prÁctica 1: estudio de la movilidad y el Ángulo de

TEORÍA DE MÁQUINAS Y MECANISMOS. PRÁCTICA 1.

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PRÁCTICA 1: ESTUDIO DE LA MOVILIDAD Y EL ÁNGULO DE TRANSMISIÓN.

RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE POSICIÓN EN UN MECANISMO PLANO.

ÍNDICE

1. Ley de Grashof

2. Planteamiento y resolución del problema de posición de un mecanismo plano

3. Ángulo de transmisión

4. Descripción del equipo de prácticas

5. Realización de la práctica

a. Selección de longitudes

b. Selección de velocidad de giro

c. Fijación de la posición inicial

d. Uso de la aplicación

e. Estudio experimental

f. Estudio analítico


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LEY DE GRASHOF

Dado que la conducción de un mecanismo se efectúa, por lo general, desde un motor

con movimiento circular, las condiciones para que una barra de vueltas completas son

interesantes de conocer. Grashof dedujo en 1.883 las condiciones de rotabilidad para el

cuadrilátero articulado. Sean a, b, c, d las longitudes de las cuatro barras, ordenadas

de menor a mayor: 𝑎 < 𝑏 < 𝑐 < 𝑑

En un cuadrilátero articulado son posibles tres formas de conexión entre las barras, tal

como se muestra en la figura siguiente.

Figura 1

Para la configuración a1, la barra de longitud 𝑎 dará

vueltas completas alrededor de la barra de longitud 𝑑,

si logra ocupar las posiciones en las que producen los

triángulos de lado más largo y más corto (Figura 2). Por

tanto, deben cumplirse las relaciones:

(1)a d b c

(2)a d c b

(3)d a b c

(4)d a c b

El cumplimiento de las tres últimas condiciones es automático, quedando sólo el

cumplimiento de la primera para que la barra de longitud 𝑎 dé vueltas completas

alrededor de la de longitud 𝑑 en la disposición a1.

Repitiendo exactamente el razonamiento anterior, para las disposiciones a2 y b1, se

llega al mismo resultado dado por la expresión (1). Este conjunto de resultados permite,

por tanto, enunciar la primera ley de Grashof:

Figura 2


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“La barra más corta de un mecanismo de cuatro barras da vueltas completas

respecto de todas las demás, si se verifica que la suma de las longitudes de la

barra más larga y más corta es menor que la suma de las otras dos”.

Si no se verifica la condición de esta ley, la barra más corta no da vueltas completas

alrededor de todas las demás y, con mayor motivo, las restantes barras tampoco dan

vueltas completas, es decir, todas oscilan entre sí.

Si se verifica la condición de Grashof, sólo la barra más corta da vueltas completas,

mientras que el resto sólo pueden oscilar entre sí. Así, en la figura a1, para conseguir

que la barra de longitud 𝑐 de vueltas completas alrededor de la barra de longitud d, debe

poder situarse alineada con ella, para lo cual sería necesario que se cumpliera entre

otras: abdc

lo que es imposible. Luego la barra “c” no puede dar vueltas completas alrededor de

“d”.

En forma similar, para que “b” pueda dar vueltas alrededor de “c”, debe cumplirse entre

otras la condición:

adbc

que tampoco es posible. Por tanto, si “b” no puede dar vueltas completas sobre “c” y

esta última no puede darlas respecto de “d”, la barra “b” no dará vueltas sobre “d”.

Para las otras configuraciones, se llega a conclusiones similares si se realizan

razonamientos como los que se han hecho para la primera configuración. Por tanto si se

verifica la condición de Grashof las barras “b”, “c” y “d” pueden sólo oscilar unas respecto

a otras.

Para un mecanismo que cumpla la ley de Grashof, se obtendrán los siguientes

mecanismos en función de la inversión elegida:

a) Si la barra fija es contigua a la más corta, el mecanismo será de manivela-

balancín.

b) Si se fija la barra más corta, el mecanismo es de doble manivela.

c) Si el eslabón más corto es el seguidor, se obtiene un balancín-manivela

d) Fijando la barra opuesta a la más corta, el mecanismo será de doble balancín.

En este mecanismo es posible la rotación total del acoplador.


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Figura 3

En caso de no cumplirse la condición impuesta por la ecuación (1), todas las inversiones

del mecanismo serán de triple balancín, ya que ninguna barra podrá dar vueltas

alrededor de las demás. En este caso no es posible el movimiento relativo continuo.

