printemps-été 2015printemps-été 2015 | 15 [1] printemps-été 2015 2810, 26e rue, st-prosper,...

PrintemPs-été 2015 | • 165 [1]

PrintemPs-été 2015

2810, 26e rue,St-ProSPer, Québec G0M 1Y0No PerMiS : 40043512

Maîtrise en mathématiquesCONCENTRATION Didactique des mathématiquesLa seule maîtrise en didactique des mathématiques en français au Canada, animée par une équipe composée d’une douzaine de didacticiens professeurs dans un département de mathématiques.

S’adresse à la fois aux enseignants en mathématiques qui veulent se perfectionner et aux mathématiciens ayant à cœur l’enseignement de leur discipline.

Couvre une grande variété de problématiques liées aux domaines suivants :

◊ Enseignement de divers domaines des mathématiques ◊ Utilisation des nouvelles technologies ◊ Formation des enseignants ◊ Développements curriculaires ◊ Transitions entre niveaux scolaires ◊ Utilisation de l’histoire dans l’enseignement des mathématiques ◊ Et bien d’autres encore !

INFORMATIONStéphanie Girard 514 987-8935, [email protected]

www.math.uqam.ca/didactique

42e

SESSION DE PERFECTIONNEMENT

15 et 16 octobre 2015 Hôtel Le Dauphin600, Boulevard St-Joseph, Drummondville J2C 2C1

ANIM4TEURS RECHERCHÉS

oN CoMpTE

SUR voUS!

Le GRMS est actuellement à la recherche d’animateurs et d’animatrices pour présenter des ateliers en lien avec notre thème de cette année.ATELIER DE 75 OU DE 150 MINUTES• En lien avec le thème retenu;• Une situation d’apprentissage et d’évaluation réalisée en classe;• Le développement d’un aspect didactique ou d’un concept;• Une idée novatrice à implanter en classe;• En lien avec l’intégration des technologies de l’information et de la communication (TIC)Pour soumettre un atelier, utilisez le formulaire à l’adresse http://monurl.ca/animgrms42 ou sur le site web du GRMS dans la section « Congrès octobre 2015 » avant le 22 mai 2015.L’inscription est gratuite pour l’animateur principal pour les deux jours.


M O T D U D i r e c T e U r

Je suis très content de vous présenter VOTRE 2e revue Envol. Sans votre contribution et

votre présence, elle n’aurait aucune raison d’exister. Je vous remercie donc de la lire et de

participer à sa création.

Encore une fois, plusieurs articles devraient retenir votre attention et vous permettre de

découvrir de nouvelles approches pédagogiques pour votre enseignement.

Dans ce numéro, vous trouverez des problèmes tirés des anciens concours d’Opti-Math

afin de divertir vos élèves. De plus, il ne faut pas oublier le traditionnel mots croisés.

Encore une fois, 4 auteurs osent partager leurs bonnes idées avec vous. Merci à ces

braves de prendre le temps de vous partager leurs écrits. Je félicite Frédéric Ouellet, Ma-

thieu Thibault, Kathleen Quesnel et Jocelyn Dagenais qui ont relevé mon DÉFI lancé dans

le dernier numéro. J’en profite pour vous inviter à relever ce DÉFI : Pourquoi ne pas plonger

et partager un de vos bons coups (oui, oui, vous en avez sûrement) et prendre le temps

d’écrire un court article pour VOTRE revue.

Dans ce numéro varié, vous découvrirez la facilité d’utilisation de Desmos, l’avantage de

voir les probabilités sous une nouvelle approche à l’aide de la technologie, une approche

innovatrice pour l’étude de la géométrie et finalement, un survol de plusieurs outils

technologiques permettant la simplification de plusieurs calculs.

Dans mes prochains éditoriaux, j’aimerais partager avec vous des découvertes qui m’ont

été partagé par d’autres collègues ou que j’ai découvertes au fil des ans. Pour travailler

l’algèbre autrement, je vous propose d’aller sur le site suivant :

http://www.rpn.ch/hosting/iclasse/blog/equations/Sequ_10_Equation_1.html

En espérant que vous apprécierez votre lecture. J’attends vos écrits avec impatience…

François Pomerleau Directeur de la revue Envol

Conseil d’administrationJocelyn Dagenais, président [email protected] Bouffard, vice-président [email protected] Roy, trésorière [email protected] Auger, administratrice [email protected]çois Pomerleau, administrateur [email protected] Gervais, administrateur [email protected] Thibault, administrateur [email protected]

Comment joindre un membre du GRMSEn tout temps, si vous désirez les coor-données au travail d’un des membres du conseil d’administration du GRMS, d’un des membres, d’un auteur, d’un animateur d’ateliers ou simplement avoir de l’infor-mation sur du matériel didactique ou toute information relative à votre association, vous pouvez appeler au secrétariat du GRMS.S’il n’y a pas de réponse, vous pouvez laisser un message sur le répondeur.Vous pouvez également utiliser le courrier électronique du secrétariat et, en tout temps, visiter notre site Web.

SECRÉTARIAT DU GRMSMonia Larochelle, secrétaire 2810, 26e rue St-Prosper (Québec) G0M 1Y0 Téléphone : 418-209-GRMS (4767) [email protected] www.grms.qc.ca

SECRÉTARIAT DES CONCOURS OPTI-MATHPour information Robert Mercier T 450-471-7079 F 450-471-4960 [email protected]

165

165

165

[2] • 165 | PrintemPs-été 2015

165

165

165

165

165

165

Revue du groupe des responsables en mathématique au secondaire

Directeur de la revue : François PomerleauPublicité : Monia Larochelle

T 418 209-GRMS (4767) [email protected]

Graphisme et mise en page : Pierre Lavallée, Néograf Design inc.Impression : Impressions Lithosol inc.Avertissement au lecteur La direction de la revue publiera volontiers les articles et les lettres qui présentent un réel intérêt pour l’ensemble des membres du GRMS. Ces écrits engagent la seule responsabilité des auteurs et ne reflètent en rien la position officielle de l’organisme.Date de tombée de la revue Envol Il est très important de respecter les dates de tombée suivantes si vous souhaitez que vos articles soient publiés dans le numéro en préparation. Après ces dates, ceux-ci pourraient être mis en banque pour une parution ultérieure.Parution Dates de tombée :No 166, automne-hiver 2015 30 juin 2015 No 167, printemps-été 2016 28 février 2016Matériel fourni Textes : en Word ou en Pages (version mac de Word) Images : Toutes images doivent avoir une version séparée du Word en plus d’être dans le fichier Word pour savoir où elle doit se retrouver dans le texte. En format vectoriel (.ai ou .eps) sinon en dernier recours en tiff, jpg haute qualité ou png. Toutes les images « rasterizées » (.tiff, .jpg, png, gif) doivent avoir d’origine une résolution suffisante pour qu’au format final nous ayons 300 dpi (dot per inch) au format final. IMPORTANT : Il est strictement interdit d’utiliser des images venant du WEB, à moins d’avoir les droits de reproduction. Aucune image venant du web ne sera acceptée à moins d’avoir les droits de repro-duction écrits. Sinon on cherche le trouble!!!Pour plus de détails, consultez le site www.grms.qc.ca/la-revue-envol/ISSN : 0833-8566Dépôt légal : Bibliothèque national du Québec

Bibliothèque national du CanadaEnvol paraît 2 fois l’an, Port de retour garanti.Convention de la Poste-Publications : 40043512Au maître de poste : Retourner toute correspondance ne pouvant être livrée au Canada au :GRMS 2810, 26e rue, St-Prosper Qc G0M 1Y0 [email protected]

SommaireMot du directeur 1

Mot du président 3

Opti-défi 4

Desmos 5

Frédéric OuelletProbabilités 9

Mathieu ThibaultMots croisés 14

concours Opti-Math 16

Une question de hauteur 18

Kathleen QuesnelLa PAGe@DAGe 21

Jocelyn DagenaisProblèmes Opti-Math – solutions 27

Mots croisés – corrigé 28


165

165

165

165

165

165

M O T D U P r É S i D e N T

Quand les mathématiques me donnent des Tic !

