Prevedere il futuro

Domanda: E’ possibile prevedere il futuroE’ possibile prevedere il futuro?

EffettoEffetto

(futuro)

Oroscopi? Cartomanzia? Tarocchi? Divinazione?

Metodo DeterministicoMetodo Deterministico:

CausaCausa(passato)

Il Futuro!

COSA vogliamo prevedereCOSA vogliamo prevedere?

Esempi:

1. La posizione posizione di qualcosa nello spazio: una pallina, noi, un aereo, un treno, un soldato, un atomo, etc..

2. La grandezzagrandezza di una certa quantità: denaro, numero di gol segnati da una squadra, popolazione totale, calore, pioggia, cibo, petrolio, amore, guerra, etc…3. Combinazioni dei precedenti.

Come fare?Analizziamo il problemaAnalizziamo il problema:

- Quantità da determinareQuantità da determinare: che chiameremo (ovviamente) X(t).- Luogo in cui formulare il problema: Luogo in cui formulare il problema: ovvero numero di variabili (e loro eventuali relazioni) che occorrono per descrivere X(t).- Cosa considerare una risposta accettabile.risposta accettabile.- Quali sono i dati notidati noti che abbiamo a disposizione.

- ModellizzareModellizzare: descrivere la variazione di X(t) in base ad osservazioni fisiche e congetture mediante i dati a disposizione.- Risoluzione del modelloRisoluzione del modello: calcolo.

- VerificaVerifica della predizione con la realtà.

Esempio 1: Popolazione umanaDomanda: la popolazione umana aumenterà la popolazione umana aumenterà

all’infinitoall’infinito?

Semplificazione 1: le scorte di cibo sono infinite. Non ci sono fattori esterni ad influenzare la crescita.

L’incremento della popolazione nel tempo dipende solo dalla popolazione stessa

(più siamo..più ci riproduciamo!)

Esempio 1: Popolazione umana

in formule: se X(t) indica la popolazione al tempo t, allora la variazione dal tempo t al tempo t+h è data

da

X(t+h)-X(t)=KhX(t)Facendo tendere l’incremento h a zero

Equazione differenziale in cui l’incognita è una funzione, non un numero! E in più deve

essere una funzione derivabile.

X’(t)=KX(t)

Esempio 1: Popolazione umana

La soluzione è

X(t)=X(0)exp(K t)

Dunque, se K>0, la popolazione cresce in modo esponenzialeesponenziale!

Abbiamo davvero risposto alla nostra domanda?

Domanda: la popolazione umana aumenterà la popolazione umana aumenterà all’infinitoall’infinito?

No! Confrontando i dati reali si ottengono risultati diversi da quelli predetti.

NO

Modello Errato!

Esempio 1: Popolazione umana

Quale errore abbiamo fatto?

1- le scorte di cibo NON sono infinite!

2- ci sono fattori esterni, proporzionali alla grandezza della popolazione che contribuiscono alla diminuzionediminuzione della popolazione stessa. Ad esempio, smog, guerre, malattie…

Per considerare 1+2, si può assumere che la variazione della popolazione, X’(t), sia proporzionale alla popolazione, ma il fattore di proporzionalità, K, dipende dal tempo. Ovvero,

X’(t)=K(t) X(t).

Esempio 1: Popolazione umana

La soluzione dell’equazione X’(t)=K(t)X(t) dipende ovviamente da K(t).

La soluzione diventa complicata!

Ad esempio, in prima approssimazione, possiamo supporre che la popolazione decresca (a causa di smog, fame, guerra, etc..) quando raggiunge un

certo valore A. Ovvero, in formule

K(t)=C (A-X(t))

Esempio 2: Il metodo di Newton per i polinomi

Domanda: Possiamo trovare le radici di un Possiamo trovare le radici di un polinomio a coefficienti reali?polinomio a coefficienti reali?

p(x) = ad xd + ··· + a1 x + a0.

(xc è una radice se p(xc) = 0)

Cioè: dare delle formule generali (da scrivere nei bigliettini per i compiti..) che esprimono le radici tramite i coefficienti del polinomio.

Esistono solo per polinomi di secondo, terzo e quarto grado; formule

analoghe per polinomi di grado 5 o più non esistono. (non è che non me le ricordo, proprio non ci sono!)

Esempio 2: Il metodo di Newton per i polinomi

Idea di Newton (diciassettesimo secolo): trovare un procedimento che applicato a un

numero qualsiasi x0 fornisca un nuovo numero x1 più vicino a essere una radice di

quanto non fosse x0.. Ripetendo il procedimento partendo da x1 (e poi da x2, e poi da x3, e così via) si spera di riuscire ad approssimare una radice del polinomio con

la precisione che si desidera.

Esempio 2: Il metodo di Newton per i polinomiAlgoritmo di Newton:

dato il polinomio p(x) e il tentativo iniziale x0, tracciamo la tangente al grafico di p nel punto

(x0, p(x0)), e prendiamo come x1 l’ intersezione della tangente con l’asse delle ascisse.

In formula:

x1 = x0 – p(x0)/p0(x0),

dove p0(x0) è la derivata di p calcolata in x0.(annuisci che la tua prof di matematica ti guarda)

Esempio 2: Il metodo di Newton per i polinomi

x0 x1

x2

xc

p(x) = - x5 + 1.6 x3 - 0.5

Esempio 2: Il metodo di Newton per i polinomi

Domanda: ma il metodo di Newton funziona?

•Risposta di Newton: Sì, basta scegliere un valore x0 abbastanza vicino a una radice.•Osservazione (sagace) di Cayley (due secoli dopo): ma se non sappiamo dove sono le radici come facciamo a essere sicuri di partire abbastanza vicini a una di esse?

