practica analisis matematico
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Una guia practica de analisis matematico. Facultad de ciencias economicas, ciclo basico.TRANSCRIPT
Análisis Matemático
CIENCIAS ECONÓMICAS
Trabajos Prácticos
2015
1
PRACTICA 0
PRELIMINARES
Ejercicio 1.- Calcular
a) 2 1 3 2 1 1 7
2 53 6 5 3 5 2 3
b)
4 1 1 2 3: : 1
3 2 3 5 2
c)
12 2
1 12 2
3 3
d)
1
2
2
1 15 1
7 7
7
8
Ejercicio 2.- En cada caso, decidir si los dos números racionales son iguales
1
2 y
3
6
4
3 y
16
9
2
3 y
4
6
7 y 2
14
310 y
2
1.000
12
23
2
y 5
3
Ejercicio 3.-
a) Escribir el número decimal correspondiente a:
1
4
7
20
8
25
425
6250
b) Hallar un número decimal que aproxime a
1
9
3
7
11
6
37
15
c) Decidir si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas
( significa "aproximadamente igual")
30,187
16
30,1875
16
30,18
16
49 7
36 6
10,3
3 5 2, 2 5 2,23
490,167
36
d) Hallar tres números que tengan raíz cuadrada entera.
e) Hallar tres números que tengan raíz cúbica entera.
2
Ejercicio 4.-
a) Decidir cuáles de las siguientes desigualdades son verdaderas:
33 50
2 3
80 4
99 5
95
2
4 5
5 4
3 1875
16 10.000
b) Ordenar de menor a mayor los siguientes números:
8
9 3 1 5
1
3 1
9
8 3 5 0,001
c) ¿Cuál de dos amigos come más pizza: el que come las cinco sextas partes de la mitad de la
pizza, o el que come las tres cuartas partes de lo que dejó el primero?
Ejercicio 5.- Decidir, en cada caso, si las expresiones dadas son iguales
a) 9 25 y 9 25 a b y a b ( a , 0b )
8 y 2 2 1
5 y
5
5
b) 9 16 y 9 16 a b y a b ( a , 0b )
100 36 y 100 36 a b y a b ( a , 0b )
c) 2 2 2ya b a b
2 2 2y 2a b a ab b
2 2 25 3 y 5 3
2 2 25 3 y 5 3
2 2 2ya b a b
2 2 2y 2a b a ab b
d) 1 1 1
y4 3 4 3
1 1 1
y ( , , 0)a b a ba b a b
5 8
y 85
5 8 8y 1
5 5
y ( 0 )a b
b aa
y 1 ( 0 )
a b ba
a a
Ejercicio 6.-
a) Desarrollar
b) Escribir como producto de dos factores ( ( )( ) )
2 36a 4 81a 2 7x x 4 24 4a a 2 10 25x x 3 29x x
2
3x 3 3x x x y x y
3
Ejercicio 7.- Resolver las siguientes ecuaciones
5 13x 3 2 5x 6 42
x 5 1 2 15x x
1 3x x 6
1 5x
65
1x
2 33
4
x
x
2 1 4 3
1 3
x x
2 2
2 1 5 3x x
10
2
x
x
2 23 3 2x x x x
212 43
4 1
xx
x
5 1 3
2 42 3 6xx x
x
Ejercicio 8.-
a) Calcular
4
2 42
01
5
32
3
2
0,02 23 3
2
23
4
1/ 24
9
31
10
1/ 29
4
3 27
8
24
24 3/ 416
b) Resolver y simplificar
2 / 73 4
1 1
7 7
16 4
3 3:
2 2
1/ 2
5/ 2 7 / 25 5
3/ 2
4 / 532
2 5 4 7
3 9 2
a a a a
a a a a
1/ 2 1/ 3 6( )a a
Ejercicio 9.- Escribir en lenguaje algebraico las siguientes informaciones relativas a un
rectángulo de base x y altura y .
i) El rectángulo es un cuadrado.
ii) La base es el triple de la altura.
iii) La base excede en cuatro unidades a la altura.
iv) La altura es 4
7 de la base.
4
v) El rectángulo tiene 28 cm de perímetro.
vi) La diagonal del rectángulo mide 13 cm.
vii) El área del rectángulo es 100 cm 2 .
b) Asociar cada enunciado con la expresión algebraica correspondiente:
(I) Cinco menos que el doble de un número
(A) 2
a b
(II) Cinco menos el doble de un número
(B) 2 5a
(III) La diferencia de dos cuadrados
(C) 2
a b
(IV) El cuadrado de una diferencia
(D) 2 2a b
(V ) La mitad de la suma de dos números
(E) 5 2a
Ejercicio 10.-
a) María tiene cuarenta y seis años y Juan, doce; ¿dentro de cuántos años la edad de María será
el triple de la edad de Juan?
b) Una salsa de tomate se ofrece en dos tipos de envase, lata y tetrabrick. Las dimensiones de la
lata son de 6cm de diámetro en la base y 11cm de altura, las del tetrabrick son 7cm y
4cm en los lados de la base y 12cm de altura. ¿Cuál de los dos envases tiene mayor
capacidad?
c) Un automóvil 0km cuesta $18000 . Si se desvaloriza a razón de un 10% anual, ¿cuál será
el valor del mismo dentro de dos años?
d) El costo de una mercadería es de $15 . ¿Cuál debe ser el precio de lista para que, en una
promoción en la que se ofrece un 10% de descuento sobre el precio de lista, el comerciante
gane un 20% sobre el costo?
e) Una empresa se dedica a la compra y venta de inmuebles. Cierto día la empresa vende dos
propiedades, cada una de ellas en $120000 . Se sabe que con la primera propiedad ganó un
20% de lo invertido al adquirirla, en tanto que con la segunda, perdió un 20% de lo
invertido. ¿Cuál es la ganancia o pérdida neta para la empresa por la compraventa de las dos
propiedades?
5
PRACTICA 1
NUMEROS REALES
Ejercicio 1.- Representar en la recta real los siguientes números reales
a) 0 1 2 2
5
3
2 2
b) 2 3 3 3 1
3
1
3
1
4
1
4
Ejercicio 2.- Representar en la recta real los siguientes subconjuntos de
a) 5,3 / 5 3x x b) , 1 / 1x x
c) / 2 6n n d) 1 1 1 1 1
1, , , , , ,2 3 4
/ nn n
Ejercicio 3.- Representar en la recta numérica
a) Todos los números reales mayores que 3 .
b) Todos los números reales menores o iguales que 4 .
c) Todos los números reales mayores que 2 y menores o iguales que 9
2 .
d) Los intervalos
1,4 2,3 0,5 1
3,2
8, 2 8, 1 5
,4
5,
4
e) Las uniones de intervalos
3,1 0.4 2, 1 1,3 2,3 0,5 8,1 3,8
f) Las intersecciones de intervalos
3,1 0.4 2, 1 1,3 2,3 0,5 8,1 3,8
Ejercicio 4.- Decidir cuáles de los siguientes números reales pertenecen al intervalo ,2 :
2 2 2 1 7
14
3 9 3 27
51
2
6
Ejercicio 5.- Representar en la recta numérica y escribir como intervalo o unión de intervalos
a) 1
2/xx
b)
3/ 4x
x
c)
2/ 3 1x
x
d) 1 64
/xx x
e) 2/ 8x x x f)
5/ 1 0x
x
g) 6
/ 14
xx
h)
4/ 2
2x
x
i)
3 2/ 1
4
xx
x
j) 3 2
/ 11 1
xx x
Definición:
El valor absoluto de un número real a es si 0
si 0
a aa
a a
Ejercicio 6.-
a) Representar en la recta numérica los siguientes conjuntos
/ | | 5A x x / | | 0B x x
/ | | 1C x x / | 4 | 2D x x
/ | 2 1| 3E x x / | 5 4 | 0F x x
b) Escribir como intervalo o unión de intervalos y representar en la recta numérica los
siguientes conjuntos
/ | 1| 3G x x / | 2 | 4H x x
/ 3 1| 8I x x / | 8 3| 5J x x
c) Expresar los siguientes conjuntos en la forma { R / | | }x x a r o bien
{ R / | | }x x a r según corresponda, para valores de a y r adecuados.
i) Los reales que distan del 0 en menos de 2 .
ii) Los reales que distan del 1 en más de 1 .
iii) Los reales que distan de 1/ 2 en menos de 0, 2 .
iv) 5,3
7
v) ,2 4,
Ejercicio 7.- Hallar valores de a y b tales que a b a b .
Definición:
Un conjunto A se dice acotado superiormente si existe un número real c tal que para
todo a A : a c . Decimos que c es cota superior de A .
Definición:
Sea RA un conjunto no vacío acotado superiormente. El número real s se llama
supremo de A si cumple con las dos condiciones siguientes:
1S ) s es cota superior de A .
2S ) Si c es cota superior de A entonces s c .
Es decir s es la menor de las cotas superiores de A .
Ejercicio 8.- Dados los siguientes conjuntos de números reales
a) Decidir cuáles están acotados superiormente.
b) Dar varias cotas superiores.
c) Encontrar, si existe, la menor cota superior, es decir, el supremo.
0,7A B 1,9 ;1,99 ;1,999 ;C
/ | 1| 2D x x / | 3 2 | 4E x x 9
/ 3| 2 |
F xx
0,G ,5H 7
0,1 3,2
I
Definición:
Un conjunto RA se dice acotado inferiormente si existe un número real d tal que para
todo a A : d a . Decimos que d es cota inferior de A .
Definición:
Sea RA un conjunto no vacío acotado inferiormente. El número real i se llama ínfimo
de A si cumple con las dos condiciones siguientes:
1I ) i es cota inferior de A .
2I ) Si d es cota inferior de A entonces d i .
Es decir i es la mayor de las cotas inferiores de A .
8
Ejercicio 9.- Para los conjuntos del ejercicio anterior
a) Decidir cuáles están acotados inferiormente.
b) Dar varias cotas inferiores.
c) Encontrar, si existe, la mayor de las cotas inferiores, es decir, el ínfimo.
Ejercicio 10.- Hallar, cuando exista, el supremo y el ínfimo de los conjuntos de los ejercicios
3 y 5.
Ejercicio 11.- Escribir como intervalo o unión de intervalos y hallar, cuando exista, el supremo
y el ínfimo de los siguientes conjuntos:
/ 2 1 5A x x / | 4 | 1B x x
/ 3 6 9C x x / 2 6D x x
EJERCICIOS SURTIDOS
Ejercicio 1.- Escribir el conjunto 1 2 1
/3
xA x
x x
como intervalo o unión de
intervalos.
Ejercicio 2.- Escribir el conjunto 2 4
/2
xA x x
x
como intervalo o unión de
intervalos y hallar, si existen, el supremo y el ínfimo.
