PREDAVANJA IZ POPULACIJSKE GENETIKE

Krunoslav Brčić-Kostić

1

MENDELOVSKA POPULACIJSKA GENETIKA

POPULACIJA BEZ DJELOVANJA EVOLUCIJSKIH SILA

Ukoliko na populaciju ne djeluju evolucijske sile (mutacije, migracije, prirodna selekcija i genetički drift) tada frekvencija alela ostaje nepromijenjena iz generacije u generaciju, a frekvencije genotipova se promijene (ako populacija nije u ravnoteži) u ravnotežne frekvencije genotipova. O tome govori Hardy-Weinberg-ov zakon ravnoteže.

Model: jedan lokus s dva alela

A1A1 A1A2 A2A2 A1 → p

P H Q A2 → q

P + H + Q = 1 ; p + q = 1

Frekvencija alela (p) u funkciji frekvencija genotipova (P, H, Q) je jednaka

; budući je P + H + Q = 1 , odnosno

.

Gornje formule vrijede za bilo koju populaciju bez obzira da li je u ravnoteži ili nije.

Osnovne pretpostavke za idealnu populaciju:

- slučajno parenje (panmixia)- sve individue sudjeluju u parenju- nepreklapajuće generacije- jednaki broj mužjaka i ženki- jednaka frekvencija alela u mužjaka i ženki- normalna (slučajna) segregacija alela u gametogenezi- beskonačno velika (ili jako velika) populacija (nema genetičkog drifta)- nema selekcije- nema mutacija- nema migracija

Hardy-Weinbergova (HW) ravnoteža

Hardy-Weinbergova (HW) ravnoteža se postiže nakon jedne generacije slučajnog parenja (ako je frekvencija alela među spolovima bila jednaka) ili za dvije generacije slučajnog parenja (ako frekvencije alela među spolovima nisu bile jednake). Odnos između frekvenija genotipova i frekvenija alela pri ravnoteži je

2

P = p2 ; H = 2pq ; Q = q2

Frekvencija alela u slijedećoj generaciji je jednaka

.

Budući da se P može napisati u funkciji alelne frekvencije u prethodnoj generaciji (ako je populacija u ravnoteži), imamo:

.

Osobitosti genotipskih frekvencija pri HW ravnoteži:

- frekvencije heterozigota su najveće kod intermedijarnih frekvencija alela (za dva alela iznosi 0,5).- Ako je frekvencija alela jako mala, tada se velika većina alela nalazi u heterozigotnom stanju.

Ravnoteža za spolno vezane gene

Spolno vezani geni se nalaze na spolnim kromosomima, te imamo hetero-gametični spol (XY) i homogametični spol (XX). Hetero-gametični spol ćemo uvjetno zvati muškim spolom (kod Drosophila-e i kod čovjeka), a homo-gametični spol ćemo uvjetno zvati ženskim spolom (kod Drosophila-e i kod čovjeka). Osobitost razdiobe spolno vezanih gena u populaciji je da se jedna trećina nalazi u mužjacima, a dvije trećine u ženkama.

Model (spolno vezani geni)

ženke mužjaci

A1A1 A1A2 A2A2 A1 A2

P H Q R S

Frekvenciju alela među ženkama Frekvencija alela među mužjacima

pm = R

Kad se uspostavi ravnoteža, za spolno vezane gene vrijedi da je frekvencija alela među mužjacima jednaka frekvenciji alela među ženkama, te da je ravnotežna frekvencija alela jednaka srednjoj frekvenciji alela među mužjacima i ženkama, ps = pr. Budući da se dvije trećine gena nalaze u ženkama a jedna trećina u mužjacima imamo da je srednja frekvencija alela među mužjacima i ženkama, t. j. frekvencija alela u čitavoj populaciji,

3

Promjene frekvencije alela među mužjacima i ženkama možemo pratiti iz generacije u generaciju. Pri tome je bitno naglasiti da mužjaci naslijeđuju sve spolno vezane gene od majki, a ženke polovicu od majki a polovicu od očeva. Imajući u vidu nepreklapajuće generacije, imamo da je frekvencija alela među mužjacima slijedeće generacije p'm jednaka frekvenciji alela među ženkama prethodne generacije pf. S druge strane, imamo da je frekvencija alela među ženkama slijedeće generacije jednaka srednjoj vrijednosti frekvencije alela među ženkama i među mužjacima prethodne generacije. Na osnovu toga možemo izraziti razliku frekvencije alela među ženkama p'f i frekvencije alela među mužjacima p'm u funkciji te iste razlike u prethodnoj generaciji, pa imamo

.

Vidimo da je razlika frekvencije alela među ženkama i frekvencije alela među mužjacima jednaka polovini te razlike u prethodnoj generaciji ali suprotnog predznaka. Frekvencija alela kod spolno vezanih gena oscilira iz generacije u generaciju, a razlika u frekvencijama alela između dva spola se prepolovljava svake generacije dok se frekvencije ne izjednače, i tada nastupa ravnoteža.

Vezana (gametička) neravnoteža

Ranije smo vidjeli kako se uspostavlja HW ravnoteža za alele jednog lokusa. Koncept vezane neravnoteže (odnosno ravnoteže) se odnosi na dva ili više lokusa koja se promatraju istovremeno. Ovdje ćemo razmatrati vezanu neravnotežu na dva lokusa. Postavlja se pitanje da li se aleli različitih lokusa kombiniraju slučajno? Ako se ne kombiniraju slučajno riječ je o vezanoj (gametičkoj) neravnoteži. Kao primjer uzmimo da su pomiješane dvije populacije (A1A1B1B1) i (A2A2B2B2). U tako načinjenoj populaciji alel A1 ima tendenciju da se kombinira s alelom B1 (odnosno alel A2 s alelom B2). U slijedećoj generaciji postojat će samo tri moguća genotipa: dva roditeljska i dvostruki heterozigot A1A2B1B2. U slijedećim generacijama preostali genotipovi će se pojavljivati postupno i poslije određenog vremena će njihova frekvencija biti determinirana ravnotežnim frekvencijama gameta koja je određena frekvencijama pojedinih alela. Ravnotežne frekvencije gameta su jednake produktu frekvencija alela koji čine dotičnu gametu (ako se aleli kombiniraju slučajno).

Model vezane neravnoteže

gamete A1B1 A1B2 A2B1 A2B2rav. frekv. pApB pAqB qApB qAqB

aktual. frekv. g1 g2 g3 g4

koef. neravn. D -D -D D

g – frekvencije gameta koje će sudjelovati u stvaranju slijedeće generacije.pA – frekvencija alela A1 ; qA – frekvencija alela A2.pB – frekvencija alela B1 ; qB – frekvencija alela B2.D – koeficijent vezane neravnoteže

4

Frekvenciju svakog alela ćemo izraziti u funkciji frekvencije gameta koje nose taj alel.

Također ćemo izraziti koeficijent vezane neravnoteže koji se može dobiti od sva četiri tipa gameta.

Kombiniranjem gornjih jednadžbi dobijamo:

odnosno

Na isti način se može pokazati da je

, odnosno da je .

Moguće vrijednosti za vezanu neravnotežu se kreću od -0,25 do +0,25 (za alelne frekvencije pA = 0,5; qA = 0,5; pB = 0,5; qB = 0,5). Mogući opseg vrijednosti za svaku populaciju je funkcija alelnih frekvencija. Iz slijedećih jednadžbi

5

zaključujemo da za slučaj kad je D veće od 0 (nule) imamo da su g2 = 0 i g3 = 0. Tada slijedi

D ≤ pAqB i D ≤ qApB . Ako je qApB veće od pAqB tada vrijedi da je D ≤ pAqB i obratno.

Za slučaj kad je D manje od 0 imamo da su g1 = 0 i g4 = 0. Tada slijedi da je

D ≥ -pApB i D ≥ -qAqB. Ako je -qAqB veće od –pApB (odnosno ako je apsolutna vrijednost od qAqB manja od apsolutne vrijednosti pApB) tada je D ≥ -qAqB i obratno. Znači imamo

Dneg ≤ D ≤ Dpos. Kad je D veće od 0 vrijedi da je Dmax = Dpos, odnosno kad je D manje od 0 vrijedi da je . Relativna mjera vezane neravnoteže je D' (relativni koeficijent vezane neravnoteže), a on je definiran kao proporcija koeficijenta vezane neravnoteže u odnosu na maksimalnu vrijednost koeficijenta vezane neravnoteže za zadane alelne

frekvencije. Znači imamo da je .

Opadanje gametičke neravnoteže tijekom vremena

Bitan problem pri proučavanju gametičke neravnoteže je utvrditi kako vrijednost koeficijenta gametičke neravnoteže opada tijekom vremena i koji faktori na to utječu? Razlog za postojanje vezane neravnoteže je u trenutnim frekvencijama gameta (koje nisu u ravnoteži). Ako na populaciju ne djeluju evolucijske sile, tada će koeficijent vezane neravnoteže opadati tijekom vremena po određenim pravilima. Iz primjera navedenog ranije, naveli smo da će se ostali genotipovi osim dva roditeljska dvostruka homozigota i dvostrukog heterozigota, pojavljivati kasnije, t.j. u skladu s pojavljivanjem određenih tipova gameta koje su bitne za nastanak određenog genotipa. Nove gamete će nastajati rekombinacijom (ili slobodnom kombinacijom ako lokusi nisu vezani) od dvostrukog heterozigota. Važno je napomenuti da postoje dva tipa dvostrukog heterozigota. Jedan od njih je asocirani dvostruki heterozigot (A1B1/A2B2) koji je nastao od roditeljskih gameta (A1B1 i A2B2), a drugi je disocirani dvostruki heterozigot (A1B2/A2B1) koji je nastao od rekombinantnih gameta (A1B2 i A2B1). Kad ne bi bilo rekombinacije ili slobodne kombinacije, tada bi frekvencije gameta u populaciji ostale iste. Budući da su rekombinacija i slobodna kombinacija empirijske činjenice, sada ćemo razmatrati njihov učinak na nove frekvencije gameta. Vidjet ćemo to na primjeru rekombinacije. Sa stanovišta stvaranja gameta, rekombinacija i slobodna kombinacija su jedan te isti proces, s razlikom da se pri slobodnoj kombinaciji dva određena alela dva lokusa kombiniraju s vjerojatnošću od 0,5, a kod rekombinacije je vjerojatnost kombiniranja dva određena alela dva lokusa manja od 0,5 zbog fizičke vezanosti dva lokusa. Od asociranog dvostrukog heterozigota (A1B1/A2B2) bez rekombinacije će nastati samo gamete A1B1 i A2B2, a ako se dogodi rekombinacija nastat će gamete A1B2 i A2B1. Frekvencija nastanka rekombinantnih gameta po generaciji od asociranog dvostrukog heterozigota je rg1g4, gdje je r frekvencija rekombinacije između lokusa A i B, g1 je frekvencija gamete A1B1 i g4 je frekvencija gamete A2B2. To znači da će se frekvencija gamete A1B1 koju označavamo s g1, smanjiti po generaciji za rg1g4 kao rezultat rekombinacije u asociranom dvostrukom heterozigotu. S druge strane rekombinacijom u disociranom dvostrukom heterozigotu (A1B2/A2B1) nastaju gamete A1B1 i A2B2 s frekvencijom rg2g3 po generaciji. To znači da će se frekvencija gamete A1B1 povećati po generaciji za rg2g3. Kad se sve navedeno uzme u obzir imamo slijedeću promjenu frekvencije gamete A1B1 po generaciji

6

,

gdje je g'1 frekvencija gamete A1B1 u slijedećoj generaciji, g1, g2, g3 i g4 su trenutne frekvencije gameta, r je frekvencija rekombinacije između dva lokusa, a D je koeficijent vezane neravnoteže. Dalje imamo da će koeficijent vezane neravnoteže u slijedećoj generaciji biti

.

