prirodno- departman za matematiku...glava 1 uvod predmet izu£aanjav ovog rada su invertibilni...
TRANSCRIPT
Univerzitet u Nišu
Prirodno-Matematički fakultet
Departman za matematiku
MASTER RAD
INVERTIBILNI OPERATORI
Mentor: Student:
dr Dijana Mosić Katarina Živković
Niš, 2016.
Sadrºaj
1 Uvod 3
2 Osnovni pojmovi 5
2.1 Normirani prostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Banahova algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 Ograni£eni linearni operatori 11
3.1 Neprekidnost linearnih operatora . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2 Banahov prostor ograni£enih linearnih operatora . . . . . . . . 133.3 Kompozicije operatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.4 Projektori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4 Invertibilnost i singularnost 19
4.1 Invertibilnost operatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.2 Ograni£enost odozdo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.3 Otvoreni i skoro otvoreni operatori . . . . . . . . . . . . . . . 284.4 Rubni operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.5 Levo i desno invertibilni operatori . . . . . . . . . . . . . . . . 324.6 Skoro invertibilni operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.7 Regularni operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.8 Esencijalno invertibilni operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.9 Algebarska invertibilnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5 Zaklju£ak 55
Literatura 57
2
Glava 1
Uvod
Predmet izu£avanja ovog rada su invertibilni operatori, kao i razli£ite vr-ste invertiblinosti operatora i njihove medjusobne relacije. Teorija operatoraje deo savremene matematike, £ije se metode i rezultati primenjuju u gotovosvim matemati£kim disciplinama. Teorija operatora moºe se posmatrati kaonadogradnja linearne algebre i oblasti klasi£ne analize kao ²to su integralnei diferencijalne jedna£ine, itd.
Rad je tematski podeljen na tri celine. U prvom delu rada se nalazeosnovni pojmovi i rezultati koji su neophodni za dalji rad. Tu govorimouop²teno o normiranim prostorima i Banachovim algebrama.
U drugom delu rada govori se o ograni£enim linearnim operatorima, pri£emu su navedene vaºne teoreme funkcionalne analize. Tako�e se uvodi ipojam kompozicije operatora i projektora, koji su veoma bitni u ispitivanjuinvertibilnosti operatora.
Tre¢i deo rada je centralni i najbitniji. U njemu prou£avamo operatore sarazli£itim svojstvima i na osnovu toga ispitujemo invertibilnost tih operatora.Tako�e, prou£ava¢emo levo i desno invertibilne i skoro invertibilne operatore,kao i esencijalnu i algebarsku invertibilnost operatora. Algebarski invertibilnioperatori prethode teoriji Banachove algebre.
Ovom prilikom, zahvaljujem se mentoru, dr Dijani Mosi¢ na podr²ci ipomo¢i pri izradi rada.
4
Glava 2
Osnovni pojmovi
U ovoj glavi bi¢e izloºene oznake koje ¢emo koristiti u daljim izlaganjimai neki osnovni pojmovi i rezultati iz funkcionalne analize.
2.1 Normirani prostori
De�nicija 2.1.1. Neka je X neprazan skup. Funkcija d : X × X −→ Rnaziva se metrika (rastojanje) na skupu X ako zadovoljava slede¢e uslove:
1. d(x, y) ≥ 0, za svako x, y ∈ X;
2. d(x, y) = 0 ako i samo ako x = y;
3. d(x, y) = d(y, x), za svako x, y ∈ X;
4. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) za svako x, y, z ∈ X.;Metri£ki prostor je ure�en par (X, d), gde je d metrika na skupu X.
Obi£no kaºemo "X je metri£ki prostor", a podrazumevamo da je na X de�-nisana metrika koju ozna£avamo sa d.
De�nicija 2.1.2. Neka je K polje realnih brojeva R ili polje kompleksnihbrojeva C, a X vektorski prostor nad K. Funkcija ‖ · ‖ : X −→ R naziva senorma na X ako zadovoljava slede¢e uslove:
1. ‖x‖ ≥ 0, za svako x ∈ X;
2. ‖x‖ = 0 ako i samo ako je x = 0;
3. ‖λx‖ = |λ|‖x‖, za svako λ ∈ K i svako x ∈ X;
4. ‖x+ y‖ 6 ‖x‖+ ‖y‖ ,za svako x, y ∈ X.Normiran prostor(normiran vektorski prostor) je ure�en par (X, ‖·‖), gde
je X vektorski prostor, a funkcija ‖ · ‖ norma na X.
6
Ukoliko se u prethodnoj de�niciji izostavi drugi uslov, takva funkcija senaziva semi-norma. O£igledno je da vaºi slede¢a nejednakost:
|‖y‖ − ‖x‖| 6 ‖y − x‖, za svako x, y ∈ X.
De�nicija 2.1.3. Neka je X normiran prostor i funkcija d : X ×X −→ Rde�nisana sa
d(x, y) = ‖x− y‖ za svako x, y ∈ X.
Prostor (X, d) je metri£ki prostor, a za funkciju d se kaºe da je metrikade�nisana normom ili prirodna metrika na skupu X.
De�nicija 2.1.4. Niz (xn) u normiranom prostoru (X, ‖ · ‖) konvergira kax ∈ X ako
d(xn, x) = ‖xn − x‖ → 0, kad n→∞.
De�nicija 2.1.5. Niz (xn) u normiranom prostoru (X, ‖ · ‖) je Cauchyjevako
(∀ε > 0)(∃n0 = n0(ε) ∈ N)(∀n,m ≥ n0)‖xn − xm‖ < ε
tj. akod(xn, xm) = ‖xn − xm‖ → 0, kad m,n→∞.
De�nicija 2.1.6. Metri£ki prostor (X, d) je kompletan ako je u njemu svakiCauchyjev niz konvergentan.
De�nicija 2.1.7. Normiran prostor X je Banachov prostor ako je (X, d)kompletan metri£ki prostor, gde je d metrika de�nisana normom.
Rastojanje ta£ke x ∈ X od nepraznog skupa E ⊆ X de�ni²e se na slede¢ina£in:
d(x,E) = inf{‖y − x‖ : y ∈ E}
Ako je (X, ‖ · ‖) normiran prostor i Y potprostor vektorskog prostora X,tada je restrikcija norme ‖ ·‖ na Y o£igledno norma na Y , i normiran prostor(Y, ‖ · ‖) naziva se potprostor normiranog prostora X. Obi£no se kaºe "Yje potprostor u X"ili "Y je potprostor normiranog prostora X", a naravnopodrazumeva se da se radi o normiranom potprostoru (Y, ‖ · ‖).
7
De�nicija 2.1.8. Skalarni proizvod na vaktorskom prostoru X je funkcijas : X ×X −→ C koja zadovoljava slede¢e uslove:
1. s(λ1x1 + λ2x2, y) = λ1s(x1, y) + λ2s(x2, y)za svako λ1, λ2 ∈ C i svako x1, x2, y ∈ X;
2. s(x, y) = s(y, x) za svako x, y ∈ X;
3. s(x, x) ≥ 0 za svako x ∈ X;
4. s(x, x) = 0 ako i samo ako je x = 0.
Iz de�nicije skalarnog prozivoda neposredno sledi:
s(x, λ1y1 + λ2y2) = λ1s(x, y1) + λ2s(x, y2)
za svako λ1, λ2 ∈ C i svako x, y1, y2 ∈ X
Vektorski prostor X sa skalarnim proizvodom s, odnosno ure�en par(X, s) naziva se unitaran prostor (pre-Hilbertov prostor).
De�nicija 2.1.9. Neka je X unitaran prostor. Za normu
‖x‖ = (x, x)12 , x ∈ X,
kaºe se da je norma de�nisana skalarnim proizvodom.
Ako se posebno ne naglasi, podrazumeva se da je unitaran prostor Xnormiran prostor sa prethodno de�nisanom normom. Ako je unitaran prostorX Banachov prostor, tada se za X kaºe da je Hilbertov prostor.
Neka je sada (X, d) metri£ki prostor, x ∈ X i E ⊆ X.
Ta£ka x je unutra²nja ta£ka skupa E ako (∃r > 0) K(x, r) ⊆ E. Skupsvih unutra²njih ta£aka skupa E je unutra²njost skupa E, u oznaci int(E).
Ta£ka x je adherentna ta£ka skupa E ako (∀r > 0) K(x, r)∩E 6= ∅. Skupsvih atherentnih ta£aka skupa E je zatvorenje skupa E, u oznaci cl(E).
Skup E je otvoren skup akko E = int(E), a zatvoren skup akko je E =cl(E).
8
De�nicija 2.1.10. Ako je Y potprostor vektorskog prostora X nad poljemskalara K, tada je kvocijent prostor(faktor prostor, koli£nik prostor)
X/Y = {x+ Y : x ∈ X}
vektorski prostor sa operacijama sabiranje vektora
(x+ Y ) + (y + Y ) = (x+ y) + Y, za svako x, y ∈ X,
i mnoºenje vektora skalarom
λ(x+ Y ) = λx+ Y, za svako λ ∈ K i svako x ∈ X.
Napomenimo da je Y nula u vektorskom prostoru X/Y . Kada su prostorinormirani vaºi:
Teorema 2.1.1. Neka je Y zatvoren potprostor normiranog prostora X i‖ · ‖Y : X/Y → R funkcija de�nisana sa
‖x+ Y ‖Y = inf{‖x+ y‖ : y ∈ Y }, za svako x ∈ X.
Tada je ‖ · ‖Y norma na vektorskom prostoru X/Y . �
De�nicija 2.1.11. Neka je Y zatvoren potprostor normiranog prostora X.Norma ‖ · ‖Y de�nisana u Teoremi 2.1.1 naziva se kvocijent norma na vek-torskom prostoru X/Y .
Lema 2.1.2. Neka je Y ⊆ X potprostor normiranog prostora X i x0 ∈ X.Tada postoji niz (yn) u Y za koji vaºi
‖yn − x0‖ −→ d(x0, Y ), kada n −→∞
i‖yn‖ 6 ‖x0‖+ d(x0, Y ) 6 2‖x0‖. �
Lema 2.1.3 (Rieszova lema). Neka je Y ⊂ X zatvoren i pravi potprostor unormiranom prostoru X. Tada, za svako ε ∈ (0, 1) postoji xε ∈ X, tako daje
‖xε‖ = 1 i d(xε, Y ) ≡ infy∈Y‖xε − y‖ > ε. �
De�nicija 2.1.12. Neka su (X, ‖·‖) i (Y, ‖·‖) normirani prostori. Linearnopreslikavanje ϕ : X −→ Y takvo da za svaki x ∈ X vaºi
‖ϕ(x)‖ = ‖x‖
nazivamo izometrija. Ako je ϕ bijektivna izometrija onda kaºemo da su nor-mirani prostori X i Y izometri£ki izomorfni.
9
2.2 Banahova algebra
De�nicija 2.2.1. Vektorski prostor A nad poljem skalara K je algebra nadK ako je de�nisano preslikavanje
(a, b) 7→ a · b = ab : A×A 7→ A
sa osobinom da, za svako a, b, c ∈ A, λ ∈ K vaºi:
1. a · (b · c) = (a · b) · c,
2. a · (b+ c) = (a · b) + (a · c), (a+ b) · c = (a · c) + (b · c),
3. (λa) · b = λ(a · b) = a · (λb.)
O£igledno, algebra A jeste prsten (A,+, ·) i odgovaraju¢i pojmovi i re-zultati za prstene prenose se na algebre. Algebra A ima jedinicu ako postojielement 1 ∈ A, 1 6= 0 sa osobinom da je
1 · a = a · 1 = a za svako a ∈ A.
Ako algebra A ima jedinicu, tada se element a ∈ A naziva levo invertibilanu A ako postoji y ∈ A tako da je ya = 1 i u tom slu£aju se kaºe da je y leviinverz elementa a. Skup svih levo invertibilnih elemenata iz A ozna£ava sesa A−1l .
Analogno, element a ∈ A se naziva desno invertibilan u A ako postojiz ∈ A tako da je az = 1 i u tom slu£aju se kaºe da je z desni inverz elementaa. Skup svih desno invertibilnih elemenata iz A ozna£ava se sa A−1r . Ako jeelement a ∈ A i levo i desno invertibilan u A, tj. ako postoje y, z ∈ A takoda je ya = 1 = az, tada se kaºe da je a invertibilan element u A. U tomslu£aju je
y = y · 1 = y(az) = (ya)z = 1 · z = z,
y se ozna£ava sa a−1 i naziva inverz elementa a.Ako je B podskup algebre A, sa osobinom da je B algebra sa istim al-
gebarskim operacijama kao i algebra A, tada se kaºe da je B podalgebra uA.
Potprostor I algebre A je levi (desni) ideal u A ako je ax ∈ I (xa ∈ I),za svako a ∈ A i svako x ∈ I. I je dvostrani ideal u A ako je istovremeno ilevi i desni ideal u A.
