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PORCENTAJES

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Prof. J Conversión T.

PORCENTAJES

1.- Concepto de porcentaje

La expresión porcentaje o tanto por ciento equivale a “tantos de cada 100”. Es decir, hablar del 40% es hablar de 40 de cada 100.

Teniendo en cuenta lo anterior, para hallar un tanto por ciento de una cantidad deberíamos dividir primero por 100 para ver cuántas cientos hay en la cantidad y después multiplicaríamos por el tanto por ciento.

Así, para hallar el 35% de 420 haríamos lo siguiente:

420 : 100 = 4,2

En la práctica lo haremos de otras formas pero esta idea nos puede venir bien para calcular mentalmente –o con cálculos sencillos- tantos por cientos en los que aparecen ceros al final de las cantidades.

Recuerda que para dividir por 100 un número que acaba en ceros lo que hacemos es quitar dos ceros. Por ello, para calcular estos porcentajes quitaremos dos ceros y multiplicaremos las cantidades resultantes:

4% de 600 = 4 . 6 = 24 20% de 60 =

(*) En este último ejemplo lo mejor es multiplicar 4 por 5 (sólo hemos quitado un cero) y del resultado, 20, quitar el segundo cero y llegar al resultado final,2.

30% de 50 = 3 . 5 = 15 40% de 500 = 40 . 5 = 200

8% de 2000 =

4% de 50 =2 . 6 = 12 8 . 20 = 160 4 . 0,5 = 2 (*)

4,2 . 35 = 147

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2.- Cálculo de porcentajes: porcentaje como fracción

Hemos visto que 40% es lo mismo que 40 de cada 100. Pero resulta que 40 de cada 100 también lo podemos expresar en forma de fracción: 40/100. Es decir,

40% = 100

40

Por ello, hallar el 40% de 600 será lo mismo que calcular 40/100 de 600. En la práctica procederemos así:

35 % de 60 = 21100

60.35

A esta forma de calcular porcentajes la llamaremos porcentaje como fracción o también “con lápiz y papel”

28% de 420 = 100

420.28117,6 150% de 36 =

100

36.15054

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3.- Cálculo de porcentajes: porcentaje como regla de tres

Podemos interpretar el cálculo de un porcentaje como un problema de proporcionalidad directa. Por ello, también podremos calcularlos por medio de una regla de tres.

Ejemplo: Calcular 40% de 650

Total Parte

100 ------ 40

650 ------ xx

40

650

100 260

100

40.650x

Esta forma de calcular los porcentajes es particularmente útil para resolver algunos problemas.

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4.- Cálculo rápido de algunos porcentajes:

10% = décima parte (: 10) 10% de 42 = 42 : 10 = 4,2

50% = la mitad (:2) 50% de 36 = 36 : 2 = 18

25% = la cuarta parte (:4)

20% = la quinta parte (:5)

75% = las tres cuartas partes (:4) y (x3)

25% de 40 = 40 : 4 = 10

20% de 35 = 35 : 5 = 7

75% de 16 = 16 : 4 . 3 = 12

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5.- Cálculo de porcentajes: resumen

50 % de 300

a) Con lápiz y papel (porcentaje como fracción): 50% de 300 =

100

50.300x

50

300

100

150

b) Como regla de tres: 50% de 300

Total Parte

100 ------ 50

300 ------ x

d) Mentalmente (números que acaban en ceros): 50% de 300 = 50 . 3 = 150

x =

100

50.300

150

c) Con calculadora: 50% de 300 =>

e) Cálculo rápido (sólo en determinados casos): 50% de 300 = 300 : 2 = 150

50 x 300 % = 150

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6.-Problemas de porcentajes 1

Asignaremos nombres a los diferentes elementos que integran el cálculo de un tanto por ciento:

30% de 40 = 12

porcentajetotal

parte

En mi clase, el 40% son chicas. Si en total somos 30, ¿cuántas son las chicas?

(El problema se resuelve hallando el 40% de 30 por cualquiera de los métodos que conocemos)

total : 30

chicas: 40%

40% de 30 = 12 Solución:

12 chicas

A- CÁLCULO DE LA PARTE

PORCENTAJES7.- Problemas de porcentajes 2

En mi clase, de 30 que somos en total, 12 son chicas. ¿Qué porcentaje representan las chicas?

