Rallye Mathématiqued’Auvergne 2015

18e édition

À vous, maintenant,jeunes collégiens etlycéens d’Auvergne defaire preuve de vosqualités de réflexion,d’initiative, d’imagination !Au sein de votre équipe,les connaissances etcompétences de chacunseront nécessaires pourvenir à bout desexercices originaux etastucieux que l’équiped’élaboration des sujetsvous a préparés.

Mais malgré les difficultésque vous allez rencontrer,vous devez en êtrepersuadés, le succès està votre portée!

Bon rallye 2015 !

Françoise Barachet, IA-IPR mathématiques

Jean-Alain Roddier,IA-IPR mathématiques

Claire Marlias,IEN-EG mathématiques-sciences

Ø Contacts

Anne Crouzier,professeure de mathématiques,anne.crouzier@wanadoo.fr

Xavier Malbert,professeur de mathématiques,xmalbert@ac-clermont.fr

17 mars 2015

Épreuves interclasses troisièmes et secondes

Les consignes§ Les calculatrices sont autorisées.

§ La solution de chacun des quatre problèmes communs et desdeux sujets correspondant au niveau de la classe sera rédigéesur une des feuilles jointes

§ Chaque feuille portera :

✔ le nom de la classe, ✔ le nom de l’établissement,✔ le numéro du problème, ✔ ainsi que l’effectif de la classe et des participants.

§ Le jury appréciera à la fois la qualité esthétique, l’originalité et laqualité des contenus mathématiques.

§ Pour chaque problème, le jury évaluera :

✔ l’exactitude de la (ou des) réponse(s) aux questions posées,

✔ l’argumentation,✔ la présentation.

Conception et Rédaction : IREM, APMEP, IUFM, IA-IPR de mathématiques et IEN-ET mathématiques - sciences. Impression : rectorat.

Sujets communs à tous les niveaux

(1)TangramOn a partagé un carré de côté a cm en 7 polygones comme le montre la figure ci-dessous :

• C est un carré,• T1,T2, T3, T4, T5 sont des triangles rectangles isocèles,• P est un parallélogramme.

Pour chacune des questions suivantes, utiliser toutes les pièces pourreconstituer la figure demandée et donner ses dimensions en fonctionde a :

a) un rectangle non carré (longueur et largeur),b) un trapèze isocèle non parallélogramme (ses deux bases et sa

hauteur),c) un parallélogramme non rectangle (un côté et la hauteur relative

à ce côté),d) deux carrés de même aire (leur côté).

(2)Trois cercles emboîtés

Les trois cercles C1, C2 et C3 représentés ci-contre sont tangents (c'est-

à-dire que les trois cercles se coupent en un seul point).Le rayon du plus grand, C1, est le diamètre du moyen, C2. Le rayon de

C2 est le diamètre de C3.

A1 est l'aire de la partie en gris foncé, A2 est l'aire de la partie en grisclair, et A3 l'aire du disque blanc.

Donner la valeur des rapports A1

A2

et A1

A3

.

(3)Dés cubiquesUn dé cubique est toujours construit de façon à ce que la somme des points sur les faces opposées soit égale à 7. Voici ci-dessous deux patrons de dés respectant cette règle tout en étant différents.

Combien de dés différents peut-on construire en respectant la règle donnée ci-dessus ?(On conservera la disposition classique des points sur une face).

Dessiner un patron pour chacun des dés en utilisant uniquement la forme des patrons ci-contre.

(4) Partage équitableDes enfants d’une même famille trouvent un sac rempli de pièces d’or toutes identiques. Le père décide de les partager entre ses enfants de la façon suivante :« L’aîné prendra une pièce et le dixième de ce qui reste dans le sac.Puis le deuxième prendra 2 pièces et le dixième de ce qui reste dans le sac.Puis le troisième prendra 3 pièces et le dixième de ce qui reste et ainsi de suite…Quant au dernier, il prendra ce qui reste dans le sac.

– Mais c'est injuste ! cria le plus jeune.– Rassure-toi, vous aurez finalement tous la même part, rétorqua le père. »

a) Combien y a-t-il de pièces ?b) Quel est le nombre d’enfants ?

Sujets lycée professionnel

(5) Le menteur

Un seul d'entre eux a menti, aidez Monsieur 8 à trouver le voleur !

(6) Le plus petita) Quel est le plus petit nombre divisible par 12 et 14 ?

b) Quel est le plus petit nombre divisible par tous les nombres de 1 à 9 ?

Sujets collège

(7) Les deux rectangles

Il y a ci-dessus deux rectangles. Trouver le rapport entre leurs aires.

(8) 3 entiers consécutifsÀ partir de 3 entiers naturels, on construit une suite de nombres par additions successives comme dans l'exemple ci-dessous :En partant de 7, 5, 8, on obtient :

20 car 7 + 5 + 8 = 20 (1ère étape)33 car 5 + 8 + 20 = 33 (2ème étape)61 car 8 + 20 + 33 = 61 (3ème étape)etc…

Trouver trois entiers naturels consécutifs tels que le nombre obtenu à la septième étape soit 2015.

Sujets lycée général et lycée technologique

(9) L'association philanthropiqueChaque année, dans une association philanthropique, chaque membre fait une donation dont le montant en euros est égal au nombre de membres de l'association. En 2014, la somme de ces donations a dépassé de 583 euros celle de 2013.

Combien y avait-il de membres dans cette association en 2013 et en 2014 ?

(10) Le jeux des noisettes

Quelle répartition des boules permet d’avoir le maximum de chances de gagner ?

Bonjour et bienvenue

sur Noisette TV pour notre jeu : Qui veut gagner des noisettes ! Je vous rappelle le principe du jeu : il y a 3 boules

noires et 3 boulesblanches.

Ensuite, je me bande les yeux !!

Il y a 2 bols, vous répartissez les boules

comme vous le désirez dans ces 2 bols en mettant au moins

une boule par bol.

Enfin, la procédure est simple : je prends un bol au hasard et

tire une boule dedans, au hasard ! Si je tire une boule blanche,

vous GAGNEZun million de noisettes !!!!

Mais si je tire une boule noire, vous

PERDEZ !!! Bonne chance !!