Slično vrijedi za koeficijente vezane neravnoteže bilo koje dvije susjedne generacije, pa imamo

,

a općenito vrijedi

.

Kao što smo ranije rekli, za slobodnu kombinaciju, t.j. kada lokusi nisu vezani, koeficijent neravnoteže se prepolovljuje svake generacije jer je r = 0,5. Kada su lokusi vezani, D opada sporije što ovisi o vrijednosti za r koja je uvijek manja od 0,5. Vezana neravnoteža se može održavati selekcijom pojedinih asocijacija alela. Ako se u prirodnoj populaciji utvrdi postojanje vezane neravnoteže između dva lokusa, tada je vjerojatno da postoji selekcija koja favorizira određenu kombinaciju, odnosno asocijaciju alela. Vezana neravnoteža može nastati još i mješanjem dvije populacije (prethodni primjer), te genetičkim driftom i uskim grlom (eng. bottleneck). Ako nema selekcije, tada će se vezana neravnoteža smanjivati do njenog potpunog nestanka kao što je opisano.

POPULACIJA POD DJELOVANJEM SISTEMATSKIH EVOLUCIJSKIH SILA

Sistematske evolucijske sile su mutacije, migracije (protok gena) i prirodna selekcija. Karakteristično je da se promjene frekvencije alela zbog djelovanja sistematskih evolucijskih sila mogu predvidjeti po kvantitetu i po smjeru promjene. Matematički modeli koji opisuju promjene alelnih frekvencija pod djelovanjem sistematskih evolucijskih sila spadaju u skupinu determinističkih modela.

Mutacije

Sada ćemo razmatrati kako se mijenja genetička konstitucija populacije (frekvencije alela i frekvencije genotipova) pod utjecajem evolucijskih sila. Osnovne evolucijske sile su: mutacije, migracije (protok gena), prirodna selekcija i slučajni genetički drift. Prvo ćemo razmatrati utjecaj svake evolucijske sile izolirano, t.j. pod pretpostavkom da ostale evolucijske sile ne djeluju. Kasnije ćemo pratiti istovremeni utjecaj nekih evolucijskih sila (mutacije i selekcija, mutacije i genetički drift) što je realniji pristup i može se primjeniti na evoluciju prirodnih populacija.

7

Model mutacija I (bez povratnih mutacija)

uA1 → A2 (A1 alel mutira u alel A2 s mutacijskom stopom u po lokusu po generaciji)p0 (p0 – početna frekvencija alela A1)

Model mutacija II (s povratnim mutacijama)

u vA1 → A2 i A2 → A1p0 q0

Ravnoteža nastupa kad je promjena frekvencije alela jednaka nuli.

Promjenu frekvencije alela kroz generacije možemo dobiti na slijedeći način. Prvo izražavamo frekvencije alela dvije susjedne generacije.

Zatim izražavamo promjene frekvencije alela između udaljenijih generacija koristeći gore dobivene formule.

8

Migracije

Otočni model migracije

Pretpostavke modela:

- svaka otočna populacija (subpopulacija) ima drugačiju početnu frekvenciju alela- migracija se kontinuirano zbiva iz generacije u generaciju iz svake populacije u svaku populaciju s migracijskom stopom m- parametar migracije m (migracijska stopa) je proporcija alela koji su došli migracijom u jednoj generaciji u svakoj subpopulaciji- frekvencija alela među migrantima je jednaka srednjoj frekvenciji alela među svim subpopulacijama koja je ujedno i ravnotežna frekvencija alela pe

- svaka subpopulacija je dovoljno velika da unutar nje nema slučajnih promjena frekvencije alela (nema genetičkog drifta)

Promjenu frekvencije alela zbog migracije tijekom generacija možemo dobiti na sličan način kao kod mutacija.

Prirodna selekcija

Prirodna selekcija (prirodni odabir) je mehanizam adaptivne evolucije i zasniva se na razlikama u fitnesu individua u populaciji. Fitnes je mjera reproduktivnog uspjeha i može se izražavati kao apsolutni fitnes (broj potomaka po individui ili srednji broj potomaka po individui određenog genotipa) i relativni fitnes (izražava se u odnosu na najveći mogući fitnes u populaciji koji iznosi 1). U populacijskoj genetici se uobičajeno koristi relativni fitnes i u daljem tekstu ćemo za njega koristiti termin fitnes. Fitnes je u realnosti dosta teško mjeriti pa se obično procijenjuju komponente fitnesa (life history traits). Dvije glavne komponente fitnesa su vijabilnost i fertilnost. Model prirodne selekcije kojeg ćemo koristiti pretpostavlja da fitnes organizma ili genotipa ovisi samo o alelnim varijantama na jednom lokusu dok ostatak genoma ima potpuno jednak utjecaj na fitnes, t.j., razlike u fitnesu su isključivo posljedica alelnih razlika na jednom lokusu (lokus A s alelima A1 i A2). Ako su ti uvjeti zadovoljeni tada kažemo da je lokus A pod selekcijom.

Srednji fitnes populacije

9

Srednji fitnes populacije je

ws → srednji fitnes populacije w11, w12, w22 → fitnesi genotipova P, H, Q → frekvencije genotipova

Opći model prirodne selekcije

Genotip A1A1 A1A2 A2A2

Frekvencija zigota (G0) p2 2pq q2

Fitnes w11 w12 w22

Gametička kontribucija p2w11 + 2pqw12 + q2w22 = ws

Frekvencija zigota (G1) p2w11/ws + 2pqw12/ws + q2w22/ws = 1

Izraz za frekvenciju alela generacije G1 se dobiva primjenom jednadžbi koje povezuju frekvencije alela s frekvencijama genotipova:

i .

Dobivamo da je

Promjena frekvencije alela zbog selekcije u slijedećoj generaciji (efikasnost selekcije)

10

Iz gornje jednadžbe se vidi da efikasnost selekcije ∆p ovisi o fitnesima i alelnim frekvencijama u prethodnoj generaciji. Važno pitanje je da li možemo predvidjeti na kojim vrijednostima će završiti alelne frekvencije t.j. koje će biti ravnotežne frekvencije alela. Intuitivno se može zaključiti da će se (ako nema novih mutacija) „dobar“ alel fiksirati, odnosno „loš“ alel izgubiti u populaciji u slučaju usmjerene selekcije. Ako se radi o balansiranoj ili uravnoteženoj selekciji (napr. naddominancija), ravnotežna frekvencija alela će biti između 0 i 1. Uvjet ravnoteže je da je ∆p = 0.

Budući da je srednji fitnes populacije ws uvijek pozitivan broj, uvjet za ravnotežu je

.

Postoje tri moguća slučaja:

1) 2) 3)

Za treći slučaj vrijedi

Ravnotežna frekvencija alela pe će biti između 0 i 1 u dva slučaja:

1) w12 > w11 i w12 > w22 naddominancija (overdominance)

2) w12 < w11 i w12 < w22 poddominancija (underdominance)

Za naddominanciju postoje teorijski tri ravnotežne frekvencije. Jedna ima vrijednost između 0 i 1 i to je stabilni ekvilibrij. Ostale vrijednosti su 0 i 1 i to su nestabilni ekvilibriji. Kao posljedica u slučaju naddominancije se stvara stabilni polimorfizam. Za poddominanciju je ravnotežna frekvencija između 0 i 1 nestabilni ekvilibrij a frekvencije od 0 i 1 su stabilni ekvilibriji. To znači da će se u poddominanciji jedan ili drugi alel fiksirati a koji će to biti ovisi o aktualnoj frekvenciji alela. U slučaju usmjerene selekcije rješenje prethodne jednadžbe može biti pozitivan broj veći od 1 ili negativan broj (manji od 0). U realnom (biološkom) smislu to znači kad je rješenje pozitivno i veće od 1, tada će se fiksirati alel čija je frekvencija varijabla u jednadžbi. Ako je rješenje negativan broj, tada će se izgubiti alel čija je frekvencija varijabla u jednadžbi.

Prosječni efekt alela na fitnes (marginalni fitnes)

11

U realnosti fitnes ovisi o genotipu (sadrži dva alela), a prosječni fitnes populacije o fitnesima pojedinih genotipova i njihovim frekvencijama. Sada ćemo uvesti novi koncept i definirati kvantitet koji će nam govoriti o doprinosu pojedinog alela na fitnes u populaciji. Želimo definirati prosječni efekt alela A1 na fitnes populacije. Alel A1 se može spariti s alelom A1 ili s alelom A2, te producirati genotipove A1A1 (u frekvenciji p) koji ima fitnes w11 i A1A2 (u frekvenciji q) koji ima fitnes w12.

pA1 → A1 → A1A1 → w11

qA1 → A2 → A1A2 → w12

w1 → prosječni efekt alela A1 na fitnes populacije

Za alel A2 vrijedi

pA2 → A1 → A2A1 → w12

qA2 → A2 → A2A2 → w22

w2 → prosječni efekt alela A2 na fitnes populacije

Srednji fitnes populacije izražen u funkciji prosječnog efekta alela na fitnes je

Frekvencija alela nakon selekcije izražena u funkciji prosječnog efekta alela na fitnes i frekvencije alela prethodne generacije (prije selekcije) je

Slično vrijedi da je frekvencija drugog alela (A2) u funkciji prosječnog efekta alela A2 na fitnes populacije

.

12

Promjena frekvencije alela uslijed selekcije u slijedećoj generaciji (efikasnost selekcije) u funkciji prosječnih efekata alela na fitnes i alelnih frekvencija prethodne generacije je

Dokaz da se fitnes selekcijom uvijek povećava

To je fundamentalni princip evolucije koji se u kvantitativnoj genetici zove Fisherov fundamentalni teorem prirodne selekcije. Izražen riječima on glasi: „Povećanje srednjeg fitnesa populacije za jednu generaciju uslijed selekcije je jednako aditivnoj genetičkoj varijanci za fitnes prije selekcije“. O tome ćemo više u poglavlju o kvantitativnoj genetici. Sada ćemo samo dokazati da se fitnes uslijed selekcije uvijek povećava. Prethodne formule opisuju kako se mijenja frekvencija alela uslijed selekcije. Selekcijom se osim promjene frekvencije alela mijenja i srednji fitnes populacije. Sada želimo povezati promjenu fitnesa s promjenom frekvencije alela. Srednji fitnes populacije je funkcija alelne frekvencije ws = f(p) po formuli koja je već bila ranije navedena

.

