첨단 사이언스∙교육 허브 개발 (EDISON) 사업

전산유체역학 개론

김 종 암

서울대학교 기계항공공학부

Aerodynamics Simulation & Design Lab.

강의 내용

• 전산유체역학이란 무엇인가?

• 전산유체역학은 어떤 요소들로 이루어져 있는가?

• 미분 방정식을 차분화하는 방법에 대해 알아보고 차분 방정식을

구해본다.

• 차분 방정식을 통해 구해진 해가 어떤 의미를 갖는지 살펴본다.

2

키워드(Keyword)

1. 전산유체역학

2. 지배 방정식

3. 차분화

4. 전처리, 수치해석 및 후처리

5. 격자(정렬격자, 비정렬격자)

6. 수치기법

7. 경계조건 & 초기조건

8. 유한차분법, 유한체적법 및 유한요소법

9. 편미분 방정식과 차분화된 방정식

10. Lax Equivalence 정리

3

목차

• 전산유체역학(CFD) 개요

• 전산유체역학(CFD)의 주요 요소

• 미분 방정식의 차분화(Basic Discretization)

• 차분화된 해의 의미(Lax Equivalence Theorem)

4

5

전산유체역학(CFD) 개요

전산유체역학(CFD) 개요

• 전산유체역학(Computational Fluid Dynamics; CFD)

– 유체 현상을 편미분 방정식으로 표현한 지배 방정식(Governing equations)을 차분화(Discretization)하고, 이를 컴퓨터를 활용해 계산함으로써 유동의물리적 현상을 이해하고 분석하는 학문

– 1990년 이후로, 전산유체역학은 대부분의 공학 및 과학 분야에서 필수적인 도구로 자리매김하고 있음.

• 항공, 자동차, 해양, 환경, 전기전자, 핵물리, 생체의학 등 다양한 분야에서 사용되고 있음.

• 전산유체역학은 컴퓨터 하드웨어와 소프트웨어의 발전와 함께 그 유용성이 계속 증가하고 있음.

• 최근 CFD는 단상(Single-phase) 유동 해석을 넘어서 다상유동(Multi-phase), 연소(Combustion/burning) 등과 결합한 다물리/다학제 학문으로 확장/발전되고있음.

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전산유체역학(CFD) 개요

• 전산유체역학 분야 예시

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고차정확도수치기법

고차정확도수치기법

공력최적설계

폐루프능동제어3D 비행체 무장분리 해석

교육 & 연구환경

• 고차 정확도 수치기법• 강건한 충격파 포착 기법

• 열적효과를 고려한 극저온 유체유동 해석

• 예조건화 전 마하수 유동

곤충모방공기역학

전마하수다상유동

전마하수다상유동

[ Structur

e ]

유체-구조연성해석

[ Full Burning ]

[ Fluid ]

[ Structure ]

[ Fluid ]

유체-구조연성해석

[ Full Burning ]

• 고체 로켓 내부의 유체-구조 연성해석

곤충모방공기역학

• 유연 날개 곤충을 통한 비정상날갯짓 매커니즘 구현

• 시스템 최적설계를 통한 날갯짓비행체 제작

공력최적설계

• 다단/고정밀 최적설계• 기울기 기반 국소 최적설계• 메타 모델링 기법을 통한 전역설계

폐루프능동제어

• 합성제트 엑츄에이터 디자인• 박리 유동 제어• 비정상 유동 해석

3D 비행체무장분리해석

• 복잡한 격자구조• 대규모 병렬 컴퓨팅

교육 & 연구환경(EDISON_CFD)

• 시뮬레이션 기반 온라인 교육 & 연구플랫폼

• 열-유체 시뮬레이션 소프트웨어 제공

전산유체역학(CFD) 개요

• 전산유체역학의 특징

– 전산유체역학의 장단점 (vs. 실험유체역학)

• 장점

– 실험을 위한 모형제작, 계측장비 등 많은 장비와 인적 자원을 요구하지 않음.

– 실험조건의 변경이 용이하여 다양한 조건에서 시뮬레이션 하기에 용이함.

