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PONTIFCIA UNIVERSIDADE CATLICA DE SO PAULO
PUC/SP
TALITA CARVALHO SILVA DE ALMEIDA
SLIDOS ARQUIMEDIANOS E CABRI 3D: UM ESTUDO
DE TRUNCATURAS BASEADAS NO RENASCIMENTO
MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMTICA
So Paulo
2010
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TALITA CARVALHO SILVA DE ALMEIDA
SLIDOS ARQUIMEDIANOS E CABRI 3D: UM ESTUDO
DE TRUNCATURAS BASEADAS NO RENASCIMENTO
Dissertao apresentada Banca Examinadora
da Pontifcia Universidade Catlica de So Paulo,
como exigncia parcial para obteno do ttulo de
MESTRE EM ENSINO DE MATEMTICA, sob a
orientao da Professora Doutora Maria Jos
Ferreira da Silva.
PUC/SP
2010
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Banca Examinadora
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
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Autorizo, exclusivamente para fins acadmicos e cientficos, a reproduo total
ou parcial desta Dissertao por processos de foto copiadoras ou eletrnicos.
Assinatura: _________________________So Paulo e Data: _________
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Dedico este trabalho aos meus pais, Henrique e
Eliana, pelo amor, compreenso, pacincia e
incentivo sempre.
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AGRADECIMENTOS
Primeiro agradeo a DEUS e aos meus anjos da guarda,
pela fora, pela proteo e pela oportunidade de iniciar
e concluir esta importante etapa de minha vida.
A querida Professora Doutora Maria Jos Ferreira da
Silva, pela orientao, apoio e amizade.
Ao Professor Mestre Mrio Thomaz (in memorian), por
ter me estimulado a iniciar o mestrado.
Aos membros da banca, Professores Doutores Iran
Abreu Mendes e FumiKazu Saito, pelas valiosas
sugestes e contribuies para essa pesquisa.
Ao corpo docente do Programa de Estudos Ps-
Graduados em Educao Matemtica da PUC-SP,
especialmente, aos Professores Doutores Saddo Ag
Almouloud, Benedito Antonio da Silva, Cileda de
Queiroz e Silva Coutinho e Sandra Maria Pinto Magina.
A todos os Funcionrios do Centro de Cincias Exatas
da PUC-SP, especialmente ao Francisco, pela amizade e
pela ajuda final na formatao da dissertao.
Aos amigos do Programa de Estudos de Ps-Graduados
em Educao Matemtica, Juliana, Rosana, Pimenta, Ana
Lcia, Edna, Gilson, Victria, Patrcia, Ivete e Aida.
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A querida amiga Victria, pela amizade, apoio e
sugestes preciosas.
Aos meus amados pais, Henrique e Eliana, por me
proporcionarem condies para estudar.
A minha av Margarida, meu amor incondicional.
Ao meu namorado rico, pelo amor e apoio sempre.
Ao meu tio Roberto, pelo carinho, amizade, apoio e
acolhida nessa fase de minha vida.
A minha irm Thais; meu cunhado Sandy; minhas tias
Thereza, Alzira e Ulcirene; minhas primas Paloma, Ana
Paula e Nayana. E a todos os meus familiares, por
acreditarem em mim e por estarem sempre ao meu lado.
A CAPES, pela concesso da bolsa de estudos.
A todas as pessoas que, de certa forma, contriburam
para a realizao desta pesquisa.
A Autora
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RESUMO
O presente trabalho tem como objetivo revisitar o objeto matemtico Slidos
Arquimedianos por meio de suas construes no ambiente de Geometria
Dinmica Cabri 3D. Assim, a pergunta de pesquisa foi: o objeto matemtico
Slidos Arquimedianos pode ser resgatado como objeto de ensino para a Escola
Bsica, utilizando como habitat o ambiente de Geometria Dinmica Cabri 3D?
Para investigar processos de construo para esses slidos, recorremos a um
estudo bibliogrfico desenvolvido com base em material j elaborado, constitudos
principalmente de livros e artigos cientficos. O referencial terico baseou-se na
Transposio Didtica e na Problemtica Ecolgica de Yves Chevallard (1991),
para promover a articulao entre a anlise epistemolgica e a anlise didtica,
alm de apontar caractersticas outras que determinam a sobrevivncia do objeto
matemtico Slidos Arquimedianos enquanto objeto de ensino, e na teoria dos
Registros de Representao Semitica de Duval (1995), para identificar e analisar
quais os registros mobilizados para a construo desses slidos, bem como
evidenciar os tratamentos e converses efetuados. A escolha metodolgica pela
pesquisa bibliogrfica contribuiu para o alcance do objetivo desejado, visto que
nos permitiu encontrar um procedimento matemtico realizado por renascentistas
para a obteno de arquimedianos a partir de cortes nas arestas de slidos
platnicos. As anlises das construes realizadas ajudaram a perceber que os
tratamentos apenas figurais no so suficientes para a construo dos Slidos
Arquimedianos no Cabri 3D, faz-se necessrio mobilizar um registro discursivo
suporte para que os pontos de corte em slidos platnicos possam ser
encontrados. Nesse sentido, constatamos que o Cabri 3D se confirmou como um
habitat para o estudo dos Slidos Arquimedianos, na medida em reconheceu
como objeto todos os saberes que determinam a existncia desse objeto
matemtico enquanto objeto de ensino.
Palavras-Chave: Slidos Arquimedianos. Cabri 3D. Transposio Didtica.
Registros de Representao Semitica.
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ABSTRACT
This research aims to revisit the mathematical object Archimedean Solids through
their constructions on the environment of Dynamic Geometry Cabri 3D. Thus, the
research question was: Can the mathematical object Solids Archimedean be
rescued as the object of education for the Basic School using the environment as
habitat Dynamic Geometry Cabri 3D? To investigate processes of construction for
these solid, we resort to a bibliographic developed based on material already
prepared, consisting of books and scientific articles. The theoretical framework
was based on the Theory of Didactic Transposition to promote the relationship
between the epistemological analysis and didactic analysis, while identifying
characteristics that determine the survival of the Archimedean Solids mathematical
object as the object of education, and the theory of Register of Representation
Semiotics of Duval (1995), to identify and analyze the register mobilized for the
construction of solid as well as highlight treatments and conversions made. The
methodological choice for literature contributed to the achievement of the desired
goal, since it allowed us to find a mathematical procedure performed by
Renaissance to obtain Archimedean from cut edges of Platonic solids. The
analysis of the constructions helped us realize that the only figural treatments are
not sufficient for the construction of the Archimedean solids in Cabri 3D, it is
necessary to mobilize a record discursive support for the cut-off points on Platonic
solids can be found. Accordingly, we find that Cabri 3D was confirmed as a habitat
for the study of Archimedean Solids, because recognized as an object all the
knowledge that determine the existence of mathematical object as an object of
education.
Key-words: Archimedean Solids. Cabri 3D. Didactic Transposition. Register of
Representation Semiotics.
