portafolio de algebra 2

Universidad Politecnica Estatal del Carchi

MODULO DE ALGEBRA Página 1

Universidad Politécnica Estatal del Carchi

ESCUELA DESARROLLO INTEGRAL AGROPECUARIO

MÓDULO DE ALGEBRA

PORTAFOLIO

DIANA K. MONTAÑO L.

Primero A

Ing. Oscar Lomas

05/02/2014



CONTENIDO INTRODUCCIÓN ......................................................................................................................... 4

OBJETIVOS ................................................................................................................................. 5

OBJETIVO GENERAL ............................................................................................................... 5

OBJETIVOS ESPECÍFICOS ........................................................................................................ 5

SILABO ....................................................................................................................................... 6

CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES ..................................................................................... 7

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES ................................................................................. 9

EXPONENTES Y RADICALES ...................................................................................................... 10

EXPONENTES ....................................................................................................................... 10

RADICALES ........................................................................................................................... 11

EXPRESIONES ALGEBRAICAS.................................................................................................... 12

¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN? ................................................................................................... 13

PARTES DE UNA ECUACION ................................................................................................. 14

¡Exponente! ....................................................................................................................... 14

PRODUCTOS NOTABLES .......................................................................................................... 15

Binomio de resta al cubo ..................................................................................................... 16

Trinomio al cuadrado .......................................................................................................... 16

Diferencia de cubos ............................................................................................................. 16

Producto de dos binomios que tienen un término común .................................................. 16

FACTORIZACIÓN ...................................................................................................................... 17

Factorización por factor común. ......................................................................................... 17

Factorización de una diferencia de cuadros. ....................................................................... 17

Factorización de un cuadrado perfecto ............................................................................... 17

Factorización de una suma o diferencia de cubos ............................................................... 17

Factorización de cubos perfectos de binomios. .................................................................. 17

FACTORIZACIÓN POR AGRUPAMIENTO. ................................................................................. 18

ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO ......................................................................... 19

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES ....................................................................................... 19

TRANSFORMACIONES LINEALES .......................................................................................... 21

ECUACIONES CUADRÁTICAS O DE SEGUNDO GRADO ............................................................. 23



INECUACIONES ........................................................................................................................ 25

INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA ..................................................... 26

INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA ................................................. 28

PROGRAMACIÓN LINEAL ......................................................................................................... 32

II. DATOS BÁSICOS DEL MÓDULO “ALGEBRA”: ...................................................................... 37

III. RUTA FORMATIVA DEL PERFIL ........................................................................................... 40

IV. METODOLOGÍA DE FORMACIÓN DEL PERFIL: .................................................................... 43

V. PLANEACIÓN DE LA EVALUACIÓN DEL MÓDULO ................................................................ 48

VII. Bibliografía. ...................................................................................................................... 53



INTRODUCCIÓN

El álgebra es el nombre que identifica a una rama de la Matemática que

emplea números, letras y signos para poder hacer referencia a múltiples

operaciones aritméticas. El término tiene su origen en el latín algebra, el cual,

a su vez, proviene de un vocablo árabe que se traduce al español

como “reducción” o “cotejo”.

Hoy entendemos como álgebra al área matemática que se centra en las

relaciones, estructuras y cantidades. La disciplina que se conoce como

álgebra elemental, en este marco, sirve para llevar a cabo operaciones

aritméticas (suma, resta, multiplicación, división) pero que, a diferencia de la

aritmética, se vale de símbolos (a, x, y) en lugar de utilizar números. Esto

permite formular leyes generales y hacer referencia a números desconocidos

(incógnitas), lo que posibilita el desarrollo de ecuaciones y el análisis

correspondiente a su resolución. El álgebra elemental postula distintas leyes

que permiten conocer las diferentes propiedades que poseen las operaciones

aritméticas.

Por ejemplo, la adición (a + b) es conmutativa (a + b = b + a), asociativa,

tiene una operación inversa (la sustracción) y posee un elemento neutro (0).

Algunas de estas propiedades son compartidas por distintas operaciones; la

multiplicación, por ejemplo, también es conmutativa y asociativa.

http://definicion.de/signos



OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL

Recopilar la información otorgada por el docente referente al

cronograma de estudio en el módulo de algebra, para tener constancia

del trabajo realizado en el transcurso de todo el semestre y que esta

información nos sirva como guía de estudio.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Construir el portafolio estudiantil.

Comprender la información obtenida para adquirir nuevos

conocimientos referentes a cada uno de los temas.

Recolectar la información de manera grupal para que el trabajo sea

productivo.



SILABO

I. DIRECCIONAMIENTO ESTRATÉGICO

UPEC – MISIÓN MISIÓN – ESCUELA

“Formar profesionales

humanistas, emprendedores y

competentes, poseedores de

conocimientos científicos y

tecnológicos; comprometida

con la investigación y la

solución de problemas del

entorno para contribuir con el

desarrollo y la integración

fronteriza”

La Escuela de Desarrollo Integral

Agropecuario contribuye al desarrollo

Provincial, Regional y Nacional, entregando

profesionales que participan en la producción,

transformación, investigación y dinamización

del sector agropecuario y agroindustrial,

vinculados con la comunidad, todo esto con

criterios de eficiencia y calidad

UPEC – VISIÓN VISIÓN – ESCUELA

Ser una Universidad

Politécnica acreditada por su

calidad y posicionamiento

regional

Liderar a nivel regional el proceso de

formación y lograr la excelencia académica

generando profesionales competentes en

Desarrollo Integral Agropecuario, con un

sólido apoyo basado en el profesionalismo y

actualización de los docentes, en la

investigación, criticidad y creatividad de los

estudiantes, con una moderna infraestructura

que incorpore los últimos adelantos

tecnológicos, pedagógicos y que implique un

ejercicio profesional caracterizado por la

explotación racional de los recursos

naturales, producción limpia, principios de

equidad, participación, ancestralidad, que den

seguridad y consigan la soberanía alimentaria



CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES

Ciertos conjuntos de números tienen nombres especiales. Los números 1,2,3

y así sucesivamente , forman el conjunto de los números enteros positivos o

números naturales.

Conjunto de los enteros positivos = (1, 2,3…)

Los enteros positivos junto con el cero, y los enteros negativos-1,-2,-3……

forman el conjunto de los enteros.

Conjunto de enteros = (…,-3,-2,-1, 0, 1, 2,3,…)

El conjunto de los números racionales consiste en números como

y

, que

pueden escribirse como una razón (cociente) de dos enteros. Esto es, un

numero racional es aquél que puede escribirse como

donde p y q son

enteros y q ≠ 0. El entero 2 es racional puesto que 2 =

. De hecho todo

entero es racional.

Los números que se representan mediante decimales no periódicos que

terminan se conocen como números irracionales. Los números y√ son

ejemplos de números irracionales. Junto, los números racionales y los

números irracionales forman el conjunto de los números reales.

Los números reales pueden representarse por puntos en una recta. Primeros

se selecciona un punto de la recta para representar el cero. Las posiciones a

la derecha del origen se consideran positivas y las de la izquierda negativas



PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES

Propiedad transitiva de igualdad.-Dos números iguales a un tercer número

son iguales entre sí.

Propiedad de cerradura de la suma y la multiplicación.- Dos números

pueden sumarse o multiplicarse y el resultado en cada caso es un número

real.

Propiedad conmutativa de la suma y la multiplicación.- Dos números

pueden sumarse y multiplicarse en cualquier orden.

Propiedad asociativa de la suma y la multiplicación.- En la suma o en la

multiplicación, los números pueden agruparse en cualquier orden.

( ) ( ) ( ) ( )

Propiedad de la identidad.- existen números reales denotados 0 y 1 tales

que para todo número real a.

Propiedad del inverso.- Para cada número real a, existe un único número

real denotado poa –a

( )

Propiedad distributiva.- establece que multiplicar una suma por un número

da el mismo resultado que multiplicar cada sumando por el número y después

sumar todos los productos.

( ) ( )



EXPONENTES Y RADICALES

EXPONENTES Un exponente es un valor índice que me indica el número de veces que se va

a multiplicar otro valor conocido como base. El exponente se coloca arriba y a

la derecha del valor base. Por ejemplo:

b es el valor base y -5 es el exponente

-2 es el valor base y 7 es el exponente

Leyes de los exponentes

( )( )

( )

(

)

(

)

(

)



RADICALES

La radicación es la operación inversa a la potenciación. Se llama raíz enésima

de un número “x” a otro número “y”, que elevado a la “n” da como resultado

“x”.

