primer

7/18/2019 Primer

http://slidepdf.com/reader/full/primer-5696cdc7d6000 1/6

PRIPREME ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE

TRIGONOMETRIJSKEJEDNAČINE INEJEDNAČINE11. vikend

TEORIJSKI UVOD Trigonomeri!"ke i inver#ne rigonomeri!"ke $%nk&i!e.Z' o(re %g)ove rigonomeri!"ke $%nk&i!e moemo de*ni"'i i# +r'vo%g)og ro%g)'. Kori"ei ,rigonomeri!"kikr%g, rigonomeri!"ke $%nk&i!e moemo de*ni"'i i #' o"')e vredno"i i# "egmen' -,/π 0. Ako !o( %#memo %o#ir i d' "% "in i &o" /π +eriodi2ne $%nk&i!e3 ' g i &g π +eriodi2ne3 mi im'mo de*ni"'ne ove $%nk&i!e n' &e)om

"k%+% R3 i#%#ev '2'k' odno"no kπ #' &g.

D' i"mo de*ni"')i inver#ne rigonomeri!"ke $%nk&i!e3 mor'mo +rvo videi gde !e %o+(e o mog%e. N'ime3inver#n% $%nk&i!% neko! moemo de*ni"'i "'mo % ")%2'!% i!ek&i!'3 ' ni!edn' rigonomeri!"k' $%nk&i!' oni!e.

Po"m'r'!mo +rvo $%nk&i!% "in. Ov' $%nk&i!' !e r'"%' n' "egmen% 3 +' !e n' om "egmen% 1 4 1.

S)ik' og "egmen' !e "egmen -41,103 +' !e "'d' $%nk&i!' i!ek&i!'3 +' +o"o!i 5o!inver#n' $%nk&i!' ko!' "e #ove arkussinus3 % o#n'&i 'r&"in. Domen ove $%nk&i!e !e3 d'k)e3 "egmen -41,10.

S)i2no de*ni(emo i $%nk&i!% inver#n% ko"in%"%3 "'mo emo &o" +o"m'r'i 'mo gde !e on in!ek&i!'.Dogovorno "e +o"m'r' "egmen -,π 0. N' i"i n'2in "e ond' de*ni(e $%nk&i!' arkuskosinus3 % o#n'&i'r&&o".

6%nk&i!e arkustangens i arkuskotangens "e de*ni(% k'o inver#ne $%nk&i!e 'ngen"% i ko'ngen"% n'

inerv')im' 3 redom. Domeni ovi7 $%nk&i!' "% &eo "k%+ re')ni7 ro!ev'. 8i7ove o#n'ke "%

'r&g i 'r&&g.

Trigonomeri!"ke !edn'2ine.I'ko "e %g'o moe merii i % "e+enim' i % r'di!'nim'3 !edn'2ine i ne!edn'2ine "e %vek re('v'!% %r'di!'nim'3 o !e" % ,π 9ovim',. Jedn'2in' "in x : a nem' re(en!' %ko)iko !e a > 1 i)i !e a < 41. Ako !e 41 ;a ; 1 ond' emo oe)eii ro! a n' y o"i i n'&r'i +r'v% ko!' +ro)'#i kro# % <oe)een%= '2k% i +ron'i 5ene+re"eke "' kr%gom x / > y / : 1. Ug)'vno e i7 ii dv' <o"im 'ko !e a : ?1=3 !ed'n % de"no!3 i dr%gi % )evo!+o)%r'vni. Ug'o ko!i odgov'r' +re"ek% % de"no! +o)%r'vni !e 'r&"ina. T'ko n'(' !edn'2in' im' dv' re(en!' %o"novnom inerv')%. To "% 'r&"ina i π 4'r&"ina3 ' #og /π 9+eriodi2no"i "v' re(e5' "% 'r&"ina>/kπ i π 4'r&"ina > /kπ 3 gde !e k +roi#vo@'n &eo ro!. S)i2o r'#m'r'5e moemo +onovii i % ")%2'!% !edn'2ine &o" x :a " im (o !e "'d' !edno re(e5e % gor5o! +o)%r'vni3 <'r&&o"a=3 ' dr%go % do5o!. I# "+e&i*2ni7 r'#)og' "v're(e5' !edn'2ine &o" x : a )'k(e #'+i"%!emo3 o "% ro!evi ?'r&&o"a > /kπ 3 k Z.

