
constante real, k é um parâmetro real e e é o número neperiano.
PROTOCOLO 7 – Atividade 1 – Questão 11b – resposta do professor/estudante F
Fonte: Dados da pesquisa.
Observou-se que 30% dos alunos construíram o gráfico na escala errada. No eixo
vertical (População) a distância entre os pontos 10 000 e 20 000 era o mesmo de 20 000 para
40 000, implicando em um gráfico desproporcional em relação ao que deveria ser feito, fato
que é constatado pelo grupo de conteúdos conceituais de Zabala (1998). Observa-se que houve
falha, então, por parte dos professores/estudantes no que cerne à interpretação e à compreensão
dos fatos e dados apresentados pelo problema. Na mesma linha, houve falha no grupo de
conteúdos procedimentais, pois a estratégia utilizada para a construção do gráfico não foi
64
completamente válida. Porém, após uma pequena intervenção do pesquisador, todos
compreenderam que isso não poderia acontecer.
PROTOCOLO 8 – Atividade 1 – Questão 11c,d – resposta do professor/estudante F
Fonte: Dados da pesquisa.
Ao final da atividade 1, nas questões propostas, os participantes foram convidados a
resolver algumas Equações Diferenciais como teste do que aprenderam com todas as questões
anteriores, assim como relembrar o Teorema Fundamental do Cálculo1. Foi dito que eles
poderiam consultar o livro texto o quanto quisessem, mas que seria mais interessante se não o
fizessem. Talvez pelo cansaço ou pelas dificuldades encontradas e acumuladas durante toda a
atividade, 50% dos alunos recorreram ao livro texto para resolver as Equações Diferenciais
propostas ao final da atividade.
Apesar das tentativas de entender o método de resolução das questões, aqueles que
recorreram ao livro texto copiaram como estava escrito, sugerindo uma falta de compreensão
por parte deles. Os dois protocolos a seguir apresentam a diferença entre uma solução
construída e outra reproduzida por meio do livro texto.
O primeiro, referente ao professor/estudante B, apesar de não ser uma resolução
1 De acordo com STEWART (2010, p.363), o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) diz que supondo que 𝑓
seja contínua no intervalo [𝑎, 𝑏], tem-se:
a) Se 𝑔(𝑥) = ∫ 𝐹(𝑡)𝑑𝑡𝑥
𝑎, então 𝑔′(𝑥) = 𝑓(𝑥).
b) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)𝑏
𝑎, quando 𝐹 for qualquer primitiva de 𝑓, isto é, 𝐹′ = 𝑓.
65
totalmente correta, considerando apenas alguns lapsos na linguagem matemática, como a
segunda e última linhas do protocolo 9, é possível perceber que houve construção do raciocínio,
solucionando a integral por meio da substituições de variáveis.
PROTOCOLO 9 – Atividade 1 – Questão proposta 4b – solução do professor/estudante
B
Fonte: Dados da pesquisa.
Quanto ao segundo, referente ao professor/estudante E, houve apenas uma resposta no
final, revelando apenas uma técnica de manipulação algébrica sem resolver uma das partes mais
importantes da Equação Diferencial que era a integral.
PROTOCOLO 10 – Atividade 1 – Questão proposta 4b – solução do professor/estudante
E
Fonte: Dados da pesquisa.
66
Infere-se ainda, diante da situação observada, que em se tratando de problemas, há
dificuldade dos estudantes em obterem as informações necessárias, as quais muitas vezes são
apresentadas na linguagem verbal, para transcrever para a linguagem matemática,
possibilitando, então, alcançar a uma solução.
Souza (2011, p.80) identificou que, para que os estudantes de uma disciplina de
Equações Diferenciais Ordinárias pudessem entender a importância do uso do processo de
modelagem aplicada à resolução de problemas, havia “necessidade de rever, resgatar e
consolidar conceitos e teoria bem fundamentais, além de discutir e reforçar manipulações e
técnicas algébricas referentes a esses conceitos e teorias”.
Nesta presente pesquisa constatou-se, da mesma forma de Souza (2011) a importância
do resgate de conceitos, de linguagem e simbologias, de teorias e de manipulações algébricas
para iniciar-se um estudo de Equações Diferenciais. Apesar de se ter aqui um público formado
por professores, percebeu-se o benefício que esse resgate trouxe para a capacitação deles, na
linha do que colocam Onuchic e Allevato (2009).
Assim, acredita-se que o ambiente da atividade 1 oportunizou aos
professores/estudantes expressarem e elaborarem seus saberes, observados em suas
dificuldades pelo pesquisador, conforme representado no quadro 3.
67
QUADRO 3 – Saberes e dificuldades observados nas questões da atividade 1
Ambiente da atividade 1
oportunizou resgatar ou
consolidar conteúdos de:
Sujeitos expressam e
elaboram seus saberes
lidando com:
Dificuldades observadas
Funções e variável
- Recepção de texto
- Representação simbólica
- Linguagens diversas
- Representação gráfica
- Tendência de uma variável
- Retirar informações de um
texto ou de definição
- Libertar-se de uma
linguagem matemática
única
Taxa média
- Incremento de uma variável
- Variação ou taxa média
- Representação simbólica
- Representação gráfica
- Representação gráfica da
taxa média
Derivada
- Passagem ao limite
- Taxa instantânea ou derivada
- Representação geométrica
- Representação simbólica
- Apresentação do conceito
de derivada, expresso de
forma geométrica
- O conceito embutido nas
diferentes notações de
derivada
Integral
- Operação inversa da derivada
- Equação Diferencial
(solução)
- Importância da constante
- Técnicas simples de
integração
- Lidar com variáveis
- Lidar com parâmetros
-Resolução das integrais
imediatas
Fonte: Dados da pesquisa.
5.2 ATIVIDADE 2 – Explorando o Modelo Logístico
Os objetivos da atividade 2 foram:
68
a) retomar o modelo populacional apresentado na atividade 1 e introduzir um outro modelo
mais realístico, mas que também busca apoio nas Equações Diferenciais;
b) desafiar o estudante a resolver a Equação Diferencial logística;
c) mostrar que esse modelo exige um limite populacional e como determiná-lo;
d) representar graficamente esse modelo;
e) determinar uma solução particular que envolva esse modelo.
5.2.1 Apresentação e descrição da atividade 2
A atividade 2 é iniciada com um texto remetendo ao problema do modelo populacional
de Malthus, apresentado na primeira atividade, para que fosse introduzido o Modelo Logístico
de Vehulst.
Em torno de 1803, Malthus propôs a lei, que vimos anteriormente: “uma população cresce
ao longo do tempo a uma taxa proporcional à população em cada instante”, que se traduz
pela Equação Diferencial: dP
dt= KP
Vimos que, na vida real, esse modelo matemático não representa o fenômeno para um
tempo muito longo. Em 1838, Verhulst propôs um modelo de crescimento populacional,
que foi baseado em avaliações de estatísticas disponíveis e complementado pela teoria do
crescimento exponencial, a qual considera os fatores de inibição de crescimento. A nova
equação, chamada de equação logística, de acordo com o livro de Cálculo do Edward
Penney, pode ter a forma: dP
dt= KP(M − P).
Veja que é a equação de Malthus, ligeiramente alterada, isto é, multiplicada por um fator
com função redutora: a diferença entre M (população suporte, limite ou limitante do
crescimento) e P (população presente) tende a diminuir ao longo do tempo. O parâmetro M
é um valor hipotético, um referencial assintótico, do qual a população tende a se aproximar,
em situação normal.
Na questão 1, portanto, o professor/estudante é desafiado a resolver a Equação
Diferencial do modelo logístico apresentada no texto introdutório. O objetivo dessa questão era
deixar que o professor/estudante fizesse uso dos conhecimentos adquiridos na atividade 1 e
exigia que o aluno diferenciasse variáveis de parâmetros, assim como a dependência das
variáveis, separasse as variáveis para que pudesse resolver a equação e, finalmente, resolvesse
as integrais.
69
1. A equação de Verhulst, acima, é uma Equação Diferencial. Resolva-a, encontrando a
solução geral na forma 𝑃 = 𝑓(𝑡).
A questão 2 tinha como objetivo escrever solução geral determinada na questão 1,
supondo um valor para uma população inicial. Esse questão foi criada pensando em reduzir a
quantidade de parâmetros a serem utilizados na questão 3, quando seria determinado o limite
de uma população.
2. Suponha uma população inicial P0 = 20, ou seja, quando t = 0 então P = 20. Encontre
a solução particular escrevendo 𝑃(𝑡) em função de k, M e t.
3. Considerando a questão 2, qual o resultado para lim𝑡→∞
𝑃(𝑡)? Interprete o resultado
obtido.
A questão 4, procurava utilizar conceitos do Cálculo Diferencial e Integral (pontos de
inflexão) para construir um esboço do gráfico que obedecesse o modelo logístico, a população
inicial sugerida na questão 2 e o limite populacional determinado na questão 3. Eis a questão:
4. Vamos construir o gráfico P x t referente à expressão P(t) determinada no item anterior.
a) Determine os pontos de inflexão do gráfico. Lembre-se que já é conhecida a expressão
para 𝑑𝑃
𝑑𝑡.
b) Utilize o plano cartesiano abaixo para desenhar o esboço do gráfico P x t para t > 0.
Para finalizar a atividade, a questão 5 tinha como objetivo que o aluno solucionasse um
problema envolvendo o modelo logístico utilizando as condições impostas por ele.
5. Suponha que em 1885 a população de certo país era de 50 milhões e estava crescendo
à taxa de 750 000 pessoas por ano naquela época. Suponha, também, que em 1940 sua
população era de 100 milhões e que crescia então à taxa de 1 milhão por ano. Assuma
que esta população satisfaça à equação logística e determine tanto a população limite
M quanto a população prevista para o ano 2000.
70
5.2.2 Análise da atividade 2
O tempo destinado à atividade foi de 60 minutos.
Os participantes foram separados em dois grupos de cinco pessoas, sendo que o grupo
A ficou responsável por desenvolver a atividade 2 e o grupo B, a 3.
Para quebrar um pouco a composição viciada de formação de grupos por escolha livre
observada na primeira atividade e contemplando a proposta do conteúdo atitudinal de Zabala
(1998), procurou-se promover uma interação maior entre os professores/estudantes, definindo
os membros dos grupos por sorteio. Feito isso, os integrantes do grupo A, os quais realizaram
essa atividade, foram os alunos A, B, G, H e J.
