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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO PUC/SP Fernanda de Almeida Arruda Análise da articulação entre História da Matemática e ensino nos livros didáticos: o caso da equação de primeiro grau ESPECIALIAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA SÃO PAULO 2011

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  • PONTIFCIA UNIVERSIDADE CATLICA DE SO PAULO

    PUC/SP

    Fernanda de Almeida Arruda

    Anlise da articulao entre Histria da Matemtica

    e ensino nos livros didticos:

    o caso da equao de primeiro grau

    ESPECIALIAO EM EDUCAO MATEMTICA

    SO PAULO

    2011

  • PONTIFCIA UNIVERSIDADE CATLICA DE SO PAULO

    PUC/SP

    Fernanda de Almeida Arruda

    Anlise da articulao entre Histria da Matemtica

    e ensino nos livros didticos:

    o caso da equao de primeiro grau

    Monografia apresentada Banca Examinadora da Pontifcia Universidade Catlica de So Paulo, como exigncia parcial para obteno do titulo de ESPECIALISTA EM EDUCAO MATEMTICA sob a orientao do Professor Doutor Fumikazu Saito.

    SO PAULO

    2011

  • Banca Examinadora

    ___________________________________________________

    ___________________________________________________

    ___________________________________________________

  • Dedico este trabalho minha me e

    ao meu marido que sempre me

    deram apoio para estudar e tambm

    aos meus filhos.

  • Lista de ilustraes

    Figura 1 Capa do livro Matemtica sem Limites.......................................................................................... 20

    Figura 2 Capa do livro Para Viver Juntos: Matemtica ................................................................................ 20

    Figura 3 Capa do livro A Conquista da Matemtica ..................................................................................... 21

    Figura 4 Capa do livro Tudo Matemtica ................................................................................................. 22

    Figura 5 Capa do livro Ararib Matemtica ................................................................................................ 22

    Figura 6 Esttua de Al-Khowarizmi na cidade de Khiva, Uzbequisto ............................................................. 23

    Figura 7 Problema......................................................................................................................................... 24

    Figura 8 Palatine ........................................................................................................................................... 25

    Figura 9 Resoluo dos egpcios .................................................................................................................... 26

    Figura 10 Resoluo dos gregos .................................................................................................................... 27

    Figura 11 Balana ......................................................................................................................................... 31

    Figura 12 Problema e conceito de equao ................................................................................................... 32

    Figura 13 O sinal de igualdade ...................................................................................................................... 33

    Figura 14 Diofanto de Alexandria .................................................................................................................. 33

    Figura 15 Origem das palavras lgebra e Algoritmo ....................................................................................... 33

    Figura 16 Histria em quadrinho ................................................................................................................... 34

    Figura 17 Balana em equilbrio .................................................................................................................... 35

    Figura 18 Notcias antigas do uso das equaes ............................................................................................ 36

    Figura 19 Os gregos resolviam equaes usando a Geometria ....................................................................... 37

    Figura 20 Problema ....................................................................................................................................... 39

    Figura 21 Retrato de Ren Descartes............................................................................................................. 40

    Figura 22 Coisa ............................................................................................................................................. 40

    Figura 23 Curiosidades .................................................................................................................................. 40

    Figura 24 Como calcular a numerao do calado ......................................................................................... 42

    Figura 25 Linha do tempo 1........................................................................................................................... 43

    Figura 26 Linha do tempo 2........................................................................................................................... 43

    Figura 27 Esttua de escriba ......................................................................................................................... 43

  • Lista de quadros

    Quadro 1 Definies ..................................................................................................................................... 45

    Quadro 2 Histria ......................................................................................................................................... 47

  • Sumrio

    INTRODUO .................................................................................................. 7

    1. HISTRIA DA MATEMTICA COMO RECURSO DIDTICO...................... 9

    2. EQUAO DO PRIMEIRO GRAU E HISTRIA DA MATEMTICA NOS

    LIVROS DIDTICOS ................................................................................................. 17

    2.1 Materiais analisados .............................................................................. 18

    2.2 Como os livros escolhidos abordam o assunto Equaes do Primeiro

    Grau e Histria da Matemtica .............................................................................. 23

    CONSIDERAES FINAIS ............................................................................ 52

    Referncias ..................................................................................................... 54

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    Cogeae PUC SP Especializao em Educao Matemtica

    INTRODUO

    Atualmente, a Matemtica vista como fundamental para o desenvolvimento

    do pensamento lgico do homem e sua compreenso do mundo ao seu redor,

    porm h um excesso de informaes e uso de situaes do dia a dia que dificultam

    o entendimento e a aprendizagem de seus contedos.

    Na sala de aula, muitos professores usam metodologias que se baseiam em

    exposio oral, tendo como recurso apenas a lousa. O professor frequentemente

    desenvolve atividades em que o aluno no motivado a pensar, mas apenas a usar

    tcnicas mecanizadas e decoradas, dando a falsa impresso de uma aprendizagem

    significativa.

    O professor ensina o conceito, mostra os procedimentos e tcnicas e logo em

    seguida, passa alguns exerccios de fixao para assegurar que realmente o aluno

    fixou o contedo ensinado.

    Os Parmetros Curriculares Nacionais (PCN) nos orientam que;

    A aprendizagem em Matemtica est ligada compreenso, isto , apreenso do significado; aprender o significado de um objeto ou acontecimento pressupe v-lo em suas relaes com outros objetos e acontecimentos. (BRASIL, 1998, p. 19)

    Ento, para evitarmos o ensino mecanizado, preciso que o professor tenha

    boa formao inicial e busque uma formao continuada, visto que surgem vrias

    propostas de ensino, novas ideias, novas metodologias, novas tecnologias para o

    ensino e aprendizagem da Matemtica.

    Sendo assim, o professor precisa cada vez mais buscar recursos didticos

    diferentes, alternativas para sanar o descontentamento dos alunos que dizem no

    gostar e/ou no saber Matemtica. Nesse sentido, Kammi observa que:

    Inovar o ensino da matemtica geralmente relaciona-se com o desenvolvimento de novas metodologias de ensino que complementem o contedo trabalhado com o objetivo de desenvolver a autonomia dos alunos bem como seu conhecimento lgico matemtico analisado dentro de uma viso interativa e autnoma, na formao de indivduos autnomos, capazes de raciocinar de forma independente, participativo e criativo. (KAMMI, 1995, p. 45, apud Alves, Oliveira e Neves, SBEM).

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    Cogeae PUC SP Especializao em Educao Matemtica

    A esse respeito, os Parmetros Curriculares Nacionais (PCN) cumprem um

    papel importante ao apontar que:

    importante destacar que a Matemtica dever ser vista pelo aluno como um conhecimento que pode favorecer o desenvolvimento do seu raciocnio, de sua capacidade expressiva, de sua sensibilidade esttica e de sua imaginao. (BRASIL, 1997, p.26).

    Como professores, constatamos que so necessrios novos estmulos para

    que os alunos voltem a se interessar pelo seu aprendizado e, por isso, nesse

    trabalho apontaremos um desses recursos, isto , o uso da Histria da Matemtica

    com foco nas equaes do primeiro grau.

    Primeiramente, mostraremos a importncia da Histria da Matemtica como

    recurso didtico, pois como afirmam Nunes, Guerra e Almouloud:

    Nossas reflexes nos conduzem a postular que a histria um dos instrumentos que pode promover a aprendizagem significativa da Matemtica e esclarecer os conceitos e as teorias estudadas. (...) Propomos, tambm, que a reconstruo terica e/ou prtica dessa histria pode proporcionar ao aluno oportunidades para evidenciar os significados da aprendizagem, evidenciando os obstculos que surgiram na construo do conhecimento. (NUNES; GUERRA; ALMOULOUD, 2010).

    Em seguida, analisaremos alguns livros didticos com o objetivo de apontar

    de que modo os autores introduzem o tema de Equaes para os alunos do 7 ano

    do Ensino Fundamental e como articulam este contedo com a Histria da

    Matemtica.

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    Cogeae PUC SP Especializao em Educao Matemtica

    1. HISTRIA DA MATEMTICA COMO RECURSO DIDTICO

    No Brasil como em outros pases, a Histria da Matemtica tem chamado a

    ateno de educadores matemticos h algum tempo, como podemos observar no

    grande nmero de estudos e trabalhos apresentados em vrios congressos e

    encontros em Educao Matemtica1.

    A incluso da Histria da Matemtica no ensino importante porque ela

    propicia uma aprendizagem crtica e reflexiva. Segundo Antonio Miguel (1993):

    (...) cidados matematicamente educados com base numa metodologia histrica que promova o pensamento independente e crtico e a autonomia intelectual que estaro melhores preparados para propor, analisar, discutir e votar por medidas emancipadoras referentes ao papel a ser desempenhado no contexto das sociedades atuais pelas cincias em geral e pela matemtica em particular. (MIGUEL, 1993, p. 114)

    Segundo Miguel, a Histria da Matemtica alm ser fonte de objetivos,

    mtodos, problemas prticos e curiosos, se caracterizaria por ser fonte

    desmistificadora, conscientizando o educando de que a Matemtica construo

    humana (Miguel, 1997, p.101).

    Nesse sentido, os Parmetros Curriculares Nacionais (PCN) recomendam o

    uso da Histria da Matemtica, observando:

    Em muitas situaes, o recurso Histria da Matemtica pode esclarecer ideias matemticas que esto sendo construdas pelo aluno, especialmente para dar respostas a alguns porqus e, desse modo, contribuir para a constituio de um olhar mais crtico sobre os objetos de conhecimento. (BRASIL, 1998, p.43).

    Entretanto, os PCN ressaltam:

    Essa abordagem no deve ser entendida simplesmente que o professor deva situar no tempo e no espao cada item do programa de Matemtica ou contar sempre em suas aulas trechos da histria da Matemtica, mas que a encare como um recurso didtico com muitas possibilidades para desenvolver diversos conceitos, sem reduzi-la a fatos, datas e nomes a serem memorizados. (BRASIL, 1998, p.43).

