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Matemática FinancieraTRANSCRIPT
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Dr Franco Iparraguirre, José Antonio ©
Interés y Tasas de Interés
Interés y Tasas de interés
Definición
El rendimiento que proporciona el enajenamientotemporal del dinero, es decir, el importe del alquiler deldinero.
Como importe de alquiler que es, el interés debe referirsea períodos de tiempo y según el capital comprometido.
La expresión porcentual del interés se denomina TASADE INTERES.
Interés y Tasas de interés
Intereses
Capital
inicial
Capital
Final
Capital
inicial
Intervalo de tiempo
Factores que afectan al costo del dinero
Factores
Riesgo
Preferencias de tiempo
para el futuro
Oportunidad de
producciónInflación
|Factores que influyen sobre el nivel de las
tasas de interés
Política del BCR
El Gobierno regula la oferta
monetaria
Déficit del Gobierno
Balanza comercial
A Mayor déficit en
la balanza
comercial en un
país , mayor será
la demanda de
fondos y se
incrementaran las
tasas de interes
Modalidades de Interés
• Interés Simple – los intereses se acumulan en una cuentaaparte.
• Interés Compuesto – los intereses se acumulan en lamisma cuenta del capital, es decir, son objeto de generarmás intereses una vez capitalizados.
El interés compuesto capitaliza los intereses mientrasque el simple no lo hace.
Cuando los intereses se acumulan dan lugar a dos modalidades de acumulación:
Interés Simple
Si un amigo(a) te pide un préstamo de $10.000, podemos decir que el
CAPITAL que has prestado es de $10.000.
Interés Simple
Si tu amigo(a) promete devolverte $11.000 en un mes más, podemos decir
que obtendrás un interés de $1.000.
Interés Simple
Pero además hay otro concepto importante asociado a los dos anteriores.
LA TASA DE INTERÉS, que es el porcentaje que representa el interés sobre el
capital en un periodo determinado.
A este concepto de tasa de interés, también se le denomina RENTABILIDAD en
renta fija.
Interés Simple
En consecuencia, tenemos tres conceptos básicos que serán
permanentemente empleados en operaciones crediticias, Inversiones y
Finanzas en general.
Así abreviaremos :
No confundas interés con tasa de interés. Como ves son muy diferentes. Cuando ustedes consultan
por rentabilidad, puedes asociarla con el concepto de TASA DE INTERÉS.
Interés Simple
Mes CapitalInicial ($)
Interesesgenerados($)
Capital final ($)
Interesesacumulados ($)
1 100,000,000 2,000,000 100,000,000 2,000,000
2 100,000,000 2,000,000 100,000,000 4,000,000
3 100,000,000 2,000,000 100,000,000 6,000,000
4 100,000,000 2,000,000 100,000,000 8,000,000
5 100,000,000 2,000,000 100,000,000 10,000,000
6 100,000,000 2,000,000 100,000,000 12,000,000
Final en cuentas 100,000,000 12,000,000
Total por cancelar 112,000,000
Capital principal = $100,000,000
Tiempo = 6 meses
Tasa de interés = 2% mensual
Operaciones a Interés Compuesto
Tasa de interés compuesto: Es la tasa deinterés por periodo de capitalización.
Frecuencia de capitalización: Tambiénllamado periodo de capitalización o de conversión.Es el número de veces en que se capitalizan losintereses en el tiempo de uso del dinero.
Interés Compuesto
El interés simple es necesario de conocer, pero en la práctica se
emplea muy poco. La gran mayoría de los cálculos financieros se
basan en lo que se denomina INTERÉS COMPUESTO.
Al final de cada período
el capital varía, y por
consiguiente, el interés
que se generará será
mayor.
Interés Compuesto
Lo más importante que debes recordar es que para efectuar el cálculo de
cada período, el nuevo capital es = al anterior más el interés ganado en el
período.
Interés Compuesto
Revisemos cuidadosamente el siguiente desarrollo de la fórmula para
interés compuesto :
Interés Compuesto
Un concepto importante que debes recordar,
se refiere a la CAPITALIZACIÓN de los intereses,
es decir, cada cuánto tiempo el interés ganado
se agrega al Capital anterior a efectos de
calcular nuevos intereses.
En general la CAPITALIZACIÓN se efectúa a
Intervalos regulares :
• Diario
• Mensual
• Trimestral
• Cuatrimestral
• Semestral
• Anual
Interés Compuesto
Se dice entonces :
que el interés es “CAPITALIZABLE”, o convertible
en capital, en consecuencia, también gana interés
El interés aumenta periódicamente durante
el tiempo que dura la transacción.
