primitiva fbv 2014 2 calculo [modo de...
TRANSCRIPT
FB
V –
DeV
ry Brasil
Técnicas de P
rimitiva
Funções de U
ma V
ariável
Prof. R
ossini Bezerra
01 de37
A questão posta pela operação derivada, era: dada um
a função f(x), encontrar outra função, digam
os F(x), que é igual à f´(x), ou seja, igual à derivada de f(x).
Com
a nova operação que estudaremos, agora, a questão é, de certa form
a, posta de form
a inversa. Isto é, dada a função f(x), queremos determ
inar outra
()
´()
Fx
fx
=
A N
OÇ
ÃO
DE
PR
IMIT
IVA
´()
()
Fx
fx
=
posta de forma inversa. Isto é, dada a função f(x), querem
os determinar outra
função F(x), cuja derivada é igual à função dada:
Definim
os como p
rimitiva
esta função F(x) obtida com
tal procedimento.
Considerem
os f(x)=senx. D
esejamos encontrar um
outra função F(x), tal que,
F´(x)=
senx. Esta função procurada é F
(x)=-cosx, pois F
´(x)=senx.
Defin
ição 1. D
iz-se que F(x) é um
a prim
itivada função f(x), no intervalo [a,b], se
em todos os pontos deste intervalo, tem
-se F´(x)=
f(x).
Note que, para f(x)=
senx, a função G(x)=
-cosx +5 tam
bém tem
sua derivada igual a f(x); logo tam
bém ela é um
a primitiva de f(x). P
ortanto, uma função
qualquer admite m
ais de uma prim
itiva.
Ou
tros exem
plo
s:
3(
)f
xx
=um
a primitiva é:
4
()
4F
xx
=
()
cos
fx
x=
()
Fx
senx
=
1(
)f
x=
uma prim
itiva é:
()
lnF
xx
=um
a primitiva é:
()
fx
x=
()
lnF
xx
=um
a primitiva é:
Mas as funções:
4
()
54 x
Fx
=+
3(
)4
Fx
senx
=+
()
lnF
xx
a=
+
São, correspondentem
ente, primitivas das funções dadas.
Teorem
a. Se duas funções, F
1(x) e F2(x), são prim
itivas da função f(x), no intervalo [a,b], então, a diferença entre elas é um
a constante.intervalo [a,b], então, a diferença entre elas é um
a constante.
Dem
on
stração. P
ela definição de primitiva, tem
os que as derivadas das F1(x)
e F2(x) são iguais a f(x):
12 ´()
()
(́)
()
Fx
fx
Fx
fx
==
12
()
()
()
Gx
Fx
Fx
=−
Definindo a diferença de F
1(x) e F2(x) com
o uma nova função G
(x), teremos
Calculando agora a derivada de G
(x), temos:
Calculando agora a derivada de G
(x), temos:
12
12
´()
(́)
´()
´()
()
()
0
()
()
()
Co
nstan
te
Gx
Fx
Fx
Gx
fx
fx
Gx
Fx
Fx
=−
=−
=
=−
=
Basta então conhecer um
a primitiva, pois as dem
ais diferem apenas de um
a constante. P
odemos então escrever para a prim
itiva de uma função f(x)
:constante. P
odemos então escrever para a prim
itiva de uma função f(x)
:
()
Fx
C+
Defin
ição 2. D
enomina-se In
tegral in
defin
ida
de uma função f(x) a operação de
determinação da expressão da prim
itiva dessa função, F(x)+
C; esta operação é
simbolicam
ente representa por
()
fx
dx
∫∫P
ortanto, da definição, teremos
()
()
()
()
fx
dx
Fx
C
com
Fx
fx
=+
′=
∫
Pro
pried
ades:
Em
virtud
e da d
efinição
da o
peração
, temo
s qu
e a derivad
a de u
ma
integ
ral ind
efinid
a é igu
al à fun
ção d
ada, o
u in
tegran
do
:
()
()
()
()
()
()
fx
dx
Fx
CF
xf
x′
′′
=+
==
∫
Pro
pried
ades:
A d
iferencial d
