THE  SCOTS  COLLEGE  

 

MATHEMATICS  EXTENS ION   I  

PREL IMINARY  YEARLY  

17TH  SEPTEMBER  2012  

GENERAL  INSTRUCTIONS  

• Reading  time  –  5  minutes  • Working  time  -‐  1.5  hours  • Write  using  black  or  blue  pen  • Board-‐approved  calculators  may  be  

used  • Marks  may  be  deducted  for  careless  

or  messy  working  

WEIGHTING  

40%  

TOTAL  MARKS    

56  

 

SECTION  I  (10  MARKS)  

• Multiple  choice  section  • Answers  to  be  recorded  on  the  

multiple  choice  answer  sheet  provided  • Allow  about  15  minutes  for  this  

section  

SECTION  II  (46  MARKS)  

• Extended  response  section  • Questions  11-‐  14  • Answers  to  be  recorded  in  the  answer  

booklets  provided  • Each  question  must  be  completed  in  a  

new  answer  booklet.  • Clearly  label  the  booklet  order  if  more  

than  one  booklet  is  used  for  a  question.  (E.g.  Book  1  of  2  and  2  of  2)

Learning  Intentions   Marks  Allocated  Functions   13  Parametrics   11  Further  Trigonometry   18  Further  Algebra   3  Calculus   5  Circle  Geometry   6  

SECTION  I           MULTIPLE  CHOICE  QUESTIONS    

QUESTION  1  

Two  lines, y = 2x + 5 and 5x + 6y+3= 0 ,  intersect  on  a  Cartesian  plane.  The  value  of  the  acute  angle  between  the  lines  is  closest  to:  

(A)       77°  

(B)   283°  

(C)   133°  

(D)   103°  

QUESTION  2  

The  oblique  asymptote  of  the  curve   y = x + 1x +3

 is  

(A)       y  =   x  

(B)   y  =  1x  

(C)   y  =  1x +3

 

(D)   Non-‐existent  

QUESTION  3    

Find  the  Cartesian  equation  to  the  parametric  equations   x = cotθ and   y = sinθ  

(A)     x2 + y2 −1= 0  

(B)     xy2 = cosθ  

(C)       y+ x2 =1  

(D)         y2 = 11+ x2

 

   

QUESTION  4    

The  point  X  has  coordinates  (2,  -‐4).  The  point  P(1,  5)  divides  the  interval  XY  internally  in  the  ratio  2  :  3.  Find  the  x-‐coordinates  of  the  point  Y  

(A)     − !!  

(B)     !!  

(C)      75  

(D)        85  

QUESTION  5  

The  equation  for  the  chord  of  contact  of  tangents  from  the  parabola   x2 = 25y  from  an  external  point  (-‐2,  3)  is  

(A)       −6x = 25 y+ 2( )  

(B)   4x = 25 y−3( )  

(C)   6x = 25 y− 2( )  

(D)   −4x = 25 y+3( )  

QUESTION  6    

Evaluate   limx→∞

2x−4 + 5x2 +1x2 + x

 

(A)   Undefined  

(B)   0  

(C)   5  

(D)   ∞  

   

QUESTION  7  

Solve   x −1 ≤ 2    

(A)       All  real  values  of  x  

(B)   −3≤ x ≤ 3  

(C)   x ≤ 3    

(D)   −1≤ x ≤1  

QUESTION  8    

sin θ + 45°( ) = − 711  and   cos θ + 45°( ) < 0 .  If  𝜃  is  an  acute  angle,  find  the  value  of   tan θ + 45°( )  

(A)  7 212

 

(B)  711

 

(C)    6 27

 

(D)   Undefined  

QUESTION  9    

The  solution  to  1

x − 2> 5  is  

(A)   2 < x < 115

 

(B)   2 ≤ x ≤ 115

 

(C)   x ≥ 115, x ≤ 2  

(D)   x > 115, x < 2  

   

QUESTION  10    

In  the  diagram  below  the  chord  AD  is  at  right  angles  to  DC  and  DC  is  a  tangent  to  the  circle.    

