КВМ

1

Міністерство освіти і науки України

Львівський національний університет імені Івана Франка

МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ, ПРИКЛАДИ

ТА ІНДИВІДУАЛЬНІ ЗАВДАННЯ

до вивчення розділу вищої математики

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

для студентів факультету електроніка

ЛЬВІВ

2011

КВМ

2

Рекомендовано до друку кафедрою вищої математики Протокол № від

Уклали: Ольга Ярославівна Мильо

Жаннета Ярославівна Цаповська

Відповідальний за випуск Б.І. Копитко

МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ, ПРИКЛАДИ

ТА ІНДИВІДУАЛЬНІ ЗАВДАННЯ

до вивчення розділу вищої математики

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

для студентів факультету електроніка

Підп. до друку Формат 6084/16. Папір друк. № 3.

Умовн. друк. арк. . Тираж 100 прим. Зам.

КВМ

3

1. Похідна функції

Означення. Нехай функція xfy визначена на інтервалі b;a і нехай

bax ;0 . Якщо існує скінченна границя

0

0

0lim

xxxfxf

xx

, то цю границю

називають похідною функції xfy в точці 0x і позначають символом 0xf

(або 0xy , 0dd x

xf , 0d

d xxy , xy ).

Нехай 0xxx − приріст аргумента такий, що xx 0 належить

інтервалу ba; , а 00 xfxxfy − відповідний приріст функції.

Використовуючи ці терміни, маємо

xy

xxfxxfxf

xx

000

00 limlim .

Отже, похідна функції − це границя відношення приросту функції до

приросту аргумента, коли приріст аргумента прямує до нуля.

Означення. Якщо існує скінченна границя x

xfxxfx

000

lim

( x

xfxxfx

000

lim ), то цю границю називають правосторонньою

(лівосторонньою) похідною функції xfy в точці 0x і позначають

)( 00 xfxf .

Правосторонню і лівосторонню похідні називають односторонніми

похідними.

2. Геометричний зміст похідної

Розглянемо графік функції xfy , що визначена на інтервалі ba; і

неперервна на цьому інтервалі. Зафіксуємо точку bax ;0 і розглянемо точки

графіка ,; 000 yxM ,; 00 yyxxM де 00 xfy , xxfyy 00 .

Пряму, що проходить через точки 0M та M , називаємо січною.

КВМ

4

Рівняння січної, як рівняння прямої, що проходить через дві точки 0M та

M , має вигляд 00 xxxkyy , де xxyxk

tg , x − кут

нахилу січної до осі Ох, який відраховують від додатного напряму осі Ох.

Оскільки функція xfy неперервна, то 0lim0

yx

. Тому відстань

MM 0 між точками 0M та M прямує до нуля при 0x , (отже, при 0x

точка M прямує до 0M по кривій xfy ), бо 220 yxMM .

При 0MM граничне положення січної називають дотичною до

графіка функції xfy в точці 0M . Отже, для дотичної 00lim xf

xyk

x

.

)( x

0M

M

x

y

x

y

O

Рис. 1

Теорема 1. Для того, щоб існувала похила дотична до графіка функції

xfy в точці 000 ; yxM необхідно і достатньо, щоб функція xfy

мала похідну в точці 0x , причому рівняння дотичної має вигляд

000 yxxxfy .

КВМ

5

3. Диференційовні функції. Диференціал

Означення. Функцію xfy , що визначена на інтервалі b;a ,

називають диференційовною в точці bax ;0 якщо її приріст у цій точці

можна зобразити у вигляді

xxxAy ,

де A − деяка стала незалежна від x , а 00

x

x .

Теорема 2. Для того, щоб функція xf була диференційовною в точці

0x , необхідно і досить, щоб вона мала в цій точці скінченну похідну.

Отже, якщо функція має скінченну похідну в точці 0x , то її приріст

можна подати у вигляді xxxxfy 0 .

Зауваження 1. Використовуючи похідну, можна наближено обчислити

значення функції в точці: xxfxfxxf 000 . Тому

xxfxfxxf 000 .

Зауваження 2. Якщо функція xfy диференційовна в точці 0x , то з

представлення xxxAy випливає, що коли 0x , то 0y ,

тобто функція xf неперервна в точці 0x .

Обернене твердження невірне: функція може бути неперервною в деякій

точці 0x , але не бути диференційовною в точці 0x (наприклад, xy ).

Означення. Диференціал функції xfy − це лінійна відносно x

частина приросту функції, яку позначають xAy d , або .dd xAy

Якщо функція xfy диференційовна в точці 0x , то диференціал

функції дорівнює добутку похідної функції у цій точці і диференціалу

аргументу, тобто .dd xxfy

4. Правила диференціювання

КВМ

6

Процедуру обчислення похідної функції 0xf називають

диференціюванням функції xf в точці 0x .

Теорема 3. Якщо функції xu та xv мають похідні в точці 0x , то має

похідну сума, добуток та частка функцій. Відповідні похідні обчислюють за

правилом:

)()()( 000 xvxuxvu ;

);()()()()( 00000 xvxuxvxuxvu

.)(

)()()()()(

02

00000 xv

xuxvxvxux

vu

Наслідок. Нехай функція xfy диференційовна в точці 0x . Тоді

функція xfc , де c − деяка стала, також диференційовна в точці 0x , причому

справедлива рівність )()( 00 xfcxfc .

5. Похідні основних елементарних функцій

Теорема 4. Нехай функція xfy неперервна і строго монотонна в

деякому околі точки 0x і нехай існує похідна в точці 0x , причому 00 xf .

Тоді обернена функція yx має похідну у відповідній точці 00 xfy , яку

обчислюють за формулою

00

1xf

y

.

Таблиця похідних основних елементарних функцій

;,0 constcc 1 nn nxx ;

xx sincos ; xx cossin ;

x

x 2cos1tg ;

xx 2sin

1ctg ;

КВМ

7

21

1arcsinx

x

; 21

1arccosx

x

;

21

1arctgx

x

; 21

1arcctgx

x

;

aaa xx ln ; xx ee

;

ax

xa ln1log ;

xx 1ln .

6. Похідна складеної функції

Теорема 5 (про похідну складеної функції). Нехай функція tx має

похідну в точці 0t , функція xfy має похідну в точці 00 tx . Тоді

складена функція tfy має похідну в точці 0t , яку обчислюють за

формулою

000 ttftf .

7. Логарифмічне диференціювання

Нехай xvxuy − показниково-степенева функція.

Прологарифмуємо обидві частини рівності

xvxuy lnln ;

xuxvy lnln .

Продиференціюємо дану рівність:

uu

vuvyy

1ln1 ,

звідси

vuuvuuvy

uvuuvy

lnln .

8. Похідні вищих порядків

КВМ

8

Нехай функція xfy має похідну на множині X . Назвемо її похідною

першого порядку. Похідна xfy функції xfy сама є функцією від x на

множині X , тому за певних умов вона теж має похідну. Похідну від похідної

першого порядку називають похідною другого порядку функції xf і

позначають xfy .

Аналогічно можна розглянути похідну від похідної другого порядку:

xfxfy − похідна третього порядку.

Означення. Похідною n –го порядку функції xfy називають похідну

першого порядку від похідної ( 1n )–го порядку цієї функції і позначають

xfxfy nnn

1 .

Для обчислення похідної n –го порядку від добутку двох функцій

використовують формулу

)()()2()1()()(

!11

!21 kknnnnn vu

kknnnvunnvnuvuuv

n

k

kknkn

nn vuCuvuvn

nnnn0

)()()(1

!111

,

яку називають формулою Лейбніца.

9. Диференціали вищих порядків

Нехай функція xfy n разів диференційовна на множині X .

xxfy dd − диференціал першого порядку. Припускаємо, що

constx d . Тоді диференціал другого порядку обчислюємо як диференціал від

диференціалу першого порядку:

22 dddddddddd xxfxxxfxxxfxxfyy .

Аналогічно

323 dddd xxfyy − диференціал третього порядку,

………………….

КВМ

9

nnnn xxfyy dddd 1 − диференціал n -го порядку.

10. Похідна параметрично заданої функції

Нехай дано дві функції )(tx і )(ty , які визначені і неперервні на

одному й тому самому проміжку T . Якщо )(tx − строго монотонна і

неперервна, то існує обернена до неї функція )(xt , також неперервна і

строго монотонна. Тому змінну y можна розглядати як змінну, що залежить від

змінної x через змінну t , яку називають параметром.

Поклавши

)(ty ,

ми бачимо, що функція )(t неперервна. В цьому випадку говорять, що

функція, що функція y від x задана параметрично за допомогою змінної t .

Теорема 6. Нехай функції )(tx і )(ty мають похідні в кожній

точці проміжку T , причому 0)( t . Тоді похідну параметрично заданої

функції обчислюють за формулою

t

tx x

yy

.

11. Основні теореми диференціального числення

Теорема 7 (Ферма). Нехай функція xfy визначена на інтервалі ba; і в

точці 0x цього інтервалу приймає своє найбільше, або найменше значення.

Тоді, якщо існує похідна в цій точці, то вона дорівнює нулеві, тобто 00 xf .

Теорема 8 (Ролля). Нехай функція xf :

1) визначена і неперервна на відрізку b;a ;

2) має похідну на інтервалі b;a ;

3) bfaf (на кінцях інтервалу функція xf приймає рівні значення).

Тоді існує точка c на інтервалі b;a така, що 0 cf .

КВМ

10

Теорема 9 (Лагранжа). Нехай функція xf :

1) визначена і неперервна на відрізку b;a ;

2) має похідну на інтервалі b;a .