Promjenu srednjeg fitnesa po promjeni alelne frekvencije možemo izraziti u diferencijalnom obliku dws/dp = (ws)' što je derivacija gornje funkcije (srednjeg fitnesa ws) po neovisnoj varijabli (alelnoj frekvenciji p). Gornji izraz je polinom čija je derivacija jednaka zbroju derivacija svakog člana polinoma. Derivaciju svakog člana polinoma dobivamo po općoj formuli koja kaže da ako je y = xn, tada je derivacija y' = dy/dx = nxn-1. U ovom slučaju y je ws, a x je p. Izraz za ws ćemo srediti tako da pomnožimo što je potrebno, t.j. da dobijemo prepoznatljivi polinom. Dobijamo da je

Budući da je i imamo slijedeće

13

Sada smo izrazili promjenu fitnesa u odnosu na promjenu alelne frekvencije u funkciji prosječnih efekata alela na fitnes. Iz ranije spomenute formule promjena alelne frekvencije je

, te u gornju formulu uvrstimo izraz za w1 – w2 i dobivamo

slijedeću formulu

.

Sada ćemo analizirati gornji izraz. Kvocijent dws/dp je pozitivan ukoliko su i brojitelj i imenitelj pozitivni ili ako su brojitelj i imenitelj negativni. S desne strane jednadžbe izraz 2ws/pq je pozitivan jer su prosječni fitnes i alelne frekvencije uvijek pozitivni. Na suprot tome ∆p može biti pozitivan ili negativan ali je uvijek istog predznaka kao i dp. Ukoliko je dws/dp pozitivan to može biti realno samo ako su i dws i dp pozitivni. Tada je i ∆p pozitivan što je realno. Ukoliko bi dws i dp bili negativni tada bi i 2ws/pq i ∆p morali biti pozitivni. Znamo da je 2ws/pq uvijek pozitivan a ∆p teorijski može biti pozitivan i negativan. U ovom slučaju ∆p je negativan jer je dp negativan. To znači da fitnes ne može opadati već samo rasti. S druge strane analizirajmo slučaj kad je dws/dp negativan. Teorijski to može biti kad je dws negativan a dp pozitivan ili kad je dws pozitivan a dp negativan. Za prvi slučaj bi ∆p morao biti pozitivan međutim tada je čitava desna strana jednadžbe pozitivna što nije u skladu s lijevom stranom jednadžbe koja je negativna. Znači fitnes ne može padati. Ako je dws pozitivan a dp negativan tada ∆p može biti samo negativan što je realno jer je tada čitava desna strana jednadžbe negativna što je u skladu s lijevom stranom jednadžbe koja je također negativna. Znači da je realno moguć slučaj da fitnes raste a alelna frekvencija opada. Opći zaključak iz ove analize je da srednji fitnes populacije pod utjecajem selekcije uvijek raste!

Model prirodne selekcije koji uključuje koeficijent selekcije (slučaj potpune dominancije alela A1 nad alelom A2)

Genotip A1A1 A1A2 A2A2

Frekvencija zigota (G0) p2 2pq q2

Koeficijent selekcije 0 0 s

Fitnes 1 1 1 – s

Gametička kontribucija p2 + 2pq + q2(1 – s) = 1 – sq2

14

Frekvencija zigota (G1) p2/ws + 2pq/ws + q2(1 – s)/ws = 1

Sada ćemo izraziti novu frekvenciju alela A2 (q1) u funkciji frekvencije alela A2 u prethodnoj generaciji (q) koristeći formulu koja povezuje frekvencije alela s frekvencijama genotipova

.

Imamo

.

Efikasnost selekcije, t.j. promjena frekvencije alela uslijed selekcije za jednu generaciju je

.

Znak minus znači da se frekvencija alela A2 smanjuje tijekom selekcije. Efikasnost selekcije izražena kao promjena frekvencije alela A1 ima isti oblik ali je suprotnog predznaka jer se selekcijom frekvencija alela A1 povećava

.

Na osnovu slične logike se mogu dobiti formule za nove frekvencije alela, odnosno za efikasnost selekcije pri različitim stupnjevima dominancije. Opća formula za efikasnost selekcije je

gdje je h koeficijent dominancije. Značenje koeficijenta dominancije je u proporcionalnom umanjenju fitnesa heterozigota (w12 = 1 – hs). Za potpunu dominanciju A1 nad A2 (gore analizirani slučaj) h = 0; za potpunu dominanciju A2 nad A1, h = 1; za slučaj kad nema dominancije (gensko ili aditivno naslijeđivanje) h = ½.

U nekim ranije razmatranim slučajevima rekurzivnih jednadžbi (vezana neravnoteža, mutacije i migracije) mogli smo dobiti opći oblik jednadžbe koja povezuje trenutnu vrijednost ovisne varijable (koeficijent vezane neravnoteže; alelna frekvencija) u odnosu na neovisnu varijablu (vrijeme, t.j. broj generacija) s obzirom na početnu vrijednost ovisne varijable (koeficijent vezane neravnoteže; alelna frekvencija). To smo uspjeli jednostavnim algebarskim

15

manipulacijama. Na žalost, u slučaju selekcije to nije moguće. Zato ćemo to postići primjenom aproksimativnog modela, t.j. primjenom diferencijalnog računa. Model kojeg ćemo koristiti vrijedi za potpunu dominanciju alela A1 nad alelom A2 u slučaju slabe selekcije, t.j. kad je koeficijent selekcije jako mali.

Od ranije imamo da je

.

Ako je koeficijent selekcije s jako mali, tada je izraz u imenitelju (1 – sq2) približno jednak 1, pa imamo slijedeću jednadžbu ako promjenu alelne frekvencije izrazimo u diferencijalnom obliku

.

To je diferencijalna jednadžba kojoj ćemo prvo razvrstati varijable i to ovisnu varijablu p na lijevu stranu jednadžbe a neovisnu varijablu t na desnu stranu jednadžbe. Dobivamo slijedeći oblik jednadžbe

.

Diferencijalna jednadžba se rješava integriranjem.

Lijevi dio jednadžbe je razlomljena racionalna funkcija i postoje pravila za njeno integriranje. Budući da rješenje lijevog integrala nije jednostavno i zahtijeva puno operacija mi ćemo samo dati rješenje. S druge strane integriranje desne strane je trivijalno. Imamo slijedeće rješenje

.

Integriranjem se dobija familija krivulja a mi tražimo samo jednu a nju ćemo dobiti određivanjem konstante integriranja C za početne uvjete t.j. kad je t = 0. Tada imamo da je

.

Znači konačno rješenje, t.j. jednadžba koja opisuje vrijednost alelne frekvencije u svakom trenutku vremena je

16

.

Genetičko opterećenje populacije

Maksimalna vrijednost srednjeg fitnesa populacije je 1, međutim on je skoro uvijek manji od 1 jer populacija sadrži i loše alele. Djelovanjem selekcije srednji fitnes populacije se povećava iz generacije u generaciju. Ako nema utjecaja drugih evolucijskih sila on bi u budućnosti poprimio maksimalnu vrijednost t.j. 1. Razlika između maksimalne i trenutne vrijednosti srednjeg fitnesa populacije se zove genetičko opterećenje populacije, odnosno

.

Koristeći se alternativnim formulama, t.j. koeficijentom selekcije, vidimo da je u slučaju potpune dominancije alela A1, genetičko opterećenje populacije jednako

.

Genetičko opterećenje populacije je cijena koju populacija plaća zbog selekcije, a u realnosti je to smrt određenog broja individua zbog selekcije. Zbog toga je sinonim genetičkog opterećenja populacije genetička smrt populacije.

Naddominancija

Genotipovi A1A1 A1A2 A2A2

Frekvencija (G0) p2 2pq q2

Fitnes genotipa 1 – s1 1 1 – s2

Gamet. kontrib. p2(1 – s1) + 2pq + q2(1 – s2) = 1 – s1p2 – s2q2

Frekv. zigota (G1) p2(1 – s1)/ws + 2pq/ws + q2(1 – s2)/ws = 1

Iz gornje tablice se vidi da je srednji fitnes populacije u uvjetima naddominancijske selekcije

.

Promjena frekvencije alela pri naddominanciji se može dobiti, kao i pri usmjerenoj selekciji, primjenom relacija koje povezuju frekvencije alela s frekvencijama genotipova, te imamo da je promjena frekvencije alela po generaciji (efikasnost selekcije)

.

Iz formula za srednji fitnes populacije i efikasnost selekcije se vidi da je genetičko opterećenje populacije pri naddominancijskoj selekciji jednako

17

.

Za razliku od usmjerene selekcije gdje je ravnotežna frekvencija alela 1 (ili 0), kod naddominancijske selekcije, ravnotežna frekvencija alela je između 0 i 1. Ranije je navedeno da je opća formula za ravnotežnu frekvenciju alela pri selekciji jednaka

.

Da bi se ravnotežna frekvencija alela pri naddominancijskoj selekciji izrazila u funkciji selekcijskih koeficijenata, moramo odgovarajuće fitnese izraziti u funkciji selekcijskih koeficijenata. Tada imamo da je

.

Ravnotežna frekvencija drugog alela je jednaka

.

Da bi dobili ravnotežno genetičko opterećenje u uvjetima naddominancijske selekcije, u formulu za genetičko opterećenje populacije trebamo uvrstiti izraze za ravnotežne frekvencije alela u funkciji selekcijskih koeficijenata, te dobivamo da je

.

Iz gornje formule vidimo da ravnotežno genetičko opterećenje zbog naddominancijske selekcije ovisi o selekcijskim koeficijentima alela. Pri istovremenom djelovanju mutacija i naddominancijske selekcije, ravnotežno genetičko opterećenje populacije ne ovisi o mutacijskim stopama, već o selekcijskim koeficijentima kako pokazuje gornja formula koja je primjenjiva i u tom slučaju.

Ravnoteža između mutacija i usmjerene selekcije

Do sada su efekti mutacija i usmjerene selekcije na promjenu alelnih frekvencija bili razmatrani zasebno. Sada ćemo vidjeti što se događa kad mutacije i selekcija djeluju istovremeno. Znamo da je efekt mutacija najveći pri ekstremnim (jako malim ili velikim) alelnim frekvencijama, dok je pri tim uvjetima efekt selekcije na promjenu alelne frekvenije vrlo mali. S druge strane, pri intermedijarnim vrijednostima alelne frekvencije efekt mutacija

18

je jako mali a efekt selekcije je najveći. Zamislimo populaciju u kojoj su svi aleli identični (nema varijabilnosti) i u kojoj počinju djelovati mutacije i selekcija. Možemo očekivati da će se na početku varijabilnost povećavati jer je efekt mutacija veći od efekta selekcije. Tijekom vremena, kako se mijenja frekvencija alela mijenjat će se i relativni efekt mutacija (smanjuje se) i selekcije (povećava se). U jednom trenutku će nastajanje novih alela mutacijama postati jednako nestajanju alela zbog selekcije. To će se dogoditi kad nastupi ravnoteža između ta dva procesa, odnosno tada je netto promjena frekvencije alela jednaka nuli. Time ćemo se voditi pri izvođenju jednadžbe za ravnotežnu frekvenciju alela pri djelovanju mutacija i selekcije.

