pravoÚhlÁ axonometrie · 2016. 3. 14. · 2 velkou výhodou pravoúhlé axonometrie je její...
TRANSCRIPT
Technická univerzita v Liberci
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická
Katedra matematiky a didaktiky matematiky
PRAVOÚHLÁ AXONOMETRIE Pomocný učební text
Petra Pirklová
Liberec, září 2013
2
Velkou výhodou pravoúhlé axonometrie je její názornost, nevýhodou náročnost
některých konstrukcí. Pravoúhlá axonometrie je pravoúhlé rovnoběžné promítání (lépe řečeno
zobrazovací metoda) na čtyři průmětny. Tři z těchto průměten jsou na sebe kolmé, jsou to
zároveň souřadnicové roviny. Rovinu (xy) nazýváme půdorysnou , (yz) nárysnou a (xz)
bokorysnou . Tyto tři průmětny jsou tzv. pomocné průmětny.
Čtvrtou hlavní průmětnu nazýváme axonometrickou průmětnou . Ta je se všemi třemi
pomocnými průmětnami různoběžná a není rovnoběžná s žádnou souřadnicovou osou. Do této
axonometrické průmětny pravoúhle promítáme všechny útvary a jejich axonometrický průmět
označujeme indexem a vpravo nahoře (např. axonometrický průmět osy x – xa).
x
x y
y
zz
OO
a
a
a
a
X Y
Z
Axonometrický trojúhelník
Axonometrická průmětna protíná souřadnicové osy v bodech X, Y a Z, které tvoří vrcholy
axonometrického trojúhelníka. Jeho strany tvoří části průsečnic axonometrické průmětny se
souřadnicovými rovinami. Pro axonometrický trojúhelník platí:
Věta: Axonometrický trojúhelník XYZ je ostroúhlý.
Věta: Axonometrické průměty xa, ya, za souřadnicových os x, y, z jsou výšky v axonometrickém
trojúhelníku XYZ. Průsečík výšek je axonometrický průmět Oa počátku O.
Průměty souřadnicových os nazýváme axonometrický osový kříž.
Věta: Každá z přímek axonometrického osového kříže leží v tupém úhlu zbývajících dvou přímek.
Věta: Je-li dán ostroúhlý trojúhelník, pak existují dvě pravoúhlé axonometrie, pro něž je daný
trojúhelník axonometrickým trojúhelníkem.
Věta: Jsou-li dány tři přímky, které procházejí jedním bodem tak, že každá z nich prochází tupým
úhlem zbývajících dvou, pak existují dvě pravoúhlé axonometrie, pro které dané přímky jsou
axonometrickým osovým křížem.
Poslední dvě věty souvisí s pojmy nadhled a podhled v axonometrii a s polohou počátku
vzhledem k axonometrické průmětně.
3
O O
z z
+ +- -
- -+ +
směr promítání směr promítání
Podhled Nadhled
Nyní se dohodněme na úmluvě, že axonometrickou průmětnu ztotožníme s nákresnou a
geometrické útvary budeme zobrazovat pouze v nadhledu. Proto bude axonometrickým
trojúhelníkem (axonometrickým osovým křížem) určena právě jedna axonometrie.
Axonometrie je určena, buď ostroúhlým axonometrickým trojúhelníkem, nebo
axonometrickým osovým křížem (každé z nich lze převést ve druhé). Je-li dán osový kříž, volíme
trojúhelník vhodné velikosti. Na výsledek konstrukce nemá volba trojúhelníku vliv.
PRINCIP ZOBRAZENÍ
Bod A v pravoúhlé axonometrii zobrazujeme tak, že ho
pravoúhle promítneme na axonometrickou průmětnu. Tím získáme
axonometrický průmět bodu Aa. Potom bod pravoúhle promítneme do
pomocné průmětny, tím vznikne půdorys A1 (příp. nárys A2, bokorys A3)
bodu. Ten následně pravoúhle zobrazíme do axonometrické průmětny,
čímž vznikne axonometrický půdorys A1a (nárys A2
a, bokorys A3a) bodu.
Princip zobrazení bodu
Situace v nákresně:
Pokud máme zadaný axonometrický průmět a půdorys, pak zbývající pomocné průměty
získáme pomocí souřadnicového kvádru, který sestrojíme pomocí příslušných rovnoběžek
s osami (obdobně jako v Mongeově promítání) – viz obrázek.
O
z
AA
AA
Z
11
a
a
4
Y
Z
X
A
A
AA
1
23
a
a
aa
x y
za
aa
Souřadnicový kvádr bodu
K plnému určení bodu stačí jeho axonometrický průmět a jeden z pomocných
axonometrických průmětů. Spojnice těchto dvou průmětů se nazývá ordinála, a je kolmá na
stranu axonometrického trojúhelníka.
OTÁČENÍ POMOCNÝCH PRŮMĚTEN
Délky všech úseček se v pravoúhlé axonometrii vždy zkracují, samozřejmě také jednotky
na osách. Pokud však potřebujeme vynést souřadnice bodů, pak je nutné souřadnicové osy, resp.
souřadnicové roviny, otočit do axonometrické průmětny, která je v nákresně a tedy všechny
útvary v této rovině jsou nezkreslené.
Y
Z
X
Oa
(O)
(x)(y)
1
2
3
1
2
3
1 1j jx y
j j
y axa
za
Otáčení půdorysny do axonometrické průmětny
Souřadnicové roviny otáčíme kolem stran axonometrického trojúhelníka. Otočené útvary
budeme označovat závorkami a čerchovanými čarami. Otáčíme-li např. půdorysnu, otočený
počátek (O) leží na spojnici ZO a na Thaletově kružnici sestrojené nad úsečkou XY (souřadnicové
osy x, y ve skutečnosti svírají úhel 90°). Otočené osy (x), (y) získáme spojením otočeného počátku
(O) a bodů X, Y. Na těchto otočených osách už můžeme vynášet délky ve skutečné velikosti, a
tedy můžeme získat otočené body, které leží v půdorysně.
5
Mezi otočenými axonometrickými půdorysy a axonometrickými půdorysy platí osová
afinita s osou XY, směr afinity je na XY kolmý. Díky této afinitě můžeme otočené útvary otáčet
zpět. Obdobně provádíme otáčení nárysny a bokorysny do axonometrické průmětny.