    1 So vrios os encontros promovidos por educadores matemticos. Dentre eles podemos

    citar o IX Seminrio Nacional de Histria da Matemtica, promovido pela Sociedade Brasileira de Histria da Matemtica e pela Universidade Federal de Sergipe, em 2011; e o VI Encontro Luso-Brasileiro de Histria da Matemtica realizado em So Joo Del Rei/MG em 2011.

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    Cogeae PUC SP Especializao em Educao Matemtica

    Em outros termos, embora a incluso da Histria da Matemtica no ambiente

    educacional seja um valioso instrumento para o ensino-aprendizagem da

    Matemtica, preciso que a articulao entre Histria e ensino seja feita de maneira

    a oferecer contribuies pedaggicas e/ou didticas e no apenas para satisfazer a

    curiosidade ou motivar os alunos.

    De fato, isso reforado por Miguel que observa que se a Histria fosse

    motivadora,

    (...) o ensino da prpria Histria seria auto motivador. No isso, porm, o que atestaria a maioria dos professores de Histria os quais se defrontam em seu cotidiano no apenas com o desinteresse de seus alunos por esse campo do saber, como tambm com a enorme dificuldade de fazer com que eles compreendam a sua importncia, a sua natureza, os seus objetivos e os seus mtodos. (MIGUEL, 1997, p.76)

    Como bem observa Miguel, a Histria da Matemtica no deve ser utilizada

    apenas como um recurso que motive os alunos. Com efeito, h vrios modos de

    articularmos histria e ensino. Articulaes estas que dependem no s da proposta

    que o professor tem em vista, mas tambm da concepo que ele tem do papel da

    Histria da Matemtica em sala de aula.

    Silva (2009), por exemplo, afirma que a Histria da Matemtica auxilia na

    compreenso de conceitos matemticos na medida em que ela explica a origem de

    certas ideias e procedimentos. Observa ainda, que a histria ajuda a estabelecer

    conexes entre a Matemtica e as demais Cincias e conscientiza os alunos das

    relaes entre Matemtica e sociedade. Mostra ainda que a Histria uma fonte

    inesgotvel de problemas curiosos e interessantes que permitem desenvolver e

    auxiliar a capacidade de resoluo de problemas. Alm disso, segundo Silva, a

    Histria da Matemtica tambm auxilia a superar preconceitos e a viso

    eurocentrista de conhecimento ao mostrar as reais contribuies de civilizaes no

    ocidentais.

    Embora as potencialidades da Histria no ensino estejam, de certa maneira,

    clara aos educadores, Silva (2009) observa que os professores ainda no parecem

    saber como articular Histria e ensino. Nesse sentido, Silva sugere que a Histria

    poderia ser utilizada para se criar em sala de aula momentos de discusso e

    reflexo em torno de questes como: Quem constri a Matemtica? Como e onde a

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    Matemtica se desenvolve? Para que serve a Matemtica? (SILVA, 2009, p. 168,

    169).

    Como exemplo Silva prope que, para se introduzir o estudo das equaes do

    segundo grau, poderiam ser utilizados problemas histricos que esto nos livros

    escritos por Al-Khowarizmi. Visto que esses problemas no envolviam simbolismo

    algum, Silva acredita que os alunos poderiam assim introduzir uma discusso sobre

    a importncia de seu uso.

    Dentre outros pesquisadores que investigam sobre o uso da Histria da

    Matemtica como recurso pedaggico encontramos ainda Nunes, Guerra e

    Almouloud (2010). Segundo esses autores a Histria uma ferramenta que pode

    dar significado aprendizagem e auxiliar na explicao de teorias e os conceitos

    estudados na matemtica.

    Acreditamos que a Histria da Matemtica possa interagir e proporcionar ao aluno oportunidades para evidenciar os significados da aprendizagem, evidenciando os obstculos que surgiram na construo do conhecimento. (NUNES; GUERRA; ALMOULOUD, 2010).

    Na concepo de Nunes, Guerra e Almouloud a Histria da Matemtica pode

    ser utilizada como um organizador prvio em uma aula, pois,

    (...) alm de contextualizar o aprendizado de um determinado contedo, mostra formas de conectar essas novas ideias com outras j existentes na estrutura cognitiva. Ademais, pode ser altamente motivador para os alunos, uma vez que apresentam situaes-problema cuja soluo bem sucedida requer poder de raciocnio, flexibilidade de pensamento, improvisao, sensibilidade, astcia, ttica para compreender os princpios subjacentes, habilidades, destreza e conhecimentos prvios. (NUNES; GUERRA; ALMOULOUD, 2010).

    Para Nunes, Guerra e Almouloud, a articulao da Histria da Matemtica

    com o ensino conduz o aluno a perceber a origem e tambm a evoluo que teve a

    Matemtica, mostrando-lhe que esta no um conhecimento pronto e acabado.

    Assim, segundo Nunes, Guerra e Almouloud, a Histria da Matemtica bem

    articulada com o ensino promove uma aprendizagem significativa, visto que cria a

    possibilidade de perceber no s a origem como tambm a evoluo do

    conhecimento matemtico.

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    Cogeae PUC SP Especializao em Educao Matemtica

    Podemos dizer que so muitas as iniciativas como as de Silva, Nunes, Guerra

    e Almouloud. Miguel (1993), por exemplo, observa que Histria da Matemtica

    poderia ser utilizada como um instrumento de promoo da aprendizagem

    significativa e compreensiva. Segundo Miguel,

    Somente uma histria pedagogicamente orientada, isto , uma histria viva, esclarecedora e dinmica, vindo substituir as enfadonhas histrias evolutivas das ideias matemticas, quase sempre desligadas das necessidades externas e/ou internas que estiveram na base de sua origem e transformao, poderia subsidiar uma prtica pedaggica em matemtica que cumprisse, efetivamente, as funes didticas atribudas histria. (MIGUEL, 1993, p. 111)

    Por histria viva, Miguel quer dizer que necessrio tomar o cuidado de no

    introduzir em sala de aula uma histria que s encadeie cronologicamente os fatos

    de maneira enfadonha, isto , uma histria linear e progressista que s descreva

    acontecimentos e descobertas. Essa histria alm de no contribuir

    pedagogicamente, deixa de fora os fatores externos e internos que levaram

    elaborao do conhecimento matemtico que conhecemos hoje. Segundo Miguel,

    ao excluir tais fatores, esse tipo de histria acaba por ocultar o processo da

    construo do conhecimento matemtico.

    Esse ponto tambm reforado por Ubiratan DAmbrsio, para ele a Histria

    da Matemtica deve mostrar ao aluno em que contexto certo conhecimento

    matemtico foi desenvolvido, e situ-lo nas condies histricas da poca de modo

    que ele perceba a importncia do desenvolvimento do conhecimento para a

    sociedade. Assim, a Histria permitiria ao aluno mobilizar conhecimentos e fazer

    relaes e conexes entre assuntos j abordados, conduzindo-o a uma maior

    compreenso da evoluo do conceito, enfatizando as dificuldades epistemolgicas

    inerentes ao conceito que est sendo trabalhado (DAmbrsio, 1989).

    Tudo isso significa que, ao utilizar a Histria da Matemtica como recurso

    didtico, importante atentar para o tipo de histria que devemos levar em

    considerao. A esse respeito, Saito (2010) observa que:

    (...) o educador ao levar para a sala de aula as histrias que esto nos livros, atualmente baseadas em uma vertente historiogrfica tradicional, tende a reforar a linearidade do desenvolvimento do conhecimento. Desse modo, o conhecimento cientfico apresentado aos alunos como uma sucesso de fatos, organizados de forma

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    Cogeae PUC SP Especializao em Educao Matemtica

    lgica e cronolgica, omitindo debates e outras questes extra cientficas, que direta ou indiretamente, estiveram ligadas no momento de sua formulao. (SAITO, 2010, p. 5)

    No se trata, entretanto como observa Saito e Dias, de fazer do professor um

    historiador, mas sim aproxim-lo do historiador da matemtica de modo a elaborar

    uma estratgia, ou mesmo esboar uma metodologia de trabalho, em que seja

    possvel articular proficuamente Histria da Matemtica e Educao Matemtica.

    (Saito e Dias, 2010, p.7).

    Segundo Saito e Dias h vrios pesquisadores que propem articular Histria

    da Matemtica e Ensino, porm observam que ainda faltam bases tericas para

    essa articulao (2010, p.2). Para eles, existem trs aspectos que so favorveis

    para a articulao entre a Histria da Matemtica e a Educao Matemtica. O

    primeiro que a Histria ajuda a modificar o pensamento de que a Matemtica

    apenas tcnica e resolues de problemas. O segundo aspecto que a Histria d

    significado aos objetos matemticos. Ela proporcionaria outra interpretao

    tendendo a uma melhor compreenso desses objetos matemticos, isto , como

    afirmou Miguel (1997), ela formaliza os conceitos matemticos:

    (...) no desenvolvimento histrico da matemtica que podemos perceber as diferentes formalizaes de um mesmo conceito. E, como numa aprendizagem significativa desejvel que o estudante tenha uma viso dessas diferentes formalizaes, ento, a histria passaria a ser um recurso indispensvel. (MIGUEL, 1997)

    O ltimo, segundo Saito e Dias, seria a interdisciplinaridade (ALFONSO-

    GOLDFARB, 2003), ou seja, a Histria aborda o desenvolvimento dos conceitos

    matemticos vinculado a outras reas do conhecimento.

    Segundo Saito (2010) as propostas de articulao podem ser divididas em

    dois grandes grupos. Isto , entre aquelas que propem uma interveno direta em

    sala de aula e outras que buscam fornecer subsdios aos educadores. No que diz

    respeito interveno direta em sala de aula, encontramos propostas que usam

    caminhos diferentes para o uso da Histria na Educao como, o uso de fontes

    histricas associadas ao emprego de softwares e a reproduo de experimentos

    histricos. J as propostas que fornecem subsdios aos educadores, encontramos

    as que propem examinar as potencialidades pedaggicas da histria (p.3).