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LISTA DE FIGURAS
Figura 1. Representao de poliedro como slido, superfcie e estrutura. ....................... 23
Figura 2. Planificao da superfcie de um poliedro. ....................................................... 23
Figura 3. Planificaes de superfcies de poliedros. ........................................................ 24
Figura 4. Poliedro convexo e poliedro no-convexo. ....................................................... 25
Figura 5. Elementos de um poliedro ................................................................................ 27
Figura 6. Diferentes tipos de ngulos. ............................................................................. 28
Figura 7. Definio de Slidos Arquimedianos. ............................................................... 38
Figura 8. Exemplo de poliedros arquimedianos. .............................................................. 39
Figura 9. Prisma e Antiprisma retos regulares. ................................................................ 40
Figura 10. Arquimedianos estudados em Geometria Prtica. .......................................... 42
Figura 11. Slidos considerados arquimedianos. ............................................................ 42
Figura 12. Caixa de ferramentas poliedros. ..................................................................... 48
Figura 13. Caixa de ferramentas poliedros regulares ...................................................... 48
Figura 14. Tetraedro regular ............................................................................................ 49
Figura 15. Caixa de medidas. .......................................................................................... 49
Figura 16. Comprimento do segmento AB. ...................................................................... 49
Figura 17. Ferramenta ponto mdio. ............................................................................... 50
Figura 18. Ponto mdio da aresta do prisma. .................................................................. 50
Figura 19. Ferramenta plano. .......................................................................................... 50
Figura 20. Plano de seco. ............................................................................................ 51
Figura 21. Ferramenta recorte de poliedro ...................................................................... 51
Figura 22. Recorte de poliedro. ....................................................................................... 51
Figura 23. Ferramenta planificao. ................................................................................ 52
Figura 24. Ferramenta abrir poliedro. .............................................................................. 52
Figura 25. Planificao da superfcie do dodecaedro regular. ......................................... 52
Figura 26. Diferentes tratamentos. .................................................................................. 71
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Figura 27. Diferentes converses. ...................................................................................72
Figura 28. Slidos de Plato. ...........................................................................................81
Figura 29. Descrio de Pappus sobre os slidos arquimedianos. ..................................83
Figura 30. Tetraedro truncado e cuboctaedro. .................................................................87
Figura 31. Escrito de Piero della Francesca de um Tetraedro truncado. ..........................88
Figura 32. Escrito de Piero della Francesca de um Cuboctaedro. ....................................88
Figura 33. Hexgono regular a partir de um tringulo eqiltero. .....................................89
Figura 34. Tetraedro truncado, octaedro truncado, icosaedro truncado. ..........................89
Figura 35. Cubo truncado e Dodecaedro truncado. .........................................................90
Figura 36. Desenho de Leonardo da Vinci do Icosidodecaedro. ......................................91
Figura 37. Desenho de Leonardo da Vinci do Rombicuboctaedro....................................91
Figura 38. Icosidodecaedro e rombicuboctaedro. ............................................................92
Figura 39. Cuboctaedro truncado e cubo achatado. ........................................................93
Figura 40. Planificao da superfcie do cubo achatado. .................................................94
Figura 41. Construo do cubo achatado a partir do cubo. ..............................................94
Figura 42. Rombicosidodecaedro e icosidodecaedro truncado. .......................................95
Figura 43. Estrutura de poliedros em madeira. ................................................................97
Figura 44. Planificao de superfcie de poliedros em madeira. ......................................98
Figura 45. Dodecaedro achatado. ....................................................................................99
Figura 46. Superfcie de um dodecaedro achatado em madeira. .....................................99
Figura 47. Mistrio Cosmogrfico de Kepler. ................................................................. 101
Figura 48. Classificao de poliedros de Kepler ............................................................ 102
Figura 49. Exemplo Lema 2(i). ....................................................................................... 104
Figura 50. Exemplo Lema 2(ii). ...................................................................................... 105
Figura 51. Dois tipos de vrtices de mesma espcie ..................................................... 106
Figura 52. Slidos Arquimedianos. ................................................................................ 121
Figura 53. Rombicuboctaedro e pseudo rombicuboctaedro. .......................................... 123
Figura 54. Slidos Arquimedianos obtidos por truncaturas. ........................................... 127
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Figura 55. Arquimedianos obtidos por truncaturas modificadas. .................................... 128
Figura 56. Truncamento tipo 1. ...................................................................................... 129
Figura 57. Truncamento tipo 2. ...................................................................................... 129
Figura 58. Eliminao do canto do tetraedro, do cubo e do dodecaedro. ...................... 130
Figura 59. Eliminao do canto do octaedro. ................................................................. 130
Figura 60. Eliminao do canto do icosaedro. ............................................................... 130
Figura 61. Cuboctaedro gerado a partir do cubo ou octaedro. ....................................... 131
Figura 62. Icosidodecaedro a partir do dodecaedro ou icosaedro. ................................ 131
Figura 63. Face hexagonal. ........................................................................................... 132
Figura 64. Pontos de corte no tringulo. ........................................................................ 133
Figura 65. Face octogonal. ............................................................................................ 133
Figura 66. Pontos de corte no quadrado. ...................................................................... 134
Figura 67. Face decagonal. ........................................................................................... 135
Figura 68. Pontos de corte no pentgono. ..................................................................... 135
Figura 69. Circunferncia circunscrita ao decgono. ..................................................... 136
Figura 70. Tringulo 1. .................................................................................................. 137
Figura 71. Tringulo 1. .................................................................................................. 137
Figura 72. Ferramenta cubo. ......................................................................................... 141
Figura 73. Cubo............................................................................................................. 141
Figura 74. Pontos mdios das arestas do cubo. ............................................................ 142
Figura 75. Plano de seco (cubo). ............................................................................... 142
Figura 76. Eliminao do canto do cubo. ....................................................................... 143
Figura 77. Cuboctaedro. ................................................................................................ 143
Figura 78. Ferramenta octaedro regular. ....................................................................... 143
Figura 79. Octaedro Regular. ........................................................................................ 144
Figura 80. Pontos mdios das arestas do octaedro regular. .......................................... 144
Figura 81. Plano de seco (octaedro regular). ............................................................. 144
Figura 82. Eliminao do canto do octaedro regular. ..................................................... 145
-
Figura 83. Ferramenta dodecaedro regular. ................................................................... 145
Figura 84. Dodecaedro regular. ..................................................................................... 146
Figura 85. Pontos mdios das arestas do dodecaedro regular. ..................................... 146
Figura 86. Plano de seco (dodecaedro regular). ........................................................ 146
Figura 87. Eliminao do canto do dodecaedro regular. ................................................ 147
Figura 88. Icosidodecaedro ............................................................................................ 147
Figura 89. Ferramenta icosaedro regular. ...................................................................... 148
Figura 90. Icosaedro Regular. ........................................................................................ 148
Figura 91. Pontos mdios das arestas do dodecaedro regular. ..................................... 148
Figura 92. Plano de seco (dodecaedro regular). ........................................................ 149
Figura 93. Eliminao do canto do icosaedro regular. .................................................... 149
Figura 94. Face triangular ABC. ..................................................................................... 152
Figura 95. Ferramenta tetraedro regular. ....................................................................... 153
Figura 96. Tetraedro regular. ......................................................................................... 153
Figura 97. Arestas do tetraedro divididas em trs partes congruentes. .......................... 153
Figura 98. Plano de seco (tetraedro regular). ............................................................. 154
Figura 99. Eliminao do canto do tetraedro regular. ..................................................... 154
Figura 100. Tetraedro truncado. .................................................................................... 155
Figura 101. Ferramenta octaedro regular. ...................................................................... 155
Figura 102. Octaedro regular. ........................................................................................ 155
Figura 103. Arestas do octaedro dividas em trs partes congruentes. ........................... 156
Figura 104. Plano de seco (octaedro regular) ............................................................ 156
Figura 105. Eliminao do canto do octaedro regular. ................................................... 157
Figura 106. Octaedro truncado. ..................................................................................... 157
Figura 107. Ferramenta icosaedro regular. .................................................................... 157
Figura 108. Icosaedro regular. ....................................................................................... 158
Figura 109. Arestas do icosaedro dividas em trs partes iguais. .................................... 158
Figura 110. Plano de seco (icosaedro regular). .......................................................... 158
-
Figura 111. Eliminao do canto do icosaedro regular. ................................................. 159
Figura 112. Icosaedro truncado. .................................................................................... 159
Figura 113. Tringulo eqiltero. ................................................................................... 160
Figura 114. Ferramenta comprimento. .......................................................................... 163
Figura 115. Comprimento da aresta (cubo). .................................................................. 163
Figura 116. Ferramenta calculadora. ............................................................................. 163
Figura 117. Inserindo expresso na calculadora (cubo truncado). ................................. 164
Figura 118. Transferncia de medida para a aresta do cubo. ........................................ 164
Figura 119. Plano de seco (cubo II) ........................................................................... 164
Figura 120. Eliminao do canto do cubo II. .................................................................. 165
Figura 121. Cubo truncado. ........................................................................................... 165
Figura 122. Converso entre os registros figural e algbrico. ........................................ 166
Figura 123. Inserindo a expresso na calculadora (dodecaedro truncado). ................... 168
Figura 124. Transferncia de medida para a aresta do dodecaedro regular. ................. 168
Figura 125. Plano de seco (dodecaedro regular II). ................................................... 169
Figura 126. Eliminao do canto do dodecaedro regular II. ........................................... 169
Figura 127. Dodecaedro truncado. ................................................................................ 169
Figura 128. Ferramenta transferncia de Medidas. ....................................................... 184
