presentacion de matematicas

Unidad II Sistema de Coordenadas y LuUnidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricosgares Geometricos

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UNIDAD II: Sistemas de Coordenadas y Lugares Geométricos

“Es en busca de lo imposible que se reconoce lo posible”

Mijail Bakunin

Unidad II Sistema de Coordenadas y Lugares Geometricos

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UNIDAD 2:

SISTEMAS DE COORDENADAS Y LUGARES GEOMETRICOS

PROPOSITOS: Proporcionar una visión global del método de la geometría Analítica como el medio para resolver problemas de corte Euclidiano reduciéndolos a problemas algebraicos, así como proporcionar los elementos que servirán en unidades posteriores para emplear el método en situaciones mas complejas.

APRENDIZAJE Y TEMATICA

Al finalizar la Unidad , el alumno:

•Reconocerá que un aspecto relevante en el método de la geometría analítica, consiste en definir y ubicar un sistema de referencia en un plano.


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•Encontrar las coordenadas de un punto en el plano utilizando los sistemas de referencia en un plano.

•Localizara puntos en un plano cuando se proporcionen sus coordenadas rectangulares y coordenadas polares.

•Representara adecuadamente en cualquier cuadrante del plano cartesiano , un conjunto cualquiera de puntos.

•Identificara las condiciones para representar un segmento rectilíneo en el plano cartesiano: las coordenadas de sus puntos extremos o bien, las coordenadas de uno de ellos, la longitud del segmento y su ángulo de inclinación


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•Entenderá los pasos de la deducción, de la formula de distancia entre dos puntos en el plano cartesiano.

•Calculara la longitud de un segmento dadas las coordenadas de sus puntos extremos.

•Dadas las coordenadas de sus puntos extremos de un segmento, calcula su ángulo de inclinación a través de su pendiente.

•Resolverá analíticamente problemas que impliquen determinar un segmento a partir de algunas de las propiedades que lo definen.

•Explicara el significado de un punto que divide a un segmento en una razón dada.


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•Dadas las coordenadas de los extremos de un segmento y las de un punto interior a el, calculara la razón en que este ultimo divide al segmento.

•Encontrara las coordenadas del punto que divide a un segmento en una razón dada. En particular, las coordenadas del punto medio.

•Dadas las coordenadas del punto medio y de uno de los extremos de un segmento rectilíneo encontrara las coordenadas del otro extremo.

•Reconocerá a una ecuación con dos variables como la expresión general que satisfacen las coordenadas de los puntos de un curva en el plano.

•Resolverá problemas geométricos de intersección entre rectas, circunferencias o entre estas y los ejes coordenados.


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•Reducirá algunas situaciones a otras mas simples que ya sabe resolver, lo que reforzara una estrategia de resolución de problemas.

•Incrementara su capacidad de generalizar, tanto al obtener formulas generales a partir de analizar casos concretos como al interpretar un concepto en dos representaciones distintas.

•Identificara algunos de los procesos inversos que se presentan en esta unidad; lo que reforzara su capacidad de inversión de pensamiento.


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CONTENIDO TEMATICO

Estudio analítico de un punto en el plano.

a) Representación numérica de un punto en el plano:

b) En el sistema de coordenadas polares

c) En el sistema de coordenadas rectangulares

Estudio analítico de un segmento rectilíneo en el plano cartesiano.

a) Localización de un segmento rectilíneo en el plano. condiciones necesaria y suficientes.

b) Longitud del segmento. distancia entre dos puntos

c) Angulo de inclinación del segmento. Concepto de pendiente.

d) Razón en que un segmento es dividido por uno de sus puntos

e) Coordenadas del punto que divide al segmento en una razón dada.


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Estudio analítico de algunos lugares geométricos en el plano cartesiano.

a) lugares geométricos sencillos que dan lugar a rectas, circunferencias y parábolas.

b) Su representación algebraica

c) Intersecciones entre ellos o con los ejes cartesianos.


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UNIDAD 2:SISTEMAS DE COORDENADAS Y LUGARES GEOMETRICOS

PROPOSITOS: Proporcionar una visión global del método de la geometría Analítica como el medio para resolver problemas de corte Euclidiano reduciéndolos a problemas algebraicos, así como proporcionar los elementos que servirán en unidades posteriores para emplear el método en situaciones mas complejas.

ESTUDIO ANALITICO DE UN PUNTO EN EL PLANO.

Aprendizajes:

•reconocerá que un aspecto relevante es un método de la geometría analítica, consiste en definir y ubicar un sistema de referencia en un plano.

•Encontrara las coordenadas en un punto en el plano utilizando los sistemas de referencia cartesiano y polar.

•Localizara puntos en el plano cuando se proporcionen sus coordenadas rectangulares y coordenadas polares.


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• Representara adecuadamente en cualquier cuadrante del plano cartesiano, un conjunto cualesquiera de puntos.

Temática

Estudio analítico de un punto en el plano.

a) Introducción

b) Representación numérica de un punto en el plano:

c) En el sistemas de coordenadas polares

d) En el sistema de coordenadas rectangulares.


