prezentats lek
TRANSCRIPT
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №1
Теория систем и системный анализ – это научная дисциплина, разрабатывающая общие принципы исследования сложных объектов с учетом их системного характера, методология исследования объектов посредством представления их в качестве систем и анализа этих систем.
Теория иерархических систем – математическая теория, исследующая совместное поведение элементов многоуровневой иерархической структуры. Рассматривается «цепочка» из многих элементов, где на каждом уровне имеется только один элемент – «начальник» по отношению к элементам нижнего уровня, но «подчиненный» по отношению к верхним уровням. Каждый элемент имеет свои формализованные критерии, связанные с его местом в структуре и его интересами, причем выбор возможных действий, ограниченный некоторым числом заданных альтернатив, определяется «управляющей» информацией сверху и информацией, поступающей от следующих звеньев снизу.
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №2
ПОНЯТИЯ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ СИСТЕМ И СИСТЕМНОГО
АНАЛИЗА
В СОВРЕМЕННОЙ НАУКЕ
Категории систем по характеру иерархического расположения
образующих систему элементов:
1. Одноуровневые одноцелевые системы.
2. Одноуровневые многоцелевые системы.
3. Многоуровневые многоцелевые системы.
Виды систем по количеству вариантов реализации:
1. Однорежимные системы.
2. Многорежимные системы.
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №3
Классификация систем на основе их сложности:
1. Морфологические системы – такие, которые описываются при помощи сети структурных взаимосвязей.
2. Каскадные системы – показывают пути прохождения вещества и энергии (информации) в системе.
3. Системы типа действие-реакция объединяют указанные системы и показывают способ, которым структура привязана к процессу жизнедеятельности.
4. Управляющие системы – это системы, подобные указанным в п.3, в которых основные компоненты контролируются человеком.
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №4
Классификация систем на основе взаимодействия с внешней средой:
1. Изолированные – это такие системы, границы которых закрыты для экспорта и импорта вещества и энергии (информации).
2. Закрытые – это такие системы, границы которых закрыты для экспорта и импорта вещества, но открыты для энергии (или информации).
3. Открытые – обмениваются и веществом, и энергией (информацией) с внешней средой.
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №5
Классификация развивающихся экономических систем:
Экономико-
демографические системы
Межотраслевые
системы
Развивающиеся экономические
системы
Социально-экономические
системы
Технико-экономические
системы
Экономико-
политические
системы
Природно –
экологические
системы
Отраслевые
системы
Региональные
системы
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №6
Существенные характеристики, присущие всем иерархическим системам:
последовательное вертикальное расположение подсистем, составляющих данную
систему; приоритет действий или право вмешательства подсистем верхнего уровня;
зависимость действий подсистем верхнего уровня от фактического исполнения
нижними уровнями своих функций.
Полная система
Вход Выход Вмешательство Обратная связь Вход Выход Вмешательство Обратная cвязь Вход Выход
Подсистема
уровня 1
Подсистема
уровня n-1
Подсистема
уровня n
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №7
Основные виды иерархий
Введем три понятия уровней: а) уровень описания или абстрагирования; б)
уровень сложности принимаемого решения; в) организационный уровень.
Страты. Уровни описания или абстрагирования
Страта 2.
Матеметические
операции
Страта 1.
Физические
операции
Вход
Вход Выход
Выход
Страта 2.
Обработка информации и
управление
Страта 1.
Физические процессы
Страта 3.
Экономические
факторы
Вмешательство
Обратная
связь
Обратная
связь Управление
Сырье Готовая
продукция
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №8
Некоторые общие характеристики стратифицированного описания системы:
1. Выбор страт, в терминах которых описывается данная система, зависит от наблюдателя, его знания и заинтересованности в работе системы.
2. Аспекты описания функционирования системы на различных стратах, в общем случае, не связаны между собой, поэтому принципы и законы, используемые для характеристики системы на любой страте, не могут быть выведены из принципов, используемых на других стратах.
3. Существует асимметричная зависимость между условиями функционирования системы на различных стратах.
4. На каждой страте имеется свой собственный набор терминов, концепций и принципов.
5. Понимание системы возрастает при последовательном переходе от одной страты к другой: чем ниже мы опускаемся по иерархии, тем более детальным становится раскрытие системы, чем выше мы поднимаемся, тем яснее становится смысл и значение всей системы.
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №9
Многоэшелонные системы – организационные иерархии.
Процесс
Обратная связь
Обратная связь
Иерархия принятия решений
Решающий элемент
Координация
Управление
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №10
1. Планирование перевозок грузов – важнейшая задача, занимающая особое место среди других проблем планирования. Пусть используется транспорт нескольких типов, обслуживающий несколько маршрутов, причем перевозки по каждому из маршрутов заранее заданы. Известно, сколько груза может перевезти единица транспорта каждого типа на каждом из маршрутов и сколько единиц транспорта каждого типа имеется.
Пусть iju – количество транспорта i-го вида на j-м маршруте mjni ,1,,1 ; ijl –
количество груза, который может перевезти единица i-го транспорта на j-м маршруте; ia
– число единиц транспорта i-го вида; jb – количество груза, который необходимо
перевезти на j-м маршруте. Тогда условия полной перевозки груза будут иметь вид:
n
ijijij mjbul
1
.,1,
Условия использования лишь того транспорта, который имеется в наличии, имеют вид:
m
jiij niau
1
.,1,
Кроме того, имеется условие неотрицательности величин
.,1,,1,0 mjniuij
Цель при планировании перевозок грузов – обеспечить минимум затрат на перевозку, поэтому при выборе плановых решений за критерий оптимальности принимается следующий:
mn
jiijijucuJ
,
1,
min, (1.1)
где ijc – стоимость эксплуатации единицы i-го транспорта на j-м маршруте.
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №11 2. Проблемы управления запасами возникают при рассмотрении разнообразных экономических объектов. При анализе розничной торговли рассматриваются оптимальные запасы некоторого товара в магазине. Управлять запасами приходится и на производстве, при планировании работы любой производственной единицы, т. к. чрезмерно большой запас приводит к нерациональному использованию оборотных средств, а нехватка сырья или инструмента – приводит к перебоям в производстве.