(Lo resolveremos por regla de tres. Y recuerda que el porcentaje es lo que corresponde a 100)

Total Chicas

30 --- 12

100 --- x

x

12

100

30

4030

12.100x

Solución:

40%

Otra forma de resolverlo

Alumnos %

30 ------- 100

12 ------- x

x

100

12

30

4030

100.12x

Solución:

40%

B- CÁLCULO DEL PORCENTAJE

PORCENTAJES8.- Problemas de porcentajes 3

En mi clase hay 12 chicas y representan el 40% del total. ¿Cuántos somos en total?

(Lo resolveremos por regla de tres. Y recuerda que el porcentaje es lo que corresponde a 100)

Total Chicas

100 --- 40

x --- 12

12

40

x

100

3040

12.100x

Solución:

30 alumnos/as


% Alumnos/as

40 ---------- 12

100 --------- x

x

12

100

40

3040

12.100x

Solución:

30 alumnos/as

C- CÁLCULO DEL TOTAL

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9.- Problemas de porcentajes 4

Son problemas en los que algo tiene un valor inicial, aumenta en un porcentaje de su valor y llega a un valor final.

Mi tío gana 1200 € mensuales de sueldo y le van a subir el 12%. ¿Cuánto ganará después de la subida?

1200 + 144 = 1344

Solución:

1344 €


Solución:

1344 €

D- AUMENTO PORCENTUAL

(Si aumenta el 12%, cada 100 de antes se convienten en 112)

Sueldo: 1200 €

Aumento: 12%

12% de 1200 = 144

Sueldo: 1200 €

Aumento: 12% 112% de 1200 = 1344

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10.- Problemas de porcentajes 5

Son problemas en los que algo tiene un valor inicial, disminuye en un porcentaje de su valor y llega a un valor final.

La camiseta que me gusta vale hoy 30 €. Si en rebajas tiene un descuento del 25%. ¿Cuánto me costará entonces?

30 – 7,5 = 22,5

Solución:

22,5 €


Solución:

22,5 €

E- DISMINUCIÓN PORCENTUAL

(Si me descuentan el 25%, pago el 75% del valor)

Precio: 30€

Decuento: 25%

25% de 30 = 7,5

Precio: 30€

Descuento: 25%

75% de 30 = 22,5

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11.- Otros problemas de aumento y disminución porcentual

Mi tío gana 1344 € mensuales de sueldo después de una subida del 12%. ¿Cuánto ganaba antes?Antes Después

100 --- 112

x --- 13441344

112

x

100

112

1344.100x 1200

Solución:

1200 €

He pagado 22,50 € por una camiseta. Si me han descontado el 25%, ¿cuál era el precio antes de la rebaja?

Antes Después

100 --- 75

x --- 22,50

22,50

75

x

100

75

22,50.100x 30

Solución:

30 €

Son problemas en los que se nos pide averiguar el valor inicial conociendo el valor final y el porcentaje de aumento o disminución. Los resolveremos por regla de tres

12.- Ejercicios En unos zapatos de 65 € nos aplican un descuento del 15%. Calcula el precio que pagamos por los zapatos. Solución:

Si nos descuentas el 15% , entonces pagamos el 85%85% de 65 = 0,85 · 65 = 55,25Pagamos por los zapatos 55,25 €.

Total Parte

100 ------ 85

65 ------ x

Ejercicios El precio de una cámara de fotos es de 145 € ya aplicado el 16% de IGV. ¿Cuánto cuesta la cámara sin IGV? Solución:

Precio con IGV = 145 €16% de IGV = 116

El precio de la cámara sin IGV es de 125 €.

Antes Después

100 --- 116

x --- 145

Ejercicios

De los 800 alumnos de un colegio, han ido de viaje 600. ¿Qué porcentaje de alumnos ha ido de viaje? SOLUCION:

De los 800 alumnos de un colegio, han ido de viaje 600. ¿Qué porcentaje de alumnos ha ido de viaje?

