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Accionamientos eléctricos controlados 1

Presentación

Los accionamientos eléctricos juegan un papel importante como transformadores de

energía electromecánica en el transporte, la manipulación de materiales y en la mayoría de los

procesos productivos. Este libro presenta un tratamiento unificado de los sistemas completos de

accionamiento eléctrico, incluyendo las partes mecánicas, las maquinarias eléctricas y los

transformadores y controladores de energía. Desde su primera publicación en 1985, el presente

libro ha conseguido hallar un lugar en muchos de los escritorios de las industrias y universidades

de todo el mundo. Para la tercera edición, el texto se corrigió y actualizó exhaustivamente, con el

objetivo de ofrecerle al lector un panorama general del campo de los accionamientos eléctricos

controlados, los cuales mantienen y extienden su importancia como la fuente más flexible de

energía mecánica controlada. También se pone especial énfasis en los nuevos adelantos en

relación a los accionamientos trifásicos accionados mediante corriente alterna.


ABREVIATURAS Y SÍMBOLOS 1. Ecuaciones En todas las ecuaciones que comprenden variables físicas, las mismas se describen

mediante el producto de la unidad más un número adimensional, el cual depende de la elección

de la unidad.

Algunas variables son adimensionales debido a su naturaleza, o bien, debido a la

normalización (p.u.: por unidad).