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    Cogeae PUC SP Especializao em Educao Matemtica

    Podemos dizer, portanto, que a Histria da Matemtica que devemos ter em

    considerao para ser articulada com o ensino dever ser aquela que nos faa

    entender a Matemtica como um conhecimento em construo, com erros e acertos

    e idas e vindas, influenciadas por fatores internos e externos a ela. Isso porque

    quando se entende como a Matemtica se desenvolveu e como ela sofre influncias

    e influencia os outros conhecimentos podemos entender melhor nossas dificuldades

    no contexto das ideias matemticas.

    Podemos dizer que h muitos argumentos favorveis introduo da Histria

    da Matemtica na Educao Matemtica. Contudo, Miguel (1997) apresenta tambm

    alguns argumentos que so obstculos, que nos conduzem a refletir sobre as reais

    potencialidades da Histria da Matemtica em sala de aula, so elas: ausncia de

    literatura adequada; natureza imprpria da literatura disponvel; o elemento histrico

    como fator complicador e, por ltimo, a ausncia na criana do sentido de progresso

    histrico (p. 95-100).

    Na mesma direo, Viana (1998) tambm apresenta algumas objees,

    dentre elas podemos destacar a afirmao que para se aprender o contedo

    matemtico a ser ensinado pelo professor, o aluno no necessita da histria, pois

    essa no significativa para o seu aprendizado (p.3). Assim como Miguel, Vianna

    tambm se refere a pouca literatura adequada disponvel aos professores e alunos,

    principalmente em lngua portuguesa. Alm disso, ele acrescenta que a literatura

    disponvel de difcil compreenso para que os professores possam fazer uso.

    Ademais, Vianna observa que o caminho histrico mais rduo para os estudantes

    que o caminho lgico, isto , o aluno precisaria passar pelos erros cometidos ao

    longo da histria e isso provocaria atraso no contedo a ser ensinado. Segundo

    Viana, ainda soma-se a isso:

    Apesar de encontrarmos fortes razes para defender o uso didtico da histria da matemtica no encontrei nenhum estudo sobre os efeitos nos alunos provocados pelas mudanas que recentemente vem ocorrendo na maioria dos livros didticos nacionais com vistas incluso de um conhecimento histrico. A julgar pelo que tenho visto nestes livros didticos dificilmente se poder encontrar alguma diferena de comportamento na aprendizagem dos alunos, pois o elemento histrico incorporado a estes livros no se reflete no contedo matemtico dos mesmos. (VIANNA, 1998, p. 11).

  • 15

    Cogeae PUC SP Especializao em Educao Matemtica

    Mas, ao mencionar fatos ocorridos em diferentes pocas e com diferentes

    povos, a Histria da Matemtica exemplifica que problemas antigos podem estar

    presentes ainda hoje, e que solues anteriores encaminharam as solues atuais e

    assim, conceitos foram construdos, ampliados e difundidos. Isso pode levar os

    alunos a valorizar os conhecimentos matemticos como instrumentos bsicos para

    compreenso das situaes de nosso cotidiano, o que dar mais sentido

    aprendizagem.

    A Histria da Matemtica ajuda a perceber que a Matemtica est longe de

    acabar, ela ainda continua em evoluo e muito importante na formao do

    professor. Assim, ainda que no se possa afirmar que o uso da Histria da

    Matemtica conduziu a algumas mudanas no aprendizado, como afirmou Vianna

    (1998), tambm no podemos negar que essas novas propostas e iniciativas

    baseadas na histria buscaram, com muito esforo, incluir aspectos histricos na

    educao matemtica, pelo menos desde a publicao dos PCN para o Ensino

    Fundamental pelo Ministrio da Educao em 1997 (Gomes, 2007).

    Concordamos com Miguel (1997), quando ele conclui em seu levantamento

    que preciso ficar numa posio intermediria antes de se convencer de que a

    Histria tudo pode ou de que nada pode dentro de uma sala de aula.

    Acreditamos que a histria pode e deve desempenhar um papel subsidirio na

    Educao Matemtica, desde que devidamente reconstituda com fins pedaggicos

    e organicamente articulada com as demais variveis que intervm no processo de

    planejamento didtico (p.101). Mas tambm preciso considerar que no h

    somente uma Histria disposio do professor.

    Como afirma Brolezzi,

    (...) No se trata apenas de ilustrar as aulas de Matemtica com histrias que divirtam, como biografias de matemticos famosos. Nem, simplesmente, de acrescentar mais contedo ao currculo elementar de Matemtica, para reche-lo de referncias histricas diretas que, de algum modo, ajudem a demonstrar a importncia ou a beleza do assunto que se quer ensinar. O que pretendemos fazer aqui contribuir para o estudo de uma utilizao muito mais profunda do recurso a Historia da Matemtica. (BROLEZZI, 2000. p.1)

    Sabemos agora como importante o uso da Histria da Matemtica no

    ensino, mesmo com alguns obstculos (Miguel, 2007) e algumas objees (Vianna,

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    Cogeae PUC SP Especializao em Educao Matemtica

    1998). Mas importante observar que no basta apenas juntar Histria da

    Matemtica e Educao Matemtica, antes preciso estabelecer um dilogo entre

    historiadores e educadores matemticos (Saito, 2010), pois esse dilogo propiciar

    uma melhor articulao entre Histria e Ensino de Matemtica.

    Assim, ao introduzir a Histria da Matemtica no ensino, o professor deve

    mostrar a Matemtica como uma criao humana, fazendo com que o aluno a

    encare como fruto da necessidade de modo a despertar o interesse deste aluno para

    essa disciplina. Partindo da constatao de Viana, ou seja, que elemento histrico

    incorporado em livros didticos no se reflete no contedo matemtico dos mesmos,

    no prximo captulo veremos como a Histria da Matemtica foi abordada nessas

    obras por seus autores. Buscaremos analisar alguns livros didticos tendo como

    foco as Equaes do Primeiro Grau com uma Incgnita.

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    2. EQUAO DO PRIMEIRO GRAU E HISTRIA DA MATEMTICA NOS

    LIVROS DIDTICOS

    Para o aluno aprender equaes do primeiro grau, normalmente ensinadas no

    7 ano do ensino Fundamental II, precisa tambm aprender lgebra, pois esta

    envolve entes matemticos tais como as variveis e as incgnitas.

    Com a introduo de equaes, um novo e diferente contexto apresentado

    ao aluno, ou seja, ele inserido na linguagem algbrica, uma linguagem que traduz

    em smbolos os valores numricos.

    Como afirma Ponte (2005):

    (...) Ao lado das expresses numricas, envolvendo nmeros e operaes com que contactaram anteriormente, surgem agora outras expresses, envolvendo novos smbolos e novas regras de manipulao, que remetem para outro nvel de abstrao. (PONTE, 2005, p. 149)

    Podemos dizer assim que comea uma nova etapa do aprendizado da

    matemtica, isto , uma matemtica abstrata.

    Para muitos alunos esse incio bem difcil, uma vez que eles no

    conseguem dar significado a linguagem algbrica. Isso porque muitos acreditam que

    simplesmente atribuindo um valor a x, a equao estar resolvida ou estar

    resolvido o x da questo. Infelizmente, os alunos creem que a lgebra no faz

    parte do seu cotidiano e isso acarreta incertezas e dificulta a aprendizagem,

    impedindo-os de utiliz-la como ferramenta em outras reas do conhecimento como,

    na Fsica e na Qumica por exemplo.

    Nesse sentido, os PCN nos orientam que, para trabalhar com a lgebra,

    precisamos recorrer a situaes-problema, em que o aluno tenha a possibilidade de

    dar significado aos objetos matemticos:

    O ensino de lgebra precisa continuar garantindo que os alunos trabalhem com problemas, que lhes permitam dar significado linguagem e s ideias matemticas. Ao se proporem situaes-problema bastante diversificadas, o aluno poder reconhecer diferentes funes de lgebra (ao resolver problemas difceis do ponto de vista aritmtico, ao modelizar, generalizar e demonstrar propriedades e frmulas, estabelecer relaes entre grandezas). (BRASIL, 1998, p.84)

  • 18

    Cogeae PUC SP Especializao em Educao Matemtica

    Podemos notar que o preparo dos alunos para a aprendizagem da lgebra

    parece ser um dos aspectos incentivados pelos PCN, visto que enfatizam sua

    importncia e no simplesmente a aprendizagem do clculo.

    Embora nas sries iniciais j se possa desenvolver alguns aspectos de lgebra, especialmente nas sries finais do ensino fundamental que as atividades algbricas sero ampliadas. Pela explorao de situaes-problema, o aluno reconhecer diferentes funes da lgebra (generalizar padres aritmticos, estabelecer relao entre duas grandezas, modelizar, resolver problemas aritmeticamente difceis), representar problemas por meio de equaes e inequaes (diferenciando parmetros, variveis, incgnitas, tomando contato com frmulas), compreender a sintaxe (regras para resoluo) de uma equao (BRASIL, 1998 p. 50 - 51).

    Assim, os PCN, consideram de suma importncia as diferentes vises da

    lgebra e propem atividades diversificadas que busquem articular aritmtica e

    lgebra.

    Nesse captulo apontaremos como os autores de livros didticos abordam o

    tema equaes do primeiro grau. Visto que na maioria das vezes atravs dos

    livros didticos que os alunos tm contado com esse tipo de equao pela primeira

    vez. Acreditamos ser importante avaliarmos como esse assunto apresentado,

    particularmente, no que diz respeito sua articulao com a histria da matemtica.

    Cabe observar que a apropriao desse tpico fundamental para que o

    aluno do 7 ano seja capaz de resolver situaes-problema que envolvam equao

    do primeiro grau. Alm disso, nos anos que se seguem ele trabalhar com variaes

    e aplicaes deste contedo. Assim, analisamos alguns livros didticos com o

    objetivo de apontar de que modo os autores introduzem o tema de Equaes para

    os alunos do 7 ano do Ensino Fundamental e como articulam este contedo com a

    Histria da Matemtica.

