Stabilnost konstrukcija, predavanja dr Ratko Salati 1

Slika 2.1

2. STATIKE METODE ODREIVANJA KRITINOG OPTEREENJA

2.1 DIREKTNA METODA - POSTUPAK SA DIFERENCIJALNIM JEDNAINAMA Posmatranom sistemu zadaje se deformacija koja e se prema obliku pomeranja poklopiti sa oekivanom novom formom ravnotee sistema posle gubitka stabilnosti, a zatim se odreuje intenzitet optereenja, koje je u stanju da odri sistem u novoj formi ravnotee. Primer 2.1 Odrediti vrednost kritinog opte-reenja na tap oslonjen kao to je prikazano na Slici 2.1. Elastino ukljetenje u taki je definisano parametrom , a krutost elastinog oslonca u taki parametrom .

Reenje:

Izraz za moment u proizvoljnom preseku moe se napisati u obliku:

"

Ako se uvede oznaka

, dobija se diferencijalna jednaina sa konstantnim koeficijentima:

"

ije je reenje:

cos sin

Potrebno je tri uslova da se odrede nepoznate , i :

01 2

3

1

0

2 cos sin

3 sin cos

1 0

tg 0oznaka

0

Homogen sistem jednaina ima netrivijalno reenje samo kada je determinanta sistema jednaka nuli:

2 Stabilnost konstrukcija, predavanja dr Ratko Salati

det

1 0

1

1 tg 0

0

0

pa je jednaina stabilnosti:

tg

1 0

ili u drugom obliku:

tg

1

Izvrie se diskusija dobijene jednaine stabilnosti na posebnim sluajevima oslanjanja tapa: 1) Slobodno oslonjen tap na oba kraja

tg

1

0

0 0

odnosno sin 0, to predstavlja karakteristinu jednainu stabilnosti obostrano slobodno oslonjenog tapa.

2) Ukljeten i elastino oslonjen tap

tg

1

1

0 0

tg 1

3) Ukljeten i oslonjen tap

tg

1

0

0 0

tg 4) Elastino ukljeten tap na jednom kraju

tg

1

0 1

0 0

tg

Stabilnost konstrukcija, predavanja dr Ratko Salati 3 Primer 2.2 Odrediti kritinu silu sistema.

Reenje:

8

4 2.0

3

1283

13256

tg 1

1 3

256 1

256

3

tg

6

2.672

0.1116

2.2 DIREKTNA METODA - POSTUPAK SA ALGEBARSKIM JEDNAINAMA RAVNOTEE Oblik deformisane ravnotee forme odreuje se pomeranjima konanog broja taaka. Uslovi ravnotee deformisane konfiguracije daju sistem algebarskih homogenih jednaina po usvojenim pomeranjima. Iz uslova o postojanju netrivijalnih reenja za pomeranja mogu se odrediti vrednosti kritinog optereenja. Od posebnog znaaja moe biti najmanja vrednost kritinog optereenja.

Ovaj postupak odgovara sistemima sa konanim brojem stepeni slobode pomeranja. Ako je usvojen broj stepeni slobode pomeranja manji od stvarnog broja pomeranja, tada je u pitanju priblian postupak, ijom se primenom uproava reenje zadatka stabilnosti.

Sistem algebarskih homogenih jednaina ravnotee za sluaj sistema sa stepeni slobode pomeranja moe se napisati u obliku:

0 0

0

2.1

U ovim jednainama predstavlja veliine zavisne od parametra optereenja. Jednaine (2.1) predstavljaju homogen sistem. Kako gubitak stabilnosti obino nastaje kada su vrednosti , , , razliiti od nule to jednainu stabilnosti dobijamo izjednaenjem determinante koeficijenata uz nepoznata pomeranja , , , , sa nulom:

4 Stabilnost konstrukcija, predavanja dr Ratko Salati

02.2

Forme gubitka stabilnosti odreuju se iz sistema jednaina (2.1) normiranjem, odnosno deljenjem svih jednaina sistema sa . Matrina formulacija zadatka stabilnosti:

0| | 02.3

Primer 2.3 Odreivanja stabilnosti sistema sa dva stepena slobode pomeranja.

Reenje: Data su tri kruta tapa, oslonjena na dva krajnja nedeformabilna i dva srednja elastina oslonca sa koeficijentima krutosti .