Notre prochaine session de perfectionnement approche à grand pas. Les 15 et 16 octobre 2015, nous serons à Drummondville à l’hôtel Le Dauphin pour notre 42e session de perfectionnement. Vous pouvez déjà soumettre un atelier en vous rendant à l’adresse http://monurl.ca/animgrms42. La date limite est le 22 mai 2015. De plus, nous vous annonçons que le prix pour devenir membre du GRMS passe de 40 $ à 25 $, une décision qui, je l’espère, permettra d’augmenter le nombre de membres.

De plus, avant notre session de perfectionnement, soit le mercredi 14 octobre, il y aura une journée réservée aux conseillers pédagogiques du secteur public et aux représentants des écoles privées de la FEEP (Fédération des établissements d’enseignement privés). Cette journée aura pour thème « L’utilisation des outils technologiques dans le processus d’évaluation ». Suite à cette journée, le GRMS proposera certaines recommandations aux différentes instances.

Pour notre conférence d’ouverture, nous aurons le privilège d’écouter madame Lise Galuga, enseignante, mais ingénieure de formation. Elle est technopédagogue provinciale en Ontario en appui aux écoles effec-tuant un virage à l’ère numérique. Elle porte fièrement les désignations « Enseignante Certifiée Google », « Formatrice Google Éducation » et « enseignante exemplaire SMART ». Elle est spécialiste de l’intégration pédagogique des technologies et elle offre des formations aux cadres, directions, enseignantes et enseignants, et aux élèves d’un peu partout en Amérique du Nord ainsi qu’en Europe.

Vous pouvez consulter son site web à l’adresse http://galuga.ca.

C’est donc un rendez-vous pour notre 42e session de perfectionnement à Drummondville. Et n’oubliez pas, il y a seulement 400 places de disponibles !

Jocelyn Dagenais Président du GRMS


OPTI-MATH 2003Situation 4Les statistiques du tournoiQuatre clubs de soccer se sont affrontés durant les préliminaires d’un tournoi. Chaque club a joué trois fois. Aucun club n’a joué deux fois contre le même adversaire. Voici quelques statistiques obtenues par chacun des clubs : A B C DParties gagnées 2 1 1 1Parties perdues 1 1 2 1Parties nulles 0 1 0 1Points comptés 11 12 8 14Points accordés 9 10 13 13Le club B a vaincu le club C par la marque de 5 à 1.Le club C a vaincu le club D par la marque de 6 à 3.Le club D a vaincu le club A par la marque de 6 à 2.Quelle est la marque de chacune des autres parties disputées ?

Les Concours OPTI-MATH et OPTI-MATH+ sont organisés par un comité du GRMS et visent à encourager la pratique de la résolution de problèmes dans un esprit ludique et à démystifier, auprès des jeunes, les modes de pensée qui caractérisent la mathématique.Voici des questions qui ont été sélectionnées parmi d’anciennes questions des Concours OPTI-MATH et OPTI-MATH+du GRMS.

OPTI-MATH 2005

Situation 3 La familleUne mère a accouché trois fois. Il s’est passé quatre ans entre le premier et le second accouchement et à nouveau quatre ans entre le deuxième et le troisième accouchement.Quatre enfants sont nés de ces accouchements.Aujourd’hui, la somme des âges des quatre enfants est de 60 ans. De plus, parmi eux, deux ont le droit de voter. Ceux-ci ont donc au moins 18 ans.Quel est l’âge actuel des quatre enfants ?

OPTI-MATH+ 2001Situation 12Une question de caractèresUn typographe a utilisé 3 505 caractères pour écrire le numéro des pages d’un livre. Il y a des numéros à 1, 2, 3 ou 4 chiffres.a) Combien de pages y a-t-il dans ce livre ?b) Combien de fois faudrait-il utiliser le

chiffre «1» pour la pagination d’un livre de 1 000 pages ?

c) Combien de fois faudrait-il dire le mot «quatre» pour dire à voix haute tous les numéros de pages d’un livre de 800 pages ?

OPTI-MATH+ 1997Situation 5Vice-versaUn cône peut être tenu le sommet vers le bas tout comme le sommet vers le haut. Un cône fermé dont le rayon est de 25 cm et la hauteur 45 cm est rempli à 80 % de sa capacité.Le volume d’un cône est donné par la formule: V = πr2h/3a) Quelle hauteur atteindra l’eau si le cône

a son sommet vers le bas?b) Quelle hauteur atteindra l’eau si le cône

a son sommet vers le haut?

Un défi mathématique pour tous les élèves du secondaire


La DécouverteJe ne me souviens plus trop quand, ni de quelle façon, mais un jour, j’ai pris connaissance de l’existence de Desmos. À première vue, Desmos ressemblait à bien des logiciels permettant de tracer des graphiques que j’avais l’habitude d’utiliser, comme Graph, Trace et Geogebra. Cependant, en l’essayant, j’ai vite constaté que Desmos était, à mon sens, beaucoup plus facile d’utilisation et ce, tant pour les élèves que les enseignants. La possibilité de partager nos graphiques à l’aide d’un simple lien internet permettait de trans-mettre nos «créations» (car avec Desmos, certains réalisent réellement des œuvres d’art!) via les médias sociaux, en particulier Twitter. Desmos est accessible sur le web et dispose d’applications gratuites pour iPad et Android.Je me permets d’associer Desmos et Twitter, car je crois que c’est grâce à Twitter, en suivant le fil de @Desmos et ses utilisateurs, que j’ai vraiment découvert le potentiel de Desmos.Je vais donc tenter dans cet article de vous présenter ce que Desmos a à offrir comme possibilités afin que vous puissiez y voir un intérêt à l’intégrer dans vos pra-tiques pédagogiques. D’autant plus qu’il est possible d’utiliser Desmos en français, en modifiant la langue d’utilisation.

Voici deux adresses à retenir :Page d’accueil de Desmos : www.desmos.com Le grapheur Desmos : www.desmos.com/calculator

La facilité d’utilisation du grapheurCe qui fait la force de Desmos, c’est sa facilité d’utilisation. Lorsque l’on utilise le grapheur, il suffit d’écrire l’équation à tra-cer dans la colonne des entrées et, aussi-tôt, les droites et fonctions sont tracées et se modifient sous nos yeux! Pour l’élève, c’est un bon moyen de visualiser le rôle des paramètres dans les fonctions polyno-miales de degré 0, 1 ou 2, par exemple.L’ensemble des fonctions explorées au secondaire peuvent être tracées dans Desmos. En fait, Desmos n’a de limite que notre imagination. On peut y tracer des points, des inéquations, des fonctions définies sur un domaine ou une image, des coniques et même des dérivées! Desmos nous permet aussi de construire des tables de valeurs et d’insérer des images.

Tout au même endroit…C’est à l’aide du bouton + (voir illustra-tions ci-bas) qu’il est possible d’entrer des expressions, des tables de valeurs et des images. Les remarques peuvent être utiles si on veut donner des consignes à l’inté-rieur de notre graphique. Quant au dossier, il permet de regrouper différents éléments et de les afficher ou cacher en un seul clic.Pour entrer des fonctions ou des carac-tères spéciaux, il peut être utile d’afficher le clavier de Desmos.Recherchez l’icône en bas à droite.

Le grapheur Frédéric OuelletConseiller pédagogique en mathématique et science au secondaire,

Commission scolaire de Kamouraska-Rivière-du-Loup [email protected]

@fredouellet0


…Simplement!Avec Desmos, il suffit d’écrire ce que l’on veut pour l’obtenir. Par exemple, si on veut étudier l’influence des paramètres dans la fonction sinusoïdale, on entre tout simplement son équation sous la forme canonique et Desmos nous demandera si on veut des curseurs. Un beau moyen de laisser les élèves explorer l’influence de ces paramètres! En cliquant sur le bouton « Play », la courbe s’anime.

Modéliser une situation à l’aide de curseursCe qui m’a accroché au départ, c’est la possibilité de modéliser de façon simple une situation à l’aide du grapheur. L’utilisation des curseurs permet de trouver la courbe qui épouse le mieux un nuage de points. Avec les élèves, on pourrait recueillir des données d’une situation en classe afin de modéliser une relation avec Desmos.

