práctica 8. integración de funciones de tres variables...
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Práctica 8. Integración defunciones de tres variables.Cambio de variable acoordenadas esféricas ycilíndricas.
Análisis Matemático II. Departamento de Matemáticas.Diplomatura en Estadística / Ingeniería Técnica de Informática de Gestión
Ejemplo 1. Plantear una integral triple para calcular el volum endel sólido acotado por el paraboloide z = 9 - x2 - y2 y el planoz = 0.
Representamos gráficamente el sólido
In[1]:= Clear @"Global` ∗" DContourPlot3D @z == 9 − x^2 − y^2, 8x, −4, 4 <, 8y, −4, 4 <, 8z, 0, 9 <D
Out[2]=
Veamos la proyección del sólido sobre el plano XY
In[3]:= ContourPlot A9 − x2 − y 2 � 0, 8x, −4, 4 <, 8y, −4, 4 <E
Out[3]=
-4 -2 0 2 4
-4
-2
0
2
4
Se trata del círculo de centro el origen y radio 3. Una integral triple que nos da el volumen es
2 Practica8_Integrales_triples.nb
In[4]:= Solve @9 − x ^2 − y ^2 � 0, y D
Out[4]= ::y → − 9 − x2 >, :y → 9 − x2 >>
In[5]:= ‡−3
3
‡− 9−x^2
9−x^2
‡0
9−x^2 −y^2
1 �z �y �x
Out[5]=81 π
2
Ejemplo 2. Calcular la integral Ÿ-22 Ÿ
- 4-x2
4-x2 Ÿx2+y 24 x2 ‚ z ‚ y ‚ x
usando coordenadas cilíndricas.
ü Representamos gráficamente el sólido sobre el que e stamos integrando:
In[6]:= Clear @"Global` ∗" DContourPlot3D @z == x^2 + y ^2, 8x, −2, 2 <, 8y, −2, 2 <, 8z, 0, 4 <D
Out[7]=
Calculamos la integral triple en coordenadas rectangulares:
In[8]:= ‡-2
2
‡- 4-x2
4-x2
‡x2+y2
4
x2 ‚ z ‚ y ‚ x
Out[8]=16 π
3
Practica8_Integrales_triples.nb 3
El dominio de integración en coordenadas cilíndrica s se escribe como: 0 £ q £ 2 p, 0 £ r £ 2, x2 + y 2 = r 2 £ z £ 4.
In[9]:= Clear @"Global` ∗" DRevolutionPlot3D Ar 2, 8r, 0, 2 <, 8θ, 0, 2 π<E
Out[10]=
Hacemos el cambio de variable a coordenadas cilíndricas:
In[11]:= ‡0
2 π
‡0
2
‡r 2
4
Hr ∗ Cos@θDL2∗ r �z � r �θ
Out[11]=16 π
3
Ejemplo 3. Considerar el sólido acotado por la esferax2 + y2 + z2 = 8 en el segundo octante (x £0, y≥0, z≥0). Hallar elvolumen del sólido usando coordenadas esféricas.
El dominio de integración en coordenadas esféricas es p ê2§ q § p, 0§ f § p ê2, 0§ r § 8
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In[12]:= SphericalPlot3D B 8 , 8φ, 0, π ê 2<, 8θ, π ê 2, π<, AxesLabel −> 8Eje X, Eje Y, Eje Z <F
Out[12]=
Hacemos el cambio de variable a coordenadas esféricas:
In[13]:= ‡πê2
π
‡0
πê2
‡0
8 Iρ2 ∗ Sin @φDM �ρ �φ �θ
Out[13]=8 2 π
3
Ejemplo 4. Utilizar coordenadas esféricas para calcular elvolumen del toro dado por r=4 sen(f).
El dominio de integración en coordenadas esféricas es 0 § q § 2 p, 0§ f § p, 0§ r § 4 senHfL
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In[14]:= Clear @"Global` ∗" DSphericalPlot3D @4 Sin @φD, 8φ, 0, π<, 8θ, 0, 2 π<D
Out[15]=
Calculamos el volumen usando coordenadas esféricas:
In[16]:= ‡0
2 π
‡0
π
‡0
4 Sin @φDIρ2 ∗ Sin @φDM �ρ �φ �θ
Out[16]= 16 π2
Ejercicios propuestosEjercicio 1 Plantear una integral triple para calcular el volum endel sólido que es el interior común bajo la esferax2 + y2 + z2 = 80 y sobre el paraboloide z = Ix2 + y2M ë2.
Ejercicio 2. Hallar la región sólida Q donde la integral triple
Ÿ Ÿ ŸQI1 - x2 - y2 - z2M ‚ V alcanza su valor máximo. ¿Cuál es
ese valor máximo?
Ejercicio 3. Convertir la integral Ÿ-22 Ÿ
- 4-x2
4-x2 Ÿx2+y 24 x ‚ z ‚ y ‚ x de
coordenadas rectangulares a coordenadas esféricas.
Ejercicio 4. Considerar el sólido acotado inferiormente por el
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plano z = 2 y superiormente por la esfera x2 + y2 + z2 = 8.Hallar el volumen del sólido usando coordenadas cil índricas.
Ejercicio 5. Utilizar coordenadas esféricas para calcular elvolumen del sólido comprendido entre lasesferas x2 + y2 + z2 = a2, x2 + y2 + z2 = b2, b > a, e interior alcono z2 = x2 + y2.
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