POTENCIAL ELCTRICO

NDICERESUMEN2INTRODUCCIN41. SUPERFICIE EQUIPOTENCIAL52. TRABAJO83. POTENCIAL ELCTRICO (V)83.1. El Potencial Elctrico y el Campo Elctrico (caso particular)123.2. El Potencial Elctrico y el Campo Elctrico (caso general)134. POTENCIAL ELCTRICO DEBIDO A UNA CARGA PUNTUAL145. POTENCIAL ELCTRICO DEBIDO A UN CONJUNTO DE CARGAS156. POTENCIAL ELCTRICO DE UNA DISTRIBUCIN DE CARGAS CONTINUAS177. ENERGA POTENCIAL ELCTRICA188. CALCULO DEL CAMPO ELCTRICO (E) A PARTIR DEL POTENCIAL ( V )219. EJERCICIOS RESUELTOS25CONCLUCIONES27BIBLIOGRAFIA28

RESUMEN

De las secciones anteriores sacamos la conclusin de que a cada punto de un campo electrosttico se le puede adjudicar una magnitud escalar que hemos llamado potencial en el punto. Es razonable pensar que habr una serie de puntos de dicho espacio en los cuales el potencial adquiera el mismo valor. El conjunto de estos infinitos puntos del campo elctrico, que tienen el mismo potencial, constituyen una superficie que llamaremos superficie equipotencial. La forma de estas superficies depende de la complejidad del campo al cual pertenecen. En el caso ms sencillo producido por una carga es fcil demostrar que son superficies esfricas concntricas con centro en dicha carga. Las superficies equipotenciales tienen las siguientes propiedades: Por un punto solo pasa una superficie equipotencial.propiedad totalmente lgica, ya que si pasara ms de una superficie equipotencial el punto tendra que tener ms de un potencial, lo cual es imposible, puesto que hemos definido el potencial en un punto como el trabajo necesario para traer la carga unidad desde el infinito al punto, y dicho trabajo no depende de la trayectoria.

El trabajo para transportar una carga Q, d.- un punto a otro de la superficie equipotencial es nulo.

Segn podemos recordar, el trabajo para trasladar una carga de un punto a otra es: al ser a y b puntos de una misma superficie equipotencial, sus potenciales son iguales y se tiene Vb = Va, por tanto: con lo que el trabajo es nulo, como queramos demostrar.

Los vectores intensidad de campo son perpendiculares a las superficies equipotenciales y, por tanto, las lneas de fuerza son normales a dichas superficies.

Si trasladamos la unidad de carga a lo largo de un camino ds sobre la superficie equipotencial, el trabajo realizado vendr expresado por: donde la fuerza sobre la unidad do carga es E.

La propiedad b, vista anteriormente, nos dice que este trabajo es nulo y, por la tanto se verifica:

Para que el producto anterior sea nulo debe serlo uno de los factores. Puesto que no son nulos ni E ni ds, segn las condiciones en que estamos trabajando, deber serlo necesariamente cos, con lo cual se tiene= 90

Llegamos as a la conclusin de que E y ds deben ser perpendiculares, es decir, los vectores intensidad de campo son perpendiculares a las superficies equipotenciales y las lneas de fuerza, por ser tangentes a dichos vectores, sern igualmente perpendiculares a ellas.

INTRODUCCIN

Una superficie equipotencial es el lugar geomtrico de los puntos de un campo escalar en los cuales el "potencial de campo" o valor numrico de la funcin que representa el campo, es constante. Las superficies equipotenciales pueden calcularse empleando la ecuacin de Poisson.

El caso ms sencillo puede ser el de un campo gravitatorio en el que hay una masa puntual: las superficies equipotenciales son esferas concntricas alrededor de dicho punto. El trabajo realizado por esa masa siendo el potencial constante, ser pues, por definicin, cero.Cuando el campo potencial se restringe a un plano, la interseccin de las superficies equipotenciales con dicho plano se llaman lneas equipotenciales.

Una superficie equipotencial a una lnea infinita de carga sera un cilindro de altura infinita con la lnea de carga en su eje central.Una superficie equipotencial en torno a una esfera cargada uniformemente es otra esfera concntrica a la que posee la carga.Explique por qu las superficies equipotenciales son siempre perpendiculares a las lneas de campo elctrico.

