Universidad Autnoma del Estado de Mxico

Facultad de Contadura y Administracin

1

Coordinacin General de Investigacin y Estudios de PostgradoEstadstica Aplicada M. I. Csar Enrique Estrada Gutirrez Agosto del 20102

Objetivo Proporcionar las herramientas fundamentales para

que sean capaz de organizar, analizar e interpretar adecuadamente los cuadros estadsticos y grficos; establecer conclusiones a partir de la lectura de los mismos y puedan identificar e interpretar los principales estimadores estadsticos, as como aplicar las tcnicas estadsticas adecuadas, establecer conclusiones a partir de resultados, cuya finalidad es la toma de decisiones en aquellas situaciones que se tiene incertidumbre de realidades desconocidas.

Temario (I) Introduccin al anlisis estadstico Representaciones estadsticas y anlisis de

grficas Descripcin de datos econmicos y administrativos (Medidas de posicin y de variabilidad) Probabilidad Introduccin a SPSS Distribucin de probabilidades para variables aleatorias discretas4

Temario (II) Distribuciones de probabilidad para variables

aleatorias continuas Distribuciones de muestreo e intervalos de confianza para la media Pruebas de hiptesis referentes al valor de la media de la poblacin La prueba Chi cuadrada Anlisis de varianza Anlisis de regresin y correlacin lineal5

Bibliografa Estadstica aplicada a la administracin y a la

economa. Leonard J. Kazmier. Ed. Mc Graw Hill Estadstica para Administracin y Economa. Levin, Rubin, Bohon, Ramos. Ed. Pearson Estadstica con SPSS para Windows. Juan Camacho Rosales. Ed. Alfaomega Anlisis estadstico con SPSS para windows. Visauta. Ed. Mc Graw Hill

6

Forma de evaluacin 40% trabajos y artculos de investigacin

(durante el curso) 20% examen escrito (8 de noviembre) 40% proyecto de investigacin (22 de noviembre) Entrega de Calificaciones (29 de noviembre)

7

Introduccin al anlisis estadstico Estadstica. Es el conjunto de tcnicas que se

emplean para la recoleccin, organizacin, anlisis e interpretacin de datos. Los datos pueden ser cuantitativos o cualitativos Estadstica aplicada. Sirve para tomar mejores decisiones a partir de la comprensin de las fuentes de variacin y de la deteccin de patrones

8

Estadstica descriptiva Comprende las tcnicas que se emplean

para resumir y describir datos numricos. (grficas o anlisis computacional)

Ejemplo 1

Volumen anual de ventas del ao pasado, se puede graficar en barras o de lineas

9

Estadstica inferencial Comprende las tcnicas con las que, con base

nicamente en una muestra sometida a observacin se toman decisiones sobre una poblacin o proceso estadstico (requiere de probabilidad)

Censo. Procedimiento para la medicin de las caractersticas de todos los miembros de la poblacin Estadsticas muestrales. Se refiere a las caractersticas medidas de una muestra.

Ejemplo 2 Muestra de focos y revisin de los mismos hasta poder estimarse la probabilidad de falla

10

Variables discretas y continuas Una variable discreta puede tomar valores

observados nicamente en puntos aislados (proceso de conteo). Una variable continua puede adoptar un valor en cualquier punto fraccionario a lo largo de un intervalo especificado

Ejemplo 3

Discretos. Nmero de personas por hogar en una colonia Continuas. Promedio de personas por hogar en una colonia11

Obtencin de datos Observacin directa. El investigador ejerce un control

deliberado de algunos o todos los factores que pueden influir en la variable

Ejemplo 4

Una lnea de ensamble para detectar elementos defectuosos en base a un criterio

Encuesta. Cuando la informacin se debe obtener de

fuentes individuales mediante entrevistas personales, entrevistas telefnicas o cuestionarios

Ejemplo 5

Nivel de empleo en diferentes empresas mediante una encuesta a cada una de ellas12

Muestreo aleatorio Es un tipo de muestreo en el que todos los

elementos de la poblacin de inters, o poblacin objetivo tienen una oportunidad conocida, usualmente igual de ser elegidos

Muestreo simple Muestreo Sistemtico Muestreo Estratificado Muestreo por conglomerados

13

Muestreo aleatorio simple Es aquel cuyos elementos se seleccionan

individualmente de la poblacin objetivo entera con base en el azar

Ejemplo 6

Uso de la funcin aleatorio de Excel

14

Muestreo sistemtico Es una muestra aleatoria, cuyos elementos

se seleccionan de la poblacin de un intervalo uniforme en una lista ordenada

Ejemplo 7

Seleccionar al azar una cuenta bancaria y a partir de ah seleccionar las siguientes nueve

15

Muestreo estratificado Los elementos de la poblacin son

primeramente clasificados por el investigador en distintos subgrupos o estratos, sobre la base de una o ms caractersticas importantes.

Ejemplo 8

Las elecciones pasadas antes de la votacin

16

Muestreo por conglomerados Es un tipo de muestreo aleatorio en el que

los elementos de la poblacin ocurren naturalmente en subgrupos

Ejemplo 9

Un analista de un departamento estatal de seguridad econmica desea estudiar los ndices salariales por hora que se pagan en el rea metropolitana, sera complicado hacerlo trabajador por trabajador, en cambio podra obtenerse una lista de las empresas en esa zona. El analista puede tomar una muestra simple de ese conglomerado17

Problemas En el rea de las mediciones estadsticas,

como las representadas por cuestionarios, la confiabilidad se refiere a la consistencia del instrumento de medicin y la validez a su precisin. Si un cuestionario ofrece resultados similares tras ser contestado por dos grupos equivalentes de informantes, puede describrsele como confiable. El hecho de que sea confiable garantiza por lo tanto que sea valido?18

Problemas En los siguientes tipos de valores, designe variables

discretas y variables continuas

A) El nmero de unidades de un artculo en existencia B) Razn de activos circulantes contra pasivos circulantes C) Tonelaje total embarcado D) Cantidad embarcada en unidades E) Volumen de trfico en una carretera de paga F) Asistencia a la asamblea anual de una compaia

19

Problemas Cules son muestra y cuales son una

poblacin?

A) El universo completo B) Aplicacin de conceptos de probabilidad C) Inspeccin de cada artculo ensamblado D) Inspeccin de cada dcimo artculo ensamblado

20

Trabajo de investigacin Un auditor desea tomar una muestra

aleatoria sistemtica de tamao 50 (5) de 5250 cuentas por cobrar de una gran empresa. Las cuentas se enumeran secuencialmente de la 0001 a la 5250.Use la hoja de calculo Excel para obtener una lista de los 50 nmeros aleatorios requeridos y mndela por correo electrnico

21

Correo electrnico ceg@softcat.com.mx ceg@tutopia.com Se creara un correo electrnico donde

mandare algunas prcticas y lecturas complementarias

estadistica@softcat.com.mx Password essof Para entrar es en http://webmail.softcat.com.mx22

Representaciones estadsticas y anlisis de grficas Distribucin de frecuencias. Es una tabla en

la cual se agrupan en clases valores posibles de una variable y donde se registra el nmero de valores observados correspondientes a cada clase

23

Datos agrupados Son los datos organizados en una

distribucin de frecuencias Ejemplo

10Numero de trabajadores (f) 7 20 33 25 11 4 10024

Salario Semanal $ 240-259 260-279 280-299 300-319 320-339 340-359

Total

Lmites nominales Son los valores incluidos en cada clase Ejemplo 11Salario Semanal $ 240-259 260-279 280-299 300-319 320-339 340-359 Total Numero de trabajadores (f) 7 20 33 25 11 4 100

25

Limites exactos de clase Son los puntos especficos que sirven para separar

clases adyacentes en una escala de medicin de variables continuas

Ejemplo 12

Salario semanal (lmites nominales)$ 240-259 260-279 280-299 300-319 320-339 340-359

Limites exactos de clase$ 239.50-259.50 259.50-279.50 279.50-299.50 299.50-319.50 319.50-339.50 339.50-359.5026

Punto medio de clase Se refiere a la suma del lmite inferior de la

clase con el lmite superior dividido entre dos

Ejemplo 13

Salario semanal Limites exactos de Punto (lmites nominales) clase Medio$ 240-259 260-279 280-299 300-319 320-339 340-359 $ 239.50-259.50 259.50-279.50 279.50-299.50 299.50-319.50 319.50-339.50 339.50-359.50 $249.50 269.50 289.50 309.50 329.50 349.5027

Intervalo de clase Se identifica restando el limite exacto de

clase inferior del limite exacto de la clase superior

Ejemplo 14

Intervalo de clase=259.50-239.50=20

28

Intervalo aproximadoIntervalo aproximado ! mayor valor en datos menor valor en datos no agrupados no agrupados nmero de clases deseadas