Тоді існує така точка c на інтервалі b;a , що має місце рівність

abcfafbf ,

яку називають формулою скінченних приростів.

Теорема 10 (Коші). Нехай:

1) функції xf і xg визначені і неперервні на відрізку b;a ;

2) існують похідні xf та xg на b;a ;

3) 0 xg для b;ax .

Тоді існує точка c , що належить b;a така, що виконується рівність

cgcf

agbgafbf

.

Зауваження. Дану формулу називають узагальненою формулою

скінченних приростів. Якщо ,)( xxg то з формули Коші отримаємо формулу

Лагранжа.

Теорема 11 (Лопіталя, розкриття невизначеності 00 ). Нехай:

1) функції xf і xg визначені в деякому околі aU точки a , можливо за

виключенням самої точки a ;

2) існують 0limlim

xgxfaxax

;

3) існують похідні xf , xg у вказаному околі aU точки a ;

4) для довільного x з вказаного околу aU 0 xg ;

5) існує (скінченна чи нескінченна) границя xgxf

ax

lim .

Тоді існує xgxf

axlim , причому

xgxf

xgxf

axax

limlim .

КВМ

11

Теорема 12 (Лопіталя, розкриття невизначеності ). Нехай:

1) функції xf і xg визначені в деякому околі aU точки a , можливо за

виключенням самої точки a ;

2) існують

xgxfaxax

limlim ;

3) існують похідні xf , xg у вказаному околі aU точки a ;

4) для довільного x з вказаного околу aU 0 xg ;

5) існує (скінченна чи нескінченна) границя xgxf

ax

lim .

Тоді існує xgxf

axlim , причому

xgxf

xgxf

axax

limlim .

Зауваження 1. Сформульовані теореми Лопіталя дають правило

розкриття невизначеностей 00 та

.

Зауваження 2. В якості точки a може виступати скінченна точка 0x ,

00 x , 00 x , , , .

Зауваження 3. Правила Лопіталя можна використати і при розкритті

інших невизначеностей типу 0 ; 00 ; 1 ; та інших, звівши їх до

випадків чи

00 .

КВМ

12

12. Формула Тейлора

Теорема 13. Нехай функція xfy має похідні до 1n -го порядку

включно в околі 0xU точки 0x і нехай x довільна точка із вказаного околу

0xU , тоді має місце формула:

,

!!2!1 002

00

00

0 xRxxn

xfxxxfxxxfxfxf nn

n

яку називають формулою Тейлора функції xf .

xRn називають залишковим членом формули Тейлора.

1

0

1

!1

nn

n xxn

cfxR ,

де xxc ,0 − залишковий член в формі Лагранжа.

При 00 x отримуємо частинний випадок формули Тейлора, який

називають формулою Маклорена:

11

2

!1!0

!20

!100

n

nn

n

xn

cfxn

fxfxffxf .

Розклад елементарних функцій за формулою Маклорена

1. n

nx R

nxxxe

!!2!11

2 .

2. xRn

xxxxx n

nn

!121

!5!3!1sin

121

53 .

3. xRn

xxxx n

nn

!21

!4!21cos

242 .

4. xRn

xxxxx n

nn

132 132

1ln .

5.

nm x

nnmmmmxmmmxx

!!121

2111 2 xRn .

КВМ

13

13. Екстремум функції

Теорема 14. Нехай xfy має похідну на множині X . Тоді, якщо

0 xf для довільного Xx , то функція xf зростає на множині X , якщо

0 xf для довільного Xx , то xf спадає на множині X .

Означення. Точку 0x називають точкою максимуму функції xf , якщо

існує такий окіл 0xU точки 0x , що для будь-якого x , який належить цьому

околу, виконується нерівність 0xfxf .

000000 :)(;)(maxточка xfxfxUxxxxUxdf

.

Означення. Точку 0x називають точкою мінімуму функції xf , якщо

існує такий окіл 0xU точки 0x , що для будь-якого x , який належить цьому

околу виконується нерівність: 0xfxf .

000000 :)(;)(minточка xfxfxUxxxxUxdf

.

Точку локального максимуму чи мінімуму називають точкою локального

екстремуму функції.

Теорема 14 (необхідна умова екстремуму функцій). Нехай функція

xfy має екстремум у точці 0x і нехай існує похідна в цій точці, тоді

00 xf .

Точки, в яких похідна обертається в нуль, називають стаціонарними

точками функції. В цих точках функція не завжди має екстремум.

Теорема 15 (перша достатня умова екстремуму функції). Нехай

функція xfy має похідну на множині X і нехай Xx 0 є стаціонарною

точкою функції xf , тоді:

1) якщо при переході через точку 0x похідна функції міняє свій знак на

протилежний, то точка 0x є точкою екстремуму функції, причому, якщо

вона міняє знак з “+” на “-”, то 0x є точкою максимуму, якщо з “-” на

“+”, то 0x є точкою мінімуму;

КВМ

14

2) якщо похідна функції xf при переході через точку 0x знаку не міняє, то

вона не є точкою екстремуму.

Теорема 16 (друга достатня умова екстремуму функції). Нехай функція

xfy диференційовна в деякому околі точки 0x , яка є стаціонарною

точкою цієї функції, і нехай існує похідна другого порядку в точці 0x : 0xf .

Тоді, якщо 00 xf , то функція має в точці 0x мінімум, якщо 00 xf , то

в точці 0x функція має максимум.

Теорема 17 (третя достатня умова). Нехай функція xfy має

неперервні похідні до n го порядку включно в деякому околі 0xU точки 0x і

001

00 xfxfxf n , а 00 xf n .

Тоді:

1) якщо n ─ парне число ( kn 2 ), то функція має екстремум в точці 0x ,

причому 0x є точкою мінімуму якщо 002 xf k , і 0x є точкою

максимуму, якщо 002 xf k ,

2) якщо n ─ непарне ( 12 kn ) число, то точка 0x не є точкою екстремуму

функції.

14. Опуклість графіка функції

Нехай функція xfy ─ диференційовна на множині X . Це означає, що

в кожній точці цієї множини можна провести дотичну до графіка функції.

Означення. Графік функції xfy називають опуклим донизу на

множині X , якщо він лежить не нижче дотичної, проведеної до графіка в будь-

якій точці цієї множини.

Означення. Графік функції xfy називають опуклим доверху, якщо

він лежить не вище дотичної, проведеної до графіка в будь-якій точці множини

X .

КВМ

15

x

y

O x

y

O

Рис. 2

Теорема 18 (достатня умова опуклості). Нехай функція xfy має

похідну другого порядку на множині X , тоді якщо 0 xf , то графік

функції опуклий донизу, якщо 0 xf , то − опуклий доверху.

15. Точки перегину графіка функції

Нехай функція xfy визначена на множині X , диференційовна на цій

множині і точка Xx 0 .

Означення. Точку 0x називають точкою перегину графіка функції

xfy , якщо при переході через цю точку графік функції змінює свою

опуклість.

В точці перегину дотична перетинає графік.

Теорема 19 (необхідна умова точки перегину). Нехай функція xfy

має неперервну похідну другого порядку в деякому околі 0xU точки 0x і нехай

точка 0x є точкою перегину графіка функції, тоді 00 xf .

Теорема 20 (достатня умова перегину графіка функції). Нехай функція

xfy має похідну другого порядку в деякому околі 0xU точки 0x і нехай

00 xf . Якщо при переході через цю точку друга похідна xf змінює свій

знак на протилежний, то точка 0x є точкою перегину графіка функції.

Зауваження. Теорема залишається вірною, якщо функція xf має

похідну першого порядку в точці 0x , а похідна другого порядку в точці 0x не

КВМ

16

існує, але при переході через точку 0x похідна другого порядку змінює свій

знак на протилежний.

16. Асимптоти

Означення. Асимптотою графіка функції xfy називають пряму, до

якої як завгодно близько наближається графік функції xfy , коли точка

вздовж графіка прямує до нескінченності.

Пряму ax називають вертикальною асимптотою графіка функції

xfy , якщо хоча б одна з односторонніх границь в точці a дорівнює

нескінченості

xfax 0

lim або

xfax 0

lim .

Пряму Ay називають горизонтальною асимптотою для графіка

функції xfy , якщо

Axfx

x

lim .

Пряму bkxy називають похилою асимптотою графіка функції xf ,

якщо при x прямуючому до нескінченності виконується умова:

xbkxxf ,

де x − нескінченно мала функція при x .

Сталі k та b обчислюють за формулами:

xxf

kx

lim , kxxfbx

lim .

17. Дослідження функції та побудова графіка функції

Дослідження функції проводять за схемою:

1. Визначити область визначення функції.

2. Знайти точки перетину графіка з осями координат.

3. З’ясувати питання симетрії та періодичності графіка.

4. Знайти точки розриву функції та їх характер.

5. Знайти асимптоти графіка функції.

КВМ

17

6. Визначити проміжки монотонності та точки екстремуму функції.

7. Визначити опуклість графіка функції та наявність точок перегину.

8. З’ясувати питання про інші особливості.

18. Приклади розв’язування задач

Приклад 1. Обчислити похідну функції xy 32 lnlnln .

Задана функція є складеною, отже:

.lnlnln

61ln1

lnln6lnln3

ln1

lnln2

lnln

1lnln2lnln1lnln

lnln1

332

33

33

332

3232

xxxxxxxx

xx

xx

xx

xx

y

Приклад 2. Знайти похідну функції x

xy62cos31

31sin31costg

2 .