Model (potpuna dominancija alela A1)

A1 → A2 i A2 → A1 i selekcija protiv alela A2 p u q q v p s

odnosno

.

Ovo je vrlo komplicirana jednadžba koju je potrebno pojednostaviti da bismo izrazili ravnotežnu alelnu frekvenciju u funkciji mutacijske stope i koeficijenta selekcije. Zato ćemo načiniti aproksimaciju koja neće puno utjecati na točnost ali će konačni izraz biti puno jednostavniji. Naime, u realnosti se ravnoteža postiže pri jako maloj frekvenciji (q) lošeg alela (A2), a povratna mutacijska stopa (v) je također jako mala. Zato je produkt vq ≈ 0, te se može zanemariti. Nadalje, u imenitelju desne strane jednadžbe produkt sq2 ≈ 0 jer je alelna frekvencija (q) jako mala. Zbog toga je vrijednost imenitelja ≈ 1, pa imamo aproksimativni oblik jednadžbe

iz koje slijedi da je

.

To je poznata Haldane-ova jednadžba koja kaže da je ravnotežna frekvencija lošeg recesivnog alela jednaka kvadratnom korijenu kvocijenta mutacijske stope ka lošem alelu (A2) i selekcijskog koeficijenta protiv mutantnog homozigota (A2/A2). Iz gornje jednadžbe je vidljivo da je ravnotežno genetičko opterećenje populacije zbog recesivnog lošeg alela jednako

.

Sada dolazimo do, na prvi pogled, začuđujućeg zaključka a to je da ravnotežno genetičko opterećenje populacije ne ovisi o štetnosti alela (selekcijskom koeficijentu) već isključivo o

19

mutacijskoj stopi ka štetnom recesivnom alelu. Ovaj zaključak se može verbalno objasniti na slijedeći način. Za štetnije alele (koji imaju veće koeficijente selekcije) vrijedi da se ravnoteža postiže na manjim alelnim frekvencijama, a veća frakcija mutantnih homozigota ugiba. Za manje štetne alele vrijedi da se ravnoteža postiže na većim alelnim frekvencijama a manja frakcija mutantnih homozigota ugiba. Bitno je da je produkt koeficijenta selekcije i kvadrata alelne frekvencije konstantan pri ravnoteži i jednak mutacijskoj stopi ka štetnom alelu. Pri potpunoj dominanciji dobrog alela A1, ravnotežno genetičko opterećenje populacije je u potpunosti rezultat ugibanja štetnog homozigota (A2/A2).

Model bez dominancije (aditivno ili gensko naslijeđivanje)

A1 → A2 i A2 → A1 i selekcija protiv alela A2 p u q q v p s/2

Sličnom logikom kao u prethodnom modelu imamo

.

Budući da je u trenutku ravnoteže alelna frekvencija štetnog alela jako mala, imamo da je vq ≈ 0 i da je 1 – sq2 ≈ 1, pa gornju jednadžbu pišemo u aproksimativnom obliku

Formula za ravnotežnu alelnu frekvenciju za bilo koji stupanj dominancije osim potpune dominancije je

gdje je h koeficijent dominancije i u modelu aditivnog naslijeđivanja iznosi ½. Budući da je genetičko opterećenje populacije u modelu aditivnog naslijeđivanja L = sq, imamo da je ravnotežno genetičko opterećenje populacije pri aditivnom modelu jednako

što slijedi iz gore navedene argumentacije. Znači, u ovom slučaju ravnotežno genetičko opterećenje populacije je jednako dvostrukoj mutacijskoj stopi ka štetnom alelu. Pri aditivnom naslijeđivanju, ravnotežno genetičko opterećenje populacije je najvećim dijelom rezultat ugibanja heterozigota (A1/A2), a zanemarivim dijelom rezultat ugibanja štetnog homozigota (A2/A2). To je razlog zbog čega je ravnotežno genetičko opterećenje populacije jednako dvostrukoj a ne jednostrukoj mutacijskoj stopi. To ćemo još jednom komentirati nakon razmatranja selekcije protiv dominantnog štetnog alela.

20

Model potpune dominancije štetnog alela

A1 → A2 i A2 → A1 i selekcija protiv alela A1 p u q q v p s

U ovom modelu će simbol A1 predstavljati dominantan (štetan) alel, a A2 će biti recesivan (divlji) alel. Mutacijska stopa prema A2 je izražena kao u, a njegova frekvencija je q. S druge strane, mutacijska stopa prema A1 je v, a njegova frekvencija je p. Tada imamo da je pri ravnoteži između mutacija i selekcije

.

Pri ravnoteži je p jako mali, pa imamo da je up ≈ 0. Također, imamo da je brojitelj približno jednak jedinici, t.j., 1 – s(1 – q2) = 1 - s(1 – q)(1 + q) ≈ 1. Razlog je taj što je 1 – q = p ≈ 0. Zato imamo

gdje je H heterozigotnost (2pq). Gornju kvadratnu jednadžbu možemo napisati u obliku

,

pa iz toga slijedi da je ravnotežna alelna frekvencija jednaka

.

Ravnotežno genetičko opterećenje populacije možemo dobiti iz slijedećeg izraza

.

Naime, i u ovom slučaju daleko najveći dio genetičkog opterećenja populacije dolazi zbog ugibanja heterozigota (sH), jer pri malim alelnim frekvencijama gotovo svi aleli su u heterozigotnom stanju. Zato je ravnotežno genetičko opterećenje populacije jednako dvostrukoj mutacijskoj stopi ka štetnom alelu

.

Postavlja se pitanje zašto je ravnotežno genetičko opterećenje populacije u slučaju selekcije protiv štetnog recesivnog alela jednako mutacijskoj stopi ka štetnom alelu, a u slučaju selekcije protiv štetnog dominantnog alela, kao i u slučaju genske selekcije (bez dominancije),

21

jednako dvostrukoj mutacijskoj stopi ka štetnom alelu. Razlog je taj što se u slučaju selekcije protiv recesivnog štetnog alela sa svakom uginulom individuom (štetni homozigoti) gube dva štetna alela, a pri selekciji protiv dominantnog štetnog alela, kao i pri genskoj selekciji (bez dominancije), s gotovo svakom uginulom jedinkom gubi se samo jedan štetni alel jer su velika većina uginulih heterozigoti.

POPULACIJA POD DJELOVANJEM NESISTEMATSKE EVOLUCIJSKE SILE (GENETIČKOG DRIFTA)

Nesistematska evolucijska sila je slučajni genetički drift koji se još naziva i disperzivni proces. Osobitost genetičkog drifta je da se promjene alelne frekvencije mogu predvidjeti samo u kvantitetu ali ne i u smjeru promjene (za razliku od sistematskih evolucijskih sila gdje se promjene alelne frekvencije mogu predvidjeti i u kvantitetu i u smjeru). Osnovna manifestacija genetičkog drifta je slučajna (stohastička) promjena alelne frekvencije u populaciji koja se događa iz generacije u generaciju. Osnovni razlog genetičkog drifta je taj što je populacija konačna, t. j. u svakoj generaciji individue koje egzistiraju u populaciji (kojih ima konačan broj) su nastale spajanjem gameta unutar konačnog uzorka gameta koje su proizvele individue prethodne generacije (model nepreklapajućih generacija). Pretpostavimo da je frekvencija alela u generaciji G0 bila p0, te da svaka individua tijekom trajanja svog životnog vijeka (jedne generacije) producira beskonačan broj gameta. Ukoliko bi se sve te gamete koristile za formiranje individua slijedeće generacije (ili ako bi uzorak gameta od kojih nastaju jedinke slijedeće generacije bio jako velik i slučajan), tada bi frekvencija alela u slijedećoj generaciji bila jednaka kao u prethodnoj, t. j. p0. Budući da su individue jedne generacije nastale spajanjem gameta unutar konačnog uzorka gameta od individua prethodne generacije, frekvencija alela u toj generaciji p1 se razlikuje od one u prethodnoj generaciji p0. Nadalje, slijedeća generacija će nastati iz konačnog uzorka gameta sadašnje generacije, te će frekvencija alela u slijedećoj generaciji biti također drukčija, t. j. p2. Razlog tih sporadičnih promjena alelne frekvencije je pogreška uzorkovanja koja nastaje pri svakom uzorkovanju gameta, t. j. u svakoj generaciji.

Efekti i manifestacije genetičkog drifta

Gore smo opisali osnovni uzrok genetičkog drifta koji djeluje u svakoj generaciji. Ukoliko se taj proces događa dovoljno dugo, mogu se vidjeti posljedice genetičkog drifta. Da bismo vidjeli posljedice genetičkog drifta trebamo promatrati jednu veliku populaciju (metapopulaciju) koja je podijeljena na više malih populacija (subpopulacija ili linija). Osnovno je pravilo da je parenje moguće samo unutar iste subpopulacije, t. j. nema protoka gena (migracija) među subpopulacijama. Svaka subpopulacija zadovoljava sve kriterije idealne populacije kao što je ranije navedeno (napr. slučajno parenje itd.) osim što ima konačan broj individua (često jako mali broj individua). Pretpostavljamo da je broj individua unutar svake subpopulacije jednak. Efekti i manifestacije genetičkog drifta unutar jedne metapopulacije su slijedeći:

1. nagle i nepredvidive promjene frekvencije alela iz generacije u generaciju unutar svake subpopulacije,

2. diferencijacija među subpopulacijama,3. uniformnost unutar svake subpopulacije (posljedica povećanja homozigotnosti unutar

svake subpopulacije),

22

4. prosječna frekvencija alela na nivou cijele metapopulacije je ista u svakoj generaciji (ako ne djeluju druge evolucijske sile), a frekvencije genotipova nisu u HW-im omjerima jer u prosjeku ima puno više homozigota (posljedica povećavanja homozigotnosti unutar svake subpopulacije).

Iako je promjena frekvencije alela unutar svake subpopulacije slučajna i nepredvidiva, postoje dvije osnovne pravilnosti vezane za genetički drift na nivou cijele metapopulacije:

1. povećava se varijanca alelnih frekvencija među subpopulacijama, i2. mijenja se distribucija alelnih frekvencija među subpopulacijama.

