1

PH◊ÃNG PHÁP CHUYöN V¿ TRONG CHŸNG MINHBáT �èNG THŸC HOÁN V¿

VÕ QU»C BÁ CâN

Hiªn nay có rßt nhi∑u ph˜Ïng pháp m§nh và mÓi �∫ ch˘ng minh bßt �Øng th˘c nh˜ làEV cıa Vasile Cirtoaje, SOS cıa Ph§m Kim Hùng và Tr¶n Tußn Anh, . . . Nh˜ng các ph˜Ïngpháp này ph¶n lÓn chø dùng �∫ gi£i quy∏t các bài toán �Ëi x˘ng, khi g∞p các bßt �Øngth˘c hoán v‡ thì chúng th˜Ìng t‰ ra kém hiªu qu£. V™y chúng ta có cách nào �∫ gi£i quy∏tcác bßt �Øng th˘c hoán v‡ không? Bài vi∏t này, chúng tôi xin �˜Òc chia s¥ cùng các b§nmÎt kinh nghiªm nh‰ �∫ ch˘ng minh bßt �Øng th˘c hoán v‡ 3 bi∏n (và �ôi khi ta cÙng cóth∫ áp dˆng nó cho bßt �Øng th˘c hoán v‡ 4 bi∏n). Rßt mong nh™n �˜Òc ˛ ki∏n �óng gópcıa các b§n!

Nh˜ �ã nói trên, các ph˜Ïng pháp ch˘ng minh bßt �Øng th˘c �Ëi x˘ng thì rßt nhi∑unên n∏u ta có th∫ chuy∫n mÎt bßt �Øng th˘c hoán v‡ v∑ d§ng �Ëi x˘ng thì viªc ch˘ngminh không còn gì khó kh´n c£. �ó chính là kinh nghiªm nh‰ mà chúng tôi muËn giÓithiªu cùng b§n �Âc, mÎt kˇ thu™t giúp ta chuy∫n mÎt bßt �Øng th˘c hoán v‡ thành mÎtbßt �Øng th˘c �Ëi x˘ng �∫ gi£i, ta t§m gÂi �ó là "ph˜Ïng pháp chuy∫n v‡".

�∫ hi∫u rõ hÏn ˛ t˜ng cıa nó, chúng ta hãy cùng xét ví dˆ sau

Example 0.1 Cho các sË th¸c không âm a, b, c th‰a mãn a+ b+ c = 4. Ch˘ng minh r¨ng

a

2

b+ b

2

c+ c

2

a+ abc ! 4.

(Vasile Cirtoaje, Ph§m Kim Hùng)

LÌi gi£i. Bßt �Øng th˘c c¶n ch˘ng minh có d§ng

a " ab+ b " bc+ c " ca+ abc ! 4.

Ta thßy r¨ng �ây là mÎt bßt �Øng th˘c hoán v‡ vÓi �Øng th˘c x£y ra t§i a = b = c = 1

và a = 2, b = 1, c = 0 (vÓi gi£ thi∏t c = minfa, b, cg). �i∑u này ch˘ng t‰ r¨ng viªc �ánhgiá nó là không dπ dàng chút nào, chø c¶n mÎt chút "quá �à" thì cÙng có th∫ �˜a �∏n k∏tqu£ không mong muËn. MÎt cách t¸ nhiên, ta nghæ ngay �∏n viªc chuy∫n nó v∑ d§ng �Ëix˘ng �∫ gi£i. Thông th˜Ìng, mÂi ng˜Ìi th˜Ìng nghæ �∏n viªc chuy∫n v∑ �Ëi x˘ng cho babi∏n, nh˜ng viªc này rßt khó th¸c hiªn (vì bßt �Øng th˘c này có �∏n hai �i∫m �Øng th˘c),cho nên ta hãy nghæ �∏n viªc �˜a v∑ �Ëi x˘ng cho hai bi∏n (mà không ph£i ba). MuËn làm

2

�i∑u này, các b§n hãy cùng �∫ ˛ �∏n hai bi∫u th˘c �˜Òc g§ch chân trên, chúng có �i∑ugì kì l§? À, n∏u ta hoán �Íi v‡ trí cho nhau thì ta có th∫ thu �˜Òc mÎt bßt �Øng th˘c mÓi là

a " ab+ b " ca+ c " bc+ abc ! 4.