Figura 129. Transferindo medidas. ................................................................................ 184
Figura 130. Ferramentas distncia e comprimento. ....................................................... 185
Figura 131. Calculadora. ............................................................................................... 185
Figura 132. Ferramenta semi-reta. ................................................................................ 186
Figura 133. Criao semi-reta. ...................................................................................... 186
Figura 134. Ferramenta ponto. ...................................................................................... 187
Figura 135. Ponto 1 na semi-reta. ................................................................................. 187
Figura 136. Ferramenta esfera. ..................................................................................... 187
Figura 137. Ponto 2 e ponto 3 na semi-reta. .................................................................. 188
Figura 138. Ferramenta segmento. ............................................................................... 188
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Figura 139. Criao segmento. ...................................................................................... 188
Figura 140. Ferramenta paralela. ................................................................................... 189
Figura 141. Criao paralelas. ....................................................................................... 189
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LISTA DE QUADROS
Quadro 1. Recursos do Cabri 3D. ................................................................................... 53
Quadro 2. Nmeros de tringulos eqilteros que podem concorrer em um vrtice. ....... 80
Quadro 3. Nmeros de quadrados que podem concorrer em um vrtice. ........................ 80
Quadro 4. Nmeros de pentgonos regulares que podem concorrer em um vrtice. ...... 80
Quadro 5. Caractersticas Poliedros de Plato. ............................................................... 82
Quadro 6. Descrio de Pappus sobre os slidos arquimedianos. .................................. 84
Quadro 7. Slidos Arquimedianos no Renascimento. ...................................................... 96
Quadro 8. Tipos de vrtices que no formam um ngulo slido. ................................... 104
Quadro 9. Possibilidades de ngulos slidos formados por um polgono de quatro lados e
no mximo quatro polgonos de trs lados. ................................................................... 107
Quadro 10. Possibilidades de ngulos slidos formados por dois polgonos de quatro
lados e dois polgonos de trs lados.............................................................................. 108
Quadro 11. Possibilidades de ngulos slidos formados por trs polgonos de quatro
lados e dois polgonos de trs lados. ............................................................................. 109
Quadro 12. Possibilidades de ngulos slidos formados por um polgono de cinco lados e
no mximo quatro polgonos de trs lados.. .................................................................. 109
Quadro 13. Possibilidades de ngulos slidos formados por dois polgonos de cinco lados
e no mximo dois polgonos de trs lados.. ................................................................... 110
Quadro 14. Possibilidades de ngulos slidos formados por um polgono de seis lados e
no mximo trs polgonos de trs lados. ....................................................................... 111
Quadro 15. Possibilidades de ngulos slidos formados por dois polgonos de seis lados
e um polgono de trs lados. ......................................................................................... 112
Quadro 16. Possibilidades de ngulos slidos formados por um polgono de sete ou mais
lados e trs lados. ......................................................................................................... 113
Quadro 17. Possibilidades de ngulos slidos formados por mais de um polgono de sete
ou mais lados e trs lados. ............................................................................................ 114
Quadro 18. Possibilidades de ngulos slidos formados por polgonos de quatro lados e
cinco ou mais lados. ...................................................................................................... 115
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Quadro 19. Possibilidades de ngulos slidos formados por polgonos de cinco lados e
seis ou mais lados. ........................................................................................................ 116
Quadro 20. Possibilidades de ngulos slidos formados por um polgono de quatro lados,
dois polgonos de trs lados e um polgono de cinco ou mais lados. ............................. 117
Quadro 21. Possibilidades de ngulos slidos formados por dois polgonos de quatro
lados e um polgono de cinco ou mais lados. ................................................................. 118
Quadro 22. Possibilidades de ngulos slidos formados por trs polgonos que no so
de trs lados. ................................................................................................................. 119
Quadro 23. Pseudo Rombicuboctaedro. ........................................................................ 122
Quadro 24. Caractersticas numricas dos arquimedianos estudados. .......................... 172
Quadro 25. Caractersticas numricas a partir do tipo de truncamento. ......................... 174
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SUMRIO
CONSIDERAES INICIAIS .................................................................................................... 18
CAPITULO 1 ESTUDOS PRELIMINARES .......................................................................... 22
1.1 IDIA DE POLIEDRO ......................................................................................................... 22
1.2 ALGUNS ESTUDOS EM GEOMETRIA ESPACIAL......................................................... 28
1.3 OS POLIEDROS NOS DOCUMENTOS OFICIAIS ............................................................ 34
1.4 OS SLIDOS ARQUIMEDIANOS EM MATERIAIS DIDTICOS .................................. 38
1.5 DESENHO GEOMTRICO E GEOMETRIA DESCRITIVA ............................................. 43
1.6 GEOMETRIA DINMICA E CABRI 3D ............................................................................. 46
1.7 OS TRS PLOS DA COMUNICAO ............................................................................ 54
CAPTULO 2 PROBLEMTICA ............................................................................................ 58
2.1 DELIMITAO DO PROBLEMA ..................................................................................... 58
2.2 PROCEDIMENTOS METODOLGICOS .......................................................................... 59
2.3 QUADRO TERICO ........................................................................................................... 60
2.3.1 NOO DE TRANSPOSIO DIDTICA E A PROBLEMTICA ECOLGICA ....... 61
2.3.2 REGISTRO DE REPRESENTAO SEMITICA ........................................................ 66
CAPTULO 3 ESTUDO HISTRICO .................................................................................... 78
3.1 POLIEDROS REGULARES ................................................................................................ 78
3.2 O DESENVOLVIMENTO DOS SLIDOS DE ARQUIMEDES ........................................ 82
3.3 SOLIDOS ARQUIMEDIANOS NO RENASCIMENTO..................................................... 85
3.4 SISTEMATIZAAO DE KEPLER .................................................................................... 100
3.5 TREZE OU QUATORZE ARQUIMEDIANOS? ............................................................... 121
CAPTULO 4 ESTUDO DIDTICO E MATEMTICO .................................................... 126
4.1 OPERAO DE TRUNCAMENTO ................................................................................. 126
4.1.1 ARQUIMEDIANOS OBTIDOS POR TRUNCAMENTO TIPO 1 ................................. 131
4.1.2 ARQUIMEDIANOS OBTIDOS POR TRUNCAMENTO TIPO 2 ................................. 132
4.2. AS CONSTRUES E SUAS ANLISES ...................................................................... 140
4.2.1 TRUNCAMENTO TIPO 1 ............................................................................................ 141
4.2.2 TRUNCAMENTO TIPO 2 ............................................................................................ 152
4.3 AS CARACTERSTICAS NUMRICAS DOS POLIEDROS OBTIDOS ........................ 172
CONSIDERAES FINAIS ..................................................................................................... 176
REFERNCIAS .......................................................................................................................... 180
APNDICE A: TRANSFERINDO MEDIDAS NO CABRI 3D .............................................. 184
APNDICE B: APLICANDO O TEOREMA DE TALES NO CABRI 3D ............................ 186
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18
CONSIDERAES INICIAIS1
As possibilidades interativas advindas da informtica e os seus diversos
usos na educao matemtica so aspectos que sempre chamaram minha
ateno. Talvez pelo fato de ter formao na rea de tecnologia, alm de ser
professora de matemtica.
De fato meu interesse estava, desde meu ingresso no mestrado ou mesmo
antes, em desenvolver um trabalho em geometria espacial auxiliado pelo
ambiente de Geometria Dinmica Cabri 3D, software que conheci em 2004 na
condio de aluna da especializao em educao matemtica da Universidade
do Estado do Par. Assim, faltava escolher o objeto matemtico de estudo para
dar incio a pesquisa.
No programa de Ps Graduao em Educao Matemtica da PUC-SP, eu
e outra aluna, tivemos a oportunidade de ministrar uma oficina de Cabri 3D.
Nosso intuito era apresentar as ferramentas e recursos do software via
construes geomtricas espaciais. Para isso, elaboramos um material que
apresentava tais ferramentas e recursos por meio de atividades propostas. Uma
das atividades trazia o passo a passo da construo do slido arquimediano
cuboctaedro, sem, no entanto nome-lo ou mesmo ilustr-lo.
Observamos que essa atividade incomodou vrios de nossos colegas
presentes, pois uma vez concluda a construo a mesma era apagada e
recomeada, como se a figura gerada no fosse esperada. Essa situao nos
fez perceber que a maioria dos alunos desconhecia o cuboctaedro, bem como os
outros Slidos Arquimedianos.
A situao exposta me levou a procurar trabalhos em geometria espacial
que discorressem a respeito desses slidos, na tentativa de talvez entender o
porqu desse no conhecimento. No entanto, para minha surpresa, percebi que
pesquisas e at mesmo livros de geometria espacial a respeito do assunto quase
inexistiam no Brasil.
____________
1 Essa dissertao est conforme as regras do Acordo Ortogrfico.
-
19
Essa inquietao contribuiu em grande parte para a escolha do tema do
presente trabalho na medida em que me fez investigar alm do objeto matemtico
em questo, processos de construes para esses slidos.
Desse modo, eu e minha orientadora decidimos desenvolver nosso estudo
no ambiente de Geometria Dinmica Cabri 3D, por o considerarmos uma
ferramenta potencial de ajuda ao raciocnio, principalmente pela possibilidade de
corrigir e aperfeioar continuamente construes geomtricas espaciais ao longo
das simulaes.
Para tanto, tomamos por hiptese que o Cabri 3D possibilita o estudo dos
Slidos Arquimedianos, pois alm de favorecer a representao de objetos
tridimensionais, permite manipul-las, o que facilita a explorao e a elaborao
de conjecturas. Desse modo, objetivamos com a pesquisa revisitar o objeto
matemtico Slidos Arquimedianos por meio de suas construes no ambiente de
Geometria Dinmica Cabri 3D.
Assim, nos propomos responder seguinte questo de pesquisa: O objeto
matemtico Slidos Arquimedianos pode ser resgatado como objeto de
ensino para a Escola Bsica, utilizando como habitat o ambiente de
Geometria Dinmica Cabri 3D? Para respond-la investigamos na histria
processos de construo para esses slidos e verificamos se o ambiente proposto
permite que tais construes sejam realizadas.
O presente trabalho foi estruturado em quatro captulos. No primeiro
captulo, apresentamos estudos preliminares importantes para a composio de
nossa problemtica. Nesse captulo, destacamos algumas idias que envolvem o
termo poliedro, apontamos como os Slidos Arquimedianos so abordados em
pesquisas realizadas em Educao Matemtica, nos documentos oficias e em
materiais didticos, assinalamos as possveis causas para o declnio das
disciplinas Desenho Geomtrico e Geometria Descritiva, bem como
apresentamos uma reflexo acerca da complementaridade entre as duas
disciplinas citadas e o ambiente Cabri 3D.
No segundo captulo trazemos a problemtica, na qual destacamos nosso
problema de pesquisa, procedimentos metodolgicos e nosso quadro terico. O
terceiro captulo tece consideraes a respeito da histria dos Slidos de
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20
Arquimedes, traz a demonstrao da existncia de apenas treze slidos e
apresenta um procedimento matemtico descoberto no Renascimento que
possibilita a construo dos mesmos.
No ltimo captulo, apresentamos o nosso estudo didtico e matemtico a
respeito dos Slidos Arquimedianos que aponta uma possibilidade para o ensino
e aprendizagem e sua incluso na Educao Bsica por meio do ambiente de
Geometria Dinmica Cabri 3D. Essa possibilidade est atrelada a sistematizao
do procedimento de construo renascentista.
Por fim, apresentamos algumas consideraes finais, oriundas das
construes realizadas no Cabri 3D, a resposta para a nossa questo de
pesquisa, bem como algumas perspectivas futuras.
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22
CAPITULO 1 ESTUDOS PRELIMINARES
Iniciamos o captulo com algumas idias que envolvem o termo poliedro e
com a apresentao de alguns estudos j realizados em Geometria Espacial. Em
seguida, destacamos como os documentos oficiais sugerem o ensino dos Slidos
Arquimedianos, bem como a maneira que esse contedo abordado em
materiais didticos. Por fim, apontamos as possveis causas do abandono das
disciplinas Desenho Geomtrico e Geometria Descritiva, um possvel ambiente
informtico que possibilite o estudo de poliedros, alm de uma reflexo acerca da
complementaridade existente entre o Desenho Geomtrico, a Geometria
Descritiva e o ambiente informtico proposto.
