potencial elÉctrico fuerzas conservativas

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POTENCIAL ELÉCTRICO

Fuerzas conservativas

La razón fundamental por la que se puede definir el concepto de

potencial eléctrico (al igual que potencial gravitatorio) es la que nos dice

que el trabajo (1) de la fuerza eléctrica entre dos puntos no depende de

la trayectoria seguida para ello, sino simplemente del punto inicial y del

punto final. Por ello, la fuerza eléctrica recibe el nombre de fuerza

conservativa(2).

De esta propiedad se deduce otra equivalente, que sirve también

de definición de fuerza conservativa, a saber: el trabajo de la fuerza

eléctrica en una trayectoria cerrada es cero. En efecto:

∙ 𝐵

∙ 𝐴

Para ir del punto A al punto A evidentemente el trabajo es cero

pues no hay desplazamiento. Pero también podemos ir desde A hasta B y

después volver de B hasta A siendo el trabajo el mismo pues no depende

de la trayectoria. Así:

(El trabajo de una fuerza lo denotamos por W, como en dinámica)

𝑊𝐴𝐵 + 𝑊𝐵

𝐴 = 𝑊𝐴𝐴 = 0 → 𝑾𝑨

𝑩 = −𝑾𝑩𝑨

Por lo tanto también podemos decir, como definición de fuerza

conservativa, que es aquella cuyo trabajo en una trayectoria cerrada es

cero:

∮𝑭𝒆𝒍é𝒄⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ∙ 𝒅�⃗� = 𝟎

(1) Recordar la definición de trabajo de una fuerza

(2) Si sólo actúan fuerzas de este tipo, la energía mecánica se conserva

(en sólidos rígidos, “indeformables”)

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Definición de potencial

Para definir el concepto de potencial en un punto A, se elige un

punto concreto y arbitrario como origen de potenciales 𝑂𝑣

y el trabajo hecho por la fuerza eléctrica, y cambiado de signo (esto por

sencillez en el teorema del trabajo) sobre un culombio (el trabajo del

campo eléctrico por lo tanto) cuando este se traslada desde el origen de

potenciales hasta el punto A lo llamamos potencial en A (dicho trabajo,

como se ha dicho, es una constante que no depende de la trayectoria)

�⃗� ∙ 𝐴

° + 1𝐶

∙ 𝑂𝑣

𝑽(𝑨) = −𝑾𝒆𝒍é𝒄𝒕𝒓𝒊𝒄𝒐𝑶𝒗

𝑨 = −∫ �⃗⃗� ∙ 𝒅�⃗� 𝑨

𝑶𝒗

Si en ese punto A pusiéramos una carga q, diremos que esa carga

q posee una energía potencial

𝑬𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂𝒍 = 𝒒 ∙ 𝑽(𝑨)


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TRABAJO DE LA FUERZA ELÉCTRICA ENTRE DOS PUNTOS

Tengamos ahora dos puntos A y B. Vamos a calcular el trabajo de

la fuerza eléctrica cuando trasladamos +1 culombio desde A hasta B

∙ 𝐵

∙ 𝑂𝑣

∙ 𝐴

Como dicho trabajo no depende de la trayectoria, vayamos primero desde

A hasta el origen de potenciales y después, desde allí, hasta el punto B:

𝑊𝐴𝐵 = 𝑊𝐴

𝑂𝑣 + 𝑊𝑂𝑣

𝐵

= |ℎ𝑎𝑐𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑛𝑜𝑠 𝑎𝑝𝑎𝑟𝑒𝑧𝑐𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙|

= |𝑊𝐴𝑂𝑣 = −𝑊𝑂𝑣

𝐴 | = −𝑊𝑂𝑣

𝐴 − (−𝑊𝑂𝑣

𝐵 ) = 𝑉(𝐴) − 𝑉(𝐵) = −∆𝑉

Si en vez de trasladar un culombio, trasladamos una carga q:

𝑾𝑨𝑩 = −𝒒∆𝑽

El trabajo hecho por la fuerza eléctrica sobre una carga q cuando se

traslada entre dos puntos es igual a menos la carga por la diferencia de

potencial, o lo que es lo mismo, a la variación de su energía potencial

cambiada de signo ( 𝒒 ∙ 𝑽 = 𝑬𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂𝒍)


