TEHNIČKI FAKULTET

ČAČAK

Predmet:

Mehanička modeliranja i simulacija računarom

Profesor: Student:

Prof. dr Dragan Golubović Andrijana Topalović 47/09

2

SADRŽAJ

1. Uvod………………………………………………………………………………………….3

2. Primena računara za proračun kinematike robota puma560 i simulaciju kretanja…………..4

3.Direktna kinematika…………………………………………………………………………21

4.Zaključak…………………………………………………………………………………….28

5.Literatura…………………………………………………………………………………….29

3

1.UVOD

MAT(rix) LAB(oratory) predstavlja snažan softverski paket koji je i programski jezik visokog nivoa i računarski vizuelizacioni alat. Program je prvobitno bio napisan kako bi se obezbedio lak pristup softveru za rad sa matricama razvijenom u okviru projekata LINPACK i EISPACK u Argonne National Labs. Tokom godina evoluirao je u standardni alat za numerička izračunavanja na univerzitetima širom sveta i u razvojnim odeljenjima u industriji.

U ovom radu opisano je analiza modela robota puma560 korišćenjem delova programskog paketa MATLAB, SimMechanics-a i Robotics toolbox-a. SimMechanics je standardni deo programskog paketa MATLAB, primenljiv na sve oblasti mehanike, dok je Robotics toolbox deo programa specijalizovan za simulaciju manipulacionih robota.Ovaj tulboks omogućava mnoge funkcije koje su korisne u robotici, uključujući kinematiku, dinamiku i generisanje trajektorije zglobova i hvataljke manipulatora. Bazira se na uopštenoj teoriji predstavljanja manipulatora kao otvorenog lanca koji se sastoji od krutih segmenata međusobno povezanih zglobovima (vezama) pri čemu je korišćena standardna Denavit-Hartenbergova notacija. D-H notacija je od velikog značaja u robotici, gde se manipulator može modelovati kao više povezanih čvrstih tela (segmenata). Između dva tela postoji veza koja dozvoljava relativno kretanje između njih. Denavit-Hartenbergovi parametri (u daljem tekstu D-H parametri) kod manipulacionih robota pomažu da se sistematski izvedu transformacije sa posmatranog zgloba na susedni zglob. Kao rezultat, moguće je odrediti transformacije koordinata iz koordinatnog sistema hvataljke na koordinatni sistem osnove manipulatora

4

2.PRIMENA RAČUNARA ZA PRORAČUN KINEMATIKE ROBOTA PUMA560 I SIMULACIJU KRETANJA

Manipulator Puma 560 ima šest rotacionih zglobova koji mu daju 6 stepeni slobode. Njegovo kretanje izvodi se pomoću šest DC servo motora.Svi zglobovi su rotacioni, pa su zbog toga sve vrednosti θ i promenljive.

Za pomenuti robot PUMA 560, izvršićemo se pomeranje iz qn pozicije do gornje desne ili READY pozicije.

Prvo smo kreirali vremenski vektor, tako da se kretanje izvrši za tri sekunde, sa rezolucijom od 03 milisekunde naredbom:

t = [0:.03:3]

t =

Columns 1 through 6 0 0.0300 0.0600 0.0900 0.1200 0.1500 Columns 7 through 12 0.1800 0.2100 0.2400 0.2700 0.3000 0.3300 Columns 13 through 18 0.3600 0.3900 0.4200 0.4500 0.4800 0.5100 Columns 19 through 24 0.5400 0.5700 0.6000 0.6300 0.6600 0.6900 Columns 25 through 30 0.7200 0.7500 0.7800 0.8100 0.8400 0.8700 Columns 31 through 36 0.9000 0.9300 0.9600 0.9900 1.0200 1.0500 Columns 37 through 42 1.0800 1.1100 1.1400 1.1700 1.2000 1.2300 Columns 43 through 48 1.2600 1.2900 1.3200 1.3500 1.3800 1.4100 Columns 49 through 54 1.4400 1.4700 1.5000 1.5300 1.5600 1.5900 Columns 55 through 60 1.6200 1.6500 1.6800 1.7100 1.7400 1.7700 Columns 61 through 66 1.8000 1.8300 1.8600 1.8900 1.9200 1.9500 Columns 67 through 72 1.9800 2.0100 2.0400 2.0700 2.1000 2.1300 Columns 73 through 78 2.1600 2.1900 2.2200 2.2500 2.2800 2.3100 Columns 79 through 84 2.3400 2.3700 2.4000 2.4300 2.4600 2.4900 Columns 85 through 90 2.5200 2.5500 2.5800 2.6100 2.6400 2.6700 Columns 91 through 96 2.7000 2.7300 2.7600 2.7900 2.8200 2.8500 Columns 97 through 101 2.8800 2.9100 2.9400 2.9700 3.0000