Ejemplo 15 Intervalo aproximado=(360-240)/6=20

29

Histograma de frecuencias Un histograma es una grfica de barras de

distribucin de frecuencias, se acostumbra a colocar los lmites exactos

Ejemplo 16

35 30 25 20 15 10 5 0239.50 259.50 279.50 299.50 319.50 339.50 359.50

30

Polgono de frecuencias Es una grfica de lneas de distribucin de

frecuencias, suele identificarse el punto medio de cada clase

Ejemplo 1735 30 25 20 15 10 5 0 229.5 249.5 269.5 289.5 309.5 329.5 349.5 369.5

31

Curva de frecuencias Es un polgono de frecuencias pero suavizado Ejemplo 18

249 5

269 5

289 5

09 5

29 5

49 5

5

0

25

20

15

10

5

0 229 5

69 5

32

Curtosis Platicurtica: Plana, con las observaciones

distribuidas en forma relativamente pareja Leptocurtica: Afilada, con las observaciones concentradas en un estrecho rango de valores Mesocurtica: Ni plana ni afilada

33

Asimetra Asimtrica negativa Simtrica Asimtrica positiva

34

Frecuencias acumuladas Identifica el nmero acumulado de observaciones

incluidas bajo el lmite exacto superior de cada clase de la distribucin

Ejemplo 19Limites exactos de clase superior $ 259.50 279.50 299.50 319.50 339.50 359.50 Nmero de trabajadores 7 20 33 25 11 4 Frecuencias acumuladas 7 20+7=27 33+27=60 25+60=85 85+11=96 96+4=10035

Salario semanal (lmites nominales) $ 240-259 260-279 280-299 300-319 320-339 340-359

Ojiva Se le denomina a la grfica de una

distribucin de frecuencias acumuladas120 100 80 60 40 20 0 239.5 259.5 279.5 299.5 319.5 339.5 359.536

Diagramas circulares Es una figura en forma de pastel cuyas

piezas representan divisiones de una cantidad total, como podra ser la distribucin de las ventas de una compaia25%

5% 5% 65%

Principal Nichos En Desarrollo En crecimiento

37

Problemas En la siguiente tabla se enlistan los tiempos

requeridos para la conclusin de una tarea de ensamble para una muestra de 30 empleados que presentaron su solicitud de ascenso a un puesto de ensamble de precisin10 16 15 9 12 11 14 12 18 15 10 16 15 14 9 11 17 12 13 11 14 13 16 14 17 13 14 11 12 1538

Problemas (2) Determine el tamao del intervalo

correspondiente

Intervalo aproximado=(18-9)/5=1.80 Por lo que nuestro intervalo es conveniente cerrarlo a 2.0, as que nuestra distribucin de frecuencias quedara de la siguiente formaTiempo, en min. 9-10 11-12 13-14 15-16 17-18 Nmero de Empleados 4 8 8 7 3 Total 30 Emp.

39

Problemas (3) La tabla con lmites exactos y punto medio para

cada clase quedara de la siguiente formaTiempo, en min. 8.5-10.5 10.5-12.5 12.5-14.5 14.5-16.5 16.5-18.5 Punto Medio 9.5 11.5 13.5 15.5 17.5 Nmero de Empleados 4 8 8 7 3 Total 30 Emp.

40

Problemas (4) Elaborar un histograma en Excel Elaborar el polgono de frecuencias en Excel Elaborar la curva de frecuencias en Excel Describir la curva de frecuencias

41

Problemas (5) Elaborar una distribucin de frecuencias

acumuladas y

A) Trace la ojiva de porcentajes de esos datos B) En que punto percentil se encontrara un tiempo de ensamble de 15.5 minutos? C) haga una grafica circular de los empleados con respecto a los tiempos

42

Problemas (6) Elaborar una distribucin de frecuencias

acumuladasTiempo, en min. Frecuencia 8.5-10.5 10.5-12.5 12.5-14.5 14.5-16.5 16.5-18.5 4 8 8 7 3 Frecuencia acumulada 4 12 20 27 30 % acumulado 4*100/30=13.3 12*100/30=40 66.7 90 100

43

Problemas (7) Ojiva de la frecuencia120 100 80 60 40 20 0 8. 10. 12. 14. 16. 18.

acumulada y del porcentaje acumulado El porcentaje percentil en 15.5 minutos es 80 La grafica circular se muestra

10%

13% 8. 10. 12. 14. 16.

23% 27%

27%44

Trabajo de investigacin 2 En la tabla siguiente se presentan las cantidades de 40

prstamos personales (en dlares) utilizados para financiar la compra de muebles y aparatos elctricos. Ordene en una distribucin de frecuencias con un total de 7 clases A)Cul sera el intervalo de clase ms conveniente? B) Elabore una distribucin de frecuencias iniciando con un lmite de clase inferior de 300 y aplicando el intervalo de clase del inciso A C) Elabore un histograma de distribucin de frecuencias D) Elabore un polgono de frecuencias y una curva de frecuencias E) Describa la curva de frecuencias resultante F) Elabore una distribucin de frecuencias acumuladas de la distribucin de frecuencias y trace la ojiva con esos datos G) Genere una grafica circular H) Entregue todos los resultados anteriores en Excel

45

Trabajo de investigacin 2$1200 515 452 1900 1200 1278 2540 586 1650 1219 $1000 554 973 660 720 1388 1000 329 1423 727 $356 1190 300 1610 1525 1000 1890 935 592 655 $2227 954 2112 445 784 870 630 3000 534 159046

Descripcin de datos econmicos y administrativos (Medidas de posicin y de variabilidad) Medida de posicin. Es un valor calculado de

un grupo de datos que sirve para describir a stos de alguna manera

47

Media aritmtica Es la suma de los valores del grupo de datos

dividida entre el nmero de valores

X Media descriptiva de una poblacin Q! N X Media descriptiva de una muestra X! n

48

Media aritmtica Ejemplo 20 Durante los meses del verano, ocho vendedores de una empresa de servicios de calefaccin y aire acondicionado vendieron el siguiente nmero de unidades centrales de aire acondicionado: 8,11,5,14,8,11,16,11

X ! 84 ! 10.5unidades Q! N 8

49

Media ponderada Es una media aritmtica en donde cada uno de los

valores se pondera de acuerdo con su importancia en el grupo general. Las formulas de la media ponderada poblacional y muestral son idnticas

( wX ) Qw X w ! w

50

Media ponderada Ejemplo 21 El margen de utilidad en el ltimo ao fiscal de las cuatro lneas de productos de una compaa fabricante de mltiples bienes fue: Lnea A=4.2%; Lnea B=5.5%; Lnea C=7.4%; Lnea D=10.1% Si sacamos la media con la formula anterior quedara

X ! Q! N

27.2 4

! 6.8%

Sin embargo, como las ventas de los 4 productos no son iguales, ste promedio no ponderado es incorrecto51

Media ponderada As que debemos observar la tabla de ventasLnea de productos Margen de utilidad (X) Ventas (w) wX 1,260,000 1,100,000 370,000 303,000

A B C D

4.2% 5.5% 7.4% 10.1%

$30,000,000 20,000,000 5,000,000 3,000,000

Con respecto a la formula

( wX ) ! Qw ! w

$3, 033, 000 $58, 000 , 000

! 5.2%52

Mediana La mediana de un grupo de elementos es el

valor del elemento inmediato cuando todos los elementos de un grupo siguen, en trminos de valor, un orden ascendente o descendente

Med ! X ?( n / 2) (1/ 2 ) A De nuestro ejemplo 20, al ordenar en forma

ascendente, quedara 5,8,8,11,11,11,14,16, el valor de la mediana es: X(8/2+1/2)=X4.5=11

53

Moda Es el valor que ocurre ms frecuentemente

en un conjunto de valores . Para nuestro ejemplo anterior, la moda es 11

54

Relacin entre media, mediana y moda Cuando la curva graficada es simtrica, la

moda, mediana y media son iguales, cuando es asimtrica positiva, la media siempre es mayor que la mediana y la moda, viceversa en una asimtrica negativa Cmo sera la curva para nuestro ejemplo anterior?

55

Uso de media, mediana y moda Con respecto a poblacin El valor de la moda indica la posicin de la mayora de los valores observados. Puede ser til como medida descriptiva de un grupo de la poblacin, aunque solo si existe una moda claramente perceptible La mediana siempre es una medida excelente para representar el nivel tpico de los valores La media tambin es un valor excelente siempre y cuando la poblacin sea simtrica, por lo que para datos de poblacin la mediana es ms significativa56

Uso de media, mediana y moda Con respecto a Muestras

El valor de la moda no es aceptable La mediana es ms aceptable La media para ste caso es mejor ya que es ms estable

Ejemplo 22 ndices salariales de los 650 empleados de una empresa Una muestra aleatoria de 100 trabajadores

57

Cuartiles, Deciles y Percentiles Es lo mismo que la mediana, solo que los

cuartiles dividen la muestra en cuartos, los deciles en decimos y los percentiles en 100 partes

Q1 (primer cuartil) ! 1(n/4) 1/4 D3 (tercer decil) ! 3(n/10) k/10 P70 (septuagesimo percentil) ! 70(n / 100) k / 100 K es el complemento del decil y percentil58

Problemas En una muestra de las compras de 15 estudiantes en

la tienda de una escuela primaria se observan las siguientes cantidades de ventas, dispuestas en orden de magnitud ascendente: $ 1.00,1.00,2.50, 2.50,2.50,3.50,4.00,5.30,9.00,12.50,13.50, 24.50,27.10,30.90,41.00 Determine la media, mediana y la moda Media=$12.05 Mediana=X8=$5.30 Moda=$2.50 Dado que la media es sustancialmente mayor que la mediana, la distribucin de valores es claramente asimtrica positiva

