(principio de trabajo virtual cuerpos elásticos

Unidad I.- Trabajo Virtual en Cuerpos Elsticos ESTRUCTURAS I

UNELLEZ - INGENIERA CIVIL 1

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL

DE LOS LLANOS OCCIDENTALES

EZEQUIEL ZAMORA VICERRECTORADO DE INFRAESTRUCTURAS

Y PROCESOS INDUSTRIALES

PROGRAMA DE INGENIERA,

ARQUITECTURA Y TECNOLOGA

INGENIERA CIVIL

Ing. Eulicer Linares Fdez.

UNELLEZ



UNIDAD 1

PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES

DE CUERPOS ELSTICOS

Para una deformacin virtual infinitamente pequea de un cuerpo que se encuentra

en equilibrio, el trabajo virtual de las fuerzas exteriores es igual al trabajo virtual interno de

deformacin.

El desplazamiento virtual de un sistema de puntos materiales, a todo desplazamiento

infinitsimo compatible con la vinculacin existente.

Un elemento en el plano permite tantos desplazamientos virtuales como grados de

desplazabilidad (libertad) tenga segn sus condiciones de vinculacin. Si a partir de una

determinada posicin de un sistema, es posible obtener los desplazamientos virtuales

iguales y de sentido contrario, se dice que el desplazamiento es reversible y los vnculos del

sistema se le denominan bilaterales; en caso contrario se dice que es irreversible, en cuyo

caso los vnculos reciben el nombre de unilaterales.

En primera instancia se considera un cuerpo en equilibrio, al que con posterioridad

se le provoca una deformacin. Dicha deformacin es arbitraria y posible, compatible con

las condiciones de vnculo, pero que no proviene de las cargas originales en el cuerpo.

Las cargas externas multiplicadas por esos desplazamientos arbitrarios representan

el trabajo virtual de las fuerzas exteriores, We.

Los esfuerzos internos generados por las cargas en equilibrio originales, generan

trabajo debido a la deformacin virtual impuesta, dando origen al trabajo virtual interno de

deformacin, Wi.



El Principio de Trabajos Virtuales puede entonces expresarse sintticamente como:

We = Wi

Consideremos ahora el caso de una estructura plana con barras resistentes a flexin

sometida a un sistema de cargas Pm en su plano, siendo C las correspondientes reacciones

de vnculo exteriores. Para este sistema en equilibrio se desarrollan esfuerzos internos M,

N, Q, de tal manera que existe equilibrio entre la accin interna y la externa. Sometemos al

sistema a una deformacin virtual, por lo que los puntos de aplicacin de las cargas Pm y

C, sufrirn desplazamientos m y c (si existen corrimientos de apoyos) en la direccin de

las mismas. Por lo tanto el trabajo virtual de las fuerzas externas estar dado por:

Para expresar el trabajo virtual interno de deformacin, es decir el trabajo de los

esfuerzos internos (M, N,Q) debido a la deformacin virtual a que sometimos al sistema,

consideramos un elemento de una barra dx de altura h.

La deformacin virtual provocar, un desplazamiento relativo de las dos secciones

del elemento que podr expresarse por una traslacin y una rotacin d. La traslacin la

podemos considerar compuesta por dos componentes; una a lo largo del eje de la barra ds

y otra normal dn.

El trabajo diferencial de las fuerzas internas que actan sobre el elemento dx ser:

El cuerpo deformable acta un sistema de fuerzas en equilibrio, el trabajo virtual

inducido por las fuerzas externas se disipa de dos formas: a) como trabajo virtual de

traslacin y rotacin del cuerpo rgido indeformable y b) como trabajo virtual interno.



Clculo de los Desplazamientos por Esfuerzos Axiales, Cortes, Momentos y

Variaciones de Temperatura.

El trabajo interno Wi para estructuras planas viene dado:

= .

+

.

+

.

+

.

+

. ()

. +

. .