    2.1 Materiais analisados

    Como vimos no captulo anterior, a Histria da Matemtica em sala de aula

    recomendada pelos PCN como recurso didtico:

    Mediante um processo de transposio didtica e aliada a outras metodologias e recursos, a Histria da Matemtica se torna uma importante contribuio para o processo de ensino e aprendizagem

  • 19

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    em Matemtica. Mostrando a Matemtica como uma criao humana, as diferentes culturas, diferentes momentos histricos, comparaes entre processos matemticos do passado e do presente, o aluno pode desenvolver atitudes e valores mais favorveis do conhecimento matemtico. (BRASIL, 1998, p. 45).

    De fato, os PCN parecem ter contribudo para que os autores de livros

    didticos inserissem a Historia da Matemtica em seus livros. Isto notrio, por

    exemplo, no livro dos autores Giovanni, Castrucci e Giovanni Junior. O livro didtico

    intitulado A Conquista da Matemtica, publicado em 1998, abordava

    superficialmente a Histria. Porm, a edio de 2007, posterior publicao dos

    PCN, passou a incorporar mais contedos de Histria da Matemtica, mas este um

    caso isolado, visto que nem todos os livros j trazem contedos de histria.

    Vamos delimitar nossa anlise a cinco livros didticos. Escolhemos esses

    livros justamente por articularem histria em seus contedos. Os livros adotados

    foram: Matemtica sem Limites, 7 ano, publicado pela Companhia Editora Nacional

    em 2009, de autoria de Ubirajara Favilli; Para Viver Juntos: matemtica, 7 ano

    publicado pelas Edies SM Ltda., em 2008, cujos autores so Carlos N. C. de

    Oliveira; A Conquista da Matemtica, de autoria de Jos Ruy Giovanni, publicado

    em 2007; Tudo Matemtica, de autoria de Luiz Roberto Dante, publicado em 2010;

    e Projeto Ararib: Matemtica, obra coletiva, publicada em 2010.

    O primeiro livro, Matemtica sem Limites, 7 ano, cuja capa est apresentada

    na figura 1, de autoria de Ubirajara Favilli, bacharel em Matemtica pelo Instituto

    de Matemtica e Estatstica da Universidade de So Paulo, Licenciado em

    Matemtica pelas Faculdades Integradas Teresa Martin. Publicado em 2009, o livro

    contm cinco captulos. Possui manual do professor contendo 80 pginas, no qual

    constam sugestes de livros didticos, vdeos, programas de computadores,

    indicaes de leituras, referncias bibliogrficas e respostas de exerccios.

  • 20

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    Figura 1 Capa do livro Matemtica sem Limites

    O segundo livro, Para Viver Juntos: Matemtica, 7 ano, cuja capa est

    apresentada na figura 2, de autoria de Carlos N. C. de Oliveira, licenciado em

    Matemtica pela Universidade de So Paulo, especialista em Educao Matemtica

    pelo Centro Universitrio Fundao Santo Andr; e Marco Antonio Martins

    Fernandes, licenciado em Matemtica pela Fundao Instituto de Ensino para

    Osasco. O livro foi publicado em 2008 e composto por nove captulos. Em cada

    captulo traz orientaes tais como, objetivos, apresentao, contedos, pr-

    requisitos, comentrios, indicaes de leituras, conceitos-chave do mdulo, o tema

    no dia a dia, um tpico intitulado no deixe de explorar" e outros intitulados

    ampliao do contedo, atividade extra, para navegar na internet e respostas

    de exerccios.

    Figura 2 Capa do livro Para Viver Juntos: Matemtica

    O terceiro livro, A conquista da Matemtica, 7 ano, cuja capa est

    apresentada na figura 3, de autoria de Jose Ruy Giovanni, bacharel, licenciado em

    Matemtica pela Pontifcia Universidade Catlica de So Paulo; Benedito Castrucci,

  • 21

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    bacharel, licenciado em Cincias Matemticas pela Universidade de So Paulo; e

    Jos Ruy Giovanni Junior, licenciado em Matemtica pela Universidade de So

    Paulo. Trata-se de uma coleo da editora F.T.D. composta por livros para todos os

    anos do ensino fundamental.

    Publicado em 2007, o livro composto por 10 captulos e traz indicao de

    leituras, glossrio, bibliografia, respostas de exerccios, e um projeto de interveno

    pedaggica. Ao final do livro, os autores apresentam 63 pginas de orientaes para

    o professor de Matemtica.

    Figura 3 Capa do livro A Conquista da Matemtica

    O quarto livro, Tudo Matemtica, 7 ano, cuja capa est apresentada na

    figura 4, de autoria de Luiz Roberto Dante, livre-docente em Educao Matemtica

    pela Universidade Estadual Paulista Jlio de Mesquita Filho de Rio Claro, doutor

    em Psicologia da Educao (Ensino da Matemtica) pela Pontifcia Universidade

    Catlica de So Paulo, Mestre em Matemtica pela Universidade de So Paulo. O

    livro foi publicado pela editora tica e est na 3 edio (2010).

    O livro composto por 10 captulos e traz atividades suplementares,

    glossrio, bibliografia, respostas de exerccios e leituras complementares. Ao final

    do livro, constam 64 pginas que compe o manual pedaggico do professor de

    Matemtica.

  • 22

    Cogeae PUC SP Especializao em Educao Matemtica

    Figura 4 Capa do livro Tudo Matemtica

    O quinto e ltimo livro analisado faz parte de uma coleo denominada

    Projeto Ararib, organizada e publicada pela editora Moderna. Esse Projeto

    composto por livros das disciplinas que constitui o currculo do ensino fundamental.

    O livro escolhido para a anlise foi publicado em 2010. Trata-se de uma obra

    coletiva, elaborada por Juliane Matsubara Barroso, Ana Paula Souza Nani, Cintia

    Alessandra Valle Burkert Machado, Dario Martins de Oliveira, Dbora Regina Yogui,

    Fabio Martins de Leonardo, Fausto Arnaud Sampaio, Flvia Renata Pereira de

    Almeida Fugita, Juliana Ikeda, Luciana de Oliveira Gerzoschkowitz Moura, Maria

    Aparecida Costa Bravo, Maria Ceclia da Silva Veridiano e Maria Ceclia Soave

    Leme Oliva.

    Essa obra, cuja capa est reproduzida na figura 5, est organizada em seis

    unidades temticas, seguidas das respostas dos exerccios, bibliografia consultada e

    um guia de recursos didticos para o professor.

    Figura 5 Capa do livro Ararib Matemtica

  • 23

    Cogeae PUC SP Especializao em Educao Matemtica

    Feita essa breve descrio, apresentamos a seguir, como estes livros

    abordam o tema Equaes de primeiro grau.

    2.2 Como os livros escolhidos abordam o assunto Equaes do Primeiro

    Grau e Histria da Matemtica

    Para facilitar o entendimento, usaremos as siglas (ML) para o livro

    Matemtica sem Limites; (VJ) para o livro Para Viver Juntos: Matemtica; (CM) para

    o livro A Conquista da Matemtica; (TM) para o livro Tudo Matemtica e, por fim,

    (AM) para o livro Projeto Ararib: Matemtica.

    No primeiro livro ML, o captulo 3 destinado aos fundamentos de lgebra e

    contm tpicos referentes a expresses algbricas, equaes e sistemas de

    equaes. Na primeira pgina deste captulo h uma foto da esttua de Al-

    Khowarizmi que est na cidade de Khiva, em Uzbequisto. Ao se referir esttua, o

    autor menciona Muhammad ibn Musa AL-Khowarizmi (sculo VIII), matemtico e

    astrnomo, nasceu na sia Centra, regio do Mar de Aral, em Khorezm, hoje Khiva

    no atual Uzbequisto (Favilli, U., 2009, p.57) (Figura 6).

    Figura 6 Esttua de Al-Khowarizmi na cidade de Khiva, Uzbequisto

    (Favilli, U., 2009, p. 57)

  • 24

    Cogeae PUC SP Especializao em Educao Matemtica

    Notamos aqui que o autor tem a preocupao de apresentar esse matemtico

    e astrnomo pela sua importncia para a lgebra. No que diz respeito equao de

    primeiro grau, o autor aborda, num primeiro momento, o que so expresses

    algbricas para, em seguida, introduzir as equaes. Para a introduo das

    equaes o autor formula uma pergunta, como vemos na figura 7.

    Figura 7 Problema

    (Favilli, U., 2009, p. 63)

    Observamos que o autor expe um problema na linguagem natural e, em

    seguida, descreve sua generalizao em linguagem matemtica. Apresenta a letra x

    para representar um nmero qualquer e, com isso, espera que o aluno seja capaz

    de realizar a escrita algbrica por meio de uso de letras em expresses

    matemticas, traduzindo a sentena de uma lngua materna para uma lngua

    algbrica e vice-versa. Alm disso, espera que o aluno reconhea que a sentena

    formada representa uma equao do primeiro grau.

    Na sequncia, notamos que o autor define equao do primeiro grau e

    incgnita. A incgnita definida como a letra que representa o nmero

    desconhecido (p.64). Define tambm raiz de uma equao, explicando que a

    resoluo de uma equao significa encontrar o valor que se deve colocar no lugar

    da incgnita para que se obtenha uma sentena verdadeira, efetuando-se as

    operaes indicadas (Favilli, U., 2009, p.64).

    Aps essa apresentao, so elencados e resolvidos vrios exerccios, em

    seguida, solicita-se aos alunos resolverem outros exerccios.

  • 25

    Cogeae PUC SP Especializao em Educao Matemtica

    Podemos dizer que esse livro no deixa o aluno formular os principais

    conceitos relacionados equao de primeiro grau. Nesse sentido, o livro incentiva

    apenas o aluno a seguir os exemplos e repeti-los.

    A Histria da Matemtica aparece em diversos boxes, como no exemplo a

    seguir, da figura 8.

    Figura 8 Palatine

    (Favilli, U., 2009, p. 71)

    Aqui, o autor traz a coleo Palatine e informa que essa coleo a prova de

    que resolver problemas relacionados com equaes do primeiro grau um tema

    muito antigo.

    Com o objetivo de introduzir equaes com denominadores, o autor expe o

    problema descrito na figura 8. Em seguida, o autor apresenta sua resoluo com o

    uso da linguagem algbrica. Seja x a idade de Democares quando o problema foi

    proposto (p.71)

  • 26

    Cogeae PUC SP Especializao em Educao Matemtica

    interessante observar que o autor buscou colocar uma curiosidade histrica

    para introduzir as equaes com denominadores, entretanto, a proposta no articula

    a parte histrica com o contedo a ser ensinado.

