PONTIFCIA UNIVERSIDADE CATLICA DE SO PAULO

PUC/SP

TALITA CARVALHO SILVA DE ALMEIDA

SLIDOS ARQUIMEDIANOS E CABRI 3D: UM ESTUDO

DE TRUNCATURAS BASEADAS NO RENASCIMENTO

MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMTICA

So Paulo

2010

TALITA CARVALHO SILVA DE ALMEIDA

SLIDOS ARQUIMEDIANOS E CABRI 3D: UM ESTUDO

DE TRUNCATURAS BASEADAS NO RENASCIMENTO

Dissertao apresentada Banca Examinadora

da Pontifcia Universidade Catlica de So Paulo,

como exigncia parcial para obteno do ttulo de

MESTRE EM ENSINO DE MATEMTICA, sob a

orientao da Professora Doutora Maria Jos

Ferreira da Silva.

PUC/SP

2010

Banca Examinadora

_____________________________________

_____________________________________

_____________________________________

Autorizo, exclusivamente para fins acadmicos e cientficos, a reproduo total

ou parcial desta Dissertao por processos de foto copiadoras ou eletrnicos.

Assinatura: _________________________So Paulo e Data: _________

Dedico este trabalho aos meus pais, Henrique e

Eliana, pelo amor, compreenso, pacincia e

incentivo sempre.

AGRADECIMENTOS

Primeiro agradeo a DEUS e aos meus anjos da guarda,

pela fora, pela proteo e pela oportunidade de iniciar

e concluir esta importante etapa de minha vida.

A querida Professora Doutora Maria Jos Ferreira da

Silva, pela orientao, apoio e amizade.

Ao Professor Mestre Mrio Thomaz (in memorian), por

ter me estimulado a iniciar o mestrado.

Aos membros da banca, Professores Doutores Iran

Abreu Mendes e FumiKazu Saito, pelas valiosas

sugestes e contribuies para essa pesquisa.

Ao corpo docente do Programa de Estudos Ps-

Graduados em Educao Matemtica da PUC-SP,

especialmente, aos Professores Doutores Saddo Ag

Almouloud, Benedito Antonio da Silva, Cileda de

Queiroz e Silva Coutinho e Sandra Maria Pinto Magina.

A todos os Funcionrios do Centro de Cincias Exatas

da PUC-SP, especialmente ao Francisco, pela amizade e

pela ajuda final na formatao da dissertao.

Aos amigos do Programa de Estudos de Ps-Graduados

em Educao Matemtica, Juliana, Rosana, Pimenta, Ana

Lcia, Edna, Gilson, Victria, Patrcia, Ivete e Aida.

A querida amiga Victria, pela amizade, apoio e

sugestes preciosas.

Aos meus amados pais, Henrique e Eliana, por me

proporcionarem condies para estudar.

A minha av Margarida, meu amor incondicional.

Ao meu namorado rico, pelo amor e apoio sempre.

Ao meu tio Roberto, pelo carinho, amizade, apoio e

acolhida nessa fase de minha vida.

A minha irm Thais; meu cunhado Sandy; minhas tias

Thereza, Alzira e Ulcirene; minhas primas Paloma, Ana

Paula e Nayana. E a todos os meus familiares, por

acreditarem em mim e por estarem sempre ao meu lado.

A CAPES, pela concesso da bolsa de estudos.

A todas as pessoas que, de certa forma, contriburam

para a realizao desta pesquisa.

A Autora

RESUMO

O presente trabalho tem como objetivo revisitar o objeto matemtico Slidos

Arquimedianos por meio de suas construes no ambiente de Geometria

Dinmica Cabri 3D. Assim, a pergunta de pesquisa foi: o objeto matemtico

Slidos Arquimedianos pode ser resgatado como objeto de ensino para a Escola

Bsica, utilizando como habitat o ambiente de Geometria Dinmica Cabri 3D?

Para investigar processos de construo para esses slidos, recorremos a um

estudo bibliogrfico desenvolvido com base em material j elaborado, constitudos

principalmente de livros e artigos cientficos. O referencial terico baseou-se na

Transposio Didtica e na Problemtica Ecolgica de Yves Chevallard (1991),

para promover a articulao entre a anlise epistemolgica e a anlise didtica,

alm de apontar caractersticas outras que determinam a sobrevivncia do objeto

matemtico Slidos Arquimedianos enquanto objeto de ensino, e na teoria dos

Registros de Representao Semitica de Duval (1995), para identificar e analisar

quais os registros mobilizados para a construo desses slidos, bem como

evidenciar os tratamentos e converses efetuados. A escolha metodolgica pela

pesquisa bibliogrfica contribuiu para o alcance do objetivo desejado, visto que

nos permitiu encontrar um procedimento matemtico realizado por renascentistas

para a obteno de arquimedianos a partir de cortes nas arestas de slidos

platnicos. As anlises das construes realizadas ajudaram a perceber que os

tratamentos apenas figurais no so suficientes para a construo dos Slidos

Arquimedianos no Cabri 3D, faz-se necessrio mobilizar um registro discursivo

suporte para que os pontos de corte em slidos platnicos possam ser

encontrados. Nesse sentido, constatamos que o Cabri 3D se confirmou como um

habitat para o estudo dos Slidos Arquimedianos, na medida em reconheceu

como objeto todos os saberes que determinam a existncia desse objeto

matemtico enquanto objeto de ensino.

Palavras-Chave: Slidos Arquimedianos. Cabri 3D. Transposio Didtica.

Registros de Representao Semitica.

ABSTRACT

This research aims to revisit the mathematical object Archimedean Solids through

their constructions on the environment of Dynamic Geometry Cabri 3D. Thus, the

research question was: Can the mathematical object Solids Archimedean be

rescued as the object of education for the Basic School using the environment as

habitat Dynamic Geometry Cabri 3D? To investigate processes of construction for

these solid, we resort to a bibliographic developed based on material already

prepared, consisting of books and scientific articles. The theoretical framework

was based on the Theory of Didactic Transposition to promote the relationship

between the epistemological analysis and didactic analysis, while identifying

characteristics that determine the survival of the Archimedean Solids mathematical

object as the object of education, and the theory of Register of Representation

Semiotics of Duval (1995), to identify and analyze the register mobilized for the

construction of solid as well as highlight treatments and conversions made. The

methodological choice for literature contributed to the achievement of the desired

goal, since it allowed us to find a mathematical procedure performed by

Renaissance to obtain Archimedean from cut edges of Platonic solids. The

analysis of the constructions helped us realize that the only figural treatments are

not sufficient for the construction of the Archimedean solids in Cabri 3D, it is

necessary to mobilize a record discursive support for the cut-off points on Platonic

solids can be found. Accordingly, we find that Cabri 3D was confirmed as a habitat

for the study of Archimedean Solids, because recognized as an object all the

knowledge that determine the existence of mathematical object as an object of

education.

Key-words: Archimedean Solids. Cabri 3D. Didactic Transposition. Register of

Representation Semiotics.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1. Representao de poliedro como slido, superfcie e estrutura. ....................... 23

Figura 2. Planificao da superfcie de um poliedro. ....................................................... 23

Figura 3. Planificaes de superfcies de poliedros. ........................................................ 24

Figura 4. Poliedro convexo e poliedro no-convexo. ....................................................... 25

Figura 5. Elementos de um poliedro ................................................................................ 27

Figura 6. Diferentes tipos de ngulos. ............................................................................. 28

Figura 7. Definio de Slidos Arquimedianos. ............................................................... 38

Figura 8. Exemplo de poliedros arquimedianos. .............................................................. 39

Figura 9. Prisma e Antiprisma retos regulares. ................................................................ 40

Figura 10. Arquimedianos estudados em Geometria Prtica. .......................................... 42

Figura 11. Slidos considerados arquimedianos. ............................................................ 42

Figura 12. Caixa de ferramentas poliedros. ..................................................................... 48

Figura 13. Caixa de ferramentas poliedros regulares ...................................................... 48

Figura 14. Tetraedro regular ............................................................................................ 49

Figura 15. Caixa de medidas. .......................................................................................... 49

Figura 16. Comprimento do segmento AB. ...................................................................... 49

Figura 17. Ferramenta ponto mdio. ............................................................................... 50

Figura 18. Ponto mdio da aresta do prisma. .................................................................. 50

Figura 19. Ferramenta plano. .......................................................................................... 50

Figura 20. Plano de seco. ............................................................................................ 51

Figura 21. Ferramenta recorte de poliedro ...................................................................... 51

Figura 22. Recorte de poliedro. ....................................................................................... 51

Figura 23. Ferramenta planificao. ................................................................................ 52

Figura 24. Ferramenta abrir poliedro. .............................................................................. 52

Figura 25. Planificao da superfcie do dodecaedro regular. ......................................... 52

Figura 26. Diferentes tratamentos. .................................................................................. 71

Figura 27. Diferentes converses. ...................................................................................72

Figura 28. Slidos de Plato. ...........................................................................................81

Figura 29. Descrio de Pappus sobre os slidos arquimedianos. ..................................83

Figura 30. Tetraedro truncado e cuboctaedro. .................................................................87

Figura 31. Escrito de Piero della Francesca de um Tetraedro truncado. ..........................88

Figura 32. Escrito de Piero della Francesca de um Cuboctaedro. ....................................88

Figura 33. Hexgono regular a partir de um tringulo eqiltero. .....................................89

Figura 34. Tetraedro truncado, octaedro truncado, icosaedro truncado. ..........................89

Figura 35. Cubo truncado e Dodecaedro truncado. .........................................................90

Figura 36. Desenho de Leonardo da Vinci do Icosidodecaedro. ......................................91

Figura 37. Desenho de Leonardo da Vinci do Rombicuboctaedro....................................91