10
De�nicija 2.2.2. Za algebru A kaºe se da je normirana algebra ako postojinorma na A, tj. ako je (A, ‖ · ‖) normiran prostor, sa osobinom da je
‖a · b‖ 6 ‖a‖‖b‖, za svako a, b ∈ A.
Ako je K = R (K = C), tada se za A kaºe da je realna (kompleksna)normirana algebra.
Normirana algebra (A, ‖ · ‖), je Banachova algebra ako je (A, ‖ · ‖) Ba-nachov prostor.
11
Glava 3
Ograni£eni linearni operatori
Povezanost algebarskih i topolo²kih svojstva normiranih prostora, naro-£ito se odraºava u teoriji linearnih operatora. Veoma je lako odrediti da li jeneki linearan operator neprekidan.
3.1 Neprekidnost linearnih operatora
U daljem tekstu, podrazumeva se da su vektorski prostoriX i Y normiranivektorski prostori i T : X −→ Y .
De�nicija 3.1.1. Neka su X i Y vektorski prostori nad poljem skalara K.Preslikavanje T : X → Y je linearno preslikavanje ako za svako x, y ∈ X iza svako s, t ∈ K vaºi:
T (sx+ ty) = sTx+ tTy. (3.1)
De�nicija 3.1.2. Neka je x ∈ X. Preslikavanje T je neprekidno u ta£ki xako za svako ε > 0 postoji δ > 0 tako da za svako y ∈ X vaºi:
‖x− y‖ 6 δ ⇒ ‖Tx− Ty‖ 6 ε. (3.2)
Ako je T neprekidno preslikavanje u svakoj ta£ki x iz skupa K ⊆ X,kaºemo da je preslikavanje T neprekidno na skupu K. Primetimo da ¢e brojδ > 0, koji zadovoljava uslov (3.2), zavisiti od broja ε > 0 i od x ∈ K.
De�nicija 3.1.3. Preslikavanje T je ravnomerno (uniformno) neprekidnona X ako za svako ε > 0 postoji δ > 0 tako da za svako x, y ∈ X vaºi:
‖x− y‖ 6 δ ⇒ ‖Tx− Ty‖ 6 ε. (3.3)
12
De�nicija 3.1.4. Neka su X i Y vektorski prostori i T : X → Y linearanoperator. Operator T je ograni£en ako postoji realan broj k > 0 takav da je:
‖Tx‖ 6 k‖x‖, za svako x ∈ X. (3.4)
De�nicija 3.1.5. Neka su X i Y vektorski prostori i T ograni£en linearanoperator. Norma operatora T , ozna£ava se sa ‖T‖, i
‖T‖ def= sup
x 6=0
‖Tx‖‖x‖
. (3.5)
Zaklju£ujemo da za ograni£en operator T vaºi:
‖Tx‖ 6 ‖T‖‖x‖. (3.6)
Teorema 3.1.1. Neka su X i Y vektorski prostori i T : X → Y linearanoperator. Slede¢i uslovi su evivalentni:
1. T je uniformno neprekidno preslikavanje na X;
2. T je neprekidno preslikavanje u 0;
3. T ograni£en linearan operator.
Dokaz. O£igledno je da ako je T uniformno neprekidno preslikavanje naX, tada je T neprekidno preslikavanje u 0. Lako se pokazuje da ako je Tograni£en linearan operator, tada je T uniformno neprekidno preslikavanjena X. Zaista, neka je ε > 0 i k > 0 takav da zadovoljava (3.4), tada uslov(3.2) vaºi za δ = ε/k, tj. za svako x, y ∈ X iz
‖x− y‖ < δ =⇒ ‖Tx− Ty‖ 6 k‖x− y‖ < ε.
Dokaza¢emo da ako je T neprekidno preslikavanje u 0, onda je T ograni£enlinearan operator. Zato sto je T neprekidno u 0, za ε = 1 postoji δ > 0 takoda je ‖Tx‖ < 1 uvek kada je ‖x‖ < δ. Sada, ako je x 6= 0, x ∈ X, 0 < α < δ,sledi ‖αx/‖x‖‖ < δ, tj. |α|‖x‖/‖x‖ = |α| = α < δ, pa tada vaºi
‖Tx‖ = ‖‖x‖αT (
αx
‖x‖)‖ < α−1‖x‖.
Ova nejednakost vaºi i za x = 0, pa je T ograni£en linearan operator. �
13
3.2 Banahov prostor ograni£enih linearnih ope-
ratora
Neka su X i Y vektorski prostori nad poljem skalara K. Skup svih line-arnih operatora iz X u Y ozna£avamo sa
LK(X, Y ) = L(X, Y ).
L(X, Y ) je vektorski prostor u odnosu na operacije sabiranja operatora imnoºenja operatora skalarom, tj. vektorski prostor nad poljem skalara K.Ukoliko je X = Y , umesto L(X,X), pi²emo L(X).
Ako su S i T neprekidni linearni operatori iz X u Y , tada je sT + tS,gde su s, t ∈ K, neprekidan linearan operator, pa je skup svih neprekidnihlinearnih operatora potrostor prostora linearnih operatora L(X, Y ).
Skup svih ograni£enih linearnih operatora iz X u Y , ozna£avamo saB(X, Y ). Ukoliko je X = Y , umesto B(X,X), pi²emo B(X). ProstorB(X,K) ozna£ava se sa X ′ i naziva se prostor ograni£enih linearnih funk-cionala na X ili dualni prostor prostora X.
I i O ozna£avaju, redom, identi£ni operator i nula operator.
Teorema 3.2.1. Neka su X i Y normirani prostori i T ∈ L(X, Y ). Tada
sup‖x‖61
‖Tx‖ = sup‖x‖=1
‖Tx‖ = supx 6=0
‖Tx‖‖x‖
= ‖T‖. (3.7)
Dokaz. Kako je
{‖Tx‖ : ‖x‖ 6 1} ⊃ {‖Tx‖ : ‖x‖ = 1} ={‖Tx‖‖x‖
: x 6= 0
},
to je
sup‖x‖61
‖Tx‖ > sup‖x‖=1
‖Tx‖ = supx 6=0
‖Tx‖‖x‖
.
Ukoliko je supx 6=0
‖Tx‖‖x‖
=∞, tada vaºi traºena jednakost. Iz supx 6=0
‖Tx‖‖x‖
<∞
sledi da je operator T ∈ B(X, Y ). Prema tome,
sup‖x‖61
‖Tx‖ 6 ‖T‖. �
14
Teorema 3.2.2 (Posledica teoreme Hanha-Banacha). Neka je x0 elementnormiranog prostora X i x0 6= 0. Tada postoji funkcional x′ ∈ X ′ sa svoj-stvom
‖x′‖ = 1 i x′(x0) = ‖x0‖. �
Teorema 3.2.3. Neka su X i Y normirani prostori i operatori S, T ∈B(X, Y ) . Tada je sT + tS ∈ B(X, Y ), za svako s, t ∈ K i vaºi
‖sT + tS‖ 6 |s|‖T‖+ |t|‖S‖.Ako je Z normiran prostor i U ∈ B(Y, Z), tada je UT ograni£en i vaºi:
‖UT‖ 6 ‖U‖‖T‖.
Dokaz. Neka je x ∈ X proizvoljno. Tada
‖(sT + tS)x‖ 6 |s|‖Tx‖+ |t|‖Sx‖ 6 (|s|‖T‖+ |t|‖S‖)‖x‖.Operator st+tS je ograni£en ukoliko uzmemo k = |s|‖T‖+|t|‖s‖. Tako�e,
‖UTx‖ 6 ‖U‖‖Tx‖ 6 ‖U‖‖T‖‖x‖
pa ukoliko uzmemo k = ‖U‖‖T‖, operator UT je ograni£en. �
Teorema 3.2.4. Neka su X i Y normirani prostori nad istim poljem skalaraK. Tada je B(X, Y ) vektorski potprostor u L(X, Y ) i norma operatora jestenorma na prostoru B(X, Y ). �
Teorema 3.2.5. Neka je X normiran prostor i Y Banahov prostor. Tadaje B(X, Y ) Banahov prostor.
Dokaz. Neka je (Tn) Cauchyjev niz u B(X, Y ) i x ∈ X. Iz
‖Tnx− Tmx‖ = ‖(Tn − Tm)x‖ 6 ‖Tn − Tm‖‖x‖
sledi da je (Tnx) Cauchyjev niz u Y , pa kako je Y kompletan prostor postojilimn→∞
Txn. StavimoTx = lim
n→∞Tnx.
O£igledno je T ∈ L(X, Y ). Kako je Cauchyjev niz (Tn) ograni£en, postojibroj L, 0 6 L <∞, takav da je ‖Tn‖ 6 L za svako n ∈ N.
Zato je
‖Tx‖ = limn→∞
‖Tnx‖ 6 (lim supn→∞
‖Tn‖)‖x‖)
6 L‖x‖, za svako x ∈ X,
odnosno, operator T ∈ B(X, Y ).
15
Dokaºimo da je limTn = T . Neka je ε > 0 i n0 prirodan broj takav da je
‖Tn − Tm‖ < ε za svako n,m ≥ n0.
Iz ovoga, na osnovu de�nicije za normu operatora, sledi
‖(Tn − Tm)x‖‖x‖
< ε za svako x 6= 0 i svako n,m ≥ n0,
a odatle uzimaju¢i da m→∞, sledi
‖(Tn − T )x‖‖x‖
6 ε za svako x 6= 0 i svako n ≥ n0.
Dakle, imamo da vaºi
‖Tn − T‖ = supx 6=0
‖(Tn − T )x‖‖x‖
6 ε za svako n ≥ n0,
pa je Cauchyjev niz (Tn) konvergentan, tj. prostor B(X, Y ) je Banahovprostor. �
Ako je Y ⊆ X potprostor, sa istom normom kao i normirani prostor X,tada preslikavanje J = JY : Y → X de�nisano sa
J(y) = y ∈ X za svako y ∈ Y
je prirodna injekcija iz Y u X. O£igledno, prirodna injekcija je linearno iograni£eno preslikavanje i vaºi ‖J‖ 6 1 i ‖J‖ = 1 sem ako je Y = {0}.
Ako je T ∈ B(X, Y ), tada je
T−1(0) = N(T ) = {x ∈ X : Tx = 0 ∈ Y }
nula prostor od T . Nula prostor je zatvoren prostor. Prirodnu injekciju izT−1(0) u X zovemo jezgro od T :
ker(T ) = J : T−1(0) −→ X
Slika operatora T je potprostor od Y , takav da
T (X) = R(T ) = {Tx : x ∈ X} ⊆ Y
16
Te²ko je utvrditi da li je T (X) zatvoren u Y , pa ¢emo radi sigurnostiposmatrati kvocijent preslikavanje indukovano zatvorenjem slike operatoraT :
coker(T ) = K : Y −→ Y/cl(TX).
Teorema 3.2.6 (Kanonska faktorizacija). Ako je T ∈ B(X, Y ) tada postojiograni£en linearan operator
core(T ) : X/T−1(0) −→ cl(TX)
takav da
T = ker(coker(T )) ◦ core(T ) ◦ coker(ker(T )). �
3.3 Kompozicije operatora
De�nicija 3.3.1. Ako je T ∈ B(X, Y ) i ako je W normirani prostor
LT = B(W,T ) : U −→ TU iz B(W,X) u B(W,Y )
iRT = B(T,W ) : V −→ V T iz B(Y,W ) u B(X,W )
su leva i desna kompozicija operatora generisana operatorom T .
Teorema 3.3.1. Ako je T ∈ B(X, Y ) i ako je W normirani prostor, tadasu LT i RT ograni£eni i linearni, tako da ‖LT‖ 6 ‖T‖ i ‖RT‖ 6 ‖T‖. Akoje S ∈ B(X, Y ) i U ∈ B(Y, Z), tada
LsT+tS = sLT + tLS i RsT+tS = sRT + tRS za svako s, t ∈ K
iLUT = LULT i RUT = RTRU . �
Teorema 3.3.2. Ako je X normiran prostor, tada postoji izometri£ki izo-mor�zam prostora X i B(K, X) koji x ∈ X pridruºuje
Lx : K −→ X
de�nisan saLx(t) = tx ∈ X za svako t ∈ K. �
17
3.4 Projektori
Neka su M i N potprostori vektorskog prostora X. Tada
Z ≡M +N = {z : z = x+ y, x ∈M,Y ∈ N}
ozna£ava sumu (zbir) potprostora M i N . Ako je M ∩N = {0}, kaºe se daje Z direktna suma potprostora M i N , i u tom slu£aju se koristi oznaka
Z =M ⊕N.
Ako je X = M ⊕ N , kaºe se da je potprostor N algebarski komplementpotprostora M .
Za preslikavanje P : X −→ X kaºe se da je idempotent ako je P 2 = P .Linearni idempotent naziva se projektor. Operatori O i I su projektori, inazivaju se trivijalni projektori.