– 유동 가시화를 통해 유동의 자세한 특성을 파악하는데 용이함.

• 단점

– 차분화 과정, 수치해석 모델 및 격자 생성에서 발생하는 오차에 의해 정확성(Accuracy) / 강건성(Robustness) / 효율성(Efficiency) 등의 문제가 발생

– 시뮬레이션 결과의 신뢰성을 확보를 위해 실험결과 또는 엄밀해와의 비교 등 일련의검증과정이 필요

– 전산유체역학의 핵심 요소

• 물리적 지식 ∩ 수학적/수치적 기초 ∩ 프로그래밍/코딩 기술

8

전산유체역학(CFD) 개요

• 주요 과정

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물리 현상

지배 방정식

수치해석 모델

수치해 도출

검증

분석 및 적용

Continuous

Discrete

모델링 오차

차분화 오차

Round-off 오차

시간/공간 차분

결과 비교

• 실험• 엄밀해• 수치해• Grid Refinement Test

물리적 가정

• 점성, 압축성• 2D, 3D, 축대칭-2D• 난류모델• 복사모델

전산유체역학(CFD) 개요

• 유체역학 지배 방정식의 계층적 구조

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Boltzmann 방정식

Navier-Stokes 방정식

Euler 방정식

Full potential 방정식

Small disturbance 방정식

계산 효율 ↑

• 자유분자운동• 비평형 효과 고려• 충돌모델(Collision model)

• 연속체 및 뉴토니안(Newtonian)• 점성효과 고려

• 비점성• 비열전도율• 비선형 대류항 포함

• 비회전성(Irrotational)• 비선형 single 편미분방정식

• 준-비선형 single 편미분방정식

물리적 & 수학적복잡성 ↑

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전산유체역학(CFD)의주요 요소

• 시뮬레이션 과정

– 전처리(Pre-process)

• 유동 해석을 위하여 대상을 모델링하고, 수치해석을 위한 격자를 생성하는 작업

Ex) eMEGA(EDISON_CFD 전처리기)

– 수치해석(Simulation)

• 해석 대상에 적용할 기법과 조건을 설정하고 수치해를 구하는 작업

Ex) 2D_Incomp(EDISON_CFD 솔버)

– 후처리(Post-process)

• 해석 결과를 분석하고, 결과를 가시화하는 작업

Ex) eDAVA(EDISON_CFD 후처리기), Paraview

• 해석 대상 기하학적모델링

• 계산 격자 생성

전산유체역학(CFD)의 주요 요소

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전처리(Pre-process)

• 지배 방정식• 수치 기법• 경계조건&초기조건

수치해석(Simulation)

• 계산결과 가시화• 수치해 분석

후처리(Post-process)

전산유체역학(CFD)의 주요 요소

• 1. 계산 격자

– 연속체로 가정한 유체 입자들을 컴퓨터 상에서 계산이 가능하도록 공간영역(Spatial domain)을 매우 작은 격자 요소로 이산화 한 것

– 계산 격자의 종류

• 정렬격자(Structured grid)

– 각 격자점을 i, j, k로 색인화(indexing) 하고 순차적으로 배열한 격자

• 비정렬격자(Unstructured grid)

– 각 격자점이 특별한 규칙을 가지지 않고 배열된 격자

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<정렬격자> <비정렬격자>

전산유체역학(CFD)의 주요 요소

• 1. 계산 격자 (cont.)– 계산 격자가 가져야 할 조건

• 물리 현상을 잘 모사할 수 있도록 격자 생성Ex) 점성 유동 해석 : 경계층을 잘 포착할 수 있는 적층 구조의 격자 생성

→ 경계층 내에 최소 10여개 이상의 적층된 격자가 필요

• 수치적 안정성/정확성을 향상시킬 수 있도록 격자 생성Ex) 격자의 직교성 (특히, 벽면근처 또는 경계층 내 격자의 직교성)

• 2. 수치 기법– 주어진 미분 방정식을 차분화하여 계산하는 기법

– 공간 차분법(Spatial discretization)