e um
a integ
ral ind
efinid
a é igu
al à expressão
no
integ
rand
o
()
()
()
()
()
()
df
xd
xF
xC
dx
Fx
dx
fx
dx
′′
=+
==
∫Lem
brando que a diferencial de uma função é a sua derivada vezes a
diferencial da variável independente e usando o resultado anterior
A in
tegral in
defin
ida d
a diferen
cial de u
ma d
ada fu
nção
é igu
al à pró
pria
fun
ção m
ais um
a con
stante
()
()
dF
xF
xC
=+
∫(
)(
)d
Fx
Fx
C=
+∫
exemp
los:
43
xd
x
xd
x
senx
dx
∫∫∫
54
43
32
Fu
nçao
Deriv
ada
543
xx
xx
xx
54
5 xx
2
cos
senx
dx
xd
x
dxxdxx
∫∫∫∫
322
3
11
cos
cos
1
xx
xx
senx
x
xsen
x
tgx
−−
4cos
ln
1
x
senxxx
−−
2co
s
xe
dx
dx
x
∫∫
2co
s
1ln x
x
tgx
x
ee
xx
x x
etgx
−
Ou
tras pro
pried
ades:
Teorem
a. A integral indefinida da som
a algébrica de duas funções é a soma
algébrica das integrais indefinidas dessas funções:
()
()
()
()
()
fx
gx
dx
fx
dx
gx
dx
+=
+∫
∫∫
Dem
on
stração. C
alculando a derivada dessa integral temos:
Dem
on
stração. C
alculando a derivada dessa integral temos:
()
()
()
()
()
()
fx
gx
dx
fx
gx
′+
=+
∫M
as pela propriedade demonstrada antes
()
((
))
()
((
))
fx
fx
dx
gx
gx
dx
′=
′=
∫∫E
ntão
()
()
()
()
′′
′+
=+
∫∫
∫(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)f
xg
xd
xf
xd
xg
xd
x′
′′
+=
+∫
∫∫
O resultado à direita é o que se obtém
calculando a derivada do mem
bro direito da tese do teorem
a
()
()
()
()
()
()
()
fx
dx
gx
dx
fx
dx
gx
dx
′′
′+
=+
∫∫
∫∫
Teorem
a. Pode-se retirar um
fator constante de dentro do sinal de integração
()
()
cfx
dx
cf
xd
x=
∫∫
Dem
on
stração. C
alculando a derivada dessa integral temos:
Dem
on
stração. C
alculando a derivada dessa integral temos:
()
()
()
cfx
dx
cfx
′=
∫
Mas pela propriedade dem
onstrada antes
()
()
()
cfx
cf
xd
x′
=∫
Então
()
()
()
()
cfx
dx
cf
xd
x′
′=
∫∫
()
()
()
()
cfx
dx
cf
xd
x′
′=
∫∫
O resultado à direita é o que se obtém
calculando a derivada do mem
bro direito da tese do teorem
a
()
()
()
()
cf
xd
xc
fx
dx
′′
=∫
∫
PO
R M
UD
AN
ÇA
DE
VA
RIÁ
VE
L
Nem
sempre tem
os pela frente o cálculo de uma integral de um
a função elem
entar, mas de um
a composição delas. P
or exemplo
2co
ssen
xx
dx
∫2
cos
senx
xd
x∫
Entretanto, fazendo algum
as transformações, por m
udança de variável, podem
os chegar a expressões com funções elem
entares. No exem
plo, se olharm
os com cuidado, vem
os que :
cos
()
xdx
dsen
x=
Podem
os então fazer a transformação
usen
x=
cos
enta
o
du
dx
=
A integral torna-se:
32
3
3 uu
du
senx
C=
=+
∫
TÉ
CN
ICA
S D
E IN
TE
GR
AÇ
ÃO
OB
JET
IVO
:Apresentar técnicas para determ
inar a função F(x)
–conhecida com
o primitiva –
tal que F’(x) =
f(x)ou:
∫=
F(x
)dx
f(x
)∫
=F
(x)
dx
f(x
)
As principais técnicas de prim
itivação, para FU
NÇ
ÕE
S D
E U
MA
V
AR
IÁV
EL são:
–IN
TE
GR
AÇ
ÃO
PO
R S
UB
ST
ITU
IÇÃ
O D
E V
AR
IÁV
EL
–IN
TE
GR
AÇ
ÃO
PO
R P
AR
TE
S
–IN
TE
GR
AÇ
ÃO
PO
R D
EC
OM
PO
SIÇ
ÃO
EM
FR
AÇ
ÕE
SP
AR
CIA
IS
02 de37
Seguem
algum exercícios onde estas técnicas são aplicadas.