√

n = índice

x = radicando

y = raíz

√ =signo radical

Leyes radicales

√

√

√

√ √

√

√

√

√√

√

√

( √ )



EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Se llama a un conjunto de letras y números ligados por los signos de las

operaciones aritméticas.

Monomio: Se llama monomio a la expresión algebraica que tiene un solo

término.

Ejemplos de expresiones algebraicas de un solo término:

Binomio: Se llama binomio a la expresión algebraica que tiene dos términos.

Ejemplos de expresiones algebraicas de dos términos:

Trinomio: Se llama trinomio a la expresión algebraica que tiene tres términos.

Ejemplo:

Las expresiones algebraicas que contienen más de tres términos se

llaman Polinomios.



Suma o adición.- es una operación que tiene por objeto reunir dos o más

expresiones algebraicas en una sola expresión algebraica.

Resta o sustracción.- se escribe el minuendo con sus propios signos y a

continuación el sustraendo con los signos cambiados y se reducen los

términos semejantes.

Multiplicación.- se multiplica el monomio por cada uno de los términos del

polinomio, teniendo en cuenta en cada caso la regla de los signos , y se

separan los productos parciales con sus propios signos.

División.- se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio

separando los cocientes parciales con sus propios signos.

¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN?

Una ecuación dice que dos cosas son iguales. Tendrá un signo de igualdad

"=", por ejemplo:

X + 2 = 6

Lo que esta ecuación dice: lo que está a la izquierda (x + 2) es igual que lo

que está en la derecha (6)

Así que una ecuación es como una afirmación "esto es igual a aquello"



PARTES DE UNA ECUACION

Para que la gente pueda hablar de ecuaciones, hay nombres para las

diferentes partes (¡mejor que decir "esta cosa de aquí"!) Aquí tienes una

ecuación que dice 4x-7 es igual a 5, y todas sus partes:

Una variable es un símbolo para un número

que todavía no conocemos. Normalmente es

una letra como x o y.

Un número solo se llama una constante.

Un coeficiente es un número que está

multiplicando a una variable (4x significa 4

por x, así que 4 es un coeficiente)

Un operador es un símbolo (como +, ×, etc)

que representa una operación (es decir, algo

que quieres hacer con los valores).

Un término es o bien un número o variable

solo, o números y variables multiplicados

juntos.

Una expresión es un grupo de términos (los

términos están separados por signos + o -)

Ahora podemos decir cosas como "esa expresión sólo tiene dos términos", o

"el segundo término es constante", o incluso "¿estás seguro de que el

coeficiente es 4?"

¡Exponente!

Elexponente (como el 2 en x2) dice cuántas veces usar el

valor en una multiplicación.

Ejemplos:

82 = 8 × 8 = 64

y3 = y × y × y

y2z = y × y × z



PRODUCTOS NOTABLES

Binomio de suma al cuadrado

Un binomio al cuadrado (suma) es igual es igual al cuadrado del primer

término, más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado

segundo.

(a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b2

(X + 3)2 = x 2 + 2 · x ·3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9

Binomio de resta al cuadrado

Un binomio al cuadrado (resta) es igual es igual al cuadrado del primer

término, menos el doble producto del primero por el segundo, más el

cuadrado segundo.

(a − b)2 = a2 − 2 · a · b + b2

(2x − 3)2 = (2x)2 − 2 · 2x · 3 + 3 2 = 4x2 − 12 x + 9

Suma por diferencia

Una suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados.

(a + b) · (a − b) = a2 − b2

(2x + 5) · (2x - 5) = (2 x)2 − 52 = 4x2 − 25

Binomio al cubo

Binomio de suma al cubo

Un binomio al cubo (suma) es igual al cubo del primero, más el triple del

cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el

cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.

(a + b)3 = a3 + 3 · a2 · b + 3 · a · b2 + b3

(x + 3)3 = x 3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x· 32 + 33 =

= x 3 + 9x2 + 27x + 27



Binomio de resta al cubo Un binomio al cubo (resta) es igual al cubo del primero, menos el triple del

cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el

cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo.

(a − b)3 = a3 − 3 · a2 · b + 3 · a · b2 − b3

(2x - 3)3 = (2x)3 - 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x· 32 - 33 =

= 8x 3 - 36 x2 + 54 x - 27

Trinomio al cuadrado

Un trinomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el cuadrado del

seguno, más el cuadrado del tercero, más el doble del primero por el

segundo, más el doble del primero por el tercero, más el doble del segundo

por el tercero.

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c

(x2 − x + 1)2 =

= (x2)2 + (−x)2 + 12 +2 · x2 · (−x) + 2 x2 · 1 + 2 · (−x) · 1 =

= x4 + x2 + 1 − 2x3 + 2x2 − 2x =

= x4 − 2x3 + 3x2 − 2x + 1

Suma de cubos

a3 + b3 = (a + b) · (a2 − ab + b2)

8x3 + 27 = (2x + 3) (4x2 - 6x + 9)

Diferencia de cubos a3 − b3 = (a − b) · (a2 + ab + b2)

8x3 − 27 = (2x − 3) (4x2 + 6x + 9)

Producto de dos binomios que tienen un término común (x + a) (x + b) = x2 + ( a + b) x + ab

(x + 2) (x + 3) =

= x2 + (2 + 3)x + 2 · 3 =

= x2 + 5x + 6



FACTORIZACIÓN Con frecuencia se necesita expresar o transformar a un polinomio dado en el

producto de dos o más polinomios de menor grado .este proceso se llama

factorización y nos permite transformar polinomios complejos en el producto

de polinomios simples.

Factorización por factor común. Cuando en los diversos términos de un polinomio participa un mismo factor,

se dice que se le saca como factor común, para lo cual, se escribe e

inmediatamente, después, dentro de un paréntesis se anotan los cocientes

que resulten de dividir cada uno de los términos del polinomio entre el factor

común.

( )

( )

Factorización de una diferencia de cuadros.

Se sabe que: ( )( ); por lo tanto una diferencia de

cuadrados, es igual al producto de dos binomios conjugados.

( )( )

Factorización de un cuadrado perfecto Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto, una vez que ha sido

identificado como tal, con apoyo de los productos notables, se extrae raíz

cuadrada al primero y tercer término del trinomio separándose estas raíces

por medio del signo del segundo término y elevando este binomio al

cuadrado:

( )( )

Factorización de una suma o diferencia de cubos

Se sabe que: ( )( ) ( )( )

Factorización de cubos perfectos de binomios. ( ) ( )



FACTORIZACIÓN POR AGRUPAMIENTO.

Algunas veces en un polinomio os términos no contienen ningún factor

común, pero pueden ser separados en grupos de términos con factor común.

Este método consiste en formar grupos, los más adecuados, para factorizar

Comenzamos con la siguiente situación: Cada uno como más convenga en cada caso y lograr finalmente la

factorización total de la expresión.

( ) ( ) ( )( )

FACTORIZACIÓN DE UN TRIN0MIO DE LA FORMA

( )( )

( )( )



ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO

El objetivo de esta unidad es repasar las ecuaciones lineales o de primer grado y resuelve ecuaciones lineales por medio de propiedades. También resolveremos problemas donde se plantean ecuaciones lineales con una incógnita. Para ello veremos ejemplos de ecuaciones, cómo resolverlas y cómo traducirlas al lenguaje simbólico.

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales que podemos escribir de forma tradicional así:

Un sistema así expresado tiene "m" ecuaciones y "n" incógnitas, donde aij son números reales, llamados coeficientes del sistema, los valores bm son números reales, llamados términos independientes del sistema, las incógnitas xj son las variables del sistema, y la solución del sistema es un conjunto ordenado de números reales (s1, s2, ..., sn) tales que al sustituir las incógnitas x1, x2, ... , xn por los valores s1, s2, ..., sn se verifican a la vez las "m" ecuaciones del sistema.

Este mismo sistema de ecuaciones lineales en notación matricial tiene esta forma:



Llamamos matriz del sistema a la matriz de dimensión m×n formada por los coeficientes del sistema, y la designamos por A.

Designamos por X a la matriz columna formada por las incógnitas. Denotamos por B a la matriz columna formada por los términos

independientes.

y llamamos matriz ampliada de dimensión m×(n+1) a la matriz que se obtiene al añadir a la matriz del sistema (= matriz de coeficientes) la columna de los términos independientes, y la denotamos por A*, es decir

Si representamos cada matriz con una única letra obtenemos:

Ax = b,

Donde A es una matriz m por n, x es un vector columna de longitud n y b es otro vector columna de longitud m. El sistema anteriormente mencionado de eliminación de Gauss-Jordán se aplica a este tipo de sistemas, sea cual sea el cuerpo del que provengan los coeficientes.

