prelazni rezim-klasican postupak prezentacija
DESCRIPTION
Prelazni rezimiTRANSCRIPT
Zlata Ž. Cvetković, Električna kola, predavanja, Elektronski fakultet u Nišu, 2010/2011
ELEKTRIČNA KOLA
4. VREMENSKI ODZIV-Klasičan postupak-
Zlata Ž. Cvetković
Funkcije. pobude
� Odskočna ili Hevisajdova funkcija. Opisuje signal koji se
od vrednosti nula za beskonačno kratko vreme uspostavlja na vrednost jedan. Koristi se za modelovanje prekidača u kolu.
h(t )
=
⎧0 , t < 0⎨⎩1, t ≥ 0
Pomerena hevisajdova funkcija
Funkcije pobude
� Impulsna ili delta ili Dirakova funkcija. Opisuje signal
koji beskonačno kratko traje a ima konačan integral po osi vremena. Koristi se za modelovanje procesa koji se odigravaju u zanemarljivo malom vremenskom intervalu u kome se trenutno razmenjuje konačna energija
δ(t ) =⎧ 0 ,⎨⎩∞,
t ≠ 0
t = 0∞
⎧0 , t ≠ 0Ima osobinu da je ∫ δ(τ)d τ =
−∞
⎨⎩1, t = 0
⎧ 0 , t ≠ TPomerena Dirakova funkcija
δ (t − T ) = ⎨⎩∞,
Funkcije pobude
� Usponska ili ramp funkcija
r (t ) = t h (t )
Pomerena usponska funkcija
r (t − T ) = (t
− T )h
(t− T )
Funkcije. pobude
o Odziv kola na Hevisajdovu funkciju naziva se indicioni odziv kola ili indiciona funkcija
o Odziv kola na Dirakovu funkciju naziva se impulsni odziv kola iliGrinova funkcija
o Veze između Hevisajdove, Dirakove i usponske funkcije:
δ (t ) =
d h(t )d t
t
h (t ) =
∫ δ(τ)dτ
0
t
r (t ) = ∫ h (τ)dτ = t h
(t )0
h (t ) =
d r (t
)d t
L
L
d i (t )u (t ) = L L L
d tKalem sa početn.
om energijom
�Kalem sa početnom energijom,
iL (0− ) = I0 , ima struju
1 t 1 0 1 t 1 ti(t) = ∫ u(τ )
dτL −∞
= ∫ u(τ ) dτ
L −∞
+ ∫ u(τ ) dτ
0
= I 0 h(t ) + ∫ u(τ ) dτ0
što odgovara paralelnoj vezi strujnog izvora
vrednosti
I0 h(t )
i kalema bez početne struje
�Rešavanjem prethodne jednačine po naponu dobija se
u(t ) = −LId h(t )
+ L d i(t )
= −LI
δ (t ) + L d i(t )
0d t d t
0d t
što odgovara rednoj vezi naponskog izvora
vrednosti
LI0δ(t )i kalema bez početne struje
Električna kola, 2010/2011
C
d u (t )i (t ) = C C C d t Kondenzator sa poče.tnom energijom
�Kondenzator sa početnom energijom,napon
uC (0− ) = U
0
, ima
1 t 1 0 1 t 1 tu(t ) =
C∫ i(τ ) dτ
−∞
= ∫ i(τ ) dτ
C −∞
+ ∫ i(τ ) dτ
C 0
= U 0 h(t ) + ∫ i(τ ) dτ0
što odgovara rednoj vezi naponskog izvora
vrednosti U 0 h(t )
i kondenzatora bez početnog napona
�Rešavanjem prethodne jednačine po struji dobija se
i(t) = −CUd h(t)
+ C d
u(t) = −CU δ (t) + C d u(t )
0 d t d t
0 d t
što odgovara paralelnoj vezi strujnog izvora
vrednosti CU 0δ(t
)
i kondenzatora bez početnog napona
Električna kola, 2010/2011
L
C
Akumulirana energija
y Kalem i kondenzator su elementi koji mogu da (sakupljaju)akumuliraju energiju i nazivaju se dinamički elementi
y Energija kalema se može izraziti preko struje kalema
wL (t ) = 1 L i 2 (t )
2y Energija kondenzatora se može izraziti preko napona na
kondenzatoruwC (t ) =
1 C u 2 (t )
2y Naponi kondenzatora i struje kalemova ne mogu trenutno da
se promene i čine stanje kola
Električna kola, 2010/2011