PA
RC
IAIS
–IN
TE
GR
AÇ
ÃO
UT
ILIZA
ND
O S
UB
ST
ITU
IÇÕ
ES
(PO
R M
EIO
DE
IDE
NT
IDA
DE
S) T
RIG
ON
OM
ÉT
RIC
AS
EX
ER
CÍC
IO 01
Calcular
∫+
dx
2x
1)
(x5
02
So
lução
INT
EG
RA
ÇÃ
O P
OR
SU
BS
TIT
UIÇ
ÃO
Seja u
= x
2+
1
Logo: 2xd
x = d
u
Assim
, a integral dada pode ser escrita como:
∫ INT
EG
RA
ÇÃ
O P
OR
SU
BS
TIT
UIÇ
ÃO2
xd
x
du
=
∫du
(u)
50
C5
1 1)
(xC
51
ud
u(u
)5
12
51
50
++
=+
=∫
03 de37
EX
ER
CÍC
IO 02
Calcular
∫+
dx
9)
sen(x
So
lução
Seja u
= x +
9
Logo: dx =
du
Assim
, a integral dada pode ser escrita como:
∫ INT
EG
RA
ÇÃ
O P
OR
SU
BS
TIT
UIÇ
ÃO1
dx
du
=
∫du
sen(u
)
C9)
cos(x
Cco
s(u)
du
sen(u
)+
+−
=+
−=
∫
04 de37
EX
ER
CÍC
IO 03
Calcular
∫d
xco
s(x)
(x)
sen2
So
lução
Seja u
= sen
(x)
Logo: cos(x)d
x = d
u
Assim
, a integral dada pode ser escrita como:
∫2
cos(x
)dx
du
=
INT
EG
RA
ÇÃ
O P
OR
SU
BS
TIT
UIÇ
ÃO
∫d
uu
2
C3
(x)
senC
3 ud
uu
33
2+
=+
=∫
05 de37
EX
ER
CÍC
IO 04
Calcular
∫dx
x
ex
So
lução
So
lução
Então
x2
1
x 1
2 1x
2 1x
dx d
dx
du
2 12 1
2 1
==
=
=
−
Seja u
=x
1
INT
EG
RA
ÇÃ
O P
OR
SU
BS
TIT
UIÇ
ÃO
Logo: = d
u
dx
x2
1
Antes da substituição, a função dada será escrita de outra
forma.
06 de37
Assim
, a integral dada pode ser escrita como:
∫∫
∫=
=d
xx
2
12
ed
xx
2
2
1
ed
xx
ex
xx
Ce
2C
e2
du
e2
du
2e
xu
uu
+=
+=
=∫
∫
∫∫
=du
2e
dx
x2
12e
ux
du
2dx
x 1du
dx
x2
1=
⇒=
outra maneira de chegar aqui
sem m
anipular a função dada é fazendo (página 08):
Ce
2C
e2
du
e2
du
2e
+=
+=
=∫
∫Ou seja:
Ce
2dx
x
ex
x
+=
∫
07 de37
EX
ER
CÍC
IO 05
Calcular
∫−
dx
1x
x2
So
lução
Seja u
= x –
1
Logo: dx =
du
Se u =
x –1
Então x =
u + 1
INT
EG
RA
ÇÃ
O P
OR
SU
BS
TIT
UIÇ
ÃO
x2
= (u+
1) 2
x2
= u
2+
2u + 1
Assim
, a integral dada pode ser escrita como:
08 de37
∫+
+d
uu
1)
2u
(u2
ou:
∫∫
++
=+
+du
1u
u2u
uu
du
u1)
2u
(u2 1
2 1
2 1
22 1
2
∫ ∫∫
+
+=
+
+=
++
du
u2u
u
du
1u
u2u
uu
du
u1)
2u
(u
2 1
2 3
2 5
22
22
22
Portanto:
13
5
C
12 1 u
12 3 u
2
12 5 u
du
u2u
u
12 1
12 3
12 5
2 1
2 3
2 5
+
+
+
+
+
+
=
+
+
++
+
∫
09 de37
Cu
3 2u
5 4u
7 2du
u2u
u2 3
2 5
2 7
2 1
2 3
2 5
++
+=
+
+∫ F
inalmente:
Escrevendo em
termos de x:
C)1
(x3 2
)1(x
5 4)1
(x7 2
dx
1x
x2 3
2 5
2 7
2+
−+
−+
−=
−∫
10 de37
EX
ER
CÍC
IO 06
Calcular∫
dx
ex
x
So
lução
INT
EG
RA
ÇÃ
O P
OR
PA
RT
ES
A integral dada deve ser escrita na form
a .∫
dv
u
Seja, portanto:d
xe
xx
∫
xu
=dx
edv
x=
dx
du
=
xx
xe
dx
ev
dx
ed
v=
=→
=∫
∫∫ E
ntão:
∫Deste m
odo:
Ce
xe
dx
ex
ed
uv
uv
dv
ud
xx
ex
xx
xx
+−
=−
=−
==
∫∫
∫∫
a constante C pode ser
incluída apenas no final.