Koeficijent krutosti elastinog oslonca brojno je jednak reakciji oslonca usled jedininog pomeranja oslonca. Odavde odreuju se reakcije i , vodei rauna o oznakama datim na slici:

a

Greda 0-1-2-3, nalazi se pod dejstvom aksijalne sile , pa treba odrediti veliinu sile pri kojoj e osim horizontalnog ravnotenog poloaja biti mogue i neko drugo ravnoteno stanje sistema u deformisanom poloaju. Zadati sistem ima dva stepena slobode pomeranja. Usvajaju se pomeranja zglobova kao parametri pomeranja i .

Vrednosti reakcija i dobijaju se iz uslova o nultim momentima svih sila u odnosu na oslonake zglobove.

6 4 0 23

16

6 5 2 0 56

13

b

Posle unoenja vrednosti za reakcije (a) u izraze (b) dobija se:

56

13

16

23 c

Za reenje zadatka primenom postupka sa algebarskim jednainama, korienjem statike metode, treba napisati onoliko uslova ravnotee sistema u deformisanoj konfiguraciji, koliko sistem ima stepeni slobode pomeranja.

0

2 0d

Ako se u izraze (d) unesu veze (c), dobijaju se dve homogene jednaine po parametrima:

Stabilnost konstrukcija, predavanja dr Ratko Salati 5

56

13 0

13

43 0e

Trivijalno reenje jednaina (e) odgovara pravolinijskoj formi ravnotee horizontalnih tapova. Netrivijalno reenje dobija se izjednaavanjem determinante koeficijenata uz nepoznate parametre pomeranja sa nulom:

det 56

13

13

43

0 136 0f

Jednaina (f) reava se po sili :

, 23 ,

32

Vano je odrediti minimalnu vrednost kritine sile ,

. Za odreivanje formi gubitka

stabilnosti sistema, treba odreene vrednosti kritinih sila uneti u jednaine (e).

Tako za sluaj

, sledi:

16

13 0,za 1,

12

Za sluaj P

,sledi:

13

16 0za 1, 2

Forme gubitka stabilnosti prikazani su na slici.

2.3 ENERGETSKE METODE Energetska metoda se zasniva na analizi izraza za punu potencijalnu energiju deformacija sistema u pomerenom stanju. Pomereno stanje sistema bira se tako da se poklapa sa oekivanom formom deformacije sistema, posle gubitka stabilnosti.

Ako se pri odreivanju izraza za punu potencijalnu energiju deformacije sistema, odredi forma gubitaka stabilnosti sa brojem nezavisnih parametara pomeranja koji je jednak broju stepeni slobode pomeranja sistema, tada e energetska metoda dati tano reenje zadatka stabilnosti. Kada je broj nezavisnih parametara pomeranja manji od broja stepeni slobode pomeranja sistema, tada e reavanje za kritino optereenje biti priblino i neto vee od stvarne vrednosti kritinog optereenja.

6 Stabilnost konstrukcija, predavanja dr Ratko Salati Posle izvoenja sistema iz prvobitnog deformisanog stanja u njemu blisko pomeranje stanja, odreuje se rad spoljanjih sila , koji se izjednaava sa prirastom potencijalne energije sistema , odnosno sa negativnom vrednou rada unutranjih sila :

2.4

Jednakost treba sastaviti sa tanou do beskonano malih veliina prvog reda. Kritina sila se dobija iz stava o stacionarnosti potencijalne energije.

2.3.1 Timoenkov energetski postupak Polazei od poznatih reenja analognih zadataka, zadaju se mogue forme gubitaka stabilnosti, uz obavezno zadovoljavanje graninih uslova. Jednaine izvijanja mogu sadrati jedan ili vie nezavisnih parametara pomeranja , , , .

, , , 2.5

Polazei od jednaina oblika (2.5), odreuju se izrazi za rad spoljanjih sila , za prirast potencijalne energije deformacije , odnosno za rad unutranjih sila . Reenjem jednakosti (2.4) dobija se izraz za silu .

, , , 2.6

Veze izmeu parametara , za koje sila dobija minimalne vrednosti, odreena su sistemom jednaina:

0 1,2,

Kako izbor oblika deformacija statikog sistema pri njegovom gubitku stabilnosti predstavlja unoenje dopunskih veza u razmatrani sistem, to vrednost kritine sile nije identiki jednaka stvarnoj vrednosti kritine sile, to ovaj postupak moe uiniti priblinim.

Primer 2.4

Odreivanja kritine sile sistema sa dva stepena slobode

Reenje: Neka je poloaj sistema sa dva stepena slobode posle gubitka stabilnosti isprekidanom linijom.