Podle délky jednotek na osách takto rozdělujeme axonometrie:
trimetrie – axonometrický trojúhelník je obecný a jednotky na osách jsou různé,
dimetrie – axonometrický trojúhelník je rovnoramenný a jednotky na dvou osách jsou
stejné a na třetí je jiná,
izometrie – axonometrický trojúhelník je rovnostranný a jednotky na všech osách jsou
stejné
Příklad: Zobrazte bod A[3; 2; 2.5].
Y
Z
X
Oa
(O)
(x)(y)
(A )1
A1a
I
{O}
{z}2,5
2
3
Aa
za
xa y a
Zobrazení bodu zadaného souřadnicemi
Nejdříve otočíme půdorysnu do axonometrické průmětny. V otočení sestrojíme pomocí
souřadnic otočený půdorys (A1) bodu A. Ten pomocí afinity s osou XY převedeme na
axonometrický půdorys A1a bodu A. Poté otočíme nárysnu do axonometrické průmětny,
abychom našli otočenou osu (z). Na ní vyneseme z-ovou souřadnici bodu A, kterou pomocí
afinity s osou YZ otočíme zpět a zjistíme délku zkrácené z-ové souřadnice. Tu potom naneseme
na rovnoběžku s osou z nad axonometrický půdorys A1a. Tím získáme axonometrický průmět Aa
bodu.
Výše zmíněných afinit užíváme k zobrazování těles, které mají podstavu v některé
pomocné průmětně.
Příklad: Zobrazte pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV s podstavou v půdorysně, je-li dán střed
podstavy, vrchol podstavy A a výška jehlanu v. Axonometrie je určena osovým křížem.
6
x y
z
A =A
S =S
1
1
a a
a a
O
a a
a
Obraz jehlanu - zadání
Protože podstava jehlanu leží v půdorysně, axonometrický půdorys a průmět splývají.
Abychom mohli podstavu sestrojit, musíme otočit půdorysnu do axonometrické průmětny. Tedy
zjistíme polohu otočeného počátku (O) a pomocí afinity s osou XY také polohu otočených bodů
(A) a (S). Nyní můžeme sestrojit čtvercovou podstavu (A)(B)(C)(D) a pomocí afinity ji otočit zpět.
Tím získáme axonometrický průmět podstavy AaBaCaDa.
x y
z
A =A
S =S
1
1
a a
a a
(O)
O
(S)
(A)(B)
(C)(D)
1 2
C
3
B
Da
a
aa a
a
Obraz jehlanu - sestrojení podstavy
7
Výšku jehlanu zjistíme tak, že sklopíme např. nárysnu a osu z. Na sklopenou osu
z naneseme délku výšku v a pomocí afinity s osou YZ zjistíme její zkrácenou délku va. Délku
úsečky Ova (zkrácenou výšku) naneseme na rovnoběžku s osou z v bodě Sa. Tím získáme
axonometrický průmět vrcholu jehlanu Va.
Nakonec určíme viditelnost jehlanu. Obvod je vždy viditelný. Hrany umístěné dál od
pozorovatele jsou neviditelné a tedy čárkované.
x y
z
A =A
S =S
1
1
a a
a a
(O)
O
(S)
(A)(B)
(C)(D)
1 2
C
3
B
D
v
V
a a
a
a
aa
a
av
{O}
{z}
Obraz jehlanu
ÚMLUVA: Pro jednoduchost budeme vynechávat horní index a a přívlastek „axonometrický“,
pokud jeho uvedení nebude nutné.
ZOBRAZENÍ PŘÍMKY
Pokud je přímka směru promítání, zobrazí se jako bod. V opačném případě se zobrazí
jako přímka.
Důležitými body na přímce jsou stopníky. Jsou to průsečíky s průmětnami. Nejdříve si
uvedeme stopníky pomocných průměten – půdorysný stopník P, nárysný stopník N, bokorysný
stopník M. Průsečík přímky s axonometrickou průmětnou (axonometrický stopník) uvedeme
později, ale ke konstrukcím se neužívá.
Každý z těchto stopníků má axonometrický průmět a pomocné axonometrické průměty.
Podobně jako v Mongeově promítání axonometrický půdorys půdorysného stopníku P1 splývá
s axonometrickým průmětem půdorysného stopníku P (leží na průsečíku půdorysu a
axonometrického průmětu přímky), axonometrický nárys nárysného stopníku N2 splývá
s axonometrickým průmětem nárysného stopníku N (leží na průsečíku nárysu a
8
axonometrického průmětu přímky), axonometrický bokorys bokorysného stopníku M3 splývá
s axonometrickým průmětem bokorysného stopníku M (leží na průsečíku bokorysu a
axonometrického průmětu přímky).
Na ose x vždy leží půdorys bokorysného stopníku a bokorys půdorysného stopníku. Na
ose y leží nárys půdorysného stopníku a půdorys nárysného stopníku a na ose z leží nárys
bokorysného stopníku a bokorys nárysného stopníku.
Vždy platí, že příslušný průmět bodu leží na příslušném průmětu přímky. Což
samozřejmě platí i pro stopníky, např. půdorysy stopníků vždy leží na půdorysu přímky. Tedy
např. půdorys bokorysného stopníku leží na půdorysu přímky a na ose x (průsečnice bokorysny a
půdorysny).
a
a
1P=PN
M
M=M
N=N
M
N
P
P
a
a
11
1
2
2
2
2
3
3
3
3
x
y
z
Stopníky přímky
Přímka je jednoznačně určena svým axonometrickým průmětem a jedním pomocným
průmětem.
Nyní uvedeme některé zvláštní polohy přímek vůči
průmětnám. Přímka a je kolmá k půdorysně a přímka b je kolmá
k axonometrické průmětně. Přímka c není jednoznačně určena, pro
její určení musíme umístit na přímku libovolný bod.
Speciální polohy přímek
ZOBRAZENÍ DVOJICE PŘÍMEK
1) Různoběžky – jejich průměty se zobrazí jako různoběžky a navíc jejich průsečík musí
ležet na ordinálách. Pokud by však jedna z přímek byla promítací (směru promítání)
zobrazí se jako bod na druhé zadané přímce.