11 de37
EX
ER
CÍC
IO 07
Calcular∫
−dx
ex
x2
So
lução
INT
EG
RA
ÇÃ
O P
OR
PA
RT
ES
Seja:
2x
u=
dx
ed
vx
−=
Assim
:
dx
2x
du
=
xx
xe
dx
ev
dx
ed
v−
−−
−=
=→
=∫
∫∫ IN
TE
GR
AÇ
ÃO
PO
R P
AR
TE
S
xx
xe
dx
ev
dx
ed
v−
−−
−=
=→
=∫
∫∫P
ortanto:
2xdx
)e
(e
xdu
vuv
dv
udx
ex
xx
2x
2
∫∫
∫∫
−−
−−
−−
=−
==
12 de37
A últim
a integral é semelhante à original, com
a exceção de
ou:
dx
ex
2e
xd
xe
xx
x2
x2
∫∫
−−
−+
−=
(1)
A últim
a integral é semelhante à original, com
a exceção de que x
2foi substituído por x.
Ou
tra integ
ração p
or p
artesaplicada a
completará o problem
a.
dx
ex
x
∫−
Seja:x
u=
dx
ed
vx
−=
13 de37
Assim
:
dx
du
=
xx
xe
dx
ev
dx
ed
v−
−−
−=
=→
=∫
∫∫P
ortanto:
dx
)e
(e
xd
uv
uv
dv
ud
xe
xx
xx
∫∫
∫∫
−−
−−
−−
=−
==
ou:
xx
xx
xC
ee
xd
xe
ex
dx
ex
+−
−=
+−
=−
−−
−−
∫∫
(2)1
xx
xx
xC
ee
xd
xe
ex
dx
ex
+−
−=
+−
=−
−−
−−
∫∫
(2)
Substituindo (2) em
(1) resulta:
14 de37
[]1
xx
x2
1x
xx
2
xx
2x
2
C2
e2
ex
2e
x
Ce
ex
2e
x
dx
ex
2e
xd
xe
x
+−
−−
=
+−
−+
−=
+−
=
−−
−
−−
−
−−
−
∫∫
1C
2e
2e
x2
ex
+−
−−
=
Portanto:
Ce)
2x
2x(
dx
ex
x2
x2
++
+−
=−
−
∫
15 de37
Determ
inar ∫
++
++
++
dx
3)
2)(x
(x
92
0x
16
x4
x3
x2
2
23
4
EX
ER
CÍC
IO 08
O integrando é um
a fração própria, uma vez que o num
erador possui grau 4 e o denom
inador possui grau 5.
