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PONTIFCIA UNIVERSIDADE CATLICA DE SO PAULO

PUC/SP

TALITA CARVALHO SILVA DE ALMEIDA

SLIDOS ARQUIMEDIANOS E CABRI 3D: UM ESTUDO

DE TRUNCATURAS BASEADAS NO RENASCIMENTO

MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMTICA

So Paulo

2010

TALITA CARVALHO SILVA DE ALMEIDA

SLIDOS ARQUIMEDIANOS E CABRI 3D: UM ESTUDO

DE TRUNCATURAS BASEADAS NO RENASCIMENTO

Dissertao apresentada Banca Examinadora

da Pontifcia Universidade Catlica de So Paulo,

como exigncia parcial para obteno do ttulo de

MESTRE EM ENSINO DE MATEMTICA, sob a

orientao da Professora Doutora Maria Jos

Ferreira da Silva.

PUC/SP

2010

Banca Examinadora

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Autorizo, exclusivamente para fins acadmicos e cientficos, a reproduo total

ou parcial desta Dissertao por processos de foto copiadoras ou eletrnicos.

Assinatura: _________________________So Paulo e Data: _________

Dedico este trabalho aos meus pais, Henrique e

Eliana, pelo amor, compreenso, pacincia e

incentivo sempre.

AGRADECIMENTOS

Primeiro agradeo a DEUS e aos meus anjos da guarda,

pela fora, pela proteo e pela oportunidade de iniciar

e concluir esta importante etapa de minha vida.

A querida Professora Doutora Maria Jos Ferreira da

Silva, pela orientao, apoio e amizade.

Ao Professor Mestre Mrio Thomaz (in memorian), por

ter me estimulado a iniciar o mestrado.

Aos membros da banca, Professores Doutores Iran

Abreu Mendes e FumiKazu Saito, pelas valiosas

sugestes e contribuies para essa pesquisa.

Ao corpo docente do Programa de Estudos Ps-

Graduados em Educao Matemtica da PUC-SP,

especialmente, aos Professores Doutores Saddo Ag

Almouloud, Benedito Antonio da Silva, Cileda de

Queiroz e Silva Coutinho e Sandra Maria Pinto Magina.

A todos os Funcionrios do Centro de Cincias Exatas

da PUC-SP, especialmente ao Francisco, pela amizade e

pela ajuda final na formatao da dissertao.

Aos amigos do Programa de Estudos de Ps-Graduados

em Educao Matemtica, Juliana, Rosana, Pimenta, Ana

Lcia, Edna, Gilson, Victria, Patrcia, Ivete e Aida.

A querida amiga Victria, pela amizade, apoio e

sugestes preciosas.

Aos meus amados pais, Henrique e Eliana, por me

proporcionarem condies para estudar.

A minha av Margarida, meu amor incondicional.

Ao meu namorado rico, pelo amor e apoio sempre.

Ao meu tio Roberto, pelo carinho, amizade, apoio e

acolhida nessa fase de minha vida.

A minha irm Thais; meu cunhado Sandy; minhas tias

Thereza, Alzira e Ulcirene; minhas primas Paloma, Ana

Paula e Nayana. E a todos os meus familiares, por

acreditarem em mim e por estarem sempre ao meu lado.

A CAPES, pela concesso da bolsa de estudos.

A todas as pessoas que, de certa forma, contriburam

para a realizao desta pesquisa.

A Autora

RESUMO

O presente trabalho tem como objetivo revisitar o objeto matemtico Slidos

Arquimedianos por meio de suas construes no ambiente de Geometria

Dinmica Cabri 3D. Assim, a pergunta de pesquisa foi: o objeto matemtico

Slidos Arquimedianos pode ser resgatado como objeto de ensino para a Escola

Bsica, utilizando como habitat o ambiente de Geometria Dinmica Cabri 3D?