X Y
Z
a
a
b
b c=c1 1 1
9
y
z
x
a
a
b
b1
1
Různoběžky
2) Rovnoběžky – vždy se zobrazí jako rovnoběžky. Pokud jsou promítací, zobrazí se jako dva
body.
y
z
x
a
a
b
b1
1
Rovnoběžky
3) Mimoběžky – zobrazí se jako různoběžky, jejichž průsečík neleží na ordinále. Pokud je
jedna z přímek promítací, zobrazí se jako bod neležící na druhé přímce.
y
z
x
a
a
b
b11
Mimoběžky
ZOBRAZENÍ ROVINY
Rovina se zobrazí jako celá průmětna nebo pokud je promítací jako přímka. Rovinu
můžeme určit např. dvěma přímkami, třemi body atd. Nejčastěji však užíváme zadání stopami.
Stopy jsou průsečnice zadané roviny s průmětnami – půdorysná stopa p, nárysná stopa
n, bokorysná stopa m. Axonometrickou stopu, tedy průsečnici roviny s axonometrickou
průmětnou si ukážeme později.
Každé dvě stopy se vždy protínají na osách. Stačí tedy pro zadání roviny znát dvě stopy a
třetí snadno doplníme pomocí průsečíků s osami.
10
p
p
n
nm
m
x x
yy
z z
Stopy roviny
Zvláštní polohy roviny
Na obrázku jsou stopy roviny ρ rovnoběžné s půdorysnou (xy), stopy roviny σ
rovnoběžné s nárysnou (yz) a stopy roviny τ rovnoběžné s bokorysnou (xz). Na druhém obrázku
jsou stopy roviny α kolmé na bokorysnu (xz), stopy roviny β kolmé na půdorysnu (xy) a stopy
roviny γ kolmé na nárysnu (yz). Na obrázku třetím je rovina , která je kolmá k půdorysně a
zároveň k axonometrické průmětně.
p
n
m
x
y
z
p
m n
x
y
z
p
nm
m
n
p
m
n
p
xy
z
Speciální polohy rovin
ZOBRAZENÍ DVOJICE ROVIN
1) Rovnoběžné roviny - mají rovnoběžné příslušné stopy.
2) Různoběžné roviny - příslušné stopy se protínají ve stopnících průsečnice těchto rovin (viz
polohová úloha „průsečnice dvou rovin“).
POLOHOVÉ ÚLOHY
PŘÍMKA V ROVINĚ
Leží-li přímka v rovině, pak její stopníky leží na příslušných stopách roviny. Tedy
půdorysný stopník na půdorysné stopě, nárysný stopník na nárysné stopě a bokorysný stopník na
bokorysné stopě.
11
Příklad: Sestrojte axonometrický průmět přímky m, která leží v rovině a je dán její půdorys.
Nejdříve určíme půdorysy stopníků, které leží na půdorysu přímky. Poté pomocí ordinál nalezneme na příslušných stopách axonometrické průměty stopníků. Po jejich spojení získáme axonometrický průmět přímky m.
n
m
x
y
z
m1
p
P = PNM 1
11
m
N
M
n
m
x
y
z
m1
p
Přímka v rovině zadané stopami
Příklad: Sestrojte stopy roviny, která je dána dvěma přímkami.
Hlavní přímky v rovině
Stejně jako v Mongeově promítání hlavní přímky jsou přímky, které leží v dané rovině a
jsou rovnoběžné s průmětnou. Ačkoliv zde máme čtyři průmětny, hlavní přímky sestrojujeme
pouze k průmětnám pomocným.
Hlavní přímky roviny rovnoběžné s půdorysnou se nazývají hlavní přímky první osnovy
a značí se hI (hI∥pρ, hI1∥pρ), hlavní přímky rovnoběžné s nárysnou jsou hlavní přímky druhé
osnovy hII (hII∥nρ, hII1∥y) hlavní přímky rovnoběžné s bokorysnou jsou hlavní přímky třetí osnovy
hIII (hIII∥mρ, h1III∥x).
A
A1
p
m
n
yx
z
h
hh
h
h
h
11
1
I
I
II
II
III
III
Hlavní přímky roviny
12
Pokud je dána rovina dvěma přímkami, pak úlohu „přímka v rovině“ řešíme obdobně
jako v Mongeově promítání. Tedy ne pomocí stop roviny, ale pomocí průsečíků přímek.
Příklad: Určete půdorys přímky p, která leží v rovině dané dvěma rovnoběžkami a, b a je dána
pouze svým axonometrickým průmětem.
Nejdříve v axonometrickém průmětu určíme průsečíky A, B přímky p s přímkami a, b. Ty
převedeme po ordinálách na půdorysy přímek, čímž získáme půdorysy průsečíků. Po jejich
spojení najdeme půdorys přímky p.
y
z
x
a
a
b
b1
1
P
y
z
x
a
a
b
b1
1
P
p1
1
1
A
A
B
B
Přímka v rovině zadané přímkami
BOD V ROVINĚ
Pro řešení této úlohy si musíme uvědomit, že leží-li bod v rovině, pak leží na libovolné
přímce v rovině.
Příklad: Určete axonometrický průmět bodu A, který leží v rovině .
Bodem A1 proložíme libovolnou přímku roviny, např. hlavní přímku druhé osnovy.
Najdeme pomocí bokorysného stopníku její axonometrický průmět, na kterém na ordinále leží
axonometrický průmět bodu A.
x
y
z
n
m
p
1A
x
y
z
n
m
p
h
h
II
II1
1A
A
M
M
1
Bod v rovině
ROVINA ROVNOBĚŽNÁ S DANOU ROVINOU
Když jsou dvě roviny rovnoběžné, jsou rovnoběžné jejich příslušné stopy a také příslušné
hlavní přímky.
Příklad: Daným bodem A veďte rovinu rovnoběžnou s rovinou .
13
Oběma průměty bodu A proložíme příslušné průměty libovolných přímek v rovině
hledané (v rovině ), např. hlavní přímky první osnovy. Určíme stopníky těchto zvolených
přímek. Ty leží na příslušné stopě roviny . Těmito stopníky vedeme rovnoběžně se zadanými
stopami stopy hledané.
x
y
z
n
m
p
1A
A
x
y
z
n
m
p
1A
A
N
N
1
1
I
I
h
h
n
m
p
Rovina rovnoběžná s danou rovinou
Stejně jako předchozí úlohu řešíme příklad následující.
Příklad: Daným bodem proložte axonometrickou průmětnu.
Bodem A proložíme příslušné hlavní přímky, jako kdyby byl axonometrický trojúhelník
stopní trojúhelník roviny. Určíme její stopník a jím proložíme rovnoběžku s danou stranou
axonometrického trojúhelníka. Poté trojúhelník dorýsujeme.
x y
z
1
A
AX Y
Z
x y
z
1
A
A
P
h
h1
III
III
X Y
Z
X´ Y´
Z
Axonometrická průmětna bodem
PRŮSEČNICE DVOU ROVIN
Pokud je přímka průsečnicí dvou roviny, leží v obou rovinách. Jestliže leží přímka v obou
rovinách, pak její stopníky musí ležet na stopách obou rovin.