• 공간 미분항(𝜕

𝜕𝑥,𝜕

𝜕𝑦,𝜕

𝜕𝑧)에 대한 차분방법

Ex) 𝜕𝑢

𝜕𝑡+

𝜕𝑓

𝜕𝑥= 0 →

𝜕𝑢

𝜕𝑡+

𝑓𝑗+1−𝑓𝑗

Δ𝑥= 0

– 시간 차분법(Temporal discretization)

• 시간 미분항(𝜕

𝜕𝑡)에 대한 차분방법

Ex) 𝜕𝑢

𝜕𝑡+

𝜕𝑓

𝜕𝑥= 0 →

𝑢𝑗𝑛+1−𝑢𝑗

𝑛

Δt+

𝜕𝑓

𝜕𝑥= 0

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전산유체역학(CFD)의 주요 요소

• 3. 지배 방정식(Governing equations)

– 유동을 표현하는 미분 방정식으로 문제의 특성에 따라 지배방정식을 선택

Ex) Navier-Stokes 방정식

– 문제의 물리적 현상을 모사할 수 있는 추가적 방정식/항을 선택

Ex1) Navier-Stokes 방정식(점성) + K-ω SST 난류 모델(난류) + 중력항(중력)

Ex2) Navier-Stokes 방정식(점성) + K-ε 난류 모델(난류) + Cavitation 모델(상변화)

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연속 방정식(Continuity equation)

𝜕𝜌

𝜕𝑥+𝜕(𝜌𝑢)

𝜕𝑥+𝜕(𝜌𝑣)

𝜕𝑥= 0

운동량 방정식(Momentum equation)

𝜕(𝜌𝑢)

𝜕𝑡+𝜕(𝜌𝑢2 + 𝑝)

𝜕𝑥+𝜕(𝜌𝑢𝑣)

𝜕𝑦=𝜕𝜏𝑥𝑥𝜕𝑥

+𝜕𝜏𝑦𝑥

𝜕𝑦

𝜕(𝜌𝑣)

𝜕𝑡+𝜕(𝜌𝑢𝑣)

𝜕𝑥+𝜕(𝜌𝑣2 + 𝑝)

𝜕𝑦=𝜕𝜏𝑥𝑦

𝜕𝑥+𝜕𝜏𝑦𝑦

𝜕𝑦

에너지 방정식(Energy equation)

𝜕(𝜌𝐸)

𝜕𝑡+𝜕(𝜌𝑢𝐻)

𝜕𝑥+𝜕(𝜌𝑣𝐻)

𝜕𝑦=𝜕(𝑢𝜏𝑥𝑥 + 𝑣𝜏𝑥𝑦 + 𝑘

𝜕𝑇𝜕𝑥

)

𝜕𝑥+𝜕(𝑣𝜏𝑦𝑥 + 𝑣𝜏𝑦𝑦 + 𝑘

𝜕𝑇𝜕𝑦

)

𝜕𝑦

전산유체역학(CFD)의 주요 요소

• 4. 경계조건– 유동의 정확한 해석을 위해 물리적으로 타당한 경계조건을 부여

• 유한한 계산영역 경계조건이 필요

• 부적절한 경계조건은 수치 해의 정확도 및 수렴성을 손상시킴.

– 경계조건의 종류

• 5. 초기조건– 비정상 유동 문제(Unsteady flow problem)를 해석하기 위해서는 정확한

초기조건을 부여해야 함.

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자유표면Free Surfaces

고체표면Solid Surfaces

원방 경계조건(Farfield B.C)

유입류 경계조건(Inlet B.C)

유출류 경계조건(Outlet B.C)

대칭 경계조건(Symmetric B.C)

주기적 경계조건(Periodic B.C)

단열경계조건(Adiabatic B.C)

정온경계조건(Isothermal B.C)

Block Communication 병렬 계산 시에 컴퓨터 CPU끼리 유동 정보를 교환할 때 사용

점착경계조건(No slip B.C)

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미분 방정식의 차분화(Basic Discretization)

미분 방정식의 차분화(Basic Discretization)

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• 차분화(Discretization)