Рассмотрим хранение единственного продукта, делимого на любые части.
Количество продукта на складе в момент времени t обозначим tu , при этом продукт
расходуется с постоянно заданной интенсивностью . При управлении запасами обычно
принимается следующая стратегия: выбирается уровень запаса 1u такой, что при
достижении этого уровня запаса посылается заказ на пополнение запаса в количестве 0u
. Цель исследования систем хранения запасов состоит в выборе наилучшей стратегии управления запасами. В задачах управления запасами оптимальными вариантами управления являются те из них, на которых издержки достигают наименьшего значения. Следовательно, цель управления запасами – обеспечить минимальные издержки, поэтому критерий оптимальности запаса товаров определяется функцией издержек, которая имеет вид:
min,1
0
210
dttucuccT
uJT
(1.2)
где
T – время производственного цикла;
0с – стоимость издержек, не зависящая от
объема заказа и возникающая в связи с самим фактом произведения заказа; 1с
–
стоимость издержек, пропорциональная количеству заказанного товара; 2с
– стоимость
издержек, связанная с хранением единицы товара в течение заданного времени.
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №12 3. При стратегическом планировании организации важной задачей является развитие материально-технической базы фирмы. При этом цель оптимальности процесса развития материально-технической базы фирмы можно задать следующим (критерием) функционалом [5]:
T
TVdttVJ0
2н min, (1.3)
где , – весовые коэффициенты ,0,0,1 VV ,н – неосвоенные ОПФ
(капитальные вложения) и освоенные ОПФ соответственно. Экономический смысл критерия оптимальности заключается в следующем. Минимизация первого слагаемого в выражении функционала (1.3):
T
dttVJ0
2н1
отражает требование максимальной экономии капитальных вложений. Второе слагаемое в выражении функционала (1.3)
TVJ 2
и его минимизация равносильно максимизации tV
значения ОПФ с весовым
коэффициентом
в конце планового периода T,0
.
Таким образом, в функционале (1.3) отражены два противоположных требования к процессу – экономии капиталовложений с одной стороны и увеличению ОПФ предприятия – с другой.
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №13
4. Выход на потребность в продукции, обусловленной рыночным
спросом, за минимальное время является одной из важных задач
коммерческой организации.
Пусть tPP – потребность в продукции предприятия, которая здесь
считается известной функцией времени в рассматриваемом интервале
времени.
Здесь в отличие от предыдущей задачи интервал T,0 заранее не
задан. Но задана потребность в конечной продукции как функция времени,
которой требуется достичь как можно быстрее.
Следовательно, целью данной задачи является минимальное время
достижения потребности в продукции, а критерий оптимизационной задачи
примет вид:
.min0
T
dtJ (1.4)
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №14
5. При стратегическом планировании важной задачей является распределение ресурсов между производственными подразделениями.
Пусть некоторая функция ii VЭ н отражает увеличение выпуска
продукции на i-м предприятии за счет реализации на нем капитальных
вложений в объеме iVн . Показатель ii VЭ н является критерием
эффективности капитальных вложений [5]. Пусть количество предприятий данной организации n, а заданный фонд
капитальных вложений niAVA i ,1,0 н , при этом в оптимальном плане
весь фонд капитальных вложений должен быть полностью реализован.
Предположим, что все функции ii VЭ н возрастающие, то есть
nidVdЭ ii ,1,0н , то есть эффективность реализации капитальных
вложений возрастает с увеличением их объема. Математическая модель распределения капитальных вложений между предприятиями имеет следующий вид:
.,1,0,
max,
н1
н
1н
niVAV
VЭ
i
n
ii
n
iii
(1.5)
Следовательно, цель распределения капитальных вложений между предприятиями – добиться максимума суммарной эффективности при распределении средств между подразделениями организации.
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №15
6. Как известно, процесс контроля состоит из установки стандартов (установки конкретных целей), измерения фактически достигнутых результатов и проведения корректировки в том случае, если достигнутые результаты существенно отличаются от установленных стандартов.
Отклонения от режима планового развития, вызванные изменениями внешней окружающей среды организации, характеризуются следующими величинами:
,, ннн tVtVtVtVtVtV
где символ (*) означает режим планового развития. Тогда целью процесса стабилизации планового развития организации является минимизация отклонения от режима планового развития ОПФ организации при минимальных затратах инвестиций. Критерий процесса стабилизации в этом случае примет вид:
min,0
2н
2
dttVtVJ (1.6)
где ,
– весовые коэффициенты 1,0,0
, T
–
бесконечный горизонт планирования.
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №16 7. Главная задача организации, занимающейся бизнесом – это получение определенной прибыли при
ограниченных затратах. Эта ее задача отражается в таких целях, как рентабельность и производительность. Поэтому
целевым критерием системы будет норма рентабельности организации, которая имеет вид [18]:
T
n dttVtWtUtCVW
R000
max,1
(1.7)
где dttWT
WT
0
0
1 – средняя стоимость ОбПФ, dttV
TV
T
0
0
1 – средняя стоимость ОПФ, tC – цена единичной
продукции в момент времени t, tU – валовой выпуск в натуральном измерении, tV – стоимость ОПФ в момент
времени t, tW – стоимость ОбПФ в момент времени t, T – интервал времени (например, один год), – коэффициент
амортизации ОПФ.
8. Цель оптимального развития экономики однопродуктовой макроэкономической системы – удовлетворение
потребности общества какого-либо региона в данном продукте. Поэтому целевым параметром (критерием) системы
является критерий, предусматривающий рост потребления и возможность наращивать определенный экономический
потенциал к конечному моменту времени, который может быть выражен функционалом следующего вида [5]:
.max,0
Tt TVdttPgeJ (1.8)
Здесь первое слагаемое представляет собой суммарное взвешенное потребление на промежутке [0,T],
терминальный член имеет смысл накопления производственного потенциала в конечный момент времени. Весовые
коэффициенты , говорят о приоритете, который имеет каждое из этих слагаемых. Если отдается предпочтение
потреблению, то , а если накоплению производственного потенциала, то . Подынтегральное выражение
tPge t , – дисконтированное потребление, tPg , – функция полезности, – коэффициент дисконтирования, TV –
стоимость ОПФ в момент времени T и непроизводственное потребление tP .