Příklad: Sestrojte průsečnici rovin a.
Nejdříve určíme axonometrický průmět průsečnice. Na průsečíku půdorysných stop
najdeme půdorysný stopník P průsečnice, v průsečíku nárysných stop leží nárysný stopník N
14
průsečnice, v průsečíku bokorysných stop leží bokorysný stopník M průsečnice. Jejich spojením
získáme axonometrický průmět průsečnice. Půdorys této průsečnice určíme jako spojnici
půdorysů stopníků.
xy
z
p
nm
nm
p xy
z
p
nm
nm
p
MN
P = P1
1M
Průsečnice dvou rovin
Budeme-li hledat průsečnici dvou rovin, přičemž jedna z těchto rovin je axonometrická
průmětna, pak je řešením této úlohy axonometrická stopa roviny
PRŮSEČÍK PŘÍMKY S ROVINOU
Stejně jako v Mongeově promítání použijeme k nalezení průsečíku krycí přímku roviny.
Krycí přímku si zvolíme v jednom průmětu. Protože je to přímka v dané rovině určíme její
stopníky a pomocí nich ji převedeme do druhého průmětu. Průsečík tohoto průmětu s danou
přímkou je hledaný průsečík přímky s rovinou.
Příklad: Sestrojte průsečík přímky k s rovinou .
V tomto případě jsme zvolili krycí přímku s v axonometrickém průmětu. V průsečíku
s nárysnou a bokorysnou stopou určíme nárysný a bokorysný stopník. Po ordinále je převedeme
na osy a získáme jejich půdorysy. Spojením půdorysů vznikne půdorys krycí přímky s1. Průsečík
přímek s1 a k1 je půdorys průsečíku, jeho axonometrický průmět najdeme po ordinále na přímce k.
k
k
xy
z
p
nm
k = s
k
xy
z
p
nm
s
MNR
R NM
1
1
111
1
Průsečík přímky s rovinou
Nyní se vrátíme k axonometrickému stopníku přímky. Podle definice je to průsečík
přímky s axonometrickou průmětnou. Budeme ho tedy také takto hledat a budeme přitom
15
uvažovat o axonometrickém trojúhelníku jako o stopním trojúhelníku roviny. Tedy postup bude
úplně totožný jako v předchozím příkladě.
Příklad: Určete axonometrický stopník R přímky p.
x y
z
X Y
Zp
p1
x y
z
X Y
Zp=k
p
k1
1
1
11
M
M
N
NR
R
Axonometrický stopník přímky
METRICKÉ ÚLOHY
Metrické úlohy v axonometrii jsou příliš složité. V kurzu „Geometrie 2“ se budeme
zabývat pouze metrickými úlohami v souřadnicových rovinách a rovinách rovnoběžných s nimi.
Metrické úlohy ve speciálních a obecných rovinách uvedené níže probírat nebudeme.
Pokud by bylo nutné nějakou takovou úlohu vyřešit, pak pomocí přepočtu délek na
osách, převedeme úlohu do Mongeova promítání. V Mongeově projekci ji vyřešíme a do
axonometrie převedeme pomocí souřadnic zpět pouze výsledek.
METRICKÉ ÚLOHY V ROVINÁCH (xy), (yz), (zx) A ROVINÁCH ROVNOBĚŽNÝCH
Rovinné úlohy v rovinách (xy), (yz) a (zx) řešíme pomocí otočení příslušné roviny do
axonometrické průmětny. Osou otáčení je jedna z přímek XY, YZ, ZX. Do axonometrické
průmětny vždy nejprve otočíme počátek. Mezi axonometrickými průměty bodu a jejich
otočenými průměty opět existuje osová afinita, další body tedy získáme pomocí této afinity. V
otočení vyřešíme rovinnou úlohu (najdeme velikosti jednotek na osách, sestrojíme podstavu
tělesa atd.) a výsledek otočíme zpět do axonometrické průmětny.
Příklad: V PA (|𝑋𝑌| = 10, |𝑋𝑍| = 11, |𝑌𝑍| = 12) zobrazte pravidelný šestiboký jehlan s podstavou
v půdorysně, znáte-li podstavné vrcholy A[2; 7; 0] a D[8; 3; 0]; výška jehlanu je v = 10.
Nejdříve otočíme půdorysnu do axonometrické průmětny. V otočení pomocí souřadnic
určíme body (A), (D). Tyto body leží na podstavě a pomocí nich můžeme v otočení sestrojit
šestiúhelník (A)(B)(C)(D)(E)(F). Tento šestiúhelník převedeme pomocí afinity zpět do půdorysny a
tím získáme axonometrický průmět (zároveň půdorys) podstavy jehlanu. Nakonec je nutné
sestrojit vrchol jehlanu V. Axonometrický půdorys tohoto bodu je střed podstavy jehlanu. Výška
jehlanu se však v axonometrii zkracuje. Musíme nejprve otočit např. nárysnu (resp. osu z). Na
16
tuto otočenou osu vyneseme skutečnou výšku a převedeme ji zpět pomocí příslušné afinity, čímž
určíme zkreslenou výšku jehlanu. Tuto zkreslenou výšku pak vyneseme na rovnoběžku s osou
z v bodě S.
(A)
(D)
(B)
(C)
(E)
(F)
(S)
AF
S
C
D
B
E
V
x y
z
[z]
(x)
(y)
O
(O)
[O]
Jehlan s podstavou v půdorysně
METRICKÉ ÚLOHY VE SPECIÁLNÍCH ROVINÁCH
Speciální roviny jsou axonometrická průmětna (nebo rovina s ní rovnoběžná), roviny
rovnoběžné právě s jednou osou.
Úlohy v axonometrické průmětně řešíme přímo v pomocných průmětnách a rovinách
rovnoběžných s osou řešíme po otočení roviny kolem axonometrické stopy do axonometrické
průmětny.
Příklad: V rovině π veďte bodem A přímku k kolmou k dané přímce a.
1. Je-li přímka ve speciální poloze např. a∥x, pak k∥y nebo, je-li a spádovou přímkou, pak k
rovnoběžná s axonometrickou stopou (a∥z → k⊥z).