Перший доданок у виразі для функції – стала величина, тому похідна від

нього рівна нулеві. Похідну від другого доданка шукатимемо як похідну

частки, враховуючи при цьому, що функції, які є в чисельнику і знаменнику є

складеними функціями. Отже, маємо

x

xxxxy62cos

62cos31sin62cos31sin311

2

22

x

xxxxx62cos

62sin31sin6262cos31cos31sin312311

2

2

x

xxxx62cos

62sin31sin6262cos62sin31311

2

2

xxxx

62cos31sin262cos62sin31

311

2

2

x

xx

xxx62cos

62sin62cos

62cos162cos62sin22

.

Приклад 3. Обчислити похідну функції 2

12xtg

arctg

y .

КВМ

18

21

2cos

121

12

tg4

42

12

tg

2

12

tg1

1222 xx

x

xy

2cos

1

5

2cos

2sin

2

2cos

2sin

1

2cos

1

52

tg22

tg

12

2

222 x

x

x

x

xxxx

2cos5

2cos

2sin2

2sin

122 xxxx

.

Приклад 4. Знайти похідну функції 9xxyxe .

Використовуючи властивість степеневої функції та основну

логарифмічну тотожність, запишемо задану функцію у вигляді

xexe xxexeexy ln)9(ln9 9

. Тепер будемо шукати похідну показникової

функцій, враховуючи, що степінь цієї функції є складена функція.

.9ln9ln9ln1

19lnln9ln9

ln)9(

889

ln)9(ln)9(

ln)9(ln)9(

xxexxexxe

xxxexxxe

xxexe

exxexxexxexexxex

x

xexeexexee

xeeey

xxx

xx

xx

Приклад 5. Знайти похідну функції 1lnarcsin 422 xxx eeey .

КВМ

19

112

1

1

1

2

412

121

1

1

2

11

1

1

1

4

22

4242

2

44

24222

2

4242

222

x

xx

xxxx

x

xx

xxxx

x

xxxx

x

x

e

eeeeee

e

ee

eeee

e

eeee

ee

y

.112

11

121

22

1

2

1

2

1

1

1

2

1

2

2

2

22

2

4

2

4

2

44

42

42

2

4

x

x

xx

x

x

x

x

x

xx

xx

xx

x

x

ee

ee

e

e

e

e

e

ee

ee

ee

e

e

Приклад 6. Обчислити похідну функції xx

x

xy

11ln

21

1

arcsin2

.

.

1

arcsin

1

1arcsin1

11

1

arcsin1112

2

1

arcsin1

111

11

21

11

arcsin1

11111

11

21

112

2arcsin11

1

11

11

121

11arcsin1arcsin

2/322/32

22

22/32

2

2/32

2

2

2

2

2

22

2

2

22

x

xx

x

xxxx

xx

xxxxxx

xxx

xxx

xxx

xx

xxxxx

xx

xx

xxxx

xx

xxx

xxxxy

Зауваження. Другий доданок заданої функції, використовуючи

властивості логарифмічних функцій, можна записати у вигляді

КВМ

20

)1ln()1ln(21

11ln

21 xx

xxy

.

Тоді

211

11

11

21)1ln()1ln(

21

11ln

21

xxxxx

xxy

.

Приклад 7. Знайти похідну параметрично заданої функції

.11ln1

,1ln2

2

2

ttty

ttx

Знайдемо похідну функцій )(txx та )(tyy по змінній t .

.1

1

1

1

1

1

12

211

111

1

22

2

2

222

2

tt

tt

tt

t

t

tttt

ttxt

2

22

22

2

22

1112

2

111

11

1112

2

t

ttt

t

t

t

t

t

tt

t

t

t

tyt

.1

1

1

1

1

11

11

11

1

1

1

11

11

1

1

111

11

1

1

2

2

2

222

2

22

2

222

22

22

2

22

tt

tt

t

ttt

t

tt

t

tt

t

tt

ttt

tt

t

t

tt

t

tt

t

Використовуючи формулу для похідної параметрично заданої функції,

отримаємо

КВМ

21

tt

t

tt

xy

yt

tx

1

1

1

12

2

2

.

Приклад 8. Обчислити наближене значення 51,0arcsin .

Розглянемо функцію xy arcsin . Покладемо 5,00 x , 01,0x , і, застосувавши формулу xxxxx )(arcsinarcsinarcsin 000 , одержимо

513,0011,06

01,0)5,0(1

15,0arcsin51,0arcsin2

.

Приклад 9. Обчислити похідну n -ого порядку від функції nxy .

1 nnxy , 2)1()( nxnnyy , 3)2)(1()( nxnnnyy ,…,

!12)2)(1()( )1()( nnnnyy nn .

Отже, !)( nx nn .

Приклад 10. Обчислити похідну n -ого порядку від функції xey .

xnnxxx eyyeyyeyyey )(,,)(,)(, )1()( .

Отже, xnxn eey )( .

Приклад 11. Обчислити похідну n -ого порядку від функції xy sin .

2sincos xxy , xxyy sinsin)( ,

23sincos)( xxyy , 2sinsin)( xxyy IV , …

Отже,

2sin)(sin nxxy nn .

Приклад 12. Обчислити похідну n -ого порядку від функції xy cos .

2cossin xxy , xxyy coscos)( ,

23cossin)( xxyy , , 2coscos)( xxyy IV …

КВМ

22

Отже,

2cos)(cos)( nxxy nn .

Приклад 13. Обчислити похідну n -ого порядку від функції xy 1ln .

111

1

xx

y ; 21 xy ;

312 xy ; 4132 xy IV , … .

Отже, n

nnn

xnxy

1!11))1(ln( 1 .

Приклад 14. Обчислити похідну n -ого порядку від функції 523 xy .

Обчислимо першу похідну заданої функції.

5252 33ln2523ln3 xx xy .

Оскільки похідна другого порядку рівна похідній від першої похідної, то

враховуючи, що 3ln2 стала величина, яку можна винести за знак похідної,

аналогічно обчислюємо похідну другого порядку від заданої функції.

.33ln2523ln33ln233ln233ln2 5222525252

xxxx xyy

Знайдемо похідну третього порядку, яка рівна похідній від похідної

другого порядку, тобто

.33ln2

523ln33ln233ln233ln25233

522252225222

x

xxx xyy

Отже, ми можемо записати формулу для похідної n -ого порядку від

заданої функції:

52)1()( 33ln2

xnnnn yy .

Приклад 15. Обчислити похідну четвертого порядку від функції

343 2 xexy .

Оскільки задана функція є добутком двох елементарних функцій, то для

обчислення похідної четвертого порядку зручно використати формулу

Лейбніца, що у випадку похідної 4-ого порядку має вигляд:

КВМ

23

)4()4()4()4( 464)()( uvvuvuvuvuxvxuy .

Тому, спочатку знайдемо похідні першого, другого, третього та

четвертого порядку від функцій 2)( 3 xxu та 34)( xexv .

23xu , xu 6 , 6u , 0)4( u . 344 xev , 3416 xev , 3464 xev , 34)4( 256 xev .

Отже, підставивши знайдені похідні у формулу для похідної четвертого

порядку, маємо

.608576768256

25626434166646402334

343342343434)4(

xxxe

exexexeeyx

xxxxx

Приклад 16. Обчислити похідну другого порядку від параметрично

заданої функції

.arctg,ln

xytx

Якщо функція задана параметрично, то похідну першого порядку

обчислюємо за формулою t

tx x

yy

, для обчислення похідної другого порядку

треба використати формулу

t

txxx x

yxty

txt

xy

txy

xxyy

dd

dd

dd

dd

dd

dd

dd

dd

2

2

2 .

Отже, шукаємо похідні першого порядку від функцій )(txx та )(tyy

по змінній t :

txt

1 , 21

1t

yt

.

Значить

2

2

111

1

tt

t

tyx

.

КВМ

24

22

2

22

22

22

222

1

1

1

21

1

111

12

t

tt

t

tttt

ttttt

t

tt

y tx

.

Приклад 17. Знайти другий диференціал функції xxy sin :

a) якщо x – незалежна змінна; b) якщо x – двічі диференційовна функція від деякої іншої незалежної

змінної. У випадку а) маємо:

xxxxxyy dcossind'd , 222 dsincos2d''d xxxxxyy .

У випадку b), зважаючи на інваріантність форми першого диференціала, знову матимемо:

xxxxy dcossind .

Проте, для другого диференціалу ми в цьому випадку отримаємо:

xyxyxxyxyxxxyy 222 dddddd)dy(dydddd ,

xxxxxxxxy 222 dcossindsincos2d .

Таким самим чином можна порахувати похідні від функцій, заданих параметрично.

Приклад 18. Знайти границю ee

xxxx

ln1lim2

1.

Чисельник і знаменник прямують до нуля при 1x , тому ми маємо

невизначеність виду 0/0 . Використаємо правило Лопіталя, тобто розглянемо

границю відношень похідних заданих функцій:

eex

x

eexx

xxxx

312

limln1lim1

2

1

.

Зауваження. Якщо функції xf і xg знову задовольняють умовам

теореми Лопіталя, то правило Лопіталя можна застосувати повторно, наприклад

849

87cos49lim

00

87sin7lim

00

47cos1lim

0020

xx

xx

xxxx

.

Приклад 19. Обчислити x

n

x ex

lim , якщо n –ціле додатне число.

КВМ

25

x

n

x ex

lim – невизначеність виду / . Застосуємо правило Лопіталя n разів:

0121lim1limlimlim21

xxx

n

xx

n

xx

n

x ennn

exnn

enx

ex .

Приклад 20. Знайти границю xxx

lnlim 2

0.