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TEOREMA DEL TRABAJO (recordatorio)

Veamos ahora el teorema del trabajo cuando aparecen fuerzas

conservativas:

𝑇𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜:∑𝑊𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = ∆𝐸𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎 →

→ 𝑊𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠 + 𝑊𝑛𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠 = ∆𝐸𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎 →

→ −∆𝐸𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 + 𝑊𝑛𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠 = ∆𝐸𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎 →

𝑾𝒏𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂𝒕𝒊𝒗𝒂𝒔 = ∆𝑬𝒄𝒊𝒏é𝒕𝒊𝒄𝒂 + ∆𝑬𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂𝒍 →

𝑾𝒏𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂𝒕𝒊𝒗𝒂𝒔 = ∆𝑬𝒎𝒆𝒄á𝒏𝒊𝒄𝒂

Expresión que utilizaremos para relacionar posiciones y velocidades

cuando haya cargas en movimiento (como hemos utilizado el teorema en

la parte de mecánica) y donde se ha definido la energía mecánica como la

suma de la cinética y la potencial (como siempre)

Ejercicio 1

Los puntos A y B están inmersos en un campo eléctrico de módulo 20N/C

y dirección horizontal hacia la derecha tal como indica la figura. Calcular la

diferencia de potencial V(B)-V(A) siendo la distancia entre los puntos 10 m

∙ 𝐵

�⃗� = 20𝑖

60

∙ 𝐴

Tenemos que calcular el trabajo de la fuerza eléctrica sobre +1𝐶 cuando

nos desplazamos desde A hasta B por cualquier trayectoria, eligiendo la

más simple, la recta AB. Aplicando la definición de trabajo:


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𝑊𝐴𝐵 = �⃗� ∙ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 20 ∙ 10 ∙ 𝑐𝑜𝑠60 = 100 𝐽 →

Por lo tanto, la diferencia de potencial

𝑉(𝐵) − 𝑉(𝐴) = −𝟏𝟎𝟎 𝑽

Como vemos en este ejemplo, algo que se cumple siempre, es que si

vamos en la dirección del campo el potencial disminuye (como si

“cayéramos” en el seno del campo)

Ejercicio 2

Una carga de +1C y masa 1Kg e inicialmente en reposo se traslada desde

el punto A de potencial 100V al punto B de potencial 10V. Calcular:

a) Trabajo ejercido por el campo eléctrico sobre la carga:

Según sabemos:

𝑊𝐴𝐵(𝐹𝑒𝑙é𝑐𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎) = −𝑞∆𝑉 = −𝑞(𝑉(𝐵) − 𝑉(𝐴))

= −(+1)(10 − 100) = 90𝐽

Lo que indica que el trabajo hecho por el campo es positivo y , en ausencia

de más fuerzas, esa carga habrá ganado energía cinética, como veremos

en la pregunta siguiente. No está de más añadir, a la luz de este ejemplo,

que las cargas positivas se mueven de mayor a menor potencial.

b) Calcular energía cinética adquirida por la masa y su velocidad al

llegar al punto B:

Para relacionar dos puntos y sus velocidades utilizamos, como ya

hemos repetido, el teorema del trabajo:

𝑊𝑛𝑐 = ∆𝐸𝑚

Siempre calculamos cada miembro de la igualdad por separado y

después aplicamos la ley:

𝑊𝑛𝑐 = 0 porque sólo actúa el campo eléctrico que es conservativo y, por

lo tanto, no hay fuerzas conservativas


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∆𝐸𝑚 = {𝐸𝑚(𝐴) = 𝑞𝑉(𝐴) + 𝐸𝑐(𝐴) = (+1) ∙ 100 + 0 = 100𝐽

𝐸𝑚(𝐵) = 𝑞𝑉(𝐵) + 𝐸𝑐(𝐵) = (+1) ∙ 10 +1

21 ∙ 𝑣2(𝐵)

Y aplicando el teorema

𝑊𝑛𝑐 = 𝐸𝑚(𝐵) − 𝐸𝑚(𝐴)

→ 0 = 100 − [10 +1

2𝑣2(𝐵)]

→1

2𝑣2(𝐵) = 90

𝑣(𝐵) = √180 𝑚 𝑠⁄

Donde se ha denotado a la velocidad con la letra 𝑣 y la distinguimos

claramente de la letra que denota al potencial, 𝑉.