El capital al final de la transacción se llama MONTO
COMPUESTO y lo designaremos MC.
A la diferencia entre el MONTO COMPUESTO y el
CAPITAL (C) se le conoce como INTERÉS
COMPUESTO y lo designaremos por IC.
Interés Compuesto
De acuerdo a lo que ya hemos revisado respecto a INTERÉS COMPUESTO:
Monto Compuesto, al
final del periodo “n”
estaría dado por :
MC = C*(1+i)^n
En los problemas de
Interés Compuesto el
Principio fundamental
Establece que la Tasa
De Interés y el Tiempo
deben estar en la misma
unidad que establece
la capitalización.
El factor
(1+i)^n
Se denomina FACTOR DE
CAPITALIZACIÓN COMPUESTO
Interés Compuesto
Ejercicio 1 :
¿ Cuál es el MONTO COMPUESTO de un CAPITAL de $250.000
depositado a una TASA del 2% mensual durante 8 meses, capitalizable
mensualmente ?
Seleccionamos la fórmula :
MC = C * (1+i)^n
Reemplazando los valores en la fórmula :
MC = 250.000 * (1+0.02)^8
Efectuando los cálculos se obtiene :
MC = $ 292.915
Interés Compuesto
Ejercicio 2 :
Un CAPITAL de $200.000, colocados a una TASA DE INTERÉS COMPUESTO
del 3,5%, capitalizable mensualmente, se convirtió en un MONTO COMPUESTO
de $ 237.537 ¿Cuánto TIEMPO duró la operación?
Seleccionamos la fórmula :
N = Log MC – Log C / Log (1+i)
Reemplazando los valores en la fórmula :
N = Log 237.537 – Log 200.000
/ Log 1,035
Efectuando los cálculos se obtiene :
N = 5,375731267 – 5,301029996
/ 0,01494035 = 4,999969739 = 5
Interés Compuesto
Ejercicio 3 :
Un CAPITAL de $200.000, colocados durante 5 MESES en un banco, se convirtió
en un MONTO COMPUESTO de $ 237.537, capitalizable mensualmente. ¿Cuál
es la TASA DE INTERÉS de la operación?
Seleccionamos la fórmula :
i = (MC / C ) ^ 1/n - 1
Reemplazando los valores en la fórmula :
i = ((237.537 / 200.000) ^ (1/5)) - 1
Efectuando los cálculos se obtiene :
i = 1,187685 ^ 1/5 - 1i = 1,034999772 – 1 = 0,0349998 = 0,035
Interés Compuesto
Ejercicio 4 :
¿ Cuánto CAPITAL depositó una persona, a una TASA DE INTERÉS del 12%
anual, si al cabo de 2 AÑOS tiene un MONTO COMPUESTO de $ 250.000,
capitalizable anualmente ?.
Seleccionamos la fórmula :
C = MC / (1 + i)^n
Reemplazando los valores en la fórmula :
C = 250.000 / (1 + 0,12)^2
Efectuando los cálculos se obtiene :
C = 250.000 / 1,2544 = $ 199.298
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Tasa de interés efectiva y nominal
Dependiendo de la forma como se liquiden losintereses estipulados en una transacción, entoncesse presentarán diferencias entre el interés“verdadero” y el pactado. Estas tasas se llamantasas de interés efectivas y tasas de interésnominales.
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Tasa de interés nominal
Tasa de interés nominal es una tasa de
interés que se estipula para un determinadoperíodo (por ejemplo, un año) y que se liquida enforma fraccionada, en lapsos iguales o inferiores alindicado inicialmente.
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Tasa de interés efectiva
Tasa de interés efectiva es la tasa de
interés que resulta cuando se liquida una tasa deinterés nominal en períodos menores al estipuladoinicialmente para ella. Dicha tasa puede calcularseen virtud de que el interés es compuesto, ya que lasliquidaciones del mismo se han acumulado.
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Condiciones para la tasa de interés efectiva
Para estos ejemplos, es importante reiterar que uninterés efectivo implica:
liquidación de intereses en períodos de tiempomenores al estipulado para la tasa de interésnominal;
Acumulación (real o virtual) de los interesesgenerados durante el período indicado; y
Interés compuesto.
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Tópicos: Ejemplo
Como ya se sabe, el valor acumulado de $1,000 al2% mensual es 1,000(1+0.02)12. Si se consideraque 2% mensual es lo mismo que decir 24% anualliquidado mensualmente vencido, entonces estaexpresión se puede escribir como
1,000(1+0.24/12) 12
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Tasa de interés efectiva y nominal
Si se generaliza y se piensa que el 24% anualliquidado mensualmente vencido es la tasa deinterés nominal, entonces el valor acumulado es
i=(1+jnom/m)m
El valor de los intereses en el ejemplo es $268.24,(1,268.24 - 1,000). La tasa de interés es268.24/1,000=26.82%
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La efectiva depende de la nominal
La tasa de interés efectiva depende de la tasa de interés nominal.