Тут ми маємо невизначеність виду 0 . Подамо добуток функцій у

вигляді частки, а потім, отримавши невизначеність виду / , використаємо

правило Лопіталя:

0lim21

2

1

lim1lnlimlnlim 2

0

3

0

2

0

2

0

x

x

x

x

xxxxxxx

.

Приклад 21. Обчислити границю

111lim

0 xx ex.

Маємо невизначеність виду . Для того, щоб знайти границю

функції, зведемо дроби до спільного знаменника, а потім, отримавши

невизначеність виду 0/0 , двічі застосуємо правило Лопіталя:

21

2lim

11lim

11lim

000

xee

xeee

exxe

x

x

xxx

x

xx

x

x.

Приклад 22. Знайти границю x

xxsinlim

0.

Це невизначеність виду 00 . Позначимо дану функцію через y , тобто

xxy sin , і прологарифмуємо її:

x

xxxy 1sinlnsinlnln .

Обчислимо границю логарифму даної функції, застосувавши правило

Лопіталя (тут маємо невизначеність виду / ):

0sin

coslimsincoslim1

sincos

lim1sinlnlimlnlim

0

2

0

2

000

xxxx

xxx

x

xx

x

xyxxxxx

.

КВМ

26

Відповідно, 1lim 0

0

ey

x.

Приклад 23. Знайти границю x

xx ln

01lim

.

Невизначеність виду 1 . Логарифмуючи та застосовуючи правило

Лопіталя, отримаємо

01

1

lim21

lnlim21

ln2

lim11

lnlim1

lnlim

ln1

11

lim

ln1

1lnlim1lnlnlimlnlim

200

20

2

0

2

0

20000

x

x

x

x

x

xx

x

xx

xx

xx

x

x

xxxy

xxxxx

xxxx

.

Таким чином, 1lim 0

0

ey

x.

Приклад 24. Довести, що функція 24 xxy задовольняє рівняння

42 xyyxy .

Обчислимо похідну функції першого порядку:

24

33

2424

24

2242

1

2

1

xx

xxxxxx

xxxx

y

.

Підставимо вираз для функції та її першої похідної у рівняння і

переконаємо у тому, що отримаємо тотожність:

42424

324 2 xxx

xx

xxxxx

,

42432 xxxxxx , 424242 xxxxx ,

44 xx .

Приклад 25. Представити функцію 3 xxf в вигляді многочлена

п’ятого степеня відносно двочлена 1x .

КВМ

27

Обчислимо значення функції 31

xxf та її похідних до п’ятого порядку включно при 1a :

11 f , 32

31

xxf , 311 f ;

35

92

xxf , 921 f ;

38

2710

xxf , 27101 f ;

311

8180

xxf IV , 81801 IVf ;

314

243880

xxf V , 2438801 Vf .

Відповідно, за формулою Тейлора отримаємо

554323 5

!52438801

!481801

!327101

!2921

311 Rxxxxxx

,

де 6317

65 1

!6729123201

!6

xxfR

IV

, x1 .

Приклад 26. Написати розклад функції xexxxf 22sin за цілими додатніми степенями x до членів з 4x .

Маємо:

44344

3254

2

22

2

2

43

65

23

21

6

xoxxxoxxxxoxx

xoxxxxoxxxf

.

Приклад 27. Написати розклад функції xxxxxf 1lncos1 2 за цілими додатніми степенями x до членів з 5x .

Маємо:

КВМ

28

.

51

31

21

24642543282

54322421

221

21

2111lncos1

5532

555435432

553

55432

542

44221

2

xoxxx

xoxxxxxxxxxxoxxx

xoxxxxxxoxx

xoxxxxxxxxf

Приклад 28. Знайти найбільше та найменше значення функції 33 xxxf на проміжку 3;2 .

Знаходимо похідну та стаціонарні точки функції: 233 xxf ;

033 2 x , звідки 1x 1x . Оскільки, стаціонарні точки належать вказаному

відрізку, то визначимо значення функції в цих точках: 21 f , 21 f , крім

того обчислюємо значення даної функції на кінцях проміжку: 22 f ,

183 f . З отриманих чотирьох значень вибираємо найбільше та найменше.

Тому найбільше значення функції на даному проміжку дорівнює 2 , а найменше

дорівнює 18 .

Приклад 29. Знайти найменше і найбільше значення функції

221010

2

xx

xy на відрізку 2,1 .

Задана функція є неперервною на всій множині дійсних чисел, зокрема, і

на відрізку 2,1 . Оскільки, неперервна на відрізку функція досягає свого

найбільшого та найменшого значення або у стаціонарних точках, або на кінцях

відрізку, то знайдемо спочатку стаціонарні точки заданої функції. Для цього

обчислимо похідну функції

22

22

22

221010221010

xx

xxxxxxy

КВМ

29

.22

210

22

210

22

2212210

22

2210102210

2222

2

22

2

22

2

xx

xx

xx

xx

xx

xxxx

xx

xxxx

Прирівняємо знайдену похідну до нуля та знайдемо стаціонарні точки:

022

21022

xx

xx .

0210 xx .

0x або 2x .

Із двох знайдених стаціонарних точок лише одна 0x належить відрізку

2,1 . Тому обчислимо значення вихідної функції на кінцях відрізку та у

стаціонарній точці 0x .

02121

101101 2

y ;

52020

100100 2

y ;

32222

102102 2

y .

Отже,

5)0()(max2,1

yxy ,

0)1()(min2,1

yxy .

Приклад 30. Знайти такий циліндр, який мав би найбільший об’єм при

даній повній поверхні S .

Нехай радіус основи циліндра дорівнює x , а висота дорівнює y . Тоді

xyxS 22 2 , тобто

x

xS

xxSy

2

21

22 2

.

Відповідно об’єм циліндра виражається так:

32

212

21 xSxx

xSxySxVV осн

.

Задача зводиться до дослідження функції xV на максимум при 0x .

КВМ

30

Знайдемо похідну 2321 xS

dxdV

і прирівняємо її до нуля, звідки

6Sx .

Знайдемо другу похідну: xdx

Vd62

2

. Оскільки при 6Sx виконується

умова 02

2

dx

Vd , то об’єм має найбільше значення, причому

xSS

SSy 2

62

62

62

,

тобто осьовий переріз циліндра повинен бути квадратом.

Приклад 31. Побудувати графік функції 51216 23 xxy .

Для побудови графіка функції використаємо загальну схему дослідження

функції.

1. Функція визначена на всій множині дійсних чисел.

2. Знайдемо точки перетину графіка функції з осями координат. Якщо 0x ,

то 5y . Отже, в точці )5,0( A графік функції перетинає вісь Oy .

3. Оскільки 5121651216 2323 xxxxxy , то

xyxy і xyxy , тому функція ні парна, ні непарна.

4. Функція неперіодична.

5. Для визначення проміжків монотонності та точок екстремуму знайдемо

похідну першого порядку функції:

xxy 2448 2 .

З рівняння 0)( xy , тобто 01224 xx , отримаємо критичні точки

0x та 5,0x , які розбивають область визначення функції на проміжки

5,0; , 0;5,0 , ;0 . Визначимо знаки похідної та поведінку функції

на кожному з проміжків, результат досліджень запишемо у вигляді таблиці:

КВМ

31

x 5,0; -0,5 0;5,0 0 ;0

y + 0 – 0 +

y зростає 4max y спадає 5min y зростає

6. Для визначення проміжків опуклості функції знайдемо похідну

другого порядку: xy 96 .

З умови 0y отримаємо 0x . Ця точка розбиває область визначення

функції на два проміжки 0; та ;0 . Визначимо знаки похідної другого

порядку на кожному проміжку. Результати досліджень запишемо у вигляді

таблиці:

x 0; 0 ;0

y – 0 +

y опукла доверху -5 опукла донизу

За результатами досліджень побудуємо графік функції:

O

y

x50.

45

1

150.

Рис. 3

Приклад 32. Побудувати графік функції 14

1092

2

x

xy .

КВМ

32

1. Оскільки підкореневий вираз може бути лише невід’ємний, а знаменник

повинен бути відмінний від нуля, то отримаємо, що функція визначена,

якщо

014 2 x ,

звідки

0)12)(12( xx .

А значить, функція визначена для всіх ;5,05,0;x .

2. Знайдемо точки перетину графіка функції з осями координат. Якщо 0x ,

то функція є невизначеною, тобто графік функції не перетинає вісь Oy .

Якщо 0y , то 103

x .

3. Оскільки )(14

109

1)(4

)(1092

2

2

2xy

x

x

x

xxy

, то функція є парна.

Значить, її графік є симетричним відносно осі Oy .

4. Функція неперіодична.

5. Обчислимо лівосторонню границю функції в точці 5,0x та

правосторонню границю в точці 5,0x .

14

109lim2

2

05,0 x

xx

та

14

109lim2

2

05,0 x

xx

.

Отже, точки 5,0x і 5,0x є точками розриву другого роду, і в цих

точках функція має вертикальні асимптоти.