Si una lnea de campo no fuera perpendicular a una superficie equipotencial, entonces tendra una componente paralela a la superficie, y si quisiera mover una carga en la direccin de esa componente del campo se tendra que realizar trabajo. Pero eso contradice el concepto de superficie equipotencial, en una superficie equipotencial se pueden mover cargas sin realizar trabajo. Una superficie equipotencial es aqulla en la cual todos sus puntos tienen el mismo potencial elctrico, por lo que el trabajo realizado para transportar una carga elctrica de un punto a otro sobre dicha superficie es nulo. Diferencia de potencial e intensidad del campo elctrico uniformeEn un campo elctrico uniforme originado por dos placas metlicas y paralelas con cargas iguales y de signo contrario, la diferencia de potencial entre dos puntos cualesquiera tomados uno sobre cada placa es igual al producto del mdulo E de la intensidad del campo por la separacin.

POTENCIAL ELCTRICO1. SUPERFICIE EQUIPOTENCIAL

El lugar geomtrico de los puntos de igual potencial elctrico se denomina superficie equipotencial. Para dar una descripcin general del campo elctrico en una cierta regin del espacio, se puede utilizar un conjunto de superficies equipotenciales, correspondiendo cada superficie a un valor diferente de potencial. Otra forma de cumplir tal finalidad es utilizar las lneas de fuerza y tales formas de descripcin estn ntimamente relacionadas.No se requiere trabajo para mover una carga de prueba entre dos puntos de una misma superficie equipotencial, lo cual queda manifestado por la expresin:

La diferencia de potencial es independiente de la trayectoria de unin entre los dos puntos aun cuando la misma no se encuentre totalmente en la superficie considerada.Las superficies equipotenciales son siempre perpendiculares a las lneas de fuerza y, por consiguiente, a . Si no fuera as, el campo tendra una componente en ella y, por consiguiente, debera hacerse trabajo para mover la carga en la superficie. Ahora bien, si la misma es equipotencial, no se hace trabajo en ella, por lo tanto el campo debe ser perpendicular a la superficie.La figura muestra un conjunto arbitrario de superficies equipotenciales. El trabajo necesario para mover una carga siguiendo las trayectorias que comienzan y terminan en la misma superficie equipotencial es cero.

PROPIEDADES

Cuando una carga se mueve sobre una superficie equipotencial no se realiza trabajo, ya que la diferencia de potencial es cero.

Las lneas de fuerza son perpendiculares a las superficies equipotenciales. Es decir que la intensidad de campo en un punto es perpendicular a la superficie equipotencial que pasa por dicho punto. En efecto, si el trabajo realizado al mover una carga sobre la superficie equipotencial vale cero, significa que yson perpendiculares, por lo que tambin lo son y . El sentido del vector campo elctrico va en sentido de los potenciales decrecientes. Dos superficies equipotenciales nunca pueden cortarse. Si lo hicieran, en todos los puntos de la lnea de corte habra dos vectores campo elctrico, cada uno perpendicular a una de las superficies, lo cual no es posible.

PROPIEDADES DE UN CONDUCTOR EN EQUILIBRIO ELECTROSTATICOUn cuerpo conductor se encuentra en equilibrio electrosttico cuando las cargas del conductor se encuentran en reposo.a) El campo elctrico es cero en cualquier punto interior del conductor.b) Cualquier carga en exceso que posea el conductor debe residir enteramente en la superficie del mismo.c) El campo elctrico justo en el exterior de la superficie del conductor es perpendicular a dicha superficie y tiene el valor (/0) en donde es la densidad de carga superficial, que puede variar de un punto a otro de la superficie.d) En un conductor de forma irregular la carga tiende a acumularse en regiones donde el radio de curvatura de la superficie es ms pequea, es decir, en las puntas.