Và th™t thú v‡, �ây l§i là mÎt bßt �Øng th˘c �Ëi x˘ng cho hai bi∏n a và c. Vì v™y, n∏u tacó mÎt �ánh giá ki∫u nh˜ a " ab+ b " bc+ c " ca+ abc ! a " ab+ b " ca+ c " bc+ abc thì �ólà mÎt �i∑u tuyªt vÌi! May m≠n thay, �i∑u này t˜Ïng �˜Ïng vÓi c(a % b)(b % c) & 0 vàchúng ta hoàn toàn có th∫ �§t �˜Òc �i∑u này b¨ng cách gi£ s˚ b là sË h§ng n¨m gi˙a a vàc. �∏n �ây, ta tìm �˜Òc lÌi gi£i cho bài toán nh˜ sau:Không mßt tính tÍng quát, gi£ s˚ b là sË h§ng n¨m gi˙a a và c. Khi �ó, ta có

a " ab+ b " bc+ c " ca+ abc ! a " ab+ b " ca+ c " bc+ abc

= b(a+ c)2 !1

2

!2b+ a+ c+ a+ c

3

"3

= 4.

Bài toán �˜Òc ch˘ng minh xong. �Øng th˘c x£y ra khi và chø khi a = b = c = 1 vàa = 2, b = 1, c = 0 (cùng các hoán v‡ t˜Ïng ˘ng).�ây là mÎt ví dˆ quen thuÎc, và có l≥ nhi∑u b§n s≥ cho r¨ng nó quá quen thuÎc, hi∫nnhiên. Và n∏u b§n, nào tinh ˛ thì s≥ thßy r¨ng viªc �ánh giá a " ab+ b " bc+ c " ca+ abc !a " ab+ b " ca+ c " bc+ abc trên th¸c ra chính là viªc s˚ dˆng bßt �Øng th˘c s≠p x∏p l§icho hai bÎ sË �Ïn �iªu cùng chi∑u (a, b, c) và (ab, ca, bc) (vÓi gi£ thi∏t b là sË h§ng n¨mgi˙a). Tuy nhiên, chúng tôi �∏n vÓi ˛ t˜ng chuy∫n v‡ này hoàn toàn �Îc l™p vÓi bßt �Øngth˘c s≠p x∏p l§i. Chúng ta hãy cùng �i �∏n ví dˆ sau �∫ thßy rõ �˜Òc �i∑u �ó

Example 0.2 Cho các sË không âm x, y, z có tÍng b¨ng 1. Ch˘ng minh bßt �Øng th˘c sauq

x+ y

2 +q

y+ z

2 +p

z+ x

2 & 2.

(Phan Thành Nam)

Rõ ràng vÓi bài toán này, viªc s˚ dˆng bßt �Øng th˘c s≠p x∏p l§i là rßt khó (có th∫ nói làkhông th∫), nh˜ng viªc s˚ dˆng phép chuy∫n v‡ nh˜ trên thì ta v®n có th∫ áp dˆng �˜Òc.Và mÎt �i∑u thú v‡ n˙a là, vÓi nh˙ng cách phân tích khác nhau thì chúng ta l§i có nh˙ngphép chuy∫n v‡ khác nhau, giúp �˜a bài toán �i �∏n k∏t qu£. ChØng h§n, ví dˆ này,chúng ta có hai cách chuy∫n v‡ sauLÌi gi£i 1. Bßt �Øng th˘c này có d§ng �Áng b™c ( v∏ trái) là

qx

2 + y

2 + xy+ xz+q

y

2 + z

2 + yz+ yx+q

z

2 + x

2 + zx+ zy & 2.