Neki +% !e kori"no #n'i re(e5e !edn'2ine g x : a. Ov' !edn'2in' %vek im' '2no !edno re(e5e % inerv')%<4π/ /,π/ /= i o !e x : 'r&ga. Me%im3 'ngen" !e π 9+eriodi2n' $%nk&i!'3 +' "% "v' re(e5' !edn'2ine g x : ad'' "' x : 'r&ga > kπ 3 k Z. Or'ie +'5%B π 3 ' nik'ko /π +eriodi2n'C

O"')e !edn'2ine r'#nim r'n"$orm'&i!'m'3 "men'm'3 id. re' "ve"i n' nek% od ovi7 o"novni7.

Po"m'r'emo i !edn% "+e&i*2n% !edn'2in%3 ko!' "e % neko! $ormi +o!'v@%!e 2e"o n' +ri!emnim i"+iim'. To !e !edn'2in' a"in x > b&o" x : c. Po"%+'k #' re('v'5e ove !edn'2ine !e ")edei. Prvo +ode)imo &e)%

!edn'2in% "' a/ > b/. Doi!'mo !edn'2in%.Koe*&i!eni %# "in x i &o" x "% 'kvi d' !e #ir 5i7ovi7 kvdr'' !edn'k 13 +' !e +rvi od 5i7 "inα3 ' dr%gi &o"α3 #' neki ro! α -,π 03 +' !edn'2in' +o"'!e

. Ov' !edn'2in' im' re(e5e k'd' !e ro! "' )eve "r'ne i# "egmen'-41,103 odno"no k'd' !e c/ a/ > b/.

/

7/18/2019 Primer


Trigonomeri!"ke ne!edn'2ineRe(imo !edn% od o"novni7 ne!edn'2in'3 "in x > a. R'#)ik%!emo ri ")%2'!'. PrviB 'ko !e a F 1 'd' !edn'2in'nem' re(e5'. Dr%giB 'ko !e a < 41 'd' !edn'2in% #'dovo@'v'!% "vi ro!evi <%g)ovi=. Trei i n'!#'nim@ivi!i !e")%2'! k'd' !e 41 a < 1. T'd' "e '2k' M ko!' odgov'r' %g)% x mor' n')'#ii i#n'd +r've y : a3 ' o e reid' "e %g'o ϕ mor' n')'#ii i#me% dv' re(e5' odgov'r'!%e !edn'2ine3 odno"no x <'r&"ina,π 4 'r&"ina=.Dod%(e "'mo k'd' !e x % o"novnom inerv')%. K'd' n' "ve o dod'mo +o /kπ 3 re(e5e e ii x k Z<'r&"ina > /kπ,π 4 'r&"ina > /lπ =. Kod ")i2ne3 ')i ne i i"e ne!edn'2ine "in x < a re' ii +o"enoo+re#'n. T'd' '2k' M mor' ii i"+od +r've y : a3 ')i nem' "mi")' #'+i"'i π 4'r&"ina < x < 'r&"ina !er !e+rvi ro! vei od dr%gogC S+'"ono"no re(e5e "e "'o!i % ome (o %g)ovi ,ne +'me ko)iko "% "e +%' orn%)i

oko koordin'nog +o2ek',3 o !e" )evo! '2ki "'"vim komono odgov'r' i %g'o 4π 4 'r&"ina3 +' korekno#'+i"'n' "v' re(e5' g)'"eB x k Z<4π 4 'r&"ina,'r&"ina=. S)i2n' r'#m'r'5' mog% "e %+oreii i 'ko !e %+i'5% ko"in%" %me"o "in%"'.

Ne!edn'2in' a"in x >b&o" x < c "e re('v' ")i2no k'o odogv'r'!%' !edn'2in'. Ume"o #n'k' < moe ii i)oko!i #n'k ne!edn'ko"i.

H

7/18/2019 Primer


ZADAI

Trigonomeri!"ke !edn'2ine.