O trabalho nessa atividade foi diferente da anterior, já que os cinco analisaram e
pensaram em conjunto cada questão.
Durante o processo, era evidente o comprometimento e cooperação de cada integrante
do grupo, em especial um dos professores/estudantes (professor/estudante G), que sentiu-se tão
desafiado que não queria entregar a atividade até terminá-la, apesar do tempo esgotado,
constatando, mais uma vez, a presença dos conteúdos atitudinais de Zabala (1998).
Ao final da atividade 1, uma das Equações Diferenciais que foram sugeridas a serem
respondidas aceitava o uso de frações parciais para sua solução. Isso foi feito para que o
professor/estudante pudesse ter mais compreensão desse tipo de estratégia, visto que a atividade
2 apresentava uma Equação Diferencial que exigia esse mesmo raciocínio.
𝑑𝑃
𝑑𝑡= 𝐾𝑃(𝑀 − 𝑃) →
𝑑𝑃
𝑃(𝑀−𝑃)= 𝐾𝑑𝑡 →
1
𝑀(
1
𝑃+
1
𝑀−𝑃) 𝑑𝑃 = 𝐾𝑑𝑡 (16)
Considerando que outros problemas já haviam sido analisados, resolvidos e concluídos
na atividade 1, essa atividade mostrou-se mais desafiadora do que era esperado. Porém, o grau
de dificuldade foi gradativo de uma atividade para a outra. Além disso, em todos os momentos
o pesquisador instigou o grupo a pensar e raciocinar de maneira independente, como sugere
Polya (1995) para o estudo de resolução de problemas.
Analisando o rascunho criado pelo grupo A para resolver a questão 1 da atividade 2
PROTOCOLO 11), é possível verificar que o objetivo de incentivar o uso de frações parciais,
nas questões propostas da atividade 1, para resolver Equações Diferenciais foi alcançado. Além
disso, considerando que o nível de dificuldade para essa questão era superior ao da questão
71
apresentada ao final da atividade 1, pôde-se concluir que barreiras e dificuldades emergidas
anteriormente foram superadas.
PROTOCOLO 11 – Atividade 2 – Questão 1 – rascunho utilizado pelo grupo A
Fonte: Dados da pesquisa.
Pela quantidade de parâmetros (K e M) somados com as variáveis (P e t) existentes na
Equação Diferencial, entende-se que houve dificuldade por parte dos professores/estudantes em
resolvê-la. Dessa maneira, foi necessária uma intervenção do pesquisador a fim de auxiliar na
compreensão e sanar as dúvidas relativas à resolução da equação logística. Mesmo com essa
intervenção, porém, apenas dois alunos mantiveram-se concentrados em resolvê-la, enquanto o
restante ficou apenas observando o processo, o que não deixa de ser também um meio de
aprendizagem.
Apesar disso, foi possível observar que não houve grandes dificuldades no que se referia
à separação de variáveis da Equação Diferencial do Modelo de Vehulst. Da mesma forma, o
grupo mostrou-se competente ao resolver as duas integrais resultantes dessa manipulação
algébrica.
72
PROTOCOLO 12 – Atividade 2 – Questão 1 – resolução do grupo A
Fonte: Dados da pesquisa.
Na segunda parte e finalização da resolução da questão 1, não foram necessários auxílios
por parte do pesquisador, já que o grupo conseguiu resolver todo o restante PROTOCOLO 13),
apenas discutindo entre os integrantes se as formas e passos estavam corretos.
73
PROTOCOLO 13 - Atividade 2 – Questão 1 – continuação e finalização
Fonte: Dados da pesquisa.
Como houve um tempo reduzido de execução da atividade, apenas 60% dela foi
completada pelos participantes. Apesar disso, devido à energia e determinação, o grupo gostaria
de ter permanecido mais alguns minutos para terminar a atividade, mostrando gosto e satisfação
mesmo nos últimos e cansativos momentos. Assim, atendendo a pedidos dos
74
professores/estudantes, o grupo A complementou as atividades em casa, desenvolvendo e
concluindo todas as questões da atividade 2.
Entende-se, portanto, que o ambiente da atividade 2 oportunizou aos
professores/estudantes expressarem e elaborarem seus saberes, observados em suas
dificuldades pelo pesquisador, conforme resumido no quadro 4.
QUADRO 4 – Saberes e dificuldades observadas nas questões da atividade 2
Ambiente da atividade 2
oportunizou resgatar ou
consolidar conteúdos de:
Sujeitos expressam e
elaboram seus saberes
lidando com:
Dificuldades observadas
Modelagem algébrica de
problemas (primeiro
contato)
Conexão entre linguagem
verbal do problema e seu
modelo algébrico
Conceito de parâmetro
Equação Diferencial
- Separação de variáveis
- Resolução de integral
- Análise gráfica da solução
particular
- Projeção da demanda futura
- Lidar com parâmetros e
variáveis
- Decomposição em frações
parciais
- Desatenção na receptação
do texto, como auxiliar na
análise gráfica
Fonte: Dados da pesquisa.
Então, as dificuldades observadas foram superadas dentro do próprio grupo, recorrendo
ao livro texto e, em especial, pela socialização do conhecimento e o pesquisador e o professor
regente, ao final, auxiliaram os professores/estudantes a consolidarem os conceitos.
5.3 ATIVIDADE 3 – Explorando a Lei de Resfriamento/Aquecimento de Newton
Os objetivos da atividade 3 foram:
a) apresentar o modelo da Lei de Resfriamento/Aquecimento de Newton e sua relação com
as Equações Diferenciais;
b) retomar conceitos e símbolos matemáticos que serviram de base para as Equações
Diferenciais;
75
c) mostrar que a temperatura de um corpo tende à temperatura de um ambiente em que
aquele é inserido, considerando o corpo a uma temperatura maior do que a do ambiente;
d) representar graficamente esse modelo;
e) determinar uma solução particular que envolvesse esse modelo;
f) desafiar a intuir os mesmo acontecimentos com um corpo a uma temperatura menor do
que a do ambiente no qual aquele é inserido.
5.3.1 Apresentação e descrição da atividade 3
A terceira atividade procurava desenvolver o entendimento da Lei de Newton do
resfriamento/aquecimento de um corpo. Essa lei diz que:
a taxa segundo qual a temperatura de um corpo varia é proporcional à diferença entre
a temperatura do corpo e a temperatura do meio que o rodeia, denominada temperatura
ambiente. Se 𝑇(𝑡) representa a temperatura de um corpo no instante 𝑡, 𝑇𝑚 a
temperatura do meio que o rodeia e 𝑑𝑇
𝑑𝑡 a taxa segundo a qual a temperatura do corpo
varia, a lei de Newton do esfriamento/aquecimento é convertida na sentença
matemática 𝑑𝑇
𝑑𝑡∝ 𝑇 − 𝑇𝑚 𝑜𝑢
𝑑𝑇
𝑑𝑡= 𝑘(𝑇 − 𝑇𝑚). (ZILL, 2011, p.22).
Essa atividade, diferentemente das outras duas, não apresentava um texto introdutório,
já sendo estruturada a fim de desenvolver um raciocínio passo a passo. A questão 1 tem o
mesmo objetivo que as questões iniciais da atividade 1: a partir de um fenômeno determinar as
variáveis e sua relação de dependência.
1. Observe o fenômeno a seguir.
Uma substância a uma temperatura T
variando ao passar de um tempo t.
a) Quais as variáveis do fenômeno descrito acima?
b) Destas duas variáveis, qual é a dependente e qual é a independente?
Dependente: _____ Independente: _____
A questão 2 apresentava verbalmente a Lei de Newton para que, posteriormente, o
professor/estudante fosse convidado a transcrevê-la para a linguagem matemática utilizando
elementos do Cálculo Diferencial e Integral. Eis a questão:
76
2. A lei de Newton diz que: “a velocidade de resfriamento/aquecimento da
temperatura T de um corpo em função de um tempo t, colocado em um ambiente,
é proporcional à diferença entre a temperatura T do corpo e do ambiente TA”.
a) Circule na(s) opção(ões) abaixo uma possível representação da velocidade
(variação) de uma temperatura T em um tempo t?
b) Agora, escreva a Equação Diferencial que representa esse fenômeno descrito
no início da questão 2 (lei de Newton).
c) Com base na equação descrita acima, responda:
(i) A temperatura ambiente influencia na mudança de temperatura de um corpo?
_____
(ii) O que acontece quando um corpo é inserido em um ambiente com uma
temperatura diferente da sua?
Na questão 3, o leitor é desafiado a resolver a Equação Diferencial determinada por ele
no item 2-b) e escrever uma solução particular utilizando as condições impostas na questão 4.
3. Utilize o método de separação de variáveis e resolva a Equação Diferencial encontrada
na questão 2-b), substituindo a temperatura ambiente por 25°C.
4. Suponha que um corpo tenha uma temperatura inicial igual a 37°C. Se após 1 minuto
a temperatura passa a ser de 31°C, determine a solução particular. OBS: procure
substituir os valores citados na solução geral determinada na questão 3.
Com base na solução particular determinada na questão 4, o professor/estudante foi
questionado entre qual das três opções seria a melhor representação geométrica para tal
situação. Na questão 5, por sua vez, o objetivo era identificar a capacidade de ler uma equação
e transcrevê-la graficamente:
5. Para a solução encontrada na questão 4, qual é o melhor gráfico que a representa?
𝑑𝑇
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑇
dT - dt ∆𝑇
∆𝑡
𝑑2𝑇
𝑑𝑡2
77
Justifique.
Justificativa:
___________________________________________________________________
A questão 6 tinha o mesmo objetivo que a questão anterior, porém, a equação a ser
representada era uma Equação Diferencial e não uma solução particular.
6. Na questão 3 foi apresentada a matematização do resfriamento/aquecimento de um
corpo. Com o valor do parâmetro k encontrado com a situação particular (equação
4) tem-se a equação
𝑑𝑇
𝑑𝑡= −0,6931(𝑇 − 25)
Aponte o melhor gráfico que representa essa Equação Diferencial e justifique.
