ORBITA CIRCULAR MARGINALMENTE ESTABLE DE

PARTICULAS CARGADAS EN EL PLANO ECUATORIAL DE UNA

FUENTE ROTANTE CON CAMPO MAGNETICOValenzuela Toledo C A and Sanabria-Gomez J D

Universidad Industrial de Santandercalvalto@tux.uis.edu.co,jsanabri@uis.edu.co

Resumen

Se estudia una clase particular de orbitas, la llamada orbita circular marginalmente establede una partıcula cargada en el plano ecuatorial de una fuente rotante con campo electro-magnetico y utilizando el formalismo dado en la relatividad general. Para el estudio se utilizauna solucion exacta de las ecuaciones de de Einstein-Maxwell que se conoce en la literatu-ra como .exact solution for the exterior field of a rotating neutron star”. El principal objetivodel trabajo consiste en estudiar el efecto que tiene cada uno de los parametros de la solu-cion sobre el radio de la orbita marginalmente estable y de manera especial el parametrorelacionado con el campo magnetico.

1. Introduccion

LA dinamica del movimiento de las partıculas en relatividad general se estudia a travesde la metrica. Las partıculas pueden presentar diversos tipos de trayectorias, en general

acotadas y no acotadas. Esto depende de la energıa y del momento angular de la partıculaantes de la interaccion, en este trabajo se analizan las condiciones que deben satisfacersepara que una partıcula en el plano ecuatorial describa una trayectoria circular. La existen-cia de una ultima orbita estable se atribuye, generalmente, al intenso campo gravitatorio deeste tipo de estrellas. El interes por calcular la ultima orbita estable se basa en el hechode que esta determina el borde interno de un posible disco de acrecion alrededor de la es-trella. El trabajo de Aliev y Ozdemir [7] quienes estudiaron orbitas marginalmente establespara el caso de geometrıas de Kerr y Schwarzschild sobre campos magneticos. Bajo estascondiciones se obtuvo que la interaccion magnetica adicional modifica la estructura de lasorbitas, en especial se encuentran orbitas que no son posibles en la ausencia de este cam-po o viceversa. En el presente trabajo se estudia orbita circular marginalmente estable en lavecindad de una fuente de campo gravitacional y electromagnetico, en relatividad general.Para el estudio se utiliza la solucion exterior de las ecuaciones de Einstein-Maxwell titulada“An exact solution of the Einstein-Maxwell equations referring to a magnetic dipole”, tomadade [2] .

2. General Description

El elemento de linea mas general que describe los espacio tiempos estacionarios y axial-mente simetricos, se puede escribir de la siguiente manera

ds2 = gxx dx2 + gyy dy

2 + gϕϕ dϕ2 + 2gtϕ dt dϕ− gtt dt2, (1)

gxx =e2γk2(x2 − y2)

f (x2 − 1),

gyy =e2γk2(x2 − y2)

f (1− y2),

gϕϕ = f−1k2(x2 − 1)(1− y2)− fω,gtϕ = 2fω,

gtt = f,

donde gαβ son las componentes del tensor metrico y las funciones f , γ y ω solo dependende x y y. Para el caso particular de la solucion que se utiliza en el presente estudio, lasfunciones metricas tienen la siguiente forma

f = E/D, e2γ = E/16k8(x2 − y2)4, ω = (y2 − 1)L/E,

E = {4[k2(x2 − 1) + δ(1− y2)]2 + (a− b)[(a− b)(d− δ)−M2b](1− y2)2}2

−16k2(x2 − 1)(1− y2){(a− b)[k2(x2 − y2) + 2δy2] + M2by2}2,D = {4(k2x2 − δy2)2 + 2kMx[2k2(x2 − 1) + (2δ + ab− b2)(1− y2)] + (a− b)[(a− b)

×(d− δ)−M2b](y4 − 1)− 4d2}2 + 4y2{2k2(x2 − 1)[kx(a− b)−Mb]

−2Mbδ(1− y2) + [(a− b)(k2 − 2δ)−M2b](2kx + M)(1− y2)}2,L = 8k2(x2 − 1){(a− b)[k2(x2 − y2) + 2δy2] + M2by2}

×{kMx[(2kx + M)2 − a2 + b2 − 2y2(2δ + ab− b2)]− 2y2(4δd−M2b2)}−{4[k2(x2 − 1) + δ(1− y2)]2 + (a− b)[(a− b)(d− δ)−M2b](1− y2)2}×(

(1− y2){2M(2kx + M)[(a− b)(d− δ)− b(M2 + 2δ)]− 4M2bδ

+(a− b)(4δd−M2b2)} − 8k2Mb(kx + M)(x2 − 1)), (2)

donde

δ :=µ2 −m2b2

m2 − (a− b)2d :=

1

4[m2 − (a− b)2] k :=

√d + δ :

Esta solucion depende de cuatro parametros reales que son la masa m, el momento angulartotal por unidad de masa a, el parametro de deformacion arbitraria b y el momento dipolarmagnetico µ. El campo electromagnetico de esta solucion esta descrito por las componenteselectrica At y magnetica Aϕ del cuadripotencial electromagnetico Aα = (0, 0, Aϕ, At). Estasdos cantidades estan dadas por la parte real de los siguientes potenciales complejos

Φ1 =2iµC

A + 2MB(3)

Φ2 =K

A + 2MB, (4)

donde

A = 4[(k2x2 − δy2)2 − d2 − ik3xy(a− b)(x2 − 1)]

−(1− y2)[(a− b)(d− δ)−M2b][(a− b)(y2 + 1) + 4ikxy],

B = kx{2k2(x2 − 1) + [b(a− b) + 2δ](1− y2)}+iy{2k2b(x2 − 1)− [k2(a− b)−M2b− 2aδ](1− y2)},

C = 2k2y(x2 − 1) + [2δy − ikx(a− b)](1− y2),

K = (1− y2)(

2k2(x2 − 1)[3m + 2kx + iy(a− b)]

+m{4δ + (b− a)[(y2 − 1)b + 2a]} + (m + 2kx)[m2 + δ(1− y2)]

−2iy[(m2 + 2kxm + 2δ)b− 2aδ])µ,

es decir,

At == Re[Φ1]

Aϕ = Re[Φ2].