Figura 38. Icosidodecaedro e rombicuboctaedro. ............................................................92

Figura 39. Cuboctaedro truncado e cubo achatado. ........................................................93

Figura 40. Planificao da superfcie do cubo achatado. .................................................94

Figura 41. Construo do cubo achatado a partir do cubo. ..............................................94

Figura 42. Rombicosidodecaedro e icosidodecaedro truncado. .......................................95

Figura 43. Estrutura de poliedros em madeira. ................................................................97

Figura 44. Planificao de superfcie de poliedros em madeira. ......................................98

Figura 45. Dodecaedro achatado. ....................................................................................99

Figura 46. Superfcie de um dodecaedro achatado em madeira. .....................................99

Figura 47. Mistrio Cosmogrfico de Kepler. ................................................................. 101

Figura 48. Classificao de poliedros de Kepler ............................................................ 102

Figura 49. Exemplo Lema 2(i). ....................................................................................... 104

Figura 50. Exemplo Lema 2(ii). ...................................................................................... 105

Figura 51. Dois tipos de vrtices de mesma espcie ..................................................... 106

Figura 52. Slidos Arquimedianos. ................................................................................ 121

Figura 53. Rombicuboctaedro e pseudo rombicuboctaedro. .......................................... 123

Figura 54. Slidos Arquimedianos obtidos por truncaturas. ........................................... 127

Figura 55. Arquimedianos obtidos por truncaturas modificadas. .................................... 128

Figura 56. Truncamento tipo 1. ...................................................................................... 129

Figura 57. Truncamento tipo 2. ...................................................................................... 129

Figura 58. Eliminao do canto do tetraedro, do cubo e do dodecaedro. ...................... 130

Figura 59. Eliminao do canto do octaedro. ................................................................. 130

Figura 60. Eliminao do canto do icosaedro. ............................................................... 130

Figura 61. Cuboctaedro gerado a partir do cubo ou octaedro. ....................................... 131

Figura 62. Icosidodecaedro a partir do dodecaedro ou icosaedro. ................................ 131

Figura 63. Face hexagonal. ........................................................................................... 132

Figura 64. Pontos de corte no tringulo. ........................................................................ 133

Figura 65. Face octogonal. ............................................................................................ 133

Figura 66. Pontos de corte no quadrado. ...................................................................... 134

Figura 67. Face decagonal. ........................................................................................... 135

Figura 68. Pontos de corte no pentgono. ..................................................................... 135

Figura 69. Circunferncia circunscrita ao decgono. ..................................................... 136

Figura 70. Tringulo 1. .................................................................................................. 137

Figura 71. Tringulo 1. .................................................................................................. 137

Figura 72. Ferramenta cubo. ......................................................................................... 141

Figura 73. Cubo............................................................................................................. 141

Figura 74. Pontos mdios das arestas do cubo. ............................................................ 142

Figura 75. Plano de seco (cubo). ............................................................................... 142

Figura 76. Eliminao do canto do cubo. ....................................................................... 143

Figura 77. Cuboctaedro. ................................................................................................ 143

Figura 78. Ferramenta octaedro regular. ....................................................................... 143

Figura 79. Octaedro Regular. ........................................................................................ 144

Figura 80. Pontos mdios das arestas do octaedro regular. .......................................... 144

Figura 81. Plano de seco (octaedro regular). ............................................................. 144

Figura 82. Eliminao do canto do octaedro regular. ..................................................... 145

Figura 83. Ferramenta dodecaedro regular. ................................................................... 145

Figura 84. Dodecaedro regular. ..................................................................................... 146

Figura 85. Pontos mdios das arestas do dodecaedro regular. ..................................... 146

Figura 86. Plano de seco (dodecaedro regular). ........................................................ 146

Figura 87. Eliminao do canto do dodecaedro regular. ................................................ 147

Figura 88. Icosidodecaedro ............................................................................................ 147

Figura 89. Ferramenta icosaedro regular. ...................................................................... 148

Figura 90. Icosaedro Regular. ........................................................................................ 148

Figura 91. Pontos mdios das arestas do dodecaedro regular. ..................................... 148

Figura 92. Plano de seco (dodecaedro regular). ........................................................ 149

Figura 93. Eliminao do canto do icosaedro regular. .................................................... 149

Figura 94. Face triangular ABC. ..................................................................................... 152

Figura 95. Ferramenta tetraedro regular. ....................................................................... 153

Figura 96. Tetraedro regular. ......................................................................................... 153

Figura 97. Arestas do tetraedro divididas em trs partes congruentes. .......................... 153

Figura 98. Plano de seco (tetraedro regular). ............................................................. 154

Figura 99. Eliminao do canto do tetraedro regular. ..................................................... 154

Figura 100. Tetraedro truncado. .................................................................................... 155

Figura 101. Ferramenta octaedro regular. ...................................................................... 155

Figura 102. Octaedro regular. ........................................................................................ 155

Figura 103. Arestas do octaedro dividas em trs partes congruentes. ........................... 156

Figura 104. Plano de seco (octaedro regular) ............................................................ 156

Figura 105. Eliminao do canto do octaedro regular. ................................................... 157

Figura 106. Octaedro truncado. ..................................................................................... 157

Figura 107. Ferramenta icosaedro regular. .................................................................... 157

Figura 108. Icosaedro regular. ....................................................................................... 158

Figura 109. Arestas do icosaedro dividas em trs partes iguais. .................................... 158

Figura 110. Plano de seco (icosaedro regular). .......................................................... 158

Figura 111. Eliminao do canto do icosaedro regular. ................................................. 159

Figura 112. Icosaedro truncado. .................................................................................... 159

Figura 113. Tringulo eqiltero. ................................................................................... 160

Figura 114. Ferramenta comprimento. .......................................................................... 163

Figura 115. Comprimento da aresta (cubo). .................................................................. 163

Figura 116. Ferramenta calculadora. ............................................................................. 163

Figura 117. Inserindo expresso na calculadora (cubo truncado). ................................. 164

Figura 118. Transferncia de medida para a aresta do cubo. ........................................ 164

Figura 119. Plano de seco (cubo II) ........................................................................... 164

Figura 120. Eliminao do canto do cubo II. .................................................................. 165

Figura 121. Cubo truncado. ........................................................................................... 165

Figura 122. Converso entre os registros figural e algbrico. ........................................ 166

Figura 123. Inserindo a expresso na calculadora (dodecaedro truncado). ................... 168

Figura 124. Transferncia de medida para a aresta do dodecaedro regular. ................. 168

Figura 125. Plano de seco (dodecaedro regular II). ................................................... 169

Figura 126. Eliminao do canto do dodecaedro regular II. ........................................... 169

Figura 127. Dodecaedro truncado. ................................................................................ 169

Figura 128. Ferramenta transferncia de Medidas. ....................................................... 184

Figura 129. Transferindo medidas. ................................................................................ 184

Figura 130. Ferramentas distncia e comprimento. ....................................................... 185

Figura 131. Calculadora. ............................................................................................... 185

Figura 132. Ferramenta semi-reta. ................................................................................ 186

Figura 133. Criao semi-reta. ...................................................................................... 186

Figura 134. Ferramenta ponto. ...................................................................................... 187

Figura 135. Ponto 1 na semi-reta. ................................................................................. 187

Figura 136. Ferramenta esfera. ..................................................................................... 187

Figura 137. Ponto 2 e ponto 3 na semi-reta. .................................................................. 188

Figura 138. Ferramenta segmento. ............................................................................... 188

Figura 139. Criao segmento. ...................................................................................... 188

Figura 140. Ferramenta paralela. ................................................................................... 189

Figura 141. Criao paralelas. ....................................................................................... 189

LISTA DE QUADROS

Quadro 1. Recursos do Cabri 3D. ................................................................................... 53

Quadro 2. Nmeros de tringulos eqilteros que podem concorrer em um vrtice. ....... 80

Quadro 3. Nmeros de quadrados que podem concorrer em um vrtice. ........................ 80

Quadro 4. Nmeros de pentgonos regulares que podem concorrer em um vrtice. ...... 80

Quadro 5. Caractersticas Poliedros de Plato. ............................................................... 82

Quadro 6. Descrio de Pappus sobre os slidos arquimedianos. .................................. 84

Quadro 7. Slidos Arquimedianos no Renascimento. ...................................................... 96

Quadro 8. Tipos de vrtices que no formam um ngulo slido. ................................... 104

Quadro 9. Possibilidades de ngulos slidos formados por um polgono de quatro lados e

no mximo quatro polgonos de trs lados. ................................................................... 107

Quadro 10. Possibilidades de ngulos slidos formados por dois polgonos de quatro

lados e dois polgonos de trs lados.............................................................................. 108

Quadro 11. Possibilidades de ngulos slidos formados por trs polgonos de quatro

lados e dois polgonos de trs lados. ............................................................................. 109

Quadro 12. Possibilidades de ngulos slidos formados por um polgono de cinco lados e

no mximo quatro polgonos de trs lados.. .................................................................. 109

Quadro 13. Possibilidades de ngulos slidos formados por dois polgonos de cinco lados

e no mximo dois polgonos de trs lados.. ................................................................... 110

Quadro 14. Possibilidades de ngulos slidos formados por um polgono de seis lados e

no mximo trs polgonos de trs lados. ....................................................................... 111

Quadro 15. Possibilidades de ngulos slidos formados por dois polgonos de seis lados

e um polgono de trs lados. ......................................................................................... 112

Quadro 16. Possibilidades de ngulos slidos formados por um polgono de sete ou mais

lados e trs lados. ......................................................................................................... 113

Quadro 17. Possibilidades de ngulos slidos formados por mais de um polgono de sete

ou mais lados e trs lados. ............................................................................................ 114