78
Justificativa
___________________________________________________________________
A sétima questão tinha a intenção de identificar se o estudante compreendeu os
conceitos e raciocínios impostos das questões anteriores da atividade 3. Nessa consolidação de
ideias, o professor/estudante foi desafiado a resolver uma situação particular de aquecimento
ao invés de resfriamento na qual a temperatura do corpo é menor do que a temperatura do
ambiente em que ele se encontra.
7. Utilizando o mesmo raciocínio das questões 5 e 6, explique e faça esboços sobre o
comportamento de um corpo cuja temperatura inicial seja menor do que a temperatura
ambiente.
5.3.2 Análise da atividade 3
O tempo destinado à atividade foi de aproximadamente 60 minutos.
Assim como aconteceu com a atividade 2, dos dez participantes, cinco fizeram essa
atividade logo após finalizarem a atividade 1, analisando e pensando em conjunto cada questão.
Com o sorteio, o restante dos alunos que participaram dessa atividade foi: C, D, E, F e I.
Todas as questões foram concluídas em sala de aula.
O grupo observou que as questões da atividade 3 eram muito semelhantes àquelas
concluídas por eles na atividade 1. Esse fato foi proposital, pois tinha o objetivo de retomada e
consolidação dos conceitos apresentados e exercitados anteriormente. Polya (1995) acredita na
necessidade de repetir exercícios com o intuito de promover o aprendizado no que tange à
resolução de problemas.
O tipo de dificuldades que surgiu era verbal, como o significado da palavra corpo no
enunciado do problema. O grupo considerava sempre que se tratava de um corpo humano e não
simplesmente de um objeto animado ou não.
Em nenhum lugar da atividade havia instruções sobre o uso de calculadoras. Apesar de
ser um recurso muito utilizado, principalmente em cursos do Ensino Superior, não houve
questionamentos ou pedidos para utilizá-lo. Um fato que mostra com clareza esse
acontecimento foi na questão 4 e apresentado no protocolo 14, no qual o grupo encontrou a
constante 𝑘 = ln (1
2).
79
PROTOCOLO 14 - Atividade 3 – Questão 4 – resolução feita pelo grupo B
Fonte: Dados da pesquisa.
Em especial na questão 7, quando o grupo discutiu sobre a situação inversa à que estava
sendo colocada, foi construído o gráfico corretamente. Porém, apesar da presença de uma
assíntota em 𝑇𝐴, o grupo indicou a escolha de uma função logarítmica para representá-lo, a qual
não tem limite superior ou inferior. Com uma pequena intervenção do pesquisador, os alunos
compreenderam que a escolha não era adequada para a situação e finalizaram de maneira
correta, como mostra o seguinte diálogo:
Pesquisador: Uma função logarítmica tem assíntota em relação a y (paralela ao eixo
x)?
Grupo: Não.
Pesquisador: Então, como ‘espelhar’ uma função em relação a uma reta?
Apesar disso, mesmo com esse pequeno auxílio, foi possível observar que o grupo não
concluiu de imediato a melhor representação gráfica que se encaixava na situação dessa questão
(PROTOCOLO 15).
80
PROTOCOLO 15 - Atividade 3 – Questão 7 – Resolução feita pelo grupo B
Fonte: Dados da pesquisa.
De maneira geral, para as três atividades, diante do exposto, infere-se que foi alcançada
uma visão de construção do conhecimento por meio da resolução de problemas com base nas
teorias de Polya (1995), sendo possível, ainda, visualizar os quatro momentos dessa teoria, que
consistiam em compreensão do problema, estabelecimento e execução de um plano e análise
da solução obtida, perpassando pelas atividades.
Além disso, de acordo com Stewart (2006), entende-se que, ao se optar por dar ênfase à
compreensão dos conceitos, às análises algébrica, gráfica, numérica e verbal essas foram formas
eficazes de se trabalhar conteúdos matemáticos, mostrando que a presente pesquisa também
atingiu esse objetivo.
81
QUADRO 5 – Saberes e dificuldades observadas nas questões da atividade 3
Ambiente da atividade 3
oportunizou resgatar ou
consolidar conteúdos de:
Sujeitos expressam e elaboram
seus saberes lidando com:
Dificuldades
observadas
Modelagem algébrica
parcial de um problema
Conexão entre linguagem verbal e
algébrica
Distanciamento da
linguagem verbal de
enunciado de leis de
outras ciências
Equação Diferencial
- Separação de variáveis
- Resolução de integral
- Análise de solução particular e
da própria Equação Diferencial
- Condição inicial de problemas
da vida real
Ao lidar com a análise
gráfica em situações
variadas.
Fonte: Dados da pesquisa.
Quanto à primeira dificuldade observada, os sujeitos da pesquisa reconheceram que
professores de Matemática, em geral, se tornam reféns da linguagem e de termos próprios da
disciplina. No entanto, os professores/estudantes declararam-se despertados para a necessidade
de introduzirem mudanças em suas aulas, com uma Matemática mais inserida em situações e
problemas de outras ciências e da vida social.
A segunda dificuldade foi superada entre os integrantes do próprio grupo para o
problema específico, sendo entendido por eles que é possível adquirir mais habilidade à medida
que se pratica.
5.4 AS ATIVIDADES INFORMATIZADAS
Objetivou-se implementar as atividades 1, 2 e 3 do caderno de atividades com o uso de
uma linguagem computacional, gerando um recurso informático para o estudo introdutório de
Equações Diferenciais.
A informatização das atividades foi feita com o auxílio de um bolsista participante do
Projeto do GRUPIMEM/PINEM, graduando em Engenharia Eletrônica.
O software escolhido para construir o recurso didático informatizado foi o NetBeans por
ser um software livre que suporta a linguagem computacional JAVA. Essa linguagem foi
escolhida por ser de fácil acesso devido à sua grande utilização nos inúmeros softwares que
82
rodeiam o nosso atual mundo tecnológico. Além disso, se um computador não apresentar o
aplicativo Java, é possível fazer o download gratuitamente.
Outro importante motivo dessa escolha é que, de acordo com o MEC (BRASIL, 2015),
um OA deve ser de fácil acesso e que ainda possa ser reutilizado para dar suporte ao
aprendizado. Pensando nisso, ele foi construído sem a necessidade da instalação do próprio
software NetBeans, bastando que o computador tivesse o aplicativo Java instalado.
O OA construído, EDOCA, apresentava atividades que complementavam as questões
apresentadas no caderno de atividades (atividades 1, 2 e 3).
Na apresentação das telas do EDOCA, a seguir, é possível que algumas pareçam um
pouco maiores que outras. Isso se deve à necessidade de uma montagem para que as atividades
e questões não ficassem dispersas na presente dissertação, assim como em suas análises.
A tela inicial do aplicativo apresentava uma janela na qual o estudante pode selecionar
um diretório para salvar as respostas das atividades, como pode ser visto na figura 4. Da mesma
maneira, há um campo para e-mail do professor, para o qual essas respostas serão enviadas.
83
FIGURA 4 – Tela inicial do software EDOCA
Fonte: Dados da pesquisa.
Na guia “arquivos”, é possível transitar entre todas as questões de todas as atividades.
Essa opção foi trabalhada pensando em um estudante que, ao terminar uma questão em uma
das atividades, conseguiria dar continuidade aos seus estudos a partir da última questão
resolvida. Da mesma forma, é possível iniciar uma atividade a partir de uma questão de acordo
com os comandos do professor, como pode ser visto na figura 5.
84
FIGURA 5 – Navegação no software EDOCA
Fonte: Dados da pesquisa.
5.4.1 Atividade Informatizada 1
Como já se sabe, a Atividade 1 é segmentada em nove questões.
Na questão 1, é apresentado um texto como suporte teórico que também permanece
para a questão 2.
Na figura 6 é possível visualizar que abaixo desse texto há um fenômeno físico (“Uma
população P variando com o passar de um tempo t”) que também serve de suporte para os itens
da questão 1, pois são respondidos com base nele.
Nessa questão, são trabalhados a identificação de variáveis dado um fenômeno, o
conceito de relação de dependência entre duas variáveis, a relação matemática entre essas duas
variáveis e como escrever essa relação na linguagem verbal.
85
FIGURA 6 – Atividade informatizada 1 – Questão 1
Fonte: Dados da pesquisa.
A questão 2, como já registrado, apresentava um texto e um fenômeno como suporte
teórico. São os mesmos texto e fenômeno introduzidos na questão anterior.
Nessa questão, então, são trabalhados significados numéricos em relações de
dependência, assim como a escrita na linguagem verbal e representações geométricas no plano
cartesiano para esses significados, como pode ser visto na figura 7.
86
FIGURA 7 – Atividade informatizada 1 – Questão 2
Fonte: Dados da pesquisa.
Na questão 3, o fenômeno, o mesmo introduzido nas questões 1 e 2, ainda foi mantido.
A figura 8 mostra essa questão em que são apresentadas algumas informações
numéricas. Com base nelas, o usuário foi instigado a raciocinar em qual seria o comportamento
da população quando o tempo tivesse valores muito grandes ou ilimitados.
Aqui foi introduzido, na atividade, o conceito de tendência de uma função, retomado
em questões posteriores.
87
FIGURA 8 – Atividade informatizada 1 – Questão 3
Fonte: Dados da pesquisa.
Na questão 4, o suporte teórico apresenta conceitos sobre uma função afim e a relação
com seus parâmetros.
Há um botão em que o estudante, ao clicar, tem acesso a um gráfico construído com o
auxílio do GeoGebra, que permite a alteração dos parâmetros. Essa alteração é necessária para
responder e completar o texto à esquerda, como pode ser visto na figura 9.
88
FIGURA 9 – Atividade informatizada 1 – Questão 4
Fonte: Dados da pesquisa.
A questão 5, apresentada pelas figuras 10 e 11, foi dividida em quatro partes: letras a e
b na primeira tela e c e d, na segunda tela, podendo-se notar que em ambas as telas, há um
suporte teórico sobre o incremento ou variação de uma variável, assim como o retorno do
fenômeno físico “Uma população P variando com o passar de um tempo t”.
Na primeira tela, o estudante era instigado a responder, com valores numéricos, sobre a
variação da população e do tempo sobre o fenômeno físico em questão com valores numéricos
e relacionar essa situação graficamente.
89
FIGURA 10 – Atividade informatizada 1 – Questão 5 (letras a e b)
Fonte: Dados da pesquisa.