Tasa nominal Tasa efectiva
anual anual
12% 12.68%
18% 19.56%
24% 26.82%
30% 34.49%
36% 42.58%
Temas:
1. Ecuaciones de Valores Equivalentes a Interés Simple
2. Tasa de Interés adelantada o Descontada
3. Tasa vencida (i) equivalente de una operación de tasa adelantada
4. Cálculo de factores de descuento
5. Interés Compensatorio
6. Interés moratorio
7. Costo Efectivo
8. Costo Efectivo con retención
9. Interés adelantado con comisión Flat
Ecuaciones de Valores Equivalentes
Entonces:
Ecuaciones de valor equivalente a interés simple
Supongamos que usted tiene ante un mismo acreedor
tres obligaciones diferentes, con cantidades diferentes
e inclusive plazos diferentes. De pronto usted llega a
un acuerdo con ese acreedor, para reemplazar todo
ese conjunto de obligaciones por un nuevo plan de
pagos, cambiando las cantidades y plazos. Ese nuevo
conjunto se condiciones debe ser equivalentes al
conjunto original o anterior.
Para poder efectuar debidamente los cálculos se siguen los siguientes pasos:
• Se dibuja un diagrama de tiempo ( también se le dice un eje de tiempo) y se
sitúan en la parte en la parte superior las condiciones antiguas
• En la parte inferior se sitúan las nuevas condiciones
• Luego todas las condiciones (tanto las antiguas como las nuevas) se
trasladan a una fecha común fijada por ambas partes, fecha llamada “ fecha
focal”• Esta fecha focal es el día en que evalúa y por tanto se valoriza la obligación
global.
•En ese punto del tiempo ambos conjuntos de condiciones se igualan en una
ecuación, para que de esta manera posible calcular el pago o pagos
necesarios, que en la ecuación colocaremos como incógnita.
Por tanto:
Los pasos para ejecutar las ecuaciones de valor
equivalente a interés simple (I)
En resumen:
Ecuaciones de valor equivalente a interés simple (II)
Ejercicio de aplicación
•El comerciante peruano Isidoro Fuentes tiene ante el
prestamista Juan Perez las siguientes deudas
•S/. 3 000 que debe pagar hoy
•S/. 6 000 que debe pagar dentro de dos meses
•S/. 10 000 que debe pagar dentro de cuatro meses
Llega a un acuerdo con el señor fuentes, para entregarle hoy
S/ 2000 y cancelar el saldo de todas sus obligaciones con unpago Q dentro de 6 meses. La tasa de interés que ambos fijan es
de 27% anual simple. Hallar ese pago Q. la fecha focal es el díade hoy.
Solución
Paso 1: Dibujar el diagrama
10 0006 0003 000
Q
2 000
Hoy
10 0006 0003 000
Q
2 000
Hoy
Cada división en el eje representa un mes
Todas las cantidades, tantos antiguas como nuevas, se llevan o trasladan a la fecha focal FF. En ese punto de igualan la ecuación
3000 + 6000(..)+10000(..) = 2000 +Q(…)
FF FF
•Los importes de S / 3000 y los 2000 están situados en el mismo
día de la fecha focal
•En cambio los 6000 y 10 000, así como la cantidad incógnita Q
están situado después de la fecha focal. Por tanto a que quitarle
los intereses para poder llevarlas a la fecha focal.
•Ojo en este caso la unidad de tiempo es el mes, y la tasa que noshan dado es anual por que a interés simple seria:
0.27 = tasa anual, 0.27/12= 0.0225 equiv a la tasa mensual
•Entonces para cada una de las series se debe actualizarlaaplicando el factor de actualización:
1 1+ in
3000 + 6000 * 1 + 10 000 * 1 = 2000+ Q* 1 1+ in 1+ in 1+ in
Recordemos que n indica el número de meses, y que el valor de i es 0.0225.
3000 + 6000 * 1 + 10 000 * 1 = 2000 + Q * 1 1+0.0225*2 1+0.0225*4 1+0.0225*6
3000 + 6000 * 1 + 10 000 * 1 = 2000 + Q * 1 1.045 1.09 1.135
Operando: 3000+6000(0.95693779)+10 000(0.917431192) = 2000+ Q(0.881057268) 3000 +5741.63 +9174.31 = 2000 + Q( 0.881057268) 3000+5741.63+9174.31-2000 = Q(0.881057268) 15 915.94 = Q(0.881057268) Q= 15 915.94 0.881057268 Q = 18 064,59 Importe que deberá entregar el deudor dentro de seis meses.