2. TRABAJOAl desplazarse una partcula debido a una fuerza aplicada sobre ella, se est realizando un trabajo.

En este caso, el trabajo efectuado por la fuerza sobre la partcula se define como el producto de la magnitud de la fuerza F por la magnitud del desplazamiento (r) o distancia recorrida. En el caso de que el desplazamiento sea en una dimensin (eje x), el trabajo es:

(forma vectorial)Cuyas unidades son N m

(forma escalar)

Donde es el ngulo que forma la fuerza con respecto a la direccin de movimiento. Como F y d son magnitudes pero el ngulo puede variar de 00 a 1800, entonces el trabajo puede ser positivo, negativo o nulo, todo depender del ngulo .El campo Elctrico que rodea a una carga puntual o cualquier material cargado (sea una esfera, cilindro, lnea de carga, etctera) puede describirse en funcin del campo elctrico vectorial, pero en algunos casos, es ms conveniente (y mas sencillo) trabajar con cantidades escalares, tal es el caso del:3. POTENCIAL ELCTRICO (V)

Para calcular la diferencia de potencial entre dos puntos A y B en un campo elctrico, una carga de prueba q0 se desplaza desde el punto A hasta el punto B, mantenindola en todo momento en equilibrio, es decir, movindola con velocidad constante (v = ctte) y consecuentemente sin aceleracin (a = 0), conociendo el trabajo (WAB) que tiene que realizar el agente externo para mover la carga q0 en un campo elctrico, la diferencia o cambio () de potencial entre los puntos A y B se define como:

Sus unidades son unidades de trabajo (Joule) por unidad de carga (Coulomb)

Como el trabajo puede ser:WAB +por lo tantoVB > VA-por lo tanto VB < VA0por lo tantoVB = VA

Para definir el potencial elctrico en un punto B (VB) se toma el potencial en el punto A (VA) a una distancia infinita con respecto a B. En ese punto se considera que el potencial es cero (VA = Vinfinito = 0). Luego entonces:

Donde W es el trabajo que realiza el agente externo (no la carga fuente)El potencial cerca de una carga (fuente) aislada positiva es positivo, debido a que el agente externo debe realizar trabajo positivo, lo cual se muestra esquemticamente en la siguiente figura:Direccin de movimiento (desde el infinito)q0+q+FelctricaFaplicada

Donde el trabajo realizado por la fuerza aplicada para traer la carga q0 desde el infinito hasta el punto B es:

con = 00 entoncesW > 0El potencial cerca de una carga (fuente) aislada negativa es negativo, debido a que el agente externo debe realizar trabajo negativo, lo cual se muestra esquemticamente en la siguiente figura:Direccin de movimiento (desde el infinito)q0+q-FaplicadaFelctrica

con = 1800 entoncesW < 0Como el potencial se define en funcin del trabajo realizado y ste a su vez se define como el producto escalar o producto punto entre dos vectores (Fuerza y Desplazamiento) que es un escalar, entonces el potencial elctrico es un escalarAl igual que el trabajo que se realiza sobre un cuerpo para moverlo desde un punto A hasta un punto B (en campos conservativos) es independiente de la trayectoria que se sigue, as mismo la diferencia de potencial elctrico tambin es independiente de la trayectoria.IIIIACDB+++++++++aIIb

Antes de analizar las trayectorias de la figura anterior, se debe comprender que la fuerza aplicada por el agente externo es en todo momento paralela a la fuerza que ejerce la carga o distribucin de cargas, en este caso, es antiparalela. En otras palabras, la fuerza aplicada por el agente externo no necesariamente est aplicada en la direccin de movimiento. No se debe confundir con el caso de una fuerza gravitatoria de levantar un cuerpoTrayectoria IDireccin de mov.FaFe

Donde

(donde d es la distancia recorrida o la hipotenusa del tringulo que se forma)

Trayectoria II

Donde

Trayectoria III

Donde

De lo anterior se concluye lo siguiente: Como los potenciales en A y D son los mismos. Como los potenciales en C y B son los mismos.Al lugar geomtrico para los cuales el potencial elctrico no cambia, se le llama:Superficies equipotencialesPor ejemplo, para una carga puntual, las superficies equipotenciales son esferas concntricas a la carga.Campo Elctrico y Superficies Equipotenciales de una carga puntualSuperficies equipotencialesCampo Elctrico

Para una lmina infinita cargada, las superficies equipotenciales son planos paralelos a la lminaSuperficies equipotenciales y campo elctrico de una placa cargadaCampo ElctricoSuperficies equipotenciales+++++++++

3.1. El Potencial Elctrico y el Campo Elctrico (caso particular)Una carga de prueba positiva q0 se mueve de A a B en un campo elctrico uniforme E generado por una distribucin de carga. La carga es desplazada debido a la accin que ejerce un agente externo de tal forma que en todo momento el movimiento es uniforme, es decir, v = constante (a = 0)Fe =q0 EFadlAB+++++++++---------