601. Re(e5e !edn'2ine ko!e +ri+'d' inerv')% <,H= i#no"iB x :

602. Re(e5e !edn'2ine ko!e +ri+'d' inerv')% </,=3 i#no"iB x :

603. Re(e5e !edn'2ine ko!e +ri+'d' inerv')% <π,π =3 i#no"iB x :

/ x > </ 4 /="in x 4 / : "%3 #' k Z3 d'' %")ovomB604. Re(en!' !edn'2ine /"in

A= L= V= G=

605. Re(en!' !edn'2ine /&o" x "in/ x : &o" x "% d''%")ovomB kπ

A=

V= G=

606. Re(en!' !edn'2ine </"in x 4 H="in x : 41 "% d'' %")ovomB

A= x L= V=G=

615. Odredii %k%+'n ro! re(en!' rigonomeri!"ke !edn'2ine n' "egmen% -,/π 0.A= m'5e od H L= H V= G= D= vi(e od .

616. Odredii ro! re(en!' rigonomeri!"ke !edn'2ine &o" x > &o"/ x > &o"H x > &o" x : n' "egmen%-,/π 0.

A= m'5e od H L= H V= G=

617. N'i #ir "vi7 re(en!' !edn'2ine &o" x > : &o"/ x n' inerv')% <,/=.

D= vi(e od.

A= 1π L= V= /1π G= 1π

618. Ko)iko re(en!' % inerv')% <,/π = im' !edn'2in' "in/ x > &o" x > 1 :

D= /Qπ .

607. Ko)iko re(en!' % inerv')% -,/π 0 im' !edn'2in' "in/ x : .A= m'5e od H L= H V= G=

608. Ko)iko re(en!' % inerv')% -,/π 0 im' !edn'2in' &o"<H x/ /= : .

D= vi(e od .


609. Ko)iko re(en!' % inerv')% -,/π 0 im' !edn'2in' g x : "in/ x .

D= vi(e od .


610. Ko)iko re(en!' % inerv')% -,/π 0 im' !edn'2in' g</ x 4 = : &g< x > 1=.

D= vi(e od .


611. Ko)iko re(en!' % inerv')% -,/π 0 im' !edn'2in' "in x > H&o" x : /.

D= vi(e od .


612. Ko)iko re(en!' % inerv')% -,/π 0 im' !edn'2in' "in x 4 &o" x : 1.

D= vi(e od .


613. Ko)iko re(en!' im' !edn'2in' "in x > &o" x : H / / n' "egmen% -,π 0

D= vi(e od .

A= L= 1 V= / G= H

614. Ko)iko re(en!' im' !edn'2in' /"in x <&o" x > "in x = : 13 % inerv')% -,π/ /0.

D= vi(e od H.

A= L= 1 V= / G= H D= vi(e od H.

7/18/2019 Primer


A= L= 1 V= / G= H D= vi(e odH.

619. Odredii ko)iko re(en!' im' !edn'2in' 3 % inerv')% <4π/ /,π/ /=3A= L= 1 V= / G= H D= vi(e od H.

+620. Odredii ko)iko re(en!' im' !edn'2in' /"in< x > π/ H= : 1 / / > &o"<π/ 4 x = n' "egmen% -,/π 0.A= L= 1 V= / G= H D= vi(e od H. 621. I#r'2%n'i #ir re(en!' !edn'2ine "in x > &o" x > "in x

4 &o" x : 1 % inerv')% -,/π 0.A= L= π/ V= π/ H G= π/ / D= Hπ .

622. Odredii #' ko!e vredno"i re')nog +'r'mer' m !edn'2in' "in x 4 /&o"/ x > m/ : im'

'r !edno re(en!e. A= m R L= m <4,4 H0 V= m <4, H0 G= m -4 H, H0 D= m -4 /, /0.

623. Odredii ko)iko re(en!' im' !edn'2in' &o"/< x > α= 4 &o"/< x 4 α= : "in/α % inerv')% <,/π =3 'ko !e αo'r %g'o.

A= L= 1 V= / G= H D= vi(e od H.

624. Odredii ko)iko re(en!' im' !edn'2in' /1>/&o" x > 1"in/ H x : 3 n' "egmen% -,/π 0.A= m'5e od H L= H V= G= D= vi(e od .

625.