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INTRODUCCION.

En la historia del devenir humano, el siglo XVII marca un momento culminante en la evolución de la ciencia pues una de sus ramas mas importantes como lo es la matemática, empieza a escindirse de la filosofía ortodoxa adquiriendo una carta de identidad propia y además muy promisoria en cuanto a los servios que empezaría a ingeniería y la arquitectura por citar sola algunas.

Correspondió al inminente pensador Rene Descartes el merito, entre otros tantos de haber contribuido al notable desarrollo de las matemáticas a través del establecimiento de las bases para alcanzar la desiciba confluencia entre dos ramas vitales de la matemática:

El algebra y la geometría, disciplina que con el tiempo se llamaría geometría Analítica.


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En el año de 1637, Descartes publico un libro memorable, llamado el francés “la geometrie”, en el que se fundamentan varios resultados relevantes como el método de coordenadas para estudiar propiedades subjetivas y objetivas de las curvas continuas ubicadas en un plano a través de relaciones analíticas.

Tales reflexiones llevarían a la postre al importante concepto de “métrica”, entorno al cual giran y se fundamentan los principales resultados del análisis matemático, del Análisis tensorial, de la Teoría de la medida y asta de la misma Teoría de la relatividad de Einstein. Así por ejemplo, se ha demostrado que todos los cuerpos celestes que habitan el Universo, deforman al espacio en curvaturas a medida que se van desplazando en sus respectivas trayectorias, a tales espacios se les llama “Riemannianos” .


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¿recuerdas? Que en un sistema de coordenadas cartesianas se puede localizar un punto con un pareja de valores (x,y) para el sistema de coordenadas rectangulares, cuyos valores son las distancias dirigidas, partiendo del origen de los ejes x e y respectivamente.

Y que el origen es el punto donde se intersecan los dos ejes coordenados, como se muestra en las figuras.


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O como en la figura 2.3 y 2.4, que si revisas bien las graficas puedes darte cuenta cual es la pareja de valores que representa a cada uno de los puntos A,B,C,D,E,F,G Y H:

Escribe los valores de las coordenadas de cada uno de los puntos, en tu cuaderno en borrador.


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Debes saber también que otra forma de representar puntos en el plano es empleando coordenadas polares, en este sistemas se necesitan conocer dos parámetros: Angulo y una distancia (r). entonces es el Angulo que se forma entre al recta que une los puntos P O y una recta fija llamada eje polar como se observa en la fig.2.5.


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Si queremos localizar un punto (r) en el sistema de coordenadas polares, lo que necesitamos conocer es r y lo que podemos hacer es trazar una circunferencia de radio r, después trazar una línea con un ángulo de inclinación y por ultimo, encontrar el punto de intersección entre la circunferencia y la recta; este punto es el que queremos localizar.

A continuación localizamos varios puntos en el plano polar , con el ángulo medido en radianes:


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Observa que hay tres circunferencias, todos los puntos sobre estas circunfencias tienen una distancia al polo igual al radio de ella. Lo único que hace falta es encontrar el ángulo de inclinación. para medir el ángulo es necesario tomar en cuenta si este es positivo o negativo.

Si es positivo hay que medirlo en sentido contrario al movimiento de las manecillas de el reloj y si es negativo, a favor del movimiento de las manecillas del reloj, como se aprecia en la figura 2.7.


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Como ves los ángulos pueden ser negativos dependiendo de cómo se midan a partir del eje polar, comos e aprecia en la figura 2.8:


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También podemos tener distancias “negativas”:ya que hallamos localizado el ángulo, la recta que parte del polo en esa dirección tendrá un radio positivo y los puntos que estén sobre la prolongación de esta recta en sentido contrario tendrán un radio negativo, es decir la proyección respecto al polo. Por ejemplo figura 2.9:


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Con estos conceptos básicos de localización de puntos en el sistema de coordenadas polares, podemos graficar funciones y no solo puntos en el plano.

En este tipo de funciones la variable independiente es ángulo y la dependiente es r , así que las funciones son de tipo r =r “ángulo” .

el método para graficar este tipo de funciones es el siguiente:

Primero graficamos la función r=r (ángulo) en coordenadas rectangulares luego, a partir de esa grafica trazamos la correspondiente en polares. Guiándonos con la dependencia de r con respecto (ángulo).

Recordemos que el ángulo es la variable independiente y va de cero a dos pi generalmente. Por ejemplo la función r=ángulo tiene como grafica en rectangulares, la figura.


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La grafica de la función r=ángulo en coordenadas polares se muestra en la siguiente figura.


22

En la figura 2.11 tenemos la grafica de la misma función (figura 2.10) pero en coordenadas polares, se ve claro esta dependencia del radio con el ángulo. A esta grafica se le llama Espiral de Arquímedes.

Mostraremos la localización de algunos puntos en coordenadas polares.