6. Для визначення проміжків монотонності та точок екстремуму знайдемо

похідну першого порядку функції:

14

14109141092

2222

xxxxxy

2/32

22

2

222

)14(4)109()14(20

14142

81091420

xxxxx

xxxxxx

КВМ

33

.)14(

)410(4)14(1640

)14(40362080

2/32

2

2/32

3

2/32

33

xxx

xxx

xxxxx

З рівняння 0)( xy , отримаємо критичну точку 0x , яка не належить

області визначення функції. Визначимо знаки похідної та поведінку функції на

кожному проміжку з області визначення функції, результат досліджень

запишемо у вигляді таблиці:

x 5,0; -0,5 0,5 ;5,0

y + не визначена не визначена –

y зростає не визначена не визначена спадає

7. Для визначення проміжків опуклості функції знайдемо похідну другого

порядку:

.14

16248

14

1640121416120

14

141640121416120

14

141640141640

2/52

2

2/52

322

32

2/1232/322

32

2/3232/323

x

x

x

xxxxx

x

xxxxxx

x

xxxxxxy

Похідна другого порядку не дорівнює нулеві на області визначення

функції. Визначимо знаки похідної другого порядку на кожному проміжку

області визначення. Результати досліджень запишемо у вигляді таблиці:

x 5,0; ;5,0

y + +

y опукла донизу опукла донизу

За результатами досліджень побудуємо графік функції:

КВМ

34

50. 50.O 1

1

x

y

1

Рис. 4

Приклад 33. Провести повне дослідження функції та побудувати її графік

2

3 4x

xy .

1. Областю існування функції є множина дійсних чисел, крім точки 0x , в

якій знаменник перетворюється в нуль.

2. Графік функції не перетинає вісь Oy , оскільки 0x . Якщо 0y , то

043 x , а значить 6,143 x . Отже, вісь Ox функція перетинає у

точці )0,4(3 .

3. Функція неперіодична. Оскільки 2

3

2

3 4)(

4)(x

xx

xxy

, то функція

є ні парна, ні непарна.

4. З’ясуємо питання про існування асимптот. Дослідимо поведінку функції в

околі точки 0x .

202

3

0

4lim4limx

xx

xxx

та

2

3

0

4limx

xx

.

КВМ

35

Отже, пряма 0x , тобто вісь Oy є вертикальною асимптотою.

x

xx

xxx 1

41lim4lim

3

2

3,

x

xx

xxx 1

41lim4lim

3

2

3,

тобто функція не має горизонтальних асимптот.

11

41lim4lim)(lim

3

3

3

xx

xxxyk

xxx.

04lim4lim4lim)(lim 22

33

2

3

xxxxx

xxkxxyb

xxxx.

Отже, пряма xy є похилою асимптотою.

5. Для знаходження стаціонарних точок обчислимо першу похідну функції:

4

4

4

44

4

2323

2

3 8823444x

xxx

xxxx

xxxxx

xy

3

3 8x

x .

Прирівняємо першу похідну до нуля 0y , тобто 083

3

x

x , звідки

отримуємо стаціонарну точку 2x . В изначимо знак першої похідної та

поведінку функції на кожному з проміжків ;00;22; .

Результати досліджень запишемо у вигляді таблиці.

x 2; -2 0;2 0 ;0

y + 0 – не визначена

+

y зростає 3max y спадає не визначена

зростає

Отже, точка 2x є точкою максимуму функції.

6. Для визначення проміжків опуклості функції обчислимо другу похідну:

46

332

6

3333

3

3 2483888xx

xxxx

xxxxx

xy

.

КВМ

36

Оскільки друга похідна від’ємна для всіх ;00;x , то

функція опукла вгору на всій області визначення.

7. Побудуємо графік функції, використовуючи попередні дослідження.

y

xO

2

3

3 4

11 2

Рис. 5

Приклад 34. Побудувати графік функції 3 3 3xxy .

1. Область визначення функції вся вісь абсцис.

2. Графік перетинається з віссю Ox в точках 3x , 0x , 3x ,

причому, очевидно, при 3 x маємо 0y ; при 03 x

0y ; при 30 x 0y ; і при x3 0y .

3. Функція непарна, оскільки при будь-якому x виконується умова

xfxf . Тому графік функції симетричний відносно початку

координат.

4. Знайдемо асимптоти графіка. Вертикальних асимптот він, очевидно, не

має. Похилі асимптоти знаходимо, користуючись вказаними вище

правилами. Маємо:

131limlim 32

xxxfk

xx;

0331lim131lim3limlim 2

32

3 3

xx

xxxxxkxxfb

xxxx.

КВМ

37

Таким чином, “правою” асимптотою графіка буде пряма xy . Не важко

помітити, що при x отримаємо ті ж самі значення для k та b , і тому

пряма xy буде також і “лівою” асимптотою графіка.

5. Знайдемо точки максимуму та мінімуму. Маємо:

3

23

223

23

3

133331

xx

xxxxy

.

Похідна перетворюється в нуль при 1x та 1x . При переході через

точку 1x y змінює знак з “ ” на “–“, при переході через точку 1x y

змінює знак з “–“ на ”+”. Таким чином, в точці 1x функція має максимум, а

в точці 1x − мінімум. При 1x , 3 2y ; при 1x , 3 2y . Похідна

перетворюється в при 3x , 0x , 3x , але при переході через ці

точки вона не змінює знак. Тому при 3x , 0x та 3x екстремума

немає. В цих точках графік має вертикальні дотичні.

6. Далі маємо:

3

53

2

3

12

xx

xy

;

y в нуль не перетворюється, y не існує в точках 3x , 0x та

3x . При переході через кожну з цих точок y змінює знак. Таким чином, це

– точки перегину. Очевидно, при 3 x маємо 0y ; при 03 x

маємо 0y ; при 30 x маємо 0y , і при x3 маємо 0y .

Відповідно, на проміжку 3 x графік опуклий вгору, на проміжку

03 x — опуклий вниз; на проміжку 30 x – опуклий вгору, і на

проміжку x3 — опуклий вниз. Графік функції зображений на мал. 1.

КВМ

38

Рис. 6

Приклад 35. Провести повне дослідження функції та побудувати її графік

11ln2

x

xy .

1. Знайдемо область визначення функції з умови, що підлогарифмічний

вираз є додатнім, тобто 01

x

x . Розв’язуючи методом інтервалів дану

нерівність отримаємо, що ;10;x .

2. Функція ні парна, ні непарна, неперіодична.

3. Якщо 0y , то 211ln

x

x , звідки 1

e

ex , тобто 56,2x і функція

перетинає вісь Ox в точці 0;56,2 . Вісь Oy графік функції не перетинає.

4. З’ясуємо питання про існування асимптот функції. Для цього знайдемо

односторонні границі в точках 0x і 1x , а також при x .

11

1ln2lim0

xx

,

11

1ln2lim1

xx

.

Значить в точках 0x і 1x функція має вертикальні асимптоти.

33

1 x

y

3 2

3 2

0 212

КВМ

39

111

1ln2lim

xx

.

Отже, пряма 1y є горизонтальною асимптотою

5. Обчислимо похідну першого порядку від заданої функції:

)1(

211

211

2 2

xxxxx

xx

xx

xxy .

З рівняння 0y знаходимо критичні точки 0x і 1x , в яких як

функція, так і похідна не існують. Тому дослідимо знак похідної та поведінку

функції на проміжках визначення функції:

x 0; ;1

y + +

y зростає зростає

6. Обчислимо похідну другого порядку і визначимо проміжки опуклості

функції:

2221

)1()12(21)1(2)1(2

xxxxxxxxxy .

З рівняння 0y знаходимо 5,0x . Проте точка 5,0x не

належить області визначення функції. Тому

x 0; ;1

y + –

y опукла донизу опукла доверху

Будуємо графік функції

КВМ

40

x

y

xO 1

1

2 3

Рис. 7

Приклад 36. Дослідити функцію та побудувати її графік xxey .

1. Функція визначена на всій дійсній осі. Отже, ;xD .

2. Функція не є ні парною, ні непарною.

3. При 0x значення 0y .

4. Знаходимо асимптоти функції:

0lim

xxek

x

x; 00lim

xx

xeb ;

xxe x

xlim .

Отже, пряма 0y є асимптотою при x .

5. Обчислимо першу похідну xexeexf xxx 1)( і знайдемо

стаціонарні точки: 0)( xf при 1x .

x )1;( 1 );1(

y + 0 -

КВМ

41

y зростає e

y 1max

спадає

6. Обчислимо похідну другого порядку:

2)('' xexeeexf xxxx .

0)('' xf при 2x .

x 2; 2 ;2

y 0 +

y опукла доверху 2

2e

опукла донизу

Точка

22;2

e є точкою перегину графіка функції.

7. За одержаними даними будуємо графік функції

1 2O x

y

e1

Рис. 8

КВМ

42

19. Індивідуальні завдання

1. Знайти похідні заданих функцій:

1)

;arccos5)

;1

1)

43

2

xxyв

xxya

.arccos)

;sin

5arcctg)

tg

4

xxyгx

xyб

2)

;2arcsin)

;45

31)

cos

3 2

xeyвx

xya

x

.2arcsin)

;7ctg

73log)

ctg

35

xxyг

xxyб

3)

;arcsin)

;3

1)

3

2

xyвx

xya

.sin)

;4cos5

27ln)

arccos xxyг

xxyб

4)

;4sinln)

;4

21)3

xeyвxxya

.)

;cos

5arcsin)

)1(cos

3

xxyгxxyб

5)

;1lnsin)

;2)2

3

xxyв

xxxya

.7)

;43ln

3cos)

cos

2

xxyг

xxyб

6)

;3lnarctg)

;31)

1

3

2

xeyв

xxya

.sin)

;15lg

)5(arcsin2tg)33

xxxyг

xxxyб

7)

;)

;233)

5arctg3

5

xexyвxxya

.)

;ctg2

45ln)

)1(ln xexyг

xxyб

8)

;)

;15)

sin3

2

xexyвxxya

.1)

;5tg3

37ln)

3cos

2

xxyг

xxyб

КВМ

43

9)

;2)

;1

1)

3tg5

3

3 2

xxyвx

xya

.arcsin)

;4

51cos) 2

xxyгx

xyб

10)

;1lnsin)

;61) 3

2

xeyвxxya

.)

