SVEUILITE U ZAGREBUGEOTEHNIKI FAKULTET

Prof. dr.sc. dr.h.c. Mladen Kranjec

Predavanja iz Osnova Hidraulike(nekorigirani prijepis koncepata nastavnika i biljeki studenata s predavanja)

Varadin, 1989. -1994., 2008, 2009.

Gdje je to

Hidraulika primijenjena znanost o zakonima gibanja i mehanike ravnotee tekuina te nainima primjene tih zakona na rjeavanje zadataka u inenjerskoj praksi.

2

3

Osnovna jednadba hidrostatikePromatra se element fluida sa duinama bridova dx, dy i dz, koji miruje s obzirom na koordinatni sustav prikazan crteom 1. Koordinatni sustav neka je u polju sile tee i neka se giba ubrzano r akceleracijom a s obzirom na neki inercijski sustav. Crte 1. Efektivna masena sila koja djeluje na promatrani element fluida iznosi:

4

r v r v v FB = ( g a )dm = g ef dm = g ef dxdydzPovrinska sila koja djeluje na element fluida u y-smjeru:

r r r p r p ( FS ) y = j p j ( p + dy ) dxdy = j dxdydz y y Analogni izrazi dobivaju se za preostala dva smjera:

r p r r r p ( FS ) x = i dxdydz ; ( FS ) z = k dxdydz x zSumirajui komponente povrinskih sila, ukupna povrinska sila koja djeluje na promatrani element fluida je:

r r p r p r p FS = i x + j y + k z dxdydz = pdxdydz . Ukupna sila koja djeluje na element fluida jednaka je nuli (element fluida miruje u promatranom koordinatnom sustavu).

r r r r F = FB + FS = g ef dxdydz pdxdydz = 0r p = g ef Posljednja jednadba naziva se osnovna jednadba hidrostatike.

5

r r k i

r a

Primjer: Na kolicima lei rezervoar oblika kocke, potpuno ispunjen vodom (crte 2.). Kolica se gibaju sa konstantnim r ubrzanjem a . Odredite tlak na dubini h u toki A udaljenoj od prednje stijenke za l, ako je rezervoar s gornje strane hermetiki zatvoren (pri jednolikom gibanju poklopac rezervoara ne tlai vodu).

Crte 2.

Polazimo od osnovne jednadbe hodrostatike

r p = g efu kojoj je u ovom sluaju fektivna jakost poja jednaka zbroju jakosti polja sile tee i polja centrifugalne sile,

r r r r r g ef = g a = kg ai .r r p r p r p r i + j + k = ( k g ai ) z x y p p p = a , = 0; = g x y z

6

Nestlaivi fluid u rotirajuem neinercijskom referentnom sustavu (cilindrinekoordinate)Variranje tlaka u fluidu, izazvano masenim (volumnim) silama koje se pojavljuju u rotirajuem neinercijskom sustavu, moe se izraunati na slian nain kao i u sluaju linearno ubrzanog neinercijskog sustava. Radi jednostavnosti, nae razmatranje ograniiti emo na situaciju kada fluid miruje s obzirom na neinercijalni koordinatni sustav, koji rotira sa r konstantnom kutnom brzinom . Openito, u rotirajuem neinercijskom koordinatnom sustavu pojavljuju se tri inercijske sile: centrifugalna sila, Coriolisova sila i inercijska sila zbog eventualnog kutnog ubrzanja. No, budui da smo se ograniili na sluaj fluida koji miruje u rotirajuem neinercijskom sustavu, Coriolisova sila se ne pojavljuje, a kako je kutna r brzina konstantna, to je jedina inercijska sila koja se pojavljuje centrifugalna sila. Neka posuda s fluidom rotira oko osi z. Za kutnu brzinu i vektor poloaja r r moe se pisati: (16) = k , r = r0 + zk , r r gdje su 0 i k jedinini vektori cilindrinog koordinatnog sustava.r r r r rr

7

Crte 3. Ubrzanje estice fluida udaljene za r od osi vrtnje iznosi (crte 41.): a = ( r ) =

r

r

r r r

= ( r 0 ) = r 2 0a jednadba ravnotee za element fluida poprima oblik:

r

r

r

(17)

p =

r r p r p r r r 0 + k = ( g a ) = r 2 0 + gk , r z p = r 2 , r p = g z

(

)

(18)

odakle:

(19)

Integrirajui prvu jednadbu po r, drei z konstantnim, slijedi:

p=

1 2 2 r + f ( z ) 2

(20)

gdje je f(z) nepoznata funkcija koju tek treba odrediti. Derivirajui posljednji rezultat po z i usporeujui ga sa relacijom (19), dobiva se:

8

p = f '( Z ) = g . z Ili: f ( Z ) = gz + C gdje je C konstanta. Sada se izraz (21) moe pisati kao: (21)

1 p = C gz + r 2 2 2Konstanta C odrediti e se iz uvjeta:p = p 0 za (r,z)=(0,0)

(22)

to za C daje: C = p0 (23)

p+

p dx x

r r r r F = Fx i + Fy j + Fz k

Crte 4.r F = sila na jedinicu mase [Nkg-1].

r r Ravnotea: F = 0 du x - osi:

9

p dxdydz + Fx dxdydz = 0 x p = Fx x

Analogno:

p p = Fz (Eulerove jednadbe) = Fy ; z y

r p = F Ili, na drugi nain: dp = p p p dx + dy + dz . x y z dp = p p p dx + dy + dz x y z

dp = ( Fx dx + Fy dy + Fz dz )dp = Fx dx + Fy dy + Fz dz

r r r r Fcf = m 2 r = m 2 ( xi + yj ) ,

r r

r Fcf

tako da je: Fx = 2x; Fy = 2y; Fz = -g. Dakle:

Crte 5.p

dp = [2(xdx + ydy) - gdz];y z x dp = 2 xdx + 2 ydy g dz p 0 0 0 0

10

Tako se za konanu distribuciju tlaka dobiva:

p p0 =

2 ( x 2 + y 2 ) 2 gz 2(24)

1 p( z,r ) = po gz + r 2 2 2

Tlak je linearan u z i parabolian u r. eli li se nacrtati ploha jednakog tlaka, npr. za p(z,r) = p1, iz izraza (24) dobiva se:z= p0 p1 r 2 2 + = A + Br 2 2g g

(25)

Iz izraza (25) vidi se da su plohe jednakog tlaka rotacioni paraboloidi ''konkavni prema dolje'', sa tokom minimuma na osi vrtnje (crte 44.).

Crte 6.

11

Primjer: Odredite razliku nivoa izmeu vanjske i unutranje obale kanala pravokutnog poprenog presjeka, ako protok, pri karakteristikama poprenog presjeka prikazanim na crteu 45., iznosi Q = 360 m3s-1.p0 p1 r 22 . + z ( p1 , r ) = 2g g

Na povrini kanala p1 = p0, te je: Crte 45.z= r 2 2 2g

2 2 (r2 r12 ). z = z ( r2 ) z ( r1 ) = 2g

r1 = R B/2; r2 = R + B/2;

v = , r

1 r R = (r1 + r2 ) ; 2

Q = Sv

12

=2 2

2Q 1 S r1 + r22 2

4 Q ( r2 r1 ) 2 Q (r r ) z = = 2 1 2 2 S g ( r1 + r2 ) g S ( r2 + r1 ) 360 m 3 s 1 2 30 m z = 2 2 9, 81 ms 90 m (175 + 145) m

= 0, 31 m

13

Tlana sila na ravne povrineU inenjerskoj praksi vano je znati ukupnu tlanu silu kojom samo tekuina zbog vlastite teine djeluje na povrinu od interesa: na ravnu stjenku spremnika za tekuinu, plou ventila na vodenoj brani, ... Sluaj izraunavanja iznosa tlane sile, na primjer, na horizontalno dno cilindrine posude s iznosom povrine dna jednakim S i napunjene do visine h mirnom tekuinom gustoe , je trivijalan. Sve toke dna posude nalaze se na istoj dubini h i sve su jednako tlaene mirnom tekuinom. Ukoliko je posuda otvorena prema atmosferi tako da je povrina tekuine u njoj okomito tlaena tlakom iznosa p0 1, tada je iznos ukupne tlane sile okomite na njezino dno jednak (Pascalov princip!),

P = ( p0 + gh) S . [N]

(1)

Crte 1. Bez obzira na oblik (cjevstih)posuda tlak u tekuini u tokama tekuine koje lee na pravcu abc je jednak

Fotografija 1

koji se, openito, moe razlikovati od lokalnog atmosferskog tlaka p a ukoliko je prostor iznad tekuine evakuiran ili u njemu vlada tlak vii od atmosferskog, 14

1

Promatrajmo sada ravnu stjenku uronjenu u tekuinu pri emu je ravna stjenka nagnuta pod kutom prema vodoravlju (crte 2). Linija OK u kojoj kosa stjenka presijeca vertikalnu stjenku, naziva se linija omoenja. Na kosoj stjenki istaknuta ovalna kontura moe biti dio nagnute stjenke rezervoara ili, kao to emo kasnije vidjeti, ploa ventila za ispranjavanje rezervoara. U velikom broju sluajeva druga strana konture zna biti otvorena prema atmosferi, tako da se u tim sluajevima sile atmosferskog tlaka koje djeluje na obje strane konture, ponitavaju. Raun ukupne tlane sile tada se svodi samo na silu koja dolazi od manometarskog tlaka p m (h) ,

p m ( h) = p ( h) p a .

(2)

U sluaju gore spomenute cilindrine posude, iznos na dno posude okomite tlane sile koja dolazi od manometarskog tlaka, jednak jePm = pm (h) S = [ p (h) pa ]S = ( pa + gh pa ) S = ghS = G ,

(3)

tj. jednak je iznosu G sile tee G na tekuinu sadranu u posudi. Pri konstantnoj gustoi tekuine , pri stalnom tlaku p0 na povrini tekuine, stalnoj dubini h i povrini presjeka dna posude, bez obzira na njezin oblik, iznos tlaka na dno ostaje nepromijenjen (crte 1, fotografija 1). Iz isto povijesnih razloga ova injenica naziva se hidrostatiki paradoks, iako u samoj pojavi nema nieg paradoksalnog 2.

r

Vratimo se sluaju stjenke uronjene u tekuinu i nagnutu pod kutom spram horizonta (crte 2). Oito, iznos hidrostatikog tlaka razliit je od toke do toke povrine nagnute konture; manji je u tokama konture koje se nalaze na manjim dubinama h i vei na veim dubinama.

2

Pogledati u odgovarajui visokokolski udbenik iz fizike.

15

Crte 2

Razdijelimo u mislima povrinu S konture na elementarne povrine dS u ijim se granicama iznos hidrostatikog tlaka p moe smatrati konstantnim. r Iznos dP sile dP kojom fluid okomito tlai uoenu elementarnu povrinu dS na dubini h je dP = p(h)dS, pri emu je r p(h) = p0 + gh tako da je dP = [p0 + gh]dS. Iznos P ukupne sile tlaka P na povrinu S konture je,

P = p0 dS + ghdS = p0 S + g sin ldS .S S S

(4)

Integral

ldSS

u (4) je statiki moment povrine S konture s obzirom na

omoenu liniju OK (u anglosaksonskoj literaturi - prvi moment povrine s obzirom na OK). No, budui da vrijedi,

ldS = S lC ,S

(5)

16

gdje je lc udaljenost teita povrine S od omoene linije OK, moemo pisati,

sin ldS = (sin )lc S = hc S ,S

gdje je hC dubina uranjanja teita C omoene povrine S. Time izraz (4) za iznos P ukupne sile tlaka P na povrinu S konture poprima oblik

r

P = ( p0 + ghC ) S ,

(6)

gdje je p0 + ghC iznos tlaka u teitu C konture, jednak srednjoj vrijednosti tlaka na konturi, dok je hc = lC sin vertikalna udaljenost teita konture od slobodne povrine tekuine. Dakle, zakljuujemo:Iznos ukupne tlane sile koja djeluje na povrinu potpuno uronjenu u mirnu homogenu tekuinu jednak je umnoku hidrostatikog tlaka p0 + ghC u teitu C omoene povrine i iznosa povrine S.

Iznos tlane sile Pm na povrinu S koja dolazi od manometarskog tlaka (teine tekuine) jednak je [jednadba (6)],

Pm = P p0 S = ghC S = hC S ,gdje je = g specifina teina tekuine.

(7)

Uoite da su matematike strukture izraza (1) i (6) sline. Razlika je samo u tome to je u izrazu (1) h dubina uranjanja horizontalne plohe, dok u sluaju kose stjenke u izrazu (6) figurira dubina hc uranjanja teita omoene plohe. O ovoj razlici nuno je voditi rauna.

