RAK: P-VI/1/26

Koraki pri reševanju z MKE:

5) določitev začetnih, robnih in obremenitvenih pogojev

Osnove MKE

• toplotni problem - časovno ustaljen prevod toplote v volumnu:

V 0T T T

k k k Qx x y y z z

• diferencialna enačba problema, zapisna v Kartezijevem koordinatnem sistemu

V d 0T T T

k k k Q vx x y y z z

• osnovna integralska enačba problema

RAK: P-VI/2/26

Osnove MKE

Vd d 0T T T

k v k v k v Q vx x y y z z

• preureditev osnovne integralske enačbe problema

T T T v T T T vk v k v k k v k v k

x x x x x x x x x x x x

T T T v T T T vk v k v k k v k v k

y y y y y y y y y y y y

T Tk v k v k

z z z z

T v T T T vk v k v k

z z z z z z z z

• upoštevajoč matematično zvezo

lahko osnovno integralsko enačbo problema zapišemo v obliki

V

d

d d

T v T v T vk

x x y y z z

T T Tk v k v k v Q v

x x y y z z

RAK: P-VI/3/26

Osnove MKE

• z uporabo Green-ovega teorema lahko integral po volumnu

dT T T

I k v k v k vx x y y z z

prevedemo v integral po površini G, ki volumen omejuje

x y z dT T T

I k n k n k n vx y z

G

G

G

pri čemer so nx , ny in nz komponente enotskega

normalnega vektorja na površino G .

ki ga lahko zapišemo krajše tudi

( ) dI div v k grad T

ˆ( ) dI I v k grad T n G

G

G

oziroma

n̂

RAK: P-VI/4/26

Osnove MKE

• upoštevajoč Fourierjev zakon o prevodu toplote

lahko integral po površini zapišemo v sledeči obliki

x y z

x x y y z z

d

[ ] d

T T TI k n k n k n v

x y z

q n q n q n v

G

G

G

G

G

in x i

i

, , ,T T

q k k q x x y zn x

• šibko obliko integralske enačbe problema, ki predstavlja izhodišče MKE,

zapišimo

x x y y z z V

d

[ ] d d

T v T v T vk

x x y y z z

q n q n q n v Q v

G

G

RAK: P-VI/5/26

x y

z ),,( 111 zyx

),,( 222 zyx

),,( 444 zyx

),,( 333 zyx

),,( 555 zyx

),,( 666 zyx

),,( 777 zyx

),,( 888 zyx

Osnove MKE

• interpolacija temperaturnega polja po območju KE

),,(),,(ˆ),,( j

N

1j

j

v

zyxTzyxTzyxT

8 vozliščni volumski heksaedrični KE,

omejen s šestimi štiristraničnimi ploskvami

1

2

3

4

5

6

7

8

RAK: P-VI/6/26

Osnove MKE

• vpeljava izoparametričnih KE

• glede na način interpolacije geometrije KE in primarne

spremenljivke v območju KE, ločimo:

sub-parametrični KE

izo-parametrični KE

super-parametrični KE

brez interpolacije geometrije KE z interpolacijo geometrije KE

RAK: P-VI/7/26

Osnove MKE

• interpolacija geometrije v primeru izoparametričnega KE

v

v

v

N

j j

j 1

N

j j

j 1

N

j j

j 1

( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , )

x x x y z x x y z

y y x y z y x y z

z z x y z z x y z

• vpeljava izoparametričnih KE

x y

z ),,( 111 zyx

),,( 222 zyx

),,( 444 zyx

),,( 333 zyx

),,( 555 zyx

),,( 666 zyx

),,( 777 zyx

),,( 888 zyx

)1,1,1(

)1,1,1(

)1,1,1( )1,1,1(

)1,1,1(

)1,1,1(

)1,1,1(

)1,1,1(

x~

y~

z~

Kartezijev koordinatni sistem naravni koordinatni sistem

1 2

3 4

5 6

7 8

1

2

3

4

6

7

8

5

RAK: P-VI/8/26

Osnove MKE

• interpolacija temperaturnega polja po območju KE

vN

j j

j 1

ˆ( , , ) ( , , ) ( , , )T x y z T x y z T x y z

y

),,( 111 zyx

),,( 222 zyx

),,( 444 zyx

),,( 333 zyx

),,( 555 zyx

),,( 666 zyx

),,( 777 zyx

),,( 888 zyx

)1,1,1(

)1,1,1(

)1,1,1( )1,1,1(

)1,1,1(

)1,1,1(

)1,1,1(

)1,1,1(

x~

y~

z~

Kartezijev koordinatni sistem naravni koordinatni sistem

1 2

3 4

5 6

7 8

1

2

3

4

6

7

8

5

x

z

RAK: P-VI/9/26

Osnove MKE

• parcialni odvod temperature po koordinati Kartezijevega

koordinatnega sistema

vNj

j i

j 1i i i

ˆ ( , , ), , ,

x y zT TT x x y z

x x x

j j j( , , ) ( ( , , ), ( , , ), ( , , )) ( , , )x y z x x y z y x y z z x y z x y z

• povezava med in jj

~

y

),,( 111 zyx

),,( 222 zyx

),,( 444 zyx

),,( 333 zyx

),,( 555 zyx

),,( 666 zyx

),,( 777 zyx

),,( 888 zyx

)1,1,1(

)1,1,1(

)1,1,1( )1,1,1(

)1,1,1(

)1,1,1(

)1,1,1(

)1,1,1(

x~

y~

z~

Kartezijev koordinatni sistem naravni koordinatni sistem

1 2

3 4

5 6

7 8

1

2

3

4

6

7

8

5

x

z

RAK: P-VI/10/26

Osnove MKE

• izračun parcialnih odvodov interpolacijskih funkcij po

koordinatah Kartezijevega k. s.

j j j j

i i i i

i

( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )

, ,

x y z x y z x y z x y zx y z

x x x y x z x

x x y z

j

• parcialne odvode interpolacijske funkcije po koordinatah

naravnega koordinatnega sistema lahko zapišemo j

~

oziroma v matrični obliki

j j

j j

V

j j

, j 1,.., N

x y z

x xx x x

x y z

y y y y y

x y z

z z zz z

RAK: P-VI/11/26

Osnove MKE

1

j j

j j

j j

x y z

x xx x x

x y z

y y y y y

x y z

z z zz z

• parcialne odvode interpolacijske funkcije po koordinatah Kartezijevega

koordinatnega sistema lahko sedaj izračunamo na način j

• matriko parcialnih odvodov Kartezijevih koordinat po naravnih

koordinatah imenujemo Jacobijeva matrika

J

x y z

x x x

x y z

y y y

x y z

z z z

1

1J

x x x y x z

y x y y y z

z x z y z z

x y z

x x xI I I

x y zI I I

y y yI I I

x y z

z z z

RAK: P-VI/12/26

Osnove MKE

• zahteve, ki jih mora izpolnjevati interpolacijska funkcija

1) interpolacijska funkcija je polinomska funkcija, ki ima vsaj

toliko monomov, kot ima KE vozlišč

2) monomi, ki nastopajo v interpolacijski funkciji, morajo biti med

seboj linearno neodvisni

3) polinomska funkcija mora zagotavljati zvezni prehod polja

primarne spremenljivke preko ograje KE, v določenih primerih

pa tudi zveznost njenih odvodov

4) polinomska funkcija naj bi izkazovala kompletnost, oziroma v

primeru, ko pogoju kompletnosti ni mogoče zadostiti, vsaj

geometrijsko izotropnost

RAK: P-VI/13/26

Osnove MKE

• določitev interpolacijske funkcije

1) v trirazsežnem prostoru lahko grafično prikažemo monome, ki

nastopajo v kompletni polinomski funkcij ,

v obliki t.i. Pascalovega tetraedra

),,(),,( N zyxPzyx

yx2

2yx

2zyzy2

3y

xy

z

2x zx 2zyx

2y

zy

3x zx2 2 zx 3zzyx

1 1n;0N

4n;1N

10n;2N

20n;3N

RAK: P-VI/14/26

Osnove MKE

2) oblika interpolacijske funkcije glede na število vozlišč KE

v

1 1 2 3 4

N 4 :

( , , ) ( , , ) 1x y z P x y z C C x C y C z

v

3 1 2 3 4

5 6 7 8

N 8 :

( , , ) ( , , ) 1x y z P x y z C C x C y C z

C xy C xz C yz C xyz

v

2 1 2 3 4 5 6

N 6 :