DIAGRAM  NOT  TO  SCALE  

     

If  the  length  AB  is  4  units,  BC  is  6  units,  the  diameter  of  the  circle  is  

(A)   2 10  

(B)   4 5  

(C)   4 10  

(D)    None  of  the  above  

END  OF  SECTION  I  

   

DC

B

A

SECTION  II     ANSWER  EACH  QUESTION  IN  A  NEW  BOOKLET  

QUESTION  11     START  A  NEW  QUESTION  BOOKLET     14  MARKS  

a) Solve   x −1 = 3x + 2   2  marks      

b) T(4t,  2t2)  and  W(4w,  2w2)  are  two  points  on  the  parabola   x2 = 8y    

 

i. Show  that  the  equation  of  the  normal  at  T  is  x + ty = 4t + 2t3    

2  marks  

ii. TW  is  a  focal  chord.  Show  that   tw = −1    

2  marks  

iii. The  equation  of  the  normal  at  W  is   x +wy = 4w+ 2w3  (DO  NOT  SHOW  THIS).  If  the  normal  at  T  and  the  normal  at  W  intersect  at  Point  G,  show  that  the  coordinates  of  G  are

−2tw(t +w), 4+ 2(t2 + tw+w2( )    

3  marks  

iv. Hence  find  the  locus  of  G   2  marks      

   

c) y = 2−3xx

+ 2  

 

 

i. State  a  restriction  on  x     1  mark    

ii.  Solve   y ≤1   2  marks    

QUESTION  12   START  A  NEW  QUESTION  BOOKLET       10  MARKS  

a) y = 4x − 1x    

 

 

i. State  the  x-‐intercepts  of  the  function    

1  mark  

ii. Find  the  asymptotes  of  the  function    

2  marks    

iii. Show  that  the  function  has  no  stationary  points   1  mark    

iv. Sketch  the  curve   y = 4x − 1x  

 

2  marks  

b) 3cos θ( )− sin θ( ) = Rcos θ +β( )  where  R > 0  and  0 ≤ β ≤ 90    

     

i. Find  the  value  of   R  and  β    

2  marks  

ii. Hence  solve  for  θ  if   3cos θ( )− sin θ( ) = −1 0 ≤θ ≤ 360   2  marks  

QUESTION  13     START  A  NEW  QUESTION  BOOKLET       10  MARKS  

   a) In  the  diagram  below,  OD  intersects  the  chord  AC  at  right  angles  and  

O  is  the  circle  centre.  Find  the  value  of   ,  giving  reasons  with  your  answer    DIAGRAM  NOT  TO  SCALE  

5  marks    

   

 

b) A  car,  F,  leaves  a  carpark  at  1pm  and  travels  due  south  at  a  speed  of  60km/h.  Another  car,  E,  heading  due  east  at  80km/h,  reaches  the  same  carpark  at  2pm.          

 

i. Show  that  the  distance,  D,  between  the  cars  at  any  time,  t,  is  

D = 20 25t2 −32t +16( )12  

where  t  is  the  time  from  1pm    

2  marks  

ii. Hence  find  the  minimum  distance  between  the  two  cars    (You  are  not  required  to  show  the  test  of  the  nature  of  the  stationary  point)  

3  marks  

QUESTION  14  ON  THE  NEXT  PAGE  

   

sinθ

C

B

A

D

θ

60°

O

QUESTION  14       START  A  NEW  QUESTION  BOOKLET     12  MARKS  

a) 2sinθ cosθ − sin2θ = 0    

 

i. If   t = tan θ2!

"#$

%& ,  show  that  t  =  0  and   t =

−1± 52

 3  mark  

ii. Hence  find  all  values  of  θ  to  the  nearest  degree  if  0 0  then  the  height  of  Tower  

A  is  restricted  to  H2 >20

tan20  

2  marks  

END  OF  EXAMINATION  

 

 

Tower A

Tower B

H1H2

A

BM