59

Problemas En referencia a la siguiente tabla, determine

el porcentaje global de artculos defectuosos ensamblados durante la semana muestreadaTurno Porcentaje de artculos Nmero de artculos defectuosos (X) en miles (w) wX

1 2 3

1.1% 1.5% 2.3%

210 120 50

2.31 1.80 1.15

( wX ) ! Xw ! w

$5.26 $380

! 1. 4%60

Trabajo de investigacin (3) El nmero de accidentes ocurridos en un mes dado en los 13

departamentos de manufactura de una planta industrial fue: 2,0,0,3,3,12,1,0,8,1,0,5,1. Calcule la media, la mediana y la moda. Describa la distribucin de ndices de accidentes en trminos de asimetra Supongamos que los precios de menudeo de artculos seleccionados cambian como se indica en la tabla siguiente. Determine el cambio porcentual medio en precios al menudeo sin referencia a los gastos promedio incluidos en la tabla y posteriormente el cambio porcentual medio ponderadoArtculo Leche Carne de res Ropa Gasolina Incremento Porcentual 10% -6 -8 20 Gastos promedio por mes $20 30 30 5061

Trabajo de investigacin (3) De los siguientes valores, obtenga el 3er

cuartil, el 7 decil y el 65 percentil 0023455667789999

62

Medida de variabilidad en conjuntos de datos Las medidas de posicin son tiles para la

identificacin del valor representativo de un grupo de valores. Por su parte, las medidas de variabilidad o dispersin se ocupan de la descripcin de la variabilidad entre los valores mediante diversas tcnicas: Rango, rangos modificados, desviacin media, varianza, desviacin estndar y el coeficiente de variacin

63

Rango El Rango, o R, es la diferencia entre los

valores ms alto y ms bajo incluidos en un conjunto de datos

Ejemplo 23

Durante un mes de verano, los ocho vendedores de una empresa de equipos de calefaccin y aire acondicionado vendieron los siguientes nmeros de unidades:8,11,5,14,8,11,16,11 Rango=My-Mn=16-5=11 unidades

64

Rango modificado Es un rango que se construye eliminando

algunos de los valores extremos de cada una de las porciones finales de la distribucin. El 50% central es el rango entre los valores en el 25 punto percentil y el 75 punto percentil de la distribucin. De este modo, tambin es el rango entre el primer y tercer cuartiles de la distribucin. Por este motivo, el rango del 50% central suele llamrsele rango intercuartil (RIC) RIC=Q3-Q165

Rango modificado Ejemplo 24

Los datos de ventas de unidades centrales presentados en el ejemplo anterior son en orden ascendente los siguientes: 5,8,8,11,11,11,14,16. En consecuencia, el nmero de observaciones es N=8

Q3=12.5 Q1=8 RIC=Q3-Q1=12.5-8=4.5

66

Desviacin media Se basa en el valor absoluto de la diferencia entre

cada valor del conjunto de datos y la media del grupo

D D

| X Q | de la poblacin ! N | X X | de la muestra ! n

67

DMA Ejemplo 25

Durante un mes de verano, los ocho vendedores de una empresa de equipos de calefaccin y aire acondicionado vendieron los siguientes nmeros de unidades:8,11,5,14,8,11,16,11 La media aritmtica o es 10.5 de acuerdo al ejemplo anterior

X 5 8 8 11 11 11 14 16

X- -5.5 -2.5 -2.5 0.5 0.5 0.5 3.5 5.5

|X-| 5.5 2.5 2.5 0.5 0.5 0.5 3.5 5.5 21.0

21/8=2.6 unidades

68

DMA Por lo tanto podemos decir que en promedio,

la venta de unidades de equipo de aire acondicionado de un vendedor difiere en 2.6 unidades respecto de la media grupal, en cualquier direccin

69

Varianza La varianza se asemeja a la desviacin

media absoluta en que se basa en la diferencia entre cada valor del conjunto de datos y la media del grupo, pero se distingue de ella en un muy importante aspecto, cada diferencia se eleva al cuadrado

( xQ )2 V (X ) ! W ! N2

70

Varianza A diferencia de lo que ocurre con las dems

estadsticas muestrales, la varianza de una muestra no equivale exactamente, en trminos de clculo, a la varianza de una poblacin. En esencia en esta formula se incluye un factor de correccin, a fin de que la varianza muestral sea un estimador insesgado

s

2

(X X ) !n 1

2

71

Desviacin estndar En general es difcil interpretar el significado

de la varianza, porque las unidades en las que se expresa son valores elevados al cuadrado. Debido en parte a esta razn, es ms frecuente el uso de la raz cuadrada de la varianza, representada por la letra griega o por s en el caso de una muestra. A esto se le llama desviacin estndar

72

Desviacin estndar Las formulas son:

De la poblacin W ! De la muestra s !

( xQ )2 N

( x X )2 n 1

73

Desviacin estndar Ejemplo 26

Durante un mes de verano, los ocho vendedores de una empresa de equipos de calefaccin y aire acondicionado vendieron los siguientes nmeros de unidades:8,11,5,14,8,11,16,11 La media aritmtica o es 10.5 de acuerdo al ejemplo anterior

X 5 8 8 11 11 11 14 16

X- -5.5 -2.5 -2.5 0.5 0.5 0.5 3.5 5.5

(X-)2 30.25 6.25 6.25 0.25 0.25 0.25 12.25 30.25 86.00

74

Desviacin estndarW! ( x Q ) 2 ! 86 ! 10.75 ! 3.3 N 8

75

Clculos simplificadosVarianza de la poblacin W 2 ! x 2 NQ 2 N

X 2 NQ 2 Desviacin estndar de la poblacin W ! NVarianza de la muestra s 2 ! X 2 nX n 12

X 2 n X 2 Desviacin estandar de la muestra s ! n 1

76

Desviacin estndar Ejemplo 27

Durante un mes de verano, los ocho vendedores de una empresa de equipos de calefaccin y aire acondicionado vendieron los siguientes nmeros de unidades:8,11,5,14,8,11,16,11 La media aritmtica o es 10.5 de acuerdo al ejemplo anterior

X 5 8 8 11 11 11 14 16

X2 25 64 64 121 121 121 196 256 968

W !

2 X 2 NQ 2 ! 968 8(10.5) ! 10.75 ! 3.3 N 8

77

Uso de la desviacin estndar Cuando existe una distribucin de valores, tanto

simtrica como mesocurtica, la curva de frecuencias de una distribucin se le llama curva normal, siempre que ocurre una curva semejante a esto, el 68% de los valores quedan dentro del margen de la desviacin estndar y el 95% de los valores quedan incluidos dentro de un margen de dos unidades de desviacin estndar

68 %

95%78

Descripcin de datos Ejemplo 28

Las cuentas de energa elctrica de una zona residencial correspondientes al mes de junio tienen una distribucin normal, si se calcula que la media de estas cuentas es de $84.00 con una desviacin estndar de $24.00, de ello se desprende que el 68% de las cantidades facturadas estn entre $60.00 y $108.00, as mismo se desprende que el 95% de los valores estn entre $36.00 y $132.0079

Coeficiente de variacin Indica la magnitud relativa de la desviacin estndar

en comparacin con la media de la distribucin de las medidas, expresada como porcentaje, es til cuando se desea comparar la variabilidad de dos conjuntos de datos en relacin con el nivel general de los valores (y por lo tanto con la media)

W oblacin C ! v100 Q s uestra C ! v100 X

80

Coeficiente de variacin Ejemplo 29

En dos emisiones de acciones ordinarias de la industria electrnica, durante el periodo de un mes fue de $150 con una desviacin estndar de $5 para las acciones A y de $50 con una desviacin estndar de $3 para las acciones B. Con base a la comparacin absoluta, la variabilidad del precio de las acciones A fue mayor a causa de una mayor desviacin estndar. Pero en cuanto al nivel de los precios se deben comparan mediante el coeficiente de variacinC ( A) ! W 5 v 100 ! v 100 ! 3.3% Q 150 W 3 C ( B ) ! v 100 ! v 100 ! 6.0% Q 50 Concluimos que las acciones B ueron casi dos veces mas variables que las acciones A81

Coeficiente de asimetra de Pearson Mide la desviacin respecto de la simetra

expresando la diferencia entre la media y la mediana en relacin con la desviacin estndar del grupo de medidas

3( Q Med ) Asimetra de la poblacin ! W 3( X Med ) Asimetra de la muestra ! s

82

Pearson Ejemplo 30

Con respecto a los datos de ventas de equipos de aire acondicionado, la media es 10.5, la mediana 11 y la desviacin estndar 3.3 por lo que el coeficiente de asimetra es Asimetra=3(-Med)/ =3(10.5-11.0)/3.3=-0.45 Por lo que la distribucin de cantidades de ventas es en cierto modo asimtrica negativa o sesgada a la derecha