Modéliser une situation à l’aide de la régressionUne récente fonctionnalité permet maintenant à Desmos de tracer automatiquement la droite ou la courbe qui représente le mieux une situation. On peut même importer d’Excel une table de valeurs. Il suffit d’avoir un minimum de cinq points et d’entrer la forme d’équation voulue en spécifiant la source des données avec des nombres en indice :

Pour le signe ~, il faut aller dans le clavier et sélectionner ABC.


explorons le grapheur Je vais faire ici une brève démonstration du grapheur, mais je vous conseille forte-ment d’aller explorer par vous-même le potentiel de Desmos puisqu’il est difficile de représenter le côté dynamique de Desmos dans un texte statique.Prenons la fonction quadratiquef(x) = (x – 4)2 – 6 et amusons-nous…

…à la définir pour x ∈ [-1, 6[ :À l’aide du clavier ou du clavier de Desmos, taper l’intervalle voulu : {-1 ≤ x < 6}

… à la transformer en inéquation :Modifier f(x) pour y et le signe d’égalité pour le signe d’inégalité voulu.

…à identifier les points importants :Entrer le couple voulu sous la forme (x, f(x)), par exemple (-1, f(-1))

Également, il suffit de cliquer sur la courbe afin de faire apparaître le sommet et les coordonnées à l’origine.

…à déterminer les valeurs de x pour lesquelles la fonction f(x) ≥ 10 :

Du visuel, du dynamisme et des conjecturesLa simplicité de Desmos nous permet de faire explorer les élèves et même de les faire conjecturer, ce qui est plus difficile sans outil technologique, mais qui consti-tue une étape importante du raisonnement mathématique. Les curseurs et les listes permettent à l’élève de réaliser en une courte période de temps une multitude d’exemples. Ces exemples lui permettront rapidement de voir les généralités que l’on souhaite lui faire réaliser.

Exemple : Formuler une conjecture quant aux droites ayant la forme devient une conjecture plus simple à faire avec Desmos.

Exemple : Avec Desmos, on peut s’amuser à utiliser les fonctions pour représenter des images ou faire nos propres créations. Pourquoi ne pas lancer ce genre de défis aux élèves?

Allez jeter un coup d’œil aux œuvres d’art que certains utilisateurs de Desmos ont fait, vous serez assurément impressionnés de voir ce que l’on peut faire avec des équations mathématiques! www.desmos.com/art


Des activités interactivesJe ne pourrais terminer cet article sans parler des activités interactives créées par Desmos. À l’adresse teacher.desmos.com/activities vous trouverez l’ensemble des activités offertes ainsi qu’une brève description de celles-ci. Malheureusement, ces activités sont seulement en anglais. Il est cependant relativement simple de comprendre ce qu’il faut faire.Pour jouer, l’enseignant se crée une classe. Les élèves utilisent alors le code d’accès généré. Les élèves entrent alors le code à l’adresse suivante : student.desmos.com. À partir de ce moment, l’enseignant peut voir la progression de chacun de ses étudiants en simultané sur son tableau de bord.

conclusionDans la section « Graphique sans titre » (voir photo ci-contre), il existe déjà quelques graphiques mis à votre dispo-sition qui vous permette de vous amuser avant de vous lancer dans la création. J’ose espérer que je vous ai donné le goût d’aller explorer et expérimenter Desmos. Je suis persuadé que vous y trouverez votre intérêt et que, vous aussi, vous ne pourrez plus vous en passer! Faites-le découvrir à vos élèves, ils vous remercieront!Allez faire la visite guidée de Desmos, elle vous permettra d’approfondir vos compé-tences mathématiques avec le grapheur en ligne le plus puissant que je connaisse!

Voici la liste des activités présentement offertes. (En date du 3 février 2015)

Polygraph :Un Guess Who portant sur les :

Paraboles Hexagones Droites Fonctions rationnelles

Autres activités

Tableau de bord

Penny Circle Desman Central Park Water Line Function Carnival

Mathieu Thibault Étudiant au doctorat en éducation

chargé de cours et membre du GRUTEAM, UQAM, Enseignant de mathématiques au secondaire, Collège St-Jean-Vianney

[email protected] @ThibaultMat

À l’aide de l’outil Wordle (disponible gratuitement en ligne à l’adresse suivante : http://www.wordle.net/), la figure 1 a été générée selon la fréquence d’apparition des mots contenus dans ce texte pour vous donner un aperçu de ce qui sera discuté.Quoi… un article sur l’enseignement des probabilités?!? Mais on n’a pas le temps d’enseigner les probabilités… D’ailleurs, on n’a jamais été formés pour cela. Avec des outils technologiques en plus? Ouf! Tant pis, les élèves récupèreront les notions avec leur enseignant de l’an prochain.C’est un discours que j’ai entendu trop souvent ces dernières années comme enseignant, comme formateur et comme apprenti-chercheur. Pourtant, le hasard et les probabilités sont utilisés dans de nombreux domaines, car ils apparaissent chaque fois que nous ne savons pas avec certitude ce qui se passera. De plus, en prenant conscience de l’ampleur du pro-blème du jeu excessif auprès des adoles-cents, on peut se demander quel doit être le rôle de l’école. Je pense que l’école, en particulier par le biais des cours de mathé-matiques, doit assumer sa part de res-ponsabilité pour contrer ce fléau social en sensibilisant les élèves aux probabilités de gagner dans les jeux de hasard et d’argent. Aussi, l’école doit permettre le dévelop-pement de compétences mathématiques et de compétences citoyennes comme la pensée critique et la prise de décision (Savard, 2008).On entend aussi que les mathématiques doivent s’enseigner de façon plus tradi-tionnelle que d’autres disciplines scolaires et qu’il est plus difficile d’y utiliser des ou-tils technologiques. Il est pourtant possible de réaliser de belles activités avec des élèves de différents niveaux en utilisant les TIC pour enseigner différemment… mais il faut sortir de sa zone de confort et accep-ter qu’on ne pourra pas prédire avec cer-titude ce que le hasard nous réserve dans les cours! Pour enseigner les probabilités, on peut utiliser des logiciels de simulation pour générer presque instantanément des milliers de résultats d’expériences aléa-toires. Cependant, pour faire la transition vers des mathéma-TIC où il faut simuler pour stimuler les élèves, quelques conseils peuvent s’avérer utiles afin d’utiliser le plein potentiel de ces outils technologiques en probabilités. Par exemple, pour aborder le concept de fréquence, pourquoi ne pas utiliser l’outil Wordle? Il suffit de copier et coller un texte (à l’adresse suivante : http://www.wordle.net/) pour qu’ins-tantanément les mots les plus fréquents

Utiliser les mathéma-TIC pour enseigner les probabilités

PRINTEMPS-éTé 2015 | • 165 [9]

Figure 1. Wordle des mots de ce texte.

apparaissent en plus gros. C’est une belle façon de faire découvrir ce que peut être la fréquence auprès des élèves.

contexte de l’articleÀ l’automne 2014, j’ai présenté un atelier sur ce sujet à la séance de perfectionne-ment du GRMS et l’intérêt général des participants m’a encouragé à diffuser dans cet article certaines des idées évoquées. Pour apprécier la lecture de cet article, il vous est suggéré de parcourir les ressources disponibles à cette adresse : http://monurl.ca/probs.

Par ce texte, je vous propose d’essayer une approche d’enseignement des probabilités différente de l’approche « classique » qui consiste à présenter les notions théoriques et à proposer des exercices. Je propose plutôt une approche expérimentale pour stimuler les élèves et leur faire vivre des expériences aléatoires. Il faut toutefois au préalable se question-

[10] • 165 | PrintemPs-été 2015

ner sur la façon d’utiliser avec les élèves un logiciel de simulation d’expériences aléatoires. En ce sens, je ne pense pas que les TIC soient une finalité en soi pour l’apprentissage et l’enseignement… mais plutôt un coffre à outils permettant à l’élève d’aller plus loin et d’apprendre différemment à partir de l’intention pédagogique et didactique de l’ensei-gnant. Dans ce cas, un outil technologique comme un logiciel de simulation est utile s’il permet d’approfondir des notions probabilistes en classe et de réaliser des tâches qui seraient bonifiées par l’apport des TIC. Selon le modèle SAMR illustré à la figure 2 (Substitution – Amélioration – Modification – Redéfinition), je pense qu’un logiciel de simulation a le potentiel d’apporter une valeur ajoutée à l’ensei-gnement des probabilités plutôt que de faire exactement comme dans l’approche « classique ».En probabilités, il existe des logiciels de simulation sur Internet, mais ils sont sou-vent en anglais et ne répondent pas tou-jours à nos besoins. La plupart des simula-teurs accessibles sur Internet permettent de générer sans délai un grand nombre d’expériences aléatoires, ce qui constitue un maillon important du développement de la pensée probabiliste (Maheux et Thibault, 2012; Theis et Savard, 2010a, 2010b). En fait, ces outils peuvent jouer différents rôles : générer des résultats, représenter des résultats, jouer de façon dynamique un résultat à la fois ou modéli-ser des situations mathématiques à partir d’un grand nombre de résultats. Comme nous le verrons dans la prochaine section, le simulateur utilisé dans mon mémoire de maitrise (Thibault, 2011) est un exemple d’outil technologique qui peut remplir tous ces rôles s’il est utilisé à son plein potentiel à travers des activités riches.

idées d’activités pour enseigner les probabilitésDans les ressources que je vous partage en ligne (http://monurl.ca/probs) concernant l’enseignement des probabilités par une approche expérimentale, vous trouverez plusieurs idées d’activités. D’abord, on retrouve une série d’articles de presse pour nous informer sur le fonctionnement de certains jeux de hasard et d’argent («La roulette anglaise», par exemple) ou pour susciter une réflexion critique par rapport à ceux-ci («Comment faire fortune avec le prix d’un billet de loterie», par exemple). Il peut s’agir de l’élément déclencheur pour la suite de l’activité.