Za svaki projektor P , R(P ) i N(P ) su algebarski komplementarni, tj.projektor P odre�uje razlaganje prostora X na direktnu sumu
X = R(P )⊕N(P ).
Sa druge strane, svaka direktna suma prostora X odre�uje projektor. Naime,ako je X = M ⊕ N , tada se svako x ∈ X moºe jednozna£no prikazati kaox = x1 + x2, gde je x1 ∈M i x2 ∈ N . Preslikavanje P : X −→ X, de�nisanosa:
Px = x1
je projektor, R(P ) = M i N(P ) = N . Kaºe se da je P projektor na Mparalelno sa N i £esto se ozna£ava sa PM,N .
Teorema 3.4.1. Neka je X Hilbertov prostor i neka su P1 i P2 projektori izB(X). Ako je
P1P2 = P2P1,
tada je P1P2 projektor i vaºi:
P1P2(X) = P1(X) ∩ P2(X). �
18
Glava 4
Invertibilnost i singularnost
4.1 Invertibilnost operatora
De�nicija 4.1.1. Ograni£en linearan operator T ∈ B(X, Y ) je invertibilanako postoji S ∈ B(Y,X) takav da vaºi
ST = I ∈ B(X,X) i TS = I ∈ B(Y, Y ). (4.1)
.
Operator S iz prethodne de�nicije nazivamo inverz operatora T .Za operator T kaºemo da je singularan ako nije invertibilan.Ozna£imo sa B−1(X, Y ) skup svih invertibilnih operatora iz B(X, Y ) i
σB(X, Y ) = B(X, Y )\B−1(X, Y ).
Identi£an operator I : X → X je uvek invertibilan i on je sam svoj inverz,dok nula operator O skoro nikad nije invertibilan, osim u slu£aju X = Y = 0.Ako je idempotent E = E2 : X → X invertibilan, tada je E = I. Inverzsvakog invertibilnog operatora je jedinstven i kompozicija dva invertibilnaoperatora je invertibilan operator, ²to dokazujemo slede¢om teoremom:
Teorema 4.1.1. Ako je T ∈ B(X, Y ) invertibilan, tada je njegov inverz T−1
jedinstven. Ako je S ∈ B(Y, Z) invertibilan, tada je i ST invertibilan i vaºi:
(ST )−1 = T−1S−1.
Dokaz. Ako su U i V inverzi za T ∈ B(X, Y ), tada
U = UI = U(TV ) = (UT )V = IV = V.
Ako su S i T invertibilni, sa inverzima S−1 i T−1, tada
20
(T−1S−1)(ST ) = T−1(S−1S)T = T−1T = I
i(ST )(T−1S−1) = SS−1 = I. �
U op²tem slu£aju, zbir dva invertibilna operatora ne mora biti invertibilanoperator.
Teorema 4.1.2. Ako je T ∈ B(X, Y ) i S ∈ B(Y,X), tada
I − ST ∈ B−1(X,X)⇐⇒ I − TS ∈ B−1(Y, Y )
Ako je T ∈ B−1(X, Y ) i U ∈ B(X, Y ), tada
I − T−1U ∈ B−1(X,X) =⇒ T − U ∈ B−1(X, Y )
iI − UT−1 ∈ B−1(Y, Y ) =⇒ T − U ∈ B−1(X, Y ).
Dokaz. Pretpostavimo da je I−ST invertibilan i neka je U njegov inverz,sledi
U(I − ST ) = I = (I − ST )U.
Tada(I + TUS)(I − TS) = I = (I − TS)(I + TUS).
Zaista,
(I + TUS)(I − TS) = I + T (U − I − UST )S = I + 0.
Sledi da je I−TS invertibilan. Obrnuti smer dokazuje se zamenom operatoraS i T . Ukoliko primetimo da vaºi
T − U = T (I − T−1U)
drugi deo dokaza sledi na osnovu Teoreme 4.1.1. Ostatak se dokazuje ana-logno. �
Teorema 4.1.3. Neka su X i Y normirani prostori. Tada je preslikavanje
f : B−1(X, Y ) −→ B(Y,X)
de�nisano sa f(S) = S−1, neprekidno u svakoj ta£ki S ∈ B−1(X, Y ).
21
Dokaz. Ako su S, T ∈ B−1(X, Y ), tada sledi
T−1 − S−1 = T−1(S − T )S−1
= (T−1 − S−1)(S − T )S−1 + S−1(S − T )S−1.
Dalje sledi
(1− ‖S − T‖‖S−1‖)‖T−1 − S−1‖ 6 ‖S−1‖‖S − T‖‖S−1‖.
Specijalno ako je
‖S − T‖‖S−1‖ 6 1
2
sledi
‖T−1 − S−1‖ 6 2‖S−1‖2‖T − S‖ −→ 0 kada ‖T − S‖ −→ 0. �
De�nicija 4.1.2. Operator T ∈ B(X, Y ) je ”1− 1” ako vaºi
T−1(0) = {0},
a ”na” ako vaºiT (X) = Y.
De�nicija 4.1.3. Operator T ∈ B(X, Y ) je gust ako
cl(TX) = Y.
Uvedimo oznake:
πlB(X, Y ) = {T ∈ B(X, Y ) : T nije ”1− 1”},
πrB(X, Y ) = {T ∈ B(X, Y ) : T nije gust}.
Ako je operator T ∈ B(X, Y ) invertibilan u smislu De�nicije 4.1.1, tada jeon sigurno ”1− 1” i ”na”.
Teorema 4.1.4. Ako je T ∈ B(X, Y ), tada
T je ”1− 1”⇐⇒ LT = B(W,T ) je ”1− 1” za sve normirane prostoreW
i
T je gust⇐⇒ RT = B(T,W ) je ”1− 1” za sve normirane prostoreW.
22
Dokaz. Neka je operator T ∈ B(X, Y ) ”1 − 1”. Tada za proizvoljne Wi U ∈ B(W,X) vaºi
TU = 0 =⇒ TUw = 0 za svako w ∈ W =⇒ Uw = 0 za svako w ∈ W
²to zna£i da je U = 0. Obrnuto, ako T nije ”1 − 1”, tada T−1(0) 6= {0}, paker(T ) = J : T−1(0)→ X nije nula operator. Sledi
U = ker(T ) =⇒ TU = 0 6= U.
Ako je T ∈ B(X, Y ) ”na” i V : Y → W linearan operator, tada V T = 0 ⇒V = 0. Ako pretpostavimo da je T gust, ali V ograni£en linearan operator,tada
V T = 0 =⇒ V Tx = 0 za svako x ∈ X=⇒ V y = lim
n→∞V Txn = 0 za svako y ∈ Y.
Obrnuto, ako T nije gust, tada preslikavanje coker(T ) = K : Y →Y/cl(TX) nije nula operator. Sledi
V = coker(T ) =⇒ V T = 0 6= V. �
Prvi deo Teoreme 4.1.4, moºemo dokazati i na slede¢i na£in. Uzmimo da jeprostorW polje skalara K. Zaista, ako T nije ”1−1”, tada postoji x ∈ T−1(0)takvo da je x 6= 0, pa sada uzimamo U = Lx : t→ tx:
0 6= x ∈ T−1(0) =⇒ TLx = 0 6= Lx.
Interesantno je diskutovati pod kojim uslovima je kompozicija dva operatoraST ”1− 1” ili gust operator:
Teorema 4.1.5. Ako je T ∈ B(X, Y ) i S ∈ B(Y, Z), tada sledi:
S, T su ”1− 1” =⇒ ST je ”1− 1” =⇒ T je ”1− 1”
iS, T su gusti =⇒ ST je gust =⇒ S je gust
Dokaz. Neka su S i T ”1 − 1” i neka je STx = 0. Tada je Tx = 0 , pasledi x = 0, tj. ST je ”1 − 1”. Ako je sada ST ”1 − 1” i Tx = 0, sledi daje STx = S(0) = 0, pa je x = 0. Drugi deo teoreme se dokazuje koriste¢ioperatore RT i RS, a moºe i direktno. �
Primetimo da vaºi:
S, T su ”na” =⇒ ST je ”na” =⇒ S je ”na”.
23
Teorema 4.1.6. Ako je T ∈ B(X, Y ) i W ⊆ X i Z ⊆ Y zatvoreni potpro-stori tada
T je ”1− 1”⇐⇒ T−1(0) ∩W = {0} i T−1(0) ⊆ W
iT je gust⇐⇒ cl(Z + cl(TX)) = Y i Z ⊆ cl(TX). �
Teorema 4.1.7. Ako je T ∈ B(X, Y ) i S ∈ B(Y,X), tada sledi:
I − ST je ”1− 1”⇐⇒ I − TS je ”1− 1”
iI − ST je gust⇐⇒ I − TS je gust.
Dokaz. Ako je I − ST ”1− 1” i y ∈ Y , tada sledi
(I − TS)y = 0 =⇒ (I − ST )Sy = S(I − TS)y = 0
=⇒ Sy = 0
=⇒ y = T (Sy) = 0
Dakle, I − TS je ”1− 1”. Pretpostavimo sada da je I − ST ”na”, pa ako jex ∈ X, tada je x = (I − ST )x′, za neko x′ ∈ X. Sledi
y ∈ Y =⇒ y = (I − TS)(y + T (Sy)′) gde je Sy = (I − ST )(Sy)′.
Ovim smo pokazali da vaºi
I − ST je ”na”⇐⇒ I − TS je ”na”.
Da bismo pokazali drugi deo tvr�enja, pretpostavimo da je ‖x−(I−ST )x′ε‖ 6ε i zaklju£ujemo
‖y − (I − TS)(y + T (Sy)′ε)‖ = ‖T (Sy − (I − ST )(Sy)′ε)‖6 ‖T‖ε. �
Zapravo sledi da vaºi:
T je ”1− 1”⇐⇒ ker(T ) invertibilan
iT je gust⇐⇒ coker(T ) invertibilan.
De�nicija 4.1.4. Za operator T ∈ B(X, Y ) kaºemo da je sopstven operatorako
core(T ) je invertibilan.
O£igledno vaºi:
T je invertibilan⇐⇒ T ”1− 1”, gust i sopstven operator.
24
4.2 Ograni£enost odozdo
U op²tem slu£aju, da bi operator T ∈ B(X, Y ) bio invertibilan, nijedovoljno da bude ”1 − 1” i gust. Me�utim, uslovi ”1 − 1” i gust se mogupoja£ati na slede¢i na£in:
De�nicija 4.2.1. Za operator T ∈ B(X, Y ) kaºemo da je ograni£en odozdoako postoji k > 0 za koje vaºi
‖x‖ 6 k‖Tx‖ za svako x ∈ X.
De�nicija 4.2.2. Za operator T ∈ B(X, Y ) kaºemo da je zatvoren ako je
T ograni£en odozdo i TX = cl(TX).
Uvedimo oznake:
τ̃ lB(X, Y ) = {T ∈ B(X, Y ) : T nije ograni£en odozdo}
τ lB(X, Y ) = {T ∈ B(X, Y ) : T nije zatvoren}.
Na primer, ako je ‖Tx‖ = ‖x‖, tada je T ograni£en odozdo. U stvari, ogra-ni£enost odozdo je osobina izmedju invertibilnosti i ”1− 1”.
Teorema 4.2.1. Ako je T ∈ B(X, Y ) i S ∈ B(Y, Z), tada vaºe slede¢eimplikacije:
S, T ograni£eni odozdo =⇒ ST ograni£en odozdo =⇒ T ograni£en odozdo
iS, T zatvoreni =⇒ ST zatvoren =⇒ T zatvoren.
Tako�e,
T invertibilan =⇒ T zatvoren =⇒ T ograni£en odozdo =⇒ T je ”1− 1”.
Dokaz. Ako je postoje k, k′ > 0 tako da ‖x‖ 6 k‖Tx‖ i ‖y‖ 6 k′‖Sy‖za svako x ∈ X i svako y ∈ Y , tada
‖x‖ 6 k‖Tx‖ 6 k′k‖STx‖ za svako x ∈ X,
pa je ST ograni£en odozdo. Neka je sada ‖x‖ 6 k′′‖STx‖, za neko k′′ > 0 iza svako x ∈ X, tada vaºi
‖x‖ 6 k′′‖STx‖ 6 k′′‖S‖‖Tx‖ = k‖Tx‖ za k = k′′‖S‖.
25
Prema tome, T je ograni£en odozdo.Sada, ako je T ∈ B(X, Y ) zatvoren i K ⊆ X, pokaza¢emo da vaºi
K = cl(K) =⇒ T (K) = cl(TK).