17

Centar tlakar U inenjerskoj praksi veliki interes predstavlja hvatite ukupne tlane sile P koja djeluje na promatranu povrinu uronjenu u mirni fluid. Openito, r pravac djelovanja ukupne sile P ne prolazi teitem C okomito na povrinu; povrinu na koju se sila tlaka odreuje on probada neto nie od toke C, tj. u podruju viih tlakova. Toka presjecita pravca djelovanja ukupne tlane sile s povrinom naziva se centar ili hvatite tlaka (toka O na crteu 2).Poloaj centra tlaka za silu manometarskog tlaka Pm = P - p0S odrediti emo posluivi se jednim od temeljnih teorema mehanike koji glasi:

Moment rezultantne sile s obzirom na proizvoljnu os jednak je sumi momenata komponenti promatrane sile s obzirom na istu os.Dakle, budui da je na svaku elementarnu, beskonano malu povrinu, odgovarajua beskonano mala tlana sila dPm okomita, u skladu s spomenutim teoremom smijemo pisati,

ldPm = Pm lOS

,

(8)

pri emu je lO traena udaljenost centra tlaka O od linije omoenja (crte 2), a Pm = hC S iznos ukupne tlane sile Pm na povrinu S koja dolazi od manometarskog tlaka. Kako je iznos tlane sile koja djeluje okomito na bilo koji element povrine dS na dubini h jednak dPm = hdS , izraz (8) prelazi u,

hldS = hC S lO .S

(8')

Poto je, to (8') dalje piemo,

h = l sin ,

18

sin l 2dS = hC S lOS

I OK sin = hC SlO ,

(9)

gdje je IOK = l 2dS moment tromosti (inercije) povrine S s obzirom na linijuS

omoenja OK (u anglosaksonskoj literaturi I OK nosi naziv - drugi moment povrine s obzirom na OK ili moment tromosti povrine s obzirom na liniju OK). Iz (9), za udaljenost lO centra tlaka O od linije omoenja, slijedi,lO = I OK sin I OK = S hc S lc

(10)

No, zahvaljujui teoremu o paralelnim osima (izraz dajemo bez dokaza njegove istinitost, no podsjeajui, dodue, itatelja na Steinerov teorem u mehanici krutog tijela), smijemo pisati,I OK = I c + Sl c2 ,

(11)

gdje je Ic moment tromosti ovalne povrine na crteu 2 s obzirom na liniju koja paralelno s linijom omoenja OK prolazi teitem C povrine. Uvrtenje (11) u (10), za lO konano daje,

I c + Slc2 I l 0= = lc + c S lc Slc

.

(12)

Vidimo, dakle, kao to je ve reeno, da je centar tlaka O, tj. hvatite ukupne tlane sile manometarskog tlaka na ravnu, s obzirom na pravac koji prolazi tokama C i O, simetrinu povrinu S, smjeten za duinu I c / Sl c nie od teita C promatrane plohe.

19

Grafiki prikaz raspodjele hidrostatikog tlaka du stjenke ili bilo kakve konture

20

Uzmimo da u otvorenoj posudi (spremniku) imamo stjenku uronjenu u fluid i nagnutu pod kutom prema vodoravlju. Posuda je napunjena fluidom, vodom, do visine h. Kako jednadba p(h) = p0 + gh predstavlja jednadbu pravca, to je za njegovo konstruiranje dovoljno znati tlak u dvije toke. Za toku na povrini fluida (h = 0) i za toku na dnu spremnika (h = h) (radei sa manometarskim tlakom, tj., p0 = 0 ), vrijedi,

p1 = 0

,

p2 = gh .

Nanesu li se ove vrijednosti okomito na stjenku s one njezine strane s koje se nalazi fluid, dobiva se trokutasta povrina prikazana na crtei a.). Vlada li na povrini fluida tlak p0 , tada se tlak u svakoj toki povrine poveava za taj iznos [crte b.)]. Dobivena povrina sada ima oblik trapeza. U sluaju okomite stjenke, raspodjela tlaka na njezin dio visine a prikazana je crteom c.). Dobivena povrina opet ima oblik trapeza. Da bi se izraunao oblik analogne povrine u sluaju zakrivljene stjenke, nuno je izraunati tlak u velikom broju toaka stjenke, pri emu se, naravno, dobivene vrijednosti tlaka u promatranim tokama povrine nanose okomito na stjenku. Tako dobivena povrina je oblika prikazanog na crteu d.).

Ukoliko se fluid nalazi s obiju strana stjenke, tada, da bi se nala rezultantna raspodjela tlaka na stjenku [crte e.)], treba nai povrine raspodjele tlaka s obje strane stjenke te ih zbrojiti kao algebarske veliine.rezultantna povrina raspodjele tlaka ima oblik trapeza [crte e.)].21

esto na stjenku djeluju dvije tekuine razliitih gustoa (specifinih teina ). U tom se sluaju povrina raspodjele tlaka sastoji od dva dijela [crte f.)]. Moe se pokazati da je u sluaju stijenke ruronjene u fluid pod kutom prema vodoravlju, iznos F ukupne tlane sile F na stjenku jednak umnoku povrine raspodjele tlaka S RT (povrine trokuta, trapeza,) i irine b stjenke,

F = bS RT .

22

23

24

Rijeeni primjeri i zadaci za samostalni radPrimjer 1. Odredite omjer H/B za branu prikazanu na crteu 3. tako da iznos momenta prevrtanja s obzirom na toku K iznosi 50 % momenta teine brane s obzirom na istu toku. Gustoa materijala brane je = 2,25 103 kgm-3.

ojom prolazi a linija o na ravninu

Crte 3.

Crte 4.

25

Iznos ukupne sile kojom voda zbog vlastite teine okomito tlai omoenu ravnu plohu brane je H P = hC S = H b , (1) 2 gdje su b duina promatranog dijela brane, a specifina teina vode. Udaljenost lO centra tlaka od linije omoenja dana je izrazoml0 = lc + Ic . Slc

(2)

Poto okomita omoena povrina S = Hb brane ima oblik pravokutnika visine H i duljine b, to je udaljenost lc teita povrine S od linije omoenja jednaka lc =

obzirom na liniju koja paralelno s linijom omoenja prolazi teitem povrine S jednak

H , dok je moment tromosti I c povrine S 2

s

Ic =

posljednjih vrijednosti u (2) za lO daje,lO =

1 1 SH 2 = H 3b (vidi tablice!). Uvrtenje 12 122 H 1 + H= H. 2 6 3

(3)

To znai da krak vodoravne sile P ' s obzirom na toku K iznosi (crte 4),

r

1 d1 = H . 3Iznos sile tee G , koja na masu brane djeluje u njezinom teitu T je,

r

G = MV = MKrak sile tee s obzirom na toku K je,

H B b. 2

26

2 d2 = H. 3Prema zahtjevu u tekstu problema piemo,1 P d1 = G d 2 2

odakle za traeni omjer

H slijedi, Bm H = = 1,5 . B

Primjer 2. a.) Odredite ukupnu tlanu silu kojom voda djeluje na trokutastu povrinu CD 4 m 6 m prikazanu na crteu 1. Vrh trokuta je u toki C.; b.) Odredite poloaj centra tlaka O.

P ' = hC S ,

Crte 1

= g = 9.81ms 2 10 3 kgm 3 = 9.81 10 3 Nm 3 ,2 hC = 3m + 6 sin 450 , 327

S=

1 1 ab = 4m 6m = 12m 2 , 2 2 2 6 sin 450 ) 12m 2 685 kN . 3

P ' = hC S = 9.81 10 3 Nm 3 (3m +

Udaljenost l0 centra tlaka O od linije omoenja izraunati emo iz izraza

l0 = lc +

Ic . Slc

Ili elementarnim diferencijalnim raunom ili uvidom u odgovarajue tablice nalazimo da je moment tromosti I C trokuta oko njegovog teita C dan izrazom

ab 3 IC = = 24m 4 . 36Udaljenost lc teita trokutne povrine od linije omoenja jednaka je,

hc 3m + 4m sin 450 5.83 lc = = = = 8.245m. sin 450 sin 450 sin 450Iznos S trokutne povrine ve nam je poznat. Nakon odgovarajuih uvrtavanja za udaljenost l0 centra tlaka O od linije omoenja, slijedi,

l0 = 8.245m +

24m 4 8.49m . 12m 2 8.245m

28

Primjer 3. a.) Odredite ukupnu tlanu silu kojom voda djeluje na povrinu krune ploe promjera D = 1 m na boku brane (crte 1); b.) Odredite poloaj centra tlaka O.

Crte 1

a.)

P = ghC S = = 10 kgm 3 9.81 ms 2 (1.5 m + 0.5 m sin 60 0 )(0.5 m) 2 14.9 kN .

I 1.5 m + 0 .5 m + b.) l0 = lc + c = Slc sin 60 0

)(0.5 m) 4 1.5 m + 0.5 m 4 0 sin 60

2.254 m.

29

Crte 4

Primjer 4. Vrata iroka b = 1,5 m (crtei 4 i 5.) koja se mogu okretati oko horizontalne osovine O', odravaju se zatvorenima pomou prednapregnute spiralne opruge. Odredite poetnu elastinu silu opruge tako da se vrata otvaraju kad dubina vode dosegne dubinu D = 4 m.

v Iznos R ukupne tlane sile R sa hvatitem u toki O (crte 4) kojom voda zbog vlastite teine tlai omoenu kosu povrinu vrata okomito na ravninu vrata, jednak je

30

Crte R = ( p 0 + ghc ) F . (1)

U (1) manometarski tlak p 0 na dubini D d ispod slobodne povrine vode jednak je p 0 = g ( D d ) , dubina hc teita povrine vrata od razine

D d je hc = d 2 , dok je povrina F vrata jednaka F = bl = b Dakle, (1) piemo,

d . sin 60 0 123 4 4L

R = [ g( D d ) + gd / 2 ]

bd bd = g ( D d ) + d / 2 o sin 60o , sin 60d bd . ) 2 sin 60o

R = g ( D

Udaljenost OC (crte 5) centra sile tlaka od teita C povrine vrata je,

31

lo l c = OC =

Ic F lc

gdje je I c =

1 FL2 moment inercije pravokutne povrine F s obzirom na os 12

1-1 koja prolazi teitem C povrine i paralelna je sa linijom omoenja AA', a lc je udaljenost teita C povrine F od linije omoenja (crte 5.). U promatranom sluaju (crte 4) udaljenost lc jednaka je lc = tako da jed2 1 l0 l c = OC = 12 sin 60 0 1 d D 2.

Dd / 2 sin 60 o

r r Granina vrijednost Fk iznosa elastine sile Fk opruge za koju se vrata r r upravo otvaraju dobiva se iz uvjeta jednakosti momenata sila R i Fk s obzirom na os O'O'. Za iznose ovih po iznosu jednakih no du osi O'O' suprotno orijentiranih momenata sila, piemo,( O' C + CO )R = Fk sin60 o O' E d 1 d2 1 d bd x o + 2 sin60 o 12 sin60 o D d / 2 g( D 2 ) sin600 = sin60 o Fk sin60 bd2 1 d Fk = 1+ g( D d / 2 ) 2 o 2x sin 60 6 Dd / 2 1,5 m ( 2,5 )2 m 2 1 2,5 m 3 3 2 Fk = 1 + 10 kg m 9,81 ms 2,75 m 2 o 2 1 m sin 60 6 2,75 m

Fk = 194,16 kN .

32

Primjer 5. Za isputanje nafte iz rezervoara izveden je otvor dimenzija 100 x 100 mm i preklopni ventil sa kutom. Odredite silu P kojom je potrebno djelovati na lanac u svrhu otvaranja ventila, ako se ovaj nalazi na dubini H = 4 m. Relativna gustoa nafte je 0,9.

Crte 6 Crte 7 Iznos R ukupne sile R kojom nafta zbog vlastite teine okomito tlai kosu povrinu F ventila, iznosi jednak jeR = ( p + H c ) F ,rr

(1)

pri emu je p - hidrostatski tlak na razini gornjeg ruba 1-1 omoene kose ravne povrine ventila po iznosu jednak p = ( H a 2) , = g specifina (zapreminska) teina nafte, Hc - udaljenost teita C povrine od razine u kojoj lei pravac 1-1, a F - iznos povrine omoene povrine ventila. U promatranom sluaju je H c = a / 2, F = a 2 / sin 2 , tako da,33

R = [ ( H a / 2) + a / 2]a 2 H . sin 2

a2 sin 2 (2)

R

=

Udaljenost centra tlaka O od linije omoenja raunamo prema poznatom nam izrazu l0 = lc + Ic , F lc

u kojem je Ic moment inercije omoene povrine F s obzirom na os 2-2 koja prolazi njezinim teitem C i paralelna je sa linijom omoenja (crte 7), a lc je udaljenost teita C povrine F od linije omoenja (crte 7).

F L2 (crte 8.). Kako se u Kao to znamo, za pravokutnik, I c = 12 promatranom sluaju radi o kvadratu ija je duljina stranice jednakaL= a (crte 7), to je sin

Ic =

a4 12 sin 4

Sa crtea 7 vidi se da je H (pravokutni trokut lc = sin O'CC'), tako da je Crte 8.

34

l0 lc =

Ic = Flc

a2 12 sin 4 = . 12 H sin a2 H sin 2 sin

a4

(3)

Crte 9. r Rezultantna tlana sila R djeluje du pravca r nosioca koji je okomit na povrinu F u toki O u kojoj je i hvatite sile R (crte 7). Pravac nosilac r djelovanja vanjske sile P na rub preklopnog ventila prikazan je na crteu 9. r Granina vrijednost iznosa sile r P koja otvara ventil slijedi iz uvjeta r jednakosti iznosa momenata sila P i R s obzirom na os 1-1, tj.

r r v r M PO + M RO = 0 , r r r r r P + r ' R = 0 ,r r odakle za iznose momenata sila P i R slijedir r r r r P = r ' R ,

(4)

35

62+ 7 6 28 7 r8 r r r r r r r r P sin ( P, r ) = r ' R sin ( R, r ' ) . 1 24 4 3cos

(5)

Budui da je

r r =i

a , sin

(6)

a2 r a r ' l c + (l 0 l c ) = + , 2 sin 12 H sin to nakon uvrtenja (2), (6) i (7) u (5) dobivamo, a a 2 H a a2 . = + sin 2 sin 12 H sin sin 2

(7)

P cos

r dakle za iznos P sile P slijedi,P= aH a(a + 6 H ) = sin cos 12 H

0.1m 9.81ms 2 0.9 10 3 kgm 3 4m 0.1m(0.1m + 24m) = = sin( 4) cos( 4) 12 4mP = 354,63 N .