1.1 IDIA DE POLIEDRO
Wenninger (1996) lembra que a geometria , por vezes, definida como o
estudo do espao ou de figuras no espao de duas dimenses, para as figuras
planas, polgonos, e de trs dimenses para poliedros. A idia de conjunto
utilizada pelo autor para definir polgono como um conjunto de segmentos que
limitam uma poro do espao bidimensional, e poliedros como um conjunto de
figuras planas que limitam uma poro do espao tridimensional.
Para Cromwell (2008) a definio de poliedros assinalada por Wenninger
(1996) pode ser interpretada de muitas maneiras, pois no fornece qualquer
restrio para a forma como os polgonos esto dispostos ou que tipos de
polgonos podemos usar. No entanto para o autor, tal definio tem sido
produtiva, j que possibilita o termo poliedro envolver vrias direes e conduzir
para o estudo de diferentes tipos de objetos polidricos.
O autor, ainda, afirma que estabelecer uma definio geral para poliedros
impossvel, uma vez que diversos escritores tm aplicado o mesmo termo para
idias distintas, algumas mutuamente exclusivas. Se em um nvel mais elementar
perguntarmos se um poliedro um objeto slido ou uma superfcie oca, para
Cromwell (2008) essas respostas dependem do perodo em que os gemetras
viveram e os problemas que eles estudaram. Para um agrimensor da Grcia
antiga, por exemplo, um poliedro era um slido, ao longo dos ltimos anos,
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23
tornou-se, segundo o autor, mais conveniente pensar em poliedros como
superfcies ocas. Entretanto, o autor aponta que h ainda estudiosos que
consideram poliedros apenas como estrutura, como mostramos na Figura 1.
Figura 1. Representao de poliedro como slido, superfcie e estrutura.
No Brasil, de acordo com o Novo Dicionrio da Lngua Portuguesa
(Aurlio), o termo poliedro designado para slido limitado por polgonos
planos. Contudo ao observarmos a definio de Poliedro apresentada em livros
de Geometria Espacial, percebemos contradies nos discursos dos autores, que
embora considerem poliedros como slidos, no os definem como tal.
Freire (1897, p. 146) em Primeiras Noes de Geometria Prtica admite
poliedro como sendo os volumes limitados por superfcies planas. Em um
primeiro momento, a definio dada nos permite considerar poliedro como slido,
entretanto, h uma passagem no livro em que o autor revela as faces como os
planos que formam o poliedro. (Ibid., p.147). Tal afirmao se confirma nas
representaes de poliedros, observadas na Figura 2, em que o autor apresenta a
planificao como exemplo do mesmo.
Figura 2. Planificao da superfcie de um poliedro. Fonte: Freire, 1897, p. 151.
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24
Para Carvalho (1960, p. 80), em Programa de Desenho para a primeira e
segunda sries ginasiais, os poliedros so slidos completamente limitados por
polgonos planos e os slidos so caracterizados por possurem trs dimenses:
comprimento, largura e altura ou espessura. No entanto, o exemplo dado pelo
autor, conforme mostra a Figura 3, elucida a idia de poliedro apenas como uma
superfcie.
Figura 3. Planificaes de superfcies de poliedros. Fonte: Carvalho, 1960, p.93.
Lima et. al. (1999) em A Matemtica do Ensino Mdio iniciam a discusso
a respeito de Poliedro designando-o, de uma forma geral, como slido formado
por faces, mas o definem como uma reunio de um nmero finito de polgonos
planos. (Ibid., p.232).
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25
Para os mesmos autores, conforme mostra a Figura 4, um poliedro
convexo se qualquer reta (no paralela a nenhuma de suas faces) o corta em, no
mximo, dois pontos. (LIMA ET AL, 1999, p.233).
Figura 4. Poliedro convexo e poliedro no-convexo. Fonte: Lima et. al., 1999, p. 233.
A definio adotada pelos autores torna clara a idia de poliedro como
superfcie. Contudo, vale ressaltar que em outro momento, os mesmos autores
estudam o volume de poliedros e o definem como a quantidade de espao por
ele ocupado. (LIMA et. al., 1999, p.251).
Diferente das definies j apresentadas, Rangel (1982, p. 6) afirma que
poliedro toda superfcie polidrica fechada. , portanto, a superfcie que pode ser concebida como um conjunto de polgonos tais que cada lado de uma face pertence sempre, e no mximo, a duas faces.
De acordo com o autor, por hbito de linguagem, comum se referir ao
nome do corpo, em vez do nome da superfcie que o limita, como por exemplo,
diz-se cubo, quando se quer referir superfcie cbica. Embora a idia de
poliedro para o autor seja a de superfcie, ele considera seu volume quando diz
que dois poliedros so eqilaventes quando tm o mesmo volume. (Ibid., p. 9).
Nesse sentido, o autor confunde volume com capacidade.
J Dolce e Pompeo (1998, p.124), em Fundamentos de Matemtica
Elementar: geometria espacial, discorrem a respeito de Poliedro Convexo como
segue.
Consideremos um nmero finito n (n 4) de polgonos planos convexos (ou regies poligonais convexas) tais que: a) dois polgonos no esto num mesmo plano; b) cada lado de polgono comum a dois e somente dois polgonos;
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26
c) o plano de cada polgono deixa os demais polgonos num mesmo semi-espao. Nessas condies, ficam determinados n semi-espaos, cada um dos quais tem origem no plano de um polgono e contm os restantes. A interseco desses semi-espaos chamado poliedro convexo. Um poliedro convexo possui: faces, que so os polgonos convexos; arestas, que so os lados dos polgonos e vrtices, que so os vrtices dos polgonos. A reunio das faces a superfcie do poliedro.
A definio apresentada de poliedro convexo como a interseco de semi-
espaos nos conduz assumir poliedro no como um slido. Assim, em um
primeiro momento, somos levados a crer que os autores entendem poliedro como
uma superfcie.
No entanto, os mesmos autores, em Fundamentos de Matemtica
Elementar: geometria plana, definem polgono como a reunio de segmentos e
no como uma superfcie, como segue:
dada uma seqncia de pontos de um plano (A1, A2,..., An) com n 3, todos distintos, onde trs pontos consecutivos no so colineares, considerando-se consecutivos An-1, An e A1, assim como An, A1, e A2, chama-se polgono reunio dos segmentos A1A2, A2A3, ..., An-1An, An A1 (POMPEO e DOLCE, 2006, p. 132).
Se considerarmos a definio de polgono apresentada pelos autores, a
idia de poliedro como superfcie tambm descartada, pois, a idia que
prevalece a de poliedro como estrutura, e, portanto, no h volume e nem
capacidade.
Kaleff (1998), embora no defina Poliedros, em Vendo e Entendendo
Poliedros, a todo momento designa-o como um slido. Tal interpretao ocorre
quando a autora descreve dois tipos de representao concreta que podem
favorecer o reconhecimento e anlise de propriedades geomtricas por parte do
aluno: o modelo casca, que representa a superfcie do poliedro, e o modelo
esqueleto, que representa a estrutura das arestas do poliedro.
A maioria das definies apresentadas nos conduz a um problema que
envolve a interpretao do termo poliedro. Ora, se considerarmos poliedro como a
reunio de um nmero finito de faces, entendemos que a idia que prevalece a
de um objeto oco e no a de um objeto slido, e nesse caso no h volume, mas
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27
sim capacidade. A idia de volume nos remete a admitir poliedro como algo que
no seja oco, nem vazio.
Ponte (2000, p.15) adverte que
a capacidade muitas vezes confundida com o volume e, por vezes, as crianas tm dificuldade em separar o volume de um objeto do seu peso. Enquanto que volume de um objeto a quantidade de espao que ocupa, a capacidade a quantidade de espao ou de lquido que pode conter.
Diante das definies apresentadas, percebemos contradies na maioria
dos discursos dos autores em relao ao termo poliedro. Acreditamos que,
embora seja possvel definir poliedro de diferentes maneiras, isto , como slido,
como superfcie ou ainda como estrutura, precisamos ser coerentes com a
definio adotada.
No trabalho, assumimos a idia de poliedro como um slido e adotamos a
definio de poliedro convexo apresentada por Dolce e Pompeo (1998). Contudo,
definimos polgono como a reunio de uma linha fechada simples formada
apenas por segmentos de reta com a sua regio interna, conforme Giovanni,
Castrucci e Giovanni Jr. (1998, p. 202).
Alguns termos bsicos, listados abaixo e ilustrados na Figura 5, sero
mencionados no decorrer do trabalho.
Cada polgono chamado de face de um poliedro.
Um segmento comum a duas faces chamado de aresta.
Um ponto comum a vrias arestas e faces chamado de vrtice.
Figura 5. Elementos de um poliedro Fonte: Cromwell, 2008, p.13.
vrtice
aresta
face
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Existem tambm vrios tipos de ngulos em um poliedro: ngulo plano,
ngulo slido e ngulo diedral, respectivamente mostrados na Figura 6. O ngulo
no canto de uma face poligonal chamado de ngulo plano. O ngulo slido a
regio do poliedro prxima a um vrtice, em outras palavras, um pedao do
canto e est delimitada por trs ou mais ngulos planos. O ngulo entre duas
faces adjacentes chamado de ngulo diedral e para encontr-lo marca-se um
ponto na aresta compartilhada e cria-se uma perpendicular aresta em cada uma
das duas faces passando pelo ponto marcado. O ngulo diedral o ngulo entre
as duas linhas.
Figura 6. Diferentes tipos de ngulos.
Assim, em continuidade aos nossos estudos analisamos as pesquisas
que se aproximam do tema de pesquisa.
1.2 ALGUNS ESTUDOS EM GEOMETRIA ESPACIAL
Nessa parte do trabalho, procuramos analisar as pesquisas em Geometria
Espacial que retratassem em seus estudos os Slidos de Arquimedes.
