Se quiere construir el diagrama de interacción para la columna de concreto armado de 0.40*0.40m a continuación. Se usara como centro de reducción el centroide de la sección .

Análisis con excentricidad en “y”:

Punto 1: Compresión Pura

𝑃𝑜=0.85∗ 𝑓 ´𝑐∗ ( 𝐴𝑔−𝐴𝑠𝑡 )+ 𝐴𝑠𝑡∗ 𝑓𝑦Fórmula a usar:

𝑃𝑜=0.85∗280∗ (40∗40−40.80 )+40.80∗4200𝑃𝑜=542 𝑡𝑜𝑛 .

𝑃𝑢𝑚á 𝑥=∅ ∗0.8∗𝑃𝑜Ojo: La carga axial máxima permitida por la norma es:

Es la deformación por agotamiento

del concreto.

∅=0.70→𝐶𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠𝑐𝑜𝑛𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜𝑠 .𝑃 𝑛𝑚 á 𝑥=0.8∗542=433.6 𝑡𝑜𝑛

∴𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜1(0,542)

M

𝑃 𝑢𝑚 á 𝑥=0.7∗0.8∗542=303.5 𝑡𝑜𝑛

Punto 2: Fisuración incipiente.

*34=34 cmCálculo de “c”:

𝜀𝑠 2(34−6)

=0.00334

𝜀𝑠2=0.0025>𝜀 𝑦

𝐹𝑠2=𝐴𝑠2∗ 𝑓𝑠2

𝑓𝑠2=𝐸𝑠∗𝜀𝑠2 𝑓𝑠2=4200𝑘𝑔/𝑐𝑚2

𝐹𝑠2=20.40∗4200𝐹𝑠2=85.68 𝑡𝑜𝑛 .

acmCálculo de “a”:

𝐶𝑐=0.85∗ 𝑓 ´ 𝑐∗𝑎∗𝑏

𝐶𝑐=0.85∗280∗28.90∗ 40=275.13 𝑡𝑜𝑛

𝑃 𝑛=𝐹𝑠 2+𝐶𝑐=85.68+275.13=360.81𝑡𝑜𝑛Cálculo del Pn:

Cálculo del Mn:

M

Con respecto al punto del centroide plástico, que por ser simétrico se encuentra al centro de la sección.

M

= (0.1/0.7)*280*40*40= 64 ton

∴𝑃𝑛>𝑃𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠→∅=0.70

P

∴𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜2 (27.30,360 .81)

Punto 3: Falla balanceada.

𝑐0.003=

340.003+0.0021=20𝑐𝑚

Cálculo de “c”:

acmCálculo de “a”:

𝐶𝑐=0.85∗ 𝑓 ´ 𝑐∗𝑎∗𝑏𝐶𝑐=0.85∗280∗17∗ 40=161.84 𝑡𝑜𝑛

𝑃 𝑏=𝐹𝑠2+𝐶𝑐−𝐹𝑠1=85.68+161.84−85.68=161.84 𝑡𝑜𝑛Cálculo del Pb:

Cálculo del Mb:

Mb

Con respecto al punto del centroide plástico, que por ser simétrico se encuentra al centro de la sección.

Mb

= (0.1/0.7)*280*40*40= 64 ton

𝜀𝑠2(20−6)

=0.00320

𝜀𝑠2=0.0021=𝜀 𝑦

𝐹𝑠2=𝐴𝑠2∗ 𝑓𝑠2𝑓𝑠2=𝐸𝑠∗𝜀𝑠2 𝑓𝑠2=4200𝑘𝑔/𝑐𝑚2

𝐹𝑠2=20.40∗4200=+85.68 𝑡𝑜𝑛

∴𝑃𝑏>𝑃𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠→∅=0.70

𝜀𝑠1=0.0021=𝜀 𝑦

𝐹𝑠1=𝐴𝑠 1∗ 𝑓𝑠1𝑓𝑠1=4200𝑘𝑔 /𝑐𝑚2

𝐹𝑠1=20.40∗4200=−85.68 𝑡𝑜𝑛

Compresión

Tracción

Pb

∴𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜3 (42.60,161.84 )

17

Punto 4: Cambio del valor de

“c” por tanteos: 11.40 cm.

acmCálculo de “a”:

𝐶𝑐=0.85∗ 𝑓 ´ 𝑐∗𝑎∗𝑏𝐶𝑐=0.85∗280∗9.69∗ 40=92.25 𝑡𝑜𝑛

Pn

Cálculo del Pn:

Cálculo del Mn:

Mn

Con respecto al punto del centroide plástico, que por ser simétrico se encuentra al centro de la sección.

