Posicast Control with Nonzero Initial Conditions

J.A. Esquivel, Miembro, IEEE y J.R. Tello

Abstract— This work shows an approach to solve the

nonzero initial conditions posicast control. This control has been studied for systems which are lightly damped like the half-cycle ones. However these techniques have not had special attention for applying their approachs when the initial conditions are not zero. This note presents a methodology for solving this problem with a basic analysis in the complex domain and the results shown with simulations prove the efficiency of our approach. Keywords— posicast control, feedforward control,

oscillatory response, lightly damped systems.

I. INTRODUCCIÓN l control Posicast es una idea originalmente propuesta por O. J. M. Smith [10], [11] el cual establece este método

que sirve para cancelar las oscilaciones de la respuesta al escalón de sistemas ligeramente oscilatorios. El enfoque está basado en el conocimiento del coeficiente de amortiguamiento del sistema, i.e., , y de la frecuencia natural no amortiguada, i.e., , las cuales son características del par de polos complejos conjugados dominantes, y su implementación básica es la siguiente: cuando se aplica una entrada escalón de cierta magnitud la respuesta del sistema empieza a trazar la forma oscilatoria amortiguada, sin embargo, en el momento de su primer máximo se suma a la entrada otra señal escalón cuya magnitud depende principalmente de la relación de amortiguamiento y de la magnitud del primero, de tal forma que la respuesta del sistema se mantiene constante con valor en ese máximo debido a que las respuestas oscilatorias de los dos escalones se anulan mutuamente. Como las características de la oscilación y el desvanecimiento exponencial son propiedades inherentes del sistema, esto se logra sin ningún problema. El control Posicast es en cierto sentido la cancelación de polos complejos del sistema con los ceros de un controlador en lazo abierto lo cual obviamente elimina las oscilaciones [12]. Sin embargo, el método es muy sensible a variaciones de, o bien a perturbaciones del sistema, por lo que es inevitable eliminar las oscilaciones, aunque el sistema se mantenga estable, cuando no hay compensación, [4], [6], [7]. Un remedio para este problema es el de insertar en retroalimentación un retardo de fase, [7], [12]. Otra línea de investigación ha sido la implementación del mismo principio en sistemas cuarto orden, [2], [3]; normalmente el control Posicast de medio ciclo es utilizado para controlar sistemas J. A. Esquivel labora en el Centro de Investigación en Matemáticas Aplicadas de la Universidad Autónoma de Coahuila en Saltillo, Coahuila, México. (correo e.: esquivel@cima.uadec.mx). J. R. Tello es docente de la Universidad Autónoma de Coahuila en la

Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica en Monclova, Coahuila, México. (correo e.: nemsa@prodigy.net.mx) de segundo orden. Sin embargo, se ha mostrado que con modificaciones adecuadas su aplicación en este tipo de sistemas logra un desempeño satisfactorio. La frase adjetival “de medio ciclo” se aplica por el hecho de que es precisamente a medio ciclo de la frecuencia natural amortiguada, i.e., , donde ocurre la aplicación del segun-do escalón. Algunas de las aplicaciones que se han propuesto en la literatura del control Posicast han sido en el control de convertidores DC-DC, ver [4] , se ha comparado con controladores como el PID mediante diagramas de Bode donde se muestra claramente una mayor atenuación del controlador en altas frecuencias lo cual lo vuelve más insensible a ambientes ruidosos o inciertos. Sin embargo, a pesar de los resultados obtenidos, aparentemente no ha habido ninguna propuesta para aplicar el método cuando las condiciones iniciales son diferentes de cero, y es precisamente a este problema al cual se le da solución en este trabajo. Esto puede ocurrir en situaciones muy reales, por ejemplo, el manejo de una grúa de transporte en la cual la carga puede empezar a tener alguna oscilación indeseable. Una estrategia de control, como la que proponemos en este trabajo sería muy deseable en esos instantes para evitar este problema así como algún posible accidente que pueda ocurrir. Otras posibles áreas de aplicación son la eliminación de oscilaciones en las operaciones quirúrgicas asistidas [1], en el estudio del caos [5] o el control de sistemas flexibles [8]. La Sección II muestra la parte principal de este documento y en el cual se analiza el control Posicast cuando las condiciones iniciales son diferentes de cero. En la Sección III se aplican los resultados obtenidos al péndulo invertido el cual se controla primero con un compensador de adelanto para colocar los polos dominantes en el semiplano izquierdo y en esa configuración el control Posicast se aplica en serie para mostrar la atenuación de las amortiguaciones, la Sección IV finaliza esta investigación con algunas observaciones.