83

Problemas Una muestra de 20 obreros obtuvo los siguientes

salarios por una semana dada, redondeados al dlar ms cercano y dispuestos en orden ascendente: $240,240,240,240,240,240,240,240,255,255,265,265 ,280,280,290,300,305,325,330,340. Determine:

A) El rango B) EL RIC C) DMA D) Varianza E) Desviacin estndar F) Varianza y desviacin estndar con la formula alternativa G) El Coeficiente de variacin H) El coeficiente de asimetra de Pearson84

Problemas A) Rango. R=My-

X $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 240.00 240.00 240.00 240.00 240.00 240.00 240.00 240.00 255.00 255.00 265.00 265.00 280.00 280.00 290.00 300.00 305.00 325.00 330.00 340.00

X-X -$ -$ -$ -$ -$ -$ -$ -$ -$ -$ -$ -$ $ $ $ $ $ $ $ $ 30.50 30.50 30.50 30.50 30.50 30.50 30.50 30.50 15.50 15.50 5.50 5.50 9.50 9.50 19.50 29.50 34.50 54.50 59.50 69.50

|X-X| $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 30.50 30.50 30.50 30.50 30.50 30.50 30.50 30.50 15.50 15.50 5.50 5.50 9.50 9.50 19.50 29.50 34.50 54.50 59.50 69.50

(X-X)2 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 930.25 930.25 930.25 930.25 930.25 930.25 930.25 930.25 240.25 240.25 30.25 30.25 90.25 90.25 380.25 870.25

Mn=$340-240=$100 B) RIC=Q3Q1=X(3n/4+1/2)X(n/4+1/2)= X(15.5)X(5.5)=295-240=$55 C) Se debe obtener primero la media muestral=X=$5410/20= $270.50

$ 1,190.25 $ 2,970.25 $ 3,540.25 $ 4,830.25

Total

$

572.00

$21,945.00 85

Problemas Por lo que el DMA de la muestra quedara:

| X Q | ! $572.00 ! $28.60 N 20 D) La Varianza sera

s !

2

( X X )2 n 1

21945.00 ! ! 1155.00 20 1

E) La desviacin estndar

s ! 1155.00 $ $33.9986

Problemas F) ocupando las formulas obtenemosVarianza de la muestra s !2

X 2 nXn 1

2

1485350 20( 270.5) 2 ! ! 1155 19

Desviacin estandar de la muestra s !

X 2 n X 2 ! 1155 ! 33.9 n 1

G) Dado que X=$270.50 y s=$33.99 CV=s/X*100=33.99/270.50=.1256*100=12.6% H) Asimetra=3(X-Med)/s=3(270.5-260)/33.99=0.93 Por lo que concluimos que la distribucin de los datos salariales es ligeramente asimtrica positiva

87

Trabajo de investigacin 4ascendente, fueron obtenidas por 20 estudiantes inscritos en un curso de anlisis de decisin: 40,47,58,66,70,72,72,75,77,79,81,81,84,84,84,87,93,94, 100,100. Determine A) El rango B) EL RIC C) DMA D) Varianza E) Desviacin estndar F) Varianza y desviacin estndar con la formula alternativa G) El Coeficiente de variacin H) El coeficiente de asimetra de Pearson Las siguientes calificaciones en examen dispuestas en orden

88

Probabilidad Histricamente se han desarrollado tres enfoques

conceptuales para definir la probabilidad: los enfoques clsico, de frecuencias relativas y subjetivo. De acuerdo al enfoque clsico

N( ) P( ) ! N (S ) Dado que este enfoque permite determinar valores de

probabilidad antes de que sean observados cualesquiera eventos muestrales, tambin se le conoce como enfoque a priori

89

Probabilidad Ejemplo 31

En un mazo de naipes debidamente barajado que contiene 4 ases y otros 48 naipes, la probabilidad de obtener un as en una sola extraccin es de:

4/52=0.077

90

Expresin de probabilidad La probabilidad de un evento se indica con el

smbolo P. As, P(A) denota la probabilidad de que ocurra el evento A en una sola observacin o experimento.

91

Momios La razn de momios a favor de la ocurrencia

de un evento es la razn del nmero relativo de resultados, representados por a, a favor de A respecto del nmero relativo de resultados, representados por b, que no estn a favor de A:

Momios=a:b (lase a a b)

92

Momios Ejemplo 32

Supongamos que un xito se define como la extraccin de cualquier naipe con figura o de un as de un mazo debidamente barajado de 52 naipes. Dado que 16 de los 52 naipes son ya sea sota, reina, rey o as. Por lo tanto los momios asociados al xito son 16:36. Por lo tanto la probabilidad de xito es P(A)=N(A)/N(S)=a/(a+b)=16/(16+36)=16/52

93

Eventos mutuamente excluyentes y no excluyentes Excluyentes. Son eventos que no pueden

ocurrir al mismo tiempo, por ejemplo sacar un rey y un as al mismo tiempo No excluyentes. Son eventos que pueden ocurrir al mismo tiempo, por ejemplo sacar un as y un trebol

94

Reglas de la adicin Excluyentes P(A o B) =P(A B)=P(A)+P(B) No excluyentes P(A o B) =P(A)+P(B)-P(A y B) Ejemplo 33 Cul es la probabilidad de extraer un as o un rey? = 4/52+4/52=8/52 Cul es la probabilidad de sacar un as o un trbol o ambos en una sola extraccin? = 4/52+13/52-1/52=16/52

95

Eventos independientes, eventos dependientes y probabilidad condicional Dos eventos son independientes cuando la ocurrencia o

no ocurrencia de un evento no tiene ningn efecto en la probabilidad de ocurrencia del otro evento. Dos eventos son dependientes cuando la ocurrencia o no ocurrencia de un evento afecta a la probabilidad de ocurrencia del otro evento

Ejemplo 34.

Una moneda es independiente en cada lanzamiento Obtener un as en una baraja es dependiente, puesto que para la siguiente extraccin solo se podr sacar una probabilidad de 3/51

P(A)=P(A|B)

96

Reglas de la multiplicacin Se refieren a la determinacin de la

probabilidad de la ocurrencia conjunta de A y B. Existen dos variantes de la regla de la multiplicacin si los eventos son independientes o dependientes

Para eventos independientes

P(A y B)=P(A

B)=P(A)P(B)

Para eventos dependientes

P(A y B)=P(A)P(B|A) P(B y A)=P(B)P(A|B)97

Ejemplos de multiplicacin Ejemplo 35

Si una moneda equilibrada se lanza dos veces, la probabilidad de que ambos lanzamientos den por resultado sol es:

Ejemplo 36

1 1 1 v ! 2 2 4

Supongamos que se sabe que un conjunto de 10 partes de repuesto contiene ocho partes aceptables y dos partes defectuosas. Cul es la probabilidad de que las dos partes seleccionadas sean defectuosas?, Cul es la probabilidad de que sean aceptables?

8 7 56 v ! aceptables 10 9 9098

Teorema de Bayes En su forma algebraica ms simple, el teorema de

Bayes consiste en la determinacin de la probabilidad condicional del evento A, dada la ocurrencia del Evento B. Sin embargo, la especial importancia del Teorema de Bayes es que se aplica en el contexto de eventos secuenciales y, adems, que la versin de clculo de la frmula es la base para determinar la probabilidad condicional de que un evento haya ocurrido en la primera posicin secuencial una vez que un evento en particular ha sido observado en la segunda posicin secuencial

P ( A) P( B | A) P( A | B) ! P( A) P( B | A) P( A' ) P( B | A' )

99

Diagramas de rbol Ejemplo 37 Supongamos que contamos con dos urnas U1 y U2. La urna 1 contiene 8 pelotas rojas y 2 pelotas verdes, mientras que la urna 2 contiene 4 pelotas rojas y 6 pelotas verdes, si se selecciona aleatoriamente una urna y de ella se selecciona aleatoriamente una pelota, el proceso y las probabilidades secuenciales pueden representarse mediante un diagrama de rbol..80 U1 .50 .20 .40 .50 U2 .60 V100

R V R

Ejemplos del Teorema Ejemplo 38 Supongamos que observamos una pelota verde en el segundo paso Cul es la probabilidad de que la urna 1 haya sido seleccionada en el paso uno?

P (U 1 | V ) !

P (U 1 ) P (V | U 1 ) (0.50)(0.20) 0.10 ! ! ! 0.25 P (U 1 ) P (V | U 1 ) P (U 2 ) P (V | U 2 ) (0.50)(0.20) (0.50)(0.60) 0.40

101

Permutaciones y combinaciones Si el orden no

importa, es una combinacin. Si el orden s importa es una permutacin.

102

Permutaciones Ejemplo 39 Tres miembros de una organizacin social se ofrecen como voluntarios para fungir como dirigentes el siguiente ao, en los puestos de presidente, tesorero y secretario. El nmero de maneras (permutaciones) en los que los tres pueden asumir los puestos es: n!=3!=(3)(2)(1)=6 maneras Cuando son permutaciones en donde no hay repeticin, la formula es la siguiente:

n! n Pr ! (n r )!