Mb

= (0.1/0.7)*280*40*40= 64 ton

𝜀𝑠1(22.60)

= 0.00311.40

𝜀𝑠1=0.0059=2.83𝜀 𝑦

𝐹𝑠2=𝐴𝑠 2∗ 𝑓𝑠2

𝑓𝑠2=𝐸𝑠∗𝜀𝑠2 𝑓𝑠1=4200𝑘𝑔 /𝑐𝑚2𝐹𝑠1=20.40∗4200=−85.68 𝑡𝑜𝑛

Compresión

Tracción

P

∴𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 4 (33.97,63 .69)

𝜀𝑠2

(11.40−6)= 0.00311.40

𝜀𝑠2=0.0014<𝜀 𝑦

𝐹𝑠2=𝐴𝑠2∗ 𝑓𝑠2

𝑓𝑠2=𝐸𝑠∗𝜀𝑠2 𝑓𝑠2=2∗106∗0.0014=2800𝑘𝑔/𝑐𝑚2𝐹𝑠2=20.40∗2800=+57.12𝑡𝑜𝑛

∅=0.70

Punto 5: Punto cercano a la flexión pura.

“c” por tanteos: 7.56 cm.

acmCálculo de “a”:

𝐶𝑐=0.85∗ 𝑓 ´ 𝑐∗𝑎∗𝑏𝐶𝑐=0.85∗280∗6.43∗ 40=61.21𝑡𝑜𝑛

Pn

Cálculo del Pn:

Cálculo del Mn:

Mn

Con respecto al punto del centroide plástico, que por ser simétrico se encuentra al centro de la sección.

Mb

𝜀𝑠 1(32.44−6)

=0.0037.56

𝜀𝑠1=0.010=5𝜀 𝑦

1

𝑓𝑠1=𝐸𝑠∗𝜀𝑠1 𝑓𝑠1=4200𝑘𝑔 /𝑐𝑚2𝐹𝑠1=20.40∗4200=−85.68 𝑡𝑜𝑛

Compresión

Tracción

P

∴𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜5 (25.81,0)

𝜀𝑠2(7.56−6)

=0.0037.56

𝜀𝑠2=0.00062<𝜀 𝑦

𝐹𝑠2=𝐴𝑠2∗ 𝑓𝑠2

𝑓𝑠2=𝐸𝑠∗𝜀𝑠2 𝑓𝑠2=2∗106∗0.00062=1240𝑘𝑔/𝑐𝑚2

𝐹𝑠2=20.40∗1240=+25.30 𝑡𝑜𝑛

∅=0.90

Punto 6: Tracción pura.

Fórmula a usar:

=171.36 ton

∴𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜6 (0,171.36 ) ∅=0.90

M

Pn Mn542 0

360.81 27.3161.84 42.663.69 33.97

0 25.81-171.36 0

Pn Mn379.4 0

252.57 19.11113.29 29.8244.58 23.78

0 23.23-154.22 00 5 10 15 20 25 30 35 40 45

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

600

379.4

252.567

113.288

44.5830

-154.224

303.52

542

360.81

161.84

63.69

0

-171.36

M

M

Análisis con excentricidad en “x”:

COMPRESIÓN TRACCIÓN

COMPRESIÓN

TRACCIÓN

0.06

0.06

0.09

0.09

0.10

C

T

M

0.06

0.06

0.09

0.09

0.10

As1= 2*5.1=10.2 cm2

As2= 2*5.1=10.2 cm2

As3= 2*5.1=10.2 cm2

As4= 2*5.1=10.2 cm2

f´c=280 kg/cm2

fy=4200 kg/cm2

Ast = 40.8 cm2

Es=2*106 kg/cm2

34 cm

25 cm

15 cm

6 cm

Punto 1: Compresión Pura

𝑷𝒐=𝟎 .𝟖𝟓∗ 𝒇 ´𝒄∗ (𝑨𝒈−𝑨𝒔𝒕 )+𝑨𝒔𝒕 ∗ 𝒇𝒚Fórmula a usar:

𝑃𝑜=0.85∗280∗ (40∗40−40.80 )+40.80∗4200𝑃𝑜=542 𝑡𝑜𝑛 .

