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PROGRAMACIÓN LINEAL.

Es una parte de la investigación operativa que la podremos aplicar cuando el problema que tratamos se puede traducir a expresiones matemáticas de tipo lineal y que las limitaciones o restricciones que tenga el sistema productivo se pueda también traducir en expresiones matemáticas de tipo lineal. Su empleo es frecuente en aplicaciones de la industria, la economía, la estrategia militar, etc. Un problema de programación lineal tendrá la siguiente forma:

Función Objetivo: Es una expresión matemática lineal que representa el objetivo del problema. Es la expresión que tendremos que maximizar o minimizar.

Función Objetivo:

(Max. ó Min.) Z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn

Ecuaciones o Inecuaciones de Restricción: Expresiones matemáticas, ecuaciones o inecuaciones de tipo lineal que representan las limitaciones del problema.

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn ≤ b1

a21x1 + a22x2 + … + a2nxn >= b2

a31x1 + a32x2 + … + a3nxn ≤ b3

………………………………

am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm

Aunque el problema no lo diga llevara las restricciones:

x1; x2; xn >= 0

Las variables no tomaran valores negativos.

Conceptos propios de la programación Lineal:

Solución Posible: Es cualquier conjunto de valores de la variable que satisface el sistema de ecuaciones de la restricción.

Solución Posible Básica: Es aquella solución posible en la que ninguna variable toma valores negativos.

Solución Básica Posible Degenerada: Solución básica posible en la que al menos una variable toma el valor cero.

Solución Óptima: Es aquella solución básica posible que optimiza a la función objetivo.

ESTRUCTURA DE UN MODELO DE PL

1. FUNCIÓN OBJETIVO Consiste en optimizar el objetivo que persigue una situación la cual es una función lineal de las diferentes actividades del problema, la función objetivo se maximiza o se minimiza

2. VARIABLES DE DECISIÓN. Son las incógnitas del problema, La definición de las variables es el punto clave y básicamente consiste en l0s niveles de todas las actividades que pueden llevarse a cabo en el problema a formular.

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3. RESTRICCIONES ESTRUCUTURALES. Diferentes requisitos que deben cumplir cualquier solución para que pueda llevarse a cabo, dichas restricciones pueden ser de capacidad, mercado, materia prima, calidad, balance de materiales, etc.

4. CONDICIÓN TÉCNICA. Todas las variables deben tomar valores positivos, o en algunos casos puede ser que algunas variables tomen valores negativos

MODELO GENERAL DE PL

OPTIMIZAR Z =

n

jjj xc

1

SUJETO A:

n

jijij mibxa

1

,......,2,1

njx j ,.......,2,10

GRÁFICA DE DESIGUALDADES Y CONTORNOS

Para graficar desigualdades realice los siguientes pasos

1. Gráfica de la igualdad. Convierta la desigualdad en igualdad y grafique la recta2. Escoja un punto de ensayo3. Evalúe el primer miembro de la expresión4. Determine si el punto de ensayo satisface la desigualdad.

Existen varios métodos de solución entre los cuales tenemos el gráfico, el simplex, el algebraico, el dual, etc.

EL MÉTODO GRÁFICO.

El método gráfico es una forma fácil para resolver problemas de Programación Lineal, siempre y cuando el modelo conste de dos variables.  Para modelos con tres o más variables, el método gráfico es imposible.

Consiste en representar geométricamente  las restricciones, condiciones técnicas y función objetivo.

Los pasos necesarios para realizar el método son:

1.  Hallar las restricciones del problema

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2.  Las restricciones de no negatividad  Xi ≥  0 confían todos los valores posibles.

3. Sustituir  ≥ y ≤  por (=) para cada restricción, con lo cual se produce la ecuación de una línea recta.

4.  Trazar la línea recta correspondiente a cada restricción en el plano. La región en cual se encuentra cada restricción, el área correspondiente a cada restricción lo define el signo correspondiente a cada restricción (≥ ó ≤) se evalúa un punto antes y después de la recta trazada, el punto que cumpla con la inecuación indicara el área correspondiente

5. El espacio en el cual se satisfacen las tres restricciones es el área factible

Cada punto situado en la frontera del espacio del área factible, es decir que satisfacen todas las restricciones, representa un punto factible.