103

Combinaciones En el caso de las permutaciones, el orden de

acomodo de los objetos es importante. En el caso de las combinaciones, lo que nos interesa es el nmero de diferentes agrupaciones de los objetos que pueden ocurrir sin reparar en su orden (hacerlo en clase)

n! nCr! r!(n r )!

Donde n es el nmero de cosas que puedes elegir, y

eliges r de ellas (No se puede repetir, el orden no importa)104

Problemas de probabilidad Determine el valor de la probabilidad aplicable a

cada una de las siguientes situaciones

La probabilidad de accidentes industriales en un ao. Una muestra aleatoria de 10 empresas con 8000 empleados, reporto la ocurrencia de 400 accidentes La probabilidad de acertar a un nmero ganador en un juego de ruleta, los nmeros son 0, 00 y del 1 al 36 Respuesta 1. P=400/8000=0.05 Respuesta 2. P=1/38

105

Problemas de adicin Determine la probabilidad de obtener un as (A), un

rey (R) o un dos (D), al extraer un naipe de un mazo debidamente barajado de 52 naipes De 300 estudiantes de administracin, 100 estn actualmente inscritos en contabilidad y 80 estn actualmente inscritos en estadstica aplicada. Estas cifras de inscripcin incluyen a 30 estudiantes inscritos en ambos cursos Cul es la probabilidad de que si se elige a un estudiante al azar est inscrito en contabilidad o en estadstica? Respuesta 1. P=4/52+4/52+4/52=12/52 Respuesta 2. P=100/300+80/300-30/300=150/300=.5106

Problemas de multiplicacin En general, la probabilidad de que un prospecto

realice una compra despus de haber sido contactado por un vendedor es P=0.40. Si un vendedor selecciona aleatoriamente a tres prospectos de un expediente y establece contacto con ellos Cul es la probabilidad de que los 3 realicen la compra? De 12 cuentas contenidas en un expediente, cuatro contienen un error de procedimiento en su saldo. Si un auditor selecciona aleatoriamente dos de estas cuentas, Cul es la probabilidad de que ninguna de ellas contenga un error de procedimiento?. Elabore un diagrama de rbol para representar este proceso de muestreo secuencial107

Solucin problemas de multiplicacin Problema 1. Dado que los compradores son

independientes entre si P=.40x.40x.40=0.064 Problema 2. Los eventos de este ejemplo son dependientes, porqu el resultado de la primera cuenta muestreada afecta las probabilidades para la segunda por lo que P=8/12x7/11=56/132=0.423/11 E1 4/12 8/11 4/11 8/12 E1 7/11 E2108

E2

E2 E2

Problemas Teorema de Bayes Se sabe que la caja A contiene una moneda de un centavo y

una moneda de 10 centavos. Mientras que la caja B contiene dos monedas de 10 centavos. Se elige aleatoriamente una de ellas, de la que despus se selecciona aleatoriamente una moneda. A) Elabore un diagrama de rbol para describir esta situacin de eventos secuenciales. B) Si en el primer paso se selecciona la caja A, Cul es la probabilidad de que en el segundo se seleccione una moneda de 10 centavos?. C) Si en el segundo paso se selecciona una moneda de 10 centavos, Cul es la probabilidad de que provenga de la caja A?. D) Si en el segundo paso se selecciona una moneda de un centavo, Cul es la probabilidad de que provenga de la caja A

109

Solucin Teorema de Bayes1/2 A 1/2 1/2 0 1/2 B 1 D D C C

B) P(D|A)=1/2=0.50P ( yD ) P( )P(D | ) ! P( )P(D | ) P(B)P(D | B) P(D) C) ( 1 2 )( 1 2 ) ( 14 ) ! ! ! ( 1 3 ) $ 0 . 33 ( 1 2 )( 1 2 ) ( 1 2 )(1) ( 1 4 ) ( 1 2 ) P( | D) !

110

Solucin Teorema de Bayes D)

P ( yC ) P ( ) P (C | ) ! P ( ) P (C | ) P ( B ) P (C | B ) P (C ) ( 1 2 )( 1 2 ) ( 14 ) ! ! !1 1 )( 1 ) ( 1 )() 1 ) ( 2 2 ( 4 2 P( A | C ) !

Los cinco individuos que componen la direccin de una pequea

empresa manufacturera sern sentados juntos en un banquete. A) Determine el nmero de diferentes disposiciones posibles de los asientos para los cinco individuos B) Supongamos que solo a tres de los cinco directivos se les pedir representar a la compaa en el banquete. Cuntas diferentes disposiciones sern posibles en la mesa considerando que pueden ser elegidos tres cualesquiera de los cinco individuos?

111

Permutaciones y combinaciones Solucin al anterior P=n!=5x4x3x2x1=120 P=n!/(n-r)!=5!/(5-3)!=60 En relacin con el problema anterior, supongamos

que no nos interesa el nmero de diferentes disposiciones de asientos posibles, sino el nmero de diferentes agrupaciones de los tres (de cinco) directivos que podran asistir al banquete. Cuntas diferentes agrupaciones hay?

C=n!/r!(n-r)!=5!/3!(5-3)!=10

112

Trabajo de investigacin 5 Determine lo siguiente:

La probabilidad de que la suma de los puntos de dos dados una vez lanzados sea de siete Obtenga la probabilidad equivalente de los momios siguientes:

1:2 de que un competidor consiga un avance tecnolgico 5:1 de que un nuevo producto sea rentable

De un total de 500 empleados, 200 participan en el plan de reparto de utilidades de una empresa (P), 400 disponen de cobertura de seguro de gastos mdicos mayores (M) y 200 participan en ambos programas. Cul es la probabilidad de que un empleado aleatoriamente seleccionado?

Participe en al menos uno de los dos programas No participe en ningn programa113

Trabajo de investigacin 5 Durante un periodo especfico, 80% de las emisiones

de acciones ordinarias de una industria con solo 10 compaas elevaron su valor en el mercado. Si un inversionista elige aleatoriamente dos de estas emisiones.

Cul es la probabilidad de que el valor de mercado de ambas haya aumentado durante este periodo? Supongamos que un inversionista elige aleatoriamente tres de esas emisiones accionarias. Elabore un diagrama de rbol para describir los diversos resultados posibles de la secuencia de tres emisiones

114

Trabajo de investigacin 5 Supongamos que contamos con dos urnas U1 y U2, y que U1

contiene tres pelotas rojas y dos pelotas verdes, mientras que U2 contiene dos pelotas rojas y cinco pelotas verdes. Si se selecciona aleatoriamente una urna y despus de esa urna se obtiene una pelota roja. Cul es la probabilidad de que la urna seleccionada haya sido U1? Supongamos que hay ocho diferentes lugares de capacitacin para asignar 6 empleados en el programa preliminar de capacitacin administrativa de una empresa. De cuantas maneras diferentes pueden ser asignados los ocho individuos a los ocho lugares distintos? Si solo se dispone de seis diferentes lugares para los ocho candidatos. De cuantas maneras diferentes pueden asignarse los seis lugares distintos a seis de los ocho individuos?115

Distribucin de probabilidad para variables aleatorias discretas Qu es una variable aleatoria? Es un evento numrico cuyo valor se determina por medio de un proceso aleatorio Distribucin de probabilidad. Es cuando se le

asignan valores X a una variable aleatoria, ya sea mediante un listado o una funcin matemtica. La suma de las probabilidades de todos los resultados numricos posibles debe ser igual a 1.0116

Variable aleatoria discreta Es cuando todos los posibles valores

numricos de la variable pueden enlistarse en una tabla junto con sus respectivas probabilidades

117

Variable aleatoria continua Todos los posibles valores fraccionarios de la

variable no pueden enlistarse, motivo por el cual las probabilidades se determinan por medio de una funcin matemtica

118

Descripcin de una variable aleatoria discreta Lo mismo que en el caso de recolecciones de

datos muestrales y poblacionales a menudo es til describir una variable aleatoria en trminos de su media, varianza y desviacin estndar. La media a largo plazo de una variable aleatoria X, se le conoce como valor esperado y se expresa por E(X) y se da por la frmula:

E(X)= XP(X)119

Valor esperado Ejemplo 40 El nmero de vagonetas solicitadas en renta en una agencia de alquiler de automviles durante un periodo de 50 das, se identifica en la siguiente tabla. Obtenga el valor esperado de la variable discretaDemanda Nmero de Das posible X 3 4 5 6 7 8 3 7 12 14 10 4 50 Probabilidad P(X) 0.06 0.14 0.24 0.28 0.20 0.08 1.0 Valor Ponderado X[P(X)] 0.18 0.56 1.20 1.68 1.40 0.64 E(X)=5.66120

Varianza de una variable aleatoria discreta Se expresa como V(X), se calcula respecto a

E(X) como la media de la distribucin de probabilidad y se tienen dos formulas para sacarla:2

V ( X ) ! [ X E ( X )] P ( X ) Formula 1 V ( X ) ! E ( X ) [ E ( X )] Formula 22 2

121

Varianza y desviacin estndar Ejemplo 41

Obtener la varianza del ejemplo anterior con la formula dosProbabilidad P(X) 0.06 0.14 0.24 0.28 0.20 0.08 1.0 Valor Ponderado X[P(X)] 0.18 0.56 1.20 1.68 1.40 0.64 E(X)=5.66 Demanda Cuadrada (x2) 9 16 25 36 49 64 Cuadrado Ponderado x2P(X) 0.54 2.24 6.00 10.08 9.80 5.12 E(x2)=33.78

Demanda posible X 3 4 5 6 7 8

Por lo tanto la varianza es

V(X)=33.78-5.662=33.78-32.04=1.74 Desviacin estndar= raz cuadrada de la varianza=1.32

122

Distribucin binomial Es una distribucin de probabilidad discreta

aplicable como modelo para situaciones de toma de decisiones en las que puede suponerse que un proceso de muestreo responde a un proceso de Bernoulli que es:

Cada observacin tiene dos resultados xito y fracaso Las observaciones constituyen eventos independientes La probabilidad de una observacin a otra es constante123

Distribucin binomial Para esta formula se requiere de los siguientes

elementos:

El nmero establecido de xitos X El nmero de ensayos u observaciones n y La probabilidad de xito de cada ensayo p

n! p x q n x X !( n X )! donde q ! (1 - p) P ( X | n, p ) !