Si el cuerpo es infinito (como es el caso de los números reales o complejos), entonces solo puede darse una de las tres siguientes situaciones:

el sistema no tiene solución (en dicho caso decimos que el sistema está sobre determinado o que es incompatible)

el sistema tiene una única solución (el sistema es compatible determinado)

el sistema tiene un número infinito de soluciones (el sistema es compatible indeterminado).

La ecuación 2x - 3 = 0 se llama ecuación lineal de una variable. Obviamente sólo tiene una solución.

La ecuación -3x + 2y = 7 se llama ecuación lineal de dos variables. Sus soluciones son pares ordenados de números. Tiene infinitas soluciones que se obtienen despejando una variable y dando valores cualesquiera a la otra.

La ecuación x - 2y + 5z = 1 se llama ecuación lineal de tres variables. Sus soluciones son ternas ordenadas de números. Tiene infinitas soluciones que se obtienen despejando una variable y dando valores cualesquiera a las otras dos.

http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_%28matem%C3%A1ticas%29

http://es.wikipedia.org/wiki/Cuerpo_%28matem%C3%A1ticas%29

http://es.wikipedia.org/wiki/Infinito

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo



En general, una ecuación lineal de "n" variables es del tipo :

Las soluciones son las secuencias de números s1, s2, s3, ..., sn que hacen verdadera la igualdad [1]

Si los coeficientes valen 0 y el término independiente no, la ecuación se llama incompatible. No tiene solución y también se denomina ecuación imposible, proposición falsa o igualdad absurda.

Si los coeficientes y el término independiente son nulos, se dice que la ecuación es una identidad.

TRANSFORMACIONES LINEALES

Una transformación lineal es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector. En ocasiones trabajar con vectores es muy sencillo ya que pueden ser fácilmente interpretados dentro de un contexto gráfico, lamentablemente no siempre ocurre y es necesario transformar a los vectores para poderlos trabajar más fácilmente.

Por otra parte, trabajar con sistemas lineales es mucho más sencillo que con sistemas no lineales, ya que se puede utilizar una técnica llamada superposición, la cual simplifica de gran manera gran variedad de cálculos, por lo que es de gran interés demostrar que un proceso puede ser reducido a un sistema lineal, lo cual solo puede lograrse demostrando que estas operaciones forman una transformación lineal.

Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación lineal a toda aplicación cuyo dominio y condominio sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones:

Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo campo K, y T una función de V en W. T es una transformación lineal si para cada par de vectores de u y v pertenecientes a V y para cada escalar k perteneciente a K, se satisface que:

http://es.wikipedia.org/wiki/Vector_%28f%C3%ADsica%29

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial



Los sistemas de ecuaciones lineales son ecuaciones que tienen n incógnitas,

las cuales podemos representar en una notación matricial, se puede utilizar

una técnica llamada superposición, la cual simplifica de gran manera gran

variedad de cálculos, por lo que es de gran interés demostrar que un proceso

puede ser reducido a un sistema lineal, lo cual solo puede lograrse

demostrando que estas operaciones forman una transformación lineal.

A partir de una ecuación lineal podemos hacerle las transformaciones lineales para tener como resultado escalares.



ECUACIONES CUADRÁTICAS O DE SEGUNDO GRADO Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es una ecuación

polinómica donde el mayor exponente es igual a dos. Normalmente, la

expresión se refiere al caso en que sólo aparece una incógnita y que se

expresa en la forma canónica:

donde a es el coeficiente cuadrático o de segundo grado y es siempre distinto

de 0, b el coeficiente lineal o de primer grado y c es el término independiente.

Expresada del modo más general, una ecuación cuadrática en es de la forma:

con n un número natural y a distinto de cero. El caso particular de esta

ecuación donde n = 2 se conoce como ecuación cuadrática

Las ecuaciones de segundo grado aquellas en las que la incógnita aparece al

menos una vez elevada al cuadrado (x2). Por ejemplo: 3x2 - 3x = x - 1.

Pasemos al primer miembro de la ecuación todos los términos de forma que

en el segundo miembro quede 0. Obtenemos:

3x2 - 4x + 1 = 0, que es la forma en que deberemos expresar todas las

ecuaciones de segundo grado para resolverlas.

En muchos casos, una vez conseguida esta forma, la ecuación se puede

simplificar, lo cual es muy conveniente.

http://3.bp.blogspot.com/_GHnh3ILnSo4/StBJleWv7hI/AAAAAAAACas/VTO1f_7cL0c/s1600-h/0.1.JPG

http://4.bp.blogspot.com/_GHnh3ILnSo4/StBJxYFwdVI/AAAAAAAACa0/LFFrtoso3m8/s1600-h/0.2.JPG



EJEMPLOS:

1.

2.

3.

Si es a < 0, multiplicamos los dos miembros por (−1).



INECUACIONES

Las inecuaciones son desigualdades algebraicas en la que sus dos

miembros se relacionan por uno de estos signos:

< menor que 2x − 1 <

7

≤ menor o igual

que

2x − 1 ≤

7

> mayor que 2x − 1 >

7

≥ mayor o igual

que

2x − 1 ≥

7

La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la variable

que la verifica.

La solución de la inecuación se expresa mediante:

1. Una representación gráfica.

2. Un intervalo.

2x − 1 < 7

2x < 8 x < 4

(-∞, 4)



INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA

Para resolverlas se siguen los mismos pasos que en las ecuaciones de

primer grado con una incógnita:

Quitar paréntesis.

Quitar denominadores.

Agrupar términos semejantes a ambos lados de la desigualdad.

Despejar la incógnita.

En este último paso hay que tener en cuenta una propiedad de las

desigualdades: “Si se multiplican los dos miembros de una desigualdad por

un número negativo cambia el sentido de la misma”.

La solución de una inecuación de este tipo puede ser:

Un conjunto de números reales que se suele expresar en forma de

intervalo.

Cualquier número real.

Ningún número real. Entonces se dice que no tiene solución.

La solución es uno de los semiplanos que resulta de representar la ecuación

resultante, que se obtiene al transformar la desigualdad en una igualdad.

2x + y ≤ 3

1º Transformamos la desigualdad en igualdad.

2x + y = 3

2º Damos a una de las dos variables dos valores, con lo que obtenemos dos

puntos.

x = 0; 2 · 0 + y = 3; y = 3; (0, 3)

x = 1; 2 · 1 + y = 3; y = 1; (1, 1)

3º Al representar y unir estos puntos obtenemos una recta.



4º Tomamos un punto, por ejemplo el (0, 0), los sustituimos en la

desigualdad. Si se cumple, la solución es el semiplano donde se

encuentra el punto, si no la solución será el otro semiplano.

2x + y ≤ 3

2 · 0 + 0 ≤ 3 0 ≤ 3 Sí

2x + y > 3

2 · 0 + 0 > 3 0 > 3 No



INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA

Una inecuación de segundo grado se expresa de forma general de una de las

siguientes formas:

ax 2 + bx + c > 0

ax 2 + bx + c ≥ 0

ax 2 + bx + c < 0

ax 2 + bx + c ≤ 0

Una inecuación de segundo grado es una inecuación en donde encontramos

números, una variable (que llamaremos x) que esta vez la podemos encontrar

multiplicándose a ella misma, y un símbolo de desigualdad..

Un ejemplo de inecuación de segundo grado podría ser:

2x2−x<2x−1

Donde podemos observar que el término 2x2 es el término cuadrático,

característico de las inecuaciones de segundo grado, ya que si éste no

estuviera, tendríamos una inecuación de primer grado.

Para resolver una inecuación de segundo grado usaremos un método

compuesto por una serie de pasos a seguir.

Una de las cosas que se nos hará falta para este método es la fórmula de

resolución de ecuaciones de segundo grado que recordamos a continuación:

Dada la ecuación de segundo grado: ax2+bx+c=0, las soluciones vienen

dadas por la fórmula: x+=−b+b2−4ª √2ax−=−b−b2−4ac √2a

Puede ser que tengamos dos, una o ninguna solución en función del valor

de b2−4ac √ (para más información consultar el tema de ecuaciones de

segundo grado).

Método a seguir para la resolución:

Dada la inecuación, hacerle los cambios adecuados hasta dejar un cero en

uno de los lados de la inecuación, consiguiendo una expresión del



tipo: ax2+bx+c<0 o ax2+bx+c>0 donde los valores b y c son números reales

que pueden ser positivos o negativos y incluso cero y a es un valor positivo.

En caso de encontrar un valor de a negativo, multiplicaremos por (−1) toda la

inecuación, cambiando así el signo de a (y en consecuencia, el signo de los

demás términos y el orden de la desigualdad).