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №17
Логистическая функция описывается уравнением вида [6]:
,exp1
max
bta
XtX
(2.1)
где tX – численность популяции в единице объема выпуска системы в мо-
мент времени t; maxX – максимальная численность популяции; a, b – констан-
ты.
Из рис. 2.1 видно, что логи-
стическая кривая начинается в
точке aX 1max , симметрична
и имеет точку перегиба с коорди-
натами
.2,ln maxпп XXbat
Константа a определяет по-
ложение логистической кривой по
времени (сдвиг влево или вправо),
константа b – наклон кривой. Эти
константы очень легко вычисля-
ются по формулам:
0max
2
0
max 1,1
ttdt
dX
aX
ab
tX
Xa . (2.2)
X
maxX
2maxX
a
X
1
max t
0 t1 ln a/b t2
Рис. 2.1
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №18
В модели Риденура предполагается без особой строгости экспоненциальный закон роста, как общий закон технико-экономического развития. При этом считается, что степень признания какого-то нового продукта (технологии) обществом пропорциональна числу потенциальных производителей, ознакомившихся с ним:
,ALdt
dL (2.9)
где A – коэффициент пропорциональности. Коэффициент A определяется как вероятность того, что человек, впервые ознакомившись с технологией, станет потенциальным ее потребителем. Эта вероятность аппроксимируется соотношением:
max
1L
LaA , (2.10)
где a – константа. Подставляя выражение (2.10) в формулу (2.9), получим
.1max
L
LaL
dt
dL (2.11)
Решением уравнения (2.11) является логистическая функция следующего вида:
,
exp110
max
max
atL
L
LtL
(2.12)
где
00
ttLL
– начальное значение величины.
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №19 Свойства ПФ. Приведем общие свойства производственных функций.
ПФ всегда неотрицательна: 0,, tLVF . ПФ непрерывна и обращаема в нуль. Будем полагать, что функция tLVF ,, непрерывна по V и L и 0,0,,,0 tVFtLF .
ПФ – монотонно возрастающая функция по каждому из аргументов:
.0,0 L
F
V
F
ПФ – дважды дифференцируемая с убывающими темпами роста:
.0,02
2
2
2
L
F
V
F
ПФ обладает свойством аддитивности, то есть .,,, 22112121 LVFLVFLLVVF
Объединение усилий двух систем дает результаты, по крайней мере, не худшие, чем результаты каждой системы в отдельности. Условия аддитивности оказываются несправедливыми, если имеется «дефицитность» факторов производства, которые не учитываются в данной модели. ПФ обладают свойством мультипликативности, которое дает возможность отразить эффект масштаба производства. Пусть эти факторы изменяются в n раз, тогда
tLVFntnLnVF ,,,,
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №20 Характеристики ПФ.
1. Коэффициенты эластичности выхода системы по входным
ресурсам:
L
F
L
F
V
F
V
F
, .
2. Предельная норма замещения ресурсов. Под предельной нормой
замещения ресурсов понимают количество фондов, которое необходимо
дополнительно ввести при уменьшении затрат труда на единицу, если выпуск
продукции остается неизменным. Предельная норма замещения S
определяется из уравнения изокванты (линия равного выпуска продукции):
.0 dLL
FdV
V
FdX
Отсюда
VF
LF
dL
dVS
.
Формула (2.25) показывает взаимосвязь между ресурсами V, L. Знак «–
» означает, что с увеличением V, L должно убывать, чтобы обеспечить
постоянный выпуск системы.
3. Эластичность замещения системы определяется следующим
образом:
LV
S
dS
LVd .
Введем дополнительные обозначения: LVv – фондовооруженность
труда; VX – фондоотдача; LXx – производительность труда.
Тогда эластичность замещения системы определится так:
v
S
dS
dv .
Следовательно, эластичность замещения системы показывает, на
сколько процентов надо изменить фондовооруженность системы при
сохранении постоянства выпуска, чтобы предельная норма замещения
изменилась на 1%.
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №21
Общее дифференциальное уравнение для определения различных производственных функций.
,LL
FV
V
FX
где L
Fw
V
Fr
, – предельная производительность факторов
производства. Выведем формулу для эластичности замещения:
,
1
1
2
2v
vv
v
vv
v
fvf
ffvf
f
fff
fv
f
vS
vS
.
v
vv
fvf
ffvf
Это общее дифференциальное уравнение для определения ПФ. Перепишем его в более удобной форме:
.02
fffvfvf vvv
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №22
Производственная функция Леонтьева .0,0 t Из уравнения (2.30) получим:
02
fffv vv
и, следовательно, имеем два решения:
а) .const,0 0 affv
б) .,,0 1vafv
dv
f
dfffv v
Переходя к полным переменным, получим:
,)
;)
11
0
VaL
VLaLfXб
LaLfXa
то есть ., 10 aXVaXL
Найдем уравнение изокванты ПФ Леонтьева из условия X = const = X0
и получим ., 1000 aXVaXL
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №23 Производственная функция Кобба – Дугласа. Рассмотрим сначала общий
случай, когда .1,0
.0222 uu
uu
uuu
uu effefeffefe
Сокращая на ue , получим:
.012 uuu fffff
Сделаем еще одну замену переменных
,,, Pdx
dP
du
dx
dx
dP
du
dP
du
xdtuxPx u
u
С другой стороны, известно, что uuuu fxfxfx ,, .
Следовательно, выражение можно переписать так:
,01 2 PPfdx
dPPf
.0,01 PPfdx
dPf
Теперь уравнение (2.35) можно свести к полному дифференциалу, воспользовавшись методом интегрирующего множителя, предварительно записав его в следующем виде:
.01 Pxdx
dPx
Решение уравнения (2.36) будем искать в виде: 1CxxP .
Подставив значение P, будем иметь
.1 Cxxdu
dx
Рассмотрим один из возможных случаев:
.,1,0,1 11
uCeCxCxdu
dxt
Учитывая, что vuvfx ln,
, получим
,11
ln11
CvC vCeCvf
CCC
LVCL
VLCLfF
1
1
1
1
или, полагая C1 , получим функцию Кобба – Дугласа: 11 LVCX
.