Trajektorija između ove dve pozicije proračunava se uz pomoć naredbe jtraj( ):

q = jtraj(qn, qr, t)

q =

0 0.7854 3.1416 0 0.7854 0

5

0 0.7854 3.1415 0 0.7854 0 0 0.7855 3.1412 0 0.7853 0 0 0.7856 3.1404 0 0.7852 0 0 0.7859 3.1388 0 0.7849 0 0 0.7863 3.1361 0 0.7845 0 0 0.7869 3.1323 0 0.7839 0 0 0.7878 3.1271 0 0.7830 0 0 0.7890 3.1203 0 0.7818 0 0 0.7904 3.1117 0 0.7804 0 0 0.7921 3.1013 0 0.7787 0 0 0.7942 3.0888 0 0.7766 0 0 0.7966 3.0741 0 0.7742 0 0 0.7995 3.0572 0 0.7713 0 0 0.8027 3.0379 0 0.7681 0 0 0.8063 3.0162 0 0.7645 0 0 0.8103 2.9919 0 0.7605 0 0 0.8148 2.9651 0 0.7560 0 0 0.8197 2.9356 0 0.7511 0 0 0.8251 2.9035 0 0.7457 0 0 0.8309 2.8687 0 0.7399 0 0 0.8371 2.8311 0 0.7336 0 0 0.8439 2.7908 0 0.7269 0 0 0.8510 2.7478 0 0.7198 0 0 0.8586 2.7022 0 0.7122 0 0 0.8667 2.6538 0 0.7041 0 0 0.8752 2.6028 0 0.6956 0 0 0.8841 2.5491 0 0.6867 0 0 0.8935 2.4929 0 0.6773 0 0 0.9033 2.4342 0 0.6675 0 0 0.9135 2.3731 0 0.6573 0 0 0.9241 2.3096 0 0.6467 0 0 0.9350 2.2438 0 0.6358 0 0 0.9464 2.1757 0 0.6244 0 0 0.9581 2.1056 0 0.6127 0 0 0.9701 2.0334 0 0.6007 0 0 0.9825 1.9593 0 0.5883 0 0 0.9951 1.8833 0 0.5757 0 0 1.0081 1.8057 0 0.5627 0 0 1.0213 1.7264 0 0.5495 0 0 1.0347 1.6457 0 0.5361 0 0 1.0484 1.5636 0 0.5224 0 0 1.0623 1.4803 0 0.5085 0 0 1.0764 1.3959 0 0.4944 0 0 1.0906 1.3105 0 0.4802 0 0 1.1050 1.2242 0 0.4658 0 0 1.1194 1.1373 0 0.4514 0 0 1.1340 1.0498 0 0.4368 0 0 1.1487 0.9619 0 0.4221 0 0 1.1634 0.8737 0 0.4074 0 0 1.1781 0.7854 0 0.3927 0 0 1.1928 0.6971 0 0.3780 0 0 1.2075 0.6089 0 0.3633 0 0 1.2222 0.5210 0 0.3486 0 0 1.2368 0.4335 0 0.3340 0 0 1.2512 0.3465 0 0.3196 0 0 1.2656 0.2603 0 0.3052 0 0 1.2798 0.1749 0 0.2910 0 0 1.2939 0.0905 0 0.2769 0 0 1.3078 0.0072 0 0.2630 0 0 1.3215 -0.0749 0 0.2493 0 0 1.3349 -0.1556 0 0.2359 0 0 1.3481 -0.2349 0 0.2227 0