2. Není-li ve speciální poloze, použijeme průsečíku výšek v Δ012, resp. Δ013 (viz obrázek),
který je tvořen přímkou a, spádovou přímkou b roviny π procházející počátkem a osou y.
Výška v těchto trojúhelnících, která prochází počátkem, je rovnoběžná s hledanou
kolmicí.
V průmětu v Δ012 bodem 1 vedeme rovnoběžku s x a bodem 2 kolmici k z;
průsečík je axonometrický průmět průsečíku výšek Δ012, jeho spojnice s 0 je
axonometrický průmět kolmice k a = 12.
17
3
2 a
1
kA =A1
x
y
z
a
3
2O
O =z
1
A1
bb
x
y
k1 1
1
11
1
1
1
1 1
Přímka kolmá k přímce v rovině
Příklad: Stanovte skutečnou velikost ΔABC, který leží v dané rovině ρ∥x.
Určíme axonometrickou stopu rρ a otočíme bod R (vrchol pravého úhlu určeného
stopami nρ, mρ). Otočený bod (R) leží na kružnici opsané nad průměrem 12 a na kolmici k rρ,
procházející R. Otočený trojúhelník (A)(B)(C) odpovídá v pravoúhlé afinitě o ose rρ a páru
odpovídajících si bodů R, (R) k axonometrickému trojúhelníku ABC.
X Y
Z
x y
z
p
n
m
r
R
(R)
2
1
A
B
C(A)
(B)
(C)
Skutečná velikost trojúhelníka
Příklad: Najděte skutečnou velikost dané úsečky OA.
První promítací rovina přímky p = OA prochází osou z (pρ = p1, nρ = mρ = z). Rovinu
otočíme kolem axonometrické stopy do axonometrické průmětny (stačí otočit počátek O, který
je vrcholem pravého úhlu určeného stopami pρ, nρ). Otočený počátek (O) leží na Thaletově
kružnici nad průměrem ZQ (viz obrázek – průsečíky axonometrické stopy s axonometrickým
trojúhelníkem) a na kolmici k axonometrické stopě rρ bodem O. Poté otočíme bod A pomocí
osové afinity s osou rρ a směrem O(O). Úsečka (O)(A) je ve skutečné velikosti.
18
p =p
p
r
(p)
Z
X Y
(O)O
z=n =m
xy
A
A
(A)
Q
1
1
Skutečná velikost úsečky
Skutečnou velikost libovolné úsečky zjistíme tak, že ji posuneme jedním krajním bodem
do počátku.
METRICKÉ ÚLOHY V OBECNÝCH ROVINÁCH
Známe-li vzdálenost bodu od axonometrické průmětny, můžeme řešit metrické úlohy
přímo.
Příklad: Najděte vzdálenost bodu A od axonometrické průmětny.
Leží-li bod na některé ose, určíme jeho vzdálenost sklopením axonometricky promítací
roviny do axonometrické průmětny.
Neleží-li na ose, vedeme jím rovnoběžnou rovinu s axonometrickou průmětnou. Všechny
body takové roviny jsou stejně vzdáleny od axonometrické průmětny, proto stačí určit
vzdálenost průsečíku této roviny s některou osou od axonometrické průmětny (sklopením).
Z
XY
O
z
xy
A
(O)
Q
(A)
(y)
Vzdálenost bodu na ose od axonometrické průmětny
19
Z
X Y
O
z
x
y
A
A
M
(O)
(M)
Pp
(y)
1
Vzdálenost obecného bodu od axonometrické průmětny
Příklad: Najděte skutečnou velikost dané úsečky AB.
Sklopíme promítací rovinu přímky, na níž leží úsečka, do axonometrické průmětny a
délku úsečky zjistíme ve sklopení (potřebujeme znát vzdálenost dvou různých bodů nositelky od
axonometrické průmětny (předcházející metodou). Výhodné je použít některý stopník, zvláště
axonometrický, který zůstává při sklápění na místě. Axonometrický stopník R najdeme pomocí
první promítací roviny ρ přímky p; pρ = p1, R = rρ ∩ p.
Z
X Y
O
z
xy
(O)
A B
BA
p=r
p =p
r
m
P
(y)
M
(M)
R=[
R]
[A]
[B]
11
1
[P]
Skutečná velikost úsečky
20
Příklad: V dané rovině ρ zobrazte čtverec, znáte-li jeho vrcholy A, C.
Rovinu ρ otočíme kolem rρ do axonometrické průmětny (otočíme její libovolný bod,
např. M = ρ ∩ x, pro který najdeme vzdálenost |𝑀[𝑀]| od axonometrické průmětny).
Rovina otáčení bodu M je axonometricky promítací, zobrazí se jako kolmice bodem M k
rρ (střed otáčení je průsečík kolmice s rρ, poloměr otáčení je přepona S{M} pravoúhlého ΔSM{M},
kde |𝑀[𝑀]|=|𝑀{𝑀}|).
Užitím pravoúhlé afinity o ose rρ a páru odpovídajících si bodů M, (M) najdeme otočené
(A), (C). Poté sestrojíme čtverec (A)(B)(C)(D) a otočíme ho pomocí afinity zpět.
Z
X Y
O
z
x y
M
A
C
p
n
mr
[O]
[x][M]
{M}
S
(M)1(A)
2
(C)
(B)
(D)
D
B
3
Čtverec v obecné rovině
Příklad: Bodem A veďte kolmici k rovině α.
Axonometrický průmět přímky k je kolmý na axonometrickou stopu rα roviny a bod A leží
na přímce k. Axonometrický půdorys k1 je kolmý na půdorysnou stopu pα (podle dřívější úlohy).
21
Z
XY
O
z
xy
r
n
mp
A
A
k
k1
1
Kolmice k rovině
Příklad: Bodem A veďte rovinu kolmou k dané přímce k.
Najdeme směr stop r (kolmý na přímku k), p (pomocí výše zmíněné úlohy) libovolné
roviny ⊥ k, pak sestrojíme její stopy libovolným bodem, např. počátkem. Nakonec daným
bodem A vedeme rovinu rovnoběžnou s rovinou (využijeme hlavní přímku vedenou bodem A
a toho, že jejich stopy jsou navzájem rovnoběžné).