6. Las líneas paralelas que representan la función objetivo se trazan mediante la asignación de valores arbitrarios a fin de determinar la pendiente y la dirección en la cual crece o decrece el valor de la función objetivo.

7.  La solución óptima puede determinarse al observar la dirección en la cual aumenta la función objetivo, se procede a graficar la función objetivo, si es un problema de minimización la solución óptima es el primer punto factible que toque la función Z,  y si por lo contrario es un problema de maximización, será entonces el último de los puntos factibles que toque la función Z

Hay principalmente cuatro tipos de problemas, de única solución, múltiples soluciones, solución no acotada y no factible.

CONJUNTO CONVEXO. Un conjunto C es convexo si el segmento rectilíneo que une cualquier par de puntos de C se encuentra totalmente en C

CONJUNTO CONVEXO CONJUNTO NO CONVEXO

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EJEMPLO DEL MÉTODO GRÁFICO

 Una compañía de auditores se especializa en preparar liquidaciones y auditorías de empresas pequeñas. Tienen interés en saber cuántas auditorías y liquidaciones pueden realizar mensualmente para maximizar sus ingresos. Se dispone de 800 horas de trabajo directo y 320 horas para revisión. Una auditoría en promedio requiere de 40 horas de trabajo directo y 10 horas de revisión, además aporta un ingreso de 300 dls. Una liquidación de impuesto requiere de 8 horas de trabajo directo y de 5 horas de revisión, produce un ingreso de 100 dls. El máximo de liquidaciones mensuales disponibles es de 60.

OBJETIVO : Maximizar el ingreso total.

 VARIABLE DE DECISION: Cantidad de auditorías (X1).

Cantidad de liquidaciones (X2).

 RESTRICCIONES : Tiempo disponible de trabajo directo

Tiempo disponible de revisión

Número máximo de liquidaciones.

 

 

Maximizar

Sujeto a:

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La solución óptima siempre se encuentra en uno de los vértices del conjunto de soluciones factibles. Se analizan estos valores en la función objetivo. El vértice que representa el mejor valor de la función objetivo será la solución óptima.

 

 

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VARIABLES DE HOLGURA Y VARIABLES DE EXCEDENTE

Variable de holgura.

Variable agregada al lado izquierdo de una restricción de "menor o igual que" para convertir la restricción en una igualdad. El valor de esta variable comúnmente puede interpretarse como la cantidad de recurso no usado.

6X + 3Y ≤ 12 6X+3Y+h=24

Variable de Excedente.

Variable restada del lado izquierdo de una restricción de "mayor o igual que" para convertir dicha restricción en una igualdad. Generalmente el valor de esta variable puede interpretarse como la cantidad por encima de algún nivel mínimo requerido.

2X + 3Y ≥14 2X+3Y-h =14

Ambos tipos de variables tienen que cumplir con la restricción de NO NEGATIVIDAD

RESTRICCIÓN ACTIVA.

Dada una solución factible, una restricción es activa si al sustituir el valor de las variables se cumple la igualdad. Es decir, para esa solución el valor de la holgura o excedente, según sea el caso es CERO

RESTRICCIÓN INACTIVA.

Dada una solución factible, una restricción es inactiva si al sustituir el valor de las variables no se cumple la igualdad. Es decir, para esa solución el valor de la holgura o excedente, según sea el caso es DIFERENTE A CERO

PROBLEMAS NO ACOTADOS

Hay que distinguir el término “problema no acotado” con el término “conjunto factible no acotado”, éste último se refiere a una región factible en la que al menos una de las variables de decisión puede asumir valores indefinidamente grandes. Si un programa lineal es no acotado, el conjunto factible también debe ser no acotado. Sin embargo, es posible tener un conjunto factible no acotado sin que el problema sea no acotado

Max z= 5000A + 4000B

S.A. A+B >=5

A-3B<=0

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30 A+10B>=135

A , B >=0

Planteamiento del problema

Cuando la región factible no está acotada la única solución que podemos obtener es un mínimo.