6

0 1.3611 -0.3125 0 0.2097 0 0 1.3737 -0.3885 0 0.1971 0 0 1.3861 -0.4626 0 0.1847 0 0 1.3981 -0.5348 0 0.1727 0 0 1.4098 -0.6049 0 0.1610 0 0 1.4212 -0.6730 0 0.1496 0 0 1.4321 -0.7388 0 0.1387 0 0 1.4427 -0.8023 0 0.1281 0 0 1.4529 -0.8634 0 0.1179 0 0 1.4627 -0.9221 0 0.1081 0 0 1.4721 -0.9783 0 0.0987 0 0 1.4810 -1.0320 0 0.0898 0 0 1.4895 -1.0830 0 0.0813 0 0 1.4976 -1.1314 0 0.0732 0 0 1.5052 -1.1770 0 0.0656 0 0 1.5123 -1.2200 0 0.0585 0 0 1.5190 -1.2603 0 0.0517 0 0 1.5253 -1.2979 0 0.0455 0 0 1.5311 -1.3327 0 0.0397 0 0 1.5365 -1.3648 0 0.0343 0 0 1.5414 -1.3943 0 0.0294 0 0 1.5459 -1.4211 0 0.0249 0 0 1.5499 -1.4454 0 0.0209 0 0 1.5535 -1.4671 0 0.0173 0 0 1.5567 -1.4864 0 0.0141 0 0 1.5596 -1.5033 0 0.0112 0 0 1.5620 -1.5180 0 0.0088 0 0 1.5641 -1.5305 0 0.0067 0 0 1.5658 -1.5409 0 0.0050 0 0 1.5672 -1.5495 0 0.0036 0 0 1.5684 -1.5563 0 0.0024 0 0 1.5692 -1.5615 0 0.0015 0 0 1.5699 -1.5653 0 0.0009 0 0 1.5703 -1.5680 0 0.0005 0 0 1.5706 -1.5696 0 0.0002 0 0 1.5707 -1.5704 0 0.0001 0 0 1.5708 -1.5707 0 0.0000 0 0 1.5708 -1.5708 0 -0.0000 0

što će za rezultat dati vrednosti uglova rotacija svih 6 zglobova manipulatora u 100 tačaka (jer je 3s/0,03s = 100) trajektorije potrebne da robot dođe u vertikalni položaj.

Pomoću sledeće naredbe prikazali smo dijagram promene ugla obrtanja θu funkciji od vremena (sl. 1) za zglobove 2 i 3 i 5.

>> subplot(3,1,1)plot(t,q(:,2))title('Ugao zgloba teta')xlabel('Vreme (s)');ylabel('Zglob 2 (rad)')subplot(3,1,2)plot(t,q(:,3))xlabel('Vreme (s)');ylabel('Zglob 3 (rad)')subplot(3,1,3)plot(t,q(:,5))xlabel('Vreme (s)');ylabel('Zglob 5 (rad)')

7

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

1

2Ugao zgloba teta

Vreme (s)

Zgl

ob 2

(ra

d)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-5

0

5

Vreme (s)

Zgl

ob 3

(ra

d)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-1

0

1

Vreme (s)

Zgl

ob 5

(ra

d)

Slika 1: Dijagram promene ugla θ zglobova 2 i 3 i 5 u funkciji vremena

Zatim smo prikazali dijagram promene brzine i ubrzanja zglobova u funkciji vremena, na sledeci nacin:

[q,qd,qdd] = jtraj(qn, qr, t)

q =

0 0.7854 3.1416 0 0.7854 0 0 0.7854 3.1415 0 0.7854 0 0 0.7855 3.1412 0 0.7853 0 0 0.7856 3.1404 0 0.7852 0 0 0.7859 3.1388 0 0.7849 0 0 0.7863 3.1361 0 0.7845 0 0 0.7869 3.1323 0 0.7839 0 0 0.7878 3.1271 0 0.7830 0 0 0.7890 3.1203 0 0.7818 0 0 0.7904 3.1117 0 0.7804 0 0 0.7921 3.1013 0 0.7787 0 0 0.7942 3.0888 0 0.7766 0 0 0.7966 3.0741 0 0.7742 0 0 0.7995 3.0572 0 0.7713 0 0 0.8027 3.0379 0 0.7681 0 0 0.8063 3.0162 0 0.7645 0 0 0.8103 2.9919 0 0.7605 0 0 0.8148 2.9651 0 0.7560 0 0 0.8197 2.9356 0 0.7511 0 0 0.8251 2.9035 0 0.7457 0 0 0.8309 2.8687 0 0.7399 0 0 0.8371 2.8311 0 0.7336 0