Z
X
Y
O
z
y
A
Ak
k
11
r
n
x
n
h
hm
p
p
1I
I
Rovina kolmá k přímce
22
ZOBRAZENÍ KRUŽNICE V ROVINĚ (xy), (yz), (xz) A ROVINÁCH ROVNOBĚŽNÝCH
Obrazem kružnice v axonometrii je obecně elipsa, protože se jedná o rovnoběžné
promítání. Pokud je rovina, ve které kružnice leží rovnoběžná s průmětnou, pak se zobrazí jako
kružnice, je-li kolmá k průmětně, zobrazí se jako úsečka.
Průměry kružnice, které jsou rovnoběžné s osami ležícími v rovině kružnice, se zobrazí do
sdružených průměrů elipsy.
V pravoúhlém promítání se úsečky rovnoběžné s průmětnou zobrazí ve skutečné
velikosti a všechny ostatní se promítnutím zkrátí. To znamená, že velikosti stran
axonometrického trojúhelníka a všech úseček s nimi rovnoběžných se zobrazí ve skutečné
velikosti. Průměr kružnice ležící v souřadnicové rovině rovnoběžný se stranou axonometrického
trojúhelníka se promítne do hlavní osy elipsy, do které se zobrazí kružnice.
Protože pravoúhlé promítání zachovává rovnoběžnost, najdeme další bod kružnice na
rovnoběžkách vedených hlavními vrcholy elipsy s osami ležícími v rovině kružnice (ve skutečnosti
jsou osy na sebe kolmé, stejně jako spojnice bodu na Thaletově kružnici s koncovými body jejího
průměru). Tím získáme hlavní vrcholy elipsy a obecný bod elipsy. Užitím proužkové konstrukce
zjistíme délku vedlejší poloosy a dorýsujeme elipsu.
Příklad: Sestrojte kružnici se středem S a poloměrem r, ležící v půdorysně.
V bodě S sestrojíme rovnoběžku s XY, na ní naneseme poloměrem r na obě strany od S.
Tím dostaneme hlavní vrcholy elipsy. Hlavními vrcholy vedeme rovnoběžky se souřadnicovými
osami x, y. V jejich průsečíku je bod elipsy M. Pomocí proužkové konstrukce sestrojíme vedlejší
vrcholy elipsy a poté sestrojíme celou elipsu.
x y
z
X Y
Z
r
b
A BS
M
~~
C
D
r r
Kružnice v půdorysně
Druhým možným řešením je otočit souřadnicovou rovinu, ve které kružnice leží, do
axonometrické průmětny, zde sestrojit kružnici a pomocí příslušné afinity ji otočit zpět.
23
Nyní umíme sestrojit rovinný útvar v půdorysně, nárysně a bokorysně a v rovinách
rovnoběžných. To znamená, že umíme sestrojit základní tělesa jako hranoly, válce, kužele a
jehlany s podstavou v těchto rovinách.
ZOBRAZENÍ KRUŽNICE, KTERÁ LEŽÍ V ROVINĚ SPECIÁLNÍ
Příklad: Zobrazte kružnici k, která leží v rovině ρ∥y, znáte-li její střed a poloměr.
Hlavní osa elipsy je rovnoběžná s axonometrickou stopou roviny a velikost hlavní poloosy je rovna poloměru kružnice. Obecný bod M elipsy získáme pomocí rovnoběžek se stopami nρ a mρ ve vrcholech A, B. Elipsu dorýsujeme užitím proužkové konstrukce.
Z
X
Y
O
z
x y
r
S
r
n
m
p
r
r
A
B
M
Kružnice v rovině rovnoběžné s osou y
ŘEZY TĚLES
ŘEZ HRANOLU
Příklad: Zobrazte řez pravidelného šestibokého hranolu s podstavou v π a danou výškou v,
obecnou rovinou α.
Určíme průsečík některé pobočné hrany hranolu, např. hrany AA´´, s rovinou řezu. Za
pomocnou rovinu proloženou hranou AA´´ můžeme např. vzít rovinu (xz). Průsečnice pomocné
roviny s danou rovinou je tedy mVrcholem řezu je pak průsečík 𝐴´ = 𝐴𝐴´´ ∩ 𝑚α. Rovina stěny
AA´´F´´F protíná rovinu řezu v přímce, pro kterou známe vrchol A´ a bod P, který je průsečíkem
půdorysné stopy roviny řezu a roviny stěny AA´´F´´F. Tato přímka určí na hraně F´´F další bod
řezu F´. Takto sestrojíme všechny vrcholy řezu.
Řez A´B´C´D´E´F´ odpovídá podstavě ABCDEF v afinitě s osou p a páru odpovídajících si
bodů A, A´. Řezem je středově souměrný šestiúhelník.
24
F
A
S
B
C
DE
S´´
A´´B´´
C´´
D´´E´´
F´´
x
y
z
A´
F´
P1 2
p
nm
Řez hranolu obecnou rovinou
Příklad: Sestrojte řez čtyřbokého hranolu, jehož dolní podstava leží v půdorysně, rovinou α ‖ y.
Při konstrukci roviny řezu hledáme průsečnice roviny řezu s rovinami stěn hranolu, resp.
průsečíky roviny řezu s přímkami, na nichž leží hrany hranolu.
Vrcholy řezu B´´, C´´ leží na hranách BB´, CC´ a na průsečnici r roviny řezu s rovinou ,
v níž leží stěna BCC´B´. Protože body B, C leží v půdorysně, je 𝑝λ = 𝐴𝐵. Průsečnice r je přímka
spojující průsečík půdorysných stop P (𝑃 = 𝑝λ ∩ 𝑝α, 𝑁 = 𝑛λ ∩ 𝑛α) a průsečík nárysných stop N.
Pokud zjistíme tuto průsečnici r, tedy body řezu B´´, C´´, pak další body řezu získáme
pomocí osové afinity. Osou této afinity je půdorysná stopa roviny řezu a dvojice afinně
sdružených bodů je bod podstavy a bod řezu na příslušné hraně hranolu. Směrem afinity je tedy
směr hran.
25
x
y
z
A
B
C
D
A´ B´
C´D´
A´´ B´´
C´´D´´
p
p
n
nr
m
P
N
1
Řez hranolu rovinou rovnoběžnou s y
Příklad: Určete průsečíky přímky q = PQ s krychlí danou středem a jednou stěnou v π, bod A leží
na x (xA < xS).
Přímkou q proložíme vhodnou rovinu, tedy rovinu kolmou k podstavě (půdorysně) a
určíme její řez tělesem. Půdorys přímky je tedy půdorysnou stopou a nárysná a bokorysná stopa
jsou rovnoběžky s osou z.
