Matematicas Nivelatoria

“Hay una fuerza motriz más poderosa que el

vapor, la electricidad y la energía atómica.

Esa fuerza es la voluntad. (Albert Einstein)”

Ing. Medardo Galindo

Resolución de desigualdades

lineales• Resolver desigualdades

• Representar soluciones gráficamente en

la recta numérica, notación de intervalo y

conjuntos de solución

• Resolver desigualdades compuestas que

incluyan ´´y´´

• Resolver desigualdades compuestas que

incluyan ´´o´´

Resolver desigualdades

𝑆𝑖𝑚𝑏𝑜𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑

> 𝑒𝑠 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒

≥ 𝑒𝑠 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑜 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒

< 𝑒𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒

≤ 𝑒𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑜 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒

• Una expresion matematica con uno o mas

de estos simbolos es una desigualdad.

• La direccion del simbolo de desigualdad a

veces de denomina orden o sentido de la

desigualdad.

2𝑥 + 3 ≤ 5 4𝑥 > 3𝑥 − 5 1.5 ≤ −2.3𝑥 + 4.5

1

2𝑥 + 3 ≥ 0

𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑢𝑛𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒

1. 𝑆𝑖 𝑎 > 𝑏, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 + 𝑐 > 𝑏 + 𝑐

2. 𝑆𝑖 𝑎 > 𝑏, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 − 𝑐 > 𝑏 − 𝑐

3. 𝑆𝑖 𝑎 > 𝑏, 𝑦 𝑐 > 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎𝑐 > 𝑏𝑐

4. 𝑆𝑖 𝑎 > 𝑏, 𝑦 𝑐 > 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎

𝑐>

𝑏

𝑐

5. 𝑆𝑖 𝑎 > 𝑏, 𝑦 𝑐 < 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐

6. 𝑆𝑖 𝑎 > 𝑏, 𝑦 𝑐 < 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎

𝑐<

𝑏

𝑐

𝑃𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠

• Las primeras dos propiedades establecen

que podemos sumar o restar el mismo

numero en ambos lados de una

desigualdad

• La tercera y cuarta que ambos lados

pueden multiplicarse o dividirse por

cualquier numero real o positivo

• Las dos ultimas propiedades indican que

cuando ambos lados se multiplican o

dividen por un numero negativo, la

dirección se invierte.

𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛

𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜

4 > −2

−1 (4) < −1 (−2)

−4 < 2

𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒

𝑢𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜

10 ≥ −4

10

−2≤

−4

−2

−5 ≤ 2

𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 5𝑡 − 7 ≥ −22

Representar soluciones

gráficamente, intervalo y CS• Recuerde que en la recta numérica, un

circulo relleno indica que el punto extremo

es parte de la solución.

• Un circulo vacio indica que el punto

extremo no es parte de la solución.

• En la notación de intervalos se utilizan los

corchetes, para indicar que los puntos

extremos son parte de la solución

Reducir términos semejantes

• Los paréntesis, , indican que los

puntos extremos no son parte de la

solución.

• El símbolo , que se lee infinito, indica

que el conjunto solución continua

indefinidamente.

∞

Resolver las siguientes

desigualdades• De la solución tanto en la recta numérica

como en notación de intervalo.

1

4𝑧 −

1

2<

2𝑧

3+ 2

2 3𝑝 − 4 + 9 ≤ 8 𝑝 + 1 − 2(𝑝 − 3)

Sugerencia

• Por lo general, cuando se escribe la

solución de una desigualdad, la variable

se coloca a la izquierda.

−6 < 𝑥 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑎 𝑥 > −6

−3 > 𝑥 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑎 𝑥 < −3

𝑎 < 𝑥 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑎 𝑥 > 𝑎

𝑎 > 𝑥 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑎 𝑥 < 𝑎

Resolver

• En el boliche, el alquiler de zapatos para

boliche cuesta $2.50 y cada línea vale $4.

a) Escriba una desigualdad que pueda

usarse para determinar el numero

máximo de líneas que Ricardo puede

jugar si solo tiene $20

b) Determine el numero máximo de líneas

que puede jugar Ricardo

Desigualdades compuestas que

incluyan ´´y´´• Una desigualdad compuesta esta formada

por dos desigualdades ligadas con la

palabra ´´y´´ o la palabra ´´o´´

𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎𝑠

3 < 𝑥 𝑦 𝑥 < 5

𝑥 + 4 > 3 𝑜 2𝑥 − 3 < 6

4𝑥 − 6 ≥ −3 𝑦 𝑥 − 6 < 5

Importante

• Recuerde que la intersección de dos

conjuntos es el conjunto de elementos

comunes a ambos.

• Resolver, gráficamente y en intervalos

𝑥 + 2 ≤ 5 𝑦 2𝑥 − 4 > −2

−3 ≤ 2𝑥 − 7 < 8

−2 <4 − 3𝑥

5< 8

Desigualdades compuestas que

incluyan ´´o´´• La solución de una desigualdad

compuesta que utiliza la palabra o, son

todos los números que hacen verdadera

cualquiera de las desigualdades.