Ta thßy r¨ng bßt �Øng th˘c này ch˘a c´n và hoán v‡ cho 3 bi∏n x, y, z nên viªc �ánh giá nós≥ g∞p rßt nhi∑u khó kh´n, cho nên ˛ t˜ng cıa ta �ây chính là chuy∫n nó v∑ d§ng �Ëi

3

x˘ng, chØng h§n cho y và z. �∫ th¸c hiªn, ta hãy �∫ ˛ 2 bi∫u th˘c yx và zy �˜Òc g§ch chân trên, n∏u ta chuy∫n v‡ 2 bi∫u th˘c này thì s≥ thu �˜Òc mÎt bßt �Øng th˘c mÓi

qx

2 + y

2 + xy+ xz+q

y

2 + z

2 + yz+ yz+q

z

2 + x

2 + zx+ xy & 2.

Và th™t thú v‡, nó là mÎt bßt �Øng th˘c �Ëi x˘ng cho y và z. VÓi ˛ t˜ng nh˜ v™y, chúngta c¶n cóq

y

2 + z

2 + yz+ yx+q

z

2 + x

2 + zx+ zy &q

y

2 + z

2 + yz+ yz+q

z

2 + x

2 + zx+ xy.

Bình ph˜Ïng 2 v∏, và thu gÂn, ta thßy bßt �Øng th˘c này t˜Ïng �˜Ïng vÓi

y(x% y)(x% z)(x+ y+ z) & 0.

�i∑u này có th∫ �§t �˜Òc n∏u ta gi£ s˚ x = min fx, y, zg ho∞c x = max fx, y, zg . VÓinh˙ng phân tích này, ta �i �∏n lÌi gi£i cıa bài toán nh˜ sau:Không mßt tính tÍng quát, gi£ s˚ x = min fx, y, zg , khi �ó theo trên, ta có ngayq

y

2 + z

2 + yz+ yx+q

z

2 + x

2 + zx+ zy &q

y

2 + z

2 + yz+ yz+q

z

2 + x

2 + zx+ xy,

nên bßt �Øng th˘c cıa ta �˜Òc �˜a v∑q

x+ y

2 +p

x+ z

2 + y+ z & 2,

t˜Ïng �˜Ïng qx+ y

2 +p

x+ z

2 & 2x+ y+ z.

Áp dˆng bßt �Øng th˘c Minkowski, ta có

qx+ y

2 +p

x+ z

2 &q%p

x+p

x

&2

+ (y+ z)2 =q

4x+ (y+ z)2

=q

4x(x+ y+ z) + (y+ z)2 = 2x+ y+ z.

Do �ó, bßt �Øng th˘c cıa ta �˜Òc ch˘ng minh xong. �Øng th˘c x£y ra khi và chø khix = y = z = 1

3

ho∞c x = 1, y = z = 0 và các hoán v‡ t˜Ïng ˘ng.LÌi gi£i 2. N∏u các b§n không thích phép chuy∫n v‡ nh˜ trên, chúng ta có th∫ th˚ chÂnphép chuy∫n v‡ ki∫u khác nh˜ sau: Hãy chú ˛ �∏n 2 bi∫u th˘c �˜Òc g§ch d˜Ói trong bßt�Øng th˘c

qx

2 + y

2 + xy+ xz+q

y

2 + z

2 + yz+ yx+q

z

2 + x

2 + zx+ zy & 2.

4

N∏u ta th¸c hiªn phép chuy∫n v‡ cho 2 bi∫u th˘c này thì s≥ thu �˜Òc mÎt bßt �Øng th˘cmÓi �Ëi x˘ng cho x và z là

qx

2 + y

2 + xy+ xz+q

z

2 + y

2 + zx+ zy+q

x

2 + z

2 + yz+ yx & 2.

Nh˜ v™y, ta c¶n có

qy

2 + z

2 + yz+ yx+q

z

2 + x

2 + zx+ zy &q

x

2 + z

2 + yz+ yx+q

z

2 + y

2 + zx+ zy,

hay làx(x2 % y

2)(y% z) & 0.