𝑃𝑢𝑚á 𝑥=∅ ∗0.8∗𝑃𝑜

Ojo: La carga axial máxima permitida por la norma es:

Es la deformación por agotamiento

del concreto. 𝑃 𝑛𝑚 á 𝑥=0.8∗542=433.6 𝑡𝑜𝑛

∴𝑷𝒖𝒏𝒕𝒐𝟏(𝟎 ,𝟓𝟒𝟐)

M

𝑃 𝑢𝑚 á 𝑥=0.7∗0.8∗542=303.5 𝑡𝑜𝑛

Punto 2: El eje neutro coincide con el As 1

“c”: 34 cm

= 0.003*9/34= 0.00079 ˂

𝐹𝑠2= 𝑓𝑠2∗10.2=16.2 ton𝑓𝑠2=𝜀𝑠2∗2∗106=1588𝑘𝑔 /𝑐𝑚2

acmCálculo de “a”:

= 0.003*19/34= 0.00168 ˂

𝐹𝑠3= 𝑓𝑠3∗10.2=34.2ton𝑓𝑠3=𝜀𝑠3∗2∗106=3353𝑘𝑔/𝑐𝑚2

= 0.003*28/34= 0.00247 ˃

𝐹𝑠 4= 𝑓𝑠 4∗10.2=42.8 ton𝑓𝑠4=4200𝑘𝑔 /𝑐𝑚2

𝐶𝑐=0.85∗ 𝑓 ´ 𝑐∗𝑏∗𝑎

𝜀𝑠4𝜀𝑠3𝜀𝑠2

a=0.289m

c=0.34m

123

4

𝑃 𝑛=𝐹𝑠 2+𝐹𝑠3+𝐹𝑠 4+𝐶𝑐=16.8+33.6+42.8+275=368.2𝑡𝑜𝑛Cálculo del Pn:

Cálculo del Mn:

M

Con respecto al punto del centroide plástico, que coincide con el centro geométrico.

M

= (0.1/0.7)*280*40*40= 64 ton

∴𝑷𝒏>𝑷𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔→∅=𝟎 .𝟕𝟎

∴𝑷𝒖𝒏𝒕𝒐𝟐(𝟐𝟐 .𝟐 ,𝟑𝟔𝟖 .𝟐)

𝜀𝑠4𝜀𝑠3𝜀𝑠2

a=0.289m

c=0.34m

123

40.2m

Fs4

Fs3Fs2

Cc

Punto 3: El eje neutro coincide con el As 2

“c”: 25 cm

=0.003*34/25 – 0.003= .00108 ˂ 𝑓𝑠1=𝜀 𝑠1∗2∗106=2160𝑘𝑔 /𝑐𝑚2

acmCálculo de “a”:

= 0.003*10/25= 0.0012 ˂ 𝑓𝑠3=𝜀𝑠3∗2∗106=2400𝑘𝑔/𝑐𝑚2

= 0.003*19/25= 0.00228 ˃

(compresión)

𝑓𝑠4=4200𝑘𝑔 /𝑐𝑚2

𝐶𝑐=0.85∗ 𝑓 ´ 𝑐∗𝑏∗𝑎

𝜀𝑠4𝜀𝑠3

𝜀𝑠1

ac=0.25m

123

4

𝑃 𝑛=𝐹𝑠 1+𝐹𝑠3+𝐹𝑠4+𝐶𝑐=−22+24.5+42.8+202=247.3 𝑡𝑜𝑛Cálculo del Pn:

Cálculo del Mn:

M

Con respecto al punto del centroide plástico, que coincide con el centro geométrico.