Ensuite, plusieurs activités ont été créées par des enseignants, un conseiller pédago-gique et des chercheurs en didactique des mathématiques (sous la supervision de François Larose, professeur à l’Université de Sherbrooke). Ces 10 activités destinées au premier et second cycle du secon-daire sont disponibles en format Word et peuvent donc être réutilisées et modifiées au besoin. Toutes ces activités exploitent une approche expérimentale des probabili-tés et elles impliquent un ou plusieurs des 8 jeux de hasard et d’argent à l’aide d’un simulateur en ligne gratuit (http://anniesavard.com/simulateur/), tel qu’illustré dans la figure 3.

Figure 2. Modèle SAMR de Ruben Puentedura, traduit par Jacques Cool

Figure 3. Simulateur développé par Netmaths pour un projet de recherche avec Annie Savard, professeure à l’Université McGill, accessible à l’adresse suivante : http://anniesavard.com/simulateur

PrintemPs-été 2015 | • 165 [11]

Voici un exemple du simulateur dans le jeu de Pile ou face, illustré dans la figure 4. Comme on peut le voir, les paramètres peuvent facilement être modifiés, un grand nombre de simulations s’effectuent instantanément, puis les résultats sont représentés sous différentes formes.À partir de la situation simple de lancers d’une pièce de monnaie, il est possible de travailler sur les notions mathématiques de plusieurs niveaux scolaires : probabilités fréquentielles en pourcentages, calcul de moyenne, loi des grands nombres, variabilité, espérance mathématique, interprétation de résultats dans un tableau, un diagramme à bandes et un diagramme à ligne brisée, etc. Cependant, même si un tel simulateur est potentiellement riche pour enseigner les probabilités, cet outil technologique ne peut pas remplacer l’enseignant qui a la charge d’orienter la réflexion et de faire ressortir le potentiel de ce simulateur en l’utilisant adéquatement.

Éléments à considérer pour enseigner les probabilitésAprès avoir réalisé mon mémoire de mai-trise (Thibault, 2011), j’ai pu mettre en évidence certaines étapes cruciales pour que l’enseignant anime une activité par une approche expérimentale :a) Énoncer la situation aléatoire et la

question à laquelle les élèves doivent répondre;

b) Faire énoncer une conjecture intuitive des élèves;

c) Proposer aux élèves de simuler quelques fois l’expérience aléatoire à partir de matériel concret et noter les résultats;

d) Demander aux élèves de reprendre leur conjecture et la modifier au besoin;

e) Amener les élèves à ressentir le besoin de simuler un grand nombre de fois l’expérience aléatoire à partir d’un outil technologique, puis interpréter ces résultats;

f) À nouveau, demander aux élèves de reprendre leur conjecture et la modifier au besoin;

g) Tous ensemble, expliquer la situation aléatoire et tenter de trouver la proba-bilité théorique à partir des probabilités fréquentielles, soit les fréquences observées lors de la simulation d’expériences aléatoires.

Pour enseigner les probabilités selon une telle approche expérimentale, je propose 10 recommandations (et non pas 10 commandements!) qui se sont avérées prometteuses lors du déroulement des activités, du moins dans mon cas :1. Il semble bénéfique que la situation

soit concrète, simple et nécessite la simulation d’expériences aléa-toires. Pour que cette simulation soit signifiante, il est préférable que le besoin ait été créé chez l’élève. Cer-tains d’entre eux peuvent être déjà prêts à passer aux probabilités théo-riques sans passer par les probabilités fréquentielles. Dans une recherche de Konold et al., (2011), il est suggéré de faire d’abord travailler les élèves autour de situations aléatoires dont on ne peut pas connaitre les proba-bilités théoriques. Par exemple, en lançant une guimauve et en notant les fréquences où elle tombe sur sa face latérale ou sur une de ses bases, on peut estimer la probabilité théorique à partir de probabilités fréquentielles, sans toutefois déterminer précisément une probabilité théorique exacte. Par la suite, il est proposé de travailler avec des élèves autour de situations comme le lancer de dés ou de pièces de monnaie, où les probabilités fré-quentielles pourront être « vérifiées » en quelque sorte par les probabilités théoriques. Cette approche pourrait permettre d’expliciter des liens entre la probabilité théorique et la probabilité fréquentielle et ainsi favoriser l’utilisation du simulateur.

2. Pour que les élèves s’impliquent acti- vement, il semble important de leur proposer des activités motivantes et parfois déstabilisantes. Dans ce sens, le choix de la situation est primordial et il apparait intéressant d’avoir recours à des situations contre-intuitives (par exemple, le jeu Les trois portes, soit le problème de Monty Hall qui est reconnu pour son caractère contre-intuitif) à l’occasion pour créer un conflit cognitif et susci-ter une réflexion plus profonde.

Figure 4. Exemple de 1000 résultats simulés dans le jeu Pile ou face

[12] • 165 | PrintemPs-été 2015

3. Il est préférable de diversifier les types d’expériences aléatoires (lancer de dés, roulette, tirage de boules, tirage de cartes, etc.). Si on utilise toujours des situations comme le lancer d’un dé ou d’une pièce de monnaie, on renforcera la conception que toutes les situations sont équipro-bables, c’est-à-dire que chaque résul-tat a la même probabilité. Il est donc préférable de parfois avoir recours à des situations non équiprobables comme de s’intéresser à la somme lors du lancer de deux dés, étant donné que la probabilité d’obtenir une somme de 7 n’est pas égale à la probabili-té d’obtenir une somme de 10, par exemple.

4. Même si on utilise un outil technolo-gique pour simuler les résultats d’une expérience aléatoire, il apparait impor-tant d’utiliser d’abord du matériel concret. La manipulation du matériel (dés, pièces de monnaie, cartes, etc.) permet de bien comprendre la situation et s’avère primordiale dans le développement de la pensée pro-babiliste avant de simuler. En d’autres mots, il est souhaitable de bien doser les moments d’utilisation du matériel concret, puis des outils technologiques.

5. Le rôle de l’enseignant est fonda-mental pour orienter le question-nement et les discussions avec les élèves. De plus, en encourageant des discussions en grand groupe et l’op-position des différentes conjectures, les conceptions des élèves pourraient potentiellement se confronter et être ébranlées. L’enseignant, en remettant en doute les conjectures des élèves, fait ressortir le besoin d’aller simuler l’expérience aléatoire afin de confirmer ou d’infirmer leur conjecture. Cela peut ensuite amener les élèves à se questionner et à établir des conjec-tures qu’ils pourraient ensuite tester à l’aide de la simulation. Par exemple, il serait possible de tester la conjecture qu’il faut additionner les probabilités d’obtenir un évènement OU un autre évènement indépendant alors qu’il faut multiplier la probabilité d’avoir un évènement ET un autre évènement indépendant ensuite.

6. Il faut comprendre quel est l’apport du simulateur dans l’activité afin de l’exploiter adéquatement. Que ce soit un simulateur en ligne, un logiciel, une macro sur Excel ou un programme sur une calculatrice, un avantage indéniable est la rapidité de générer un grand nombre de résultats et de les représenter afin d’en faire ressortir une tendance générale. Il faut ensuite se servir de ses résultats pour prendre une décision, soit de participer ou non à ce jeu par exemple.