    No problema seguinte, tambm com o uso da Histria da Matemtica, o autor

    procurou demonstrar o uso do mtodo da falsa posio para a resoluo do

    problema, tal como era feito pelos antigos egpcios, mostrando em seguida, como os

    gregos resolviam usando geometria. Observamos isso nas figuras 9 e 10.

    Figura 9 Resoluo dos egpcios

    (Favilli, U., 2009, p. 84)

  • 27

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    Figura 10 Resoluo dos gregos

    (Favilli, U., 2009, p. 85)

  • 28

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    Na figura 9, o autor apresenta o mtodo da falsa posio utilizado pelos

    egpcios h 4000 anos. O mtodo apresentado em forma de aplicao de tcnicas

    de clculo. Como podemos notar, o autor mostra que o mtodo consistia em atribuir

    um nmero qualquer ao valor da incgnita, buscando encontrar o resultado da

    sentena. O autor mostra que caso o resultado no seja alcanado na primeira

    tentativa, deve-se estabelecer uma proporo entre as razes do nmero

    desconhecido com o resultado da sentena e a razo entre o nmero atribudo no

    incio e o resultado no desejado.

    A presena da histria no inicio da atividade tem o objetivo de apenas contar

    um fato histrico e no de narrar o desenvolvimento do mtodo de resoluo da

    falsa posio para determinao da soluo de uma equao, nem articular o

    mtodo com o contedo abordado.

    O mtodo da falsa posio foi retirado do Papiro de Ahmes, que fora copiado

    no Egito, por volta de 1650 a.C. por um escriba. Mais tarde chamado de Papiro de

    Rhind, em homenagem a Henry Rhind, um escocs, que o adquiriu em 1858 (Eves,

    2004, p.69). Esse papiro encontra-se atualmente no British Museum - Londres

    (exceto uns poucos fragmentos que esto no Brooklyn Museum Estados Unidos)

    So 85 problemas numricos de origem prtica, com uso de pes, cerveja,

    distribuio de raes para o gado e aves, alguns ligados agricultura e diviso de

    terras e muitos so resolvidos por uma equao linear com uma incgnita, usando-

    se o mtodo da falsa posio. (Boyer, 1974, pg. 9).

    Esse mtodo consistia em assumir um valor para a quantidade desconhecia,

    cujo valor assumido se errado, era corrigido por um processo parecido com regra de

    trs. (Cajori, 2007, p. 158) Os problemas eram simples com resolues usando

    equaes lineares com uma incgnita chamada hau ou aha.

    Como exemplo, mostraremos o problema 25 do Papiro que continha o

    seguinte enunciado: Uma quantidade mais um meio dela d 16. Qual a

    quantidade?.

    Hoje com a anotao algbrica muito fcil resolver traduzindo o problema

    como:

  • 29

    Cogeae PUC SP Especializao em Educao Matemtica

    Mas, naquela poca, quando ainda no existia a notao e smbolo algbrico,

    como eles teriam resolvido esse problema?

    Usando o mtodo da falsa posio, eles devem ter pensado: se o nmero

    fosse 2, a soma dele mais sua metade daria 3. Mas a soma do nmero mais sua

    metade, no problema dado, d 16.

    Ento, supunham um valor para esse nmero desconhecido que eles

    chamavam de aha tal que, da metade do nmero ficasse um nmero inteiro para

    facilitar os clculos. Assim, no caso de aha = 2, obtinham como resultado 3. Mas,

    para o valor suposto aha, aha mais sua metade, teria que ser igual a 16. Desde que

    j conheciam proporcionalidade, os valores de x e 2 e os valores dos resultados 16 e

    3, permitiam-lhes pensar que

    e, ento

    que a soluo do

    problema.

    Em notao moderna, o problema se apresenta assim:

    Se

    Ento,

    E, para

    Ento a igualdade

    pode ser identificada como uma proporo onde

    vale a propriedade fundamental das propores. Assim,

    .

  • 30

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    Eves (2004) nos d outro exemplo com o uso do mtodo da falsa posio:

    (...) Assim, para resolver assume-se um valor conveniente para x, digamos . Ento . Como 8 deve ser multiplicado por 3 para obter 24, o valor correto de x deve ser 3(7) ou 21. (EVES, 2004, p. 73)

    Geronimo (2011) em sua dissertao afirma que S (2008, apud Geronimo,

    2011) observa que esse mtodo bastante til para resolver determinados

    problemas, entretanto, chama a ateno para o fato de que ele adequado somente

    para resolver equaes do tipo (Geronimo, 2011, p. 42). E afirma tambm:

    A partir do desenvolvimento da lgebra simblica, o mtodo de falsa posio caiu em desuso. Mas, apesar disso, possvel propor problemas que podem ser resolvidos por esse mtodo para alunos do ensino fundamental. O uso de mtodos indiretos pode ajudar a introduzir a noo de incgnita e a desenvolver estratgias para a resoluo de problemas. (GERONIMO, 2011, p. 42)

    O mtodo da falsa posio, apesar de no ser mais usado como tcnica de

    resoluo de equao apresentada no livro ML como curiosidade sobre como os

    egpcios h 4000 anos resolviam os problemas do cotidiano que envolvia nmeros

    desconhecidos. Infelizmente o livro apenas ilustra e no h discusso ou mesmo

    atividade para que os alunos aprendam na prtica. Fica apenas como boxe ou

    informao de como eram feitas as resolues. No h uso efetivamente da Histria

    como recurso no aprendizado.

    Na figura 10, o autor apresenta um mtodo geomtrico de resoluo de

    equaes desenvolvido pelos gregos. Para tanto, o autor apresenta a construo de

    um retngulo de rea 15 unidades que representa o resultado da sentena proposta

    no problema citado na figura 9.

    Para a determinao das medidas dos lados do retngulo, o autor apresenta

    nmeros inteiros em que o produto resulta 15, estabelecendo a relao entre a soma

    do nmero inteiro com o seu quarto de inteiro resultando em 15.

    Analisando a figura 10, verifica-se a construo de um retngulo maior em

    relao ao primeiro, no qual se realizar o estudo entre as reas formadas pela

    construo da diagonal AC. Notamos que, a articulao que o autor faz

    interessante, pois ele demonstra com isso a importncia da resoluo algbrica, um

    mtodo mais fcil comparado quele utilizado pelos gregos.

  • 31

    Cogeae PUC SP Especializao em Educao Matemtica

    Nossa concluso em relao a esse livro, que o autor buscou, de certa

    maneira, trazer a Histria da Matemtica para a sala de aula sem recorrer apenas a

    biografias. A comparao entre a resoluo pelo mtodo de falsa posio, utilizada

    pelos egpcios, e o mtodo geomtrico, utilizado pelos gregos, um exemplo disso.

    No livro VJ, o captulo 6 dedicado s Equaes e Inequaes e, logo no

    comeo do captulo, o autor apresenta uma balana (figura 11) e quatro problemas.

    Um desses problemas expresso da seguinte maneira: O pai de Jos tem o triplo

    da idade dele. Voc pode imaginar uma forma de representar essa frase usando a

    linguagem matemtica? (Oliveira, C.; Fernandes, M., 2008, p. 117).

    Figura 11 Balana

    (Oliveira, C.; Fernandes, M., 2008, p. 117)

    Podemos dizer que a estratgia do autor no fazer o aluno resolver o

    problema, mas faz-lo pensar em retirar ou acrescentar quantidades iguais nos

    pratos das balanas, a fim de determinar os valores desconhecidos. Com essa

    estratgia, o autor parece querer fazer o aluno a perceber a necessidade da

    utilizao de letras para representar a sentena. J em seguida define o que so

    equaes.

    Assim como no primeiro, esse segundo livro, no primeiro subttulo Noes de

    lgebra, tambm apresenta o conceito de expresses algbricas, definindo

  • 32

    Cogeae PUC SP Especializao em Educao Matemtica

    incgnita como a letra x que representa um nmero desconhecido na equao

    (Oliveira, C.; Fernandes, M., 2008, p. 122). Alm disso, define variveis, valor

    numrico, termos algbricos semelhantes, raiz de uma equao e conjunto universo.

    No segundo subttulo desse captulo, Equaes, o autor apresenta um problema e

    define equao, como vemos na figura 12.

    Figura 12 Problema e conceito de equao

    (Oliveira, C.; Fernandes, M., 2008, p. 122)

    Podemos dizer que nesse livro, a abordagem de equaes diferente em

    relao ao livro ML, pois traz uma situao relacionada com brincadeiras que fazem

    parte do cotidiano dos alunos, estabelecendo em seguida passos a serem

    considerados para se obter a representao matemtica da sentena, determinando

    assim, a sentena algbrica que a equao. O autor define equao de primeiro

    grau como aquela que pode: ser reduzida, atravs de operaes elementares,

    forma , em que so racionais e . (Oliveira, C.; Fernandes, M.,

    2008, p. 126). Dada a definio, o autor explica o que so equaes equivalentes e

  • 33

    Cogeae PUC SP Especializao em Educao Matemtica

    demonstra os princpios de equivalncia, aplicando na sequncia vrios exerccios

    com predominncia de problemas.

    O uso da Histria da Matemtica nesse livro tambm se apresenta em forma

    de boxes, como podemos ver nas figuras 13, 14 e 15.

    Figura 13 O sinal de igualdade

    Figura 14 Diofanto de Alexandria

    Figura 15 Origem das palavras lgebra e

    Algoritmo

    (Oliveira, C.; Fernandes, M., 2008,

    p. 122)

    (Oliveira, C.; Fernandes, M. 2008, p. 123)

    (Oliveira, C.; Fernandes, M., 2008, p. 119)

    Notamos que diferentemente do livro ML, esse livro traz apenas biografia e

    curiosidades da histria e tambm informa que Diofanto foi considerado o pai da

    lgebra.