Prirataj elastine potencijalne energije sistema nastaje pri deformaciji elastinih oslonaca, a jednak je negativnoj vrednosti rada unutranjih sila:

12

12

Kako su reakcije elastinih oslonaca proporcionalne koeficijentima krutosti oslonaca:

Stabilnost konstrukcija, predavanja dr Ratko Salati 7 to izraz za rad unutranjih sila glasi:

2

a

Rad spoljanjih sila odreen je proizvodom . Za proraun veliine pomeranja poprenog preseka u osloncu , u pravcu sile , usled obrtanja sistema tapova za beskonano male uglove, razmotrie se prethodno tap optereen silom .

cos 1 cos

Kako se kod malih vrednosti uglova , vrednost cos moe priblino zameniti izrazom 1 2 2 , to izraz za projekciju pomeranja kraja tapa na prvobitni pravac tapa, usled obrtanja tapa glasi:

2b

Pomeranja kraja b, sistema tapova na slici 2.1, moemo napisati u skladu sa formulom (b), u zavisnosti od uglova obrtanja , 3 i 2 :

2222

32 3

8

5 4

12c

Sada izraz za rad spoljanjih sila glasi:

8

5 4

12d

Ako izraze (a) i (d), unesemo u jednakost , tada sledi:

6

8 5

4e

Izraz (e) daje tane vrednosti kritinih sila samo ako su poznate forme gubitaka stabilnosti, to jest veze izmeu parametara pomeranja i .

Kako su forme gubitaka stabilnosti po pravilu nepoznate, veze izmeu parametara i treba odrediti iz uslova o minimumu izraza (e). Kako u pomenutom izrazu figuriu dva parametra, to treba potraiti reenja jednaina:

628

5 4 16 4

8 5

4 0

628

5 4 10 4

8 5

4 0

Posle sreivanja prve jednaine, dobijamo:

2 3 2

0

3 9

16

43 5

4

Za 2 iz jednaine (e) odreuje se vrednost:

64

8 4 5

8

23

8 Stabilnost konstrukcija, predavanja dr Ratko Salati 2.3.2 Ritz-ov varijacioni postupak Ovaj postupak se zasniva na analizi potpune potencijalne energije deformacija sistema u pomerenom stanju. Kritina optereenja odreuje se iz uslova o minimumu potencijalne energije sistema u poetnom stanju.

Kada je pomereno stanje sistema odreeno parametrima , , , , tada e i izraz za potencijalnu energiju biti odreen u funkciji od istih parametara pomeranja.

Ako se oblik pomerenog stanja prikae jednainom:

gde su sa , , , , obeleeni oblici pretpostavljenih elastinih linija izvijanja, koje zadovoljavaju granine uslove zadatka, tada e izraz za potencijalnu energiju deformacije

, , ,

biti kvadratna funkcija nezavisnih parametara pomeranja , , , . Uslove minimuma potencijalne energije deformacije piemo u obliku:

0 1,2,

Homogeni sistem jednaina doputa netrivijalno reenje u sluaju da je determinanta sistema jednaka nuli.

Primer 2.5

Polazimo od izraza za potpunu potencijalnu energiju deformacije , sistema sa dva stepena slobode pomeranja, razmatranog u primeru 2.4:

12

8 5

4 2

Uslovi ekstremuma ove funkcije parametara pomeranja , daju sledee jednaine

12

16 4

12

10 4

Posle sreivanja dobija se sledei sistem:

4 3

0

523

Ako se uvede oznaka , tada je jednaina stabilnosti:

18 39 18 0 23

Kritina sila odreuje se iz definisane vrednosti za oznaku :

23

23

Stabilnost konstrukcija, predavanja dr Ratko Salati 9 2.3.3 Sluaj stabilnosti tapa na linearno elastinoj podlozi Razmatra se problem stabilnosti tapa zglavkasto oslonjenog na krajevima, koji je celom duinom oslonjen na linearno elastinu kontinualnu podlogu koeficijenta krutosti . Koeficijent krutosti podloge brojno je jednak reakciji podloge po jedinici duine tapa, koja se pojavi pri jedininom pomeranju podloge upravno na nedeformisanu osu tapa.

Kada se tap pod dejstvom aksijalne sile deformie kao na slici, tada na njegovu ravnoteu utiu i sile reaktivnog pritiska podloge, ija je veliina proporcionalna krutosti podloge i veliini ugiba tapa .

Zadatak se reava primenom energetske metode, polazei od zahteva da zbir radova spoljanjih i unutranjih, koji se ostvari na pomeranjima od pravolinijskog do izvijenog poloaja tapa, bude jednak nuli.