7. La loi des grands nombres est l’élément central du développement de la pensée probabiliste. En effet, plus la taille de l’échantillon augmente, plus les carac-téristiques d’un échantillon aléatoire se rapprochent des caractéristiques de la population. Donc, plus le nombre de simulations est élevé, plus la probabilité fréquentielle devrait se rapprocher de la probabilité théorique. Encore ici, l’enseignant peut questionner les élèves, par exemple sur le nombre de simulations nécessaires pour considérer que les résultats sont suffisamment fiables. Il est aussi intéressant de faire remarquer que la variabilité des résultats diminue au fur et à mesure que le nombre de résultats augmente, comme l’illustre le graphique dans la figure 4 précédente.

8. Les activités devraient mener à une modélisation mathématique. En effet, les élèves sont amenés à interpréter les résultats du simulateur de probabilités, ce qui peut être difficile s’ils n’ont pas bien saisi l’étape de la modélisation. Pour ce faire, on peut d’abord utiliser le mode « pas à pas » du simulateur pour comprendre comment les résultats sont générés et représentés, puis il faut ensuite se dégager de chacun des résultats pris individuellement pour en faire ressortir une tendance générale à partir du mode « turbo ». Il faut donc s’appuyer sur de nombreux résultats observés pour faire ressortir une tendance mathématique afin de modéliser la situation aléatoire dans son ensemble.

9. L’enseignant qui utilise diverses représentations des résultats (tableau à double entrée, diagramme en arbre, diagramme à bandes, graphique, etc.), en élaborant des liens entre elles pour permettre le passage des probabilités théoriques aux probabilités fréquentielles, favorise la compréhension globale de la situation aléatoire.

10. Il faut faire attention au vocabulaire à employer dans l’enseignement des probabilités. Par exemple, pour ne pas confondre la chance (au sens d’une personne chanceuse) avec les chances mathématiques, Savard (2008) affirme qu’il serait préférable d’employer les termes « possibilités » et « probabilités ».

créer des activités interactivesPour compléter les activités réalisées en classe, il peut être intéressant de créer des activités interactives pour les élèves sur le site web Learning Apps. Voici un lien vers une activité qui permet de vérifier les connaissances des élèves sous forme d’évaluation formative : http://monurl.ca/exerciceprobs. Il est possible de la réutili-ser et de la soumettre directement à vos élèves en leur partageant ce lien ou de la modifier en vous créant un compte gratui-tement.

conclusionJ’espère que ces idées vous inciteront à mettre à l’essai une approche expéri-mentale pour enseigner les probabilités à vos élèves. N’hésitez pas à utiliser les ressources partagées en ligne (http://monurl.ca/probs), à les modifier au besoin et à me donner votre rétroaction si vous le souhaitez. D’ici là, bonnes expérimenta-tions mathématiques et que la chance soit avec vous!

remerciementsJe tiens à remercier Caroline Lajoie et Andréanne Parcel pour leur aide dans la révision de ce texte.

PrintemPs-été 2015 | • 165 [13]

références bibliographiques

Konold, C., Madden, S., Pollatsek, A., Pfannkuch, M., Wild, C., Ziedins, I., … Kazak, S. (2011). Conceptual challenges in coordinating theoretical and data-centered estimates of probability. Mathematical Thinking and Learning, 13(1), 68–86.

Récupéré de http://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/10986065.2011.538299

Maheux, J.-F. et Thibault, M. (2012). Maheux et Thibault, 2012 - Le rôle de l’évidence- une expérience en probabilité avec la technologie. Dans Rencontre Interuniversitaire Recherche en Enseignement des Mathématiques. Guadarajara (Mexique).

Savard, A. (2008). Le développement d’une pensée critique envers les jeux de hasard et d’argent par l’enseignement des probabilités à l’école primaire : vers une prise de décision. (thèse de doctorat non publiée). Université Laval.

Theis et Savard, A. (2010a). Linking probability to real-world situations: How do teachers make use of the mathematical potential of simulation programs? Dans C. Reading (dir.), Data and context in statistics education: Towards an

evidence-based society (Actes de colloque du «Eigth International Conference on Teaching Statistics» : ICOTS8) (vol. 8). Ljubljana (Slovénie).

Theis et Savard, A. (2010b). Recours à un simulateur pour enseigner les probabilités: quels défis et occasions pour des enseignants du début du secondaire? Dans L’enseignement des mathématiques dans et à travers des contextes particuliers :

quel support didactique privilégier ? (Actes de colloque annuel du Groupe des Didacticiens des Mathématiques du Québec : GDM). Moncton.

Thibault, M. (2011). Apprentissage des probabilités chez des élèves du secondaire dans une séquence d’enseignement basée sur la simulation de jeux de hasard et d’argent : émergence de conceptions. (mémoire de maitrise non publié,

Université du Québec à Montréal). Récupéré de http://www.archipel.uqam.ca/4374/

Mots croisés

[14] • 165 | PrintemPs-été 2015

Verticalement: 1 Avant d’additionner ou soustraire

2 fractions, il faut le calculer. 4 Je suis le nombre entier qui occupe la

position sous la barre de la fraction. 5 Je suis la réponse d’une multiplication. 6 Tu dois les compléter à chaque cours. 7 C’est la réponse d’une soustraction. 8 Il y en a 7 dans une semaine. 10 Je suis un synonyme du mot examen. 11 Je suis la réponse d’une addition. 13 On doit multiplier par l’inverse lors-

qu’on me calcule avec des fractions. 15 Essentiel dans un graphique ou une

table de valeurs. 16 Quelle est la principale signification du

mot « de » en mathématiques ? 21 Je suis l’ordre qui représente les

nombres du plus petit au plus grand.

Horizontalement 2 3 3/4 est un nombre ___________. 3 Il y en a 60 dans une heure. 9 Je suis la position à droite de la virgule

dans un nombre décimal. 12 Je suis le nombre entier qui occupe

la position sur la barre de la fraction. 14 Je suis la fraction réduite à sa plus

simple expression. 17 Je suis la réponse d’une division. 18 On peut parfois le faire avant de

multiplier 2 fractions. 19 Nous sommes des fractions qui

représentent la même quantité. 20 3,5 % est écrit sous forme de :

Mots croisés Méli-MéloCréation de Nathalie Mercier (CSBE)

PrintemPs-été 2015 | • 165 [15]

1

3

12

2

4

7

109

6

11

5

8

15

19

14

2120

16

17

18

13

[16] • 165 | PrintemPs-été 2015

Cette section d’informations s’adresse aux personnes qui n’ont jamais participé au concours.

comment réussir une première participation ?

Objectif du comité : Recevoir de nombreuses nouvelles inscriptions puisque dans toutes les écoles secondaires, il y a des élèves intéressés par ce genre d’activité.

Premièrement : Il faut se rappeler qu’OPTI-MATH est un concours qui s’adresse aux élèves de tous les niveaux du secondaire. OPTI-MATH régulier s’adresse aux élèves de 1re, 2e et 3e secondaire tandis que OPTI-MATH-PLUS s’adresse aux élèves de 4e et 5e secondaire.

Deuxièmement : Déterminer la clientèle que vous visez pour cette première participation. Vous pouvez vous adresser à une partie de vos propres élèves ou à tous vos élèves. Si vous vous joignez à un ou quelques collègues d’un même niveau, vous pouvez offrir l’activité à tous les élèves de ce niveau. Et si vous voyez grand en partant, vous offrez l’activité à tous les élèves intéressés de l’école. Dans ce cas, assurez-vous de recevoir l’aide de quelques-uns de vos collègues.

Troisièmement : Peu importe votre choix, vous devez en parler avec votre direction d’école. Tout d’abord, pour faire reconnaître votre temps alloué à ce concours dans votre tâche d’enseignement et ainsi permettre l’inscription de l’école au concours. Parce que pour participer et recevoir toutes les informations et les documents, il faut d’abord inscrire l’école au concours.

Quatrièmement : Visitez le site du concours à l’adresse www.optimath.ca pour connaître les particularités de l’édition en cours.

Cinquièmement : Pour préparer les élèves à la finale du concours qui se tiendra vers le jeudi 24 mars 2016, vous pouvez utiliser le CD des épreuves des dix dernières années ou encore l’un ou l’autre des outils disponibles. Le bon de commande sur le site du concours donne les informations.