�i∑u này có th∫ �§t �˜Òc n∏u ta gi£ s˚ y là sË h§ng n¨m gi˙a x và z. �∏n �ây, ta thu �˜ÒcmÎt lÌi gi£i mÓi nh˜ sau:Gi£ s˚ y là sË h§ng n¨m gi˙a x và z, khi �ó dπ thßy

qy

2 + z

2 + yz+ yx+q

z

2 + x

2 + zx+ zy &q

x

2 + z

2 + yz+ yx+q

z

2 + y

2 + zx+ zy,

nên ta chø c¶n ch˘ng minh �˜Òc

qx

2 + y

2 + xy+ xz+q

y

2 + z

2 + zx+ zy+q

x

2 + z

2 + yz+ yx & 2,

t˜Ïng �˜Ïng qx+ y

2 +q

z+ y

2 +p

x+ z% 2xz & 2,

hay là

x+ z+ 2y

2 + 2

q(x+ y

2)(z+ y

2) &'

2%p

x+ z% 2xz

(2

.

�∞t t = xz (0 ! t ! y(1% 2y)) thì bßt �Øng th˘c trên �˜Òc vi∏t l§i là

f (t) = 2t+ 2y

2 % 4+ 2

qt+ (1% y+ y

2)y2 + 4

p1% y% 2t & 0.

Ta có

f

00(t) = %1

2 [t+ y

2(1% y+ y

2)]3/2

%4

(1% y% 2t)3/2

< 0,

nên f (t) là hàm lõm, suy ra f (t) & min f f (0), f (y(1% 2y))g nên ta chø c¶n ch˘ng minh�˜Òc f (0) & 0 và f (y(1% 2y)) & 0. �i∑u này �Áng nghæa vÓi viªc ch˘ng minh bßt �Øngth˘c trên khi xz = 0 và (x% y)(z% y) = 0.

5

+ N∏u xz = 0, ta gi£ s˚ z = 0, khi �ó x = 1% y và bßt �Øng th˘c trên tr thànhq

1% y+ y

2 +p

1% y+ y & 2.

Bßt �Øng th˘c này hi∫n nhiên �úng, bi vì theo bßt �Øng th˘c Minkowski, ta có

q1% y+ y

2 +p

1% y =

r'p1% y

(2

+ y

2 +

r'p1% y

(2

+ 0

2

&r'p

1% y+p

1% y

(2

+ (y+ 0)2 = 2% y.

+ N∏u (x% y)(z% y) = 0, ta gi£ s˚ y = z, khi �ó x = 1% 2y & 0 và bßt �Øng th˘c trêntr thành q

1% 2y+ y

2 +q

y+ y

2 +q

1% y% 2y(1% 2y) & 2,

t˜Ïng �˜Ïng qy+ y

2 +q

1% 3y+ 4y

2 & 1+ y.

Nh˜ng bßt �Øng th˘c này cÙng hi∫n nhiên �úng, bi vì theo bßt �Øng th˘cMinkowski, ta có

qy+ y

2 +q

1% 3y+ 4y

2 =q(p

y)2 + y

2 +q(p

y)2 + (1% 2y)2

&q(p

y+p

y)2 + (y+ 1% 2y)2 = 1+ y.

Phép ch˘ng minh cıa ta �˜Òc hoàn tßt.VÓi ˛ t˜ng chuy∫n v‡ nh˜ v™y, chúng ta có th∫ gi£i �˜Òc khá nhi∑u bài toán �µp và khó.Sau �ây là hai ví dˆ khác

Example 0.3 Cho các sË không âm x, y, z th‰a mãn x+ y+ z = 1. Ch˘ng minh r¨ng

3

qx% y+ z

3 + 3

qy% z+ x

3 + 3

qz% x+ y

3 ! 1.