Realmente, como vemos, en el teorema del trabajo aparece la

diferencia de potencial pero es muy cómodo hablar de la función

potencial eligiendo un origen de potenciales como hemos dicho al

principio. Veamos esto con un ejemplo y vamos a calcular la función

potencial producida por una carga puntual:

POTENCIAL CREADO POR UNA CARGA PUNTUAL

�⃗� = 𝐾𝑄

𝑥2∙ 𝑖

Q 𝑥1 𝑥2

𝑥 𝑑𝑟 = 𝑑𝑥 ∙ 𝑖

Vamos a calcular la diferencia de potencial 𝑉(𝑥2) − 𝑉(𝑥1) producida por

una carga Q puesta en el origen de coordenadas:


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𝑉(𝑥2) − 𝑉(𝑥1)

= −∫ �⃗� ∙ 𝑑𝑟 = |{�⃗� = 𝐾

𝑄

𝑥2𝑖

𝑑𝑟 = 𝑑𝑥𝑖

|𝑥2

𝑥1

= −∫ 𝐾𝑄

𝑥2𝑑𝑥 = −𝐾𝑄 [−

1

𝑥]𝑥1

𝑥2

= −𝐾𝑄(−1

𝑥2+

1

𝑥1)

𝑥2

𝑥1

𝑽(𝒙𝟐) − 𝑽(𝒙𝟏) = −𝑲𝑸(−𝟏

𝒙𝟐+

𝟏

𝒙𝟏)

Si ahora elegimos 𝑥1 = ∞ 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑜𝑟í𝑔𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑉(𝑥1) = 0 →

𝑉(𝑥2) − 0 = −𝐾𝑄(−1

𝑥2) →

Quitando subíndices (nos da igual llamarle 𝑥2 𝑞𝑢𝑒 𝑥 𝑦 𝑥 𝑒𝑠 𝑚á𝑠 𝑓á𝑐𝑖𝑙)

tenemos el potencial creado por una carga puntual:

𝑽(𝒙) = 𝑲𝑸

𝒙

Donde, insistimos, se ha elegido arbitrariamente el origen de

potenciales en el infinito (como en muchos libros) y 𝒙 es la distancia a la

carga del punto en donde estamos calculando el potencial que en algunos

problemas que haremos llamaremos d. Para una carga puntual

utilizaremos siempre esta fórmula. En problemas más complejos

podemos elegir nosotros nuestro propio origen de potenciales para

conseguir expresiones sencillas. En la fórmula anterior recordar que la

carga Q lleva su signo.


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CÁLCULO DE POTENCIALES

Para el cálculo de potenciales distinguiremos, como en el caso de

cálculo de campos, tres tipos de problemas y métodos según sea la

distribución de cargas:

1.-cargas puntuales

2.-varillas y aros

3.-planos, cables y cilindros infinitos y esferas

1.-CÁLCULO DE POTENCIALES CREADOS POR CARGAS PUNTUALES

Este es el caso más sencillo, sólo tenemos que calcular el potencial

creado por cada carga puntual en el punto que nos pregunten (utilizando

la fórmula anterior deducida para una carga puntual) y sumar todos los

potenciales (se insiste, con su signo algebraico, es un número a diferencia

del campo eléctrico). Con el siguiente ejemplo creemos queda clara la

explicación:

Sea la distribución de las tres cargas 𝑞1 = −2𝐶, 𝑞2 = 2𝐶 𝑦 𝑞3 = 4𝐶 en las

posiciones de la figura 𝐴(0,0), 𝐵(0,3)𝑦 𝐶(5,0) respectivamente. Calcular

el potencial en el punto D(10,10)

∎𝐷 (10,10) 𝑉?