    O terceiro livro CM no capitulo Estudando as equaes, assim como no livro

    ML, tambm aborda em seu comeo para ensinar as equaes, um problema, mas

  • 34

    Cogeae PUC SP Especializao em Educao Matemtica

    diferente dos anteriores essa abordagem feita atraves de uma histria em

    quadrinhos, como podemos obervar na figura 16.

    Figura 16 Histria em quadrinho

    (Giovanni; Castrucci; Giovanni Jr., 2007, p. 117)

    O autor mostra o que sentena matemtica, demonstra os principios de

    equivalncia e d o conceito de equao e incgnita. Apresenta a noo de conjunto

    universo e conjunto soluo de uma equao e equaes equivalentes. O autor

    define:

    Toda sentena matemtica expressa por uma igualdade, na qual haja uma ou mais letras que representam numeros desconhecidos dessa sentena, denominada equao. Cada letra que representa um nmero desconhecido chama-se incgnita. (GIOVANNI;

    CASTRUCCI; GIOVANNI JR., 2007, p.122)

    Notamos que, nesse livro, fica ntida a comparao de equao com uma

    balana de dois pratos sempre em equilbrio. Alm disso, a balana apresentada

    para estabelecer uma analogia com os princpios de equivalncia. Isso pode ser

    constatado na figura 17.

  • 35

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    Figura 17 Balana em equilbrio

    (Giovanni; Castrucci; Giovanni Jr., 2007, p. 128)

    Note que o autor, por meio da balana, ilustra que

    O autor observa que adicionando um mesmo nmero aos dois membros de

    uma igualdade, obtemos uma nova igualdade, ou seja:

    E que multiplicando os dois membros de uma igualdade por um mesmo

    nmero, diferente de zero, obtemos uma nova igualdade, ou seja:

    (Giovanni; Castrucci; Giovanni Jr., 2007, p. 128).

    Podemos dizer que, nesse livro, a balana tem o objetivo de mostrar a

    igualdade dos membros de uma equao. O autor procura, dessa maneira, com o

    uso de um material concreto, fazer o aluno perceber o que uma equao. A

    utilizao da balana parece ser bastante interessante, mas como afirma Beltrame

    (2009):

    O procedimento de utilizar a balana de dois pratos, analisado a partir da proposta de Lins e Gimenes (2006), pode ser visto como atividades que buscam criar condies ou situaes para produzir significados para os alunos, chamada de abordagem facilitadora. No

  • 36

    Cogeae PUC SP Especializao em Educao Matemtica

    entanto, preciso ser realista em perceber at que ponto a utilizao da balana de dois pratos pode ser considerada como uma abordagem facilitadora, pois este tipo de utensilio no faz parte do cotidiano dos alunos. (BELTRAME, 2009, p. 127):

    De fato, o livro traz vrios exemplos com o uso de balanas e sempre fazendo

    um paralelo de seu uso e a notao algbrica, mostrando que a balana deve ficar

    em equilbrio, do mesmo modo que a equao, utilizando-se dos princpios aditivos e

    multiplicativos.

    Ademais, o autor expe problemas com suas resolues e sugere vrios

    exerccios para serem resolvidos. Apresenta ainda uma parte dedicada apenas a

    resolues de problemas e outra aplicao das equaes. Um exemplo o clculo

    da medida da rea de um retngulo em que o autor explica que:

    (...) se indicarmos por A o nmero que representa a rea, por b o

    nmero que representa a medida da base (ou o comprimento), e por h o nmero que representa a medida da altura (ou a largura), essa regra poder ser abreviada e escrita sob a forma de uma equao: . (GIOVANNI; CASTRUCCI; GIOVANNI JR., 2007, p.151).

    O autor traz a Histria da Matemtica para introduzir as equaes do primeiro

    grau com uma incgnita. Ele recorre ao papiro de Rhind, apresentando biografias de

    Euclides e Al-Khowarizmi e as equaes nos dias de hoje, tal como podemos

    observar nas figuras 18 e 19.

    Figura 18 Notcias antigas do uso das equaes

    (Giovanni; Castrucci; Giovanni Jr., 2007, p. 132)

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    Figura 19 Os gregos resolviam equaes usando a Geometria

    (Giovanni; Castrucci; Giovanni Jr., 2007, p. 133)

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    Cogeae PUC SP Especializao em Educao Matemtica

    Aqui tambm o autor apenas apresenta a vida de matemticos, como nos

    livros anteriores, e tambm se refere, como no VJ, ao pai da lgebra, que nesse

    caso o Al-Khowarizmi. Tal fato nos chamou a ateno, pois essa informao

    poderia confundir o professor. Enquanto no livro VJ, o autor afirma que Diofanto foi

    considerado o pai da lgebra, neste livro, este outro autor atribui a paternidade da

    lgebra a Al-Khowarizmi.

    A esse respeito cabe observar que a Histria da Matemtica, pautada em

    tendncias historiogrficas atuais, no est mais preocupada em atribuir a

    paternidade das ideias matemticas. Buscando compreender o processo da

    construo do conhecimento matemtico, a histria tem buscado desta maneira,

    compreender as ideias matemticas e seu objeto sob uma perspectiva mais

    contextualizada (SAITO; BROMBERG, 2010). Assim, notamos que a informao

    sobre o pai da lgebra, seja ele Al-Khowarizmi ou Diofanto, acessria e no

    acrescenta nada no que diz respeito ao contedo de equaes de primeiro grau a

    ser ensinado.

    No livro TM, o captulo cinco dedicado s equaes do 1 grau com uma

    incgnita e aborda dois problemas, indicando que estes podem ser expressos em

    forma algbrica.

    Para trabalhar elementos desconhecidos, sugerindo o uso de incgnitas, traz

    como subttulo: Procura-se elemento desconhecido e faz algumas perguntas:

    Voc gosta de histrias de aventura? Prefere revistas ou filmes? Voc percebeu

    que comum nessas histrias aparecerem personagens desconhecidos, que s no

    final da trama so descobertos? (Dante, L., 2008, p.110). Alm disso, traz algumas

    charadas e define incgnita como a letra que est no lugar do nmero

    desconhecido (Dante, L., 2008, p.113) e equaes como igualdades que contm

    pelo menos uma letra que representa um nmero desconhecido (Dante, L., 2008,

    p.113).

    Convm aqui observar que diferentemente dos outros livros analisados, este

    relaciona equao com a ideia de descobrir o nmero desconhecido. O autor

    introduz as equaes do primeiro grau com o tpico Usando letras para encontrar

    nmeros desconhecidos em que prope situaes escritas em linguagem natural

    para a linguagem matemtica e d nfase a resoluo com o uso de operaes

    inversas, tal como podemos observar na figura 20:

  • 39

    Cogeae PUC SP Especializao em Educao Matemtica

    Figura 20 Problema

    (Dante, L., 2008, p.112)

    At esse ponto do livro, a palavra equao no mencionada, mas aps a

    resoluo de alguns exerccios com a finalidade de descobrir o valor de x, as

    equaes so apresentadas e o autor define equao do primeiro grau como uma

    equao do 1 grau com uma incgnita (x) quando pode ser escrita na forma

    , com (Dante, L., 2008, p.118).

    Notamos que este livro, assim como o CM, procura explicar equaes do 1

    grau com uso de balana de dois pratos como recurso comparativo do termo

    igualdade e equilbrio. Da mesma forma que os outros dois livros anteriores, este

    tambm expe situaes-problema envolvendo a resoluo de equaes do 1 grau

    com uma incgnita, e aplica vrios exerccios para serem resolvidos.

    No que diz respeito Histria da Matemtica, neste livro tambm so usados

    boxes, como mostram as figuras 21, 22 e 23.

  • 40

    Cogeae PUC SP Especializao em Educao Matemtica

    Figura 21 Retrato de Ren Descartes

    (Dante, L., 2008, p. 112)

    Figura 22 Coisa

    (Dante, L., 2008, p. 112)

    Figura 23 Curiosidades

    (Dante, L., 2008, p. 135)

  • 41

    Cogeae PUC SP Especializao em Educao Matemtica

    Esse livro diferentemente dos outros, j faz uma sntese da Histria da

    lgebra, trazendo a figura de Ren Descartes e informando que a ideia de se usar

    as ltimas letras do alfabeto (x, y e z) foi dele. Alm disso, afirma que Diofante foi o

    pai da lgebra.

    interessante observar que esse livro (figura 22) faz meno palavra

    coisa como simples curiosidade. No que diz respeito ideia de coisa, Pinto e

    Fiorentini (1997) observam que:

    Num determinado perodo da histria da lgebra, a palavra coisa assumiu/encarnou um modo social de falar no interior da prpria matemtica. Esta foi a forma (palavra) encontrada e cunhada pelo matemtico rabe Al-Khowarizmi (aproximadamente ano 810), para representar a ideia de incgnita no estudo das equaes. Este perodo, no qual os clculos algbricos no eram ainda expressos por smbolos, mas por palavras, ficou sendo reconhecido como a fase retrica da linguagem algbrica. Na lgebra retrica dos rabes, a palavra coisa no era substituda por smbolo algum nem por letra nenhuma. Esta era a lgebra possvel para os matemticos da poca, que ainda no usavam a linguagem simblica. (PINTO, R. A; FIORENTINI, D., 1997, p. 60).

    Embora o autor tenha se referido coisa, ele, infelizmente, no explora o

    seu significado histrico, que poderia introduzir a noo de incgnita como fez

    Geronimo (2011); ao trabalhar com um jogo de RPG para alunos do 7 ano, ele

    partiu do pressuposto de que

    (...) o RPG pode introduzir a noo de incgnita, na medida em que, os problemas propostos podem ser resolvidos por muitos mtodos indiretos que trabalham com a noo de valores desconhecidos. A partir dessa noo, proporcionada pelos problemas presentes no jogo, os estudantes comeam a desenvolver raciocnios mais sofisticados para a resoluo de problemas, at trabalharem com uma noo intuitiva de incgnita. (GERONIMO, 2011, p. 43).

    Ou seja, Geronimo (2011) observa que possvel dar um significado para a

    introduo dos conhecimentos, de forma indireta.