Ko)iko re(en!' im' !edn'2in' <&o"/ x =

/&o"H x >&o" x 41

: <&o"/ x =

41

% -,π/ 0A= L= 1 V= / G= H D= vi(e od H.

626. Ko)iko re(en!' im' !edn'2in' A= L= 1 V= / G= H D= vi(e od H.

627. Ko)iko !e ro!ev' α -,/π =3 'ko d' "% &o"α i "inα re(en!' !edn'2ine x / > mx > /n/ : 3 gde "% m in &e)i ro!evi

A= m'5e od H L= H V= G= D= vi(e od .

628. Z' ko!e vredno"i re')nog +'r'mer' a !edn'2in' "inQ x > &o"Q x : a im' re')ni7 re(en!'A= a -,10 L= a -41,10V= a : 1 G= a -1 / ,10 D= a -1 / Q,10.

629.

K'k'v odno" i#me% ro!ev' a3 b i c re' d' v'i d' i !edn'2in' a"in x > b&o" x : c im')' re')ni7re(en!'A= a < b < c L= a b < c V= a > b c G= a/ > b/ c/ D= a/ > b/ F c/.

630. Uk%+'n ro! re(en!' !edn'2ine "in/ x > "in/ / x : 1 n' inerv')% <,/π = !edn'k !eBA= / L= H V= G= D= .

631. Uk%+'n ro! re(en!' !edn'2ine n' inerv')% !eBA= L= 1 V= /G= H D= .

632. Re(en!' !edn'2ine ko!' #'dovo@'v'!% %")ov x < π im'BA= 1 L= / V= H

633. Lro! re(en!' !edn'2ine &o"/ x : "in x % inerv')% -,/π 0 !eB

G= D=

.A= L= 1 V= / G= H D=

.

634. Lro! re(en!' !edn'2ine ko!' #'dovo@'v'!% %")ov x < /π !eBA= 1 L= / V= H G= D= .

635. Zir "vi7 re(en!' !edn'2ine "in x > &o"/ x : "in/ x &o" x > &o"/ x ko!' +ri+'d'!% od"e2k% !eB

A= 4π L= V= D= /π .

7/18/2019 Primer


636. Ko)iko re(en!' im' !edn'2in' A= Vie od H L= H V= G= 1 D= /.

637. Lro! re(en!' !edn'2ine % inerv')% <41,11= !eBA= 1/ L= H V= 1/ G= 1/Q D= .

638. Lro! re(en!' !edn'2ine n' "egmen% -,/π 0 !eBA= L= 1 V= /

639. Lro! re(en!' !edn'2ine x / > x > 1 : &o" x !eB

G= H D= Vei od H.

A= L= 1 V= / G= H D= Vie odH.

Inver#ne rigonomeri!"ke $%nk&i!e. Trigonomeri!"ke ne!edn'2ine.

640. N' inerv')% -,/π 03 "k%+ re(en!' ne!edn'2ine "in/ x 4 "in x > H < !eB

A= L= <,π = V= G=

641. Sk%+ re(en!' ne!edn'2ine !e o+i"'n %")ovomB

A= L=

V= G=

642. Sk%+ re(en!' ne!edn'2ine !eBA= L= %ni!' "k%+ov' <<k 4 1=π,<k > 1=π =, k Z V= <π,/π = G=

643.

K

o)iko !e "in<'r&&o"< H / /= >'r&"in< H / /==

648. Odredii "k%+ oni7 re(en!' ne!edn'2ine &o"/ x > "in/ x ko!' "e n')'#e % inerv')% -,/π 0.A= -,π/ = <π/ ,/π 0 L= -,π/ = <π/ ,/π 0 V= -,π/ Q= <π/ Q,π/ Q= <1π/ Q,/π 0G= <,π/ = <π/ ,/π = D= -,π/ Q= <π/ Q,π/ Q= <1Hπ/ Q,/π 0.

649. Nek' !e x o'r %g'o. Odredii "k%+ re(en!' ne!edn'2ine "in/ x > &o" x .A= <π/ ,π/ = L= <π/ ,π/ /= <π/ ,π = V= <π/ ,π/ /= 650. ' !e

re(en!e ne!edn'2ine gH x > g/ x > 1 > g x G= <π/ ,π/ /0 D= <π/ ,π/ H=

A= π/ > kπ < x < π/ / > kπ L= π/ > kπ < x < π/ > kπ G=π/ > /kπ < x < π/ > /kπ D= π/ > /kπ < x < π/ / > /kπ .