Ova dva parametra su međusobno povezana i njihovim mjerenjem tijekom vremena se određuje efekt genetičkog drifta, t. j. stupanj diferencijacije među subpopulacijama. Pretpostavljamo da je na početku promatranja, t. j. u generaciji G0, frekvencija alela u svim subpopulacijama bila jednaka. U eksperimentu s preko 100 subpopulacija vinske mušice Drosophila melanogaster, Buri je 1956. godine proučavao efekt genetičkog drifta. Početna frekvencija alela je bila 0,5, a praćena su dva alela na bw genu (bw75 i bw). U svakoj bočici je bila odgovarajuća subpopulacija koja je imala 16 individua (8 mužjaka i 8 ženki). Nakon što bi dobili potomstvo, roditeljska generacija je uklonjena a od potomaka je slučajnim odabirom uzeto 8 mužjaka i 8 ženki kao osnivača slijedeće generacije. Proces se nastavio do 19. generacije. Rezultati ovog eksperimenta su uspoređivani s teorijskim modelima genetičkog drifta (Wright-Fisher-ov model i Kimurin model). Kao što je ranije rečeno promjena frekvencije alela unutar neke subpopulacije je uvjetovana greškom uzorkovanja. Promjena frekvencije alela iz G0 do G1 generacije unutar subpopulacija će prouzročiti varijancu promjene frekvencije alela koja je jednaka slijedećem izrazu

gdje su p0 i q0 odgovarajuće početne frekvencije alela u svakoj subpopulaciji, odnosno srednje frekvencije alela u čitavoj metapopulaciji (one ostaju iste tijekom vremena ako ne djeluju druge evolucijske sile). Iz gornje formule se vidi da je varijanca promjene frekvencije alela među subpopulacijama veća ako su alelne frekvencije intermedijarne, te ako je veličina subpopulacije manja. Varijanca promjene frekvencije alela predstavlja stopu diferencijacije među subpopulacijama. U generaciji G1 neke subpopulacije startaju s različitim alelnim frekvencijama, a stopa promjene frekvencije alela iz G1 prema G2 generaciji je opet ista. No stupanj diferencijacije među subpopulacijama u G2 generaciji predstavlja varijancu frekvencije alela među subpopulacijama koja je izražena formulom

.

Da je ova formula točna, vidjet ćemo kad genetički drift budemo razmatrali s aspekta inbridinga. Kako se broj generacija t povećava, tako se smanjuje izraz u maloj zagradi, te za t → ∞, slijedi da je varijanca frekvencije alela među subpopulacijama maksimalna

.

23

To se događa kad su aleli u svim subpopulacijama fiksirani ili izgubljeni. Naime, to je konačna posljedica sporadičnih promjena frekvencija alela unutar subpopulacije. Kad se dogodi fiksacija ili gubitak određenog alela, tada više u toj subpopulaciji nije moguća daljnja promjena frekvencije alela ako ne djeluju druge evolucijske sile. Na nivou cijele metapopulacije u frakciji p0 od svih subpopulacija će se fiksirati alel A1, a u frakciji q0 će se fiksirati alel A2. Maksimalna moguća varijanca frekvencije alela je 0,25 (kad su frekvencije alela 0,5).

Wright-Fisher-ov model genetičkog drifta

Iz mnoštva subpopulacija promatrajmo izvjesnu subpopulaciju s frekvencijom alela p (od A1) i q (od A2). Broj individua u subpopulaciji je N, što znači da je ukupni broj gena u subpopulaciji jednak 2N. Trenutno u toj subpopulaciji ima h alela A1 i 2N – h alela A2. To znači da je alelna frekvencija p = h/2N, odnosno q = 1 – h/2N. Kažemo da ta subpopulacija zauzima stanje h. Fundamentalno pitanje je: kolika je vjerojatnost da će u slijedećoj generaciji ta subpopulacija zauzeti stanje i? Drugim riječima kolika je vjerojatnost da će broj kopija alela A1 koji je jednak h, u slijedećoj generaciji postati i? Teorijski, broj kopija alela A1 u slijedećoj generaciji može biti bilo koji broj između 0 i 2N, t. j. i može biti 0, 1, 2, 3, . . . . 2N. Svaka vrijednost za i ima svoju vjerojatnost nastanka i ona je izražena binomnom formulom

.

Iz formule je vidljivo da ta vjerojatnost ovisi o trenutnom stanju h (t. j. p = h/2N), o stanju i, te o broju individua u svakoj subpopulaciji N. Zbroj vjerojatnosti svih mogućih stanja iznosi jedan, odnosno

.

Ako je broj subpopulacija jako velik i ako sve imaju istu alelnu frekvenciju, t. j. isto stanje, tada je očekivani broj subpopulacija koje će zauzeti odgovarajuće stanje i jednak

gdje je ntot ukupni broj subpopulacija, a P(i) vjerojatnost da subpopulacija zauzme stanje i. Frakcija subpopulacija koje će u slijedećoj generaciji zauzeti stanje i će tada biti

.

Ako subpopulacije imaju različite alelne frekvencije, tada će se distribucija subpopulacija po broju kopija alela u slijedećoj generaciji dobiti zbrajanjem vjerojatnosti za svako pojedino stanje svake subpopulacije. Drugim riječima, broj subpopulacija koje će zauzeti određeno stanje i u slijedećoj generaciji će biti

24

gdje je Pk(i) vjerojatnost svake pojedine subpopulacije da zauzme stanje i. Frakcija subpopulacija koje će u slijedećoj generaciji zauzeti stanje i je

.

Tendencija distribucije subpopulacija prema određenom stanju, odnosno alelnoj frekvenciji postaje s vremenom sve spljoštenija, a broj subpopulacija gdje je došlo do fiksacije, odnosno gubitka alela, se povećava. U skladu s tim se povećava i varijanca alelnih frekvencija među subpopulacijama.

Promjene u frekvenciji genotipova zbog djelovanja genetičkog drifta

Da bismo dobili frekvencije genotipova, ključno je naglasiti da se zbog djelovanja genetičkog drifta povećava varijanca alelnih frekvencija među subpopulacijama. Za bilo koju slučajnu varijablu, pa tako i za frekvencije alela u subpopulacijama, vrijedi jednostavna formula za varijancu koja riječima iskazana glasi da je varijanca jednaka razlici srednjeg kvadrata i kvadrata srednje vrijednosti te varijable. Iskazana kvantitativno, varijanca alelnih frekvencija među subpopulacijama je

.

Iz toga slijedi da je srednji kvadrat alelnih frekvencija jednak zbroju kvadrata srednje vrijednosti alelne frekvencije i varijance alelnih frekvencija među subpopulacijama, t. j.

.

Srednji kvadrat je jednak frekvenciji homozigota A2A2 u metapopulaciji (prosječnoj frekvenciji homozigota A2A2 među subpopulacijama). S druge strane, kvadrat srednje vrijednosti je jednak očekivanoj Hardy-Weinberg-ovoj frekvenciji homozigota A2A2 u metapopulaciji pod pretpostavkom da je cijela metapopulacija jedna panmiktička jedinica, t. j. da unutar metapopulacije postoji slučajno parenje. Međutim kao što se vidi iz formule, frekvencija homozigota A2A2 u metapopulaciji je veća od očekivane H-W frekvencije. Frekvencija homozigota A1A1 u metapopulaciji je također uvećana za varijancu frekvencije alela među subpopulacijama. Zbog povećanja frekvencije homozigota smanjuje se frekvencija heterozigota u metapopulaciji. Zato su frekvencije genotipova u metapopulaciji kao posljedica djelovanja genetičkog drifta

A1A1

A1A2

A2A2 .

25

Wahlund-ov princip

Zamislimo da pomiješamo dvije populacije (P1 i P2) koje su u H-W-ovoj ravnoteži, imaju različite frekvencije alela (p1, q1 i p2, q2) i koje su do sada bile prostorno izolirane.

P1 P2

A1A1 A1A2 A2A2 A1A1 A1A2 A2A2

p12 2p1q1 q1

2 p22 2p2q2 q2

2 \ / A1A1 A1A2 A2A2

; ; Opažene frekvencije

genotipova u smjesi

Očekivane H-W-ove frekvencije genotipova

U novoj populaciji (smjesi) frekvencije genotipova su jednake srednjim vrijednostima frekvencija genotipova iz populacija koje su se pomiješale. Ukoliko postoji slučajno parenje među svim individuama u mješanoj populaciji, uspostavit će se ravnotežne H-W-ove frekvencije genotipova za jednu ili dvije generacije (ovisno o tome da li se frekvencije alela među spolovima razlikuju).

Možemo postaviti pitanje koliko su međusobno divergirane te dvije populacije (ili više populacija, ako je više populacija pomiješano). Mjera divergencije među populacijama je varijanca frekvencije alela među populacijama. Izrazit ćemo varijancu frekvencije alela među populacijama P1 i P2, prema definiciji varijance kao srednjeg kvadratnog odstupanja od srednje vrijednosti,

Dobili smo izraz za varijancu kako smo ga već ranije naveli kao razliku srednjeg kvadrata i kvadrata srednje vrijednosti. Taj izraz se u populacijskoj genetici zove Wahlund-ov princip i može se primjeniti na bilo koje populacije koje su neovisno evoluirale radi procjene divergencije među njima.

Kimurin model genetičkog drifta

26

Kimurin model genetičkog drifta se zasniva na opisu genetičkog drifta preko difuzijske diferencijalne jednadžbe, te se još zove i model genetičkog drifta difuzijskom aproksimacijom. Sličan pristup je uveden ranije u fizici i kemiji pri proučavanju difuzijskih procesa kao što su širenje topline kroz metalnu šipku (Fokker-Planck-ova jednadžba) i Brown-ovo gibanje (Kolmogorova jednadžba). Naime, istim ili sličnim matematičkim modelima se mogu opisati procesi koji su po svojoj prirodi posve različiti (imaju sličnost samo na nivou analogije). Rješavanjem difuzijske diferencijalne jednadžbe za genetički drift dobijaju se funkcije gustoće vjerojatnosti, t. j. krivulje koje predstavljaju distribucije alelnih frekvencija među subpopulacijama. Budući da je za ovakvu analizu potrebno poznavanje sofisticirane matematike, zadovoljit ćemo se zaključkom da distribucije alelnih frekvencija postaju sve spljoštenije kako vrijeme odmiče i da takove distribucije dobro aproksimiraju Wright-Fisher-ov model genetičkog drifta, te se dobro mogu primjeniti i u objašnjenje ranije opisanog eksperimenta genetičkog drifta u metapopulaciji Drosophilae.

Genetički drift promatran s aspekta inbridinga

Inbriding se događa kad se pare jedinke koje su u srodstvu. Stupanj srodstva (sličnosti) među individuama ovisi o veličini populacije. Svaka individua ima 2 roditelja, 4 baka i djedova, 8 prabaka i pradjedova i općenito 2t predaka u t-oj generaciji u prošlosti. Da bismo razumjeli značenje inbridinga, uvest ćemo pojam identičnosti po porijeklu. Za dva alela kažemo da su identični po porijeklu ako su nastali replikacijom od zajedničkog pretka u nekoj od prošlih generacija. Znači homozigot po porijeklu jest individua koja na određenom lokusu (genu) ima alele koji su identični po porijeklu. Postoji i uobičajeni pojam u genetici a to je homozigot po stanju. Takvi aleli daju isti fenotip ali ne znamo da li su identični po porijeklu, odnosno za to nema dokaza. Koncept inbridinga ima smisla ako se uzima da jedna generacija predstavlja početnu, t. j. ishodnu populaciju za koju smatramo da su svi aleli različiti po porijeklu. Stupanj inbridinga određujemo kvantitativno preko tzv. koeficijenta inbridinga F. Koeficijent inbridinga je vjerojatnost da su 2 alela na bilo kojem lokusu u bilo kojoj individui identična po porijeklu. Koeficijent inbridinga je statistički pojam što znači da govori o prosjeku u populaciji. Promatrajmo ishodnu populaciju (generacija G0) veličine N u kojoj su svi aleli različiti po porijeklu, odnosno F0 = 0. Moram napomeniti da govorimo o tzv. idealiziranoj populaciji koja se razlikuje od idealne populacije samo po tome što ima konačan broj individua. Postavlja se pitanje koliki će biti koeficijent inbridinga F1 u slijedećoj (G1) generaciji? Drugim riječima kolika je vjerojatnost da će nastati individue identične po porijeklu na nekom lokusu? U takvoj populaciji imamo 2N različitih tipova gameta (svaka gameta ima specifičnost određenog alela). Po pravilima slučajnog parenja vjerojatnost da će spermij oploditi jajnu stanicu koja nosi alel identičan po porijeklu je 1/(2N) x 1/(2N). Budući da imamo 2N specifičnih gameta i za svaku vrijedi ista vjerojatnost stvaranja potomaka koji će na lokusu imati alele identične po porijeklu, ukupna vjerojatnost da će u slijedećoj generaciji u bilo kojoj individui biti aleli identični po porijeklu je

.