II. RESULTADO PRINCIPAL

Sea un sistema lineal con función de transferencia

, donde y son los polinomios numerador y denominador respectivamente, con el grado de

mayor o igual al de . Asumimos que los polos dominantes, aquellos más cercanos al eje imaginario, son un simple par de polos complejos conjugados, y que el resto están ubicados de tal forma que su parte real negativa determinan modos con constante de tiempo muy pequeñas de tal manera que sus efectos son despreciables. Al aplicarse

E

IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 6, NO. 7, DECEMBER 2008 587

una entrada escalón unitario la respuesta del sistema es dada por

(1)

donde , son escalares, , son las ubicaciones de los polos “rápidos,” es la parte real de los polos dominantes, es la frecuencia natural amortiguada, φ es un ángulo debido al coeficiente de amortiguamiento y 1(t ) es la función definida como

(2)

Asumiendo esto como premisa iniciamos el estudio del siguiente sistema

(3)

donde y es una constante que represente la magnitud del escalón aplicado en . Se le aplica la transformada de Laplace para obtener:

(4)

donde y Con la aplicación de la transformada inversa de Laplace se obtiene

(5)

para simplificar las expresiones hacemos la magnitud del escalón proporcional a la posición inicial, i.e., , donde k es un número real,

(6)

con Como , la ecuación anterior se puede reescribir como

(7)

lo cual a su vez es equivalente a

(8)

o (9) donde (10) y (11) En esta última expresión se ve muy claramente el caso obvio en el que para , coincide con φ. Para obtener el instante en el y(t) sea igual a cero, se aplica la expresión de la siguiente forma

(12) de donde

(13)

El tiempo debe ajustarse incrementando segundos en los casos 1. y (14) 2. y (15) esto debido a que interesa la parte oscilatoria centrada en el valor final de la respuesta; en este caso A. La salida en ese instante es (16) para el caso en el que , o bien, para se tiene

588 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 6, NO. 7, DECEMBER 2008

(17) la magnitud (18) se debe incrementar o decrementar para fijar el escalón en

. Aunque la cantidad se agrega en los argumentos de función seno de acuerdo al signo de , depende también del instante . La señal de entrada entonces adquiere la forma (19) donde

(20) Recuerdese que es la función escalón unitario. A. Ejercicio Los resultados obtenidos hasta ahora se aplican a un sistema de segundo orden donde ζ = 0.3 y . Consideramos cuatro casos diferentes de acuerdo a sus condiciones iniciales. La entrada será la señal escalón unitaria, i.e., Α = 1, y en las Figs. 1, 2, 3 y 4 se muestran la respuestas del sistema a la entrada escalón unitario en una línea continua, la entrada de nuestro controlador Posicast con símbolos en forma de rombos, y la salida obtenida con símbolos en forma de estrella. Fig. 1 Respuesta obtenida con condiciones iniciales y(0) = 0.5 y

. Fig. 2 Respuesta obtenida con condiciones iniciales y(0) = 0.5 y

.

Fig. 3 Respuesta obtenida con condiciones iniciales y(0) = 1.5 y .

Fig. 4 Respuesta obtenida con condiciones iniciales y(0) = 1.5 y .