Quadro 18. Possibilidades de ngulos slidos formados por polgonos de quatro lados e

cinco ou mais lados. ...................................................................................................... 115

Quadro 19. Possibilidades de ngulos slidos formados por polgonos de cinco lados e

seis ou mais lados. ........................................................................................................ 116

Quadro 20. Possibilidades de ngulos slidos formados por um polgono de quatro lados,

dois polgonos de trs lados e um polgono de cinco ou mais lados. ............................. 117

Quadro 21. Possibilidades de ngulos slidos formados por dois polgonos de quatro

lados e um polgono de cinco ou mais lados. ................................................................. 118

Quadro 22. Possibilidades de ngulos slidos formados por trs polgonos que no so

de trs lados. ................................................................................................................. 119

Quadro 23. Pseudo Rombicuboctaedro. ........................................................................ 122

Quadro 24. Caractersticas numricas dos arquimedianos estudados. .......................... 172

Quadro 25. Caractersticas numricas a partir do tipo de truncamento. ......................... 174

SUMRIO

CONSIDERAES INICIAIS .................................................................................................... 18

CAPITULO 1 ESTUDOS PRELIMINARES .......................................................................... 22

1.1 IDIA DE POLIEDRO ......................................................................................................... 22

1.2 ALGUNS ESTUDOS EM GEOMETRIA ESPACIAL......................................................... 28

1.3 OS POLIEDROS NOS DOCUMENTOS OFICIAIS ............................................................ 34

1.4 OS SLIDOS ARQUIMEDIANOS EM MATERIAIS DIDTICOS .................................. 38

1.5 DESENHO GEOMTRICO E GEOMETRIA DESCRITIVA ............................................. 43

1.6 GEOMETRIA DINMICA E CABRI 3D ............................................................................. 46

1.7 OS TRS PLOS DA COMUNICAO ............................................................................ 54

CAPTULO 2 PROBLEMTICA ............................................................................................ 58

2.1 DELIMITAO DO PROBLEMA ..................................................................................... 58

2.2 PROCEDIMENTOS METODOLGICOS .......................................................................... 59

2.3 QUADRO TERICO ........................................................................................................... 60

2.3.1 NOO DE TRANSPOSIO DIDTICA E A PROBLEMTICA ECOLGICA ....... 61

2.3.2 REGISTRO DE REPRESENTAO SEMITICA ........................................................ 66

CAPTULO 3 ESTUDO HISTRICO .................................................................................... 78

3.1 POLIEDROS REGULARES ................................................................................................ 78

3.2 O DESENVOLVIMENTO DOS SLIDOS DE ARQUIMEDES ........................................ 82

3.3 SOLIDOS ARQUIMEDIANOS NO RENASCIMENTO..................................................... 85

3.4 SISTEMATIZAAO DE KEPLER .................................................................................... 100

3.5 TREZE OU QUATORZE ARQUIMEDIANOS? ............................................................... 121

CAPTULO 4 ESTUDO DIDTICO E MATEMTICO .................................................... 126

4.1 OPERAO DE TRUNCAMENTO ................................................................................. 126

4.1.1 ARQUIMEDIANOS OBTIDOS POR TRUNCAMENTO TIPO 1 ................................. 131

4.1.2 ARQUIMEDIANOS OBTIDOS POR TRUNCAMENTO TIPO 2 ................................. 132

4.2. AS CONSTRUES E SUAS ANLISES ...................................................................... 140

4.2.1 TRUNCAMENTO TIPO 1 ............................................................................................ 141

4.2.2 TRUNCAMENTO TIPO 2 ............................................................................................ 152

4.3 AS CARACTERSTICAS NUMRICAS DOS POLIEDROS OBTIDOS ........................ 172

CONSIDERAES FINAIS ..................................................................................................... 176

REFERNCIAS .......................................................................................................................... 180

APNDICE A: TRANSFERINDO MEDIDAS NO CABRI 3D .............................................. 184

APNDICE B: APLICANDO O TEOREMA DE TALES NO CABRI 3D ............................ 186

18

CONSIDERAES INICIAIS1

As possibilidades interativas advindas da informtica e os seus diversos

usos na educao matemtica so aspectos que sempre chamaram minha

ateno. Talvez pelo fato de ter formao na rea de tecnologia, alm de ser

professora de matemtica.

De fato meu interesse estava, desde meu ingresso no mestrado ou mesmo

antes, em desenvolver um trabalho em geometria espacial auxiliado pelo

ambiente de Geometria Dinmica Cabri 3D, software que conheci em 2004 na

condio de aluna da especializao em educao matemtica da Universidade

do Estado do Par. Assim, faltava escolher o objeto matemtico de estudo para

dar incio a pesquisa.

No programa de Ps Graduao em Educao Matemtica da PUC-SP, eu

e outra aluna, tivemos a oportunidade de ministrar uma oficina de Cabri 3D.

Nosso intuito era apresentar as ferramentas e recursos do software via

construes geomtricas espaciais. Para isso, elaboramos um material que

apresentava tais ferramentas e recursos por meio de atividades propostas. Uma

das atividades trazia o passo a passo da construo do slido arquimediano

cuboctaedro, sem, no entanto nome-lo ou mesmo ilustr-lo.

Observamos que essa atividade incomodou vrios de nossos colegas

presentes, pois uma vez concluda a construo a mesma era apagada e

recomeada, como se a figura gerada no fosse esperada. Essa situao nos

fez perceber que a maioria dos alunos desconhecia o cuboctaedro, bem como os

outros Slidos Arquimedianos.

A situao exposta me levou a procurar trabalhos em geometria espacial

que discorressem a respeito desses slidos, na tentativa de talvez entender o

porqu desse no conhecimento. No entanto, para minha surpresa, percebi que

pesquisas e at mesmo livros de geometria espacial a respeito do assunto quase

inexistiam no Brasil.

____________

1 Essa dissertao est conforme as regras do Acordo Ortogrfico.

19

Essa inquietao contribuiu em grande parte para a escolha do tema do

presente trabalho na medida em que me fez investigar alm do objeto matemtico

em questo, processos de construes para esses slidos.

Desse modo, eu e minha orientadora decidimos desenvolver nosso estudo

no ambiente de Geometria Dinmica Cabri 3D, por o considerarmos uma

ferramenta potencial de ajuda ao raciocnio, principalmente pela possibilidade de

corrigir e aperfeioar continuamente construes geomtricas espaciais ao longo

das simulaes.

Para tanto, tomamos por hiptese que o Cabri 3D possibilita o estudo dos

Slidos Arquimedianos, pois alm de favorecer a representao de objetos

tridimensionais, permite manipul-las, o que facilita a explorao e a elaborao

de conjecturas. Desse modo, objetivamos com a pesquisa revisitar o objeto

matemtico Slidos Arquimedianos por meio de suas construes no ambiente de

Geometria Dinmica Cabri 3D.

Assim, nos propomos responder seguinte questo de pesquisa: O objeto

matemtico Slidos Arquimedianos pode ser resgatado como objeto de

ensino para a Escola Bsica, utilizando como habitat o ambiente de

Geometria Dinmica Cabri 3D? Para respond-la investigamos na histria

processos de construo para esses slidos e verificamos se o ambiente proposto

permite que tais construes sejam realizadas.

O presente trabalho foi estruturado em quatro captulos. No primeiro

captulo, apresentamos estudos preliminares importantes para a composio de

nossa problemtica. Nesse captulo, destacamos algumas idias que envolvem o

termo poliedro, apontamos como os Slidos Arquimedianos so abordados em

pesquisas realizadas em Educao Matemtica, nos documentos oficias e em

materiais didticos, assinalamos as possveis causas para o declnio das

disciplinas Desenho Geomtrico e Geometria Descritiva, bem como

apresentamos uma reflexo acerca da complementaridade entre as duas

disciplinas citadas e o ambiente Cabri 3D.

No segundo captulo trazemos a problemtica, na qual destacamos nosso

problema de pesquisa, procedimentos metodolgicos e nosso quadro terico. O

terceiro captulo tece consideraes a respeito da histria dos Slidos de

20

Arquimedes, traz a demonstrao da existncia de apenas treze slidos e

apresenta um procedimento matemtico descoberto no Renascimento que

possibilita a construo dos mesmos.

No ltimo captulo, apresentamos o nosso estudo didtico e matemtico a

respeito dos Slidos Arquimedianos que aponta uma possibilidade para o ensino

e aprendizagem e sua incluso na Educao Bsica por meio do ambiente de

Geometria Dinmica Cabri 3D. Essa possibilidade est atrelada a sistematizao

do procedimento de construo renascentista.

Por fim, apresentamos algumas consideraes finais, oriundas das

construes realizadas no Cabri 3D, a resposta para a nossa questo de

pesquisa, bem como algumas perspectivas futuras.

22

CAPITULO 1 ESTUDOS PRELIMINARES

Iniciamos o captulo com algumas idias que envolvem o termo poliedro e

com a apresentao de alguns estudos j realizados em Geometria Espacial. Em

seguida, destacamos como os documentos oficiais sugerem o ensino dos Slidos

Arquimedianos, bem como a maneira que esse contedo abordado em

materiais didticos. Por fim, apontamos as possveis causas do abandono das

disciplinas Desenho Geomtrico e Geometria Descritiva, um possvel ambiente

informtico que possibilite o estudo de poliedros, alm de uma reflexo acerca da

complementaridade existente entre o Desenho Geomtrico, a Geometria

Descritiva e o ambiente informtico proposto.

