ponto de m+íximo e ponto de m+¡nimo
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Ponto de Máximo e Ponto de Mínimo
Por: Cristina Alves de S. Cardoso
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Para determinarmos o ponto de máximo e de mínimo de uma função do 2º grau, basta calcular o vértice da parábola, utilizando as seguintes expressões matemáticas.
Importante: Se a > 0, Yv assume o valor mínimo da função.
Se a < 0, Yv assume o valor máximo da função.
4a- y
2a
b- v
vx
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Representação GráficaPonto de Máximo Ponto de Mínimo
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Representação gráfica da Imagem de uma função.
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Situações-problema envolvendo o ponto de máximo e de mínimo
O ponto máximo e o ponto mínimo podem ser atribuídos a
várias situações presentes em outras ciências, como Física,
Biologia, Administração, Contabilidade entre outras.
Física: movimento uniformemente variado, lançamento de projéteis.
Biologia: na análise do processo de fotossíntese, no estudo da vida dos animais.
Administração: Estabelecendo pontos de nivelamento, lucros e prejuízos.
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Na Física
• Exemplo 1: Lançamento de projéteis.• Uma bala é atirada de um canhão. A trajetória
da bala descreve uma parábola de equação:
y = -3x2 + 60x (onde x e y são medidos em
metros).
a) Calcule o alcance do disparo.
b) Qual é a altura máxima atingida pela bala?
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Solução• a) Temos que resolver a equação: -3x2 + 60x = 0 para encontrar o
alcance do disparo (diferença entre as raízes da função). Calculando o valor do discriminante Delta:
• Como a raiz quadrada de 3600 é 60, segue que: • x = (-60 + 60) / -6 = 0 ou x = (-60 - 60) / -6 = -120 / -6 = 20
Logo o alcance da bala é 20 - 0 = 20 m.
3600
03460
ac4b2
2
-
-
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• b) Altura é o y da coordenada do vértice da parábola.
= -3600 / -12 = 300. Assim, a altura
máxima da bala é 300 m.
a4
y
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Na Administração:• Exemplo 2: Lucro Máximo• O lucro de uma empresa pela venda diária de x peças, é dado
pela função: L(x) = -x2 + 14x - 40. Quantas peças devem ser
vendidas diariamente para que o lucro seja máximo?
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SoluçãoObservando o vértice da parábola, temos que o valor
de uma função f(x) = ax2 + bx + c é máximo (ou
mínimo) quando x é igual a média aritmética das raízes,
ou seja , quando: x = -b / 2a. Então, L(x) = -x2 + 14x - 40 tem valor
máximo quando x = -14 / 2(-1) = 14 / 2 = 7. Assim, devem ser vendidas 7 peças para que o
lucro seja máximo.
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Na Biologia
• Exemplo 3: Na trajetória de um sapo• Um sapo, ao pular de uma vitória-régia para outra vitória-régia
em busca de alimentar-se de um inseto, percorre uma trajetória
parabólica dada pela função y = -x² + 4x. Qual a altura máxima
atingida pelo sapo na busca de seu alimento?
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Agora é com você?Jesus, estava no Monte da
Oliveiras e de repente, começou a falar:
___ x² - 2x + 3 = 0