651. Re(ii ne!edn'2in% &o"H x &o"H x 4 "inH x "inH x > / Q.

V= π/ > kπ < x < Hπ/ > kπ

A= <k 4 1=π/ H < x < <k > 1=π/ H L= <k 4 1=π/ < x < <k >

=π/ V= <k 4 1=π/ 1/ < x < <k > 1=π/ 1/ G= <k > 1=π/ 1/ < x < <k >

A= 41 L= H / /

644. I#r'2%n'i &o"<'r&g1 > 'r&&g1=.

V= 1 / / G= 1 D= .

A= L= 1

645. I#r'2%n'i "in<'r&"in<H / = > 'r&"in<Q / 1==.

V= 41 G= 1 / / D= /.

A= 1 / L= / Q

646. I#r'2%n'i 'r&g<1 / = > /'r&g<1 / H=.

V= Q / Q G= ?H / D= 1H / Q.

A= π/ > /kπ L= π/ V= π/ / G= 1 D= π/ >kπ .

647. I#r'2%'ni&g</'r&"in</ / H==.A= / / L= /

V= / /

G= D= >.

7/18/2019 Primer


=π/ 1/D= <k > 1=π/ < x < <k 4 1=π/ .

652. Nek' !e x o('r %g'o. Odredii "k%+ re(en!' ne!edn'2ine "in x > H&o" x >H. A= <,1= L= <,π/ H= V=

<π/ H,π = G= <,'r&&o" H= D= <,'r&"in H=.

653. Re(ii ne!edn'2in% "in/ x > "in/ / x > &o"/ x .A= <k > 1=π/ < x < <k > =π/ L= <k 4 1=π/ 1/ < x < <k > =π/ 1/ V= <k 4 1=π/ < x < <k >

=π/ G= <k 4 =π/ < x < <k > =π/ D= <k > 1=π/ 1/ < x < <k 4 =π/ 1/.

654. Odredii ko)iko re(en!' im' ne!edn'2in' "in x > &o" x 1 % "egmen% -,π 0.A= e"kon'2no mnogo L= ri V= dv' G= !edno D= ni!edno

655. Odredii "k%+ "vi7 #'!edni2ki7 re(en!' ne!edn'2in' .A= <,1 / /=L= <,1 / H= V= <,π/ H= G= <π/ ,1 / /= D= nem' #'!edni2ki7 re(en!'.

656. W' !e re(en!e ne!edn'2ine "in x > &o" x > 1A= x : π/ L= π/ > /kπ < x < π/ H > /kπ V= ne!edn'2in' !e %vek #'dovo@en' G= /kπ < x < π/ / > /kπ

D= 4π/ / > /kπ < x < π > /kπ i π > /kπ < x < Hπ/ / > /kπ . 657. Re(ii ne!edn'2in% <1 > /&o" x =, "in x .

A= π/ / > /kπ x /π/ H > /kπ L= π/ / > /kπ x /π/ H > /kπ i π/ H > /kπ x Hπ/ / > /kπ

V= π/ / > /kπ x Hπ/ / > /kπ G= π/ / > /kπ x π > /kπ D= π/ / > /kπ x /π/ H > /kπ i Hπ/ / > /kπ x π/ H > /kπ .

658. W' !e "k%+ re(en!' ne!edn'2ine /"in/ x > H"in x 4 H > i# inerv')' -,/π =

A= <4'r&"in H,π/ H L= -,π/ H= </π/ H,/π = V= <π/ H,/π/ H= G= -,π =

D= .

659. Nek' !e S "k%+ "vi7 ro!ev' x #' ko!e v'Xi )ogg x "in x 4 )og&g x &o" x Y H i x /π . T'd' !e #' nekero!eve a,b,c <a < b < c= "k%+ S o)ik'B

A= -a,b0 L= -a,b= <b,c0 V= -a,b= G= <a,b= D= <a,b= <b,c=.

660. Sk%+ re(en!' ne!edn'2ine &o"/ x > &o" x % inerv')% -,/π = !eB

A= L= V= G=

D= .

primer

Documents