El caso límite en el que la desigualdad de la ecuación (1), se convierta en una igualdad:

cbda , se conoce como caso especial de Grashof y todas las inversiones serán

doble-manivela o manivela-balancín, pero tendrán “puntos muertos” dos veces por

revolución de la manivela de entrada cuando todos los eslabones se vuelven colineales.

En estos puntos, el movimiento de salida se vuelve impredecible ya que puede asumir

cualquiera de dos configuraciones; estos puntos muertos se vencen con dispositivos

adecuados: volantes, diadas, multi-paralelogramos, etc. Un caso especial del anterior

es cuando a = b y c = d. En este caso se pueden obtener los mecanismos de la figura

que se muestra debajo. El eslabonamiento de paralelogramo es muy útil, ya que duplica

exactamente el movimiento rotatorio de la manivela impulsora en la manivela impulsada.

Un empleo común es el acoplamiento de los balancines frotadores de un

limpiaparabrisas de un automóvil. El acoplador del eslabonamiento de paralelogramo

tiene traslación curvilínea y permanece con el mismo ángulo, en tanto que todos sus

puntos describen trayectorias circulares idénticas. Este movimiento paralelogramo se

utiliza con frecuencia en los elevadores traseros de carga de camiones y en robots

industriales. La disposición en cometa, es una doble manivela en la que la manivela más

corta realiza dos revoluciones por cada una de las realizadas por la manivela larga.


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Figura 4

(Nota: para más detalles sobre la ley de Grashof se puede consultar el libro “Síntesis de

mecanismos”, de Justo Nieto).

PROBLEMA DE POSICIÓN EN UN MECANISMO PLANO

Las ecuaciones necesarias para la solución del problema de posición de un mecanismo

plano se obtienen planteando las ecuaciones vectoriales que representan los diferentes

lazos formados por las barras del mecanismo. En el caso de un mecanismo de cuatro

barras articuladas se tiene un solo lazo en el que cada barra se asocia a un vector: 𝒓𝟐, 𝒓𝟑,

𝒓𝟒, 𝒅.

Figura 5

La ecuación vectorial de cierre del lazo será:

𝒓𝟐 + 𝒓𝟑 = 𝒅 + 𝒓𝟒

Denominando a, b, c y d a los módulos de los vectores

𝒓𝟐, 𝒓𝟑, 𝒓𝟒 y 𝒅, respectivamente, la ecuación vectorial da lugar a dos ecuaciones

escalares:

𝑎𝑐𝑜𝑠𝜃2 + 𝑏𝑐𝑜𝑠𝜃3 = 𝑑 + 𝑐𝑐𝑜𝑠𝜃4

𝑎𝑠𝑒𝑛𝜃2 + 𝑏𝑠𝑒𝑛𝜃3 = 𝑐𝑠𝑒𝑛𝜃4

Se trata de un sistema no lineal, pero resoluble, ya que, conocidas las longitudes de las

barras y el ángulo formado por la barra de entrada con la horizontal,𝜃2, tiene sólo dos

incógnitas escalares: 𝜃3 y 𝜃4.


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La resolución de un sistema de ecuaciones no lineales puede abordarse extendiendo

los métodos de aproximaciones sucesivas, tales como Newton-Raphson y sus variantes,

desarrollados para el caso de una única ecuación, al caso de sistemas de n ecuaciones

no lineales con n incógnitas.

Si lo que se desea es obtener la posición de la barra de salida para cada posición de la

barra de entrada, otra opción es aplicar relaciones trigonométricas tales como el

Teorema del Coseno, según el cual:

Figura 6

Haciendo uso de una diagonal intermedia de longitud desconocida m se pueden

establecer las siguientes relaciones:

Figura 7

𝑎2 + 𝑑2 − 2𝑎𝑑 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃2 = 𝑚2

𝑚2 + 𝑑2 − 2𝑚𝑑 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃4𝑖 = 𝑎2 𝜃4𝑖 = cos−1(𝑚2+𝑑2−𝑎2

2𝑚𝑑)

𝑚2 + 𝑐2 − 2𝑚𝑐 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃4𝑠 = 𝑏2𝜃4𝑠 = cos−1(

𝑚2+𝑐2−𝑏2

2𝑚𝑐)

𝜃4 = 𝜃4𝑖 + 𝜃4𝑠


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ÁNGULO DE TRANSMISIÓN

El ángulo de transmisión () es el menor ángulo entre la dirección de la velocidad

absoluta de la barra de salida con la dirección de la velocidad relativa de la barra

transmisora, respecto a la barra de entrada, en el punto de transmisión. Este ángulo

coincide bien con el ángulo formado por la barra transmisora y la barra de salida bien

con su suplementario, el que sea menor de los dos.