;23sin

5)

3tg xxyгxxyб

11)

;1lnsin)

;412

51)6 4

xeyв

x

xya

.sin3)

;23sin

5)

xxyгxxyб

12)

;141ln)

;5143)

3 3

3 2

xyв

xxya

.)

;3arccos

71)

1sin

2

2

xxyг

xxxyб

13)

;32lnarcsin)

;7

4)5 3

xyвxxya

.)

;5cos

72)

5arctg

2

xxyгx

xyб

14)

;1lntg)

;454)

2

3

3

xeyвx

xya

.7)

;1sin

23)

ln3 xxyг

xxyб

15)

;arctgln)

;41

)

3

33

2

xxyвxxxya

.1)

;71

35arcsin)

22

3

xxyг

xxyб

16)

;3lnarcsin)

;743) 5

xeyв

xxya

x

.arcsin)

;7

5cos) 4

3

xxyгx

xxyб

17)

;21arcsin)

;43

35)

34

33

2

xyв

xxya

.tg5)

;1lnarccos)1

5

x

x

xyг

eyб

КВМ

44

18)

;2)

;4

7)

arcsin4

32

2

xxyвxx

xxya

.arccos)

;3lnarctg)3

2

xxyг

xxyб

19)

;372)

;13241)

32

3

2

2

3

xxyв

xxxya

.43)

;23cos

51)

4sin

3

32

xxyг

xxyб

20)

;34)

;44)

31sin3

3 5

2

xxyвxx

xya

.cos)

;1

71arcsin)

1

2

xxyг

xxyб

21)

;)

;43

1)

5cos4

32

xexyвx

xya

.ln)

;23cos

71) 3

3

xxyг

xxyб

22)

;11)

;245)

3 2

4

3

3

xa

yв

xxya

.)

;15sin)

2

xarctgxyгxxxyб

23)

;31ln)

;23

1)

22

33

xexyв

xxya

x

.)

;cos

sin21)

2

3

xxxyг

xxyб

24)

;1arccos)

;)

xxxyвxxxxya

.sin)

;5sin15sin1)

ln xxyгxxyб

25)

;5)

;11)

1cos3

32

2

xxyвxxya

.cos)

;71tg

45)3

xxyг

xxyб

26)

;23)

;11)

32 xexyв

xxya

.4)

;73cos

54)

3 xxyг

xxyб

КВМ

45

27)

;5)

;

1

1)

1cos3

5

3

xxyвxxx

xxya

.1)

;71tg

45)

2sin

3

xxyг

xxyб

28)

;1cos51)

;2

43)

22

2

3

xxyвxx

xya

.1)

;4

1ln)

3cos

2

xxyгxx

xyб

29)

;)

;11

51)

2arcsin4 xexyвx

xya

.tg)

;5

71̀sin)

2

2

xxyг

xxyб

30)

;21ln1)

;91

31)

45

2

2

xxexyв

xx

xya

.sin)

;32cos)

21

23

x

x

xyгxe

xyб

2. Використовуючи диференціал функції, обчислити наближено:

1. 1) ;335

2) ;51,0arcsin

3) .5130sin

2. 1) ;653

2) ;51,0arccos

3) .8230cos

3. 1) ;303

2) ;97,0arctg

3) .7160sin

4. 1) ;184

2) ;48,0arccos

3) .5130tg

5. 1) ;273

2) ;95,0arcctg

3) .7160sin

6. 1) ;804

2) ;99,0arctg

3) .5130ctg

7. 1) ;676 8. 1) ;154

КВМ

46

2) ;92,0arctg

3) .7360tg

2) ;46,0arccos

3) .5345sin

9. 1) ;313

2) ;98,0arcctg

3) .7490sin

10. 1) ;144

2) ;49,0arccos

3) .5345tg

11. 1) ;305

2) ;95,0cosarc

3) .7360ctg

12. 1) ;784

2) ;48,0arcsin

3) .5330ctg

13. 1) ;633

2) ;93,0arctg

3) .7345sin

14. 1) ;174

2) ;93,0arcctg

3) .5360tg

15. 1) ;315

2) ;52,0arcsin

3) .0330sin

16. 1) ;623

2) ;53,0arccos

3) .5230cos

17. 1) ;293

2) ;96,0arctg

3) .8160sin

18. 1) ;194

2) ;47,0arccos

3) .5230tg

19. 1) ;283

2) ;96,0arcctg

3) .6160sin

20. 1) ;824

2) ;97,0arctg

3) .5160ctg

21. 1) ;686

2) ;95,0arctg

3) .7360tg

22. 1) ;184

2) ;48,0arccos

3) .5330sin

23. 1) ;343 24. 1) ;154

КВМ

47

2) ;95,0arcctg

3) .7460sin

2) ;47,0arccos

3) .5245tg

25. 1) ;345

2) ;97,0cosarc

3) .7330ctg

26. 1) ;794

2) ;47,0arcsin

3) .5345ctg

27. 1) ;623

2) ;92,0arctg

3) .7345sin

28. 1) ;194

2) ;91,0arcctg

3) .5330tg

29. 1) ;345

2) ;53,0arcsin

3) .5160sin

30. 1) ;673

2) ;54,0arccos

3) .8260cos

3. Знайти 'y і ''y заданих функцій:

1) ;43cos) 3 xyya

.ln;arcsin

)ty

txб

2) ;2arctg) 2 yxyxa

.

;)

t

t

etytex

б

3) ;3cos)

3

xyyxa

.1

;1)3 2

ty

txб

4) ;02) 3 xxyya

.cos3

;sin5)

3

3

tytx

б

5) ;3cos)yxyxa

.1

;arccos)

2ty

txб

6) ;02) 2 bxyya

.

;)

3

3

t

t

eyex

б

КВМ

48

7) ;323) yxyxa

.sincos3;cossin3

)tttytttx

б

8) ;0sinsin) xeyea yx

.1

;arcsin)

2ty

txб

9) ;0cos) yxxya

.sin3

;cos5)

2

2

tytx

б

10) ;42sin) 2 yyxa

.ln;)

4

tytxб

11) ;lnln) yxyxxya

.ln

;ln) 4

ttyt

txб

12) ;ln) 2xyxya

.11

;1)

2

2

tty

txб

13) ;2ln) 22

yxyxa

.3

;46)

5

2

tytx

б

14) ;0cos) 2 xyyxa

.ln;ln)

2

ttytxб

15) ;arcsin)xyyxa

.

;)

8

2

t

t

eyex

б

16) ;35ln) yxxya

.1

;1

1

)2t

ty

tx

б

17) ;0cos) 2 xyyxa

.ln;ln)

2

ttytxб

18) ;2ln) 22

xyyxa

.cos

;2sin) 2 ty

txб

КВМ

49

19) ;1cos) 3 xyyxa

.cos13;sin3

)tyttx

б

20) ;ln) 33 xyxa

.1ln

;arctg) 2ty

txб

21) ;arccos) 43 xyyxa

.sin4;cos5

)tytx

б

22) ;1arctg) 2 xy

yxa

.sin

;cos)

teytex

бt

t

23) ;3sin) 3 yxyxa

.35

;24)

23

2

ttyttx

б

24) ;4) 3 yexa yx

.1

;1

2

)

2

2

3

tty

ttx

б

25) ;05sin) xyxya

.

;)

5 ty

txб

26) ;3sin2) xyxya

.

;)

4

2

t

t

eyex

б

27) ;0ln3ln1) yxxya

.sin2

;cos6)

3

3

tytx

б

28) ;3cos) 2

y

yxyxa

.sin3

;2

1)

2 tyt

xб

29) ;42

cos) 3 xyyxa

.3

;cos32) 3ty

ttxб

30) ;3)(tg) xexyya

.sin3

;cos2)

2

2

tytx

б

КВМ

50

4. Знайти похідну вказаного порядку.

1) 1ln72 2 xxy , ?Vy

2) xxy 22 ln3 , ?IIIy

3) 2cos xxy , ?IIIy

4) 11ln

xxy , ?IIIy

5) 32log

xxy , ?IIIy

6) 123 54 xexy , ?Vy

7) 35sin2 xxy , ?IIIy

8) 2lnx

xy , ?IVy

9) xxy 2ln32 , ?IIIy

10) xxy arctg1 2 , ?IIIy

11) 3lnx

xy , ?IVy

12) xxy 234 , ?Vy

13) xey x 32sin21 , ?IVy

14) xxy

33ln , ?IIIy

15) xxy cos)12( 3 , ?Vy

16) 3ln32 xxy , ?IVy

17) 2

121

xexxy , ?IVy

18) xx

y 2sin1 , ?IIIy

19) 4ln7 xxy , ?Vy

20) xxy 373 , ?IVy

КВМ

51

21) 5252ln

xxy , ?IIIy

22) xeyx

2sin2 , ?IVy

23) 5lnx

xy , ?IIIy

24) xxy 31ln , ?IVy

25) 232 13 xexxy , ?Vy

26) xxy 285 , ?IVy

27) 22ln

xxy , ?Vy

28) xxey x 2sin32cos , ?IVy

29) xxy 2ln15 , ?IIIy

30) 23log

xx

y , ?IVy

5. Обчислити границі:

1) а)

1543352lim 2

2

3

xxxx

x;

в)

11sin

lim1

x

xx

;

б) 4

71lim4

x

xxx

;

г) 47

46lim

x

x xx

.