Na segunda tela, foi introduzido o conceito de taxa média em uma linguagem verbal,
para que, em seguida, fosse requisitada na linguagem matemática (simbólica). Ainda nessa tela,
dever-se-ia responder sobre a taxa média usando os valores da população e do tempo dados
anteriormente.
FIGURA 11 – Atividade 1 – Questão 5 (letras c e d)
Fonte: Dados da pesquisa.
90
A questão 6, por sua vez, relembrava a representação de taxa média usada na questão
anterior como uma razão entre a variação da população e a variação do tempo, como é
apresentada na figura 12; porém, foi requisitado que fosse apresentada mais uma maneira de
representá-la.
FIGURA 12 – Atividade informatizada 1 – Questão 6
Fonte: Dados da pesquisa.
A questão 7, apresentada pela figura 13, aproveitava a nova representação de taxa média
selecionada na questão anterior para dar continuidade à atividade. Isso foi necessário para
iniciar o pensamento sobre a tendência do valor da taxa média da população quando a variação
do tempo tende a zero, “diminuindo, diminuindo, cada vez mais”.
Era esperado que, nesse momento, o estudante relacionasse o limite da taxa média com
o conceito de derivada de uma função.
91
FIGURA 13 – Atividade informatizada 1 – Questão 7
Fonte: Dados da pesquisa.
A questão 8 mostra um suporte teórico onde eram introduzidas as Equações
Diferenciais, apresentando alguns exemplos. Logo em seguida, eram apresentadas as Equações
Diferenciais Ordinárias, assim como o passo a passo parcial de como resolvê-las.
Esse caminho foi apenas parcial para que o estudante pudesse ser induzido a dar
continuidade nos itens a e b, apresentados pela figura 14.
No item a, pede-se para resolver as integrais do primeiro e do segundo membros da
equação ∫ 𝑑𝑦 = ∫ 2𝑥𝑑𝑥. No item b, os resultados dos dois membros são igualados para dar
solução à Equação Diferencial.
92
FIGURA 14 – Atividade informatizada 1 – Questão 8
Fonte: Dados da pesquisa.
Para finalizar a atividade, a última questão exibia um suporte teórico sobre a Equação
Diferencial que envolvia uma população dada pela Lei de Malthus no século XIX.
Essa questão fechava a atividade, pois dava continuidade em todo o raciocínio
trabalhado em volta da variação de uma população com o passar de um tempo t.
A questão pedia para que essa Equação Diferencial Ordinária fosse resolvida utilizando
os mesmos passos e conceitos trabalhados anteriormente, encontrando uma população P em
função de um tempo t. Além disso, eram dados valores numéricos para substituir os parâmetros
dessa solução, como apresentado na figura 15.
FIGURA 15 – Atividade informatizada 1 – Questão 9
Fonte: Dados da pesquisa.
93
5.4.2 Atividade Informatizada 2
Ao término da atividade 1, o aplicativo dava continuidade ao trabalho seguindo para a
atividade 2, a qual apresentava quatro questões, todas elas envolvidas com a ideia de
crescimento populacional. Porém, estão relacionadas com a teoria de Vehulst sobre a limitação
de uma população de acordo com o meio em que ele está inserida.
Em todas as questões há um suporte teórico que introduz a teoria de Vehulst sobre o
crescimento populacional apresentada na forma de uma Equação Diferencial:
𝑑𝑃
𝑑𝑡= 𝑘𝑃(𝑀 − 𝑃). (17)
Na questão 1, o estudante era desafiado a resolver essa equação, utilizando os
conhecimentos adquiridos com a atividade 1 desde a identificação das variáveis até a resolução
de uma Equação Diferencial Ordinária (FIGURA 16).
FIGURA 16 – Atividade informatizada 2 – Questão 1
Fonte: Dados da pesquisa.
Já a questão 2, com base na resposta da questão1, eram disponibilizados valores, os
quais determinavam que a população inicial era 20, para que uma solução particular da equação
seja construída. (FIGURA 17)
Apesar de a questão pedir que a população P fosse escrita em função de k, M e t, apenas
t (tempo) era uma variável, pois M era a população limite e k uma constante que dependia das
94
condições em que a população se encontra.
FIGURA 17 – Atividade informatizada 2 – Questão 2
Fonte: Dados da pesquisa.
Na questão 3 era requisitado o limite da população P, de acordo com os valores
apresentados na questão anterior, quando o tempo t tende ao infinito.
Esperava-se que fosse consolidado o conceito de limite, assim como compreendido que
a constante M referia-se ao limite superior da população P.
95
FIGURA 18 – Atividade informatizada 2 – Questão 3
Fonte: Dados da pesquisa.
A última questão da atividade 2, apresentava um problema de valor de contorno no qual
a população inicial era de 50 milhões, crescendo a uma taxa de 750 000 pessoas por ano e que
após 55 anos essa população passaria a ser o dobro.
Esperava-se que o estudante utilizasse o limite determinado na questão anterior para
encontrar a população limite M, como mostra a figura 19.
FIGURA 19 – Atividade informatizada 2 – Questão 4
Fonte: Dados da pesquisa.
96
5.4.3 Atividade Informatizada 3
A atividade 3 apresentava cinco questões que tinham como objetivo retomar alguns
conceitos introduzidos principalmente na atividade 1, como identificação de variáveis,
interdependência de variáveis, transcrição da linguagem literal para a linguagem simbólica
matemática, resolução de uma Equação Diferencial Ordinária, determinação de uma solução
particular de acordo com um problema.
A questão 1 elaborava um fenômeno físico relacionando uma temperatura T em função
de um tempo t. O estudante era requisitado a traduzir a linguagem literal apresentada, a fim de
obter as variáveis, assim como a sua interdependência (FIGURA 20):
97
FIGURA 20 – Atividade informatizada 3 – Questão 1
Fonte: Dados da pesquisa.
Assim como na questão anterior, o estudante era desafiado a obter respostas a partir das
informações provenientes da linguagem verbal.
Já na questão 2, era apresentada a Lei de Newton sobre o resfriamento, aquecimento de
um corpo com o passar de um tempo t. Porém, o objetivo era escrever a taxa de variação da
temperatura em função do tempo e, logo após, assinalar a Equação Diferencial que melhor
representasse o fenômeno térmico (FIGURA 21).
98
FIGURA 21 – Atividade informatizada 3 – Questão 2
Fonte: Dados da pesquisa.
A questão 3 (FIGURA 22) solicitava que o estudante resolvesse a Equação Diferencial
Ordinária assinalada na questão anterior, escrevendo a solução geral da temperatura T em
função do tempo t, considerando a temperatura ambiente TA igual a 25°C.
99
FIGURA 22 – Atividade informatizada 3 – Questão 3
Fonte: Dados da pesquisa.
Na questão 4, um problema de valor de contorno de resfriamento de um corpo era
discutido, mantendo a temperatura ambiente definida na questão anterior. Ainda eram
determinadas a temperatura inicial do corpo de 37°C e a temperatura do mesmo corpo de 31°C
após 1 minuto.
O objetivo era escrever uma solução particular de acordo com a solução geral
determinada na questão anterior (FIGURA 23).
100
FIGURA 23 – Atividade informatizada 3 – Questão 4
Fonte: Dados da pesquisa.
A questão 5 era dividida em duas partes, sendo ambas de interpretação gráfica referente
à solução da questão 4.
A primeira parte relacionava graficamente a temperatura T (eixo vertical) com o tempo
t (eixo horizontal) e espera-se que o estudante entendesse que, mesmo que o corpo esteja
sofrendo um resfriamento, há um limite para a sua temperatura que é a ambiente.
A segunda parte relacionava graficamente a taxa de variação 𝑑𝑇
𝑑𝑡 (eixo vertical) com a
temperatura T (eixo horizontal) e esperava-se que o estudante entendesse que a relação entre
essas duas grandezas é linear.
O estudo com gráficos, incluindo a sua relação com as equações e expressões algébricas,
repercutiu quase que diretamente em um bom entendimento das leis físicas que permeavam a
integração dessa ciência com a Matemática. Pensando dessa maneira, as análises de gráficos
não poderiam deixar de ser exploradas nesta pesquisa, principalmente quando se trata da
possibilidade de informatizar esses gráficos, causando uma maior interação entre os estudantes.
Borba e Penteado (2010), vão ao encontro desse pensamento, defendendo que o estudo com
gráficos ganham força quando há a possibilidade de auxílio por meio de recursos
computacionais.
102
5.4.4 Considerações sobre as atividades informatizadas
Pôde-se averiguar que as atividades informatizadas serviram de apoio e sugestão para
um curso que tivesse necessidade da utilização de Equações Diferenciais Ordinárias, seja para
a introdução à disciplina de Equações Diferenciais ou para a retomada desse conteúdo em
alguma outra disciplina que fizesse uso delas.
Porém, de acordo com Rodrigues; Souza Júnior e Lopes (2007), a tecnologia por si
mesma, seja sozinha ou acompanhada por elementos contrastantes ao uso da mesma, não leva
a uma melhoria no ensino-aprendizagem. Dessa maneira, o Caderno de Atividades em conjunto
com o EDOCA são complementares um ao outro, já que individualmente perde-se o significado
de utilização.
103
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Durante o desenvolvimento da pesquisa, a construção do ambiente de aprendizagem e
das atividades foi convergida a fim de auxiliar professores em formação continuada que
almejam conquistar ou retomar conhecimentos provenientes do conteúdo de Equações
Diferenciais Ordinárias. Para tanto, conceitos básicos de cálculo, assim como conceitos iniciais
de Equações Diferenciais foram retratados nas atividades desenvolvidas nesta pesquisa.
Dessa maneira, à luz da teoria de Zabala (1998) em relação às sequências didáticas,
foram construídas atividades com perspectivas algébrica, geométrica, numérica e verbal
inseridas nesse meio conceitual para que a retomada de conteúdo pudesse ser a mais abrangente
possível.
Apesar do desenvolvimento com o enfoque em formação continuada de professores de
Matemática, o EDOCA, atividade informatizada como produto dessa pesquisa, tem
competência, também, para ser utilizado em cursos de graduação que façam uso do conteúdo
de Equações Diferenciais.
Observa-se que a sequência de atividades contribuiu consideravelmente para o ensino e
aprendizagem das EDO, pois, além dos resultados obtidos, o empenho e comprometimento dos
participantes, com seus comentários e questionamentos, auxiliaram no aprimoramento das
atividades e mostraram caminhos que antes não haviam sido visualizados. Assim, o terceiro
objetivo especifico dessa pesquisa foi alcançado, visto que havia necessidade de analisar, a
partir do acompanhamento e da observação, a participação dos sujeitos da pesquisa no ambiente
didático proposto.