Ejercicio 3.- En cada uno de los siguientes problemas marcar la única respuesta correcta
a) Si { R / | 1| 4}A x x , entonces
sup( ) 3A e inf( ) 5A sup( ) 1A y A no tiene ínfimo
sup( ) 3A y A no tiene ínfimo sup( ) 1A e inf( ) 3A
b) Una cota inferior de / 5 4 2 1A x x x es
5
3
5
3 1 0
c) El conjunto 3
/ 2A xx
es igual a
3
, 0,2
3 3
,0 0,2 2
3
,0 (0, )2
,0 (0, )
d) El ínfimo del conjunto { R / | 3 2 | 1}A x x es igual a
1 1
3
1
3 1
9
PRACTICA 2
FUNCIONES
Ejercicio 1.- Representar en el plano los puntos
2,0A 0, 2B 1
3,2
C
4,1D
3, 3E 2,1F 1, 2G 1,2H
Ejercicio 2.- Representar en el plano todos los puntos que tienen
a) abscisa 3 .
b) ordenada 1
2 .
c) abscisa de módulo 4 .
d) ordenada mayor que 5 .
e) abscisa y ordenada iguales.
f) abscisa y ordenada menores que 0 .
g) ordenada mayor o igual que 1 y abscisa menor que 4 .
h) ordenada entre 1 y 1 y abscisa entre 4 y 4 .
Ejercicio 3.- Sea ( ) 2 3f x x
a) Calcular (5)f , (0)f , ( 2)f .
b) Trazar el gráfico de la función.
c) Hallar analítica y gráficamente los x tales que
d) Trazar la recta de ecuación 2 3y x . Decidir cuáles de los siguientes puntos pertenecen a
dicha recta:
0,1A ( 1,1)B (1,5)C 1
, 42
D
i) ( ) 0f x ii) ( ) 1f x iii) ( ) 5f x
10
Ejercicio 4.- Graficar las siguientes funciones lineales en un mismo sistema de coordenadas
cartesianas:
a) 3f x x , 5g x x , 2
3h x x
b) 2f x x , 2g x x
c) 4f x x , 4 2g x x , 4 3h x x
Ejercicio 5.-
a) Encontrar, en cada caso, una función lineal que satisfaga
i) (1) 4f , ( 3) 2f ii) ( 1) 5f , (85) 5f
b) Calcular la pendiente de cada una de las rectas que son gráficos de las funciones lineales del
inciso anterior.
Ejercicio 6.-
a) Hallar la ecuación de la recta de pendiente m que pasa por P , siendo
i) 2,3P , 2m ii) 1,5P , 0m
iii) 3, 4P , 1m iv)
1 3( , )5 5
P , 1
2m
b) Encontrar la pendiente de la recta que pasa por P y Q siendo
i) 1,2P , 4,3Q ii) 5,8P , 6,8Q
iii) 0,2P , 1,4Q iv) 1,2P , 1,4Q
Ejercicio 7.-
a) Hallar el valor de a para que la recta de ecuación 5y ax pase por el punto 1,4 .
b) Hallar el valor de b para que la recta de ecuación 2y x b pase por el punto 3,1 .
Ejercicio 8.-
a) ¿Existe una función lineal que responda a la siguiente tabla de valores?
( )
1 2
1/ 2 1/ 3
1 4 / 3
x f x
11
b) Completar la siguiente tabla de valores sabiendo que ( )y f x es lineal.
Ejercicio 9.- A partir de los siguientes gráficos
a) Escribir la función lineal correspondiente a cada recta.
b) Determinar el valor de la pendiente.
i) ii) iii)
iv) v) vi)
Ejercicio 10.- Dada la recta que pasa por 3,2 y 4,a
a) ¿Para qué valor de a la pendiente vale 8 ?
b) ¿Para qué valor de a la recta corta el eje y en el punto 0,3 ?
c) ¿Para qué valor de a la recta pasa por el punto 2,9 ?
( )
1 2
1/ 2 1/ 3
4 / 3
1
x f x
12
d) Para los valores hallados en los incisos anteriores, calcular en qué punto las rectas cortan el
eje .x
Ejercicio 11.- Determinar cuáles de las siguientes funciones son crecientes y cuáles
decrecientes. Determinar cuál crece más rápidamente y cuál decrece más rápidamente.
1 3 2f x x , 2 2 1f x x , 3 2 1f x x , 4 4f x x
Ejercicio 12.- Graficar las siguientes funciones
a) 4
xf x b) 2 1f x x
c) 3f x x d) 5f x x
Ejercicio 13.- Dadas las siguientes funciones f y g , determinar gráfica y analíticamente el
conjunto { R / ( ) ( )}A x f x g x
a) ( ) 3f x , ( ) 1g x x b) ( )f x x , ( ) 3g x x
Ejercicio 14.- Supongamos que la demanda semanal de un producto es de 100 unidades
cuando el precio es de $58 por unidad y de 200 unidades con precio de $51 cada una.
a) Hallar la función demanda ( )p D x , suponiendo que es lineal.
b) Calcular (75)D . ¿Qué representa?
Ejercicio 15.- Un fabricante de zapatos está dispuesto a colocar en el mercado 50 (miles de
pares) cuando el precio es $35 por par y 75 cuando su precio es de $50 .
a) Obtener la función de oferta p O q , suponiendo que el precio p y la cantidad q tienen
una relación lineal, y graficarla.
b) Se ha podido determinar que la ecuación de demanda de su producto es
1( ) 38
2p D q q
Hallar la cantidad de pares de zapatos que debe fabricar para que la oferta coincida con la
demanda (cantidad de equilibrio). ¿Cuál es el precio (precio de equilibrio) del par de zapatos
para esta cantidad?
c) Graficar en un mismo sistema de coordenadas las funciones de oferta y de demanda e
interpretar geométricamente el punto de equilibrio ( cantidad , precio ).
13
Ejercicio 16.- Una empresa vende un producto a $65 por unidad. Los costos variables por
unidad en concepto de materiales y mano de obra ascienden a $37 . Los costos fijos mensuales
ascienden a $10.000 .
a) Encontrar la función de costo total ( )y C x expresada en función de x unidades
producidas y vendidas.
b) Encontrar la función de ingreso ( )y I x precio unitario por cantidad, en función de
términos x unidades vendidas.
c) Encontrar la función de utilidad (utilidad=ingreso total-costo total) ¿Qué utilidad se obtiene
si las ventas son de 2.000 unidades?
d) ¿Cuántas unidades se deben vender para tener una utilidad mayor que $60.000 ?
Ejercicio 17.- En cada caso, trazar el gráfico de la función cuadrática y hallar las coordenadas
del vértice de la parábola que representa
Ejercicio 18.- Hallar los conjuntos de positividad y de negatividad, intervalos de crecimiento y
de decrecimiento, el máximo o mínimo de las funciones cuadráticas cuyos gráficos figuran a
continuación:
i)
ii)
iii) iv)
i) 2( ) 3f x x ii) 2( ) 4f x x iii) 21( ) 3
3f x x
iv) 2( ) 2 3f x x x v) 2( ) 2f x x vi) 2( ) 2f x x
vii) 21
( ) 13
f x x viii) 2( ) 2 7f x x x
14
Ejercicio 19.- En las funciones del ejercicio 17
a) Determinar intervalos donde la función es creciente e intervalos donde es decreciente
b) ¿Cómo se comporta ( )f x cuando x tiende a más y a menos infinito?
c) Determinar en cada caso el valor máximo ó mínimo de la función y dónde lo alcanza.
Ejercicio 20.- Dada 2( ) 2 3 1f x x x hallar los x tales que
Ejercicio 21.- Hallar, si existen, el supremo y el ínfimo de los siguientes conjuntos
{ R / 2 0}A x x x { R / 3 1 0}B x x x
2{ R / 2 0}C x x x 2 2{ R / 2 8 2 7}D x x x x
Ejercicio 22.- Cuando se produce una cantidad x (en miles de toneladas) de una cierta
mercadería dos productores reciben un beneficio mensual (en miles de pesos) de 2
1( ) 8 3g x x x , 2( ) 2 10g x x .
a) Graficar ambas funciones de ganancia.
b) ¿Cuántas toneladas debe producir cada productor para obtener la misma ganancia?
c) ¿Para qué producción las ganancias obtenidas por el primer productor cuadruplican las del
segundo?
Ejercicio 23.- La función de demanda para el producto de un fabricante es
( ) 1200 3p D q q , donde p es el precio (en pesos) por unidad cuando se tiene una
demanda semanal de q unidades.
a) Expresar el ingreso total ( )I I q ( Ingreso total pq ) en función de la demanda. Hacer
un gráfico de tal función.
b) Calcular el nivel de producción semanal que maximiza el ingreso total del fabricante y
determinar el ingreso máximo.
Ejercicio 24.- Graficar en forma aproximada las siguientes funciones polinómicas
a) ( ) 1f x b) ( ) 6f x c) ( ) 2f x
d) ( ) 3 9f x x e) 2( ) 4 7f x x x f) ( ) 3 9f x x
i) 3( ) 2f x x ii)
3( ) 2 1f x x iii) 3
( ) 2 1f x x
15
Ejercicio
25.- Hallar el dominio de f y hacer un gráfico aproximado. Analizar en cada caso su
comportamiento en el infinito
a) 1
( )f xx
b) 4
( )1
f xx
c) 1
( )f xx
d) 2
1( )f x
x
Ejercicio 26.- Hallar el dominio de las siguientes funciones
a) 5
( )3
f xx
b) 3 5
( )2 1
xf x
x
c)
2
2( )
4
xf x
x
d) 2
1( )
2f x
x x
e) 2
2( )
4 8 3f x
x x
f)
2
3( )
2f x
x x
Ejercicio 27.- Calcular f g y g f indicando el dominio en cada caso
a) ( ) 2 1f x x , 3 4g x x b) ( ) 3 2f x x , 2g x x
c) 3 1
( )2 4
xf x
x
, 3g x x d)
2 1( )
4
xf x
x
,
2g x
x
e) ( ) sen( )f x x , ( )g x x f) ( ) sen( )f x x , 1
( )g xx
Ejercicio 28.-
a) La función ( ) 1,8 32f x x expresa la temperatura en grados Fahrenheit conocida la
misma en grados Celsius. Sabiendo que el papel arde aproximadamente a 451 F , ¿a cuántos
grados Celsius tendrá que exponer esta práctica para quemarla?
b) Dar la función que permite, dada una temperatura cualquiera en grados Fahrenheit, obtener
la misma en grados Celsius.
Ejercicio 29.-
a) La función de demanda de cierto artículo viene dada por ( ) 0,5 100p D q q . Calcular la
función inversa 1( )q D p .
b) La función de oferta de cierto producto viene dada por ( ) 0,25 10p O q q . Calcular la
función inversa 1( )q O p .
c) Interpretar el crecimiento o decrecimiento de las funciones obtenidas.
iv) 4( ) 2f x x v) 4( ) 2 1f x x vi) 4
( ) 2 1f x x
16
Ejercicio 30.- Hallar el dominio y representar gráficamente las siguientes funciones
a) f x x b) 1f x x c) 1
2f x x
d) 1f x x e) 3f x x f) 3 1f x x
Ejercicio 31.- Hallar los x que verifican
Ejercicio 32.- Calcular y dar el dominio de 1f
a) :f , ( ) 2 3f x x b) : 2f , 1
( )2
f xx
c) : 0f , 3
( )f xx
d) : 1f , 2 1
( )1
xf x
x
e) :f , 3( ) 1f x x f) :f , 2( ) 3f x x
g) : 5,f , ( ) 5f x x h) :f , 3
( ) 2 5f x x
Ejercicio 33.-
a) Una empresa calcula que el costo de producción de x unidades de un artículo de consumo,
es igual, medido en pesos, a ( ) 300 50 C x x . Calcular a partir de cuántas unidades
producidas, el costo de producción supera los $10000 .
b) La función de demanda de x unidades de un artículo medida en pesos es igual a
( ) 3600 5 p D x x , 0 720x . Calcular para qué producción la demanda supera los
$15 .