1.1 IDIA DE POLIEDRO

Wenninger (1996) lembra que a geometria , por vezes, definida como o

estudo do espao ou de figuras no espao de duas dimenses, para as figuras

planas, polgonos, e de trs dimenses para poliedros. A idia de conjunto

utilizada pelo autor para definir polgono como um conjunto de segmentos que

limitam uma poro do espao bidimensional, e poliedros como um conjunto de

figuras planas que limitam uma poro do espao tridimensional.

Para Cromwell (2008) a definio de poliedros assinalada por Wenninger

(1996) pode ser interpretada de muitas maneiras, pois no fornece qualquer

restrio para a forma como os polgonos esto dispostos ou que tipos de

polgonos podemos usar. No entanto para o autor, tal definio tem sido

produtiva, j que possibilita o termo poliedro envolver vrias direes e conduzir

para o estudo de diferentes tipos de objetos polidricos.

O autor, ainda, afirma que estabelecer uma definio geral para poliedros

impossvel, uma vez que diversos escritores tm aplicado o mesmo termo para

idias distintas, algumas mutuamente exclusivas. Se em um nvel mais elementar

perguntarmos se um poliedro um objeto slido ou uma superfcie oca, para

Cromwell (2008) essas respostas dependem do perodo em que os gemetras

viveram e os problemas que eles estudaram. Para um agrimensor da Grcia

antiga, por exemplo, um poliedro era um slido, ao longo dos ltimos anos,

23

tornou-se, segundo o autor, mais conveniente pensar em poliedros como

superfcies ocas. Entretanto, o autor aponta que h ainda estudiosos que

consideram poliedros apenas como estrutura, como mostramos na Figura 1.

Figura 1. Representao de poliedro como slido, superfcie e estrutura.

No Brasil, de acordo com o Novo Dicionrio da Lngua Portuguesa

(Aurlio), o termo poliedro designado para slido limitado por polgonos

planos. Contudo ao observarmos a definio de Poliedro apresentada em livros

de Geometria Espacial, percebemos contradies nos discursos dos autores, que

embora considerem poliedros como slidos, no os definem como tal.

Freire (1897, p. 146) em Primeiras Noes de Geometria Prtica admite

poliedro como sendo os volumes limitados por superfcies planas. Em um

primeiro momento, a definio dada nos permite considerar poliedro como slido,

entretanto, h uma passagem no livro em que o autor revela as faces como os

planos que formam o poliedro. (Ibid., p.147). Tal afirmao se confirma nas

representaes de poliedros, observadas na Figura 2, em que o autor apresenta a

planificao como exemplo do mesmo.

Figura 2. Planificao da superfcie de um poliedro. Fonte: Freire, 1897, p. 151.

24

Para Carvalho (1960, p. 80), em Programa de Desenho para a primeira e

segunda sries ginasiais, os poliedros so slidos completamente limitados por

polgonos planos e os slidos so caracterizados por possurem trs dimenses:

comprimento, largura e altura ou espessura. No entanto, o exemplo dado pelo

autor, conforme mostra a Figura 3, elucida a idia de poliedro apenas como uma

superfcie.

Figura 3. Planificaes de superfcies de poliedros. Fonte: Carvalho, 1960, p.93.

Lima et. al. (1999) em A Matemtica do Ensino Mdio iniciam a discusso

a respeito de Poliedro designando-o, de uma forma geral, como slido formado

por faces, mas o definem como uma reunio de um nmero finito de polgonos

planos. (Ibid., p.232).

25

Para os mesmos autores, conforme mostra a Figura 4, um poliedro

convexo se qualquer reta (no paralela a nenhuma de suas faces) o corta em, no

mximo, dois pontos. (LIMA ET AL, 1999, p.233).

Figura 4. Poliedro convexo e poliedro no-convexo. Fonte: Lima et. al., 1999, p. 233.

A definio adotada pelos autores torna clara a idia de poliedro como

superfcie. Contudo, vale ressaltar que em outro momento, os mesmos autores

estudam o volume de poliedros e o definem como a quantidade de espao por

ele ocupado. (LIMA et. al., 1999, p.251).

Diferente das definies j apresentadas, Rangel (1982, p. 6) afirma que

poliedro toda superfcie polidrica fechada. , portanto, a superfcie que pode ser concebida como um conjunto de polgonos tais que cada lado de uma face pertence sempre, e no mximo, a duas faces.

De acordo com o autor, por hbito de linguagem, comum se referir ao

nome do corpo, em vez do nome da superfcie que o limita, como por exemplo,

diz-se cubo, quando se quer referir superfcie cbica. Embora a idia de

poliedro para o autor seja a de superfcie, ele considera seu volume quando diz

que dois poliedros so eqilaventes quando tm o mesmo volume. (Ibid., p. 9).

Nesse sentido, o autor confunde volume com capacidade.

J Dolce e Pompeo (1998, p.124), em Fundamentos de Matemtica

Elementar: geometria espacial, discorrem a respeito de Poliedro Convexo como

segue.

Consideremos um nmero finito n (n 4) de polgonos planos convexos (ou regies poligonais convexas) tais que: a) dois polgonos no esto num mesmo plano; b) cada lado de polgono comum a dois e somente dois polgonos;

26

c) o plano de cada polgono deixa os demais polgonos num mesmo semi-espao. Nessas condies, ficam determinados n semi-espaos, cada um dos quais tem origem no plano de um polgono e contm os restantes. A interseco desses semi-espaos chamado poliedro convexo. Um poliedro convexo possui: faces, que so os polgonos convexos; arestas, que so os lados dos polgonos e vrtices, que so os vrtices dos polgonos. A reunio das faces a superfcie do poliedro.

A definio apresentada de poliedro convexo como a interseco de semi-

espaos nos conduz assumir poliedro no como um slido. Assim, em um

primeiro momento, somos levados a crer que os autores entendem poliedro como

uma superfcie.

No entanto, os mesmos autores, em Fundamentos de Matemtica

Elementar: geometria plana, definem polgono como a reunio de segmentos e

no como uma superfcie, como segue:

dada uma seqncia de pontos de um plano (A1, A2,..., An) com n 3, todos distintos, onde trs pontos consecutivos no so colineares, considerando-se consecutivos An-1, An e A1, assim como An, A1, e A2, chama-se polgono reunio dos segmentos A1A2, A2A3, ..., An-1An, An A1 (POMPEO e DOLCE, 2006, p. 132).

Se considerarmos a definio de polgono apresentada pelos autores, a

idia de poliedro como superfcie tambm descartada, pois, a idia que

prevalece a de poliedro como estrutura, e, portanto, no h volume e nem

capacidade.

Kaleff (1998), embora no defina Poliedros, em Vendo e Entendendo

Poliedros, a todo momento designa-o como um slido. Tal interpretao ocorre

quando a autora descreve dois tipos de representao concreta que podem

favorecer o reconhecimento e anlise de propriedades geomtricas por parte do

aluno: o modelo casca, que representa a superfcie do poliedro, e o modelo

esqueleto, que representa a estrutura das arestas do poliedro.

A maioria das definies apresentadas nos conduz a um problema que

envolve a interpretao do termo poliedro. Ora, se considerarmos poliedro como a

reunio de um nmero finito de faces, entendemos que a idia que prevalece a

de um objeto oco e no a de um objeto slido, e nesse caso no h volume, mas

27

sim capacidade. A idia de volume nos remete a admitir poliedro como algo que

no seja oco, nem vazio.

Ponte (2000, p.15) adverte que

a capacidade muitas vezes confundida com o volume e, por vezes, as crianas tm dificuldade em separar o volume de um objeto do seu peso. Enquanto que volume de um objeto a quantidade de espao que ocupa, a capacidade a quantidade de espao ou de lquido que pode conter.

Diante das definies apresentadas, percebemos contradies na maioria

dos discursos dos autores em relao ao termo poliedro. Acreditamos que,

embora seja possvel definir poliedro de diferentes maneiras, isto , como slido,

como superfcie ou ainda como estrutura, precisamos ser coerentes com a

definio adotada.

No trabalho, assumimos a idia de poliedro como um slido e adotamos a

definio de poliedro convexo apresentada por Dolce e Pompeo (1998). Contudo,

definimos polgono como a reunio de uma linha fechada simples formada

apenas por segmentos de reta com a sua regio interna, conforme Giovanni,

Castrucci e Giovanni Jr. (1998, p. 202).

Alguns termos bsicos, listados abaixo e ilustrados na Figura 5, sero

mencionados no decorrer do trabalho.

Cada polgono chamado de face de um poliedro.

Um segmento comum a duas faces chamado de aresta.

Um ponto comum a vrias arestas e faces chamado de vrtice.

Figura 5. Elementos de um poliedro Fonte: Cromwell, 2008, p.13.

vrtice

aresta

face

28

Existem tambm vrios tipos de ngulos em um poliedro: ngulo plano,

ngulo slido e ngulo diedral, respectivamente mostrados na Figura 6. O ngulo

no canto de uma face poligonal chamado de ngulo plano. O ngulo slido a

regio do poliedro prxima a um vrtice, em outras palavras, um pedao do

canto e est delimitada por trs ou mais ngulos planos. O ngulo entre duas

faces adjacentes chamado de ngulo diedral e para encontr-lo marca-se um

ponto na aresta compartilhada e cria-se uma perpendicular aresta em cada uma

das duas faces passando pelo ponto marcado. O ngulo diedral o ngulo entre

as duas linhas.

Figura 6. Diferentes tipos de ngulos.

Assim, em continuidade aos nossos estudos analisamos as pesquisas

que se aproximam do tema de pesquisa.

1.2 ALGUNS ESTUDOS EM GEOMETRIA ESPACIAL

Nessa parte do trabalho, procuramos analisar as pesquisas em Geometria

Espacial que retratassem em seus estudos os Slidos de Arquimedes.

