1

Preparação para o teste intermédio de

Matemática 8º ano

Conteúdos do 7º ano

Conteúdos do 8º ano

Conjuntos numéricos

IN

Q

Z

IN0

-3 -56

-12 -4

0

4

1

3

14

9

6

IN - Conjunto dos números Naturais

IN = {1;2;3;4;5;6…}

Z - Conjunto dos números Inteiros

relativos

Z= {… -3;-2;-1;0;1;2;3;…}

Q- Conjunto dos números racionais

Q = z U { números fracionários}

Completa com os símbolos ; ; ; -1 ….. IN 1,4 ….. Z -3 …… Z- 0 …… IN 3 …… IN 4 …… Z-

IN…… Z 2,3 …… Q

2

0,(3)

A raiz quadrada permite calcular o lado de

um quadrado sabendo a sua área.

´ 249A rea cm 49 7cmlado

Raiz quadrada

A raiz cúbica permite calcular a aresta

de um cubo sabendo o seu volume.

3343Volume cm

3 343 7cmaresta

Raiz cúbica

3

Mínimo múltiplo comum (m.m.c)

1º processo M12 = {0;12;24;36;48;60…} M30 = {0;30;60…}

m.m.c = {60}

Determina o m.m.c (12;30)

2º processo 12 2 30 2 6 2 15 3 3 3 5 5 1 1 12 = 22 x 3 30 = 2 x 3 x 5 m.m.c = 22 x 3 x5 = 60

Produto dos factores primos comuns e não comuns de maior expoente

4

Máximo divisor comum (m.d.c)

1º processo D12 = {1;2;3;4;6;12} D30 = {1;2;3;5;6;10;15;30}

M.d.c (12;30)= {6}

Determina o m.d.c (12;30)

2º processo 12 2 30 2 6 2 15 3 3 3 5 5 1 1 12 = 22 x 3 30 = 2 x 3 x 5 M.d.c (12;30) = 2 x 3 = 6

Produto dos factores primos comuns com menor expoente

5

mmc e mdc

Texto

«…de tanto em tanto…» mmc

«…dividir/repartir/agrupar…» mdc

6

Na sequência:

1 , 5 , 9 , 13 , 17,…

Termo de ordem 2? 1

Termo de ordem 5?

Ordem 10

Termo de ordem 14?

O termo geral da sequência é 4n-3.

53144 3

+4

Sequências Numéricas

+4

-3 4 , 8 , 12 , 16

+4

A ordem do termo 37? 40

4 3 37 104 37 34

nn n n 7

17

Qual é a expressão geradora de todos os termos de

cada uma das sequências?

5, 10, 15, 20, 25, 30, …

6, 11, 16, 21, 26, 31, …

5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, …

5n

5n+1

3n+2

Regra: somar cinco ao número anterior

Regra: somar três ao número anterior

Regra: somar cinco ao número anterior

8

Definição:

Duas grandezas x e y são diretamente proporcionais se a razão entre os seus

valores correspondentes, tomados pela mesma ordem, é constante.

Quando umas das grandezas é zero a outra também é zero.

A representação gráfica de uma situação de proporcionalidade direta é

uma recta que passa pela origem.

A expressão analítica de uma situação de proporcionalidade direta é

onde k é a constante de proporcionalidade direta.

y xk

Proporcionalidade direta

9

Quando uma das grandezas é zero a

outra também é zero.

2 4 6 82; 2; 2 e 2

1 2 3 4

Existe proporcionalidade direta,

porque a razão entre as grandezas é

constante.

A constante de proporcionalidade

direta é 2.

Não existe proporcionalidade

direta, porque a razão entre as

grandezas não é constante.

2,50 3,002,50 e 1,50

1 2

I II

xy 2 Expressão Analítica

10

I II

Representação gráfica de cada situação

Unindo os pontos obtém-se uma reta

que passa pela origem. Unindo os pontos obtém-se uma reta

que não passa pela origem.

Existe proporcionalidade direta, porque

a representação gráfica é uma reta que

passa pela origem.

Não existe proporcionalidade

direta, porque a representação

gráfica não é uma reta que passa pela

origem.

11

42

2

yy x

x Expressão Analítica

Percentagens

5 % de 120 chocolates são _______

5 x 120 = 6

100

6 chocolates em 50 são ___%

50------- 100% x = 6 x 100 =12%

6 -------- x 50

12

Resolução de problemas envolvendo Percentagens

1- O preço de um sofá é de 300€, sem IVA.

Sabendo que o IVA é 20%, quanto é o valor, em euros, do

IVA deste sofá? Qual é o preço final do sofá?

20% de 300 = 300 x 20 = 60 euros

100

300 + 60 = 360 O preço final do sofá é 360 euros.