2. Representación mediante estilo de escritura

.),(),( etctuti Valores instantáneos

etcUuIi dd ,,,, Valores promedio

etcUI ,, Valores cuadráticos medios

etcUI ,, Fasores complejos para variables senoidales

etctuti ),(),( Vectores complejos de variación temporal, utilizados en sistemas

polifásicos

etcUItuti *,*,),(*),(* Vectores o fasores complejos conjugados

etctuti ),(),( 11 Vectores en coordenadas especiales

etctiLsI )),(()( = Transformada de Laplace

3.Símbolos

Abreviatura Variable Unidad

)(ta Distribución de la corriente A/m

Aceleración lineal m/s2

Factor adimensional

A Área m2

b Factor de campo adimensional

B Densidad de flujo magnético T = Vs/m2

C Capacidad eléctrica F = As/V

Capacidad de almacenamiento térmico J/°C = Ws/°C

D Razón de amortiguamiento

EEte ,),( Voltaje inducido,

fem: fuerza magnetomotriz

V


f Frecuencia Hz = 1/s

Fuerza N

)(sF Función de transferencia

g Constante gravitacional m/s2

)(tg Respuesta a impulso unitario

G Peso N

Ganancia

h Entrehierro m

IIti ,),( Corriente A

J Inercia kg m2

k Factor adimensional

K Rigidez en la torsión Nm/rad

l Largo m

L Inductancia H = Vs/A

)(tm Torque Nm

M Masa kg

Inductancia mutua H

n Velocidad, vueltas por minuto 1/min

N Número de vueltas

Ptp ),( Potencia W

Q Potencia reactiva VA

r Radio m

R Resistencia Ω

ωσ js += Variable de Laplace rad/s

xs, Distancia m

S Deslizamiento

t Tiempo s

T Constante de tiempo s

UUtu ,),( Voltaje V

)(tv Velocidad m/s

Respuesta a rampa unidad

V Volumen m3


)(tω Respuesta a escalón unitario

Energía J = Ws

x Variable de control y Variable activa

z Variable de perturbación sTez = Variable discreta de Laplace

Y Admitancia 1/Ω =S

Z Impedancia Ω α Coeficiente de transferencia calórica

Ángulo de disparo

Aceleración angular

W/m2 °C

3/2,,,,,,,,

πγρμλξζδβα

=etc

Coordenadas angulares rad

δ Ángulo de la carga rad

Δ Operador diferencial

ε Ángulo de rotación rad η Rendimiento

ϑ Temperatura °C

Temperatura absoluta K

θ Fuerza magnetomotriz (fmm) A

0μ Coeficiente de permeabilidad H/m

v Número entero

σ Factor de dispersión

tdtr , ωω∫= Ángulo, tiempo normalizado rad

ϕ Corrimiento de fase rad ϕcos Factor de potencia

Φ Flujo magnético Wb = Vs ψ Acoplamiento inductivo Wb = Vs

ω Frecuencia angular rad/s


4. Índices

ai Corriente de inducido

ei Corriente de excitación

Fu Voltaje de campo

Si Corriente estatórica

Ri Corriente rotórica

SqSd ii , Componentes directos y en cuadratura de la corriente estatórica

RqRd ii , Componentes directos y en cuadratura de la corriente rotórica

mi Corriente magnetizante

mRi Corriente magnetizante que representa el flujo del rotor

mSi Corriente magnetizante que representa el flujo del estator

Lm Torque de carga

Mm Torque de motor

pm Torque máximo

pS Deslizamiento de torque máximo


5. Símbolos gráficos

)( ydtdyTG

dtdxT += Controlador en PI

yGxdtdxT =+ Retraso de primer orden

)( 21 ydtdyTGx

dtdxT +=+ Retraso / Adelanto de

………………………………………..primer orden

)()( TtGytx −= Retraso

21 yyx −= Punto de suma

21 / yyx = División

21 yyx = Multiplicación

ydtdxT = Integrador


)(yfx = Alinealidad

Transformador de CA en CC

Transformador de CC en CA

Sensor de corriente

Sensor de voltaje

maxmax

minmin

maxmin

xyparaxxxyparaxx

xyxparayx

≥=≤=

<<=

Limitador, Recortador de picos

21 ϕϕ −=++= edtdiLRu i

Las flechas que indican las fuentes de tensión ( eu, ) o

las caídas de tensión ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

dtdiLRi , representan las

diferencias de potencial eléctrico y señalan el potencial, desde el valor más alto hasta el más bajo. De aquí que la suma de los voltajes en cualquier malla cerrada sea igual a cero, ∑ = 0u .


INTRODUCCIÓN La energía es la base de todo desarrollo técnico e industrial. Y, mientras solamente

dispongamos de fuerza de trabajo humana y animal, careceremos de uno de los principales

prerrequisitos para el progreso social y el bienestar general. El consumo de energía per cápita en

un país es de algún modo indicador de su estado de desarrollo técnico y, además revela

diferencias en más de dos órdenes de magnitud entre países sumamente industrializados y entre

aquellos que aún no se han desarrollado.

En su forma primaria (combustibles fósiles y nucleares, energía hidroeléctrica y

mareomotriz, energía solar y eólica, energía geotérmica, etc.), la energía se distribuye a grandes

distancias; sin embargo ésta debe generarse y estar disponible en el lugar de consumo y a un

costo admisible. Ello crea problemas tanto para el transporte de la energía desde el lugar de

origen hasta el lugar de consumo, como también para su transformación en la forma física final.

En muchos casos, estos problemas se resuelven mejor con una etapa eléctrica intermedia. En la

Figura 0.1, los números en negrita indican las redes de suministro eléctrico en Europa, pues la

energía puede:

♦ generarse a partir de una fuente de energía primaria (energía química en combustibles

fósiles, energía hidroeléctrica potencial, energía nuclear) en centrales generadoras de

relativa eficiencia,

♦ transportarse con mínimas pérdidas a través de grandes distancias y distribuirse de

manera sencilla y a un costo razonable,

♦ transformarse en cualquier forma final de energía en el punto de destino

Ninguna otra forma de energía iguala esta flexibilidad.