Axiales Cortantes Momento Flector Torsor Variacin de Temperatura

= Desplazamiento por efectos axiales, corte y de flexin.

N = Fuerza interna en cada miembro del sistema real.

n = Fuerza interna de cada miembro del sistema virtual.

L = longitud del elemento

A = rea de la seccin recta del elemento.

E = Mdulo de elasticidad del material.

V = Fuerza interna de corte de cada miembro del sistema real

v = Fuerza interna de corte de cada miembro del sistema virtual.

Cv = Coeficiente de corte de forma que tiene en cuenta la distribucin no

uniforme del corte en la seccin transversal de la viga

G = Mdulo de elasticidad transversal. Siendo G =

2(1+) donde = coeficiente

de poisson

I = Momento de Inercia de cada elemento.

M = Momento inducido por la carga real de cada miembro.

m = Momento inducido por la carga virtual de cada miembro.

= Coeficiente de dilatacin trmica (C)-1

.

t = Variacin de temperatura (C).

T = Momento torsor inducido por las cargas reales del sistema.

t = Momento torsor inducido por las cargas virtuales del sistema.

Ip = Momento polar de inercia



Clculo de los Desplazamientos por Movimientos de Apoyos.

Cuando ocurre el caso de las reacciones exteriores producidas por el sistema virtual

efectan un trabajo externo WR.

El valor de dicho trabajo externo (WR) se obtiene, al multiplicar el valor de la

reaccin del apoyo, donde se efecta el movimiento en el sistema virtual, por el valor real

del desplazamiento de apoyo, quedando la ecuacin definida de la siguiente forma:

WR = Ri . d

Mtodo de Aplicacin

Existen tres formas de resolver las integrales:

- Integracin matemtica directa, utilizando las expresiones.

- Mtodo de carga elstica de los elementos.

- Aplicando la Tabla de Integracin Grfica.



Ejemplo # 1.

Aplique el desplazamiento virtual horizontal

en el extremo A, usando el diagrama de Williot

Mohr y establezca la relacin con los diagramas

cartesianos de corrimientos.

C D

3m

A B E

3m 3m 3m

Solucin: Se grafican los diagramas de desplazamientos a travs de williot mohr.

01

Diagrama de Williot-Mohr

02 CD AB

9 D 01C 01B

012 BC C E

C D B BC 01

A CD A B E AB

3 3 3

B B 18.43 AB 01 A

cos =

donde: B = 1.054 A

C 153.44 18.43 C B 8.13 B 01 A

153.44=

18.43 C = 0.745 A

D D 116.56 26.56 C 01 C 18.44

116.56=

45 D = 0.942 A



Relacin con Diagrama Cartesiano de Corrimiento

01 01 =

9

= 0.111

9 6 6 = 0.667 C 012 012 D II I

A B E 9 9 = () 3 3 3

012 II

I

3 6

()

01 =

9 3 = 0.333 6 = 0.667

= 0.111

= . cos 18.43 1 = 2 + 2 = . sen 18.43 0.333 = .

= 0.667

= 0.333 = .

= 0.667

= 0.667 = .



Ejemplo # 2.

Aplicando el Principio de Trabajo Virtual.

Hallar:

a) La Fuerza Cortante en la seccin n-n

b) El Momento Flector en la seccin n-n

3T/m 2T/m

B C

n 2m

n

A 2m

4m 4m

Solucin: Para la determinacin de los esfuerzos cortantes, se pone en evidencia el

desplazamiento en la seccin n-n acondicionando el vnculo.

Diagrama de Corrimiento

1 = 4

4= 45

02 02

8T 4m

3/2T

3T B C 14/3

2m 5 2

3/2T 012 6 4/3

01 2m

A 01

4m 4m ()

6 01

2 ()

02

=

Aplicando Trabajo Virtual:

VIZQ.(2).cos + VDER(6).cos 8(2) + (-3/2).(14/3) 3(5) +

VDER(6).sen + VIZQ.(2).sen + (3/2).(4/3) = 0

a) V = 3.18 T



Determinacin del Momento Flector en la seccin n-n.