2- Uma camisola custava 56 euros e a Ana que era amiga da dona da loja, comprou-a por 42 euros. Qual foi a percentagem de desconto? Euros % 56 ------------------ 100 42 ------------------- x x = 42 x 100 = 75% 56 100 – 75% = 25% O desconto foi de 25%.

13

- mesma forma

- mesma dimensão

- mesma forma

- menor dimensão

- mesma forma

- maior dimensão

Ampliação

Figuras Semelhantes

Redução Geometricamente iguais

Semelhança de Figuras

Dois Polígonos são Semelhantes quando têm os ângulos geometricamente iguais

e os lados correspondentes directamente proporcionais.

14

Semelhança de Figuras

medida do lado da figura final

medida do ladoRazão de Se

da figura melha

ininça

cial

Se a razão de semelhança for:

maior que 1, obtemos uma ampliação;

menor que 1, obtemos uma redução;

igual a 1, obtemos uma figura geometricamente igual à original.

15

Triângulos

Critérios de semelhança de triângulos

Dois triângulos são semelhantes se:

Tiverem dois ângulos geometricamente iguais (aa)

Tiverem os três lados correspondentes diretamente proporcionais (lll)

Tiverem dois lados diretamente proporcionais e o ângulo por eles formado for igual (lal)

16

A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º.

Aplicação dos critérios de semelhança de triângulos

Semelhança de triângulos

1. Determina a altura da árvore.

• Serão os triângulos [ABE] e [CDE] semelhantes?

Sim, porque tem dois ângulos geometricamente iguais, o de 90º e o ângulo AEB.

• Determinação da altura da árvore.

sombra altura

5,2 = h

1,6 0,8

h = 5,2 x 0,8

1,6

h = 2,6 m

A altura da árvore é de 2,6 metros.

3,6 + 1,6 = 5,2 m

Semelhança de triângulos

17

Semelhança de triângulos

Relação entre perímetros e áreas de figuras semelhantes

Se dois polígonos A e B são semelhantes e a razão de semelhança de A para B é r, então:

• A razão entre os perímetros de A e B é r. • A Razão entre as áreas de A e B é r2.

PB = r x PA AB = r2 x AA

18

19

Classificação de Quadriláteros

Se dois ângulos têm o vértice em comum e os lados de cada um dos

ângulos estiverem no prolongamento dos lados do outro ângulo, então

chamam-se ângulos verticalmente opostos.

Ângulos opostos formados por duas rectas que se

cruzam.

Os ângulos AOB e COD são

verticalmente opostos.

Os ângulos AOC e BOD

também são verticalmente

opostos.

ˆˆ 60ºCOA DOB

Ângulos Verticalmente Opostos

20

60º

Na figura abaixo os dois ângulos têm os lados paralelos e são ambos

ângulos obtusos (a sua amplitude é maior do que 90º e menor do que

180º).

Os dois ângulos assinalados são geometricamente iguais.

Ângulos de Lados Paralelos

21

110º

110º

x=180º-110º=70º

EQUAÇÕES COM PARÊNTESES

• simplificação de expressões com parênteses:

•Sinal menos antes dos parênteses: Tiramos os parênteses

trocando os sinais dos

termos que estão dentro 53225322 xxxx

•Sinal mais antes dos parênteses: Tiramos os parênteses

mantendo os sinais que

estão dentro. 15231523 xxxx

•Número antes dos parênteses: Tiramos os parênteses,

aplicando a propriedade

distributiva. 22661332 xxxx

22

8625312 xxx

Como resolver uma equação com parênteses.

•Eliminar

parênteses. 8661512 xxx

•Agrupar os

termos com

incógnita.

8661152 xxx

•Efectuar as

operações

312 x

•Dividir ambos os membros pelo

coeficiente da incógnita

3

12x

4

1x •Determinar a solução, de forma

simplificada. C.S =

4

1

23

EQUAÇÕES COM DENOMINADORES

436 3

3

4

2

2

1 xx

•Começamos por reduzir todos os

termos ao mesmo denominador.

6 6 12 4

12 12 12 12

x x

6 6 12 4x x •Duas fracções com o mesmo

denominador são iguais se os

numeradores forem iguais.

•Podemos tirar os denominadores

desde que sejam todos iguais.

12646 xx

182 x

92

18x

24

Esta fração pode ser

apresentada da

seguinte forma 2

3

2

5

2

2

2

3

xx

Sinal menos antes de uma fração

2

3523

xx •O sinal menos que se encontra antes da fração

afeta todos os termos do numerador.

1 (2) (6) (3) (3)

22

18

3

21 xx

7

43

7

43437

348234

334842

xxx

xx

xx

2

18

3

21 xx

•Começamos por “desdobrar” a

fração que tem o sinal menos

antes.(atenção aos sinais!)

•Reduzimos ao mesmo

denominador e eliminamos os

denominadores.