( , , ) ( , , ) 1x y z P x y z C C x C y C z C xz C yz

z

RAK: P-VI/15/26

Osnove MKE

v

2 1 2 3 4

2 2 2

5 6 7 8 9 10

N 10 :

( , , ) ( , , ) 1x y z P x y z C C x C y C z

C x C y C z C x y C xz C yz

v

3 1 2 3 4

2 2 2

5 6 7

8 9 10 11

2 2 2 2

12 13 14 15

2 2 2 2 2

16 17 18 19 20

N 20 :

( , , ) ( , , ) 1x y z P x y z C C x C y C z

C x C y C z

C xy C xz C yz C xyz

C x y C xy C x z C xz

C y z C yz C x y z C y x z C z x y

2) oblika interpolacijske funkcije glede na število vozlišč KE

RAK: P-VI/16/26

3) za posamezni KE moramo določiti toliko interpolacijskih

funkcij , kot ima KE vozlišč ( j=1,..,Nv )

Osnove MKE

j

4) posamezna interpolacijska funkcija mora imeti v

vozliščih KE, s koordinatami (xi ,yi ,zi), sledeče vrednosti

j i i i v

1 , j i( , , ) i, j 1,.., N

0 , j ix y z

j

5) zaradi zagotavljanja možnosti popisa konstantne vrednosti primarne

spremenljivke po območju KE, mora biti izpolnjen pogoj

vN

j

j 1

( , , ) 1x y z

RAK: P-VI/17/26

Osnove MKE

• primer izpeljave interpolacijske funkcije za osem vozliščni

volumski heksaedrični KE:

j 1j 2 j 3 j 4 j

5 j 6 j 7 j 8 j

( , , ) 1

j 1,2,..,8

x y z C C x C y C z

C xy C xz C yz C xyz

y

),,( 111 zyx

),,( 222 zyx

),,( 444 zyx

),,( 333 zyx

),,( 555 zyx

),,( 666 zyx

),,( 777 zyx

),,( 888 zyx

Kartezijev koordinatni sistem naravni koordinatni sistem

)1,1,1(

)1,1,1(

)1,1,1( )1,1,1(

)1,1,1(

)1,1,1(

)1,1,1(

)1,1,1(

x~

y~

z~

1 2

3 4

5 6

7 8

1

2

3

4

6

7

8

5

x

z

RAK: P-VI/18/26

• izračun konstant

Osnove MKE

1j1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2j2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

8 j8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8

1

1

.. . . . . . . .

.. . . . . . . .

1

1 1 -1 -1 -1 -1 1 1

1 1 1 -1 1 -1 -1 -1

. .

Cx y z x y x z y z x y z

Cx y z x y x z y z x y z

Cx y z x y x z y z x y z

1j 1j

2j 2j

8 j 8 j

. .. . . . . .

. .. . . . . . . .

