primeira parte da matéria (p1)
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cálculo 4 ufrjTRANSCRIPT
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Testes de Convergncia para Termos Positivos
* Se uma srie =1 converge entao lim
+ = 0
** Se sabemos apenas que lim +
= 0 ento nada podemos falar sobre a convergncia da serie.
1. A Srie Geomtrica = + + + + . . .=0 converge para a soma
1 se || < 1 e
diverge se || 1.
2. A Srie-P 1
=1 diverge se 1 e converge se > 1.
3. A Srie Telescpica ( +1 )=1 converge se lim
++1 existe.
4. Teste da Divergncia: Se lim +
0, ento a srie infinita =1 divergente.
5. Teste da Integral: Seja uma funo contnua, decrescente e positiva para todo 1.
Sendo = ():
(i) se ()
converge ento
= converge.
(ii) se ()
diverge ento
= diverge.
6. Teste da Comparao: Sejam =1 e
=1 com 0 < , para todo n.
(i) se =1 converge ento
=1 converge.
(ii) se =1 diverge ento
=1 diverge.
Em geral ser uma Srie-P ou Srie Geometrica
7. Teste de Comparao por Limite: Sejam =1 e
=1 , duas sries de termos positivos.
(i) se lim +
= > 0, ento ambas as sries covergem, ou ambas divergem.
(ii) se lim +
= 0 e se
=1 converge ento
=1 converge.
(iii) se lim +
= + e se
=1 diverge ento
=1 diverge.
Testes de Convergencia para Termos No Positivos
8. Teste de Sries Alternadas ou Teste de Leibniz: Seja (1) com > 0 para todo .
(i) se +1 , ou seja, {} decrescente (ii) e lim
= 0
Ento a srie converge.
9. Teste da Razo ou Teste de dAlembert: Seja =1 uma srie. Ento:
(i) se lim+
|+1
| = < 1, a srie absolutamente convergente;
(ii) se lim+
|+1
| = > 1 ou lim
+ |
+1
| = +, a serie divergente;
(iii) se lim+
|+1
| = 1 , nenhuma concluso podemos tirar quanto convergncia da srie.
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10. Teste da Raiz ou Teste de Cauchy: Seja =1 uma srie. Ento:
(i) se lim+
||
= < 1, a srie absolutamente convergente;
(ii) se lim+
||
= > 1 ou lim+
||
= +, a srie divergente;
(iii) se lim+
||
= 1, nenhuma concluso podemos tirar quanto convergncia da srie.
11. Convergncia Absoluta e Convergncia Condicional: Seja =1 uma srie. Ento:
(i) se ||=1 converge ela dita absolutamente convergente. Automaticamente, a srie
=1 tambm converge.
(ii) se ||=1 no converge mas
=1 converge ela dita condicionalmente
convergente.
Estrategia para Testar Sries
1. Se a srie for da forma 1
, ela urna p-srie, que sabemos ser convergente se > 1 e
divergente se 1.
2. Se a srie tiver a forma 1 ou , ela uma srie geomtrica, que converge se || < 1 e diverge se || 1. Algumas manipulaes algbricas podem ser necessrias para deixar a srie dessa forma.
3. Se a srie tiver uma forma similar a uma p-srie ou a uma srie geomtrica, ento um dos testes de comparao deve ser considerado. Em particular, se for uma funo racional ou urna funo algbrica de (envolvendo razes de polinmios), a srie deve ser comparada com urna p-srie. Os testes de comparao se aplicam apenas a sries com termos positivos, mas, se tiver alguns termos negativos, ento poderemos aplicar o Teste da Comparao em || e testar a convergncia absoluta.
4. Se voc vir que lim +
0, o Teste para Divergncia deve ser usado.
5. Se a srie for da forma (1)1 ou (1) ento o Teste da Srie Alternada
uma possibilidade bvia.
6. Sries que envolvem fatoriais ou outros produtos (incluindo uma constante elevada n-sima potncia) so com frequncia testadas convenientemente usando-se o Teste da Razo. Tenha em
mente que +1
1 quando para todas as p-sries, e portanto todas as funes racionais ou
algbricas de n. Ento. o Teste da Razo no deve ser usado para tais sries.