Problema 2.1

Localizaremos el punto A (2,30º), asiendo otro trazo posible e indicaremos sus coordenadas


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Problema2.2

Localizaremos el punto P (-3,30º), haciendo dos trazos posibles, es decir representar el mismo punto en otra manera, he indicaremos las coordenadas.


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Problema 2.3

Localiza el punto U(5,75º), busca otro trazo posible para el mismo punto he indica sus coordenadas.


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Problemas:

1) Localiza el punto B (4,210º), haciendo otro trazo posible del mismo punto e indica sus coordenadas.

2) Localiza el punto A( -4,300º), y busca otro trazo posible indicando sus coordenadas.

3) Localiza el punto M(3, )y has otro trazo posible indicando las coordenadas del punto M.

4) Localiza el punto A (4, ) y has otro trazo posible, indicando las coordenadas del punto A.

5) Localiza el punto J(-4, )e indica las coordenadas del mismo J, haciendo otro trazo posible.

6

1

6

5

6

4


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SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES

En los cursos anteriores recordemos que en el sistema de coordenadas rectangulares divide al plano de coordenadas en cuatro cuadrantes, a través de dos rectas perpendiculares entre si, que se cortan en el punto “o” llamado origen de los ejes.

A los ejes los conocemos como:

Eje horizontal, eje de las “x”; O eje de las abscisas

Eje vertical, eje de las “y”; O eje de las ordenadas

La distancia de un punto al eje de las y’s se llama abscisa del punto mientras que la distancia del mismo punto al eje de las x’s se llama ordenada, y las dos juntas se llaman coordenadas del punto y se simbolizan P (x,y) .


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Para hacer la representación de puntos en este tipo de coordenadas hay que adoptar una escala adecuada en ambos ejes y estas pueden ser entre si iguales o diferentes.


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RELACIONENTRE LAS COORDENADAS POLARES Y LAS COORDENDAS RECTANGULARES.

Si consideramos que el punto P (r, ) y tomamos el eje polar OX y el polo O como el eje X, y el origen de los ejes respectivamente, de un sistema de coordenadas rectangulares, P ( x,y) es el mismo punto P, y en esas condiciones, tenemos la figura 2.16 que sigue:


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Consideremos la figura 2.16; por lo que sabes en trigonometría:

entonces

Al despejar x llegamos a:

entonces

También podemos escribir:

entonces

Al despejar y; llegamos a:

Además

Cos ;r

x

;cosrx

;r

ysen

rseny

;tanx

y x

yang tan


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Por otro lado, utilizando el teorema de Pitágoras en la misma figura 2.16, tenemos:

(calculando la raíz cuadrada a los dos miembros de la expresión)

Por lo que:

(simplificando la expresión)

222 yxr

222 yxr

22 yxr


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Problema 2.4

Transformaremos el punto J(3,4) de coordenadas rectangulares a coordenadas polares. Dado J(3,4), a: J(r,

Tan del Angulo= 4/3

Por que la tangente de un ángulo, es la ordenada del punto sobre la ábsisa del mismo punto.

Tan =1.3333

Tan=1.3333=53.1294=53º07’46”

5

525169

43 22

22

r

rr

r

yxr


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Por lo tanto el punto J propuesto tiene de coordenadas polares: J (5,53º07’46”) si consideramos solamente los grados J(5, 53º).

Ahora realizaremos el proceso inverso, es decir, pasar de coordenadas `polares a coordenadas cartesianas.

Nuestros datos serian: r= 5 ángulo= 53º

Nuestras incógnitas serán el valor de las coordenadas x,y

Haremos uso de las formulas antes mencionadas:


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Si sustituyes los datos en estas formulas encontraras el valor de las coordenadas de este punto en tu cuaderno de notas realiza esa sustitución así como las operaciones y obtendrás que las coordenadas del punto J son: x=3 , y=4; es decir J (3,4), como se muestra en la figura 2.17


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Localizaremos este punto en los dos sistemas de coordenadas


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RESUELVE POR EQUIPOS LOS SIGUIENTES PROBLEMAS.

Localiza en coordenadas polares y en coordenadas cartesianas los siguientes puntos:

1) A(4,30º)

2) B(3,45º)

3) C(2,60º)

4) D(3,5)

5) E(5,7)

6) F(-2,4)

7) G(3,120º)

8) H(4,210º)


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9) Dado A (0,5), transforma coordenadas polares.

10)Dado S(5,104º), transforma a coordenadas rectangulares.

11)Dadas A(3,45º)transforma a coordenadas rectangulares.


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ESTUDIO ANALITICO DE UN SEGENTO RECTILINIO EN EL PLANO CARTESIANO.

Aprendizajes: el alumno

*identificara las condiciones para representar un segmento rectilíneo en el plano cartesiano. Las coordenadas de sus puntos extremos, o bien las coordenadas de uno de ellos, la longitud del segmento y su ángulo de inclinación.

Temática:

a) Localización de un segmento rectilíneo en el plano. Condiciones necesarias y suficientes.

b) Longitud del segmento. Distancia entre dos puntos

c) Angulo de inclinación del segmento. Concepto de pendiente.