Para investigar processos de construo para esses slidos, recorremos a um

estudo bibliogrfico desenvolvido com base em material j elaborado, constitudos

principalmente de livros e artigos cientficos. O referencial terico baseou-se na

Transposio Didtica e na Problemtica Ecolgica de Yves Chevallard (1991),

para promover a articulao entre a anlise epistemolgica e a anlise didtica,

alm de apontar caractersticas outras que determinam a sobrevivncia do objeto

matemtico Slidos Arquimedianos enquanto objeto de ensino, e na teoria dos

Registros de Representao Semitica de Duval (1995), para identificar e analisar

quais os registros mobilizados para a construo desses slidos, bem como

evidenciar os tratamentos e converses efetuados. A escolha metodolgica pela

pesquisa bibliogrfica contribuiu para o alcance do objetivo desejado, visto que

nos permitiu encontrar um procedimento matemtico realizado por renascentistas

para a obteno de arquimedianos a partir de cortes nas arestas de slidos

platnicos. As anlises das construes realizadas ajudaram a perceber que os

tratamentos apenas figurais no so suficientes para a construo dos Slidos

Arquimedianos no Cabri 3D, faz-se necessrio mobilizar um registro discursivo

suporte para que os pontos de corte em slidos platnicos possam ser

encontrados. Nesse sentido, constatamos que o Cabri 3D se confirmou como um

habitat para o estudo dos Slidos Arquimedianos, na medida em reconheceu

como objeto todos os saberes que determinam a existncia desse objeto

matemtico enquanto objeto de ensino.

Palavras-Chave: Slidos Arquimedianos. Cabri 3D. Transposio Didtica.

Registros de Representao Semitica.

ABSTRACT

This research aims to revisit the mathematical object Archimedean Solids through

their constructions on the environment of Dynamic Geometry Cabri 3D. Thus, the

research question was: Can the mathematical object Solids Archimedean be

rescued as the object of education for the Basic School using the environment as

habitat Dynamic Geometry Cabri 3D? To investigate processes of construction for

these solid, we resort to a bibliographic developed based on material already

prepared, consisting of books and scientific articles. The theoretical framework

was based on the Theory of Didactic Transposition to promote the relationship

between the epistemological analysis and didactic analysis, while identifying

characteristics that determine the survival of the Archimedean Solids mathematical

object as the object of education, and the theory of Register of Representation

Semiotics of Duval (1995), to identify and analyze the register mobilized for the

construction of solid as well as highlight treatments and conversions made. The

methodological choice for literature contributed to the achievement of the desired

goal, since it allowed us to find a mathematical procedure performed by

Renaissance to obtain Archimedean from cut edges of Platonic solids. The

analysis of the constructions helped us realize that the only figural treatments are

not sufficient for the construction of the Archimedean solids in Cabri 3D, it is

necessary to mobilize a record discursive support for the cut-off points on Platonic

solids can be found. Accordingly, we find that Cabri 3D was confirmed as a habitat

for the study of Archimedean Solids, because recognized as an object all the

knowledge that determine the existence of mathematical object as an object of

education.

Key-words: Archimedean Solids. Cabri 3D. Didactic Transposition. Register of

Representation Semiotics.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1. Representao de poliedro como slido, superfcie e estrutura. ....................... 23

Figura 2. Planificao da superfcie de um poliedro. ....................................................... 23

Figura 3. Planificaes de superfcies de poliedros. ........................................................ 24

Figura 4. Poliedro convexo e poliedro no-convexo. ....................................................... 25

Figura 5. Elementos de um poliedro ................................................................................ 27

Figura 6. Diferentes tipos de ngulos. ............................................................................. 28

Figura 7. Definio de Slidos Arquimedianos. ............................................................... 38

Figura 8. Exemplo de poliedros arquimedianos. .............................................................. 39

Figura 9. Prisma e Antiprisma retos regulares. ................................................................ 40

Figura 10. Arquimedianos estudados em Geometria Prtica. .......................................... 42

Figura 11. Slidos considerados arquimedianos. ............................................................ 42

Figura 12. Caixa de ferramentas poliedros. ..................................................................... 48

Figura 13. Caixa de ferramentas poliedros regulares ...................................................... 48

Figura 14. Tetraedro regular ............................................................................................ 49

Figura 15. Caixa de medidas. .......................................................................................... 49

Figura 16. Comprimento do segmento AB. ...................................................................... 49

Figura 17. Ferramenta ponto mdio. ............................................................................... 50

Figura 18. Ponto mdio da aresta do prisma. .................................................................. 50

Figura 19. Ferramenta plano. .......................................................................................... 50

Figura 20. Plano de seco. ............................................................................................ 51

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