8

0 0.8439 2.7908 0 0.7269 0 0 0.8510 2.7478 0 0.7198 0 0 0.8586 2.7022 0 0.7122 0 0 0.8667 2.6538 0 0.7041 0 0 0.8752 2.6028 0 0.6956 0 0 0.8841 2.5491 0 0.6867 0 0 0.8935 2.4929 0 0.6773 0 0 0.9033 2.4342 0 0.6675 0 0 0.9135 2.3731 0 0.6573 0 0 0.9241 2.3096 0 0.6467 0 0 0.9350 2.2438 0 0.6358 0 0 0.9464 2.1757 0 0.6244 0 0 0.9581 2.1056 0 0.6127 0 0 0.9701 2.0334 0 0.6007 0 0 0.9825 1.9593 0 0.5883 0 0 0.9951 1.8833 0 0.5757 0 0 1.0081 1.8057 0 0.5627 0 0 1.0213 1.7264 0 0.5495 0 0 1.0347 1.6457 0 0.5361 0 0 1.0484 1.5636 0 0.5224 0 0 1.0623 1.4803 0 0.5085 0 0 1.0764 1.3959 0 0.4944 0 0 1.0906 1.3105 0 0.4802 0 0 1.1050 1.2242 0 0.4658 0 0 1.1194 1.1373 0 0.4514 0 0 1.1340 1.0498 0 0.4368 0 0 1.1487 0.9619 0 0.4221 0 0 1.1634 0.8737 0 0.4074 0 0 1.1781 0.7854 0 0.3927 0 0 1.1928 0.6971 0 0.3780 0 0 1.2075 0.6089 0 0.3633 0 0 1.2222 0.5210 0 0.3486 0 0 1.2368 0.4335 0 0.3340 0 0 1.2512 0.3465 0 0.3196 0 0 1.2656 0.2603 0 0.3052 0 0 1.2798 0.1749 0 0.2910 0 0 1.2939 0.0905 0 0.2769 0 0 1.3078 0.0072 0 0.2630 0 0 1.3215 -0.0749 0 0.2493 0 0 1.3349 -0.1556 0 0.2359 0 0 1.3481 -0.2349 0 0.2227 0 0 1.3611 -0.3125 0 0.2097 0 0 1.3737 -0.3885 0 0.1971 0 0 1.3861 -0.4626 0 0.1847 0 0 1.3981 -0.5348 0 0.1727 0 0 1.4098 -0.6049 0 0.1610 0 0 1.4212 -0.6730 0 0.1496 0 0 1.4321 -0.7388 0 0.1387 0 0 1.4427 -0.8023 0 0.1281 0 0 1.4529 -0.8634 0 0.1179 0 0 1.4627 -0.9221 0 0.1081 0 0 1.4721 -0.9783 0 0.0987 0 0 1.4810 -1.0320 0 0.0898 0 0 1.4895 -1.0830 0 0.0813 0 0 1.4976 -1.1314 0 0.0732 0 0 1.5052 -1.1770 0 0.0656 0 0 1.5123 -1.2200 0 0.0585 0 0 1.5190 -1.2603 0 0.0517 0 0 1.5253 -1.2979 0 0.0455 0 0 1.5311 -1.3327 0 0.0397 0 0 1.5365 -1.3648 0 0.0343 0 0 1.5414 -1.3943 0 0.0294 0

9

0 1.5459 -1.4211 0 0.0249 0 0 1.5499 -1.4454 0 0.0209 0 0 1.5535 -1.4671 0 0.0173 0 0 1.5567 -1.4864 0 0.0141 0 0 1.5596 -1.5033 0 0.0112 0 0 1.5620 -1.5180 0 0.0088 0 0 1.5641 -1.5305 0 0.0067 0 0 1.5658 -1.5409 0 0.0050 0 0 1.5672 -1.5495 0 0.0036 0 0 1.5684 -1.5563 0 0.0024 0 0 1.5692 -1.5615 0 0.0015 0 0 1.5699 -1.5653 0 0.0009 0 0 1.5703 -1.5680 0 0.0005 0 0 1.5706 -1.5696 0 0.0002 0 0 1.5707 -1.5704 0 0.0001 0 0 1.5708 -1.5707 0 0.0000 0 0 1.5708 -1.5708 0 -0.0000 0