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DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Si en una recta numerica queremos encontrar las distancias entre dos puntos Ay B se toma el valor absoluto de las diferencias de sus coordenadas, es decir:


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En el plano. Supongamos ahora que tenemos dos puntos A y B en el plano y que escogeremos un par de ejes cartesianos , respecto a los cuales podremos identificar sus coordenadas de estos dos puntos A ( x,y) B(x,y)

Representemos estos puntos en un sistema coordenado, ver Fig.2.19, tracemos AK paralela al eje de las x,y perpendicular al mismo eje; el AKB es un triangulo de tal manera que AB es la hipotenusa, por el Teorema de Pitágoras tenemos:


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Aplicando el teorema de Pitágoras

Sustituyamos estos valores en la ecuación (1) y despejamos

Sabemos por la geometría elemental que la distancia mas corta de un punto a otro, es el segmento de recata que los une.

Así obtendremos la formula para encontrar la distancia entre dos puntos .

12

12

222

yyBK

xxAK

BKAKAB

222

212

2122

22

)()(

))(())1((

yyxxAB

yyxxAB

222

212 )()( yyxxAB


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PROBLEMA 2.5

En mar abierto el origen se sitúa en un faro que se encuentra en una bahía considerado un plano cartesiano. Un barco se encuentra en el punto A cuyas coordenadas son A(-4,5) y el otro en el punto B coordenadas B(3,1).

¿Qué distancia ay entre ellos considerando como unidad de medida el km.?ver fig.2.20


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SOLUCION

Aplicando el teorema de Pitágoras.

Datos: A (-4,5) Y B(3,1)

Incógnita: d AB

Calculemos las longitudes de los catetos de este triangulo.

Podemos conocer C(-4,1)

Observemos estos resultados en la fig.2.20


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Como tenemos un triangulo rectángulo podemos aplicar el teorema de Pitágoras para conocer a que distancia se encuentran estos dos barcos

Recordemos el teorema “ En un triangulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual ala suma de los cuadrados de los catetos”; luego entonces, sustituyendo.

Los dos barcos se encuentran a una distancia que es aproximada de 8.1 kilómetros.


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Problema 2.7Encontrar la distancia entre el Punto A(1,5) y

B(-2,1)Escribe en tu cuaderno cuáles son tus datos

y cuáles son las incógnitas en la solución de este problema:

Solución.Sustituimos las coordenadas de los puntos A

y B en la formula


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Fig. 2.22 Sol. La distancia del segmento AB es 5 unidades de

medida.

Problema 2.8Mostrar que los puntos A(2,-2), B(-8,4) y C(5,3) son tos vértices de un triángulo Rectángulo.


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Recuerda que si es un triángulo rectángulo se debe cumplir el teorema de Pitágoras.BC2 =AB* +AC2

Fig.2.23Solución: Calculemos las distancias de cada uno de los

lados del triángulo, utilizando la formula:¿(2-2) £(-8,4)

dAB = A/(-8-2)2+(4-(-2))2 = ^/Í36A(2,-2) C(5,3)

dAC = V(5-2)2+(3-(-2))2 =£(-8,4) C(5,3)

dBC = A/(5-(-8))2+(3-4)2 = -J\TO170 = 136 + 34 = 170

Escribe una conclusión en tu cuaderno de notas respecto a esta igualdad y la solución del problema:

70


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Problema 2.9Prueba que el triángulo con vértices A(2,5), B(4,-1) y C(6,5) es un triángulo isósceles.Solución:Recuerda que propiedad se debe cumplir para que un triangulo sea Isósceles:

Fig.2.24Simboliza en tu cuaderno que igualdad que se debe cumplir en la figura anterior.


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Calculemos las distancias respectivas:

Escribe en tu cuaderno una conclusión considerando estos resultados:Problema 2.10Mostrar que los siguientes puntos son colíndales A (12,1), B(-3,-2), C(2,-1).

Fig.2.25

Escriben tu cuaderno que propiedad deben cumplir los tres

puntos para que seancolíndales:__________________ ____


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Calculemos las distancias. AB = -J(x2 -x,)J +(y1 -yj2

Por Geometría elemental se debe cumplir la siguiente propiedad. dAB=dAC+dBC

• Si sustituimos éstos valores en ésta igualdad.Escribe una conclusión que muestre que resolvimos

correctamente el problema. ¡Fíjate en os valores de las distancias que se calcularon!


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PENDIENTE DE UNA RECTA.•haciendo uso del teorema de Tales,

podemos llegar a una conclusión física de un problema práctico: Si

tenemos un auto que sube una rampa recta, y dados dos puntos a

cualquiera sobre la rampa R y S, la razón entre lo subido y lo avanzado,

si el auto se desplaza de R a S, siempre será la misma.