Para mover la carga se debe aplicar una fuerza Fa de igual magnitud pero en sentido contrario a Fe = q0 E

Donde la Fa y la direccin de movimiento forman un ngulo = 00

Y la diferencia de potencial entre el punto A y el punto B es:

Relacin que expresada de otra forma es:

Con lo cual se tienen una nueva expresin para las unidades de campo elctrico en trminos de:

3.2. El Potencial Elctrico y el Campo Elctrico (caso general)En el caso ms general, en el cual el campo elctrico no es uniforme y en el que el cuerpo de prueba se mueve alo largo de una trayectoria que no es rectilnea, el agente externo debe aplicar una fuerza Fa variable, de tal manera que en cualquier instante anule a Fe (movimiento con v = constante; a = 0).TrayectoriadlFeFa

De la figura se observa que dl es el vector desplazamiento, el cual es tangente a la trayectoria y forma un ngulo con respecto al campo elctrico de ese punto. La fuerza aplicada Fa es antiparalela a la fuerza elctrica debida al campo elctrico, es decir:Fa = - Fe = - q0 EComo se tiene un caso donde tanto F como E son variables, entonces el trabajo es igual a una integral.

Luego entonces, la diferencia de potencial viene expresada como

Para el caso anterior donde E es uniforme (E = constante) y la partcula se mueve en direccin contraria al campo elctrico, se tiene que:

Y la diferencia de potencial es:

4. POTENCIAL ELCTRICO DEBIDO A UNA CARGA PUNTUALEl campo elctrico debido a una carga puntual Q+ a una distancia d de la carga es:

Donde el vector unitario sale de la carga

Evaluando el producto punto

Donde es al ngulo que se forma entre el vector que sale de la carga () y el vector desplazamiento que se acerca a la carga (), es decir = 1800, se tiene que:

Pero como dl = -drEntonces:

Donde los lmites de integracin son ahora: rA y rB, es decir, los vectores de posicin que localizan a los puntos A y B a partir de la carga QResolviendo la integral anterior:

Si y el potencial en ese punto es (como ya se mencion anteriormente) VA = 0, entonces:

Donde d es la distancia del centro de la carga al punto donde deseamos conocer el potencial

5. POTENCIAL ELCTRICO DEBIDO A UN CONJUNTO DE CARGASEl potencial que produce un grupo de cargas puntuales q1, q2, q3, q4,, qi,... qn, en un punto del espacio se calcula como sigue:a) Calcular el potencial debido a la carga qi como si las otras cargas no estuviesen presentes.

b) Como el potencial es una magnitud escalar y no vectorial como el campo elctrico, estos debern sumarse algebraicamente (esta es una de las ventajas de trabajar con cantidades escalares)

Donde ri es la distancia de la carga qi al punto P y qi es la carga, la cual puede ser positiva o negativa.Ejemplo: dos cargas puntuales de q1 = +12 x 10-9 C y q2 = -12 x 10-9 C estn separadas 10 cm. Calcule los potenciales en los puntos a, b y c que se muestran en la siguiente figura.6 cm4 cm4 cm10 cm10 cmcba

El potencial en el punto a es:

El potencial en el punto b es:

El potencial en el punto c es: Sin realizar clculos y analizando la situacin, podra decir cual es el potencial en el punto cSugerencia: observe que tiene una carga fuente positiva y una carga fuente negativa, ambas de la misma magnitud y que una posible carga de prueba se va a traer desde el infinito, realizara Usted trabajo para colocar la carga de prueba en el punto c?Los clculos son:

6. POTENCIAL ELCTRICO DE UNA DISTRIBUCIN DE CARGAS CONTINUASSupongamos que una distribucin de carga finita se encuentra en una regin en el espacio como se muestra en la figura. Cada elemento infinitesimal de carga dq contribuye al potencial elctrico dV en el punto de la siguiente forma:

Donde r es la distancia del elemento infinitesimal de carga dq al punto P. El elemento de carga puede ser positivo o negativo. El potencial V en el punto P resultante de la distribucin continua de carga se determina mediante la integracin de todos los diferenciales dV. De esta forma, se incluyen todas las cargas.Pr2r1dq1dq2Q

Ejemplo: segmento de varilla de longitud L que tiene una densidad lineal de carga Calcule el potencial elctrico en puntos que se encuentran a lo largo de la varilla y a una distancia d > Ldqx = dx = Ly +x +Px+ + + + + + + + + +r = d - xd