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №24 Обобщение производственной функции Кобба – Дугласа, функция Солоу:
, RSLAVX
где ,,,,A – константы.
Теперь рассмотрим более сложный случай: ,t, 01
1Cxxdu
dx – это уравнение Бернулли.
,,1
1
v
dv
Cxx
dxCxx
dv
dxv
а это уравнение легко интегрируется, и решение в неявном виде будет: .1
110
11 avax
где 10 , aa – константы. Для получения ПФ подставим
LXxLVv , в
уравнение (2.41), получим:
.111
11
011
11
aL
Va
L
X
Обозначим . 11 Тогда получим:
.1
10 LaVaX
Это производственная функция с постоянной эластичностью замещения (ПЭЗ). Обобщением для ПФ ПЭЗ на случай n переменных служит производственная функция Удзавы:
,...1
2211
nn XXXAX
где n ,...,, 21 – константы,
1
1 – эластичность замещения системы.
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №25
Экзогенная модель инновационной деятельности
Инновационная деятельность проявляется в том, что на смену старой технологии приходит новая. Технология описывается производственной функцией системы, следовательно, можно выразить ИД сменой производственных функций. В простейшем случае эффект от ИД можно выразить, введя явную зависимость ПФ от времени:
.0,,, dtdXtLVFX
Здесь учитывается фактический тренд ПФ. Учитываемая таким образом инновационная деятельность называется экзогенной.
Нейтральная экзогенная модель ИД. Наряду с воздействием ИД на систему в целом, может быть выдвинут ряд гипотез относительно ее воздействия на переменные:
v
vv
fvf
ffvfv
dvdf
fS
dv
dfvfw
dv
dfr
,,, .
Модель ИД называется
-нейтральной, если существует гладкая функция, удовлетворяющая уравнению .0,,,,, Swrvx
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №26
Нейтральная модель ИД по Хиксу. Гипотеза: при фиксированной
фондовооруженности const LVv предельная норма замещения constS .
vgtTtvf ,
или, переходя от относительных переменных к полным, получим LVGtTtLVF ,,, .
Нейтральная модель ИД по Харроду. Гипотеза: при
фиксированной фондоотдаче (эффективности капиталовложений) величина предельной производительности основных фондов (фондоемкость) остается постоянной.
Переходя к полным переменным и обозначая 1q через g, получим
VTLGFL
V
V
TLgf
L
V
V
TLqf ,,,1
.
Нейтральная модель ИД по Харроду является трудосберегающей. Нейтральная модель ИД по Солоу. Гипотеза: производительность труда постоянна при постоянстве предельной производительности живой силы:
,const,const, dL
dFwf
L
Xtvx
или const,const, vfvfwf
Обозначая 1q
через g , получим .,, LtVTGFvTgvf
Нейтральная модель ИД по Солоу является капиталосберегающей.
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №27
Эндогенная модель инновационной деятельности
.0
dtttdt
dX XL
L
XV
V
X
Уравнение получило название производственный функционал. Задача моделирования эндогенной ИД сводится к вычислению этого производственного функционала.
Для вычисления интеграла необходимо задаться типом нейтральности эндогенной ИД, действующей на систему. Рассмотрим два случая:
XX ; (2.58)
.VV
XXX
(2.59)
Тип нейтральности (2.58) определяет эндогенную ИД, нейтральную по Хиксу, а тип (2.69) – ИД, нейтральную по Харроду.
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №28
Моделирование технико-экономических систем Моделирование простого производственного объекта
Рассмотрим производственный объект (ПО), производящий однотипную продукцию, на вход которого поступают основные (ОПФ) и оборотные производственные фонды (ОбПФ), а выходом является готовая продукция в натуральном или денежном выражении.
Производственный объект, выпуск которого измеряется одной скалярной функцией, а вход двумя скалярными функциями, называется простым производственным объектом.
Vвн V Y
Wвн W X
U
VTос
1
WTос
1
VD
1
WD
1
Vm
1
Wm
1 ОМ
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №29
В соответствии с функционально-структурной схемой движение в процессе производства ОПФ и ОбПФ и выпуск готовой продукции можно записать так:
,,
,,1
,,0,,1
00вн
ос
00вн
ос
tmtVtYtmtWtX
WtWtWT
tWdt
tdW
TtVtVtVT
tVdt
tdV
VW
tW
W
tV
V
,1 tYtXtU
,при0
,при1
tYtX
tYtX
где WV , – коэффициенты выбытия ОПФ и ОбПФ;
WV TT осос , – время
освоения неосвоенных ОПФ и ОбПФ отрасли; T
– горизонт планирования.
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №30 Моделирование сложного производственного объекта
Vн I
Vвн
U Z P Wвн Wн Т
БЗV
БЗW
Производство
RU
RZ
Vн+Vвн 1Y
1X 1U
U
nY
Wн+Wвн nX
nU
Vb1
Vnb
VD 1
1
VnD
1
1НЭ
Wb1
Wnb
WnD
1
1С
nC
WD 1
1
nНЭ
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №31 Математическая модель отрасли с учетом структур ее подразделений:
,,1,,
,,0,,1,,
00внн
00внн
niXtXtWtWbtXdt
tdX
TtniYtYtVtVbtYdt
tdY
itiWii
Wi
i
itiVii
Vi
i
,1 tYtXtU iii
.1
n
iii tUCtU
Математическая модель замкнутого производственного объекта в матричной форме:
,,
,,
00внн
00внн
XtXtWtWBtXdt
tdX
YtYtVtVBtYdt
tdY
t
WW
t
VV
,1 tYtXtU
,tCUtU
,н tUatW
,1н tUadtV
.11 tUadtP
Эти уравнения получены без учета запаздывания в освоении ОПФ и
ОбПФ, т. е. когда tTtWtItV нн ,
.