A procura no Banco de Dissertaes e Teses da Capes por pesquisas em

Geometria Espacial, considerando o descritor geometria espacial, nos conduziu

a um total de 35 trabalhos, 27 relacionados Educao ou Educao Matemtica,

4 Engenharia, 1 Biologia, 1 Cincias Ambientais, 1 Cincia da

Comunicao e 1 Cincia da Computao.

Das pesquisas relacionadas rea de Educao ou Educao Matemtica,

percebemos que apenas duas retratam em seus estudos os Slidos

Arquimedianos. No entanto, esse levantamento nos permitiu constatar que 19

29

pesquisas se aproximam por considerarem a representao e visualizao em

Geometria Espacial, habilidades importantes para o desenvolvimento do

raciocnio geomtrico espacial do indivduo.

Nesse sentido, procuramos ento, no apenas no Banco de Teses da

Capes, mas no Brasil, por estudos em Matemtica e em Educao Matemtica

que discutissem a questo da visualizao e representao em Geometria

Espacial, e tambm por pesquisas que abordassem o contedo matemtico

Slidos Arquimedianos.

Nessa busca encontramos vrios estudos em Educao Matemtica que

ressaltam a importncia de se incentivar o desenvolvimento da habilidade de

visualizar tanto objetos do mundo real, quanto conceitos, processos e fenmenos

matemticos. Dentre esses, destacamos os trabalhos de Kaleff e Rei (1994);

Kaleff, Rei e Garcia (1996) e Kaleff (1998) relacionados visualizao e

interpretao de slidos geomtricos e os estudos de Cavalca (1997),

Montenegro (2005) e Flores (2007) que retratam a questo da visualizao de

forma mais abrangente. Quanto a trabalhos que abordam o objeto matemtico

Slidos Arquimedianos, encontramos apenas o estudo de Allan (1997) e as

dissertaes de Fernandes (2008) e Silva (2008).

As dificuldades apresentadas pelos alunos na visualizao de slidos

geomtricos e a desmotivao que muitos apresentavam nas aulas de Geometria

Espacial levaram Kaleff e Rei (1994) a procurar meios que facilitassem o ensino

de propriedades geomtricas dos slidos e tornassem esse ensino mais atrativo e

motivador.

Para as autoras umas das formas de se desenvolver o raciocnio espacial

seria construir os slidos geomtricos por meio de materiais concretos. Tais

construes dariam ao aluno no s a oportunidade de observar e utilizar vrias

relaes espaciais, mas ao mesmo tempo, por meio da manipulao dos

materiais concretos, o mesmo seria motivado ao e teria estimulada a sua

criatividade.

Foi nesse sentido que Kaleff e Rei (1994) utilizaram, em suas prticas

materiais concretos, como canudos e varetas, para a construo de estruturas

que representassem esqueletos dos cinco slidos platnicos construdos por

30

meio de suas arestas. A seqncia de construo dos slidos foi seguinte:

tetraedro, octaedro, icosaedro e cubo. As autoras assinalaram que alunos entre

13 e 15 anos perceberam que, aps construrem os quatros slidos, a idia da

construo do dodecaedro surgiu naturalmente. Dessa forma, enfatizaram a

importncia de uma abordagem pedaggica que permita o aluno criar imagens,

interpretar desenhos, conjecturar e intuir solues para problemas, habilidades

teis no apenas para o desenvolvimento de idias matemticas, mas tambm

para o desenvolvimento integral do ser humano.

J Kaleff, Rei e Garcia (1996) com o propsito de investigar como

professores e futuros professores interpretavam desenhos e calculavam volumes

de slidos construdos por pequenos cubos, desenvolveram um estudo com 590

indivduos, entre professores e alunos do curso de graduao em matemtica,

com diferentes experincias de escolaridade e em diferentes meios sociais. Para

avaliar e quantificar tais observaes, as autoras elaboraram e aplicaram um

questionrio relacionado a objetos tridimensionais.

Com as respostas dadas as autoras constataram significativas

deficincias apresentadas pelos sujeitos investigados no que tange a visualizao

e interpretao de informaes pictricas implcitas, necessrias para a

determinao do volume de slidos, alm de deficincias outras relativas a

diversos conceitos matemticos elementares.

A preocupao com a visualizao em Geometria levou Kaleff (1998) a

desenvolver um trabalho que contribusse para sua valorizao, enfatizando as

representaes e suas interpretaes. Nesse sentido, um material para

professores foi desenvolvido para que contedos pouco explorados nos

programas escolares, como os slidos platnicos e os poliedros regulares

convexos duais2, fossem revisitados e vivenciados de maneira dinmica e

objetiva.

Para Kaleff (1998, p.16) ao visualizar objetos geomtricos, o indivduo

passa a ter controle sobre o conjunto das operaes mentais bsicas exigidas no

trato da Geometria. Contudo, segundo a autora, importante no confundir a

____________

2 Segundo Veloso (1998), diz-se que dois poliedros so duais um do outro se consideramos um

poliedro qualquer e obtermos os vrtices do outro poliedro a partir dos pontos centrais das faces adjacentes do primeiro poliedro.

31

habilidade de perceber o objeto matemtico em sua totalidade, habilidade de

visualizao, com a percepo visual das representaes disponveis deste

objeto.

A autora pontua que embora haja muitas discusses sobre a forma como

a visualizao se processa na mente, importante consider-la principalmente na

Geometria e assinala que a habilidade de visualizao no inata a todos os

indivduos, contudo pode ser desenvolvida. Para Kaleff (1998), um dos caminhos

seria dispor de um apoio didtico baseado em materiais concretos representativos

do objeto geomtrico de estudo.

Compartilhando esta mesma assertiva, de que alguns indivduos

simplesmente no possuem capacidade de visualizao, Cavalca (1998) elaborou

uma seqncia didtica com o propsito de desenvolver com alunos do terceiro

grau, que apresentavam tal carncia, as habilidades necessrias para a

visualizao, interpretao de objetos espaciais e suas representaes.

A seqncia de atividades desenvolvida pelo autor, com material concreto

e suas representaes com lpis e papel, ajudou os alunos a desenvolverem suas

capacidades de interpretar representaes distintas de um mesmo objeto

matemtico e resolver problemas por meio de processos apoiados na

visualizao. Para Cavalca (1998, p. 163), isto significa que eles conseguiram

estabelecer uma relao mais adequada entre os objetos do espao e a

representao plana deles, e dessa forma, evidenciou que possvel desenvolver

a habilidade de visualizao mesmo em alunos adultos.

Montenegro (2005) tambm acredita que a habilidade de visualizao

pode ser estimulada, contudo adverte que no pode ser

[...] tida como especfica; ela englobaria diferentes tipos de aprendizagem que procuram identificar relaes de posio, direo, tamanho, forma e distncia entre objetos. Ela percebe detalhes e os agrupa em conjuntos; ou os monta em padres dentro de uma base conhecida. (Ibid., p.8).

O autor conduziu a pesquisa com 41 alunos do Ensino Mdio com o

intuito de analisar como objetos espaciais eram visualizados por eles. Na

pesquisa, seis testes foram aplicados, com distintas figuras, em diferentes

posies. Os resultados obtidos evidenciaram muitas dificuldades por parte dos

32

alunos em representar objetos tridimensionais, a representao mais utilizada foi

a perspectiva Cavaleira. Para o autor, desenvolver as capacidades de

visualizao e representao ter estimulada a criatividade humana, inteligncia

para criar coisas novas.

Da mesma forma, Flores (2007) considera a visualizao importante para

a aquisio dos conhecimentos geomtricos, e atribui geometria uma atividade

do olhar, considerada pela autora, um tanto complexa por envolver outros

elementos que no estejam relacionados, exclusivamente, s figuras em si e nem

a capacidade visual de cada um de ns. A autora sugere que analisemos uma

imagem como representao de um modo de olhar e apresenta a perspectiva

como suporte tanto da representao, quanto da epistemologia de um modo

especfico do olhar. (Ibid., p. 20).

Para a autora entender como esse olhar se fez em perspectiva, pode nos

ajudar a compreender o problema da visualizao no ensino de Matemtica, uma

vez que a intimidade entre a visualizao e a geometria no se restringe ao

espao de sala de aula, to pouco s questes atuais. (FLORES, 2007, p.17). O

que a autora sugere deslocar o plo do processo de ensino e de aprendizagem

centrado no aluno e apromixar-se do saber institudo. (Ibid., p.36). Em outras

palavras, compreender tanto o lugar efetivo do conhecimento, quanto a relao

que o professor tem com o saber que ele ensina.

Flores (2007) ao investigar na histria, na arte e na tcnica, um

conhecimento de um saber, o da tcnica em perspectiva, e mostrar como o modo

de olhar, os saberes e os sujeitos foram se construindo, pde compreender as

dificuldades e os erros de interpretao visual dos alunos, bem como relaciona-

los a construo de um olhar estabelecido em uma ordem que se deu h sculos

atrs.

Nos estudos apresentados at aqui, percebemos a preocupao dos

autores em amenizar dificuldades no que tange a visualizao, interpretao e

representao de objetos tridimensionais ou mesmo procurar meios didticos que

possibilitem o desenvolvimento de tais capacidades. Acreditamos tambm que

esses aspectos so importantes e precisam ser considerados, entretanto como

fogem do escopo principal deste trabalho sero explorados em trabalhos futuros.

33

Quanto aos estudos que envolvem o objeto matemtico Slidos

Arquimedianos, observamos que Allan (1997) os apresenta por meio de um breve

estudo histrico sobre poliedros e nos indica um processo geral que envolve suas

construes. O processo de lapidao sugerido pelo autor, consiste em cortar

pedaos de um slido regular qualquer para a obteno de outro slido em que

todas as arestas so congruentes. Contudo, o autor no ilustra nenhum slido

arquimediano e to pouco os nomeia apenas nos indica o slido platnico a partir

do qual se originam. Esse estudo contribuiu para o desenvolvimento de nossa

pesquisa, sobretudo em relao aos aspectos histricos apontadas pelo autor.