36

Primjer 6. Brana je konstruirana kao tit koji se moe vrtjeti oko osi O'. Odredite poloaj x osi O' tako da podizanje razine vode iznad H = 2 m automatski izaziva prevrtanje brane. Razina vode desno od brane je h = 0,4 m, a = 60o.

Crte 10Iznos R0 l ukupne sile kojom voda lijevo od brane zbog vlastite teine okomito tlai lijevu omoenu kosu ravnu plohu koja ograniava fluid je,

H Hb H 2 b = , Rol = hc F = 2 sin 2 sin

(1)

pri emu se indeks l odnosi na lijevu stranu brane, a b je irina brane. Naravno, i u ovom primjeru odluujui za prevrtanje brane biti e iznosi momenata tlanih sila na lijevu i desnu stranu brane tako da nas pored ukupne sile Rol zanimaju udaljenosti lol i lod centara tlaka na lijevoj i desnoj omoenoj povrini brane.

37

Crte 11 Polazimo od izraza,

lol = lcl +u kojem je (crte 11), lcl = a

Ic , F lcl

H , 2 sin

F=

bH . sin

Kako se radi o pravokutnoj brani za koju je moment tromosti njezine povrine F s obzirom na pravac koji prolazi njenim teitem C jednak 1 H2 1 H3 2 2 , to je I c = b 3 tako da je I c = FL , pri emu je L = 12 sin 12 sin 2 udaljenost lol centra C tlaka od linije omoenja za vodu s lijeve strane brane jednaka,1 H H 3 sin 2 sin , + b 3 lol = 2 sin 12 H sin b H

38

lol =

2 H , 3 sin

(2)

Crte 12. Iznos R0 l ukupne sile kojom voda desno od brane zbog vlastite teine okomito tlai desnu omoenu kosu ravnu plohu koja ograniava fluid je, Rod =

gh 2 b 2 sin

(7)

Udaljenost centra tlaka C od linije omoenja za vodu s desne strane brane je (raun analogan onome raunu lol)

2 h (8) 3 sin Prevrtanje, vrtnja, brane oko osi O'O', zapoeti e u trenutku kada e momenti sila Rol i Rod s obzirom na os vrtnje O'O' postati po iznosu jednaki, tj. lod =

39

Rol d1 = Rod d 2

(9)

Crte 13

Crte 14 Sa crtea 13 vidljivo je da je,

H H 2 H x, d 1= l0 l x = sin 3 sin sin dok crtei 13 i 14 te izraz (8) pokazuju da je,

40

d2 = x

1 h . 3 sin

Uvrtenjem izraza (5) i (7) te d1 i d2 u izraz (9) dobiva se,2 H h h 2 b 2 H H b = x + x 3 sin 2 sin 3 sin sin 2 sin

odakle slijedi,

H 3 h3 , x= 3( H 2 h 2 ) sin ( 2 3 0, 4 3 ) m 3 , = 3(2 2 0, 4 2 ) m 2 sin 60 o= 0,795 m

Crte 17.

Primjer 7. Za regulaciju razine vode u rezervoaru koristi se rotirajui tit, koji otvara pravokutni otvor dimenzija a x b = 150 mm x 150 mm pri zadanoj razini vode H = 3 m u rezervoaru. Odredite poloaj x zglobnice O.

41

Primjer 8. Odredite iznos ukupne sile koja djeluje na poklopac prikazan na crteu. Promjer poklopca je D = 3 m. Gustoa ulja je u = 800kgm 3 , h = 1m, l = 2 m.

Primjer 9. Betonska zapornica (B = 2.4 . 103 kgm-3) ima mogunost vrtnje oko osi O (vidi crte!). Pri kojoj dubini h e se zapornica poeti otvarati?

42

Primjer 10. Pravokutni kanal irine b = 10 m pregraen je vertikalnom branom (vidi crte!). Dubina vode ispred brane je H = 5 m, a iza nje, h = 2 m. Odredite iznos ukupne sile F koja djeluje na branu kao i poloaj njezinog hvatita.

Iznos F1 tlane sile manometarskog tlaka ispred brane je,

F1 = hC Hb = 103 kgm 3 9.81ms 2 2.5m 5m 10m = 1.225 106 N .Centar tlaka sile F1 nalazi se na dubini,bH 3 I H = lC + C = + 12 = ..... = 3.33 m. SlC 2 H bH 2

lOL

Iznos F2 tlane sile manometarskog tlaka iza brane je,

F1 = hC hb = 103 kgm 3 9.81ms 2 1m 2m 10m = 0.196 106 N .Centar tlaka sile F2 nalazi se na dubini,

43

lOD

bh 3 I h = lC + C = + 12 = ..... = 1.33 m. SlC 2 h bh 2

Iznos rezultantne sile koja djeluje na branu je,F = F1 F2 = 1.225 106 N 0.196 106 N = 1.029 106 N .

Hvatite ove sile na plohi brane (udaljenost l hvatita od toke O) nai emo iz uvjeta jednakosti momenata sila F1 i F2 s obzirom na toku O brane,

MO = 0 ,F1 ( H lOL ) F2 (h lOD ) F ' l = 0 ,

gdje je F' sila reakcije na ukupnu, rezultantnu, silu F.l= F1 ( H lOL ) F2 (h lOD ) = ... = 1.86 m. F

44

Ukupna tlana sila (pritisak) na cilindrine povrine. Tijelo tlaka. Centar tlaka.

45

46

Fotografija 2

Fotografija 3 U sluaju odreivanja ukupne tlane sile na ravnu stjenku, hvatite ukupne sile (pritiska) kao i njezin pravac nosilac unaprijed su poznati: hvatite ukupne tlane sile je u centru tlaka, a pravac nosilac sile prolazi centrom tlaka okomito na stjenku. Upravo u tome je razlika pri odreivanju ukupne tlane sile na ravnu i zakrivljenu stjenku: hvatite i pravac nosilac ukupne tlane sile nisu unaprijed poznati, budui da je, kao to znamo, u svakoj toki zakrivljene povrine tlak okomit na beskonano mali okoli te toke, no, od toke do toke promatrane stjenke, pravci du kojeg tlak djeluje su razliiti; pravci47

du kojih fluid tlai razliite toke zakrivljene stjenke nisu meusobno paralelni kao to je to sluaj kod ravne stjenke. Pristup pronalaenju ukupne tlane sile (pritiska) na zakrivljenu stjenku je slijedei: u opem sluaju, odreuju, tri komponente Fx , Fy i Fz pritiska koje su paralelne s koordinatnim osima Kartezijevog sustava. Kako su u irokom podruju tehnike prakse hidrostatikom tlaku tekuina najee podvrgnute najrazliitije cilindrine povrine (stjenke cijevi, stjenke razliitih cilindrinih spremnika, sektorske ustave brana, itd.), to je u tom sluaju dovoljno odrediti samo dvije skalarne komponente, vodoravnu FY i okomitu FZ (crte 18). Mi emo se stoga usredotoiti na izraunavanje ukupne tlane sile P kojom mirna tekuina tlai cilindrinu stjenku kao i na pronalaenje njezinog hvatita na toj stjenci. Promotrimo sluaj tanke etvrtcilindrine stjenke ABCD prikazane na crteu 18 koju tekuina tlai s njezine lijeve strane. Da bi izraunali skalarne na komponente P i PZ ukupne tlane sile Y etvrtcilindrinu stjenku ABCD, raspravit emo uvjete ravnotee volumena AA1BCC1D tekuine koja je s desne strane omeena etvrtcilindrinom stjenkom, s lijeve strane okomitom plohom A1BCC1 , a odozdo vodoravnom plohom AA1DC1.

r

r r r P = PY j + PZ k

r r r No, prije nego to zaponemo raun ukupne tlane sile P = P j + PZ k Yskrenimo r panju na sljedee. U skladu s III. Newtonovim zakonom uvijek r r r r je P = R , gdje je R = RY i + RZ j elastina sila reakcije cilindrine stjenke; tlana sila uravnoteena je elastinom silom stjenke. To znai da e nam odgovor na to kolike su komponente P i PZ ukupne tlane sile Y

r r r P = PY j + PZ k biti skalarne komponente RY i RZ elastine sile reakcije r r r R = RY i + RZ j cilindrine stjenke, tj., PY = RY , PZ = RZ . Dakle, cilj naeg rauna biti e skalarne komponente RY i RZ .

48

Crte 18 U skladu s II. Newtonovim zakonom, uvjet mehanike ravnotee (stanja mirovanja) promatrane mase fluida matematiki zapisujemo u obliku,n r r r FRN = Fi = 0 , i =1

(1)

pri emu je Fi i-ta od ukupno n tlanih sila koje djeluju na promatranu masu tekuine. Uvjet mehanike ravnotee (1) izraziti emo preko r algebarskih vrijednosti projekcija sila Fi na koordinatne osi pravokutnog Kartezijevog sustava X,Y,Z, tj.,

r

49

r Fi ,Y = 0 , n i =1

F = 0,i =1 i ,Z

n

r

(2)

gdje je Fi ,Y algebarska vrijednost projekcije i-te sile na os Y, dok je Fi , Z algebarska vrijednost projekcije i-te sile na os Z. U stanju mehanike ravnotee, zbroj

Fi,Yi =1

n

projekcija svih n tlanih sila na os Y kao i zbroj

Fi, Zi =1

n

projekcija svih n tlanih sila na os Z, koje djeluju na promatranu

masu tekuine, jednaki su nuli [izraz (2)]. Na masu tekuine volumena AA1BCC1D u stanju ravnotee djeluju sljedee sile (crte 18):

r r - vodoravna tlana sila P = P i kojom tekuina s lijeve strane Y Ypromatranog volumena djeluje na vertikalnu plohu S( A1 BCC1 ) ; kao to nam je poznato, iznos ove sile jednak je P = Y

H S ( A BCC ) ; 21 1

projekcija ove sile na os Y je algebarski pozitivna;

r r - vertikalna tlana sila PZ 1 = PZ 1k na plohu A1AC1D, po iznosu jednaka PZ 1 = HS ( A AC D ) iznosu sile tee na tekuinu sadranu u prizmi1 1

AA1BB1CC1DD1; projekcija ove sile na os Z je algebarski pozitivna;

r r G = PZ 2 na masu tekuine u volumenu AA1BCC1D; hvatite - sila teasile tee je u teitu promatrane mase tekuine, a smjer djelovanja suprotan pozitivnoj osi Z;

- elastina sila reakcije R = RY i + RZ j cilindrine stjenke; iznos R

r r r r od sile reakcije R po iznosu je jednak iznosu P sile r r r P = PY i + PZ j kojom tekuina tlai cilindrinu stjenku; u skladu s r r III. Newtonovim zakonom, kao to je ve reeno, uvijek je P = R .

50

Uoite da sve ove sile lee u ravnini YZ koja je okomita na izvodnice etvrtcilindrine povrine, kao i da ta ravnina prolazi njezinim polovitem (crte 18). prema (2), za projekcije sila P , PZ , Y slijedi,n i =1

RY i RZ na koordinatne osi Y i Z

Fi ,Y = PY RY = 0 , Fi , Zi =1 n

= PZ 1 G RZ = 0 , {PZ 2

odakle su algebarske vrijednosti skalarnih komponenti RY i RZ sile reakcije

r R cilindrine povrine jednake,

RY = PY =

RZ = ( Pz1 Pz 2 ) = ( Pz1 G ) .Iz (3) i (4) zakljuujemo:

H S ( A BCC ) , 21 1

(3) (4)

-

Y r r r R = RY i + RZ j jednak je tlanoj sili na okomitu plohu A1BCC1 koja

iznos vodoravne skalarne komponente R

elastine sile reakcije

predstavlja projekciju cilindrine (u opem sluaju, proizvoljno zakrivljene stjenke) na ravninu XZ. - iznos okomite skalarne komponente

RZ elastine sile reakcije r r r R = RY i + RZ j , prema (4), jednak je razlici iznosa dviju sila: iznosa sile

Pz1 koja je po iznosu jednaka iznosu sile tee na tekuinu sadranu u volumenu pravokutne prizme AA1BB1CC1DD1 i iznosa Pz 2 sile tee natekuinu u volumenu AA1BCC1D. Oito, razlika iznosa ovih dviju sila jednak je iznosu sile tee na zamiljenu masu tekuine sadranu u volumenu ABB1CDD1 iznad cilindrine povrine. Zamiljena masa tekuine u ovom volumenu u tehnikoj hidrostatici naziva se tijelo tlaka i51

u promatranom sluaju ima oblik etvrtine cilindra prikazanog na crteu 19.

Crte 19

Crte 20

52

Presjeci tijela tlaka za neke tipine sluajeve cilindrinih ploha konstantnog radijusa zakrivljenosti dani su na crteu 20. Jednom odredivi komponente RY i RZ u stanju smo izraunati iznos R ukupne elastine sile reakcije R = RY i + RZ j cilindrine stjenke, odnosno iznos P ukupne tlane sile P = PY i + PZ j na cilindrinu stjenku,2 R = Ry + Rz2 ,

r

r

r

r

r

r

(9)

P = PX + PY2 ,

2

kao i iznos kuta to ga R (odnosno P ) zatvara s koordinatnom os Y,

r

r

tg =

Rz , Ry

= tg 1

Rz , Ry

(11)

Za nalaenje centra tlaka O u sluajevima cilindrinih ploha konstantnog radijusa zakrivljenosti, dovoljno je kroz geometrijski centar C0 cilindrine r povrine poloiti pravac nosilac rezultante tlane sile P tako da ovaj s horizontom zatvara kut (crte 21). Naime, budui da je hidrostatika tlana sila uvijek okomita na promatranu elementarnu cilindrinu povrinu na koju djeluje, to je ona usmjerena ka sreditu Co cilindrine povrine stalnog polumjera. To ujedno znai da i pravac nosilac ukupne tlane sile r P na cijelu povrinu krunog cilindra prolazi radijalno sreditem Co.