Véase en la siguiente página la Figura 0.1


Químicos

La energía mecánica es por demás importante, pues se la requiere en clasificaciones de

potencia muy variadas, siempre que se llevan a cabo actividades físicas, que incluyen la

transportación de bienes y personas, o los procesos de producción industriales. Para esta

transformación final en el punto de utilización, son apropiados los dispositivos electromecánicos

en la forma de accionamientos eléctricos; y se calcula que, aproximadamente el 50% de la

electricidad generada en un país industrializado finalmente se transforma en energía mecánica. La

mayoría de los motores eléctricos se utilizan en accionamientos de velocidad constante, los cuales

no necesitan ser controlados excepto para arranque, detenimiento o protección. Sin embargo,

existe un número más reducido de accionamientos en donde la torsión y la velocidad deben

igualarse a los requerimientos de la carga mecánica, lo cual es el tema de este libro. Debido al

progreso de la automatización y, con el objetivo de no desaprovechar energía, es probable que la

necesidad de control sea mucho más importante en el futuro. A modo de ejemplo, la Figura 0.2 muestra la energía mecánica requerida por una bomba centrífuga cuando el flujo de energía se

controla por medio de un accionamiento de velocidad variable o bien, mediante válvulas de control

y válvulas de desviación, aún de uso frecuente. 1

1 N de la T: UCTE (Union for the Coordination and Transmission of Electricity): Unión para la Coordinación y Transmisión de la Electricidad.

Fuente de energía

primaria

Central generadora

Transmisión Distribución

Electrónica de potencia Consumo final

Accionamientos eléctricos

Accionamientos eléctricos controlados Eléctricos Mecánicos

=11 ,Uf variable > 50%

Eléctrica 100%

Mecánica 84%

Térmica

Celdas de combustible solar FOTOVOLTAICAS

=00 ,Uf constante Agua, viento, olas

< 16%, <<1%

46% Fósil 38% Nuclear Solar Biomasa

UCTE1– Red europea de energía eléctrica

>350 GW, 1.800 TWh/a

Energía eléctrica per cápita y anual en todo el mundo:

0,02 – 28 Mw h

Mecánicos Eléctricos Térmicos Químicos

Figura 0.1 - Desde la fuente de energía primaria hasta la utilización definitiva, una cadena de procesos de

transformación


El éxito de los accionamientos eléctricos de debe a varios aspectos; pues:

Están disponibles para cualquier potencia, desde 10 – 6 W en relojes electrónicos, hasta

> 10 8 W para accionar las bombas en centrales de almacenamiento hidroeléctrico.

Abarcan una amplia escala de torsión y velocidad: > 10 7 Nm para un motor de laminación,

> 10 5 rev/min para un accionamiento centrífugo.

Se adaptan a casi cualquier condición de funcionamiento, como por ejemplo, a la

ventilación por aire a presión, o al estar completamente blindados, sumergidos en líquidos,

expuestos a condiciones explosivas o radiactivas. Ya que los motores eléctricos no

necesitan combustibles peligrosos, y no emiten gases de escape, los accionamientos

eléctricos no poseen efectos nocivos en el entorno inmediato. El nivel de ruido es bajo si

se los compara, por ejemplo, con los motores de combustión.

Se ponen en funcionamiento al instante y se pueden cargar por completo y de forma

inmediata. No existe necesidad de recarga ni tampoco recalentamiento del motor. Las

necesidades de servicio de mantenimiento son mínimas, si se las compara con otros

accionamientos.

Los motores eléctricos poseen mínimas pérdidas en vacío y revelan una gran eficiencia;

por lo general, tienen una capacidad de sobrecarga considerable a corto plazo.

Son fáciles de controlar y las características de régimen estable pueden reformularse casi

a voluntad, de modo que, por ejemplo, los vehículos de tracción en ferrocarriles no

Figura 0.2 – Entrada de energía mecánica en una bomba centrífuga al utilizar diferentes métodos

de control de flujo.

Bomba centrífuga

Válvula de desviación

Válvula de control Desviación a velocidad constante

Válvula de control a velocidad constante

Flujo

Velocidad variable

Carga

Entrada de potencia mecánica

0PPM

1.0

1.0 cQQ


requieran de un mecanismo para cambiar de velocidad; además se alcanza un rendimiento

sumamente dinámico mediante el control electrónico.

Pueden diseñarse para funcionar en los cuatro cuadrantes del plano torsión-velocidad sin

necesitar de un mecanismo de inversión especial, Figura 0.3. Durante el frenado, es decir,

cuando funcionan en los cuadrantes 2 o 4, el accionamiento es, por lo general, de

restitución y realimenta la línea de transmisión. Si se los compara con motores o turbinas

de combustión, esta característica parece particularmente atractiva.