A procura no Banco de Dissertaes e Teses da Capes por pesquisas em
Geometria Espacial, considerando o descritor geometria espacial, nos conduziu
a um total de 35 trabalhos, 27 relacionados Educao ou Educao Matemtica,
4 Engenharia, 1 Biologia, 1 Cincias Ambientais, 1 Cincia da
Comunicao e 1 Cincia da Computao.
Das pesquisas relacionadas rea de Educao ou Educao Matemtica,
percebemos que apenas duas retratam em seus estudos os Slidos
Arquimedianos. No entanto, esse levantamento nos permitiu constatar que 19
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29
pesquisas se aproximam por considerarem a representao e visualizao em
Geometria Espacial, habilidades importantes para o desenvolvimento do
raciocnio geomtrico espacial do indivduo.
Nesse sentido, procuramos ento, no apenas no Banco de Teses da
Capes, mas no Brasil, por estudos em Matemtica e em Educao Matemtica
que discutissem a questo da visualizao e representao em Geometria
Espacial, e tambm por pesquisas que abordassem o contedo matemtico
Slidos Arquimedianos.
Nessa busca encontramos vrios estudos em Educao Matemtica que
ressaltam a importncia de se incentivar o desenvolvimento da habilidade de
visualizar tanto objetos do mundo real, quanto conceitos, processos e fenmenos
matemticos. Dentre esses, destacamos os trabalhos de Kaleff e Rei (1994);
Kaleff, Rei e Garcia (1996) e Kaleff (1998) relacionados visualizao e
interpretao de slidos geomtricos e os estudos de Cavalca (1997),
Montenegro (2005) e Flores (2007) que retratam a questo da visualizao de
forma mais abrangente. Quanto a trabalhos que abordam o objeto matemtico
Slidos Arquimedianos, encontramos apenas o estudo de Allan (1997) e as
dissertaes de Fernandes (2008) e Silva (2008).
As dificuldades apresentadas pelos alunos na visualizao de slidos
geomtricos e a desmotivao que muitos apresentavam nas aulas de Geometria
Espacial levaram Kaleff e Rei (1994) a procurar meios que facilitassem o ensino
de propriedades geomtricas dos slidos e tornassem esse ensino mais atrativo e
motivador.
Para as autoras umas das formas de se desenvolver o raciocnio espacial
seria construir os slidos geomtricos por meio de materiais concretos. Tais
construes dariam ao aluno no s a oportunidade de observar e utilizar vrias
relaes espaciais, mas ao mesmo tempo, por meio da manipulao dos
materiais concretos, o mesmo seria motivado ao e teria estimulada a sua
criatividade.
Foi nesse sentido que Kaleff e Rei (1994) utilizaram, em suas prticas
materiais concretos, como canudos e varetas, para a construo de estruturas
que representassem esqueletos dos cinco slidos platnicos construdos por
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30
meio de suas arestas. A seqncia de construo dos slidos foi seguinte:
tetraedro, octaedro, icosaedro e cubo. As autoras assinalaram que alunos entre
13 e 15 anos perceberam que, aps construrem os quatros slidos, a idia da
construo do dodecaedro surgiu naturalmente. Dessa forma, enfatizaram a
importncia de uma abordagem pedaggica que permita o aluno criar imagens,
interpretar desenhos, conjecturar e intuir solues para problemas, habilidades
teis no apenas para o desenvolvimento de idias matemticas, mas tambm
para o desenvolvimento integral do ser humano.
J Kaleff, Rei e Garcia (1996) com o propsito de investigar como
professores e futuros professores interpretavam desenhos e calculavam volumes
de slidos construdos por pequenos cubos, desenvolveram um estudo com 590
indivduos, entre professores e alunos do curso de graduao em matemtica,
com diferentes experincias de escolaridade e em diferentes meios sociais. Para
avaliar e quantificar tais observaes, as autoras elaboraram e aplicaram um
questionrio relacionado a objetos tridimensionais.
Com as respostas dadas as autoras constataram significativas
deficincias apresentadas pelos sujeitos investigados no que tange a visualizao
e interpretao de informaes pictricas implcitas, necessrias para a
determinao do volume de slidos, alm de deficincias outras relativas a
diversos conceitos matemticos elementares.
A preocupao com a visualizao em Geometria levou Kaleff (1998) a
desenvolver um trabalho que contribusse para sua valorizao, enfatizando as
representaes e suas interpretaes. Nesse sentido, um material para
professores foi desenvolvido para que contedos pouco explorados nos
programas escolares, como os slidos platnicos e os poliedros regulares
convexos duais2, fossem revisitados e vivenciados de maneira dinmica e
objetiva.
Para Kaleff (1998, p.16) ao visualizar objetos geomtricos, o indivduo
passa a ter controle sobre o conjunto das operaes mentais bsicas exigidas no
trato da Geometria. Contudo, segundo a autora, importante no confundir a
____________
2 Segundo Veloso (1998), diz-se que dois poliedros so duais um do outro se consideramos um
poliedro qualquer e obtermos os vrtices do outro poliedro a partir dos pontos centrais das faces adjacentes do primeiro poliedro.
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31
habilidade de perceber o objeto matemtico em sua totalidade, habilidade de
visualizao, com a percepo visual das representaes disponveis deste
objeto.
A autora pontua que embora haja muitas discusses sobre a forma como
a visualizao se processa na mente, importante consider-la principalmente na
Geometria e assinala que a habilidade de visualizao no inata a todos os
indivduos, contudo pode ser desenvolvida. Para Kaleff (1998), um dos caminhos
seria dispor de um apoio didtico baseado em materiais concretos representativos
do objeto geomtrico de estudo.
Compartilhando esta mesma assertiva, de que alguns indivduos
simplesmente no possuem capacidade de visualizao, Cavalca (1998) elaborou
uma seqncia didtica com o propsito de desenvolver com alunos do terceiro
grau, que apresentavam tal carncia, as habilidades necessrias para a
visualizao, interpretao de objetos espaciais e suas representaes.
A seqncia de atividades desenvolvida pelo autor, com material concreto
e suas representaes com lpis e papel, ajudou os alunos a desenvolverem suas
capacidades de interpretar representaes distintas de um mesmo objeto
matemtico e resolver problemas por meio de processos apoiados na
visualizao. Para Cavalca (1998, p. 163), isto significa que eles conseguiram
estabelecer uma relao mais adequada entre os objetos do espao e a
representao plana deles, e dessa forma, evidenciou que possvel desenvolver
a habilidade de visualizao mesmo em alunos adultos.
Montenegro (2005) tambm acredita que a habilidade de visualizao
pode ser estimulada, contudo adverte que no pode ser
[...] tida como especfica; ela englobaria diferentes tipos de aprendizagem que procuram identificar relaes de posio, direo, tamanho, forma e distncia entre objetos. Ela percebe detalhes e os agrupa em conjuntos; ou os monta em padres dentro de uma base conhecida. (Ibid., p.8).
O autor conduziu a pesquisa com 41 alunos do Ensino Mdio com o
intuito de analisar como objetos espaciais eram visualizados por eles. Na
pesquisa, seis testes foram aplicados, com distintas figuras, em diferentes
posies. Os resultados obtidos evidenciaram muitas dificuldades por parte dos
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32
alunos em representar objetos tridimensionais, a representao mais utilizada foi
a perspectiva Cavaleira. Para o autor, desenvolver as capacidades de
visualizao e representao ter estimulada a criatividade humana, inteligncia
para criar coisas novas.
Da mesma forma, Flores (2007) considera a visualizao importante para
a aquisio dos conhecimentos geomtricos, e atribui geometria uma atividade
do olhar, considerada pela autora, um tanto complexa por envolver outros
elementos que no estejam relacionados, exclusivamente, s figuras em si e nem
a capacidade visual de cada um de ns. A autora sugere que analisemos uma
imagem como representao de um modo de olhar e apresenta a perspectiva
como suporte tanto da representao, quanto da epistemologia de um modo
especfico do olhar. (Ibid., p. 20).
Para a autora entender como esse olhar se fez em perspectiva, pode nos
ajudar a compreender o problema da visualizao no ensino de Matemtica, uma
vez que a intimidade entre a visualizao e a geometria no se restringe ao
espao de sala de aula, to pouco s questes atuais. (FLORES, 2007, p.17). O
que a autora sugere deslocar o plo do processo de ensino e de aprendizagem
centrado no aluno e apromixar-se do saber institudo. (Ibid., p.36). Em outras
palavras, compreender tanto o lugar efetivo do conhecimento, quanto a relao
que o professor tem com o saber que ele ensina.
Flores (2007) ao investigar na histria, na arte e na tcnica, um
conhecimento de um saber, o da tcnica em perspectiva, e mostrar como o modo
de olhar, os saberes e os sujeitos foram se construindo, pde compreender as
dificuldades e os erros de interpretao visual dos alunos, bem como relaciona-
los a construo de um olhar estabelecido em uma ordem que se deu h sculos
atrs.
Nos estudos apresentados at aqui, percebemos a preocupao dos
autores em amenizar dificuldades no que tange a visualizao, interpretao e
representao de objetos tridimensionais ou mesmo procurar meios didticos que
possibilitem o desenvolvimento de tais capacidades. Acreditamos tambm que
esses aspectos so importantes e precisam ser considerados, entretanto como
fogem do escopo principal deste trabalho sero explorados em trabalhos futuros.
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33
Quanto aos estudos que envolvem o objeto matemtico Slidos
Arquimedianos, observamos que Allan (1997) os apresenta por meio de um breve
estudo histrico sobre poliedros e nos indica um processo geral que envolve suas
construes. O processo de lapidao sugerido pelo autor, consiste em cortar
pedaos de um slido regular qualquer para a obteno de outro slido em que
todas as arestas so congruentes. Contudo, o autor no ilustra nenhum slido
arquimediano e to pouco os nomeia apenas nos indica o slido platnico a partir
do qual se originam. Esse estudo contribuiu para o desenvolvimento de nossa
pesquisa, sobretudo em relao aos aspectos histricos apontadas pelo autor.