Crte 21

53

Sada emo raspraviti nekoliko sluajeva u kojima povrina u dodiru s tekuinom ima oblik opeg cilindra. Prvi takav primjer dat jerna crteu 22. r U ovom sluaju vertikalna komponenta PZ ukupne tlane sile P koja djeluje na cilindrinu povrinu ABC usmjerena je vertikalno u vis i iznosom r je jednaka teini tijela tlaka ABCC'. Naravno, vodoravna komponenta PY jednaka je tlanoj sili na pravokutni lik CC' koji predstavlja projekciju ope cilindrine plohe na vertikalnu ravninu.

Crte 22 U sluaju prikazanom na crteu 23 opa cilindrina ploha ABC presijeca okomicu CC' i toki N. Kao to se vidi, u ovom sluaju postoje dva tijela r r tlaka. Vertikalna komponenta PZ ukupne tlane sile P dobiva se zbrajanjem komponenti PZ 1 i PZ 2 : PZ = PZ 1 + PZ 2 .

r

r

r

r

r

54

Crte 23

Rezime. Potrebo je odrediti tijelo tlaka za opu cilindrinu povrinu ABC (crte 24). Najprije uoavamo krajnje toke A i C cilindrine povrine. Iz tih toaka, zatim, povlaimo okomice do slobodne razine tekuine ili njezinog produetka. Konano, tijelo tlaka odreujemo primjenjujui sljedee pravilo:

Crte 24

55

Popreni presjek tijela tlaka predstavlja lik omeen spomenutim vertikalama, opom cilindrinom povrinom ABC te slobodnom povrinom tekuine ili njezinim produetkom. Ukoliko tekuina moi stranu r cilindrine povrine okrenutu tijelu tlaka (crte 23) tada je komponenta PZ usmjerena je vertikalno dolje, tj. ima smjer sile tee na masu tijela tlaka. Ukoliko, tekuina ne moi onu stranu cilindrine povrine koja je r okrenuta tijelu tlaka (crte 24), komponenta PZ usmjerena je vertikalno u vis. Centar tlaka u sluaju opih cilindrinih stjenki obino se odreuje grafiki. U tu svrhu (crte 25) na pravcu udaljenom za treinu visine tijela tlaka, od r donjeg vrha tijela tlaka, nanosi se horizontalna komponenta PY , dok se na vertikalnom pravcu, koji prolazi centrom mase (teitem) T tijela tlaka, r nanosi vertikalna komponenta PZ . Obje se komponente potom translacijom dovode u poloaj u kojem im poeci lee u istoj toki na cilindrinoj stjenci. r r r Toka O u kojoj rezultanta P = PY + PZ presijeca cilindrinu stjenku je traeni centar tlaka.

Crte 2556

Rijeeni primjeri i zadaci za samostalni rad

Primjer 1: Izraunajte: a.) ukupnu silu kojom voda tlai cilindrinu branu jedinine duine; b.) kut to ga pravac nosilac ukupne tlane sile vode zatvara sa horizontalom; c.) odredite poloaj O hvatita ukupne tlane sile - sve u sljedeim sluajevima:Crte 1

1.) H1 = D, H2 = 0, 2.) H1 = D/2, H2 = 0, 3.) H1 = D, H2 = D/2. a.) Iznos PY horizontalne skalarne komponente ukupne sile P tlaka vode na branu jednak je sili kojom voda tlai povrinu F = H . 1 projekcije brane na vertikalnu ravninu. Dakle,

r

H1 D2 H1 = PY = 2 2

,

(1)57

gdje je specifina teina vode.

Izraunavanja vertikalne komponente PZa rezultantne sile P provesti emo u dva koraka: odvojeno emo traiti vertikalne komponente sile tlaka na etvrtcilindrine plohe 1 i 2 prikazane na crteu 2.

r

Crte 2 Na crteu 2 a.) vidimo da tekuina moi onu stranu gornje etvrtcilindrine povrine koja je okrenuta ka tijelu tlaka tako da je, u skladu s reenim u Rezimeu, ukupna tlana sila Pz1 usmjerena je vertikalno dolje, njezina projekcija na os z je algebarski negativna,

D2 D2 1 D2 PZ 1 = = 1 , 4 4 4 4 4

(11)

58

a iznos joj je jednak teini tijela tlaka iznad cilindrine povrine prikazane rafiranom povrinom. to se tie donje polucilindrine povrine, nju tekuina moi s one strane koja nije okrenuta tijelu tlaka, tako da je vertikalna tlana sila Pz2 usmjerena je vertikalno prema gore dolje, njezina projekcija na os z je algebarski pozitivna,

D2 D2 1 D2 PZ 2 = = + 1 + , 4 4 4 4 4

(12)

dok joj je iznos jednak teini zamiljenog tijela tlaka prikazanog rafiranom povrinom na crteu 2 b.). Hvatita vertikalnih komponenti Pz1 i Pz2 su u teitima odgovarajuih tijela tlaka. Prema (11) i (12), algebarska vrijednost projekcije ukupne vertikalne sile tlaka je PZa = PZ 1 + PZ 2 =

D2 D2 D 2 . 1+ 1 = 4 4 4 4 8

(13)

Sada smo u stanju napisati iznos rezultantne tlane sile na polucilindrinu povrinu brane,

D 2 D 2 P1 = P + P = + , 2 8 2 Ya 2 Za

2

2

P1 =

D 22

1+

216

.

(14)

Kut 1 to ga pravac nosilac rezultantne sile tlaka R zatvara sa horizontalom iznosi,

r

59

Crte 3

tg 1 =

Pza Pya(15)

1 = tg 1

Pza = tg 1 38.150 . p ya 4

Hvatite rezultantne sile tlaka nalazi se na presjecitu O izvodnice polucilindrine plohe i pravca, koji paralelno sa bazama valjka prolazi kroz os valjka, zatvarajui naeni kut 1 sa horizontalom (pravac A-A na crteu 3).

b.) Analognim zakljuivanjem i raunskim postupkom kao u sluaju a.) dolazi se do rezultata

D D D2 , PY 2 = 1 = 4 2 8

2

60

1 D2 , PZ 2 = 4 4

P2 = P + P2 Y2

2

z2

D 2 D 2 = + 8 8 4

2

2

2 = arctg

RZ 1 = arctg 162 = arctg 63.430. D 2 RY1 8

D 2

c.) O rezultantnoj tlanoj sili vode s lijeve strane cilindrine stjenke sve nam je poznato iz sluaja a.), dok je djelovanje sile tlaka vode s desne strane brane raspravljena u sluaju b.). Prema tome, u ovom sluaju je,

PZ , 3 = PZ ,a .) + PZ ,b.) =

D 28

+

D 216

=

3 D 2 , 16

PY , 3 = PY ,a .) + PY ,b.) =

D 22

D 2

3 = D 2 18 8

Predznakom "-" u Ry,b.) uvaena je injenica da je projekcija sile P2 na os Y algebarski negativna, tj. komponenta sile P2 u smjeru osi Y suprotno je orijentirana od komponente sile P u smjeru osi Y. 1

r

r

r

P3 = P

2 Y , c .)

+P

2

Z , c .)

2 3 2 3 2 , = D + D 8 8 4 2 2

3 2 , 2 R = gD 1 + 8 4

61

3 gD 2 R 3 = tg 1 z = arctg 16 = arctg . 3 Ry 2 gD 2 8

Crte 25.

Primjer 2: Vodovod ima presjek prikazan na crteu 1. Odozdo, du ruba A, vodovod je poduprt zglobnicom, dok se du ruba B na razmacima od L = 400 mm nalazi elina uad. Odredite silu napetosti u uadi kada je kanal pun vode.Crte 1

Iznos vodoravne komponente ukupne sile tlaka na omoenu etvrtcilindrinu povrinu polumjera R i duine L je.Py = ghC S = g R R2L . RL = g 2 2

Kao to to pokazuje crte 1. tekuina moi onu stranu cilindrine povrine koja je okrenuta tijelu tlaka tako da je ukupna tlana sila usmjerena vertikalno dolje. Iznos ukupne tlane sile jednak je teini tijela tlaka, tj. teini vode sadrane u volumenu skiciranom na crteu 1., R 2 PZ = g L, 4 tako da je iznos ukupne tlane sile na etvrtcilindrinu povrinu jednak,62

P = Py2 + Pz2 =

gR 2 L 2 . 1+ 2 4r

Kut to ga pravac nosilac sile P zatvara sa horizontalom iznosi,

= arctgCrte 26.

Pz = arctg 63.430. Py 2

Iznos Pel sila napetosti elinih uadi izraunati emo polazei od injenice da je u stanju r mehanike ravnotee moment ukupne sile tlaka P s obzirom na zglobnicu (pravac koji na crteu 27 prolazi tokom A okomito na rravninu crtea) jednak momentu elastine sile Pel generirane u elinom uetu, s obzirom na isti pravac, Crte 27. Dakle: Pel = P cos =Pel R = P d ,

d = R cos ,

gR 2 L cos 2

1+

24

,

Pel =

9, 81 ms 2 10 3 kgm 3 1 m 2 0, 4 m cos 2 = 1, 962 kN 1+ 2 4

63

Primjer: Izraunajte iznos ukupne tlane sile tekuine samo na konstrukciju u obliku etvrtine plata krunog cilindra radijusa R, koji je na vertikalnu stjenku spremnika privren vijcima kako to je to prikazano na crteu 1. Gustoa vode je . Pod kojim kutom s obzirom na horizontalu djeluje ukupna sila tlaka? Duina cilindrine povrine du izvodnice je L.

Crte 1.

r Iznos PY horizontalne komponente PY i ukupne sile r r r tlaka P = PY i + PZ j jednak je,R Py = g H R L . 2

Crte 2.

Kao to to pokazuje crte 2., tekuina u spremniku ne moi cilindrinu povrinu okrenutu tijelu tlaka tako da je iznos Pz vertikalno dolje usmjerene tlane sile jednak teini tijela tlaka istaknutog rafurom na crteu 2, , R2 Pz = g H R L L 4 R = gRL H . 4

Iznos P rezultantne sile tlaka je,R R P = P + P = gRL H + H , 2 4 2 y 2 z 2 2

64

= tg 1

Pz = tg 1 Py

H

R 4 . R H 2

Primjer: Na crteu valjak promjera d = 8 m zatvara pravokutni otvor u spremniku duljine d = 3 m. Odredite iznos sile kojom voda pritie valjak prema dnu spremnika ako je spremnik napunjen vodom do visine h = 9 m.

Crte 1

Zahvaljujui simetriji horizontalne komponente sila tlaka na omoenu povrinu valjka uzajamno se uravnoteuju. U vertikalnom smjeru na valjak djeluju tri tijela tlaka. Jedno od njih prikazano je na crteu 2. Ovdje tekuina moi onu stranu cilindrine r povrine koja je okrenuta tijelu tlaka tako da je tlana sila P1 usmjerena vertikalno dolje, njezina projekcije na os Z algebarski je negativna i jednaka,65

Crte 2

( 4m) 2 P1 = g 3m (7 m 8m ) . 2

(1)

Crte 3 Preostala dva tijela tlaka prikazana su na crteu 3. Voda spremnika ne moi r povrine okrenute tijelu tlaka tako da je tlana sila P2 usmjerena vertikalno gore, njezina projekcije na os Z algebarski je pozitivna i jednaka,

66

(4m) 2 3.46m 2m P2 = 3m 2 g 7 m 0.54m + . 12 2

(2)

Zbrajanjemr (1)r i (2) slijedi algebarska vrijednost projekcije P ukupne r tlane sile P = P1 + P2 na valjak na os Z, (4m) 2 (4m) 2 3.46m 2m P1 + P2 = 10 kgm 9.81ms 3m 7m 8m 27m 0.54m + 2 12 2 3 3 2

642kN . Kao to vidimo, algebarska vrijednost projekcije ukupne tlane sile na os Z je negativna; ukupna tlana sila na valjak djeluje okomito dolje.

Primjeri za samostalni radNa crteu 30 prikazane su dvije izvedbe prozora za promatranje unutranjosti akvarija. Prozor ima oblik polucilindra dugakog 3 m, dok su ostale dimenzije dane na crteu. Odredite iznos i smjer rezultantne sile kojom voda djeluje na prozor u svakoj od izvedbi. Odredite poloaj centra tlaka.

Crte 30.67

etvrtcilindrina ploha duine 600 mm slui kao vrata brane (crtei 30 i 31). Odredite minimalnu horizontalnu silu kojom na vrata mora djelovati hidrauliki cilindar da bi dolo do njihovih otvaranja kada je dubina vode a.) 0.9 m; b.) d = 2,7 m.

Crte 30.

Crte 39

68

Odredite horizontalnu i vertikalnu komponentu sile kojom voda djeluje na jedan metar dune oplate A-E prema prikazane na crteu.