– 편미분 방정식(Partial Differential Equations; PDE)을 대수 방정식(Algebraic equations)인 차분 방정식(Finite Difference Equations; FDE)으로 바꾸어 주는 과정

Ex) 편미분 방정식(PDE) vs. 차분 방정식(FDE)

– 연속적인 물리공간을 격자점(gird, mesh) 등을 이용해서 유한하게 나누어계산

– 차분화 기법의 종류

• 유한차분법(Finite Difference Method; FDM)

• 유한체적법(Finite Volume Method; FVM)

• 유한요소법(Finite Element Method; FEM)

편미분 방정식(PDE) 차분 방정식(FDE)

𝜕𝑢

𝜕𝑡+

𝜕𝑓 𝑢

𝜕𝑥= 0

𝑢𝑗𝑛+1 − 𝑢𝑗

𝑛

Δt+𝑓𝑗+1𝑛 − 𝑓𝑗

𝑛

Δx= 0 (Δt = tn+1 − tn , Δx = xj+1 − xj)

(n:시간 전진, j:격자점)

• 유한차분법(Finite Difference Method; FDM)

– 각 격자점에서 미분항을 직접 차분화하여 근사

– 𝑢 𝑥𝑗 , 𝑡𝑛 = 𝑢𝑗

𝑛, 𝑓 𝑢𝑗𝑛 = 𝑓𝑗

𝑛 의 해를 가정한 후𝜕𝑢

𝜕𝑡+

𝜕𝑓(𝑢)

𝜕𝑥= 0 를 차분화

Ex) 𝜕𝑢

𝜕𝑡+

𝜕𝑓(𝑢)

𝜕𝑥= 0 →

𝑢𝑗𝑛+1−𝑢𝑗

𝑛

Δt+

𝑓𝑗+1𝑛 −𝑓𝑗

𝑛

Δx0

Δt = tn+1 − tn: 시 간전진 / time step size, Δx = xj+1 − xj: 격자 크기/grid size

– 직관적이고 차분화하기 쉽지만 복잡한 형상에는 적용하기 어려움.

19

j j+1j-1

미분 방정식의 차분화(Basic Discretization)

• 유한체적법(Finite Volume Method; FVM)

– 각 격자 요소(Computational cell, Cell)에 대해 적분형 지배 방정식을 차분화하여 근사

– 각 격자 요소에 대해 격자 평균값(Cell-average value)와 수치 플럭스(Numerical flux)로 근사

Ex) 𝜕𝑢

𝜕𝑡+

𝜕𝑓

𝜕𝑥= 0 → 𝑡𝑛

𝑡𝑛+1

𝑥𝑗−1/2𝑥𝑗+1/2(

𝜕𝑢

𝜕𝑡+

𝜕𝑓

𝜕𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑡 = 0 , (Δt = tn+1 − tn, Δx = xj+1/2 − xj−1/2)

– 복잡한 형상에도 적용이 용이하며 적분형 보존방정식을 사용하여 충격파와 같은 불연속면을

동반한 유동 계산에 적합

20

미분 방정식의 차분화(Basic Discretization)

j j+1j-1

j-1/2 j+1/2

1

Δ𝑥𝑥𝑗−1/2𝑥𝑗+1/2 𝑢 𝑥, 𝑡𝑛 𝑑𝑥 ≡ 𝑢𝑗

𝑛 ,1

Δ𝑡𝑡𝑛𝑡𝑛+1

𝑓(𝑢(𝑥𝑗+1/2, 𝑡)𝑑𝑡 ≡ 𝐹𝑗+1/2

• 유한체적법(Finite Volume Method; FVM) (cont.)