Dos professores/estudantes participantes, muitos assumiram que não se lembravam ou
nem mesmo conheciam conceitos relativos às EDO. Da mesma maneira, os mesmos apontaram
que as atividades tiveram bastante fluidez, fazendo-os relembrar (ou aprender) algo que parecia
aparentemente inalcançável. Isso mostra que o Caderno de Atividades surtiu o efeito esperado,
despertando o gosto e a necessidade do aprendizado em Equações Diferenciais.
Os professores/estudantes participantes mostraram que o reconhecimento de variáveis
em uma sentença é importante para que seja equacionada, da mesma forma que a transição da
linguagem literal para a linguagem simbólica matemática.
Um dos questionamentos iniciais da pesquisa foi a “falta de conhecimentos” básicos
relativos ao campo de Equações Diferenciais. Relativamente, essa resposta foi obtida por meio
das resoluções das atividades. Em sua grande maioria, os professores/estudantes não
demonstraram domínio, principalmente na sistematização dos processos, tanto de transição das
104
linguagens literal e matemática como na resolução das próprias equações.
Foi observado, também, que alguns conceitos de Cálculo Diferencial e Integral não
estavam muito bem definidos ou estavam completamente esquecidos. Dessa maneira, a
atividade 1, na visão dos professores/estudantes serviu como um ótimo meio para relembrar,
revisar e/ou entender esses conceitos.
Com o passar das atividades, muitos desses sujeitos da pesquisa apresentaram sugestões
de melhoria para a própria atividade, que foram recebidas com satisfação pelo pesquisador. Da
mesma maneira, na medida do possível, foi requisitada a presença do pesquisador em alguns
momentos para auxiliar no conteúdo das atividades. As respostas foram dadas com mais
questionamentos, a fim de direcionar os professores/estudantes às respostas, mantendo o
pesquisador em uma posição de mediador. Assim, o segundo objetivo específico foi
conquistado, utilizando o ambiente de aprendizagem em questão para dar e receber
contribuições dos sujeitos da pesquisa, além da sociedade de uma forma geral, pois, de acordo
com Bicudo (1993), um trabalho de pesquisa deve trazer contribuição para a sociedade
acadêmica e civil, pois pesquisar significa “perseguir uma interrogação (problema, pergunta)
de modo rigoroso, sistemático, sempre, sempre andando em torno dela, buscando todas as
dimensões... qualquer que seja a concepção de pesquisa assumida pelo pesquisador” (BICUDO,
1993, p. 18-19).
Porém, apesar de todo o esforço e comprometimento dos participantes, ficou claro para
eles que as atividades foram apenas um pequeno degrau para aqueles que, por meio da
continuidade de estudos, desejam ingressar no magistério superior como professores
universitários. Para aqueles que já o eram, o sentimento foi de que havia necessidade da busca
pela melhoria do próprio aprendizado para que houvesse, consequentemente, melhoria no seu
ensino. Tudo isso mostra que a pergunta norteadora da pesquisa foi alcançada: “em que medida
um ambiente destinado ao estudo introdutório de Equações Diferenciais, organizado e
explorado didaticamente, oportuniza a um grupo de professores em formação elaborarem e
expressarem saberes, conhecimentos e atitudes?”
Portanto, essa foi uma pesquisa que esteve inserida no Projeto vinculado ao
GRUPIMEM/PINEM, satisfazendo um dos seus objetivos: a construção de um Objeto de
Aprendizagem. Além disso, o subgrupo de estudos para o Ensino Superior também foi atendido,
dado que a atual pesquisa foi produzida com ênfase na aprendizagem para esse nível de ensino.
De forma geral, espera-se que a contribuição para esse grupo de professores tenha sido
realmente satisfatória e que a busca por conhecimentos não lembrados ou nunca vistos faça
105
parte de suas contínuas formações.
Espera-se, também, que as atividades em conjunto com o recurso didático informatizado
desenvolvido, o EDOCA, desperte a continuidade e o interesse de outros professores em
formação.
Como professor, pode-se afirmar ter havido significativa contribuição para o
pesquisador, já que este não é isento da constante busca pelo aperfeiçoamento e atualização de
sua formação profissional. A recente pesquisa o fez crescer em sua prática e com olhares
pedagogicamente diferenciados dos que havia anteriormente.
De forma geral, o pesquisador sentiu-se como um investigador, respondendo perguntas
e angústias provenientes desde a sua graduação. Além disso, o pesquisador considera-se um
professor melhor do que era quando ingressou no curso de Pós-graduação da PUC Minas. Por
outro lado, mais perguntas e questionamentos foram criados promovendo sentimentos e desejos
de realizar mais pesquisas.
106
REFERÊNCIAS
ALVES, Murilo Barros. Equações Diferenciais Ordinárias em cursos de Licenciatura de
Matemática – Formulação, Resolução de Problemas e Introdução à Modelagem Matemática.
2008. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática) – Pontifícia Universidade
Católica de Minas Gerais, Programa de Pós Graduação em Ensino de Ciências e Matemática,
Belo Horizonte, 2008.
AZEVEDO, T. M. de; ROWELL, V. M. Problematização e ensino de língua materna. In:
SEMINÁRIO NACIONAL SOBRE LINGUAGEM E ENSINO, 5. 2007, Pelotas. Anais...
Porto Alegre: ABEN, 2007.
BARBIER, R. A pesquisa-ação. Tradução Lucie Didio. Brasília, DF: Plano Editora, 2002.
BICUDO, M. A. Pesquisa em educação matemática. Campinas, SP: Pro-posições, 1993.
BORBA, M. D. Pesquisa Qualitativa em Educação Matematica. 3.ed. Belo Horizonte:
Autêntica, 2010.
BORBA, M. D.; PENTEADO, M. G. Informática e Educação Matemática. 4.ed. Belo
Horizonte: Autêntica, 2010.
BOYCE, W. E.; DIPRIMA, R. C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de
Valores de Contorno. 8.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006.
BRASIL, Ministério da Educação. Diretrizes Curriculares Nacionais para os Cursos de
Matemática, Bacharelado e Licenciatura. 2001. Disponível em:
<http://portal.mec.gov.br/cne/arquivos/pdf/CES13022.pdf>. Acesso em: 17 fev. 2015.
BRASIL. Ministério da Educação e Cultura. Rived. Disponível em:
<http://rived.mec.gov.br/>. Acesso em: 28 set. 2015.
BRASIL. Ministério da Educação. Conselho Nacional de Educação. Parecer CNE/CES nº
1.302, de 6 de novembro de 2001. Disponível em:
<http://portal.mec.gov.br/cne/arquivos/pdf/CES13022.pdf>, Acesso em: 16 abr. 2015.
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria da Educação à Distância - Secretaria de
Educação Básica. RIVED - Rede Interativa Virtual de Educação. Disponível em:
<http://rived.mec.gov.br/>. Acesso em: 17 fev. 2015.
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação à Distância. Objetos de
Aprendizagem: uma proposta de recurso pedagógico. Brasília - DF: MEC, SEED, 2007.
CAMACHO, César. A Matemática e sua Relevância no Desenvolvimento do País. Palestra
proferida no auditório da PUC Minas, em 18 mar. 2015.
EDWARDS Jr., C. H.; & PENEY, D. E. Equações Diferenciais Elementares com
Problemas de Contorno. 3.ed. Rio de Janeiro, RJ: Prentice-Hall do Brasil, 1995.
FIORENTINI, D. Apresentação - Em Busca de Novos Caminhos e de Outros Olhares na
Formação de Professores de Matemática. In: FIORENTINI, D. (Org.). Formação de
107
Professores de Matemática: Explorando Novos Caminhos com Outros Olhares. Campinas,
SP: Mercado das Letras, 2003.
FIORENTINI, D.; LORENZATO, S. Invetigação em Educação Matemática. 3.ed.
Campinas, SP: Autores Associados, 2012.
FROTA, M. C. R. Estilos de aprendizagem matemática e autocontrole do processo de
aprendizagem. In: FROTA, M. C. R.; NASSER, L. Educação Matemática no Ensino
Superior: Pesquisas e Debates. Recife: SBEM, 2009. p. 59-79.
FROTA, M. C. R.; NASSER, L. Educação matemática no ensino superior: pesquisas e
debates. Recife: SBEM, 2009.
GUIMARAIS, Yara Patrícia Barral de Queiroz. Exploração de convergência em tópicos de
Cálculo Diferencial, Integral e Numérico, usando os softwares VCN e GeoGebra. 2010.
176f. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática) – Pontifícia Universidade
Católica de Minas Gerais, Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática,
Belo Horizonte, 2010.
JÚNIOR, A. J., FERNANDES, M. A., LOPES, C. R., & GHISOLFI, R. M. Informática na
Educação: elaboração de objetos de aprendizagem. Uberlândia: EDUFU, 2007.
LAUDARES, J. B.; MIRANDA, D. F. Caderno de atividades de Equações Diferenciais.
Belo Horizonte: PUC Minas / FUMARC, 2012.
LIMA, I. S. L.; CARVALHO, H. A.; JUNIOR, K. S.; SCHLÜNZEN, E. T. M. Criando
Interfaces para Objetos de Aprendizagem. In: PRATA, C. L.; NASCIMENTO, A. C. A. A.
(Org.). Objetos de Aprendizagem: Uma Proposta de Recurso Pedagógico. Brasília: MEC,
SEED, 2007.
MELO, José Manoel Ribeiro de. Conceito de Integral: Uma Proposta Computacional para
seu Ensino e Aprendizagem. 2002. 128f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) –
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, Programa de Pós-Graduação em Educação
Matemática, São Paulo, 2002.
NUNES, C. A. A. Objetos de Aprendizagem em Ação. Caderno de Pesquisa Reflexões, v.1,
n.6, 2004. Disponível em: <http://www.moodle.ufba.br/mod/resource/view.php?id=1124>.
Acesso em: 07 Ago. 2015.
ONUCHIC, L.R.; ALLEVATO, N. S. G. Formação de Professores - Mudanças urgentes na
licenciatura em matemática. In: FROTA, M. C. R.; NASSER, L. (Org.). Educação
Matemática no Ensino Superior: Pesquisas e Debates. Recife: SBEM, 2009.