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №32
Моделирование запаздывания при освоении капитальных вложений и производственных затрат
Математическую модель замкнутого производственного объекта с учетом инерционного запаздывания ввода основных фондов и процесса производства в следующем виде:
,,
,,
,,
,,
н00ннн
0н0ннн
00н
00н
WtWtWtTdt
tdW
VtVtVtIdt
tdV
XtXtWBtXdt
tdX
YtYtVBtYdt
tdY
t
t
t
WW
t
VV
,1 tYtXtU
,при0
,при1
tYtX
tYtX
,tCUtU
,1
,
tUadtI
tUatT
,11 tUadtP
где .1,1 инин
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №33
Моделирование многоотраслевой экономики
Математическую модель в матричной форме замкнутой многоотраслевой экономики:
,,1,,
,,1,,
0внн
0внн
0
0
siXtXtWtWBtXdt
tdX
siYtYtVtVBtYdt
tdY
ittiii
W
ii
W
ii
ittiii
V
ii
V
ii
,tUCtU iii ,,1,1 sitYtXtU iii
,,1,1
н sitUatWs
j
jiji
.,1,
,,1,
111
11н
sitUatUdtUatUtP
sitUatUdtV
s
l
ljlj
s
jij
s
j
jijii
s
l
ljlj
s
jiji
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №34 Пример. Рассмотрим вышеизложенный подход к моделированию на примере двухпродуктовой модели народного хозяйства.
Э К О Н О М И К А
Vн21
Vн11 ОТРАСЛЬ 1
V1вн Y1 U1 Z1 V1
W1вн X1 P1 Wн1
Wн11
Wн12
Vн12 ОТРАСЛЬ 2 Vн22
V2вн
U2 Z2 V2 W2вн X2 P2 Wн2
Wн22
Wн21
ОПФ1
ОбПФ1
RU1
RZ1
RV1
RW1
ОПФ2
ОбПФ2
RU2
RZ2
RV2
RW2
ОМ1
ОМ2
Рис. 2.12
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №35
Математическая модель в матричной форме замкнутой двухотраслевой экономики:
,2,1,,
,2,1,,
0внн
0внн
0
0
iXtXtWtWBtXdt
tdX
iYtYtVtVBtYdt
tdY
ittiii
W
ii
W
ii
ittiii
V
ii
V
ii
,2,1,1 itYtXtU iii
,при0
,при1
tYtX
tYtX
ii
ii
,2,1, itUCtU iii
,
,
2221212н
2121111н
tUatUatW
tUatUatW
,11
,11
1212211212122122222н
2121122121211211111н
tUadadtUadadtV
tUadadtUadadtV
.1111
,1111
1112122212122122222
2221211121211211111
tUaddatUaddatP
tUaddatUaddatP
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №36
Динамическое моделирование экономической системы с учетом деятельности инновационного объекта
Рассмотрим производственный объект (ПО), производящий однотипную продукцию, на вход которого поступают основные (ОПФ) и оборотные производственные фонды (ОбПФ), а выходом является готовая продукция в натуральном или денежном выражении. Зададим механизм воздействия ИД на производственный объект в виде обратной связи с помощью структурно-функциональной блок-схемы:
Величины tVвн и
tWвн являются внешними поступлениями ОПФ и
ОбПФ в производственный объект, например, за счет получения банковского
кредита. Величина tU
– валовой выпуск (готовая продукция) подразделения отрасли в стоимостном или натуральном выражении .1 tYtXtU
Величина tu
– управляющее воздействие ИД на ПО, которое является выходной величиной СКБ ,tUttu
Vвн Wвн U(t)
V(t) W(t)
u(t)
СКБ
ПО
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №37
Модель ПО с обратной связью по ИД:
,,
,,0,,
00
00
XtXtutXdt
tdX
TtYtYtutYdt
tdY
t
WW
t
VV
,, tXttutYttu WWVV ,1 tYtXtU
,при0
,при1
tYtX
tYtX
или, исключая управления,
,,
,,0,,
00
00
XtXtXtdt
tdX
TtYtYtYtdt
tdY
t
WW
t
VV
.1 tYtXtU
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №38
Инновационная деятельность увеличивает эффективность использования внешних поступлений как основных, так и оборотных производственных фондов:
,,
,,0,,
00вн
00вн
XtXtwtutXdt
tdX
TtYtYtvtutYdt
tdY
t
WW
t
VV
,1 tYtXtU
где WV TtWtwTtVtv освнвносвнвн , – потоки внешних поступлений ОПФ
и ОбПФ; twttwtvttv WVвнвнвнвн , ;
WV TT осос , – время освоения
неосвоенных ОПФ и ОбПФ отрасли.
Vвн Y
Vu
U
Wu
Wвн
X
VD
1
WD
1
t
1
V
V
T
t
ос
W
W
T
t
ос
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №39
В частном случае, когда величины внешних поступлений ОПФ и ОбПФ и обобщенные показатели инновационной деятельности постоянны и
являются известными величинами ( constвн V и constвн W , constV и
constW ), система уравнений примет вид:
.,exp
,,0,,exp
00вн
0ос
00вн
0ос
XtXtWmT
ttX
dt
tdX
TtYtYtVmT
ttY
dt
tdY
tWW
WWW
tVV
VVV
,1 tYtXtU
,при0
,при1
tYtX
tYtX
Аналитические зависимости мощности и выпуска ПО с учетом ИД
СКБ:
,expexpexp
,,0,expexpexp
0ос
вн0
0ос
вн0
ttmT
WtXtX
TtttmT
VtYtY
WWW
WWW
WW
VVV
VVV
VV
,1 tYtXtU
,при0
,при1
tYtX
tYtX
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №40 Структурно-функциональная динамическая модель макроэкономической системы с учетом инноваций
Исходя из классических представлений теории управления, предлагается новая функционально-динамическая модель, в которой управляющая роль инновационной деятельности в развитии макроэкономической системы учитывается с помощью механизма обратных связей. При этом новая функционально-динамическая модель развития системы описывается нелинейными дифференциальными уравнениями эволюционного типа.
Аналитическое описание структурно-функциональной динамической модели:
.,
,,
,,
0tWFttWF
tXtWt
ttWFtX
W1
W2 X(t) Wm
t
,WF
WX ,
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №41
КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ МОДЕЛЕЙ РАЗВИВАЮЩИХСЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Исследование устойчивости развивающихся систем Рассмотрим развивающуюся экономическую систему, описываемую дифференциальными нелинейными
уравнениями второго порядка следующего вида [6]:
,2,1, iXfdt
dXi
i
где 2,1if i – непрерывные функции, определяемые в некоторой области R
двухмерного евклидова пространства и имеющие в этой области
производные порядка не ниже первого. Состояние системы в каждый момент
времени определяется парой значений неизвестных 21, XX
.