800 alumnos --------- 600 alumnos100 alumnos --------- x alumnos

Ejercicios

Una moto cuyo precio era de 5.000 €, cuesta en la actualidad 250 € más. ¿Cuál es el porcentaje de aumento?

SOLUCION:Al adquirir un vehículo cuyo precio es de 8800 €, nos hacen un descuento del 7.5%. ¿Cuánto hay que pagar por el vehículo?100 € ---------- 7.5 €8800 € ---------- x €

Luego: 8800 € − 660 € = 8140 €

Ejercicios

Al adquirir un vehículo cuyo precio es de 8800 €, nos hacen un descuento del 7.5%. ¿Cuánto hay que pagar por el vehículo?

SOLUCION:El precio de un ordenador es de 1200 € sin IGV. ¿Cuánto hay que pagar por él si el IGV es del 16%?100 € ------- 116 €1200 €------- x €

Ejercicios

Al comprar un monitor que cuesta 450 € nos hacen un descuento del 8%. ¿Cuánto tenemos que pagar?

SOLUCION:Al comprar un monitor que cuesta 450 € nos hacen un descuento del 8%. ¿Cuánto tenemos que pagar?

100 € ---------- 92 €450 € ---------- x €

Ejercicios

Se vende un artículo con una ganancia del 15% sobre el precio de costo. Si se ha comprado en 80 €. Halla el precio de venta.

SOLUCION:Se vende un artículo con una ganancia del 15% sobre el precio de costo. Si se ha comprado en 80 €. Halla el precio de venta.100 € --------- 115 € 80 € --------- x €

Ejercicios

Cuál será el precio que hemos de marcar en un artículo cuya compra ha ascendido a 180 € para ganar al venderlo el 10%.

SOLUCION: venta compra

100 € ---------- 90 €x € ---------- 180 €

TALLER DE PORCENTAJESDEFINICIÓN: Porcentaje es una razón de consecuente 100

Ej:

%7575,0100

75

254

253

4

3

El cálculo de % es de proporción directa

Ejemplo

10034

=%34

Razón es comparar dos cantidades por cuociente

econsecuent el es b

eantecedent el es aba

o b:a

Se escribe

PROPORCIÓN DIRECTA

Si los valores de dos variables aumentan proporcionalmente o viceversa, dichas variables son directamente proporcionales.

Ky

x

X e Y las variables, K es la constante

CÁLCULO DE UN %

Calcular el 12,8% de 50Para calcular este porcentaje existen distintas estrategias

Recuerda que un % representa una parte de un todo (una fracción de un entero)

Estrategias 1

• Ocupar el proceso de una proporción directa:

Cantidad %

50 100

x 12,8

P.D

8,12

10050

x

100

8,1250 x

Respuesta:El 12,8% de 50 es 6,4

Estrategia 2Calcularemos el 50% de 12,8

4,62:8,12

4,62

1

1

8,12

2

18,12

Sabemos que el 50% equivale a dividir por 2 la cantidad o multiplicar por

2

1

Estrategia 3

Transformar el % en fracción

El 12,8% de 50 es:

4,6100

640

1

50

100

8,1250

100

8,12

QUÉ % ES UNA CANTIDAD DE OTRA

Cuando conocemos dos cantidades y deseamos determinar qué % representa la primera cantidad con respecto a la segunda cantidad, podemos ocupar los procedimientos ilustrados en los ejemplos siguientes:

Estrategia 1Calcular que % es 3 de 12

%2510012

3

Se divide la primera cantidad por la segunda y luego se multiplica por 100

Estrategia 2

Cantidad %

2,3 x

11,5 100

¿Qué % es 2,3 de 11,5?

1005,11

3,2 x

%205,11

230

5,11

1003,2

x

Ocupando el proceso de proporción directa

DETERMINAR LA CANTIDAD, CONOCIENDO UN % DE ELLA.

Sabemos que el 40% de una cantidad es 500 ¿Cuál es la cantidad?

Cantidad %

500 40

x 100

100

40500

x

40

100500 x

Respuesta:La cantidad es 1250

Método corto

Multiplicas la cantidad dada por 100 y luego el producto obtenido lo divides por el porcentaje dado.