Diagrama de Corrimiento

1 = 4

4= 45

02 02

8T 4m = /3 3/2T

3T B C II 14/9

M 2m 2 5/3

3/2T M 012 4/3

01 2m I

A 01

4m 4m ()

012

II

I 2

01

2/3 () = /3

02

6m

=


MIZQ.() + MDER(/3).cos 8(2/3) - (3/2).(4/3) 3(5/3) - (3/2).(14/9) = 0

b) M = 11 T.m



Ejemplo # 3.

Determinar los Momentos en G usando

diagramas de Williot-Mohr.

5T/m A G

2T

4m D

B 3T F

C

6T/m 3m

E E 3m 4m 3m 3m

Solucin: Usando el teorema de los polos para determinar el desplazamiento evidenciado,

se tiene que:

48T.m

A

01 04 24 T EF

15T 2T G

012

EF

BE

C D 034 24T FG C B, E

B F A,G D,C

18T

023 E E F

E 02

03 BE EF EF FG

AB = /L = 1/4

AB = 0.25

EF = 0

FG = 0.16

=

G 0.80 G C C,E

0.48 53.13 36.87

F 0.80 0.60

0.64 E, F


-48 .(0.16) + MG.(0.16 ) 18.(0.64 ) 2.40.(0.48 ) + 1.80.(0.64 ) -1.80.( ) = 0

MG = 131.25 T.m



Ejemplo # 4.

Determinar la Rotacin Relativa en C usando el Principio de los Trabajos Virtuales en Cuerpos

Elsticos. Desprecie los Esfuerzos por

deformacin Axial y Cortante.

4 T/m 0.6m

0.4m D

C EIo A= -0.04 m 4m D= 0.008 rad EIo

E = 2.1 x 109 T/m

2

A EIo B

5m 3m 5m

Solucin:

Determinacin de reacciones.

4 T/m 20T

Elemento CD

D RDX

C

5m RDY

MA 20T M N

=53.13

RAX A B

RAY

Io

+ = 0 -20.(2.5) + 5 RD

Y = 0

RDY = 10 T

+ = 0 10T -52T + RA

Y = 0

RAY = 42 T

+ = 0 -42. cos + 20.cos - RA

X = 0

RAX = 22 T => RD

X = 22 T

+ = 0 -52.(6.5) - 22(4) + 10(13) + M

A = 0

MA = 296 T.m +



Al corte:

4 T/m

Mmx

D 22 T 10T x

Sistema Real

C D

12.50

A

136 Diagrama de Momento Flector

B

136

296

Sistema Virtual.

Para la determinacin del desplazamiento, se evidencia el valor del mismo

1

1 D RDX

RAY C

MA RDY 4m

RAX A B Elemento CD

5m 3m 5m

+ = 0 -4x(x/2) + 10(x) + Mmx = 0

Mmx = 2x2 10x 2.5

0

Mmx = 12.50 T.m

+

-

-

-

+ = 0 -1 T.m + 5 RD

Y = 0

RDY = 1/5 T

+ = 0 1/5T + RA

Y = 0

RAY = 1/5 T



+

+

-

-

-

+

Elemento AB

MA M N

=53.13

RA

X A B

1/5 T

1

Elemento AB

Sistema Virtual 1 D C

1.8 0.8 0.8 Diagrama de Momento Flector A B

PRINCIPIO DE TRABAJO VIRTUAL PARA CUERPO ELSTICAMENTE DEFORMABLES

We = Wi We + Wi = 0

Considerando nicamente efectos de flexin se tiene: 1. + = .

0

296 136 1.8 0.8 136 0.8 1 12.50 1

1. 0.04 0.2 + 0.008 0 = +

5

0 +

5

0 . +

5

0 .

