FuncionesDefinición de función:

Se llama función a toda relación entre elementos de dos conjuntos A y B, de modo que a todo elemento x perteneciente al conjunto A le corresponde un elemento y solo uno del conjunto B, denominado imagen de x a través de la función f

La imagen de x a través de la función f se denota con la expresión y = f(x).

F: A B es función de A en B v x ε A э! y ε B/ y= f(x).

El dominio de una función es el conjunto A, cuyos elementos tienen imagen en B

Dom (f)= {x ε A/ f(x)= y ^ y ε B}

El codominio de una función es el conjunto formado por los elementos de B

Cod = {y ε B/э x ε A ^ y= f(x)}

Al definir una función, se debe determinar su dominio, su codominio y la formas en que se relacionan los elementos de cada uno de ellos, generalmente mediante una forma.

Las funciones también pueden ser definidas mediante una tabla o un gráfico.

Clasificacion de funciones:

Una función es inyectiva si y solo si a todo elemento del codominio le corresponde una preimagen en el codominio.

Vx εA: x1 ‡ x2 → f(x1) ‡ f(x2) ↔ vx ε A: f(x1) = f(x2) →x1 = x2

Una función es sobreyectiva si y solo si a todo elemento del codominio le corresponde una preimagen en el codominio.

V y ε B: э x ε A/ y= f(x)

Una función es biyectiva si y solo si es inyectiva y sobreyectiva.

Función inversaDada f: A → B/ y = f(x) se puede obtener una función inversa f: B→A/ f (y) que solo existe en el caso de que la función f sea biyectiva

X1.X2.

X3.

.Y1

.Y2

.Y3

A B

f

f (x1) = y1

(y1) = x1

f (x2) = y2

(y2) = x2

f (x3) = y3 (y3) = x3

Las representaciones gráficas de las dos funciones inversas son simétricas respecto de la función y = x

Función afínA la función polinómica de primer grado f(x)= ax + b, siendo a y b

números reales, se lo denomina función afín.Los coeficientes principal e independiente de la función reciben el

nombre de pendiente y ordenada al origen, respectivamente.La representación grafica de una función afín es una recta. En

particular, si la recta pasa por el origen de coordenadas (0;0) a la función se lo denomina lineal.

La pendiente de una recta es el cociente entre la variación de la variable dependiente (Δy) y la variación de la variable independiente

(Δx) de cualquier punto de la misma.

a =

=

La ordenada al origen es valor en que la recta interseca al eje y.

f (0)= b

Ecuaciones de la recta: L a ecuación de una recta se puede expresar en forma:

y

x

Explicita

Implícita Segmentaria

y =ax + b cx+ dy + e = 0

+

= 1

Abscisa al origen

Ordenada al origen

Dos rectas son paralelas si y solo si sus pendientes son iguales.

M: y= a1.x + b1 ^ p: y= a2.x + b2 ^ M⁄⁄P ↔ a1 = a2

Dos rectas son perpendiculares si y solo si sus pendientes son inversas y opuestas.

S: y = a1.x + b1 ^ n: y = a2.x + b2 ^ S N ↔ a1 = -

Las siguientes formulas permiten encontrar la ecuación de la recta:

Dado su pendiente (a) y un punto que pertenece a la misma ( x1; y1): y – y1 = a(x – x1)

Dado dos puntos que pertenecen a la misma (x1; y1) y (x2; y2)

=

Función cuadráticaA la función polinómica de segundo grado f(x) = + bx + c siendo a,

b, c números reales y a ‡ 0 se denomina función cuadrática.Los términos de la función reciben los siguientes nombres:

f(x) = + bx + c

Término cuadrático

Término lineal

Término independiente

La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola.

Grafica de la parábola

Para realizar el gráfico de una parábola, f(x) =

+ bx + c,

se deben calcular los elementos de la misma y luego representarla.

•Raíces de la parábola.

Son los puntos de intersección de la gráfica con el eje x, vale decir que f(x) = 0.

X1; x2 =

•Vértices de la parábola.