• Para determinar el CS de la desigualdad

que contenga la palabra o, tome la unión

de los conjuntos solución de las dos

desigualdades que conforman la

desigualdad compuesta.

Resolver

𝑥 + 3 ≤ −1 𝑜 − 4𝑥 + 3 < −5

Resolución ecuaciones y

desigualdades con valor absoluto

𝐸𝑛𝑡𝑒𝑑𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑝𝑟𝑒𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑔𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜

𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑥 = 𝑎, 𝑎 > 0

𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑥 < 𝑎, 𝑎 > 0

𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑥 > 𝑎, 𝑎 > 0

𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑥 > 𝑎 𝑜 𝑥 < 𝑎, 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 < 0

𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑥 > 0 𝑜 𝑥 < 0

𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑥 = 𝑦

Interpretación geométrica del

valor absoluto• El valor absoluto puede considerarse

como su distancia (sin signo) respecto del

numero 0 en la recta numérica.

• Si consideramos , para resolver

esta desigualdad, necesitamos determinar

el conjunto de valores cuya distancia

respecto del 0 es menor que 3 unidades

en la recta numérica. Estos son valores

entre -3 y 3

𝑋 < 3

• Si consideramos , para resolver

esta desigualdad, necesitamos determinar

el conjunto de valores cuya distancia

respecto del 0 es mayor que 3 unidades

en la recta numérica. Estos son valores

que son menores que -3 o mayores que 3

𝑋 > 3

• Cuando resolvemos una ecuación con la

forma , estamos determinando

los valores que están exactamente a

unidades de distancia respecto del 0 en la

recta numérica.

𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑥 = 𝑎, 𝑎 > 0

𝑥 = 𝑎, ≥ 0

𝑎

𝑆𝑖 𝑥 = 𝑎 𝑦 𝑎 > 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥 = 𝑎 𝑜 𝑥 = −𝑎

Resolver

𝑎) 𝑥 = 7 𝑏) 𝑥 = 0 𝑐) 𝑥 = −7

𝑑) 𝑅𝑒𝑠𝑢𝑒𝑙𝑣𝑎 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2𝑤 − 1 = 5

•

• La solución de esta desigualdad sera

el conjunto de valores tales que la

distancia entre 2x – 3 y 0 en la recta

numérica sea menor que 5 unidades.

𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑥 < 𝑎, 𝑎 > 0

𝑅𝑒𝑠𝑢𝑒𝑙𝑣𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑 2𝑥 − 3 < 5

• Para resolver desigualdades con la forma

podemos utilizar lo siguiente

Resuelva y represente gráficamente la

solución

𝑥 < 𝑎

𝑆𝑖 𝑥 < 𝑎 𝑦 𝑎 > 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 − 𝑎 < 𝑥 < 𝑎

1) 3𝑥 − 4 ≤ 5

2) 5.3 − 2𝑥 − 8.1 < 9.4

• Para resolver desigualdades con la forma

podemos utilizar lo siguiente

Resolver

𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑥 > 𝑎, 𝑎 > 0

𝑥 > 𝑎

𝑆𝑖 𝑥 > 𝑎 𝑦 𝑎 > 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥 < −𝑎 𝑜 𝑥 > 𝑎

1) 2𝑥 − 1 ≥ 7

2) 3𝑥 − 4

2 ≥ 9

Resolver lo siguiente

𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑥 > 𝑎 𝑜 𝑥 < 𝑎, 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 < 0

1) 3𝑥 − 8 + 3 < 2

2) 𝑥 > −3

3) 2𝑥 + 3 + 4 ≥ −7

Resuelva cada desigualdad

𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑥 > 0 𝑜 𝑥 < 0

1) 𝑥 − 5 ≤ 0

2) 𝑥 + 3 > 0

3) 3𝑥 − 4 ≤ 0

• Para resolver ecuaciones de la forma

Utilizamos lo siguiente

Resolver

𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑥 = 𝑦

𝑥 = 𝑦

𝑆𝑖 𝑥 = 𝑦 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥 = 𝑦 𝑜 𝑥 = −𝑦

1) 𝑧 + 3 = 2𝑧 − 7

2) 4𝑥 − 7 = 6 − 4𝑥

• Resumen de los procedimientos para

resolver ecuaciones y desigualdades con

valor absoluto.

𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑎 > 0

𝑆𝑖 𝑥 = 𝑎, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥 = 𝑎 𝑜 𝑥 = −𝑎

𝑆𝑖 𝑥 < 𝑎, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 − 𝑎 < 𝑥 < 𝑎

𝑆𝑖 𝑥 > 𝑎, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥 < −𝑎 𝑜 𝑥 > 𝑎

𝑆𝑖 𝑥 = 𝑦 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥 = 𝑦 𝑜 𝑥 = −𝑦