Ejercicio 34.- Graficar las siguientes funciones y hallar su imagen. Analizar en cada caso su
comportamiento en el infinito.
a) ( ) 2xf x e b) 2( ) xf x e
c) 2( ) xf x e d)
2( ) 4xf x e
Ejercicio 35.- Calcular el dominio de las siguientes funciones, graficarlas y hallar su imagen.
Analizar en cada caso su comportamiento en el infinito
a) ( ) lnf x x b) ( ) 1 lnf x x
a) 2 9x b) 5x c) 3
2 8 4x
d) 3 7 5x e) 23
1 4x f) 23 5 6x
17
c) ( ) ln 1f x x d) 2( ) ln( )f x x
Ejercicio 36.- Dadas las funciones
a) Decidir qué gráfico corresponde a cada una de ellas.
b) En cada caso dar la fórmula y el gráfico de la función inversa.
i) ii) iii)
iv) v) vi)
Ejercicio 37.- Para las siguientes funciones, hallar el dominio, los ceros y los conjuntos de
positividad y negatividad
a) ( ) ln( 1)f x x b) 2( ) ln( 2)f x x
c) ( ) ln( ) 3f x x d) ( ) ln(4 2 )f x x
a) 2( ) xf x e b) 1( ) xf x e c) 2( ) xf x e
d) 2
( ) lnf xx
e) ( ) ln 1f x x f) ( ) 2lnf x x
18
Ejercicio 38.- Resolver las siguientes ecuaciones:
Ejercicio 39.- Hallar 1( )f x e indicar su dominio:
Ejercicio 40.- Un capital C se deposita en un banco durante t meses a un interés del %r
anual con capitalización mensual produciendo un monto ( ) 11.200
tr
M t C
.
a) ¿Qué monto produce un capital de $100.000 al 15% al cabo de un año?
b) ¿Qué monto produce al cabo de un año y medio?
c) ¿Cuánto se debe invertir para ganar $100.000 en tres años al 21% ?
d) ¿En cuánto tiempo se triplica un capital al 18% ?
Ejercicio 41.- Si la función exponencial ( ) 3.000 1,02x
M x representa un interés
compuesto:
a) ¿Cuál es el capital inicial?
b) ¿Cuál es el interés?
Ejercicio 42.- El número de habitantes de la República Argentina podría estimarse
aproximadamente mediante la fórmula 0,01( ) 40 tN t e millones de habitantes, donde la
variable t indica el número de años transcurridos a partir del año 2014. Siguiendo esta
hipótesis
a) ¿Cuál será el número estimable de habitantes para el año 2.020 ?
b) ¿En qué año habrán más de 50 millones de habitantes?
c) ¿En qué año se duplicará el número de habitantes del año 2.014 ?
Ejercicio 43.- La función de demanda de un producto viene dada por 1( ) 250 xp D x e .
¿Qué cantidad se espera vender para un precio de $50 la unidad?
a) 5 1xe b) 2 13 15xe c) ln 3 0x
d) 3
2 8 2x e) 13 27x f) 2 13
3
x
a) 4 3( ) 1 2 xf x e b) ( ) ln(3 6)f x x c) 2 5 7
( )3
xef x
d) ( ) 4ln(5 2) 1f x x e) 3( ) 1 5 xf x e f) 2( ) 3 ln 2 1f x x
19
Ejercicio 44.- La función de demanda para un producto es 2 0,1( ) 4 xp D x e .
a) Graficar aproximadamente esta función.
b) Expresar x en función de p .
EJERCICIOS SURTIDOS
Ejercicio 1.- Escribir los siguientes conjuntos como intervalo o unión de intervalos y hallar, si
existen, supremo e ínfimo de los mismos.
4/ 3A x x
x
1 5
/ 1B x xx x
2/ 6 6C x x x 1
/ 2D x xx
/ 1 | |E x x x / | 3 1| | 2F x x x
/ ln(2 3) 0G x x / 2 4H x x
3 1/ 3
1
xI x
x
1/ ( ) 6J x f x , donde ( ) 2 4f x x
[0,6 ]/ sen 0K x x
Ejercicio 2.- Un capital de $10.000 se invierte a interés compuesto anual (con capitalización
anual) del 6% ¿Cuánto tardará en obtenerse un monto de $15.000 ?
Ejercicio 3.- El conjunto de positividad de una función cuadrática es el intervalo 1,3 ,
¿cuáles son sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento?
Ejercicio 4.- Graficar la función | | si 3 5
( )2 5 si 3 ó 5
x xf x
x x x
Ejercicio 5.- La función de demanda de un producto está dada por ( )a
p D qq
, y la
función de oferta por ( ) 3 60p O q q ( p indica precio y q cantidad de unidades).
Determinar el valor de a sabiendo que el precio de equilibrio es $15 .
Ejercicio 6.- Hallar el valor de a si se sabe que sup 7A , siendo
/ | 2 1|A x x a
20
Ejercicio 7.- En cada uno de los problemas siguientes, marcar la única afirmación correcta
a) La ecuación de oferta de cierto producto es 3( ) 8 50qp O q e . Entonces la cantidad
ofertada q en función del precio p es q
1 50ln
3 8
p
ln( ) 50
38
p
ln( ) ln(50)
8
p
50
83
p
e
b) La curva de oferta es ( ) 1p q q O y la de demanda es 400
( )1
p D qq
( q número de unidades, p precio). Entonces el mercado está en equilibrio cuando
19q y 20p 21q y 22p
20q y 21p 399q y 400p
c) La función ( ) ln(5 9)f x x es positiva para x en el intervalo
1,2 3,5 0, 1,0
d) El dominio natural de ( ) ln(2 4)f x x es
2, ,2 (2, ) 0, ,0 0,
e) El vértice de la parábola de ecuación 2
2 5y x es el punto
2,5 2, 5 2, 5 2,5
f) Si 2( ) 8 xf x e entonces su función inversa es 1( )f x
ln( 6)x ln( 8) 2 x 1
ln 28
x 2
1
8 xe
g) Si ( ) 1f x x y 3 1
( )2
xg x
x
entonces ( )f g x
1 4
2
x
x
2 3
2
x
x
2
1
x
x
3 4
2
x
x
2,5
21
PRACTICA 3
LIMITES Y CONTINUIDAD
Ejercicio 1.- A partir de los siguientes gráficos determinar, si existen, lim ( )x
f x
, y
lim ( )x
f x
i) ii)
iii) iv)
v) vi)
22
Ejercicio 2.- Calcular los siguientes límites
a) 2
limx x
b) 10000
limx x
c) 5
lim 1x x
d) lim5x
x
x e)
3lim
2 1x
x
x f)
3lim
2 1x
x
x
g) 3
lim 51x x
h)
2
2
3lim
5x
x
x
i)
2
2
3 2lim
2 11x
x x
x
j)23 2
lim1000x
x x
x
k)
2
1lim
3 2x
x
x x
l)
2
2
1000lim
1x
x
x
m)
2
1 2 1lim
1x
x x
x
n)
3
4 3
3 1lim
2 2 1x
x x
x x
o)
2
3 2 3 1lim
2 35x
x x
xx x
Ejercicio 3.- Calcular los siguientes límites
a) 7 5lim 10 3x
x x
b) 7 5lim 10 3x
x x
c) 2 3
2
2 3 4 1lim
5 4x
x x x
x
d) 3 2
2
4 2 3 1lim
5 3x
x x x
x
e)
2
3
4 2 1lim
3 6x
x x
x x
f)
2
3
(2 3)( 5)lim
1x
x x
x
g) 2 25
lim2 1x
x x x x
x x
h)
2 25lim
2 1x
x x x x
x x
i)
2 1lim 1
2 1x
x
x
Ejercicio 4.- Calcular los siguientes límites
a)3
2
2lim
1x
x
x
b)
5lim
1 4x
x
x
c)
2
2
1lim
3 2x
x
x
d)2
1lim
54x
x
x
e)24 1
lim5 3x
x x
x
f)
34 1lim
5 3x
x x
x
g) 2
limx
x
x x x
h)
29 6lim
5 1x
x x
x
i)
2
3 3
9 2 4lim
8 2 5x
x
x
Ejercicio 5.- Calcular los siguientes límites
a) 5 6limx
x x x
b) 2lim 2x
x x x
c) 2lim 2x
x x x
23
d) 2lim 1x
x x
e) 3 1
lim5x
x x
x
f) 2 2lim 1 3
xx x x
g) lim ( 4)( 10)x
x x x
h) 12 3
lim2 5
x
xx
i)
12 3lim
2 5
x
xx
j)
11
32
lim1
52
x
xx
k)
2
lim5 1
x
x
x
x
l) lim
x
x
x
Ejercicio 6- Calcular
Ejercicio 7.- Dados los siguientes gráficos, determinar los límites que se indican en cada caso.
a) 2
lim ( )x
f x
, 2
lim ( )x
f x
, lim ( )x
f x
, lim ( )x
f x
b) 0
lim ( )x
f x
, 0
lim ( )x
f x
, lim ( )x
f x
c) 0
lim ( )x
f x
, 0
lim ( )x
f x
d) 2
lim ( )x
f x
, 2
lim ( )x
f x
, lim ( )x
f x
, lim ( )x
f x
a) 21
lim sen( 1)x
xx
b)
2
senlim
3 1x
x x
x c) lim sen
xx x
24
Ejercicio 8.- Calcular los siguientes límites
a) 5
40
2limx
x
x
b)
3 2
3 20
2lim
2 3x
x x
x x
c)
20
4lim
9x
x x
x x x
d) 2
4
2 1lim
2 8x
x x
x
e)
2
3
2 3lim
4 12x
x x
x
f)
2
2
2 2 4lim
5 10x
x x
x
g) 2 3
22
1 2lim
2 2x
x x x
x x x
h)
0
9 3lim
16 4x
x
x
i)
0
1 1limx
x x
x
j) 1
5 3lim
1x
x x
x
k)
5
1 2lim
3 10x
x
x x
l)
1
0
3 2lim
4 3
x
x
x
x
Ejercicio 9.- Hallar el valor de a para que 2
0
1 1lim 2x
x ax
x
.