E poi, cosa significa abbastanza vicini?

Esempio 2: Il metodo di Newton per i polinomi

Riformulazione di Cayley: consideriamo la funzione razionale

f (x)= x – p(x)/p0(x). Preso un numero complesso x0, poniamo x1 = f (x0) e, più

in generale,

xn = f (xn–1).

Se la successione {xn} converge a un numero xc, necessariamente (no?) dev’essere f (xc ) = xc; e questo può

succedere se e solo se p(xc) = 0, cioè se e solo se xc è una radice di p. Quindi la domanda è:

per quali valori di x0 la successione {xn} converge?

Esempio 2: Il metodo di Newton per i polinomi

Risposta di Cayley: se p è un polinomio di secondo grado, la risposta è facile. L’unico x0 da escludere è quello in cui la

derivata di p si annulla (per cui f (x0) definita), e che è il punto medio del segmento individuato dalle due radici. Partendo a sinistra del punto medio il procedimento converge alla radice più piccola; partendo a destra converge alla radice più grande.

[Nel piano complesso bisogna escludere l’asse del segmento congiungente le due radici; e partendo in ciascun semipiano il procedimento converge alla radice contenuta in quel semipiano.]

Esempio 2: Il metodo di Newton per i polinomi

Ma Cayley non riuscì a capire cosa succedeva con polinomi di terzo grado (o di

grado maggiore). I punti medi e gli altri concetti di geometria euclidea non

sembravano essere di alcuna utilità. Non riuscì neppure a capire quali domande

doveva porsi sull’insieme dei valori per cui il metodo di Newton funzionava!

Esempio 2: Il metodo di Newton per i polinomi

p(x) = x3 – 1

Sistemi dinamici deterministici

In entrambi gli esempi abbiamo un sistema dinamicosistema dinamico, ovvero un processo che prende un punto (in uno spazio) e

variando il tempo restituisce un altro punto. Nel primo caso il sistema dinamico è continuocontinuo, ovvero si ha la

posizione ad ogni istante, mentre nel secondo il sistema dinamico è discretodiscreto, ovvero sono ammessi solo certi valori

per il “tempo” (nel nostro caso 1, 2, …)

La teoria deterministicateoria deterministica (Newton, Laplace) afferma che il futuro è un sistema dinamico e, supponendo di avere una fotografia istantanea di tutto l’universo in un dato momento, è possibile prevedere completamente il futuro (e il passato).

Sistemi dinamici deterministiciPer prevedere il futuro occorrePer prevedere il futuro occorre:

1. Ideare un sistema dinamico in cui la variazione della quantità di cui vogliamo predire il futuro sia espressa in termini di altre quantità.

2. Misurare le quantità iniziali che intervengono nel modello.

3. Risolvere il modello (calcolo delle soluzioni dell’equazione differenziale).

Difficoltà:Difficoltà:

- Semplificare il modello per poterlo calcolare.- Non semplificarlo troppo per restare attinente alla realtà.- Misurare i dati iniziali.

Sistemi dinamici deterministici

MaMa…..

1. (domanda filosofica): ma allora il libero arbitriolibero arbitrio non esiste?

2. Ma perché non azzeccano mai le previsioni del tempoprevisioni del tempo?

3. Ma perché la mia squadra del cuore pur essendo chiaramentechiaramente più forte ha perso?

Dunque è possibile prevedere il futuro! Magari un po’ complicato a causa delle informazioni che dobbiamo procurarci e delle difficoltà di fare i calcoli.

Signore e Signori….

Il CaosCaos

1. Principio di indeterminazione di Heisenberg1. Principio di indeterminazione di Heisenberg (meccanica quantistica): e’ impossibile misurare allo stesso tempo posizione e velocità di una particella.

2. La farfalla di LorenzLa farfalla di Lorenz: piccole variazioni dei dati iniziali comportano enormi variazioni delle soluzioni del problema.

3. Le soluzioni di un sistema dinamico tendono a configurazioni “stabili” dette attrattoriattrattori. Alcuni sono strani, detti attrattori caoticiattrattori caotici.

La Farfalla di Lorenz

Il battito d’ali di una farfalla in Giappone può creare una tromba d’aria in California.

In alcuni sistemi dinamici, una minima variazione nella misurazione dei dati iniziali provoca una cambiamento

enorme sui risultati finali. Poiché non è possibile tener conto di ogni dato e non è possibile misurare ogni dato in modo

esatto, è allora impossibile prevedere il futuroimpossibile prevedere il futuro?

Eppure gli aerei volano, i treni sono (qualche volta…) in orario, l’Inter vince lo scudetto (ma non sono interista!) e le

previsioni meteorologiche non sono poi cosi sbagliate!

Attrattori

Invece di considerare un sistema dinamico a partire da dati iniziali specifici, si considera a partire da ogni possibile dato iniziale e si cercano le sue orbiteorbite. Le orbite si accumulano ad

alcune orbite, detti attrattori.

Orbita chiusa

Orbita che si accumula sull’orbita chiusa

Attrattori caotici

In alcuni casi questi attrattori sono strani. Li chiamiamo talvolta frattalifrattali.

Strano attrattore

Ordine nel Caos

Gli strani attrattori hanno una buona proprietà:Gli strani attrattori hanno una buona proprietà:

sono autosimilariautosimilari: il tutto è uguale ad ogni sua parte,dunque c’è ordine nel caos.

Attrattori caotici esistono in natura:

Dinamica dei fluidiDinamica dei fluidi (torrenti, vortici, meteo, etc..)

Dinamica di comportamenti socialiDinamica di comportamenti sociali

Idea del caos in romanzi, film, vita comuneIdea del caos in romanzi, film, vita comune….