M

= (0.1/0.7)*280*40*40= 64 ton

∴𝑷𝒏>𝑷𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔→∅=𝟎 .𝟕𝟎

∴𝑷𝒖𝒏𝒕𝒐𝟑(𝟐𝟗 .𝟐 ,𝟐𝟒𝟕 .𝟑)

𝜀𝑠4𝜀𝑠3

𝜀𝑠1

ac=0.25m

1

23

40.2m

Fs4

Fs3

Fs1

Cc

Punto 4: El eje neutro coincide con el As 3

“c”: 15 cm

=0.003*34/15 – 0.003= .0038 ˃ 𝑓𝑠1=4200𝑘𝑔 /𝑐𝑚2

acmCálculo de “a”:

= 0.003*25/15= 0.002 ˂ 𝑓𝑠2=𝜀𝑠2∗2∗106=4000𝑘𝑔/𝑐𝑚2

= 0.003*9/15= 0.0018 ˂

(compresión)

𝑓𝑠4=𝜀𝑠 4∗2∗10 6=3600𝑘𝑔/𝑐𝑚2

𝐶𝑐=0.85∗ 𝑓 ´ 𝑐∗𝑏∗𝑎

𝜀𝑠4

𝜀𝑠2𝜀𝑠1

ac= 0.15m

123

4

𝑃 𝑛=𝐹𝑠 1+𝐹𝑠2+𝐹𝑠 4+𝐶𝑐=−42.8−40.8+36.7+121.4=74 .8 𝑡𝑜𝑛Cálculo del Pn:

Cálculo del Mn:

M+

Con respecto al punto del centroide plástico, que coincide con el centro geométrico.

M= (0.1/0.7)*280*40*40= 64 ton

∴𝑷𝒏>𝑷𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔→∅=𝟎 .𝟕𝟎∴𝑷𝒖𝒏𝒕𝒐𝟒(𝟐𝟗 .𝟕 ,𝟕𝟒 .𝟖)

0.2m

Fs4

Fs2Fs1

Cc𝜀𝑠4

𝜀𝑠2𝜀𝑠1

ac= 0.15m

1

2

3

4

Punto 5: Falla balanceada.

𝑐 𝑏0.003=

340.003+0.0021=20𝑐𝑚

Cálculo de “c”:

acmCálculo de “a”:

17

ac= 0.2m

123

4

0.003

0.0021

𝜀𝑠4

𝜀𝑠2𝜀𝑠1

𝜀𝑠3

= 𝐹𝑠1= 𝑓𝑠1∗10.2=−42.8 ton( tracció n)

𝑓𝑠1=4200𝑘𝑔 /𝑐𝑚2

= 0.0021*5/14= 0.00075 ˂ 𝑓𝑠2=𝜀𝑠2∗2∗106=1500𝑘𝑔 /𝑐𝑚2

= 0.0021*5/14= 0.00075˂

(compresión)

𝑓𝑠3=𝜀𝑠3∗2∗106=1500𝑘𝑔/𝑐𝑚2

𝐶𝑐=0.85∗ 𝑓 ´ 𝑐∗𝑏∗𝑎

= 𝐹𝑠 4=42.8 ton(compresi ó n)

𝑓𝑠4=4200𝑘𝑔 /𝑐𝑚2

𝑃 𝑛=𝐹𝑠 1+𝐹𝑠2+𝐹𝑠 3+𝐹𝑠 4+𝐶𝑐=−42.8−15.3+15.3+42.8+161.8=161.8 𝑡𝑜𝑛Cálculo del Pn:

Cálculo del Mn:

MCon respecto al punto del centroide plástico, que coincide con el centro geométrico.

M

= (0.1/0.7)*280*40*40= 64 ton

∴𝑷𝒏>𝑷𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔→∅=𝟎 .𝟕𝟎∴𝑷𝒖𝒏𝒕𝒐𝟓(𝟑𝟐 .𝟏 ,𝟏𝟔𝟏 .𝟖)

17

ac= 0.2m

1

23

4

0.003

0.0021

𝜀𝑠3𝜀𝑠4

𝜀𝑠2𝜀𝑠1

0.2m

Fs4

Fs2Fs1

CcFs3

Punto 6: Cambio del valor de

“c” por tanteos: 14.40 cm.

acmCálculo de “a”:

Cálculo de “c”:

= 𝐹𝑠1= 𝑓𝑠1∗10.2=−42.8 ton( tracció n)

𝑓𝑠1=4200𝑘𝑔 /𝑐𝑚2

= 0.003*15/14.4-0.003= 0.000125 ˂ 𝑓𝑠3=𝜀𝑠3∗2∗106=250𝑘𝑔/𝑐𝑚2

= 0.003*8.4/14.4= 0.00175˂

(compresión)

𝑓𝑠4=𝜀𝑠 4∗2∗10 6=3500𝑘𝑔/𝑐𝑚2

𝐶𝑐=0.85∗ 𝑓 ´ 𝑐∗𝑏∗𝑎

= 𝐹𝑠2=−42.8 ton(tracci ón)

𝑓𝑠2=4200𝑘𝑔/𝑐𝑚2

ac= 0.14.4m

123

4 𝜀𝑠4

𝜀𝑠2𝜀𝑠1

𝜀𝑠3

𝑃 𝑛=𝐹𝑠 1+𝐹𝑠2+𝐹𝑠 3+𝐹𝑠 4+𝐶𝑐=−42.8∗2−2.55+35.7+116.5=64.1𝑡𝑜𝑛Cálculo del Pn:

Cálculo del Mn:

M

Con respecto al punto del centroide plástico, que coincide con el centro geométrico.

M= (0.1/0.7)*280*40*40= 64 ton

∴𝑷𝒏>𝑷𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔→∅=𝟎 .𝟕𝟎∴𝑷𝒖𝒏𝒕𝒐𝟔(𝟐𝟗 .𝟐 ,𝟔𝟒 .𝟏)

0.2m

Fs4

Fs2Fs1

Ccac= 0.14.4m

1

2

3

4 𝜀𝑠4

𝜀𝑠2𝜀𝑠1

𝜀𝑠3 Fs3

Punto 7: Punto cercano a la flexión pura.

“c” por tanteos: 10.5 cm.

acmCálculo de “a”:Cálculo de “a”:

= 𝐹𝑠1= 𝑓𝑠1∗10.2=−42.8 ton( tracció n)

𝑓𝑠1=4200𝑘𝑔 /𝑐𝑚2

= 0.003*15/10.5-0.003= 0.000129 ˂ 𝑓𝑠3=𝜀𝑠3∗2∗106

= 0.003*4.5/10.5= 0.00129˂

(compresión)

𝑓𝑠4=𝜀𝑠 4∗2∗10 6

𝐶𝑐=0.85∗ 𝑓 ´ 𝑐∗𝑏∗𝑎

= 𝐹𝑠2=−42.8 ton(tracci ón)

𝑓𝑠2=4200𝑘𝑔/𝑐𝑚2

ac= 0.105m

123

4 𝜀𝑠4

𝜀𝑠2𝜀𝑠1

𝜀𝑠3

𝑃 𝑛=𝐹𝑠 1+𝐹𝑠2+𝐹𝑠 3+𝐹𝑠 4+𝐶𝑐=−42.8∗2−26.2+26.2+85=−0.6=0 𝑡𝑜𝑛Cálculo del Pn:

Cálculo del Mn:

M

Con respecto al punto del centroide plástico, que coincide con el centro geométrico.

M

∴∅=𝟎 .𝟗𝟎∴𝑷𝒖𝒏𝒕𝒐𝟕(𝟐𝟑 .𝟕 ,𝟎)

0.2m

Fs4

Fs2Fs1

Cc

Fs3

ac= 0.105m

1

23

4 𝜀𝑠4

𝜀𝑠2𝜀𝑠1

𝜀𝑠3

Punto 8: Tracción pura.

Fórmula a usar:

=171.36 ton

∴𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜6 (171.36 ,0) ∅=0.90

M Mn Pn0 542

22,15 367,629,2 247,332,12 161,829,71 74,829,2 64,0523,7 0

0 -171

ØM ØP0 379,4

15,505 257,3220,44 173,11

22,484 113,2620,797 52,3620,44 44,83521,33 0

0 -153,9

0 5 10 15 20 25 30 35

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

600

𝟎 .𝟖𝑷𝒐𝟎 .𝟖∅ 𝑷𝒐