qd =

0 0 0 0 0 0 0 0.0008 -0.0046 0 -0.0008 0 0 0.0030 -0.0181 0 -0.0030 0 0 0.0067 -0.0399 0 -0.0067 0 0 0.0116 -0.0695 0 -0.0116 0 0 0.0177 -0.1063 0 -0.0177 0 0 0.0250 -0.1499 0 -0.0250 0 0 0.0333 -0.1997 0 -0.0333 0 0 0.0425 -0.2553 0 -0.0425 0 0 0.0527 -0.3161 0 -0.0527 0 0 0.0636 -0.3817 0 -0.0636 0 0 0.0753 -0.4517 0 -0.0753 0 0 0.0876 -0.5255 0 -0.0876 0 0 0.1005 -0.6028 0 -0.1005 0 0 0.1139 -0.6831 0 -0.1139 0 0 0.1277 -0.7661 0 -0.1277 0 0 0.1419 -0.8512 0 -0.1419 0 0 0.1564 -0.9382 0 -0.1564 0 0 0.1711 -1.0266 0 -0.1711 0 0 0.1860 -1.1161 0 -0.1860 0 0 0.2011 -1.2064 0 -0.2011 0 0 0.2162 -1.2970 0 -0.2162 0 0 0.2313 -1.3876 0 -0.2313 0 0 0.2463 -1.4780 0 -0.2463 0 0 0.2613 -1.5678 0 -0.2613 0 0 0.2761 -1.6567 0 -0.2761 0 0 0.2907 -1.7444 0 -0.2907 0 0 0.3051 -1.8307 0 -0.3051 0 0 0.3192 -1.9152 0 -0.3192 0 0 0.3330 -1.9978 0 -0.3330 0 0 0.3464 -2.0782 0 -0.3464 0 0 0.3593 -2.1561 0 -0.3593 0 0 0.3719 -2.2313 0 -0.3719 0 0 0.3839 -2.3037 0 -0.3839 0 0 0.3955 -2.3729 0 -0.3955 0 0 0.4065 -2.4390 0 -0.4065 0 0 0.4169 -2.5015 0 -0.4169 0 0 0.4268 -2.5605 0 -0.4268 0 0 0.4360 -2.6157 0 -0.4360 0 0 0.4445 -2.6670 0 -0.4445 0 0 0.4524 -2.7143 0 -0.4524 0

10

0 0.4596 -2.7575 0 -0.4596 0 0 0.4661 -2.7964 0 -0.4661 0 0 0.4718 -2.8309 0 -0.4718 0 0 0.4768 -2.8610 0 -0.4768 0 0 0.4811 -2.8866 0 -0.4811 0 0 0.4846 -2.9077 0 -0.4846 0 0 0.4873 -2.9241 0 -0.4873 0 0 0.4893 -2.9358 0 -0.4893 0 0 0.4905 -2.9429 0 -0.4905 0 0 0.4909 -2.9452 0 -0.4909 0 0 0.4905 -2.9429 0 -0.4905 0 0 0.4893 -2.9358 0 -0.4893 0 0 0.4873 -2.9241 0 -0.4873 0 0 0.4846 -2.9077 0 -0.4846 0 0 0.4811 -2.8866 0 -0.4811 0 0 0.4768 -2.8610 0 -0.4768 0 0 0.4718 -2.8309 0 -0.4718 0 0 0.4661 -2.7964 0 -0.4661 0 0 0.4596 -2.7575 0 -0.4596 0 0 0.4524 -2.7143 0 -0.4524 0 0 0.4445 -2.6670 0 -0.4445 0 0 0.4360 -2.6157 0 -0.4360 0 0 0.4268 -2.5605 0 -0.4268 0 0 0.4169 -2.5015 0 -0.4169 0 0 0.4065 -2.4390 0 -0.4065 0 0 0.3955 -2.3729 0 -0.3955 0 0 0.3839 -2.3037 0 -0.3839 0 0 0.3719 -2.2313 0 -0.3719 0 0 0.3593 -2.1561 0 -0.3593 0 0 0.3464 -2.0782 0 -0.3464 0 0 0.3330 -1.9978 0 -0.3330 0 0 0.3192 -1.9152 0 -0.3192 0 0 0.3051 -1.8307 0 -0.3051 0 0 0.2907 -1.7444 0 -0.2907 0 0 0.2761 -1.6567 0 -0.2761 0 0 0.2613 -1.5678 0 -0.2613 0 0 0.2463 -1.4780 0 -0.2463 0 0 0.2313 -1.3876 0 -0.2313 0 0 0.2162 -1.2970 0 -0.2162 0 0 0.2011 -1.2064 0 -0.2011 0 0 0.1860 -1.1161 0 -0.1860 0 0 0.1711 -1.0266 0 -0.1711 0 0 0.1564 -0.9382 0 -0.1564 0 0 0.1419 -0.8512 0 -0.1419 0 0 0.1277 -0.7661 0 -0.1277 0 0 0.1139 -0.6831 0 -0.1139 0 0 0.1005 -0.6028 0 -0.1005 0 0 0.0876 -0.5255 0 -0.0876 0 0 0.0753 -0.4517 0 -0.0753 0 0 0.0636 -0.3817 0 -0.0636 0 0 0.0527 -0.3161 0 -0.0527 0 0 0.0425 -0.2553 0 -0.0425 0 0 0.0333 -0.1997 0 -0.0333 0 0 0.0250 -0.1499 0 -0.0250 0 0 0.0177 -0.1063 0 -0.0177 0 0 0.0116 -0.0695 0 -0.0116 0 0 0.0067 -0.0399 0 -0.0067 0 0 0.0030 -0.0181 0 -0.0030 0 0 0.0008 -0.0046 0 -0.0008 0 0 0 0.0000 0 0 0