Inbriding u G1 generaciji je nastao kao rezultat replikacije alela u prethodnoj generaciji, ako se uzima da postoji i slučajna samooplodnja ili u jednoj generaciji ispred, t. j. u generaciji djedova i baka, ako isključimo mogućnost samooplodnje. Dalje se postavlja pitanje koliki će biti koeficijent inbridinga F2 u slijedećoj generaciji (G2)? Vjerojatnost da će aleli biti identični po porijeklu zbog novog inbridinga u G2 generaciji je opet jednaka i iznosi 1/(2N). Međutim postoji frakcija populacije u kojoj nema novog inbridinga a to je 1 – 1/(2N). U toj

27

frakciji populacije ipak postoji vjerojatnost da su aleli identični po porijeklu uslijed ranijih replikacija. Tu vjerojatnost određuje koeficijent inbridinga prethodne generacije, t. j. generacije G1. Znači naslijeđeni inbriding iznosi [1 – 1/(2N)]F1. Tako dobijamo formulu za koeficijent inbridinga generacije G2

odnosno za bilo koje dvije susjedne generacije vrijedi da je

.

Znači, u svakoj generaciji imamo povećanje koeficijenta inbridinga zbog novog inbridinga i to povećanje koeficijenta inbridinga se zove stopa inbridinga

.

Stopa inbridinga je obratno proporcionalna veličini populacije (idealizirana populacija), odnosno, efektivnoj veličini populacije (populacija s bilo kojim sustavom parenja). Znači općenito, za bilo koji režim parenja vrijedi da je

,

gdje je Ne efektivna veličina populacije. Da bismo još bolje shvatili značenje stope inbridinga, jednadžbu koja povezuje koeficijente inbridinga dvije susjedne generacije za bilo koji sustav parenja ćemo napisati općenito

.

Rearanžiranjem te jednadžbe dobijamo

Da bismo izrazili koeficijent inbridinga u bilo kojoj generaciji kao funkciju koeficijenta inbridinga u početnoj generaciji koristit ćemo gornju formulu ali ćemo umjesto koeficijenta inbridinga F koristiti njegov komplement, panmiktički indeks P. Među njima vrijedi slijedeća relacija P = 1 – F. U gornjoj jednadžbi ćemo F izraziti u funkciji P, te ćemo imati

28

Ovo vrijedi za svaka dva susjedna P, pa imamo

Vidimo pravilnost, te možemo napisati općenito da je

.

Budući da je P0 = 1 (jer je F0 = 0), dalje slijedi

.

Sada ćemo povezati koeficijent inbridinga i stopu inbridinga s varijancom frekvencije alela i varijancom promjene frekvencije alela među subpopulacijama. Znamo od ranije da je

varijanca promjene frekvencije alela , te da je stopa inbridinga jednaka .

Kombiniranjem te dvije jednadžbe dobivamo

.

Slično vrijedi i za varijancu frekvencije alela koja je jednaka produktu početnih alelnih frekvencija i koeficijenta inbridinga. Kombiniranjem jednadžbi za varijancu frekvencije alela

i , znajući da je , dobivamo da je

.

Budući da je varijanca frekvencije alela direktno proporcionalna koeficijentu inbridinga, kao mjera stupnja diferencijacije među subpopulacijama zbog genetičkog drifta se može koristiti i trenutni koeficijent inbridinga Ft. Na sličan način možemo izraziti genotipske frekvencije u funkciji koeficijenta inbridinga.

genotip frekvencija

29

A1A1 p02 + p0q0F = p0

2(1 - F) + p0F

A1A2 2p0q0 – 2p0q0F = 2p0q0(1 – F)

A2A2 q02 + p0q0F = q0

2(1 – F) + q0F

Iz gornje tablice se vidi da u populaciji imamo osim normalnih homozigota (homozigota koji nisu identični po porijeklu) i homozigote koji su identični po porijeklu (odgovorni za efekt inbridinga). Također je sada jasno značenje koeficijenta inbridinga kojeg smo ranije definirali kao vjerojatnost da su na bilo kojem lokusu aleli koji su identični po porijeklu. Kada koeficijent inbridinga koristimo kao mjeru diferencijacije među subpopulacijama često se upotrebljava termin fiksacijski indeks FST. Fiksacijski indeks predstavlja koeficijent inbridinga koji je odgovoran za diferencijaciju među subpopulacijama isključivo zbog djelovanja genetičkog drifta, t. j. uz pretpostavku da je parenje unutar svake subpopulacije slučajno. To ne mora uvijek biti u realnosti, te zbog toga možemo definirati još dva koeficijenta inbridinga, a to će slijediti u poglavlju o Wright-ovoj F-statistici. Homozigoti identični po porijeklu nastaju na uštrb smanjenja broja heterozigota što je jedna od posljedica inbridinga. Sada ćemo kvantitativno izraziti kako se smanjuje frekvencija heterozigota kao posljedica inbridinga. Frekvencija heterozigota uslijed inbridinga u generaciji t je jednaka

.

Još ranije smo izrazili da je , pa kombiniranjem te dvije jednadžbe dobivamo

, odnosno .

Za idealiziranu populaciju u kojoj je parenje slučajno a broj mužjaka i ženki je isti, N je broj individua u subpopulaciji, a ako vrijedi neki drugi režim parenja, te ako postoji različiti broj mužjaka i ženki, umjesto N se koristi efektivna veličina populacije Ne.

Koeficijent inbridinga individue

U dosadašnjem razmatranju smo govorili o koeficijentu inbridinga kao statističkoj kategoriji, odnosno o prosječnom koeficijentu inbridinga u populaciji. Međutim svaka individua ima svoj koeficijent inbridinga i on se može procijeniti ako se zna rodoslovlje te individue za nekoliko generacija u prošlosti, t.j. do tzv. referentne generacije (populacije) za koju se uzima da je koeficijent inbridinga jednak nuli (iako u stvarnosti on ne mora biti nula, uvijek se pretpostavlja da je jednak nuli ako ne postoje dodatne informacije). To znači da je koeficijent inbridinga svake individue u referentnoj generaciji jednak nuli. Znači koeficijent inbridinga individue možemo procijeniti samo u odnosu na referentnu populaciju (generaciju) za koju se uzima da je koeficijent inbridinga jednak nuli. Promatrajmo jednostavno rodoslovlje

B A C \ / \ /

30

P Q \ / X

Ukoliko pretpostavimo da je druga generacija u prošlosti referentna generacija, možemo procijeniti koeficijent inbridinga individue X koji je nastao kroz vrijeme od dvije generacije. Iz rodoslovlja se vidi da je individua X nastala kao potomak polubrata i polusestre (individue P i Q) jer imaju jednog zajedničkog roditelja (A). Pretpostavljamo da je koeficijent inbridinga u drugoj generaciji predaka (individue A, B i C) jednak nuli, a to znači da svaka od tih individua ima alele različite po porijeklu. Bilo koja individua u populaciji može imati alele identične po porijeklu ako ih je naslijedila od zajedničkog pretka svojih roditelja. U slučaju individue X to je zajednički predak A. Označimo alele individue A s A1 i A2. Teorijski, individua X može imati alele identične po porijeklu A1A1 ili A2A2. Sada ćemo proračunati vjerojatnosti da se to dogodi. Putevi prijenosa alela od individue A do X idu preko roditelja P i Q. Vjerojatnost da se alel A1 prenese od praroditelja A do roditelja P je ½, a ista je i vjerojatnost da se alel A1 prenese od roditelja P do potomka X. Znači da je ukupna vjerojatnost da individua X naslijedi alel A1 od individue A preko roditelja P (da se dogode oba događaja) jednaka produktu tih vjerojatnosti, odnosno ½ ∙ ½ = ¼. Na isti način se alel A1 može prenijeti preko roditelja Q, a vjerojatnost da se to dogodi je opet ½ ∙ ½ = ¼. Da bi individua X imala genotip A1A1 mora se dogoditi prijenos alela A1 preko oba roditelja. Vjerojatnost da se to dogodi je jednaka produktu vjerojatnosti naslijeđivanja alela A1 preko roditelja P i vjerojatnosti naslijeđivanja alela A1 preko roditelja Q, što je jednako ¼ ∙ ¼ = 1/(16). Individua X može imati alele identične po porijeklu i kada ima genotip A2A2. Istovjetnom logikom kao za alel A1, možemo zaključiti da je vjerojatnost da će individua X naslijediti alel A2 preko oba roditelja jednaka ¼ ∙ ¼ = 1/(16). Koeficijent inbridinga je po definiciji, vjerojatnost da se na bilo kojem lokusu nalaze aleli koji su identični po porijeklu. Ta tvrdnja je zadovoljena kad je genotip individue X, A1A1 ili A2A2. Ukupna vjerojatnost da je to slučaj je jednaka zbroju vjerojatnosti za genotip A1A1 i vjerojatnosti za genotip A2A2, što je 1/(16) + 1/(16) = 1/8, odnosno (1/2)3. Ukoliko je koeficijent inbridinga individue A jednak nuli kako smo pretpostavili, tada je koeficijent inbridinga individue X jednak (1/2)3. Međutim, ako individua A ima neki koeficijent inbridinga FA > 0, tada se to treba ukalkulirati i koeficijent inbridinga individue X će biti veći od (1/2)3. Taj stari inbriding se pridodaje preko genotipova koji sadrže alele koji nisu identični po porijeklu na osnovu prikazanog rodoslovlja, t.j. A1A2 i A2A1. Razlika između ova dva heterozigota po porijeklu je što se u jednom slučaju alel A1 prenosi preko roditelja P a u drugom preko roditelja Q. Na osnovu istovjetnog zaključivanja kao u slučaju homozigota po porijeklu, vjerojatnost da nastane heterozigot A1A2 je 1/(16), a da nastane heterozigot A2A1 je također 1/(16). Vjerojatnost da nastanu jedan ili drugi je 1/(16) + 1/(16) = 1/8. U FA frakciji heterozigota aleli će biti identični po porijeklu zbog replikacije alela u nekom daljem pretku u povijesti (nije naveden u rodoslovlju). Konačna formula za koeficijent inbridinga individue X koja pored novog inbridinga (nastao prijenosom alela od individue A) uključuje i stari inbriding (nastao prijenosom alela od predaka individue A) je

,

gdje je FA koeficijent inbridinga individue A. Analizirajući formulu za ovaj slučaj možemo doći do opće formule za koeficijent inbridinga neke individue koja se može proračunati na osnovu nekog puta nasljeđivanja iz rodoslovlja. Naime ½ se uvijek stupnjuje s brojem

31

individua na putu preko zajedničkog pretka, ne računajući individuu za koju se računa koeficijent inbridinga. Za ovaj slučaj to su individue P, A i Q, što su ukupno tri individue. Znači, opća formula za koeficijent inbridinga nastao preko određenog puta naslijeđivanja je

.