69

Viskoznost tekuina i zakoni unutarnjeg trenja 3

3

Profesor John Mainstone snimljen 1990. godine tijekom padanja osme kapi. U foajeu Fizikog odjela Sveuilita Queensland u Brisbaneu, Australija, prvi profesor fizike na ovom sveuilitu Thomas Parnell, postavio je, u nastavne svrhe, 1927. godine eksperiment koji jasno demonstrira veliki iznos viskoznosti bitumena, jednog derivata katrana. Zagrijani bitumen nalit je u stakleni lijevak iji je vrh prethodno bio zataljen. Tri su godine bile potrebne kako bi se bitumen slegao u lijevku. 1930. godine, vrh lijevka je odrezan i bitumen je preputen slobodnom istjecanju, a zapoeto je i s biljeenjem datuma kapanja pojedinih kapi koji su dati u tablici. Bitumen u lijevku nije odravan u nekim posebnim uvjetima, tako da je njegovo istjecanje variralo s normalnim promjena temperature s godinjim dobima. Podaci iz tablice omoguili su izraunati da je viskoznost bitumena oko 100 milijuna puta vea od viskoznosti vode. Profesor John Mainstone i profesor Thomas Parnell (posthumno) zajedno su, 2005. godine, za ovaj eksperiment nagraeni Ig-Nobelovom nagradom za fiziku [Ig-Nobelove nagrade (engleski: ignoble nizak, besmislen, podao) nagrade su koje se, njih deset za razna podruja, svakog listopada od 1991. godine dodjeljuju za dostignua koja u prvi mah nasmijavaju ljude, a zatim ih potiu na razmiljanje. Ovu nagradu ustanovio je humoristiki znanstvenu asopis Annals of Improbable Research (AIR), a laureatima nagradu na sveanosti u kazalitu Sanders sveuilita Harvard predaje grupa u kojoj su i stvarni dobitnici Nobelove nagrade]. Eksperiment profesora Parnella biljei i Guinnessova knjiga rekorda kao eksperiment s najduim trajanjem.

Godina 1930. 1938. (prosinac) 1947. (veljaa) 1954. (travanj) 1962. (svibanj) 1970. (kolovoz) 1979. (travanj) 1988. (srpanj) 2000. (28. studenoga)

Dogaaj Odrezan je vrh staklenog lijevka Pala prva kap Pala druga kap Pala trea kap Pala etvrta kap Pala peta kap Pala esta kap Pala sedma kap Pala osma kap

70

Zbog relativno slabih Van der Waalsovih4 dipol-dipolnih sila realne tekuine odlikuju se velikom pokretljivou pojedinih molekula i pojedinih kapljica, (elemenata fluida), jednih u odnosu na druge. Iako veoma male, ove sile, koje se pojavljuju samo pri gibanju tekuine, dovode do pojave posminog naprezanja pri pokuaju posmika sloja u odnosu na sloj. Ovo svojstvo realnih tekuina naziva se viskoznou. Viskoznost karakterizira stupanj itkosti tekuine. Pored lako pokretljivih tekuina (voda, alkohol, zrak,) postoje i veoma viskozne tekuine (glicerin, strojna ulja,).

Crte 1. Jo davne 1687. godine, u svojim Philosphiae Naturalis Principia Mathematica, Newton je pretpostavio, a kasnije je to potvreno i4

Johannes Diderik van der Waals (1837-1923), nizozemski fiziar, nobelovac (1910.)

71

eksperimentom5, da se posmino naprezanje (trenje) na jedinicu povrine r F [naprezanje kojim sporiji sloj djeluje na bri (sila trenja F ) i, u =S

skladu r s III. Newtonovim zakonom, bri sloj na sporiji (sila trenja r F ' = F )], koje se pojavljuje izmeu dva beskonano bliska sloja tekuine udaljena dy ije se brzine razlikuju za dv, ne ovisi o tlaku, kvantitativno moe opisati izrazom,

=

dv , dy

( ) =

N = Pa m2

(1)

dv - gradijent brzine u smjeru okomitom na pravac toka fluida, dy a - koeficijent proporcionalnosti ili dinamika viskoznost ovisna o vrsti tekuine i fizikim uvjetima u kojima se ona nalazi. Tekuine koje zadovoljavaju zakonitost (1) nazivaju se newtonovskim tekuinama. u kojem su Iz izraza (1) sljedi, dy , dv

=

(2)

da je dinamika viskoznost jednaka iznosu posminog napona kada je gradijent brzine jednak 1. Mjerna jedinica koeficijenta dinamike viskoznosti je,

[ ] = [ ] dy = Nm 2 m s = dv m

kg = Pa s . ms

Charles-Augustin de Coulomb (1737 1806) eksperimentalno je potvrdio dv . ispravnost Newtonove formule = dy

5

72

U starijoj literaturi moe se naii na poaz kao mjernu jedinicu koeficijenta g , pri emu je 1 poaz = 1 . Koliko poaza iznosi jedna Pas? cms

N kgm g kg 10 3 g = 2 =10 poaz. =10 1 Pas = 2 s = 2 2 s = cm3 s ms 10 cm s m ms 1 21 poaz

Iz praktinih razloga u hidraulici se esto koristi i veliina zvana kinematiki koeficijent viskoznosti, odnosno kinematika viskoznost 6,

=

.

(3)

Mjerna jedinica koeficijenta kinematike viskoznosti je,

kgm [ ] = Pas = s 2 m2 s = m2 . [ ] = [ ] kg kg s 3 m m3 Viskoznost tekuina ovisi o temperaturi i o tlaku. Kao to pokazuje eksperiment, kinematika viskoznosti tekuina smanjuje se s povienjem temperature. Kod tekuina ova ovisnost razliita je za razliite tekuine. Primjerice, za vodu,

(T ) =

m2 1,78 10 6 . 1 + 0, 0337 T + 0, 000221 T 2 s

(4)

Sa porastom tlaka viskoznost tekuine obino se poveava. Iznimka je voda kod koje se viskoznost smanjuje do temperature od 32 C. Openito, priNazivakinematika viskiznost nema neki posebni fizikalni smisao. Ovaj je naziv predloen iz prostog m2 slina jedinici iznosa brzine m . razloga to je jedinica od s s 6

73

tlakovima koji se susreu u praksi (do 200 at), ova se ovisnost viskoznosti o tlaku moe zanemariti. Viskoznost plinova smanjuje se sa povienjem tlaka, no obratno, ona se poveava s povienjem temperature.Sve u tehnici vanije tekuine podvrgavaju se Newtonovom zakonu (2). Anomalnima nazivaju se tekuine ija se viskoznost ne moe opisati jednadbom (52). U ovu grupu tekuina prije svega spadaju suspenzije raznih vrsta i koloidne otopine koje se sastoje od tekue i krute faze, kao npr. glinena otopina (koja se koristi pri buenju nafte), a sastoji se od vode i sitnih estica gline promjera od 0,1 do 2000 m). Meutim, anomalnim tekuinama neemo se baviti.

Mjerenje koeficijenta kinematike viskoznosti Koeficijent kinematike viskoznosti odreuje se eksperimentalno. Jedan od naina je primjena Ostwaldovog 7 kapilarnog viskozimetra. Crte 86 Fotografija 87

7

Wilhelm Ostwald (1853. 1932.), ruski kemiar i filozof.

74

Poznavajui koeficijent kinematike viskoznosti za standardnu tekuinu, te mjerei vrijeme t protjecanja volumena V standardne tekuine i vremena t' protjecanja istog volumena ispitivane tekuine sadranog izmeu ravnina a-a i b-b u lijevom kraku viskozimetra, koeficijent kinematike viskoznosti ' ispitivane tekuine dan je izrazom

= .

t' t

Englerov stupanj viskoznosti

U Velikoj Britaniji uobiajeno se u hidraulici kao mjera kinematike viskoznosti koristi tzv. Englerov8 stupanj E viskoznosti tekuine, koji se odreuje istoimenim Englerovim viskozimetrom. Englerov viskozimetar je cilindrina posuda volumena V = 200 cm3 sa otvorom za otjecanje ispitivane tekuine. Englerov stupanj viskoznosti odreuje se prema izrazu,

Crte 88

Fotografija 89

8

Carl Oswald Viktor Engler (1842-1925), kemiar.

75

E =

t

,

gdje su t i ( = 20 s) vremena istjecanja jednake koliine ispitivane tekuine (200 cm3) i iste destilirane vode kod iste temperature (obino kod 20 oC , a ponekad i kod 50 oC ili 100 oC). Kinematika viskoznost i viskoznost izraena u Englerovim stupnjevima E povezane su Ubbelohdeovom empirijskom relacijom, 6,31 6 2 1 10 m s . E

= 7,31 E

U praksi koristi se i viskozimetri drugih tipova. Primjerice, torzijski viskozometri, iji se princip mjerenja temelji na mjerenju kuta zakretanja i kutne brzine cilindra objeenog na elinoj ici i potopljenog u rotirajuu posudu sa tekuinom koja se ispituje (fotografija...) Iznosi koeficijenta dinamike viskoznosti za neke plinove i tekuine dani su u Tablici ...

Fotografija.. . Viskozimetar s koaksijalnim cilindrima Fotografija ... Torzijski viskozimetar za mjerenje iznosa do 105 Pas

76

Tablica ... Plinovizrak duik kisik vodik helij ugljini dioksid ugljini monoksid sumporni dioksid ksenon amonijak

Koeficijent dinamike viskoznost (Pas)18.3 . 10-6 17.8 . 10-6 20.2 . 10-6 8.8 . 10-6 19 . 10-6 14.8 . 10-6 17.2 . 10-6 12.54 . 10-6 21.2 . 10-6 9.8 . 10-6

Tekuinevoda kava krv (kod 37 0C) kloroform etanol metanol benzen etilen glikol glicerin aceton duina kiselina tekui duik (77 0C) iva maslinovo ulje 0.894 . 10-3 (20 0C) 10 . 10-3 4 -15 . 10-3 0.58 . 10-3 1.2 . 10-3 0.6 . 10-3 0.6 . 10-3 17.9 . 10-3 1.45 . 10-3 0.31. 10-3 24.2 . 10-3 0.158. 10-3 1.58 . 10-3 80 -100 . 10-3

77

Kinematike karakteristike gibanja fluidaO matematikom opisivanju strujanja fluidaGibanje fluida, kao i svakog drugog materijalnog tijela, jednoznano je odreeno ukoliko je poznato gibanje svake njegove estice, tj. ako su poloaj i vektor brzine svake estice poznate neprekidne funkcije vremena. Potpunu sliku gibanja fluida mogue je ostvariti na dva naina:

- Lagrangeovom metodom, - Eulerovom metodom.

Lagrangeova metoda 9

Za razliku od vrstih tijela estice fluida lako se pokreu jedna u odnosu na drugu, tako da ak i u sluaju translatornog gibanja neke mase fluida njegove estice imaju razliite trajektorije, vektore brzine i ubrzanja.

pppppo narodnosti talijan Joseph-Louis, comte de Lagrange (1736 1813), jedan od najznaajnijih matamatiara i fiziara 18. stoljea. Po narodnosti talijan, roen u Torinu kao Giuseppe Lodovico Lagrangia

9

78

Sutina Lagrangeove metode sastoji se u postavljanju jednadbe putanje

r r r = r ( x0 , y 0 , z 0 , t )

(1)

za svaku estice fluida koji struji polazei od II. Newtonovog zakona r r FRN = ma 10. Jednadba (1) putanje pojedine estice fluida, tj. radijus vektor njezinog poloaja s obzirom na neki referentni sustav, napisana detaljnije, ima oblik, r r r r = x ( x0 , y 0 , z 0 , t )i + y ( x0 , y 0 , z 0 , t ) j + z ( x0 , y 0 , z 0 , t ) k , (2) pri emu su t = 0. x0 , y0 , z 0 koordinate promatrane estice fluida u trenutku

Kao funkcije istih argumenata mogu se izraziti gustoa estice i tlak p koji u njoj vlada,

= ( x0 , y 0 , z 0 , t )

,

p = p ( x0 , y 0 , z 0 , t ) .

(3)

Oito, Lagrangeova metoda skopana je s velikim matematikim tekoama tako da je njezina primjena u praksi vrlo ograniena.

Eulerova metoda 1110

Vidi: Sveuilite u Zagrebu, Geotehniki fakultet, M. Kranjec: Predavanja iz kolegija Fizika I. Osnove dinamike materijalne toke, Dodatak 1.

11

Leonhard Euler (Basel, 15. travnja 1707. - Petrograd, 18. rujna 1783.), vicarski matematiar, fiziar i astronom. Svoju znanstvenu djelatnost razvio je u Berlinu i Petrogradu, gdje je drao katedru fizike i matematike. Njegova aktivnost nije stala ni kada je oslijepio jer je tada diktirao svoje radove. Napisao je oko 900 radova. Posebno su vana njegova istraivanja u hidrodinamici, gdje je razvio teoriju turbina. Prouavao je irenje zvuka i svjetlosti.(Wikipedia)

79

Iako daje rjeenje samo u najjednostavnijim sluajevima gibanja, strujanja, fluida, ipak ova je metoda najrairenija. U osnovi ove metode lei koncept strujnog polja ili vektorskog polja brzina. Zamislimo proizvoljni dio prostora kojim struji fluid. Takav prostor zvati emo strujnim poljem ili vektorskim poljem brzina. Usredotoimo se na jednu toku strujnog polja s koordinatama x, y, z . Promatranom tokom prostora neprekidno, jedna za drugom, prolaze nove i nove estice fluida od kojih svaka naiavi u promatranu toku strujnog polja ima razliitu brzinu r r v ( x, y, z, t ) . Kaemo da vektor v ( x, y, z, t ) brzine estice u promatranoj toki strujnog polja vibrira. Openito, vektori brzina u svakoj toki strujnog polja vibriraju tijekom vremena i u bilo kojem trenutku t meusobno su razliiti. Strujno polje neprekinuto se mijenja tijekom vremena. Strujanje fluida jednoznano je odreeno ukoliko je poznata zakonitost prema kojoj se tijekom vremena mijenja strujno polje, tj. zakonitost prema kojoj se s r r r vx , v y , vz brzine proteklim vremenom mijenjaju projekcije r r r r v ( x, y, z , t ) = v x ( x, y, z , t )i + v y ( x, y, z , t ) j + v z ( x, y, z , t )k u svakoj toki strujnog polja. Dakle, strujanje fluida kinematiki je odreeno ukoliko su poznate funkcije, v x = v x ( x, y , z , t ) , v y = v y ( x, y , z , t ) , v z = v z ( x, y , z , t ) , kao i funkcije,

(4)

= ( x, y , z , t ) ,

p = p ( x, y , z , t ) .