Finalement : Vous serez guidé pour les étapes suivantes. Le secrétariat du concours accorde un support particulier à toute nouvelle personne qui inscrit son école pour une première fois. Rejoindre le secrétariat du concours par courriel à [email protected] ou par téléphone au 450-471-7079

2016c

onco

urs

PrintemPs-été 2015 | • 165 [17]

Informations aux responsables de l’inscription de leur école depuis quelques ou plusieurs années...

Objectif du comité : Renouer avec des responsables qui ont déjà offert l’activité et surtout continuer avec ceux qui ont pratiquement toujours participé aux 27 éditions précédentes!

Nous attendons votre inscription dès maintenant, avant le 1er novembre pour profiter du tarif réduit.Les modalités sur le contenu et les prix seront communiquées plus tard.Pour le concours OPTI-MATH, en 1re secondaire, les participants répondent aux 8 premières questions, en 2e secondaire, les participants répondent aux 10 pre-mières questions et le nombre de questions est de 12 pour les participants de 3e secondaire. Concernant OPTI-MATH-PLUS, il y a 10 questions pour les partici-pants de 4e secondaire et 12 questions pour ceux de 5e secondaire.On vous rappelle qu’une particularité de 2015 fut l’aug-mentation des prix de participation remis aux finalistes. En plus des prix remis aux 10 meilleurs finalistes par niveau, le comité ajouta 10 prix de participation de 50 $ tirés au hasard parmi tous les finalistes de chacun des niveaux. Au total, 50 prix de participation de 50 $ parmi tous les finalistes afin de récompenser l’effort fourni.Une activité complémentaire est offerte aux responsables d’une inscription au concours en leur offrant l’opportunité de participer à une session de création collective. Il s’agit d’un 48 heures de rencontre pour créer de nouvelles situations inédites. Un peu fou comme aventure mais l’expérience prouve que c’est très stimulant. La prochaine session de création devrait se tenir en août 2016... Rester à l’affût, ça vaut le déplacement!Les autres informations se trouvent sur le site www.optimath.ca

Les bourses pour OPTi-MATH!GRAND PRIX OPTI-MATH-PLUS (5e secondaire)Scolarité d’un an de baccalauréat à l’Université Laval (Montant maximal accordé 2 000 $)Pour OPTI-MATH-PLUS 2015, l’Université Laval offre 3 bourses de 1000 $ aux 2e, 3e et 4e finalistes de 5e secondaire 2 bourses de 1000 $ aux 2 premiers finalistes de 4e secondaire

GRAND PRIX OPTI-MATH (3e secondaire) 1 bourse de 1 000 $ au premier finaliste de 3e secondaire À chacun des niveaux pour OPTI-MATH et OPTI-MATH-PLUS :1er PRIX : Plaque souvenir et prix de 250 $2e PRIX : Plaque souvenir et prix de 200 $3e PRIX : Plaque souvenir et prix de 150 $4e PRIX : Prix de 125 $5e PRIX : Prix de 100 $6e au 10e PRIX : Prix de 50 $Le nom du gagnant est gravé sur les plaques souvenirs qui sont signées par le ministre de l’Éducation, du Loisir et du Sport et par le président des Concours.À chacun des niveaux, un prix spécial de 50 $ est accordé pour la clarté ou l’originalité de la démarche.Suite à la correction nationale, les 150 premiers finalistes de chaque niveau reçoivent un certificat de distinction pour souligner leur performance à la finale.

Université Laval (15 prix au hasard) Aux finalistes OPTI-MATH-PLUS

Thales Technologies 4 calculatrices TI-30 XS MultiView 6 calculatrices TI-NspiretmCX

Augmentation des prix de participation :50 prix de 50 $ au hasard parmi les 150 premiers finalistes. (10 prix par niveau)

Plusieurs bourses d’études remises aux finalistes en région par diverses constituantes de l’université du Québec. (Description de ces bourses sur le site)

201628e édition

À confirmer

À confirmer

À confirmer

À confirmer

À confirmer

À confirmer

À confirmer

À confirmer

[18] • 165 | PrintemPs-été 2015

« Oui, mais à quoi ça sert? » Combien de fois avons-nous entendu cette question? Pour plusieurs élèves, les mathématiques restent quelque chose d’abstrait que l’on ne retrouve que dans les manuels scolaires. Au-delà de compter de l’argent, de mesurer ¾ de tasse de lait pour une recette ou de prendre des dimensions avec un ruban à mesurer, les applications concrètes de ce qu’ils ap-prennent en classe sont pour plusieurs élèves assez limitées. Je vous propose une activité qui permet de sortir des manuels scolaires et d’amener l’apprentissage à l’extérieur. L’activité peut se faire en deuxième ou en quatrième secondaire. Il s’agit de mesurer la hauteur de l’école à l’aide d’instruments anciens. En deuxième secondaire, il est possible d’utiliser la mé-thode du bâton et du miroir ainsi que la méthode du bâton de Gerbert. Ces deux méthodes sont fondées sur la théorie des triangles semblables. En quatrième secon-daire, on peut ajouter à cela la méthode du quadrant d’artillerie qui fait appel à des notions de trigonométrie.

Dans un premier temps, je prends environ 20 à 30 minutes à la fin d’un cours pour présenter les méthodes aux élèves. Je fais tasser les bureaux et je demande aux élèves de s’asseoir en cercle autour de la classe en laissant le centre libre pour la démonstration. Cela leur permet de bouger et ils sont très réceptifs parce que soudainement le contrat didactique vient de changer. Je leur demande de noter les étapes à suivre pour chaque méthode et de faire en devoir les schémas associés à chaque situation. Lors de la démonstration, il est important de bien montrer aux élèves où se trouvent les triangles semblables. Cela peut nous sembler évident, mais pour un élève qui est habitué de tout voir en deux dimensions dans un cahier d’exercices, le fait de se retrouver en trois dimensions est très déstabilisant. Certains ne verront pas les triangles à moins que vous ne leur pointiez. En quatrième secondaire, vous pouvez pousser un peu plus loin et demander aux élèves de justi-fier pourquoi les triangles sont semblables.

Kathleen Quesnel Enseignante de 2e secondaire [email protected]

Reconstitution historique en mathématiques : Une activité de géométrie pratique en 2e et 4e secondaire

Une question de hauteurLe bâton et le miroirMatériel requis : Un bâton, un miroir et un ruban à mesurer.

Il vous faudra tracer une ligne droite au centre du miroir à l’aide d’un crayon feutre. La ligne doit être parallèle aux côtés du miroir. Il est préférable qu’elle soit centrée mais ce n’est pas obligatoire. Le bâton sur la photo est un bâton de Gerbert. Un simple bâton droit est suffisant pour cette première méthode.Description de la méthode • Placer le miroir par terre, parallèle au mur. Attention de ne pas le placer trop près du mur.• Se placer derrière le miroir, de manière à ce que le miroir soit entre nous et le mur.• Regarder dans le miroir en plaçant son œil à l’extrémité du bâton et reculer jusqu’à ce

qu’on voit apparaître le rebord du toit de l’école sur la ligne au centre du miroir. Attention, le bâton doit être bien droit.

• Mesurer : la distance entre la ligne du miroir et le mur de l’école, la ligne du miroir et le pied du bâton, la hauteur du bâton.

• Faire le calcul pour trouver la hauteur de l’école en ayant recours aux figures semblables.Schéma

PrintemPs-été 2015 | • 165 [19]

Démonstration (4e secondaire)Affirmations Justifications∠ABC ≅ ∠DEC m∠ABC = m∠DEC = 90°∠ACB ≅ ∠DCE Selon la loi de la réflexion, l’angle

d’incidence θ est égal à l’angle de réflexion θ’ (voir figure ci-dessous).

Donc, par complémentarité, m∠ACB = m∠DCE.

ΔABC ~ΔDEC Par le cas de similitude A-A

Le bâton de GerbertMatériel requis :Le matériel est le même que pour la méthode du bâton et du miroir. Par contre, cette fois-ci, il est important d’utiliser un bâton de Gerbert. Ce der-nier comprend une partie perpendiculaire au reste du bâton. Il est important de savoir que le segment AC est isométrique au segment CD. Les triangles semblables qui seront formés seront donc isocèles et rectangles. Description de la méthode • Placer son œil vis-à-vis le bout de la partie horizontale du

bâton et regarder vers l’extrémité verticale du bâton.• Se déplacer jusqu’à ce qu’on voit s’aligner le haut du mur avec

l’extrémité du bâton.• Mesurer : la distance entre le bâton et le mur, ainsi que la

hauteur du bâton• Faire le calcul pour trouver la hauteur de l’école en ayant

recours aux figures semblables.