Evo primjera drugog rodoslovlja.

A / \ B C׀ ׀ D ׀ ׀ ׀ P Q \ / X

Na osnovu ovog rodoslovlja, koeficijent inbridinga individue X je

.

Nasljedni put u ovom slučaju uključuje 6 individua (P, D, B, A, C i Q). Ako pretpostavimo da je koeficijent inbridinga individue A jednak nuli, tada je koeficijent inbridinga individue X, FX = (1/2)6 = 1/(64) = 0,0156.

U stvarnosti postoje i komplicirana rodoslovlja koja sadrže više puteva naslijeđivanja preko zajedničkih predaka. Doprinos koeficijentu inbridinga neke individue X se mora proračunati sa svakog mogućeg puta iz rodoslovlja, te doprinosi zbrojiti. Znači, opća formula za koeficijent inbridinga individue X je

,

gdje je k broj različitih puteva naslijeđivanja preko zajedničkog pretka, ni je broj individua u i-tom putu, a FAi je koeficijent inbridinga zajedničkog pretka na i-tom putu.

Wright-ova F-statistika

Sada se opet vraćamo na koeficijent inbridinga u statističkom smislu, t.j. na prosječni koeficijent inbridinga u populaciji. Postoje nekoliko hijerarhijskih pogleda na koeficijent inbridinga. Promatrajmo jednu metapopulaciju koja se sastoji iz više subpopulacija, a jedinke se pare isključivo unutar svake supopulacije. Iz tablice o genotipskim frekvencijama koje su rezultat djelovanja genetičkog drifta imamo da je frekvencija heterozigota jednaka

32

odnosno,

.

Očekivana heterozigotnost H0 je jednaka ravnotežnoj H-W-ovoj frekvenciji heterozigota u populaciji dok je aktualna (opažena) frekvencija heterozigota H manja od očekivane zbog djelovanja genetičkog drifta. Koeficijent inbridinga promatran od razine metapopulacije, t.j. totalne razine (oznaka T) do razine subpopulacije (oznaka S) je rezultat djelovanja isključivo genetičkog drifta i označava se kao FST. On je mjera diferencijacije među subpopulacijama zbog efekta genetičkog drifta. Ako je ovo jedina razina na kojoj se javlja inbriding, onda je parenje unutar svake subpopulacije slučajno kao što je bilo pretpostavljeno u ranijem tretmanu. Međutim, može postojati i inbriding nastao od razine subpopulacije (oznaka S) do razine parenja individua (oznaka I). Taj inbriding nastaje zbog odstupanja od režima slučajnog parenja unutar svake subpopulacije i izražava se kao FIS. Također, postoji i koeficijent inbridinga koji obuhvaća inbriding nastao zbog oba razloga, t.j. genetičkog drifta i odstupanja od slučajnog parenja unutar subpopulacija. Taj inbriding je promatran od razine metapopulacije, t.j. totalne razine (oznaka T) pa do razine reproduktivnog ponašanja individua (oznaka I) i izražava se preko koeficijenta inbridinga FIT. Da bismo kvantitativno definirali sva tri koeficijenta inbridinga, prvo moramo definirati tri razine heterozigotnosti.

HT je očekivana heterozigotnost u čitavoj populaciji, t.j. metapopulaciji. Ona je jednaka H-W-ovoj frekvenciji heterozigota koju bi očekivali da je metapopulacija jedna panmiktička jedinica, t.j. da je pod režimom slučajnog parenja. Znači imamo da je

,

gdje su p0 i q0 početne frekvencije alela (generacija G0 gdje su alelne frekvencije u svim subpopulacijama iste), a one su jednake srednjim frekvencijama alela na razini cijele metapopulacije (u kasnijim generacijama).

HS je prosječna očekivana heterozigotnost unutar subpopulacije. Kvantitativno se izražava

,

gdje je k broj subpopulacija, HSi očekivana heterozigotnost unutar i-te subpopulacije, odnosno pi i qi su alelne frekvencije unutar i-te subpopulacije.

HI je prosječna opažena heterozigotnost unutar subpopulacije i definira se na slijedeći način

,

gdje je k broj subpopulacija, a HIi je opažena heterozigotnost u i-toj subpopulaciji. Treba naglasiti da se HIi razlikuje od HSi ukoliko postoji unutar subpopulacije odstupanje od režima slučajnog parenja.

Sada ćemo definirati odgovarajuće koeficijente inbridinga.

33

, odnosno .

Još jednom ćemo naglasiti da FIS nastaje zbog odstupanja od slučajnog parenja unutar subpopulacija. Ukoliko je parenje asortativno (individue se pare s partnerima koji imaju isti ili sličan fenotip) ili ako postoji samooplodnja, tada je FIS > 0. Ako je parenje disasortativno (individue se pare s partnerima koji imaju različit fenotip) tada je FIS < 0.

, odnosno .

Kao što smo ranije napomenuli, FST nastaje isključivo kao rezultat genetičkog drifta, odnosno konačnog broja individua unutar subpopulacija. FST se još zove fiksacijski indeks i uvijek je veći od nule.

, odnosno .

FIT je koeficijent inbridinga koji je rezultat sumarnog efekta genetičkog drifta i odstupanja od slučajnog parenja unutar subpopulacija. U pravilu je FIT > 0. Iako je FIT rezultat sumarnog efekta dva različita uzroka, on nije jednak sumi FST i FIS. Sada dolazimo do pitanja međusobnog odnosa između tri koeficijenta inbridinga. On je izražen slijedećom relacijom

.

Da je ova relacija istinita može se dokazati ako se dijelovi gornjeg izraza u kojima figuriraju koeficijenti inbridinga zamijene s odgovarajućim heterozigotnostima (vidi izraze u kojima su definirani koeficijenti inbridinga), pa imamo

.

Ravnoteža između mutacija i genetičkog drifta

Do sada smo se upoznali sa zasebnim evolucijskim efektom mutacija i genetičkog drifta, a sada ćemo razmatrati zajednički učinak mutacija i genetičkog drifta na genetičku konstituciju populacije. Mutacije su evolucijska sila koja proizvodi inovacije, t.j. nove alele koji se djelovanjem prirodne selekcije i/ili genetičkog drifta ponekad mogu fiksirati u populaciji. Nastajanjem novih mutacija povećava se genetička varijabilnost populacije, dok se djelovanjem drifta nakon fiksiranja određenog alela gubi genetička varijabilnost.

Model beskonačnog broja alela

Model beskonačnog broja alela (Infinite alleles model) je predstavljao inovaciju u odnosu na klasične modele jer je u model uveo molekularni aspekt gena. Naime, u klasičnim modelima takva informacija nije uzeta u obzir, te su se sve varijante nekog lokusa (gena) koje daju isti fenotip smatrale kao jedan te isti alel (fiziološka klasa alela). U stvarnosti su neke od tih

34

varijanata molekularno drugačije, t.j. imaju drugačiji slijed nukleotida. Stoga se s molekularnog aspekta trebaju tretirati kao različiti aleli. Toga je bio svjestan Kimura kad je predložio Model beskonačnog broja alela. Ako uzmemo da prosječni gen ima 1000 nukleotida, tada je u cijelom sekvencijskom prostoru tog gena moguće imati 41000 alela (različitih slijedova). To je iznimno veliki broj (41000 = 1,14 ∙ 10602 ≈ 10602), pa otuda naziv Model beskonačnog broja alela. Za usporedbu, navest ćemo da se procjenjuje da je broj zvijezda u svemiru oko 1021, a broj svih elementarnih čestica oko 10300. Bitna pretpostavka Modela beskonačnog broja alela je da je svaki novonastali alel po redoslijedu nukleotida različit od bilo kojeg alela već prisutnog u polimorfizmu. Da je to realistična aproksimacija govori nam slijedeća logika. Naime, vjerojatnost da nastane alel koji je po redoslijedu nukleotida potpuno identičan jednom već prisutnom alelu iz polimorfizma je 10 -602. Znači, ako u polimorfizmu već postoje 5 alela, vjerojatnost da će mutacijom nastati alel identičan jednom od tih 5 je 5 ∙ 10-602. Ako je u polimorfizmu 100 alela, što je u realnosti gotovo nestvarno veliki polimorfizam, tada je vjerojatnost nastanka novog alela koji je identičan jednom od tih 100 jednak 100 ∙ 10-602 = 10-600. To je beskrajno mala vjerojatnost, tako da je osnovna pretpostavka modela da je svaki novonastali alel različit od već prisutnih, točna.

Polazimo od poznate jednadžbe koja povezuje koeficijente inbridinga dvije susjedne generacije

.

Uvest ćemo neutralnu mutacijsku stopu po lokusu po generaciji v. Značenje neutralne mutacijske stope je vjerojatnost da će po generaciji nastati bilo koji molekularni alel tog lokusa. Da nema mutacija, koeficijent inbridinga F bi nakon dugog vremena postao 1, odnosno na svakom lokusu bi se fiksirao jedan stari alel (odnosno heterozigoti po porijeklu bi se izgubili zbog akumulirajućeg djelovanja inbridinga, t. j. genetičkog drifta). Međutim, ako postoje novonastale mutacije, tada koeficijent inbridinga neće biti 1, već manji. U svakoj generaciji imamo frakciju v alela mutanta i frakciju 1-v alela nemutanta (divljeg tipa). Mutantni aleli ne dozvoljavaju da koeficijent inbridinga postane 1, t. j. oni umanjuju inbriding populacije. Koeficijent inbridinga će u ravnoteži biti proporcionalan s izrazom (1 – v)2, a također, moramo naglasiti da je koeficijent inbridinga u dvije susjedne generacije u ravnoteži jednak, t. j. Ft = Ft-1 = F. To ćemo primjeniti na gore napisanu jednadžbu, pa imamo

.

Član v2 je jako mali pa ćemo ga zanemariti, te imamo

35

,

budući da je 2v << 1, jer su mutacijske stope u realnosti jako male (oko 10-5 mutacija po genu po generaciji), član 2v ćemo zanemariti pa imamo aproksimativnu formulu

,

što vrijedi za idealiziranu populaciju, odnosno za realnu populaciju umjesto veličine populacije stavljamo efektivnu veličinu populacije

.

Sličnu formulu možemo dobiti kad umjesto ravnoteže mutacija i drifta razmatramo ravnotežu između migracija i drifta

,

gdje je m migracijska stopa po lokusu po generaciji kako smo je ranije definirali kod razmatranja migracije kao evolucijske sile. Iz formula za F koja je zapravo homozigotnost po porijeklu, možemo izračunati heterozigotnost po porijeklu kao H = 1 – F, pa imamo

,

odnosno,

.