La simetría giratoria de las maquinarias eléctricas y (en la mayoría de los motores) el par

de torsión suave tienen como resultado un funcionamiento silencioso y con pocas

vibraciones. Puesto que no existen temperaturas elevadas que ocasionen la fatiga del

material, se puede esperar una larga vida de funcionamiento.

Los motores eléctricos se construyen en una variedad de diseños, para ser compatibles

con la carga que deben soportar y, por ello, pueden estar montados en pies y bridas, o

bien el motor puede tener un rotor externo, etc. Las máquinas herramientas que

Figura 0.3 – Funcionamiento de un accionamiento eléctrico en todos los cuadrantes del plano torsión-velocidad

mM = Torque de motor mL = Torque de carga

Frenado Conducción

Conducción Frenado

Carga Motor


anteriormente tenían un único eje motor y además un complejo sistema interior de

engranajes mecánicos, en la actualidad pueden accionarse mediante un sinnúmero de

motores individualmente controlados, los que generan energía mecánica exactamente

dónde, cuándo y en la forma en que se necesita. Esto ha eliminado las restricciones de los

diseñadores de máquinas herramientas. En casos especiales, tales como el de las

máquinas herramientas o el de la propulsión de vehículos de tracción, también son útiles

los accionamientos lineales.

Como es de esperarse, esta extensa lista de características notables se complementa con las

desventajas de los accionamientos eléctricos, las cuales limitan o impiden ciertos usos:

La dependencia en un abastecimiento continuo de energía genera problemas en la

propulsión vehicular. Si no disponemos de un riel de potencia o catenaria, debemos

incorporar una fuente de energía eléctrica a bordo (acumulador, generador rotativo con

motor o turbina de combustión interna, celdas de combustible o células solares), lo que

habitualmente es voluminoso, pesado y costoso. La falta de un acumulador adecuado ha

impedido hasta la fecha el uso difundido de vehículos eléctricos. El peso de una batería

plomo-ácido hoy en día es 50 veces mayor a la de un tanque para combustible líquido que

almacena igual cantidad de energía, aún cuando se tiene en cuenta el poco rendimiento

del motor de combustión.

Debido a la saturación magnética del hierro y a sus problemas de enfriamiento, es

probable que los motores eléctricos tengan una menor relación potencia-peso que, por

ejemplo, los accionamientos hidráulicos de alta presión que emplean fuerzas normales en

lugar de tangenciales. Esto es importante en los vehículos servoaccionados, por ejemplo,

para determinar la posición de las superficies de control de aeronaves.

La transformación de la energía electromecánica en accionamientos controlados está sujeta a

los parámetros de la máquina eléctrica, los cuales pueden modificarse ocasionando pérdidas

mínimas de energía mediante convertidores electrónicos de potencia controlados, los que

consisten en conmutadores electrónicos de semiconductor; además pueden generar voltajes y

corrientes en casi todas las forma de onda y de la manera que ordena el control que en la

actualidad ejercemos mediante componentes microelectrónicos. De este modo, la tecnología de

los semiconductores, que combina la transformación de la energía y el procesamiento de señales

a alta velocidad a un costo admisible, ha sido la razón esencial detrás del desarrollo de los

actuales accionamientos de alto rendimiento; lo cual es parte de la transición generalizada de los

sistemas de control análogos en digitales, utilizando microcomputadoras y procesadores de

señales. La Figura 0.4 ejemplifica cómo las funciones mecánicas, electrónicas de potencia y de


control que combinan hardware y software se entrelazan en un sistema de accionamiento

moderno.

Enlace de señal

Nivel de señal Nivel de potencia

Torsión, aceleración, velocidad, posición angular, etc.