Zaista, ako ‖y − Txn‖ → 0 za y ∈ Y i xn ∈ K, tada y ∈ cl(TX) = TX, papostoji x ∈ X za koje je y = Tx. Sada, za neko k > 0, sledi
‖x− xn‖ 6 k‖Tx− Txn‖ = k‖y − Txn‖ −→ 0,
pa zaklju£ujemo da je x ∈ K i y = Tx ∈ T (K). Ako u implikaciji K =cl(K) =⇒ T (K) = cl(TK), umesto T i K stavimo S i TX redom, sledi daje ST zatvoren.
Ako je sada ST zatvoren i ‖y−Txn‖ → 0, tada ‖Sy−STxn‖ → 0, pa jeSy = STx za neko x ∈ X. Sledi
‖y − Tx‖ 6 ‖y − Txn‖+ ‖Txn − Tx‖6 ‖T‖‖xn − x‖6 ‖T‖‖STxn − STx‖6 ‖T‖‖STxn − Sy‖ −→ 0.
Ako je T invertibilan, stavljaju¢i S = T−1 u drugom delu teoreme, dobijamoda je T zatvoren. O£igledno, ako je T zatvoren, tada je on ograni£en odozdo,pa na osnovu de�nicije sledi da je T ”1− 1”. �
Skup svih operatora ograni£enih odozdo ima jednu interesantnu topolo²kuosobinu:
Teorema 4.2.2. Neka su X i Y normirani prostori. Tada
{T ∈ B(X, Y ) : T ograni£en odozdo} je otvoren skup.
Dokaz. Ako je T ∈ B(X, Y ) ograni£en odozdo k > 0 broj iz De�nicije4.2.1 i T ′ ∈ B(X, Y ) takav da vaºi k‖T ′ − T‖ < 1, tada za svako x ∈ X vaºi
‖T ′x‖ ≥ ‖Tx‖ − ‖(T ′ − T )x‖ ≥ 1
k(1− k‖T ′ − T‖)‖x‖. �
26
Ograni£enost odozdo moºe se dovesti u vezu sa kompozicijama operatora:
Teorema 4.2.3. Ako je T ∈ B(X, Y ), tada vaºi
T ograni£en odozdo⇐⇒ LT ograni£en odozdo za sve normirane prostore W.
Dokaz. Ako je T ∈ B(X, Y ) ograni£en odozdo i k > 0 zadovoljava uslovDe�nicije 4.2.1, tada za proizvoljneW i U ∈ B(W,X) vaºi ‖Uw‖ 6 k‖TUw‖za svako w ∈ W . Tada sledi
‖U‖ = sup‖w‖61
‖Uw‖ 6 sup‖w‖61
k‖TUw‖ = k‖TU‖.
Prema tome, svaki LT = B(W,T ) je ograni£en odozdo. Obrnuto, ako jeLT = B(K, T ) ograni£en odozdo, gde je W = K polje skalara, tada postojik > 0 takvo da, za svako x ∈ X, vaºi
‖x‖ = ‖Lx‖ 6 k‖LT (Lx)‖ = k‖LTx‖ = k‖Tx‖,
pri £emu je Lx operator de�nisan u Teoremi 3.3.2. �
Teorema 4.2.4. Ako je T ∈ B(X, Y ) i W ⊆ X potprostor, tada je T ogra-ni£en odozdo akko postoje k′ > 0 i k′′ > 0 za koje vaºi
‖w‖ 6 k′‖Tw‖ za svako w ∈ W
id(x,W ) 6 k′′‖Tx‖ za svako x ∈ X.
Tako�e, T je zatvoren akko je dodatno
TW = cl(TW ) i cl(TX) ⊆ TX + TW.
Dokaz. Ako je T ograni£en odozdo i k > 0 broj iz De�nicije 4.2.1, tadavaºe dati uslovi za k′ = k′′ = k. Obrnuto, ako je x ∈ X proizvoljno, tadapostoji niz (wn) u W takav da ‖x− wn‖ → d(x,W ) i kako vaºi
‖w‖ 6 k′‖Tw‖ za svako w ∈ W,
sledi
‖x‖ 6 ‖x− wn‖+ ‖wn‖6 ‖x− wn‖+ k′‖T (wn − x)‖+ k′‖Tx‖ za svako n ∈ N.
Ako pustimo da n −→∞, onda je
‖x‖ 6 (1 + k′‖T‖)d(x,W ) + k′‖Tx‖6 (k′ + k′′ + k′k′′‖T‖)‖Tx‖,
pa sledi da je operator T ograni£en odozdo.Ako vaºi TW = cl(TW ), cl(TX) ⊆ TX + TW i ‖y − Txn‖ → 0, tada je
y = Tx+ Tw = T (x+ w). �
27
Teorema 4.2.5. Ako je T ∈ B(X, Y ), tada T je invertibilan akko
T ograni£en odozdo i ”na”.
Tako�e, T je invertibilan akko
T je zatvoren i gust.
Vaºi ekvivalencija:
T je zatvoren⇐⇒ T je ”1− 1” i sopstveni operator.
Dokaz. Ako je T invertibilan, o£igledno vaºi T je ograni£en odozdo i ”na”i T je zatvoren i gust. Obrnuto, ako je T ograni£en odozdo i ”na” i k > 0broj iz De�nicije 4.2.1, tada je T ”1 − 1”, pa postoji S ∈ L(Y,X), koji jeinverz za T . Treba dokazati da je S ograni£en. Neka je y ∈ Y proizvoljno,tada
‖Sy‖ 6 k‖TSy‖ = k‖y‖.
Na osnovu kanonske faktorizacije, sledi
T je ”1− 1” =⇒ T = Jcore(T ) gde je J zatvoren.
Tako�e, T i core(T ) imaju istu sliku TX. Prema tome, ako je T je zatvoren,on je ”1 − 1”, pa je T = Jcore(T ) i core(T ) je zatvoren, dakle invertiblan,²to po De�niciji 4.1.4 zna£i da je T sopstveni operator. Obrnuto, ako je Tsopstveni operator i ”1−1”, tada vaºi kanonska faktorizacija, T = Jcore(T ),pa prema drugom tvr�enju ove teoreme sledi da je T zatvoren. �
28
4.3 Otvoreni i skoro otvoreni operatori
De�nicija 4.3.1. Za operator T ∈ B(X, Y ) kaºemo da je otvoren ako postojibroj k > 0 za koji vaºi
y ∈ {Tx : ‖x‖ 6 k‖y‖} za svako y ∈ Y.
De�nicija 4.3.2. Za operator T ∈ B(X, Y ) kaºemo da je skoro otvoren akopostoji broj k > 0 za koji vaºi
y ∈ cl{Tx : ‖x‖ 6 k‖y‖} za svako y ∈ Y.
Uvedimo oznake:
τ rB(X, Y ) = {T ∈ B(X, Y ) : T nije otvoren},
τ̃ rB(X, Y ) = {T ∈ B(X, Y ) : T nije skoro otvoren}.Operator T ∈ B(X, Y ) je otvoren akko za svako K ⊆ X,
K = int(K) =⇒ T (K) = int(TK).
Otvorenost je osobina izme�u invertibilnosti i surjekcije, dok je skorootvorenost izme�u otvorenosti i osobine da je operator gust.
Teorema 4.3.1. Ako je T ∈ B(X, Y ) i S ∈ B(Y, Z), tada vaºi
S, T otvoreni =⇒ ST otvoren =⇒ S otvoren
iS, T skoro otvoreni =⇒ ST skoro otvoren =⇒ S skoro otvoren.
Tako�e,
T je invertibilan =⇒ T je otvoren =⇒ T je ”na” =⇒ T je gust,
T je otvoren =⇒ T je skoro otvoren =⇒ T je gust.
Dokaz. Ako je postoje k, k′ > 0 tako da y ∈ {Tx : ‖x‖ 6 k‖y‖} iz ∈ {Sy : ‖y‖ 6 k′‖z‖} za svako y ∈ Y i svako z ∈ Z, tada sledi
z ∈ {STx : ‖x‖ 6 k‖y‖ 6 kk′‖z‖} za svako z ∈ Z,
odnosno ST je otvoren. Ako je
z ∈ {STx : ‖x‖ 6 k′′‖z‖},
tadaz ∈ {Sy : ‖y‖ = ‖Tx‖ 6 ‖T‖‖x‖ 6 k′′‖T‖‖z‖},
pa je S otvoren. Za skoro otvorene skupove, dokaz je isti, samo ²to koristimozatvorenje skupova. Ostatak dokaza je jasan. �
29
Skoro otvoreni operatori formiraju otvoren podskup skupa B(X, Y ).
Teorema 4.3.2. Neka su X i Y normirani prostori. Tada
{T ∈ B(X, Y ) : T je skoro otvoren} je otvoren skup. �
Teorema 4.3.3. Ako je T ∈ B(X, Y ), tada
T je skoro otvoren =⇒ RT je ograni£en odozdo za sve normirane prostore W.
Dokaz. Ako je T ∈ B(X, Y ) skoro otvoren i za k > 0 zadovoljava uslovDe�nicije 4.3.2, tada za proizvolje W i V ∈ B(Y,W ) vaºi
‖V ‖ = sup{k‖V y‖ : y ∈ cl{Tx : ‖x‖ 6 1}} = k sup‖x‖61
‖V Tx‖ = k‖V T‖
pa za RT = B(T,W ) vaºi uslov iz De�nicije 4.2.1. �
Teorema 4.3.4. Neka je T ∈ B(X, Y ). T je invertibilan akko
T je ”1− 1” i otvoren.
Tako�e,T je otvoren⇐⇒ T gust i sopstven operator.
Dokaz. Ako je T invertibilan, tada je T ”1−1” i otvoren. Obrnuto, akoje T ”1−1” i otvoren sa konstantom k > 0, tim pre je T ”1−1” i ”na”,pa sledi da ima inverz S ∈ L(Y,X). Treba jo² dokazati da je S ograni£en.Za svako y ∈ Y postoji x ∈ X tako da
T (Sy − x) = y − Tx = 0 i ‖x‖ 6 k‖y‖.
Kako je T ”1− 1” sledi
‖Sy‖ = ‖x‖ 6 k‖y‖.
Da bi dokazali drugi deo teoreme, koristimo kanonsku faktorizaciju:
T je gust =⇒ T = core(T )K gde je K otvoren.
Prema Rieszovoj lemi kvocijent operatorK = coker(ker(T )) : X → X/T−1(0)
je otvoren za k =1
tkad je 0 < t < 1. Dalje ako je T otvoren, sledi da je
T gust, pa se moºe predstaviti u obliku T = core(T )K, gde je K otvoren.Prema Teoremi 4.3.1, core(T ) je otvoren, pa je prema prvom delu invertibi-lan. Obrnuto, ako je T gust i sopstveni operator, tada je core(T ) otvoren.Kako je jo² i T = core(T )K gde je K otvoren, sledi T je otvoren premaTeoremi 4.3.1. �
30
4.4 Rubni operatori
Na osnovu Teoreme 4.3.2 sledi da skup svih skoro otvorenih operatora£ini otvoren podskup od B(X, Y ), Tada sledi ako je operator T ∈ B(X, Y ) urubu skupa svih skoro otvorenih operatora, tada T nije skoro otvoren. Vaºi¢ei da T nije ograni£en odozdo.
Teorema 4.4.1. Ako je T ∈ B(X, Y ) i Tn ∈ B(X, Y ) za svako n ∈ N, tada
T ograni£en odozdo, Tn gusti i ‖T − Tn‖ −→ 0 =⇒ T gust
iT ograni£en odozdo i gust =⇒ T skoro otvoren.
Dokaz. Neka je y ∈ Y proizvoljno, tada postoji niz (xn) u X za koji vaºi
‖y − Tnxn‖ 6 ‖T − Tn‖ −→ 0 kada n −→∞,
pa kako je T ograni£en odozdo, sledi
‖y − Txn‖ 6 ‖y − Tnxn‖+ ‖T − Tn‖‖xn‖ 6 ‖y − Tnxn‖+ k‖T − Tn‖‖Txn‖6 ‖y − Tnxn‖+ k‖T − Tn‖‖Txn − y‖+ k‖T − Tn‖‖y‖,
odnosno,
(1−k‖T−Tn‖)‖y−Txn‖ 6 ‖y−Tnxn‖+k‖T−Tn‖‖y‖ 6 (1+k‖y‖)‖T−Tn‖.
Odavde sledi da ‖y − Txn‖ → 0, pa kako je y ∈ Y proizvoljno, sledi da je Tgust.
Moºemo primeniti Rieszovu lemu, za potprostor Z ⊆ Y , kako bi pokazalida vaºi
Y ⊆ cl(Z) =⇒ y ∈ cl{z ∈ Z : ‖z‖ 6 ‖y‖} za svako y ∈ Y.