La cantidad (18) es función de A, y(0) y . Para manejar en forma predeterminada el valor final de control, por ejemplo que sea uno, es necesario que (18) satisfaga:

1. si Α > y(0) o si Α = y(0) y . 2. si Α < y(0) o si Α = y(0) y . Sin embargo, las ecuaciones son transcendentales las cuales no pueden ser manipuladas para despejar la amplitud A en función de las condiciones iniciales. Para ilustrar lo complejo del problema manejaremos las expresiones matemáticas mediante relaciones entre las condiciones iniciales y la magnitud A. Primero manipularemos a utilizando y (21)

(22)

y el ángulo reescribe de la siguiente forma

ESQUIVEL_CÁRDENAS AND RUIZ_TELLO : POSICAST CONTROL WITH NONZERO INITIAL 589

(23) Se obtiene la siguiente ecuación que debe satisface A:

(24)

Sin embargo, también debe satisfacer las siguientes iden-tidades :

(25)

En vista de lo anterior resulta evidente lo complejo de seleccionar una señal escalón apropiada para obtener la salida constante en un nivel deseado, e.g., uno. Debido a esta situación aplicaremos en la siguiente sección los resultados obtenidos en el sistema del péndulo invertido para controlar su ángulo, sin la exigencia de obtener algún valor predeterminado.

III APLICACIÓN AL PÉNDULO INVERTIDO

Considere el sistema del péndulo invertido, [9], que se muestra en la Fig. 5. La función de transferencia de u a θ es dada por

(26)

Fig. 5 Péndulo invertido

lo cual es un sistema inestable en lazo abierto. El objetivo que se persigue en esta aplicación es que el péndulo en movimiento se desea ubicar en una posición de θ constante (no necesariamente el cero) minimizando las oscilaciones. En el control no interesa la posición final del carro.

El problema se resolverá utilizando un compensador de adelanto para ubicar dos polos complejos conjugados en el semiplano izquierdo, y el polo agregado deberá estar muy a la izquierda de los primeros de tal forma que sus efectos sean imperceptibles. Los parámetros se asignan en la siguiente forma: g = 9.81m/s, M = 1 kg, m = 0.0391 kg y l = 1 m. Con lo cual se tiene la siguiente función de transferencia (27) Los polos dominantes se desean en las posiciones

, con la finalidad de que el ángulo a compensar sea pequeño. Es importante recordar que mientras más grande sea la modificación del lugar del las raíces las ganancias tienden a incrementarse con mayor facilidad. Para obtener el ángulo η necesario que debe contribuir el compensador, se aplica la condición del ángulo de la función de transferencia en uno de los polos deseados, e.g., s = −2 + 10 j,

lo cual cumple la condición del ángulo ±180°(2k+1) si el compensador contribuye con 11,53° y se coloca un inversor (ganancia negativa en el compensador) para agregar otros 180° de tal forma que el nuevo lugar de las raíces pase por ese lugar. Para establecer el polo no dominante haremos que la posición del cero del compensador esté en s = −10, la cual hará que este tercer polo esté aún más a la izquierda. El ángulo debido a este cero cancela exactamente el del polo del péndulo, por lo que el polo de la red debe contribuir en −39,81°. Para encontrar su posición hacemos

El compensador a utilizar es entonces

Fig. 6 Respuesta del ángulo con las condiciones iniciales y(0)=0.1 y (28) La ganancia se obtiene de la condición de magnitud de la cual se obtiene . La función en lazo cerrado con el compensador es dada por la siguiente función de transferencia

590 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 6, NO. 7, DECEMBER 2008

(29)

donde ζ=0.2 y y la entrada la multiplicamos por 104/244 para normalizar. Por lo tanto del sistema con estas características y asumiendo las siguientes condiciones iniciales θ(0) = 0.1 y se obtiene la respuesta de la Fig. 6 en la cual se cancelan las oscilaciones a partir del instante , manteniendo el nivel en .

IV. CONCLUSIONES Este artículo presenta un enfoque para eliminar las oscilaciones de la respuesta al escalón de un sistema con polos dominantes de segundo orden ligeramente amortiguado con condiciones iniciales diferentes de cero, mediante una modificación al control Posicast. El resultado obtenido utiliza una señal de entrada con dos escalones, igual que el Posicast clásico. Se ha mostrado el problema que existe para realizar el cálculo de los escalones de tal forma que se lleve el sistema en forma predeterminada a otro nivel. El problema de la sensibilidad a señales ruidosas o incertidumbres paramétricas no se estudia en este trabajo. Sin embargo, a pesar de todas estas situaciones, los resultados obtenidos pueden resultar convenientes en un control de lazo abierto donde se logra cambiar la posición de un sistema dinámico de segundo orden a un valor aproximado cancelando las oscilaciones. La variación del nuevo nivel depende de las condiciones iniciales.