- Construimos una tabla con los datos del enunciado

Región factible no acotada

Mayorista A Mayorista B Disponible

Naranjas 8 2 16

Plátanos 1 1 5

Manzanas 2 7 20

Distancia 150 300

- Expresamos con ecuaciones e inecuaciones lineales la información descrita

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- Representamos las restricciones y calculamos los puntos de la región factible

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PROBLEMAS NO FACTIBLES.

Son problemas que tiene un conjunto factible vacío: es decir no existe combinación de valores para las variables de decisión que satisfaga simultáneamente todas las restricciones

EL MÉTODO SIMPLEX

El Método Simplex es un método iterativo que permite ir mejorando la solución en cada paso. La razón matemática de esta mejora radica en que el método consiste en caminar del vértice de un poliedro a un vértice vecino de manera que aumente o disminuya (según el contexto de la función objetivo, sea maximizar o minimizar), dado que el número de vértices que presenta un poliedro solución es finito siempre se hallará solución.El algoritmo Simplex requiere que el Modelo Lineal, para ser solucionado, cumpla las condiciones de Forma Estándar y Sistema Canónico. La Forma Estándar: Incluye a) Una Función Objetivo a optimizar b) Lado derecho de las restricciones con valor positivo c) Variables de decisión no negativas d) Las restricciones deben ser expresadas como igualdades. Para transformar las restricciones en igualdades se deben incorporar las llamadas variables de holgura. Una variable de holgura tiene coeficiente cero en la Función Objetivo. Se suman en restricciones del Tipo ≤ .

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En términos matemáticos, expresan la diferencia entre el lado izquierdo y el lado derecho de las restricciones. Al igual que las variables de decisión deben ser mayores o iguales a cero. En términos del modelo representan la cantidad de recurso no utilizado con relación a un máximo disponible (Parte ociosa de los recursosEl Sistema Canónico En un Modelo Lineal significa que debe existir una variable básica en cada restricción. Esto permite obtener una primera solución posible que satisface todas las restricciones. Una variable básica tiene coeficiente 1 positivo en una restricción y no existe en las demás. Las variables de decisión (estructurales) del modelo y las variables de holgura pueden ser variables básicas. Cuando ninguna de ellas cumple con la condición de ser básica, se incorpora una variable como artificio matemático, para cumplir con el sistema canónico y a esa variable se le llama variable artificial. Una variable artificial debe tener incorporado un coeficiente muy alto en la Función Objetivo, con signo negativo en maximización y con signo positivo en minimización. Con esto se logra que el procedimiento Simplex las elimine de la solución en las primeras iteraciones. Estas variables deben valer cero en la solución óptima del modelo. Una Tabla Simplex es un resumen detallado de toda la información del modelo para trabajar más fácilmente con él. La siguiente tabla expresa cómo deben ser recogidos los datos para resolver el problema de programación líneal por el Método Simplex. Modelo de Tabla Simplex Itereración V.B. Ec. # Coeficientes L.D. Razón

PROCEDIMIENTO PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE POR EL MÉTODO SIMPLEX. FASE I: Preparar el modelo inicial para construir la tabla: 1) Transformar los términos independientes en positivos (multiplicando por -1). 2) Si en alguna restricción, hay un solo proceso que está contenida en ella sola, lo convertiremos en unitario (dividiendo por su coeficiente) y si no lo hago meteré una variable de holgura. 3) En las inecuaciones en las que encontramos ≤ introducimos una variable de holgura sumando. 4) En toda restricción debe haber una variable unitaria positiva. 5) Las variables de holgura, a la hora de introducirlas en la función objetivo lo haremos siempre con coeficiente cero.6) Igualar a cero la función objetivo

Construir la tabla y resolver el algoritmo.