0a

Zadata sila vri rad na pomeranju kraja tapa -:

12

b

Zanemarujui potencijalnu energiju sila smicanja kao i sila pritisaka, rad unutranjih sila odreuje se kao zbir radova momenata savijanja i reaktivnih pritisaka elastine podloge:

2

2

c

Pri odreivanju izraza za rad spoljanje sile vodili smo rauna o tome da sila ostaje u punom iznosu u toku celog procesa deformacije, dok reaktivne sile , kao i momenti savijanja , rastu od nule do svoje pune vrednosti, pa je zato njihov rad na odgovarajuim pomeranjima jednak polovinama proizvoda sila i pomeranja. Ako se izrazi (b) i (c) unesu u (a), dobija se:

2

2

2

0

Vrednost kritine sile odreena je sledeim kolinikom:

d

Iz izraza (5), zakljuujemo da postojanje lineano elastine otporne podloge poveava vrednost kritine sile. Za odreivanje veliine kritine sile treba prethodno zadati oblik elastine linije . Ako se usvoji oblik elastine linije odreen sinusnom funkcijom:

sin

e

koja zadovoljava granine uslove:

0 0 0 0

0 0 f

Tada se lako mogu odrediti vrednost potrebnih integrala:

10 Stabilnost konstrukcija, predavanja dr Ratko Salati

sin

2

cos

2

sin

2

Kada se vrednosti odreenih integrala unesu u izraz (5) dobija se:

g

Za odreivanje minimalne vrednosti kritine sile potrebno je znati koliki je broj polutalasa . Kako broj polutalasa zavisi od koeficijenata krutosti podloge , to e se potraiti ona vrednost , pri kojoj postoje jednake mogunosti za izvijanje tapa sa jednim i sa dva polutalasa, dva i tri polutalasa, itd.

1

4

4

4

4

4 9

9

36

Rezultate izraavanja mogu se prikazati na sledei nain:

4

1

4

36

2

36

144

3

Posle odreivanja broja polutalasa koji odgovara odreenoj vrednosti koeficijenata krutosti podloge , za odreivanje vrednosti kritine sile , primenjuje se formula (g).

2.3.4 Sluaj stabilnosti pritisnutog pojasa reetkastog nosaa

Pritisnuti pojas reetkastog nosaa bez spregova za ukruenje moe se izvijati izvan ravni reetke. Ovakav pojas moe se razmatrati kao tap optereen podunim silama cos , koje deluju u presecima u kojima su vezane dijagonale. Poluramovi formirani od poprenih nosaa i vertikala pridravaju pritisnuti pojas spreavajui pomeranja u ravni upravnoj na ravan reetke.

Kod reetkastih nosaa sa velikim brojem polja, reakcije poluramova popreni nosa vertikale moemo zameniti raspodeljenim reaktivnim pritiscima kontinualne elastine podloge sa koeficijentima krutosti 11 . Sa 11 obeleena je horizontalna sila koja ostvari jedinino pomeranje polurama u

Stabilnost konstrukcija, predavanja dr Ratko Salati 11 visini gornjeg pojasa reetke. Koncentrisane podune sile cos zamenjuju se raspodeljenim podunim optereenjem, ija je promena odreena prema zakonu trougla.

Maksimalni intenzitet podunog optereenja odreujemo poreenjem povrine trougaonog dijagrama optereenja sa zbirom svih horizontalnih sila na polovini reetkastog nosaa:

4 cos

4 cos

Primena energetske metode sastoji se u izjednaavanju zbira radova spoljanjih i unutranjih sila sa nulom.

12

22

12

2

Iz jednakosti 0 odreuje se veliina kritinog optereenja

2

Kritina sila u srednjem tapu gornjeg pojasa odreena je tada izrazom:

4

Ovaj zadatak reio je Timoenko polazei od izraza za elastinu liniju tapa napisanog u obliku beskonanog reda:

sin

12 Stabilnost konstrukcija, predavanja dr Ratko Salati Ako se izraz za kritinu silu u sredini pritisnutog pojasa reetke napie u obliku:

tada je koeficijent slobodne duine zavisan od krutosti pojasnog tapa u poprenom pravcu , raspona reetke i koeficijenta krutosti elastine podloge . Podaci o koeficijentu slobodne duine u funkciji od krutosti poluramova dati su u tablici.

16 0 5 10 15 22.8 56.5 100 162.8 200 300 500 1000

0.696 0.524 0.443 0.396 0.363 0.324 0.290 0.259 0.246 0.225 0.204 0.174

Literatura

1. uri M., Stabilnost i dinamika konstrukcija, Graevinski fakultet, Beograd 1977. 2. Rankovi S. i ori B., Stabilnost konstrukcija Zbirka reenih zadataka sa kraim izvodima iz

teorije, Nauna knjiga, Beograd 1983.