REFERENCIAS [1] J. Clement, P. Mares, “Real-time Tracking System for Assisted

Surgical Operations,” IEEE Latin America Transactions, vol. 1, no.1, pp.8-14, Oct. 2003.

[2] G. Cook, “Discussion on 'Pre-shaping command inputs to reduce system vibration',” Trans. ASME Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control. vol. 115, no. 2, pp. 309-310, . June 1993.

[3] G. Cook, “An Application of Half-Cycle Posicast,” IEEE Trans. on Automatic Control, pp. 556-559, July 1966.

[4] Q. Feng, J.Y. Hung and R.M. Nelms, “The Application of Posicast Control to DC-DC Converters,” IEEE 37th Intersociety Energy Conversion Engineering Conference, 2002.

[5] J. A. Gallegos, J.A. Gallegos, O.P. Mejía, “Chaos Suppression of an Underactuated Manipulator: Experimental Results,” IEEE Latin America Transactions, vol. 2, no. 1, pp. 19-24, March 2004

[6] J. Y. Hung, “Application of Posicast Principles in Feedback Control,” IEEE International Symposium on Industrial Electronics. vol. 2, 2002.

[7] J. Y. Hung, “Feedback Control with Posicast,” IEEE Trans. on Industrial Electronics. vol. 50, no. 1, February 2003.

[8] P. H. Meckl and R. Winceler, “Robust Motion Control of Flexible Systems Using Feedforward Forcing Functions,” IEEE Trans. on Contr. Syst. Tech. vol. 2, no. 3, pp. 245-254, Sept. 1994.

[9] K. Ogata, Modern Control Engineering, 2nd ed. Englewood Cliffs, N.J. Prentice Hall Inc. 1990.

[10] O. J. M. Smith, Feedback Control Systems, McGraw-Hill,

pp.331-345, 1958. [11] O. J. M. Smith, “Posicast control of damped oscillatory sys-

tems,” Proceedings of IRE, vol. 45, pp. 1249-1255, 1957. [12] G. H. Tallman and O.J.M. Smith, “Analog Study of Dead-

Beat Posicast Control,” IRE Trans. on Automatic Control, pp. 14-21, 1958.

Jesús Aureliano Esquivel Cárdenas. Recibió el título de Ingeniero en Electrónica Industrial de la Universidad Autónoma de Coahuila en 1989, el grado de Maestría en Ciencias de la Ingeniería Eléctrica con especialidad en Control Automático y el grado de Doctor en Ingeniería Eléctrica con especialidad en Control Automático, ambos de la Universidad Autónoma de Nuevo León, México, en 1995 y 1998 respectivamente. Actualmente es investigador de la Universidad Autónoma de Coahuila

en el Centro de Investigación en Matemáticas Aplicadas, Saltillo, Coahuila, México, e imparte cátedra en la Facultad de Ciencias Físico Matemáticas de la misma universidad. Se interesa principalmente en la Mecánica Geométrica y la Robótica.

Javier Ruiz Tello. Recibió el título de Ingeniero en Comunicaciones y Electrónica del Instituto Politécnico Nacional, de la ciudad de México, obtuvo el grado de Maestría en Ingeniería Eléctrica de la Universidad Autónoma de Coahuila. Actualmente ofrece su cátedra en diversas materias del programa de Ingeniería en Electrónica Industrial de la Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica de la Universidad Autónoma de Coahuila en la ciudad de Monclova, Coahuila, México. En su ejercicio profesional se ha desempeñado en la

industria siderúrgica de Altos Hornos de México, S.A. (AHMSA), en la Secretaría de Comunicaciones y Transportes de México y en diversos laboratorios metalúrgicos. Su interés profesional incluye Instrumentación y Control, Automatización de Máquinas Eléctricas, Comunicaciones por corrientes portadoras en lineas de transmisión y radiocomunicación inalámbrica.

ESQUIVEL_CÁRDENAS AND RUIZ_TELLO : POSICAST CONTROL WITH NONZERO INITIAL 591