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  • PONTIFCIA UNIVERSIDADE CATLICA DE SO PAULO

    PUC/SP

    TALITA CARVALHO SILVA DE ALMEIDA

    SLIDOS ARQUIMEDIANOS E CABRI 3D: UM ESTUDO

    DE TRUNCATURAS BASEADAS NO RENASCIMENTO

    MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMTICA

    So Paulo

    2010

  • TALITA CARVALHO SILVA DE ALMEIDA

    SLIDOS ARQUIMEDIANOS E CABRI 3D: UM ESTUDO

    DE TRUNCATURAS BASEADAS NO RENASCIMENTO

    Dissertao apresentada Banca Examinadora

    da Pontifcia Universidade Catlica de So Paulo,

    como exigncia parcial para obteno do ttulo de

    MESTRE EM ENSINO DE MATEMTICA, sob a

    orientao da Professora Doutora Maria Jos

    Ferreira da Silva.

    PUC/SP

    2010

  • Banca Examinadora

    _____________________________________

    _____________________________________

    _____________________________________

  • Autorizo, exclusivamente para fins acadmicos e cientficos, a reproduo total

    ou parcial desta Dissertao por processos de foto copiadoras ou eletrnicos.

    Assinatura: _________________________So Paulo e Data: _________

  • Dedico este trabalho aos meus pais, Henrique e

    Eliana, pelo amor, compreenso, pacincia e

    incentivo sempre.

  • AGRADECIMENTOS

    Primeiro agradeo a DEUS e aos meus anjos da guarda,

    pela fora, pela proteo e pela oportunidade de iniciar

    e concluir esta importante etapa de minha vida.

    A querida Professora Doutora Maria Jos Ferreira da

    Silva, pela orientao, apoio e amizade.

    Ao Professor Mestre Mrio Thomaz (in memorian), por

    ter me estimulado a iniciar o mestrado.

    Aos membros da banca, Professores Doutores Iran

    Abreu Mendes e FumiKazu Saito, pelas valiosas

    sugestes e contribuies para essa pesquisa.

    Ao corpo docente do Programa de Estudos Ps-

    Graduados em Educao Matemtica da PUC-SP,

    especialmente, aos Professores Doutores Saddo Ag

    Almouloud, Benedito Antonio da Silva, Cileda de

    Queiroz e Silva Coutinho e Sandra Maria Pinto Magina.

    A todos os Funcionrios do Centro de Cincias Exatas

    da PUC-SP, especialmente ao Francisco, pela amizade e

    pela ajuda final na formatao da dissertao.

    Aos amigos do Programa de Estudos de Ps-Graduados

    em Educao Matemtica, Juliana, Rosana, Pimenta, Ana

    Lcia, Edna, Gilson, Victria, Patrcia, Ivete e Aida.

  • A querida amiga Victria, pela amizade, apoio e

    sugestes preciosas.

    Aos meus amados pais, Henrique e Eliana, por me

    proporcionarem condies para estudar.

    A minha av Margarida, meu amor incondicional.

    Ao meu namorado rico, pelo amor e apoio sempre.

    Ao meu tio Roberto, pelo carinho, amizade, apoio e

    acolhida nessa fase de minha vida.

    A minha irm Thais; meu cunhado Sandy; minhas tias

    Thereza, Alzira e Ulcirene; minhas primas Paloma, Ana

    Paula e Nayana. E a todos os meus familiares, por

    acreditarem em mim e por estarem sempre ao meu lado.

    A CAPES, pela concesso da bolsa de estudos.

    A todas as pessoas que, de certa forma, contriburam

    para a realizao desta pesquisa.

    A Autora

  • RESUMO

    O presente trabalho tem como objetivo revisitar o objeto matemtico Slidos

    Arquimedianos por meio de suas construes no ambiente de Geometria

    Dinmica Cabri 3D. Assim, a pergunta de pesquisa foi: o objeto matemtico

    Slidos Arquimedianos pode ser resgatado como objeto de ensino para a Escola

    Bsica, utilizando como habitat o ambiente de Geometria Dinmica Cabri 3D?