124

Distribucin binomial Ejemplo 42 La probabilidad de que un prospecto de venta aleatoriamente elegido realice una compra es de 0.20, si un representante de ventas visita a seis prospectos, la probabilidad de que realice exactamente cuatro ventas se determina de la siguiente forma

6! P ( X ! 4 | n ! 6, p ! 0.20) ! 0.20 4 0.80 2 ! 0.01636 4!(6 4)!

125

Distribucin binomial Ejemplo 43

Con respecto al ejemplo anterior, la probabilidad de realizar 4 o ms ventas se determina de la siguiente forma P(X4|n=6,p=0.20)=P(X=4)+P(X=5)+P(X=6) De acuerdo al ejemplo anterior

=0.01636+0.001536+0.000064=0.016960

126

Distribucin binomial Para obtener el valor esperado, la varianza y

la desviacin estndar de una distribucin binomial se ocupan las siguientes formulas:

Ejemplo 44

E(X)=np=6(0.20)=1.2 ventas V(X)=npq=6(.20)(.80)=0.96 =raz de la varianza=0.98

127

Distribucin hipergeomtrica Cuando el muestreo se realiza sin reemplazo de cada

elemento muestreado tomado de una poblacin finita de elementos, no se aplica el proceso de Bernoulli, porqu cuando se eliminan elementos de la poblacin existe un cambio sistemtico en la probabilidad de xito por lo que para este tipo de casos se ocupa la formula de distribucin hipergeomtrica, con los siguientes elementos: N= nmero total de elementos de la poblacin, T= nmero total de xitos incluidos en la poblacin, X= nmero establecido de xitos y n=nmero de elementos de la muestra

P ( X

N T n X | N ,T , n ) ! N n

T X 128

Distribucin hipergeomtrica Ejemplo 45 De seis empleados tres han permanecido en la compaa por cinco o ms aos. Si de este grupo de seis se elige aleatoriamente a cuatro empleados. La probabilidad de que exactamente dos de ellos tengan una antigedad de cinco o ms aos es: 6 3 3 4 2 2 P ( X ! 2 | N ! 6, T ! 3, n ! 4) ! 6 4 3 3 3! 3! 2 2 ! 2!1! 2!1! ! 3 x3 ! 0.60 6! 15 6 4 4!2!

El 1! Es el complemento para llegar a 3! El 2! Es el complemento para llegar a 6!129

Distribucin de Poisson Se ocupa para determinar la probabilidad de

ocurrencia de un nmero establecido de eventos cuando stos ocurren en un continuum temporal. Este proceso se llama proceso de Poisson, aunque semejante al Bernoulli, se distingue de l en que los eventosocurren a lo largo de un intervalo de tiempo temporal. En pocas palabras se define la distribucin de Poisson cuando la probabilidad que se requiere sacar sucede de manera X en un intervalo de tiempo130

Distribucin de Poisson La formula para determinar la probabilidad de un

nmero establecido de xitos X en una distribucin de Poisson es

Pe P( X | P ) ! X!

x P

Por lo general esta media se representa como

y significa el nmero medio de eventos a largo plazo en la dimensin temporal. El nmero e es la constante 2.7183, base de los logaritmos naturales.131

Distribucin de Poisson En un departamento de reparacin de maquinaria se

recibe un promedio de cinco llamadas de servicio por hora. La probabilidad de que en una hora aleatoriamente seleccionada se reciban exactamente tres llamadas de servicio es:

Ejemplo 46

53 e 5 125 x 0.00674 P ( X ! 3 | P ! 5 .0 ) ! ! ! 0.1404 3! 6

132

Problemas Se ha determinado que el nmero de camiones de

carga que arriban cada hora a una bodega sigue la siguiente distribucin de probabilidad 1 2 3 4 5 6

Nmero de 0 camiones (x) probabilidad

0.05 0.10 0.15 0.25 0.30 0.10 0.05

Calcule A) el nmero esperado de arribos X por hora B) La varianza C) La desviacin estndar133

ProblemasDemanda posible X 0 1 2 3 4 5 6 Probabilidad P(X) 0.05 0.10 0.15 0.25 0.30 0.10 0.05 1.0 Valor Ponderado X[P(X)] 0 0.10 0.30 0.75 1.20 0.50 0.30 E(X)=3.15 Demanda Cuadrada (x2) 0 1 4 9 16 25 36 Cuadrado Ponderado x2P(X) 0 0.10 0.60 2.25 4.80 2.50 1.80 E(x2)=12.05

A) E(X)=3.15 camiones B) V(X)=E(X2)-[E(X)]2=12.05-3.152=12.05-9.9225=2.1275 C) =raiz cuadrada de V(X)=1.46 camiones134

Problemas Distribucin Binomial A causa de las condiciones econmicas imperantes,

una empresa informa que 30% de sus cuentas por cobrar a otras empresas comerciales estn sobrevencidas. Si un contador toma una muestra aleatoria de cinco de esas cuentas, determine la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos

A) Ninguna de las cuentas esta sobrevencida B) Exactamente dos cuentas estn sobrevencidas C) Tres o ms estn sobrevendias

135

Problemas distribucin binomial5! (0.30) 0 (0.70) 5 ! 1x1x0.16807 ! 0.16807 0!5! 5! (0.30) 2 (0.70)3 ! 10 x0.09 x0.343 ! 0.3087 B ) P ( x ! 2 | n ! 5, p ! 0.30 ! 2!3! C ) P ( x u 3 | n ! 5, p ! 0.30) ! P ( x ! 3) P ( x ! 4) P ( x ! 5) ! 0.1323 0.02835 0.00243 ! 0.16308 A) P ( x ! 0 | n ! 5, p ! 0.30) ! 5! (0.30) 3 (0.70) 2 ! 10 x0.027 x0.49 ! 0.1323 3!2! 5! (0.30) 4 (0.70)1 ! 5 x0.0081x0.70 ! 0.02835 dondeP ( x ! 4) ! 4! ! 1 5! (0.30) 5 (0.70) 0 ! 1x0.00243 x1 ! 0.00243 dondeP ( x ! 5) ! 5!0! dondeP ( X ! 3) !

136

Problemas distribucin hipergeomtrica Un gerente selecciona aleatoriamente a n=3

individuos de un grupo de 10 empleados para la formacin de un equipo asignado a un proyecto. Suponiendo que 4 de los empleados fueron asignados anteriormente a un proyecto similar, determine la probabilidad de que exactamente dos de los tres empleados hayan tenido experiencia previa en proyectos de ste tipo

137

Solucin hipergeomtrica10 4 4 3 2 2 P ( X ! 2 | N ! 10, T ! 4, n ! 3) ! 10 3 6 4 6! 4! 1 2 ! 1!5! 2!2! ! 6 x6 ! 0.30 10! 120 10 3 3!7!