Pela regra do fato
r linear, o fator (x +
2) no denominador introduz
So
lução
INT
EG
RA
ÇÃ
O U
TILIZ
AN
DO
DE
CO
MP
OS
IÇÃ
O E
M
FR
AÇ
ÕE
S P
AR
CIA
IS: F
rações próprias
Pela regra do fato
r linear, o fator (x +
2) no denominador introduz
o termo:
2x
A+
16 de37
Pela regra do fato
r (qu
adrático
) repetid
o,o fator (x
2+
2) 2
presente no denominador introduz os term
os:
22
23
)(x
ED
x
3x
CB
x
+ ++
+ +
Assim
, a decomposição em
frações parciais do integrando é:
22
22
2
23
4
3)
(x
ED
x
3x
CB
x
2x
A
3)
2)(x
(x
92
0x
16
x4
x3
x
+ ++
+ ++
+=
++
++
++
Multiplicar os dois lados da equação por (x +
2)(x2
+ 3) 2
23
4A
92
0x
16
x4
x3
x+
++
+
22
22
2
22
22
22
23
42
2
3)
(x
ED
x3
)2
)(x(x
3x
CB
x3
)2
)(x(x
2x
A3
)2
)(x(x
3)
2)(x
(x
92
0x
16
x4
x3
x3
)2
)(x(x
+ ++
++
+ ++
+
++
++
=+
+
++
++
++
17 de37
que resulta:
E)
2)(D
x(x
C)
3)(B
x2
)(x(x
A3
)(x
92
0x
16
x4
x3
x2
22
23
4
++
++
++
++
=+
++
+
Expandindo o lado direito e reagrupando term
os semelhantes
resulta:
E)
29
A(6
C
xE
)2
D3
C(6
B
xD
)2
C3
B(6
A
xC
)(2
Bx
B)
(A9
20
x1
6x
4x
3x
2
34
23
4
++
++
++
++
++
++
++
=+
++
+
E)
29
A(6
C+
+
Equacionando os coeficientes correspondentes de cada lado,
obtém-se um
sistema de cinco equações algébricas lineares em
5 incógnitas:
18 de37
=+
++
=+
++
=+
=+
20
E2
D3
C6
B
16
D2
C3
B6
A
4C
2B
3B
A
=
++
=+
++
9E
26
C9
A
20
E2
D3
C6
B
A solução deste sistem
a resulta:
0E
4D
0C
2B
1A
==
==
=
Portanto:
Portanto:
22
22
2
23
4
3)
(x
4x
3x
2x
2x
1
3)
2)(x
(x
92
0x
16
x4
x3
x
++
++
+=
++
++
++
19 de37
Logo:
dx
3)
(x
4x
dx
3x
2x
dx
2x
1dx
3)
2)(x
(x
920x
16x
4x
3x
22
22
2
23
4
∫∫
∫∫
++
++
+=
++
++
++
dx
x4
dx
2x
dx
1
∫∫
∫+
+=
C2
xln
Cu
lndu
u 1dx
2x
1
dx
du
1dx
du
2x
u
++
⇒+
=⇒
+
=⇒
=
+=
∫∫
dx
3)
(x
x4
dx
3x
2x
dx
2x
12
22
∫∫
∫+
++
++
=
C3
xln
Cu
lndu
u 1dx
3x
2x
dx
2x
du
2x
dx
du
3x
u
2
2
2
++
⇒+
=⇒
+
=⇒
=
+=
∫∫
20 de37
dx
3)
(x
x4
dx
3x
2x
dx
2x
12
22
∫∫
∫+
++
++
=
C3)
2(x
1
2u 1
12
u
2 1du
u2 1
dx
x3)
(x
dx
x2 du
dx
2x
du
3x
u
dx
3)
(xx
dx
3)
(x
x
2
12
22
2
2
22
22
++
−⇒
−=
+−
⇒⇒
+
=⇒
=⇒
+=
+=
+
+−
−−
−
∫∫
∫∫
E, finalm
ente:
C3
x
23
xln
2x
lndx
3)
2)(x
(x
920x
16x