7. Se for da forma (), o Teste da Raiz pode ser til.
8. Se = (), onde ()
1 facilmente calculada, ento o Teste da Integral eficaz (satisfeita
as hipteses para este teste).
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Encontrando a Representao de Uma Funo como Srie de Potncias
Existem trs formas:
1) Atravs de srie de Taylor
1 passo: Expandir a srie de Taylor at se encontrar um padro de repetio
2 passo: Tomar a derivada de cada termo expandido
3 passo: Substituir os valores encontrados na frumla da Srie de Taylor
4 passo: Escrever a srie de potncias correspondente srie de Taylor encontrada.
2) Atravs da derivao/integrao de uma srie conhecida
ex: representao de () como srie de potncias
Sabemos que () a derivada de (). Basta entao derivar a srie de potencias correspondente () que encontraremos a srie para ()
3) Atravs da multiplicao/divisao de um termo por uma srie conhecida
ex: representao de () como srie de potncias
Se sabemos a srie de potncias referente ao (), basta multiplicar ela por x para encontrarmos a serie correspondente ao ()
Serie de Potncias - Receita para Encontrar o Intervalo de Convergncia
Uma srie de potncias uma srie da forma:
( ) = 0 + 1( )
2 + 3( )3 + + ( )
=0
Para uma serie de potncias existem apenas trs possibilidades com relao convergencia:
(i) A srie converge apenas quando = . (ii) A srie converge para todo . (iii) Existe um nmero positivo tal que a srie converge se | | < e
diverge se| | > . Damos o nome de raio de convergncia ao valor .
Encontrando o intervalo de convergencia
1 passo: Utilizar o teste da Razao ou o teste da Raiz.
lim+
|+1
| ou lim
+ ||
2 passo: Analisar o resultado do teste
i) Se o teste deu um nmero > 1, ento a srie converge apenas quando = 0. O raio de convergencia neste caso = .
ii) Se o teste deu um nmero < 1, ento a srie converge para todo x. O raio de convergencia neste caso = .
iii) Se o teste deu uma inequaao do tipo | | < 1, ento basta apenas resolver a inequao. O raio de convergncia neste caso = + O intervalo de convergncia ser + < < +
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3 passo: Testar a convergncia/divergncia nas extremidades do intervalo
(i) Substituir na serie original as extremidades encontradas no passo anterior. (ii) Utilizar o teste da Comparao, da Integral ou da Serie Alternada para descobrir se
aquelas extremidades convergem ou divergem.
Serie de Potncias - Derivao e Integrao e Sries de Taylor
Se a serie de potncias ( )
=0 tiver um raio de convergncia > 0, ento fazemos
() = 0 + 1( ) + 2( )2 + = ( )
=0
E a derivada e integral da srie sero dadas por:
() = 1 + 22( ) + 33( )2 + = ( )
1
=0
() = + 0( ) + 1( )
2+ =
( )
+ 1
+1
+
=0
O raio de convergencia continua sendo R.
* Prestar atenao! Na derivada h o deslocamento do ndice.
Chama-se srie de Taylor de f no ponto a a srie de potncias
() = ()()
!( ) = () + ()( ) +
()
2!( )2 + +
()()
!( ) +
=0
Quando = 0 chamamos de srie de Mac-Laurin de
()(0)
!
=0
= (0) + (0) +(0)
2!2 + +
()(0)
! +
Se () pode ser representado como uma serie de potncias ento
=()()
!
Srie em Ponto Ordinrio - Soluo por Sries de Potncia
Seja a equao
()" + () + () = 0
Dividindo tudo por () temos
() =()
() e () =
()
()
Se (0) 0 dizemos que 0 ponto ordinrio, e que as funes () e () sao analticas em 0.
Se (0) = 0O dizemos que 0 um ponto singular.
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Pelo teorema do ponto ordinrio, existem duas solues linearmente independentes da forma
= ( 0)
=0
e o raio de convergncia dado pela diferena entre o ponto ordinario utilizado e o ponto singular mais proximo.
1 passo: Checar se o ponto utilizado mesmo um ponto ordinario. Para facilitar os clculos, em geral utiliza-se 0 = 0.
2 passo: Dizemos que a soluo da equaao da forma:
= ( 0)
=0
= ()( 0)1
=1
= +1( + 1)( 0)
=0
= ()( 1)( 0)2
=2
= +2( + 2)( 0)
=0
3 passo: Substituir e " na equaao do "enunciado". Ateno com o indice das derivadas!