Em relao s pesquisas de Fernandes (2008) e Silva (2008) percebemos

que ambas compartilham do mesmo slido arquimediano. Suas pesquisas esto

relacionados WebQuest Bola de Futebol e a Matemtica, desenvolvida pelas

autoras para o ensino e aprendizagem do slido arquimediano icosaedro

truncado. A WebQuest apresenta tarefas que envolvem noes relativas aos

Slidos Arquimedianos, bem como competncias para o trabalho geomtrico, tais

como: leitura e interpretao de textos, definies em matemticas, princpios das

construes geomtricas, dentre outros. A WebQuest traz, ainda, a tarefa de

construir um modelo do icosaedro truncado utilizando papel carto, alm das

instrues necessrias para sua confeco.

Enquanto Fernandes (2008) analisou o papel que o professor

desempenhava ao utilizar a WebQuest, Silva (2008) procurou investigar como

esta metodologia de ensino pode colaborar para o desenvolvimento de contedos

matemticos com alunos do Ensino Mdio. Ambas as autoras dedicaram um

captulo de suas dissertaes ao estudo matemtico, ainda que tmido, dos

slidos arquimedianos. Como os objetivos do estudo no estavam relacionados

com o objeto matemtico em si, mas com a utilizao e interao dos alunos e

professores com a WebQuest, no temos como apontar resultados no que tange

a construo do conhecimento matemtico.

Nas pesquisas apresentadas, identificamos que o estudo matemtico dos

Slidos Arquimedianos no Brasil pouco explorado, talvez pela dificuldade

relacionada a visualizao e representao desses slidos, bem como da

compreenso de noes e propriedades geomtricas espaciais.

34

Diante das dificuldades apresentadas a respeito da representao e

visualizao de objetos espaciais, procuramos observar como o ensino de Slidos

Arquimedianos sugerido pelos documentos oficiais.

1.3 OS POLIEDROS NOS DOCUMENTOS OFICIAIS

Os Documentos Oficiais de Educao em Matemtica, seja para o nvel

fundamental, seja para o nvel mdio, destacam a importncia do papel da

educao no desenvolvimento das pessoas e da sociedade, alm de

estabelecerem diretrizes baseadas em orientaes gerais para que sirvam de

apoio ao ato de ensinar.

Todos concordam quanto importncia do ensino de Geometria como

forma de proporcionar o desenvolvimento de um pensamento matemtico

especfico, baseado na leitura e interpretao do espao do qual fazemos parte.

O estudo da Geometria cria oportunidade para melhor compreender e representar

os vrios tipos de organizao desse espao, isto , as obras do homem ou da

natureza.

Nesse sentido, Os Parmetros Curriculares Nacionais (PCN, 1998, p.122)

afirmam que:

a Geometria desempenha um papel fundamental no currculo, na medida em que possibilita ao aluno desenvolver um tipo de pensamento particular para compreender, descrever e representar de forma organizada, o mundo em que vive. Tambm fato que as questes geomtricas costumam despertar o interesse dos adolescentes e jovens de modo natural e espontneo. Alm disso, um campo frtil de situaes-problema que favorece o desenvolvimento da capacidade para argumentar e construir demonstraes.

A escolha dos contedos especficos relativos ao tema Geometria, seu

ensino e recursos, a metodologia utilizada para abordar esse conhecimento, bem

como o espao para que seu ensino e aprendizagem ocorram, so fatores

importantes apontados e discutidos.

Em geral, os documentos oficiais sinalizam que para a seleo desses

contedos, critrios orientadores devem ser estabelecidos como forma de evitar a

quantidade excessiva de informaes. A seleo de contedos a serem

35

trabalhados em Geometria deve estar relacionada sua relevncia cientfica e

cultural e sua assimilao essencial para a produo de novos conhecimentos,

o que permite o desenvolvimento e/ou aprimoramento de competncias e

habilidades.

As Orientaes Curriculares para o Ensino Mdio (2006, p.7), tambm,

apontam a contextualizao e interdisciplinaridade como princpios condutores

da organizao curricular e, portanto so aspectos que precisam ser

considerados nessa seleo. Tais aspectos devem possibilitar a conexo entre

conceitos matemticos e entre formas distintas de pensamento matemtico, ou

ainda, relevncia cultural dentro ou fora da matemtica. O estudo dos Slidos de

Arquimedes, conhecidos tambm por slidos semi-regulares, pode se tornar

evidente e justificvel segundo esses aspectos, uma vez que estabelecem

conexo com outras reas do conhecimento (biologia, arte, arquitetura,

cartografia...) e suas representaes fazem parte do nosso contexto social e

cultural.

Nesse sentido, observamos as orientaes sinalizadas nesses

documentos em respeito ao ensino dos Slidos de Arquimedes. Embora, esses

slidos no sejam mencionados, seu ensino est vinculado ao contedo

matemtico Poliedro.

Os PCN (1998) apontam em quatro blocos - Nmeros e Operaes;

Espao e Forma; Grandezas e Medidas; e Tratamento da Informao - os

contedos matemticos a serem ensinados. Tal documento prope que o trabalho

com o bloco Espao e Forma que aborda contedos relativos Geometria - seja

realizado com a explorao de situaes que envolvam construes com rgua e

compasso, ao passo que propriedades de figuras planas possam ser aplicadas e

visualizadas, alm de construes de demais relaes. Em relao aos conceitos

e procedimentos pontuados neste bloco, esse documento destaca a:

[...] classificao de figuras tridimensionais e bidimensionais, segundo critrios diversos, como: corpos redondos e poliedros; poliedros regulares e no-regulares; prismas, pirmides e outros poliedros; crculos, polgonos e outras figuras; nmero de lados dos polgonos; eixos de simetria de um polgono; paralelismo de lados, medidas de ngulos e de lados. (BRASIL, 1998, p. 73, grifo nosso).

36

Esse mesmo documento aponta a construo de figuras geomtricas

espaciais como meio de capacitar o aluno a identific-las, interpret-las e

represent-las no plano, bem como classific-las utilizando noes de

paralelismo, perpendicularismo e de ngulo.

Embora ateno maior seja dada para a Geometria Plana nesse nvel de

ensino, a noo de figuras tridimensionais introduzida. Dentre essas noes,

apontamos Poliedros como contedo a ser trabalhado com os alunos. Ainda que

propriedades mais particulares de Poliedros regulares e no-regulares no sejam

evidenciadas, percebemos a preocupao em classificar, desde o nvel

fundamental, formas geomtricas bsicas espaciais a fim de que possam ser

reconhecidas e diferenciadas.

As orientaes sinalizadas para a Geometria, em especial Poliedros, que

compem o Ensino Mdio so as mesmas dadas ao Ensino Fundamental.

Entretanto, nesse nvel de ensino, essas orientaes se intensificam e

desenvolvem de maneira mais ampla as capacidades de abstrao e raciocnio.

Pode-se verificar tal afirmao ao observar as orientaes dadas pelos PCN+

(2002, p.125, grifo nosso) ao trabalho com Poliedros em Geometria Espacial:

elementos dos poliedros, sua classificao e representao; slidos redondos; propriedades relativas posio: interseco, paralelismo e perpendicularismo; inscrio e circunscrio de slidos. Usar formas geomtricas espaciais para representar ou visualizar partes do mundo real, como peas mecnicas, embalagens e construes. Interpretar e associar objetos slidos a suas diferentes representaes bidimensionais, como projees, planificaes, cortes e desenhos. Utilizar o conhecimento geomtrico para leitura, compreenso e ao sobre a realidade. Compreender o significado de postulados ou axiomas e teoremas e reconhecer o valor de demonstraes para perceber a Matemtica como cincia com forma especfica para validar resultados.

Nesse sentido, o currculo de Geometria do Ensino Mdio, com o intuito

de complementar a formao inicial no Ensino Fundamental, deve garantir que os

alunos estendam e aprofundem alguns contedos geomtricos j ensinados ou

introduzidos, como no caso de Poliedros.

37

Os Parmetros Curriculares para o Ensino Mdio (2000) enfatizam que o

trabalho com representao de figuras planas e espaciais deve ser tambm

aprofundado e sistematizado. Essa competncia amplia a compreenso e

percepo do espao e permite estabelecer relaes entre suas propriedades

com a geometria plana e sua representao com os objetos que lhe deram

origem. nesse sentido que

[...] as habilidades de visualizao, desenho, argumentao lgica e de aplicao na busca de solues para problemas podem ser desenvolvidas com um trabalho adequado de Geometria, para que o aluno possa usar as formas e propriedades geomtricas na representao e visualizao de partes do mundo que o cerca. (BRASIL, 2000, p.44).

A visualizao, portanto, assume um papel importante na explorao e

construo dos conceitos matemticos, particularmente da Geometria. A

preocupao com o seu desenvolvimento, bem como a elaborao e

interpretao de suas representaes no plano, deve ocupar uma posio de

destaque em todo o processo de ensino e aprendizagem.

Identificando a importncia de se desenvolver uma educao visual

adequada, as Orientaes Curriculares para o Ensino Mdio (2006) afirmam que

para trabalhar com poliedros,

existem tambm programas interessantes. Neles, h poliedros em movimento, sob diferentes vistas, acompanhados de planificao. So programas apropriados para o desenvolvimento da visualizao espacial. (BRASIL, 2006, p.89).

A Informtica e as ferramentas advindas da computao introduziram

uma dimenso mais dinmica, em que formas virtuais, alm de ganharem

aspectos de uma realidade quase material, podem ser manipuladas e

transformadas de diferentes maneiras.