4x
3x
2
2
22
23
4
++
−+
++
=+
+
++
++
∫
21 de37
Sejam
as iden
tidad
es trigo
no
métricas:
EX
ER
CÍC
IOS
09
INT
EG
RA
ÇÃ
O D
E P
OT
ÊN
CIA
S Q
UA
DR
ÁT
ICA
S D
AS
FU
NÇ
ÕE
S T
RIG
ON
OM
ÉT
RIC
AS
SE
N(X
) E C
OS
(X)
2 cos2
x1
xco
s2 co
s2x
1x
sen2
2+
=−
=
Assim
,
∫∫
∫∫
−=
−=
dx
cos2
x2 1
dx
2 1d
x2 co
s2x
1d
xx
sen2
−
=
+sen
2x
1x
11
0
dx
du
2du
2x
u
dx
cos2
x
=⇒
=
=
∫
−
+
=2
21
02
Cu
sen2 1
du
uco
s2 1
dx
cos2
x
dx
22
dx
+= =
=⇒
=
∫∫
C4 2
xsen
2 xx
sen2
+−
=∫
22 de37
Da m
esma form
a, e utilizando a outra identidade trigonométrica:
C4 2
xsen
2 xx
cos
2+
+=
∫A integral
dx
xco
sx
sen2
2
∫pode ser resolvida fazendo:
()
()
11
dx
2 cos2
x1
2 cos2
x1
dx
xco
sx
sen2
2
∫∫
+
−
=
()
()
dx
cos2
x1
2 1co
s2x
12 1∫
+−
=
()d
x2
xco
s1
4 12
∫−
=
23 de37
()d
x2
xco
s1
4 12
∫−
=
dx
2x
cos
4 1d
x1
4 12
∫∫
−=
8
4x
sen
2 x
8
2u
sen
4 u
4 2u
sen
2 u
2 1du
uco
s2 1
dx
2x
cos
dx
2 du
2x
u
dx
2x
cos
22 2
+=
+=
+=
⇒
=⇒
=
∫∫ ∫
+−
=8
sen4
x
2 x
4 1
4 x
8
24
4
C3
2
sen4
x
8 x+
−=
24 de37
So
lução
EX
ER
CÍC
IO10
Determ
inar∫−
++
dx
6)
4x
sen(x
2)
(x2
So
lução
Seja u =
x2
+ 4x –
6
Então:
42x
du
+=
INT
EG
RA
ÇÃ
O P
OR
SU
BS
TIT
UIÇ
ÃO
42x
dx
du
+=
dx
2)
(x
2 dx
4)
(2x
du
+=
+=
25 de37
du
Mas:
∫−
++
dx
6)
4x
sen(x
2)
(x2
Logo, seja: d
x
2)
(x
2 du
+=
Assim
,
∫∫
∫=
=−
++
du
sen
(u)
2 1
2 du
sen(u
)dx
6)
4x
sen(x
2)
(x2
Sabe-se que:
Cco
s(u)
du
sen
(u)
+−
=∫
TAB
ELA
26 de37
Então:
C)
cos(u
)(
2 1dx
6)
4x
sen(x
2)
(x2
+−
=−
++
∫
C6)
4x
cos(x
2 1dx
6)
4x
sen(x
2)
(x2
2+
−+
−=
−+
+∫ Portanto:
27 de37
So
lução
EX
ER
CÍC
IO 11
Determ
inar∫+
+d
x
1x
x
x
2
So
lução
Seja u =
x2
+ x +
1
Então:
12x
dx
du
+=
dx
1)
(2x
du
+=
INT
EG
RA
ÇÃ
O P
OR
SU
BS
TIT
UIÇ
ÃO
Na integral original, fazer:
∫∫
∫+
+
−+
=+
+=
++
dx
1
xx
11
2x
2 1d
x
1x
x
2x
2 1d
x
1x
x
x
22
2
28 de37
Mas:
∫∫
∫+
+−
++ +
=+
+
−+
dx
1
xx
1
2 1d
x
1x
x
12
x
2 1d
x
1x
x
11
2x
2 1
22
2
12
uu
1 u
2 1
11
u
2 1du
u
2 1du
u 1
2 12 1
2 11
2 1
2 1
==
=
+−
==
+−
−
∫∫ 1
INT
EG
RA
ÇÃ
O P
OR
SU
BS
TIT
UIÇ
ÃO
∫∫
=+
+ +d
u
u 1
2 1d
x
1x
x
12
x
2 1
2ver detalhes na página an
terior
2 12
12 1
22
u2
+−
∫∫
C1
xx
dx
1
xx
12
x
2 12
2+
++