Como es una distribucin lineal de carga:

Para resolver la integral, se hace cambio de variableu= d-xdu =-dx

7. ENERGA POTENCIAL ELCTRICALa energa potencial elctrica de un sistema de cargas puntuales se define como el trabajo necesario para formar este sistema de cargas trayndolas desde el infinito.En el caso mas sencillo, supongamos que se tienen dos cargas puntuales separadas por una distancia r.q2q1r

Supngase que se lleva a la carga q2 hasta el infinito y se le deja en reposo.VPq2 en el infinitoq1r

El potencial elctrico en el sitio original de q2 producido por q1 es:

Ahora, si queremos traer a q2 desde el infinito (con v = constante) hasta la distancia original, debemos realizar un trabajo, para lo cual se aplica una fuerza.FeFaVPq1r

El trabajo que realiza el agente externo viene dado por:

Despejando el trabajo

Donde se hizo uso del hecho de que el potencial en el infinito es cero.Combinando las ecuaciones de potencial elctrico

y trabajo

Se tiene que:

Recordando que el trabajo realizado por un agente externo se almacena en forma de energa y, en este caso, se le denomina: energa potencial elctrica (U).

En el caso mas general, cuando el sistema consta de mas de dos cargas, el procedimiento a seguir es el de calcular por separado la energa potencial para cada pareja de cargas y sumar algebraicamente los resultados.Ejemplo: Sistema de tres cargas puntualesTres cargas puntuales fijas, estn dispuestas como se muestra en la siguiente figura. Cul es la energa potencial elctrica de dicha configuracin? Considere que: q = 1 x 10-7C a = 10 cm

312+2q+qaa- 4qa

U = U12 + U13 + U23

8. CALCULO DEL CAMPO ELCTRICO (E) A PARTIR DEL POTENCIAL ( V )Er = Ecos E- rrl900TrayectoriaEdlFe=qEFaV-2 V V-V V V+V V+2V

Grficamente es sencillo conocer a E si conocemos la familia de superficies equipotenciales ya que E es perpendicular a ellas.El equivalente matemtico (para conocer E) es de la siguiente forma:La figura muestra una familia de superficies equipotenciales y el campo elctrico E en un punto P. El campo elctrico es perpendicular a la superficie equipotencial que pasa por ese punto.Supongamos que la carga de prueba q0 se mueve desde P a lo largo de la trayectoria marcada por dl hasta el equipotencial V + VEl trabajo realizado por el agente que proporciona la fuerza Fa es q0VW = q0VEl trabajo tambin se puede calcular mediante:

Donde Fa es la fuerza que debe ejercer el agente externo sobre la carga para contrarrestar a la fuerza elctrica q0 E

El producto punto entre E y l es:

Donde el ngulo que forma el campo elctrico con respecto a la direccin de movimiento eso Luego entonces

Adems, en la expresin anterior se tiene que cos () = -cos

Sustituyendo en la expresin para el trabajo

Por otro lado, se tiene que:

Igualando las dos ltimas expresiones para el trabajo

o bien

Pero (E cos es la componente del campo elctrico sobre la trayectoria y es contraria a la direccin de movimiento l, es decir E cos r = -ElSustituyendo dicha componente

Se tiene que la componente del campo sobre la direccin de movimiento es:

Y en el lmite diferencial

Donde el signo negativo indica que E apunta en la direccin en que disminuye el potencial elctrico VEjemplo: campo elctrico debido a un dipoloLa figura muestra un punto P en el campo de un dipolo que se encuentra en el origen de un sistema xy. Si el punto P se encuentra a una gran distancia del origen. Encuentre el potencial en ese punto (r>>a) y, a partir de ste, el campo elctrico.+qraPr2r1-qar2 r1

Si r >> 2aEntonces r2 r1 2a cos (no son vectores, es como si r1 fuese un hilo que lo movemos hasta colocarlo encima de r2 )r2 r1 r2y el potencial es:

Dondep= 2aq (momento dipolar)que se representa en la siguiente figura como:x +xrPyy +

El valor Ey se obtiene derivando con respecto a esta variable y considerando a x como constante

Regla para derivar: la de abajo por la derivada de la de arriba, menos la de arriba por la derivada de la de abajo, todo entre la de abajo elevado al cuadrado