Em relao s pesquisas de Fernandes (2008) e Silva (2008) percebemos
que ambas compartilham do mesmo slido arquimediano. Suas pesquisas esto
relacionados WebQuest Bola de Futebol e a Matemtica, desenvolvida pelas
autoras para o ensino e aprendizagem do slido arquimediano icosaedro
truncado. A WebQuest apresenta tarefas que envolvem noes relativas aos
Slidos Arquimedianos, bem como competncias para o trabalho geomtrico, tais
como: leitura e interpretao de textos, definies em matemticas, princpios das
construes geomtricas, dentre outros. A WebQuest traz, ainda, a tarefa de
construir um modelo do icosaedro truncado utilizando papel carto, alm das
instrues necessrias para sua confeco.
Enquanto Fernandes (2008) analisou o papel que o professor
desempenhava ao utilizar a WebQuest, Silva (2008) procurou investigar como
esta metodologia de ensino pode colaborar para o desenvolvimento de contedos
matemticos com alunos do Ensino Mdio. Ambas as autoras dedicaram um
captulo de suas dissertaes ao estudo matemtico, ainda que tmido, dos
slidos arquimedianos. Como os objetivos do estudo no estavam relacionados
com o objeto matemtico em si, mas com a utilizao e interao dos alunos e
professores com a WebQuest, no temos como apontar resultados no que tange
a construo do conhecimento matemtico.
Nas pesquisas apresentadas, identificamos que o estudo matemtico dos
Slidos Arquimedianos no Brasil pouco explorado, talvez pela dificuldade
relacionada a visualizao e representao desses slidos, bem como da
compreenso de noes e propriedades geomtricas espaciais.
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Diante das dificuldades apresentadas a respeito da representao e
visualizao de objetos espaciais, procuramos observar como o ensino de Slidos
Arquimedianos sugerido pelos documentos oficiais.
1.3 OS POLIEDROS NOS DOCUMENTOS OFICIAIS
Os Documentos Oficiais de Educao em Matemtica, seja para o nvel
fundamental, seja para o nvel mdio, destacam a importncia do papel da
educao no desenvolvimento das pessoas e da sociedade, alm de
estabelecerem diretrizes baseadas em orientaes gerais para que sirvam de
apoio ao ato de ensinar.
Todos concordam quanto importncia do ensino de Geometria como
forma de proporcionar o desenvolvimento de um pensamento matemtico
especfico, baseado na leitura e interpretao do espao do qual fazemos parte.
O estudo da Geometria cria oportunidade para melhor compreender e representar
os vrios tipos de organizao desse espao, isto , as obras do homem ou da
natureza.
Nesse sentido, Os Parmetros Curriculares Nacionais (PCN, 1998, p.122)
afirmam que:
a Geometria desempenha um papel fundamental no currculo, na medida em que possibilita ao aluno desenvolver um tipo de pensamento particular para compreender, descrever e representar de forma organizada, o mundo em que vive. Tambm fato que as questes geomtricas costumam despertar o interesse dos adolescentes e jovens de modo natural e espontneo. Alm disso, um campo frtil de situaes-problema que favorece o desenvolvimento da capacidade para argumentar e construir demonstraes.
A escolha dos contedos especficos relativos ao tema Geometria, seu
ensino e recursos, a metodologia utilizada para abordar esse conhecimento, bem
como o espao para que seu ensino e aprendizagem ocorram, so fatores
importantes apontados e discutidos.
Em geral, os documentos oficiais sinalizam que para a seleo desses
contedos, critrios orientadores devem ser estabelecidos como forma de evitar a
quantidade excessiva de informaes. A seleo de contedos a serem
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35
trabalhados em Geometria deve estar relacionada sua relevncia cientfica e
cultural e sua assimilao essencial para a produo de novos conhecimentos,
o que permite o desenvolvimento e/ou aprimoramento de competncias e
habilidades.
As Orientaes Curriculares para o Ensino Mdio (2006, p.7), tambm,
apontam a contextualizao e interdisciplinaridade como princpios condutores
da organizao curricular e, portanto so aspectos que precisam ser
considerados nessa seleo. Tais aspectos devem possibilitar a conexo entre
conceitos matemticos e entre formas distintas de pensamento matemtico, ou
ainda, relevncia cultural dentro ou fora da matemtica. O estudo dos Slidos de
Arquimedes, conhecidos tambm por slidos semi-regulares, pode se tornar
evidente e justificvel segundo esses aspectos, uma vez que estabelecem
conexo com outras reas do conhecimento (biologia, arte, arquitetura,
cartografia...) e suas representaes fazem parte do nosso contexto social e
cultural.
Nesse sentido, observamos as orientaes sinalizadas nesses
documentos em respeito ao ensino dos Slidos de Arquimedes. Embora, esses
slidos no sejam mencionados, seu ensino est vinculado ao contedo
matemtico Poliedro.
Os PCN (1998) apontam em quatro blocos - Nmeros e Operaes;
Espao e Forma; Grandezas e Medidas; e Tratamento da Informao - os
contedos matemticos a serem ensinados. Tal documento prope que o trabalho
com o bloco Espao e Forma que aborda contedos relativos Geometria - seja
realizado com a explorao de situaes que envolvam construes com rgua e
compasso, ao passo que propriedades de figuras planas possam ser aplicadas e
visualizadas, alm de construes de demais relaes. Em relao aos conceitos
e procedimentos pontuados neste bloco, esse documento destaca a:
[...] classificao de figuras tridimensionais e bidimensionais, segundo critrios diversos, como: corpos redondos e poliedros; poliedros regulares e no-regulares; prismas, pirmides e outros poliedros; crculos, polgonos e outras figuras; nmero de lados dos polgonos; eixos de simetria de um polgono; paralelismo de lados, medidas de ngulos e de lados. (BRASIL, 1998, p. 73, grifo nosso).
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36
Esse mesmo documento aponta a construo de figuras geomtricas
espaciais como meio de capacitar o aluno a identific-las, interpret-las e
represent-las no plano, bem como classific-las utilizando noes de
paralelismo, perpendicularismo e de ngulo.
Embora ateno maior seja dada para a Geometria Plana nesse nvel de
ensino, a noo de figuras tridimensionais introduzida. Dentre essas noes,
apontamos Poliedros como contedo a ser trabalhado com os alunos. Ainda que
propriedades mais particulares de Poliedros regulares e no-regulares no sejam
evidenciadas, percebemos a preocupao em classificar, desde o nvel
fundamental, formas geomtricas bsicas espaciais a fim de que possam ser
reconhecidas e diferenciadas.
As orientaes sinalizadas para a Geometria, em especial Poliedros, que
compem o Ensino Mdio so as mesmas dadas ao Ensino Fundamental.
Entretanto, nesse nvel de ensino, essas orientaes se intensificam e
desenvolvem de maneira mais ampla as capacidades de abstrao e raciocnio.
Pode-se verificar tal afirmao ao observar as orientaes dadas pelos PCN+
(2002, p.125, grifo nosso) ao trabalho com Poliedros em Geometria Espacial:
elementos dos poliedros, sua classificao e representao; slidos redondos; propriedades relativas posio: interseco, paralelismo e perpendicularismo; inscrio e circunscrio de slidos. Usar formas geomtricas espaciais para representar ou visualizar partes do mundo real, como peas mecnicas, embalagens e construes. Interpretar e associar objetos slidos a suas diferentes representaes bidimensionais, como projees, planificaes, cortes e desenhos. Utilizar o conhecimento geomtrico para leitura, compreenso e ao sobre a realidade. Compreender o significado de postulados ou axiomas e teoremas e reconhecer o valor de demonstraes para perceber a Matemtica como cincia com forma especfica para validar resultados.
Nesse sentido, o currculo de Geometria do Ensino Mdio, com o intuito
de complementar a formao inicial no Ensino Fundamental, deve garantir que os
alunos estendam e aprofundem alguns contedos geomtricos j ensinados ou
introduzidos, como no caso de Poliedros.
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Os Parmetros Curriculares para o Ensino Mdio (2000) enfatizam que o
trabalho com representao de figuras planas e espaciais deve ser tambm
aprofundado e sistematizado. Essa competncia amplia a compreenso e
percepo do espao e permite estabelecer relaes entre suas propriedades
com a geometria plana e sua representao com os objetos que lhe deram
origem. nesse sentido que
[...] as habilidades de visualizao, desenho, argumentao lgica e de aplicao na busca de solues para problemas podem ser desenvolvidas com um trabalho adequado de Geometria, para que o aluno possa usar as formas e propriedades geomtricas na representao e visualizao de partes do mundo que o cerca. (BRASIL, 2000, p.44).
A visualizao, portanto, assume um papel importante na explorao e
construo dos conceitos matemticos, particularmente da Geometria. A
preocupao com o seu desenvolvimento, bem como a elaborao e
interpretao de suas representaes no plano, deve ocupar uma posio de
destaque em todo o processo de ensino e aprendizagem.
Identificando a importncia de se desenvolver uma educao visual
adequada, as Orientaes Curriculares para o Ensino Mdio (2006) afirmam que
para trabalhar com poliedros,
existem tambm programas interessantes. Neles, h poliedros em movimento, sob diferentes vistas, acompanhados de planificao. So programas apropriados para o desenvolvimento da visualizao espacial. (BRASIL, 2006, p.89).
A Informtica e as ferramentas advindas da computao introduziram
uma dimenso mais dinmica, em que formas virtuais, alm de ganharem
aspectos de uma realidade quase material, podem ser manipuladas e
transformadas de diferentes maneiras.