POLYA, G. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 1995.
RIBAS, M. H.; CARVALHO, M. A.; ALONSO, M. Formação Continuada de Professores e
Mudança na Prática Pedagógica. In: QUELUZ, A. G.; ALONSO, M. (Org.). O Trabalho
Docente: Teoria e Prática. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003, p.47-58.
SOUZA, G. M. Uma Estratégia Metodológica para a Introdução de um Curso de
Equações Diferenciais Ordinárias. 2011. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e
Matemática) – Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais, Programa de Pós Graduação
108
em Ensino de Ciências e Matemática, Belo Horizonte, 2011.
STEINBRIG, H. The Construction of New Mathematical Knowledge in Classroom
Interaction. New York: Springer, 2005.
STEWART, J. Cálculo. 5.ed. v.2. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006.
STEWART, J. Cálculo. 6.ed. v.1. Sáo Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2010.
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL. Centro Interdisciplinar de Novas
Tecnologias na Educação. Outros Repositórios de Objetos de Aprendizagem. Disponível
em: <http://www.cinted.ufrgs.br/CESTA/repositoriosOA.html>. Acesso em: 02 nov. 2015.
WILEY, D. A. Connecting learning objects to instructional design theory: A definition, a
metaphor, and a taxonomy. In: D. A. Wiley (Ed.). The Instructional Use of Learning
Objects: Online Version. 2000. Disponível em:
<http://reusability.org/read/chapters/wiley.doc>. Acesso em: 07 Ago. 2015.
ZABALA, A. A prática educativa: como ensinar. Porto Alegre: Artmed, 1998.
ZILL, D. G. Equações Diferenciais com aplicações em modelagem. 9.ed. São Paulo:
Cengage Learning, 2011.
109
APÊNDICE – PRODUTO DA PESQUISA
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática
CADERNO DE ATIVIDADES
UM AMBIENTE DE APRENDIZAGEM PARA ABORDAGEM
INTRODUTÓRIA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
César de Oliveira Almeida
Dimas Felipe de Miranda
Belo Horizonte
2015
110
César de Oliveira Almeida
CADERNO DE ATIVIDADES
UM AMBIENTE DE APRENDIZAGEM PARA ABORDAGEM
INTRODUTÓRIA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Produto construído durante a realização de pesquisa, apresentado ao Programa
de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática da Pontifícia
Universidade Católica de Minas Gerais, como requisito parcial para obtenção
do título de Mestre em Ensino de Ciências e Matemática.
Orientador: Prof. Dr. Dimas Felipe de Miranda
Área de concentração: Matemática
Belo Horizonte
2015
111
INTRODUÇÃO
Esta obra é o produto da dissertação de Mestrado do Programa de Pós-Graduação em
Ensino de Ciências e Matemática da PUC Minas, cujo título é “Um Ambiente de Aprendizagem
para Abordagem Introdutória de Equações Diferenciais”, realizada nos anos de 2014 e 2015.
Este caderno surgiu da inquietação e necessidade de estimular o estudo e o interesse pela
importância das Equações Diferenciais para o mundo.
O objetivo principal aqui proposto é estimular os alunos e professores no aprendizado
e ensino de Equações Diferenciais que fujam da memorização e convirjam para o entendimento
das mesmas como necessária para a resolução de problemas físicos, químicos, biológicos e
áreas afins à matemática ou que de alguma maneira façam uso dela.
Assim, propõe-se através deste caderno desenvolver algumas estratégias que
estimulem a resolução de Equações Diferenciais por meio da resolução de problemas, desde
conceitos básicos, porém necessários, do Cálculo Diferencial e Integral como interdependência
de variáveis, análises de gráficos, limite de uma expressão algébrica, transição da linguagem
literal para a matemática, até conceitos e conteúdos mais elaborados como escrita e
compreensão de uma Equação Diferencial Ordinária e resolução de uma Equação Diferencial
Ordinária separável.
A estrutura deste caderno consiste em três capítulos contendo teorias e atividades que
buscam desenvolver o raciocínio e compreensão que envolvam problemas que façam uso de
Equações Diferenciais. O Caderno pode ser utilizado tanto por professores que queiram fazer a
introdução em uma disciplina de Equações Diferenciais ou relembrar esse assunto, como
também para estudantes que almejam aprimorar seus conhecimentos nessa área. Ao final,
encontram-se as resoluções de todas as atividades.
Em conjunto com o Caderno também é disponibilizado o software EDOCA, que,
também como produto dessa dissertação, serve de apoio às atividades aqui propostas.
Bons estudos!
Os autores
112
ATIVIDADE 1 – Crescimento Populacional
Objetivos
a) Explorar a função como dependência entre variáveis;
b) Explorar conceitos básicos de função assim como a sua representação gráfica;
c) Resgatar conceitos e notações do Cálculo Diferencial e Integral;
d) Introduzir e apresentar a resolução de uma ED de variáveis separáveis;
e) Apresentar o conceito de Solução Geral de uma ED e direcionar à representação
gráfica (família de curvas);
f) Apresentar o conceito de Solução Particular de uma ED utilizando condições
iniciais;
g) Desafiar o aluno a resolver um problema populacional que obedece a Lei de
Malthus, registrando todos os procedimentos e identificando os procedimentos,
conforme objetivado nos itens anteriores.
Introdução
Uma função 𝑦 = 𝑓(𝑥), segundo Stewart, é uma expressão matemática que descreve
uma situação ou fenômeno natural ou não. Nessa expressão vê-se dois tipos de variáveis: x e 𝑦.
Cada valor de 𝑦 depende diretamente ou não de cada valor de 𝑥. Dessa maneira, a variável 𝑦 é
chamada de dependente, enquanto que 𝑥 é a independente ou livre. Porém, é importante ter em
mente que em outras situações e funções as variáveis podem ser escritas com outras letras por
uma questão de melhor aproximação ou adaptação.
As variáveis estão presentes nos modelos equacionais em geral. Ela tem a
característica de possuir vários valores numéricos, uma quantidade que pode ser alterada em
cada caso ou unidade de estudo. A variável independente é definida como a que exerce
influência sobre outra variável, determinando ou afetando o resultado observado na segunda,
com precisão e regularidade. A variável dependente resume-se nos fenômenos ou fatores
explicados ou identificados, por serem influenciados ou determinados pela variável
independente.
113
1. Considere o seguinte fenômeno, em linguagem verbal.
a) Quais as variáveis
independente e dependente no fenômeno enunciado?
Dependente: ____ Independente: ____
b) Transcreva a linguagem verbal do fenômeno acima para a linguagem matemática: _______
c) Considerando a forma geral (linguagem matemática) de uma função 𝑦 = 𝑓(𝑥), como você
a transcreveria em linguagem verbal?
Linguagem verbal:
2. Frequentemente problemas que envolvem fenômenos requerem atenção especial em
relação aos seus valores iniciais e pontuais para determinadas situações. Pois, é por meio
deles que uma equação em geral é manipulada. Por exemplo, considerando 𝑦 = 𝑓(𝑥),
quando se escreve 𝑓(4) = 2 quer-se dizer que “quando 𝑥 = 4 o resultado ou imagem
encontrado será 𝑦 = 2”. Com esse pensamento, considerando o fenômeno apresentado no
início da questão 1, explique com suas palavras o significado de 𝑃(0) = 5600 e 𝑃(4) =
8000, considerando t em anos.
P(0) = 5600 _____________________________________________________________
_______________________________________________________________________
P(4) = 8000 _____________________________________________________________
_______________________________________________________________________
3. Considere o fenômeno do início da questão 1. A tendência é que a população varie de uma
forma crescente ao longo do tempo. Por exemplo, poderíamos ter: 𝑃(8) = 10400,
𝑃(12) = 12800, 𝑃(16) = 15200, ...
Em uma situação real seria possível manter essa tendência por um período de tempo
ilimitado? Justifique a sua resposta.
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
Uma população P sendo observada em função de um tempo t.
114
4. Esboce um modelo gráfico qualquer para o crescimento de uma população P qualquer ao
longo do tempo t, considerando sua resposta dada na questão 3. Explique o porquê de você
ter escolhido construir tal gráfico.
5. O incremento ou variação de uma variável é a diferença entre o maior e o menor valor
numa determinada situação. Esse incremento é representado pela letra ∆ seguido da letra
que representa a variável. Por exemplo, na Física, ∆𝑣 pode representar a variação de
velocidade de um corpo.
Voltando ao fenômeno inicialmente apresentado na questão 1, para uma dada população
de um ambiente conhecem-se as seguintes informações: 𝑃(7) = 15000 e 𝑃(10) =
12400. Então, diz-se que: para um incremento de tempo ∆𝑡 = _____ tem-se um incremento
populacional ∆𝑃 = _________. (complete os espaços em branco)
6. A taxa média é razão entre os incrementos de duas variáveis. Por exemplo, na Física,
entende-se velocidade média (ou taxa média) como a razão entre a variação da distância
percorrida e a variação do tempo passado. Considerando os elemento da questão 5, qual a
taxa média da população em relação ao intervalo dado? A taxa é positiva ou negativa? Dê
uma possível explicação para tal característica.
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
115
7. Considere 𝑇𝑚 como símbolo de uma taxa média. Utilizando a notação apresentada na
questão 5, escreva em linguagem matemática uma expressão genérica para a taxa média
populacional.
8. Compare a expressão de taxa média que você escreveu na questão anterior com
𝑇𝑚 =𝑃(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑃(𝑡)
∆𝑡
As duas são equivalentes? Explique porque.
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
9. a) Considere a variável em um certo intervalo real e esboce um modelo gráfico genérico
para representar geometricamente a expressão matemática (taxa média) da questão 8.
b) Observe o seu modelo gráfico (taxa média) do item a anterior e imagine ∆𝑡 diminuindo,
e diminuindo cada vez mais. Esse movimento faz ∆𝑡 tender para o valor _____ (complete),
e diz-se que atingiu-se uma taxa instantânea T (chamada de velocidade ou variação
instantânea ou derivada no ponto t). Então, escreva matematicamente a expressão da
questão 8 incorporada com esse movimento do ∆𝑡.