Figura 8

A raíz de la definición anterior se deduce que:

• El ángulo de transmisión depende de cuáles sean las barras de entrada y salida

• El ángulo de transmisión depende de la posición

Si se desea obtener el ángulo de transmisión en un mecanismo de 4 barras de

longitudes conocidas y para una posición de la barra de entrada, definida por θ2, se

puede aplicar el teorema del coseno a dos triángulos, usando la diagonal auxiliar m,

como se muestra a continuación:

2

2

22 cos2 madda

222 cos2 mbccb

Combinando las dos ecuaciones se

obtiene:

cos2cos2 22

2

22 bccbadda

Para determinar el ángulo de transmisión más grande y más pequeño en todo el

recorrido se puede alinear la barra de entrada con la barra de tierra en alargue y

solape, como se muestra en las dos figuras siguientes, y volver a aplicar el teorema

del coseno.

Figura 9


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Figura 10

El mejor ángulo de transmisión a lo largo de todo el recorrido de la barra de entrada

será el de 90º, si se da, o el más cercano a él. Y el peor ángulo de transmisión en

todo el recorrido será el más alejado de 90º, ya sea agudo u obtuso.

Si no se puede alinear la barra de entrada con la de tierra será porque se ha

producido un punto muerto y por tanto el ángulo de transmisión habrá alcanzado un

valor de 0º o 180º. En las siguientes figuras se muestra como ejemplo un mecanismo

doble balancín en el que se está conduciendo desde la barra 2.

Figura 11

Un punto muerto es una posición singular en la que no hay transmisión de movimiento

desde la barra conductora a la barra de salida. Esta situación se corresponde con

valores del ángulo de transmisión de 0 o 180.

En un mecanismo biela-manivela-corredera, en el que la barra de entrada sea la

corredera (inversión denominada comúnmente motor) se identifican las siguientes

posiciones singulares:

μ= 180º μ= 0º


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Figura 12


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DESCRIPCIÓN DEL EQUIPO DE PRÁCTICAS

Se dispone de un mecanismo que será accionado mediante un motor de corriente continua. Las

dimensiones de las barras móviles pueden variarse. El motor gira con velocidad angular

aproximadamente constante a lo largo de un ciclo o vuelta completa de la barra de entrada. Esta

velocidad puede seleccionarse en un rango aproximado entre 15 y 20 r.p.m. (entre 1.5 y 2 rad/s).

En cada práctica se deberán fijar unas dimensiones de las barras que permitan dar vueltas

completas a la barra de entrada y se establecerá una velocidad de giro aproximadamente

constante para, como resultado, medir la evolución de la velocidad de giro de la barra de salida

y del par suministrado por el motor.

Accionamiento del equipo

1) Con el sistema parado y el motor desconectado se seleccionan las longitudes efectivas de

las barras, para que la barra de entrada pueda dar vueltas completas.

2) Se aflojan los tornillos y se desplazan las correderas para establecer las longitudes

correspondientes

3) Se aprietan los tornillos

4) Se comprueba de forma manual que la barra de entrada puede dar vueltas completas,

haciendo girar lentamente y con precaución dicha barra

5) Se conecta el encoder a la alimentación

6) Se conecta el motor a la alimentación

7) Se ejecuta la aplicación Simulación mecanismos

8) Se fija la velocidad de giro del motor

9) Se acciona el funcionamiento del mecanismo

REALIZACIÓN DE LA PRÁCTICA

La práctica está diseñada por su realización por un grupo de 10 alumnos. Cada grupo de prácticas deberá

mantener los parámetros seleccionados en esta primera práctica (longitudes de las barras y velocidad de

giro del motor) durante el resto de las prácticas, ya que el estudio cinemático y el dinámico deben partir

de tales valores. Así, los grupos creados para la primera práctica deben mantenerse durante todo el curso.

Selección de las longitudes de las barras

Las dimensiones de las barras pueden variarse en los siguientes rangos:

Longitud de la barra fija: 𝐿1 = (80 ± 𝑛 ∙ 10)𝑚𝑚; siendo 𝑛 un nº entero comprendido entre 1 y

6


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Longitud de la barra de entrada: 𝐿2 ∈ [20, 145]𝑚𝑚

Longitud de la barra acopladora: 𝐿3 ∈ [40, 330]𝑚𝑚

Longitud de la barra de salida: 𝐿4 ∈ [190, 330]𝑚𝑚

El primer paso será seleccionar longitudes para cada una de las barras dentro de los rangos anteriores. Se

debe asegurar que se cumple la ley de Grashof puesto que el sistema se acciona mediante un motor y por

lo tanto la barra de entrada debe dar vueltas completas.