Prirodna injekcija J : Z → Y je skoro otvoren operator ako je gust operator.Da dokaºemo prethodnu inkluziju, treba na¢i niz (zn) iz Z takav da
‖y − zn‖ → 0
. Zatim, uzimanjem niza
z′n =
{zn, ‖zn‖ 6 ‖y‖
‖y‖‖zn‖zn, ‖zn‖ > ‖y‖
,
sledi da vaºi ‖y − z′n‖ → 0. Uzimaju¢i Z = TX, obzirom da je k > 0konstanta iz De�nicije 4.2.1, sledi
Y ⊆ cl(TX) =⇒ y ∈ cl{Tx : ‖x‖ 6 k‖Tx‖ 6 k‖y‖} za svako y ∈ Y,
pa je T skoro otvoren. �
31
Teorema 4.4.2. Ako je T ∈ B(X, Y ) u rubu skupa svih skoro otvorenihoperatora, tj. rubni operator, tada T nije ograni£en odozdo.
Dokaz. Pretpostavimo da je T ∈ B(X, Y ) u zatvorenju skupa svih skorootvorenih operatora, tada postoji niz operatora (Tn) iz B(X, Y ) takav davaºi
Tn je skoro otvoren i ‖T − Tn‖ −→ 0.
Prema Teoremi 4.3.1 sledi da je Tn gust operator. Prema prethodnoj teoremi,T bi bio gust ako bi vaºilo da je T ograni£en odozdo. Ako bi T bio ograni£enodozdo i T gust sledilo bi da je T skoro otvoren, pa ne bi pripadao rubuskupa skoro otvorenih operatora. �
Kompozicija dva rubna operatora je rubni operator:
Teorema 4.4.3. Ako su T ∈ B(X, Y ) i S ∈ B(Y, Z) rubni operatori, tadaje i ST tako�e rubni.
Dokaz. Na osnovu Teoreme 4.3.1, sledi
S, T su u zatvorenju skupa svih skoro otvorenih operatora
=⇒ ST je u zatvorenju skupa svih skoro otvorenih operatora.
Tako�e, ako su S i T u rubu skupa svih skoro otvorenih operatora, tada jeST u zatvorenju tog skupa. Ako je ST skoro otvoren, tada prema Teoremi4.3.1 sledi da je S skoro otvoren, pa nije u rubu skupa svih skoro otvorenihoperatora. �
32
4.5 Levo i desno invertibilni operatori
Levi ili desni inverz zadovoljava "jednu polovinu" uslova koji zadovoljavainverz operatora.
De�nicija 4.5.1. Operator T ∈ B(X, Y ) je levo invertibilan ako postojiT ′ ∈ B(Y,X) koji zadovoljava
T ′T = I ∈ B(X,X).
Operator T ∈ B(X, Y ) je desno invertibilan ako postoji T ′′ ∈ B(Y,X)koji zadovoljava
TT ′′ = I ∈ B(Y, Y ).
Ako je operator T istovremeno levo i desno invertibilan, tada kaºemo daje on invertibilan.
Uvedimo slede¢e oznake:
σlB(X, Y ) = {T ∈ B(X, Y ) : T nije levo invertibilan}
σrB(X, Y ) = {T ∈ B(X, Y ) : T nije desno invertibilan}.Ako je operator T ∈ B(X), spektar operatora T je:
σ(T ) = {λ ∈ C : T − λI 6∈ B(X)−1}.Skup
ρ(T ) = C\σ(T )se naziva rezolventni skup.
Teorema 4.5.1. Neka su T ∈ B(X, Y ) i S ∈ B(Y, Z), tada
S, T levo invertibilni =⇒ ST levo invertibilan =⇒ T levo invertibilan
i
S, T desno invertibilni =⇒ ST desno invertibilan =⇒ S desno invertibilan.
Tako�e vaºi,
T ivertibilan =⇒ T levo invertibilan =⇒ T zatvoren
iT ivertibilan =⇒ T desno invertibilan =⇒ T otvoren. �
33
Teorema 4.5.2. Neka je X Banachov prostor. Operator T ∈ B(X) je levoinvertibilan akko je T ”1−1” a R(T ) zatvoren i komplementaran potprostor.
Dokaz. Pretpostavimo najpre da je T levo invertibilan. Sledi da
(∃S ∈ B(X)) ST = I.
Neka je sada x ∈ N(T ) proizvoljno, sledi Tx = 0. Odatle vaºi
Ix = STx = S0 = 0 = x,
tj. x = 0, pa je N(T ) = {0}, tj. T je ”1 − 1”. Uzmimo da je operatorP = TS. P je ograni£en linearan operator na X, kao kompozicija dva takvaoperatora. Za operator P tako�e vaºi:
P 2 = TSTS,
pa kako je T levo invertibilan i vaºi ST = I, sledi
P 2 = TS = P,
odnosno P je projektor. Treba jo² dokazati da je slika operatora T zatvoreni komplementaran potprostor od X. To ¢emo dokazati ako pokaºemo daje R(T ) = R(P ). O£igledno je da vaºi R(P ) = R(TS) ⊆ R(T ). Kako jeST = I, operator T moºemo napisati kao T = TST , pa je
R(T ) = R(TST ) ⊆ R(TS) = R(P ).
Zaklju£ujemo da je R(P ) = R(T ). Kako je R(P ) zatvoren i komplementaranpotprostor, a R(T ) = R(P ), sledi da je i R(T ) zatvoren i komplementaran.
Obrnuto, ako je N(T ) = {0} i R(T ) zatvoren i komplementaran potpro-stor. Tada postoji potprostor M takav da vaºi
X = R(T )⊕M.
Posmatrajmo operator T0 : X −→ R(T ) takav da T0(x) = T (x). Tada jeT0 ∈ B(X,R(T )) i tako�e vaºi N(T0) = N(T ) = {0} i R(T0) = R(T ), pa jeT0 invertibilan i sledi da ima inverz T−1o ∈ B(R(T ), X). Uzimaju¢i projektorP = PR(T ),M , P ∈ B(X), za levi inverz operatora T uzimamo operatorS = T−10 P , S ∈ B(X). Proverimo da je ovo zaista levi inverz:
STx = T−10 PTx = T−10 Tx = T−10 T0x = x. �
Teorema 4.5.3. Neka je X Banachov prostor. Operator T ∈ B(X) je desnoinvertibilan akko je ”na” a N(T ) komplementaran potprostor u X.
34
Dokaz. Pretpostavimo najpre da je T desno invertibilan, odnosno da
(∃S ∈ B(X)) TS = I
Neka je x ∈ X proizvoljno. Tada sledi
x = Ix = TSx,
tj. x ∈ R(T ), pa je R(T ) = X. Uzmimo da je operator Q = ST . Q jeograni£en linearan operator na X, kao kompozicija dva takva operatora. Zaoperator Q tako�e vaºi:
Q2 = STST,
pa kako je T desno invertibilan i vaºi TS = I, sledi
Q2 = ST = Q.
Dakle, Q je projektor. Treba jo² pokazati da je N(T ) komplementaran pot-prostor. To ¢emo dokazati ako pokaºemo da je N(T ) = N(Q). Ako je
x ∈ N(T ) =⇒ Tx = 0 =⇒ STx = 0 =⇒ x ∈ N(ST ) = N(Q)
. Ako je
x ∈ N(ST ) =⇒ STx = 0 =⇒ TSTx = 0 =⇒ Tx = 0 =⇒ x ∈ N(T ).
Zaklju£ujemo da je N(T ) = N(Q), pa je N(T ) komplementaran potprostor.Obrnuto, neka je R(T ) = X i N(T ) komplementaran potprostor u X.
Tada postoji potprostor M u X takav da vaºi
X = N(T )⊕M.
Posmatrajmo operator T0 : M −→ X takav da T0(x) = T (x) za svako x ∈M . Tada je T0 ∈ B(M,X) i tako�e je ”na”, po²to je R(T ) = R(T0), i ”1−1”.
Pretpostavimo suprotno, da operator T0 nije ”1 − 1”, zna£i da postojix ∈ M , x 6= 0 takav da je Tx = 0. Sledilo bi da je x ∈ N(T ), ²to nijemogu¢e.
Kako je operator T0 ”1 − 1” i ”na”, on je invertibilan. Neka je njegovinverz T−10 ∈ B(X,M). Uzimamo projektor Q = PM,N(T ) ∈ B(X) i dobijamodesni inverz S = QT−10 ∈ B(X) operatora T . Ostaje da se proveri da je Szaista desni inverz za T :
TSx = TQT−10 x = TT−10 x = T0T−10 x = x. �
Posledica 4.5.4. Operator T ∈ B(X) je invertibilan ako i samo ako je”1− 1” i ”na”. �
35
Pokazujemo jo² neke rezultate:
Teorema 4.5.5. Ako je T ∈ B(X, Y ), tada
T je levo invertibilan i gust =⇒ T je invertibilan
i
T je desno invertibilan i ”1− 1” =⇒ T je invertibilan
Dokaz. Ako je T ′ ∈ B(Y,X) takav da vaºi T ′T = I i ako je T gust, naosnovu Teoreme 4.1.4 sledi
(I − TT ′)T = 0 =⇒ I = TT ′
Ako je umesto toga T ′′ ∈ B(Y,X) i vaºi TT ′′ = I i ako je T ”1 − 1” ,primenom Teoreme 4.1.4 sledi
T (I − T ′′T ) = 0 =⇒ I = T ′′T. �
Teorema 4.5.6. Ako je T ∈ B(X, Y ) i S ∈ B(Y,X) tada vaºi
I − ST je levo invertibilan⇐⇒ I − TS je levo invertibilan
i
I − ST je desno invertibilan⇐⇒ I − TS je desno invertibilan.
Dokaz. Ako je U ∈ B(X, Y ) levi inverz za I − ST tada je I + TUS leviinverz za I − TS. Ostatak dokaza ostavljamo £itaocu. �
Ako je T levo ili desno invertibilan operator, onda su takve sve leve kom-pozicije operatora LT = B(W,T ), a sve desne kompozicije operatora su desnoili levo invertibilne, odnosno sledi
T ′T = I =⇒ LT ′LT = I : B(W,X) −→ B(W,X)
RTRT ′ = I : B(Y,W ) −→ B(Y,W )
iTT ′′ = I =⇒ LTLT ′′ = I : B(W,Y ) −→ B(W,Y )
RT ′′RT = I : B(X,W ) −→ B(X,W ).
36
Teorema 4.5.7. Ako je T ∈ B(X, Y ), LT = B(Y, T ) i RT = B(T,X), tadavaºi
RT je ”na” =⇒ T je levo invertibilan =⇒ RT je otvoren
iLT je ”na” =⇒ T je desno invertibilan =⇒ LT je otvoren.
Dokaz. Ako je RT = B(T,X) ”na” tada postoji T ′ ∈ B(Y,X) takav davaºi
I = RT (T′) = T ′T,
pa sledi da je operator T levo invertibilan. Kako je RT desno invertibilan,prema Teoremi 4.5.1, RT je otvoren operator.
Ako umesto toga uzmemo da je LT = B(Y, T ) ”na”, tada postoji T ′′ ∈B(Y,X) takav da vaºi
I = LT (T′′) = TT ′′,
pa je operator T desno invertibilan. Kako je LT desno invertibilan, premaTeoremi 4.5.1, on je otvoren. �
37
4.6 Skoro invertibilni operatori
Skoro invertibilni operatori imaju istu relaciju sa invertibilnim operato-rima, kao i skoro otvoreni operatori u odnosu na otvorene operatore.
De�nicija 4.6.1. Operator T ∈ B(X, Y ) je skoro levo invertibilan ako po-stoji niz operatora (T ′n) iz B(Y,X) takav da vaºi
‖I − T ′nT‖ −→ 0 kada n −→∞ i supn‖T ′n‖ <∞.
Operator T je skoro desno invertibilan ako postoji niz operatora (T ′′n ) izB(Y,X) takav da vaºi
‖I − TT ′′n‖ −→ 0 kada n −→∞ i supn‖T ′′n‖ <∞.
Ako je T skoro levo i skoro desno invertibilan, tada kaºemo da je skoro in-vertibilan.
Uvedimo oznake:
σ̃lB(X, Y ) = {T ∈ B(X, Y ) : T nije skoro levo invertibilan},
σ̃rB(X, Y ) = {T ∈ B(X, Y ) : T nije skoro desno invertibilan}.
Nije te²ko zaklju£iti da skoro leva i desna invertibilnost zadovoljava isteteoreme kao leva i desna invertibilnost i prenosi se na levu i desnu kompozi-ciju.
Teorema 4.6.1. Ako je T ∈ B(X, Y ), tada ako su LT = B(Y, T ) i RT =B(T,X), vaºi
RT gust =⇒ T skoro levo invertibilan =⇒ RT skoro otvoren
iLT gust =⇒ T skoro desno invertibilan =⇒ LT skoro otvoren.
Dokaz. Ako je RT = B(T,X) gust, tada postoji T ′0 ∈ B(Y,X) za koji je
‖I − T ′0T‖ = ‖I −RT (T′0)‖ < 1.