𝑡𝑛𝑡𝑛+1

𝑥𝑗−1/2𝑥𝑗+1/2(

𝜕𝑢

𝜕𝑡+

𝜕𝑓

𝜕𝑥) 𝑑𝑥𝑑𝑡 = 0 𝑡𝑛 →

𝑡𝑛+1

𝑥𝑗−1/2𝑥𝑗+1/2 𝜕𝑢

𝜕𝑡𝑑𝑥𝑑𝑡 + 𝑡𝑛

𝑡𝑛+1

𝑥𝑗−1/2𝑥𝑗+1/2 𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑑𝑥𝑑𝑡 =0

→ 𝑥𝑗−1/2𝑥𝑗+1/2[𝑡𝑛

𝑡𝑛+1 𝜕𝑢

𝜕𝑡𝑑𝑡]𝑑𝑥 + 𝑡𝑛

𝑡𝑛+1𝑥𝑗−1/2]

𝑥𝑗+1/2 𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑑𝑥]𝑑𝑡 =0

→ 𝑥𝑗−

12

𝑥𝑗+

12[𝑢 𝑥, 𝑡𝑛+1 − 𝑢 (𝑥, 𝑡𝑛)]𝑑𝑥 + 𝑡𝑛

𝑡𝑛+1[𝑓(𝑢 𝑥𝑗+1/2, 𝑡 − 𝑓(𝑢 𝑥𝑗−1/2, 𝑡 ]𝑑𝑡 = 0

1

Δx𝑥𝑗−1/2𝑥𝑗+1/2 𝑢 𝑥, 𝑡𝑛 𝑑𝑥 ≡ 𝑢𝑗

𝑛 ,1

Δ𝑡𝑡𝑛𝑡𝑛+1

𝑓(𝑢(𝑥𝑗+1/2, 𝑡)𝑑𝑡 ≡ 𝐹𝑗+

1

2

를 이용하면,

𝑢𝑗𝑛+1 − 𝑢𝑗

𝑛 Δx + 𝐹𝑗+1/2𝑛 − 𝐹𝑗−1/2

𝑛 Δt → 𝑢𝑗𝑛+1−𝑢𝑗

𝑛

Δt+

𝐹𝑗+1/2𝑛 −𝐹𝑗−1/2

𝑛

Δx= 0

21

j j+1j-1

j-1/2 j+1/2

미분 방정식의 차분화(Basic Discretization)

න𝑇𝑗

… 𝜑𝑖𝑑𝑥 = 0

22

j j+1

j-1/2 j+1/2

(FE)

j-1

• 유한유소법(Finite Element Method; FEM)

– 각 격자 요소(Tj) 내부에서 테스트함수(Test function; 𝜑𝑖)를 통해 적분형 지배 방정식을 유도

Ex) 𝜕𝑢

𝜕𝑡+

𝜕𝑓

𝜕𝑥= 0

𝜕

𝜕𝑡𝑇𝑗

𝑢𝜑𝑖𝑑𝑥 + 𝑇𝑗𝑓𝜑𝑖𝑑𝑥 − 𝑇𝑗

𝑓𝑑𝜑𝑖

𝑑𝑥𝑑𝑥 = 0

→ Tj 영역의 해 𝑢(𝑥, 𝑡)를 기저함수를 통해 근사함. 𝑢 𝑥, 𝑡 ≅ σ𝑖=1𝑑 𝑢𝑖 𝑡 𝜑𝑖(x)

– 불연속 유한요소법에서는 경계면의 수치 플럭스를 FVM 기반의 수치 플럭스를 차용함.

– 임의의 정확도를 얻을 수 있지만 수치적 복잡성 및 불안정성이 증가

미분 방정식의 차분화(Basic Discretization)

𝑇𝑗

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차분화된 해의 의미(Lax Equivalence Theorem)

차분화 해의 의미(Lax equivalence theorem)

• 편미분 방정식(PDE) 해와 차분 방정식(FDE) 해 사이의 관계

– 일관성(Consistency): PDE의 엄밀해 ~ FDE의 엄밀해

– 안정성(Stability): FDE의 수치해 ~ FDE의 엄밀해

– 수렴성(Convergence): FDE의 수치해 ~ PDE의 엄밀해

• Lax equivalence 정리– 잘 정의된(Well-posed) 선형 편미분 방정식의 수치해가 일관성, 안정성 조건를

만족하면 수렴성이 보장됨.

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PDE의 엄밀해

FDE의 엄밀해FDE의 수치해

일관성수렴성

안정성