Jednačina odziva:
y Jednačine stanja su jednačine kola po strujama kalemova i naponima kondenzatora i pobudama
y Jednačina odziva se izvodi iz jednačina stanja i u opštem slučaju to je linearna nehomogena diferencijalna jednačina sa konstantnim koeficijentima po traženom odzivu
y Odziv je napon ili struja u kolu usled akumulirane energije na dinamičkim elementima, ili pobude, ili i jednog i drugog
y Trenutak vremena od koga počinjemo da određujemo odziv jetrenutak komutacije, to je nulti trenutak na osi vremena, t = 0
Električna kola, 2010/2011
Trenutak komutacije može da bude:
y Trenutak obrazovanja kola
y Trenutak zatvaranja prekidača ili promene položaja preklopnika
y Trenutak skokovite promene pobude
y Trenutak uključenja ili isključenja izvora energije
y Trenutak dodavanja ili uklanjanja elementa ili grupe elemenata kola
t = 0
Kolo u prelaznom režimu se rešava za t ≥ 0+
Električna kola, 2010/2011
C
L 0 C 0
L
L L C
Nezavisni i zavisni početni uslovi:
y Struje kalemova i naponi kondenzatora u trenutku komutacije sunezavisni početni uslovi kola
y Nezavisni početni uslovi se zadaju u trenutku neposredno pre−komutacije u t = 0 , a to su
i (0− )= I u (0− )= U
y Svi ostali početni uslovi su zavisni početni uslovi, a to su
i (0+ ) uC (0+ )y Ako su nezavisni i zavisni početni uslovi isti komutacija je
regularna pa jei (0− )= i (0+ ) u (0− )= u (0+ )
y u protivnom je komutacija neregularna
Električna kola, 2010/2011
Odziv kola:
12
y Posmatraćemo kola koja sadrže jedan i dva dinamička elementa
y Ona se mogu opisati diferencijalnim jednačinama prvog i drugog reda
y Rešavaćemo ih u prelaznom režimu primenom klasičnog postupka
y Odziv kola je posledica postojanja akumulirane energije na dinamičkim elementima ili pobude, ili i jednog i drugog
Električna kola, 2010/2011
Kompletan odziv kola:
y Potpuni ili kompletan odziv kola, x(t ) , posle trenutka nula plus, se sastoji od dve komponente
x(t ) = xp (t ) +
xs (t )
{ Prinudne (ustaljene) komponente,
xp (t ), koja predstavlja
odziv na pobudu i zato zavisi od oblika pobudnog signala i
{ Sopstvene (prelazne) komponente,
xs (t ), koja predstavlja
odziv na nezavisne početne uslove, zavisi od konfiguracije
Prinudna komponenta odziva:
y Prvo se odredi prinudna komponenta odziva
xp (t )
y Prinudna komponenta odziva, xp (t ) , ima oblik pobude iodređuje se iz nehomogene diferencijalne jednačine
y U slučajevima kada je pobuda jednosmerna ili prostpriodična može se direktno odrediti iz kola u stacionarnom stanju
Električna kola, 2010/2011
Kola prvog reda, RL i RC kolo
yKola koja sadrže jedan dinamički element su kola prvog reda(RL i RC kola)
yZa opisivanje stanja kola dobija se diferencijalna jednačina odziva prvog reda u obliku
dx(t )+ a x(t )=
dt
f (t )
Na osnovu homogenog dela diferencijalne jednačine formirase karakterističa jednačina
a njeno rešenje je s = −a
s + a = 0
Električna kola, 2010/2011
1
2
Kola drugog reda, RLC kolo