Ejercicio 10.- Teniendo en cuenta que 1
lim 1
x
xe
x
calcular
a) lim 1
x
x
a
x
, a b)
2 35
lim2
x
x
x
x
c)
3 14
lim6
x
x
x
x
d)
33 53 2
lim3 1
x
x
x
x
e)
2 32
2
4lim
6
x
x
x
x
f)
2
5lim
2
x
x
x
x
Ejercicio 11.- Teniendo en cuenta que 1/
0lim 1
x
xx e
calcular
a) 2 /
0lim 1 3
x
xx
, a b)
1/2
0lim 1
x
xx
c)
31/
0
2 2lim
3 2
x
x
x
x
d) 21/
0
lim 1 2x
x
x
e)
5 /
0
1lim
1
x
x
x
x
f)
2 /
0
3 5lim
3 4
x
x
x
x
g) 3 / 1
1lim 2
x
xx
25
Ejercicio 12.- Localizar las asíntotas de las siguientes funciones y situar la gráfica respecto de
ellas.
a) 2 3
( )5
xf x
x
b)
8 4( )
2 6
xf x
x
c)
2
2
5 1( )
1
x xf x
x
d) 2
2
2 4 6( )
6
x xf x
x x
e)
2 4( ) 5
1 2
xf x
x x
f)
2
2
6( )
4 36
x xf x
x
g) 1
( )| 1|
f xx
h) 3( ) xf x e i) 1/( ) xf x e
j) 2( ) ln 4f x x k) ( ) ln 1f x x l) ( ) ln 4 7f x x
Ejercicio 13.- Hallar el dominio, las ecuaciones de las asíntotas y hacer un gráfico aproximado
de las siguientes funciones
a) 1
( )1
f xx
b) 3
( )2
f xx
c)
3( )
2
xf x
x
d)
4 5( )
3
xf x
x
Ejercicio 14.- Comprobar las siguientes identidades, en todos los casos 0x es un número real
fijo:
a)
2
0 0
00
lim 2h
x h xx
h
b) 0 0
00
1lim
2h
x h x
h x
, 0 0x
Ejercicio 15.- La función de demanda de un producto viene dada por la fórmula
1000( )
5p f q
q
. Calcular a cuánto tiende el ingreso ( pq ) cuando la producción crece a
más infinito.
Ejercicio 16.- Hallar las ecuaciones de las asíntotas horizontales y verticales de las funciones
a) 2
2
3 2 1( )
2 2
x xf x
x
b)
1( ) ln 1f x
x
c) 3
( )9
xf x
x
d)
1 2( )
2 8
xf x
x x
26
Definición:
Se dice que una función f es continua en el punto de abscisa x a si lim ( ) ( )x a
f x f a
.
En caso contrario se dice que x a es un punto de discontinuidad de la función f .
Ejercicio 17.- Determinar los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones. Decidir en
cada caso si es posible redefinir la función en dichos puntos para que resulte continua.
a) 1 si 1
( )2 si 1
x xf x
x
b)
si 0( )
2 3 si 0
xe xf x
x x
c)
2 si 2
( ) 6 si 2
2 si 2
x x
f x x
x x
d)
2 2si 2
2 4( )3
1 si 28
xx
xf x
x x
Ejercicio 18.- Hallar el dominio y determinar los puntos de discontinuidad de las siguientes
funciones, decidiendo en cada caso si es posible redefinir la función en dichos puntos para que
resulte continua.
a) 2
( )4
xf x
x
b)
3 1( )
8
xf x
x
c)
2
2
9( )
3
xf x
x
d)
3 4( )
5
xf x
x
Ejercicio 19.- Dadas las siguientes funciones hallar, en cada caso, el valor de a para que f
resulte continua en el punto indicado
a)
22 4 3 si 1
( )
5 si 1
x x x
f x
a x x
en 1x b)
1/2 si 0
( )
3 si 0
x a x
f x
x x
en 0x
c)
2
2
2 3 2si 2
2
( )
5 si 2
x xx
x
f x
x ax x
en 2x
Ejercicio 20.- Hallar k para que la función resulte continua
a)
ln 3 si 4( )
2 1 si 4
x k xf x
k x x
b)
2
4 si 1( )
2 si 1
kx xf x
k x x
27
Teorema de Bolzano
Si f es una función continua en el intervalo [ , ]a b tal que ( )f a y ( )f b tienen distinto signo,
entonces existe al menos un valor ( , )c a b tal que ( ) 0f c .
Consecuencias
1. Si f es una función continua en el intervalo [ , ]a b y no tiene ningún cero en el intervalo
( , )a b , entonces f no cambia de signo en dicho intervalo.
2. Si f es una función continua en el intervalo [ , ]a b y y (con a b ) son dos
ceros consecutivos de f , entonces ( , ) es o bien un intervalo de positividad, o bien un
intervalo de negatividad de f .
Ejercicio 21.- Sea 3( ) 3 1f x x x . Probar que
a) f tiene un cero en el intervalo (1, 2) .
b) f tiene un cero en el intervalo (1,5; 1,6) .
c) f tiene un cero en el intervalo (1,53; 1,54) .
Ejercicio 22.- Hallar los ceros de la función f y determinar los intervalos de positividad y de
negatividad
a) ( ) (3 2)(4 1)( 5)f x x x x b) 1
( ) (2 2)(3 )4
f x x x x
c) 2( ) 3( 2)( 10 22)f x x x x d) 2 2( ) 5 2 1f x x x x
e) 3 29( ) 2
4f x x x x x
f) 3( ) 8f x x
g) 4( ) 16f x x h) 6 3( ) 3 2f x x x
i) 3( ) xf x e j) 5 3( ) x xf x e e
k) ( ) ln(2 5)f x x l) 2( ) 1 xf x e
Ejercicio 23.-
a) Hallar los intervalos de positividad y de negatividad de un polinomio P x cuyos únicos
ceros son 1 y 1 , si se sabe que ( 2) 2P , (0) 1P , (2) 3P .
b) Sea f una función polinómica tal que (6) 8f , (2) 2f , (4) 3f , (0) 1f y sus únicas
raíces son 1, 3 , y 5 . Hallar los intervalos de positividad y de negatividad de f .
28
Ejercicio 24.- Sea :f una función continua que corta al eje x en tres puntos
(únicamente) y de la cual se conoce la siguiente tabla de valores:
x 2 1 0 1 2 3 4
( )f x 5 1
2
3
2 1 3
3
2 2
a) Para cada uno de los ceros de f , hallar un intervalo de amplitud 1 que lo contenga.
b) Determinar, si es posible, el signo de f en cada uno de los siguientes intervalos
2, 1 , 1,2 , 1,3 , , 2 , 2, , , 1 .
c) Hacer un gráfico aproximado de f usando los datos obtenidos en a) y b).
29
EJERCICIOS SURTIDOS
Ejercicio 1.- Calcular lim ( 2)( 5)x
x x x
Ejercicio 2.- Se sabe que ( )lim 0f x
xe
. ¿Cuál es el
( )1
lim2
f x
x
?
Ejercicio 3.- Calcular los siguientes límites
a)
2
3lim
5
x
x
b) 2 1
lim2
x
x
x
x
c)
22
2
1lim
2
x
x
x
x
d)
3 / 2
2lim 3
x
xx
Ejercicio 4.- Hallar el dominio y las ecuaciones de las asíntotas horizontales y verticales de las
siguientes funciones
a) 2 1 5
1
xf x
x
b)
2
2
3 2
1
x xf x
x
c) 1
ln(3 )f xx
d) 1/1 2 xf x e
Ejercicio 5.- Hallar el valor de Rk de modo que 1
4x sea asíntota de la función
4 5( )
3
xf x
kx
. Para el valor de k obtenido hallar las ecuaciones de todas las asíntotas de f
justificando con los cálculos correspondientes.
Ejercicio 6.- De una función cuadrática ( )P x se sabe que lim ( )x
P x
y que 2 y 5
son los ceros de ( )P x . Hallar el conjunto de negatividad de ( )P x .
Ejercicio 7.- Hallar el valor de a , sabiendo que 2
lim .1
ax
x
xe
x
Ejercicio 8.- En cada problema, marcar la única opción correcta
a) El 1
0lim2ln(1 ) x
xx
es igual a
2 12 1 1
3
b) El
62
lim 1
x
x x
es igual a
1 12e 3e 6e
30
c) Las ecuaciones de todas las asíntotas de 22 6 4
( )( 3)( 1)
x xf x
x x
son
2y , 3x 0y 3x
1x , 2y , 1x 1y
d) Sea : (0; )f R tal que 2
( )4
xf x
x
si 4x y (4)f k . f es continua para
2k 1
4k
1
2k
1
6k
e) El conjunto de negatividad de 2( ) ln( 3)f x x es
2,2 ( 3, 3) 0,1 2, 3 3,2
f) f es una función polinómica de grado 3 , (5) 1f , (3) 2f , (7) 5f , ( 4) 6f
. Entonces puede afirmarse que no hay un cero en el intervalo
6, 4 ( 4,7) 0,10 4,
g) La función 2 2 3
( )5 1
x xf x
x
es positiva en el intervalo
2, (5,7) , 3 3,1
31
PRACTICA 4
DERIVADAS
Definición:
Si f es una función y 0x un punto de su dominio se define la derivada de f en 0x como
0 00
0
( ) ( )( ) lim
h
f x h f xf x
h
cuando este límite existe.
Ejercicio 1.- Usando la definición de derivada comprobar las siguientes fórmulas de
derivación
a) ( )mx b m b) 2( ) 2ax bx c ax b
c) 1
2x
x
d)
2
1 1
x x
Ejercicio 2.- Calcular la derivada de las siguientes funciones
a) 1( ) 2 5f x x 2( ) 3 1f x x 2
3( ) 5 2f x x x 2
4( ) 3 2f x x x
2
5 ( ) 10f x 6
1( )f x x
x 7
1( ) 4 3f x x
x
2
8 2
1( )f x x
x
b) 3 2
1 4 7 5 2f x x x x 5 4 3 2
2
1 1 11
7 3 4f x x x x x x
3
3 32 44 2f x x x 4 4
3 2 12f x x
x
1 3
5 2 4f x x x 6 2 4
1 3 27f x
x x x
7 2 3lnxf x e x 8 3sen( ) cos( )f x x x x
3
9 4 2xf x e x 10
1 32lnf x x
xx
c) 2
1 2 3 4f x x x x 2 2
2 4 2 3 5 2f x x x x x
3 2
3
14 6f x x x x
x
2
4
13 2 1f x x x x
x
2
5 3 2 1xf x x x e 6
25 2 4lnf x x x
x
32
7 2 lnxf x e x x 2
8 1x x xf x e e x e x
9 1 sen 3 2senf x x x x 10 cos senf x x x x x
d) 2
1 3
5
4
x xf x
x x
2
2 1
2 1
xf x
x
3
3 1
4 2
xf x
x
4
4 22 1
x xf x
x
5
ln
2 1x
x xf x
xe
3 2
6
2
3ln
xx xf x e
x x
7
1ln 2
1
x
x
xf x x e
e x
3
8
2
ln
14
x
x xf x
e
x
9 2
sen
1
x xf x
x
10
sen
cos
x xf x
x x
Ejercicio 3.- Calcular la derivada de las siguientes funciones
5
1 2 1f x x 100
2
2 3f x x x 2
3 4 1f x x x
3
2
4 2 2f x x x
5 2
1
1f x
x
36 4
1f x
x x
7
7
xf x e 2 3
8
x xf x e 2 3
9x
xf x e
2 1
10
xf x e 4
11 ln 2f x x x 3
12 ln 2 1f x x
13
1ln
1
xf x
x
32
14 ln 1f x x 2
15 2 4 9
xf x
x x
2 5
16 3x xf x e e 2 3 1
17
xf x x e 1
2
18
1xf x x e
x
19
ln xf x
x 20 2 ln 2 4f x x x 21 1 cos( )f x x
22 ( ) 3 cos(5 )f x x x x 23
2sen 3 2 xf x x e 2
24 cos ln xf x x e
Ejercicio 4.- Calcular la derivada de
2 3
1 5 1x
f x x
2 4
2
x xf x x 3
3
xf x x
2
4
xef x x
5
11
x
f xx
6 lnx
f x x
ln
7
xf x x 2 4
2
8 3x
f x x x
2
9 5 xf x
33
10
21 senx
f x x
Ejercicio 5.- Para las siguientes funciones hallar la ecuación de la recta tangente al gráfico de
f en el punto de abscisa 0x x
a) 2( ) 3 2f x x x , 0 1x b) ( ) 4 1f x x , 0 2x
c) 3 4
( )x
f xx
, 0 4x d)
2 9( ) ( 5) xf x x e , 0 3x
e) ( ) ln(3 7)f x x , 0 2x f) 2
( ) 2x
f x x , 0 1x
Ejercicio 6.- Sea 2( ) ln( 2)f x bx . Hallar el valor de b para que la recta tangente al gráfico
de f en el punto de abscisa 1x tenga pendiente igual a 1
2 .