=+
+ +
∫
29 de37
2TA
BE
LA
Cu
au
lnd
uu
a
12
2
22
++
+=
+∫A
segunda integral a ser resolvida está (ou pode ser colocada) na form
a acima:
ua
+
∫∫
∫+
=
+
+
=+
+du
a
u
1
2 1dx
2 3
2 1x
1
2 1dx
1
xx
1
2 1
22
22
2
onde:
2 3a
d
x
du
2 1x
u=
=+
=
30 de37
Portanto:
C2 1
x4 3
2 1x
ln2 1
dx
1
xx
1
2 12
2+
++
++
=+
+∫
24
22
1x
x2
2
+
+∫
Então, finalm
ente:
C2 1
x4 3
2 1x
ln2 1
1x
xdx
1
xx
x2
2
2+
++
++
−+
+=
++
∫
31 de37
So
lução
EX
ER
CÍC
IO 12
Determ
inar∫−
+−
dx
xx
13x
9x
23
3
INT
EG
RA
ÇÃ
O U
TILIZ
AN
DO
DE
CO
MP
OS
IÇÃ
O E
M
FR
AÇ
ÕE
S P
AR
CIA
IS: F
rações impróprias
O prim
eiro passo é realizar uma divisão no integrando e fazer
aparecer frações próprias. 9
9x
9x
xx
13x
x0
9x
23
23
23
−
−+
−+
13x
9x
9
9x
9x
2 23
+−
−
23
2
23
3
xx
13x
9x
9x
x
13x
9x
−
+−
+=
−
+−
fração própria
32 de37
∫∫
−
+−
+=
−
+−
dx
xx
13x
9x
9dx
xx
13x
9x
23
2
23
3
∫∫
−
+−
+=
dx
xx
13x
9x
dx
9
23
2
∫∫
−
+−
+=
dx
)1(x
x
13x
9x
dx
9
2 2
)1(x
C
x B
x A
)1(x
x
13x
9x
22 2
−+
+=
−
+−
DE
CO
MP
OS
IÇÃ
O E
M F
RA
ÇÕ
ES
PA
RC
IAIS
)1(x
xx
)1(x
x−
−
)1(x
C)1
(xx
x B)1
(xx
x A)1
(xx
)1(x
x
13x
9x
)1(x
x2
2
22
2 22
−−
+−
+−
=−
+−
−
Bx
B)
A(
xC
)(A
13x
9x
22
−+
−+
+=
+−
33 de37
=−
−=
+−
=+
1B
3B
A
9
CA
A =
2 B =
–1 C
= 7
∫∫
−+
−+
=dx
)1(x
7
x 1
x 2dx
9
2
∫∫
−
+−
+=
dx
)1(x
x
13x
9x
dx
9
2 2
dx
7dx
1dx
2dx
9
∫∫
∫∫
+−
+=
dx
)1(x
7dx
x 1dx
x 2dx
9
2∫
∫∫
∫−
+−
+=
C1
xln
7x 1
xln
2x
9+
−+
++
=
34 de37
So
lução
EX
ER
CÍC
IO 13
Determ
inar∫−
+dx
2x
xx
12
3
INT
EG
RA
ÇÃ
O U
TILIZ
AN
DO
DE
CO
MP
OS
IÇÃ
O E
M
FR
AÇ
ÕE
S P
AR
CIA
IS: F
atores lineares não repetidos
2)
1)(x
(xx
1
2)
x(x
x
1
2x
xx
12
23
+−
=−
+=
−+
2)
(x
C
1)
(x
B
x A
2)
1)(x
(xx
1
++
−+
=+
−2
)(x
1)
(xx
2)
1)(x
(xx
+−
+−
2A
xC
)2B
(Ax
C)
B(A
12
−−
++
++
= Multiplicando os dois lados da igualdade por x
( x–1 )( x+2 )
e rearranjando resulta:
35 de37
=−
=−
+
=+
+
12A
0C
2B
A
0C
BA
Portanto:
6 1C
3 1B
2 1A
==
−=
2)
6(x
1
1)
3(x 1
2x 1
2)
1)(x
(xx
1
++
−+
−=
+−
E, finalm
ente:
Logo:
dx
11
dx
11
dx
11
dx
1
∫∫
∫∫
++
−=
dx
2x
6d
x1
x3
dx
x2
dx
2x
xx
23
∫∫
∫∫
++
−+
−=
−+
C2
xln
6 11
xln
3 1x
ln2 1
dx
2x
xx
12
3+
++
−+
−=
−+
∫
36 de37