116
c) Para uma tradicional função matemática 𝑦 = 𝑓(𝑥), são símbolos da primeira derivada:
𝑦′; 𝑓′(𝑥); 𝑑𝑦
𝑑𝑥 , em que, nesse último símbolo, tem-se: no numerador a variável
_____________ e no denominador a variável _______________ (complete).
d) Escreva, para 𝑦 = 𝑓(𝑥), os símbolos das derivadas segunda, terceira e quarta, utilizando
as três notações do item c.
e) Reescreva a resposta do item b) acima com esses símbolos de derivada.
10. Existem equações que envolvem uma função desconhecida e uma ou mais de suas
derivadas. Essa equações são chamadas de Equações Diferenciais.
Exemplos:
2𝑥 − 𝑦′ = 0
3𝑦𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 4𝑦2 = 0
𝑑𝑃
𝑑𝑡= 2𝑃
𝑦′′ − 3𝑦′ = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
Um tipo dessas equações bastante simples de serem resolvidas são as EQUAÇÕES DE
VARIÁVEIS SEPARÁVEIS. Um exemplo seria a equação
𝑑𝑦
𝑑𝑥− 2𝑥 = 0
Para resolver esse tipo de equação devemos fazer como a própria classificação diz: separar
as variáveis.
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 2𝑥 → 𝑑𝑦 = 2𝑥𝑑𝑥
Com os fatores de integração 𝑑𝑦 e 𝑑𝑥 separados pode-se integrar em ambos os membros
da equação para obter-se a solução.
117
∫ 𝑑𝑦 = ∫ 2𝑥𝑑𝑥
a) Escreva abaixo os resultados das integrações do primeiro membro e do segundo membro.
(OBS: lembre-se que são integrais não definidas, logo, há constante.)
Observe que basta adicionar uma única constante “C” no segundo membro. A solução
dependente da constante C, é chamada de SOLUÇÃO GERAL da
_______________________. Toda Equação Diferencial, teoricamente, terá uma
______________________, que é o resultado da integral. A dificuldade no estudo de
Equações Diferenciais reside na separação das variáveis ou na solução da integral.
b) Na solução geral do item a substitua C por -1, 0 e 1 para obter três curvas diferentes.
Desenhe essas curvas no plano cartesiano abaixo.
c) No item acima, cada curva representa uma situação diferente. Cada uma dessas curvas é
uma SOLUÇÃO PARTICULAR da Equação Diferencial dada anteriormente. Acima
temos apenas uma pequena parcela de uma família de curvas, as quais são soluções da
equação.
118
Vê-se que a constante C pode assumir infinitos valores e teremos os pontos do plano
cartesiano pertencendo à alguma curva da família de uma dada Equação Diferencial. Em
cada ponto temos um vetor tangente, devido à derivada presente na Equação Diferencial.
Esse conjunto de vetores forma o chamado CAMPO DIREÇÃO, permitindo visualizar
“silhuetas” ou formato gráfico das curvas da família, conforme o quadro gráfico a seguir.
d) No quadro anterior, esboce a curva para C = 0 e marque nela os pontos A (1, 1), B(2, 4),
C(-1, 1) e D(-2, 4).
e) Nos pontos do item d use a derivada para marcar os vetores do campo direção nesses quatro
pontos dados.
Quando quer-se determinar uma curva especifica, são dados valores para as variáveis,
constituindo, assim, as chamadas CONDIÇÕES INICIAIS. O objetivo nesses caso é
determinar um valor para a constante e escrever a solução particular substituindo o valor
da constante encontrada. Para exemplificar essa ideia, determine a solução particular para
as condições impostas abaixo, usando a solução geral encontrada em 10-a.
iii) Para x = 1 tem-se y = 2
iv) 𝑓(3) = 1.
119
11. Voltando ao exemplo do crescimento populacional, tem-se que o crescimento de uma
população com o passar de um tempo obedece a lei de Malthus (1803).
𝑑𝑃
𝑑𝑡= 𝑘𝑃
Onde P é a população, t, o tempo e K, a constante de proporcionalidade.
Em linguagem verbal essa equação significa um fenômeno em que: “a taxa de variação
(𝒅𝑷
𝒅𝒕) de uma população (P) com o passar de um tempo (t) é proporcional (k vezes) ao
tamanho daquela população”.
Para resolver uma Equação Diferencial, tenta-se separar as variáveis. Há casos em que isso
não será possível e recorre-se a outros processos. Mas, no caso:
𝑑𝑃
𝑃= 𝑘𝑑𝑡
a) Utilize o mesmo raciocínio da questão 10 para obter a solução geral dessa Equação
Diferencial.
b) Sabe-se que em um pote há inicialmente uma população de 10 000 bactérias. Após uma
hora a quantidade de bactérias dobrou. Determine a solução particular para essa situação,
usando o modelo populacional encontrado na questão 11-a.
120
c) Esboce o gráfico que representa a situação acima.
d) Esboce, no mesmo sistema cartesiano do item c, mais duas curvas para uma mesma
população inicial, admitindo valores para a quantidade de bactérias em tempo diferentes.
Utilize o quadro abaixo para eventuais cálculos, caso necessário.
e) Os gráficos do item d relatam o fenômeno de populações que crescem exponencialmente e
de forma ilimitada, ao longo do tempo (expressado matematicamente pela lei de Malthus).
Mas, é possível manter na vida real essa tendência por um tempo ilimitado? Explique.
OBS: o biólogo Verhulst (1838) modificou a lei de Malthus, adaptando-a à realidade.
Isso será abordado a frente.
121
AGORA, ALGUMAS QUESTÕES PROPOSTAS
(Resolva-as em folha separada)
1) Inicialmente, vá em Stewart (6ª edição), página 363, e copie o Teorema Fundamental do
Cálculo.
2) Usando o conceito de antiderivada e mostre que:
d) ∫ 4𝑥3𝑑𝑥 = 𝑥4 + 𝑐 (se precisar, consulte Stewart)
e) ∫1
𝑥𝑑𝑥 = ln(𝑥) + 𝑐
f) ∫ sec2(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑡𝑔(𝑥) + 𝑐
3) Use o Teorema Fundamental do Cálculo para resolver a integral ∫ (𝑥 − 1)𝑑𝑥3,0
0,0
Verifique, graficamente, se o resultado dessa integral pode ser interpretado como área.
Escreva resumidamente, o que você sabe sobre o resultado numérico de uma integral e o
conceito de área. (Se precisar, consulte Stewart)
4) Determine a solução geral (integral) de cada Equação Diferencial abaixo.
d) 𝑒5𝑥 − 𝑦′ = 0 (ver página 378, exemplo 4)
e) 𝑦′ − 𝑥3 cos(𝑥4 + 2) = 0 (ver página 377, exemplo 1)
(𝑥2 − 4)𝑑𝑦 − 𝑑𝑥 = 0 (ver página 449, exemplo 3)
122
ATIVIDADE 2 – Modelo Logístico
Objetivos
a) Retomar o modelo populacional apresentado na atividade 1 e introduzir um outro
modelo mais realístico mas que também busca apoio nas Equações Diferenciais;
b) Desafiar o estudante a resolver a Equação Diferencial logística;
c) Mostrar que esse modelo exige um limite populacional e como determiná-lo;
d) Representar graficamente esse modelo;
e) Determinar uma solução particular que envolva esse modelo.
Introdução
Em torno de 1803, Malthus propôs a lei, que vimos anteriormente: “uma população
cresce ao longo do tempo a uma taxa proporcional à população em cada instante”, que se traduz
pela Equação Diferencial: dP
dt= KP
Vimos que na vida real, esse modelo matemático não representa o fenômeno para um
tempo muito longo. Em 1838, Verhulst propôs um modelo de crescimento populacional, que
foi baseado em avaliações de estatísticas disponíveis e complementado pela teoria do
crescimento exponencial, a qual considera os fatores de inibição de crescimento. A nova
equação, chamada de equação logística, de acordo com o livro de Cálculo do Edward Penney,
pode ter a forma: dP
dt= KP(M − P).
Veja que é a equação de Malthus, ligeiramente alterada, isto é, multiplicada por um fator
com função redutora: a diferença entre M (população suporte, limite ou limitante do
crescimento) e P (população presente) tende a diminuir ao longo do tempo. O parâmetro M é
um valor hipotético, um referencial assintótico, do qual a população tende a se aproximar, em
situação normal.
123
1) A equação de Verhulst, acima, é uma Equação Diferencial. Resolva-a, encontrando a
solução geral na forma 𝑃 = 𝑓(𝑡).
2) Suponha uma população inicial P0 = 20, ou seja, quando t = 0 então P = 20. Encontre a
solução particular escrevendo 𝑃(𝑡) em função de k, M e t.
3) Considerando a questão 2, qual o resultado para lim𝑡→∞
𝑃(𝑡)? Interprete o resultado obtido.
124
4) Vamos construir o gráfico P x t referente a expressão P(t) determinada no item anterior.
5) Determine os pontos de inflexão do gráfico. Lembre-se que já é conhecida a expressão para 𝑑𝑃
𝑑𝑡.
6) Utilize o plano cartesiano abaixo para desenhar o esboço do gráfico P x t para t > 0.
7) Suponha que em 1885 a população de um certo país era de 50 milhões e estava crescendo
à taxa de 750 000 pessoas por ano naquela época. Suponha também que em 1940 sua
população era de 100 milhões e que crescia então à taxa de 1 milhão por ano. Assuma que
esta população satisfaça a equação logística. Determine tanto a população limite M quanto
a população prevista para o ano 2000.
125
ATIVIDADE 3 – Lei do resfriamento/aquecimento de Newton
Objetivos
a) Apresentar o modelo da Lei de Resfriamento/Aquecimento de Newton e sua relação
com as Equações Diferenciais;
b) Retomar conceitos e símbolos matemáticos que servem de base para as Equações
Diferenciais;
c) Mostrar que a temperatura de um corpo tende à temperatura de um ambiente em
que aquele é inserido, considerando o corpo a uma temperatura maior do que a do
ambiente;
d) Representar graficamente esse modelo;
e) Determinar uma solução particular que envolva esse modelo;
f) Desafiar a intuir os mesmo acontecimentos com um corpo a uma temperatura menor
do que a do ambiente em que aquele é inserido.