Buscaremos las soluciones de la ecuación ax2+bx+c=0, inducida por la

inecuación ax2+bx+c<0 o ax2+bx+c>0.

Puede ser que tengamos tres opciones:

Si no tenemos soluciones de la ecuación, debemos separar dos casos:

Si ax2+bx+c>0: La solución es cualquier valor real: todos los números

cumplen la inecuación.

Si ax2+bx+c<0: Ningún valor de x cumple la inecuación, por lo tanto, la

inecuación no tiene solución.

Si nos dibujamos la gráfica de y=ax2+bx+c observaremos que no corta el eje

X, ya que la ecuación no tiene soluciones. Al ser además el valor

de a positivo, toda la gráfica se encuentra por encima del eje X, con

valores y positivos, por lo tanto, si la inecuación tiene signo mayor que (o

mayor o igual que), cualquier punto es solución de la inecuación, y si tiene

signo menor que (o menor o igual que), ningún punto será solución.

Si teníamos la inecuación ax2+bx+c>0, y realizamos el procedimiento:

ax2+bx+c>0⇒(x−x1)2>0⇒(x−x1)(x−x1)>0

⇒{(x−x1)<0⇒x<x1(x−x1)>0⇒x>x1

Hemos de considerar los dos últimos casos válidos ya que un producto de dos

números es positivo si éstos dos son a la vez positivos o negativos.

Así que la solución de la inecuación serán los x que

Cumplan x<x1 y x>x1 donde x1 es la solución de la ecuación ax2+bx+c=0.



En caso que tuviéramos una desigualdad del tipo ax2+bx+c⩾0, aparte de las

mismas soluciones que considerábamos antes, añadiríamos la solución x1 y

el resultado sería tener como región solución toda la recta real.

Si teníamos la inecuación ax2+bx+c<0, haremos:

ax2+bx+c<0⇒(x−x1)2<0⇒ No tenemos solución

Ya que un número elevado al cuadrado siempre será positivo, y estamos

exigiendo que sea negativo.

En caso que tuviéramos una desigualdad del tipo ax2+bx+c⩽0, sí tendríamos

una solución: justamente la solución de la ecuación x1.

Si tenemos dos soluciones, x1 y x2, considerando además que x1<x2,

haremos el siguiente procedimiento:

(Recordemos que el valor de a siempre es positivo)

Si ax2+bx+c>0:

ax2+bx+c>0⇒(x−x1)(x−x2)>0⇒

⇒{a) (x−x1)>0 y (x−x2)>0b) (x−x1)<0 y (x−x2)<0

⇒{a) x>x1 y x>x2b) x<x1 y x<x2

Y como hemos supuesto que x1<x2, nos quedamos con las

desigualdades x<x2 y x<x1.

Si ax2+bx+c<0:

ax2+bx+c<0⇒(x−x1)(x−x2)<0⇒

⇒{a) (x−x1)>0 y (x−x2)<0b) (x−x1)<0 y (x−x2)>0

⇒{a) x>x1 y x<x2b) x<x1 y x>x2

y como hemos supuesto que x1<x2, nos quedamos con las

desigualdades x<x2 y x<x1.

Una vez hayamos encontrado la región donde se cumple la inecuación, ya

hemos terminado.



Recordad que en el algoritmo de resolución solo hemos empleado

desigualdades estrictas (menor que, mayor que), pero el mismo razonamiento

sirve para desigualdades del tipo mayor o igual que y menor o igual que.

EJEMPLOS

x2+x+2>−1−x

Resolución:

x2+x+2>−1−x⇒x2+2x+1>0

Encontramos las soluciones de la ecuación x2+2x+1=0:

x=−2±4−4 √2=−1

Hay una única solución.

Siguiendo el esquema que hemos dado, la solución es x<−1 y x>−1, es decir,

todos los puntos menos −1.

x2+2<−1−2x

Resolución:

x2+2<−1−2x⇒x2+2x+1<0

Encontramos las soluciones de la ecuación x2+2x+1=0:

x=−2±4−4 √2=−1

Hay una única solución.

Siguiendo el esquema que hemos dado, no tenemos soluciones posibles.

−x(x−1)−x<−1

Resolución:

−x(x−1)−x<−1⇒−x2+x−x+1<0⇒−x2+1<0⇒x2−1>0

Encontramos las soluciones de la ecuación x2−1=0: x=±1

Como tenemos dos soluciones, la solución del problema (siguiendo las

indicaciones) es x<−1 y x>1.



PROGRAMACIÓN LINEAL

La programación lineal es un conjunto de técnicas racionales de análisis y

de resolución de problemas que tiene por objeto ayudar a los responsables

en las decisiones sobre asuntos en los que interviene un gran número de

variables.

El nombre de programación lineal no procede de la creación de programas

de ordenador, sino de un término militar, programar, que significa 'realizar

planes o propuestas de tiempo para el entrenamiento, la logística o el

despliegue de las unidades de combate'.

Aunque parece ser que la programación lineal fue utilizada por G. Monge en

1776, se considera a L. V. Kantoróvich uno de sus creadores. La presentó

en su libro Métodos matemáticos para la organización y la producción (1939)

y la desarrolló en su trabajo Sobre la transferencia de masas (1942).

Kantoróvich recibió el premio Nobel de economía en 1975 por sus

aportaciones al problema de la asignación óptima de recursos humanos.

La investigación de operaciones en general y la programación lineal en

particular recibieron un gran impulso gracias a los ordenadores. Uno de

momentos más importantes fue la aparición del método del simplex. Este

método, desarrollado por G. B. Dantzig en 1947, consiste en la utilización de

un algoritmo para optimizar el valor de la función objetivo teniendo en cuenta

las restricciones planteadas. Partiendo de uno de los vértices de la región

factible, por ejemplo el vértice A, y aplicando la propiedad: si la función

objetivo no toma su valor máximo en el vértice A, entonces existe una arista

que parte del vértice A y a lo largo de la cual la función objetivo aumenta. se

llega a otro vértice.

El procedimiento es iterativo, pues mejora los resultados de la función

objetivo en cada etapa hasta alcanzar la solución buscada. Ésta se

encuentra en un vértice del que no parta ninguna arista a lo largo de la cual

la función objetivo aumente.



Los modelos de Programación Lineal por su sencillez son frecuentemente

usados para abordar una gran variedad de problemas de naturaleza real en

ingeniería y ciencias sociales, lo que ha permitido a empresas y

organizaciones importantes beneficios y ahorros asociados a su utilización.

La programación lineal estudia las situaciones en las que se exige maximizar

o minimizar funciones que se encuentran sujetas a determinadas limitaciones,

que llamaremos restricciones.

Función objetivo

La programación lineal consiste en optimizar (maximizar o

minimizar) una función objetivo, que es una función lineal de varias variables:

f(x,y) = ax + by.

Restricciones

La función objetivo está sujeta a una serie de restricciones, expresadas

por inecuaciones lineales:

a1x + b1y ≤ c1

a2x + b2y ≤c2

... ... ...

anx + bny ≤cn

Cada desigualdad del sistema de restricciones determina un semiplano.



Solución factible

El conjunto intersección, de todos los semiplanos formados por las

restricciones, determina un recinto, acotado o no, que recibe el nombre

de región de validez o zona de soluciones factibles.

Solución óptima

El conjunto de los vértices del recinto se denomina conjunto de soluciones

factibles básicas y el vértice donde se presenta lasolución óptima se

llama solución máxima (o mínima según el caso).



Valor del programa lineal

El valor que toma la función objetivo en el vértice de solución óptima se

llama valor del programa lineal.

Pasos para resolver un problema de programación lineal

1. Elegir las incógnitas.

2. Escribir la función objetivo en función de los datos del problema.

3. Escribir las restricciones en forma de sistema de inecuaciones.

4. Averiguar el conjunto de soluciones factibles representando gráficamente

las restricciones.

5. Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de soluciones factibles

(si son pocos).

6. Calcular el valor de la función objetivo en cada uno de los vértices para ver

en cuál de ellos presenta el valor máximo o mínimo según nos pida el

problema (hay que tener en cuenta aquí la posible no existencia de solución si

el recinto no está acotado).

Ejemplo de programación lineal

Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas

deportivas.

El fabricante dispone para la confección de 750 m de tejido de algodón y 1000

m de tejido de poliéster. Cada pantalón precisa 1 m de algodón y 2 m de

poliéster. Para cada chaqueta se necesitan 1.5 m de algodón y 1 m de

poliéster.

El precio del pantalón se fija en 50 € y el de la chaqueta en 40 €.