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= tan0

Donde la constante que denotaremos como m, está expresada de la siguiente manera:

D subida

Es decir, la constante m es igual a la tangente del ángulo e (ángulo de inclinación de la rampa), como se observa en la figura. De manera análoga, y observando que la rampa de nuestro dibujo es una línea recta, definimos la pendiente m, de una recta L, como la tangente de su ángulo de inclinación, exceptuando el caso donde la recta sea perpendicular al eje x..Una linea perpendicular al eje x, no tiene pendiente, debido a que la Tangente de 90° se encuentra indefinida. Por los puntos extremos que determinan un segmento pasa una línea recta. Sean lospuntos P, (x,, y}) y P^ (x2, y1) Los extremos de un segmento en el plano cartesiano

- = cte

D avanzada


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Si hacemos el análisis del triángulo rectángulo que se forma por trigonometría podemosdecir que Cateto'. opuesto -......,..

tan = —————-—— = ——— =m y^-y^

Cateto: Adyacente x2-x}


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Pendiente de la recta L que pasa por estos dos puntos, a éste cociente lo denotamos con la letra m (número que nos relaciona con el ángulo de inclinación de ésta recta L y el eje x). Conociendo la pendiente podemos conocer éste ángulo.

Si m = tan&;0 = tan" m


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Problema 2.11

Problema 2.11

Dados los puntos tracemos el segmento que los une, así como la recta que pasa por estos dos puntos y encontremos su pendiente y su ángulo de inclinación.


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Problemas.cada uno de los problemas construye una gráfica y resuélvelos

1.Encuentra la distancia entre los puntos A(7,1) y B(2,3)

2. Prueba que el triángulo con vértices A(2,5), B(4,-1) y C(6,5) es isósceles.Sol. dAB=dBC= A/40, AC= el triángulo es isósceles. 3. Prueba que los siguientes puntos son colineales.A(-3,-2),B(5,2),C(9,4) Sol. Como dAC=dAB+dBC son colineales.6^5 = 4-\/5 + 2-J5 son colineales.4. Prueba que el triángulo, cuyos vértices son M(-1,1), N(1,3) y S(-JT,2 + j3) es equilátero. Sol. dMN=dMS=dNS=2-725. Prueba que el triángulo formado por los puntos A(1,2), B(3,4) y C(-1,4) es un triángulorectángulo.


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6. Hallar la pendiente y ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos: A(-1,5) yB(7,-3).Sol. m=-1,a = l35° . •7. Probar que el triángulo determinado por los puntos A(-4,3),B(-1,-1) y C(3,2) es isósceles, construye una gráfica.Sol dAB=dBC=5; dAC=7.18. Encuentra las pendientes de los lados del triángulo cuyes vértices son: A(-4,-4), B(2,7) y C(-7,10).9. Encuentra las pendientes de las medianas del triángulo cuyos vértices son: A (2,6), B(8,3) y C(-2,-1). Sol. 0.7857,-5,1/6.10. Hallar la pendiente de una recta perpendicular a la recta determinada por los puntos A (-5,-4) y B (3,-2). Sol. m=-4


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DIVISIÓN DE UN SEGMENTOAprendizajes. El Alumno:

Explicará qué significa que un punto divida un segmento rectilíneo en una razón dada

• Dadas las coordenadas de los extremos de un segmento y las de un punto interior

a él, calculará la razón en que este último divide al segmento.

Temática:a) Razón en que un segmento es dividido

por uno de sus puntos.b) Coordenadas del punto que divide al segmento en una razón dada. "

Problema 2.12Un corredor se ejercita sobre una avenida

recta, a través de la cual circula un Auto a mayor velocidad, después de un minuto, el

Auto ha recorrido 1000 metros, y el corredor tan solo 50 metros, ¿Cuál es la razón entre la

longitud recorrida por el Auto y la longitud "recorrida por el corredor?.


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tanto, podemos afirmar que la distancia recorrida por el Auto, es 20 veces, la distancia

transcurrida por el corredor, y por cada metro recorrido por el corredor, el Auto recorre veinte

litros.


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visión de un segmento rectilíneo

Suponiendo que tenemos en un estadio, una pista de 500 metros en linea recta; anotaremos como M y S al punto Inicial y Final de la pista respectivamente, y P al punto : se localiza el corredor. Supongamos que el corredor ha recorrido 200 metros de la asta y se localiza en el punto P. ¿En que razón divide P a la pista?

500 m

MFig. 2.30


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Para encontrar la razón en que P divide a la pista, se divide la distancia recorrida desde el inicio de la pista (Punto M) hasta el punto P, entre la distancia que falta por correr hasta llegar al final de la pista (Punto S), De tal

forma, tenemos que la razón es:MP 200___ = ___PS 300

Suponiendo, que el corredor ahora se encuentra a 250 m. del punto inicial de la

pista


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Ahora, supongamos que el corredor se encuentra a 400 m. del punto inicial de la pista.

Por tanto, podemos concluir lo siguiente:• Si el corredor se encuentra en el inicio de la Pista. El punto P

divide a la pista en una razón r de O• Si el corredor, ya ha recorrido un tramo de Pista, dividimos la pista exactamente a la mitad(250 m), y el atleta se encuentra en la mitad inicial de la pista, la razón en la que P divide a la pista, será mayor que cero, pero menor que 1 como se observa en ri.