𝑑2

𝑞2 = 2𝐶 ∎𝐵 (0,3)

𝑑1 𝑑3

∎ ∎

𝑞1 = −2𝐶 𝐴 (0,0) 𝑞3 = 4𝐶 C(5,0)


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Como sabemos por la fórmula del potencial creado por una carga

puntual, nos hace falta conocer las distancias de las cargas, 𝑑1, 𝑑2 𝑦 𝑑3, al

punto donde D queremos hallar el potencial:

Distancia 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ = |𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗| = |(10 − 0, 10 − 0)| = √102 + 102 = 10√2

Distancia 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ = |𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = |(10 − 0, 10 − 3)| = √102 + 72 = √149

Distancia 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ = |𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗| =

|(10 − 5,10 − 0)| = √52 + 102 = √125

Una vez conocidas las distancias conocemos todas las

magnitudes necesarias y calculamos el potencial, como hemos dicho,

sumando el que produce cada una:

𝑉(𝐷) = ∑𝑘𝑞

𝑑= 𝑘

−2

10√2+ 𝑘

2

√149+ 𝑘

4

√125= ⋯𝑉


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2.-POTENCIALES CREADOS POR CARGAS CONTINUAS (varillas y aros…)

En este segundo caso haremos algo que ya nos tiene que empezar

a ser familiar: calcularemos el potencial infinitesimal de una carga puntual

muy pequeñita con la fórmula del potencial creado por una carga puntual

y sumaremos todas sus contribuciones por medio de una integral. Esta

técnica es la que hemos utilizado también en el cálculo del campo

eléctrico y se utiliza en la resolución de muchos problemas, no sólo de

física. Veamos.

Ejemplo1

Calcular el potencial creado por una varilla de longitud L y cargada con una

densidad de carga 𝜸𝑪𝒎⁄ a una distancia d de uno de sus extremos en el

punto P tal como indica la figura:

P

∎

L d

Para ello, tomamos un origen de coordenadas cómodo, en el

origen izquierdo de la varilla, y definimos la posición de una carga

infinitesimal cualquiera (y entonces función de variables, en este caso

una, "𝒙") o genérica dentro de ella:

𝐿 + 𝑑

𝑑𝑥

∎

𝑥 𝐿 + 𝑑 − 𝑥

La carga puntual está en el trocito de varilla de longitud dx y por lo tanto

su carga infinitesimal será 𝜸𝒅𝒙. Calculamos ahora el potencial

infinitesimal creado por esta carguita aplicando la fórmula de potencial

creado por carga puntual:


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𝑑𝑉 = 𝐾𝑑𝑞

𝐿 + 𝑑 − 𝑥= 𝐾

𝛾𝑑𝑥

𝐿 + 𝑑 − 𝑥

Una vez que tenemos el potencial infinitesimal todo en función de la

misma variable, x en nuestro caso, integramos para calcular el potencial

total:

𝑉 = ∫𝑑𝑉 = ∫ 𝐾𝛾𝑑𝑥

𝐿 + 𝑑 − 𝑥=

𝐿

0

= −𝐾𝛾𝐿𝑛(𝐿 + 𝑑 − 𝑥)0𝐿 = 𝐾𝛾𝐿𝑛

𝐿 + 𝑑

𝑑

𝑽(𝑷) = 𝑲𝜸𝑳𝒏𝑳 + 𝒅

𝒅

Ejemplo2

Calcular el potencial en el centro de un arco de circunferencia de radio R,

de amplitud 3𝜋

4𝑅𝑑 y de densidad variable 𝛾 = 𝛽𝜃 𝐶

𝑚⁄ donde 𝛽 es una

constante.

3𝜋

4𝑅𝑑 𝑑𝑞

𝜃

O

𝑑𝜃

La carguita infinitesimal está definida por el ángulo 𝜃 y encerrada en un

arco infinitesimal 𝑑𝜃 . Vamos a calcular, como antes, el voltaje

infinitesimal creado por esta carguita en el centro a distancia R


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𝑑𝑉 = 𝑘𝑑𝑞

𝑅= |𝑑𝑞 = 𝛾𝑑𝑙 = {

𝛾 = 𝛽𝜃𝑑𝑙 = 𝑅𝑑𝜃

=𝛽𝜃(𝑅𝑑𝜃)| = 𝑘𝛽𝜃𝑅

𝑅𝑑𝜃 =

𝑘𝛽𝜃 ∙ 𝑑𝜃

𝑉 = ∫𝑑𝑉 = ∫ 𝑘𝛽𝜃 ∙ 𝑑𝜃3𝜋

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Integral muy sencilla que no acabamos.