3 .Restricciones

Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:

pantalones chaquetas disponible

algodón 1 1,5 750

poliéster 2 1 1000

x + 1.5y ≤ 750 2x+3y≤1500

2x + y ≤ 1000

Como el número de pantalones y chaquetas son números naturales,

tendremos dos restricciones más:

x ≥ 0

y ≥ 0



II. DATOS BÁSICOS DEL MÓDULO “ALGEBRA”:

CÓDIGO NIVEL PRIMERO

DOCENTE: Oscar René Lomas Reyes Ing.

TELEFONO: 0986054587 062-932310 e-mail: [email protected]

[email protected]

CRÉDITOS T 1 CRÉDITOS P 2 TOTAL CRÉDITOS 3

HORAS T 16 HORAS P 32 TOTAL HORAS 48

PRE-REQUISITOS:(Módulos obligatorios que DEBEN estar aprobados antes de éste módulo) CÓDIGOS

1. Nivelación Aprobada

CO-REQUISITOS:(Módulos obligatorios que TIENEN que aprobar en paralelo a éste módulo) CÓDIGOS

mailto:[email protected]

mailto:[email protected]



1. Física Aplicada 1

EJE DE FORMACIÓN:(En la malla ubicado en un eje con un nombre) PROFESIONAL

ÁREA DE FORMACIÓN:(En la malla agrupado con un color y un nombre) Agrícola

LIBRO(S)BASE DEL MÓDULO:(Referencie con norma APA el libro, físico o digital, disponible en la UPEC para estudio )

Haeussler, E. (2008). Matemáticas para Administración y Economía, Décima segunda edición: México

LIBRO(S)REFERENCIAL/COMPLEMENTARIO DEL MÓDULO:(Referencie con norma APA el libro, físico o digital, disponible en la UPEC para estudio)

Snut S. y otros (2012). Matemáticas para el análisis económico. Segunda edición: Madrid España.

Escudero R. y otros. (2011). Matemáticas Básicas. Segunda edición: Colombia

Soler F. y otros. (2009). Fundamentos de Matemáticas. Tercera edición: Colombia.

Pullas G. (2011). Matemática básica. Primera edición: Ecuador.

SánchezA. (2012). Desarrollo del Pensamiento. Editorial Imprenta Mariscal, Edición Primera, Ecuador.



http://www.sectormatematica.cl /libros.htm.Recuperado: Septiembre 2012.

Sectormatematica.cl, Programas Gratis.

http://www.sectormatematica.cl/software.htm.Recuperado: Septiembre 2012

Manual_Razonamiento_Matemático.pdf

DESCRIPCIÓN DEL MÓDULO:(Describe el aporte del módulo a la formación del perfil profesional, a la MISIÓN y VISIÓN de la ESCUELA y, a los logros de aprendizaje de éste módulo). 100 palabras / 7 líneas

El módulo de Algebra, permite al estudiante identificar las posibilidades de resolución de problemáticas del entorno a través del conocimiento

matemático, haciendo énfasis en estudio de casos, datos estadísticos, análisis de datos, las matemáticas relacionadas a los finanzas, la economía,

al campo empresarial de manera preferencial al campo agropecuario; donde se genere proyectos productivos y así fortalecer el aprendizaje

académico pedagógico de los educandos.

http://www.sectormatematica.cl/

http://www.sectormatematica.cl/software.htm.Recuperado



III. RUTA FORMATIVA DEL PERFIL Nodo Problematizado: (Elija uno de la propuesta GENÉRICA de la UPEC o GLOBAL de la ESCUELA).

Escaso razonamiento lógico matemático

Competencia GENÉRICA - UPEC:(Elija una que guarde coherencia con el NODO PROBLEMATIZADO)

Desarrollar el pensamiento lógico

Competencia GLOBAL - ESCUELA:(Elija una que guarde coherencia con el NODO PROBLEMATIZADO y las COMPETENCIAS GENÉRICA)

Planificar, implementar, coordinar, supervisar y evaluar proyectos y servicios del sector rural

Competencia ESPECÍFICA - MÓDULO:(Escriba una que guarde coherencia con el NODO PROBLÉMICO y las COMPETENCIAS GENÉRICA y GLOBAL)

Desarrollar el pensamiento lógico adecuadamente a través del lenguaje y las estructuras matemáticas para plantear y resolver

problemas del entorno.

NIVELES DE LOGRO

PROCESO

COGNITIVO

LOGROS DE APRENDIZAJE

(Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE COMPETENCIA, SUB -

COMPETENCIAS)

Seleccione de los sugeridos por la Escuela para perfil de Ingenierías

El estudiante es capaz de:

DIMENSIÓN

(Elija el grado de complejidad que UD. EXIGIRÁ para alcanzar el logro)



1. TEÓRICO BÁSICO RECORDAR MLP

Identificar los términos básicos utilizados

durante el desarrollo del pensamiento lógico

matemático.

FACTUAL.-Si el estudiante va a TRATAR el VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE

DEBE SABER para estar al tanto de una disciplina o resolver problemas en ella.

2. TEÓRICO AVANZADO ENTENDER

Diferenciar los conceptos básicos utilizados

para el desarrollo de pensamiento lógico

matemático.

CONCEPTUAL.-Si el estudiante va a INTERRELACIONAR entre el VOCABULARIO o

ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER dentro de una ESTRUCTURA más grande que les

permitan FUNCIONAR JUNTOS los vocablos.

PROCESAL.-Si el estudiante SABE CÓMO HACER, métodos de investigación, y los criterios para el

uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos.

3. PRÁCTICO BÁSICO APLICAR

Demostrar la utilidad de las matemáticas para

el desarrollo del razonamiento lógico

matemático.



4. PRÁCTICO AVANZADO ANALIZAR

Plantear alternativas mediante la aplicación de

la matemática que permitan dar solución a los

problemas planteados



5. TEÓRICO PRÁCTICO BÁSICO EVALUAR

Argumentar el planteamiento que dará

solución a los problemas planteados.

CONCEPTUAL.-Si el estudiante va a INTERRELACIONAR entre el VOCABULARIO o





6. TEÓRICO PRÁCTICO AVANZADO

CREAR

Construir expresiones algebraicas que

contribuyan a la solución de problemas del

entorno.

1. FACTUAL.-Si el estudiante va a TRATAR el VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo

QUE DEBE SABER para estar al tanto de una disciplina o resolver problemas en ella.

2. CONCEPTUAL.-Si el estudiante va a INTERRELACIONAR entre el VOCABULARIO o





3. PROCESAL.-Si el estudiante SABE CÓMO HACER, métodos de investigación, y los criterios

para el uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos.

4. METACOGNITIVO.-Si el estudiante llega a adquirir EL CONOCIMIENTO DE LA COGNICIÓN

GENERAL, así como la sensibilización y el conocimiento del propio conocimiento.

Trabajo interdisciplinar:(Saberes integrados de los módulos recibidos y recibiendo que tributan directamente a la formación de la COMPETENCIA ESPECÍFICA).

Algebra, calculo, estadística descriptiva, estadística inferencial, investigación de operaciones, matemáticas discretas.



IV. METODOLOGÍA DE FORMACIÓN DEL PERFIL:


(Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE

COMPETENCIA, SUB - COMPETENCIAS)

El estudiante será capaz de

CONTENIDOS DE APRENDIZAJE PARA QUE EL ESTUDIANTE ALCANCE LOS

LOGROS ESPERADOS

ESTRATEGIAS

DIDÁCTICAS

Estrategias, métodos y

técnicas

HOR

AS

CLA

SE

COGNITIVOS

¿Qué TIENEque saber?

PROCEDIMENTALES

¿Saber cómo TIENE

queaplicar el conocimiento?

AFECTIVO MOTIVACIONALES

¿Saber qué y cómo TIENEactuar

axiológicamente?

T

P

Identificar los términos

básicos utilizados durante el

desarrollo del pensamiento

lógico matemático.

Sistema de Números

Reales

Recta de números Reales

Operaciones Binarias

Potenciación y

Radicación

Propiedades

Utilizar organizadores gráficos

para identificar las clases de

números reales que existe

Utilizar organizadores gráficos

para ubicar los elementos

Relacionar en la uve heurística

Identificar los diferentes

propiedades en potenciación y

radicación

Demostrar comprensión sobre los tipos

de números reales

Disposición para trabajar en equipo

Utilizar una actitud reflexiva y critica

sobre la importancia de la matemática

básica

Aceptar opiniones diferentes

Potenciar el clima positivo

Aceptar errores y elevar el autoestima

DEMOSTRAR.

