Señales y Sistemas

Grupo Nº 3Integrantes: Amaury OliverosJosué PérezNathalie RangelVirgilio Perdomo

Bienvenidos

Señales y SistemasPuntos a tratar:

Señales. Series de Fourier. Transformada de Fourier. Transformada de Laplace. Ejemplos en Maple. El Escritorio Estudiantil. Convolución. Modulación.Función de Transferencia.

Señales y Sistemas• Que es una Señal: Es la información de audio o video generada por una fuente que puede ser una emisión de radio o televisión, está viaja a través de un sistema de telecomunicaciones en forma de señales electromagnéticas

Señales y Sistemas• Tipos de Señales: .- Señal Analógica   Es una forma de onda continua que pasa a través de un medio de comunicaciones; se utiliza para comunicaciones de voz. • Señal digital Es una forma de onda discreta que transmite datos codificados en estados discretos como bits 1 y 0, los cuales se representan como el encendido y apagado de los pulsos eléctricos: se usa para comunicaciones de datos.

Señales y SistemasSerie de Fourier

Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función continua y periódica. Las series de Fourier tienen la forma:

Donde y se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la función

Señales y SistemasAplicaciones• Generación de formas de onda de corriente o tensión eléctrica por medio de la superposición de senoides generados por osciladores electrónicos de amplitud variable cuyas frecuencias ya están determinadas. • Análisis en el comportamiento armónico de una señal • Reforzamiento de señales. • Estudio de la respuesta en el tiempo de una variable circuital eléctrica donde la señal de entrada no es senoidal o cosenoidal, mediante el uso de transformadas de Laplace y/o Solución en régimen permanente senoidal en el dominio de la frecuencia.

Señales y Sistemas Transformada de Fourier

En matemática, la transformada de Fourier es una aplicación que hace corresponder a una función f con valores complejos y definida en la recta, otra función g definida de la manera siguiente:

Donde f es L1, o sea f tiene que ser una función integrable en el sentido de la integral de Lebesgue. El factor, que acompaña la integral en definición facilita el enunciado de algunos de los teoremas referentes a la transformada de Fourier. Aunque esta forma de normalizar la transformada de Fourier es la más comúnmente adoptada, no es universal.

Señales y Sistemas Transformada de Fourier

:Propiedades básicasLa transformada de Fourier es una aplicación lineal:

Valen las siguientes propiedades para una función absolutamente integrable f:Cambio de escala:

Traslación:

Señales y Sistemas Transformada de Fourier

Traslación en la variable transformada:

Transformada de la derivada: Si f y su derivada son integrables:

Derivada de la transformada: Si f y t → f(t) son integrables, la transformada de Fourier F(f) es diferenciable :

Señales y Sistemas Transformada de Laplace

La Transformada de Laplace de una función f(t) definida (en matemáticas y, en particular, en análisis funcional) para todos los números reales t ≥ 0, es la función F(s), definida por:

siempre y cuando la integral esté definida.Esta transformada integral tiene una serie de propiedades que la hacen útil en el análisis de sistemas lineales. Una de las ventajas más significativas radica en que la integración y derivación se convierten en multiplicación y división. Esto transforma las ecuaciones diferenciales e integrales en ecuaciones polinómicas, mucho más fáciles de resolver.

Señales y Sistemas Transformada de Laplace

Propiedades:Linealidad

Potencia n- : ésima , si : Seno

:Coseno :Seno hiperbólico

:Coseno hiperbólico :Logaritmo natural

Series de Fourier en Maple 1Pantalla

Series de Fourier en Maple 2Pantalla

Transformada de Fourier en Maple 1Pantalla

Transformada de Fourier en Maple 2Pantalla

Transformada de Laplace en Maple 1Pantalla

Transformada de Laplace en Maple 2Pantalla

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Señales y Sistemas

Convolución: En matemáticas y, en particular, análisis funcional, una convolución es un operador matemático que transforma dos funciones f y g en una tercera función que en cierto sentido representa la magnitud en la que se superponen f y una versión trasladada e invertida de g. Una convolución es un tipo muy general de promedio móvil, como se puede observar si una de las funciones la tomamos como la función característica de un intervalo.

Señales y Sistemas

La convolución de y se denota . Se define como la integral del producto de ambas funciones después de que una sea invertida y desplazada una distancia ,.τ

:UsoLa convolución y las operaciones relacionadas se encuentran en muchas aplicaciones de ingeniería y matemáticas.En estadística, como ya dijimos, un promedio móvil ponderado es una convolución. En teoría de la probabilidad, la distribución de probabilidad de la suma de dos variables aleatorias independientes es la convolución de cada una de sus distribuciones de probabilidad.