Ejercicios 1 1. El 20% de los estudiantes de la Universidad, que tiene 1200 alumnos, practica deporte. ¿Cuántos estudiantes practican deporte? 2. Si una camiseta, sin el 1% de IGV, cuesta 12,00 cuánto cuesta con IGV? 3. Vamos a calcular el precio de un libro que antes costaba 42,00 soles y ahora tiene el 5% de descuento: 4. En la tele o la radio habrás oído que un Banco ha tenido un 7 por ciento de beneficios. Esto quiere decir que por cada 100 monedas has conseguido 7 más y ahora tiene 107 monedas. El porcentaje de beneficio ha sido el 7 %.

5. En varias épocas del año vemos en los comercios el cartel de rebajas. Si el cartel dice 20 % esto quiere decir que por cada 100 monedas que valga el producto me rebajarán 20 monedas. Si compro un pañuelo que vale 100 monedas, me rebajarán 20 y tendré que pagar ______.

Ejercicios 2 1. En una clase de 25 alumnos. Han aprobado matemática 64%. ¿Cuántos alumnos han jalado?2. Un par de zapatos costaron hasta ayer 36 €. A partir de hoy van a descontar un 10%. ¿Cuánto pagaré por ellos?3. He comprado un libro que lleva el precio de 15 € y a la hora de pagar, el librero me cobra 16,05 €. ¿Se ha equivocado?4. En un bosque el 65% de los árboles que hay son pinos. El número de árboles es de 12000. ¿Cuántos pinos hay?5. Un pantalón sin IGV vale 25€. Si el IGV es 16% ¿Cuánto tengo que pagar por él?6. En un salón de clases el número de hombres equivale al 80% total, si se retiran el 20% de los hombres, ¿Qué porcentaje el resto son mujeres? 7. Para fijar el precio de un artículo se aumentó su costo en 50% del 40% de dicho precio. Si al venderse se hizo rebaja de 10% de este precio fijado, ¿qué tanto por ciento del costo se ganó?

Ejercicios 3 8. El número de artículos que se pueden comprar con una suma de dinero aumentaría en 5, si se variase en 20% el precio de compra de cada artículo. ¿Cuál es dicho numero de artículos? 9. Una persona gasta el 20% de lo que tiene, luego el 30% de lo que le queda y por último gasta el 40% del nuevo resto, quedándose con tan sólo $33600 ¿Cuánto tenía al principio? 10. Un trabajador observa que su salario ha sido descontado en un 20%. ¿Cuál debe ser el porcentaje de aumento para que reciba su salario original? 11. Un comerciante compra una artículo de $8000. ¿Cuál debe ser el precio a que debe fijarlo para que rebajando el 20% de este precio aún gane el 30% del precio de costo? 12. Un comerciante quiere vender un objeto aumentando su precio en un 20%, pero luego de unos días rebaja este precio en un 10% y a la semana nuevamente aumenta el precio recién fijado en una 40%, decidiendo al día siguiente rebajar un 20% de este último precio. ¿Determinar si este comerciante está ganando o perdiendo y en que porcentaje?

Ejercicios 4 13. Una persona ganó dos facturas; por la 1era. Pagó $845000, luego de que le hicieran el 35% de descuento, por la 2da. pagó $1400000 en la cual le recargaron el 12%. ¿Cuánto ahorró o pagó de recargo en total? 14. El número de artículos que se pueden comprar con una suma de dinero aumentaría en 5, si se variase en 20% el precio de compra de cada artículo. ¿Cuál es dicho número de artículos? 15. Para fijar el precio de un artículo se aumentó su costo en 50% del 40% de dicho precio. Si al venderse se hizo una rebaja del 10% de este precio fijado, ¿qué tanto por ciento del costo se ganó? 16. Se vende un artículo con una ganancia del 30% sobre el precio de costo. Si se ha comprado en 180 €. Halla el precio de venta.17. Al adquirir una maquina cuyo precio es de 95000 €, nos hacen un descuento del 9.5%. ¿Cuánto hay que pagar por el vehículo?

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