Stabilnost konstrukcija, predavanja dr Ratko Salati 1 5. INTEGRO-DIFERENCNI POSTUPAK

5.1 INTEGRO-DIFERENCIJALNA JEDNAINA Razmatrajui problem tapa po teoriji drugog reda, u sluaju da je tap promenljivog poprenog preseka, ili da je tap optereen podunim optereenjem, dobija se integro-diferencijalna jednaina pravog tapa po teoriji drugog reda:

1

1

gde su:

Slika 5.1 tap sa proizvoljnim podunim i poprenim optereenjem

5.2 INTEGRO-DIFERENCNA JEDNAINA Nepoznata veliina, ugib ose tapa , nalazi se pod integralom i u diferencijalu, pa je dobijena jednaina integro-diferencijalna. Da bi se jednaina ovog tipa reila, primenie se numeriki postupak primenom matematike diskretizacije problema. tap e se podeliti na delova duine i uoie se

1 taka, u kojima e se za nepoznate usvojiti vertikalna pomeranja ose tapa u diskretnim takama 0,1,2, .

Slika 5.2 Diskretizacija problema

2 Stabilnost konstrukcija, predavanja dr Ratko Salati 1. Diferencijali se zamenjuju konanim razlikama:

2

2. Podeljeno optereenje u i pravcu se zamenjuje ekvivalentnim sistemom koncentrisanih sila. Veliine sistema koncentrisanih sila odreuju se iz uslova da su momenti savijanja u izabranim takama usled zadatog podeljenog optereenja jednaki momentima usled koncentrisanih sila:

62 , , 6

2 , ,

6 ,4 , , 6 ,

4 , ,

6 ,2 , 6 ,

2 ,

3. Integrali se zamenjuju sumama:

Dobija se integro-diferencna jednaina pravog tapa po teoriji drugog reda u taki :

2 1

1 0,1,2,

Ovakva linearna jednaina moe se napisati u svakoj taki usvojene podele 0,1,2, , dakle ukupno 1 jednaina. Na raspolaganju su jo dva granina uslova na svakom kraju tapa, tako da je

ukupno 5 linearnih jednaina. Broj nepoznatih je takoe 5, jer ima 3 nepoznatih ugiba , , , , , i dve statike napoznate i .

Sila najee se moe direktno odrediti iz uslova ravnotee. U suprotnom, moe se usvojiti da je , odnosno da je priblino jednaka vrednosti po teoriji prvog reda, pa se dalji proraun odnosi

na linearizovanu teoriju drugog reda.

Kod primene integro-diferencnog postupka potrebno je razmotriti granine uslove na levom i desnom kraju tapa. Razlikuju se tri karakteristina granina uslova: slobodan, slobodno oslonjen i ukljeten kraj tapa.

a) Slobodan kraj

2

2

Sa i , odnosno i oznaene su zadate brojne vrednosti momenata odnosno poprenih sila na krajevima tapa.

Stabilnost konstrukcija, predavanja dr Ratko Salati 3

b) Slobodno oslonjen kraj

0 0

c) Ukljeten kraj

0 0

2

0

20

5.1 PROBLEM STABILNOSTI Pri razmatranju problema stabilnosti popreno optereenje i temperaturni uticaji su jednaki nuli, pa je: 0 0 0 0

tako da integro-diferencna jednaina sada glasi:

2 2

1 1

0,1,2, Kod problema stabilnosti granini uslovi su homogeni pa je:

0 i 0

Novodobijeni sistem on 1 jednaina zajedno sa etiri homogena granina uslova predstavljaju homogen sistem od 5 jednaina sa istim brojem nepozantih. Do kritinog optereenja za koji ovaj homogen sistem ma reenja zazliita od trivijalnog, ili drugim reima parametar kritinog optereenja se odreuje iz uslova da je detereminanta sistema jednaina jednaka nuli.