Ejercicio 7.- Dada 2( ) ln( 60)f x x , hallar todos los 0x pertenecientes al dominio de f
tales que la pendiente de la recta tangente al gráfico de f en 0 0( , ( )x f x es igual a 4 .
Ejercicio 8.- Trazar el gráfico de una función continua : (0,10) Rf que se ajuste a los
datos de la siguiente tabla:
x 2 4 6 8
( )f x 1 5 2 1
( )f x 3 0 2 1
Aplicaciones: Función de Costo Marginal
En Economía el adjetivo marginal se utiliza para indicar derivada. Por ejemplo, si ( )C x es la
función de costo, el costo marginal es ( )C x .
Ejercicio 9.- Una empresa calcula que el costo de producción de x unidades de cierto
artículo de consumo está dado por 2200 0,05 0,001C x x x .
a) Hallar el costo y el costo marginal de producir 500 , 1000 y 5000 unidades.
b) Comparar en cada caso con el costo de producir una unidad más.
Ejercicio 10.- Una empresa encuentra que el costo por producir x litros de un cierto producto
químico está dado por 10
3C x xx
. Comparar el costo marginal de producir diez litros
con el costo de producir el undécimo litro.
34
Ejercicio 11.- La demanda de x unidades de cierto artículo de consumo viene dada por
12000 2p x x . Hallar las funciones de demanda marginal, ingreso total e ingreso
marginal.
Ejercicio 12.- Para las funciones de ingreso total que se dan a continuación hallar el ingreso
marginal, la demanda y la demanda marginal
a) 2 400R x x x b) 32300 2R x x x
Ejercicio 13.- Una empresa calcula que para vender x unidades de cierta mercancía el precio
por unidad debe ser 1800 2p x x , donde 1 100.x Suponiendo que el costo de
fabricación de x unidades es 21000 0,01C x x x , hallar
a) La función de ingreso total y de ingreso marginal.
b) La función de ganancia y de ganancia marginal.
Ejercicio 14.- La función de demanda de un producto es 1000
( )5
p xx
.
a) Hallar la función de ingreso marginal y evaluarla en 45x .
b) ¿Cuál es el ingreso adicional por vender una unidad por encima de 45 unidades?
Ejercicio 15.- Las siguientes funciones representan la función de demanda para cierto
producto, donde p denota el precio por unidad y x las unidades. Encontrar en cada caso la
función de ingreso marginal.
a) 108
( ) 32
p xx
b) 750
( )50
xp x
x
Ejercicio 16.- Un fabricante determina que n trabajadores fabricarían un total de x
unidades de un producto por día, donde 2
2
10( )
19
nx n
n
. Si la ecuación de demanda para el
producto es 900
9p x
x
, determinar el ingreso marginal cuando 9n .
Ejercicio 17.- Cuando una empresa vendí a cierta mercancía a 50 pesos por unidad, había
una demanda de 1000 unidades a la semana. Después que el precio aumentó a 70 pesos, la
demanda disminuyó a 800 unidades por semana. Suponiendo que la función de demanda p
es lineal, encontrar la función de ingreso marginal.
Aplicaciones: Elasticidad de la Demanda
Si ( )p D q es la función de demanda de un producto, se define el coeficiente de elasticidad
como ( )
( )
D q
qD q
.
35
Se dice que la demanda es
i) elástica, si 1
ii) unitaria, si 1
iii) inelástica, si 1
Ejercicio 18.- Calcular la elasticidad de la demanda en los valores indicados, y determinar si la
misma es elástica, unitaria, o inelástica.
a) ( ) 100 5000p D x x , 10x
b) 2
1000( )p D x
x , 19x
c) /100( ) 150 xp D x e , 100x
Ejercicio 19.- La función de demanda para el producto de un fabricante es 2
200
6000 10p
x
a) Calcular la elasticidad de la demanda cuando se producen 20 unidades.
b) Decidir si la misma es elástica, inelástica o unitaria.
Teorema del Valor Medio de Lagrange
Si una función f es continua en ,a b y derivable en ,a b , existe ,c a b tal que
f b f af c
b a
.
Consecuencias del Teorema del Valor Medio
Teorema
Si f es continua en un intervalo cerrado [ , ]a b , derivable en el abierto ( , )a b y 0f x
en todo el abierto ( , )a b , entonces f es creciente sobre todo el cerrado [ , ]a b .
Teorema
Si f es continua en un intervalo cerrado [ , ]a b , derivable en el abierto ( , )a b y 0f x
en todo el intervalo abierto ( , )a b , entonces f es decreciente sobre todo el intervalo cerrado
[ , ]a b .
Corolario
Si f es continua en [ , ]a b , derivable en ( , )a b y 0f x para todo ( , )x a b , entonces
f es constante en [ , ]a b .
36
Ejercicio 20.- Dados los siguientes gráficos de funciones determinar
a) En qué puntos no existe la derivada de f .
b) El conjunto / 0x f x
c) El conjunto / 0x f x
d) El conjunto / 0x f x
e) Los máximos y mínimos de f .
i) ii) iii)
iv) v) vi)
Ejercicio 21.- Para las siguientes funciones, hallar los intervalos de crecimiento, de
decrecimiento, los máximos y mínimos relativos y hacer un gráfico aproximado
1( ) 2 3f x x 2 ( ) 5 2f x x 2
3( ) 4f x x x
2
4 ( ) 3 2f x x x 3 2
5 ( ) 3 1f x x x 3 2
6 ( ) 2 3 12 1f x x x x
4 3 2
7 ( ) 8 18 8f x x x x 6 4
8 ( ) 6f x x x 23
9 ( ) 6 1f x x x
37
Ejercicio 22.- En cada uno de los siguientes casos, hallar el dominio de f , los intervalos de
crecimiento y de decrecimiento, los extremos locales. Hacer un gráfico aproximado de f .
1( ) xf x xe 5
2 ( ) 2 xf x xe 2 2
3( ) xf x x e
2
4 ( ) 3 xf x xe 5( ) lnf x x x 6 ( )
ln
xf x
x
2
7 ( ) ln 3f x x x 2
8 ( ) lnf x x x 9( ) 2 ln 2 4f x x x
Ejercicio 23.- En cada uno de los siguientes casos, hallar el dominio de f , los intervalos de
crecimiento y de decrecimiento, los extremos locales y las asíntotas verticales y horizontales.
Con los datos obtenidos hacer un gráfico aproximado de f .
3
1
48( )f x x
x
2 2
4( ) 3 1
3 1f x x
x
23 2
3( ) 8f x x x
2
4 ( )5
xf x
x
2
5 ( ) xf x e 2
6 ( )1
xf x
x
2
7 2
1( )
4
xf x
x
8( ) ln(3 4)f x x 2
9 ( ) ln( 9)f x x
Ejercicio 24.- Trazar el gráfico de una función f que satisfaga simultáneamente las
siguientes condiciones y decir para qué puntos f alcanza extremos relativos y decidir si son
máximos o mínimos.
a) 1) 0f x en (3,8) .
2) 0f x en ,1 1,3 (8, ) .
3) 3 8 0f f .
4) f tiene una asíntota vertical en 1x .
5) La recta 4y es asíntota horizontal en .
6) La recta 2y es asíntota horizontal en .
b) 1) Dom( ) 0f
2) 0f x en 2,0 2, .
3) 0f x en , 2 0,2 .
4) 0f x en 2x y en 2x .
5) f tiene una asíntota vertical en 0x .
6) f no tiene asíntotas horizontales.
38
Ejercicio 25.- Probar que la ecuación
a) 31 2 ln(3 1)x x 0 , ( 0x ) tiene exactamente una solución positiva.
b) 243 2 0xe tiene exactamente dos raíces en el intervalo 1,1 .
Ejercicio 26.- Estudiar la función dada en el intervalo indicado: Hallar los intervalos de
crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos y absolutos
a) 2 6f x x x en 1,4 b) 2
3f x x en 1,8
c) 5
23 1f x x x en 1,1 d) 3 26 2f x x x en 3.2
e)2
4 12 , 5 2( )
, 2 1
x xf x
x x
f)
2
3
, 2 0( )
, 0 2
x
x
xe xf x
xe x
Ejercicio 27.- Sea : 0,6f una función derivable tal que el gráfico de su derivada
f x es el que se muestra
a) Hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f .
b) Ubicar los máximos y mínimos locales de f .
Ejercicio 28.- Una empresa calcula que para vender x unidades de cierta mercancía el precio
por unidad debe ser ( ) 1800 2p x x donde 1 100x . Suponiendo que el costo de
fabricación de x unidades es 2( ) 100 0,01C x x x , hallar
a) La función de ingreso total.
b) La función de ganancia.
c) El número de unidades para el cual la ganancia es máxima.
d) La ganancia máxima.
39
Ejercicio 29.- La ecuación de demanda para el producto de un monopolista es
( ) 400 2p x x y la función de costo es 2( ) 0,2 4 400C x x x , donde x es el número de
unidades.
a) Determinar el nivel de producción en el que se maximizan las ganancias.
b) Determinar el precio en el que ocurren las ganancias máximas.
c) Determinar las ganancias máximas.
d) Si el gobierno fija un impuesto de $22 por unidad, ¿cuál es el nuevo precio para la
maximización de las ganancias?
e) Si el gobierno impone una cuota por licencia de $100 al fabricante, como un gravamen fijo
independiente de cuál sea la producción, demostrar que el precio y la producción que
maximizan las ganancias no varían. Verificar que las ganancias disminuirán.
Ejercicio 30.- Un fabricante planea colocar un cerco en un área rectangular de almacenamiento
de 210800m adyacente a un edificio, utilizando a éste como uno de los lados del área que se
debe cercar. La reja que corre paralela al edificio queda frente a una carretera y costará $3
por cada metro instalado, en tanto que la reja para los otros dos lados cuesta $2 por metro
instalado.
a) Encontrar la cantidad de cada tipo de reja para que los costos totales sean mínimos.
b) ¿Cuál es el costo mínimo?