Une question de hauteur

Note historique :Le bâton de Gerbert fut inventé par Gerbert d’Aurillac qui fut nommé pape en 999 et prit alors le nom de Sylvestre II. Il s’inté-ressait à la philosophie, aux mathématiques et aux sciences. Il étudia les mathématiques arabes au Maroc et en Espagne. On lui doit l’introduction des nombres arabes en Europe.Schéma

Démonstration (4e secondaire)Affirmations Justifications∠GEF ≅ ∠ABF car m∠GEF = m∠ABF= 90°∠GFE ≅ ∠AFB car ∠GFE et ∠AFB sont issus du même

sommet et formés par les mêmes droites. Ce sont des angles communs.

ΔGEF ~ ΔABF par le cas de similitude A-A∠ABF ≅ ∠ACD car m∠ABF = m∠ACD = 90°CD//BF car CD ⊥ AB et BF ⊥ AB∠ADC ≅ ∠AFB car ∠ADC et ∠AFB sont des angles corres-

pondants formés par deux droites parallèles et une sécante

ΔABF ~ ΔACD par le cas de similitude A-AConclusion : Si ΔGEF ~ ΔABF et ΔABF ~ ΔACD

alors ΔGEF ~ ΔACD

Puisque à priori le ΔACD est isocèle, nous pouvons affirmer que

Si alors car ΔABF ~ ΔACDSi alors car ΔGEF ~ ΔACDDonc, En conclusion,

[20] • 165 | PrintemPs-été 2015

Le quadrant d’artillerieMatériel requis :Vous trouverez un modèle pour fabriquer vous-mêmes vos quadrants d’artillerie sur le web. Je vous recommande de les coller sur du carton rigide. Faites un petit trou à l’endroit marqué d’une étoile et attachez-y une corde au bout de laquelle vous nouerez un boulon ou tout autre objet pouvant servir de poids. Pour plus de précision, vous pouvez ajouter une paille à titre de viseur sur le côté AB du quadrant. Vous pouvez également fixer le quadrant au bout d’un bâton afin d’avoir plus de stabilité. Assurez-vous que le quadrant puisse pivoter autour du point B.

Description de la méthode:• Se placer à une certaine distance du mur, de manière à bien

voir l’extrémité de celui-ci. Attention de ne pas se placer trop loin car il faudra mesurer la distance qui nous sépare du mur.

• Placer l’extrémité A du quadrant vis-à-vis son œil et regarder l’extrémité du mur.

• Faire pivoter le quadrant de manière à ce que le segment AB du quadrant soit aligné avec l’extrémité du mur dont on veut mesurer la hauteur. Attention, le quadrant doit être bien droit, c’est-à-dire que le plan du quadrant doit être perpendiculaire au sol.

• Noter la mesure de l’angle indiqué par la corde sur le quadrant. Remarque : Cet angle (∠XBO) est isométrique à l’angle de dépression formé par la ligne d’horizon en haut du mur et le segment reliant l’extrémité du mur à l’extrémité du quadrant (voir schéma).

• Mesurer les distances suivantes: angle XBO, distance entre le sol et l’extrémité B du quadrant (Segment sur l’image ci-contre), distance entre le mur et le point B utilisant le quadrant (Segment sur l’image ci-contre)

Schéma :

Démonstration et calculs∠DCB ≅ ∠XBO par définition (vous pouvez vous amuser à le démontrer avec vos élèves)∠CBM ≅ ∠DCB car ∠CBM et ∠DCB sont des angles alternes-internes formés par 2 parallèles et une sécante.Donc, ∠XBO ≅ ∠CBM Tan∠XBO = Tan∠CBM = (Tangente = mesure côté opposé / mesure côté adjacent)Donc, mCM = tan∠XOB • mMBEn conclusion, mCE = mCM +mBS = tan ∠XOB• mMB + mBS

Pour vous procurer cette image envoyez-moi un courriel [email protected].

PrintemPs-été 2015 | • 165 [21]PrintemPs-été 2015 | • 165 [21]

Nouveaux outils Tic : qu’est-ce qui se cache derrière ces outils ?Depuis quelques temps déjà, on voit apparaître des applications, des logiciels et des sites web qui permettent d’auto-matiser certaines « techniques » que nous enseignons aux élèves. Ils remettent en question la façon dont nous enseignons ces techniques.Par exemple, si on regarde dans l’ensei-gnement des rapports trigonométriques, il ne semblait pas y avoir de doute que l’utilisation de la technologie apporterait précision, simplicité et surtout un gain de temps par rapport aux tables des rapports trigonométriques. On ne les utilise plus dans les examens du MELS depuis juin 2004 (figure 1).La première calculatrice scientifique personnelle qui permettra de faire des opérations trigonométriques et logarith-miques est la HP-35 de Hewlett-Packard en 1972. Celle de Texas Instruments, la SR-50 arrive en 1974. Est-ce que la venue de toutes ces ap-plications qui permettent d’automatiser certaines tâches au même titre que l’ont fait ces calculatrices à leur époque aura le même impact ?Est-ce que l’on se dira dans 20 ans « Calculer les zéros d’une fonction, à quoi ça sert ? » ou encore « Résoudre un système d’équations, comment on fait ça ? »Dans cet article présenté en deux temps,(la suite dans le prochain numéro) je vous présente 7 outils permettant d’utiliser les TIC à bon escient pour enseigner les mathématiques. Un 8e outil vous est également proposé par M. Frédéric Ouellet dans son article de la page 5. Voici un tableau qui résume les compatibilités des outils avec différents outils technologiques.

Pour tablettes En ligne Pour ordinateurs

• • • • • • • • • •

•

•

• • •

Photomath • • •

• • • • • • • • •

TABLE DE RAPPORTS TRIGONOMÉTRIQUESAngle sin cos tan Angle sin cos tan0 0.000 1.000 0.000 45 0.707 0.707 1.0001 0.017 1.000 0.017 46 0.719 0.695 1.0362 0.035 0.999 0.035 47 0.731 0.682 1.0723 0.052 0.999 0.052 48 0.743 0.669 1.1114 0.070 0.998 0.070 49 0.755 0.656 1.1505 0.087 0.996 0.087 50 0.766 0.643 1.1926 0.105 0.995 0.105 51 0.777 0.629 1.2357 0.122 0.993 0.123 52 0.788 0.616 1.2808 0.139 0.990 0.141 53 0.799 0.602 1.3279 0.156 0.988 0.158 54 0.809 0.588 1.37610 0.174 0.985 0.176 55 0.819 0.574 1.42811 0.191 0.982 0.194 56 0.829 0.559 1.48312 0.208 0.978 0.213 57 0.839 0.545 1.54013 0.225 0.974 0.231 58 0.848 0.530 1.60014 0.242 0.970 0.249 59 0.857 0.515 1.664

HP-35 SR-50http://en.wikipedia.org/wiki/HP-35#mediaviewer/File:HP_35_Calculator.jpg http://en.wikipedia.org/wiki/TI_SR-50#mediaviewer/File:SR-50_early_TI_calculator.agr.jpg

[22] • 165 | PrintemPs-été 2015

Depuis l’arrivée de Geogebra sur les ta-blettes, la géométrie dynamique accessible à tous a pris un nouveau souffle. L’applica-tion iPad de Geogebra a été mise à jour le 9 décembre dernier et on retrouve main-tenant la fenêtre CAS (Computer Algebra System) et la fenêtre 3D. La fenêtre CAS permet entre autre de factoriser, trouver les zéros, simplifier une expression al-gébrique, etc.

Dans la fenêtre Algèbre et graphique, lorsque l’on connaît le nom des com-mandes, il est possible d’automatiser certains calculs.

Allons regarder quelques-uns de ces outils permettant une panoplie de calculs mathématiques.

PrintemPs-été 2015 | • 165 [23]

Exemple 1 : Déterminer les zéros (ou racines d’une fonction)On entre la fonction avec les paramètres désirés, par exemple a, h et k. On entre ensuite racine(f). Lorsque l’on bouge les curseurs, les zéros seront automatique-ment calculer s’ils existent.