Como podemos observar, os documentos oficiais sugerem o estudo de
poliedros, mas no detalham os tipos de poliedros a serem ensinados. Sugerem,
tambm, que seu ensino esteja atrelado a construes de figuras geomtricas
planas e espaciais sem, no entanto apontar um caminho. Embora o uso das
tecnologias seja pontuado como recurso didtico para ensino e aprendizagem de
poliedros, o que facilitaria a sua construo e visualizao, pouco enfatizado.
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38
Como os Slidos Arquimedianos no so mencionados nesses
documentos, procuramos observar como so discutidos e apresentados em
materiais didticos, o que mostramos no que segue.
1.4 OS SLIDOS ARQUIMEDIANOS EM MATERIAIS DIDTICOS
Pretendemos nesse tpico observar, no Brasil, como os Slidos
Arquimedianos so abordados e como esto organizados em materiais didticos,
paradidticos e materiais de apoio ao professor.
Fernandes (2008) em sua dissertao de mestrado realizou esse
levantamento e constatou que o objeto matemtico Slidos Arquimedianos no
aparecia explcito nos materiais pesquisados. Dos nove livros observados, a
autora constatou que esse contedo aparecia apenas por meio de exemplos e
exerccios, em geral, relacionados Relao de Euler e convexidade, mas sem
qualquer definio ou mesmo nomeao correspondente. O icosaedro truncado
o slido arquimediano que mais aparece, provavelmente, por ser associado bola
de futebol.
Persistindo nessa busca, encontramos um material do GESTAR3 que
aborda esse contedo matemtico com definio e exemplos, Caderno de Teoria
e Prtica 3: matemtica nas formas geomtricas e na ecologia. A definio
apresentada dos Slidos Arquimedianos, conforme mostra a Figura 7, se
confunde com a de poliedros semi-regulares, que em geral so tratados como
sinnimos.
Figura 7. Definio de Slidos Arquimedianos. Fonte: Brasil, 2008, p.98.
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3 Programa de Gesto Escolar aprovado pelo Ministrio da Educao para oferecer formao continuada em
lngua portuguesa e matemtica aos professores do ensino fundamental (6 ao 9 ano) em exerccio nas escolas pblicas. Esse material tem sido usado na formao de professores na Bahia, Tocantins e Pernambuco e est disponvel no site http://portal.mec.gov.br/.
http://portal.mec.gov.br/ -
39
Essa definio comunga da mesma idia de Veloso (1998) que apresenta
os Slidos Arquimedianos da seguinte maneira:
se na definio que demos de poliedro regular mantivermos a condio das faces serem polgonos regulares, mas no a de serem todas congruentes, obtemos uma famlia mais ampla de slidos, estudada por Arquimedes (287 212 a. C.). Note-se que as arestas so todas congruentes, e os vrtices tambm. As faces so polgonos regulares, mas enquanto nos platnicos eram apenas de um tipo, aqui podero ser de vrios tipos. ainda necessrio acrescentar a condio de que todo o vrtice pode ser transformado noutro vrtice por uma simetria de poliedro. A estes slidos habitual chamar arquimedianos ou semi-regulares. (Ibid., p.235).
No Caderno de Teoria e Prtica 3, ainda esto ilustrados trs poliedros
prisma reto triangular, prisma reto hexagonal e octaedro truncado , como mostra
a Figura 8, apresentados como arquimedianos.
Figura 8. Exemplo de poliedros arquimedianos. Fonte: Brasil, 2008, p.99.
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40
Segundo Veloso (1998, p. 235),
os prismas cujas faces laterais so regulares, de acordo com a definio dada, so arquimedianos. Do mesmo modo, tambm os antiprismas de faces regulares so arquimedianos. No entanto, os infinitos prismas e antiprismas no so em geral includos na famlia dos arquimedianos.
De acordo com Eves (2004, p. 358), um antiprisma
obtido de um prisma efetuando-se uma rotao de sua base superior em seu prprio plano de modo a fazer seus vrtices corresponderem aos lados da base inferior, e ligando ento, em zigue-zague, os vrtices das duas bases.
Os prismas e antiprismas retos de base regular cujas faces laterais so
quadrados e tringulos eqilteros respectivamente contemplam a definio dos
Slidos Arquimedianos, conforme mostra a Figura 9. No entanto, para Veloso
(1998) a famlia dos arquimedianos finita, uma vez que temos infinitos prismas e
antiprismas retos de bases regulares, isto , de vrtices do tipo (4,4,n) e (3,3,3,n)
respectivamente, sendo n o nmero de lados do polgono base. O autor, ainda
assinala que, assim como os platnicos, podemos investigar quantos poliedros
arquimedianos podem existir e chegaramos concluso que no podem existir
mais do que treze tipos de poliedros diferentes.
Figura 9. Prisma e Antiprisma retos regulares.
Alm do material anteriormente citado, encontramos tambm no Brasil,
um livro sobre poliedros produzido por Rangel (1982), Engenheiro Civil e Doutor
em Cincias Fsicas e Matemticas. Segundo o prprio autor, o livro se originou
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de uma apostila com circulao praticamente restrita, na poca, Escola de
Engenharia da Universidade Federal do Rio de Janeiro.
O livro Poliedros apresenta um estudo detalhado a respeito dos Slidos
Arquimedianos contemplado com definio, classificao, propriedades,
demonstrao e ilustrao dos treze slidos. Para Rangel (1982), todo
arquimediano semi-regular, mas nem todo poliedro semi-regular
arquimediano. Segundo o autor,
poliedro semi-regular todo poliedro que se apresenta de uma das duas seguintes formas: 1. Os ngulos slidos so todos iguais entre si, mas as faces no so iguais, embora sejam polgonos regulares. Esses poliedros so chamados poliedros semi-regulares equiangulares ou poliedros semi-regulares arquimedianos. 2. As faces so todas iguais entre si, mas os ngulos slidos no so iguais. Esses poliedros so chamados poliedros sem-regulares equifaciais ou poliedros semi-regulares no-arquimedianos. (Ibid., p.36).
O autor classifica os poliedros semi-regulares equiangulares ou
arquimedianos em trs grupos: os poliedros semi-regulares equiangulares
individuais, que so os treze slidos de Arquimedes; os prismas arquimedianos,
prismas retos regulares; e os antiprismas arquimedianos, antiprismas retos
regulares.
Embora o foco do nosso trabalho no esteja em observar currculos de
outras reas de conhecimento para ratificar a presena dos Slidos
Arquimedianos, o material produzido nos d indcios que esses slidos, com uma
nomenclatura diferente da habitual, eram estudados na Engenharia.
Pelas observaes realizadas, podemos constatar a carncia de
informaes a respeito do objeto matemtico Slidos Arquimedianos no Brasil. A
dificuldade de encontrar materiais, na Escola Bsica, que discorram sobre os
mesmos, pode ser uma possvel causa para que muitos desconheam sua
existncia.
Contudo vale ressaltar que nem sempre foi assim. Para confirmar essa
assertiva, apresentamos dois livros de Desenho Geomtrico que nos fornecem
informaes sobre alguns dos Slidos Arquimedianos: Primeiras Noes de
Geometria Prtica de Olavo Freire, publicado em 1897 e Programa de Desenho
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para a primeira e segunda sries ginasiais de Benjamin de A. Carvalho, publicado
em 1960.
Para Freire (1897) os Slidos Arquimedianos so irregulares e simtricos
por terem todos os planos que os formam simetricamente dispostos. O autor
ilustra cinco representaes dos treze slidos arquimedianos, com planificaes
de suas superfcies, mostradas na Figura 10, e nos indica o slido a partir do qual
se originam.
Figura 10. Arquimedianos estudados em Geometria Prtica. Fonte: Freire, 1897, p. 151-155.
Entretanto Carvalho (1960, p.92) define os Slidos Arquimedianos como
poliedros semi-regulares que tm suas faces formadas por polgonos regulares
ou no, mas diferentes entre si, embora dispostos simetricamente no espao
(CARVALHO, 1960, p.92). A Figura 11 ilustra trs exemplos desses slidos.
Figura 11. Slidos considerados arquimedianos. Fonte: Carvalho, 1960, p. 93.
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Os livros apresentados levam-nos a inferir que esse objeto matemtico j
fez parte da grade curricular de Matemtica, mais especificamente em Desenho
Geomtrico, disciplina que de acordo com Zuin (2002), permaneceu oficialmente
por quarenta anos consecutivos nos currculos escolares 1931 a 1971.
Para compreender o motivo que levou ao desaparecimento desse
conhecimento de ensino, procuramos identificar as possveis causas do abandono
da disciplina Desenho Desenho Geomtrico e Geometria Descritiva da grade
curricular de matemtica.
1.5 DESENHO GEOMTRICO E GEOMETRIA DESCRITIVA
Nesse tpico, nos baseamos nos estudos de Silva (2006) que em sua
dissertao de mestrado Proposta de Aprendizagem sobre a importncia do
Desenho Geomtrico e da Geometria Descritiva avaliou as razes do declnio do
ensino das duas disciplinas, e em algumas consideraes de Zuin (2002), Rabello
(2005) e Pavanello (1993).
Silva (2006) realizou um estudo histrico a respeito da ocorrncia do
Desenho Geomtrico e da Geometria Descritiva no Brasil, alm do estudo da
legislao de ensino a partir de 1942.
De acordo com o autor, a geometria foi implantada no Brasil no sculo
XVIII, mas no sculo XIX que comea a ser ensinada. Nesse sculo, o Desenho
Geomtrico e a Geometria Descritiva so vistos como meios de fomentar e atingir
o desenvolvimento industrial e assim promover o progresso do pas. Segundo o
autor, a disciplina Desenho Geomtrico constava na grade curricular do Ensino
Primrio, cuja geometria estava voltada para prtica, conforme j mostrado na
Figura 9, e a disciplina Geometria Descritiva contemplava o currculo do Ensino
Secundrio.