1. Caracterizar los números reales para la demostración

2. Seleccionar los argumentos y hechos que corroboraron los números reales.

CONVERSACIÓN

HEURISTICA

1. Determinación del problema.

2. Dialogo mediante

2 4



fundamentales

Aplicaciones

Hacer síntesis gráfica

Repasar los conocimientos

adquiridos y aplicarlos a la vida

del profesional Turístico

para que pueda actuar de manera

autónoma y eficiente

preguntas. 3. Debatir, discutir,

intercambiar criterios, hurgar la ciencia, discutir la ciencia, búsqueda individual de la solución, socializar la solución.

Diferenciar los conceptos

básicos utilizados para el

desarrollo de pensamiento


Expresiones algebraicas:

nomenclatura y clasificación.

Polinomios clasificación.

Operaciones con

Polinomios: adición, resta,

multiplicación y división.

Productos notables.

Descomposición Factorial

Aplicar operaciones mentales

Identificar los diferentes tipos

polinomios

Aplicar operaciones mentales en

la resolución de un sistema de

ecuaciones.

Identificar los diferentes tipos de

productos notables

Resolver ejercicios

Aceptar opiniones divergentes

Destacar la solidaridad en los

ambientes de trabajo

Potenciar la resolución de problemas

Valorar las participaciones de los

demás

Demostrar grado por lo que hacemos

INDUCTIVO-DEDUCTIVO

INDUCTIVO

1.Observación

2. Experimentación.

3. Información (oral,

escrita, gráfica, etc.)

4. Dramatización.

5. Resolución de

problemas.

6. comprobación.

7. Asociación (especial

temporal y casual)

8. Abstracción.

9. Generalización.

10. Resúmenes.

2 4



11. Ejercicios de fijación.

CONVERSACIÓN

HEURISTICA

1. Determinación del problema.

2. Dialogo mediante preguntas.

3. Debatir, discutir, intercambiar criterios, hurgar la ciencia, discutir la ciencia, búsqueda individual de la solución, socializar la solución.

Demostrar la utilidad de las

matemáticas para el

desarrollo del razonamiento


Máximo común divisor de

polinomios.

Mínimo común múltiplos

de polinomios.

Operaciones con

fracciones.

Aplicaciones

Resolver ejercicios con polinomios

sencillos y complejos

Aplicar procesos de resolución

adecuados para resolver

problemas.

Resolver ejercicios aplicando en

forma conjunta los máximos y los

mínimos

Distinguir los componentes de las

expresiones racionales

Utilizar una actitud crítica y reflexiva

sobre el tema.

Cooperar en el desarrollo del

conocimiento.

Demostrar confianza en el desarrollo

del proceso.

Cooperar con el grupo en la resolución

de funciones.

RAZONAR

1. Determinar las premisas.

2. Encontrar la relación de inferencia entre las premisas a través del término medio.

3. Elaborar las conclusiones.

RELACIONAR.

1. Analizar de manera independiente los objetos a relacionar.

2. Determinar los criterios de relación entre los objetos

3 6



Plantear alternativas mediante

la aplicación de la matemática

que permitan dar solución a

los problemas planteados

Ecuaciones lineales,

resolución

Sistemas lineales y

clasificación.

Resolución de ecuaciones

lineales.

Aplicaciones

Plantear ecuaciones lineales.

Identificar los sistemas líneas y su

clasificación

Elaborar modelos matemáticos en

la solución de problemas de la

carrera

Implementar procesos de

resolución adecuados en

problemas reales.

Trabajar con eficiencia y eficacia

respetando los criterios en la resolución

de problemas.

Demostrar interés en el trabajo

individual y de equipo

Respetar las opiniones del grupo y

fuera de él.

Expresar coherencia en las soluciones

propuestas valorando las iniciativas de

cada participante.

EXPOSICION

PROBLEMICA.

1. Determinar el problema.

2. Realizar el encuadre del problema.

3. Comunicar el conocimiento.

4. Formulación de la hipótesis.

5. Determinar los procedimientos para resolver problemas.

6. Encontrar solución (fuentes, argumentos, búsqueda, contradicciones)

3 6

Argumentar el planteamiento

que dará solución a los

problemas planteados.

Definición y clasificación.

Ecuaciones reducibles a

cuadráticas

Resolución de ecuaciones

cuadráticas por factoreo.

Resolución por

completación de un

trinomio cuadrado.

Nombrar la definición de

ecuaciones cuadráticas

Reducir a expresiones sencillas

las expresiones cuadráticas

Resolver ejercicios sobre

expresiones cuadráticas

Ejercitar las operaciones con

polinomios incompletos.

Utilizar creatividad y capacidad de

análisis y síntesis respetando los

criterios del grupo.

Demostrar razonamiento crítico y

reflexivo cooperando en la obtención

de resultados

EXPOSICIÓN

PROBLEMICA

1. Determinar el

problema

2. Realizar el encuadre

del problema

3. Comunicar el

conocimiento

(conferencia ,video )

4. Formulación de la

hipótesis ( interacción

de las partes)

3 6

Construir expresiones

algebraicas que contribuyan a

la solución de problemas del

Fórmula general para

resolver ecuaciones

cuadráticas.

Aplicar la fórmula general para la

resolución de ecuaciones

cuadráticas

Valorar la creatividad de los demás

Respetar el criterio del grupo.

1. Determinar los

procedimientos para

resolver problemas.

2. Encontrar la solución

3 6



entorno. Aplicaciones de la

ecuación cuadrática.

Distinguir los componentes de las

expresiones racionales ( fuentes ,argumentos,

búsqueda

,contradicciones)



V. PLANEACIÓN DE LA EVALUACIÓN DEL MÓDULO



COMPETENCIA, SUB - COMPETENCIAS)

FORMAS DE EVALUACIÓN DE LOGROS DE APRENDIZAJE

indicar las políticas de evaluación para éste módulo según los resultados esperados

DIMENSIÓN

(Elija el grado de

complejidad que UD.

EXIGIRÁ para alcanzar el

logro)

INDICADORES DE LOGRO

DE INGENIERIA

descripción

TÉCNICAS e INSTRUMENTOS de

EVALUACIÓN

1°

PARCIA

L

2°

PARCIA

L

3°

PARCIA

L

SUPLETORI

O

Identificar los términos básicos

utilizados durante el desarrollo del

pensamiento lógico matemático.

FACTUAL. Interpretar información. Deberes

Trabajos

Consultas

Participación virtual

Pruebas

Portafolio

Documento

Documento

Documento

Chat-Foro

Reactivos

Documento

10%

10%

10%

10%

50%

10%

Diferenciar los conceptos básicos

utilizados para el desarrollo de


CONCEPTUAL. Interpretar la información. Deberes

Trabajos

Consultas


Pruebas

Portafolio

Documento

Documento

Documento

Chat-Foro

Reactivos

Documento

10%

10%

10%

10%

50%

10%




matemáticas para el desarrollo del

razonamiento lógico matemático.

CONCEPTUAL. Modelar, simular sistemas

complejos.

Deberes

Trabajos

Consultas


Pruebas

Portafolio

Documento

Documento

Documento

Chat-Foro

Reactivos

Documento

10%

10%

10%

10%

50%

10%

100%

Plantear alternativas mediante la

aplicación de la matemática que

permitan dar solución a los problemas

planteados

PROCESAL Analizar problemas y sistemas

complejos.

Deberes

Trabajos

Consultas


Pruebas

Portafolio

Documento

Documento

Documento

Chat-Foro

Reactivos

Documento

10%

10%

10%

10%

50%

10%

100%

Argumentar el planteamiento que dará

solución a los problemas planteados.

CONCEPTUAL Desarrollar una estrategia

para el diseño.

Deberes

Trabajos

Consultas


Pruebas

Portafolio

Documento

Documento

Documento

Chat-Foro

Reactivos

Documento

5%

5%

5%

5%

25%

5%

Construir expresiones algebraicas que

contribuyan a la solución de problemas

FACTUAL. Interpretar información.

Modelar, simular sistemas

Deberes

Trabajos

Documento

Documento

5%

5%



del entorno. CONCEPTUAL.

PROCESAL

METACOGNITIVO

complejos.

Analizar problemas y sistemas

complejos.

Consultas


Pruebas

Portafolio

Documento

Chat-Foro

Reactivos

Documento

5%

5%

25%

5%

100%

ESCALA DE VALORACIÓN

Nivel ponderado de aspiración y

alcance

9.0 a 10.0 Acreditable - Muy Satisfactorio 7.0 a 7.9 Acreditable – Aceptable

8.0 a 8.9 Acreditable – Satisfactorio 4.0 a 6.9 No Acreditable – Inaceptable



VI. GUÍA DE TRABAJO AUTÓNOMO / PRODUCTOS / TIEMPOS



COMPETENCIA, SUB -

COMPETENCIAS)

APRENDIZAJE CENTRADO EN EL ESTUDIANTE

HORAS

AUTÓNO

MAS

INSTRUCCIONES

RECURSOS

PRODUCTO

T P

Identificar los términos básicos

utilizados durante el desarrollo del


Consulte información en el

internet y textos

especializados los

conceptos de números

reales, presentar en

organizadores gráficos.