EI EI EI

1. = 0.08 9.8105 2.8105 1.4105

= .

+ = 0 1/5. cos + RA

X cos = 0

RAX = 1/5 T => RD

X = 1/5 T

+ = 0 1/5.(13) - 1/5(4) + M

A = 0

MA = 9/5 T.m -

+ + = 0 -1.8 + 1/5(5) + M

B = 0

MB = 0.8 T.m +

+

+

+

+

+



Ejemplo # 5.

Determinar el Desplazamiento Horizontal en A usando el P.T.V.C.E.

Desprecie deformacin Axial.

3 T/m 0.65 m

EIo B 0.3m EIo 6T.m 3m

A C

C: 1.2

A= -0.04 m 3m : 0.16 E = 2.1 x 10

6 T/m

2

EIo 2T

3m

D

6m 6m D= 0.05m

Solucin:

Clculo de reacciones.

14 32.67 30

30

A B A

4 B 6

3.58

C C

Diagrama de Corte Diagrama de Momento

2

D 6 D

-

Io

Tramo AC

+ = 0 3.(6).(9) + 6 + 12 RA

Y = 0

RAY = 14 T

+ = 0 -3(6) + 14 T + RD

Y = 0

RDY = 4 T

+ = 0 -2 T + RD

X = 0

RDX = 2 T

Toda la Estructura

+ = 0 -14(12) +18(9) + 6 + 2(3) + MD = 0

MD = 6 T.m

+

+

V M

+

+

-



Sistema Virtual

A= 1

B

A 3m

C

RAY 3m

3m MD D RD

X

6m 6m RD

Y

0.50

0.45 A B

C

Diagrama de Corte

Sistema Virtual

1

3

3

D

A B

C

Diagrama de Momento

Sistema Virtual

12 D

Tramo AC

+ = 0 -1(3) + 6. RA

Y = 0

RAY = 1/2 T

+ = 0 1/2 + RD

Y = 0

RDY = 1/2 T

+ = 0 1 T + RD

X = 0

RDX = 1 T

Toda la Estructura

+ = 0 -1(6) -1/2(12) + MD = 0

MD = 12 T.m

+

+

+

+

+

+

v

m

PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES EN

CUERPOS ELSTICOS:

. + = .

+

.

TRABAJO EXTERNO:

. 1 0.02 1 0.05(0.5) = 0.02 + 0.025

TRABAJO INTERNO (POR CORTE):

14 0.5 4 0.5 3.58 0.45 2 1

. + 1.33

0 . +

6.71

0 . +

6

0 .

4.67

0

AG AG AG AG

Cv 0.000093 0.0000075 0.000061 + (0.000068) 1.2 0.000093 0.0000075 0.000061 + (0.000068) = 0.00011

+ +

+ +

+

+

+

+

TRABAJO INTERNO (POR FLEXIN):

32.67 3 30 6 3 6 12

. + 6.71

0 . +

6

0 .

6

0

EI EI EI

0.01699 0.01536 0.00166 = 0.03401

+

+ +

+

TRABAJO TOTAL:

= 0.02 + 0.025 + 0.00011 + 0.03401 = 0.080 m



Ejemplo # 6.

Determine el Desplazamiento Horizontal en E usando el P.T.V.C.E. Desprecie deformacin

Axial y de Corte.

E= -0.03 m

E

EI 2 T/m 0.90 m

5m 3T.m 0.50m

D

ts= 32C C 2EI

8T B EI 1m

ti= 18C E = 2.1 x 106 T/m

2

EI A= 0.20 m 6m

A= -0.007rad A

6m 6m ELEMENTO D-C

Solucin:

Clculo de reacciones.