25

EQUAÇÕES COM PARÊNTESES E DENOMINADORES

•Devemos começar por eliminar os parênteses e depois os denominadores

3

12

22

13

xxx

3

1

3

2

22

3

2

3

xxx

(3) (3) (3) (2) (2)

24399 xxx 29439 xxx

112 x 2

11

2

11

xx

C.S.=

2

11

26

Potências

Regras operatórias das potências

•Multiplicação

•Com a mesma base

2-2 x 27 = 25

•Com o mesmo expoente

(-2)3 x (-7)3 = 143

•Divisão

•Com a mesma base

2-2 : 27 = 2-9

•Com o mesmo expoente

(-24)3 : 63 = (-4)3

•Potencia de potência (23)5 = 215

•Potencia de expoente inteiro negativo

Potencia de expoente nulo (-8)0 = 1

27

2

2 1 15

5 25

Notação Científica

Definição: Diz-se que um número está escrito em notação

cientifica se está escrito na forma de um produto de um número a entre 1 e 10 e uma potência de base 10, e escreve-se: a x 10p , com 1≤a<10 e p um número inteiro

Escreve os seguintes números em notação cientifica

6769800 = 6,7698 x 106

0,0000008 = 8 x 10-7

0,0253 x 10-3 = 2,53 x 10-2 x 10-3 = 2,53 x 10-5

76,9 x 105 = 7,69 x 101 x 105 = 7,69 x 106

28

Funções

Definição: Uma função é uma correspondência entre dois conjuntos em que a cada elemento do conjunto de partida corresponde um e um só elemento do conjunto de chegada.

Formas de definir uma função:

•Por um diagrama

•Por uma tabela

•Por uma expressão analítica

•Por um gráfico

29

Funções definidas por um diagrama

Ex. Não são funções Ex. Funções

1 2 3 4

-1 -2 -3

1 2

-1 2

1

2

3

-1 -7 -2 -4 -3

A B

Df = {1;2,3} D’f = {-1;-2,-3} Objetos: 1;2,3 Imagens: -1;-2;-3

A – Conjunto de Partida B – Conjunto de chegada f ( 2 ) = -2 f ( x ) = -x

f

30

Noção de Função. Teste da reta vertical

x

y

Não representa um gráfico de

uma função

Representa o gráfico de uma

função.

x

y

31

Funções definidas por uma Tabela

Dg = {1;2,3;4} D’g = {4;8;12;16} Objectos: 1;2,3;4 Imagens: 4;8;12;16

Variável independente: Lado do quadrado Variável dependente: Perímetro do quadrado g ( 2 ) = 8 g (x) = 4x

Seja a função g definida pela tabela seguinte

Lado de um quadrado (L) 1 2 3 4

Perímetro do quadrado (P) 4 8 12 16

32

Funções definidas por uma expressão analítica

Seja a função h definida pela seguinte expressão analítica

h(x) = 2x -1

•Calcular a imagem sendo dado o objecto h(3) = 2x3 - 1 h(3) = 5 •Calcular o objecto sendo dada a imagem h(x) = 15 2x – 1 = 15 2x = 15 + 1 2x = 16 x = 8

(3;5) e (8;15) pertencem à recta que é gráfico da função h.

33

Funções definidas por um gráfico

•Variável independente: Peso

•Variável dependente: Custo

•j( … ) = 12

•j(1) = …..

•Tipo de função: Linear

•Expressão analítica: j(x) = 6x

34

Uma Função Afim é uma função do tipo

y ax b

O gráfico de uma função afim é uma reta não vertical.

5 32

1 0

B A

B A

y yax x

2 y x b

A a chamamos o declive da reta e b é a ordenada na origem.

30,A 51,B

3 02 b

30,A

3 b

2 3 y x

35

qualitativos

Representam a informação que não suscetível de ser medida, mas de ser classificada.

Exemplos:

-Cor dos olhos dos alunos de uma turma . Podem ser castanhos, azuis ou verdes.

Representam a informação que pode ser medida, apresentando-se com diferentes intensidades, que podem ser de natureza discreta ou contínua.

Exemplo

quantitativos

Notas de Matemática, do 7ºF, no final do 2º período.

Exemplo

Altura dos jogadores da equipa de futebol do FCP.