• Cuando el corredor se encuentra a la mitad de la pista, P divide a la pista en razón de 1, como se observa en rz.

• Si el corredor, se encuentra, en la mitad final de la pista, conforme este se acerque a la meta, la razón en que P divide a

la pista será mayor que 1 hasta el infinito.Si tomarnos un punto T, sobre un segmento dirigido en el plano

cartesiano PQ, estando definido PQ como:


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La razón en que el punto T divide al segmento PQ, se define como:

PT Aplicándose las mismas conclusiones del caso anterior a este mismo caso, tenemos un teorema:

Teorema:Sea un segmento dirigido PQ en el plano

cartesiano, definido por los puntosP(Xi, Yi) y Q(Xz, Yz), si deseamos encontrar el punto T(X',Y') que divide al segmento PQ

en la razón r, las coordenadas X' e Y' del punto T, están definidas por:


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Portante, el punto T tiene por coordenadas T (X', Y'): =vmto medio de un segmento

general, consideremos dos puntos P(xl,yl) y Q(x2,y2)- Deseamos encontrar laslas para determinar las coordenadas del punto T (x', y') que divide al Segmento PQ

Exactamente por la mitad.


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Recordando la Teoría vista en el punto Anterior, tenemos que:

• Sea un punto J, situado exactamente a la mitad del segmento PQ, la razón en que T Divide a PQ es

exactamente de r = 1.Por tanto, es posible aplicar la fórmula que divide a un segmento en el plano cartesiano por una razón dada,

teniendo como dato r=1.

conr=1


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Siendo la expresión anterior, la fórmula general para calcular el punto medio de un segmento en el plano

cartesiano.Determinación de la razón cuando un segmento

dado se divide en n partes igualesSi un segmento se divide en n partes iguales, la razón para determinar las coordenadas de cada punto que divide a dicho segmento, se calcula como se indica a

continuación: Si el segmento AB se divide en tres partes iguales, es decir, si se triseca, la razón para

cada


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punto es:Para el punto /> se tiene: r-P¡£ 2 — » segmentosAP~ 2 Para el punto P2 se tiene: /- = =lr = - = 2 (ver

Figura 2.33)


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Figura 2.345 a segmento AB se divide en cinco partes iguales, la razón para cada punto es:

~AP 1 Para el punto P, se tiene: r = =¿- = -1 PtB 4

~AP~ 2 Para el punto P, se tiene: r = =4 = -2

ara el punto P, se tiene: r = =? = -3 P3B 2

~AP~ 4Para el punto P4 se tiene: r = =á- = - = 4 (ver Figura 2.35)

PB 1


68

Figura 2.35Problema 2.13

Encontrar las coordenadas del punto P(x,y) que divide a un segmento determinadopor las coordenadas /4(8,2)y £(-5,7) en la razón r - -.

4Solución

Al sustituir los datos dados en las fórmulas se tiene que:

v *r „ *\ 17

l + r 3 7 7

4 4 2

l + r 3 7 •* + 4 4


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Problema 2.14Hallar las coordenadas del punto M que divide en la razón 2/3 al

segmento que une a los puntos A(-6, 2) con B(4,7).Construyamos una gráfica para localizar los datos


70

Solución:

Para observar una gráfica, véase la Fig. 2.38..........._r

Apliquemos la formula: T (X', Y>


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T(X'lY'):| 1 + 2/3 ' 1 + 2/3 J Las coordenadas de T (X', Y')= (-2,4), corrobora la solución en la gráfica.

Hallar las coordenadas del punto medio del segmento que une los puntos A(1, 3) y B(2,5)

2) Si el extremo de un segmento es el punto P(5,3) y el punto medio de dicho segmento es K(6,1) ¿ cual es el otro extremo del segmento?


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3) Encuentra las coordenadas del punto P que divide al segmento con extremos A(0,1/2) y B(2,5) en la razón r=3/4

4) ¿ En que razón divide el punto de coordenadas P(-1, -7) al segmento AB que une los puntos A(-3, -15) y 8(2,5)

Solr=2/35) El centro de un hexágono regular se encuentra en el onrigen; si

uno de los vértices es el punto A(5,0), ¿cuáles son las coordenadas de los vértices restantes?

ESTUDIO ANALÍTICO DE ALGUNOS LUGARES GEOMÉTRICOS EN EL PLANO CARTESIANO

Aprendizajes. El Alumno: ,, "• Reconocerá a una ecuación con dos variables, como la expresión general que


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satisfacen las coordenadas de los puntos de una "curva" en el plano.• Reducirá algunas situaciones a otras más simples que ya sabe

resolver, lo que reforzará estas estrategias de resolución de problemas.• Identificará algunos de los procesos inversos que se presentan en

esta unidad; >o que reforzará su capacidad de inversión de pensamiento.Temática:

• Estudio analítico de algunos lugares geométricos en el plano cartesiano.

a) Lugares geométricos sencillos que dan lugar a rectas circunferencias y parábolas.

b) Su representación algebraica. Xl-—Ic) Intersecciones entre ellos o con los ejes cartesianos.