Ejercicio 31.- Para las siguientes funciones, hallar los intervalos de concavidad, de convexidad
y los puntos de inflexión
1( ) 2 3f x x 2
2 ( ) 4f x x x 2
3( ) 4f x x x
3 2
4 ( ) 6 4 1f x x x x 4 3 2
5 ( ) 2 12 23 6f x x x x x 3 5
6 ( )f x x
7
ln( )
xf x
x
2
8 ( ) xf x xe 2
9 ( )1
xf x
x
Ejercicio 32.- Trazar el gráfico de una función continua f que satisfaga simultáneamente las
siguientes condiciones
a) 1) ( 2) 2f
2) 2 1f
3) / 0x f x
4) { / 0} , 2x f x
5) { / 0} 2,x f x
40
b) 1) (3) 2f
2) / 0 ,3x f x
3) / 0 (3, )x f x
4) { / 0} 3x f x
41
EJERCICIOS SURTIDOS
Ejercicio 1.- Hallar los valores de a y b para que 2y x sea la recta tangente al gráfico de 2( )f x x ax b en el punto 2,4 .
Ejercicio 2.- Hallar la ecuación de la recta tangente al gráfico de f x en el punto de abscisa
0x , para
a) ( ) ln(6 6)f x x , en 0 3x
b) 2 6 2( ) 6 2xf x e x , en 0 9x
Ejercicio 3.- Hallar los puntos de abscisa 0x x en los cuales la recta de ecuación 5 12y x
es tangente al gráfico de 3 7 4f x x x .
Ejercicio 4.- Las siguientes funciones son funciones de costo de un producto. Hallar la función
de costo marginal y el costo marginal para los valores dados de 0x .
i) 7007000x
C x e , 0 350x ; 0 700x
ii) 2 6800850 4000x
C x e
, 0 97x ; 0 197x
Ejercicio 5.- La función de demanda de cierto producto es 1
( )3 100
p D xx
. Calcular el
coeficiente de elasticidad para 100x , y decidir si para este valor la demanda es elástica,
inelástica o unitaria.
Ejercicio 6.- Si ( ) 5 2500 4R q q q es la función de ingreso total cuando hay una demanda
de q unidades de cierto producto, hallar la función de ingreso marginal.
Ejercicio 7.- Hallar la ecuación de la recta tangente al gráfico de sen(4 )
( ) 2x
f x e en 0x .
Ejercicio 8.- La función de oferta de cierto producto es 2
2( )
3 4
xp O x
x
. Hallar la
función de oferta marginal.
Ejercicio 9.- La función de demanda de cierto artículo viene dada por ( ) 100 0,4p D q q
donde p es el precio por unidad y q la cantidad demandada. Hallar q para que el ingreso
marginal sea igual a 20 .
42
Ejercicio 10.- Marcar la única opción correcta.
a) Si ( ) 3 5f x x y 1
( )2
g xx
, entonces ( ) ( )g f x vale
3
3 5x
3
3 7x
2
3
(3 7)x
3ln(3 7)x
b) Si 2
2f x a bx ; 0 5f y 1
02
f entonces
1a , 1
8b 3a ,
1
4b 3a ,
1
8b 1a ,
1
4b
c) La derivada de xf x x es ( )f x
1 lnxx x 1xxx 1 lnxx x xx
d) La pendiente de la recta tangente al gráfico de 2ln( 4)f x x en el punto de abscisa
4x es igual a
2
3
1
12
1
8 0
e) Si la ecuación de la recta tangente al gráfico de ( )f x en 0 1x es 3 1y x entonces
(1)f
1 2 0 3
f) Si la función de demanda es 2( ) 125D x x , el ingreso marginal para 5 unidades es
7,5 12,5 50 25
g) El coeficiente de elasticidad de la demanda 1D es 1 5 y el coeficiente de elasticidad de
la demanda 2D es 2 0,3 . Entonces
1D es elástica y 2D es elástica 1D es elástica y 2D es inelástica
1D es inelástica y 2D es elástica 1D es inelástica y 2D es inelástica
Ejercicio 11.- Hallar a para que el valor mínimo de la función 2 2f x x x a sea
igual a 8 .
Ejercicio 12.- Hallar a y b para que 2f x x ax b tenga un mínimo en 3, 1 .
Ejercicio 13.- Hallar a , b , c y d para que la función 3 2f x ax bx cx d tenga
máximo en 2, 4 y mínimo en 1, 6 .
Ejercicio 14.- Hallar el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los
extremos relativos de las funciones
a)
24 3
3 4
xf x
x
b) 2
3
8f x
x
43
Ejercicio 15.- Sea :[0, )f continua en [0, ) y derivable en 0, tal que el
gráfico de su derivada : 0,f es
a) Determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f .
b) Decidir, justificando la respuesta, si los puntos 0x , 3x , 6x y 8x son extremos
locales de f .
Ejercicio 16.- El gráfico dado corresponde a ( )f x , la función derivada de f x .
a) Dar los intervalos de crecimiento, de decrecimiento y las abscisas de los extremos relativos
de f x .
b) Decir si dichos extremos son máximos o mínimos.
Ejercicio 17.-
a) Hallar el valor de a para que la función 12 1
a xf x e x
tenga un extremo
relativo en 0 1x .
b) Para el valor hallado de a , decidir si este extremo es un máximo o un mínimo. Justificar.
Ejercicio 18.- La ecuación de demanda correspondiente a cierto producto es
( ) 465 2p D q q y la función de costo es 20,3 5 400p C q q q , siendo p el
precio y q la cantidad de unidades. Determinar el precio para el cual las ganancias por ventas
de ese producto son máximas.
Ejercicio 19.- Hallar el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los
extremos relativos, los intervalos de concavidad y de convexidad y los puntos de inflexión de
3 24 .xf x xe
44
Ejercicio 20.- La función de ingreso por las ventas de q unidades de un producto es
6 600 2I q q q
a) Hallar qué cantidad hay que vender para que el ingreso sea máximo.
b) Decir para qué valores de q el ingreso es creciente.
Ejercicio 21.- Marcar la única opción correcta
a) El máximo absoluto de 3 3f x x x para [0, 2]x se alcanza en x
1 0 2 1
b) La función 2xf x e es cóncava hacia arriba en el intervalo
0,1 2, 1 1,0 1
0,2
c) La ganancia marginal es 2 100 xG x x e . Entonces la ganancia es decreciente
en el intervalo
0,10 5,20 10,30 7,40
d) La cantidad de raíces de la ecuación 5 315 4 0x x es
3 1 2 0
e) Si 3xf x xe entonces f x es creciente en
1
,3
, 1 1
,3
1,
f) La función derivada de f x es 2( 1)( 1)x x
f xx
. Entonces f x tiene
Un máximo en 1 y un máximo en 1 Un máximo en 1 y un mínimo en 1
Un mínimo en 1 y un máximo en 1 Un mínimo en 1 y un mínimo en 1
g) La recta tangente al gráfico de f x en 0 2x es 3 1y x , entonces 2f es
3 1 5 Los datos no alcanzan para calcular 2f
45
PRACTICA 5
REGLA DE L'HÔPITAL – POLINOMIO DE TAYLOR
Ejercicio 1.- Calcular los siguientes límites
a) 2
3 23
2 5 3lim
2 2 3x
x x
x x x
b)
3 2
3 22
3 4lim
7 16 12x
x x
x x x
c) 3 2
3 22
3 4lim
2 8x
x x
x x x
d)
24
2 1 1lim
5 4x
x x
x x
e)
3
22
5 2 2lim
2x
x
x
f)
2
20
2 1lim
x
x
e x
x
g) 1
lnlim
1x
x
x h)
11
ln 1lim
2xx
x x
e x
i) 0 2
cos( ) 1limx
x
x
j)
0
cos( )lim
sen( )x
x x
x
k) 0
sen(6 )lim
1 cos(3 )x
x x
x l)
0 2
sen( )limx
x x
x
Ejercicio 2.- Calcular los siguientes límites
a)3
0
lnlimx
x
x b)
2lim
2 4
x
x
e
x x c)
lnlim
xx
x
e
d) 2 4 2
2
6lim
5 10
x
x
xe x
x
e)
0limx
ln 3 1
5 4 2
x
x
f)
2 2
2
ln 1lim
1x
x x
x x
Ejercicio 3.- Determinar si la función : 0f dada por 2
2
ln 4 1
3
xf x
x
tiene
una asíntota vertical en 0x .
Ejercicio 4.- Calcular a de modo que 2 3
30
3lim 3
x
x
x x xe
ax
Ejercicio 5.- Hallar las asíntotas de 5
ln 4
xf x
x
4x
46
Ejercicio 6.- Hallar a para que f sea continua en 0 0x
2ln 5 2 1, si 0
( ) 4
, si 0
x xx
f x x
a x
Ejercicio 7.- Para las siguientes funciones, obtener el polinomio de Taylor de orden 1 y de
orden 2 en los puntos indicados:
a) 3( ) xf x e , en 0 0x b) 4
( )2
xf x
x
, en 0 0x
c) ( ) 1 cos 2f x x x , en 0 0x d) ( ) ln(2 1)f x x , en 0 1x
e) ( ) 3 2f x x , en 0 2x f) 2( ) xxf x e , en 0 0x
Ejercicio 8.- Calcular el polinomio de Taylor ( )P x de orden 3 en 0x y aproximar 1( )f x :
a) ( ) 100f x x , 0 0x , 1 1x
b) ( ) ln(1 2 )f x x , 0 0x , 1 0,1x
c) 2 2( ) xf x x e , 0 1x , 1 1,1x
d) ( ) 4sen( / 2) cos( / 2)f x x x , 0 0x , 1 1x
EJERCICIOS SURTIDOS
Ejercicio 1.- Calcular 2
2 42
ln( 3 3)lim
1xx
x x
e
Ejercicio 2- Calcular 0 2
sen 1limx
xx
x
e
Ejercicio 3.- Calcular 0
4 4lim
ln 1 2
x
x
e x
x
Ejercicio 4.- Calcular 0
22cos 1lim
ln(2 1) 2x
xx
x x
e
47
Ejercicio 5.- Calcular 5f si
53 2, si 5
5
2 , si 5
xe xx
f x x
x
Ejercicio 6.- Calcular (0)f si
sensi 0
( )
1 si 0
xx
f x x
x
Ejercicio 7.- Sea :f definida como
2
1, si 0
, si 0
axa ex
f x x
a x
Hallar a para que 0 4f
Ejercicio 8.- Hallar Ra de manera que 3 2 3
, si 0
7 , si 0
axe xx
f x x
x
sea continua en
0x .
Ejercicio 9.- Hallar a de manera que
3
cos sensi 0
( ) 2
si 0
x x xx
f x x
a x
sea continua en 0x .
Ejercicio 10.- Hallar todos los Ra que verifican 2 1 3
21
3 2 2lim 13
1
a a
x
x x x
x
Ejercicio 11.- Estudiar las siguientes funciones: Hallar dominio, ecuaciones de las asíntotas,
intervalos de crecimiento y de decrecimiento, máximos y mínimos relativos, intervalos de
concavidad y convexidad, puntos de inflexión y hacer un gráfico aproximado
1
xef x
x
2
3 9x
xf x
e
Ejercicio 12.- Hallar dominio, ecuaciones de las asíntotas, intervalos de crecimiento y de
decrecimiento, máximos y mínimos relativos y hacer un gráfico aproximado de h f g
donde lnf x x y 2 1g x x .