138

Problemas Poisson Un promedio de cinco personas por hora realizan

transacciones en una ventanilla de servicios especiales de un banco comercial cul es la probabilidad de que entre 10 y 12 personas realicen transacciones en la ventanilla de servicios especiales durante una hora en particular?P ( X u 10 X e 12 | P ! 5 . 0 ) ! P ( X ! 10 ) P ( X ! 11 ) P ( X ! 12 ) ! 0 . 01813 5 10 e 5 ! 0 . 01813 P ( X ! 10 | P ! 5 ) ! 10 ! 5 11 e 5 ! 0 . 00824 P ( X ! 11 | P ! 5 ) ! 11 ! 5 12 e 5 ! 0 . 00343 P ( X ! 12 | P ! 5 ) ! 12 !139

0 . 00824

0 . 00343

! 0 . 0298

Trabajo de investigacin 6 Un vendedor ha descubierto que la probabilidad de

realizar varias ventas por da, dada la posibilidad de visitar a 10 prospectos de venta, es la que se representa en la tabla. Calcule el nmero esperado de ventas por da, la varianza y la desviacin estndar Nmero de ventas (x) probabilidad 1 2 3 4 5 6 7 8

0.02|0.20| 0.2| 0.20| 0.21| 0.1| 0.05|0.02

140

Trabajo de investigacin 6 Supongamos que 30% de los empleados de una

gran empresa estn a favor de la representacin sindical, y que se contacta una muestra aleatoria de 10 empleados en solicitud de una respuesta annima. Cul es la probabilidad de que 4 estn a favor de la representacin? Doce de los 20 estudiantes de un grupo escolar estn insatisfechos con el texto que se emplea. Si una muestra aleatoria de 4 estudiantes es interrogada sobre el libro de texto, determine la probabilidad de que

A) Exactamente 3 B) Al menos 3 estudiantes se muestren insatisfechos con el libro141

Trabajo de investigacin 6 Un promedio de siete personas por hora hacen uso

de una caja bancaria automtica durante el horario pico de compras en una tienda departamental. Cul es la probabilidad de que

A) Exactamente 7 personas usen la caja durante una hora aleatoriamente seleccionada? B) Menos de 6 personas usen la caja durante una hora aleatoriamente seleccionada? C) Ninguna persona la use durante un intervalo de 10 minutos

142

Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias continuas A diferencia de una variable aleatoria

discreta, una variable aleatoria continua puede adoptar cualquier valor fraccionario dentro de un rango definido de valores. Dado que existe un nmero infinito de medidas fraccionarias posibles, no se pueden enlistar todos los posibles valores con su probabilidad correspondiente

143

Variables aleatorias continuas En la grfica siguiente la probabilidad de que un

embarque aleatoriamente seleccionado tenga un peso entre 6 000 y 8 000 es igual a la proporcin del rea total bajo la curva1 0 100

80

60

40

0

0 0 000 4000 6000 8000 10000 1 000 0

144

Distribucin normal de probabilidad Se refiere a la curva normal, la cual es tanto

simtrica como mesocrtica y es importante por tres razones:

Se sabe que las medidas obtenidas en muchos procesos aleatorios siguen esta distribucin Suelen servir para aproximar otras distribuciones de probabilidad, como la binomial y de Poisson Como veremos en el captulo siguiente, las distribuciones de estadsticas como la media muestral y la proporcin muestral tienen distribucin normal cuando el tamao de muestra es grande

145

Distribucin normal de probabilidad Como sucede en todas las distribuciones

continuas de probabilidad, un valor de probabilidad de una variable aleatoria continua slo puede determinarse para un intervalo de valores, la curva de probabilidad de una variable con distribucin normal est dada por

f (x) !

1 2 TW2

e

[( X Q )

2

/ 2W

2

]

146

Distribucin normal estndar Es la distribucin normal de probabilidad con =0 y

=1. Un valor z reformula el valor de X original en trminos del nmero de unidades de la desviacin estndar por las cuales el valor original difiere de la media de la distribucin. Un valor negativo z, indicara que el valor de X original estaba por debajo del valor de la media

X Q z! W147

Distribucin normal de probabilidad Ejemplo 47 Se sabe que el ciclo de vida de un componente elctrico sigue una distribucin normal con una media de =2000 y una desviacin estndar de =200 horas, la probabilidad de que un componente aleatoriamente seleccionado dure entre 2 000 y 2 400 horas se determina de la siguiente manera:45 40 35 30 25 20 5 0 5 0

z!

X Q 2400 2000 ! ! 2.0 W 200 p (2000 e X e 2400) ! 0.4772, de acuerdo al apendice 5

-3

-2

-1

200

400

600

800

2000

2200

2400

2600

2800

0

1

2

3

148

Distribucin normal de probabilidad Ejemplo 48 Con respecto al problema anterior, supongamos que nos interesa la probabilidad de que un componente aleatoriamente seleccionado dure ms de 2 200 horasz! X Q 2200 2000 ! ! 1 .0 W 200 p (0 e Z e 1) ! 0.3413, de acuerdo con el apndice 5 ( " 2200) ! 0.5000 - 0.3413 ! 0.15874 40

2

20

1400

1 00

1800

2000

2200

2400

2 00

-3

-2

-1

0

1

2

0

0 0 1200 2800

3

149

Puntos percentiles para variables con distribucin normal Un punto percentil en una curva normal

estndar nos sirve para hacer el proceso inverso, es decir, encontrar el valor de X

Ejemplo 49

En una curva normal estndar, el 90 punto percentil se refiere al 50 punto de la izquierda de la curva + el 40 punto del lado derecho, as que con el apndice sacamos el valor ms cercano a 0.4000 y es 0.3997, por lo que el valor asociado a Z = +1.28, el signo es positivo porque el 90 punto percentil es mayor que la media150

Puntos percentiles para variables con distribucin normal Para encontrar el valor de X, despejando la

frmula tenemos que X=+z

Ejemplo 50

Para el ejemplo anterior tenemos que X = 2 000 + (1.28)(200) = 2 256 hrs.

Ejemplo 51Si sacamos el 10 percentil tenemos que X = 2 000 + (-1.28)(200) = 1 744 horas.

151

Aproximacin normal de probabilidades binomiales Cuando el nmero de observaciones o ensayos n es

relativamente grande, la distribucin de probabilidad normal puede servir para aproximar probabilidades binomiales. Una regla conveniente es que tal aproximacin resulta aceptable cuando n30 y tanto np como nq5 Cuando la distribucin de probabilidad normal se usa como base para aproximar un valor de probabilidad binomial, la media y desviacin estndar se basan en el valor esperado y en la varianza del nmero de xitos de la distribucin binomial

mediaQ ! np esv.est.W ! npq152

Aproximacin normal de probabilidades binomiales Para llevar a cabo una probabilidad binomial

usando curvas normales, se debe considerar algo que se conoce como correccin por continuidad. Esta correccin se lleva a cabo usando los siguientes parmetros

Reste 0.5 de X cuando se requiera P(XXi) Reste 0.5 de X cuando se requiera P(XXi)153

Aproximacin normal de probabilidades binomiales Ejemplo 52 En relacin con un grupo extenso de prospectos de venta se ha observado que el 20% de contactados personalmente por un representante de ventas realizarn una compra. Si un representante de ventas contacta a 30 prospectos, podemos determinar la probabilidad de que 10 o ms realicen una compra, en referencia a las probabilidades binomiales Si sacamos la solucin ocupando lo que se vio en las diapositivas 120-124 tenemos

P(X 10|n=30,p=0.20)=0.0355+0.0161+0.0064+ 0.0022+0.0007+0.0002+=0.0611154

Aproximacin normal de probabilidades binomiales Continuacin ejemplo 52 Hagamos ahora lo mismo, pero ocupando la curva normal Es n30?, si n = 30 Es np5?, si, np = 30(0.20) = 6 Es nq 5?, si, nq = 30(0.80) = 24 Para la correccin por continuidad tenemos que tomar a X 10, por lo que se debe restar 0.5 y queda de la siguiente forma

Q ! np ! 30 x.20 ! 6.0 W ! npq ! 30 x.20 x.80 ! 4.8 $ 2.19 x Q 9.5 6.0 ! $ 1.60 ! 0.4452 2.19 W P ( X u 9.5 | Q ! 6.0, W ! 2.19) ! 0.5000 0.4452 ! 0.0548 z!

155

Aproximacin normal de probabilidades de Poisson Cuando la media

de una distribucin de Poisson es relativamente grande, la distribucin normal de probabilidad puede servir para aproximar probabilidades de Poisson. Una regla conveniente es que esta aproximacin es aceptable si 10.0

mediaQ ! P esv.est.W ! P156

Aproximacin normal de probabilidades Poisson Ejemplo 53

El nmero promedio de llamadas recibidas en un departamento de reparacin de maquinaria por turno de 8 horas es de 10.0. Cul es la probabilidad de que en el turno se reciban ms de 15 llamadas? Si sacamos la solucin ocupando lo que se vio en las diapositivas 127-129 tenemos:

P(X>15| =10.0)=P(X=16)+P(X=17)+ =0.0217+0.0128+0.0071+0.0037=0.0488157

Aproximacin normal de probabilidades Poisson Continuacin ejemplo 53 Hagamos ahora lo mismo, pero ocupando la curva normal, ya que 10

Q ! P ! 10 W ! P ! 10 $ 3.16 x Q 15.5 10.0 z! 1.74 ! 0.4591 ! W 3.16 P ( X " 15 | P ! 10.0) ! 0.5000 0.4591 ! 0.0409158

Problemas El proceso de empaque de una compaa productora

de cereales para el desayuno ha sido ajustado para que cada empaque contenga un promedio de =13.0 onzas de cereal. Por supuesto que no todos los paquetes contienen 13.0 oz a causa de fuentes aleatorias de variabilidad. La desviacin estndar del peso neto real es =0.1 oz y se sabe que la distribucin de pesos sigue la distribucin normal de probabilidad. Determine la probabilidad de que un paquete aleatoriamente elegido contenga entre 13 y 13.2 oz de cereal.

159

ProblemasX Q 13.2 13.0 z! ! ! 2.0 W 0. 1 p (0 e Z e 2) ! 0.4772, de acuerdo con el apndice 5Respecto al problema anterior, cul es la probabilidad de que el peso del cereal exceda 13.25 onzas?