2) а)

62274lim 2

2

2

xxxx

x;

в)

x

xxctg

sin1lim

0;

б) xx

xx

62

2lim2

;

г) 35

231lim

x

x x

3) а)

65352lim 2

2

3

xxxx

x;

в) xx

x 3cos15cos1

lim0

;

б) 5

91lim5

x

xxx

;

г) 24

46lim

x

x xx

.

КВМ

52

4) а)

25210113lim 2

2

2

xxxx

x;

в) 20

1sin1lim

xxx

x

;

б) xx

xx

73

2lim2

;

г) 17

28lim

x

x xx

.

5) а)

4728143lim 2

2

4

xxxx

x;

в) xxx

tg2

lim

2

;

б) 2

37lim2

x

xxx

;

г) 53

3454lim

x

x xx

.

6) а)

2515225254lim 2

2

5

xxxx

x;

в) 11

sinlim0 x

xx

;

б) xx

xx

35

1lim1

;

г) xx

xx

1

041lim .

7) а)

2828267lim 2

2

4

xxxx

x;

в) x

xx 5sin

24lim0

;

б) 2

84lim2

x

xxx

;

г) x

x xx 2

3lim

.

8) а)

501525152lim 2

2

5

xxxx

x;

в) xxx

x sincos1lim

0

;

б) xx

xx

62

4lim4

;

г) 12

6313lim

x

x xx

.

9) а)

532853lim 2

2

1

xxxx

x;

в)

xxhxh

x

sinsinlim

0;

б) 3

42lim3

x

xxx

;

г) xx

xx

7

031lim .

10) а)

5837136lim 2

2

1

xxxx

x;

в) x

xxxx 20 sin

sin2cos1lim

;

б) 23

22lim22

xx

xx

;

г) 15

3414lim

x

x xx

.

КВМ

53

11) а) 2

32

0 5lim

xxx

x

;

в) 20 5

5cos1lim

xx

x

;

б) 2

2

0

11limx

xx

;

г) x

x xx

11lim .

12) а) 2

23 22limxxxx

x

;

в) 2

2

02

tglim

x

x

x;

б) 2

2

0

11limx

xx

;

г)

2

11lim

2

2 x

x xx

.

13) а)

112lim

2

1

xxx

x;

в) x

xx 3

3arcsinlim

0;

б) x

xx

11lim0

;

г) xx

x21lim0

.

14) а)

152353lim 4

4

xxxx

x;

в) x

xxx 3sin

2ctglim

2

0;

б) 20

2131limxx

xxx

;

г) 2

2343lim

x

x xx

.

15) а) 2

2

1

23limxxxx

x

;

в) xxx

5ctg5lim0

;

б) 2

529lim38

x

xx

;

г) 12

25lim

x

x xx

.

16) а)

1287lim 2

2

1

xxxx

x;

в) 7xsin5tglim

3

0

xxx

;

б) 32

2

0

131limxx

xx

;

г) 38

35lim

x

x xx

.

17) а)

42

42

3252limxxxxx

x

;

в) 3x8tg

lim0

xx

;

б) 3

512lim3

x

xx

;

г) 4

1lim

x

x xx

.

КВМ

54

18) а)

154lim 3

2

1

xxx

x;

в) x

xx 3

arcsin2lim0

;

б) 22

2lim2

x

xx

;

г) xx

x21lim0

.

19) а)

6512lim

2

2

3

xx

xxx

;

в)

4

2

0 7cos1limx

xx

;

б) xx

xx 22

24lim3

2

;

г)

x

x xx

2

2 1lim .

20) а)

xxxx

x 412lim 2

2

4

;

в) xx

x 2tg5sinlim

0;

б) 2

3 2

0

11limxx

x

;

г) x

x xx

23lim .

21) а)

25223lim

2

2

2

xx

xxx

;

в) xxx

3ctglim 220

;

б) xxxx

1lim 2 ;

г) x

x xx

414lim .

22) а)

20492lim

2

2

4

xx

xxx

;

в)

6

3

0

cos1limx

xx

;

б) x

xxx

11lim2

0

;

г) x

xx /1

021lim

.

23) а)

1572152lim

2

2

5

xx

xxx

;

в) x

x

x 5sin2

7tg2lim

2

2

0;

б) 11lim 22

xxx

;

г) x

x xx 2

1414lim

.

24) а)

23752lim

2

2

1

xx

xxx

;

в) x

xxx 5sin

2ctglim

33

0;

б) 11

11lim2

0

xxx

x;

г) 2

31lim

x

x xx

.

КВМ

55

25) а)

62lim

2

2

2

xx

xxx

;

в) xxx

x 2sin7tglim

3

2

0;

б) 11lim 22

xxxxx

;

г) 13

110lim

x

x xx

.

26) а)

2126lim 2

2

3

xxxx

x;

в) x

xx cos1lim

2

0 ;

б) x

xxx 3

11lim0

;

г) 32

1313lim

x

x xx

.

27) а)

134743lim

2

2

1

xx

xxx

;

в) xxx

x 3tg2sin

lim20

;

б) 7

32lim7

x

xx

;

г) 47

46lim

x

x xx

.

28) а)

253103lim

2

2

2

xx

xxx

;

в)

4

2

1 5cos1limx

xx

;

б) 3712lim 22

xxxxx

;

г) 23

4676lim

x

x xx

.

29) а)

255lim

2

2

5

x

xxx

;

в) 20

2cos1

limx

x

x

;

б) 1327122lim 22

xxxxx

;

г)

2

11lim

2

2 x

x xx

.

30) а)

822lim

2

2

2

xx

xxx

;

в) xx

x 7tg6sinlim

2

2

0;

б) xx

xxx 5

6231lim25

;

г) x

x x

21lim .

7. Обчислити границі функцій, застосовуючи правило Лопіталя:

1) а)

0

ln 1 sinlim .

sin 4x

xx

16) а)

3 2

0lim .

2arcsin sin

x x

x

e ex x

КВМ

56

б) 2 3

0

7 5lim .2 arc 3

x x

x x tg x

в) 20

2lim .sin

x x

x

e ex

б) 20

1 cos10lim .1xx

x

e

в) 20

1 sin cos2lim .sinx

x x xx

2) а)

2

0

3 5lim .sin3x

x xx

б) 2 2

0

6 7lim .sin3 2

x x

x x x

в) 3

1

1lim .sin 1x

xx

17) а)

5 3

0lim .

sin 2 sin

x x

x

e ex x

б) 0

1 cos2lim .cos7 cos3x

xx x

в) lim .ln lnx

tgx tgx

3) а)

0

4lim .2x

xtg x

б) 2 3

30

3 5lim .arc

x x

x tg x x

в) 30

1 1 sinlim .x

tgx xx

18) а)

2 3

20lim .

arc

x x

x

e etg x x

б) 0

2lim .2 1/ 2x

xtg x

в) 0

lim .sin sin

x x

x

e ex x

4) а)

3

20

1 coslim .4x

xx

б) 5

0

3 2lim .sin9

x x

x x x

в) 20

1 sin 1lim .1xx

x x

e

19) а)

4 2

0lim .

2arc sin

x x

x

e etg x x

б) 0

arcsin3lim .2 2x

xx

в)

3

2

10lim .

x x

xx

x e e

e e

5) а)

0

2 1lim .ln 1 2

x

x x

б) 3

0

12 5lim .2arcsin

x x

x x x

в) / 3

1 2coslim .sin 3x

xx

20) а)

7 2

0lim .

sin 2

x x

x

e ex x

б) 0

arc 2lim .sin 2 10x

tg xx

в) 2

1

1lim .sinx

xx

КВМ

57

6) а)

0

ln 1 7lim .

sin 7x

xx

б) 5 7

0

3 2lim .arcsin 2

x x

x x x

в) / 4

sin coslim .lnx

x xtg x

21) а)

5

30lim .

arcsin

x x

x

e ex x

б) 20

cos 5 / 2lim .

arcsin 2x

x tgxx

в) lim .x b

x b

a ax b

7) а)

0

9ln 1 2lim .

4arc 3x

xtg x

б) 7

0

4 2lim .3

x x

x tg x x

в) 2

0

1 cos2lim .sin3x

x tg xx x

22) а)

0lim .

2 sin

x x

x

e etg x x

б) 0

1 3 1lim .cos 1 / 2x

xx

в) 0

sin 2 2sinlim .ln cos5x

x xx x

8) а) 20

sin 7lim .x

xx x

б) 2

0

10 7lim .2 arc

x x

x tg x tg x

в) 1 2

1lim .logx

xx

23) а)

2

0lim .

sin3 sin5

x x

x

e ex x

б) 0

4 2lim .3arcx

xtg x

в) 1

2 2lim .ln

x

x x

9) а)

0

2sin 1lim .

ln 1 2x

xx

б) 3 2

30

7 3lim .x x

x tg x x

в) sin 2 sin

0lim .

x x

x

e etg x

24) а)

4 2

0lim .

2 sin

x x

x

e etg x x

б) 0

cos2 coslim .1 cosx

x xx

в) xtg

xx

1loglim 55

10) а)

0

1 1lim .sin 2x

xx

б) 2

0

3 7lim .arcsin3 5

x x

x x x

25) а)

2 5

0lim .

2sin

x x

x

e ex tg x

б) 30

sin 5lim ln 2.