11

qdd =

0 0 0 0 0 0 0 0.0508 -0.3048 0 -0.0508 0 0 0.0985 -0.5911 0 -0.0985 0 0 0.1432 -0.8594 0 -0.1432 0 0 0.1850 -1.1099 0 -0.1850 0 0 0.2238 -1.3430 0 -0.2238 0 0 0.2599 -1.5592 0 -0.2599 0 0 0.2931 -1.7589 0 -0.2931 0 0 0.3237 -1.9423 0 -0.3237 0 0 0.3516 -2.1098 0 -0.3516 0 0 0.3770 -2.2619 0 -0.3770 0 0 0.3998 -2.3990 0 -0.3998 0 0 0.4202 -2.5213 0 -0.4202 0 0 0.4382 -2.6293 0 -0.4382 0 0 0.4539 -2.7234 0 -0.4539 0 0 0.4673 -2.8039 0 -0.4673 0 0 0.4785 -2.8712 0 -0.4785 0 0 0.4876 -2.9256 0 -0.4876 0 0 0.4946 -2.9677 0 -0.4946 0 0 0.4996 -2.9976 0 -0.4996 0 0 0.5027 -3.0159 0 -0.5027 0 0 0.5038 -3.0229 0 -0.5038 0 0 0.5032 -3.0189 0 -0.5032 0 0 0.5007 -3.0044 0 -0.5007 0 0 0.4966 -2.9797 0 -0.4966 0 0 0.4909 -2.9452 0 -0.4909 0 0 0.4836 -2.9013 0 -0.4836 0 0 0.4747 -2.8484 0 -0.4747 0 0 0.4645 -2.7867 0 -0.4645 0 0 0.4528 -2.7168 0 -0.4528 0 0 0.4398 -2.6389 0 -0.4398 0 0 0.4256 -2.5535 0 -0.4256 0 0 0.4102 -2.4610 0 -0.4102 0 0 0.3936 -2.3617 0 -0.3936 0 0 0.3760 -2.2559 0 -0.3760 0 0 0.3574 -2.1441 0 -0.3574 0 0 0.3378 -2.0267 0 -0.3378 0 0 0.3173 -1.9040 0 -0.3173 0 0 0.2961 -1.7764 0 -0.2961 0 0 0.2740 -1.6442 0 -0.2740 0 0 0.2513 -1.5080 0 -0.2513 0 0 0.2280 -1.3679 0 -0.2280 0 0 0.2041 -1.2245 0 -0.2041 0 0 0.1797 -1.0780 0 -0.1797 0 0 0.1548 -0.9289 0 -0.1548 0 0 0.1296 -0.7775 0 -0.1296 0 0 0.1040 -0.6243 0 -0.1040 0 0 0.0783 -0.4695 0 -0.0783 0 0 0.0523 -0.3137 0 -0.0523 0 0 0.0262 -0.1570 0 -0.0262 0 0 0.0000 0.0000 0 -0.0000 0 0 -0.0262 0.1570 0 0.0262 0 0 -0.0523 0.3137 0 0.0523 0 0 -0.0783 0.4695 0 0.0783 0 0 -0.1040 0.6243 0 0.1040 0 0 -0.1296 0.7775 0 0.1296 0 0 -0.1548 0.9289 0 0.1548 0 0 -0.1797 1.0780 0 0.1797 0 0 -0.2041 1.2245 0 0.2041 0 0 -0.2280 1.3679 0 0.2280 0