(5)

koje, matematiki, predstavljaju skalarna polja superponirana na vektorsko polje brzina. Funkcije (4) ponekad se zovu Eulerovim varijablama. Poznavajui ih, mogue je odrediti vektor brzine u bilo kojoj toki vektorskog strujnog polja. Eulerova metoda ne daje mogunost praenja gibanja pojedine estice, njezine prolosti i budunosti...

80

U svrhu opisivanja strujanja fluida mi emo se koristiti iskljuivo Eulerovom metodom.

Podjela strujanja fluidaPodjela strujanja na vrste ovisi o tome u odnosu na to se podjela vri.

1.) S obzirom na varijablu vremenabiti:

t strujanje fluida moe

- nestacionarno i - stacionarno.Nestacionarno strujanjeNestacionarno gibanje (nestacionarni reim strujanja) fluida najopenitiji je oblik gibanja. Za nestacionarno gibanje, karakteristino je da su vektori r brzina v (tlak p i gustoa ) u strujnom polju u odreenom trenutku t razliiti od toke do toke polja i u svakoj toki polja mijenjaju se, vibriraju, tijekom vremena, tj., ispunjene su jednadbe (4) i (5). Pri nestacionarnom gibanju fluida, mjesto estice fluida koja je u nekoj toki r strujnog polja u nekom trenutku t imala brzinu v1 (tlak p1 i gustou 1 ) u kasnijem trenutku t + dt zauzeti neka druga estica s nekom drugom r brzinom v2 (tlakom p2 i gustoom 2 ). Primjer takvog gibanja fluida je istjecanje vode u cjevovod iz spremnika ija se razina ne odrava stalnom.Izomorfno strujanje

Izomorfno strujanje je oblik nestacionarnog strujanja fluida pri kojem se mijenja samo iznos brzine u raznim tokama strujnog polja dok smjer teenja ostaje ouvan. Primjer takvog teenja je strujanje fluida u cijevi uz promjenljivi maseni (volumni) protok.

81

Stacionarno strujanjeU suprotnom sluaju od netom izloenog, strujanje fluida je stacionarno (stacionarni reim strujanja). Tada vrijedi,

v x = v x ( x, y , z ) , v y = v y ( x, y , z ) , v z = v z ( x, y , z ) , = ( x, y , z ) , p = p ( x, y , z ) ,

(6)

tj. vektori brzina estica fluida u razliiti tokama strujnog polja stalni su tijekom vremena, ne mijenjaju se, no razliiti su od toke do toke strujnog polja. Isto vrijedi i za gustou fluida kao i tlak p u razliitim tokama strujnog polja. Drugim rijeima, kada su sve vremenske derivacije strujnog polja jednake nuli, strujanje je stacionarno. U suprotnom, strujanje je nestacionarno. Primjer takvog gibanja je istjecanje vode u cjevovod iz spremnika ija se razina odrava stalnom.

Stacionarno strujanje moe biti:- jednoliko i - nejednoliko.Jednoliko stacionarno strujanjeJednoliko stacionarno karakteristike toka. strujanje fluidapodrazumijeva sljedee

Prije svega stacionarnost, tj., vremensku nepromjenljivost karakteristika toka u svakoj njegovoj toki. U korespondentnim tokama bilo koja dva poprena presjeka strujnog toka (koji su svi meusobno jednake povrine!) iznosi brzina su jednaki dok su istovremeno iznosi brzina u raznim tokama istog presjeka meusobno razliiti.

Strujnice ine sustav meusobno paralenih pravaca, povrine ivih presjeka jednake su na svim mjestima toka. Odavde slijedi da je i srednja brzina toka82

na svim ivim presjecima vremenski stalna veliina, a ubrzanje estica fluida jednako je nuli. Nagib toka je stalan. Pri jednolikom stacionarnom strujanju linija ukupne energije, piezometarska linija i strujnice meusobno su paralelne linije, tj., njihov nagib je jednak 12.

Primjeri takvog strujanja, su strujanje fluida u kanalima jednake dubine i stalnog poprenog presjeka ili strujanje kroz realne cijevi stalnog poprenog presjeka ukoliko se hrapavost ne mijenja du cijevi.

Nejednoliko stacionarno strujanjeNejednoliko stacionarno strujanje karakterizira promjenljivost srednje brzine zbog promjenljivosti poprenih presjeka toka du kanala ili cijevi.

2.) S obzirom na sile koje izazivaju gibanje fluida onomoe biti:

- gibanje sa slobodnom povrinom, - gibanje bez slobodne povrine.Gibanje sa slobodnom povrinomGibanje fluida u otvorenim kanalima i rijekama primjeri su gibanja sa slobodnom povrinom U cijevima ovakvo je gibanje mogue ostvariti ukoliko tekuina ne tee cijelim Crte 1 presjekom cijevi, kao to je to, na primjer, sluaj u kanalizacijskim cjevovodima (crte 1). Ovo gibanje izaziva djelovanje Zemljine sile tee. Pri gibanju sa slobodnom povrinom tlak na povrini du itavog toka jednak je atmosferskom tlaku.

12

Pojamovi srednje brzine, linije ukupne energije i piezometarske linije biti e uvedeni i detaljno raspravljeni kasnije.

83

Gibanje bez slobodne povrineSluaj strujanja pri kojem je fluid sa svih strana ogranien vrstim stjenkama (cijevi!), tj. fluid potpuno ispunjava prostor strujanja, predstavlja sluaj gibanja fluida bez slobodne povrine. Pri takvom strujanju du toka tlak se du toka mijenja, iznosom moe biti vei ili manji od atmosferskog. Gibanje fluida izaziva razlika tlakova koja je posljedica razlike visina poetnog i krajnjeg presjeka strujnog toka ili, to je ei sluaj, kao posljedica rada hidraulike pumpe.

3.) Ovisno o tome na koji se nain provodi analiza strujanja tekuine, razlikuje se jedno-, dvo- i trodimenzionalno gibanje fluida.Strujanje u tri dimenzijeOpenito, strujanje fluida je trodimenzionalno u smislu da parametri teenja - brzina, tlak, gustoa i drugi ovise o sve tri prostorne koordinate, x, y, z. Meutim, esto je mogue znatno pojednostavnjenje prouavanja strujanja postii takvim izborom prostornih koordinata da se parametri teenja najznaajnije mijenjaju u dvije ili ak samo u jednoj dimenziji.

Jednodimenzionalno strujanjeUkoliko se pri analizi strujnog toka polazi od pojednostavljene sheme elementarnih strujnih cijevi (ESC) i pritom se koristi pojam srednje brzine, tada se analiza strujnog toka svodi na istraivanje promjene brzina, tlakova i drugih veliina u ovisnosti o samo jednoj varijabli udaljenosti promatranog presjeka od nekog poetnog presjeka strujnog toka. Za tako zvano jednodimenzionalno strujanje je strujanje karakteristino je da se parametri strujanja mogu izraziti u ovisnosti o samo jednoj prostornoj84

koordinati i vremenu t proteklom od trenutka t = 0. Ta jedina prostorna koordinata obino je udaljenost mjerena du sredinje linije toka (koja, openito ne mora biti pravac) kroz cijev ili kanal kojim fluid tee. Na primjer, strujanje fluida kroz cijev esto se promatra kao jednodimenzionalno teenje. Brzina, tlak, gustoa fluida mogu se mijenjati du cijevi, dok se bilo koja promjena po povrini presjeka cijevi smatra zanemarivom. U stvarnosti tok fluida nikada nije jednodimenzionalan budui da unutarnje trenje u fluidu, viskoznost fluida, dovodi do smanjenja brzine strujanja fluida na nulu na vrstim stjenkama kojima je najee ogranien. Na crte 1 usporeeni su hipotetiko jednodimenzionalno strujanje sa stvarnim jednodimenzionalnim tokom, recimo, u cijevi. Meutim, ukoliko neuniformnost stvarnog toka nije prevelika, jednodimenzionalna analizaesto moe dati dobre rezultate. Pritom se pretpostavlja da se srednje vrijednosti parametara toka na bilo kojem njegovom proizvoljno odabranom presjeku (okomitom na tok) mogu primijeniti na cijeli promatrani dio toka. Ovakva analiza strujanja, tj. jednodimenzionalna analiza, iroko je prisutna u praktinoj hidraulici.

Dvodimenzionalno strujanjeKod dvodimenzionalnog strujanja parametri strujanja ovise o vremenu t i dvije uzajamno okomite prostorne koordinate (recimo x i y). Promjena parametara u smjeru osi z nema, tako da isto stanje strujanja postoji u bilo kojoj ravnini okomitoj na os z. Primjer dvodimenzionalnog strujanja je strujanje preko preljeva konstantne povrine presjeka. Tok prikazan na crteu 2 je pravocrtan, odvija se du osi x, no, meutim on je dvo dimenzionalan budui da se tlak mijenja s koordinatom x, a brzina strujanja s koordinatom y.

Crte 1 85

U toku prikazanom na crteu 3 brzina se mijenja i s koordinatom x i koordinatom y. to se tlaka tie, on se mijenja samo s promjenom koordinate x na dijelu toka gdje su strujnice meusobno paralelne i sa koordinatama x i y gdje su strujnice zakrivljene.

Crte 2. Tok fluida izmeu paralelnih ploha

Crte 3. Tok fluida izmeu divergentnih ploha

86

StrujniceStacionarno strujanje fluida karakterizira visoki stupanj ureenosti gibanja njegovih estica. Kao to eksperiment pokazuje, u stacionarnom reimu strujanja mogua je jednostavna i jasna vizualizacija gibanja estica fluida. Uoe li se u stacionarnom reimu strujanja vremenski nepromjenljivi r vektori brzine estica fluida v ( x, y, z, ) u, uzmimo, tri proizvoljno odabrane toke A B i C strujnog polja, tada je kroz uoene toke mogue povui takvu liniju da pravci nosioci vektora brzine u tokama A, B i C budu na nju tangencijalni. Prizovemo li u sjeanje znanja iz kinematike prema kojima je vektor brzine estice u svakoj toki putanje na nju tangencijalan, tada lako uviamo da dobivena krivulja predstavlja putanju gibanja velikog broja estica fluida koje se u promatranom trenutku nalaze u raznim tokama putanje. Ta se putanja, krivulja, naziva strojnica. U stacionarnom reimu strujanju, oblik strujnica u strujnom polju ne mijenja se tijekom vremena i strujnice se nikada ne sijeku. Sjeenje strujnica znailo bi da naavi se u toki presijecanja, estica fluida istovremeno ima dvije brzine, to je besmisleno. Vizualizaciju gibanja estica fluida pomou strujnica u stacionarnom reimu strujanja potvruje i eksperiment (fotografije 1 i 2).

87

B C

A

Crte 1

Crte 2

U sluaju nestacionarnog strujanja o strujnici je mogue govoriti samo u promatranom trenutku. Oblik strujnica mijenja se od trenutka do trenutka.

Fotografije 1 i 2 prikazuju tokove obojene tekuine, tj., strujnice oko valjka i tijela iji je presjek slian poprenom presjeku avionskog krila.

88

Elementarno strujno vlaknoU stacionarnom strujnom polju izdvojiti emo u mislima elementarnu povrinu dS omeenu zatvorenom linijom (crte 3). Zatvorenom linijom prolazi beskonano mnotvo strujnica koje ine opu cilindrinu povrinu koja predstavlja omota strujnog toka koji emo zvati elementarno strujno vlakno ili elementarna strujna cijev (ESC). U stacionarnom reimu strujanja ESC ima sljedea svojstva: - oblik ESC je stalan budui da se i oblik strujnica ne mijenja tijekom vremena; - estice fluida jedne ESC ne prelaze u susjednu, budui da se omota svake ESC ponaa kao nepropusna vrsta povrina, - zbog beskonano malog poprenog presjeka dS ESC, brzina r strujanja v konstantni je vektor u svim tokama presjeka dS . Brzina r v okomita je na promatrani presjek i mijenja se od presjeka do presjeka jedne ESC kao i pri prelasku s jedne na drugu ESC.

Crte 3

Strujni tok kao skup ESCNeka je povrina poprenog presjeka ukupnog strujnog toka jednaka S i omeena zatvorenom linijom L. Povrina S presjeka ukupnog strujnog toka jednaka je zbroju povrina presjeka dS pojedinih ESC (crte 4). U stvarnosti, omota ukupnog

89

Crte 4 strujnog toka je, na primjer, realna vrsta cijev. Dakle, u hidraulici se ukupni tokovi konanih dimenzija mogu promatrati kao skup strujnih vlakana, odnosno, ESC.