Под устойчивостью системы понимается свойство системы
возвращаться к состоянию установившегося равновесия после устранения
возмущения, нарушившего указанное равновесие.
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №42
В вопросах суждения об устойчивости развивающихся систем имеют большое практическое значение общие теоремы устойчивости, сформулированные А.М. Ляпуновым:
1. Нелинейная система устойчива в «малом», то есть при малых начальных отклонениях, если отрицательны все вещественные части корней характеристического уравнения системы, составленного для ее линейного приближения.
2. Нелинейная система неустойчива в «малом», если хотя бы одна вещественная часть корня характеристического уравнения ее линейного приближения положительна.
При наличии чисто мнимых корней указанного уравнения вопрос об устойчивости системы требует в каждом случае дополнительного исследования.
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №43
2 2
1 1
а б
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №44
Запишем теперь аналитические выражения для различных типов особых точек:
«фокус» ( 21, – комплексные величины) ,042
«центр» ( 21, – чисто мнимые величины)
,, 00
«седло» ( 21 , – вещественные величины различных знаков)
,, 040 2
«узел» ( 21, – вещественные величины одного знака)
., 040 2
Если коэффициенты линейного оператора L зависят от некоторого параметра, то при изменении этого параметра
будут соответственно изменяться и
. При изменении соотношения между и
происходит изменение фазового
портрета системы.
2
1
v
u
2Z
1Z
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №45 Анализ устойчивости макросистем
с учетом инновационной деятельности Рассмотрим двухмерную макроструктуру, которая хорошо моделирует взаимодействие двух смежных подотраслей через ИД: разработку и добычу газа (нефти) и транспорт и распределение газа (нефти). Уравнения, описывающие такую макроэкономическую структуру:
,
,
2121222222
2
2112211111
1
XXXXdt
dX
XXXXdt
dX
где
,11
,11 211211
111121
211212
22122
211212
221212
211211
11111
aaC
FCa
aaC
FC
aaC
FCa
aaC
FC
,
1
1,
1
,1
,1
1
211212
22
211211
2121
211212
1212
211211
11
aaCaaC
a
aaC
a
aaC
,2,1,21
iL
Lb
V
Vb
i
ii
i
iii
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №46
Найдем состояния равновесия двухмерной макроструктуры из условия
равенства нулю левых частей уравнений, то есть ( 2,1,0
iX i ):
1) ;0,0 2010 XX
2) ;,022
22010
XX
3) ;0, 2011
110 XX
4) .,21122211
11221120
21122211
22112210
XX
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №47
1) .0,0 2010 XX
В этом случае ,, 2121
42
1 22,1
откуда ., 2211
Если 0,0 21 , то имеем корни вещественные, одного знака и,
следовательно, это состояние равновесия представляет собой неустойчивый «узел». Физически это означает, что система не может находиться при нулевом выпуске и при малейших изменениях параметров обязательно наблюдается интенсивный рост выпуска как в первой, так и во второй подотрасли.
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №48
2) .,022
22010
XX
Для этого случая
,,22
212122
22
2121
., 222212211
Здесь имеем критическую точку 01 при .22
2121
При
22
2121
система будет устойчива, а состояние равновесия представляет
собой устойчивый «узел». При 22
2121
состояние равновесия
представляет собой особую точку типа «седло», которое всегда неустойчиво.
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №49
3) .0, 2011
110 XX
В этом случае
,,11
121211
11
1212
., 121121121
Здесь имеем критическую точку 01 при 112112 и система в
ней нейтрально устойчива. При 112112 система будет устойчива, а
состояние равновесия представляет собой устойчивый «узел». При 112112 состояние равновесия представляет собой особую точку типа
«седло», которое всегда неустойчиво. Как во втором, так и в третьем случае критическая точка является точкой перехода из устойчивого «узла» к неустойчивому «седлу», и наоборот.
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №50
4) .,21122211
11221120
21122211
22112210
XX
В этом случае
,21122211
12221122111221
,.21122211
122221112211
.2
2
21122211
122221112211
2
21122211
12221122111221
21122211
122211221112212,1
Если подкоренное выражение положительно, то состояние равновесия будет представлять собой устойчивый «узел», при изменении знака подкоренного выражения состояние равновесия превращается в устойчивый «фокус». В критической точке, когда подкоренное выражение равно нулю, система перескакивает из устойчивого «фокуса» в устойчивый «узел» или наоборот.
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №51
Для проведения исследований устойчивости макроструктуры необходимо рассмотреть конкретный вариант зависимостей выпусков макросистем от агрегированных ресурсов и обобщенного показателя ИД. Рассмотрим модель взаимодействия ИД и производства в виде модифицированной функции типа Кобба – Дугласа:
,2,1,exp0 itLVaX iiiiiii
где 2,1, iii – эластичность выпуска по соответствующему ресурсу i-й
макросистемы
.2,1,,
i
L
X
X
L
V
X
X
V
i
i
i
ii
i
i
i
ii
Для первых трех состояний равновесия макроструктуры легко определить время попадания системы в критическую точку. В первом случае из условия равенства нулю одного или двух корней характеристического уравнения получим:
2121
12кр
1
a
at
или ,
1
1212
21кр
a
at
во втором случае
1212212121
212112кр
11
aaa
aaat
или ,
1
1212
21кр
a
at
в третьем случае
2121121212
121221кр
11
aaa
aaat
или ,
1
2121
12кр
a
at
и в четвертом случае
1212212121
212112кр
11
aaa
aaat
или
,11
2121121212
121221кр
aaa
aaat
при этом должно выполняться условие .12112 aa
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №52
Анализ влияния инноваций из смежных подотраслей на устойчивость их взаимного функционирования. Для проведения исследований устойчивости и прогнозирования возникновения кризисных ситуаций необходима определенная информация по двум подотраслям – газодобывающей и газотранспортной, которая сведена в табл. 1 и 2.