Exemple 2 : Pour développer une expression algébrique, par exemple (x + 3)(x – 4).

Exemple 3 : Pour factoriser une expression algébrique, par exemple x2 + x – 6.Comme on peut le remarquer, le module CAS permet plusieurs calculs algébriques. Il y aurait aussi la possibilité de résoudre plusieurs problèmes graphiquement.

[24] • 165 | PrintemPs-été 2015

Symbolab était à la base un site web où il est possible entre autre d’effectuer des calculs algébriques, trigo-nométriques, calcul différentiel et intégral, fonctions et graphiques, matrices et vecteurs ainsi que statistiques. La plupart des outils présents sur Symbolab étaient déjà existant sur d’autres sites sauf que celui-ci permet d’avoir la démarche complète avec chacune des étapes. De plus, Symbolab a un outil particulier : la résolution d’équations trigonométriques, probablement le seul dans sa catégorie à le faire. Cependant, de la publicité est présente sur le site. Il est toujours possible de les faire disparaître avec une application comme AdBlockPlus (https://adblockplus.org/fr/).Il possède maintenant son application iPhone. Il faudra payer 4,99 $ pour avoir accès à toutes les fonctionnalités. Sur le site web, toutes les fonctionnalités sont dispo-nibles. Une mise en garde est nécessaire pour l’utilisation du site web avec un iPad. L’entrée des données n’est pas très conviviale car certains nombres et symboles sont impossibles à entrer.

PrintemPs-été 2015 | • 165 [25]

Exemple 1 : Résolution d’équations logarithmiques

Exemple 2 : Factorisation

Exemple 3 : Résolution de système d’équations

Exemple 4 : Faire des preuves trigonométriques

[26] • 165 | PrintemPs-été 2015

Exemple 5 : Déterminer l’équation d’une droite perpendiculaire

Exemple 6 : Résoudre une équation avec valeur absolue

Exemple 7 : Déterminer les zéros, l’ordonnée à l’origine et le domaine d’une fonction

La suite de cet article dans le prochain numéro.

PrintemPs-été 2015 | • 165 [27]

OPTI-MATH 2005

Situation 3 La familleIl faut analyser trois éventualités : - Les plus âgés sont des jumeaux - Les seconds sont des jumeaux - Les plus jeunes sont des jumeauxPuisque deux enfants ont le droit de vote, leur âge actuel est de 18, 18, 14 et 10 ans.

OPTI-MATH 2003Situation 4Les statistiques du tournoi

A contre B A contre c A contre D

4 2 5 1 2 6

B contre c c contre D B contre D

5 1 6 3 5 5

OPTI-MATH+ 2001

Situation 12Une question de caractères a) Il y a 9 nombres à un chiffre. Cela prend

9 caractères. Il reste 3496 caractères. Il y a 90 nombres à 2 chiffres. Cela

prend 180 caractères. Il reste 3316 caractères.

Il y a 900 nombres à 3 chiffres. Cela prend 2700 caractères. Il reste 616 caractères.

Cela signifie 154 nombres à 4 chiffres. De 1000 à 1153.

Le livre a donc 153 pages.b) En tout, il y a 301 fois le chiffre 1.c) En tout, on le dira 316 fois.

OPTI-MATH+ 1997Situation 5

Vice-versaa) La hauteur est d’environ 41,77 cm.b) La hauteur est d’environ 18,68 cm.

Solutions des questions

[28] • 165 | PrintemPs-été 2015

Mots croisésMéli-MéloCréation de Nathalie Mercier (CSBE)

Corrigé

1

3

12

2

4

7

109

6

11

5

8

15

19

14

2120

16

17

18

13

D E F R A C T I O N N A I R E O M I N U T E S I D N E A N T O E M U I R P N C D R A O E O D T M V D J D I X I E M E M S O U O F V U U O I I U F A R N U M E R A T E U R D E L M S N I R R E D U C T I B L E E M V E A I E U Q U O T I E N T T T S L S C I R T R E D U I R E O E Q U I V A L E N C E S I O N P O U R C E N T A G E L R I O C I A S T S I A O N N T

300$

300$

500$

Prix Richard PallascioDescription : Prix pour les auteurs de la revue.Modalités : Un jury nommé par le conseil d’administration du GRMS déterminera l’article primé et fera connaître son choix lors de la session de perfectionnement du GRMS.Critères d’admissibilité• Article original selon le jugement du jury• Ne pas être membre du conseil d’administration du GRMS;• Avoir publié un article original dans la revue Envol avant le 30 juin.Il doit s’agir d’un article n’ayant pas été puisé à une autre source, ou simplement traduit. Il peut cependant s’agir d’un article basé sur un écrit d’une autre source à la condition que cette source soit citée et qu’un apport original et personnel de l’auteur et soit jugé pertinent par le jury.Montant accordé : 300 $

Note : Si l’article est présenté par une équipe, le montant du prix sera partagé entre les membres de l’équipe.

Prix DESCARTESDescription : Prix remis à cinq diplômés (es) (une personne par université participante) dans le programme d’enseignement des mathématiques au secondaire.Critères d’admissibilité : Être bachelier dans le programme d’enseignement des mathématiques au secondaire dans une des cinq universités participantes.Ce prix est conjointement offert par le Groupe des responsables en mathématique au secondaire (GRMS) et l’Association mathématique du Québec (AMQ). En accord avec cinq universités québécoises, ce prix sera remis à l’étudiante ou à l’étudiant diplômé le plus méritant dans chacune des universités participantes. La présentation de ce prix se fera dans chacune des universités lors de la collation des grades.Les universités sont: Université de Sherbrooke, Université de Montréal, Université Laval, Université du Québec à Trois-Rivières et Université du Québec à MontréalLe prix : Une médaille d’honneur ainsi qu’une adhésion à l’association (GRMS) seront remises aux titulaires de ce prix.

Vous désirez souligner le travail d’un de vos pairs?

Prix Claude JanvierDescription : Prix d’excellence Claude Janvier remis annuellement à un enseignant(e) s’étant démarqué(e) dans son milieu par son dynamisme, son leadership, son innovation, la qualité de son enseignement ou son rayonnement.Critères d’admissibilité : La candidate ou le candidat doit :• être membre en règle du GRMS;• ne pas être membre du conseil d’administration du GRMS;• avoir œuvré dans le domaine de l’enseignement de la mathématique

au secondaire.Attribution du prix : Le conseil d’administration du GRMS se réunira une fois l’an en juin pour attribuer le prix à la personne méritante. Vous désirez souligner le travail d’un de vos pairs? Envoyez aux membres du conseil d’administration une brève description expliquant votre recommandation à l’adresse [email protected] . Montant accordé : 500 $

Vous avez besoin d’$$$ pour un projet ? Vos budgets sont coupés? on peut vous aider!

Prix FERMATDescription : Prix pour le meilleur scénario d’enseignement (1er cycle et 2e cycle)Critères d’admissibilité :• être membre en règle du GRMS;• ne pas être membre du conseil d’administration du GRMS;• avoir une bonne idée pour la réalisation d’un projet,

mais ne pas avoir le soutien financier pour le réaliser;• brève description du projet et de la clientèle visée;• permettre la publication du projet dans la revue Envol.Montant accordé:• Maximum de 300 $ peuvent être accordé selon l’étendue du projet;• Il est possible que plusieurs projets différents soient retenus et que

le prix soit remis à plusieurs récipiendaires au prorata des projets présentés.

Note : Si le projet est présenté par une équipe, le montant du prix sera partagé entre les membres de l’équipe.Attribution du prix : Le conseil d’administration du GRMS se réunira une fois l’an en juin pour attribuer le prix à la ou les personnes méritantes. Vous désirez présenter votre projet? Envoyez aux membres du conseil d’administration une brève description de celui-ci à l’adresse [email protected].

Formule simplifiée

Vos prix d’excellence

42e

SESSION DE PERFECTIONNEMENT

2015CONGR3S

15 et 16 octobre 2015

Hôtel Le Dauphin

600, Boulevard St-Joseph

Drummondville J2C 2C1

RÉS3RvEZ voS pL4CES!!

printemps-été 2015printemps-été 2015 | 15 [1] printemps-été 2015 2810, 26e rue, st-prosper,...

Documents