(Phan Thành Nam)

LÌi gi£i. Ta thßy bßt �Øng th˘c c¶n ch˘ng minh có d§ng 3

pA+ 3

pB+ 3

pC ! 1, vÓi

A = x% y+ z

3 = x

3 + x

2

y% xy

2 % y

3 + 2z(x2 % y

2) + z

2(x% y) + z

3

,

B = y% z+ x

3 = y

3 + y

2

z% yz

2 % z

3 + 2x(y2 % z

2) + x

2(y% z) + x

3

,

C = z% x+ y

3 = z

3 + z

2

x% zx

2 % x

3 + 2y(z2 % x

2) + y

2(z% x) + y

3

.

6

N∏u có 2 sË trong 3 sË A, B, C có tÍng không d˜Ïng thì bßt �Øng th˘c cıa ta hi∫n nhiên�úng. Th™t v™y, gi£ s˚ A+ B ! 0 thì do C = z% x+ y

3 ! z% x+ y ! 1, nên

3

pA+

3

pB+

3

pC ! 3

p%B+

3

pB+

3

pC =

3

pC ! 1.

Bây giÌ ta s≥ xét tr˜Ìng hÒp ng˜Òc l§i, t˘c là lúc này ta có A + B & 0, B + C & 0 vàC+ A & 0. Khi �ó, gi£ s˚ z = min fx, y, zg , và �∞t

D = y

3 + y

2

x% yx

2 % x

3 + 2z(y2 % x

2) + z

2(y% x) + z

3

, và E = x

3 + y

3 % z

3

.

Lúc này, ta có 2 tính chßt sau: D+ E = B+ C & 0, và

DE% BC = (a% c)(b% c)(a2 + 2ab+ 2ac+ bc)(2a

2 + b

2 + 2c

2 + 2bc+ 3ca+ 2ab) & 0.

VÓi nh˙ng tính chßt này, ta dπ dàng ch˘ng minh �˜Òc 3

pB+ 3

pC ! 3

pD + 3

pE, và ta có

th∫ �˜a bßt �Øng th˘c v∑ ch˘ng minh

3

pA+

3

pD+

3

pE ! 1,

t˜Ïng �˜Ïng3

qx% y+ z

3 + 3

qy% x+ z

3 + 3

qx

3 + y

3 % z

3 ! 1.

Th¸c hiªn t˜Ïng t¸ nh˜ trên, ta cÙng có

3

qx% y+ z

3 + 3

qy% x+ z

3 ! 3

pz

3 +3

pz

3 = 2z,

nên ta chø c¶n ch˘ng minh �˜Òc

x+ y% z & 3

qx

3 + y

3 % z

3

.

�ây là mÎt bßt �Øng th˘c hi∫n nhiên �úng vì

(x+ y% z)3 % (x3 + y

3 % z

3) = 3(x% z)(y% z)(x+ y) & 0.

Phép ch˘ng minh cıa ta �˜Òc hoàn tßt. �Øng th˘c x£y ra khi và chø khi x = y = z = 1

3

ho∞c x = 1, y = z = 0 và các hoán v‡ t˜Ïng ˘ng.

Example 0.4 Cho các sË không âm a, b, c có tÍng b¨ng 3. Ch˘ng minh r¨ng

(3a

2 + bc+ 3b

2)(3b

2 + ca+ 3c

2)(3c

2 + ab+ 3a

2) ! 900.

(Võ QuËc Bá C©n)

7

LÌi gi£i. Không mßt tính tÍng quát, ta có th∫ gi£ s˚ b là sË h§ng n¨m gi˙a a và c. Khi �ó,vÓi chú ˛ �Øng th˘c sau

(3b

2 + ca+ 3c

2)(3c

2 + ab+ 3a

2)% (3b

2 + ab+ 3c

2)(3c

2 + ca+ 3a

2) =

= 3a(b% c)(b% a)(a+ b) ! 0,

ta có th∫ �˜a bßt �Øng th˘c v∑ ch˘ng minh

(3a

2 + bc+ 3b

2)(3b

2 + ab+ 3c

2)(3c

2 + ca+ 3a

2) ! 900.