Půdorysná stopa protne podstavu v úsečce 12, to je jedna část řezu. Protože je rovina
řezu kolmá k půdorysně, jsou také dvě další části řezu kolmé k půdorysně. Ty protnou
axonometrický průmět q v průsečících X, Y přímky s tělesem.
A
B
C
D
E
F
G
H
1 2
S
SX
Y
34
x y
z
PQ
Q
q
n
m
q =p1
1
1
Průsečík přímky s hranolem
26
ŘEZ JEHLANU
Příklad: Sestrojte řez jehlanu, který má podstavu v rovině (xy) a vrchol V, rovinou ρ.
Protože podstava jehlanu leží v přímo rovině (xy), průsečnicí roviny řezu a roviny podstavy je půdorysná stopa pρ. Nejdříve sestrojíme průsečík A´ hrany AV s rovinou ρ pomocí krycí přímky s (A´1 = A1V1 ∩ s1). S využitím kolineace se středem V, osou pρ a párem odpovídajících si bodu A, A´, sestrojíme další body řezu (např. D´ ∈ DV a DA ∩ D´A´ ∈ pρ).
x
y
z
m
p
B
CD
V
V1
A
x
y
z
m
p
A = A
B
CD
V
V1
A´
1
B´
C´
D´
n
Řez jehlanu obecnou rovinou
27
Příklad: Sestrojte průsečíky přímky p s pláštěm jehlanu ABCDV , který má podstavu ABCD v
rovině (yz).
Vrcholová rovina ρ je určena přímkou p a vrcholem V jehlanu. Vedeme přímku n
rovnoběžnou (můžeme vést i různoběžku) s přímkou p a procházející vrcholem V - ρ(p, n). Poté
sestrojíme řez jehlanu touto vrcholovou rovinou.
Sestrojíme průsečnici roviny řezu a roviny podstavy. Protože podstava leží v rovině (yz),
sestrojíme nárysnou stopu nρ roviny ρ (sestrojíme nárysné stopníky přímek p, n). Pak určíme
průsečíky X´, Y´ stopy nρ a podstavy jehlanu. Řezem jehlanové plochy vrcholovou rovinou ρ jsou
přímky r, q procházející body X´, Y´ a vrcholem V jehlanu.
Na závěr sestrojíme průsečíky X, Y přímky p s řezem jehlanové plochy vrcholovou
rovinou (přímky r, q).
x
y
z
p
p
A
B
C
D
V
V1
1
x
y
z
p
p
A
B
C
D
V
V1
1
n
n
1
N
N´
X´
Y´
X
Y
r
q
n
Průsečíky přímky s jehlanem
ŘEZ VÁLCE
Příklad: Zobrazte řez válce výšky v, jehož podstava o středu S a poloměru r leží v půdorysně,
obecnou rovinou .
Body elipsy, v níž rovina řezu protíná plášť válce, sestrojíme pomocí vhodně volených
směrových rovin. Jednou z nich je rovina která prochází osou o válce a je kolmá k rovině řezu
(S ∊ p ‖ x, n ‖ z). Podle této roviny je souměrný jak válec, tak i jeho řez rovinou Průsečnice s
rovin a je hlavní osou elipsy (s = PN, P ∊ p ∩ p, N ∊ n ∩ n). Přímka s protíná osu válce ve
středu 𝑆 elipsy a plášť válce v hlavních vrcholech A, B elipsy (𝑆1 = 𝑆, 𝑆 ∈ 𝑜 ∩ 𝑠, {𝐴1, 𝐵1} ∈ 𝑝λ ∩
𝑘, 𝐴1 ∈ 𝑎 ‖ 𝑜, 𝐵1 ∈ 𝑏 ‖𝑜, 𝐴 ∈ 𝑎 ∩ 𝑠, 𝐵 ∈ 𝑏 ∩ 𝑠).
28
Vedlejší osa elipsy leží v rovině řezu na přímce h ⊥ s procházející bodem 𝑆 (𝑆 ∈
ℎ ‖ 𝑝α, 𝑆1 ∈ ℎ1 ‖ 𝑝α). Vedlejší vrcholy C, D určíme pomocí směrové roviny procházející
přímkou h (𝑝κ = ℎ1, {𝐶1, 𝐷1} ∈ 𝑝κ ∩ 𝑘, 𝐶1 ∈ 𝑐 ‖ 𝑜, 𝐷1 ∈ 𝑑 ‖𝑜, 𝐶 ∈ 𝑐 ∩ ℎ, 𝐷 ∈ 𝑑 ∩ ℎ). Úsečky AB,
CD jsou pro elipsu, která je axonometrickým obrazem řezu, sdruženými průměry. Z nich můžeme
elipsu sestrojit užitím Rytzovy konstrukce.
Body T, T´ na obrysu válce určíme pomocí směrové roviny procházející obrysovými
stranami t, t´ válce (𝑆 ∈ 𝑝τ ⊥ 𝑜, 𝑞1 = 𝑝τ, 𝑃´ ∈ 𝑝τ ∩ 𝑝α, případně 𝑁´ ∈ 𝑛τ ∩ 𝑛α, 𝑞 = 𝑃´𝑆, 𝑇 ∈ 𝑡 ∩
𝑞, 𝑇´ ∈ 𝑡´ ∩ 𝑞).
p
p =q
n
n
m
h =p
N
N
N´
N´
s
q
z
yx
PA
Aa
B
B
b
h
D
D
C
C
S´
o
S=S
Sc
d
t t´
P´
s =p
T
T´
k´
k
n
_
_
1 1
11
1
1
1
1
11
Řez válce rovinou
Příklad: Sestrojte průsečíky přímky p s pláštěm válce, který má podstavu v rovině (xy).
Vrcholová rovina ρ je určena přímkou p a je rovnoběžná s osou válce (vedeme přímku n
různoběžnou s přímkou p a rovnoběžnou s osou o – ρ = (p, n).
Sestrojíme řez válce vrcholovou rovinou. Určíme průsečnici roviny řezu a roviny
podstavy. Protože podstava leží v rovině (xy), sestrojíme půdorysnou stopu pρ roviny ρ
(sestrojíme půdorysné stopníky přímek p, n). Určíme průsečíky X´, Y´ stopy pρ a podstavy válce.