1 -1 -1 1 1 -1 -1 1

C

C

C

ijC

naravni koordinatni sistem

ij

1 , i j

0 , i j

)1,1,1(

)1,1,1(

)1,1,1( )1,1,1(

)1,1,1(

)1,1,1(

)1,1,1(

)1,1,1(

x~

y~

z~

1 2

3 4

5 6

7 8

RAK: P-VI/19/26

• izračun konstant

Osnove MKE

i1C

11

21

31

41

51

61

71

81

1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1

1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 0

1 1 1 1 1 1 1 1 0

1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 0

1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 0

1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 0

1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 0

1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 0

C

C

C

C

C

C

C

C

11

21

31

41

51

61

71

81

1

1

-1

-11

-18

-1

1

1

C

C

C

C

C

C

C

C

1

1( , , ) 1

8

11 1 1

8

x y z x y z x y x z y z x y z

x y z

RAK: P-VI/20/26

• določitev preostalih interpolacijskih funkcij, upoštevajoč ugotovitve pri

izračunu interpolacijske funkcije , vodi do sledečih zvez

Osnove MKE

1

1( , , ) 1 1 1

8x y z x y z

naravni koordinatni sistem

)1,1,1(

)1,1,1(

)1,1,1( )1,1,1(

)1,1,1(

)1,1,1(

)1,1,1(

)1,1,1(

x~

y~

z~

1 2

3 4

5 6

7 8

1

2

1( , , ) 1 1 1

8x y z x y z

3

1( , , ) 1 1 1

8x y z x y z

8

1( , , ) 1 1 1

8x y z x y z

RAK: P-VI/21/26

• vse interpolacijske funkcije za osem vozliščni volumski heksaedrični KE

lahko zapišemo z enačbo

Osnove MKE

j j j j

1( , , ) 1 1 1

8x y z x x y y z z

naravni koordinatni sistem

)1,1,1(

)1,1,1(

)1,1,1( )1,1,1(

)1,1,1(

)1,1,1(

)1,1,1(

)1,1,1(

x~

y~

z~

1 2

3 4

5 6

7 8

j

RAK: P-VI/22/26

Osnove MKE

• primer izpeljave interpolacijske funkcije za štiri vozliščni

volumski tetraedrični KE:

j 1j 2 j 3 j 4 j( , , ) 1

j 1,2,3,4

x y z C C x C y C z

y

),,( 111 zyx

),,( 222 zyx

),,( 444 zyx

),,( 333 zyx

x~

y~

z~

)0,0,0(

)0,0,1(

)0,1,0(

)1,0,0(

Kartezijev koordinatni sistem naravni koordinatni sistem

1

2

3

4

1

2

3

4

x

z

RAK: P-VI/23/26

• izračun konstant

Osnove MKE

1j 1j 1j1 1 1

2 j 2 j 2 j2 2 2

3 j 3 j 3 j3 3 3

4 j 4 j 4 j4 4 4

1 1 0 0 0

1 1 1 0 0

1 1 0 1 0

1 1 0 0 1

C Cx y z

C Cx y z

C Cx y z

C Cx y z

ijC

ij

1 , i j

0 , i j

naravni koordinatni sistem

x~

y~

z~

)0,0,0(

)0,0,1(

)0,1,0(

)1,0,0(

1

2

3

4

RAK: P-VI/24/26

• izračun konstant Osnove MKE

11 11

21 21

31 31

41 41

1 0 0 0 1 1

1 1 0 0 0 1

1 0 1 0 0 1

1 0 0 1 0 1

C C

C C

C C

C C

i1C

• izračun konstant

12 12

22 22

32 32

42 42

1 0 0 0 0 0

1 1 0 0 1 1

1 0 1 0 0 0

1 0 0 1 0 0

C C

C C

C C

C C

i2C

zyxzyx ~~~1)~,~,~(~1

xzyx ~)~,~,~(~2

• izračun konstant

13 13

23 23

33 33

43 43

1 0 0 0 0 0

1 1 0 0 0 0

1 0 1 0 1 1

1 0 0 1 0 0

C C

C C

C C

C C

i3C

yzyx ~)~,~,~(~3

RAK: P-VI/25/26

Osnove MKE

• izračun konstant

14 14

24 24

34 34

44 44

1 0 0 0 0 0

1 1 0 0 0 0

1 0 1 0 0 0

1 0 0 1 1 1

C C

C C

C C

C C

i4C

zzyx ~)~,~,~(~4

naravni koordinatni sistem

x~

y~

z~

)0,0,0(

)0,0,1(

)0,1,0(

)1,0,0(

1

2

3

4

zyxzyx ~~~1)~,~,~(~1

xzyx ~)~,~,~(~2

yzyx ~)~,~,~(~3

zzyx ~)~,~,~(~4

• zapis interpolacijskih funkcij za štiri vozliščni volumski tetraedrični KE

v naravnem koordinatnem sistemu j

RAK: P-VI/26/26

33. Izpeljava šibke oblike integralske enačbe za časovno ustaljen prostorski

prevod toplote.

34. Interpolacija temperaturnega polja po območju prostorskega

heksaedričnega KE.

35. Interpolacija geometrije v primeru izoparametričnega KE.

36. Razlika med Kartezijevim in naravnim koordinatnim sistemom.

37. Kaj predstavlja Jacobijeva matrika?

38. Katere zahteve mora izpolnjevati interpolacijska funkcija?

39. Določitev interpolacijske funkcije za: 4 vozliščni tetraedrični KE, 8 vozliščni

heksaedrični KE, 10 vozliščni tetraedrični KE, 20 vozliščni heksaedrični KE.

6. predavanje: TEORETIČNA VPRAŠANJA