Segundo Rabello (2005) no sculo XX o Desenho Geomtrico, a
Geometria Descritiva bem como a Perspectiva, eram assuntos que contemplavam
a prova de desenho no exame de capacitao, atualmente vestibular, de
Arquitetura e Engenharia.
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Na metade do sculo XX, novas reformas no Sistema de Ensino
continuavam a serem feitas. Entretanto, para Silva (2006) impossvel precisar o
momento em que o ensino de Desenho declinou. O autor aponta trs reformas
que contriburam para que o Desenho Geomtrico e a Geometria Descritiva
fossem pouco a pouco eliminados da grade curricular.
A primeira, Lei 4.024/61 Lei de Diretrizes e Bases da Educao
Nacional (LDB) que props opes de currculo em que a disciplina Desenho
no era obrigatria. Para Zuin (2002, p.1), vemos surgir os primeiros sinais de
desprestgio dessa rea do conhecimento.
A segunda, Lei 5.540/68 Lei da Reforma Universitria sinalizava a
unificao do vestibular, como podemos observar em seu artigo 21:
O concurso vestibular, referido na letra ado artigo 17, abranger os conhecimentos comuns s diversas formas de educao do segundo grau, sem ultrapassar este nvel de complexidade, para avaliar a formao recebida pelos candidatos e sua aptido intelectual para estudos superiores. (BRASIL, 1968).
Silva (2006) pontua que a partir dessa Lei que o ensino de Desenho
comea a declinar. Com a reformulao do ensino superior, fixada por essa lei, o
Desenho que j no constava em todas as formas de educao do segundo grau,
desde a LDB 4.024/61, foi eliminado do vestibular. Qualquer discordncia em
relao s medidas torna-se impossvel, porque estas so introduzidas durante a
vigncia do Decreto Lei 477/69. (PAVANELLO, 1993, p.14).
A terceira e ltima reforma citada pelo autor, Lei 5692/71, acarretou
considerveis mudanas nos currculos escolares do Ensino Fundamental.
Havia um ncleo de disciplinas obrigatrias e outros ncleos de disciplinas optativas, as quais poderiam integrar a parte diversificada do currculo. As escolas tinham a liberdade de construir a sua grade curricular apenas dentro da parte diversificada do currculo. [...] O Desenho tornara-se uma disciplina optativa da parte diversificada do currculo. (Zuin, 2006, p.1).
Desse modo, Rabello (2005), Zuin (2002) e Silva (2006) concordam que
com o advento das provas de mltipla escolha, resultado da unificao do
vestibular, e da no obrigatoriedade do ensino de Desenho na Escola Bsica,
muitas escolas aboliram o ensino da disciplina Desenho Geomtrico.
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Alm disso, Pavanello (1993) e Rabello (2005) pontuam que com a
promulgao da referida lei, o Desenho foi substitudo na grade curricular do
ensino pblico, em todas as sries do 1 e 2 graus do Ensino Bsico, por
Educao Artstica. Rabello (2005) lembra, ainda, que o Ministrio da Educao e
Cultura tornou obrigatria a insero da disciplina de Educao Artstica no
segundo segmento do Ensino Fundamental.
De acordo com os PCN de Artes (1997) a substituio ocorreu porque o
ensino de Desenho Geomtrico estava voltado essencialmente para o domnio
tcnico, centrado na figura do professor que privilegiava a reproduo de
modelos. Segundo o documento, a disciplina Desenho era considerada mais por
seu aspecto funcional do que uma experincia em arte.
Valorizavam-se principalmente as habilidades manuais, os "dons artsticos", os hbitos de organizao e preciso, mostrando ao mesmo tempo uma viso utilitarista e imediatista da arte. Os professores trabalhavam com exerccios e modelos convencionais selecionados por eles em manuais e livros didticos. (BRASIL, 1997, p.22).
Em contrapartida Rabello (2005, p. 50) assinala que,
equivalente educao musical ou s artes cnicas, nessas sries o desenho tratado em sua forma mais elementar, sendo includo ou excludo conforme as convenincias do momento. Convm lembrar que o desenho geomtrico, a geometria descritiva e a perspectiva tm base conceitual matemtica, no possuindo, em tese, afinidade estrutural com a rea artstica, salvo quanto beleza das representaes grficas.
Dentro desse contexto concordamos com Pavanello (1993, p.16) quando
afirma que o abandono da Geometria, e assim das disciplinas Desenho
Geomtrico e Geometria Descritiva, deve ser caracterizado como uma deciso
equivalente s medidas governamentais, em seus vrios nveis, com relao
educao.
A situao exposta leva-nos a inferir que a ausncia das Disciplinas
Desenho Geomtrico e Geometria Descritiva da grade curricular de matemtica
contribuiu para que o objeto matemtico Slidos Arquimedianos no fosse mais
abordado. Sabemos que esses slidos no so facilmente representados, em
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ambientes bidimensionais, sem domnio de conhecimentos e habilidades
oferecidos pelo Desenho Geomtrico.
Nesse sentido, buscamos um ambiente computacional que se aproxime
da filosofia dessa disciplina, isto , que favorea no s a representao e
visualizao de objetos tridimensionais como tambm possibilitem o estudo de
suas propriedades por meio de suas construes.
1.6 GEOMETRIA DINMICA E CABRI 3D
Muitas pesquisas em Educao Matemtica tm mostrado que o uso da
Geometria Dinmica como recurso didtico no s favorece a explorao e
aquisio de conceitos geomtricos, como tambm apresenta vantagens em
relao s construes com rgua e compasso no ambiente papel e lpis.
Para Gravina (2001) a Geometria Dinmica pode ser entendida como a
implementao da geometria tradicional, aquela esttica da rgua e compasso, no
computador, mas com carter dinmico. Essa caracterstica dinmica permite que
a partir de uma nica construo, um nmero arbitrrio de experimentaes seja
efetuado, o que seria praticamente impossvel com rgua e compasso.
Alm disso, a autora afirma que:
os ambientes de Geometria Dinmica tambm incentivam o esprito de investigao Matemtica: sua interface interativa, aberta explorao e experimentao, disponibiliza os experimentos de pensamento. Manipulando diretamente os objetos na tela do computador, e com realimentao imediata, os alunos questionam o resultado de suas aes/operaes, conjecturam e testam a validade das conjecturas inicialmente atravs dos recursos de natureza emprica. (GRAVINA, 2001, p. 89-90).
O termo Geometria Dinmica usado para designar softwares interativos
que permitem a criao e manipulao direta de figuras geomtricas a partir de
suas propriedades. Assim, vemos emergir uma maneira de ensinar e aprender
geometria, a partir da explorao experimental que possibilita a passagem de
uma figura outra pelo deslocamento quase contnuo dos elementos, vivel
apenas em ambientes dinmicos.
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Para Sangiacomo (1996), a geometria dinmica permite alm de um
melhor estudo das propriedades geomtricas uma importante distino entre
desenhar e construir.
Para a autora, desenhar visto como um caso particular, uma
representao de um objeto geomtrico geralmente relacionado com a
reproduo da imagem mental que temos do mesmo. Contudo, as propriedades
geomtricas do objeto no so conservadas quando movimentamos essa
representao em um ambiente dinmico. J construir visto como um caso
geral, uma representao do objeto geomtrico a partir de suas propriedades, que
se conservam mesmo quando a movimentamos.
Enquanto os alunos trabalham sobre o traado material, podemos dizer que eles no fizeram a passagem do desenho para a figura geomtrica. Essa passagem s efetivada quando as propriedades geomtricas passam a ter significado e a concepo de classe de figuras, seus representantes e suas propriedades seja assimilada. (SANGIACOMO, 1996, p. 40).
Construda uma figura em um ambiente dinmico, tratamos de investigar
suas propriedades. Para isso arrastamos a figura at deform-la, dentro das
restries impostas pela construo. Enquanto fazemos isso, muitas relaes e
medidas vo se alterando na figura e isso nos permite reconhecer seus
invariantes bem como a existncia de uma classe de figuras representando o
objeto geomtrico.
A manipulao direta dos elementos bsicos da figura cria um dinamismo
cuja vantagem est em conservar as relaes entre seus componentes. Para
Veloso (1998, p. 96), a procura do que permanece constante no meio de tudo o
que varia, a razo pela qual este ambiente apropriado para apoiar um ensino
renovado da geometria plana.
Assim como a Geometria Plana, a Geometria Espacial pode, tambm, ser
ensinada em um ambiente de Geometria Dinmica. O ambiente computacional
Cabri 3D4 o primeiro software de manipulao direta desenvolvido para simular
o trabalho com trs dimenses. Nesse sentido, todo tipo de figura tridimensional
____________
4 O Cabri 3D foi desenvolvido por Cabrilog e apresenta os mesmos princpios e objetivos do
projeto Cabri Gomtre, disponvel no site www.cabri.com.
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pode ser construda, visualizada e manipulada nesse ambiente, que alm de
preservar as propriedades de figuras geomtricas espaciais, permite mudar o
ponto de vista em relao ao objeto representado.
A seguir, optamos por apresentar, as caixas de ferramentas poliedros e
poliedros regulares, por estarem relacionadas com o objeto matemtico em
questo, bem como os recursos oferecidos pelo software.
Caixa de ferramentas poliedros: qualquer poliedro convexo pode ser
construdo ao acionar essa caixa, como mostra a Figura 12.
Figura 12. Caixa de ferramentas poliedros.
Caixa de ferramentas poliedros regulares: para usar qualquer