X 2^


74

¿QUÉ ES UN LUGAR GEOMÉTRICO?_a geometría analítica se propone utilizar el álgebra para obtener

resultados geométricos. Es se puede hacer porque, como hemos visto, se pueden identificar objetos geométricos como el punto, la recta, los semiplanos, etc. , con conjunto de puntos que hacen alguna relación

algebraica. A los conjunto de puntos los llamaremos lugares geométricos y si la relación algebraica está dada por una ecuación, a esta le llamaremos exacción del lugar geométrico. cualquier punto

cuyas coordenadas satisfagan la ecuación del lugar geométrico, ! a la gráfica de la ecuación.

templos de lugares geométricos: «* 'El lugar geométrico de los puntos (x, y) que

satisfacen la ecuación y=mx + b es una recta que pasa por el punto (O, b) y tiene pendiente

m.


75

El conjunto de los puntos (x, y} que satisfacen la ecuación x=b, es una línea recta paralela al eje y (b es un número fijo).

A la ecuación Ax + By + C = O se le asocia a una línea recta. Si en esta ecuación se tiene que B#0, entonces se puede transformar en la

ecuaciónv-\-á.\g-— , y el conjunto de puntos (x, y) que satisfacen esta

ecuación, ( B) B( A\ C

coincide con la gráfica de la función f(x)= -_ te--En el caso en que B=0, obtenemos la ecuación x = — que

corresponde a

la recta paralela al eje y. La circunferencia con centro en el origen (0,0) y radio r. Como

Sabemos, se trata del conjunto de puntos (x, y) cuya distancia al origen es r. Usando la fórmula de la distancia

obtenemos que los puntos satisfacen la ecuación: x2 +y1 = r2. Esto es, la circunferencia de centro (O, 0) y radio r

Problema


76

El lugar geométrico de los puntos que equidistan del eje y, del punto :(2, 0), son: ver(Fig..2.39) .„.,:.


77

La distancia del punto P al eje y es igual a x(distancia proyectada en el eje x), lo puedes corroborar con la formula de la distancia, y la distancia de P al punto

(2,0), que le llamaremos F(2,0), aplicando la fórmula obtenemos:

dPF=^/(jc-2)2 +y2 .Entonces tenemos que los puntos del lugar

geométrico satisfacen la ecuación:x= -/(x-2)2 +y2 elevando al cuadrado x2 = (x-2)2 +y2 ;

simplificandotérminos semejantes, obtenemos el lugar geométrico

buscado:y2 - 4x + 4 = O (Una parábola)


78

Resumiendo:.a gráfica de una ecuación es el conjunto de los puntos cuyas coordenadas (x, y) satisfacen tal ecuación. La ecuación de un

lugar geométrico es la relación algebraica entre x e y que satisfacen las coordenadas (x,y) de los puntos del lugar

geométrico y que solamente ellos la satisfacen.Problema 2.15

Encontrar la ecuación de la recta L paralela al eje x situada a 4 unidades por arriba de este eje.

analicemos el problema: Como la recta L es paralela al eje V y se encuentra por arriba

extemos asegurar que interseca el lado positivo del eje "y", en 4 unidades de medida a

sartir del origen ver gráfica. .


79

Realicemos una relación de valores que puede tomar la variable independiente "X" y la variable dependiente "Y", con la finalidad de analizar por que la ecuación debe ser Y=4, podemos tener una tabulación de la gráfica correspondiente.

X Y

-4 4

-3 4

-2 4

-1 4

0 4

1 4

2 4

3 4

4 4

TablaZI


80

Conclusión: Podemos observar que la recta interseca solamente a uno de los ejes que es el eje y por ser paralela al eje x

i

Las siguientes gráficas nos dan la idea de un lugar geométrico.


81

La figura nos ayuda a visualizar las simetrías. La curva es simétrica al eje x, si al sustituir en la

ecuación por "-y" la ecuación no se altera.Observemos que sucede en la ecuación

que estamos analizando:x2 + y2 = 9,x2 +(-y)2 =9 No se altera, esto

quiere decir que la curva es simétrica respecto al eje x (significa que para cualquier punto de la curva que este por arriba del eje x existe otro

punto de la curva por debajo del eje x, los mismo sucede para el eje y si sustituimos en la ecuación (1) a la variable V por "-x" la ecuación no se altera esto quiere decir que la curva es

simétrica respecto al eje y.


82

Milita gráficamente el lugar geométrico de y=3x.una tabulación podemos encontrar puntos de ésta

gráfica, y finalmente, al • os puntos, el lugar geométrico buscado.

valores a la variable independiente x, y sustituimos estos valores en nuestra para obtener

las correspondientes ordenadas. Para ver ese desarrollo, consulta 22.