12

0 -0.2513 1.5080 0 0.2513 0 0 -0.2740 1.6442 0 0.2740 0 0 -0.2961 1.7764 0 0.2961 0 0 -0.3173 1.9040 0 0.3173 0 0 -0.3378 2.0267 0 0.3378 0 0 -0.3574 2.1441 0 0.3574 0 0 -0.3760 2.2559 0 0.3760 0 0 -0.3936 2.3617 0 0.3936 0 0 -0.4102 2.4610 0 0.4102 0 0 -0.4256 2.5535 0 0.4256 0 0 -0.4398 2.6389 0 0.4398 0 0 -0.4528 2.7168 0 0.4528 0 0 -0.4645 2.7867 0 0.4645 0 0 -0.4747 2.8484 0 0.4747 0 0 -0.4836 2.9013 0 0.4836 0 0 -0.4909 2.9452 0 0.4909 0 0 -0.4966 2.9797 0 0.4966 0 0 -0.5007 3.0044 0 0.5007 0 0 -0.5032 3.0189 0 0.5032 0 0 -0.5038 3.0229 0 0.5038 0 0 -0.5027 3.0159 0 0.5027 0 0 -0.4996 2.9976 0 0.4996 0 0 -0.4946 2.9677 0 0.4946 0 0 -0.4876 2.9256 0 0.4876 0 0 -0.4785 2.8712 0 0.4785 0 0 -0.4673 2.8039 0 0.4673 0 0 -0.4539 2.7234 0 0.4539 0 0 -0.4382 2.6293 0 0.4382 0 0 -0.4202 2.5213 0 0.4202 0 0 -0.3998 2.3990 0 0.3998 0 0 -0.3770 2.2619 0 0.3770 0 0 -0.3516 2.1098 0 0.3516 0 0 -0.3237 1.9423 0 0.3237 0 0 -0.2931 1.7589 0 0.2931 0 0 -0.2599 1.5592 0 0.2599 0 0 -0.2238 1.3430 0 0.2238 0 0 -0.1850 1.1099 0 0.1850 0 0 -0.1432 0.8594 0 0.1432 0 0 -0.0985 0.5911 0 0.0985 0 0 -0.0508 0.3048 0 0.0508 0 0 0.0000 0.0000 0 -0.0000 0

subplot(3,1,1)plot(t,qd(:,2))title('Brzina')xlabel('Vreme (s)');ylabel('Brzina zgloba 2 (rad/s)')subplot(3,1,2)plot(t,qd(:,3))xlabel('Vreme (s)');ylabel('Brzina zgloba 3 (rad/s)')subplot(3,1,3)plot(t,qd(:,5))xlabel('Vreme (s)');ylabel('Brzina zgloba 5 (rad/s)')

13

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5Brzina

Vreme (s)Brz

ina

zglo

ba 2

(ra

d/s)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-5

0

5

Vreme (s)Brz

ina

zglo

ba 3

(ra

d/s)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.4

-0.2

0

Vreme (s)Brz

ina

zglo

ba 5

(ra

d/s)

Slika 2: Dijagram promene brzine zglobova 2 i 3 i 5 u funkciji vremena

Kao i dijagram promene ubrzanja (slika 3.)

>> subplot(3,1,1)plot(t,qdd(:,2))title('Ubrzanje')xlabel('Vreme (s)');ylabel('Ubrzanje zgloba 2 (rad/s2)')subplot(3,1,2)plot(t,qdd(:,3))xlabel('Vreme (s)');ylabel('Ubrzanje zgloba 3 (rad/s2)')subplot(3,1,3)plot(t,qdd(:,5))xlabel('Vreme (s)');ylabel('Ubrzanje zgloba 5 (rad/s2)')

14

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-1

0

1Ubrzanje

Vreme (s)

Ubr

zanj

e zg

loba

2 (

rad/

s2)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-5

0

5

Vreme (s)

Ubr

zanj

e zg

loba

3 (

rad/

s2)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-1

0

1

Vreme (s)

Ubr

zanj

e zg

loba

5 (

rad/

s2)

Slika 3: Dijagram promene ubrzanja zglobova 2 i 3 i 5 u funkciji vremena

3. Direktna kinematika

Zadatak direktne kinematike svodi se na određivanje 4×4 homogene transformacione matrice koja povezuje prostorni položaj koordinatnog sistema hvataljke manipulatora sa apsolutnim koordinatnim sistemom.