48
Ejercicio 13.- Marcar la única opción correcta
a) El
0
2ln 1 6limx
x
x
es igual a
3 6 1
2 1
b) El 5
20
5 1lim
4
x
x
e x
x
es igual a
0 25
2
5
2
1
2
c) Las ecuaciones de todas las asíntotas de
23 9 6
5 1
x xf x
x x
son
5x ; 1x 5x ; 1x ; 3y
1x ; 0y 5x ; 3y
49
PRACTICA 6
INTEGRALES
Ejercicio 1.-
a) Hallar una función ( )F x tal que
i) 5F x ii) 6F x x iii) 22F x x
iv) 25 4 2F x x x v) nF x x vi) 133F x x x
vii) 1
2F x
x viii) nF x x ix) xF x e
x) senF x x xi) cosF x x
b) ¿Es única la respuesta en cada caso?
c) Observar que si ( )F x y ( )G x son funciones derivables en ,a b tales que F x G x
para todo ( , )x a b entonces existe C tal que ( ) ( ) CF x G x .
Ejercicio 2.- Hallar ( )F x sabiendo que
a) 5F x y 0 1F b) 4F x x y 2 0F
c) 25 4 2F x x x y 1 2F d) xF x e y 0 5F
e) cosF x x y / 2 3F
Ejercicio 3.- Calcular las siguientes integrales indefinidas
a) 8dx b) 3x dx c) 4 3x dx
d) 23 2 1x x dx e) 4x dx f) 53x dx
g) 3 25 7 3 2x x x dx h) 11
323x x dx
i) 3
2x dx
x
j) 2 3
3 2dx
x x k) 2 21
( )x dxx
l) 2
8 3 xx e dxx
50
Ejercicio 4.- Aplicar el método de sustitución al cálculo de la siguientes integrales indefinidas
a) 7(3 1)x dx b)
3
1
2 4dx
x c)
1
5 3dx
x
d) 4 2x dx e) 3 1 x dx f) 1
3 4dx
x
g) 21 2
xdx
x h) 1223x x dx i)
232( 1)( 2 5)x x x dx
j) 21 2x x x dx k) 2 x
dxx
l)
3 1
3 1
xedx
x
m) 32 1xx e dx
n) 1 lnx x dx
o) 2ln x
dxx
p) 2sen(3 )x x dx q) sen(ln )x
dxx r) sen cos( )x x dx
s)2
cos
sen
xdx
x
Ejercicio 5.- Aplicar el método de integración por partes al cálculo de la siguientes integrales
indefinidas
a) 122 1x x dx b) 53 (2 1)x x dx c) 32 xxe dx
d) 2 ln 3x x dx e) 352( 4)x x dx f)
3
2
5 1
xdx
x
g) ( 2) lnx x dx h) 2( 1) xx e dx i) 2
2 1 1x x dx
j) 23 2 lnx x x dx k) 2(2 1) lnx x dx l) 1lnx x dx
m) cosx dx n) 2 senx x dx o) sen(2 )x x dx
Ejercicio 6.- Calcular
a) 4
1x x dx b) 5 2 1x dx c) ln 2 1x dx
d) ln 2x dx e) 3 2 ln 3 2
dx
x x f)
4
3 3 2
xdx
x
g)
5
2 3
x
x
edx
e h)
2
6
1
xdx
x i) 1 2
8
xdx
x
j) 2
3
9 15
5 1
xdx
x x
m) 2 1 senx x dx n)
2
2
sen( 1)
1
x xdx
x
o) 3 2cosx x dx
51
Ejercicio 7.- Si la función de ingreso marginal es 22000 20 3R q q q
a) Hallar la función de ingreso total R q .
b) Hallar la función de demanda.
Ejercicio 8.- En la fabricación de un producto los costos fijos por semana son $4000 . La
función de costos marginales es 5 210 0,02 25 0,2C q q q , donde C q es el costo
total de fabricar q kilos de un producto por semana. Calcular el costo de fabricar 10
toneladas en una semana.
Ejercicio 9.- El único fabricante de un producto ha determinado que la función de ingreso
marginal es 2100 3R x x . Calcular la función de demanda.
Ejercicio 10.- El costo marginal de producir x unidades de una cierta mercancía es
22 1
xC x
x
, y el costo de producir dos unidades es de $2 . ¿Cuánto cuesta producir 12
unidades?
Ejercicio 11.- La función de demanda marginal es
32
2
3
600
2 500
xD x
x
. Hallar la función
de demanda, sabiendo que cuando el precio es de $50 se demandan 10 toneladas.
Ejercicio 12.- La función de demanda marginal de cierto producto es 1
'4 1200 2
D xx
.
Calcular la función de ingreso total sabiendo que si se demandan 400 unidades, el ingreso
total es $2800 .
Ejercicio 13.- Calcular las siguientes integrales definidas
a) 2
32 dx
b)
1
02 1x dx c)
22
24x dx
d) 3
3 2
12 4x x x dx
e)
4
02 1x dx f)
2
1
1
3 2dx
x
g) 0
31x x dx
h)
22
06 1x x dx i)
12 3
14 6x xe e dx
j) 12
04 lnx x dx k)
2
32 1 xx e dx
l)
4
21
1dx
x x
m)
0
1 sen x dx
n) / 2
0
cos 2x x dx
o)
/ 6
2
0
sen 3
1 cos(3 )
xdx
x
Ejercicio 14.- La función de costo marginal de un fabricante es 0,6 2C q q . Si la
producción es de 80q unidades por semana, ¿cuánto costará incrementar la producción a
100 unidades por semana?
52
Ejercicio 15.- La función de ingreso marginal de un fabricante es 1000
'10
C xx
. Si R está
dado en pesos, obtener el cambio que se produce en los ingresos totales del fabricante si se
aumenta la producción de 40 a 90 unidades.
Ejercicio 16.-
a) Sabiendo que 4
22 5f x dx
calcular
4
2f x dx
.
b) Sabiendo que 3
14f x dx , calcular
3
15 6f x dx .
Ejercicio 17.- Establecer mediante integrales el área de las regiones sombreadas
Ejercicio 18.- Calcular el área de la región encerrada por las curvas (sug.: hacer el gráfico)
a) 2 1y x ; 1y x b) 21y x ; 1y x
c) 3y x ; y x d) 3
y x ; 0x ; 1y
e) xy e ; xy e ; 1x ; 1x f) y x ; 2y x ; 0x
g) y x ; 2y x ; 0y h) 3 4y x x , y el eje x
X
f
g
i)
Y
X
(-2,2)
0
fg
(4,3)
fg
0
(4,3)
0 X
f
ii)
50
a b c
iii)
iv)Y
X
YY
f(x)=x
X
Y
0 1 2
2 Y
X
b-b
v) vi)
a
53
i) seny x y el eje x para 0 x j) cosy x , y el eje x para 0 2x
Ejercicio 19.- Hallar el área de la región comprendida entre la curva 3 4y x x y la recta
tangente a esta curva en el punto de abscisa 1x
Ejercicio 20.- Decidir sobre la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones
a) El área de la región del plano limitada por el gráfico de 2f x x , la recta 4x y el
eje y es 4
02x dx .
b) El área de la región del plano limitada por el gráfico de 2 1f x x y el eje x para
1 3x es 1 3
2 2
1 11 1x dx x dx
.
c) El área encerrada por las curvas 2 4y x e 2y x es 2
2
12x x dx
.
Aplicaciones: Excedente del consumidor y del productor o fabricante
Definición:
El excedente del consumidor es el área comprendida entre la curva de demanda p D q
y la recta 0p p ( 0 0p D q precio del mercado): 0
00
q
EC D q p dq
Definición:
El excedente del productor o fabricante es el área comprendida entre la curva de oferta
p O q y la recta 0p p ( 0 0p O q precio del mercado): 0
00
q
EF p O q dq
54
Ejercicio 21.- La función de demanda para un producto es 100 0,05p D q q , p es el
precio por unidad para una demanda de q unidades. La función de oferta es
10 0,1p O q q . Determinar
a) El punto de equilibrio.
b) El excedente de los consumidores cuando el mercado está en equilibrio.
c) El excedente de los fabricantes cuando el mercado está en equilibrio.
Ejercicio 22.- La función de demanda para un producto es 12
1p D x
x
. La función de
oferta es 2p O x x . Calcular el excedente del consumidor y del productor cuando el
mercado está en equilibrio.
Ejercicio 23.- Calcular las siguientes integrales impropias:
a)
1
3
1dx
x
b)
13 2
1dx
x
c)
1
1
2 1dx
x
d)
03
1
(2 1)dx
x
e) 2
0
2
6
( 1)
xdx
x
f) 2
0
xx dxe
g)
1
lne
dxx x
h)2
1
lne
dxx x
Ejercicio 25- Analizar la convergencia de las siguientes integrales impropias:
a)
1
3 2
5
2 3 1
xdx
x x x
b)
1
2
3
2
xdx
x x
c) 2
0
1
4 3dx
x
d)
0
2
x
xdx
x
e
e
e) 2
43
2ln
ln
x xdx
x x
f)
1
2 1
1
xdx
x
EJERCICIOS SURTIDOS
Ejercicio 1.- Calcular 2(2 3) ln( 3 1)x x x dx
Ejercicio 2.- Calcular el excedente del consumidor sabiendo que la función de demanda es
234500 1 1200p D q q
( q indica cantidad de unidades, y p su precio unitario) y
que el precio de mercado es $1700 .
55
Ejercicio 3.- Calcular el área de la región encerrada por la gráfica de 4
1y
x
y la recta
7
2
xy
.
Ejercicio 4.- La demanda marginal de cierto producto es 210000
qD q
q
. Hallar la
función de demanda sabiendo que cuando se demandan 60 unidades, el precio unitario es
$150 .
Ejercicio 5.- Hallar la función de costo sabiendo que el costo marginal es 2
8
9
qC q
q
y
que cuando se producen 4 unidades, el costo unitario es $45 .
Ejercicio 6.- Calcular
a) 2
3
2 49
xdx
x b)
cos(3 )
sen(3 ) 2
xdx
x c) sen(2 )
cos(2 ) 1
xdx
x
Ejercicio 7.- Hallar el área de la región encerrada por los gráficos de las funciones 3y x e
16y x .
Ejercicio 8.- Hallar el área comprendida entre el gráfico de:
a) seny x y el eje y para 0 / 2x b) seny x y el eje x para 3
2 2x
Ejercicio 9.- Sea R la región encerrada por los gráficos de 2 1y x ; 0y ; 24x .
Hallar Ra para que la recta x a divida a R en dos regiones de igual área.
Ejercicio 10.- Calcular
a) 2
cos(2 ) sen(2 ) 1x x dx b) 2 2 2( 1) sen( 1)x x x dxe e e
Ejercicio 11.- El costo marginal de producir x unidades de cierta mercancía es
1
5 4C x
x
, y el costo de producir una unidad es de $0, 40 . Encontrar la función de
costo, y lo que cuesta producir 9 unidades.