9. EJERCICIOS RESUELTOSEjemplo 1

B C

A R2 R1Q

La figura muestra la carga puntual Q = 2 Ca) Determinar la diferencia de potencial entre los puntos A y B.b) Determinar la diferencia de potencial entre los puntos B y C R1 = 0,5 m y R2 = 1 m Solucin: VA = kQ / R1VB = kQ / R2VC = kQ / R2VA VB = kQ (R2 -R1) / (R1R2) = 9x109x2x10-6 (1-0,5)/1x0,5VA -VB = 18x103 VVB -VC = kQ/R2 kQ / R2 = 0 Ejemplo 2Dos gotas de agua del mismo radio tienen en su superficie potenciales V1 y V2. Si las dos gotas se unen formando una sola gota, determinar el potencial en la superficie de la nueva gota. SolucinV1 = kQ1 / RV2 = kQ2 / R despejando Q1 y Q2 en ambas ecuaciones: Q1 = V1R / k Q2 = V2R / kEl radio R de la nueva gota: 4R3/3 = 2[4R3/3].R= R 21/3El potencial en la superficie de la nueva gota es: V = kQT/R en donde: QT = Q1 + Q2Reemplazando: V = k (V1 R/k + V2R/k) / 21/3 R = (V1 + V2) / 21/3

Ejemplo 3La figura muestra dos superficies equipotenciales (lneas punteadas) tales que VA = -10 V y VB = -20 V. Cul es el trabajo externo necesario para mover una carga de -2 C con rapidez constante desde A hasta B a lo largo de la trayectoria mostrada?

B

A

SolucinWAB = q0 (VB VA) = -2x10-6 [-20 (-10)] WAB = -2x10-6 (-10) = 2x10-5 J

Ejemplo4Ejemplo: Tres cargas se colocan como en la figura cul es su energa potencial mutua?

CONCLUCIONES

Esta experiencia me ayud a comprender mejor los fenmenos de campo elctrico y los efectos que ste produce, implementamos conceptos como el de diferencia de potencial y superficies equipotenciales, con los cuales podemos llegar a diversas conclusiones.Primero que todo se hace necesario enunciar que las lneas de campo siempre van dirigidas de cargas positivas a negativas o al infinito, y estas se relacionan con las lneas equipotenciales de una manera directa. Por otra parte, y gracias a las grficas obtenidas, podemos deducir que las lneas de campo son perpendiculares a las lneas equipotenciales y que cuando estas lneas estn igualmente espaciadas, el valor del campo elctrico es constante.

Por ltimo, pero no menos importante, por medio de esta experiencia, pudimos dar respuesta a los diferentes fenmenos planteados, entendindolos, comprendindolos y teniendo mas claridad de stos, hasta el punto de estar en la capacidad de responder las preguntas referentes a la electroesttica.

La separacin de las lneas equipotenciales tiene una relacin directa con la intensidad del campo elctrico. Entre ms juntas stas se encuentren mayor es el mdulo del campo, siempre y cuando las lneas equipotenciales se tracen con una diferencia de potencial fija. Encontramos entonces que si las lneas equipotenciales tienen una separacin uniforme, se puede asumir que el campo elctrico es constante.Compare la informacin recogida por los dems grupos sobre el valor del campo elctrico en el centro de las placas, y establezca la relacin entre la separacin de las lneas paralelas y la magnitud del campo elctrico, en el centro de las placasLas lneas equipotenciales son, en el centro, rectas verticales, pero cerca de las placas curvan hacia ellas cerca de los extremos. Eso quiere decir que hay una concentracin adicional de carga en el borde. Las lneas de campo sern, en la zona media, rectas perpendiculares a ambas placas. Las que estn por encima y por debajo se curvarn en los extremos para mantener la relacin de perpendicularidad con las equipotenciales.

BIBLIOGRAFIA C.C. Daro, O.B. Antalcides. Fsica electricidad para estudiantes de ingeniera. Ediciones Uninorte. 2008. SEARS, Francis W., ZEMANSKY, Mark W., YOUNG, Hugh D., FREEDMAN, Roger A., Fsica Universitaria con fsica moderna. Vol. 2. Undcima edicin. 2005. http://labfispaolo.blogspot.com/2012/01/regiones-equipotenciales.html https://prezi.com/u-l8vdqoqphg/poster-superficies-equipotenciales/ http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/electric/equipot.html#c3

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