Adquisición/Obtención de señal: Reconstrucción de cantidades no mensurables

Eliminación de sensores

Control: Desacoplamiento, realimentación, limitación

Coordinación: Transformación de coordenadas

Identificación: Cálculo de parámetros variables

Autosintonización Puesta en funcionamiento

(asistida por computadora)

Adaptación: Ajuste de parámetros de control

Optimización: Minimización de funciones objetivas

Figura 0.4 – Estructura de control digital de un accionamiento eléctrico

Bus de interfaz

Diagnóstico Protección

Software (Microprocesador)

Referencias Parámetros Estado

Acc

iona

mie

nto

de c

ontro

l

Con

trol d

e co

rrien

te

Circ

uito

de

ence

ndid

o Hardware (ASIC)

ASIC: (Application-Specific Integrated Circuit) CIRCUITO INTEGRADO DE APLICACIÓN

ESPECÍFICA

Tran

sfor

mad

or d

e en

ergí

a

Acc

iona

mie

nto

Fibra

óptica

Voltajes

Corrientes

Prio

ridad


1. Algunos principios elementales de mecánica

Puesto que los accionamientos eléctricos conectan a las ingenierías mecánica y eléctrica,

recordemos algunos de los principios elementales de mecánica.

1.1 - Ley de Newton Suponemos una masa M que se desplaza sobre una trayectoria recta y horizontal en la

dirección del eje s (Figura 1.1 a). Si )(tf M es la fuerza impulsora aportada por el motor en la

dirección de velocidad v y )(tf L es la fuerza de carga que se opone al desplazamiento, entonces

la ley de Newton sostiene que:

dtdMv

dtdvMMv

dtdff LM +==− )( (1.1)

donde vM es el momento mecánico.

Figura 1.1 – Desplazamiento de traslación y rotativo de masas concentradas

Por lo general, las fuerzas dependen de la velocidad v y de la posición s, como en el caso

de las fuerzas gravitacionales y de fricción.

Si la masa es constante constante 0 == MM , la ecuación (1.1) se simplifica de la siguiente

forma: dtdvMff LM 0=− (1.2)

y si la definición de velocidad es dtdsv = , ello resulta en una ecuación diferencial de segundo

orden para el desplazamiento

2

2

0 dtsdMff LM =− (1.3)

donde 2

2

dtsd

dtdva == (1.4)

es la aceleración. Si el movimiento es giratorio, lo que por lo general ocurre en el caso de los

accionamientos eléctricos, obtendremos ecuaciones análogas (Figura 1.1 b)


dtdJ

dtdJJ

dtdmm LM ωωω +==− )( (1.5)

donde Mm es el torque de impulsión y Lm es el torque de carga. n 2πω = es la velocidad

angular, de aquí en más llamada velocidad. J es el momento de inercia de la masa giratoria

alrededor del eje de rotación. ωJ es el momento angular. El término )/( dtdJω es importante en

el caso de los accionamientos de inercia variable, como por ejemplo, máquinas centrífugas o

bobinadoras, donde la geometría de la carga depende de la velocidad o del tiempo, o bien, en el

caso de robots industriales de geometría variable. Sin embargo, en la mayoría de los casos, la

inercia se puede suponer como constante, constante0 == JJ , y por lo tanto:

dtdJmm LMω

0=− (1.6)

Si ε es el ángulo de rotación y dtd /εω = es la velocidad angular, obtenemos:

2

2

0 dtdJmm LMε

=− (1.7)

donde 2

2

dtd

dtd εωα == (1.8)

es la aceleración angular.

Deberíamos advertir que Mm es el par de torsión interno o bien, el par de motor eléctrico, y

que dicho par no es idéntico al par disponible en el eje del motor. La diferencia entre el par de

torsión interno y el par de torsión del eje motor resulta en la torsión necesaria para acelerar la

inercia de motor mismo y para superar la torsión de fricción interna del motor.

Los movimientos de traslación y giratorios por lo general se combinan, por ejemplo, en el

caso de la propulsión vehicular, en accionamientos de elevación y laminación. La Figura 1.2

muestra un modelo mecánico donde una masa constante M se desplaza por medio de una

polea; cuando no se tiene en cuenta la masa de la polea, y con MM frm = , LL frm = y ωrv =

hallamos para constante=M .

dtdrMMv

dtdrmm LM

ω2 )( ==− (1.9)

2MrJe = representa el momento de inercia equivalente a la masa que se desplaza en forma

lineal, y se relaciona con el eje de la polea. Aparentemente, la masa M puede suponerse

distribuida a lo largo de la circunferencia de las ruedas.