Ejercicio 12.- Hallar el excedente del consumidor de un artículo cuya función de demanda es
2
15 45
6 5
qp q
q q
, donde q indica miles de unidades, sabiendo que en el mercado mil
unidades cuestan $5 .
56
Ejercicio 13.- La función de demanda marginal de un producto es 160
8 36D q
q
. Hallar
el excedente de los consumidores sabiendo que el precio de equilibrio es $16 .
Ejercicio 14.- Marcar la única opción correcta
a) Si en la integral xe dx se hace la sustitución u x , se obtiene
ue du ue
duu
1
2
uedu
u 2 uue du
b) La función de ingreso marginal de un fabricante es 2
30000R q
q , entonces el cambio que
se produce en los ingresos totales cuando aumenta la producción de 100 a 500 unidades es
240 80 aprox. 96,566 400
c) El área encerrada por las curvas 2 9y x e 2 9y x es
0 3
2 2
3 09 9x dx x dx
3 32 2
3 39 9x dx x dx
0 3
2 2
3 09 9x dx x dx
3 32 2
3 39 9x dx x dx
d) Si 3
02 5 10f x dx , entonces
3
0f x dx es igual a
0 10 5
2
5
2
e) Si la región encerrada por las rectas 2 7y x ; 0y ; 0x ; 5x queda dividida
por la recta x a en dos regiones de igual área, entonces a vale
3 2,5 3,5 10
f) El ingreso marginal por las ventas de determinado producto está dado por
2 2
2 3'
3
qR q
q q e
. Si se sabe que el ingreso total es nulo cuando no hay ventas, entonces el
ingreso total R q es igual a
ln 2 3q ln 2 3 ln3q 2 2ln 3q q e 2 2ln 3 2q q e
g) La función de demanda de un producto es 125 5p D q q ( q indica la cantidad de
unidades) y el punto de equilibrio es 49 unidades,$90 . Entonces el excedente del
consumidor es igual a
49
0125 5 qdq
90
076 5 q dq
49
05 35q dq
49
035 5 q dq
h) El área de la región encerrada por las curvas 2y x ; 6y ; 0x es
9
06 2 x dx
6
02 x dx
3
06 2 x dx
9
02 x dx
57
PRACTICA 7
SUCESIONES Y SERIES
Ejercicio 1.- Para las siguientes sucesiones, escribir el término 35
a) 1 2 3 4
, , , ,2 3 4 5
b) 2 3 4 5
, , , ,3 4 5 6
c) 2 , 4 , 6 , 8 , d) 1 , 0 , 1 , 1 , 0 , 1 ,
e) 1 , 5 , 9 , 13 , 17 , f) 2 2 2 2
2 , , , , ,3 9 27 81
Ejercicio 2.- Escribir los cinco primeros términos de
a) 100 20 1na n b) 1
3
2n n
a
c) 1na ; 1 4n na a , 1n d) 1 2a ; 13
nn
aa , 1n
Ejercicio 3.- Escribir el término general o término enésimo de las sucesiones
a) 1 2 3 4
, , , ,2 3 4 5
b) 2 3 4 5
, , , ,3 4 5 6
c) 2 , 4 , 6 , 8 , d) 1na ; 1 4n na a , 1n
e) 1 2a ; 13
nn
aa , 1n
Progresiones aritméticas
Una sucesión 1 2, , , ,na a a se llama progresión aritmética si cada término se obtiene
sumándole al anterior una misma cantidad fija d llamada diferencia. Es decir
2 1a a d
3 2a a d
1n na a d
El término general de una progresión aritmética es 1 1na a n d
Ejercicio 4.- Decidir cuáles de las siguientes sucesiones son progresiones aritméticas
58
a) 3 , 7 , 11 , 15 , 19 , b) 25 , 20 , 15 , 10 , 5 ,
c) 4 5 6 7 8
, , , , ,4 4 4 4 4
d) 4 4 4 4 4
, , , , ,4 5 6 7 8
e) 100 , 97 , 94 , 91 , 88 , f) 1 1a , 1 5n na a n
Ejercicio 5.-
a) En cada caso, hallar la progresión aritmética na que verifica:
i) 11 350a , 21 500a ii) 3 8a , 5 6a iii) 7 10a , 10 5a
b) En una progresión aritmética 2 15a y 6 5a . Calcular 3 8a a .
c) Hallar una progresión aritmética sabiendo que 3 14a y que la suma de sus dos primeros
términos es igual a 10 .
Ejercicio 6.- El alquiler de una casa de veraneo cuesta: $120 el primer día, y $75 los restantes
días.
a) ¿Cuál es el precio de n días de alquiler?
b) Si se pagaron $1.845 , ¿de cuántos días fue el alquiler?
Ejercicio 7.- En un contrato, la penalización por demora en el cumplimiento del mismo por
alguna de las partes va en progresión aritmética, de $100 si la demora es de un día, a $800 si
la demora es de 15 días. ¿Cuál es la penalización por 2 días de demora?
Progresiones geométricas
Una sucesión 1 2, , , ,na a a se llama progresión geométrica si cada término se obtiene
multiplicando el anterior por un número fijo r llamado razón. Es decir:
2 1a a r
3 2a a r
1n na a r
El término general de una progresión geométrica es 1
1
n
na a r
59
Ejercicio 8.- Decidir cuáles de las siguientes sucesiones son progresiones geométricas
a) 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , b) 2.000 , 200 , 20 , 2 , 0.2 ,
c) 3 , 6 , 12 , 24 , 42 , d) 5 5 5 5 5
, , , , ,3 9 27 81 243
e) 5 5 5 5 5
, , , , ,3 9 27 81 243
f) 1 1 1 1
1 , , , , ,2 3 4 5
g) 3 , 6 , 9 , 12 , 15 , h) 1 1a , 1 2n
n na a
Ejercicio 9.- En una progresión geométrica 1 5a , 4 135a . Calcular el término general
na .
Ejercicio 10.-
a) En cada caso, hallar la progresión geométrica na que verifica:
b) Calcular la suma de los diez primeros términos de las progresiones obtenidas
c) En una progresión geométrica 2
3
10a y 5
81
80a . Calcular 3 6a a .
Ejercicio 11.- Se toma una hoja de papel de 30 cm de alto por 20 cm de ancho y 0,1 mm
de espesor.
a) Calcular el área de la hoja.
b) Se dobla la hoja por la mitad, ¿Cuál es el área y el espesor?
c) Se vuelve a doblar...Si se pudiera doblar 50 veces (hacer la prueba de doblarla más de 8
veces), ¿con cuál de las siguientes dimensiones sería comparable el espesor obtenido?
Grosor de una guía telefónica ( 10 cm )
Altura de una habitación ( 3 m )
Altura del monte Everest ( 8880 m )
Distancia de la Tierra a la Luna ( 350 mil km )
Distancia de la Tierra al Sol ( 14,4 millones de km )
d) Luego de haber contestado, hallar las sucesiones que dan el área y el espesor en cada doblez.
Estimar el área y el espesor obtenidos con 50 dobleces.
i) 3 16a , 6 1,024a ii) 2 10a , 4 360a iii) 4
40
27a , 7
320
729a
60
Ejercicio 12.- La población mundial es de unos 6500 millones de habitantes. Se estima que
crece a un ritmo del 2% anual.
a) Escribir la población estimada para los próximos 5 años.
b) Comprobar que se obtiene una progresión geométrica. ¿De qué razón?
c) ¿Cuántos años tardará en duplicarse si se mantiene el mismo ritmo de crecimiento?
Ejercicio 13.- El Banco BXT ofrece el 2% de interés mensual para depósitos de plazo fijo a
30 días. Si se depositan $3.500 y llamamos nM al monto al cabo de n meses,
a) Calcular 1M , 5M y nM .
b) Comprobar que nM es una progresión geométrica.
c) Calcular su razón.
d) ¿Cuántos meses hay que esperar para obtener un monto mayor a $10.000?
Ejercicio 14.- ¿Cuál es la tasa de interés mensual de un capital de $5.000 , capitalizado
mensualmente a interés compuesto, si al cabo de 6 meses se obtiene un monto de $6.700?
Ejercicio 15.- Hallar el término general de cada una de las siguientes series:
a) 1 1 1 1
1.2 2.3 3.4 4.5 b)
1 1 11
4 9 16
c) 1 1 1
14 9 16
d)
2 2 22 3 4
13 5 7
e) 3 4 5
5 10 15 f)
3 4 52
2 3 4
g) 1 1
9 3 13 9
h) 1 1 1 1
3 6 12 24
i) 2 31 x x x j)
2 3 4
22 4 8
x x xx
Ejercicio 16.- Le ofrecen el siguiente trato: Durante treinta días consecutivos recibirá cien mil
pesos por día, con la condición de que en el mismo período tendrá que ir pagando un centavo el
primer día, dos el segundo, cuatro el tercero, ocho el cuarto y así sucesivamente. ¿Acepta el
trato?
Ejercicio 17.- Analizar la convergencia y calcular la suma de las siguientes series
a) 0
2
3n
n
b) 0
5
6n
n
c) 1
41
3
n
n
n
61
d) 1
0
21
3
n
n
n
e) 2
1
1
4
5
n
n
n
f) 2
0
4
3
n
n
n
g) 2
2
0
4
3
n
n
n
h) 2
2
2
7
3
n
n
n
i) 1 1
1
3 2
2 5n n
n
j) 1 2 1
2
1
2 3
4
n n
n
n
k)
1 2 1
0
3 2
4
n n
n
n
l)
1 3 1
3 1
1
2 3
4
n n
n
n
Ejercicio 18.-
a) ¿Cuántos términos de la progresión 9n habrá que sumar para que el resultado sea mayor que
un billón?
b) Misma pregunta para (0,9)n . Justificar.
c) Hallar el valor de a para que 1
0
819
n
nn
a
.
EJERCICIOS SURTIDOS
Ejercicio 1.- De una progresión geométrica na se sabe que 3 80a y que 6 10a .
¿Cuánto valen 8a y 2a ?
Ejercicio 2.- Algunos términos de una sucesión son 3
3
8a , 5
27
32a , 8
729
256a .
a) ¿Puede tratarse de una progresión geométrica?
b) ¿Y de una progresión aritmética?
Ejercicio 3.- La sucesión na está en progresión geométrica. Calcular 10a si se sabe que
4 18a y 7
9
4a . Justificar.
Ejercicio 4.- Marcar la única opción correcta.
Ejercicio 5.- Estudiar la convergencia de la serie 1
0
41
5
nn
n
n
y si es posible hallar su suma.
Ejercicio 6.- Determinar si la serie 3
3
0
3
5
n
n
n
es convergente y, en caso afirmativo, calcular su
suma.
62
Ejercicio 7.- Estudiar la convergencia de la serie 1
1
21
5
nn
n
n
y, si es posible, calcular su
suma.
Ejercicio 8.- Marcar la única opción correcta
a) Si na es una progresión aritmética tal que 44a y 10 2a , entonces 16a
5 1
3
14
3 0
b) En una progresión geométrica 4 2a , 6 4a y 0r . Entonces r es igual a
4 6 2 2
c) La suma de la serie 1
1
3
4
n
n
n
es igual a
1 3
4 4