Neka je U = I−T ′0T i T ′n = (I+U+· · ·+Un)T ′0, za svako n ∈ N.Tada sledi
‖I − T ′nT‖ = ‖Un+1‖ 6 ‖U‖n+1 −→ 0 i ‖T ′n‖ 6‖T ′0‖
1− ‖U‖,
38
odakle po de�niciji sledi da je T skoro levo invertibilan operator.
Dalje, ako ovo vaºi, tada za proizvoljno V ∈ B(X,X) i za k =‖T ′0‖
1− ‖U‖vaºi
‖V −RT (V T′n)‖ = ‖V (I − T ′nT )‖ 6 ‖U‖n+1‖V ‖ −→ 0
i‖V T ′n‖ 6 k‖V ‖,
odakle sledi da je RT skoro otvoren, ²to je i trebalo dokazati. Analogno sedokazuje drugi deo teoreme. �
Na osnovu Teoreme 4.6.1, izvodimo zaklju£ke za skoro levo i skoro desnoinvertibilne operatore, koriste¢i one koji vaºe za skoro otvorene operatore.
Teorema 4.6.2. Ako je T ∈ B(X, Y ) i S ∈ B(Y, Z) tada
S, T skoro levo invertibilni =⇒ ST skoro levo invertibilan
=⇒ T skoro levo invertibilan
i
S, T skoro desno invertibilni =⇒ ST skoro desno invertibilan
=⇒ S skoro desno invertibilan
Tako�e,
T levo invertibilan =⇒ T skoro levo invertibilan
=⇒ T ograni£en odozdo
i
T desno invertibilan =⇒ T skoro desno invertibilan
=⇒ T skoro otvoren.
Dokaz. Prvi deo tvr�enja sledi na osnovu Teoreme 4.6.1 i Teoreme 4.3.1.Treba sada dokazati ako je T skoro levo invertibilan, sledi da je T ograni£enodozdo. Kako je T skoro levo invertibilan, postoji niz operatora (Tn) izB(Y,X) da vaºi
‖I − T ′nT‖ −→ 0 tako da supn‖T ′n‖ 6 k.
Ako je k < k′, uzimamo U = T ′N takvo da vaºi
‖I − UT‖ 6 δ i k = (1− δ)k′.
39
Sada za proizvoljno x ∈ X
‖x‖ 6 ‖(I − UT )x‖+ ‖UTx‖ 6 δ‖x‖+ k‖Tx‖ =⇒ ‖x‖ 6 k′‖Tx‖.
Pretpostavimo sada da vaºi
‖I − TT ′′n‖ −→ 0 kada je supn‖T ′′n‖ 6 k.
Sada za proizvoljno y ∈ Y i xn = T ′′ny vaºi
‖y − Txn‖ 6 ‖I − TT ′′n‖‖y‖ −→ 0
i‖xn‖ 6 ‖T ′′n‖‖y‖ 6 k‖y‖. �
Skoro levo i skoro desno invertibilni operatori £ine otvorene skupove:
Teorema 4.6.3. Neka su X i Y normirani prostori, tada su
{T ∈ B(X, Y ) : T je skoro levo invertibilan}
i{T ∈ B(X, Y ) : T je skoro desno invertibilan}
otvoreni skupovi.
Dokaz. Prema Teoremi 3.3.1, preslikavanja T → RT i T → LT suneprekidna, a prema Teoremi 4.3.2, skoro otvoreni operatori izme�u dvanormirana prostora £ine otvoren skup. Traºeni skupovi su inverzne slikeotvorenih skupova neprekidnim preslikavanjima, pa su i oni otvoreni. �
Kaºemo da je T ∈ B(X, Y ) levi topolo²ki delilac nule ako
LT = B(Y, T ) : B(Y,X) −→ B(Y, Y ) nije odozdo ograni£en.
T je desni topolo²ki delilac nule ako
RT = B(T,X) : B(Y,X) −→ B(X,X) nije odozdo ograni£en.
40
Teorema 4.6.4. Neka su X i Y normirani prostori, tada∂{T ∈ B(X, Y ) : T skoro levo invertibilan}
⊆ {T ∈ B(X, Y ) : T desni topolo²ki delilac nule}
i∂{T ∈ B(X, Y ) : T skoro desno invertibilan}
⊆ {T ∈ B(X, Y ) : T levi topolo²ki delilac nule}.
Dokaz. Ako je T ∈ B(X, Y ) u zatvorenju skupa svih skoro levo inverti-bilnih operatora, tada je RT : B(Y,X) −→ B(X,X) u zatvorenju skupa svihskoro otvorenih operatora i ako operator T nije skoro levo invertibilan, tadaRT nije skoro otvoren. Odavde sledi da ako je T u rubu skupa svih skoro levoinvertibilnih operatora, tada je RT u rubu skupa svih skoro otvorenih ope-ratora. Na osnovu Teoreme 4.4.2, sledi da RT nije odozdo ograni£en, odaklesledi da je T desni topolo²ki delilac nule. Drugi deo dokaza analogno. �
Lako je zaklju£iti da ako je T ∈ B(X, Y ) skoro levo invertibilan, tada susve njegove leve kompozicije LT = B(W,T ) skoro levo invertibilne, dok susve desne kompozicije RT = B(T,W ) skoro desno invertibilne.
Naredna teoreme dokazuje ”jedinstvenost skoro inverza”.
Teorema 4.6.5. Ako je T ∈ B(X, Y ) i nizovi (T ′n) i (T′′n ) iz B(X, Y ) takvi
da zadovoljavaju uslove iz De�nicije 4.6.1, tada
‖T ′n − T ′′n‖ −→ 0 kada n −→∞.
Dokaz.
‖T ′n − T ′′n‖ 6 ‖T ′n(I − TT ′′n )‖+ ‖(T ′nT − I)T ′′n‖6 (sup
n‖T ′n‖)‖I − TT ′′n‖+ ‖T ′nT − I‖ sup
n‖T ′′n‖ −→ 0. �
41
4.7 Regularni operatori
De�nicija 4.7.1. Operator T ∈ B(X, Y ) je regularan (g-invertibilan) akopostoji T ′ ∈ B(Y,X) takav da
T = TT ′T.
Ozna£imo sa B(X, Y ) = {T ∈ B(X, Y ) : T ∈ T · B(Y,X) · T} skup svihregularnih operatora iz B(X, Y ).
Operator T ′ iz prethodne de�nicije se naziva generalisani inverz (unutra-²nji, pseudoinverz, g-inverz) od T . Na primer, ako je T ′ levi ili desni inverzod T , tada je on njegov generalisani inverz. Uop²teno, regularni operatori suuop²tenja invertibilnih operatora i idempotenata.
De�nicija 4.7.2. Neka je T ∈ B(X, Y ). Operator T ′ ∈ B(Y,X) je spolja²njiinverz operatora T ako je T = T ′TT ′.
Teorema 4.7.1. Ako operator T ∈ B(X) ima unutra²nji inverz, tada ima ispolja²nji inverz.
Dokaz. Pretpostavimo da operator T ima unutra²nji inverz S ∈ B(X),odnosno
TST = T.
De�ni²imo operator L na slede¢i na£in:
L = STS.
Tada je L ∈ B(X) i vaºi:
LTL = STSTSTS = STSTS = STS = L
iTLT = TSTST = TST = T.
Odavde sledi da je operator L spolja²nji i unutra²nji inverz od T . �
Teorema 4.7.2. Neka je X Banachov prostor i operator T ∈ B(X). Opera-tor T je regularan ako i samo ako su R(T ) i N(T ) zatvoreni komplementarnipotprostori od X.
Dokaz. Pretpostavimo najpre da je operator T regularan, odnosno dapostoji operator
S ∈ B(X)
42
takav da vaºiTST = T i STS = S.
Neka je P = TS, tada sledi P ∈ B(X) i
P 2 = TSTS = TS = P.
Treba jo² dokazati da je R(P ) = R(T ). Primetimo da vaºi:
R(P ) = R(TS) ⊆ R(T )
iR(T ) = R(TST ) ⊆ R(TS) = R(P ).
Odavde sledi da je R(T ) = R(P ). Neka je sada Q = ST . Sli£no se dokazujeda je Q2 = Q, Q ∈ B(X) i N(Q) = N(T ), pa sledi da su R(T ) i N(T )zatvoreni i komplementarni.
Obrnuto, ako su R(T ) i N(T ) zatvoreni i komplementarni, tada se prostorX moºe napisati kao:
X = R(T )⊕M
iX = N(T )⊕N.
Tada je operator T0 : N −→ R(T ) takav da je
T0x = Tx za svako x ∈ N
invertibilan. Kako vaºi R(T ) = R(T |N), sledi da je R(T ) = R(T0) = X, papostoji inverz T−10 ∈ B(R(T ), N).
Uzmimo da je S = PN,N(T )T−10 PR(T ),M ∈ B(X). Sada je
TSTx = TPN,N(T )T−10 PR(T ),MTx = TPN,N(T )T
−10 Tx
= TT−10 Tx = T0T−10 Tx = Tx. �
Teorema 4.7.3. Neka je X Banachov prostor i operator T ∈ B(X). Tadapostoji operator S ∈ B(X) takav da je STS = S, S 6= 0 ako i samo akoT 6= 0.
Dokaz. Pretpostavimo da postoji operator S ∈ B(X) takav da je STS =S 6= 0, tada sledi da je T 6= 0.
Obrnuto, pretpostavimo da je T 6= 0, tada sledi
(∃x ∈ X) Tx 6= 0.
43
Prema posledici Teoreme Hanha-Banacha, postoji funkcional f ∈ X ′ takavda je f(Tx) = 1. Konstrui²emo S na slede¢i na£in:
Sy = f(y)x za svako y ∈ X.
Tada je
STSy = ST (f(y)x) = f(y)S(Tx)
= f(y)f(Tx)x
= f(y)x = Sy,
za svako y ∈ X, pa je STS = S. Ostaje da dokaºemo da je S 6= 0 i S ∈ B(X).Kako je
S(Tx) = f(Tx)x = x 6= 0,
tada je S 6= 0. Po²to je, za 1 ∈ K i s, t ∈ X,
S(λs+ t) = f(λs+ t)x,
linearnost operatora S sledi iz linearnosti funkcionala f . O£igledno da vaºi:
‖Sy‖ = |f(y)|‖x‖ 6 ‖f‖‖y‖‖x‖ <∞,
pa je operator S ∈ B(X). �
Teorema 4.7.4. Ako T ∈ B(X, Y ) i T ′ ∈ B(Y,X), tada
T − TT ′T regularan =⇒ T regularan
iI − T ′T regularan⇐⇒ I − TT ′ regularan.
Tako�e, ako su S ∈ B(Y, Z) i S ′ ∈ B(Z, Y ), i ako su T ′ i S ′ generalisaniinverzi od T i S, redom, tada
ST regularan ⇐⇒ S ′STT ′ regularan .
Dokaz. Neka je U ∈ B(Y,X) generalisani inverz od T − TT ′T . Tada je
T = T (T ′ + (I − T ′T )U(I − TT ′))T,
pa je T regularan.Uzmimo sada da je U ∈ B(X,X) generalisani inverz operatora I − T ′T ,
onda vaºiI − TT ′ = (I − TT ′)(I + TUT ′)(I − TT ′),
44
odnosno operator I − TT ′ je regularan. Sli£no se dokazuje ako je I − TT ′regularan, tada je I − T ′T regularan.
Neka je sada ST regularan i neka je U ∈ B(Z,X) njegov generalisaniinverz. Tada vaºi
S ′STT ′ = S ′S(TUS)TT ′ = (S ′STT ′)TUS(S ′STT ′),
pa sledi da je S ′STT ′ regularan. Obrnuto, ako je S ′STT ′ regularan, sageneralisanim inverzom V ∈ B(Y, Y ), tada
ST = S(S ′STT ′)T = S(S ′STT ′V S ′STT ′)T = ST (T ′V S ′)ST. �
Dovoljan uslov da S ′STT ′ bude regularan je da vaºi
(S ′S)(TT ′) = (TT ′)(S ′S)
²to prema Teoremi 3.4.1 zna£i da je S ′STT ′ projektor. Dovoljan uslov za toje da vaºi S ′S = I ili TT ′ = I. Dakle,
S levo invertibilan , T regularan =⇒ ST regularan
iS regularan , T desno invertibilan =⇒ ST regularan.
Obrnuto, svaki regularan operator T se moºe napisati u obliku proizvodalevo i desno invertibilnog operatora, tj.
T = UV gde je U levo invertibilan i V desno invertibilan.
Tako�e primetimo da vaºi
T levo invertibilan⇐⇒ T regularan i ”1-1”
iT desno invertibilan⇐⇒ T regularan i gust.
Sada prou£avamo kako moºemo dodati neki operator regularnom operatoruda pri tome o£uvamo regularnost.