Paso 1: Construir la tabla del método Simplex y rellenamos la tabla con los coeficientes. Comprobamos que las variables básicas tienen un coeficiente de 1 en la intersección de su renglón y columna correspondiente y cero en los demás renglones incluido la función objetivo

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Paso 2: La S.B.F. es óptima, si y sólo si todos los coeficientes del renglón (Z) son no negativos. De lo contrario se debe iterar. En

Paso 3: Si comprobamos que hay coeficientes negativos en el renglón (Z), marcamos el mayor en valor absoluto y esta será la variable no básica que entra a la base. Para determinar la variable básica que sale de la base, divida cada elemento del lado derecho para cada elemento del vector entrante debe ser mayor que cero (POSITIVO) c) Se identifica el renglón con la menor razón La variable básica para este renglón es la que sale y se le da el nombre de renglón pivote. La intersección entre la columna pivote y el renglón pivote lo denominamos número pivote. El patrón de coeficientes en la columna de la variable que entra en la base, debe quedar como actualmente está el patrón de coeficientes de la variable que sale.

Paso 4: Calculamos los nuevos coeficientes de la matriz: a) Coeficientes del renglón de la variable que entra: Dividimos el renglón pivote

entre el número pivote y el resultado serán los coeficientes del nuevo renglón de la variable que entra.

b) Coeficientes de los demás renglones : Dividimos el nuevo renglón de la variable que entra por menos el coeficiente del de la variable que entra en el renglón que estamos calculando y al resultado, le sumamos el renglón que teníamos inicialmente

Paso 5: Construimos la tabla con los resultados.

Paso 6: En la nueva matriz, comprobamos los coeficientes del renglón Z, si todavía existen coeficientes negativos, se sigue iterando, de lo contrario hemos terminado y hallamos la solución óptima.

Exsiten problemas de programación lineal que no proporcionan una solución básica inicial. Esta situación se presenta cuando al menos una de las restricciones es del tipo (<=) o (=). Para este propósito se desarrollan 2 métodos basados en el uso de variables artificiales: El método M o de penalización y la técnica de 2 fases.

METODO M O DE PENALIZACIÓN.

 Los pasos básicos del método M son los siguientes:

 1. Exprese el problema en forma estándar transformando las inecuaciones en ecuaciones introduciendo variables de holgura.

 2. Agregue variables no negativas al lado izquierdo de cada una de las ecuaciones correspondientes a las restricciones de tipo (>=) o (=). Estas variables se denominan variables artificiales y su adición hace que las restricciones correspondientes.

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Esta dificultad se elimina asegurando que las variables sean 0 en la solución final. Esto se logra asignando una penalización muy grande por unidad a estas variables en la función objetivo. Tal penalización se designará como –M para problemas de maximización y +M para problemas de minimización.

 

3. Utiliza las variables artificiales en la solución básica inicial; sin embargo la función objetivo de la tabla inicial se prepara adecuadamente para expresarse en términos de las variables no básicas únicamente. Esto significa que los coeficientes de las variables artificiales en la función objetivo deben ser 0 un resultado que puede lograrse sumando múltiplos adecuados de las ecuaciones de restricción al renglón objetivo.

 

4. Proceda con los pasos regulares del método simplex.

 

MINIMIZACIÓN.

Para resolver problemas de minimización mediante el algoritmo simplex existen dos procedimientos que se emplean con regularidad.

 

- El primero, que a mi juicio es el más recomendable se basa en un artificio aplicable al algoritmo fundamentado en la lógica matemática que dicta que "para cualquier función f(x), todo punto que minimice a f(x) maximizará también a - f(x)". Por lo tanto el procedimiento a aplicar es multiplicar por el factor negativo (-1) a toda la función objetivo.

a continuación se resuelve el algoritmo como un problema de maximización.

- El segundo procedimiento, el cual pretende conservar la minimización consiste en aplicar los criterios de decisión que hemos esbozado con anterioridad, en los casos de la variable que entra, que sale y el caso en el que la solución óptima es encontrada. Aquí recordamos los procedimientos según el criterio dado el caso "minimizar".

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