3.- POTENCIAL CREADO POR PLANOS, HILOS Y CILÍNDROS INFINITOS Y

ESFERAS

En todos los ejemplos donde es necesario utilizar el teorema de

Gauss para calcular el campo eléctrico aplicaremos la definición de

diferencia de potencial 𝑉(𝑏) − 𝑉(𝑎) = ∫ �⃗� 𝑑𝑟 𝑏

𝑎 para calcular el potencial

y la diferencia de potencial.

Ejemplo 1. Potencial creado por un plano infinito cargado con una

densidad de carga 𝜎 𝐶𝑚2⁄

�⃗� =𝜎

2𝜀𝑖

A P B

𝑥 𝑋

𝑑𝑟 = 𝑑𝑥𝑖

Queremos calcular la diferencia de potencial entre los puntos A y B,

de ahí también podremos deducir la función potencial. Para ello

calculamos el trabajo hecho por el campo eléctrico cuando nos

trasladamos desde el punto A hasta el punto B. Dado que el campo

depende de la variable 𝑥 tenemos que aplicar la definición integral de

trabajo:


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𝒅𝑾 = �⃗� ∙ 𝑑𝑟 =𝜎

2𝜀𝑖 ∙ 𝑑𝑥𝑖 =

𝝈

𝟐𝜺𝒅𝒙 → 𝒅𝒗 = −𝒅𝑾 →

𝑽(𝑩) − 𝑽(𝑨) = −∫𝜎

2𝜀𝑑𝑥 = −

𝑥=𝑏

𝑥=𝑎

𝜎

2𝜀∫ 𝑑𝑥 = −

𝝈

𝟐𝜺(𝒃 − 𝒂)

𝑥=𝑏

𝑥=𝑎

Si ahora elegimos un punto de potencial cero definimos la función

potencial:

Por comodidad 𝑆𝑖 𝑎 = 0 → 𝑉(𝐴) = 0

Quedándonos entonces:

𝑽(𝑩) = −𝝈

𝟐𝜺𝒃

Veamos una aplicación de esta ley en el estudio de un condensador

de placas paralelas. Es un artilugio compuesto por dos placas metálicas

cargadas con la misma carga pero opuestas en signo, rectangulares y

separadas una distancia.

Condensador de placas plano-paralelas

+𝝈 −𝝈

�⃗⃗� +

�⃗⃗� − 𝑿

D

En la figura, las dos placas están vistas de perfil y su superficie es S.

Queremos calcular la diferencia de potencial entre las dos placas y, por lo

tanto, haremos algo parecido a lo que hemos hecho en el apartado

anterior: calcular el trabajo hecho por el campo eléctrico al ir de la placa

positiva a la negativa (aunque no sean planos infinitos se asume que el

campo eléctrico creado por la placa es el mismo que el creado por un

plano infinito –por lo menos, lejos de los bordes-)

�⃗� = �⃗� − + �⃗� + = 2 ∙𝜎

2𝜀𝑖 ; 𝑑𝑟 = 𝑑𝑥𝑖


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𝑉− − 𝑉+ = −∫𝜎

𝜀𝑑𝑥 = −

𝜎

𝜀𝐷

𝑥=𝐷

𝑥=0

En valores absolutos podemos decir:

∆𝑉 =𝜎

𝜀𝐷 → |𝑐𝑜𝑚𝑜 |𝐸| =

𝜎

𝜀| →

→ ∆𝑽 = 𝑬 ∙ 𝑫

La carga total del condensador es cero, pero no es lo mismo que esté

cargado que no. Definimos la carga de un condensador de este tipo como

la carga Q positiva:

𝑄 = 𝜎 ∙ 𝑆

Como ∆𝑉 =𝜎

𝜀𝐷

Dividiendo una entre otra observamos una propiedad de este elemento:

𝑸

∆𝑽=

𝜎𝑆𝜎𝜀𝐷

= 𝜺𝑺

𝑫

El “aparato” almacena carga y el cociente entre esta carga y la diferencia

de potencial es siempre una constante que depende de sus

características: superficie de las placas, distancia que las separa y

permitividad eléctrica del medio que las separa en este caso. A esta

constante se llama capacidad y es una propiedad que cumplen todos los

tipos de condensadores, no solamente este.

Ley para todos los condensadores:

𝑪 =𝑸

∆𝑽

Para condensadores de placas plano-paralelas como el estudiado

𝑪 = 𝜺𝒔

𝑫


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