Si, por ejemplo, las longitudes establecidas son tales que: 𝐿2 < 𝐿4 < 𝐿3 < 𝐿1, se debe cumplir:

𝐿1 + 𝐿2 ≤ 𝐿3 + 𝐿4

Cada grupo de prácticas deberá mantener las longitudes de las barras que se seleccionen durante el

resto de las prácticas.

Las longitudes de las barras se seleccionarán de forma arbitraria por el profesor de prácticas y será fijada

al inicio de la misma

Una vez fijada las longitudes de las barras se debe hacer girar lentamente la barra de entrada para

comprobar que puede dar vueltas completas.

Selección de la velocidad de giro

Para cada grupo se selecciona una velocidad de giro, comprendida entre 1.5 y 2 rad/s

Uso de la aplicación

Tal como se muestra en la figura 3 la aplicación Simulación mecanismos consta de distintos

botones para accionar o parar el funcionamiento del mecanismo. El uso de la aplicación será el

siguiente:

En primer lugar se deberá seleccionar en que puerto del ordenador se ha conectado el

dispositivo en la ventana Puerto Serie Arduino. Además habrá que seleccionar cuál es el montaje

del experimento con el botón Montaje tal como aparece indicado en aplicación.

Después, se pulsará el botón INICIAR para comenzar el experimento. La aplicación solicitará al

usuario seleccionar en que directorio desea registrar los datos de la simulación y que nombre

desea dar al archivo, teniendo la posibilidad de sobrescribir algún archivo existente.

A continuación, se deberá seleccionar la velocidad deseada de giro de motor, para ello se

utilizarán las fechas que se encuentran junto a la ventana de selección de velocidad. Una vez se

haya elegido la velocidad, se pulsa el botón Velocidad Seleccionada para accionar el mecanismo.


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Durante la simulación se podrá modificar la velocidad de giro del motor mediante las flechas

que se encuentran junto a la ventana de selección de velocidad.

El usuario podrá comenzar a grabar los datos en el archivo seleccionado anteriormente

mediante el botón GRABAR, este botón puede ser pulsado y despulsado en cualquier momento

dando al usuario la posibilidad de grabar los datos que sean interesantes para su experimento.

Cuando desee finalizar la ejecución, simplemente se pulsará el botón PARAR.

Figura 13: Pantalla de la aplicación Simulación mecanismos

Fijar la posición inicial

Se debe colocar el mecanismo en una posición tal que la barra de salida se encuentre en una de sus

posiciones extremas y tomar nota de los ángulos formado por las barras 2 y 4 la posición considerada,

pues será el valor de referencia para el inicio de las medidas experimentales.


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Estudio experimental del mecanismo

1. Al poner en marcha el mecanismo se debe observar el comportamiento del mismo, prestando

atención a:

» Evolución de la velocidad de la barra de entrada. Se observará que una vez alcanzado el régimen

permanente esta velocidad permanece aproximadamente constante. En estas condiciones, la

barra de entrada da vueltas completas a velocidad constante, por lo que el ángulo girado por la

barra es creciente con el tiempo siendo su evolución lineal. Al ser la velocidad de giro constante,

la aceleración angular de la barra de entrada es nula.

» Evolución del ángulo de la barra de salida. Se observará que en cada vuelta de la barra de entrada

la barra de salida va oscilando entre dos posiciones extremas. La frecuencia de la oscilación

dependerá de la velocidad de giro del motor.

» Evolución de la velocidad de la barra de salida. Se observará que la velocidad de la barra de salida

va oscilando de forma sinusoidal, es decir, la aceleración de la barra de salida es distinta de cero.

2. Análisis de los datos de posición adquiridos durante la realización de la práctica.

Durante la realización de la práctica se crea un archivo de datos que contiene 6 columnas, con los

siguientes encabezados:

» Tiempo: es el tiempo transcurrido desde que se puso en marcha el mecanismo. Si, como es

frecuente, se empieza a adquirir una vez alcanzado el régimen permanente el primer instante

de tiempo registrado no se corresponderá con 𝑡 = 0.

» Ángulo barra: es el ángulo, en grados, girado por la barra de salida desde la posición inicial.

Tal como se ha indicado esta posición inicial debe ser una de las posiciones extremas.

» Posición: es un parámetro que no aporta información en la configuración de mecanismo de 4

barras articuladas.