Obzirom dasegmenti manipulatora vrše rotaciono kretanje u odnosu na referentni koordinatni sistem, za svaki segment određuje se koordinatni sistem, čije se ose postavljaju duž osa zglobova. Direktni zadatak kinematike svodi se na određivanje transformacione matrice, koja uspostavlja vezu između koordinatnih sistema segmenata i apsolutnog koordinatnog sistema.

Postupak direktne kinematike uz pomoć Robotics tulboksa [5] u MATLAB-u prikazacemo na primeru manipulacionog robota PUMA 560,koji se nalazi u položaju qn, koji je određen naredbom:qn

sto daje rezultat:

qn =

0 0.7854 3.1416 0 0.7854 0

15

Direktna kinematika može biti izračunata korišćenjem naredbe fkine( ) sa odgovarajućim kinematičkim opisom, u ovom slučaju, matricom p560 koja definiše kinematiku za šestoosni manipulator PUMA 560.

fkine(p560, qn)

sto kao rezultat daje:

ans =

-0.0000 0.0000 1.0000 0.5963-0.0000 1.0000 -0.0000 -0.1501-1.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0144 0 0 0 1.0000

Postoje mnogi načini za predstavljanje položaja i orjentacije hvataljke, ali homogene transformacije su najpogodnije za korišćenje u MATLAB-u zbog njegovih moćnih alata za manipulaciju matricama.

Homogene transformacije za svaki set koordinata zglobova dobijaju se naredbom:

T = fkine(p560, q)

Dijagrami prikazani na sl 4. predstavljaju promene koordinata hvataljke izraženih u nepokretnom koordinatnom sistemu u funkciji vremena (za prethodno definisano kretanje u trajanju od tri sekunde).

>> subplot(3,1,1)plot(t, squeeze(T(1,4,:)))xlabel('Vreme (s)');ylabel('x (m)')subplot(3,1,2)plot(t, squeeze(T(3,4,:)))xlabel('Vreme (s)');ylabel('y (m)')subplot(3,1,3)plot(t, squeeze(T(4,4,:)))xlabel('Vreme (s)');ylabel('z (m)')

Takođe, može se prikazati dijagram promene koordinata hvtaljke x u funkciji od z (sl5.), na osnovu koga možemo zaključiti po kakvoj putanji se kreće manipulator:subplot(1,1,1)plot(squeeze(T(1,4,:)), squeeze(T(3,4,:)));xlabel('x (m)')ylabel('z (m)')grid

16

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-1

0

1

Vreme (s)

x (m

)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-1

0

1

Vreme (s)

y (m

)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

1

2

Vreme (s)

z (m

)

Slika 3. Dijagram promene koordinata hvataljke izraženih u nepokretnom koordinatnom sistemu u funkciji vremena

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

x (m)

z (m

)

Slika 5. Dijagram promene koordinata hvtaljke x u funkciji od z

17

Sledi naredba plot( ) koja omogućava simulaciju kretanja duž zadate trajektorije modela robota čiji segmenti su predstavljeni pomoću štapova.

plot(p560, q)

18

4. ZAKLJUČAK

U današnje vreme, upotreba računara postala je nezaobilazni deo svakog uspešnog projektovanja robota. U ovom radu opisano je kako se na osnovu dobijenog dinamičkog modela robota rešenog uz pomoć računara može izvršiti simulacija ponašanja, odnosno verifikacija modela kojom se obezbeđuje analiza ponašanja realnog robota.

U ovom radu koristili smo kao model robot puma560, i opisali postupak resavanja kinematike uz pomoc racunara, od formiranja transformacionih matrica preko resavanja direktne i indirektne kinematike do simulacije ponasanja robota.

5. LITERATURA

[1] Golubović D.,Milićević I.: Primena matrica transformacija pri rešavanju kinematike i dinamike manipulacionih robota, Čačak, 2009.

[2] Golubović, D., Kojić, M., Premović, K.: Tehnička mehanika – opšti kurs, Tehnički fakultet, Čačak, 1997.

[3] Golubović, D., Mikić, D., Milićević, I.: Кinematikа robota sa korišćenjem matrica rotacionih transformacija, IRMES ’04, Istraživanje i razvoj mašinskih elemenata i sistema, Zbornik radova, str. 147-153, Kragujevac, 2004.

19