Señales y SistemasEn óptica, muchos tipos de "manchas" se describen con convoluciones. Una sombra (e.g. la sombra en la mesa cuando tenemos la mano entre ésta y la fuente de luz) es la convolución de la forma de la fuente de luz que crea la sombra y del objeto cuya sombra se está proyectando. Una fotografía desenfocada es la convolución de la imagen correcta con el círculo borroso formado por el diafragma del iris. En acústica, un eco es la convolución del sonido original con una función que represente los objetos variados que lo reflejan. En ingeniería eléctrica y otras disciplinas, la salida de un sistema lineal (estacionario o bien tiempo-invariante o espacio-invariante) es la convolución de la entrada con la respuesta del sistema a un impulso (ver animaciones). En física, allí donde haya un sistema lineal con un "principio de superposición", aparece una operación de convolución.

Señales y SistemasPropiedadesLas propiedades de los diferentes operadores de convolución son 12Conmutatividad: Asociatividad: Distributividad:

:Asociatividad con multiplicación escalarpara todo número complejo o real a.

: Regla de derivacióndonde denota la Transformada de Fourier de f. Este teorema también se cumple con la Transformada de Laplace.Convoluciones con deltas de Dirac:

Señales y SistemasMODULACIÓN

Muchas señales de entrada no pueden ser enviadas directamente hacia el canal, como vienen del transductor. Para eso se modifica una onda portadora, cuyas propiedades se adaptan mejor al medio de comunicación en cuestión, para representar el mensaje. Definiciones: "La modulación es la alteración sistemática de una onda portadora de acuerdo con el mensaje (señal modulada) y puede ser también una codificación" "Las señales de banda base producidas por diferentes fuentes de información no son siempre adecuadas para la transmisión directa a través de canal dado. Estas señales son en ocasiones fuertemente modificadas para facilitar su transmisión." “Se denomina modulación al proceso de colocar la información contenida en una señal, generalmente de baja frecuencia, sobre una señal de alta frecuencia. “

Señales y SistemasMODULACIÓN

Señales y Sistemas

?¿PORQUE SE MODULAExisten varias razones para modular, entre ellas: .- Facilita la PROPAGACIÓN de la señal de información por cable o por el aire. .- Ordena el RADIOESPECTRO, distribuyendo canales a cada información distinta. .- Disminuye DIMENSIONES de antenas. .- Optimiza el ancho de banda de cada canal .- Evita INTERFERENCIA entre canales. .- Protege a la Información de las degradaciones por RUIDO. .- Define la CALIDAD de la información trasmitida.

Señales y Sistemas

?¿ COMO SE MODULAFrecuentemente se utilizan dispositivos electrónicos SEMICONDUCTORES con características no lineales (diodos, transistores, bulbos), resistencias, inductancias, capacitores y combinaciones entre ellos. Estos realizan procesos eléctricos cuyo funcionamiento es descrito de su representación matemática. ( ) = ( + )s t A sen wt @

donde: A es la ampitud de la portadora (volts) w es la frecuencia angular de la portadora (rad/seg) @ ángulo de fase de la portadora (rad)

Señales y Sistemas

? ¿ QUE TIPOS DE MODULACIÓN EXISTENExisten básicamente dos tipos de modulación: la modulación ANALÓGICA, que se realiza a partir de señales analógicas de información, por ejemplo la voz humana, audio y video en su forma eléctrica y la modulación DIGITAL, que se lleva a cabo a partir de señales generadas por fuentes digitales, por ejemplo una computadora. .- Modulación Analógica: AM, FM, PM .- Modulación Digital: ASK, FSK, PSK, QAM

Señales y SistemasFunción de Transferencia

Una función de transferencia es un modelo matemáticoque a través de un cociente relaciona la respuesta de un sistema (modelada) a una señal de entrada o excitación (también modelada).El cociente formado por los modelos de la señal de salida respecto de la señal de entrada, permite encontrar los ceros y los polos, respectivamente. Y que representan las raíces en las que cada uno de los modelos del cociente se iguala a cero. Es decir, representa la región frontera a la que no debe llegar ya sea la respuesta del sistema o la excitación al mismo; ya que de lo contrario llegará ya sea a la región nula o se irá al infinito, respectivamente.

Señales y SistemasFunción de Transferencia

Por definición una función de transferencia se puede determinar según la expresión:

donde H (s) es la función de transferencia (también notada como G (s) ); Y (s) es la transformada de Laplace de la respuesta y U (s) es la transformada de Laplace de la señal de entrada. La función de transferencia también puede considerarse como la respuesta de un sistema inicialmente inerte a un impulso como señal de entrada:

Señales y SistemasFunción de Transferencia

La salida o respuesta en frecuencia del sistema se halla entonces dey la respuesta como función del tiempo se halla con la transformada de Laplace inversa de Y(s):

Señales y Sistemas

Es todo

GRACIAS