Estatística – Recolha de dados

Tipo de dados

36

Frequência absoluta (f)

Frequência relativa (fr)

Fr em percentagem

6 %

11 %

11 %

39 %

16 %

11 %

X 100%

1 : 18 = 0,06

2 : 18 = 0,11

2 : 18 = 0,11

7 : 18 = 0,39

3 : 18 = 0,16

1,00

36

37

38

39

40

Total

41

42

1

2

2

7

3

18

2

1

2 : 18 = 0,11

1 : 18 = 0,06 6 %

100 %

Estatística - Tabelas de frequências

Número do sapato

37

Estatística - Gráficos de barras

Número do sapato dos alunos de uma turma

12 2

7

32

1

0

2

4

6

8

36 37 38 39 40 41 42

nº do sapato

freq

uenc

ia a

bso

luta

38

Pictograma = 1 aluno

Estatística - Pictograma

39

Estatística - Gráficos circulares

Frequência absoluta (f)

Graus

20º

40º

40º

140º

60º

360º

x

18 360

1

360

18 x x 20º

36

37

38

39

40

Total

41

42

1

2

2

7

3

18

2

1

40º

20º

x

18 360

2

360x2

18 x x 40º

720

18 x

x

18 360

7

360x7

18 x x 140º

2520

18 x

x

18 360

3

360x3

18 x x 60º

1080

18 x

40

Estatística – Medidas de tendência central

Frequência absoluta (f)

36 1

37 2

38 2

39 7

40 3

41 2

42 1

Total 18

36 1 +37 2 +38 2 +39 7 +40 3+41 2+42 1

18X

36 +74 +76 +273 +120+82+42

18X

703

18X 39,1X

A média do número do sapato dos alunos é 39,1

41

A média (ou média aritmética) de um conjunto de valores é o quociente

entre a soma de todos os valores e o número total de elementos.

A média representa-se por .

X

Estatística – Medidas de tendência central

Frequência absoluta (f)

36 1

37 2

38 2

39 7

40 3

41 2

42 1

Total 18

Moda - É o valor que surge com mais

frequência se os dados são discretos.

Neste caso a moda é 39.

Mediana - Ordenados os elementos, a mediana é o valor que a divide ao meio, isto é, 50% dos elementos da amostra são menores ou iguais à mediana e os outros 50% são maiores ou iguais à mediana.

36;37;37;38;38;39;39;39;39;39;39;39;40;40;40;41;41;42

(39 + 39) : 2 = 39

42

Tabela de frequências

Classes

(Altura dos alunos) N.º de alunos

[145,151[ 5

[151,157[ 3

[157,163[ 3

[163,169[ 4

[169,175[ 8

Total 23

Para organizar estes dados vamos agrupá-los em classes. Tendo em conta o menor e

o maior valor da tabela e que cada classe tem que ter a mesma amplitude, ou seja,

a diferença entre o extremo superior e o extremo inferior da classe.

Na 1.ª classe estão incluídas as

alturas maiores ou iguais a 145 e

menores do que 151.

.

145 151 147 167 175 174 153 167 173 162 169 171

158 149 170 167 168 175 174 157 149 150 156

43

Os gráficos das distribuições usando dados contínuos têm um aspecto diferente dos gráficos de barras das distribuições de dados discretos. Neste caso chamam-se histogramas.

Histograma é um gráfico de barras formado por um conjunto de rectângulos adjacentes

(colados), tendo cada um deles por base um intervalo de classe e por altura a respectiva

frequência.

Histograma

44

Polígono de frequências

Se num histograma unires por segmentos de recta os pontos médios dos lados

superiores de cada rectângulo do histograma, como se fez em baixo, obténs uma outra

forma de apresentar a distribuição, que se chama polígono de frequências.

Nota: Para obtermos os pontos nos extremos da linha poligonal, devemos imaginar que

existe uma classe com a mesma amplitude das restantes e frequência zero, determinar o

ponto médio desta classe e uni-lo aos restantes.

45

3 5

5 0 7 9 9

6 3 6

7 1 3 5 8 9

8 2 3 6

9 4

Esta representação chama-se diagrama de caule-e-folhas.

O caule é a coluna com os números 3, 5, 6, 7, 8 e 9 que representam o

algarismo das dezenas e as folhas que representam o algarismo das unidades de

cada um dos dados.

Pode-se organizar este conjunto de dados utilizando uma representação

gráfica do tipo seguinte:

35, 78, 50, 63, 86, 73, 57, 82,

59, 75, 66, 79, 83, 71, 94, 59

46

Os quartis são valores da variável que dividem a

distribuição em 4 partes iguais, cada uma delas com

25% dos dados totais ordenados.

1.º Quartil 3.º Quartil 2.º Quartil

Diagrama de Extremos e Quartis

47

A amplitude e a amplitude interquartis são medidas indicadas

para estudar a dispersão dos dados.

A amplitude é a diferença entre o máximo e o mínimo do

conjunto de dados (os extremos).

Amplitude e Amplitude Interquartis

Amplitude = máximo mínimo

A amplitude interquartis é a diferença entre o 3.º quartil e o

1.º quartil.

Amplitude interquartis= Q3 Q1 48

Propriedades das isometrias: uma isometria conserva as medidas

dos lados e as amplitudes dos ângulos.

Translação

Rotação

Reflexão

Reflexão

deslizante

49