    Para investigar processos de construo para esses slidos, recorremos a um

    estudo bibliogrfico desenvolvido com base em material j elaborado, constitudos

    principalmente de livros e artigos cientficos. O referencial terico baseou-se na

    Transposio Didtica e na Problemtica Ecolgica de Yves Chevallard (1991),

    para promover a articulao entre a anlise epistemolgica e a anlise didtica,

    alm de apontar caractersticas outras que determinam a sobrevivncia do objeto

    matemtico Slidos Arquimedianos enquanto objeto de ensino, e na teoria dos

    Registros de Representao Semitica de Duval (1995), para identificar e analisar

    quais os registros mobilizados para a construo desses slidos, bem como

    evidenciar os tratamentos e converses efetuados. A escolha metodolgica pela

    pesquisa bibliogrfica contribuiu para o alcance do objetivo desejado, visto que

    nos permitiu encontrar um procedimento matemtico realizado por renascentistas

    para a obteno de arquimedianos a partir de cortes nas arestas de slidos

    platnicos. As anlises das construes realizadas ajudaram a perceber que os

    tratamentos apenas figurais no so suficientes para a construo dos Slidos

    Arquimedianos no Cabri 3D, faz-se necessrio mobilizar um registro discursivo

    suporte para que os pontos de corte em slidos platnicos possam ser

    encontrados. Nesse sentido, constatamos que o Cabri 3D se confirmou como um

    habitat para o estudo dos Slidos Arquimedianos, na medida em reconheceu

    como objeto todos os saberes que determinam a existncia desse objeto

    matemtico enquanto objeto de ensino.

    Palavras-Chave: Slidos Arquimedianos. Cabri 3D. Transposio Didtica.

    Registros de Representao Semitica.

  • ABSTRACT

    This research aims to revisit the mathematical object Archimedean Solids through

    their constructions on the environment of Dynamic Geometry Cabri 3D. Thus, the

    research question was: Can the mathematical object Solids Archimedean be

    rescued as the object of education for the Basic School using the environment as

    habitat Dynamic Geometry Cabri 3D? To investigate processes of construction for

    these solid, we resort to a bibliographic developed based on material already

    prepared, consisting of books and scientific articles. The theoretical framework

    was based on the Theory of Didactic Transposition to promote the relationship

    between the epistemological analysis and didactic analysis, while identifying

    characteristics that determine the survival of the Archimedean Solids mathematical

    object as the object of education, and the theory of Register of Representation

    Semiotics of Duval (1995), to identify and analyze the register mobilized for the

    construction of solid as well as highlight treatments and conversions made. The

    methodological choice for literature contributed to the achievement of the desired

    goal, since it allowed us to find a mathematical procedure performed by

    Renaissance to obtain Archimedean from cut edges of Platonic solids. The

    analysis of the constructions helped us realize that the only figural treatments are

    not sufficient for the construction of the Archimedean solids in Cabri 3D, it is

    necessary to mobilize a record discursive support for the cut-off points on Platonic

    solids can be found. Accordingly, we find that Cabri 3D was confirmed as a habitat

    for the study of Archimedean Solids, because recognized as an object all the

    knowledge that determine the existence of mathematical object as an object of

    education.

    Key-words: Archimedean Solids. Cabri 3D. Didactic Transposition. Register of

    Representation Semiotics.

  • LISTA DE FIGURAS

    Figura 1. Representao de poliedro como slido, superfcie e estrutura. ....................... 23

    Figura 2. Planificao da superfcie de um poliedro. ....................................................... 23

    Figura 3. Planificaes de superfcies de poliedros. ........................................................ 24

    Figura 4. Poliedro convexo e poliedro no-convexo. ....................................................... 25

    Figura 5. Elementos de um poliedro ................................................................................ 27

    Figura 6. Diferentes tipos de ngulos. ............................................................................. 28

    Figura 7. Definio de Slidos Arquimedianos. ............................................................... 38

    Figura 8. Exemplo de poliedros arquimedianos. .............................................................. 39

    Figura 9. Prisma e Antiprisma retos regulares. ................................................................ 40

    Figura 10. Arquimedianos estudados em Geometria Prtica. .......................................... 42

    Figura 11. Slidos considerados arquimedianos. ............................................................ 42

    Figura 12. Caixa de ferramentas poliedros. ..................................................................... 48

    Figura 13. Caixa de ferramentas poliedros regulares ...................................................... 48

    Figura 14. Tetraedro regular ............................................................................................ 49

    Figura 15. Caixa de medidas. .......................................................................................... 49

    Figura 16. Comprimento do segmento AB. ...................................................................... 49

    Figura 17. Ferramenta ponto mdio. ............................................................................... 50

    Figura 18. Ponto mdio da aresta do prisma. .................................................................. 50

    Figura 19. Ferramenta plano. .......................................................................................... 50

    Figura 20. Plano de seco. ............................................................................................ 51

    F

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