MOLEKULARNA POPULACIJSKA GENETIKA

Evolucijska dinamika u populaciji obuhvaća genetičku varijabilnost (polimorfizam) i evolucijsku promjenu. Genetička varijabilnost se najčešće izražava kao heterozigotnost, t.j. frakcija heterozigota u populaciji na određenom lokusu. Lokus u populacijskoj genetici je arbitrarna kategorija, te može uključiti sve, od cijelog genoma do nukleotida. Najčešće se pod

36

lokusom podrazumijeva gen kao osnovna funkcionalna jedinica naslijeđivanja. U molekularnoj populacijskoj genetici se uzima u obzir da su geni (lokusi) slijedovi nukleotida, te da su njihovi aleli po tome specifični. Bez obzira da li pokazuju isti fenotip, takve varijante se u molekularnoj populacijskoj genetici razlikuju kao posebni aleli. Naprotiv, u mendelovskoj populacijskoj genetici sve varijante gena koje pokazuju isti fenotip se smatraju istim alelom, jer se ne uzima u obzir molekularni aspekt gena, već samo njegova funkcija, odnosno fiziologija. Zato su aleli u mendelovskoj populacijskoj genetici zapravo fiziološki aleli. Prethodno razmatrani Model beskonačnog broja alela već spada u molekularnu populacijsku genetiku jer uzima u obzir da je gen, odnosno lokus određen redoslijedom nukleotida. Mi smo ga razmatrali ranije zbog izvođenja jednadžbe ravnoteže između neutralnih mutacija i genetičkog drifta. Osim genetičkog polimorfizma koji je funkcija alelnih frekvencija, tijekom vremena u populaciji može doći do evolucijske promjene. U mendelovskoj populacijskoj genetici evolucijska promjena je bila praćena tijekom vrlo kratkog vremena od samo nekoliko generacija (mikroevolucija) i bila je vezana na promjenu frekvencije alela. Promjena frekvencije alela u konačnici završava fiksacijom određenog alela, odnosno nestankom svih ostalih alela iz populacije. Kad se evolucijska promjena gleda na dulje evolucijsko vrijeme (makroevolucija), onda se ona karakterizira alelnim fiksacijama koje predstavljaju alelne supstitucije. Treba naglasiti da se tijekom evolucijske dinamike u populaciji izmjenjuju periodi polimorfizma i alelnih supstitucija. Alelna supstitucija traje vrlo kratko zbog nastajanja novih mutacija, dok je period polimorfizma jako dug i predstavlja vrijeme između dvije susjedne alelne supstitucije. Evolucijska promjena u molekularnoj populacijskoj genetici se mjeri tzv. stopom genske (alelne) supstitucije. S obzirom na definiciju lokusa, evolucijska promjena može biti i stopa nukleotidne supstitucije, te stopa aminokiselinske supstitucije.

GENETIČKA VARIJABILNOST (GENETIČKI POLIMORFIZAM)

Pri razmatranju ravnoteže između neutralnih mutacija i genetičkog drifta, izveli smo formulu za ravnotežnu heterozigotnost (ravnotežni polimorfizam). Na osnovu nje možemo procijeniti koliki bi mogao biti neutralni polimorfizam u prirodnim populacijama. On ovisi o neutralnoj mutacijskoj stopi i efektivnoj veličini populacije. Recimo, u populaciji efektivne veličine Ne = 104 i za neutralnu mutacijsku stopu od v = 10-6 (što bi mogla biti realistična neutralna mutacijska stopa po lokusu po generaciji za većinu alozima), heterozigotnost bi iznosila

.

Ako je efektivna veličina populacije Ne = 105, a neutralna mutacijska stopa v = 10-6, tada je heterozigotnost H = 0,286. Za veličinu populacije od Ne = 105 i mutacijsku stopu v = 10-6, heterozigotnost je H = 0,286, a za Ne = 105 i v = 10-5, H = 0,8.

STOPA GENSKE SUPSTITUCIJE

Stopa genske supstitucije genetičkim driftom

Stopa genske supstitucije je mjera brzine molekularne evolucije i još se zove i stopa molekularne evolucije. Ona se dobiva kad se broj alelnih supstitucija podijeli s vremenom (brojem generacija) u kojem su one nastale. Prvo ćemo razmatrati populaciju u kojoj postoje samo neutralne mutacije, te na njih djeluje isključivo genetički drift. Razmatramo opet model beskonačnog broja alela. Novonastali neutralni alel će stohastički mjenjati svoju frekvenciju,

37

te će najvjerojatnije nestati za nekoliko generacija. No, nas zanimaju fiksacije jer samo one dovode do alelnih supstitucija, odnosno do molekularne evolucije. Stopa genske supstitucije ovisi o vjerojatnosti da se alel fiksira i o broju neutralnih alela koji nastanu po generaciji. Broj neutralnih alela koji nastane po generaciji u populaciji je jednak produktu neutralne mutacijske stope po genu po generaciji i efektivne veličine populacije. Stopa genske supstitucije predstavlja vjerojatnost da se fiksira bilo koji alel koji nastane u toj generaciji, što znači da je jednaka sumi vjerojatnosti fiksacije pojedinačnih alela. Budući da svaki alel ima istu vjerojatnost fiksacije, ukupna vjerojatnost fiksacije, odnosno vjerojatnost da će se fiksirati bilo koji od njih, je jednaka produktu broja alela koji nastaju po generaciji i vjerojatnosti da će se pojedinačni alel fiksirati. Prema tome imamo da je stopa genske supstitucije jednaka

,

gdje je Ne efektivna veličina populacije, v je neutralna mutacijska stopa po genu po generaciji i P je vjerojatnost fiksacije neutralnog alela. Vjerojatnost fiksacije neutralnog alela je jednaka njegovoj frekvenciji a o tome ćemo još govoriti kasnije. Iz eksperimentalnog proučavanja genetičkog drifta u subpopulacijama Drosophilae, vidjeli smo da je do fiksacije jednog alela došlo u približno polovini bočica (subpopulacija). Prisjetimo se da je početna frekvencija alela u svakoj subpopulaciji bila 0,5. Ako gledamo bilo koju subpopulaciju pojedinačno, tada zaključujemo da je vjerojatnost fiksacije tog alela u njoj jednaka 0,5, t.j. njegovoj frekvenciji. Frekvencija alela je prilikom njegovog nastanka jednaka recipročnoj vrijednosti dvostruke efektivne veličine populacije, odnosno 1/(2Ne). Kad se ta vrijednost za P uvrsti u gornju formulu dobivamo da je stopa genske supstitucije

.

Znači, da je stopa genske supstitucije jednaka neutralnoj mutacijskoj stopi po lokusu po generaciji. Ovo je najjednostavnija, a po mnogima i najljepša formula u populacijskoj genetici iz koje vidimo da molekularna evolucija koja ide preko genetičkog drifta ne ovisi o veličini populacije. Ova formula zaslužuje još jedan komentar i objašnjenje zašto stopa genske supstitucije ne ovisi o veličini populacije. Naime, u manjim populacijama nastane manje mutacija po generaciji (2Nev) ali je njihova vjerojatnost fikasacije veća (1/(2Ne)). S druge strane u većim populacijama nastane više mutacija po generaciji ali je njihova vjerojatnost fiksacije manja. Ovdje je bitno da je produkt broja novonastalih mutacija i njihove vjerojatnosti fiksacije konstantan za bilo koju populaciju.

Vjerojatnost fiksacije alela

Opću formulu za vjerojatnost fiksacije alela nećemo izvoditi, već ćemo je samo navesti. Opća formula vrijedi i za slučaj kad se fiksacija alela događa zbog djelovanja genetičkog drifta i kad se fiksacija alela događa zbog djelovanja prirodne selekcije. Ona je izvedena neovisno od strane više populacijskih genetičara (Kimura, Malecot, Wright, Haldane i Fisher). Razmotrimo slučaj aditivnog nasljeđivanja (bez dominancije) sa slijedećim fitnesima genotipova A1A1 (w = 1), A1A2 (w = 1+s) i A2A2 (w = 1+2s). Formula za vjerojatnost fiksacije alela za slučaj genske selekcije, t.j. kad nema dominancije je

,

38

gdje je e baza prirodnog logaritma, Ne efektivna veličina populacije, s selekciji koeficijent heterozigota, a p je alelna frekvencija. Ukoliko se radi o neutralnim alelima, tada je s = 0. Kad se to uvrsti u gornju jednadžbu dobivamo neodređeni izraz (0/0). Gornji izraz matematički predstavlja kvocijent dvije funkcije koji ima vrijednost 0/0 kad je s = 0. Da bismo dobili vrijednost za vjerojatnost fiksacije neutralnog alela, t.j. kad je s = 0, koristimo tzv. Lopitalovo pravilo, pa tražimo graničnu vrijednost (kad s teži ka nuli) kvocijenta derivacija (po varijabli s) tih funkcija. Tada dobivamo

.

Vidimo da je vjerojatnost fiksacije neutralnog alela jednaka njegovoj frekvenciji kako smo već ranije konstatirali. Kad govorimo o neutralnom alelu možemo misliti na striktno neutralni alel koji uopće ne utječe na fitnes (s = 0) kako smo do sada razmatrali. Međutim postoje i tzv. efektivno neutralni aleli koji imaju jako mali utjecaj na fitnes, te na njihovu sudbinu prvenstveno utječe genetički drift a ne prirodna selekcija. Kimura je definirao efektivno neutralni alel kao alel čiji je koeficijent selekcije u heterozigotnom stanju s ≤ 1/(2Ne). Neki aleli se u manjim populacijama ponašaju kao efektivno neutralni dok su u većim populacijama adaptivni. Na primjer ako je s = 0,001 = 10-3, tada je takav alel u populaciji Ne = 100 = 102

efektivno neutralan, dok je u populaciji Ne = 10000 = 104 adaptivan.

Stopa genske supstitucije prirodnom selekcijom

Da bismo dobili stopu genske supstitucije prirodnom selekcijom razmatramo slučaj novonastalih adaptivnih alela koji se fiksiraju selekcijom. Značenje stope genske supstitucije smo već ranije definirali, pa znamo da je

,

gdje je va adaptivna mutacijska stopa. Ako vrijedi da je 4Nes >> 1 & p = 1/(2Ne), ranije navedena formula za vjerojatnost fiksacije alela se može aproksimirati kao P ≈ 2s. Uvrštavanjem toga u gornju formulu dobivamo da je stopa genske supstitucije selekcijom jednaka

.

Prema tome vidimo da stopa genske supstitucije selekcijom novonastalih adaptivnih mutacija osim o adaptivnoj mutacijskoj stopi, ovisi i o efektivnoj veličini populacije i selekcijskom koeficijentu.

NEUTRALNA TEORIJA MOLEKULARNE EVOLUCIJE

Neutralnu teoriju molekularne evolucije su neovisno predložili Kimura (1968), te King i Jukes (1969), a temeljito ju je kasnije razvio Kimura. Prema njoj gotovo sve supstitucije na molekularnoj razini su rezultat fiksacija neutralnih ili efektivno neutralnih mutacija genetičkim driftom.

39

40