Xv =

ó xv = yv= f (xv)

Las coordenadas del vértice son:

v = (xv, f (xv))

•Eje de simetría.Es la recta que tiene por ecuación x = xv.

•Ordenada al origen.

Es el punto de intersección de la gráfica con la recta y, vale decir que f (0) = c

Ordenada al

origen

Raíz x2

Vértice

Punto simétrico

Raíz x1

Eje de simetría

y

X

Ecuación polinómica, canónica y factorizada

La función cuadrática puede ser expresada de distintas formas.

Polinómica

F (x) =

+ bx + c

Se desarrolla el cuadrado de un binomio

Se aplica la propiedad distributiva

Se buscan las raíces

Se busca el vértice

Canónica Factorizada

f (x) = a. + yv

f(x) = (x – x1).(x – x2)a

Función polinómica

Una función de la forma f(x) =

+ +… +

+ x + ,

siendo n un numero natural y , …, ,

, , , números reales, es una función polinómica.

Si

‡ 0, entonces la función es de grado n.

El dominio de las funciones polinomicas es el conjunto de los números reales.Las funciones polinómicas son continuas.

El orden de multiplicidad de una raíz es el número de veces que esa raíz se repite como tal.

El conjunto de positividad de una función polinómica está formado por todos los valores del dominio para los cuales la función es positiva.

= {x/x ε ^ f(x) > 0}

El conjunto de negatividad de una función polinómica está formado por todos los valores del dominio para los cuales la función es negativa.

Teorema del BolzanoSi una función f(x) es continua en un intervalo de su dominio, y tiene distinto signo en los extremos del mismo, entonces la función tiene por lo menos una raíz real en ese intervalo.

f (a) < 0 ^ f (b) > 0 → f( ) = 0 ^ ε (a;b)

f (b) > 0 ^ f(c) < 0 → f ( ) = 0 ^ ε (b;c)

f(b)

f(c)

f(a)

a X1

b X2

c

y

x

Gráfica aproximada de una función

Para realizar la grafica aproximada de una función polinómica, se debe:

1) Expresar su formula en la forma factorizada:

f(x) = (an(x-x1). (x –x2)… (x –xn-1). (x -xn)2) Determinar las raíces, que indican las intersecciones con el eje x, y su orden de multiplicidad:

a) Si el orden de multiplicidad es par, la gráfica de la función toca el eje x, pero no lo atraviesa.

b) Si el orden de multiplicidad es impar, la gráfica de la función atraviesa el eje x.

3) Encontrar la ordenada al origen, determinada por el termino independiente y es el punto (0;ao).

4) Hallar los intervalos de positividad negatividad, para la cual se buscan los valores del dominio entre dos raíces consecutivas para determinar si la función es positiva o negativa en ese intervalo.

f (x) =

- x – 2+1) Forma factorizada: f(x) = (x – 1). (x + 1). (x + 2)

2) Todas las raíces tienen multiplicidad 1 (la gráfica atraviesa el eje x)

3) Ordenada al origen: (0; -2)

= (-2; -1) (1; + )^ = (-1; 1)

y

x-1

-2

-2 1

Función holográfica

Una función de la forma f(x) = ,siendo a, b, c y d números

reales ^ C 0 es una función monográfica.

Dominio de una función holográfica

El denominador de la función debe ser distinto de cero:

cx + d 0

x

Por lo tanto:

= R - {- }

La recta de la ecuación x = - es asíntota vertical (A. V.)

Codomonio de una función homografica

= R - {}

La recta de la ecuación y = es asíntota horizontal (A. H.) de la función.

Representación gráfica

Para representar una función homografica de la forma f(x) =

, se debe:

1) Determinar los conjuntos dominio y codominio.

2) Encontrar las ecuaciones de las asíntotas.

3) Determinar el punto de intersección con el eje y: x = 0

f(0) =

4) Encontrar el punto de intersección con el eje x:

= 0

= -

Ejemplo

f(x) =

1) Df = R - {1} ^ Cf = R - {1}

2) Asíntota vertical: x = 1

Asíntota horizontal: y = 1

3) f(o) =

= 0

= 0 → x = 04)

1

12

34

4 32 0

-1

-1-2-3 x

y