Prueba

Libros.

Copias

Documentos en pdf.

Descarga de documentos de

la web.

Diferencia los diferentes tipos de sistemas de números

reales.

2 4

Diferenciar los conceptos básicos

utilizados para el desarrollo de


Consulta sobre la definición

de un monomio y

polinomio.

Grado de un polinomio y su

ordenamiento

Libros.

Copias

Documentos en pdf.


la web.

Identifica los tipos de polinomios 2 4


matemáticas para el desarrollo del

razonamiento lógico matemático.

Distinguir plenamente

entre expresiones

racionales e irracionales

Libros.

Copias

Documentos en pdf.


la web.

Distinguir plenamente entre expresiones racionales

e irracionales

3 6



Plantear alternativas mediante la

aplicación de la matemática que

permitan dar solución a los

problemas planteados

Dar solución a ecuaciones

de primer grado

Libros.

Copias

Documentos en pdf.


la web.

Dar solución a ecuaciones de primer grado 3 6

Argumentar el planteamiento que

dará solución a los problemas

planteados.

Identificar los tipos de

soluciones que pueden

presentarse en la solución

de expresiones

cuadráticas.

Libros.

Copias

Documentos en pdf.


la web.

Identificar los tipos de soluciones que pueden

presentarse en la solución de expresiones cuadráticas

3 6

Construir expresiones algebraicas

que contribuyan a la solución de

problemas del entorno.

3 6

PROYECTO INTEGRADOR DE SABERES: (Proyecto Integrador de conocimientos con los módulos del Nivel )

TOTAL

16 32

CRÉDITOS

1 2

3



VII. Bibliografía.

BÁSICA: (Disponible en la UPEC en físico y digital – REFENCIAR con normas APA)

Haeussler, E. (2008). Matemáticas para Administración y Economía, Décima segunda edición: México

COMPLEMENTARIA: (NO Disponible en la UPEC en físico y digital - REFENCIAR con normas APA)

Snut S. y otros (2012). Matemáticas para el análisis económico. Segunda edición: Madrid España.

Escudero R. y otros. (2011). Matemáticas Básicas. Segunda edición: Colombia

Soler F. y otros. (2009). Fundamentos de Matemáticas. Tercera edición: Colombia.

Pullas G. (2011). Matemática básica. Primera edición: Ecuador.

SánchezA. (2012). Desarrollo del Pensamiento. Editorial Imprenta Mariscal, Edición Primera, Ecuador.

http://www.sectormatematica.cl /libros.htm.Recuperado: Septiembre 2012.

Sectormatematica.cl, Programas Gratis.

http://www.sectormatematica.cl/software.htm.Recuperado: Septiembre 2012

Manual_Razonamiento_Matemático.pdf

DOCENTES:

Firma:

Nombres y Apellidos Oscar Rene Lomas Reyes

http://www.sectormatematica.cl/

http://www.sectormatematica.cl/software.htm.Recuperado



EJERCICIO EN CLASE

CÀLCULO DE DEPRECIACIÒN

1. Se compra un vehículo el primero de enero del 2013 en un valor de 20000 dólares.

2. Se compró un edificio el primero de enero del 2000 en 100000 dólares.

3. El primero de enero del 2010 se compró maquinaria en 30000 dólares.

4. Se compró un vehículo el primero de enero del 2011 en 25000 dólares.

5. El primero de julio del 2012 se compró equipos de cómputo en 10000 dólares.

6. El primero de enero del 2006 se compraron muebles de oficina en 15000 dólares.

7. El primero de marzo del 2013 se compró un vehículo en 40000 dólares.

8. El primero de enero del 2007 se compró muebles por 18000 dólares.

9. Se compró un edificio en el año 2002 por 200000 dólares.

Calcule la depreciación a la fecha actual con porcentaje legalmente establecido en el territorio

Ecuatoriano.



fecha compra

fecha actual

numero de días

transcurridos

número de años

transcurrido

s

activo fijo

valor del

activo

valor residual

Nª de años de depreciación

porcentaje de

depreciación

depreciación con valor

residual

anual

depreciación con

valor residual

días transcurri

dos

valor por

depreciar con valor

residual

anual

depreciación sin valor residual

anual días transcurrido

s

valor por deprecia

r con valor

residual

valor por depreciar sin valor residual

01/01/2010 03/12/2013 1432 3,92 muebles

de oficina

200000 20000 10 10% 18000 70619,18 20000 96120,55 24500 -205000,00

02/01/2010 03/12/2013 1431 3,92 vehiculo 35000 3500 5 20% 6300 24699,45 7000 940931,51 240000 272753,42

01/01/2012 03/12/2013 702 1,92 maquina

ria 300000 30000 10 10% 27000 51928,77 30000 27246,58 14166,67 -111241,10

01/04/2008 03/12/2013 2072 5,68 equipo

de computo

25000 2500 3 33,33% 7500 42575,34 8333,3

3 136241,10 24000 16469,86

01/05/2012 03/12/2013 581 1,59 muebles

de oficina

30000 3000 10 10% 2700 4297,81 3000 13530,14 8500 -227410,96

01/01/2007 03/12/2013 2528 6,93 equipo

de computo

15000 1500 3 33,33% 4500 31167,12 5000 242410,96 35000 5813,70

01/03/2011 03/12/2013 1008 2,76 vehículo 50000 5000 5 20% 9000 24854,79 10000 44186,30 16000 -

3348561,64

01/01/2006 03/12/2013 2893 7,93 maquina

ria 20000 2000 10 10% 1800 14266,85 2000 3368561,64 425000

-1479917,81

01/03/2006 03/12/2013 2834 7,76 edificio 500000 50000 20 5% 22500 174698,63 25000 1979917,81 255000 260109,59

01/07/2012 03/12/2013 520 1,42 edificio 300000 30000 20 5% 13500 19232,88 15000 39890,41 28000 -109895,89

01/04/2011 03/12/2013 977 2,68 vehículo 40000 4000 5 20% 7200 19272,33 8000 149895,89 56000 -331095,89

01/02/2013 03/12/2013 305 0,84 maquina

ria 70000 7000 10 10% 6300 5264,38 7000 401095,89 480000 -765589,04

01/12/2011 03/12/2013 733 2,01 muebles

de 600000 60000 10 10% 54000 108443,84 60000 1365589,04 680000 356734,25



DEBER EN CASA

CÀLCULO DE DEPRECIACIÒN

1. Se compra muebles de oficina el primero de enero del 2010 en un valor de 200000 dólares.

2. Se compró un vehículo el dos de enero del 2010 en 35000 dólares.

3. El primero de enero del 2012 se compró maquinaria en 300000 dólares.

4. Se compró equipo de cómputo el primero de abril del 2008 en 25000 dólares.

5. El primero de mayo del 2012 se compró muebles de oficina en 30000 dólares.

6. El primero de enero del 2007 se compraron equipos de cómputo en 15000 dólares.

7. El primero de marzo del 2011 se compró un vehículo en 50000 dólares.

8. El primero de enero del 2006 se compró maquinaria por un valor de 20000 dólares.

9. Se compró un edificio el primero de marzo en el año 2006 por 500000 dólares.

10. El primero de julio del 2012 se compró un edificio en un costo de 300000 dólares.

11. El primero de abril del 2011 se compró un vehículo en un valor de 40000 dólares.

12. El primero de febrero del año 2013 se compró maquinaria con un valor de 70000

13. El primero de diciembre del año 2011 se compró muebles de oficina en 600000 dólares.

14. El primero de enero del 2007 se compró un edificio con un valor de 800000 dólares.

15. El primero de agosto del 2012 se compró muebles de oficina por un valor de 80000 dólares.

Calcule la depreciación a la fecha actual con porcentaje legalmente establecido en el territorio Ecuatoriano.

oficina

01/01/2007 03/12/2013 2528 6,93 edificio 800000 80000 20 5% 36000 249336,99 40000 443265,75 64000 80000,00

01/08/2012 03/12/2013 489 1,34 muebles

de oficina

80000 8000 10 10% 7200 9646,03 8000 0,00 0 0,00



FACULTAD DE INDUSTRIAS AGROPECUARIAS Y CIENCIAS

AMBIENTALES

ESCUELA DE DESARROLLO INTEGRAL AGROPECUARIO

TRABAJO DE EJERCICIOS DE PROBLEMAS DE

INECUACIONES

PRIMER SEMESTRE ARRASTRE

DIANA KAROLINA MONTAÑO LUNA

ING. OSCAR LOMAS

22 – 01 – 2014



DEFINICIÒN:

Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que aparecen una o

más incógnitas en los miembros de la desigualdad. Si la desigualdad es del

tipo o se denomina inecuación en sentido estricto y si es del tipo o se

denomina inecuación en sentido amplio.