�∏n �ây, ta thßy

(3a

2 + bc+ 3b

2)(3b

2 + ab+ 3c

2) =

= 9b

4 + 3(a+ c)b3 + (9a

2 + ac+ 9c

2)b2 + 3(a3 + c

3)b+ 9a

2

c

2

= 9b

4 + 3(a+ c)b3 + 9(a+ c)2b

2 + 3(a+ c)3b+ 9ac(ac% ab% bc)% 17b

2

ac

! 9b

4 + 3(a+ c)b3 + 9(a+ c)2b

2 + 3(a+ c)3b

= 3b(a+ 3b+ c)*b

2 + (a+ c)2+

,

và3c

2 + ca+ 3a

2 ! 3(a+ c)2,

nên ta chø c¶n ch˘ng minh �˜Òc

9x

2

b(x+ 3b)(x2 + b

2) ! 900,

vÓi x = a+ c.

Áp dˆng bßt �Øng th˘c AM – GM, ta có

9x

2

b(x+ 3b)(x2 + b

2) !9

10

,5xb+ x(x+ 3b) + 2(x2 + b

2)

3

-3

,

mà

5xb+ x(x+ 3b) + 2(x2 + b

2) =10

3

(x+ b)2 %1

3

(x% 2b)2 !10

3

(x+ b)2 = 30,

nên t¯ trên, ta �˜Òc

9x

2

b(x+ 3b)(x2 + b

2) !9

10

" 10

3 = 900.

Bßt �Øng th˘c cıa ta �˜Òc ch˘ng minh xong. �Øng th˘c x£y ra khi và chø khi a = 0, b =1, c = 2 và các hoán v‡ t˜Ïng ˘ng.

8

Nh™n xét 1 B¨ng cách t˜Ïng t¸, ta có th∫ gi£i �˜Òc bài toán sau:VÓi a, b, c là các sË không âm có tÍng b¨ng 3 và k là mÎt sË cho tr˜Óc

'p2 & k & 1

3

(, tìm giá tr‡

lÓn nhßt cıa bi∫u th˘c sau

P(a, b, c) = (a2 + kbc+ b

2)(b2 + kca+ c

2)(c2 + kab+ a

2).

Không chø có các bßt �Øng th˘c hoán v‡ ba bi∏n mÓi s˚ dˆng �˜Òc phép chuy∫n v‡ nàymà mÎt ph¶n �ông các bßt �Øng th˘c hoán v‡ bËn bi∏n cÙng có th∫ áp dˆng �˜Òc nó. �¶utiên, chúng ta s≥ s˚ dˆng phép chuy∫n v‡ �∫ �˜a v∑ mÎt bßt �Øng th˘c hoán v‡ cho babi∏n, rÁi dùng nh˙ng �ánh giá thích hÒp �∫ ch˘ng minh bài toán. MÌi các b§n cùng �i�∏n ví dˆ sau �∫ rõ hÏn ˛ t˜ng này (�ây là mÎt bài toán rßt khó)

Example 0.5 Cho các sË không âm a, b, c, d th‰a mãn a+ b+ c+ d = 4. Ch˘ng minh r¨ng

a

3

b+ b

3

c+ c

3

d+ d

3

a+ 23abcd ! 27.

(Ph§m Kim Hùng)

LÌi gi£i. Tr˜Óc h∏t, ta s≥ ch˘ng minh bÍ �∑ sau

BÍ �∑ 0.1 N∏u a, b, c là các sË không âm thì

a

3

b+ b

3

c+ c

3

a+473

256

abc(a+ b+ c) !27

256

(a+ b+ c)4.

Ch˘ng minh. B§n �Âc có th∫ t¸ ch˘ng minh lßy b¨ng cách s˚ dˆng phép chuy∫n v‡ cho 3bi∏n. !Quay tr l§i bài toán. Do tính hoán v‡ vòng quanh nên không mßt tính tÍng quát, ta có th∫gi£ s˚ d là sË h§ng nh‰ nhßt trong các sË a, b, c, d. Khi �ó, ta có

c

3

d+ d

3

a% (c3

a+ d

4) = %(c3 % d

3)(a% d) ! 0,

nên �∫ ch˘ng minh bßt �Øng th˘c �ã cho, ta chø c¶n ch˘ng minh �˜Òc

a

3

b+ b

3

c+ c

3

a+ d

4 + 23abcd ! 27.