Como podemos observar, os documentos oficiais sugerem o estudo de

poliedros, mas no detalham os tipos de poliedros a serem ensinados. Sugerem,

tambm, que seu ensino esteja atrelado a construes de figuras geomtricas

planas e espaciais sem, no entanto apontar um caminho. Embora o uso das

tecnologias seja pontuado como recurso didtico para ensino e aprendizagem de

poliedros, o que facilitaria a sua construo e visualizao, pouco enfatizado.

38

Como os Slidos Arquimedianos no so mencionados nesses

documentos, procuramos observar como so discutidos e apresentados em

materiais didticos, o que mostramos no que segue.

1.4 OS SLIDOS ARQUIMEDIANOS EM MATERIAIS DIDTICOS

Pretendemos nesse tpico observar, no Brasil, como os Slidos

Arquimedianos so abordados e como esto organizados em materiais didticos,

paradidticos e materiais de apoio ao professor.

Fernandes (2008) em sua dissertao de mestrado realizou esse

levantamento e constatou que o objeto matemtico Slidos Arquimedianos no

aparecia explcito nos materiais pesquisados. Dos nove livros observados, a

autora constatou que esse contedo aparecia apenas por meio de exemplos e

exerccios, em geral, relacionados Relao de Euler e convexidade, mas sem

qualquer definio ou mesmo nomeao correspondente. O icosaedro truncado

o slido arquimediano que mais aparece, provavelmente, por ser associado bola

de futebol.

Persistindo nessa busca, encontramos um material do GESTAR3 que

aborda esse contedo matemtico com definio e exemplos, Caderno de Teoria

e Prtica 3: matemtica nas formas geomtricas e na ecologia. A definio

apresentada dos Slidos Arquimedianos, conforme mostra a Figura 7, se

confunde com a de poliedros semi-regulares, que em geral so tratados como

sinnimos.

Figura 7. Definio de Slidos Arquimedianos. Fonte: Brasil, 2008, p.98.

____________

3 Programa de Gesto Escolar aprovado pelo Ministrio da Educao para oferecer formao continuada em

lngua portuguesa e matemtica aos professores do ensino fundamental (6 ao 9 ano) em exerccio nas escolas pblicas. Esse material tem sido usado na formao de professores na Bahia, Tocantins e Pernambuco e est disponvel no site http://portal.mec.gov.br/.

http://portal.mec.gov.br/

39

Essa definio comunga da mesma idia de Veloso (1998) que apresenta

os Slidos Arquimedianos da seguinte maneira:

se na definio que demos de poliedro regular mantivermos a condio das faces serem polgonos regulares, mas no a de serem todas congruentes, obtemos uma famlia mais ampla de slidos, estudada por Arquimedes (287 212 a. C.). Note-se que as arestas so todas congruentes, e os vrtices tambm. As faces so polgonos regulares, mas enquanto nos platnicos eram apenas de um tipo, aqui podero ser de vrios tipos. ainda necessrio acrescentar a condio de que todo o vrtice pode ser transformado noutro vrtice por uma simetria de poliedro. A estes slidos habitual chamar arquimedianos ou semi-regulares. (Ibid., p.235).

No Caderno de Teoria e Prtica 3, ainda esto ilustrados trs poliedros

prisma reto triangular, prisma reto hexagonal e octaedro truncado , como mostra

a Figura 8, apresentados como arquimedianos.

Figura 8. Exemplo de poliedros arquimedianos. Fonte: Brasil, 2008, p.99.

40

Segundo Veloso (1998, p. 235),

os prismas cujas faces laterais so regulares, de acordo com a definio dada, so arquimedianos. Do mesmo modo, tambm os antiprismas de faces regulares so arquimedianos. No entanto, os infinitos prismas e antiprismas no so em geral includos na famlia dos arquimedianos.

De acordo com Eves (2004, p. 358), um antiprisma

obtido de um prisma efetuando-se uma rotao de sua base superior em seu prprio plano de modo a fazer seus vrtices corresponderem aos lados da base inferior, e ligando ento, em zigue-zague, os vrtices das duas bases.

Os prismas e antiprismas retos de base regular cujas faces laterais so

quadrados e tringulos eqilteros respectivamente contemplam a definio dos

Slidos Arquimedianos, conforme mostra a Figura 9. No entanto, para Veloso

(1998) a famlia dos arquimedianos finita, uma vez que temos infinitos prismas e

antiprismas retos de bases regulares, isto , de vrtices do tipo (4,4,n) e (3,3,3,n)

respectivamente, sendo n o nmero de lados do polgono base. O autor, ainda

assinala que, assim como os platnicos, podemos investigar quantos poliedros

arquimedianos podem existir e chegaramos concluso que no podem existir

mais do que treze tipos de poliedros diferentes.

Figura 9. Prisma e Antiprisma retos regulares.

Alm do material anteriormente citado, encontramos tambm no Brasil,

um livro sobre poliedros produzido por Rangel (1982), Engenheiro Civil e Doutor

em Cincias Fsicas e Matemticas. Segundo o prprio autor, o livro se originou

41

de uma apostila com circulao praticamente restrita, na poca, Escola de

Engenharia da Universidade Federal do Rio de Janeiro.

O livro Poliedros apresenta um estudo detalhado a respeito dos Slidos

Arquimedianos contemplado com definio, classificao, propriedades,

demonstrao e ilustrao dos treze slidos. Para Rangel (1982), todo

arquimediano semi-regular, mas nem todo poliedro semi-regular

arquimediano. Segundo o autor,

poliedro semi-regular todo poliedro que se apresenta de uma das duas seguintes formas: 1. Os ngulos slidos so todos iguais entre si, mas as faces no so iguais, embora sejam polgonos regulares. Esses poliedros so chamados poliedros semi-regulares equiangulares ou poliedros semi-regulares arquimedianos. 2. As faces so todas iguais entre si, mas os ngulos slidos no so iguais. Esses poliedros so chamados poliedros sem-regulares equifaciais ou poliedros semi-regulares no-arquimedianos. (Ibid., p.36).

O autor classifica os poliedros semi-regulares equiangulares ou

arquimedianos em trs grupos: os poliedros semi-regulares equiangulares

individuais, que so os treze slidos de Arquimedes; os prismas arquimedianos,

prismas retos regulares; e os antiprismas arquimedianos, antiprismas retos

regulares.

Embora o foco do nosso trabalho no esteja em observar currculos de

outras reas de conhecimento para ratificar a presena dos Slidos

Arquimedianos, o material produzido nos d indcios que esses slidos, com uma

nomenclatura diferente da habitual, eram estudados na Engenharia.

Pelas observaes realizadas, podemos constatar a carncia de

informaes a respeito do objeto matemtico Slidos Arquimedianos no Brasil. A

dificuldade de encontrar materiais, na Escola Bsica, que discorram sobre os

mesmos, pode ser uma possvel causa para que muitos desconheam sua

existncia.

Contudo vale ressaltar que nem sempre foi assim. Para confirmar essa

assertiva, apresentamos dois livros de Desenho Geomtrico que nos fornecem

informaes sobre alguns dos Slidos Arquimedianos: Primeiras Noes de

Geometria Prtica de Olavo Freire, publicado em 1897 e Programa de Desenho

42

para a primeira e segunda sries ginasiais de Benjamin de A. Carvalho, publicado

em 1960.

Para Freire (1897) os Slidos Arquimedianos so irregulares e simtricos

por terem todos os planos que os formam simetricamente dispostos. O autor

ilustra cinco representaes dos treze slidos arquimedianos, com planificaes

de suas superfcies, mostradas na Figura 10, e nos indica o slido a partir do qual

se originam.

Figura 10. Arquimedianos estudados em Geometria Prtica. Fonte: Freire, 1897, p. 151-155.

Entretanto Carvalho (1960, p.92) define os Slidos Arquimedianos como

poliedros semi-regulares que tm suas faces formadas por polgonos regulares

ou no, mas diferentes entre si, embora dispostos simetricamente no espao

(CARVALHO, 1960, p.92). A Figura 11 ilustra trs exemplos desses slidos.

Figura 11. Slidos considerados arquimedianos. Fonte: Carvalho, 1960, p. 93.

43

Os livros apresentados levam-nos a inferir que esse objeto matemtico j

fez parte da grade curricular de Matemtica, mais especificamente em Desenho

Geomtrico, disciplina que de acordo com Zuin (2002), permaneceu oficialmente

por quarenta anos consecutivos nos currculos escolares 1931 a 1971.

Para compreender o motivo que levou ao desaparecimento desse

conhecimento de ensino, procuramos identificar as possveis causas do abandono

da disciplina Desenho Desenho Geomtrico e Geometria Descritiva da grade

curricular de matemtica.

1.5 DESENHO GEOMTRICO E GEOMETRIA DESCRITIVA

Nesse tpico, nos baseamos nos estudos de Silva (2006) que em sua

dissertao de mestrado Proposta de Aprendizagem sobre a importncia do

Desenho Geomtrico e da Geometria Descritiva avaliou as razes do declnio do

ensino das duas disciplinas, e em algumas consideraes de Zuin (2002), Rabello

(2005) e Pavanello (1993).

Silva (2006) realizou um estudo histrico a respeito da ocorrncia do

Desenho Geomtrico e da Geometria Descritiva no Brasil, alm do estudo da

legislao de ensino a partir de 1942.

De acordo com o autor, a geometria foi implantada no Brasil no sculo

XVIII, mas no sculo XIX que comea a ser ensinada. Nesse sculo, o Desenho

Geomtrico e a Geometria Descritiva so vistos como meios de fomentar e atingir

o desenvolvimento industrial e assim promover o progresso do pas. Segundo o

autor, a disciplina Desenho Geomtrico constava na grade curricular do Ensino

Primrio, cuja geometria estava voltada para prtica, conforme j mostrado na

Figura 9, e a disciplina Geometria Descritiva contemplava o currculo do Ensino

Secundrio.