Introdução
A terceira atividade procura desenvolver o entendimento da Lei de Newton do
resfriamento/aquecimento de um corpo. Essa lei diz que:
a taxa segundo qual a temperatura de um corpo varia é proporcional à diferença entre
a temperatura do corpo e a temperatura do meio que o rodeia, denominada temperatura
ambiente. Se 𝑇(𝑡) representa a temperatura de um corpo no instante 𝑡, 𝑇𝑚 a
temperatura do meio que o rodeia e 𝑑𝑇
𝑑𝑡 a taxa segundo a qual a temperatura do corpo
varia, a lei de Newton do esfriamento/aquecimento é convertida na sentença
matemática2
𝑑𝑇
𝑑𝑡∝ 𝑇 − 𝑇𝑚 𝑜𝑢
𝑑𝑇
𝑑𝑡= 𝑘(𝑇 − 𝑇𝑚)
2 ZILL, Dennis G., 2011, p.22.
126
1. Observe o fenômeno a seguir.
Uma substância a uma temperatura T
variando ao passar de um tempo t.
a) Quais as varáveis do fenômeno descrito acima?
b) Destas duas variáveis qual é a dependente e qual é a independente?
Dependente: _____ Independente: _____
2. A lei de Newton diz que: “a velocidade de resfriamento/aquecimento da temperatura T de
um corpo em função de um tempo t, colocado em um ambiente, é proporcional à diferença
entre a temperatura T do corpo e do ambiente TA”.
a) Circule a(s) opção(ões) abaixo uma possível representação da velocidade (variação) de
uma temperatura T em um tempo t?
b) Agora, escreva a Equação Diferencial que representa esse fenômeno descrito no início da
questão 2 (lei de Newton).
c) Com base na equação descrita acima, responda:
(iii) A temperatura ambiente influencia na mudança de temperatura de um corpo? _____
(iv) O que acontece quando um corpo é inserido em um ambiente com uma temperatura
diferente da sua?
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
3. Utilize o método de separação de variáveis e resolva a Equação Diferencial encontrada na
questão 2-b, substituindo a temperatura ambiente por 25°C.
𝑑𝑇
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑇
dT - dt ∆𝑇
∆𝑡
𝑑2𝑇
𝑑𝑡2
127
4. Suponha que um corpo tenha uma temperatura inicial igual a 37°C. Se após 1 minuto a
temperatura passa a ser de 31°C, determine a solução particular. OBS: procure substituir
os valores citados na solução geral determinada na questão 3.
5. Para a solução encontrada na questão 4, qual é o melhor gráfico que a representa?
Justifique.
128
Justificativa
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
6. Na questão 3 foi apresentada a matematização do resfriamento/aquecimento de um corpo.
Com o valor do parâmetro k encontrado com a situação particular (equação 4) tem-se a
equação
𝑑𝑇
𝑑𝑡= −0,6931(𝑇 − 25)
Aponte o melhor gráfico que representa essa Equação Diferencial.
Justificativa
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
129
7. Utilizando o mesmo raciocínio das questões 5 e 6, explique e faça esboços sobre o
comportamento de um corpo que sua temperatura inicial fosse menor do que a temperatura
ambiente.
130
ATIVIDADE 4 – Estudo informatizado
Em consonância com as atividades apresentadas nesse bloco de atividades, há um
software denominado EDOCA – Equações Diferenciais Ordinárias com Cálculo.
Esse software foi construído com o objetivo de informatizar as atividades do bloco,
agindo como suporte para estudos mais dinâmicos e que produzam respostas instantâneas.
Na tela inicial é possível inserir o email do estudante e do professor para que as
respostas das questões sejam enviadas para ambos. Assim como também há a possibilidade de
que o estudante, ao finalizar o estudo, salve suas respostas na máquina em que estiver realizando
as atividades.
131
Na guia arquivos, é possível transitar entre todas as questões de todas as atividades.
Basta que uma questão de alguma atividade seja selecionada de acordo com a necessidade.
A maioria das atividades concede um suporte teórico em que o estudante pode
consultar sem perder a essência de uma atividade que testa os conhecimentos. O suporte teórico
sempre aparece no lado direito da tela, enquanto que as questão estarão no lado esquerdo.
132
SOLUÇÕES DAS QUESTÕES DAS ATIVIDADES
ATIVIDADE 1
1. a) dependente: P; independente: t.
b) 𝑃 = 𝑓(𝑡)
c) Uma variável dependente y está em função de uma variável independente x. Ou uma
quantidade y varia de acordo com uma quantidade x.
2. a) No tempo t = 0 (inicial), a população é de 5600 habitantes.
b) No tempo t = 4, a população é de 8000 habitantes. Ou após 4 anos, a população passou
a ser de 8000 habitantes.
3. Não. Uma população não cresce ilimitadamente por vários motivos. Esses motivos
podem ser desde limitações espaciais a limitadores biológicos como doenças.
4. Um possível gráfico é quando uma população por um determinado tempo cresce de
maneira exponencial. Muitas populações antes de se depararem com algum limite
crescem dessa maneira. Porém, isso não significa que seja o único gráfico ou um gráfico
determinante para essa questão, já que uma população pode também ser representada
de forma decrescente dependendo da situação.
5. ∆𝑡 = 3 e ∆𝑃 = −2600
6. Taxa média = ∆𝑃
∆𝑡= −
2600
3= −866,67. A taxa é negativa, logo isso significa que nesse
intervalo de tempo houve decrescimento do número de indivíduos dessa população.
7. 𝑇𝑚 =∆𝑃
∆𝑡=
𝑃2−𝑃1
𝑡2−𝑡1
8. Sim. Observa-se que ∆𝑡 = 𝑡2 − 𝑡1 → 𝑡2 = ∆𝑡 + 𝑡1. Logo, 𝑃(𝑡2) = 𝑃(∆𝑡 + 𝑡1). Então,
usando a notação descrita na questão7, tem-se,
𝑇𝑚 =∆𝑃
∆𝑡=
𝑃(𝑡2) − 𝑃(𝑡1)
𝑡2 − 𝑡1=
𝑃(∆𝑡 + 𝑡1) − 𝑃(𝑡1)
𝑡2 − 𝑡1
Logo, é possível verificar que as duas expressões são equivalentes se houve uma
mudança de variável de 𝑡1 para 𝑡.
133
9. a)
b) 0 (zero).
lim∆𝑡→0
𝑇𝑚 = lim∆𝑡→0
𝑃(∆𝑡 + 𝑡) − 𝑃(𝑡)
∆𝑡
c) Dependente. Independente.
d) 𝑦′′; 𝑓′′(𝑥);𝑑2𝑦
𝑑𝑥2 . 𝑦′′′; 𝑓′′′(𝑥);𝑑3𝑦
𝑑𝑥3 . 𝑦(4); 𝑓(4)(𝑥);𝑑4𝑦
𝑑𝑥4.
e) lim∆𝑡→0
𝑃(∆𝑡+𝑡)−𝑃(𝑡)
∆𝑡= 𝑃′ = 𝑃′(𝑡) =
𝑑𝑃
𝑑𝑡
10. a) ∫ 𝑑𝑦 = 𝑦 + 𝐶1. ∫ 2𝑥𝑑𝑥 = 𝑥2 + 𝐶2. 𝑦 = 𝑥2 + 𝐶. Equação Diferencial. Solução.
b)
d)
134
e)
f) (i) 𝑦 = 𝑥2 + 1; (ii) 𝑦 = 𝑥2 − 8.
11. a) 𝑃 = 𝐶 ∙ 𝑒𝑘𝑡, em que C e K são constantes
reais.
b) 𝑃(𝑡) = 10000 ∙ 2𝑡
c)
d)
e) Não, pois existem fatores externos que influenciam no crescimento de uma população
limitando-a de alguma maneira. Essa limitação pode ser dada pelo próprio espaço em
que a população está localizada como conflitos entre outras populações (predador-
presa).
135
ATIVIDADE 2
1. 𝑃(𝑡) =𝑎∙𝑀∙𝑒𝑘𝑀𝑡
𝑎∙𝑒𝑘𝑀𝑡+1=
𝑎𝑀
𝑎+𝑒−𝑘𝑀𝑡, em que a, K e M são constantes.
2. .
𝑃(𝑡) =(
20𝑀𝑀 − 20) 𝑒𝑘𝑀𝑡
(20
𝑀 − 20) 𝑒𝑘𝑀𝑡 + 1=
(20𝑀
𝑀 − 20)
(20
𝑀 − 20) + 𝑒−𝑘𝑀𝑡=
20𝑀
(𝑀 − 20)𝑒𝑘𝑀𝑡 + 1
3. lim∆𝑡→0
𝑃(𝑡) = 𝑀. A constante M é o limite que uma população consegue atingir de acordo
com a Teoria de Vehulst.
4. Como 𝑑𝑃
𝑑𝑡= 𝑘𝑃(𝑀 − 𝑃), então
𝑑2𝑃
𝑑𝑡2 = 𝑘𝑀 − 2𝑃. Logo, o ponto de inflexão fica em 𝑃 =𝑘𝑀
2.
5. 153,7 milhões de pessoas.
136
ATIVIDADE 3
1. a) Temperatura T e tempo t.
b) Dependente: T e independente: t.
2. a) 𝑑𝑇
𝑑𝑡
b) 𝑑𝑇
𝑑𝑡= 𝑘(𝑇 − 𝑇𝐴), em que k é uma constante real.
c) (i) sim. (ii) A temperatura do corpo tende a entrar em equilíbrio com a temperatura
ambiente com o passar do tempo.
3. 𝑇 = 𝐶 ∙ 𝑒𝑘𝑡 + 25, em que C é uma constante real.
4. 𝑇 = 12 ∙ (1
2)
𝑡
+ 25
5. O primeiro gráfico retrata melhor a situação, pois a função 𝑇 = 12 ∙ (1
2)
𝑡
+ 25 é do tipo
exponencial descente com limite inferior em T = 25°C.
6. O segundo gráfico retrata melhor a situação, pois a equação 𝑑𝑇
𝑑𝑡=
−0,6931(𝑇 − 25) é do tipo linear em que -0,6931 é o coeficiente angular.
7. .
Como a temperatura do corpo é menor do que a temperatura ambiente, a sua tendência é aquecer
até atingir o equilíbrio entre as duas.
Como a velocidade de aquecimento do corpo depende da temperatura de forma diretamente
proporcional, o gráfico é um segmento de reta crescente com ponto inicial na temperatura inicial
do corpo e ponto final na temperatura ambiente.