4 passo: Trabalhar algebricamente com as equaes para juntar os coeficientes de ( 0) em
um nico coeficiente () colocando ( 0) em evidencia.
5 passo: Achar a relao de recorrncia. Para isso fazemos () = 0 e isolamos o termo de maior ndice. Logo aps, escrevemos os termos da relao de recorrncia comeando por = 0 e buscamos identificar um padro. Dica: escrever os ndices pares e impares separadamente.
6 passo: Escrever o padro encontrado na forma de serie.
7 passo: Escrever a soluao na forma:
= = 01() + 12()
=0
Ateno! Os valores 0 e 1 so dados pelas condies iniciais: 0 = (0) e 1 = (0)
Srie em Ponto Singular Regular Equaes de Euler
As Equaes de Euler so equaes diferenciais da forma
[] = + + = 0
Onde e so coeficientes constantes.
Encontrando as solues da equao
1 passo: Dizemos que a equao tem uma soluo do tipo.
=
2 passo: Determinar e .
= 1
= ( 1)2
3 passo: Substituir e na equao e determinar as raizes 1 e 2
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Aps descobrir as raizes, teremos 3 casos diferentes:
RAZES REAIS E DISTINTAS
1() = 1 2() =
2
() = 11 + 2
2 > 0
RAZES IGUAIS
1() = 1 2() =
2
() = (1 + 2 )1 > 0
RAZES COMPLEXAS
Suponha que as razes so complexas conjugadas, digamos, = + e = , com 0
() = 1 cos( ) + 2
sen( ) > 0
Transformadas de Laplace - Receita para Resoluo do PVI
A transformada de Laplace de (), designada por {()} ou () :
{()} = () = ()
0
S existe transformada de uma funao () caso o seguinte limite exista:
lim
()
0
Em geral, utiliza-se a integrao por partes para resolver as integrais.
Propriedades das Transformadas de Laplace
(i) {1() + 2()} = 1{()} + 2{()} = 1() + 2()
(ii) {()} = ( )
(iii) {()} = 1
[()]
Encontrando a soluo para Problemas de Valor Inicial (PVI)
Antes de tudo, necessrio garantir duas condies para que a transformada de uma funo exista:
(i) a funao deve ser seccionalmente contnua (contnua por partes) (ii) a funo deve ser de ordem exponencial (limitada por uma exponencial)
1 passo: Calcular a transformada de Laplace da equao diferencial, utilizando
{()} = ()
{()} = () 0
{()} = 2 () 0 1
para expressar {} e {} em funao de ()
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2 passo: Substituir os valores de 0 e 1 dados pelas condies iniciais, onde
(0) = 0, e (0) = 1
3 passo: Resolver para ()
Neste passo geralmente camos numa frao de polinmios. Para resolver este problema, utilizamos fraoes parciais de modo a separar a fraao em funes familiares que saibamos a transformada.
4 passo: Encontrar a inversa da transformada, pois sabemos que
1{ () } = ()
Transformadas de Laplace - Funo Degrau e Delta de Dirac
Funo Degrau: A funo degrau unitrio definida e denotada por:
() = {0, < , 01, 0
A transformada de Laplace da funo degrau :
{()} =
, > 0
Utilizamos a funo degrau quando queremos escrever uma funo com "salto" (). Essa funo () pode ser obtida pela translao de uma funo conhecida ().
Podemos escrever usando a funo e a funo degrau
() = () ( ) = {0, < ( ),
Teorema do Deslocamento em t
Se a funo () sofre um deslocamento de unidades ento sua transformada alterada por um fator multiplicativo :
{() ( )} = {()} = ()
Reciprocamente, se () = 1{()}, ento
1{ ()} = () ( )
Teorema do Deslocamento em s
Se multiplicamos a funo () por sua transformada sofre um deslocamento em unidades;
{ ()} = ( )
Reciprocamente, se () = 1{()}, ento
() = 1{( )}
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Delta de Dirac: utilizado para definir funes de impulso unitrio e tem as seguintes propriedades:
() 0,
() = 1
0
() () = ()
0
{()} =
Notao: () = 0()