1xx

xe

КВМ

58

в) 0

sin sinlim .h

h x x hh

в)

0

2 2lim .sin3x

xx

11) а)

0

1 coslim .sinx

xx x

б) 5 2

30

4 9lim .sin

x x

x x tg x

в) 20

2lim .x h x h x

h

a a ah

26) а)

3 2

0lim .

sin3 2

x x

x

e ex tg x

б) 30

arcsin 2lim ln 2.2 1xx

x

в) 0

1 coslim .1 cosx

xx

12) а)

4

0

1lim .sin / 2 1

x

x

ex

б) 2 3

20

5 2lim .sin sin

x x

x x x

в) 3

3

5 2lim .sinx

xx

27) а)

3

0lim .

sin3 2

x x

x

e ex tg x

б) 20 3

1 coslim .1x x

x

e

в) 2

2/ 6

2sin sin 1lim .2sin 3sin 1x

x xx x

13) а)

2 2

40

sinlim .x

x tg xx

б) 3

0

9 2lim .arc 2 7

x x

x tg x x

в) 10

lg 1lim .9 1x

xx

28) а)

2

20lim .

sin

x x

x

e ex x

б) 0

arcsin 2lim .ln 1x

xe x

в)

1

0

3 3lim .ln 1 1

x

xx x xe

14) а)

0

sinlim .1 cos2x

tg x xx x

б) 5 7

0

3 2lim .2

x x

x x tg x

в) 20

cos 1lim .sin 2x

xx

29) а)

2

0lim .

sin 2 sin

x x

x

e ex x

б) 2

20

ln 1lim .

1 1x

x

x

в) 0

sin sinlim .ln / 4x

bx axtg ax

15) а)

0

1 / 2lim .

ln 1x

tg xx

30) а)

3 2

30

3lim .arcsin

x x

x

ex x

КВМ

59

б) 2

20lim .

x x

x

e ex tg x

в) 3

2/ 2

1 sinlim .cosx

xx

б)

30

2 1lim .

3 1 1

x

x

e

x

в) 33

log 1lim .x

xtg x

8. Знайти найбільше і найменше значення функції на заданому відрізку.

1) ]4;1[;16162 xxy . 16) ]2;4[;3)4()2(23 2 xxy

2) ]2;1[;)2(

43 2

x

xy 17) ]3;3[;

52)3(2

2

2

xx

xy

3) ]6;0[;1)8()2(23 2 xxy 18) ]5;1[;)7()1(21 3 2 xxy

4) ]4;1[;22772 2

2

xxxxy 19) ]2;1[;92

1642 xxxy

5) ]4;0[;2 xxy 20) ]5,0;2[;15842 x

xy

6) ]5;1[;)5()2(23 2 xxy 21) ]3;0[;1

102x

y

7) ]9;1[;54 xxy 22) ]5;2[;)2()1(23 2 xxy

8) ]1;4[;828

2 x

xy 23) ]4;2[;591082 2 xxy

9) ]3;3[;2)5()1(23 2 xxy 24) ]2;1[;22

10102

xx

xy

10) ]1;2[;54)32(2

2

xxxxy 25) ]6;1[;)3(23 2 xxy

11) ]4;0[;1)4()1(23 2 xxy 26) ]7;1[;824 xxy

12) ]1;2[;52822

2 xxxy 27) ]2;4[;

44

2

x

xy

13) ]5;2[;1311622

x

xxy 28) ]4;2[;)6(23 2 xxy

14) ]2;5,0[;1548 2 x

xy 29) ]1;5[;

52)3(2

2

2

xx

xy

КВМ

60

15) ]4;1[;44 2xxy 30) ]5;1[;212 xxy

8. Провести повне дослідження та побудувати графік функції xfy .

1) 11

x

xy . 11) 2

2

xxy . 21) 4

122

x

y .

2) 21 xx

y . 12) xxy

12

2. 22) 2

3

3 xxy

.

3) 12

3

xxy . 13)

23 2

x

xy . 23) 2

34x

xy .

4) x

xy 82 2 . 14) 22

2

xxy . 24)

12 2

xxy .

5) 13

2

xxy . 15) x

xy 1 . 25)

4962

x

xxy .

6) 2

62 2

xxy . 16)

21 2

xxy . 26)

xxy

242

.

7) 1

442

x

xxy . 17) 2

3 4x

xy . 27) x

xy 2

12

.

8) 24

x

xy . 18) x

xy

1

2. 28)

xxy 12

.

9) 1

2 2

xxy . 19)

42

3

xxy . 29)

xxy21

2 2

.

10) 152

x

xxy . 20) x

xy52

2

. 30) x

xy 41

.

9. Методами диференціального числення провести повне дослідження

вказаних функцій та побудувати їх графіки.

1) )1(2)32( xexy . 11) )2(2

)2(2

xey

x

. 21)

34

ln2

x

xy .

КВМ

61

2) )1(2

)1(2

xey

x

. 12)

22

ln

x

xy . 22) 2)1( xexy .

3) 1

3ln3

xxy .

13) )2(2)52( xexy . 23) 3

3

xey

x

.

4) 2)3( xexy . 14) x

eyx

3

3

. 24)

15

ln

x

xy .

5) x

eyx

2

2

. 15)

11

ln2

x

xy . 25) )2(2)32( xexy .

6) 1

2ln

xxy .

16) 3)4( xexy . 26) )1(2

)1(2

xey

x

.

7) xexy 3)2( . 17) )2(2

)2(2

xey

x

. 27)

25ln

x

xy .

8) )1(2

)1(2

xey

x

. 18)

33ln2

x

xy . 28) )3()4( xexy .

9) 4

ln33

x

xy . 19) )1(2)12( xexy . 29)

3

3

xey

x

.

10) )1(2)12( xexy . 20) 2

)2(

xey

x

. 30)

16ln

x

xy .

10. Методами диференціального числення провести повне

дослідження вказаних функцій та побудувати їх графіки.

1) 252 xxy . 16) 42 xxy .

2) 252 xxy . 17) 42 xxy .

3) xxy 252 . 18) xxy 42 .

4) 362 xxy . 19) 642 xxy .

5) 362 xxy . 20) 642 xxy .

6) xxy 362 . 21) xxy 642 .

КВМ

62

7) 162 xxy . 22) 812 xxy .

8) 162 xxy . 23) 812 xxy .

9) xxy 162 . 24) xxy 812 .

10) 492 xxy . 25) 1002 xxy .

11) 492 xxy . 26) 1002 xxy .

12) xxy 492 . 27) xxy 1002 .

13) 92 xxy . 28) 1212 xxy .

14) 92 xxy . 29) 1212 xxy .

15) xxy 92 . 30) xxy 1212 .

11. Методами диференціального числення провести повне дослідження

вказаних функцій та побудувати їх графіки.

1) 1

3322

x

xxy.

16) 3

3462

x

xxy.

2) 4

1722

x

xxy.

17) 2

4922

x

xxy.

3) 1

3052

x

xxy.

18) 3

2562

x

xxy.

4) 1

852

x

xxy.

19) 1

6632

x

xxy.

5) 4

3362

x

xxy.

20) 4

3772

x

xxy.

6) 1

1722

x

xxy.

21) 2

4122

x

xxy.

КВМ

63

7) 2

4462

x

xxy.

22) 3

3322

x

xxy.

8) 1

2052

x

xxy.

23) 2

2982

x

xxy.

9) 3

3632

x

xxy.

24) 1

1682

x

xxy.

10) 1

5762

x

xxy.

25) 3

3632

x

xxy.

11) 1

1682

x

xxy.

26) 1

5762

x

xxy.

12) 3

3632

x

xxy.

27) 1

1682

x

xxy.

13) 1

5762

x

xxy.

28) 2

922

x

xxy.

14) 1

6962

x

xxy.

29) 3

3772

x

xxy.

15) 1

1052

x

xxy.

30) 4

2132

x

xxy.

КВМ

64

Список літератури

1. Ковальчук Б.В., Шіпка Й.Г. Математичний аналіз. Частина 1: Навчальний

посібник. − Львів: Видавничий центр ЛНУ імені Івана Франка, 2002. − 270 с.

2. Шкіль М.І. Математичний аналіз. Підручник. Ч.І. − К.: Вища школа, 1994. −

423 с.

3. ЛяшкоІ.І., Ємельянов В.Ф., Боярчук О.К. Математичний аналіз. У 2-х ч. Ч.І.

− К.: Вища школа, 1992. − 495с. Ч.ІІ. − К.: Вища школа, 1993. − 375с.

4. Бабенко В.В., Зіневич А.Г., Кічура С.М., Тріщ Б.М., Цаповська Ж.Я. Збірник

задач з вищої математики: Навч. посібник з грифом МОН України. –

Видавничий центр ЛНУ імені Івана Франка, 2005. – 255 с.

5. Лісевич Л.М., Бабенко В.В., Бокало М.М., Тріщ Б.М. Математичний аналіз у

задачах і вправах. Київ, НМК ВО, 1993.

6. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.

− М.: Наука, 1990. − 624 с.

КВМ

65

Зміст

1. Похідна функції……………...…………………………………. 3

2. Геометричний зміст похідної……………….………………… 3

3. Диференційовні функції. Диференціал………………………. 5

4. Правила диференціювання………………………………………. 6

5. Похідні основних елементарних функцій……………………….. 6

6. Похідна складеної функції……………………………………….. 7

7. Логарифмічне диференціювання…………………………………. 7

8. Похідні вищих порядків…………………………………………. 8

9. Диференціали вищих порядків………………………………….. 8

10. Похідна параметрично заданої функції………………………… 9

11. Основні теореми диференціального числення…………………. 9

12. Формула Тейлора………………………………………………… 12

13. Екстремум функції ……………………………………………….. 13

14. Опуклість графіка функції……………………………………….. 14

15. Точки перегину графіка функції…………………………………. 15

16. Асимптоти…………………………………………………………. 16

17. Приклади розв’язування задач………………………………….. 17

18. Індивідуальні завдання……………………………………………. 42

19. Список літератури…………………………………………………. 64