Teorema 4.7.5. Neka je T ∈ B(X, Y ) regularan operator , T ′ ∈ B(Y,X)generalisani inverz od T i neka operator K ∈ B(X, Y ) zadovoljava
I − T ′K je invertibilan i (I − TT ′)K(I − T ′K)−1(I − T ′T ) regularan.
Tada jeT −K regularan.
45
Dokaz. Ozna£imo sa K ′ = (I − T ′K)−1. Tada sledi
(I − TT ′)KK ′(I − T ′T ) = (T (I − T ′K) + (K − T ))K ′(I − T ′T )= T (I − T ′T ) + (K − T )K ′(I − T ′T )= 0 + (K − T )K ′(I − T ′K)
+ (K − T )(K ′T ′)(K − T )= K − T + (K − T )K ′T ′(K − T )
Iz pretpostavki sledi da je poslednji izraz regularan, pa na osnovu Teoreme4.7.4 dalje sledi da je T −K regularan. �
Uslovi iz prethodne teoreme koje zadovoljava operator K mogu se zame-niti slede¢im:
I −KT ′ je invertibilan i (I − TT ′)(I −KT ′)−1K(I − T ′T ) je regularan.
Specijalno se izu£avaju regularni operatori koji imaju invertibilan gene-ralisani inverz.
De�nicija 4.7.3. Operator T ∈ B(X, Y ) je razloºivo regularan ako postojiT ′ ∈ B(Y,X) takav da vaºi
T = TT ′T i T ′ ∈ B−1(Y,X) je invertibilan.
Na primer, idempotenti su razloºivo regularni operatori. Zaista, ako jeT = T 2 ∈ B(X), tada za T ′ = I vaºe uslovi prethodne de�nicije. Skup
{SP : S ∈ B−1(X, Y ), P = P 2 ∈ B(X,X)}
je skup razloºivo regularnih operatora iz X u Y .
Teorema 4.7.6. Ako je T ∈ B(X, Y ) regularan operator takav da vaºi T =TT ′T , i ako postoji U ∈ B(X, Y ) za koji je
U ∈ B−1(X, Y ) i I + (U − T )T ′ ∈ B−1(Y, Y ),
tada je T razloºivo regularan.
Dokaz. Kako vaºi
(I + (U − T )T ′)T = (T − TT ′T ) + UT ′T = UT ′T,
onda jeT = SP,
pri £emu jeP = T ′T i S = (I + (U − T )T ′)−1U
O£igledno sledi da je P idempotent i S invertibilan. �
46
4.8 Esencijalno invertibilni operatori
Operator T ∈ B(X, Y ) koji nije invertibilan, moºe biti levo ili desnoinvertibilan modula izvesnog potprostora operatora.
De�nicija 4.8.1. Neka su X i Y normirani prostori i neka su A ⊆ B(X,X)i B ⊆ B(Y, Y ) potprostori. Tada kaºemo da je operator T ∈ B(X, Y ) levoinvertibilan modula A ako postoji T ′ ∈ B(Y,X) tako da vaºi
I − T ′T ∈ A.
Operator T je desno invertibilan modula B ako postoji T ′′ ∈ B(Y,X) takavda vaºi
I − TT ′′ ∈ B.
Uvedimo slede¢e oznake:
σl/A = {T ∈ B(X, Y ) : T nije levo invertibilan modula A}
iσr/B = {T ∈ B(X, Y ) : T nije desno invertibilan modula B}.
Za A = {0}, leva invertibilnost modula A svodi se na levu invertibilnost, doksu za A = B(X,X) svi operatori T ∈ B(X, Y ) levo invertibilni modula A.
Teorema 4.8.1. Ako su A ⊆ A′ ⊆ B(X,X) i B ⊆ B′ ⊆ B(Y, Y ) potprostorii T ∈ B(X, Y ), tada
T levo invertibilan =⇒ T levo invertibilan modula A
=⇒ T levo invertibilan modula A′
i
T desno invertibilan =⇒ T desno invertibilan modula B
=⇒ T desno invertibilan modula B′.
Dokaz. Neka je T ′ ∈ B(Y,X). Tada vaºi
I − T ′T = 0 =⇒ I − T ′T ∈ A =⇒ I − T ′T ∈ A′.
Drugi deo sledi analogno. �
47
Ako je kompozicija dva operatora esencijalno invertibilan operator, tadaza njegove faktore vaºi slede¢a teorema:
Teorema 4.8.2. Neka su X, Y i Z normirani prostori i A ⊆ B(X,X), B ⊆B(Y, Y ) i D ⊆ B(Z,Z) potprostori, tada, ako su T ∈ B(X, Y ) i S ∈ B(Y, Z)vaºi:
ST levo invertibilan modula A =⇒ T levo invertibilan modula A
i
ST desno invertibilan modula D =⇒ S desno invertibilan modula D.
Ako A, B i D zadovoljavaju
B(Y,X) ·B ·B(X, Y ) ⊆ A i B(Y, Z) ·B ·B(Z, Y ) ⊆ D,
tada
S levo invertibilan modula B, T levo invertibilan modula A
=⇒ ST levo invertibilan modula A
S desno invertibilan modula D,T desno invertibilan modula B
=⇒ ST desno invertibilan modula D.
Dokaz. Ako je ST levo invertibilan modula A i I −UST ∈ A, tada je Tlevo invertibilan modula A uzimaju¢i T ′ = US.
Dalje, ako je S levo invertibilan modula B i T levo invertibilan modulaA, tj. ako postoje T ′ ∈ B(Y,X) i S ′ ∈ B(Z, Y ) tako da je I − T ′T ∈ A iI − S ′S ∈ B, tada
I − T ′S ′ST = T ′(I − S ′S)T + (I − T ′T ) ∈ T ′BT + A ⊆ A,
odnosno, ST je levo invertibilan modula A. Ostatak teoreme dokazuje seanalogno. �
Neka je, na primer, X = Y = Z i A = B = D dvostrani ideal u B(X,X).Tada vaºi uslov prethodne teoreme:
B(Y,X) ·B ·B(X, Y ) ⊆ A i B(Y, Z) ·B ·B(Z, Y ) ⊆ D.
Sada posmatramo slu£aj kada su A i B zatvoreni ideali i pi²emo:
RT/A : T ′ −→ T ′T + A ∈ B(X,X)/A za svako T ′ ∈ B(Y,X)
iLT/B : T ′ −→ TT ′ +B ∈ B(Y, Y )/B za svako T ′ ∈ B(Y,X).
48
Teorema 4.8.3. Neka je A zatvoreni levi ideal od B(X,X), B zatvorenidesni ideal od B(Y, Y ) i T ∈ B(X, Y ). Tada
RT/A je ”na” =⇒ T je levo invertibilan modula A =⇒ RT/A otvoren
i
LT/B je ”na” =⇒ T je desno invertibilan modula B =⇒ RT/B otvoren.
Dokaz. Ako je RT/A ”na”, tada
I ∈ B(X,X) = RTB(Y,X) + A
implicira T ′ ∈ B(Y,X) zadovoljava uslov De�nicije 4.8.1, odnosno da T budelevo invertibilan modula A. Ako je sada T levo invertibilan modula A, po²toje A levi ideal od B(X,X), vaºi
U ∈ B(X,X) =⇒ U − UT ′T ∈ A =⇒ U + A = (RT/A)(UT′),
pa je RT/A ”na”. Dalje, ako je U ′ ∈ B(X,X), tada
U ′ − U ∈ A =⇒ U − U ′T ′T ∈ A =⇒ U + A = (RT/A)(U′T ′).
Najzad, ako je A zatvoren i 0 < t < 1, tada prema Rieszovoj lemi, biramo
U ′ ∈ U + A takav da ‖U ′‖ 6 1
tdist(U,A), pa sledi
U + A = (RT/A)(U′T ′) tako da ‖U ′T ′‖ 6 1
t‖T ′‖‖U + A‖,
odnosno RT/A je otvoren. Drugi deo teoreme se dokazuje analogno. �
Ako je umesto levi ideal, A desni ideal od B(X,X), tada
T levo invertibilan modula A =⇒ T nije levi delilac nule modula A
u smislu da ako je U ∈ B(X,X) tada
TU = 0 =⇒ U ∈ A.
Moºemo dokazati i vi²e:
Teorema 4.8.4. Ako je A ⊆ B(X,X) zatvoreni dvostrani ideal i ako jeT ∈ B(X, Y ) skoro levo invertibilan modula A, u smislu da postoji niz (T ′n)iz B(Y,X) takav da vaºi
d(I − T ′nT,A) −→ 0 i supn‖T ′n‖ <∞,
tada T nije levi topolo²ki delilac nule modula A u smislu da postoji k > 0tako da vaºi
d(U,A) 6 k‖TU‖ za svako U ∈ B(X,X).
49
Dokaz. Pretpostavimo da za niz (T ′n) iz B(Y,X) vaºi
dist(I − T ′nT,A) −→ 0 i supn‖T ′n‖ <∞,
tada postoji niz (U ′n) u B(X,X) i k′ > 0 tako da vaºi:
‖I − T ′nT − U ′n‖ −→ 0, U ′n ∈ A i supn‖T ′n‖ = k′ <∞.
Zatim, ako su U ∈ B(X,X) i U ′′ ∈ A proizvoljni, tada sledi
U − U ′′ = (I − T ′nT − U ′n)(U − U ′′) + U ′n(U − U ′′)− T ′nTU ′′ + T ′nTU.
Sada je‖U−(U ′′+U ′n(U−U ′′)+T ′nTU ′′)‖ 6 ‖I−T ′nT−U ′n‖‖U−U ′′‖+‖T ′n‖‖TU‖.
Kako je A levi i desni ideal, onda je
U ′′ + U ′n(U − U ′′) + T ′nTU′′ ∈ A+ A(U − U ′′) + (T ′nT )A ⊆ A,
pa vaºi
dist(U,A) 6 ‖I − T ′nT − U ′n‖‖U − U ′′‖+ ‖T ′n‖‖TU‖6 δ‖U − U ′′‖+ k′‖TU‖,
za proizvoljno δ > 0 i dovoljno veliko n. Kada ‖U − U ′′‖ −→ dist(U,A),
uzimaju¢i k =k′
1− δ, dokaz je gotov. �
Teorema 4.8.5. Ako je A ⊆ B(X,X) desni ideal i zadovoljava
B(X, Y ) · A ⊆ B(X, Y )
tada za T ∈ B(X, Y ) vaºi:
T levo invertibilan modula A⇐⇒ T regularan i L−1T (0) ⊆ A.
Ako je B ⊆ B(Y, Y ) levi ideal i zadovoljava
B ·B(X, Y ) ⊆ B(X, Y )
tada za T ∈ B(X, Y ) vaºi:
T desno invertibilan modula B ⇐⇒ T regularan i R−1T (0) ⊆ B.
50
Dokaz. Ako je T regularan, odnosno T = TT ′T regularan, tada
I − T ′T ∈ L−1T (0) i I − TT ′ ∈ R−1T (0).
prema tome, T je levo invertibilan modula A, tj. desno invertibilan modulaB.
Obrnuto, ako je T levo invertibilan modula A, tada L−1T (0) ⊆ A i akoT ′ ∈ B(Y,X) zadovoljava I − T ′T ∈ A, sledi
T − TT ′T = T (I − T ′T ) ∈ B(X, Y ) · A ⊆ B(X, Y )
je regularan, pa na osnovu Teoreme 4.8.2 sledi da je T regularan. Ostatakdokaza analogno. �
U slu£aju da je A = {0}, Teorema 4.8.5 se svodi na slede¢e:
T levo invertibilan⇐⇒ T regularan i ”1-1”.
dok u slu£aju da je B = {0}, Teorema 4.8.5 se svodi na:
T desno invertibilan⇐⇒ T regularan i gust.
Potprostor N ⊆ B(X, Y ) za koji vaºi
B(Y, Y ) ·N +N ·B(X,X) ⊆ N
¢emo zvati dvostrani ideal u B(X, Y ). Ako N zadovoljava i uslov regularnostiiz De�nicije 4.7.1, tj
N ⊆ B(X, Y )
tada slediB(X, Y ) +N ⊆ B(X, Y ).
Zaista, ako je T = TT ′T ∈ B(X, Y ) i K ⊆ N , tada je T +K ∈ B(X, Y )+Npa sledi
T +K − (T +K)T ′(T +K) = K −KT ′T − TT ′K −KT ′K ∈ N ⊆ B(X, Y )
Na osnovu Teoreme 4.7.4, T +K je regularan. Moºemo iskoristiti i Teoremu4.7.5. Ako je T = TT ′T ∈ B(X, Y ) regularan i K ∈ B(X, Y ), tada jeslede¢i uslov dovoljan da T−K ∈ B(X, Y ) bude regularan: postoji dvostraniideal A ⊆ B(X,X), koji zadovoljava uslov regularnosti iz Teoreme 4.8.5tako da je I − T ′K levo i desno invertibilan modula A i da ima "esencijalniinverz" K ′ ∈ B(X,X) za koji vaºi
(I − TT ′)KK ′(I − T ′T ) ∈ B(X, Y )
Zaista, ako su ovi uslovi zadovoljeni, tada prema Teoremi 4.7.5 mora postojatiU ∈ B(Y,X) za koji vaºi
T −K − (T −K)U(T −K) ∈ B(X, Y ) · A ⊆ B(X, Y ).