�∏n �ây, áp dˆng bÍ �∑ trên, ta có th∫ �˜a v∑ ch˘ng minh

27

256

(4% d)4 %473

256

abc(4% d) + d

4 + 23abcd ! 27,

hay là1

256

(6361d% 1892)abc+27

256

(4% d)4 + d

4 % 27 ! 0.

9

N∏u 6361d% 1892 ! 0 thì bßt �Øng th˘c trên là hi∫n nhiên vì 27

256

(4% d)4 + d

4 ! 27. N∏u6361d% 1892 & 0 thì ta có

1

256

(6361d% 1892)abc+27

256

(4% d)4 + d

4 % 27

!1

256

(6361d% 1892) "(4% d)3

27

+27

256

(4% d)4 + d

4 % 27

=1

27

(5d

2 + 270d% 473)(d% 1)2 ! 0.

Bßt �Øng th˘c cıa ta �˜Òc ch˘ng minh xong. �Øng th˘c x£y ra khi và chø khi a = b = c =d = 1 ho∞c a = 3, b = 1, c = d = 0 và các hoán v‡ t˜Ïng ˘ng.

BÀI TäP �ó NGH¿

1. Cho các sË th¸c không âm a, b, c th‰a mãn không có hai sË nào �Áng thÌi b¨ng 0.

Ch˘ng minh r¨ng

a

2 + b

2 + c

2

ab+ bc+ ca

+4abc

a

2

b+ b

2

c+ c

2

a+ abc

& 2.

(Võ QuËc Bá C©n)

2. Gi£ s˚ a, b, c là các sË th¸c không âm th‰a mãn a

2 + b

2 + c

2 = 3. Ch˘ng minh cácbßt �Øng th˘c sau

(a) a

2

b+ b

2

c+ c

2

a ! 2+ abc;

(b) a

3

b

2 + b

3

c

2 + c

3

a

2 ! 3.

(Vasile Cirtoaje)

3. Ch˘ng minh r¨ng vÓi mÂi sË th¸c d˜Ïng a, b, c có tÍng b¨ng 3, bßt �Øng th˘c sauluôn �úng

a

b+ c

2

+b

c+ a

2

+c

a+ b

2

&3

2

.

(Ph§m Kim Hùng)

4. Ch˘ng minh r¨ng vÓi mÂi sË th¸c d˜Ïng a, b, c có tÍng b¨ng 3, bßt �Øng th˘c sauluôn �úng r

a

b

2 + 3

+

rb

c

2 + 3

+

rc

a

2 + 3

!3

2

.

(Võ QuËc Bá C©n)

10

5. Gi£ s˚ a, b, c là �Î dài ba c§nh cıa mÎt tam giác có chu vi b¨ng 1. Ch˘ng minh r¨ngp

2a+ b

3 +p

2b+ c

3 +p

2c+ a

3 &p

2+ 1.

(Võ QuËc Bá C©n)

6. Gi£ s˚ a, b, c là các sË th¸c không âm th‰a mãn ab+ bc+ ca = 3. Tìm tßt c£ các sËth¸c không âm k sao cho bßt �Øng th˘c sau luôn �úng

(ka+ b)(kb+ c)(kc+ a) & (k+ 1)3.

(Michael Rozenberg)

7. Cho a, b, c, d là các sË th¸c không âm th‰a mãn a+ b+ c+ d = 3. Ch˘ng minh r¨ng

ab(b+ c) + bc(c+ d) + cd(d+ a) + da(a+ b) ! 4.

(Ph§m Kim Hùng)

8. Cho a, b, c, d là các sË th¸c không âm th‰a mãn a+ b+ c+ d = 3. Ch˘ng minh r¨ng

ab(a+ 2b+ 3c) + bc(b+ 2c+ 3d) + cd(c+ 2d+ 3a) + da(d+ 2a+ 3b) ! 6

p3.

(Ph§m Kim Hùng)