Figura 1.2 – Acoplamiento del movimiento rectilíneo y giratorio

1.2 - Momento de inercia El momento de inercia que presentamos en la sección anterior, se puede explicar de la

siguiente forma:

Un cuerpo rígido de forma arbitraria, que posee una masa M , gira libremente alrededor de un

eje vertical orientado en la dirección de la gravedad (Figura 1.3). Se acelera un elemento de la

masa dM en dirección tangencial mediante el elemento de fuerza adf , el cual corresponde al

elemento adm del torque de aceleración: dtddMr

dtdvdMrdfrdm aa

ω 2=== .

El torque de aceleración total comprende, por integración:

dMdtdrdmm

Mam

aaω

∫∫ ==0

2

0 (1.10)

Debido a la supuesta rigidez del cuerpo, todos sus elementos másicos se desplazan a la

misma velocidad angular; y por lo tanto:

dtdJdMr

dtdm

M

aωω

== ∫0

2 . (1.11)

El momento de inercia, referido al eje de rotación,

∫=M

dMrJ0

2 (1.12)

es una función integral tridimensional.

Figura 1.3 – Momento de inercia


En muchos casos, el cuerpo giratorio posee simetría rotacional. A modo de ejemplo,

consideremos un cilindro hueco concéntrico con una densidad másica ρ (Figura 1.4). Mientras el

volumen aumenta dV , definimos un delgado cilindro concéntrico que tiene un radio r y un

espesor dr ; por lo tanto su masa es:

drlrdVdM 2 πρρ ==

lo que reduce la función integral de volumen a una integración simple a lo largo del radio,

)( 2

2 42

42

0

2

1

32 rrldrrldMrJM r

r

−=== ∫ ∫ ρππρ . (1.13)

En consecuencia, el momento de inercia aumenta con la cuarta potencia del radio exterior.

Al incluir el peso del cilindro:

)( 21

22 rrlgG −= πρ (1.14)

obtenemos como resultado:

2

21

22

2 irgGrr

gGj =

+= (1.15)

donde g es la aceleración de gravedad. La media cuadrática de los radios

)(21 2

22

1 rrri += (1.16)

se denomina radio de rotación y define el radio de un delgado cilindro concéntrico de un largo l y

una masa M , la cual posee el mismo momento de inercia que el cilindro original.

Figura 1.4 – Momento de inercia de un cilindro concéntrico

Otro ejemplo se puede ver en la Figura 1.5 a, donde una delgada biela homogénea de un

largo l y una masa M pivota alrededor de un punto P , distancia de la cual uno de los extremos

de la biela es a . Si el elemento másico es drlMdM )/(= , hallamos que, para el momento de

inercia:


⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+== ∫ ∫ ∫

−

22

0 0 0

222

213112

lalM

drrdrrl

MdMrJM a al

(1.17)

Se obtiene la inercia mínima cuando la biela pivota en su centro (Figura 1.5 b)

Figura 1.5 – Momento de inercia de una biela que pivota fuera de su centro

1.3 - El efecto de la reducción en los momentos de inercia Muchas de las aplicaciones de los accionamientos eléctricos requieren un desplazamiento

relativamente suave y además, gran torsión, por ejemplo en la tracción o al determinar la posición

de robots. Ya que la fuerza tangencial por la superficie del rotor, es decir, el torque específico del

motor, se limita a unos 2/ cmN a causa de la saturación del hiero y las pérdidas por resistencia

en los conductores, el acoplamiento directo de un motor de baja velocidad con la carga puede

resultar en un motor innecesariamente grande. Por esta razón, a menudo se prefiere el empleo de

engranajes que hagan funcionar el motor a una mayor velocidad y que, en consecuencia

aumenten la densidad de potencia; lo que también afectará la inercia de las masas giratorias

acopladas.