Таблица 1 Газодобывающая подотрасль
Годы Основные фонды V1, млн руб.
Численность работающих L1, тыс. чел.
Выпуск X1, млрд м
3
1990 29439 24,573 785 1995 35929 26,974 953
Таблица 2
Газотранспортная подотрасль Годы Основные фонды
V2, млн руб. Численность работающих
L2, тыс. чел. Выпуск
X2, млрд м3 км
1990 65280 73,719 2011155 1995 83200 80,920 2638426
Предполагаем, что коэффициенты 2,1,, jiiji
медленно
изменяются во времени и могут привести макроэкономическую структуру к критической границе.
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №53 Задавая экспертным путем ijb весовые коэффициенты, которые
определяют значимость различных первичных показателей ИД: ,55,0,45,0,55,0,45,0 22211211 bbbb
определим 2,1ii – средневзвешенные темпы роста ресурсов на входе i-й макросистемы по формулам:
,2,1,21
iL
Lb
V
Vb
i
ii
i
iii
Так как i – обобщенный показатель инновационной деятельности – в
i-й макросистеме определяется по формуле
2
1
,2,1,j
i
j
j
iji iX
Xa
изменяя коэффициенты ija той доли выпуска соответствующей
макросистемы, которая идет на формирование ИД в связанной с ней смежной
макросистеме в диапазоне (0< ija<1) можно построить границу критической
области.
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №54
12a 1,0 21a
0,9 0,9 0,893 0,8 0,8 0,7 0,7 Область 0,6 устойчивости 0,6 Область 0,5 0,5 устойчивости 0,4 0,4 0,3 0,3 Область Область 0,2 неустойчивости 0,2 неустойчивости 0,1 0,1
крt крt
0 10 20 30 40 50 60 70 0 10 20 30 40 50 60 70
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №55
Сбалансированный рост в однопродуктовой макроэкономической системе
Рассмотрим однопродуктовую модель развития региона или отрасли. Взаимосвязь производства и потребления, а также динамику таких экзогенных факторов, как рабочая сила и основные производственные фонды, можно отразить с помощью моделей агрегированных систем. Наиболее простая модель взаимодействия между производством и потреблением предложена Ф. Рамсеем [6]. Уравнения модифицированной модели можно записать в следующем виде:
,0,
,exp,,,
,,
0н
0
н
VVtqVtVtV
tLtLtLVFtX
tPtVtZtZtaXtX
V
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №56
Другая форма уравнения модели:
.0,,1 0vvtvfaqdtvtv V
Под сбалансированным ростом понимается такой процесс экономического развития, при котором технико-экономические показатели растут с постоянным темпом. Оказывается, что темпы роста этих показателей не только постоянны, но и равны. Найдем стационарные (равновесные) точки системы из условия
,,1,0 vtvfaqdtv V
откуда получаем два искомых решения 0tv
, vtv . Очевидно, точка
v существует не всегда. Действительно, при
,0v ,,1 vtvfaqd V ,0v ,,1 vtvfaqd V
точка v
отсутствует.
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №57
Рассмотрим случай, когда возможно нетривиальное решение. Из рис. 3.6 видно, что для всех
точек vv0 справедливо
неравенство ,,1 vtvfaqd V
то есть
,0,1
vtvfaqdtv V
следовательно, tv будет непрерывно расти во времени. В момент времени vtv этот рост прекратится.
При vtv выражение
,0,1
vtvfaqdtv V
поэтому опять v будет уменьшаться до тех пор, пока не достигнет величины v. Причем малые случайные возмущения не приводят к существенным
отклонениям от v
. Это означает, что равновесная точка vtv
устойчива.
x
vV
tvfaqd ,1
v
v
Рис. 3.6
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №58
Таким образом, если vtv , то получаем:
.exp,11
,exp,11
,exp,11
,exp,,
,exp
0
0н
0
0
0
tLtvfatXatZ
tLtvfadtPtXatV
tLtvfadtLtptP
tLtvftLtvftX
tLvtLtvtV
Такую ситуацию будем называть режимом сбалансированного роста. Режим сбалансированного роста обладает тем свойством, что к нему сходятся все траектории модели при постоянной доле капиталовложений d .
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №59
АНАЛИЗ ОПТИМАЛЬНОГО РАЗВИТИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Исследование оптимального развития однопродуктовой макромодели экономической системы
Рассмотрим экономику, модель которой описывается следующими уравнениями:
.0
,,11
0vv
tvfauqtvtv
Ограничение на управление du : ,u 10
а ограничения на ОПФ заменим ограничениями на фондовооруженность: .з tvtv
Задача оптимизации данной экономики состоит в том, чтобы найти такое управление процессом развития, которое обеспечило бы наибольшее среднедушевое потребление на рассматриваемом интервале времени [0,T] с учетом дисконтирования потребления, то есть
T
dtttL
tPJ
0
.exp
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №60
v
0v
0v
t 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
u 1,0 0,8442 0,5
t 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №61
Однопродуктовая макросистема. Пусть управляемая система представляет собой экономику региона или отрасли, моделируемую с помощью однопродуктовой модели, то есть процесс экономического развития задается уравнением
,0
,,1
0vv
tptvfaqtvtv
где tp – управляющая функция.
Допустимым управлением назовем любую кусочно-непрерывную
функцию tp , которая удовлетворяет уравнению и граничному условию .,0,,110 Tttvfadtp
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №62
Теперь надо уточнить понятие оптимальности. Очевидно, критериев оптимальности может быть множество. Рассмотрим наиболее общий критерий – функционал благосостояния системы в виде:
.exp0
dtttpgJT
Задача оптимизации состоит в выборе такого управления tp в
заданном интервале времени, чтобы соответствующее ему решение уравнения доставляло максимум функционалу. В случае конечного горизонта планирования должны выполняться
условия на конце траектории 1vTv . Для бесконечного горизонта
планирования интеграл благосостояния может оказаться расходящимся, поэтому необходимо задавать ограничения на начальные условия
,0 0 vvv
то есть начальная капиталовооруженность должна быть меньше предельно достижимой.