Segundo Rabello (2005) no sculo XX o Desenho Geomtrico, a

Geometria Descritiva bem como a Perspectiva, eram assuntos que contemplavam

a prova de desenho no exame de capacitao, atualmente vestibular, de

Arquitetura e Engenharia.

44

Na metade do sculo XX, novas reformas no Sistema de Ensino

continuavam a serem feitas. Entretanto, para Silva (2006) impossvel precisar o

momento em que o ensino de Desenho declinou. O autor aponta trs reformas

que contriburam para que o Desenho Geomtrico e a Geometria Descritiva

fossem pouco a pouco eliminados da grade curricular.

A primeira, Lei 4.024/61 Lei de Diretrizes e Bases da Educao

Nacional (LDB) que props opes de currculo em que a disciplina Desenho

no era obrigatria. Para Zuin (2002, p.1), vemos surgir os primeiros sinais de

desprestgio dessa rea do conhecimento.

A segunda, Lei 5.540/68 Lei da Reforma Universitria sinalizava a

unificao do vestibular, como podemos observar em seu artigo 21:

O concurso vestibular, referido na letra ado artigo 17, abranger os conhecimentos comuns s diversas formas de educao do segundo grau, sem ultrapassar este nvel de complexidade, para avaliar a formao recebida pelos candidatos e sua aptido intelectual para estudos superiores. (BRASIL, 1968).

Silva (2006) pontua que a partir dessa Lei que o ensino de Desenho

comea a declinar. Com a reformulao do ensino superior, fixada por essa lei, o

Desenho que j no constava em todas as formas de educao do segundo grau,

desde a LDB 4.024/61, foi eliminado do vestibular. Qualquer discordncia em

relao s medidas torna-se impossvel, porque estas so introduzidas durante a

vigncia do Decreto Lei 477/69. (PAVANELLO, 1993, p.14).

A terceira e ltima reforma citada pelo autor, Lei 5692/71, acarretou

considerveis mudanas nos currculos escolares do Ensino Fundamental.

Havia um ncleo de disciplinas obrigatrias e outros ncleos de disciplinas optativas, as quais poderiam integrar a parte diversificada do currculo. As escolas tinham a liberdade de construir a sua grade curricular apenas dentro da parte diversificada do currculo. [...] O Desenho tornara-se uma disciplina optativa da parte diversificada do currculo. (Zuin, 2006, p.1).

Desse modo, Rabello (2005), Zuin (2002) e Silva (2006) concordam que

com o advento das provas de mltipla escolha, resultado da unificao do

vestibular, e da no obrigatoriedade do ensino de Desenho na Escola Bsica,

muitas escolas aboliram o ensino da disciplina Desenho Geomtrico.

45

Alm disso, Pavanello (1993) e Rabello (2005) pontuam que com a

promulgao da referida lei, o Desenho foi substitudo na grade curricular do

ensino pblico, em todas as sries do 1 e 2 graus do Ensino Bsico, por

Educao Artstica. Rabello (2005) lembra, ainda, que o Ministrio da Educao e

Cultura tornou obrigatria a insero da disciplina de Educao Artstica no

segundo segmento do Ensino Fundamental.

De acordo com os PCN de Artes (1997) a substituio ocorreu porque o

ensino de Desenho Geomtrico estava voltado essencialmente para o domnio

tcnico, centrado na figura do professor que privilegiava a reproduo de

modelos. Segundo o documento, a disciplina Desenho era considerada mais por

seu aspecto funcional do que uma experincia em arte.

Valorizavam-se principalmente as habilidades manuais, os "dons artsticos", os hbitos de organizao e preciso, mostrando ao mesmo tempo uma viso utilitarista e imediatista da arte. Os professores trabalhavam com exerccios e modelos convencionais selecionados por eles em manuais e livros didticos. (BRASIL, 1997, p.22).

Em contrapartida Rabello (2005, p. 50) assinala que,

equivalente educao musical ou s artes cnicas, nessas sries o desenho tratado em sua forma mais elementar, sendo includo ou excludo conforme as convenincias do momento. Convm lembrar que o desenho geomtrico, a geometria descritiva e a perspectiva tm base conceitual matemtica, no possuindo, em tese, afinidade estrutural com a rea artstica, salvo quanto beleza das representaes grficas.

Dentro desse contexto concordamos com Pavanello (1993, p.16) quando

afirma que o abandono da Geometria, e assim das disciplinas Desenho

Geomtrico e Geometria Descritiva, deve ser caracterizado como uma deciso

equivalente s medidas governamentais, em seus vrios nveis, com relao

educao.

A situao exposta leva-nos a inferir que a ausncia das Disciplinas

Desenho Geomtrico e Geometria Descritiva da grade curricular de matemtica

contribuiu para que o objeto matemtico Slidos Arquimedianos no fosse mais

abordado. Sabemos que esses slidos no so facilmente representados, em

46

ambientes bidimensionais, sem domnio de conhecimentos e habilidades

oferecidos pelo Desenho Geomtrico.

Nesse sentido, buscamos um ambiente computacional que se aproxime

da filosofia dessa disciplina, isto , que favorea no s a representao e

visualizao de objetos tridimensionais como tambm possibilitem o estudo de

suas propriedades por meio de suas construes.

1.6 GEOMETRIA DINMICA E CABRI 3D

Muitas pesquisas em Educao Matemtica tm mostrado que o uso da

Geometria Dinmica como recurso didtico no s favorece a explorao e

aquisio de conceitos geomtricos, como tambm apresenta vantagens em

relao s construes com rgua e compasso no ambiente papel e lpis.

Para Gravina (2001) a Geometria Dinmica pode ser entendida como a

implementao da geometria tradicional, aquela esttica da rgua e compasso, no

computador, mas com carter dinmico. Essa caracterstica dinmica permite que

a partir de uma nica construo, um nmero arbitrrio de experimentaes seja

efetuado, o que seria praticamente impossvel com rgua e compasso.

Alm disso, a autora afirma que:

os ambientes de Geometria Dinmica tambm incentivam o esprito de investigao Matemtica: sua interface interativa, aberta explorao e experimentao, disponibiliza os experimentos de pensamento. Manipulando diretamente os objetos na tela do computador, e com realimentao imediata, os alunos questionam o resultado de suas aes/operaes, conjecturam e testam a validade das conjecturas inicialmente atravs dos recursos de natureza emprica. (GRAVINA, 2001, p. 89-90).

O termo Geometria Dinmica usado para designar softwares interativos

que permitem a criao e manipulao direta de figuras geomtricas a partir de

suas propriedades. Assim, vemos emergir uma maneira de ensinar e aprender

geometria, a partir da explorao experimental que possibilita a passagem de

uma figura outra pelo deslocamento quase contnuo dos elementos, vivel

apenas em ambientes dinmicos.

47

Para Sangiacomo (1996), a geometria dinmica permite alm de um

melhor estudo das propriedades geomtricas uma importante distino entre

desenhar e construir.

Para a autora, desenhar visto como um caso particular, uma

representao de um objeto geomtrico geralmente relacionado com a

reproduo da imagem mental que temos do mesmo. Contudo, as propriedades

geomtricas do objeto no so conservadas quando movimentamos essa

representao em um ambiente dinmico. J construir visto como um caso

geral, uma representao do objeto geomtrico a partir de suas propriedades, que

se conservam mesmo quando a movimentamos.

Enquanto os alunos trabalham sobre o traado material, podemos dizer que eles no fizeram a passagem do desenho para a figura geomtrica. Essa passagem s efetivada quando as propriedades geomtricas passam a ter significado e a concepo de classe de figuras, seus representantes e suas propriedades seja assimilada. (SANGIACOMO, 1996, p. 40).

Construda uma figura em um ambiente dinmico, tratamos de investigar

suas propriedades. Para isso arrastamos a figura at deform-la, dentro das

restries impostas pela construo. Enquanto fazemos isso, muitas relaes e

medidas vo se alterando na figura e isso nos permite reconhecer seus

invariantes bem como a existncia de uma classe de figuras representando o

objeto geomtrico.

A manipulao direta dos elementos bsicos da figura cria um dinamismo

cuja vantagem est em conservar as relaes entre seus componentes. Para

Veloso (1998, p. 96), a procura do que permanece constante no meio de tudo o

que varia, a razo pela qual este ambiente apropriado para apoiar um ensino

renovado da geometria plana.

Assim como a Geometria Plana, a Geometria Espacial pode, tambm, ser

ensinada em um ambiente de Geometria Dinmica. O ambiente computacional

Cabri 3D4 o primeiro software de manipulao direta desenvolvido para simular

o trabalho com trs dimenses. Nesse sentido, todo tipo de figura tridimensional

____________

4 O Cabri 3D foi desenvolvido por Cabrilog e apresenta os mesmos princpios e objetivos do

projeto Cabri Gomtre, disponvel no site www.cabri.com.

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pode ser construda, visualizada e manipulada nesse ambiente, que alm de

preservar as propriedades de figuras geomtricas espaciais, permite mudar o

ponto de vista em relao ao objeto representado.

A seguir, optamos por apresentar, as caixas de ferramentas poliedros e

poliedros regulares, por estarem relacionadas com o objeto matemtico em

questo, bem como os recursos oferecidos pelo software.

Caixa de ferramentas poliedros: qualquer poliedro convexo pode ser

construdo ao acionar essa caixa, como mostra a Figura 12.

Figura 12. Caixa de ferramentas poliedros.

Caixa de ferramentas poliedros regulares: para usar qualquer