Si se considera una partıcula de masa m0 y carga e moviendose en presencia de una combi-nacion de campos gravitacionales y electromagneticos descritos por las funciones gαβ y porel cuadrivector potencial electromagnetico Aα, el Lagrangiano del movimiento esta dado por[3]

L =1

2gαβ x

α xβ + eAα xα, (5)

donde el punto denota la derivada con respecto al tiempo propio τ y xα(τ ) son las coorde-nadas de la partıcula. Si los campos son estacionarios (o estaticos) y axialmente simetricos(o esfericamente simetricos), el lagrangiano es independiente de la coordenada temporal ty la coordenada azimutal ϕ, por lo tanto hay dos constantes de movimiento

∂L∂t

= −E, (6)

∂L∂ϕ

= l, (7)

donde E y l representan la energıa de la partıcula y el momento angular canonico, respecti-vamente De (5), (6) y (7) se pueden obtener las siguientes dos ecuaciones:

t =gϕϕ (E + eAt) + gtϕ (l − eAϕ)

gϕϕ gtt + g2tϕ

(8)

ϕ =gtt (l − eAϕ)− gtϕ (E + eAt)

gϕϕ gtt + g2tϕ

. (9)

En el presente trabajo se estudia el movimiento de partıculas masivas reales (tardiones), porlo tanto el vector cuadrivelocidad uα sera tipo tiempo, lo que se expresa como

gαβ uαuβ = −1, (10)

lo cual permite obtener la siguiente ecuacion

x2 = − 1

gxx

(1 + gyyy

2 + gϕϕϕ2 + 2gtϕtϕ− gttt2

)(11)

Como caso particular se consideran las trayectorias de las partıculas en el plano ecuatorialde la fuente central, dado por y = 0 con lo cual y = 0 y y = 0, con esta restriccion se puededecir que las ecuaciones (8), (9) y (11) dan toda la informacion acerca de la naturaleza delas orbitas. En este caso x, la otra primera integral, puede ser obtenida directamente usandot y ϕ de (8) y (9) en (11), con lo cual se obtiene

(x)2 = − 1

gxxD[D + gtt (l − eAϕ)2 − gϕϕ (E + eAt)

2 − 2 gtϕ (E + eAt)(l − eAϕ)], (12)

con D = gϕϕgtt + g2tϕ. De la anterior ecuacion se puede definir el potencial efectivo para el

movimiento radial de la particula.

Dgxxx2 = V (E, l, x, a, b, µ, e,m), (13)

V (E, l, x, a, b, µ, e,m) = D + gtt (l − eAϕ)2 − gϕϕ (E + eAt)2 − 2 gtϕ (E + eAt)(l − eAϕ) (14)

Es claro que si se quiere estudiar solo orbitas circulares la velocidad propia de la partıculaen direccion radial x, tiene que ser cero, esto requiere que:

V (E, l, x, a, b, µ, e,m) = 0 (15)

∂

∂xV (E, l, x, a, b, µ, e,m) = 0 (16)

La estabilidad de la orbita circular requiere la siguiente relacion

∂2

∂2xV (E, l, x, a, b, µ, e,m) 6 0 (17)

donde el caso de igualdad corresponde al movimiento en la orbita marginalmente estable.La solucion simultanea de las ecuaciones (15-17), determinan la region de estabilidad, laenergıa y el momento angular asociados a la orbita marginalmente estable. La solucionanalıtica de estas ecuaciones es muy complicada debido a la gran complejidad de la solu-cion, por lo tanto se intenta una solucion numerica con el fin de conocer el comportamien-to de la orbita marginalmente estable, cuando se consideran espacio tiempos con campomagnetico.

3. Conclusiones

Como conclusion parcial de nuestro trabajo, se puede decir que la presencia del parametrode dipolo magnetico µ, altera considerablemente la estructura del potencial efectivo, paraalgunos conjuntos de parametros no existe orbita marginalmente estable ya desaparece alintroducir parametro µ.

Referencias

[1] W. B. BONNOR. An exact solution of the Einstein-Maxwell equations referring to a mag-netic dipole. Z. Phys. 190, 444 (1966).

[2] V S MANKO, E W MIELKE and J D SANABRIA-GOMEZ. Exact solution for the exteriorfield of a rotating neutron star. Phys. Rev. D 61, 081501 (2000).

[3] A R PRASANNA. General-Relativistic analysis of charged-particle motion in electromag-netic fields surrounding black holes. Riv. Nuovo Cimento 3 11 (1980).

[4] A R PRASANNA and R K VARMA. Charged particle trajectories in a magnetic field on acurved space-time. Pramana 8, 229 (1977).

[5] A R PRASANNA and C V VISHVESHWARA. Charged particle motion in an electromag-netic field on Kerr backgroun geometry. Pramana 11, 259 (1978).

[6] G PRETI. On charged particle orbits in dipole magnetic fields around Schwarzschild blackholes. Class. Quantum Grav. 21, 3433 (2004).

[7] A N ALIEV and N OZDEMIR. Motion of charged particles around a rotating black hole ina magnetic field. Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 336, 241 (2002).

XXII Congreso Nacional de Fısica, 22 al 26 de Octubre de 2007, Ibague, Colombia