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №63
Двухпродуктовая макросистема. Наряду с однопродуктовой моделью можно построить и многопродуктовые. Рассмотрим для примера двухпродуктовую модель. Пусть имеются различные виды основных производственных фондов и однородный труд. Тогда максимально возможное потребление по аналогии можно записать в виде ПФ:
,,,,, 2121 нн VVVVLtP
где ,, 22221111 VVVqVVVq нн
11 нVq – часть потока выпуска,
которая идет на увеличение ОПФ типа 1, 22 нVq – часть потока выпуска,
которая идет на увеличение ОПФ типа 2.
Предполагая, что tP
– однородная функция, и взяв ее удельное значение, получим
.,,, н2н121 vvvvtv
Модель развития двухпродуктовой экономики имеет вид
,0,0
,,
202101
2н222
1н111
vvvv
vvqdt
dvvvq
dt
dv
где 2,1,нн jLVtv jj – управляющие функции.
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №64
Введем, как и ранее, критерий – функционал благосостояния системы в виде:
.,exp,,, 21
0
н2н121 TvTvGdttvvvvgJT
Тогда задачу оптимизации можно сформулировать так: среди
допустимых управлений 2,1, jv jн , найти такое, чтобы соответствующее
ему решение системы уравнений доставляло максимум функционалу. Для решения поставленной задачи воспользуемся принципом максимума. Функция Гамильтона в этом случае будет
,,,,exp 2н2221н111н2н121 vvqbvvqbvvvvgtH
где .exp,exp 2211 ttbtttbt
Оптимальное управление определим так:
,0,0н2н1
v
H
v
H
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №65
Вводя эластичность замещения c функции полезности, получим:
.
1
,1
2н
2н
2н
2
1н
1н
1н
1
2
1
tpdtdq
pdt
dp
tpdtdq
pdt
dp
v
v
v
v
v
v
v
v
Сопоставляя два уравнения, видим
.
н2
н2
н2
2
н1
н1
н1
1 21
v
v
v
v
v
v
v
v dtdqdtdq
Это и есть основное условие эффективности.
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №66
Оптимальное управление запасами товаров и сырья
Рассмотрим хранение единственного продукта, делимого на любые части.
Количество продукта на складе в момент времени t обозначим tu , при этом
продукт расходуется с постоянно заданной интенсивностью . При
управлении запасами обычно принимается следующая стратегия: выбирается
уровень запаса 1u такой, что при достижении этого уровня запаса посылается
заказ на пополнение запаса в количестве 0u . Пусть заказ выполняется через
некоторый заранее известный промежуток времени 0 (рис. 4.2).
Тогда по истечении отрезка
времени продолжительностью
после выполнения заказа уровень
запасов увеличится на величину
02 uuu . Запишем уравнение
для запаса tu , полагая, что в
начальный момент времени запас
был равен 2u :
tnututu 2 ,
где tn – полное число поставок
за период t,0 .
tu
2u
1u
0u
T t
Рис. 4.2
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №67
Обозначим через 01 uuu потребление товара за период между
моментом проведения заказа и моментом получения заказанного количества
товаров. Поскольку интенсивность потребления постоянна и равна , то
u . Поэтому в момент получения заказанного товара его количество
достигает на складе величины 2u , которая подсчитывается по формуле:
uuuu 12 . Будем для определенности считать, что в начальный момент
времени уровень запаса равнялся 2u . Тогда уровень запаса товара достигнет
первый раз величины 1u в момент , определяемый соотношением
12 uu . В момент подается заказ, который удовлетворяется через
промежуток времени , т. е. tu становится равным 2u и все повторяется
сначала.
Число tn легко определить, исходя из количества полных циклов за
период времени t,0 , т. е. Tttn , где обозначает целую часть числа.
При этом время производственного цикла
.02 uuuT (4.53)
Поэтому
. utTttn (4.54)
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №68
Таким образом, получаем, что количество запасов в момент времени t
описывается соотношением
.0 ututuutu (4.55)
Критерий оптимальности запаса товаров определяется функцией
издержек, которая имеет вид:
,1
0
210
dttucuccT
uJT
(4.56)
где 0с – стоимость издержек, не зависящая от объема заказа и возникающая в
связи с самим фактом произведения заказа; 1с – стоимость издержек,
пропорциональная количеству заказанного товара; 2с – стоимость издержек,
связанная с хранением единицы товара в течение заданного времени.
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №69
4.4. Планирование оптимального развития основных фондов предприятия
Уравнение материального баланса ОПФ будет иметь вид [4]:
.,0,н TttqVtV
dt
tdV V (4.82)
Начальное значение ОПФ будем считать заданным
.0,00
tVVtV
t (4.83)
Следовательно, tV описывает состояние процесса развития ОПФ,
а функцию tqVtu н будем считать управлением.
Критерий оптимальности:
T
TVdttuJ0
2 min, (4.84)
где , – весовые коэффициенты .0,0,1
Ставится следующая задача: среди всех допустимых управлений tu
найти такое, чтобы функционал (4.84) достигал наименьшего значения с учетом
связей (4.82), (4.83).
Введем функцию Гамильтона
,2 tutVttuH V (4.85)
где t – множитель Лагранжа, который определяется из сопряженной
системы
.,
Tt
V tttV
H
dt
td (4.86)
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №70 Так как на управление ограничения отсутствуют, оптимальное
управление можно определить из условия
.2
1,0 ttqItu
u
H
(4.87)
Для получения уравнения оптимальной траектории развития ОПФ фирмы
подставим в (4.82) оптимальное управление (4.87) и с учетом сопряженной
системы (4.86) получим
,,0,,
2
100
TtVtVttVdt
tdVt
V
Tt
V ttdt
td, (4.88)
Однако эту задачу можно разрешить аналитическим путем, так как
второе уравнение системы (4.88) содержит только t и может быть
проинтегрировано независимо от первого уравнения. Интегрируя его, получим
,exp1 tCt (4.89)
где 1C – постоянная интегрирования, которая определяется из условия
,exp,exp 11 TCTC VV
откуда получим
.exp Ttt V (4.90)
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №71
Теперь подставим решение (4.90) в уравнение (4.88), получим
дифференциальное уравнение относительно tV :
,,0,,exp
200
TtVtVTttVdt
tdVt
V
(4.91)