M

N

8T =9.46

B

8T

A MA RA

Y

Io

+ = 0 2.(6)(3) + 6 RD

Y = 0

RDY = 6 T

+ = 0 8T + RA

X = 0

RAX = 8 T

+ = 0 8. cos - 8.cos - RA

X .COS = 0

RAY = 0 => RE

Y = 6 T

+ = 0 -6.(12) + 12(9) -8(6) -6(6) - 3 + M

A = 0

MA = 51 T.m +



SISTEMA REAL

3

3 D

C 3 9 B DIAGRAMA DE MOMENTOS

51 A

SISTEMA VIRTUAL Se pone en evidencia el valor del Desplazamiento e = 1 E 5m

C D

1m ELEMENTO ABC B

6m

A 6m 6m

N

=9.46 ELEMENTO CE B =9.46

=9.46

A 1

MA RA

Y

+

+

-

-

M

+ = 0 -1. cos + RA

Y cos = 0

RAY = 1 T

+ = 0 -1.(7) - 1(6) + M

A = 0

MA = 13 T.m +

+ = 0 1T + RA

X = 0

RAX = 1 T

+ = 0 - 1. cos + RE

Y cos = 0

REY = 1 T

+ = 0 1 + 1+ RD

Y = 0

RDY = 2 T



SISTEMA VIRTUAL E *EFECTOS DE TEMPERATURA

C D

7 B

7 DIAGRAMA DE MOMENTOS

()

.

C 13

A B

0.82

C .

C Diagrama Axial B B

PRINCIPIO DE TRABAJOS VIRTUALES DE CUERPOS ELSTICOS

-

m

= = 18 32 =

=+

2 =

18+32

2

=

-

()

. = 14

0.90. 1105

-1.56x10-4

+

. = 25C . 1105 +2.5x10-4

+

n

TRABAJO EXTERNO E INTERNO (POR FLEXIN Y TEMPERATURA):

. 1 0.03 1 + 0.20 1 0.007) 13) = 51 3 13 7 3 7 1.56x10

-4 7 2.5x10

-4 0.82

. + 6.08

0 . +

6.08

0 . +

6.08

0 .

6

0

EI EI

. 1 = 0.079 + 0.02765 + 0.00067 + 0.00332 + 0.00012

= 0.1108

+ +

+

+

+ +



Ejercicios Propuestos.- D= 0.02 rad 1.5 T/m 0.6m 0.72m

D

0.35m 0.48m 5m 2 T/m EI/3 A 2m BARRA AB EI

ts= 15C C

5T.m ti= 18C B 1m EI 3EI 2m

2EI

C D A B 2T

EI A = -0.06 m 3m 4m 4m D= -0.04 m 5m 3m 2m

D= 0.008 rad

0.8m 0.7m Cv: 1.2

0.2m : 0.16 0.35m B 4 T/m

2EI

EI 3m B D

EI 8T.m ts= -5C 2m

3T 1m EI EI/2 EI A C ti = 15C C 1m D= -0.3 m 3m A D= -0.06 m

D

4m 3m 3m 3m 2m 6m

1.- Hallar la Rotacin en D usando el Principio

de los Trabajos Virtuales para Cuerpos Elsticos.

Desprecie los Esfuerzos Axiales y de Corte.

E = 2.1 x 106 T/m

2

2.- Determinar la Rotacin relativa en C y el

Desplazamiento Horizontal en A usando el

P.T.V.C.E. Desprecie los Esfuerzos Axiales y de

Corte. E = 2.1 x 106 T/m

2

3.- Determine el desplazamiento Vertical en D

usando el Principio de los Trabajos Virtuales para

Cuerpos Elsticos. Desprecie los Esfuerzos

Axiales y de Corte. E = 2.1 x 106 T/m

2

4.- Halle el desplazamiento Vertical en C

usando el Principio de los Trabajos Virtuales para

Cuerpos Elsticos. Desprecie los Esfuerzos

Axiales. E = 2.1 x 106 T/m

2

(principio de trabajo virtual cuerpos elásticos

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