y Kola drugog reda se mogu opisati diferencijalnom jednačinom drugog reda jer sadrže i kalem i kondenzator (RLC kolo)
y Opšti oblik diferencijalne jednačine odziva drugog reda jed 2 x(t )
+ ad x(t )
+ a x(t )= f (t )d t 2
1 d t
2
Karakteristična jednačina je oblika
a njena rešenja su
s 2 +a1s + a2 = 0
s = − a1 ±
⎛ a ⎞⎜ ⎟ − a = −
a1 ± D = σ ± D1, 2 2 ⎝ 2 ⎠2
2
Električna kola, 2010/2011
Koreni karakteristične jednačine:
Zavisno od vrednosti diskriminante D razlikuju se sledeći slučajevi:
y Aperiodičan slučaj kada je D>0 pa su rešenja realna irazličita, s1 = σ1
,
s2 = σ 2
y Kritično aperiodičan slučaj je za D=0 pa je σ1 = σ 2 = σ
y Pseudo periodičan slučaj je za D<0 kada su rešenjakonjugovano kompleksna, = * = σ + jωs1 s2
y Prostoperiodičan slučaj je za D<0 i σ = 0 , kada je
Sopstvena komponenta odziva:xs (t )
Sopstvena komponenta odziva, xs (t ), zavisi od kola iodređuje se iz homogenog dela diferencijalne jednačine.Zavisno od s je:
y Za kolo prvog reda oblika xs (t ) =Ae st
yZa aperiodičan slučaj ima oblik xs (t ) =
Aeσ1 t + Beσ 2 t
yZa kritično aperiodičan slučaj xs (t ) = (A
+
tB)eσ t
p
Određivanje integracionih konstanti A i B:
y Diferencijalnu jednačinu odziva reševamo sa početnimuslovima za promenljivu i njene izvode u trenutku t = 0+
y Za kolo prvog reda konstanta iznosi A = x(0+ )− x (0+ )y Kod kola drugog reda konstante A i B se određuju iz
+diferencijalne jednačine odziva u trenutku t = 0 i još jednejednačine koja se formira tako što se izraz za kompletan odziv diferencira po vremenu,
d x(t )
d t=
d xp (t ) +
d t
d xs (t )
d t
Električna kola, 2010/2011
p s
Određivanje integracionih konstanti A i B :
y Rešavanjem sistema jednačina
x(0+ ) = x (0+ )+ x (0+ )
d x(t ) d x (t ) d x (t )d t t
=p
= 0+ d t t = 0+ + s
d t t = 0+
određuju se konstane A i B za kolo drugog reda
Električna kola, 2010/2011
Algoritam rešavanja zadatka primenom klasičnog postupka - REZIME:
21
y Prvo se odrede nezavisni početni uslovi u t = 0−
y Zatim se odrede zavisni početni uslovi u t = 0+
y Ispišu se jednačine stanja i formira diferencijalna jednačinaodziva
y Iz homogenog dela diferencijalne jednačine odziva se odrede kompleksne učestanosti s
y Pretpostavi se rešenje za kompletan odziv kola kao zbir prinudne i sopstvene komponente odziva
y Prvo se odredi prinudna komonenta odziva iz stacionarnog stanja
y Na kraju se odrede konstante u sopstvenom odzivu, izpočetnih uslova u t = 0+
Električna kola, 2010/2011
Pitanja za usmeni:
1. Hevisajdova funkcija2. Dirakova funkcija3. Usponska funkcija4. Predstavljanje početne energije kalema preko strujnog i
naponskog generatora5. Predstavljanje početne energije kondenzatora preko
naponskog i strujnog generatora6. Nezavisni i zavisni početni uslovi u kolu – primeri7. Kola prvog reda, RC i RL kola8. Prinudna komponenta odziva kola za jednosmernu,
eksponencijalnu i prostoperiodičnu pobudu – primeri9. Određivanje integracionih konstanti odziva10.Kompletni odziv kola
Električna kola, 2010/2011