PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚEstudios Generales Ciencias

Cálculo 1Práctica Cali�cada 1

(2009� 1)

INDICACIONES.

� No se permite el uso de apuntes de clases ni calculadoras.

� Cada pregunta vale 4 puntos.

� Explicar detalladamente cada una de sus respuestas.

1. Dadas las siguientes funciones

f (x) = 4x� 4; si x � 3g (x) = 2x+ 2; si x � �3

Encuentre el dominio, el rango y la grá�ca de la función f=g:

2. .

(a) Analice si la siguiente a�rmación es verdadera o falsa: "Si f y g son dos funciones decrecientes, entoncesf � g es creciente". Justi�que su respuesta.

(b) Demostrar que la función

f (x) = 3� 2r1

2x� 1

es decreciente.

3. Dada la función

f (x) =

8<: (x+ 1)2+ 2; x � �1

arctan (x+ 1) ; x > �1

(a) Muestre grá�camente que f es inyectiva.

(b) Halle la regla de correspondencia de la inversa de f , indicando su dominio.

(c) Gra�que en un mismo sistema de coordenadas f y su inversa.

4. Dada la función

f (x) =

8<: ex � 2; x � ln 4

x2 � x; 0 < x � 1

(a) Gra�que f .

(b) Extienda grá�camente f a una función g tal que g sea impar.

(c) Determine la regla de correspondencia de g.

(d) Veri�que analíticamente que g es impar.

5. En una esfera de radioR se circunscribe un cono circular recto cuya base tiene radio r y su altura es h.

(a) Exprese el volumen del cono como función de su altura.

(b) Halle el área de la super�cie total del cono en términos de r.

Prueba elaborada por los profesores del curso.Coordinador de Prácticas: Profesor Roy Sánchez.

San Miguel, 02 de abril del 2009.

1

6. La funciónf (x)

g (x)=4x� 42x+ 2

;x 2 [�3; 3]� f�1g.

Su grá�ca

­3 ­2 ­1 0 1 2 3­6

­4

­2

0

2

4

6

8

10

12

Si �3 � x < �1) �2 � x+ 1 < 0) 2� 4

x+ 1� 4:

Similar si �1 < x � 3) 1 � 2� 4

x+ 1.

Luego, Ran(f) = fx 2 R=x 6= �1g.

7. .

(a) Si f y g son dos funciones decrecientes, entonces para x1 < x2 ) g (x1) > g (x2),y si y1 < y2 ) f (y1) >f (y2).Si y = g (x) entonces

x1 < x2 ) g (x1) > g (x2)) f (g (x1)) < f (g (x2)) :

(b) El dominio de f : x � 2. Sean x1 y x2 dos números en el dominio de f , tal que si 2 � x1 < x2 entonces

) 1

2x1 � 1 <

1

2x2 � 1

) �2r1

2x1 � 1 > �2

r1

2x2 � 1

) f (x1) > f (x2) .

8. Si

f (x) =

8<: (x+ 1)2+ 2; x � �1

arctan (x+ 1) ; x > �1

2

(a) Vale si de su grá�ca deducen la inyectividad de f .

(b) Si f1 (x) = (x+ 1)2+ 2, entoncesRan (f1) = [2;+1[. Si f2 (x) = arctan (x+ 1), su Ran (f2) =

h0;�

2

h.

Estos conjuntos son el dominio de su inversa.

f�1 (x) =

8><>:�px� 2� 1; 2 � x

tan (x)� 1; 0 � x < �

2

(c) La grá�ca de f y de su inversa.

9. De la función

f (x) =

8<: ex � 2; x � ln 4

x2 � x; 0 < x � 1

3

(a) La grá�ca de f:

X

Y

ln41

(b) La ampliación para obtener g

X

Y

ln41

(c) Si 0 < x � 1) �1 � �x < 0. La función g (x) = ��(�x)2 � (�x)

�= �x2 � x:

Similarmente para la otra función, Si ln 4 � x) x � � ln 4. La función g (x) = � (e�x � 2) = �e�x + 2.

g (x) =

8>><>>:ex � 2; x � ln 4x2 � x; 0 < x � 1�e�x + 2; x � � ln 4�x2 � x; �1 � x < 0

(d) Sea x � � ln 4) �x � ln 4. Su regla de correspondencia,

g (�x) = e�x � 2 = ���e�x + 2

�= �g (x) :

Similarmente para la otra parte.

4

10. Esbozamos la grá�ca del problema.

A B

O

R

C

r

h

x

E

D

(a) Por semejanza de los triángulos �CDB � �CEO,h

r=x

R) x =

Rh

r

También se cumple(h�R)2 = R2 + x2

De las dos ecuaciones se tiene

r2 =R2h

h� 2R:

Por lo tanto,

V (h) =�R2h2

3 (h� 2R) ;h > 2R.

(b) Área de la super�cie total del cono en función a r.El área lateral del cono, de la �gura

A B

C

rD

Lh

AL = �rL = �rph2 + r2:

El área de la baseAb = �r

2

Con ayuda de la parte a)

A (r) =2�r4

r2 �R2 ; r > R.

5