83

X Y=3X P(x,y)

-4 Y=3(-4)=-12 K-12)

-3 Y=3t3)=-9 Í-3.-9)

-2 Y=3(-2)=-6 Í-2.-6)

-1 Y=3(-1)=-3 í-1,-3)

0 Y=3(0)=0 (0,0)

1 Y=3(1)=3 (1,3)

2 Y=3(2)=6 (2,6)

3 Y=3(3)=9 (3,9)

4 Y=3(4)=12 (4,12)

Grafiquemos su lugar geométrico (Rg. 2.45), a partir de los valores obten/dos en la tabla 2.2, obteniendo la unión de puntos.


84

Conclusión: el lugar geométrico de estos puntos que encontramos se localiza en la recta cuya ecuación es:

_Escribe por

Escribe cuanto vale su pendiente:__ que no se interseca con ninguno de los ejes:

. Su ángulo de inclinación:.

Problema 2.17Encuentra la ecuación del lugar geométrico de los puntos de la circunferencia que tiene sucentro en el origen y su radio mide 2 unidades de medida.


85

Solución: Sí analizamos la gráfica, podemos plantear fácilmente la ecuación x2 +_y2 =22; x2 + y2 =4, ya que observamos en la

gráfica que el centro está en el origen y su radio mide 2.Corrobora que esta ecuación es correcta aplicando la formula de distancia entre dos puntos, primero calcula la distancia entre el

centro de la circunferencia C(0,0) y un punto que pertenezca a la circunferencia P(x, y), es decir dPC, anota los cálculos y el valor

dPC, en tu cuaderno:Calcula la distancia del radio con la formula de distancia entre dos

puntos, realiza loscálculos: . ;.^:._. :, •:,

igualando estas dos distancias, debes llegara la ecuación: x2 +y2 = 4

En el concepto de lugar geométrico están implícitos dos problemas fundamentales de la geometría analítica.


86

- Dada una ecuación, interpretar ésta geométricamente, es decir, construir la gráfica correspondiente.

1 - Dada una figura geométrica, o la condición que deben cumplir los puntos de la misma, «terminar su ecuación.

Es importante señalar que para poder representar gráficamente el lugar geométrico que si responde a toda ecuación dada, es conveniente

conocer algunas propiedades del lugar geométrico correspondiente, como: Intersecciones con los ejes, simetrías, campo de (Dominio y

Rango), etc.


87

Problema 2.19Construye la gráfica de la siguiente curva y2 = 8x y analiza la

simetría con los ejes. Solución:-nalicemos la ecuación: Podemos utilizar el discriminante

para saber que cónica es, Recuerda:3'--4AC = Q, Parábola v.r" -4AC{0, Elipse o circunferencia

: r:f:-4/4C>0, Hipérbola ^acordemos la ecuación general de

las cónicasAx2 + Bxy + Cy2 +Dx+Ey+F = 0


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aoendo la relación con la ecuación que queremos analizar, debemos igualar con cero;

í.:-y2 = 0, podemos decir que B=0, A=0 y C=-1; sustituyendo en el discriminante

:'- -44C = (o)2-(4)(0)(-l)=0; Es una parábola con vértice en el origen, si

aesoejamos y2 podemos observar el vértice, su eje coincide con el eje "X", abre a la

derecha.centremos el valor de P para saber las coordenadas de su

foco, aproximadamente yajoaemos construir si gráfica. Si queremos la gráfica más

exacta podemos tabular, realizatabulación en tu cuaderno.

beremos la ecuación: y2 = Sx , entonces 4P=8 . •......

=2 entonces su foco tiene por coordenadas F(2,0). Ver figura 2.48


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Analicemos sus simetrías.1) Recordemos, si la ecuación de una curva no se

altera cuando la variable y essustituida por -y, se dice que la curva es simétrica

respecto del al eje "X". Observemos la gráfica anterior.

1) Substituyamos en la ecuación y'1 = 8x "x por -x"; y1 = 8(-x) = -8x. Si se altera la ecuación, esto quiere

decir que la curva no es simétrica respecto del eje "y" (Observa la gráfica).

2) Sustituyamos "y por -y" en la ecuación y2 = 8x; (-y)2 = 8x; y2 = 8x. Como no

se altera la ecuación, podemos afirmar que la gráfica es simétrica respecto del eje

X, lo puedes observar en la figura.


90

Hagamos un breve resumen de los conceptos ilustrados en los problemas.

Las intersecciones de la curva con ios ejes son las distancias negativas o positivas desde

el origen hasta los puntos en los que la curva corta a los ejes coordenados.

Decimos que dos puntos son simétricos con respecto a una recta, si ésta es la mediatriz del segmento que los

une. Como consecuencia:1. Si una ecuación no se altera al sustituir "x" por "-x" la

curva es simétrica con respecto al eje y.2. Si una ecuación no se altera al sustituir Y por "-y" 'a

curva es simétrica con respecto al ejex.3. Si una ecuación no se altera al sustituir "x" por "-x" e y

por "-y" la curva o lugar geométrico, es simétrico con respecto al origen.

presentacion de matematicas

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