En la Figura 1.6 se muestra un engranaje ideal, donde ambas ruedas se acoplan en el punto

P , sin ocasionar fricción, juego o deslizamiento. De la ley de Newton, deducimos que, para la

rueda izquierda –la que se supone rueda impulsora – la ecuación es:

dt

dJfrmM1

1111 ω=− (1.18)

donde 1f es la fuerza de contacto de la circunferencia que ejerce la rueda 2. Si no existe un torque

de carga aplicado, obtenemos para la rueda 2:


dt

dJfr 2222 ω

= (1.19)

donde 2f es la fuerza de la rueda impulsora 2.

Figura 1.6 – El efecto de la reducción en los momentos de inercia

Puesto que las fuerzas en el punto de contacto están igualadas y ambas ruedas se

desplazan de manera sincrónica,

21 ff = , 1111 ωω rr = , (1.20)

la eliminación de 221 ,, ωff da como resultado

dtdJ

dtdJ

rrJ

dtdJ

rr

dtdJm

e

M

11

12

2

2

11

22

2

1111

ω

ωωω

=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+=

(1.21)

donde eJ1 es el momento de inercia efectivo en el eje de la rueda 1; y contiene un componente

que se refleja a partir de la rueda 2. En la mayoría de los casos, la relación de velocidad es más

fácil de determinar que los radios,

2

2

1

211 JJJ e ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

ωω

, (1.22)

lo que indica que la pieza giratoria, que se desplaza a una mayor velocidad, contribuye mucho

más al momento de inercia total.

En la Figura 1.7 se puede apreciar un engranaje múltiple para un mecanismo de

elevación. 321 ,, JJJ son los momentos de inercia correspondientes a los distintos ejes. La inercia

efectiva y total a la que se refiere el eje 1 es:

[ ]2333

2

1

32

2

1

211 rMJJJJ

e+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

ωω

ωω

, (1.23)


e incluye la inercia equivalente de la masa 3M que se desplaza en dirección vertical. Si aplicamos

la ley de Newton, y tenemos en cuenta la carga del mecanismo de elevación, obtenemos como

resultado:

3 31

3111 Mgr

dtd

Jm eM ωωω

+= . (1.24)

Figura 1.7 –Mecanismo de elevación que contiene un engranaje

1.4 - Potencia y energía El desplazamiento giratorio de la disposición mecánica que se muestra en la Figura 1.8 se

describe como una ecuación diferencial de primer orden para la velocidad.

dtdJmm LMω

+= (1.25)

y si la multiplicamos por ω , se produce en equilibrio de potencia:

dtdJmm LMωωωω += (1.26)

donde MM mp ω= es la potencia de accionamiento, LL mp ω= la potencia requerida por la

carga y ( )dtdJ / ωω el cambio de energía cinética almacenada en las masas giratorias.

Figura 1.8 – Flujo de potencia en un accionamiento

Engranaje sin

pérdidas


Al integrar la ecuación (1.26) con la condición inicial ( ) 00 ==tω , obtenemos la energía

entrante:

2

0 0

0 00

21)(

)(

ω

ωω

ω

Jtw

dJdrp

drdrdJdrpdrptw

L

t

L

t tt

LMM

+=

ΩΩ+=

+==

∫ ∫

∫ ∫∫

(1.27)

El último término representa la energía cinética almacenada, y es análogo a:

2 21 vM , 2

21 iL , 2

21 uC

de los demás mecanismos de almacenamiento de energía. Ya que el contenido energético de un

cuerpo físico no puede modificarse instantáneamente, pues ello demandaría potencia infinita, la

velocidad lineal o giratoria de un cuerpo que posee masa siempre debe estar expresada en una

función continua de tiempo; lo que constituye una condición de continuidad importante, la cual se

utilizará con frecuencia.

Por las definiciones dtdsv = y

dtdεω = , las magnitudes de posición s y ε también son

funciones continuas de tiempo, debido a la velocidad fínita. Esto también es comprensible desde

un punto de vista energético pues la posición puede asociarse con la energía potencial, como se

puede ver en la Figura 1.7, donde la masa 3M está en posición vertical dependiendo del ángulo

de rotación del eje impulsor.