Iz ovoga, na osnovu Teoreme 4.7.4 se zaklju£uje da je T −K regularan.
51
4.9 Algebarska invertibilnost
Po prvi put se za neki uslov moºe zaista re¢i da je "ja£i"od invertibilnosti:
De�nicija 4.9.1. Ako je M ⊆ B(Y,X) potprostor, tada kaºemo da je T ∈B(X, Y ) levo M-invertibilan ako postoji T ′ ∈ B(Y,X) tako da je
T ′T = I i T ′ ∈M.
T je desno M-invertibilan ako postoji T ′′ ∈ B(Y,X) tako da je
TT ′′ = I i T ′′ ∈M.
Uvedimo slede¢e skupove:
σlMB(X, Y ) = {T ∈ B(X, Y ) : T nije levoM -invertibilan}
iσrMB(X, Y ) = {T ∈ B(X, Y ) : T nije desnoM -invertibilan}.
Specijalno, za M = B(Y,X), leva M -invertibilnost se svodi na levu inverti-bilnost.
Teorema 4.9.1. Ako su M ⊆ B(Y,X), N ⊆ B(Z, Y ) potprostori i MN ⊆L ⊆ B(Z,X) i T ∈ B(X, Y ), tada
S levo N-invertibilan, T levo M-invertibilan =⇒ ST levo L-invertibilan
i
S desno N-invertibilan, T desno M-invertibilan =⇒ ST desno L-invertibilan.
Dokaz. Ako je S ′S = I, T ′T = I, T ′ ∈M i S ′ ∈ N tada sledi
T ′S ′ST = I i T ′S ′ ∈MN ⊆ L.
Ako je sada SS ′′ = I, TT ′′ = I, T ′′ ∈M i S ′′ ∈ N , tada
STT ′′S ′′ = I i T ′′S ′′ ∈MN ⊆ L. �
Da bi se moglo govoriti o slede¢em,
ST levo L-invertibilan =⇒ T levo M -invertibilan
iST desno L-invertibilan =⇒ S desno N -invertibilan
mora da vaºiLS ⊆M =⇒ TL ⊆ N.
Neka je, na primer, X = Y = Z, M = N = L i A ⊆ B(X,X) je podalgebraalgebre B(X,X). Tada ako se uzme T ∈ A i S ∈ A, vaºi LS ⊆M =⇒ TL ⊆N i uslovi Teoreme 4.9.1.
52
Ako je A normirana algebra, tada vaºi slede¢a teorema:
Teorema 4.9.2. Ako je A normirana algebra i a ∈ A, tada
Ra je ”na” =⇒ a levo invertibilan =⇒ Ra otvoren
iLa je ”na” =⇒ a desno invertibilan =⇒ La otvoren.
Tako�e,
Ra gust =⇒ a skoro levo invertibilan =⇒ Ra skoro otvoren
iLa gust =⇒ a skoro desno invertibilan =⇒ La skoro otvoren.
Dokaz. Ako je Ra ”na”, tada 1 ∈ A = Ra(A), pa sledi da postoji a′ ∈ Atakav da
1 = a′a
Dalje, ako prethodna jednakost vaºi tada, za proizvoljno b ∈ A,
b = (ba′)a tako da ‖ba′‖ 6 ‖b‖‖a′‖,
pa je Ra otvoren. Drugi deo se dokazuje analogno. Sada ako je Ra gust, tadapostoji a′0 ∈ A za koji vaºi ‖1− a′0a‖ < 1. Tada iz
u = 1− a′0a i a′n = (1 + u+ · · ·+ un)a′ za svako n ∈ N,
sledi
‖1− a′na‖ = ‖un+1‖ 6 ‖u‖n+1 −→ 0 i ‖a′n‖ 6‖a′0‖
1− ‖u‖,
pa je a skoro levo invertibilan. Dalje, ako je a skoro levo invertibilan, za
proizvoljno b ∈ A uzimaju¢i k =‖a′0‖
1− ‖u‖, vaºi
‖b−Ra(ba′n)‖ = ‖b(1− a′na)‖ 6 ‖u‖n+1‖b‖ −→ 0 i ‖ba′n‖ 6 k‖b‖,
pa je Ra skoro otvoren. Drugi deo se dokazuje analogno. �
Teorema 4.9.2 se moºe pro²iriti do uop²tenije, tzv. algebarske invertibil-nosti, ukoliko se obezbedi podudarnost izme�u T ∈ B(X, Y ) iM ⊆ B(Y,X).U stvari, potrebno je da T pripada nekom potprostoru N ⊆ B(X, Y ) za kojipostoje podalgebre A ⊆ B(X,X) i B ⊆ B(Y, Y ) koje zadovoljavaju[
A MN B
]je podalgebra od
[B(X,X) B(Y,X)B(X, Y ) B(Y, Y )
]53
Sada analogno kao u Teoremi 4.9.2, moºemo raditi sa kompozicijamaoperatora
(RT )M :M −→ A
i(LT )M :M −→ B.
Uslov za koji ovo vaºi, je na osnovu izloºenog;
MTM ⊆M.
Ako je A normirana algebra i a ∈ A, tada
a levo invertibilan =⇒ a nije levi delilac nule
u smislu da La : A −→ A bude ”1− 1”:
u ∈ A i au = 0 =⇒ u = 0
Moºe se dokazati vi²e:
Teorema 4.9.3. Ako je A normirana algebra i a ∈ A, tada
a skoro levo invertibilan =⇒ a nije levi topolo²ki delilac nule
ia skoro desno invertibilan =⇒ a nije desni topolo²ki delilac nule.
Dokaz. Na osnovu Teoreme 4.6.2, ako je
‖1− a′na‖ −→ 0 i supn‖a′n‖ = k′ <∞,
tada za proizvoljno u ∈ A vaºi
‖u‖ 6 ‖(1− a′na)u‖+ ‖a′n‖‖au‖ 6 δ‖u‖+ k′‖au‖
kada je ‖1− a′na‖ 6 δ, ²to za 0 < δ < 1, daje
‖u‖ 6 k‖au‖ za k =k′
1− δ.
Ovim je dokaz za skoro levu invertibilnost gotov, dok je za skoro desnu in-vertibilnost analogan. �
Element a ∈ A zovemo levi topolo²ki delilac nule ako La nije ograni£enodozdo.
54
Teorema 4.9.4. Ako je A normirana linearna algebra, tada su
σ̃l(A) i σ̃r(A)
zatvoreni podskupovi od A. Tako�e,
∂σ̃l(A) ⊆ τ̃ l(A). �
Teorema 4.9.5. Ako su M ⊆ M ′ ⊆ B(Y,X) potprostori i T ∈ B(X, Y ),tada
T levo M-invertibilan =⇒ T levo M'-invertibilan =⇒ T levo invertibilan
T desno M-invertibilan =⇒ T desno M'-invertibilan =⇒ T desno invertibilan.
Dokaz. Ako je T ′ ∈ B(Y,X), tada
T ′ ∈M =⇒ T ′ ∈M ′ =⇒ T ′ ∈ B(Y,X). �
Teorema 4.9.6. Ako je A podalgebra normirane algebre B i a ∈ A tada
ω(B) ∩ A ⊆ ω(A) za svako ω ∈ {σl, σr, σ̃l, σ̃r}
iω(B) ∩ A ⊇ ω(A) za svako ω ∈ {πl, πr, τ̃ l, τ̃ r}.
Tako�e vaºi inkluzija:
∂(σ̃l(A) ∪ σ̃r(A)) ⊆ (∂(σ̃l(B)) ∪ σ̃r(B)) ∩ A.
Dokaz. Prve dve inkluzije, za ω = σl i ω = σr, slede na osnovu Teoreme4.9.5, dok preostale dve vaºe na osnovu iste teoreme za skoro invertibilneoperatore. Naredne dve inkluzije, za σ = πl i σ = πr, dobijaju se na osnovuTeoreme 4.1.6, a inkluzije za σ = τ̃ l i σ = τ̃ r vaºe na osnovu Teoreme 4.2.4.Kombinovanjem prva dva dela ove teoreme i Teoreme 4.9.4, dobijamo
∂(σ̃l(A) ∪ σ̃r(A)) ⊆ τ̃ l(B) ∩ τ̃ r(B) ∩ A
Dokaz je gotov ukoliko primenimo slede¢i zaklju£ak: Ako su K i H potpro-stori od A, tada
∂K ⊆ H ⊆ K =⇒ ∂K ⊆ ∂H. �
Na osnovu Teoreme 4.9.6 sledi
A ⊆ B i σ̃l(A) = τ̃ l(A) =⇒ σ̃l(B) ∩ A = τ̃ l(B) ∩ A
iA ⊆ B i σ̃r(A) = τ̃ r(A) =⇒ σ̃r(B) ∩ A = τ̃ r(B) ∩ A.
55
Glava 5
Zaklju£ak
Predmet izu£avanja ovog rada su invertibilni operatori. Osnovna oblastkojoj ovaj master rad pripada, je Teorija operatora. Regularni i esencijalnoinvertibilni operatori iz tre¢eg dela rada su osnova prou£avanja Fredholmoveteorije operatora, oblasti koja ostavlja prostor za dalje izu£avanje. Algebarskiinvertibilni operatori prethode teoriji Banachove algebre. Sve ovo se razvi-jalo bez pojma kompletnosti, koji dolazi sa pru£avanjem otvorenih i skorootvorenih preslikavanja, tj. sa dualnim prostorima i funkcionalima.
56
Literatura
[1] S.R. Caradus� Generalized inverses and Operator Theory. Queen's Pa-pers in Pure and Applied Mathematics no.50.Queen's University, King-ston, Ontario, Canada, 1978.
[2] S.R. Caradus� Operator Theory of the Pseudo-inverse. Queen's Papersin Pure and Applied Mathematics no.38.Queen's University, Kingston,Ontario, Canada, 1974.
[3] S.R. Caradus, Perturbation theory for generalized Fredholm operatorsII. Proc. Amer. Math. Soc.62:72-6, 1977.
[4] M-D. Choi, and C. Davis The Spectral mapping theorem for joint ap-proximate spectrum. Bull. Amer. Math. Soc. 80:317-321, 1974.
[5] C. Davis, and P. Rosenthal Solving linear operator equations. Can. J.Math. 26:1384-1389,1874.
[6] R. Harte, Invertibility and singularity for bounded linear operators,Dekker, New York, 1988.
[7] R. E. Harte, Regular boundary elements. Proc. Amer. Math. Soc.99:328-330, 1987a.
[8] https://www.wikipedia.org
[9] S. Kurepa, Funkcionalna analiza-elementi teorije operatora, �kolskaknjiga, Zagreb, 1981.
[10] E. Nelson A functional calculus for non-commuting operators. Funkci-onal Analysis and related �elds : Proceedings of a conference in honorof Marshall Stone U od Chicago 1968., Springer-Verlag, 1970.
[11] J. L. Taylor A joint spectrum for several commuting operators. J. Funct.Anal. 6:172-191, 1970a.
58
[12] G. W. Treese, and E.P. Kelly Generalised Fredholm operators and theboundary of the maximal group. Proc. Amer. Math. Soc.67:123-128,1977.
[13] V. Rako£evi¢, Funkcionalna analiza, Nau£na knjiga,Beograd, 1994.
59
Biogra�ja
Katarina �ivkovi¢ ro�ena je 01.09.1992. godine u Ni²u. Osnovnu ²kolu” �ele kula ” u Ni²u, upisala je 1999. godine i zavr²ila kao nosilac diplome”Vuk Karadzi¢ ”. Gimnaziju ” Bora Stankovi¢ ” u Ni²u, prirodno-matemati£kismer, upisala je 2007. godine i zavr²ila 2011. godine, kao nosilac diplome” Vuk Karadzi¢ ”. Tokom poha�anja osnovne i srednje ²kole, u£estvovala jena raznim takmi£enjima iz matematike, hemije i srpskog jezika.
2011. godine upisala je osnovne akademske studije matematike, na De-partmanu za matematiku, Prirodno-matemati£kog fakulteta u Ni²u, koje jezavr²ila 2014. godine, sa prose£nom ocenom 9,36. Iste godine upisala jemaster akademske studije tako�e na Departmanu za matematiku, Prirodno-matemati£kog fakulteta u Ni²u, studijski program: op²ta matematika, kojeje zavr²ila 2016. godine, sa prose£nom ocenom 9,44. Bila je korisnik stipen-dije Fonda ” Sveta Petka ”, gradske op²tine Medijana, zatim stipendije gradaNI²a, kao i republi£ke stipendije.
60