Hidrauliki elementi tokaivi ili omoeni presjek tokaivim ili omoenim presjekom toka naziva se povrina presjeka toka okomita na vektore brzine u svakoj ESC. Openito, ivi ili omoeni presjek je zakrivljena povrina kao to je to ploha AB u sluaju gibanja tekuine u konusnoj cijevi u kojoj je tok karakteriziran divergentnim strujnicama (crte 5).

Crte 5

90

Ukoliko divergencija strujnica nije znatna ili je nema, ivi ili omoeni presjek identian je s ortogonalnim presjekom toka (crte 5, teenje u kanalu).

ProtokVolumni dqV i maseni dqm protok fluida kroz ESCPretpostavljamo da je strujanje fluida stacionarno kao i da je svaki popreni presjek ESC dovoljno mali tako da su varijacije iznosa vektora brzine strujanja po povrini svakog proizvoljno uzetog presjeka ESC, zanemarive.

Crte 6. Kao to nam je iz kolegija ope fizike poznato, volumni protok dqV fluida na svakom presjeku ESC u stacionarnom reimu strujanja dan je izrazom dqV = dV dSdl dS v dt = = dt dt dtdqV = v dS ,

Mjerna jedinica dqV je,

( dV ) = m3 . ( dqV ) = ( dt ) s91

to se tie masenog protoka dqm fluida, u stacionarnom reimu strujanja, na svakom presjeku ESC on je dan izrazom,

dqm =Mjerna jedinica dqV je,

dm dV = = qV = v dS . dt dt

( dqm ) = ( ) ( dqV ) = kgm 3 m3 s 1 = kgs 1 .

Jednadba kontinuiteta za ESC i cijeli strujni tokUoimo presjeke 1 i 2 neke elementarne strujne cijevi. Volumni protoci fluida dqV 1 i dqV 2 na uoenim presjecima, dqV 1 = v1 dS1 dqV 2 = v2 dS 2 Pretpostavimo li da je fluid nestlaiv (u stvarnost,i zanemarivo stlaiv), kao i da je u njemu nemogue formiranje prostora neispunjenog tekuinom, tj. pretpostavljamo da je ispunjen uvjet kontinuiranosti ili neprekidnosti gibanja fluida, te pretpostavivi stacionarni teim teenja fluida, tj. nepromjenjivost oblika elementarne strujne cijevi tijekom vremena, kao i odsutnost ponora i izvora fluida unutar elementarne strujne, dolazimo do zakljuka (vidi: M. Kranjec, Predavanja iz Fizike II, Hidrodinamika) da su volumni protoci dqV 1 i dqV 2 na dva uoena presjeka, jednaki Crte 7

dqV 1 = dqV 2 .

92

Analogni tok misli moe se primijeniti na presjek 2 i zatim na bilo koje daljnje presjeke 3, 4, 5, ... ,

v2 dS 2 = v3 dS3 = v4 dS 4 = v5 dS 5 = ... .Dakle, openito, du elementarne strujne cijevi u stacionarnom reimu strujanja vrijedi, vdS = const. Za cijeli strujni tok, koristei pojam srednje brzine13, vrijedi,

v s S = const. ,tj.v s1 S 2 = ; v s 2 S1

omjer iznosa srednjih brzina na presjecima 1 i 2 strujnog toka jednak je omjeru povrina S 2 i S1 poprenih presjeka 2 i 1.

Volumni QV i maseni protok Qm ukupnog toka fluidaIz predodbe o vlaknastom gibanju fluida, tj. iz shvaanja ukupnog toka fluida kao skupa elementarnih strujnih vlakana, ESC, slijedi da je volumni protok QV ukupnog toka fluida jednak zbroju elementarnih volumnih protoka dqV kroz sve ESC koje ine promatrani tok, tj.,

Crte 813

Vidi sljedee poglavlje! 93

QV = dqV = v( ESC )dS ,S S

r r v ds

(1) (2)

Qm = dqm = v( ESC )ds .S S

Poznato je da se iznos brzine strujanja fluida mijenja od svoje najmanje vrijednosti, na primjer, na dnu kanala, do maksimalne vrijednosti na njegovoj povrini. Poznato je, takoer da se iznos brzine tekuine koja struji kroz cijev poveava od stjenke cijevi prema njezinoj osi. Dakle, brzina strujanja fluida mijenja se od jednog do drugog strujnog vlakna u istom strujnom toku (crte 8). Prema tome, izraunavanje integrala (1) i (2) pretpostavlja poznavanje vektora brzine toka estica u svakoj toki poprenog presjeka toka ili krae raspodjele brzina po (ivom) presjeku cijelog toka.Volumni protok tekuine izraunat na osnovi srednje brzine vs mogue je vizualizirati volumenom cilindra povrine baze S i visine vs (crte 50.).

vs

Crte 9. Meutim, izrauna li se protok na osnovi stvarnih brzina, ija je raspodjela po presjeku dana nekom funkcionalnom ovisnosti, na primjer parabolinom funkcijom kao u prethodnom primjeru, tada iznos protoka predstavlja volumen rotacijskog paraboloida sa istom povrinom baze S (crte 50.). Naravno, pritom su volumeni cilindra i rotacijskog paraboloida jednaki.

Srednja brzinaMeutim, u velikoj veini sluajeva teenja zakon raspodjele iznosa brzine po presjeku S toka nije poznat. Nuno je stoga pribjei pretpostavci da je su iznosi brzina estica fluida u svakoj toki promatranog presjeka toka jednaki, konstantni. Ovaj zamiljeni, fiktivni, konstantni iznos brzine kojim bi se trebale gibati estice fluida u svakoj toki u promatranom ivom presjeku S toka da bi protok Q bio jednak protoku sa stvarnom raspodjelom

94

(ovisnou) iznosa brzine teenja prema kojoj se iznos brzine mijenja od toke do toke presjeka S , naziva se srednjom brzinom toka vs (crte 10).

Crte 10 Dakle, vrijedi jednakost,QV = v( ESC )dS = v s S ,S

(1)

odakle je iznos srednje brzine jednak,

Q vs = V = S

vdSS

S

Q , vs = = S

v( ESC )dSS

S

.

(2)

U sluaju kada je poznat maseni protok Qm iznos srednje brzine jednak je, vs = Qm . S (3)

Primjer 1 Plin laminarno struji kroz cijev krunog presjeka i dijametra D = 1 m pri emu je profil iznosa brzine strujanja po presjeku parabolian14, tj. mijenja se prema izrazu,

14

Zapravo ima oblik rotacijskog paraboloida.

95

r 2 v(r ) = 10 1 ms 1 , R u kojem je r radijalna udaljenost promatrane toke poprenog presjeka od osi cijevi u metrima, a R polumjer cijevi, takoer u metrima. Izraunajte volumni QV i maseni Qm protok plinaa uz pretpostavku da je kod malih brzina stacionarnog strujanja je gustoa plina konstantna. Numeriki raun provedite za zrak ( = 1,293 kgm-3).

r Vektor brzine strujanja v fluida u svakoj toki krunog poprenog presjeka

Crte 11.

Crte 12.

S okomit je na pripadnu elementarnu povrinu dS. Prema tome moemo pisati,r r dqV = v dS = vdS = v 2r dr ,

96

r 2 QV = v dS = 2 vrdr = 20 1 rdr S 0 0 R R R

20 = 20 rdr 2 r 3 dr R 0 0 = 20 R 2 20 R 4 20 R 2 2 = 10 R 2 2 R 4 4

R

R

= 5 R 2 =

5 = 3, 927 m3 s 1 4

Qm = Qv = 1, 293 kgm3 3, 927 m3 s 1 = 5, 08 kgs 1 Srednja brzina v s teenja fluida na svakom presjeku cijevi jednaka je,

vs =

vdsS

S

=

3,927 m 3 s 1 = 5,00 ms 1 . 2 (0,5)

Primjer 2 Cijev, zatvorena na jednom kraju, ima boni prorez irine a = 0,5 cm paralelan sa osi cijevi (crte 52.). Promjer cijevi je D = 200 mm, a iznos r brzine v strujanja nestlaivog fluida u njoj je v = 5 ms-1.

Crte 13.

97

Iznos brzine fluida pri naputanju cijevi kroz prorez du proreza varira prema zakonitosti v(x) = 4 + x, pri emu je x udaljenost promatrano uskog presjeka od poetka proreza (crte 52). Odredite duinu d proreza za sluaj stacionarnog reima teenja.

Budui da je teenje fluida stacionarno, u skladu s jednadbom kontinuiteta, volumni protok QV 1 na poprenom presjeku 1 cijevi jednak je volumnom protoku QV 2 kroz boni prorez u stjenci cijevi, tj.

QV1 = QV2Ukupni protok QV 2 fluida kroz prorez povrine a x d jednak je integralu elementarnih protoka dqV 2 kroz prizmatine ESC ije su povrine presjeka jednake dx dS i pri emu je iznos brzine strujanja fluida u svakoj ESC razliit i dat sa v(x) = 4 + x, dS } dqV2 = dS v ( x ) = a dx ( x + 4) , (1) d2 QV2 = dqV = a ( x + 4 ) dx = a + 4d = 0, 025d 2 + 0, 02d , 2 0d

Volumni protok QV 1 na presjeku 1 cijevi je, D2 QV1 = v = 0, 157 m3 s 1 . 4 Izjednaavanjem protoka QV 1 i QV 2 slijedi, 0, 025d 2 + 0, 02d 0, 157 = 0 , (2)

25d 2 + 20d 157 = 0 ,d1,2 = 20 400 + 100 157 5098

Budui da je d iznos (pozitivan broj!) duljine proreza, uzimamo rjeenje s +, tako da je d1 = d = 2,14 m.

Omoeni obod (omoeni perimetar)Omoenim obodom ili omoenim perimetrom O naziva se duljina onog dijela oboda ili perimetra u kojem promatrani tok tangira stijenke koje ga ograniavaju. U sluaju teenja pod tlakom (teenje bez slobodne povrine) u cijevi, omoeni obod podudara se s geometrijskim obodom i jednak je O=2r (crte 14, lijevo). Meutim, kod teenja sa slobodnom povrinom, omoeni i geometrijski obod se razlikuju. Tako u sluaju teenja u kanalu, na primjer, trapeznog presjeka, omoeni obod jednak O=AD+AB+BC (crte 14, desno i crte 15), tj. duina dijela opsega presjeka toka u kojem je ovaj u dodiru sa atmosferskim zrakom, ne ulazi u duljinu omoenog oboda O.

Crte 14

Crte 15

Dakle, openito uzevi, veliine omoenog i geometrijskog oboda, perimetra razlikuju se.

Hidrauliki polumjerVeoma esto u hidrulici se rabi pojam hidraulikog radijusa koji je definiran kao omjer povrine ivog presjeka S toka i omoenog oboda O ,99

R=

S O

U sluaju strujnog toka pravokutnog presjeka (crte 16) hidrauliki radijus R jednak je, bh , R= b + 2h

Crte 16 dok je u sluaju teenja pod tlakom u cilindrinoj cijevi on jednak,

d 2 d R= = . 4d 4

Kontrolni volumen (KV), kontrolna povrina (KP)Iako je mogue napisati (diferencijalne) jednadbe mehanike fluida koje koliko toliko dobro opisuju to se tijekom vremena zbiva u pojedinoj toki strujnog polja, ipak, u inenjerskoj praksi mnogo se ee, primjenom jednadbe kontinuiteta, Bernoullijeve jednadbe, zakona protoka koliine gibanja15 kao i drugih zakonitosti, analizira ponaanje odreene konane mase fluida sadrane u kontrolnom volumenu (KV). Pojam kontrolnog volumena odnosi se na odreeno fiksno podruje strujnog polja kroz koje15

O zakonu protoka koliine gibanja detaljno e biti rijei kasnije. 100

fluid protie i koje predstavlja otvoreni sustav. Granice tog podruja nazivaju se kontrolnom povrinom (KP). Nekoliko primjera izbora kontrolnih volumena u inenjerskoj praksi dato je na crteima 17, 18 i 19.

Crte 17. Primjer izbora kontrolnog volumena u dijelu T elementa

Crte 18

Crte 19

Kriterij izbora kontrolnog vlumena je praktinost. Kontrolna povrina obino prati vrste stijenke gdje one postoje i uglavnom ih ne sijee, osim u sluajevima kada je potrebno izraunati sve sile koje djeluju na kontrolnu povrinu. KP presijeca tok uvijek pod pravim kutom. Primjena KV od najvee je koristi u sluaju rjeavanja problema u kojima fluid u KV ulazi i izlazi kroz cijevi ili kanale iji su popreni presjeci relativno mali, to je, na sreu, najei sluaj.