X Q 13.25 13.0 ! 2.5 z! ! W 0. 1 p ( Z " 2.5) ! 0.5000 0.4938 ! 0.0062160

Problemas binomiales y de Poisson Se sabe que 70% de las personas que acuden a un

importante centro comercial realizan al menos una compra. En una muestra de n = 50 individuos, cul es la probabilidad de que por lo menos 40 personas realicen una o ms compras cada una?

Q ! np ! 50 x.70 ! 35.0 W ! npq ! 50 x.70 x.30 ! 10.5 $ 3.24 x Q 39.5 35.0 ! $ 1.39 ! 0.4177 z! 3.24 W P ( X u 39.5 | Q ! 35.0, W ! 3.24) ! 0.5000 0.4177 ! 0.0823161

Problemas binomiales y de Poisson Se sabe que las llamadas de servicio llegan

aleatoriamente y en calidad de proceso estacionario a un promedio de 5 por hora. Cul es la probabilidad de que en un turno de 8 horas se reciban al menos 50 llamadas de servicio?

Puesto que =5x8=40 y excede a 10, entonces podemos usar la distribucin normal de probabilidad, para aproximar el valor de probabilidad de Poisson

Q ! P ! 40 W ! P ! 40 $ 6.32 x Q 50.5 40 ! $ 1.66 ! 0.4515 z! 6.32 W P ( X u 50.5 | P ! 40.0) ! 0.5000 0.4515 ! 0.0485

162

Trabajo de investigacin 7 Las calificaciones reportadas en una prueba

de aprovechamiento de vigencia nacional para graduados de preparatoria tiene una media de = 85 con la desviacin estndar = 8. La distribucin de calificaciones es aproximadamente normal. Cul es la probabilidad de que la calificacin de un individuo aleatoriamente elegido se encuentrea) entre 85 y 95 b) entre 70 y 90

163

Trabajo de investigacin 7 La media de una prueba de aprovechamiento

de vigencia nacional es = 85 con = 8. Las calificaciones siguen una distribucin normal. Qu calificacin se encuentra en ela) 50 punto percentil b) 30 punto percentil c) 90 punto percentil?

164

Trabajo de investigacin 7 En relacin con los varios miles de artculos

almacenados por una empresa de pedidos por correo, existe una probabilidad global de 0.08 de que un artculo en particular (incluidos tamao y color especficos, etc.), no est en existencia. Si un embarque comprende pedidos de 150 artculos diferentes, cul es la probabilidad de que 20 o menos artculos no estn en existencia?

165

Trabajo de investigacin 7 Durante el periodo pico de 8 a 10 p.m. de

una estacin de servicio automovilstico llega un promedio de un auto cada 5 minutos. Cul es la probabilidad de que ms de 30 autos arriben a la estacin en demanda de servicio entre las 4 y 5 p.m.?

166

Tamao de la Muestra apropiado El tamao necesario de la muestra depende

de tres factores

El nivel de confianza deseado El margen de error que el investigador este dispuesto a tolerar La variabilidad de la poblacin que se estudia

167

Nivel de confianza Los niveles de confianza ms comnmente

usados son del 95% y 99%, pero se puede usar cualquier nivel entre 0 y 100%

Nivel de confianza para 95% z=1.96 Nivel de confianza para 99% z=2.58

Entre mayor sea el nivel de la z mayor ser el

tamao de la muestra

168

Error permitido El mximo error permitido se designa por E,

es la cantidad que se suma o se resta a la media muestral para determinar los extremos de los intervalos de confianza. Cantidad de error que las personas que realizan el estudio estn dispuestas a tolerar, si el error permitido es pequeo se necesitara una muestra grande y viceversa si es grande

169

Desviacin Estndar Poblacional Si la poblacin esta muy dispersa se

requerir una muestra muy grande. Por otro lado si la poblacin esta concentrada el tamao de la muestra ser muy pequeo, ser necesario usar una desviacin estndar poblacional y existen tres sugerencias para poder obtenerla

170

Uso de un estudio comparable Se ocupa cuando existe una estimacin de la

dispersin, que se obtuvo en otro estudio

171

Uso de un mtodo basado en el intervalo Se sabe que aproximadamente toda la curva

normal se encuentra a 3 desviaciones estndar si observamos la derecha y la izquierda tendramos que un porcentaje bastante grande de la curva es el de 6 desviaciones estndar as que tomamos el nmero menor de nuestra muestra y el nmero mayor para obtener el rango y lo dividimos entre 6, eso nos dar una aproximacin a la desviacin estndar poblacional

172

Estudio piloto Se utiliza con mayor frecuencia, se toma una

muestra de entre 30 y 100 y se aplica la encuesta para identificar la desviacin estndar muestral y ocuparla en la frmula correspondiente.

173

Tamao de la muestra para estimar la media poblacional zs n! E n es el tamao de la muestra z es el valor normal estndar que corresponde al tamao de la muestra s estimacin de la desviacin estndar de la poblacin mximo error permitido2

174

Frmula para clculo de nn = Z2 pq N Ne2+pq Donde:n = Tamao de la muestra Z = Nivel de confianza* p = probabilidad de que el evento se realice (.5) q = probabilidad de que el evento no se realice (1-.5) N = Poblacin e = error de estimacin (*) 2 W 95% de confianza = 1.96 Ejercicio: Para determinar los factores que inciden en la productividad del personal operativo de pymes de la industria transformadora del Estado de Mxico, es necesario entrevistar a los gerentes (N=21703). Cuntos gerentes debern ser entrevistados si el total de pymes es de 21703 y se desea no tener un error mayor al 5%?

n = (1.96)2 (.5)(.5) (21703) (21703)(.05)2+(.5)(.5)

n = 378175

Ejemplo 60 Un estudiante de administracin pblica

quiere determinar el ingreso medio mensual de los miembros del consejo ciudadano de una ciudad grande. El error al estimar la media debe ser inferior a 100 dlares con un nivel de confianza del 95%. El estudiante encontr un informe de la Secretara del Trabajo en el que se estim que la desviacin estndar era de 1000. De que tamao debe ser la muestra?176

Ejemplo 60 zs 1.96 x1000 n! ! ! 384.16 E 100 Por lo que se necesita una muestra de 384 para satisfacer las especificaciones Para el caso de que se aumentara el nivel de confianza a 99% zs 2.58 x1000 n! ! ! 665.64 100 E Por lo que se necesita una muestra de 666 para satisfacer las especificaciones177

2

2

2

2

Hiptesis Enunciado acerca de una poblacin

elaborado con el propsito de ponerla a prueba

178

Prueba de Hiptesis Procedimiento basado en la evidencia

muestral y la teora de probabilidad; se emplea para determinar si la hiptesis es una afirmacin razonable

179

Paso 1 para probar una hiptesis Establecer las Hiptesis nula H0 y la

Alternativa H1

La hiptesis nula es la hiptesis a ser probada La hiptesis alternativa es el complemento de la nula, es una afirmacin que se acepta si los datos muestrales proporcionan evidencia suficiente de que la hiptesis nula es falsa

180

Paso 2 para probar una hiptesis Seleccionar el nivel de significancia, el cual

es la probabilidad de rechazar la hiptesis nula cuando es verdadera No hay un nivel de significancia que se aplique a todas las pruebas, depender sobre todo de lo que se esta evaluando, sin embargo se ha estilado que para proyectos de investigacin un nivel del 5% es correcto, para aseguramiento de calidad 1% y para encuestas polticas el 10%181

Paso 2 ContinuacinInvestigadorHiptesis Nula Se Acepta Ho Se Rechaza Ho

Ho es verdadera

Decisin Correcta Error de Tipo 2

Error de tipo 1

Ho es Falsa

Decisin correcta

182

Paso 2 Ejemplo 61 Una muestra de 50 tarjetas de circuito

impreso revelo que 4 de estas fallaron, si el cliente tolera solo el 6% de falla y la compra es de 1000 tarjetas de circuito, al identificar que 4 de ellas fallaron tendramos que el 8% de nuestra muestra fallo, por lo que rechazamos el embarque, supongamos que de las 1000 solo esas 4 fallaron, entonces se cae en un error de tipo 1, lo contrario sera error de tipo 2183

Paso 3 Calcular el valor estadstico de la prueba Valor determinado a partir de la informacin

muestral, que se utiliza para determinar si se rechaza la hiptesis nula

184

Paso 3 Calcular el valor estadstico de la pruebaEs Normal la Poblacin?

No

SiSe conoce la desviacin estndar poblacional?

Es n igual o mayor que 30?

NoUtilizar una prueba no paramtrica

SiUtilizar una distribucin z

NoUtilizar una distribucin t

SiUtilizar una distribucin z

185

Paso 4 Formular la regla de decisin Una regla de decisin establece las

condiciones especficas en las que se rechaza la hiptesis nula y las condiciones en las que no se rechaza la hiptesis nula Valor Crtico

Punto de divisin entre la regin en la que se rechaza la hiptesis nula y la regin en la que no se rechaza la hiptesis nula

186

Paso 5 Tomar una decisin Se refiere a calcular el estadstico de prueba,

compararlo con el valor crtico y tomar la decisin de rechazar o no la hiptesis nula Identificar la probabilidad de que el evento suceda

187