» Velocidad motor: es la velocidad real de la barra de entrada, en rad/s.

» Velocidad salida: es la velocidad real de la barra de entrada, en rad/s.

» Par motor: es el par (𝑁 ∙ 𝑚𝑚) suministrado por el motor en cada instante, no es necesario

su análisis en las primeras prácticas.

Figura 14


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Si se representa el ángulo girado por la barra de salida (columna 2) frente al tiempo (columna 1) tal como

aparecen en el fichero de datos grabados se obtendrá una gráfica del tipo:

En dicha gráfica se puede observar como, tal como se ha mencionado, el primer instante de tiempo no se

corresponde con el instante en que se inicia la grabación y que la evolución mostrada es la del ángulo

girado por la barra, no la posición de la misma.

Si se desea obtener la evolución de la posición de la barra de salida frente al tiempo, desde el instante en

que se inició la grabación se deben manipular los datos adquiridos en la forma necesaria, conociendo el

ángulo formado por la barra de salida en la posición inicial de la que se partió, con lo que se podrá obtener:

La aplicación utilizada adquiere datos a una frecuencia de 1 dato cada 0.3 s, por lo que la distribución de

datos es:

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

0 10 20 30 40 50 60 70

Ángulo girado por la barra de salida ()

0

20

40

60

80

100

120

0 5 10 15 20 25 30

Posición de la barra de salida ()


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Del ejemplo mostrado en la gráfica anterior se puede deducir que la velocidad de giro es

aproximadamente 2 rad/s, puesto que la barra de entrada ha girado 2𝜋 rad en 3 s, es decir en el tiempo

en que la barra de salida realiza una oscilación.

Para obtener la evolución de la posición de la barra de entrada se debe partir de la posición de dicha barra

en el instante inicial, y calcular su posición a partir de la velocidad de giro en cada instante.

5,1; 35,88 8,1; 35,88

0

20

40

60

80

100

120

0 5 10 15 20 25 30

Ángulo barra de salida

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

0 5 10 15 20 25 30

Velocidad motor (rad/s)


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Estudio analítico del mecanismo

1. Para realizar el estudio analítico del mecanismo se debe resolver el problema de posición en varias

posiciones:

» Posición del mecanismo cuando la barra de entrada y el acoplador están alineados. Se debe

calcular el ángulo formado por las barras 2 y 4 con la horizontal.

» Posición del mecanismo cuando las barras de entrada y la acopladora están superpuestas. Se

debe calcular el ángulo formado por las barras 2 y 4 con la horizontal.

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

Ángulo barra entrada ()

Posición inicial del ciclo (P1)

Posición final del ciclo (P10)

Figura 15

Figura 16


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» Establecer 6 posiciones obtenidas incrementando sucesivamente 60 la barra de entrada desde

la posición inicial. En cada una de ellas se debe obtener la posición de la barra de salida.

» Fijar las posiciones en las que la barra de entrada forma 0 y 180 con la horizontal. Se debe

calcular el ángulo formado por las barras 3 y 4 con la horizontal, en cada caso.

NOTA: Se pretende que cada alumno del grupo resuelva un problema de posición.

2. Elaborar una tabla en la que aparezca ángulo de la barra de entrada y ángulo de la barra de salida,

ordenada en orden creciente de la barra de entrada.

Posición (P2)

Posición (P3)

Posición (PD)

Posición (PI)

Figura 17

Figura 18

Figura 19

Figura 20


P á g i n a | 18

3. Haciendo uso de la velocidad de giro de la barra de entrada que se haya utilizado, representar la

posición de la barra de salida frente al tiempo

4. Superponer las gráficas analítica y experimental.

Para realizar la representación gráfica de los valores analíticos frente al tiempo se debe tener en cuenta

que con la velocidad de giro establecida un incremento de 60 (𝜋

3𝑟𝑎𝑑) en la barra de entrada se produce

cada intervalo de 𝜋

3𝜔21 s.

5. Calcular el ángulo de transmisión en cada una de las posiciones consideradas.

Hacer una tabla del ángulo de transmisión en cada posición de la barra de entrada y realizar su

representación gráfica


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Se debe comprobar que el mayor y el menor ángulo de transmisión obtenidos corresponden

efectivamente a valore de 180 y 0 respectivamente.

0

20

40

60

80

100

120

140

0 5 10 15 20 25 30 35

Ángulo de transmisión ()

0

20

40

60

80

100

120

140

0 50 100 150 200 250 300 350 400

Ángulo de transmisión / ángulo barra entrada

prÁctica 1: estudio de la movilidad y el Ángulo de

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