Řezem válcové plochy vrcholovou rovinou ρ jsou přímky r, q procházející body X´, Y´ a
rovnoběžné s osou o válce. Průsečíky X, Y přímky p s řezem válcové plochy vrcholovou rovinou
(přímky r, q) jsou průsečíky přímky s válcem.
29
x y
z
p
p
1
S´
S
P
S1
x y
z
p
p
1
nS´
S
1n
PP´
S1
p
Průsečíky přímky s válcem
ŘEZ KUŽELE
Příklad: Zobrazte průsečíky dané přímky p s kruhovým kuželem, jehož podstava leží v půdorysně.
Zdánlivý obrys kužele dostaneme, vedeme-li z průmětu vrcholu V tečny k průmětu
podstavy.
Abychom rozhodli o vzájemné poloze přímky p a kužele, najdeme řez kužele vrcholovou
rovinou = (Vp). Vrcholem V vedeme přímku p´ ‖ p (V ∊ p´ ‖ p, V1 ∊ p1´ ‖ p1) a stanovíme
průsečíky přímek p, p´ s rovinou podstavy. Půdorysná stopa vrcholové roviny protíná podstavu
v bodech K, L, tedy řezem je trojúhelník VKL. Společné body přímky p a obvodu trojúhelníku jsou
body X, P.
30
x
y
z
V
V
P´=P´
p´
p´
p
p
p
X
Y
P=P
K
L1
1
1
1
k=k11
Průsečíky přímky s kuželem
Příklad: Zobrazte eliptický řez rotačního kužele o vrcholu V, jehož kruhová podstava k´ leží
v půdorysně.
Rovina řezu není vrcholová a její půdorysná stopa nemá s podstavou kužele žádný
společný bod. Řezem tedy musí být elipsa.
V průmětu stačí tedy ve středové kolineaci určené středem V, osou p a úběžnicí p´
k elipse k´ sestrojit odpovídající elipsu k. Pro elipsu k stanovíme dvojici sdružených průměrů.
Na elipse k´ určíme dotykové body A´, B´ tečen rovnoběžných s osou kolineace p.
K průměru p´=A´B´ elipsy k´ najdeme odpovídající přímku p = AB. Bod p´ ∩ p je samodružný,
bodu U´= p´ ∩ u´ odpovídá nevlastní bod U∞ přímky p, tedy VU´ určuje směr přímky p.
Protože tečny elipsy k´ v bodech A´, B´ jsou rovnoběžné s osou kolineace, jsou také tečny
elipsy k v odpovídajících bodech A, B s ní rovnoběžné, a tedy p je průměr elipsy k. Sdružený
průměr q ‖ p prochází středem O elipsy k, tedy středem úsečky AB. Omezíme jej takto: k O
najdeme odpovídající bod O´ ∊ p´, jím vedeme přímku q ‖ p´ odpovídající průměru q, a ke
krajním bodům C´, D´ tětivy q´ v elipse k´ najdeme kolineárně odpovídající body C, D na q. Elipsa
k je určena dvojicí sdružených průměrů AB, CD.
Body K, L v nichž se elipsa dotýká zdánlivého obrysu kuželové plochy, sestrojíme jako
body kolineárně sdružené s body K´, L´, v nichž se obrysu dotýká elipsa k´.
31
A´
A
p =u´x
m
y
z
p
B
B´
C
DC´
D´
O´
O
K
L
K´ L´
V
Vp´
p
k
k´
U´
U
q´
q
1
8
n
´
Eliptický řez kužele
Příklad: V pravoúhlé axonometrii zobrazte parabolický řez rotačního kužele o vrcholu V, jehož
kruhová podstava k´ leží v půdorysně.
Rovina řezu je volena tak, aby s ní rovnoběžná vrcholová rovina ´ byla tečnou rovinou
kuželové plochy. Půdorysná stopa p´ se dotýká k´. Pro parabolu k stanovíme osu a vrcholovou
tečnu.
Směr osy paraboly k je určen přímkou VU´ (U´ je dotykový bod úběžnice u´ a elipsy k´).
Kolmice bodem V k VU´ stanoví na u´ úběžník W´ vrcholové tečny, a tedy tečna a´≠ u´ vedená
bodem W´ k elipse k´ odpovídá vrcholové tečně a paraboly. Její dotykový bod A´ odpovídá
vrcholu paraboly A. Protože odpovídající si přímky se protínají na ose kolineace a odpovídající si
body leží na přímce jdoucí středem kolineace, můžeme již snadno najít vrcholovou tečnu a i
vrchol A. Osa paraboly AU∞ se musí protínat s kolineárně sdruženou přímkou A´U´ na ose
kolinace p
Protože průsečíky X´, Y´ osy kolineace p s elipsou k´ jsou samodružné, jsou body X=X´,
Y=Y´ body paraboly k. Parabola k je tedy určena (osou AU∞, vrcholem A, dalším bodem X).
Body K, L, v nichž se parabola k dotýká zdánlivého obrysu plochy, sestrojíme jako body
kolineárně sdružené s body K´, L´, v nichž se obrysu dotýká elipsa k´.
32
p =u´x
m
y
z
p
V
V
U
1
8
´
m´
W´
A´
A
a´
a
X = X´
Y = Y´
K´
K
L´U´
k
k´
Parabolický řez kužele
Příklad: V pravoúhlé axonometrii zobrazte hyperbolický řez kruhového kužele o vrcholu V, jehož
podstava k´ leží v půdorysně.
Protože půdorysná stopa p´ vrcholové roviny ´ ‖ protíná k´ v různých bodech M´, N´,
řezem je hyperbola k.
Směry asymptot jsou dány přímkami VM´, VN´. Protože dále asymptoty m, n odpovídají
tečná m´, n´ elipsy k´ v bodech M´, N´, můžeme je snadno sestrojit (průsečíky m a m´, n a n´ jsou
body osy kolineace p). Hyperbola k je určena asymptotami m, n a např. jedním z průsečíků
X = X´, Y = Y´ osy kolineace s elipsou k´. K ose souměrnosti p přímek m, n je určena kolineárně
sdružená přímka p´. Jejím průsečíkům A´, B´ s k´ odpovídající vrcholy A, B hyperboly k.
Body dotyku K, L hyperboly k a zdánlivého obrysu kuželové plochy stanovíme jako
v předchozích příkladech.
33
p =u´x
n
yp
V
´
O
O´
z
n ´
M´
N´k´
k
VX=X´Y=Y´
nm
M
8
N
8
m´n´
B´
A´
A
K´
K
Lp´
p
Hyperbolický řez kužele