    No ltimo livro AM, a parte 4 dividida pelos autores entre as equaes que

    compe a unidade 7; sistemas, a unidade 8; e inequaes, a unidade 9. Focaremos

    aqui na unidade 7 que dedicada s equaes.

  • 42

    Cogeae PUC SP Especializao em Educao Matemtica

    Para introduzir o tpico de equaes, o livro mostra como calcular a

    numerao do calado aqui no Brasil e como eram os calados em vrias pocas,

    tal como mostra a figura 24.

    Figura 24 Como calcular a numerao do calado

    (Barroso, et. al, 2010, p. 131)

    Em seguida, assim como nos outros livros, os autores apresentam

    expresses algbricas, igualdade das equaes, raiz da equao, conjunto universo,

    equaes equivalentes, princpio de equivalncia, e equao do 1 grau com uma

    incgnita. Define equao como uma sentena matemtica com sinal de igualdade

    que apresenta pelo menos uma letra representando um nmero desconhecido e

    tambm define como cada letra de uma equao denominada incgnita e

    representa um termo desconhecido. (Barroso, et. al, 2010, p.139)

    A balana aqui tambm empregada para mostrar que uma equao uma

    igualdade. Alm disso, traz muitos exerccios com uso da geometria e

    principalmente problemas relacionados ao cotidiano. Este livro pareceu-nos bastante

    interessante, pois, nos d a entender que a histria importante para o professor, tal

    como podemos observar nas figuras 25, 26 e 27.

  • 43

    Cogeae PUC SP Especializao em Educao Matemtica

    Figura 25 Linha do tempo 1

    (Barroso, et. al, 2010, p. 132)

    Figura 26 Linha do tempo 2

    (Barroso, et. al, 2010, p. 133)

    Figura 27 Esttua de escriba

    (Barroso, et. al, 2010, p. 131)

  • 44

    Cogeae PUC SP Especializao em Educao Matemtica

    O emprego da Histria da Matemtica, entretanto, se faz por meio de uma

    linha do tempo, utilizada para mostrar alguns momentos da evoluo da lgebra. O

    livro indica leitura complementar para o professor: Equaes e a origem da lgebra,

    que consta no guia e recursos didticos que um complemento para o professor.

    Como podemos observar com a anlise feita, os livros trazem a linguagem

    algbrica como ferramenta importante para a resoluo de problemas, porm os

    livros ML, VJ assim como e o CM, j trazem as definies e os procedimentos para

    resoluo das equaes.

    Em virtude da simples aplicao de tcnicas, os alunos no conseguem

    perceber os princpios de equivalncia na equao, que so realizados por meio das

    quatro operaes matemticas, tais como, adio, subtrao, multiplicao e

    diviso.

    Diferentemente, os livros TM e AM procuram desenvolver os conceitos

    expostos com uso de situaes contextualizadas, evitando clculos complicados e

    sem significado para os alunos.

    Apresentamos a seguir um quadro que resume as definies de equaes,

    equaes do primeiro grau e incgnita encontradas nos livros didticos.

  • 45

    Cogeae PUC SP Especializao em Educao Matemtica

    Quadro 1 Definies

    Livro Definio de equao Definio de equao do

    primeiro grau Definio de incgnita

    ML

    Uma sentena como

    chamada de equao do

    primeiro grau. A equao do

    1 grau porque o expoente da

    incgnita 1, lembre-se que

    A letra que representa o

    nmero desconhecido chama-

    se incgnita

    VJ

    Equao uma sentena

    matemtica expressa por

    uma igualdade que

    contm pelo menos uma

    incgnita

    Uma equao chamada de

    equao do primeiro grau se

    puder ser reduzida, atravs de

    operaes elementares,

    forma , em que a e b

    so nmeros racionais e

    Como a letra x representa um

    nmero desconhecido na

    equao, ela a incgnita da

    equao

    CM

    Toda sentena

    matemtica expressa por

    uma igualdade, na qual

    haja uma ou mais letras

    que representem nmeros

    desconhecidos dessa

    sentena, denominada

    equao

    Toda equao que, reduzida

    sua forma mais simples,

    assume a forma , em

    que x representa a incgnita e

    a e b so nmeros racionais,

    com , denominada

    equao do primeiro grau com

    uma incgnita

    Cada letra que representa um

    nmero desconhecido chama-

    se incgnita

    TM

    Equaes so igualdades

    que contm pelo menos

    uma letra que representa

    um nmero desconhecido

    Uma equao do 1 grau

    com uma incgnita (x) quando

    pode ser escrita na forma

    , com

    Incgnita a letra que est

    no lugar do nmero

    desconhecido

    AM

    Equao uma sentena

    matemtica com sinal de

    igualdade que apresenta

    pelo menos uma letra

    representando um nmero

    desconhecido

    As equaes do 1 grau com

    apenas uma incgnita podem

    ser escritas como uma

    equao equivalente da forma

    , em que a e b so

    nmeros racionais conhecidos

    e a diferente de zero. Nesse

    caso, a incgnita x

    Cada letra de uma equao

    denominada incgnita e

    representa um termo

    desconhecido

  • 46

    Cogeae PUC SP Especializao em Educao Matemtica

    Analisando este quadro, podemos observar que os autores do livro ML no

    define equao como os autores dos outros livros. Todas essas definies

    encontradas nos livros tm por base a igualdade entre quantidades e trazem a ideia

    de que a equao est ligada diretamente a um problema especfico.

    Em todos os livros a incgnita definida como nmero desconhecido e

    representado por situaes estticas. A esse respeito, um estudo nos permitiu

    refletir sobre a definio de incgnita, presente nesses livros, e notamos o quanto

    importante o aspecto aritmtico na resoluo de equaes para que os alunos

    entendam o que representa a incgnita e no fiquem presos a processos e mtodos

    mecnicos.

    Porm como afirma Ribeiro (2007), em trabalho que analisa livros didticos,

    notamos que nesses livros (...) no se discute o que uma igualdade, a no ser

    pela caracterstica de uma igualdade conter o sinal de igual. (RIBEIRO, 2007, p.

    108). Alm disso, Ribeiro (2007) levanta questes em relao ao uso do sinal de

    igual nas sentenas matemticas. Por exemplo, no caso de , Ribeiro

    observa que representa uma igualdade, podendo ser classificada como uma

    equao. Mas ao mesmo tempo, Ribeiro tambm questiona que essa sentena por

    no apresentar um valor desconhecido, isto , uma incgnita, tambm no poderia

    ser classificada de equao.

    No que diz respeito classificao das equaes, apenas o livro ML mostra

    que uma equao dita ser do primeiro grau porque o expoente da incgnita 1. Os

    demais demonstram que a equao para ser do primeiro grau precisa ser do tipo

    .

    Cabe observar que a classificao das equaes em ordens recente e at

    mesmo o termo equao recente.

    Como afirma Smith (1925),

    Nosso mtodo atual de classificao de equaes de acordo com seu grau

    um tema moderno. A primeira tentativa notvel de uma classificao sistemtica encontrada na lgebra de Omar Khayyam (c. 1100), mas a

    classificao dada l no o nosso presente. Traduo nossa. (SMITH,

    1925 p. 442-443)

  • 47

    Cogeae PUC SP Especializao em Educao Matemtica

    Notamos neste livro que a definio de equao est intimamente ligada a

    vrios outros conceitos, tais como sentena matemtica aberta, sentena

    matemtica fechada, grau da equao, igualdade, raiz, conjunto universo e conjunto

    soluo, princpios de equivalncia e incgnita.

    No que se refere Histria da Matemtica, apresentamos a seguir um quadro

    que resume os principais aspectos abordados nas obras analisadas do contedo

    analisado.

    Quadro 2 Histria

    Ao observar esse quadro nos parece que os autores acataram o que sugerem

    os PCN, sobre o uso da Histria da Matemtica. Contudo, observamos que a

    Histria s aparece como introduo de captulos, notas no final dos captulos e

    informaes complementares, informando-nos apenas sobre acontecimentos, datas

    e mitos biogrficos.

    No livro ML, o capitulo 3, destinado lgebra, mostra o retrato de Al-

    Khowarizmi e sua contribuio lgebra. Podemos dizer que a parte histrica no

    se encontra articulada com o contedo nesse captulo.

    Livro Uso da Historia da Matemtica

    ML Retrato de Al-Khowarizmi e sua biografia;

    um problema egpcio resolvido pelo mtodo da falsa posio e pelo mtodo geomtrico.

    VJ Robert Recorde foi o primeiro a usar o sinal de =;

    obra de Diofanto e sua biografia; origem da palavra lgebra e algoritmo.

    CM Foto do papiro de Rhind;

    retratos de Al-Khowarizmi e Euclides e suas biografias

    TM Retrato de Ren Descartes; uso da palavra coisa;

    origem da palavra lgebra; Biografia de Al-Khowarizmi; Papiro de Rhind.

    AM Linha do tempo (Papiro de Rhind, Diofante, Al-Khowarizmi e Franois Vite);

    foto da esttua de um escriba

  • 48

    Cogeae PUC SP Especializao em Educao Matemtica

    Alm disso, para introduzir equaes com parnteses, o livro ML conta a

    histria e mostra a resoluo de um problema da coleo chamada Palatine ou

    Antologia Grega (Favilli, U., 2009, p.71) e novamente no articula Histria e Ensino,

    e o livro j traz sua resoluo e no faz com que o aluno busque a soluo.

    Ademais, num tpico denominado A lgebra de ontem e de hoje, a obra traz a

    resoluo de um problema formulado h 4000 anos pelos egpcios (Favilli, U., 2009,

    p.84 - 85) pelo mtodo da falsa posio e mtodo algbrico, tentando assim,

    articular o contedo Histria. Todavia, no articula Histria e Ensino e tambm j

    explica a resoluo.