101

Volumni QV i maseni Qm protok kroz kontrolnu povrinu

Crte 1 Promatrajmo u strujnom polju fiksnu16 zatvorenu povrinu iznosa S koja obuhvaa neki volumen V strujnog polja. Zatvorena povrina S predstavlja kontrolnu povrinu fiksnog kontrolnog volumena V . Uoimo na KP beskrajno malu, elementarnu, povrinu dS. Volumni protok dQ V fluida kroz r r r r elementarnu povrinu dS jednak je dQV = v dS = n0 dS v = vdS cos , dok je ukupni volumni protok kroz KP, r r QV = v dS .KP

Ukupni maseni protok kroz KP jednak je,

r r Q m = QV = v dS .KP

16

Koordinate kontrolne povrine i kontrolnog volumena u strujnom polju ne mijenjaju se tijekom vremena. 102

Iznos srednje brzine protjecanja fluida kroz KP jednak je v= QV . S

Jednadba kontinuiteta za kontrolni volumen

Crte 1

Promatrajmo, opet, u strujnom polju proizvoljno odabranu, fiksnu, kontrolnu povrinu (KP) iznosa S koja obuhvaa kontrolni volumen (KV) fluida iji je iznos V (crte ). Strujnice probadaju KP, tj., fluid kroz KP utjee u KV i istjee iz njega. Ukupni maseni protok Qm kroz KP17 jednak je povrinskim integralu Qm = v dS .KP

r r

Broj kilograma fluida koji u sekundi kroz KP utjeu u KV minus broj kilograma fluida koji u sekundi kroz KP istjeu iz KV. 103

17

Openito uzevi, masa m = dm = dV fluida unutar KP moe se mijenjatiKV KV

ili biti stalna tijekom vremena. Matematiki izraena, brzina promjene mase unutar KP, jednaka je vremenskoj derivaciji mase m = dV :KV

.

m = dV t t KV

Brzina promjene mase unutar KP

protoku Qm = v dS kroz KP, tj.KP

r r

dV jednaka je ukupnom masenom t KV

dV = t KV

KP

vdS .

r r

Posljednja jednadba moe doivjeti niz pojednostavnjenja ovisno o karakteristikama strujnog polja ili svojstvima brzine strujanja na pojedinim sekcijama KP.

a.) u stacionarnom reimu teenja je ukupni protok kroz kontrolnu povrinujednak nuli,KP

vdS = 0 , odnosno, masa m fluida u KV ne mijenja se dV = 0 . t KV

r r

r

tijekom vremena, ostaje stalna,

b.)

r brzina strujanja v konstantna je na pojedinim sekcijama KP:KP

vdS = vs ;KP

r r

rr

Jedan od sluajeva b.) je sluaj stacionarnog teenja u jednoj dimenziji, na primjer teenje u cijevi (crte 2):

104

KP

vdS = vs = 0 .KP

r r

rr

Crte 2 U strujnom toku u cijevi odaberimo KP tako da su njezine dvije povrine okomite na vektore brzine toka fluida. Protok fluida postoji samo na tim sekcijama KP, tako da piemo,

vs = v s + v s = 0 .KP

rr

1 1 1

2

2

2

Primjer Profil brzine toka fluida na presjeku 1 cijevi pravokutnog poprenog presjeka irine d i visine h, koja se potom suzuje (crte 3), je linearan, dok je na presjecima 2 i 3 uniforman. Fluid je nestlaiv, a strujanje je stacionarno. Odredite iznos i smjer uniformne brzine na presjeku 3 cijevi.

105

Crte 3 Budui da je reim teenja kroz KV stacionaran, to znai da je ukupni maseni protok fluida kroz KP jednak je nuli,

KP

v dS = 0 .

r r

(1)

Uoite da protok fluida kroz KP postoji samo na tri mjesta, tj. na djelovima KP oznaenim sa 1, 2 i 3. Profili brzina na presjecima 2 i 3 su uniformni, dok na presjeku 1 to nije sluaj (crte 3). Budui da je fluid nestlaiv, to je u (1) = const. te piemo,

r r r r 18 r r r r 0 = v dS = v dS + v dS + v dS =KP 12 3

18

v( y ) =

v1, max h1

y , dQv = v( y )dS =

v1, max h1

y d dy .

106

0 = 0

h1

v1, max h1

y d dy + v2 h2 d + v3 h3 d .

Nakon dijeljenja posljednje jednadbe s d i integriranja njezinog prvog lana, slijedi,

h 0 = ( v1,max ) 1 + v2 h2 + v3 h3 , 2h1odakle za iznos i smjer brzine toka fluida na presjeku 3 slijedi,

2

v3 =

v1,max

0.6m h1 v2 h2 3ms 1 4.5ms 1 0.3m 2 2 & = 1.3 ms 1 . h3 0.45m

Dobivena vrijednost brzine je algebarski negativna. To znai da je stvarni tok fluida suprotan onom pretpostavljenom na crteu 3, tj. na presjeku 3 fluid utjee u KP.

Primjer U spremnik prikazan na crteu voda utjee stacionarno kod 1 i 2 i stacionarno istjee kod 3 i 4 (crte 4). Profili iznosa brzina kod 1, 2 i 3 su linearni i jednakog iznosa v1 = v2 = v3 = 15 ms 1 . Kod 4 iznos brzine v4 raste linearno od stijenke cijevi do maksimalne vrijednosti vmax u sredini cijevi. Odredite: a.) maseni protok Qm 4 ; b.) volumni protok QV 4 ; c.) vmax .

107

Crte 4

a.)

Kao to nam je poznato u stacionarnom reimu teenja masa fluida

dV = 0 u KV ne mijenja se tijekom vremena budui da je maseni t KV r protok kroz KP jednak nuli, vdS = 0 . Prema tome moemo pisati,KP

1v1 s1 2 v2 s2 + 3 v3 s3 + 4 v4 ds4 = 0 . 1 s4 4 4 3 2Qm 4

108

Kako je = const. = 10 3 kgm 3 i v1 = v2 = v3 = v , slijedi,

Qm 4 = v4 ds4 = v( s1 + s2 s3 ) = vs4

4

( D12 + D22 + D33 ) =

= 103 kgm 3 15ms 3

4

10 4 m (2 2 + 4 2 32 ) = 21.20kgs 1 .

b.) c.)

21.20kgs 1 QV 4 = = 0.021m 3 s 1 . 3 3 10 kgm Qm 4Volumni protok QV 4 na presjeku 4 kontrolne povrine i cijevi jednak jes4

QV 4 = v4 ds4 . Lako je pokazati da je opisani profil iznosa brzine na presjku4 dan izrazom v4 (r ) = vmax (1 Dakle,r0 r r QV 4 = v4 ds4 = vmax (1 ) r dr d = 2 vmax (1 )rdr r0 r0 0 0 0 s4 r0 2

r ) , kao i da je ds4 = r d dr (crte 5). r0

Crte 5

109

r0 r2 r2 2vmax r dr = 2vmax = 2 r0 0

r0 0

r3 3r0

r0 0

1 1 1 = 2vmax r02 = r02 vmax , 2 3 3

odakle je,

vmax

QV 4 0.021m 3 s 1 = = = 1.02ms 1 1 2 1 r0 (0.14m) 2 3 3

Zakon protoka koliine gibanja za mirni kontrolni volumenIz ope fizike poznato nam je da je rezultantna sila F koja djeluje na masu m i izaziva njezino ubrzanje, jednaka promjeni koliine gibanja r v p = mv mase, tj.

r

r r dp F = . dt

(1)

To je II. Newtonov zakon koji emo ovdje primijeniti na teenje fluida. Pretpostavimo najprije nestacionarni reim teenja fluida. Ukoliko se gustoa fluida mijenja od toke do toke strujnog polja, ukupni maseni protok Qm (m3/s) KP, mirnog fiksnog, (u inercijskom, mirnom, referentnom sustavu nepominog) kontrolnog volumena (kojemu se oblik tijekom vremena ne mijenja) jednak je,110

r r Qm = v dS 0 ,KP

(2)

gdje je v lokalna brzina estica fluida u odnosu na inercijski referentni sustav.

r

r r r r r r r r dQP = v v dS elemantarni protok Mnoenjem dQm = v dS s v slijedi r koliine gibanja kroz elementarnu povrinu dS kontrolne povrine. Ukupni r kgms 1 r kroz KP jednak je, protok koliine gibanja QP s

r r r r r r QP = Qm v = v v dS .19KP

(3)

Kako je dV = dm masa elementa (kapljice) fluida, a v dV = v dm = dP njegova koliina gibanja, to je volumni integral,

r

r

r

r r PKV = v dV ,KV

(4)

r jednak koliini gibanja PKV fluida sadranog u fiksnom KV u promatranom r trenutku. U skladu s (1), brzina promjene koliine gibanja PKV fluida r sadranog u kontrolnom volumenu jednaka je derivacija PKV po vremenu,r r r PKV = v dV = F , t KV t

(5)

19

Uoite

da

je

mjerna

jedinica

iznosa

vektora

r r r v v dS

jednaka

m kg m 2 kgm m = 2 = N . s m3 s s111

rezultat je djelovanja zbroja svih sila F koje djeluju na masu fluida u kontrolnom volumenu kao na slobodno tijelo.

r

Reynoldsov transportni teorem za mirni KVr U skladu s Reynoldsovim transportnim teoremom20, zbroj F svih sila koje djeluju na masu fluida u mirnom KV jednak je zbroju brzine promjene r r v dV koliine gibanja PKV fluida sadranog u KV i ukupnog protoka t KV

r kgms 1 koliine gibanja QP kroz KP, s

r r r r r F = v dV + v v dS . t KV KP

(6)

r r r r Ukupna sila F ukljuuje tlane sile P = n pdS 21 na KP, volumne sile KP r r r FV , kao to su sila tea G i elektromagnetske sile FEM koje djeluju na fluid u r KV te sile reakcije R tijela u dodiru s KP ili koje KP presijeca, a koje sjeluju na KP,r r r v v F = P + FV + FEM + R . 20

(7)

kojim emo se ovdje posluiti ne dokazujui njegovu egzistenciju

21

U sluaju zatvorene povrine jedinini vector n ima uvijek

r

smjer vanjske normale. 112

Jednadba (6) je vektorska jednadba i kao takva u trodimenzionalnom Kartezijevom sustavu ima tri projekcije na koordinatne osi. Tako, primjerice, projekcija na koordinatnu os X ima oblik,

FX =

v x dV + v X v X dS X . t KV KP

(8)

Ukoliko je strujanje fluida stacionarno, tada ukupna koliina gibanja unutar r r KV tijekom vremena ostaje konstantna, PKV = v dV = const. , tako da se (6)KV

pojednostavnjuje na

F = v v dS .KP

r

r

r

r

(9)

Budui da rje vektor povrine dS usmjeren od KP okomito na element r r povrine dS , to e skalarni produkt v dS u (9) biti negativan za ulazni (kut r r to ga zatvaraju vektori v i dS jednak je ), a pozitivan (kut to ga r r zatvaraju vektori v i dS jednak je 0 ), za izlazni protok koliine gibanja iz r KV kroz elementarnu dS povrinu KP.

r

Posebni sluajeviZbog povrinskog integrala po KP jednadba (9), ak i u stacionarnom reimu teenja, nepraktina je za primjenu pri reavanju inenjerskih problema. Stoga emo jednadbi (9) dati algebarsku formu uvodei masene r protoke Qmi i srednje brzine toka v si na svakom ulazu i izlazu iz KV. U mnogim praktinim primjenama fluid prolazi granice kontrolnog volumena (kontrolnu povrinu) na vie mjesta, ulaza i izlaza, unosei tako i odnosei koliinu gibanja u jedinici vremena. Zbog jednostavnost, kontrolni volumen odabire se, crta, uvijek tako da mu je povrina okomita na ulazni odnosno izlazni tok (crte 7).113

Uzmimo sluaj kada na kontrolnoj povrini postoji ukupno j ulaza te i izlaza (crte 7) na kojima je pripadna r brzina toka v uniformna, tj. u svakoj toki presjeka ulaza i izlaza jednaka pripadnoj srednjoj r r brzini toka v sj , vsi 22, a gustoa je konstantna veliina. Tada integracija u r r (9) daje23 ( v sj i vsi su stalni vektori, vektori koji se s vremenom ne mijenjaju), (10)

Crte 7 . Crteom je prikazan tipini inenjerski problem u kojem kontrolni volumen ima vie ulaza i izlaza. Na ulazima u kontrolni volumen maseni protoci Qm su algebarski negativni, dok su na

r izlazima algebarski pozitivni. Brzine v si su srednje brzine toka.

r r r r r F = v v dS = Qmi , izlazni vis Qmj , ulazni v js , KP i j

ili izraeno u projekcijama na koordinatne osi,

FX =Y

i

( v isX Q mi ) izlaz isY

(vj jsY

jsX

Qmi ) ulaz ,

F = (v Fi Z i

Qmi )izlaz

(vj

Qmi )ulaz ,

= (visZ Qmi ) izlaz (v jsZ Qmi ) ulaz .j

(11)

22

Aproksimacija uniformnog toka, tj. uvoenje srednje brzine toka prihvatljiva je na primjer u sluajevima dobro zaobljenih ulaza u cijevi. 23 Treba imati na umu da u promatranom sluaju protok fluida postoji samo na ulazima i izlazima dok je preostala KP za fluid nepropusna 114

v Poto je sila reakcije R , kojom stijenka koja okruuje KV djeluje na r fluid, r v suprotnog smjera od sile F f kojom fluid djeluje na stijenku, tj., R = F f , to

iz (9) slijedi praktina formula za izraunavanje sile kojom fluid u gibanju djeluje na vrste povrine (objekte),r r r r r v r F f = FV + P v v dS = FV + P +KP

Qi

mi , ulazni

r r vis Qmj , izlazni v js (12)i

Jednadba (12) predstavlja najee koritenu aproksimaciju u inenjerskim analizama. Nikako se nesmije ispustiti iz vida da jednadba (12) predstavlja vektorski zbroj. Jednadba (12) govori da je u sluaju stacionarnog strujanja ukupna sila kojom fluid djeluje na fiksni, u inercijskom sustavu mirni, kontrolni volumen jednaka vektorskom zbroju tokova koliine gibanja na jednodimenzio