Del mismo modo en que se hace la diferencia de igualdad y ecuación, una inecuación

que es válida para todas las variables se llama inecuación incondicional y las que son

válidas solo para algunos valores de las variables se conocen como inecuaciones

condicionales.

Los valores que verifican la desigualdad, son sus soluciones.

Ejemplo de inecuación incondicional: .

Ejemplo de inecuación condicional: .

http://es.wikipedia.org/wiki/Desigualdad_matem%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Inc%C3%B3gnita

http://es.wikipedia.org/wiki/Igualdad_matem%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n



UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL CARCHI

DESARROLLO INTEGRAL AGROPECUARIO

Trabajo De Sistemas De Ecuaciones

Nombre:

Diana Karolina Montaño Luna

Docente:

Ing. Oscar Lomas

Nivel:

Primero “A”



Fecha:

15 – 01 – 2014



SISTEMA DE ECUACIONES

INTRODUCCIÒN

Es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas que conforman

un problema matemático que consiste en encontrar los valores de las incógnitas que

satisfacen dichas ecuaciones.

En un sistema de ecuaciones algebraicas las incógnitas son valores numéricos (o más

generalmente elementos de un cuerpo sobre el que se plantean las ecuaciones),

mientras que en una ecuación diferencial las incógnitas son funciones o distribuciones

de un cierto conjunto definido de antemano. Una solución de dicho sistema es por tanto,

un valor o una función que substituida en las ecuaciones del sistema hace que éstas se

cumplan automáticamente sin que se llegue a una contradicción. En otras palabras el

valor que reemplazamos en las incógnitas debe hacer cumplir la igualdad del sistema.

Las incógnitas se suelen representar utilizando las últimas letras del alfabeto latino, o si

son demasiadas, con subíndices.

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Inc%C3%B3gnita

http://es.wikipedia.org/wiki/Problema_matem%C3%A1tico

http://es.wikipedia.org/wiki/Resoluci%C3%B3n_de_ecuaciones

http://es.wikipedia.org/wiki/Principio_de_no_contradicci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Alfabeto_latino




FACULTAD DE INDUSTRIAS AGROPECUARIAS Y

CIENCIAS AMBIENTALES

ESCUELA DE DESARROLLO INTEGRAL

AGROPECUARIO

PROGRAMACIÓN LINEAL

PRIMERO “A”

DOCENTE: ING. OSCAR LOMAS



ENERO 21 – 01 - 2014

EJERCICIOS HECHOS EN CLASE



Se debe comprar una paca del alimento proteico más 8 pacas de carbohidratos con un valor

de 7,47

Carbohidratos Proteinas Restraccion

Req. de Proteinas 2 4 ≥ 20 20

Req. de carbohidratos 2 1 ≥ 16 16

Precio 0,8 1,2

Variables 7,3 1,3 ZMIN= 7,47



Mina 1 Mina2 Restriccion R

mineral 1 100 200 ≥ 3000 3000

mineral2 200 50 ≥ 2500 2500

T N A N B N C Restricción RESULTADOS

MEZCLA 1 2 6 4 ≥ 80 240

MEZCLA 2 2 2 12 ≥ 120 120

MEZCLA 1 2 6 4 ≥ 240 240

PRECIO 1 Y 2 10 8 8 10

VARIABLES 0 37,5 3,75 0 Z MIN= 330



capacidad de extracciòn 300 250

costo 50 60

variables 10 10 zmin 1100

toneladas 1,5 1,25 total 2,75

Se necesita sacar de la mina (1) 1,5 toneladas y de la mina (2) 1,25 toneladas con un costo de

1100



Cámara A Cámara B

POLIMERO 1 10 4 ≥ 100 100

POLÌMERO 2 20 30 ≥ 420 420

Costo 600000 300000 600000

variables 6 10 300000

ZMIN 6600000

Se necesitan 6 cámaras más tipo A y 10 cámaras B a las que ya existen , para que el total del costo de compra sea de 6600000

dólares





Trabajo De Ecuaciones Cuadráticas

Nombre:


Docente: Ing. Oscar Lomas

Nivel:

Primero “A”

Fecha: 16 – 01 – 2014



Definición:

Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma: ax2 + bx +c = 0 Donde a, b, y c son números reales y a es un número diferente de cero. Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2 + bx + c, donde a, b, y c son números reales. Ejemplo: 9x2 + 6x + 10 a = 9, b = 6, c = 10 3x2 - 9x a = 3, b = -9, c = 0 -6x 2 + 10 a = -6, b = 0, c = 10 Hay tres formas de hallar las raíces ( el o los valores de la variable) de las ecuaciones cuadráticas: 1. Factorización Simple 2. Completando el Cuadrado 3. Fórmula Cuadrática Factorización Simple La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio. Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación x2 + 2x – 8 = 0 a = 1 b = 2 c = - 8 (x ) (x ) = 0 [x ·x = x2] (x + 4 ) (x – 2) = 0 4 y –2 4 + -2 = 2 4 · -2 = -8 x + 4 = 0 x – 2 = 0 x + 4 = 0 x – 2 = 0 x = 0 – 4 x = 0 + 2 x = -4 x = 2 Estas son las dos soluciones. Completando el Cuadrado En este método, la ecuación tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la constante de a tiene que ser igual a 1. Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que despejar de la siguiente forma: 4x2 + 12x – 8 = 0 4 4 4 4 ( x ( x + ) (x - ) = 0 = 0 x2 + 3x – 2 = 0 Ahora, a= 1. Ejemplo: x2 + 2x – 8 = 0 [Ya está en su forma donde a = 1.] x2 + 2x = 8 [ Pasar a c al lado opuesto.] x2 + 2x + ___ = 8 + ___ [Colocar los blancos] x2 x2 + 2x + 1 = 8 + 1 x2 + 2x + 1 = 9



( ) ( ) = 9 Hay que factorizar. Nota: Siempre será un cuadrado perfecto. ( x(x + 1) (x + 1)= 9 = 9 (x (x+ 1)2 = 9 (x (x+ 1) = ± x + 1 = ± 3 x = -1 ± 3 [Separar las dos soluciones.] x = -1 + 3 x = -1 – 3 x = 2 x = -4 Fórmula Cuadrática: Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación cuadrática a la siguiente fórmula: Ejemplo: X2 + 2x – 8 = 0 a = 1, b = 2, c = -8 x = -2 ± 6 2 X = -2 + 6 x = -2 - 6 2 2 x = 4 x = -8 2 2 x = 2 x = - 4 Link consulta:

http://quiz.uprm.edu/tutorial_es/Cuad_Eq/cuadeq_home.html



UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL

CARCHI


Trabajo De Ecuaciones Cuadráticas

Nombre:


Docente: Ing. Oscar Lomas

Nivel:

Primero “A”

Fecha: 22 – 01 – 2014





Trabajo EN Clase De Programación Lineal

Nombre:


Docente:

Ing. Oscar Lomas

Nivel:

Primero “A”



CR CF UR

A 3 2 ≥ 160 160

B 5 2 ≥ 200 240

C 1 2 ≥ 80 80

COSTO 8 6

VARIABLES 40 20 Z min= 440

funciòn Objetiva

CAMIÒN PERINOLA EMPLEADOS

Màquina A 2 1 ≤ 80 40

Màquina B 3 1 ≤ 50 50

ACABADOS 5 1 ≤ 70 70

COSTO 7 2 Z MIN= 110

Funcion Objetiva

VARIABLES 10 20

Se tienen que producir 10 camiones y 20 perinolas semanales para maximizar las utilidades de $ 110; utilizando 40 horas de la maquina A; de la maquina B

50 horas y 70 horas de acabado

VISTA XTREME HORAS

Màquina A 1 3 ≤ 24 24

Màquina B 2 2 ≤ 24 24

Utilidades 50 80

VARIABLES 6 6 Z MAX= 780





Trabajo En Clase De Ejercicios Inecuaciones

Nombre:


Docente:

Ing. Oscar Lomas

Nivel:

Primero “A”

portafolio de algebra 2

Technology

una diferencia

una incgnita

una ecuacion

factorizacin por agrupamiento

una suma o diferencia

segundo grado

primer grado

ecuaciones lineales