1.5 - Determinación experimental de inercia El momento de inercia de un cuerpo complejo no homogéneo, como por ejemplo, el rotor de

una máquina eléctrica, el cual contiene hierro, cobre y materiales aislantes de formas complejas,

en la práctica sólo puede determinarse por aproximación. El problema se torna aún más difícil con

las cargas mecánicas cuyos detalles estructurales normalmente son desconocidos para el usuario.

A veces el momento de inercia no es constante sino que cambia periódicamente en relación a un

valor medio, como en el caso de un compresor que posee cigüeñal y bielas conectoras. En

consecuencia, se prefieren las pruebas experimentales. Una muy simple, llamada prueba de

carrera, o prueba de deslizamiento por inercia, se describe a continuación. La ventaja es que

puede realizarse con el accionamiento completo, en el lugar y en funcionamiento, y además no

requiere de conocimiento previo acerca de los detalles del equipo. La precisión que se obtiene es

adecuada para la mayoría de las aplicaciones.


En primer lugar, la potencia de entrada )(ωMp del accionamiento, bajo condiciones de

régimen estable, se mide en diferentes velocidades angulares ω y además, se retira la carga,

para que no contribuya a la inercia. De la ecuación (1.26), obtenemos:

dtdJpp LMω

ω+= (1.28)

se omite el último término debido a la velocidad constante, de modo que la potencia de

entrada Mp corresponde a las pérdidas, incluyendo la carga restante LM pp = . La potencia se

corrige al sustraer los componentes de la pérdida, que están presentes sólo durante la entrada de

potencia, como por ejemplo, las pérdidas en el motor inducidas por el cobre. A partir de esta

pérdida de energía corregida Lp′ , se calcula el torque de carga efectiva para la condición de

régimen estable ωLL pm ′=′ para diferentes velocidades; y con la intercalación gráfica, ello

resulta en una curva )(ωLm′ , como lo muestra la Figura 1.9.

Figura 1.9 – Prueba de carrera

Para la prueba de carrera, se acelera el accionamiento a una velocidad inicial 0ω , donde

se suprime la potencia del accionamiento, de modo que el equipo desacelera debido a la torsión

requerida por la pérdida y la velocidad se mide como una función de tiempo, )(tω . Al resolver la

ecuación de desplazamiento (1.25) para J , obtenemos:

)(

)(

ωωω

dtdmJ L′−

≈ , 0=Mm (1.29)

En consecuencia, como lo muestra la Figura 1.9, la inercia se puede determinar a partir de

la pendiente de la curva de deslizamiento por inercia.

Las construcciones gráficas, y en especial, en las que se incluye una diferenciación, no son

muy precisas. Por consiguiente, la inercia debería calcularse en diferentes velocidades para

Curva de carga corregida en el régimenestable

)(ωLm′

Curva de deslizamiento por inercia

)( tω


obtener un promedio. Las necesidades de precisión relacionadas con la inercia son mínimas; al

diseñar un sistema de accionamiento de control, un error de %10± por lo general es aceptable,

pues no ocasionan graves consecuencias.

Dos casos en particular llevan a interpretaciones simples:

a) Suponer que la torsión de la pérdida corregida Lm′ es en

aproximación constante a un intervalo de velocidad limitada,

constante≈′Lm , para 21 ωωω << ,

entonces, )(tω se asemeja a una línea recta; la inercia se determina

a partir de la pendiente de la línea.

b) Si una sección de la torsión de la pérdida puede aproximarse a una

línea recta,

ωbamL +≈′ , para 21 ωωω << ,

resulta una ecuación diferencial lineal:

abdtdJ −=+ ωω

Si 22 )( ωω =t , la solución es:

Jttbeba

bat /)2(

2 )( −−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−= ωω , 2tt ≥ .

Al trazar esta curva sobre papel semilogarítmico se produce una línea recta con la

pendiente Jb /− , de la cual se obtiene una aproximación de .J

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