    No manual do professor do livro ML, o autor afirma que o uso da Histria da

    Matemtica como um recurso dar ao aluno uma perspectiva para que entenda

    questes do tipo: Para que serve esse contedo? Por que tenho de aprender

    equaes? (Favilli, U., 2009, p.10). Alm disso, observa que a histria serve como

    auxlio para o professor mostrar a importncia da evoluo da matemtica para a

    resoluo de situaes do cotidiano. E finaliza informando que esse conhecimento

    permitir aos alunos que faam a reconstruo do raciocnio da espcie humana, o

    que dar mais sentido aprendizagem. (Favilli, U., 2009, p.11). Entretanto, quando

    aborda o contedo, o autor no articula satisfatoriamente histria e ensino.

    O livro VJ no comenta nada sobre o uso da Histria da Matemtica,

    apresentando apenas boxes com informaes e flashes da histria. Ela ilustrada

    por biografias, principalmente sobre Diofanto, e a origem das palavras lgebra e

    algoritmo. Podemos dizer que dentre os livros analisados, este o que menos

    aborda a histria.

    O livro CM antes da introduo de equaes do primeiro grau apresenta uma

    foto de um fragmento do papiro de Rhind, e conta um pouco sobre ele (Giovanni,

    Castrucci, Giovanni Jr., 2007, p. 132). Os autores explicam que a primeira referncia

    equao consta no papiro. Alm disso, o autor explica que os gregos resolviam

    equaes usando a Geometria, e que os mtodos de soluo de uma equao

    eram complexos e cansativos (Giovanni, Castrucci, Giovanni Jr., 2007, p. 132).

    Tambm traz o uso das equaes para o cotidiano, informando que so usadas para

    calcular a taxa de uma aplicao financeira, para fazer a previso do tempo etc.

    (Giovanni, Castrucci, Giovanni Jr., 2007, p. 133). Aqui, provavelmente, o autor quis

    mostrar a utilizao das equaes nos dias de hoje, dando assim uma importncia

  • 49

    Cogeae PUC SP Especializao em Educao Matemtica

    em sua aprendizagem e tambm satisfazendo a curiosidade de alunos quando

    perguntam para que preciso aprender e onde esse contedo seria usado.

    Ainda em relao a esse livro, na parte de orientaes para o professor, a

    Histria da Matemtica apresentada pelos autores em forma de boxes com

    tratamento grfico diferenciado, agradvel (Giovanni, Castrucci, Giovanni Jr., 2007,

    p.6). O autor ainda explica que para destacar a sua importncia (Giovanni,

    Castrucci, Giovanni Jr., 2007, p.6) e cita algumas leituras da Histria da Matemtica

    para enriquecer a prtica pedaggica.

    Assim como o livro VJ, o livro TM, tambm traz apenas boxes com

    informaes e flashes da Histria. Quando mostra que normalmente usamos as

    ltimas letras do alfabeto (x, y, z) para representar o nmero, explica que essa

    ideia foi proposta por Ren Descartes (1596-1650), na primeira metade do sculo

    XVII (Dante, L., 2008, p. 112).

    VJ traz tambm outro boxe informando que no fim do sculo XI os alemes

    chamavam o elemento desconhecido de coisa (Figura 22). Nessa parte, o autor

    poderia ter trazido uma discusso sobre o que incgnita e seu significado para a

    matemtica, entretanto, ele no o faz.

    No manual pedaggico do professor do livro TM, os autores observam que

    importante recorrer Histria e afirmam que se deve utilizar a Histria da

    Matemtica como um excelente recurso didtico. Comparar a Matemtica de

    diferentes perodos da Historia ou de diferentes culturas (Dante, L., 2008, p.16).

    Todavia, quando avaliamos o contedo do livro, referente s equaes de primeiro

    grau, os autores no articulam contedo e Histria, tal como nos outros livros

    analisados.

    Por sua vez, o guia de recursos didticos para o professor, que acompanha o

    livro AM, inclui a Histria da Matemtica como um tema transversal. No caso das

    Equaes do Primeiro Grau, o autor sugere traar uma linha do tempo que expe a

    contribuio de alguns matemticos notao algbrica (Barroso, et. al, 2010, p.

    88) e explica a utilizao desta, apontando para a importncia das diferentes

    culturas no desenvolvimento da lgebra (Barroso, et. al, 2010, p.88). Alm disso,

    prope um texto sobre a utilizao da lgebra no decorrer da histria.

  • 50

    Cogeae PUC SP Especializao em Educao Matemtica

    Observamos nesse guia, que a Histria da Matemtica apenas importante

    para o conhecimento do professor e no para o aluno. Alm disso, o autor prope

    apresentar uma histria que, contada com textos, no tm relaes diretas uns com

    os outros, ou seja, no possui uma sequncia de cada assunto abordado, que a

    nosso ver, no permite ao professor ter uma viso clara do desenvolvimento da

    Histria da Matemtica. Ou seja, importante que, ao articular Histria e Ensino, o

    professor tenha uma viso da construo do conhecimento matemtico, pois como

    afirma Brolezzi,

    (...) o conhecimento histrico requerido por parte do professor muito mais profundo, No basta saber alguns dados biogrficos que possam ilustrar as aulas, nem saber localizar no espao e no tempo o contedo do currculo. necessrio ir alm, adentrando os processos de criao da Matemtica, tal como nos apresenta a sua histria. Esse mergulho na histria da criao matemtica leva descoberta de uma infinidade de modos de se chegar a um resultado, desde que se respeite a lgica prpria da construo do conhecimento, a qual permite uma ampla variedade de abordagens. (BROLEZZI, 2000 p.46)

    Podemos dizer que, embora os autores desses livros buscassem introduzir a

    Histria da Matemtica, no o fizeram de modo a articular Histria e Ensino de

    Matemtica. Assim, a Histria da Matemtica nessas obras no parece constituir-se

    um recurso didtico importante.

    De fato, a maior parte do contedo de Histria da Matemtica nesses livros se

    d em sees extras com tpicos apenas informativos para alunos interessados, o

    que significa que se no estivesse ali, no faria diferena. Ou seja, ao articular

    Histria e Ensino preciso que o livro traga alguma atividade ou sugerir ideias que

    levem o aluno a compreender o desenvolvimento do conceito a ser aprendido.

    Nesse particular, Vianna (1998) em seu estudo nos diz que:

    (...) nestes livros didticos dificilmente se poder encontrar alguma diferena de comportamento na aprendizagem dos alunos, pois o elemento histrico incorporado a estes livros no se reflete no contedo matemtico dos mesmos. (VIANNA, 1998, p.11)

    Esses livros didticos atuais como j foi dito anteriormente, apresentam uma

    Matemtica j pronta e acabada, trazendo uma Histria apenas figurativa ou

    recreativa. Nesse tipo de abordagem, a origem dos conceitos no aparece, dando a

    falsa impresso de que o que est colocado nos livros definitivo. De fato, o que

  • 51

    Cogeae PUC SP Especializao em Educao Matemtica

    encontramos nos livros didticos so histrias que s encadeiam cronologicamente

    os fatos. Uma histria linear e progressiva de acontecimentos e descobertas, com

    isso deixa-se de fora os fatores externos e internos que levaram a elaborao

    daquele conhecimento, tal como observam Saito e Dias (2010) em seu estudo.

  • 52

    Cogeae PUC SP Especializao em Educao Matemtica

    CONSIDERAES FINAIS

    Com o estudo realizado em relao aos trabalhos de pesquisas na rea de

    Educao Matemtica com Histria da Matemtica, constatamos que muitos

    educadores e historiadores da Matemtica afirmam que a Histria no deve ser

    apenas contada cronologicamente. A Histria no ensino da Matemtica deve ajudar

    a modificar o pensamento matemtico do aluno, por um processo que mostra o

    estudo, o desenvolvimento, os fatores histricos, econmicos e sociais que

    influenciaram o seu desenvolvimento e principalmente os erros e acertos durante o

    processo do desenvolvimento do contedo matemtico em questo.

    Em relao articulao entre Histria da Matemtica e Ensino de

    Matemtica nos livros didticos, com foco nas equaes do primeiro grau, notamos

    que importante que durante o processo de ensino o professor e o material didtico

    forneam condies para que os alunos desenvolvam o pensamento matemtico de

    acordo com as condies acima.

    No entanto, o que constatamos nos livros analisados que a Histria da

    Matemtica aparece apenas como curiosidade, trazendo informaes sobre a vida

    de alguns matemticos ou tcnicas matemticas que eram utilizadas em outras

    pocas. Ou seja, esse material que analisamos no traz nem esclarece sobre o

    processo como o contedo matemtico ou tcnicas de resoluo foram

    desenvolvidos ao longo dos sculos. Assim, como confirma Vianna (1998), esses

    livros no articulam Histria da Matemtica com o contedo a ser ensinado, por isso

    o uso da Histria em livros didticos deixa a desejar.

    A Histria ajuda os alunos a construrem o significado dos objetos

    matemticos. Em relao ao ensino de equao durante o processo de ensino e

    aprendizagem deve-se fazer com que o aluno construa a concepo do significado

    de equao, no qual a representao algbrica de um problema, que apresenta

    uma questo a ser resolvida chamada de incgnita, e esta por sua vez,

    representada por smbolos, tais como as letras do alfabeto.

    Concordando, de modo geral, com as ideias relativas s potencialidades da

    histria da matemtica que se vm difundindo, devemos admitir, porm, que h

    muito por fazer no sentido de que elas de fato possam ser introduzidas s prticas

  • 53

    Cogeae PUC SP Especializao em Educao Matemtica

    escolares. A possibilidade de integrao da histria da matemtica a essas prticas

    muito atraente porque nos d respostas para questes do cotidiano das salas de

    aula.

    Portanto, mais do que incluir a Histria da Matemtica na Educao

    Matemtica como um elemento que possivelmente atraia a curiosidade e o interesse

    dos estudantes, preciso apresent-la como um entre outros recursos didticos que

    esto disposio dos educadores.

  • 54

    Cogeae PUC SP Especializao em Educao Matemtica

    Referncias

    ALVES, Angela Xavier; NEVES, Sandra Socorro Miranda; OLIVEIRA, Jos Svio Bicho. Histria da Matemtica: Contribuies e descobertas para o ensino-aprendizagem de matemtica. Disponvel em: http://www.sbemrn.com.br/site/II%20erem/comunica/doc/comunica14.pdf. Acesso em 15 set. 2011

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