Otra Modalidad En la fecha focal FF (hoy), luego de efectuar el pago parcial de S/. 2000 el señor Isidoro, queda debiendo la siguiente importe
Deuda vencida Hoy = S/. 3000.00 Pago parcial hoy = S/. 2000.00 Valor actual (hoy) de los 6000 = S/. 5741.63 Valor actual hoy de los 10000 = S/. 9174.31
Deuda neta FF (Hoy) = S/. 15 915.94
Como el deudor va a pagar su obligación total seis meses después del día en que se evalúa la deuda (el día de la FF que en este caso es hoy), a esa deuda actualizada de hoy le aplicamos un facto de acumulación de interés simple (1+in), donde n = 6. E resultados es: 15 915.94* (1+ in) 15 915.94* ( 1+0.02256*6) 15 915.94*( 1+ 0.135) 15 915.94*(1.135) 18 064.59
Importancia de la fecha focal: Es fundamental tener en cuenta que, al variar la fecha focal, los resultados cambian.
Desarrollen el mismo caso, pero ahora teniendo en cuenta que la
fecha focal es dentro de cuatro meses, es decir, el día en que se debían pagar los 10 000 soles. Sobre el mismo caso anterior Isidoro utilizara las siguientes deudas. - S/. 3000 que debe pagar hoy - S/. 6000 que debe pagar dentro de dos meses - S/. 10 000 que debe pagar dentro de cuatro meses
Isidoro llega a una acuerdo con Juan perez, para entregarle hoy S/.2000 y cancelar de todas maneras sus obligaciones con un pago Q dentro de seis meses. La tasa es 27% anual.
Caso aplicativo
Tasa de Interés adelantada o Descontada
La tasa adelantada o descontada es aquella que se aplica cuando los intereses de
una operación financiera son cobrados por adelantados
(Interés Adelantados) i(vencida)
0 n
_______i
(1+i)
=id
Trae al punto cero el interés vencido
Tasa vencida (i) equivalente de una
operación de tasa adelantada
_______i
(1+i)id =
i = tasa de interés vencida
Tasa de interés adelantada o descontada
Tasa de vencida (i) equivalente de una operación de tasa adelantada
_______d
(1-d)i
Ejemplo: A que tasa efectiva de interés es equivalente a una tasa adelantada
de 15%
n= VencidaAdelantado
0 n
Cálculo de factores de descuento
Son tasas adelantadas, pues se aplican sobre valores nominales de títulos
y valores. Se obtienen a partir de una tasa efectiva vencida que es
descontada
_______i
(1+i)
id
Calcule el factor de descuento que se debe aplicar a un pagaré de S/. 20 000
cuyo vencimiento será dentro de 43 días, si la TEA es de 16%.
id43 J (1+TEA)1/m
m=
id = (1+TEA)d/a -1
1+[(1+TEA)d/a -1]
• Interés Compensatorio
Representados por la tasa activa para las colocaciones y tasa pasiva para las
captaciones, que cobran las empresas del sistema financiero en el proceso de
intermediación del crédito, para compensar los intereses de los días después del
vencimiento original.
Ejemplo: Un préstamo de 12 000 soles se venció hace 4 días. La tasa
efectiva anual (TEA) actual del banco es de 18%.¿Cuanto corresponde
por interés compensatorios
i4 (1+0.18)4/360 - 1 = 0.001840723
12 000( 0.001840723) = S/ 22.09
• Interés Moratorio, Costo efectivo ,
interès adelantado con comisiones flat
Cuando el deudor no cumple con cancelar lo que debe en la fecha acordada
incurre en mora al día siguiente de la fecha de vencimiento. Se calcula sobre el
principal adeudado. Esta tasa es normada por el BCR en términos efectivos,
según el código civil.
Costo Efectivo
i
(1-i)Cfe =
Costo Efectivo con retención
I +Cf
1-i - CfCfe
Retención: El banco retiene un porcentaje del préstamo
como un colateral y crea un deposito de ahorro
El dinero retenido es devuelto a la cancelación del
préstamo
i
1-i - retenciónCfe =
Interés adelantado con comisiones flat
=
=
Comisión Flat: Gastos que no están relacionado directamente con la tasa de interés, el tiempo
ni muchas veces, el monto del préstamo
Resumen
Clasificación de las tasas
Tasa Pasiva
Tasa de interés nominal proporcional
Tasa efectiva anual (TEA)= Tasa Nomina +
Capitalización
GRACIAS